Appendice A ConfrontotraisistemiassiomaticidiEuclide ediHilbert3A978-88-470... · 2017. 8. 25. ·...

Appendice AConfronto tra i sistemi assiomatici di Euclidee di Hilbert

Analizziamo alcuni aspetti caratterizzanti i due sistemi assiomatici, evidenziandoin particolare i nodi concettuali e logici che hannodeterminato alcune critiche allastrutturazione proposta da Euclide e la conseguente riformulazione di Hilbert.

A.1 Dal sistema di Euclide

In Euclide tutti i termini sono definiti direttamente, utilizzando a tale scoponozioni di uso comune che aiutino ad afferrare bene il concetto. A Euclideinteressa una definizione ontologica esplicita. È da osservare che però Eucli-de non usa mai tali definizioni nelle dimostrazioni. Nei sistemi assiomaticimoderni alcuni termini (primitivi) non sono definiti, mentre si definiscono apartire da questi i cosiddetti termini definiti. Si noti che spesso la definizioneha senso in quanto si sono dimostrati dei teoremi; per es. le definizioni di se-mirette, segmenti e angoli hanno senso in virtù delle proprietà dimostrate congli assiomi di ordinamento.Per Euclide il postulato è una proposizione di contenuto geometrico mentrel’assioma è una proposizione di contenuto aritmetico-logico: entrambe sonoammesse senza dimostrazione. Nei sistemi assiomatici moderni parliamo diassiomi geometrici e di assiomi logici.Per Euclide come per Hilbert gli assiomi e i postulati sono e devono essere veridi per sé, e la loro “evidenza” garantisce la veridicità di tutta la costruzione geo-metrica che ne deriva, cioè di tutti i teoremi da essi dimostrabili. La relazionedi conseguenza logica conserva la verità e quindi da assiomi veri o supposti talisi passa a teoremi ancora veri.I postulati di Euclide (a esclusione del IV) sono di tipo costruttivo e rispon-dono all’uso di riga (non graduata) e di compasso (vedi commento successivoal compasso che collassa), anche se Euclide non nomina mai tali strumenti,estranei alla formulazione rigorosa della teoria (ma utilissimi per guidarne losviluppo). Cos̀ı anche la retta è il concetto ideale di linea che si costruisce pro-lungando un segmento, mentre per Hilbert la retta è un qualsiasi oggetto cherispetta i relativi assiomi.Inoltre, per la mentalità classica, la costruibilità è garanzia di esistenza. Spes-so in questi postulati è sottointesa da Euclide anche l’unicità; sarà solo nel-le formulazioni successive (esiste una e una sola retta . . . ) che questa verràesplicitata.Il quinto postulato è detto postulato della parallela perché si può sostituire conla proposizione equivalente: per un punto dato, è unica la parallela a una rettadata non incidente al punto.

Arzarello F., Dané C., Lovera L., Mosca M., Nolli N., Ronco A.: Dalla geometria di Euclide allageometria dell’UniversoDOI 10.1007/978-88-470-2574- 12, © Springer-Verlag Italia 20125

Dalla geometria di Euclide alla geometria dell’Universo182

A.2 Dal sistema di Hilbert

Con Hilbert si formulano gli assiomi e i postulati di Euclide in modo da sepa-rare le singole proprietà elementari dei concetti primitivi ivi presenti e ripre-sentarle in gruppi di assiomi; alcuni gruppi (assiomi di ordinamento, di conti-nuità) riguardano nozioni e proprietà che Euclide usa senza averle esplicitatepreventivamente con definizioni o assiomi appositi.Il sistema assiomatico di Hilbert non è solo più preciso di quello di Euclide maè anche più forte: i cinque postulati di Euclide sono riformulabili come assiominel sistema hilbertiano o dimostrabili in esso.Il viceversa non vale, anche perché il linguaggio della Geometria di Hilbertcontiene termini estranei al linguaggio euclideo (per esempio la relazione diordine).Il I postulato è sostanzialmente coincidente con l’assioma 1.1 (1○ assioma di in-cidenza). Il II postulato è precisato con l’assioma 2.2. Il III postulato, che asse-risce l’esistenza della circonferenza, è in realtà conseguenza di principi definitidi carattere insiemistico (una circonferenza è l’insieme dei punti equidistantida un punto dato). Il IV postulato è un teorema nella geometria hilbertiana. IlV postulato è equivalente all’assioma della parallela di Hilbert.Gli assiomi 1.2 e 2.2 di Hilbert caratterizzano l’infinità e la densità dei puntidi una retta, mentre con l’assioma di continuità si assicura che sulla retta nonesistono lacune.In generale dagli assiomi del 2○ gruppo si deducono le proprietà di retta ordi-nata, infinita, illimitata e densa.Per l’assioma 2.3 la retta è una linea aperta (e non, per esempio, un cerchiodove, dati tre punti distinti, ciascuno è compreso tra gli altri due).Gli assiomi di ordine permettono di definire segmenti e semirette.L’assioma 4 è detto assioma di Dedekind (1831-1916). Esso permette una defi-nizione rigorosa del continuo geometrico (la retta) in modo che non vi sianolacune. Il continuo geometrico (la retta come insieme di punti) risulta cos̀ıisomorfo ai numeri reali, definiti anch’essi tramite l’assioma di Dedekind.L’assioma 2.4 è anche detto assioma di Pasch. Il matematico tedesco Mori-tz Pasch (1843-1930) pubblicò nel 1882 un importante trattato di geometria,cui Hilbert attinse nella sua sistemazione del 1899, dove propone un’analisiapprofondita delle nozioni usate implicitamente da Euclide.Esistono altre formulazioni per l’assioma 2.4, per esempio come assioma diseparazione del piano: una retta divide un piano in due lati (semipiani) sepa-rati.Euclide utilizza tale proprietà senza averla esplicitata, ritenendola ovvia. Peresempio nella dimostrazione del teorema I nel libro I, Euclide, nella costru-zione di un triangolo equilatero a partire da un segmento quale lato, ammettecome evidente che, costruendo due circonferenze agli estremi del segmento econ raggio uguale al segmento, le due circonferenze si intersecheranno in duepunti. Ma questo fatto è supportato solo da una “evidenza nel disegno” non da

Appendice A ● Confronto tra i sistemi assiomatici di Euclide e di Hilbert183

una proprietà precedentemente dimostrata o postulata. Con gli assiomi 2.4 e4 tutte queste “lacune” di Euclide vengono colmate.Se si considerano solo i primi quattro gruppi di assiomi si ottiene la cosiddetta“geometria neutrale”, in cui nulla si dice sull’unicità o meno delle parallele. Inquesta geometria si dimostra l’esistenza di almeno una parallela per un puntoa una retta, ma non l’unicità. Per questo l’assioma della parallela è enunciatoin quel modo da Hilbert. Si noti che anche Euclide considerò una geometria“neutrale”: infatti dimostrò le prime ventotto proposizioni del I libro senza faruso del V postulato.

A.3 Uguaglianza e congruenza

Con l’assioma VII (cose che coincidono tra loro sono uguali) Euclide conside-ra, accanto al concetto “quantitativo” di uguaglianza, un concetto prettamentegeometrico come la coincidenza; in altre parole “figure che vengono portatea coincidere con un movimento che non modifica la loro forma sono uguali”.Egli consente cioè una sovrapposizione delle figure anche se non ha mai defi-nito o postulato ilmovimento rigido che la permette, fino a identificare l’ugua-glianza con la sovrapponibilità. Egli utilizza tale principio di sovrapposizionenella dimostrazione dei teoremi 4 e 8 nel libro I che corrispondono agli odierniprimo e terzo criterio di congruenza dei triangoli.Nell’assiomaticamoderna diHilbert non compare più alcun riferimento almo-vimento rigido di sovrapposizione delle figure, ma vengono introdotte due re-lazioni “primitive” distinte: la relazione logica dell’uguaglianza e quella geo-metrica della congruenza, il cui significato è specificato nel rispettivo gruppodi assiomi.In particolare l’assioma 3.5 permette di dimostrare i criteri di congruenza deitriangoli e di definire le figure congruenti come quelle che hanno ordinata-mente uguali i rispettivi elementi (lati e angoli).Con gli assiomi 3.1 e 3.2 si caratterizza la relazione di congruenza come unarelazione di equivalenza.L’assioma 3.1 è anche detto assioma del trasporto del segmento: dato un seg-mento AB è possibile costruire, a partire da un altro punto, un segmento a essocongruente. In modo analogo per l’angolo con il 3.4.Per trasportare un segmento Euclide invece dimostra due teoremi (n○ 2 e 3)specificando i passaggi costruttivi con riga e compasso, ritenendo si dovesseevitare di introdurre un ulteriore assioma se la proprietà si poteva dedurre conuna dimostrazione, sia pure con maggiore fatica.Altri sistemi assiomatici moderni utilizzano invece in forma assiomatica lanozione di “moto”, per esempio quelli di Peano (1894) e di Pieri (1899).Il postulato III (si possa descrivere un cerchio dato centro e raggio) è detto delcompasso. Ma un compasso chiuso che si apre solo quando si trova davantia un segmento che rappresenta il raggio e un estremo come centro. Allorapunta nell’estremo detto centro e si apre fino all’altro estremo del raggio per poi


costruire la circonferenza. Quando è aperto non può alzarsi e spostarsi in unaltro punto del piano per disegnare un’altra circonferenza con lo stesso raggio odisegnare un segmento congruente al raggio (quest’ultimo uso del compasso sichiama “compasso che collassa”) . Come abbiamo già detto, per “trasportare unsegmento” Euclide dimostra un teorema esplicitandone la costruzione mentreHilbert lo pone come uno degli assiomi della congruenza.Nella definizione X Euclide introduce gli angoli retti: se due angoli adiacentisono congruenti, sono definiti retti.Ma due angoli retti situati in modo qualsiasi nel piano possono essere con-gruenti senza essere adiacenti? Questo è assicurato da Euclide con il quartopostulato: tutti gli angoli retti sono congruenti tra di loro, ovunque siano dise-gnati nel piano, senza bisogno di una verifica per sovrapposizione. Se invecegli angoli da confrontare non sono retti, Euclide usufruisce del movimento ri-gido, mentre Hilbert introduce un assioma (il 3.4) specifico per la congruenzadegli angoli.Non si fa riferimento a lunghezze o misure. È possibile introdurre le misureutilizzando l’assioma di continuità, in quanto questo stabilisce una corrispon-denza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali (e un risultato simile, manon identico, vale per gli angoli e le loro misure). L’analisi critica del continuogeometrico portò alla formulazione degli assiomi di Pasch e di Dedekind, lecui proprietà o conseguenze Euclide utilizzava di fatto senza esplicitarle.

Appendice BGPS: sistema di posizionamento globale

B.1 Descrizione generale

Il sistema G.P.S. (Global Positioning System) è un insieme di parti che, interagen-do tra loro, permettono la localizzazione di un punto sulla superficie del globoterrestre, o vicino a essa.

Figura B.1 (Jean-Marie Zogg ‘‘GPS’’ da: www. u-blox.com)

Esso fornisce la posizione mediante tre coordinate (longitudine, latitudine, al-tezza dalla superficie terrestre), con un errore di pochi metri e l’istante di rileva-zione UTC (Universal Time Coordinated) con una approssimazione di qualchedecina di nanosecondi.

Il G.P.S. è stato progettato e sviluppato dal Dipartimento della Difesa statu-nitense a partire dagli anni Settanta del secolo scorso e in seguito è stato estesoanche a un’utenza civile. Esistono altri sistemi, analoghi, ma non ne trattiamo.

B.2 A cosa serve?

A seconda della metodologia di rilievo ed elaborazione dei dati, il GPS permettemolteplici utilizzi civili in vari campi (agricoltura e foreste, comunicazioni tecno-logiche, commercio e industria, scienze e ricerca, turismo e sport) fra i quali se-gnaliamo: posizionamento e navigazione in terra, mare e cielo, gestione di grandireti di comunicazione e mercati finanziari, monitoraggio del territorio e delle de-formazioni crostali, attività all’aperto come orientamento e trekking, mappaturadi siti archeologici o di interesse culturale.

B.3 Come è costituito?

Il sistema GPS è costituito di 3 parti o segmenti:1 segmento spaziale: la costellazione satellitare è formata da almeno 24 satelliti

attivi orbitanti intorno alla Terra;2 segmento di controllo: stazioni a terra dotate di grandi antenne e di orologi

atomici che comunicano tra loro e con i satelliti, con il compito di gestire e

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monitorare tutto il sistema (sincronizzazione degli orologi a terra e sul satellite,calcolo e invio dei dati relativi alle traiettorie e posizione dei satelliti, controlloe correzione delle traiettorie orbitali);

3 segmento di utilizzo: l’apparecchio ricevitore con antenna GPS che capta lecomunicazioni dai satelliti (ma non può emettere segnali) e visualizza su undisplay 2D la propria posizione.

Figura B.2 I segmenticostitutivi del GPS

B.4 Come funziona?

Il principio rispetto al quale è stato concepito il sistema di rilevamento satellitareè un’evidente evoluzione dei metodi utilizzati in navigazione astronomica.

Come si è descritto nel capitolo 8, per fare il punto nave si determina la pro-pria posizione rispetto a tre stelle, delle quali occorre però stabilire, per altra via,le coordinate assolute sulla sfera celeste, e quest’ultimo è l’aspetto più laboriosodell’operazione. I satelliti orbitanti, a differenza delle stelle, mute nel loro algido

Figura B.3 Orbitedi satelliti in rota-zione intorno alla Terra (distanze nonin scala)

Appendice B ● GPS: sistema di posizionamento globale187

scintillare, sono stati dotati di “parola”, in quanto passano e ripassano lungo leorbite loro assegnate ripetendo incessantemente “’io sono qui, io sono qui”, ovve-ro comunicando in ogni istante le loro coordinate spaziali e temporali rispetto alsistema di riferimento adottato.

Dotati ognuno di orologi atomici al cesio di grandissima precisione, che ven-gono sincronizzati dalla stazione americana di Colorado Springs ogni qual voltala sorvolano, trasmettono in continuazione dati numerici che comprendono leproprie coordinate X, Y , Z, e l’istante esatto t1 di trasmissione.

A terra l’apparecchio GPS ricevitore acquisisce il segnale emesso dal satellite elo elabora: grazie al proprio orologio può confrontare il tempo locale t2 di rice-zione a terra del segnale con il tempo t1 della sua emissione dal satellite, determi-nando cos̀ı il tempo impiegato dal segnale a percorrere la distanza dal satellite alricevitore

Δt = (t2 − t1).Per ottenere poi la distanza dal satellite basta moltiplicarlo per la velocità dellaluce c (∼ 300.000 km/s)

Δt ⋅ c = distanza.Rilevando il Δt di trasmissione da quattro satelliti e calcolando le relative distanzeè possibile stabilire la posizione del nostro ricevitore sulla Terra (Fig. B.4):

conoscendo la distanza del ricevitore da un solo satellite, possiamo assegnar-gli come posizione un qualsiasi punto della superficie sferica con centro nelsatellite considerato;conoscendo la distanza da un secondo satellite si determina una seconda sfe-ra che, intersecando la prima lungo una circonferenza, riduce ai suoi punti lapossibile posizione del ricevitore;la distanza da un terzo satellite individua una terza sfera che interseca la cir-conferenza precedente in due punti A e B.

Ma uno solo di questi due punti appartiene alla Terra (quarta sfera in gioco), ed èla posizione cercata: l’altro punto può essere eliminato perché si trova nello spazio.

Figura B.4 L’intersezione fra le tre su-perfici sferiche individua la posizione del ri-cevitore sulla Terra (Jean-Marie Zogg ‘‘GPS’’da: www. u-blox.com)


In conclusione, con la determinazione di tre distanze da tre satelliti è possibilestabilire la posizione (X ,Y , Z) del ricevitore rispetto a un sistema di coordinateterrestri.

Perché il quarto satellite?Abbiamo già puntualizzato la necessità che gli orologi in azione siano sincro-

nizzati tra loro: un errore di 1 milionesimo di secondo si traduce in un errore di300 m sul suolo.

In ogni satellite sonomontati quattro orologi atomici che periodicamente ven-gono ulteriormente sincronizzati dal centro di controllo onde garantire la massi-ma stabilità. Ma il ricevitore, per ragioni di costo, non può disporre di un orolo-gio atomico, quindi la sua precisione non è assicurata. È quindi ipotizzabile unerrore Δt0 del tempo proprio del ricevitore che assume il ruolo di un’ulteriore in-cognita da determinare oltre alle X ,Y , Z (longitudine, latitudine, quota rispettoal livello del mare). Risulta cos̀ı necessario un ulteriore dato in origine, ricavabileconsultando un quarto satellite.

I dati del quarto satellite, infatti, oltre a rendere univoca la soluzione al siste-ma di quattro equazioni in quattro incognite, consentono al ricevitore (attivandoun opportuno software) di correggere il valore del tempo proprio per mezzo deitempi di invio del segnale dei quattro satelliti.

Questo è quanto avviene a ogni rilevazione del ricevitore. Soltanto la cono-scenza della distanza da quattro satelliti consente con certezza di determinare unaposizione univoca nello spazio. Si spiega cos̀ı anche perché è necessario aspettaredel tempo, anche se se tratta di minuti, affinché il ricevitore sia attivo; questo in-fatti deve attendere il “contatto” con almeno quattro satelliti e, ricevuto il segnale,elaborarlo effettuando numerosi calcoli e approssimazioni successive.

Figura B.5 Il ricevitoresull’auto riceve i segnali daiquattro satelliti e li rielaboraper fornire le informazionirichieste dall’utente (Jean-Marie Zogg ‘‘GPS’’ da: www.u-blox.com)

B.5 Analisi della Costellazione Satellitare

Il sistema GPS presenta da 24 a 32 satelliti (alcuni sono di riserva), posizionati inorbite pseudo-circolari e suddivisi in sei piani orbitali inclinati di circa 55○ rispettoall’equatore terrestre; i satelliti ogni giorno compiono due rivoluzioni attorno allaTerra (le orbite sono percorse con un periodo T di 11 ore 58 minuti). A causa


della rotazione terrestre ogni satellite ripassa nella stessa posizione ogni 24 ore,permettendo cos̀ı alle stazioni di controllo unmonitoraggio quotidiano. L’altezzadei satelliti dalla superficie terrestre è pari a 20.180 km e la velocità orbitale è di3,87 km/s.

Tali valori si possono ricavare ricordando che, affinché un satellite resti su unacerta orbita di raggio r (rispetto al centro della Terra), è necessario che la sua ac-celerazione centripeta 4π

2 rT2 sia uguale all’accelerazione di gravità

GMTerrar2 . Si ricava

cos̀ı r3 = G MTerraT24π2 , da cui r, ovvero la distanza dal centro della Terra. Sottraendoa tale valore il raggio medio della Terra si ottiene l’altezza del satellite dal suoloterrestre.

È possibile anche calcolare la velocità del satellite 2πr/T .

Figura B.6 La maggior parte della su-perficie terrestre è coperta in ogni istanteda almeno quattro satelliti

La distribuzione dei satelliti nelle orbite è stata progettata in modo tale dagarantire dai vari punti della Terra la visibilità di almeno 4 satelliti (Fig B.6).

Indicativamente in un dato punto della Terra ciascun satellite rimane in vistaper 1-4 ore, e ogni satellite “vede” una porzione-range (rappresentabile con uncerchio) della superficie terrestre.

In Fig. B.7 è stata rappresentata l’orbita di un satellite sulla carta di Merca-tore con il suo range d’azione quando si trova in corrispondenza del punto diintersezione tra il meridiano zero e l’equatore.

Figura B.7 La traiettoria nelleventiquattro ore di un satellite GPSe il suo range d’ azione quando sitrova sopra al punto di intersezionetraequatoreemeridianozero (Jean-Marie Zogg ‘‘GPS’’ da: www. u-blox.com


B.6 Sistemi di coordinate

La determinazione della posizione di un punto sulla Terra presuppone la presenzadi un sistema di coordinate e di una mappa del suolo terrestre, ma ne esistonomolti tra loro differenti.

Vediamo a quali principi comuni essi si ispirano.La Terra non è certamente una sfera perfetta come in genere la si rappresenta

ma, considerando le profondità marine, le valli, i monti, ecc. essa assume unaforma “irregolare”. Non essendo possibile tenere conto di tutte tali “irregolarità”si assume in linea generale come forma della Terra, chiamandola geoide, il solidola cui superficie meglio descrive la superficie media degli oceani e a questa si fariferimento quando si deve determinare la coordinata Z.

Definizione teorica: geoide è il solido la cui superficie, in ogni suo punto,determina angoli retti con le linee del campo magnetico.

Ma tale superficie è difficile da trattare a livello matematico. La si approssimaallora con un ellissoide ovvero il solido ottenuto dalla rotazione di un’ellisse (disemiassi a e b, a > b) intorno all’asse minore.

Quanto valgono i due semiassi in modo che l’ellissoide sia la migliore appros-simazione possibile della superficie terrestre? Non c’è una risposta univoca madipende da zona a zona, da regione a regione.

Comunemente per rendere tangente l’ellissoide al geoide in una determinataarea è necessario spostare il suo centro rispetto al centro della Terra, ruotarlo evariarne le dimensioni ottenendo cos̀ı un ellissoide locale o regionale. I dati diquesto aggiustamento sono registrati nel Datum (compendio delle differenze fradati reali e dati del modello).

Figura B.8Approssimazionedel geoide con un ellissoide

Si ottengono cos̀ı molti sistemi di riferimento locali (ne esistono più di 120)basati ognuno su un particolare tipo di ellissoide (Fig. B.8).

Il sistema GPS mondiale adotta il sistema di riferimento WGS-84, un sistemaglobale cui viene riferita tutta la Terra. Esso è costituito da una terna di assi car-tesiani ortogonali con origine nel centro di massa della Terra, l’asse X sul pianoequatoriale in modo da intersecare il meridiano di Greenwich, l’asse Y sul pianoequatoriale a est di 90○ rispetto asse x, l’asse Z orientato verso il polo Nord. A


Figura B.9 Individuazione degli ellissoidi che regione per regione approssimanoil geoide Terra (il cui profilo è qui esagerato)

questi è associato un ellissoide con centro nell’origine e semiassi a e b stabiliti.In tale sistema di riferimento si possono determinare le coordinate cartesiane X,Y , Z (o anche longitudine, latitudine e altezza) del punto P interessato rispettol’ellissoide di riferimento (Fig. B.10).

Le coordinate riferite a tale sistema devono essere poi, con opportune proce-dure, convertite nel sistema di riferimento locale, che è, come detto in precedenza,traslato e ruotato rispetto a quello universale.

Una volta ottenute le coordinate 3D del punto occorre proiettarle su di unamappa bidimensionale (l’equivalente di una carta geografica), che possa esserevisualizzata sullo schermo del ricevitore.

La proiezione cui si ricorre ormai universalmente è la proiezione di Gauss,dalla quale si ottiene il sistema di coordinate UTM. Entrambi sono descritti nelcapitolo 8 tra le proiezioni cartografiche.

Figura B.10 Coordinate cartesiane del punto P


In conclusione, per ottenere la posizione di un punto su di una mappa 2D, ènecessaria la seguente sequenza di operazioni:

dai segnali dei satelliti si ricavano gli intervalli di tempo;si calcolano le coordinate 3D in WGS-84;si convertono tali coordinate 3D nel sistema di riferimento locale;si proiettano sulla mappa 2D ottenendo le due coordinate X e Y ;il punto (X ,Y) viene visualizzato in un punto-pixel sullo schermo GPS.

Bibliografia

AAVV. (2003). La matematica per il cittadino. Matematica 2003. Attività didat-tiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di Matematica. Ciclo secondario(http://umi.dm.unibo.it/ scuola–99.html).

Agazzi E., Palladino D. (1978). Le geometrie non euclidee e i fondamenti dellageometria, Milano: Mondadori.

Antinucci F. (2001). La scuola si è rotta, Bari: Laterza.Apostol T.M., Mnatsakanian M.A. (2007). Unwrapping Curves from Cylindersand Cones. American Mathematical Monthly, 114(5) 388-416(29).

Bartolini Bussi M.G., Maschietto M. (2006). Macchine matematiche: dalla storiaalla scuola, Milano: Springer.

Beltrami E. (1868). Saggio di interpretazione della geometria non euclidea. Gior-nale di Matematiche, VI, 284-322.

Bergia S. (1998). Einstein, Le Scienze, (6).Berthoz A. (1997). Le sens du mouvement. Paris: Odile Jacob. Traduzione italia-na: Il senso del movimento, Milano: McGraw-Hill, 1998.

Boi L., Giacardi L., Tazzioli, R. (1998). La découverte de la géométrie non eucli-dienne sur la pseudosphère. Les lettres de Beltrami àHoüel, avec une introductiondes notes et commentaires critiques, Paris: Blanchard.

Borgato M.T., Orlando D., Tomasi L. (2005). Matematica e cartografia.http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/matcart/index1.htm.

Bonola R. (1975). La geometria non euclidea: esposizione storico-critica del suosviluppo, Bologna: Zanichelli.

Catastini L. (2009). Concretamente astratto . . . anzi simulabile. La matematicanella Società e nella Cultura: rivista UMI, I, 31-69.

Chimetto M.A., Zoccante S. (2003). Geometria e geografia. I problemi del-la cartografia: progetto per la produzione di materiali. L’insegnamento dellaMatematica e delle scienze integrate, v. 26A-B, 749-760.

Conti F., Giusti E. (2000). Oltre il compasso: la geometria delle curve, Roma:Diagonale.

Coxeter H.S.M. (1998). Non-Euclidean Geometry, Washington, DC: Math. As-soc. Amer.

Coxeter H.M.S. (1969). Introduction to Geometry, New York: Wiley.Coxeter H.M.S., Greitzer S.L. (1967). Geometry Revisited. The MathematicalAssociation of America, Washington.

De Bernardis P., Vitale S. (2009). Dal big bang ai buchi neri, Le Scienze, 494(10)72-77.

de Finetti B. (1967). Il “saper vedere” in matematica, Torino: Loescher.


do Carmo M.P. (1976). Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall.

Einstein A., Infeld L. (1938). L’evoluzione della fisica, Torino: Boringhieri.Enriques F. (1906). Problemi della scienza, Bologna: Zanichelli.Euclide (1970). Elementi. A cura di A. Frajese, L.Maccioni (Eds.), Torino: UTET.Gallese V., Lakoff G. (2005). The brain’s concepts: the role of the sensory-motorsystem in conceptual knowledge. Cognitive Neuropsychology 21, 1–25.

Henderson D.W., Taimina D. (2005). Experiencing Geometry: Euclidean andnon-Euclidean History, Upper Saddle River: New Jersey, USA.

Hilbert D. (1899). Grundlagen der Geometrie, 1. Aufl. Leipzig/ 12. Aufl. Stuttgart:Teubner. Traduzione italiana: Fondamenti della Geometria, Milano: Feltrinelli,1970.

Hilbert D., Cohn-Vossen S. (1972). Geometria intuitiva, Torino: Bollati Borin-ghieri. Traduzione di Anschauliche Geometrie, Springer, 1932.

Lawrence J. (1972). A Catalog of Special Plane Curves, New York: Dover.Lazzarini P. (1998). La geometria sulla sfera(http://users.libero.it/prof.lazzarini/geometria sulla sfera/geo.htm).

Margiotta G. (1996). Introduzione alla geometria non euclidea con Cabri, Qua-derno n. 10 di CABRIRRSAE, Bologna.

Needham T. (1997). Visual Complex Analysis, Oxford University Press.Nikulin V.V., Shafarevich I.R. (1994). Geometries and Groups, Berlin: Springer.Nuzzi F. (2009). Storia e analisi del concetto di curvatura, Bari: Progedit.Papert S. (1980). Mindstorms: Children, Computers, and Powerful Ideas. NewYork: Basic Books. Traduzione italiana: Mindstorms: bambini, computer ecreatività, Milano: EMME edizioni, 1984.

Poincaré H. (1902). La Science et l’Hypothèse, Paris: Flammarion.Poincaré H. (1905). La valeur de la Science, Paris: Flammarion.Prodi G. (1997). I solidi rotondi. Prima parte: cilindro e cono. L’insegnamentodella Matematica e delle scienze integrate, 20 A-B (5), 450-468.

Prodi G. (1998). I solidi rotondi. Seconda parte: la sfera. L’insegnamento dellaMatematica e delle scienze integrate, 21 B (4), 312-328.

Radford L. (2003). Gestures, Speech, and the Sprouting of Sign: A Semiotic-Cultural Approach to Students’ Types of Generalization, Mathematical Thin-king And Learning, 5(1), 37-70.

Rosenfeld B.A. (1988). A history of non-euclidean Geometry, Heidelberg: Sprin-ger.

Simone R. (2000). La Terza fase, Bari: Laterza.Sobel D. (1995). Longitudine, Milano: Rizzoli.Taimina D., Henderson D.W. (2005). How to Use History to Clarify CommonConfusions in Geometry. In: Amy Shell-Gellasch & Dick Jardine (Eds). FromCalculus to Computers Using 200 years of Mathematics History in the Teachingof Mathematics, MAA Notes #68, Mathematical Association of America.

Bibliografia195

Tall D. (1989). Concept Images, Generic Organizers, Computers & CurriculumChange, For the Learning of Mathematics, 9(3), 37-42.

Thorpe J.A. (1979). ElementaryTopics inDifferential Geometry, Heidelberg: Sprin-ger.

Tomasi L. (1999). Introduzione al modello di Poincaré, CABRIRRSAE n. 21.Toponogov V.A. (2006). Differential Geometry of Curves and Surfaces, Basel:Birkhäuser.

Trudeau R.J. (1991). La rivoluzione non euclidea, Torino: Bollati Boringhieri.Valabrega E.,Manassi L. (1979). Esplorando lo spazio. Avviamento alla geometria,Torino: Loescher.

Violino P., Robutti O. (1995). La fisica e i suoi modelli, Bologna: Zanichelli.Yates R.C. (1959). The Catenary and the Tractrix, Am. Math. Mon. 66, 500–505.Sito Géométrie et Cognition presso la École Normale Supérieure, di interesse pergli argomenti del Cap. 1: http://www.di.ens.fr/∼longo/geocogni.html.

Siti di divulgazione scientifica su argomenti di astronomia, navigazione astrono-mica, telecomunicazioni:

http://www.arcetri.astro.it/CDAshttp://www.nauticoartiglio.lu.it/almanacco/quadernihttp://www.navigazioneastronomica.it/http://www.vialattea.net/eratostene/http://www.u-blox.com/images/downloads/Product Docs/GPS Compendium%28GPS-X-02007%29.pdf

http://www.kowoma.de/en/gps/index.htmhttp.//www.gps.gov

CONVERGENZE Collana promossa dall'UMI-CIlM

M.G. Bartolini Bussi, M. Maschietto Macchine Matematiche 2006, XVI+ 160 pp, 978-88-470-0402-3

G.C. Barozzi Aritmetica 2007,VI+124 pp, 978-88-470-0581-5

R.Zan Difficolta in matematica 2007, XIV+306 pp, 978-88-470-0583-9

G. Lolli Guida alla teoria degli insiemi 2008, X+148 pp, 978-88-470-0768-0

M. Donaldson Come ragionano i bambini 2009, XII+154 pp, 978-88-470-1447-3

F. Ghione, L. Catastini Matematica e Arte 2010, XVI+ 162 pp, 978-88-470-1728-3

L. Resta, S. Gaudenzi, S. Alberghi Matebilandia 2011, XIII+336 pp, 978-88-470-2311-6

E. Delucchi, G. Gaiffi, L. Pemazza Giochi e percorsi matematici 2012, XII+ 198 pp, 978-88-470-2615-5

F. Arzarello, C. Dane, L. Lovera, M. Mosca, N. Nolli, A. Ronco Dalla geometria di Euclide alla geometria dell 'Universo 2012, XII+196 pp, 978-88-470-2573-8

Appendice A Confronto tra i sistemi assiomatici di Euclide e di HilbertA.1 Dal sistema di EuclideA.2 Dal sistema di HilbertA.3 Uguaglianza e congruenza

Appendice B GPS: sistema di posizionamento globaleB.1 Descrizione generaleB.2 A cosa serve?B.3 Come è costituito?B.4 Come funziona?B.5 Analisi della Costellazione SatellitareB.6 Sistemi di coordinate

Bibliografia

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