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Appunti di Analisi V

Luisa Zanghirati

Indice

Capitolo 1. Introduzione 11. Preliminari topologici 12. Continuita e semicontinuita 53. Lemma di Urysohn e partizione dell’unita 104. Approssimazione di funzioni misurabili 14

Capitolo 2. Spazi Lp(A) 23

1. Definizioni e proprieta fondamentali 232. Funzionali lineari limitati su L

p44

3. Il mollificatore. Approssimazione delle funzioni di Lp

mediante funzioni regolari 464. Convoluzione negli spazi L

p54

5. Complementi: spazi lp

59

Capitolo 3. Spazi di Hilbert 671. Prodotti interni e funzionali lineari 672. Teoremi delle proiezioni, di Freche–Riesz, di Riesz–Fischer 743. Teorema di Parseval ed applicazioni 874. Serie di Fourier 95

Capitolo 4. Trasformata di Fourier 1051. Trasformata di Fourier in L

1105

2. Trasformata di Fourier in L2

118

i

CAPITOLO 1

Introduzione

1. Preliminari topologici

La prima parte del corso e dedicata allo studio degli spazi Lp, per i qualifaremo uso della misura di Lebesgue, benche la trattazione sia possibileanche usando misure piu generali.Un ruolo importante nella trattazione degli spazi Lp e giocato dal Teo-rema di Lusin che vale non solo negli spazi euclidei, ma piu in generalein ogni “spazio topologico X localmente compatto”.

Definizione 1.1.1. Una famiglia ! di sottoinsiemi di un insiemeX si dice una “topologia in X” se ! ha le seguenti proprieta :

i) ! " ! e X " ! .ii) Se Vi " ! per i = 1, . . . , n, allora V1 # V2 # · · · # Vn " ! .iii) Se {V!} e un’arbitraria famiglia di elementi di ! , (finita, nu-

merabile o non numerabile), allora!! V! " ! .

Se ! e una topologia su X, allora X si dice uno “spazio topologico” e glielementi di ! sono detti gli insiemi aperti di X.

Sia X uno spazio topologico. Allora:

- Un insieme E $ X e chiuso se il suo complementare !E eaperto. (Pertanto ! ed X sono chiusi, ogni unione finita diinsiemi chiusi e chiusa e ogni arbitraria intersezione di insiemichiusi e chiusa).

- La chiusura E di un insieme E $ X e il piu piccolo insiemechiuso in X che contiene E. (La seguente argomentazione proval’esistenza di E: la famiglia F di tutti i sottoinsiemi chiusi di Xche contengono E non e vuota perche X " F ; E e l’intersezionedegli elementi di F).

- Un insieme K $ X e compatto se ogni ricoprimento aperto diK contiene un sottoricoprimento finito. Piu esplicitamente, larichiesta e che se {V!} e una famiglia di aperti la cui unionecontiene K, allora l’unione di una qualche sottofamiglia finita

1

2 1. INTRODUZIONE

di {V!} contiene altresı K.In particolare, se X e esso stesso compatto, allora X si dice unospazio compatto.

- Un intorno di un punto p " X e un qualunque sottoinsiemeaperto di X che contiene p. (L’uso di questo termine non ecompletamente standardizzato; alcuni usano “intorno di p” perindicare un qualunque insieme che contiene un insieme apertoche contiene p).

- X e uno spazio di Hausdor! se vale quanto segue: se p " X,q " X e p %= q, allora p ha un intorno U e q un intorno V taliche U # V = !.

- X si dice localmente compatto se ogni punto di X ha un in-torno a chiusura compatta. Ovviamente ogni spazio compattoe localmente compatto.

- Un sottoinsieme A di uno spazio topologico X si dice relativa-mente compatto se la chiusura A di A e compatta. (Ad esempio,ogni successione convergente in X e un insieme relativamentecompatto).

- Un sottoinsieme A di uno spazio vettoriale topologico di Haus-dor! si dice precompatto se per ogni intorno V dell’origine inX esiste una famiglia finita di punti di A, p1, · · · , pr, tali chegli insiemi pj + V formano un ricoprimento di A, cioe tali che

A $ (p1 + V ) & · · · & (pr + V ).

Ricordiamo qui alcuni teoremi la cui dimostrazione e ben nota.

Teorema 1.1.2. Sia X uno spazio topologico, K un sottoinsiemecompatto ed F un sottoinsieme chiuso di X. Se F $ K, allora F ecompatto.

Corollario 1.1.3. Se A $ B e B ha chiusura compatta, alloraanche A ha chiusura compatta.

Teorema 1.1.4. Sia X uno spazio di Hausdor!, K $ X, K com-patto e p /" K. Allora esistono due insiemi aperti U e W tali che p " U ,K $ W e U #W = !.

Corollario 1.1.5. a) Sottoinsiemi compatti di spazi spazi di Haus-dor! sono chiusi.b) Se F e chiuso e K e compatto in uno spazio di Hausdor!, allora F #Ke compatto.

1. PRELIMINARI TOPOLOGICI 3

Teorema 1.1.6. Se {K!} e una famiglia di sottoinsiemi compattidi uno spazio di Hausdor! e se

"! K! = !, allora qualche sottofamiglia

finita di {K!} ha altresı intersezione vuota.

Teorema 1.1.7 (Heine–Borel). I sottoinsiemi compatti di unospazio euclideo Rn sono tutti e soli i sottoinsiemi chiusi e limitati.

Osservazione 1.1.8. Il Teorema di Heine–Borel e falso in un ar-bitrario spazio vettoriale topologico o anche in un arbitrario spazio vet-toriale normato, come prova il seguente esempio:consideriamo l’insieme l2 delle successioni " di numeri reali, " = {"n}n!N,

tali che#

n "2n < '. l2 e uno spazio vettoriale. Posto ("( =

$#n "

2n

% 12 ,

e facile verificare che " ) ("( e una norma su l2. Poniamo:

e1 = (1, 0, 0, · · · , 0, · · · )

e2 = (0, 1, 0, · · · , 0, · · · )...

ej = (0, 0, · · · , 0,j–esimo

1 , 0, · · · )...

Allora K = {ej}j!N e un sottoinsieme di l2.Poiche (ej( = 1 *j, K e limitato.Inoltre K e chiuso perche costituito da punti isolati. Basta per questofar vedere che ogni ej possiede un intorno Vj che non contiene alcunpunto di K eccetto ej stesso. Infatti posto Vj = {" " l2 : ("+ ej( < 1}si ha, se h %= j, (eh + ej( =

,12 + 12 =

,2 > 1; quindi eh /" Vj .

K non e compatto. Infatti {Vj}j!N costituisce un ricoprimento apertodi K, ma non e possibile ricoprire K con un numero finito di Vj percheabbiamo appena provato che: h %= j - eh /" Vj . Quindi

h %= j1, . . . , jm - eh /" Vj1 & . . . & Vjm

e cio quali che siano j1, . . . , jm.

Osserviamo che nell’esempio precedente K e un sottoinsieme chiuso dellasfera unitaria di l2, S(0, 1) = {" " l2 : ("( . 1}. Dal Teorema 1.1.2segue quindi che la sfera unitaria di l2 non e compatta. Notiamo altresıche l2 non ha dimensione finita dato che {ej}j!N ne costituisce una base.Tutto cio non e legato alla particolarita dell’esempio considerato, bensıe una conferma della validita del seguente teorema:

4 1. INTRODUZIONE

Teorema 1.1.9 (Riesz). Sia X uno spazio vettoriale topologicodi Hausdor! sul corpo K1. Se esiste un intorno dello zero precompatto,allora X ha dimensione finita (e quindi e isomorfo a qualche Kn).

Per la dimostrazione si veda J. Horvath, “Topological vector spaces anddistributions”, Th. 3 page 147.

Teorema 1.1.10. Sia U un sottoinsieme aperto in uno spazio Xdi Hausdor! localmente compatto, K $ U , K compatto. Allora esisteun insieme aperto V con chiusura compatta tale che

K $ V $ V $ U.

Dimostrazione. Ogni punto di K ha un intorno con chiusura com-patta. Poiche K e compatto e poiche ogni intorno e, per definizione,aperto, e possibile ricoprire K con un numero finito di tali intorni:

K $ Vx1 & . . . & Vxm ,

con V xj compatto, per j = 1, . . . , m.Posto G = Vx1 & . . .& Vxm , G e aperto, ha chiusura compatta e contieneK. Pertanto nel caso che U = X, il teorema e provato prendendo V = G.

Se U e un sottoinsieme proprio di X, poniamo C = !U . Il Teore-ma 1.1.4 mostra che ad ogni p " C corrisponde un aperto Wp tale cheK $ Wp, p /" W p. (In e!etti il Teorema 1.1.4 assicura l’esistenza di due

aperti Wp,&Wp tali che K $ Wp, p " &Wp, &Wp #Wp = !. Le ultime dueproprieta assicurano che p /" W p).Quindi {C # G # W p}p!C e una famiglia di insiemi compatti (infattiC #G #W p e un chiuso contenuto nel compatto G e quindi per il Teo-rema 1.1.2 e compatto) avente intersezione vuota (in caso contrario es-isterebbe p0 " C#G#(

"p!C W p), sicche p0 " W p0 , contro quanto sopra

a!ermato).Per il Teorema 1.1.6 esistono punti p1, . . . , pn " C tali che

(1.1) C #G #W p1 # . . . #W pn = !.Poniamo: V = G #Wp1 # . . . #Wpn . Allora V e aperto, V / K (infattiK $ G e K $ Wpj , *j) inoltre:

(1.2) V $ G #W p1 # . . . #W pn .

Quindi V , sottoinsieme chiuso del compatto G, e compatto e da (1.1) e(1.2) segue C # V = !, ossia V $ U . Il teorema e provato. "

1K sara sempre R o C

2. CONTINUITa E SEMICONTINUITa 5

2. Continuita e semicontinuita

Definizione 1.2.1. Siano X ed Y due spazi topologici ed f un’ap-plicazione di X in Y . f si dice continua se per ogni insieme aperto V inY , f"1(V ) e un insieme aperto in X.

Questa definizione di continuita e una definizione globale. Frequente-mente e utile disporre di una definizione locale di continuita :

Definizione 1.2.2. Siano X ed Y due spazi topologici ed f un’ap-plicazione di X in Y . f si dice continua nel punto x0 " X se per ogniintorno V di f(x0) esiste un intorno W di x0 tale che f(W ) $ V .

La seguente proposizione stabilisce una “naturale” relazione fra le duenozioni di continuita.

Proposizione 1.2.3. Siano X ed Y due spazi topologici. Un’ap-plicazione f di X in Y e continua se e solo se f e continua in ogni puntodi X.

La dimostrazione e lasciata come esercizio al lettore.

Definizione 1.2.4. Sia f una funzione definita in uno spaziotopologico X a valori in R o in R. Se

{x " X : f(x) > #}

e aperto per ogni # reale, f si dice semicontinua inferiormente. Se

{x " X : f(x) < #}

e aperto per ogni # reale, f si dice semicontinua superiormente.

Esercizio 1.2.5. Sia A $ X e $A la funzione caratteristica di A:

$A(x) =

'1 se x " A0 se x /" A.

Caratterizzare i sottoinsiemi A per i quali $A e semicontinua inferior-

mente e gli insiemi A per i quali $A e semicontinua superiormente.

Soluzione:

{x : $A > #} =

()

*

X se # < 0A se 0 . # < 1! se 1 . #.

6 1. INTRODUZIONE

$A e semicontinua inferiormente se e solo se A e aperto.

{x : $A < #} =

()

*

! se # . 0!A se 0 < # . 1X se 1 < #.

$A e semicontinua superiormente se e solo se A e chiuso.

Proposizione 1.2.6. a) Una funzione reale e continua se e solo see semicontinua sia inferiormente che superiormente.b) L’estremo superiore di una famiglia di funzioni semicontinue inferior-mente e semicontinua inferiormente. L’estremo inferiore di una famigliadi funzioni semicontinue superiormente e semicontinua superiormente.

Dimostrazione. a) Supponiamo f continua. Allora per ogni # " R

f"1(] #,+' [) e f"1(]+',# [)

sono sottoinsiemi aperti di X. Quindi f e semicontinua inferiormente esuperiormente.

Viceversa sia f semicontinua inferiormente e superiormente; allora* #,% " R; # < %, abbiamo:

f"1(] #,% [) = f"1(] #,+' [ # ]+',% [) =

= f"1(] #,+' [) # f"1(]+',% [).

Per ipotesi i due insiemi dell’ultima intersezione sono aperti e quindif"1(] #,% [) e aperto. Poiche ogni aperto A di R e unione di intervalliaperti, abbiamo f"1(A) aperto, per ogni aperto A $ R.

b) Sia {fi}i!I una famiglia di funzioni semicontinue inferiormente. Poni-amo f(x) = sup

ifi(x). Allora e semplice provare che per ogni

# " R:

{x : f(x) > #} =+

i

{x : fi(x) > #}.

Dunque f e semicontinua inferiormente.Analogamente, sia {fi}i!I una famiglia di funzioni semicontinue su-

periormente. Posto g(x) = infi

fi(x), si ha per ogni # " R:

{x : g(x) < #} =+

i

{x : fi(x) < #}.

Dunque g e semicontinua superiormente. "

Applicazioni lineari fra spazi normati

Siano X e Y due spazi vettoriali sul corpo K, dove K = R o K = C,muniti delle norme ( · (X e ( · (Y , rispettivamente.

Un’applicazione " : X ) Y si dice lineare se

"(#x + % y) = #"(x) + % "(y), per ogni x, y " X, #,% " K.

Per le applicazioni lineare vale il seguente risultato:

Proposizione 1.2.7. Sia " : X ) Y un’applicazione lineare.Allora " e continua se e solo se " e continua in 0.

Dimostrazione. Se " e continua, allora e continua in ogni x " Xe quindi anche in 0.

Viceversa supponiamo " continua in 0:

(2.1) * & > 0 0 ' t.c. (x(X . ' - ("(x)(Y . &.

Sia x0 %= 0. Allora:

(x+ x0(X < 'per (2.1)=- ("(x+ x0)(Y < & 1 ("(x)+ "(x0)(Y < &.

L’implicazione:

(x+ x0(X < ' - ("(x)+ "(x0)(Y < &

prova la continuita di " in x0 . "

Definizione 1.2.8. Sia " : X ) Y lineare. " si dice limitata seesiste C tale che:

(2.2) ("(x)(Y . C (x(X , * x " X.

Proposizione 1.2.9. Sia " : X ) Y un’applicazione lineare. " econtinua se e solo se " e limitata.

Dimostrazione. Supponiamo che " sia continua. Esprimiamo lacontinuita in zero nella forma (2.1) prendendo & = 1:

0 '1 > 0 t.c. (x(X . '1 - ("(x)(Y . 1.

Sia x %= 0; allora,,, "1#x# x

,,,X

= '1 e quindi abbiamo:

,,,"-'1

x

(x(

.,,,Y

. 1,

cioe: ,,,'1

(x("(x)

,,,Y

. 1;

8 1. INTRODUZIONE

'1

(x(·,,"(x)

,,Y. 1;

,,"(x),,

Y. (x(

'1

.

Dunque " verifica (2.2) con C = 1"1

, ossia " e limitata.

Viceversa, supponiamo " limitata, allora esiste C tale che:

(2.3),,"(x)

,,Y. C (x(X , * x " X.

Per ogni & > 0 poniamo '! = #C . Allora

(x(X < '! =-,,"(x)

,,Y. C · &

C= &.

Questa implicazione esprime la continuita nello 0 e quindi, per la Propo-sizione 1.2.7, " e continua. "

Osservazione 1.2.10. Se X e uno spazio vettoriale su R, se Y = Re " e un’applicazione lineare da X in Y , allora " si dice “ funzionalelineare su X”.

L’insieme dei funzionali lineari continui su X si dice “duale di X”ed e denotato X $.

Definizione 1.2.11. Se " e un’applicazione lineare limitata da Xin Y (cioe verifica (2.2)), si chiama “norma di "” (e si denota ("() ilnumero:

(2.4) ("( = inf {C per cui vale (2.2)}.

Per x = 0, la (2.2) e verificata comunque si scelga C; quindi (2.2) eequivalente a:

0 C t.c.("(x)(Y

(x(X

. C, * x " X \ {0}.

Cioe " e limitata se e solo se l’insieme:

(2.5)/("(x)(Y

(x(X

; x " X \ {0}0

ammette maggiorante; la norma di " definita in (2.4) e il piu piccolo deimaggioranti di questo insieme, vale a dire

(2.6) ("( = supx!X\{0}

("(x)(Y

(x(X

.


Esempio 1.2.12. Ogni applicazione lineare " : Rn ) Rn elimitata. E ben noto infatti che un’applicazione lineare e della forma:

"(x) = a · x

(prodotto scalare di un vettore fissato a " Rn per il vettore x) e, per ladisuguaglianza di Cauchy:

|"(x)| . (a( · (x(, * x.

Quindi e verificata (2.3) con C = (a( e si ha:

(2.7) ("( . (a(.

Se a = 0 (dove 0 e il vettore nullo di Rn), allora:

"(x) = 0 · x = 0, * x.

Dunque " e l’applicazione nulla e

("( = supx %=0

("(x)((x( = 0.

Definizione 1.2.13. Il supporto di una funzione a valori complessidefinita su uno spazio topologico X e la chiusura dell’insieme:

{x : f(x) %= 0}

e viene denotato suppf .La famiglia di tutte le funzioni continue a valori complessi su X il

cui supporto e compatto e denotato Cc(X).

Osserviamo che Cc(X) e uno spazio vettoriale. Cio e dovuto a due fatti:

a) il supporto di f + g e contenuto nell’unione del supporto di f edel supporto di g e l’unione di due insiemi compatti e compatto.

b) La somma di due funzioni complesse continue e continua comepure il prodotto di un numero complesso per una funzionecontinua.

Teorema 1.2.14. Siano X e Y spazi topologici ed f : X ) Ysia continua. Se K e un sottoinsieme compatto di X, allora f(K) ecompatto.

Corollario 1.2.15. Il rango di ogni f " Cc(X) e un sottoinsiemecompatto del piano complesso.

10 1. INTRODUZIONE

3. Lemma di Urysohn e partizione dell’unita

Notazioni 1.3.1. Useremo le seguenti convenzioni.La notazione

(3.1) K 2 f

significhera che:

a) K e un sottoinsieme compatto di X;b) f " Cc(X);c) 0 . f(x) . 1, *x " X;d) f(x) = 1, *x " K.

La notazione

(3.2) f 2 V

significhera che:

a’) V e aperto;b’) f " Cc(X);c’) 0 . f(x) . 1, *x " X;d’) suppf $ V .

La notazione

K 2 f 2 V

sara usata per indicare che valgono sia (3.1) che (3.2).

Lemma 1.3.2 (Urysohn). Sia X uno spazio di Hausdor! local-mente compatto, V un sottoinsieme aperto di X, K $ V , K compatto.Allora esiste f " Cc(X) tale che:

(3.3) K 2 f 2 V.

In termini di funzioni caratteristiche, la tesi asserisce l’esistenza di unafunzione continua f che soddisfa le disuguaglianze:

(3.4) $K . f . $

V .

Nota che e facile trovare funzioni semicontinue f che verificano (3.4);tali sono ad esempio $

K e $V .

Dimostrazione. Poniamo r1 = 0, r2 = 1 e sia r3 , r4 , . . . un’enume-razione dei razionali appartenenti a ]0, 1[. Per il Teorema 1.1.10 possiamotrovare un insieme aperto V0 tale che:

(3.5) K $ V0 $ V 0 $ V, V 0 compatto

3. LEMMA DI URYSOHN E PARTIZIONE DELL’UNITa 11

e poi un aperto V1 tale che:

(3.6) K $ V1 $ V 1 $ V0.

Osserviamo che 0 = r1 < r2 = 1 e V r2$ Vr1

.Supponiamo n 3 2 e che siano stati scelti Vr1

, . . . , Vrnin modo tale

che:

(3.7) h, k " {1, . . . , n}, rh < rk - V rk$ Vrh

, V rkcompatto.

Confrontiamo rn+1 con r1 , . . . , rn . E r1 < rn+1 < r2 . Alcuni elementiappartenenti a {r1 , . . . , rn} saranno minori di rn+1 ; sia ri il piu grandedi questi. Gli altri saranno maggiori di rn+1 ; denotiamo con rj il piu

piccolo di questi ultimi. E ri < rj e quindi per (3.7)

V rj$ Vri

.

Applicando ancora il teorema 1.1.10, possiamo trovare un aperto Vrn+1

tale cheV rj

$ Vrn+1$ V rn+1

$ Vri, V rn+1

compato.

E immediato ora verificare che:

h, k " {1, . . . , n + 1}, rh < rk - V rk$ Vrh

.

Si e cosı provato induttivamente l’esistenza di una successione di aperti{Vrn

}n!Nper la quale valgono (3.7), (3.5) e (3.6).

Con notazioni piu snelle, abbiamo fin’ora provato che esiste unasuccessione {Vr} di insiemi aperti, uno per ogni razionale r " [0, 1],con le seguenti proprieta :

(3.8) K $ V1, V 0 $ V, ogni V r e compatto

e

(3.8$) r < s - V s $ Vr.

Definiamo due successioni di funzioni su X ponendo:

fr(x) =

'r se x " Vr

0 se x /" Vr, gs(x) =

'1 se x " V s

s se x /" V s.

Poiche fr = r$Vre gs = (1+ s)$

V s+ s, fr e semicontinua inferiormente

e gs e semicontinua superiormente (cfr. Es. 1.2.5).Posto:

f = supr

fr, g = infs

gs,

la Proposizione 1.2.6 (b) mostra che f e semicontinua inferiormente e ge semicontinua superiormente.

12 1. INTRODUZIONE

E chiaro che:0 . f . 1.

Proviamo che f(x) = 1 per ogni x " K.Sia x " K; allora, per (3.8), x " V1. Per ogni r " [0, 1] # Q, r < 1,

si ha per (3.8$) V 1 $ Vr e quindi:

x " K - x " Vr *r " [0, 1] #Q -- fr(x) = r *r " [0, 1] #Q -- f(x) = sup

rfr(x) = sup r = 1.

Inoltre supp f $ V 0. Infatti sia x /" V 0, allora *r " [0, 1] # Q tale che0 < r si ha per (3.8’) V r $ V0.

Quindix /" V 0 - x /" V r *r -

- fr(x) = 0 *r - f(x) = 0.

Proveremo ora che f = g. Con cio f risultera contemporaneamentecontinua superiormente e continua inferiormente, quindi continua. Ladimostrazione del teorema sara allora completa.

La disuguaglianza fr(x) > gs(x) e possibile solo se x " Vr, x /" V s,r > s. Ma r > s - V r $ Vs, che e una contraddizione.

Quindi fr(x) . gs(x) per ogni r, ogni s, ogni x. Pertanto

f . g.

Supponiamo f(x) < g(x) per un qualche x. Allora esistono numerirazionali r e s tali che:

f(x) < r < s < g(x).

Abbiamo che

f(x) < r 1 sup$

f$(x) < r - fr(x) < r - fr(x) = 0,

dunque

(3.9) x /" Vr.

Analogamente, abbiamo che

g(x) > s 1 inf$

g$(x) > s - gs(x) > s - gs(x) = 1,

dunque

(3.10) x " V s.

Ma r < s - V s $ Vr e cio contrasta con (3.9) e (3.10).Quindi f = g. "

3. LEMMA DI URYSOHN E PARTIZIONE DELL’UNITa 13

Teorema 1.3.3 (partizione dell’unita). Sia X uno spazio di Haus-dor! localmente compatto, V1, . . . , Vn sottoinsiemi aperti di X e K unsottoinsieme compatto tale che

K $ V1 & . . . & Vn.

Allora esistono funzioni hi 2 Vi, i = 1, . . . , n, tali che

(3.11) h1(x) + . . . + hn(x) = 1 *x " K.

Per (3.11), la famiglia {h1, . . . , hn} e detta una “partizione dell’unita suK subordinata al ricoprimento {V1, . . . , Vn}”.

Dimostrazione. Ogni x " K appartiene ad almeno un Vi (l’indicei dipende da x). Alla coppia

${x}; Vi

%applichiamo il Teorema 1.1.10:

esiste un aperto Wx, con chiusura Wx compatta tale che

(3.12) x " Wx $ Wx $ Vi.

{Wx}x!K e un ricoprimento aperto del compatto K, quindi esistonopunti x1, . . . , xs " K tali che

(3.13) K $ Wx1 & . . . &Wxs .

Per (3.12), ognuno dei Wxj , j = 1, . . . , s, e contenuto in uno degli aperti

V1, . . . , Vn. Indichiamo con H1 l’unione dei Wxj contenuti in V1; analoga-

mente indichiamo con H2 l’unione dei Wxj contenuti in V2. In generale,poniamo

(3.14) Hi =+

Wxj&Vi

Wxj i = 1, . . . , n.

Quindi:

(3.14$) H1 & . . . &Hn = Wx1 & . . . &Wxs .

Poiche gli insiemi Wxj sono compatti, Hi, unione finita di compatti,e compatto; inoltre Hi $ Vi, i = 1, . . . , n. Dunque per il Lemma diUrysohn esistono funzioni gi tali che:

(3.15) Hi 2 gi 2 Vi i = 1, . . . , n.

Poniamo:h1 = g1

h2 = (1+ g1)g2

...

hn = (1+ g1)(1+ g2) . . . (1+ gn"1)gn.

14 1. INTRODUZIONE

Allora hi " Cc, 0 . hi . 1, supp hi $ Vi. Quindi:

hi 2 Vi i = 1, . . . , n.

Si verifica poi facilmente per induzione che:

(3.16) h1(x) + . . . + hn(x) = 1+ (1+ g1(x)) · · · (1+ gn(x)), *x.

Sia x " K, allora per (3.13), (3.14) e (3.14$), x appartiene ad almenouno degli Hi e quindi, per (3.15), gi(x) = 1 per almeno un i. Per (3.16)e allora

h1(x) + . . . + hn(x) = 1.

"

4. Approssimazione di funzioni misurabili

Nel seguito X denota lo spazio euclideo Rn ed il termine “misurabile”sara da intendere nel senso della misura di Lebesgue su Rn.

Definizione 1.4.1 (Funzioni semplici). Dicesi funzione sempliceuna funzione

s : X ) [0,'[, X s.v.t. misurabile

il cui rango2 consiste in un numero finito di punti appartenenti a [0,'[.

Alcuni autori chiamano “funzione semplice” una qualunque funzionecon rango finito. La definizione data sopra e piu conveniente per i nostriscopi. Nota che abbiamo escluso esplicitamente il valore ' dai valori diuna funzione semplice.

Sia s una funzione semplice. Se #1, . . . ,#m sono i distinti valori di se se Ai = {x : s(x) = #i}, allora chiaramente:

s =m1

i=1

#i$

Ai,

dove $Ai=

'1 se x " Ai

0 se x /" Aie la funzione caratteristica di Ai.

E immediato verificare che se s e una funzione semplice allora:

i) s e misurabile se e solo se gli insiemi Ai sono misurabili;ii) s e sommabile se e solo se m(Ai) < ' per ogni i.

Teorema 1.4.2. Sia f : X ) [0,'] misurabile. Allora esiste unasuccessione di funzioni semplici misurabili {s%} tali che:

2Dicesi “rango” di una funzione f : X ! Y , l’insieme f(X) " Y

4. APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI MISURABILI 15

a) 0 . s1 . s2 . . . . . s% . . . . . fb) lim

%'(s% = f(x) *x " X.

Dimostrazione. Per ogni ( " N, consideriamo sull’asse delle ordi-nate gli intervalli

[0, ([, [(, +']

e dividiamo il primo [0, ([ in (2% intervalli ciascuno di ampiezza 2"% , adue a due disgiunti, aperti a destra e chiusi a sinistra; cioe consideriamogli intervalli 2 i+ 1

2%,

i

2%

2, i = 1, 2, . . . , (2% .

Quindi la semiretta [0, +'] e suddivisa

- per ( = 1 nei 2 + 1 intervalli20,

1

2

2,21

2, 12,21, +'

3;

- per ( = 2 negli 8 + 1 intervalli20,

1

4

2,21

4,1

2

2,21

2,3

4

2,23

4, 12,21,

5

4

2, . . . ,

27

4, 22,22, +'

3;

- in generale nei (2% + 1 intervalli:2 i+ 1

2%,

i

2%

2, i = 1, 2, . . . , (2% ,

2(, +'

3.

Poniamo:

E%,i = f"1-2 i+ 1

2%,

i

2%

2.; F% = f"1

-2(, +'

3.

e definiamo:

s% =%2"1

i=1

i+ 1

2%$E",i

+ ($F".

Poiche f e misurabile gli insiemi E%,i, F% sono misurabili. Quindi s% euna funzione semplice misurabile. Osserviamo che, dato x:

1) f(x) appartiene ad uno ed un solo degli intervalli2 i+ 1

2%,

i

2%

2,

i = 1, . . . , (2% ,2(, +'

3.

2) se f(x) 3 ( allora x " F% ed s%(x) = (;3) se f(x) < (, esiste un solo i " {1, . . . , (2%} tale che:

3’)i+ 1

2%. f(x) <

i

2%, ossia tale che x " E%,i.

In questo caso abbiamo che s%(x) =i+ 1

2%.

Proviamo che s% . f * (, ossia che s%(x) . f(x) * (, * x.

16 1. INTRODUZIONE

Se f(x) 3 ( da 2) segue s%(x) . f(x).

Se f(x) < ( da 3$) segue s%(x) =i+ 1

2%. f(x).

Proviamo che s% . s%+1 * (, ossia che

(4.1) s%(x) . s%+1(x) * (, * x.

Supponiamo f(x) < (. Allora, per 3), s%(x) =i+ 1

2%, con i tale che

i+ 1

2%. f(x) <

i

2%. Da quest’ultima doppia disuguaglianza segue: o

i+ 1

2%. f(x) <

2i+ 1

2%+1,

e in tal caso s%+1(x) =i+ 1

2%; oppure

(4.2)2i+ 1

2%+1. f(x) 0.

Sicche (4.1) e verificata.

Supponiamo ( . f(x) < ( + 1. Allora s%(x) = ( ed s%+1(x) =i+ 1

2%+1

con i tale chei+ 1

2%+1. f(x) <

i

2%+1. Ma per l’ipotesi ( . f(x) < ( + 1,

dovra essere ( . i+ 1

2%+1, ossia s%(x) . s%+1(x), come richiesto da (4.1).

Supponiamo infine f(x) 3 ( + 1. Allora s%(x) = (; s%+1(x) = ( + 1,sicche (4.1) e anche in tal caso verificata.Resta da provare b). Fissato x:

- se f(x) = +', allora * (, s%(x) = ( e quindi

lim%'(

s%(x) = lim%'(

( = +' = f(x).

- se f(x) < ', sia ( tale che f(x) < (.3 Allora per ogni ( 3 (,

s%(x) =i+ 1

2%con i tale che

i+ 1

2%. f(x) (:

f(x)+ s%(x) = f(x)+ i+ 1

2%<

i

2%+ i+ 1

2%=

1

2%.

3 ! = !(x)

Sicche :lim%'(

-f(x)+ s%(x)

.= 0,

e cio prova b). "

Osservazione 1.4.3. Dalla dimostrazione del Teorema 1.4.2 segueche la convergenza di s%(x) ad f(x) e in generale solo puntuale. Taleconvergenza e uniforme se esiste ( tale che 0 . f(x) . ( *x, ossia se fe limitata.

Osservazione 1.4.4. Se f(x) < ( (condizione verificata per ogni( se f(x) < 1 *x), allora:

s%+1(x)+ s%(x) =1

2%+1$T"+1

(x),

dove T%+1 =/

x :2i+ 1

2%+1. f(x) 0. Allora esisteg " Cc(X) tale che:

i) m{x : f(x) %= g(x)} < &;ii) sup

x|g(x)| . sup

x|f(x)|.

Dimostrazione. Dimostriamo l’esistenza di g " Cc(X) soddisfacentei) in quattro passi.Passo 1. Sia 0 . f < 1, A compatto.

Per il Teorema 1.4.2 esiste una successione s% di funzioni semplicimisurabili soddisfacenti a) e b). Poniamo:

t1 = s1, t2 = s2 + s1, . . . , t% = s% + s%"1, . . . .

Per l’Osservazione 1.4.4:

(4.3) t% = 2"%$T",

dove T% e un insieme misurabile contenuto in A.Poiche:

N1

%=1

t% = sN ,

da b) del Teorema 1.4.2 segue:

(4.3$) f(x) =(1

%=1

t%(x).

18 1. INTRODUZIONE

Fissiamo un insieme aperto V tale che A $ V , V compatto. Poiche T% emisurabile, in corrispondenza a 2"%& esistono due insiemi K% compatto,V% aperto tali che:

(4.4) K% $ T% $ V% , V% $ V

e

(4.5) m(V% \ K%) < 2"%&.

Per il Lemma di Urysohn da (4.4) segue l’esistenza di funzioni h% taliche:

(4.6) K% 2 h% 2 V% .

La serie1

%)1

2"%h% e totalmente convergente; quindi ha per somma una

funzione g continua:

(4.7) g(x) =(1

%=1

2"%h%(x).

Poiche h% ha supporto in V% $ V , x /" V , allora g(x) = 0, onde:

{x : g(x) %= 0} $ V.

Quindi:

supp g = {x : g(x) %= 0} $ V e compatto.

Dunque:

g " Cc.

Inoltre da (4.6), (4.3) e (4.4) segue:

x " K% -'

2"%h%(x) = 2"%

t%(x) = 2"%

x /" V% -'

2"%h%(x) = 0t%(x) = 0

Allora, tenendo conto di (4.3$) e (4.7),

f(x) = g(x) *x "4

%

$K% & !V%

%;

vale a dire:

{x : f(x) %= g(x)} $ !4

%

$K% & !V%

%=+

%

$!K% # V%

%=+

%

$V% \ K%

%

e per (4.5):

m{x : f(x) %= g(x)} .1

%)1

m$V% \ K%

%< &

1

%)1

2"% = &.

Resta cosı provato i) nel caso particolare: A compatto, 0 . f < 1.

Passo 2. Sia f a valori complessi, |f | < M , A compatto. Scriviamo fnella forma:

f = f1 + f2 + ı(f3 + f4),

dove f1, f2 sono la parte positiva e la parte negativa di 4f , mentre f3, f4

sono la parte positiva e la parte negativa di 5f . Allora:

f

M=

f1

M+ f2

M+ ı

- f3

M+ f4

M

.

e

0 . fi

M< 1 i = 1, . . . , 4.

Per quanto provato al passo 1, esistono 4 funzioni gi " Cc, tali che

m{x :fi(x)

M%= gi(x)} < &. Posto

g(x) = M [g1(x)+ g2(x) + ı(g3(x)+ g4(x))]

si ha:

{x : f(x) %= g(x)} $4+

i=1

{x : fi(x) %= Mgi(x)}

sicche m{x : f(x) %= g(x)} < 4&. Per l’arbitrarieta di &, g verifica i).

Passo 3. Sia f a valori complessi, |f | < M , m(A) < '.Poiche A e di misura finita, in corrispondenza ad & esiste un compattoK tale che

(4.8) m(A \ K) < &.

Poniamo f1 = f$K , sicche f1(x) = f(x) se x " K, f1(x) = 0 se x /" K.La funzione f1 verifica le ipotesi del passo 2; quindi esiste g1 " Cc taleche

(4.9) m{x : f1(x) %= g1(x)} < &.

Ora:

{x : f(x) %= g1(x)} = {x " K : f(x) %= g1(x)}& {x " A \ K : f(x) %= g1(x)}& {x " (!A) \ K : f(x) %= g1(x)}.

(4.10)

20 1. INTRODUZIONE

Ma:x " K - f(x) = f1(x)

x " (!A) \ K - f(x) = 0; f1(x) = 0.

Cio significa che il primo ed il terzo insieme a destra in (4.10) sonoentrambi contenuti in {x : f1(x) %= g1(x)}, mentre il secondo e unsottoinsieme di A \ K.

Quindi:

{x : f(x) %= g1(x)} $ {x : f1(x) %= g1(x)} & (A \ K).

Poiche entrambi gli insiemi a secondo membro hanno misura minore di& (cfr. (4.8), (4.9)), si conclude:

m{x : f(x) %= g1(x)} < 2&.

Cio prova, per l’arbitrarieta di &, che la funzione g1 verifica i).

Passo 4. Sia f a valori complessi, m(A) < '. Per ogni ( poniamo:

B% = {x : |f(x)| 3 (},

dove i B% sono misurabili, B% / B%+1 e4

%)1

B% = ! (si rammenti che f

ha valori in C). Pertanto lim%'(

m(B%) = 0. In corrispondenza ad & esiste

quindi ( tale che

(4.11) m(B%) < &.

Poniamo:

f1(x) = f(x)$!B"

(x) =

'f(x) se x /" B%

0 se x " B%

Pertanto |f1(x)| < ( e quindi, per il passo 3, esiste una funzione g1 " Cc

tale che

m{x : g1(x) %= f1(x)} < &.

Ma

{x : f(x) %= g1(x)} =

= {x /" B% : f(x) %= g1(x)} & {x " B% : f(x) %= g1(x)}.Se x /" B% e f1(x) = f(x), quindi il primo insieme a secondo membro econtenuto in {x : f1(x) %= g1(x)} e dunque ha misura minore di &, men-tre il secondo e un sottoinsieme di B% e quindi per (4.11) ha anch’essomisura minore di &. i) e cosı provato nelle ipotesi del teorema.

Proviamo ii).


Se supx

|f(x)| = +', allora ii) e vuota. Supponiamo

supx

|f(x)| = R.

In questo caso, denotiamo con ) l’applicazione da C in C definita da:

)(z) =

'z se |z| . R

R z|z| se |z| > R

L’applicazione ) e continua ed applica C sul cerchio {z : |z| . R}.Sia g " Cc verificante i). Poniamo:

g1(x) = )(g(x)) =

5g(x) se |g(x)| . R

R g(x)|g(x)| se |g(x)| > R

abbiamo che g1 e continua, supp g1 $ supp g e

supx

|g1(x)| . R = supx

|f(x)|.

Quindi g1 verifica ii). Proviamo che g1 verifica i) al pari di g:

{x : g1(x) %= f(x)} $$ {x : |g(x)| . R e g1(x) %= f(x)} & {x : |g(x)| > R e g1(x) %= f(x)} $

$ {x : g(x) %= f(x)}."

CAPITOLO 2

Spazi Lp

(A)

1. Definizioni e proprieta fondamentali

Definizione 2.1.1. Sia A un insieme misurabile di Rn e p " R+.Indichiamo con Lp

(A) la classe di tutte le funzioni misurabili f definitesu A, a valori complessi, per cui:

6

A|f |p < '.

Lp(A) e uno spazio vettoriale (con le solite operazioni). Infatti si ha:

i) f " Lp(A), * " C - *f " Lp

(A).ii) f, g " Lp

(A) - f + g " Lp(A).

Osserviamo che i) e ovvia; ii) segue dalla maggiorazione:

|f(x) + g(x)|p .$|f(x)| + |g(x)|

%p

.

.72 max

8|f(x)|, |g(x)|

9:p

. 2p$|f(x)|p + |g(x)|p

%.

Se f " Lp(A), poniamo:

(f(p,A =-6

A|f |p

. 1p

(scriveremo talvolta (f(p in luogo di (f(p,A, se cio non puo dar luogo aconfusione).

Ci proponiamo di verificare che se 1 . p < ', allora

Lp(A) ) Rf 6) (f(p,A

definisce una seminorma su A.Innanzitutto (per ogni p > 0):

(1.1) (*f(p,A =-6

A|*f |p

. 1p

= |*| · (f(p,A, ** " C, f " Lp(A).

Per provare la disuguaglianza triangolare utilizzeremo la disuguaglianzadi Holder.

23

24 2. SPAZI Lp

(A)

Definizione 2.1.2. Se 1 < p < +' chiamiamo esponente coniu-gato di p il numero p$ legato a p da:

1

p+

1

p$= 1,

ossia

p$ =p

p+ 1.

Lemma 2.1.3. Siano a, b " R+, 1 < p < +', 1 < p$ < +',1

p+

1

p$= 1. Vale la disuguaglianza:

(1.2) a1pb

1p" . a

p+

b

p$.

Dimostrazione. Poiche la funzione ]0, +'[7 x ) lg x e concava,si ha, se a, b " R+, t " [0, 1]:

lg$ta + (1+ t)b

%3 t lg a + (1+ t) lg b

e quindi:

ta + (1+ t)b 3 atb1"t.

Ponendo t =1

psi ha 1+ t = 1+ 1

p=

1

p$e cio prova il Lemma. "

Nota: 1 < p < +' 1 1 < p$ < +'.

Teorema 2.1.4 (Disuguaglianza di Holder). Se 1 < p < +',

f " Lp(A), g " Lp"

(A), allora fg " L1(A) e

(1.3)

6

A|fg| .

-6

A|f |p

. 1p ·

-6

A|g|p"

. 1p"

ossia:

(fg(1,A . (f(p,A · (g(p",A.

Dimostrazione. Se (f(p,A = 0, allora f(x) = 0 q.o. in A e non c’enulla da provare. Analogamente se (g(p",A = 0.

Sia ora (f(p · (g(p" > 0. Per il Lemma 2.1.3 con

a =|f(x)|p$(f(p,A

%p ; b =|g(x)|p"

$(g(p",A

%p"

1. DEFINIZIONI E PROPRIETa FONDAMENTALI 25

si ha:

(1.4)|f(x)|(f(p,A

· |g(x)|(g(p",A

. 1

p· |f(x)|p$(f(p,A

%p +1

p$· |g(x)|p"$(g(p",A

%p".

Integrando entrambi i membri su A si ottiene:(1.5);

A |f(x)g(x)|dx

(f(p,A · (g(p",A. 1

p·;A |f(x)|pdx$(f(p,A

%p +1

p$·;A |g(x)|p"dx$(g(p",A

%p"=

1

p+

1

p$= 1.

"

Osservazione 2.1.5. E talvolta utile sapere sotto quali condizioniin una disuguaglianza vale il segno di uguale. In molti casi si puo otteneretali informazioni esaminando la dimostrazione della disuguaglianza.

Per esempio, quando si puo a!ermare che in (1.3) vale il segno diuguale? Percorrendo a ritroso la dimostrazione vediamo che il segno diuguale vale in (1.5) se e solo se in (1.4) vale il segno di uguale per quasiogni x " A.

In (1.2) vale l’uguaglianza se e solo se a = b. Quindi vale l’uguaglian-za in (1.5) se e solo se

(1.6)|f(x)|p$(f(p,A

%p =|g(x)|p"

$(g(p",A

%p"q.o. x " A.

Poiche primo e secondo membro in (1.6) restano invariati se ad f e ag si sostituisce rispettivamente *f e µg (quali che siano *, µ " C), siconclude che condizione necessaria e su"ciente a"nche valga il segno diuguale in (1.3) e che esistano costanti #,% non entrambe nulle, tali che:

#|f(x)|p = %|g(x)|p" q.o. x " A.

Corollario 2.1.6. Se f e g sono funzioni misurabili definite in Atali che

;A |fg| < ' e se p, p$ "]1, +'[ sono numeri coniugati, allora:

(1.7)

6

A|fg| .

-6

A|f |p

. 1p ·

-6

A|g|p"

. 1p"

.

Basta infatti osservare che se uno degli integrali a secondo membro e+', (1.7) e banalmente verificata. Se entrambi gli integrali sono finitisi ricade nelle ipotesi del Lemma 2.1.3.

26 2. SPAZI Lp

(A)

Teorema 2.1.7 (Disuguaglianza di Minkowski). Se f, g " Lp(A),

1 . p < +', allora:

(1.8) (f + g(p,A . (f(p,A + (g(p,A.

Dimostrazione. Se p = 1, (1.8) e la banale disuguaglianza:6

A|f + g| .

6

A|f | +

6

A|g|.

Sia ora p > 1. Abbiamo:

|f + g|p = |f + g| · |f + g|p"1 . |f | · |f + g|p"1 + |g| · |f + g|p"1.

Per la disuguaglianza di Holder, posto p$ =p

p+ 1:

(1.9)

6

A|f + g|p .

6

A|f | · |f + g|p"1 +

6

A|g| · |f + g|p"1 .

.-6

A|f |p

. 1p ·-6

A|f +g|(p"1)p"

. 1p"

+-6

A|g|p

. 1p ·-6

A|f +g|(p"1)p"

. 1p"

.

L’ipotesi f, g " Lp(A) assicura che f + g " Lp

(A):6

A|f + g|(p"1)p" =

6

A|f + g|p < +'.

Quindi moltiplicando il primo e l’ultimo membro di (1.9) per-6

A|f + g|p

." 1p"

otteniamo:

-6

A|f + g|p

.1" 1p" .

-6

A|f |p

. 1p

+-6

A|g|p

. 1p.

"

Abbiamo che (1.1) e (1.8) provano che f ) (f(p,A e una seminormasu Lp

(A), 1 . p < +'. Tale applicazione non e una norma poiche(f(p,A = 0 implica solo f = 0 q.o. in A, mentre lo 0 dello spaziovettoriale Lp

(A) e la funzione nulla in ogni punto di A.

Definizione 2.1.8. In Lp(A), 1 . p < +', introduciamo una

relazione di equivalenza ponendo:

f 8 g 1 f(x) = g(x) q.o. in A

e indichiamo con Lp(A) l’insieme delle classi di equivalenza per la re-

lazione considerata:L

p(A) = Lp

(A)/ 8 .

Pertanto gli elementi di Lp(A) sono classi di equivalenza di funzioni

misurabili soddisfacenti;A |f |p < '. Poiche cio non crea inconvenienti,

indicheremo con lo stesso simbolo f sia una funzione di Lp(A), sia la

classe di equivalenza di Lp(A) rappresentata da f .

Lp(A) e uno spazio vettoriale. Lo zero di L

p(A) e la classe delle

funzioni che assumono valori non nulli al piu in un insieme di misuranulla.

Inoltre-L

p(A), ( · (p,A

.e uno spazio normato.

Se 0 < p < 1, l’applicazione f ) (f(p,A non definisce una norma suLp

(A). Cio e legato alla seguente disuguaglianza di Holder “rovesciata”.

Teorema 2.1.9. Sia 0 < p < 1 (sicche p$ =p

p+ 1< 0). Se

f " Lp(A) e 0 <

;A |g|p" < +', allora:

6

A|fg| 3

-6

A|f |p

. 1p ·

-6

A|g|p"

. 1p"

.

Dimostrazione. Supponiamo fg " L1(A), altrimenti si ha6

A|fg| = +' e non vi e nulla da provare.

Poniamo:

# = |fg|p, $ = |g|"p; q =1

p> 1; q$ =

q

q + 1=

1

1+ p= +p$

p.

Si ha:

#q = |fg| " L1(A); $q" = |g|"pq" = |g|p" " L1

(A).

Quindi:

# " Lq(A), $ " Lq"

(A).

Per la disuguaglianza di Holder con esponenti coniugati q e q$:6

A|f |p =

6

A|fg|p · |g|"p =

6

A#$ .

-6

A#q

. 1q-6

A$q"

. 1q"

=

=-6

A|fg|

.p·-6

A|g|p"

.1"p.

Elevando ambo i membri alla potenza 1/p, si ha:

-6

A|f |p

. 1p .

6

A|fg| ·

-6

A|g|p"

. 1p"1

.

28 2. SPAZI Lp

(A)

E su%ciente ora dividere entrambi i termini della disuguaglianza per-6

A|g|p"

. 1p"1

, per ottenere:

-6

A|f |p

. 1p-6

A|g|p"

.1" 1p .

6

A|fg|.

"

Corollario 2.1.10. Sia 0 < p < 1. Se f, g " Lp(A), allora:

( |f | + |g| (p,A 3 (f(p,A + (g(p,A.

Dimostrazione. Si argomenta come nella dimostrazione della dis-uguaglianza di Minkowski, utilizzando il Teorema 2.1.9 anzicche la dis-

uguaglianza di Holder. Si ha cosı, posto p$ =p

p+ 1, o equivalentemente

(p+ 1)p$ = p :

(|f | + |g|)p = (|f | + |g|) · (|f | + |g|)p"1 =

= |f | · (|f | + |g|)p"1 + |g| · (|f | + |g|)p"1.

6

A(|f | + |g|)p =

6

A|f | · (|f | + |g|)p"1 +

6

A|g| · (|f | + |g|)p"1 3

3-6

A|f |p

. 1p ·

-6

A(|f | + |g|)(p"1)p"

. 1p"

+

+-6

A|g|p

. 1p ·

-6

A(|f | + |g|)(p"1)p"

. 1p"

=

=/-6

A|f |p

. 1p

+-6

A|g|p

. 1p0·-6

A(|f | + |g|)p

. 1p"

.

Quindi:

-6

A(|f | + |g|)p

.1" 1p" 3

-6

A|f |p

. 1p

+-6

A|g|p

. 1p.

"

Nota. Dal Corollario 2.1.10 segue che se 0 < p < 1, f ) (f(p,A non euna seminorma.

Definizione 2.1.11 (Lo spazio L#

(A)). Sia A un sottoinsiememisurabile di Rn e

g : A ) [0, +']

una funzione misurabile.Poniamo:

S =8# " R : m{x " A : g(x) > #} = 0

9=

=8# " R : g(x) . # q.o. x " A

9.

Gli eventuali elementi di S sono detti “maggioranti essenziali di g”.Se S e vuoto poniamo % = +'.Se S %= ! poniamo % = inf S.Supponiamo S %= !. Allora:

i) #1 " S, #2 > #1 - #2 " S;

ii) {x : g(x) > %} =+

n

/x : g(x) > % +

1

n

0;

iii) m/

x : g(x) > % +1

n

0= 0, * n.

Prova di i).

#2 > #1 - {x : g(x) > #2} $ {x : g(x) > #1},quindi

m{x : g(x) > #2} . m{x : g(x) > #1} = 0.

Prova di ii).

Se x "+

n

/y : g(y) > % +

1

n

0esiste n tale che g(x) > % +

1

n> %,

sicche x " {y : g(y) > %}. Quindi g(x)+ % > 0.

Se x " {y : g(y) > %}, e g(x)+% > 0. Poiche1

n+) 0, esiste n tale che

1

n< g(x)+ %, ossia g(x) > % +

1

n, sicche x "

+

n

/y : g(y) > % +

1

n

0.

Prova di iii).

Per ogni n : % +1

n> % = inf S. Quindi esiste # " S tale che

% < # < % +1

n. Per i), % +

1

n" S, ossia m

/x : g(x) > % +

1

n

0= 0.

Poiche l’unione misurabile di insiemi di misura nulla ha misura nulla,da ii) e iii) segue:

m{x : g(x) > %} = 0; quindi % " S.

Si e cosı provato che se S %= !, allora % = inf S e il minimo di S, ossia ilpiu piccolo dei maggioranti essenziali di g.Chiamiamo % “estremo superiore essenziale” di g e scriviamo:

% = ess. sup g .

30 2. SPAZI Lp

(A)

Sia f : A ) C una funzione misurabile. Poniamo:

(f(#,A = ess. sup |f |.

Indichiamo con L#(A) la classe delle funzioni per le quali

(f(#,A < +'. Abbiamo che L#(A) e uno spazio vettoriale.

Denotiamo poi con L#

(A) lo spazio quoziente L#(A)/ 8, dove 8

indica, come per Lp(A), 1 . p < ', la relazione di equivalenza:

f 8 g 1 f(x) = g(x) q.o. in A.

E agevole verificare che f ) (f(#,A e una norma su L#

(A). Dall’essere(f(#,A il minimo dei maggioranti superiori essenziali di |f | segue che sef " L

#(A), (f((,A e caratterizzata dalle proprieta :

a) m{x : |f(x)| > (f(#,A} = 0.b) * & > 0, m{x : |f(x)| > (f(#,A + &} > 0.

Nota: Se f : A ) C e limitata allora:

ess. sup |f | . sup |f |,sicche f " L

#(A) e (f(#,A . sup |f |. Dunque B(A) $ L

#(A), dove con

B(A) indichiamo l’insieme delle funzioni limitate su A.Non vale il viceversa:

f(x) =

'+' x " Q1 x " R \ Q

e un esempio di funzione per cui sup |f | = +', ma ess. sup |f | = 1.Quindi f " L

#(R), ma f /" B(R).

Proposizione 2.1.12. Se f " L1(A), g " L

#(A), allora fg "

L1(A) e

(1.10)

6

A|fg| . (f(1,A · (g(#,A .

Dimostrazione. Basta osservare che |g(x)| . (g(#,A q.o. x " A.Quindi: 6

A|fg| .

6

A|f | · (g(#,A = (f(1,A · (g(#,A .

"

Nota: La disuguaglianza (1.10) appare come un’estensione della disu-guaglianza di Holder ai casi limite p = 1, p$ = +' o p = +', p$ = 1,qualora si convenga che il coniugato di 1 sia +' ed il coniugato di +'sia 1.

Osservazione 2.1.13. Sia 1 . p < q . +'.E agevole trovare una funzione

(9) f " Lp(Rn), f /" L

q(Rn)

ed una funzione

(99) g " Lq(Rn), g /" L

p(Rn);

pertanto entrambe le inclusioni:

Lp(Rn) $ L

q(Rn); L

q(Rn) $ L

p(Rn)

sono false!Esempi di funzioni f e g con le proprieta indicate in (9) e (99) si possonoottenere nel modo seguente: si scelga # " R+ tale che

p <n

#< q

e si definisca

f(x) =

'|x|"! se 0 < |x| . 1

0 altrimenti; g(x) =

'|x|"! se |x| 3 1

0 altrimenti.

Il seguente Teorema prova che le cose cambiano drasticamente se siconsiderano funzioni definite su insiemi di misura finita.

Teorema 2.1.14. Sia m(A) < '.

i) Se 1 . p < q . +', allora Lq(A) $ L

p(A) e

(f(p,A . (f(q,Am(A)1p$ 1

q.

ii) Se f " L#

(A), allora limp'+(

(f(p,A = (f(#,A .

iii) Se f " Lp(A) per 1 . p < +' e se esiste una costante k

tale che per ogni p si!atto (f(p,A . k, allora f " L#

(A) e(f(#,A . k.

(Si conviene che sia1

q= 0 se q = +').

Dimostrazione. i) Consideriamo il caso q < +'. Sia f " Lq(A).

Abbiamo che |f |q =$|f |p

% qp " L

1(A). Quindi |f |p " L

r(A), con r = q

p >

1. Poiche m(A) < ', la funzione g(x) = 1, * x, appartiene ad Lr"

(A),

con r$ =r

r + 1. Per la disuguaglianza di Holder applicata alle funzioni

32 2. SPAZI Lp

(A)

|f |p e g con indici coniugati r ed r$, si ha:6

A|f |p =

6

A|f |p · g .

-6

A|f |pr

. 1r ·

-6

Agr"

. 1r"

=-6

A|f |q

. pqm(A)1"

pq .

Quindi

(f(p,A . (f(q,Am(A)1p$ 1

q.

Consideriamo ora il caso q = +'. Se f " L#

(A), allora

|f(x)| . (f(#,A q.o. x " A - |f(x)|p .$(f(#,A

%p

q.o. x " A

e dunque 6

A|f |p .

$(f(#,A

%p

·6

A1,

ossia

(1.11) (f(p,A . (f(#,Am(A)1p.

Resta cosı completamente provata i).

ii) Sia f " L#

(A). Da i), con q = +', abbiamo la (1.11). Quindi:

(1.12) max limp'+(

(f(p,A . (f(#,A .

D’altra parte, per ogni & > 0 l’insieme

A# = {x " A : |f(x)| > (f(#,A + &}

e tale che m(A#) > 0. Dunque:6

A|f |p 3

6

A!

|f |p 3$(f(#,A + &

%p

m(A#).

Ne segue che

(f(p,A 3$(f(#,A + &

%· m(A#)

1p

e

min limp'+(

(f(p,A 3 (f(#,A + &.

Per l’arbitrarieta di & abbiamo che:

(1.13) min limp'+(

(f(p,A 3 (f(#,A .

Da (1.12) e (1.13) segue ii).

iii) Supponiamo ora (f(p,A . k, per ogni p " [1, +'[. Neghiamo la

tesi: assumiamo (f(#,A > k. Sia k1 tale che k < k1 < (f(#,A . PostoA1 = {x " A : |f(x)| > k1}, risulta m(A1) > 0 e

6

A|f |p 3

6

A1

|f |p 3 kp

1m(A1).

Quindi:

(f(p,A 3 k1m(A1)1p

emin lim

p'+((f(p,A 3 k1 ,

contro max limp'+(

(f(p,A . k. "

Teorema 2.1.15. Lp(A) e completo, 1 . p . +'.

Dimostrazione. a) Caso 1 . p < +'.Sia {fn} di Cauchy in L

p(A), cioe :

(1.14) * & > 0 0 (# t.c. h, k 3 (# - (fh + fk(p,A < &.

E possibile estrarre dalla successione {fn} una sottosuccessione {fni}i!N

tale che:

(1.15) (fni+1 + fni(p,A < 2"i, i = 1, 2, . . . .

Infatti, per (1.14), ad & = 2"i corrisponde un numero naturale (i taleche

(1.16) h, k 3 (i - (fh + fk(p,A < 2"i, i = 1, 2, . . . .

Poston1 = (1 , ni = max((i , (i$1 + 1) se i 3 2,

si hani 3 (i , ni+1 3 ni + 1 > (i .

Quindi, per (1.16), (fni+1 + fni(p,A < 2"i ed, essendo ni+1 > ni , {fni} euna sottosuccessione di {fn}.

Dimostriamo che {fni} converge quasi ovunque in A ad una funzionef " L

p(A).

Sia E un sottoinsieme di A misurabile, con m(E) < +'. Per ladisuguaglianza di Holder, si ha:

6

E|fni+1(x)+ fni(x)|dx . (fni+1 + fni(p,E ·

-6

E1

p"dx. 1

p"

=

= m(E)1p" (fni+1 + fni(p,E < m(E)

1p"

2"i.

34 2. SPAZI Lp

(A)

Di qui:+(1

i=1

6

E|fni+1(x)+ fni(x)|dx . m(E)

1p"

+(1

i=1

2"i = c.

Per il teorema di integrazione per serie, il primo membro e uguale a6

E

- +(1

i=1

|fni+1(x)+ fni(x)|.dx; dunque

6

E

- +(1

i=1

|fni+1(x)+ fni(x)|.dx . c.

Abbiamo cosı provato che+(1

i=1

|fni+1(x)+ fni(x)| e una funzione somma-

bile su E; quindi+(1

i=1

|fni+1(x)+ fni(x)| < ' q.o. x " E

e, a fortiori:+(1

i=1

$fni+1(x)+ fni(x)

%< ' q.o. in E.

Pertanto, indicata con Sk(x) la ridotta k–esima di questa serie,lim

k'+(Sk(x) esiste q.o. in E. Poiche:

Sk(x) =k1

i=1

$fni+1(x)+ fni(x)

%= fnk+1(x)+ fn1(x),

si conclude chelim

k'+(fnk(x) esiste q.o. in E.

Cio vale per ogni insieme di misura finita contenuto in A e quindi, posto

Ak = A # S(0, k), vale per ogni Ak. Poiche A =+

k

Ak, la sottosucces-

sione {fnk} converge q.o. in A =+

k

Ak (si rammenti che ogni unione

numerabile di insiemi di misura nulla ha misura nulla).Posto:

f(x) = limi'+(

fni(x),

f e una funzione definita q.o. in A ed e misurabile.

Dimostriamo ora che fn +) f in Lp(A).

Ricordiamoci che vale (1.14). Tenendo conto della definizione di f edutilizzando il Lemma di Fatou, si ha, fissato m > (# (con (# come in(1.14)):

6

A|f(x)+ fm(x)|pdx =

6

A

<<< limk'+(

fnk(x)+ fm(x)<< (#

e quindif = (f + fm) + fm " L

p(A).

Inoltre (1.17) assicura che:

(f + fm(p,A < & * m > (#,

dunque, per l’arbitrarieta di &,

limm'+(

(f + fm(p,A = 0.

b) Caso p = +'.Sia {fn} una successione di Cauchy in L

#(A):

* & > 0 0 (# : h, k 3 (# - (fh + fk(#,A < &.

Poniamo:Ak = {x " A : |fk(x)| > (fk(#,A},

Bh,k = {x " A : |fh(x)+ fk(x)| > (fh + fk(#,A},

E =-+

k

Ak

.+-+

h,k

Bh,k

..

Si haµ(E) = 0

e

(1.18) * x " A \ E : |fh(x)+ fk(x)| < &, * h, k > (#.

Dunque per ogni x " A \ E, {fh(x)} e una successione di Cauchy in Ce quindi converge. Posto:

f(x)def: lim

k'+(fk(x) x " A \ E,

36 2. SPAZI Lp

(A)

per (1.18), si ha che {fn} converge uniformemente ad f in A\E e dunqueesiste un ( $# tale che:

(1.19) |f(x)+ fm(x)| < &, * m > ( $#, * x " A \ E.

Pertanto, fissato m > ( $#:

|f(x)| . |fm(x)| + |f(x)+ fm(x)| < (fm(#,A + &, * x " A \ E.

Quindi su A \ E abbiamo che f e limitata. Poiche m(E) = 0, cio equanto dire che

f " L#

(A).

Inoltre (1.19) assicura che:

(f + fm(#,A +) 0.

La dimostrazione e completa. "

Nel corso della dimostrazione e stato provato il seguente:

Teorema 2.1.16. Se {fn} e una successione di Cauchy in Lp(A),

1 . p < +', con limite f , esiste una sottosuccessione di {fn} checonverge q.o. in A ad f . Se {fn} e di Cauchy in L

#(A) con limite f ,

allora {fn} converge q.o. in A ad f .

Osservazione 2.1.17. Nella parte del Teorema 2.1.16 relativaagli spazi L

p(A), 1 . p < +', la frase “esiste una sottosuccessione di

{fn} che converge q.o. in A ad f”, non puo essere sostituita con “lasuccessione {fn} converge q.o. in A ad f”, come e provato dal seguentecontroesempio.

Sia A = [0, 1], En,k =2k + 1

n,k

n

3, k = 1, 2, . . . , n, n " Z+ ed {Fk} la

successione di intervalli ottenuta ponendo:

F1 = E1,1 , F2 = E2,1 , F3 = E2,2 , F4 = E3,1 , . . . .

Postofn = $

Fn,

si ha, per 1 . p < +'

(fn(p =-m(Fn)

. 1p +) 0 per n ) +',

ossia fn +) 0 in Lp(A), mentre

limn'+(

fn(x)

non esiste per nessun x " [0, 1].

Osservazione 2.1.18.

i) f, fn " Lp(A) * n, lim

n'+(fn(x) = f(x) * x %=- fn +) f in L

p(A),

ossia la convergenza puntuale non implica la convergenza in norma ( ·(p ,come e provato dal seguente esempio.

Sia A = R+ e

fn(x) =

'1 n+ 1 . x < n0 x 3 n

;

si ha:

limn'+(

fn(x) = 0 := f(x), * x " R;

fn ed f " Lp(R), 1 . p . +';

ma essendo:

(fn(p,R = 1, 1 . p . +',

risulta:

limn'+(

(fn + f(p,R = 1.

ii) f, fn " Lp(A) * n, fn +) f unif. in A %=- fn +) f in L

p(A).

Esempio: A = R+,

fn(x) =

'1n 0 . x < n

p

0 x 3 np , 1 . p < +'.

Posto f = 0, si ha

0 . fn(x)+ f(x) . 1

n* x " A

e dunque fn +) f uniformemente in A, ma

(fn + f(p,R+=-6 n

p

0

- 1

n

.p

dx. 1

p= 1 %+) 0.

Vale peraltro la seguente:

Proposizione 2.1.19. Sia {fn} $ Lp(A), 1 . p . +',

m(A) < '. Se fn +) f uniformemente in A, allora fn +) f inL

p(A).

38 2. SPAZI Lp

(A)

Dimostrazione. L’ipotesi della convergenza uniforme implica:

* & > 0 0 (# t.c. |fm(x)+ f(x)| < & * m > (#, * x " A.

Si ha allora:6

A|fm(x)+ f(x)|pdx . &

pm(A) < ', * m > (#.

Cio assicura che per m > (#, fm + f " Lp(A) e quindi

f = (fm + f) + fm " Lp(A).

Inoltre

limn'+(

(fn + f(p,A = 0.

"

Notazioni 2.1.20. i) In seguito scriveremo Lp, 1 . p . +', Ck,

Cc, etc. per denotare Lp(Rn), Ck(Rn), Cc(Rn), etc..

ii) Abbiamo denotato con S la classe delle funzioni ) definite su Rn avalori reali non negativi, di rango finito:

S =8) : Rn ) [0, +'[, di rango finito

9.

Dunque

(1.20) ) " S 1 ) =m1

j=1

*j$

Ej, *j > 0, Ej # Eh = !, se h %= j.

Denotiamo ora con S* l’insieme delle funzioni ) " S misurabili e taliche m{x : )(x) %= 0} < ':

S* =/) " S, misurabile, m{x : )(x) %= 0} < '

0.

Pertanto, se ) e della forma (1.20), allora

(1.21) ) " S* 1 ) " S, ) misurabile, m(Ej) < ', j = 1, . . . , m

(1.22) ) " S* 1 ) " S #- (4

p=1

Lp..

$(1.21) e immediata. Quanto ad (1.22), basta osservare che

)p

=(1

j=1

*p

j$

Ej,

quindi, essendo *j > 0 * j:

6)

p=

m1

j=1

*p

jm(Ej) < ' 1 m(Ej) < ', j = 1, . . . , n,

e la conclusione segue da (1.21)%.

Proveremo ora che ogni funzione di Lp, 1 . p < +' puo essere approssi-

mata, nella metrica di Lp, da una successione di funzioni continue a

supporto compatto. Useremo per questo il Teorema di approssimazionedelle funzioni misurabili a valori non negativi mediante successioni difunzioni semplici misurabili ed il Teorema di Lusin, entrambi provati nelCapitolo 1.

Teorema 2.1.21. Cc e denso in Lp, 1 . p < +'.

Dimostrazione. E su%ciente provare il Teorema per funzionif 3 0. Nel caso generale, f a valori complessi, bastera decomporre4f e 5f nelle loro parti positive e negative:

f = f1 + f2 + ı(f3 + f4)

ed approssimare fj , j = 1, . . . , 4, con successioni {gj,k}k!Ndi funzioni

appartenenti a Cc convergenti ad fj in Lp. Posto:

gk = g1,k + g2,k + ı(g3,k + g4,k),

si avra allora gk +) f in Lp.

La dimostrazione si articola in due passi, proveremo:

I) S* e denso in {f " Lp, f 3 0}, 1 . p < +';

II) Cc e denso in S* munito della norma indotta da Lp,

1 . p < +'.

La tesi segue banalmente da I) e II) mediante uso della disuguaglianzatriangolare.

Dimostriamo I). Sia f " Lp, f 3 0. Per il Teorema 1.4.2, esiste allora

una successione {)"} di funzioni semplici misurabili tali che:

i) 0 . )1 . . . . . )" . . . . . f ;ii) lim

%'()" (x) = f(x) * x.

Sia p " [1, +'[. Da i) segue

)p

". f

p " L1,

40 2. SPAZI Lp

(A)

cioe

)" " Lp, ( = 1, 2, . . . .

Quindi, per (1.22),

{)"} $ S*.

Da i) segue anche:

(f + )" )p . f

p, * (.

Cio consente di utilizzare il “Teorema della convergenza dominata” per

il calcolo del lim%'(

6(f + )" )

p:

lim%'(

6 $f(x)+ )" (x)

%p

dx =

6lim%'(

$f(x)+ )" (x)

%p

dx.

Poiche per ii) il limite sotto segno di integrale e 0, si conclude che:

lim%'(

(f + )"(p = 0.

I) e provato.

Dimostriamo II). Sia ) " S*. Allora, (cfr. (1.21)), ) e misurabile enulla nel complementare di un insieme di misura finita. E quindi lecitoapplicare a ) il Teorema di Lusin: * & > 0 0 g " Cc tale che

j) m{x : g(x) %= )(x)} < &;jj) sup |g| . sup |)|.

Posto

A = {x : g(x) %= )(x)},

si ha

)(x)+ g(x) = 0 * x " Rn \ A,

|)(x)+ g(x)| . sup |)(x)| + sup |g(x)| . 2 sup |)(x)| = 2M * x " Rn.

Dunque:6

Rn|)(x)+ g(x)|pdx =

6

A|)(x)+ g(x)|pdx . (2M)

pm(A) < (2M)

p&,

ossia

()+ g(p < 2M&1p.

Per l’arbitrarieta di &, II) e provato. "

Osservazione 2.1.22. Esaminiamo ancora la relazione che inter-corre fra lo spazio Cc e gli spazi L

p, 1 . p . +'. Per ogni p " [1, +']

e per ogni f, g " Cc definiamo:

(1.23) d(f, g) = (f + g(p .

E immediato verificare che Cc con tale distanza e uno spazio metrico.Si noti che questa e una metrica “genuina”, cioe non si deve passare aclassi di equivalenza. Cio e dovuto al fatto che se due funzioni continuef e g assumono in un punto x0 valori diversi, ad esempio f(x0) > g(x0),allora f(x) > g(x) per ogni x di un intorno U di x0 e poiche U contieneun plurintervallo, e m(U) > 0. Sicche se f e g sono continue o

f(x) = g(x) * x " A,

oppurem{x : f(x) %= g(x)} > 0.

Quindi:f, g " Cc, f = g q.o. - f = g,

ossiaf, g " Cc, (f + g(p = 0 - f = g.

Lo spazio Cc con la metrica (1.23), vale a dire (Cc, ( ·(p) non e completo.Ad esempio la successione {fn} cosı definita:

fn(x) =

(==)

==*

xn 0 . x . 11 1 < x < 2

(3+ x)n 2 . x . 30 altrimenti

converge in Lp, 1 . p < ', alla funzione caratteristica dell’intervallo

[1, 2]:-(fn + $

[1,2](p

.p

= 2

6 1

0xnp =

2

np + 1+) 0.

Le funzioni fn sono continue a supporto compatto, la successione con-verge in L

p, dunque e di Cauchy in L

p, ma la funzione limite $

[1,2]non

e continua! Abbiamo escluso p = +'. In e!etti {fn} non e di Cauchyin L

#, quindi non converge in tale spazio.

Se {fn} $ Cc ed e di Cauchy nella metrica di L#

, allora il suo limitein L

#e una funzione continua che puo non avere supporto compatto

(vedi Definizione 2.1.23). Ad esempio:

fn(x) =

()

*

e"|x| |x| . ne"|x|(n + 1+ |x|) n < |x| < n + 1

0 |x| 3 n + 1; f(x) = e"|x|,

42 2. SPAZI Lp

(A)

fn $ Cc, (fn + f(# = sup |fn + f | = e"n +) 0,

ma il supporto di f e R!Anche (Cc, ( · (#) non e completo.

Per il “Teorema del Completamento”, dato uno spazio metrico (E, d),esiste un unico spazio metrico (E*, d*) completo tale che E e denso in(E*, d*). (E*, d*) e detto “Completamento di E”.

Per il Teorema 2.1.21, Cc e denso in Lp, 1 . p < ' ed L

pe completo.

Quindi Lp

e il completamento di (Cc, ( · (p), 1 . p < '.Il caso p = +' di!erisce dal caso p < '. Il completamento di

(Cc, ( · (#) non e L#

, ma C0, spazio delle funzioni continue che “si an-nullano all’infinito”, concetto che e precisato dalla seguente definizione:

Definizione 2.1.23. Una funzione continua f a valori complessidefinita su Rn si annulla all’infinito se:

* & > 0 0 K compatto $ Rn t.c. |f(x)| < & * x " Rn \ K,

o equivalentemente

lim|x|'+(

f(x) = 0.

Evidentemente

Cc $ C0.

Esempi di funzioni appartenenti a C0 \ Cc sono f(x) = (1 + |x|)"1,f(x) = e"|x|, etc..

Dalla definizione segue subito che ogni funzione appartenente a C0 elimitata e uniformemente continua.

Pertanto:

(1.24) (f( = supRn

|f(x)| < +', * f " C0.

Muniamo C0 di questa norma.

Teorema 2.1.24. C0 e il complementare di Cc rispetto la metricadefinita mediante la norma (1.24).

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che:

i) C0 e completo;ii) Cc e denso in C0.

i) Sia {f"} di Cauchy in$C0, ( · (

%. Allora {f"} e di Cauchy in

$B, ( · (

%,

spazio delle funzioni continue e limitate, munito della norma ( ·(. E ben

noto che tale spazio e completo; esiste quindi una funzione f " B taleche

(1.25) (f" + f( +) 0 per ( ) +'.

Resta da provare che f " C0.Da (1.25), per la definizione di limite, per ogni & > 0 possiamo

trovare un ( tale che

supx!Rn

|f" (x)+ f(x)| < &.

Poiche f" " C0, esiste poi anche un compatto K tale che:

|f" (x)| < &, * x /" K.

Quindi, per ogni x /" K si ha

|f(x)| . |f(x)+ f" (x)| + |f" (x)| < 2&.

Resta cosı provato che f " C0. Dunque C0 e completo.

ii) Sia f " C0. Dobbiamo provare che per ogni & > 0 esiste h " Cc taleche (f + h( < &.

Poiche f " C0, per ogni & > 0 esiste un compatto K, tale che

|f(x)| < &, * x /" K.

Per il Lemma di Urysohn, esiste una funzione g che verifica

K 2 g.

Cio significa che g " Cc, 0 . g . 1, g(x) = 1, per ogni x " K.Poniamo:

h(x) = f(x)g(x).

Allora h " Cc, perche prodotto di due funzioni continue, una delle qualia supporto compatto; inoltre

|f(x)+ h(x)| = (1+ g(x))|f(x)| =

'0 se x " K

< & se x /" K.

Quindi:

(f + h( = supx

|f(x)+ h(x)| < &.

La prova e completa. "

44 2. SPAZI Lp

(A)

2. Funzionali lineari limitati su Lp

Definizione 2.2.1. Sia E uno spazio normato. Un’applicazionelineare limitata L da E in C si dice “funzionale lineare limitato” su E.In accordo con la definizione di norma di un’applicazione lineare limitatatra spazi normati, si chiama norma di L il numero:

(L( = supf %=0

|L(f)|(f(E

.

L’insieme dei funzionali lineari limitati su E, detto “duale” di E, vienedenotato E$.

Proposizione 2.2.2. Sia 1 . p . ' e, con le usuali conven-

zioni, p$ =p

p+ 1. Ad ogni g " L

p"(&) corrisponde un funzionale lineare

limitato Lg su Lp

definito da:

(2.1) Lg(f) =

6

!f g, f " L

p(&).

E:

(2.2) (Lg( = (g(p",! .

Dimostrazione. Per la disuguaglianza di Holder l’applicazione Lg

definita da (2.1) e un funzionale lineare limitato:

(2.3) |Lg(f)| =<<<6

!f g

<<< . (f(p,! · (g(p",! , * f " L

p(&).

Quindi:

(Lg( . (g(p",! .

Resta da provare che vale (2.2).Consideriamo dapprima il caso 1 < p . '. In tal caso mostreremo

(2.2) provando che esiste f0 " Lp(&) tale che

(2.4) Lg(f0) = (g(p",! · (f0(p,! .

Poniamo:

f0(x) =

5|g(x)|p

"$2g(x) se g(x) %= 0

0 se g(x) = 0.

Allora:

|f0(x)|p = |g(x)|(p"$1)p

= |g(x)|p"" L

1(&).

2. FUNZIONALI LINEARI LIMITATI SU Lp

45

Quindi

f0 " Lp(&), (f0(p,! =

-(g(

p",!

. p"p

e

Lg(f0) =

6

!|g(x)|p

"dx =

-(g(

p",!

.p"

= (g(p",! · (f0(p,! .

Dunque f0 verifica (2.4).Supponiamo ora p = 1 e quindi p$ = '. Se (g(#,! = 0, allora

g(x) = 0 q.o. x " & ed Lg(f) = 0 per ogni f . Dunque (Lg( = 0. Se(g(#,! > 0, per ogni & tale che 0 < & < (g(#,! , l’insieme

A# = {x " & : |g(x)| 3 (g(#,! + &}

ha misura positiva.Sia >A# $ A# tale che 0 < m( >A#) < ' e definiamo:

f# = $A!|g|$1

g.

Allora (f#(1,! = m( >A#) < ' (quindi f# " L1(&)) e

Lg(f#) =

6

A!

|g| 3$(g(#,! + &

%m( >A#) =

$(g(#,! + &

%(f#(1,! .

Dunque:Lg(f#)

(f#(1,!

3 (g(#,! + &.

Da qui e da (2.3), per la definizione di estremo superiore segue(Lg( = (g(#,! . "

Corollario 2.2.3. L’operatore L : g ) Lg e un isomorfismo

isometrico di Lp"

(&) su un sottospazio di$L

p"(&)

%$, 1 . p . '.

Dimostrazione. L e lineare. Infatti se g1 , g2 " Lp"

(&), #, % " C,si ha, per ogni f " L

p(&):

L# g1+$ g2(f) =

6

!f [# g1 + % g2 ] = #Lg1

(f) + %Lg2(f),

da cui

L# g1+$ g2= #Lg1

+ %Lg2.

Dunque

L(# g1 + % g2) = #L(g1) + %L(g2).

46 2. SPAZI Lp

(A)

Quindi L applica Lp"

(&) su un sottospazio di$L

p"(&)

%$. Essendo poi:

(L(g)( =(Lg((g(

p",!

=(g(

p",!

(g(p",!

= 1.

L e un’isometria e dunque e iniettiva. "

E naturale chiedersi se il rango dell’isomorfismo L e tutto$L

p"(&)

%$, ossia

se ogni funzionale lineare continuo su Lp(&) e della forma Lg per qualche

g " Lp"

(&). La risposta e positiva se 1 . p < '. Per p = 2 questa eun’immediata conseguenza del Teorema di rappresentazione di Riesz pergli spazi di Hilbert. Per arbitrari p " [1, +'[, una dimostrazione direttapuo essere data usando il Teorema di Radon–Nikodym (v. Rudin). Unadimostrazione piu breve (ma meno diretta) puo essere ottenuta utiliz-zando l’uniforme convessita di L

p(&) e ragionamenti variazionali. Se

ci si limita a considerare il caso in cui & e un intervallo limitato di R,il Teorema di rappresentazione di Riesz (1 . p < ') e una sempliceconseguenza delle proprieta delle funzioni assolutamente continue.

3. Il mollificatore. Approssimazione delle funzioni di Lp

me-diante funzioni regolari

La funzione

)(t) =

'e"

1t t > 0

0 t . 0

e indefinitamente di!erenziabile su R.$La regolarita per t = 0 si prova

osservando che per ogni intero positivo k si ha:

dk

dtke"

1t = e"

1t

2k1

j=k+1

cjt"j , t > 0, cj " R.

Quindi limt'0$

)(k)(t) = limt'0+

)(k)(t) = 0%.

Definiamo+(x) = )(1+ |x|2), x " Rn;

allora + " C((Rn) e supp + = S(0, 1).Posto a =

;+, la funzione J = a"1+ gode delle proprieta:

i) J 3 0;ii) J " C(

c (Rn);iii)

;J = 1;

iv) supp J = S(0, 1).

3. IL MOLLIFICATORE 47

Se & > 0, la funzione J# definita da:

(2.0) J#(x) = &"nJ-x

&

.

verifica i), ii), iii) ed inoltre : iv#) supp J# = S(0, &).

Definizione 2.3.1. Si chiama “mollificatore” ogni funzione dellaforma (2.0) con J soddisfacente i), ii), iii), iv). La convoluzione1

(3.1)-J# 9 u

.(x) =

6

RnJ#(x+ y)u(y)dy

definita per funzioni u per cui il secondo membro ha senso, prende ilnome di “mollificazione” o “regolarizzazione” di u.

Definizione 2.3.2. Se A, B sono due sottoinsiemi di Rn, poniamo:

A + B = {x + y " Rn; x " A, y " B}.In particolare, se y " Rn:

A + y = {x + y " Rn; x " A}.Chiamiamo A + B “somma vettoriale di A e B”.

Si haA + B =

+

y!B

$A + y

%.

In particolare

A + S(0, &) = {x " Rn; dist (x, A) < &}.Si prova facilmente che:

A chiuso, B compatto - A + B chiuso;

A compatto, B compatto - A + B compatto.

Nota:A chiuso, B chiuso %- A + B chiuso;

Esempio:

Siano A =/

(x, 0), x " R0

, B =/-

x,1

x

., x " R+ \ {0}

0. Abbiamo

che A e B sono chiusi, ma

A + B =/

(x, y) " R2, y > 00

e aperto.

1Nel seguito scriveremo J! # u (x) in luogo di J! # u (x).

48 2. SPAZI Lp

(A)

Definizione 2.3.3. Lp

loc(Rn), 1 . p . ', designa l’insieme delle

funzioni u : Rn ) C, misurabili con la proprieta:#) ogni punto x " Rn, possiede un intorno V tale che u " L

p(V ).

E immediato verificare che #) e equivalente a:%) u " L

p(K), per ogni compatto K $ Rn.

Esempio:

Abbiamo che u(x) = |x|"12 " L

1

loc(R), ma u /" L1(R). Inoltre

u /" Lp

loc(Rn), 2 . p . '.

ChiaramenteL

p $ Lp

loc $ L1

loc, 1 . p . '.

Se u " L1

loc e J# e un mollificatore, J# 9 u e definita. Infatti, per iv#):6

RnJ#(x+ y)u(y)dy =

6

S(x,#)J#(x+ y)u(y)dy

e <<<J#(x+ y)u(y)<<< . sup J# · |u(y)| " L

1$S(x, &)

%.

Lemma 2.3.4. Se u " L1

loce J# e un mollificatore, allora:

j) J# 9 u " C(;jj) supp J# 9 u $ supp u + S(0, &).

Dimostrazione. Abbiamo che

J# 9 u (x) =

6

S(x,#)J#(x+ y)u(y)dy.

La funzione x ) J#(x + y)u(y) appartiene a C((Rn). Inoltre per ognix " Rn e per ogni # " Zn

+, si ha:

(3.2)<<<,!

,x!$J#(x+ y)u(y)

%<<< . c!<<u(y)

<<, c! = max<<,!J#

<<.

Poiche, per ipotesi, u e sommabile su ogni compatto, da (3.2), per ilTeorema di derivazione sotto il segno di integrale, segue che J# 9 u "C((Rn) e

,!

,x!$J# 9 u

%(x) =

6

Rn

,!

,x!J#(x+ y) · u(y)dy, x " Rn.

Resta da provare jj). Notiamo che, posto y$ = x+ y, si ha:

(3.3) J# 9 u (x) =

6J#(y

$)u(x+ y$)dy$ =

6

|y|<#J#(y)u(x+ y)dy.

Quindi

x /" supp u + S(0, &) - x+ y /" supp u, * |y| . & - J# 9 u (x) = 0.

Equivalentemente:/

x : J# 9 u (x) %= 00$ supp u + S(0, &).

Passando alla chiusura, si ottiene jj). "

Teorema 2.3.5. Se u " Lp, 1 . p < ', allora:

h) J# 9 u " Lp

e (J# 9 u(p . (u(p ;hh) J# 9 u +) u, per &) 0, in L

p;

hhh) Se u e continua in x, allora J# 9 u (x) +) u(x), per & ) 0,uniformemente su ogni insieme compatto di punti di continuita.

Dimostrazione. h) Se p = 1:

(J# 9 u(1 =

6 <<<6

J#(x+ y) · u(y)dy<<<dx .

.6

dx

6J#(x+ y) · |u(y)|dy = (applicando Fubini)

=

6|u(y)|dy

6J#(x+ y)dx =

=

6|u(y)|dy = (u(1 .

Se 1 < p < +', sia p$ =p

p+ 1. Si ha, utilizzando la disuguaglianza di

Holder:

|J#9u (x)| .6

J#(x+y) · |u(y)|dy .6

J1p"

# (x+y) ·J1p

# (x+y) · |u(y)|dy .

-6J#(x+ y)dy

. 1p"

·-6

J#(x+ y) · |u(y)|pdy. 1

p

.

Poiche;

J#(x+y)dy = 1, segue da qui, utilizzando il Teorema di Fubini:6

|J# 9 u (x)|pdx .6

dx

6J#(x+ y) · |u(y)|pdy =

=

6|u(y)|pdy

6J#(x+ y)dx = (u(p

p.

Resta cosı provato h).

50 2. SPAZI Lp

(A)

hh) Poiche Cc e denso in Lp, 1 . p < ', per ogni - > 0, esiste ) " Cc

tale che (u+ )(p < -. Allora, da

(J# 9 u+ u(p . (J# 9 u+ J# 9 )(p + (J# 9 )+ )(p + ()+ u(p

e da

(J# 9 u+ J# 9 )(p = (J# 9 (u+ ))(p . (u+ )(p

segue:

(J# 9 u+ u(p < (J# 9 )+ )(p + 2-.

E quindi su%ciente provare hh) nel caso di una funzione ) " Cc. Abbia-mo:

J# 9 ) (x)+ )(x) =

6J#(x+ y))(y)dy +

6J#(x+ y))(x)dy =

=

6J#(x+ y) · [)(y)+ )(x)]dy.

Dunque:|J# 9 ) (x)+ )(x)| . sup

|x"y|+#|)(y)+ )(x)|.

Poiche ) e uniformemente continua, il secondo membro tende a zero per&) 0. Pertanto:

J# 9 ) +) ) uniformemente.

Per jj) del Lemma 2.3.4, supp (J# 9 )+ )) e compatto, sicche:

|J# 9 )+ )|p " C0

c .

E quindi lecito applicare il Teorema di passaggio al limite sotto segno diintegrale per l’integrale di Riemann. Si ha cosı:

lim#'0

(J# 9 )+ )(p

p= lim

#'0

6|J# 9 )+ )|p =

6lim#'0

|J# 9 )+ )|p = 0.

Cio conclude la prova di hh).

hhh) Se u e continua in x, si procede come sopra per ) pervenendo alla:

|J# 9 u (x)+ u(x)| . sup|x"y|+#

|u(y)+ u(x)|,

dove l’ultimo membro tende a zero con &, risultando la convergenzauniforme su ogni insieme compatto di punti di continuita. "

Corollario 2.3.6. C( e C(c sono densi in L

p, 1 . p < '.

Dimostrazione. Sia u " Lp, 1 . p < ' e sia J# un mollificatore.

Il Lemma 2.3.4 assicura che u 9 J# " C( ed il Teorema 2.3.5 che

(J# 9 u+ u(p +) 0 per &) 0.

Pertanto C( e denso in Lp.

Posto uk = u$S(0,k)

($S(0,k)

denota la funzione caratteristica della sferadi centro l’origine e raggio k), si ha:

6|u(x)+ uk(x)|pdx =

6

|x|>k|u(x)|pdx.

Poiche |u(x)|p e sommabile, il termine a destra ha limite 0 per k )'.Quindi:

(9) (u+ uk(p +) 0 per k )'.

Per il Lemma 2.3.4 ed il Teorema 2.3.5:

uk 9 J# " C(c e uk 9 J# +) uk in L

pper &) 0.

La disuguaglianza:

(u+ uk 9 J#(p . (u+ uk(p + (uk + uk 9 J#(p

permette di concludere. "

Teorema 2.3.7 (Disuguaglianza di Minkowski). Sia f una funzionemisurabile definita in Rn ; Rm, non negativa. Se 1 < p < +', allora:

(3.4)-6

Rn

$ 6

Rmf(x, y)dy

%p

dx. 1

p

.6

Rm

-6

Rnf

p(x, y)dx

. 1p

dy.

Dimostrazione. Poniamo

#(x) =

6

Rmf(x, y)dy.

Se

6

Rn#

p(x)dx = 0, allora #(x) = 0 q.o. x " Rn e quindi f(x, y) = 0

q.o. (x, y) " Rn ; Rm.Pertanto, in tal caso, primo e secondo membro in (3.4) sono nulli.

Supponiamo 0 <

6

Rn#

p(x)dx < '. Allora per il Teorema di Fubini e

la disuguaglianza di Holder:6

Rn#

p(x)dx =

6

Rn

-#

p$1(x) ·

6

Rmf(x, y)dy

.dx = (Fubini)

6

Rm

-6

Rn#

p$1(x)f(x, y)dx

.dy . (Holder)

52 2. SPAZI Lp

(A)

.6

Rm

-6

Rn#

(p$1)p"(x)dx

. 1p"

·-6

Rnf

p(x, y)dx

. 1p

dy =

=-6

Rn#

p(x)dx

. 1p"

·6

Rm

-6

Rnf

p(x, y)dx

. 1p

dy.

Da qui, dividendo entrambi i membri per-6

Rn#

p(x)dx

. 1p"

che abbiamo

supposto %= 0, si ha:

-6

Rn#

p(x)dx

.1$ 1p"

.6

Rm

-6

Rnf

p(x, y)dx

. 1p

dy.

Il Teorema resta cosı provato nel caso che sia

6

Rn#

p(x)dx < '.

Nel caso generale approssimiamo f mediante funzioni per le quali questaipotesi sia soddisfatta, ponendo:

fk(x, y) = min$f(x, y), k

%· $

S(0,k)(x, y),

#k(x) =

6

Rmfk(x, y)dy.

Allora:

supp$y ) fk(x, y)

%$8y " Rm; |y| . k

9,

0 . fk(x, y) . k,

supp #k $8x " Rn; |x| . k

9

#k(x) . k · km · 'm , 'm = m8x " Rm; |x| . 1

9.

Pertanto: 6#

p

k(x) . k

(m+1)p'

p

m· kn

'n < '.

Per la prima parte della dimostrazione:

-6

Rn

$ 6

Rmfk(x, y)dy

%p

dx. 1

p

.6

Rm

-6

Rnf

p

k(x, y)dx

. 1p

dy .

.6

Rm

-6

Rnf

p(x, y)dx

. 1p

dy.

Da qui segue subito la tesi passando al limite per k ) +'. "

Funzione riflessa e funzione traslata

Sia f : Rn ) C. Poniamo per ogni x " Rn

,f (x) = f(+x); !hf(x) = f(x+ h), h fissato in Rn.

Le funzioni,f e !hf sono dette “funzione riflessa di f” e “funzione

traslata di f”, rispettivamente.E immediato verificare che le operazioni:

f ),f e f ) !hf

sono lineari ed applicano isometricamente Lp

in se , 1 . p . ':

(f(p = (,f (p = (!hf(p , h " Rn.

In seguito utilizzeremo il seguente lemma riguardante le traslazioni:

Lemma 2.3.8 (Lebesgue). Sia f " Lp, 1 . p < '. Allora:

(3.5) (!hf + f(p +) 0 per h ) 0.

Dimostrazione. Cc e denso in Lp, 1 . p < '. Pertanto per ogni

& > 0 esiste ) " Cc tale che

(f + )(p < &.

Quindi:

(!hf + f(p . (!hf + !h)(p + (!h)+ )(p + ()+ f(p =

= 2(f + )(p + (!h)+ )(p <

< 2&+ (!h)+ )(p .

E percio su%ciente provare che:

(3.6) (!h)+ )(p +) 0 per h ) 0.

Sia supp ) $ S(0, a). L’uniforme continuita di ) assicura che esiste' " ]0, 1[ tale che:

|h| < ' - |)(x+ h)+ )(x)| < &.

E inoltre: supp$x ) )(x+ h)+ )(x)

%$ S(0, a + 1). Quindi

|h| < ' -6 <<)(x+ h)+ )(x)

<<pdx . &p(a + 1)

n'n ,

|h| < ' - (!h)+ )(p < & ('n)1p(a + 1)

np.

Cio prova (3.6) e dunque (3.5). "

54 2. SPAZI Lp

(A)

4. Convoluzione negli spazi Lp

Siano f, g : Rn ) C misurabili. Se l’insieme

E =/

x " Rn :

6f(x+ y)g(y)dy ha senso

0%= !,

poniamo:

f 9 g (x) =

6f(x+ y)g(y)dy, x " E.

La funzione f 9 g : E ) C e detta convoluzione di f e g.Il cambiamento di variabile x+ y = y$ prova che

f 9 g (x) =

6f(y$)g(x+ y$)dy$ = g 9 f (x) * x " E.

Dunque, dove la convoluzione di f e g e definita:

(1) f 9 g (x) = g 9 f (x).

“L’operazione di convoluzione e commutativa”.Dalla linearita dell’integrale segue:

(2) f 9 (g1 + g2) = f 9 g1 + f 9 g2 .

e

(3) f 9 *g = *(f 9 g), * * " C.

Da (1), (2), (3) segue:

(f, g) ) f 9 g

e bilineare (cioe lineare rispetto ad entrambi gli elementi della coppia(f, g)).

Teorema 2.4.1. Se f, g " L1, allora:

i) f 9 g e definita q.o. in Rn;ii) f 9 g " L

1;

iii) (f 9 g(1 . (f(1 · (g(1 .

Dimostrazione. Teoremi di teoria della misura consentono di provareche la funzione

(x, y) ) f(x+ y)g(y)

e misurabile. E percio lecito applicare il Teorema di Fubini alla funzione

(x, y) ) |f(x+ y)g(y)|.

56 2. SPAZI Lp

(A)

j). Da (4.2) segue inoltre

(f 9 g(p =-6 <<<

6f(y)g(x+ y)dy

<<<p

dx. 1

p

.

.-6 -6

|f(y)g(x+ y)|dy.p

dx. 1

p

. (g(p · (f(1 .

"

Teorema 2.4.3. Sia f " Lp(Rn), g " L

p"(Rn), 1 . p . ', p$ il

coniugato di p. Allora:

h) f 9 g e definita per ogni x " Rn;hh) f 9 g e uniformemente continua in Rn;

hhh) sup |f 9 g| . (f(p · (g(p" .

Dimostrazione. Per la disuguaglianza di Holder si ha per ognix " Rn:

6|f(x+ y)g(y)|dy .

-6|f(x+ y)|pdy

. 1p

·-6

|g(y)|p"dy. 1

p"

=

= (f(p · (g(p" .

Quindi f 9 g e definita per ogni x " Rn e

sup |f 9 g (x)| . sup

6|f(x+ y)g(y)|dy . (f(p · (g(p" .

Resta da provare che f 9 g e uniformemente continua:<<<f 9 g (x+ h)+ f 9 g (x)

<<< =<<<6

[f(x+ h+ y)+ f(x+ y)]g(y)dy<<< =

(ponendo x+ y = >y)

=<<<6

[f(>y + h)+ f(>y)]g(x+ >y)d>y<<< . (!hf + f(p · (g(p" .

Per il Lemma di Lebesgue, per ogni & > 0 esiste ' > 0 tale che

|h| < ' - (!hf + f(p < &.

Dunque:

|h| < ' -<<<f 9 g (x+ h)+ f 9 g (x)

<<< < & (g(p" , * x " Rn.

Cio completa la dimostrazione. "

4. CONVOLUZIONE NEGLI SPAZI Lp

57

Proposizione 2.4.4. Sia K un sottoinsieme compatto di Rn. Perogni ' > 0 esiste una funzione $% " C(

c tale che

K% 2 $% 2-

K4% ,

K% = K + S(0, '). Inoltre per ogni # " Zn+:

(4.3) sup<<,!$%(x)

<< . c#'$|#|

.

Dimostrazione. Indichiamo con v la funzione caratteristica di K2%

e poniamo:

$% = v 9 J% , J% un mollificatore.

Allora per il Lemma 2.3.4, abbiamo:

$% " C(c ; supp $% $ K2% + S(0, ') = K3% .

Inoltre essendo 0 . v . 1; J% 3 0, da

(4.4) $%(x) =

6v(x+ y)J%(y)dy

segue:

0 . $%(x) .6

J%(y)dy = 1.

Poiche supp J% = S(0, '), si ha che

$%(x) =

6

|y|+"v(x+ y)J%(y)dy.

Supponiamo x " K% . Allora:

x " K% , |y| . ' - x+ y " K2% - v(x+ y) = 1.

Quindi per ogni x " K% :

$%(x) =

6

|y|+"J%(y)dy =

6J% = 1.

Resta da provare (4.3). Scriviamo $% nella forma:

$%(x) =

6v(y)J%(x+ y)dy =

6

K%

J%(x+ y)dy.

58 2. SPAZI Lp

(A)

x ) J%(x+ y) " C(c . E quindi lecito derivare sotto il segno di integrale:

,!$%(x) =

6v(y) · ,!x J%(x+ y)dy =

6v(y) · ,!x

-J-x+ y

'

.'$n.dy =

=

6v(y) ·

-,!J

.-x+ y

'

.'$n$|#|

dy =-

x"y" = y$

.

=

6

|y"|+1v(x+ 'y$) ·

-,!J

.(y$) '

$|#|dy$.

Poiche 0 . v . 1:

|,!$%(x)| . sup |,!x J | · '$|#|'n = '

$|#|c# .

"

Corollario 2.4.5. Siano K $ V $ Rn, con K compatto e V aperto.Allora esiste una funzione ) " C(

c (Rn), K 2 ) 2 V , i.e. 0 . ) . 1, ) euguale a 1 in un intorno di K ed ha supporto contenuto in V .

Dimostrazione. Sia d = dist (K, !V ) > 0. Poniamo ' =d

4. La

funzione $% costruita nel lemma precedente gode delle proprieta indicatenel Corollario. "

Sia ) " L1

tale che;) = 1. Poniamo )!(x) = &

$n)-x

&

.. Allora

;)! = 1. Se f " L

p, 1 . p . ', per i Teoremi 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3,

f 9 )! " Lp. Il teorema che segue dice per quali p, f 9 )! ) f in L

p.

Naturalmente nessuna regolarita puo in generale essere a!ermata perf 9 )! .

Teorema 2.4.6. Sia ) " L1,;) = 1. Per ogni & > 0 poniamo

)!(x) = &$n)-x

&

.. Allora:

k) se f " Lp, 1 . p < ', allora f 9 )! +) f in L

p;

kk) se f " C0, allora f 9 )! +) f uniformemente.

Dimostrazione. k) Poiche f " Lp, 1 . p < ' e )! " L

1, f 9 )! e

definita q.o. ed appartiene ad Lp

(Teorema 2.4.2).Per q.o. x:(•)f9)! (x)+f(x) =

6[f(x+y)+f(x)])!(y)dy =

6[f(x+&y)+f(x)])(y)dy.

5. COMPLEMENTI: SPAZI lp

59

Quindi:

(f 9 )! + f(p =-6 <<<

6[f(x+ &y)+ f(x)])(y)dy

<<<p

dx. 1

p

.

.-6 -6

|f(x+ &y)+ f(x)| · |)(y)|dy.p

dx. 1

p

.

(disuguaglianza di Minkowski)

.6 -6

|f(x+ &y)+ f(x)|p · |)(y)|pdx. 1

p

dy =

=

6|)(y)| ·

-6|!!yf(x)+ f(x)|pdx

. 1p

dy =

=

6|)(y)| · (!!yf + f(pdy.

Ora |)(y)| · (!!yf + f(p . 2(f(p · |)(y)| " L1. Per il Teorema della

convergenza dominata:

lim#'0

(f 9 )! + f(p .6

|)(y)| · lim#'0

(!!yf + f(pdy.

Per il Lemma di Lebesgue:

lim#'0

(!!yf + f(p = limh'0

(!hf + f(p = 0.

Quindi:

lim#'0

(f 9 )! + f(p = 0.

kk) f " C0 - f limitata e uniformemente continua.Sia M = sup |f |. Da (•) in k) segue facilmente la tesi. "

5. Complementi: spazi lp

Definizione 2.5.1. lp, p 3 1, denota l’insieme di tutte le succes-

sioni x = (xn)n!N, xn " C tali che la serie

(1

n=1

|xn |p

< ':

lp

=8x = (xn)n!N

, xn " C :(1

n=1

|xn |p

< '9.

Esempi 2.5.2. 1) Ogni successione, i cui termini siano tutti nullida un certo indice in poi, appartiene ad l

p, per ogni p 3 1.

60 2. SPAZI Lp

(A)

2) ej = (0, 0, · · · , 0,j–esimo

1 , 0, · · · , 0, · · · ) " lp, per ogni j " N, per ogni

p 3 1.

3) xn =1

n + ı. Per quali p la successione (xn)n!N

" lp? Abbiamo:

|xn | =1

|n + ı| =1

(n2 + 1)12; |xn |

p=

1

(n2 + 1)p2

<1

np .

Se p > 1, allora1

n

|xn |p

e maggiorata da1

n

1

np , che converge (serie

armonica di esponente p > 1).

Se p = 1, |xn |p

= |xn | >1

2ne quindi

1

n

|xn | diverge. Infatti

1

n

|xn |p

>1

2

1

n

1

n= +'.

Proposizione 2.5.3. lp, p 3 1, e uno spazio vettoriale su C,

sottospazio dello spazio vettoriale di tutte le successioni di numeri com-plessi.

Dimostrazione. Siano x = (xn), y = (yn) " lp. Proviamo che

x + y " lp, dove x + y = (xn + yn)n!N

. Abbiamo:

|xn + yn |p .

$|xn | + |yn |

%p

.-2 max

$|xn |, |yn |

%.p=

= 2p-

max$|xn |, |yn |

%.p. 2

p$|xn |p+ |yn |

p%.

Poiche1

n

|xn |p

< ',1

n

|yn |p

< ', e pure1

n

|xn + yn |p

< '. Quindi

xn + yn " lp.

E immediato verificare che * " C, x = (xn) " lp - *x = (*xn) " l

p. "

Definizione 2.5.4. Se x = (xn)n!N" l

p, poniamo:

(x(lp :=

-1

n)1

|xn |p. 1

p.

Proveremo ora che x ) (x(lp e una norma su l

p.


61

Proposizione 2.5.5 (Disuguaglianza di Holder). Se x = (xn)n!N"

lp, y = (yn)n!N

" lp"

,1

p+

1

p$= 1, allora:

1

n)1

|xn yn | .-1

n)1

|xn |p. 1

p ·-1

n)1

|yn |p". 1

p".

Equivalentemente:1

n)1

|xn yn | . (x(lp · (y(

lp" .

Dimostrazione. Supponiamo1

n

|xn |p %= 0 e

1

n

|yn |p" %= 0, di-

versamente la tesi e ovvia. Applichiamo la disuguaglianza di Youngcon:

a =|xn |

p

$(x(

lp

%p ; b =|yn |

p"

$(y(

lp"

%p" .

Otteniamo:

|xn | · |yn |(x(

lp · (y(

lp". 1

p· |xn |

p

$(x(

lp

%p +1

p$· |yn |

p"

$(y(

lp"

%p" .

Quindi:

#n)1 |xn | · |yn |(x(

lp · (y(

lp"

. 1

p·#

n)1 |xn |p

$(x(

lp

%p +1

p$·#

n)1 |yn |p"

$(y(

lp"

%p" =1

p+

1

p$= 1.

"

Proposizione 2.5.6 (Disuguaglianza triangolare). Se x, y " lp,

p 3 1, allora:

(x + y(lp . (x(

lp + (y(

lp .

Dimostrazione. Da |xn + yn | . |xn | + |yn | segue:1

n)1

|xn + yn | .1

n)1

|xn | +1

n)1

|yn |,

ossia

(x + y(l1 . (x(

l1 + (y(

l1 .

62 2. SPAZI Lp

(A)

Supponiamo p > 1, utilizzando |xn + yn | . |xn | + |yn |, scriviamo dap-prima:

|xn + yn |p

= |xn + yn |p$1 · |xn + yn | .

. |xn + yn |p$1 |xn | + |xn + yn |

p$1 |yn |e quindi:

(5.1)1

n)1

|xn + yn |p .

1

n)1

|xn + yn |p$1 |xn | +

1

n)1

|xn + yn |p$1 |yn |.

La successione$|xn + yn |

p$1%n!N

" lp"

. Infatti

$|xn + yn |

p$1%p"

= |xn + yn |p"(p$1)

= |xn + yn |p,

onde: 1

n)1

$|xn + yn |

p$1%p"

=1

n)1

|xn + yn |p

< '.

(Si e gia provato che lp

e uno spazio vettoriale, dunque x, y " lp

implicache x+y " l

p). Applicando a secondo membro di (5.1) la disuguaglianza

di Holder si ottiene:1

n)1

|xn + yn |p .

-1

n)1

|xn + yn |p"(p$1)

. 1p" ·

-1

n)1

|xn |p. 1

p+

+-1

n)1

|xn + yn |p"(p$1)

. 1p" ·

-1

n)1

|yn |p. 1

p.

1

n)1

|xn + yn |p

=-1

n)1

|xn + yn |p. 1

p" ·2-1

n)1

|xn |p. 1

p+-1

n)1

|yn |p. 1

p3.

Quindi, dividendo primo e secondo membro per-1

n)1

|xn + yn |p. 1

p":

-1

n)1

|xn + yn |p.1" 1

p" .-1

n)1

|xn |p. 1

p+-1

n)1

|yn |p. 1

p,

questa e la tesi. "

Corollario 2.5.7. L’applicazione

lp ) Rx 6) (x(

lp

e una norma. Infatti sono di semplice verifica:

63

i) (x(lp 3 0, (x(

lp = 0 1 x = 0;

ii) (*x(lp = |*| (x(

lp ;

mentre

iii) (x + y(lp . (x(

lp + (y(

lp

e stata dimostrata sopra.

Con tale norma lp

e uno spazio di Banach. Vale infatti il:

Teorema 2.5.8. Per ogni p 3 1, lp

e uno spazio normato completo.

Dimostrazione. Sia x(k)

=$x

(k)

n

%n!N

" lp, per k = 1, 2, . . .. Sup-

poniamo che la successione$x

(k)%k!N

sia di Cauchy in lp. Cio significa:

* & > 0 0 (# tale che:,,x

(k) + x(h),,

lp

< & * k, h 3 (#.

Cioe:

(5.2) * & > 0 0 (# tale che:1

n)1

<<x(k)

n+ x

(h)

n

< 0 0 (# tale che:<<x

(k)

n+ x

(h)

n

<< < & * k, h 3 (#, * n " N.

Da (5.3) con n = 1, segue che$x

(k)

1

%k%1

e di Cauchy in C. Da (5.3) con

n = 2, segue che$x

(k)

2

%k%1

e di Cauchy in C, etc.. In generale per ogni

n fissato si ha che$x

(k)

n

%k%1

e di Cauchy in C.

Poiche C e completo:

x(k)

1

k'(++++++)C

x1 " C

x(k)

2

k'(++++++)C

x2 " C...

...

x(k)

n

k'(++++++)C

xn " C...

...

Abbiamo cosı ottenuto una successione di numeri$xn

%n!N

. Proveremoora:

1)$xn

%n!N

:= x " lp.

64 2. SPAZI Lp

(A)

2) La successione di Cauchy$x

(k)%k!N

considerata all’inizio della

dimostrazione converge (in lp) ad x:

x(k) l

p

+++++++)k'(

x.

Sia h 3 (# (il (# per cui vale (5.2)). Abbiamo:-(x(h) + x(

lp

.p=1

n)1

<<x(h)

n+ xn

<<p =

=1

n)1

<<x(h)

n+ lim

k'+(x

(k)

n

<<p =

=1

n)1

limk'+(

<<x(h)

n+ x

(k)

n

<<p .

Per le serie a termini non negativi si puo “scambiare il simbolo di#

con quello di limite”. Si ha cosı:

(5.4)-(x(h) + x(

lp

.p= lim

k'+(

1

n)1

<<x(h)

n+ x

(k)

n

<<p .

Poiche dobbiamo calcolare il limite per k ) +', e lecito limitare lenostre considerazioni ai k 3 (#. Ma allora h e k sono entrambi 3 (# eper (5.2), si ha: 1

n)1

<<x(h)

n+ x

(k)

n

<<p . &p.

Segue da qui:

limk'+(

1

n)1

<<x(h)

n+ x

(k)

n

<<p . &p.

Quindi, da (5.4),

(x(h) + x(lp . &.

Ricordiamo che h e un arbitrario numero naturale 3 (# e (# e l’indicetrovato per la successione di Cauchy

$x

(k)%k!N

in corrispondenza al nu-

mero positivo & arbitrariamente scelto. Pertanto si e provato:

* & > 0 0 (# tale che: h > (# - (x(h) + x(lp . &.

Da qui segue:

1) x+ x(h) " l

pe quindi x =

$x+ x

(h)%+ x

(h) " lp;

2) x(h) h'(++++++)

lpx.

65

Resta cosı provato che ogni successione di Cauchy in lp

converge ad unelemento di l

p: l

pe completo. "

Osservazione 2.5.9. i) Per x =$xn

%n!N

, y =$yn

%n!N

" l2

poniamo:

(5.5) <x, y= =1

n)1

xn yn.

Osserviamo che, per la disuguaglianza di Holder con p = p$ = 2:<<<1

n)1

xn yn

<<< . (x(l2 · (y(

l2 < '.

Quindi (5.5) definisce un’applicazione:

l2 ; l

2 ) C(x, y) 6) <x, y=.

Il lettore provi che tale applicazione e un prodotto scalare su l2. La

norma ad esso associata coincide con la norma in l2:

<x, x=12 =

-1

n)1

xn xn

. 12

=-1

n)1

<<xn

<<2. 1

2= (x(

l2 .

Poiche l2

e completo si conclude che l2

con il prodotto scalare sopradefinito e uno spazio di Hilbert.ii) Per ogni x =

$xn

%n!N

" l2

si ha:

x =1

j)1

xj ej ,

dove ej = (0, 0, · · · , 0,j–esimo

1 , 0, · · · , 0, · · · ), quindi {ej}j%1 e una base di

l2.

CAPITOLO 3

Spazi di Hilbert

1. Prodotti interni e funzionali lineari

Definizione 3.1.1. Sia H uno spazio vettoriale sopra il campo K(K = R o K = C). Si dice “prodotto interno” o “prodotto scalare”un’applicazione da H ;H in K

H ;H ) K(x, y) 6) <x, y=

soddisfacente le seguenti condizioni:

(a) <x, y= = <y, x=, * x, y " H;(b) <x + y, z= = <x, z=+ <y, z=, * x, y, z " H;(c) <#x, y= = #<x, y=, * # " K, *x, y " H;(d) <x, x= 3 0, * x " H;(e) <x, x= = 0 se e solo se x = 0.

Conseguenze immediate di queste condizioni:(c) implica <0, y= = <0x, y= = 0<x, y= = 0, * y " H (0 e lo zero dellospazio vettoriale H, 0 e lo zero del campo K).

(b) e (c) insieme equivalgono all’a!ermazione:per ogni y " H, l’applicazione x ) <x, y= e un funzionale lineare su H.

(a) e (c) implicano <x,#y= = #<x, y=:

<x,#y= = <#y, x= = #<y, x= = # · <y, x= = #<x, y=.(a) e (b) implicano la proprita distributiva rispetto al secondo elementodella coppia (x; y):

<x, y + z= = <x, y=+ <x, z=.(d) consente di porre per ogni x " H:

(x( := <x, x=12

Le proprieta (a), (b), (c), (d) implicano la “Disuguaglianza di Schwarz”:

(1.1) |<x, y=| . (x( · (y( * x, y " H.

67

68 3. SPAZI DI HILBERT

Dimostrazione. Se y = 0, (1.1) e valida poiche primo e secondomembro sono nulli. Supponiamo y %= 0. Allora per ogni * " K:

(1.2) 0 . <x+ *y, x+ *y= = (x(2 + * <y, x= + * <x, y=+ |*|2 · (y(2.

Poiche * <y, x= = * <x, y=, e

* <y, x=+ * <x, y= = 24(* <y, x=).

Quindi da (1.2):

0 . (x(2 + 24(* <y, x=) + |*|2 · (y(2 * * " K.

Scegliendo * =<x, y=(y(2

si ottiene

0 . (x(2 + 2|<x, y=|2

(y(2+

|<x, y=|2

(y(2,

ossia

0 . (x(2 + |<x, y=|2

(y(2.

"

Dalla disuguaglianza di Schwarz segue subito la “Disuguaglianza trian-golare”:

(1.3) (x + y( . (x(+ (y(, * x, y " H.

Da <*x,*x= = **<x, x= segue:

(1.4) (*x( = |*| · (x(.

Ora (1.3), (1.4) ed (e) assicurano che x ) (x( e una norma su H.Cosı H e uno spazio normato. Se tale spazio e completo, cioe se ognisuccessione di Cauchy converge in H, H si dice uno spazio di Hilbert.

Esempi 3.1.2. a) Rn con il prodotto scalare <x, y= =n1

j=1

xjyj , dove

x = (x1 , . . . , xn) e y = (y1 , . . . , yn), e uno spazio di Hilbert sul campo R.

b) Cn =8. = (z1 , . . . , zn) : zj " C

9e uno spazio di Hilbert su C se la

somma . $ + . $$ ed il prodotto esterno * ., * " C, sono definiti come alsolito componente per componente e se il prodotto scalare e definito da:

<., . $= =n1

j=1

zj · z$j ,

1. PRODOTTI INTERNI E FUNZIONALI LINEARI 69

dove . = (z1 , . . . , zn) e . $ = (z$1, . . . , z$

n). Infatti le proprieta (a)—(e)

sono di immediata verifica.Per . " Cn,

(.( =- n1

j=1

|zj |2. 1

2.

Sia zj = xj + ıyj , con xj , yj " R, per j = 1, . . . , n; allora:

(1.5) (.( =- n1

j=1

(x2j+ y2

j). 1

2.

L’applicazioneCn ) R2n

. 6) (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn)

e biunivoca e (1.5) prova che e un’isometria. Poiche R2n e completo,Cn e uno spazio di Hilbert.

c) L2(A), A $ Rn (A misurabile), e uno spazio di Hilbert con il prodotto

interno:

<f, g= =

6

Af · g.

Per la disuguaglianza di Holder, il prodotto f · g e in L1(A), quindi

<f, g= e ben definito.Le proprieta (a)—(e) sono conseguenza delle proprieta dell’integrale.

Inoltre

(f( = <f, f=12 =

-6

A|f |2

. 12

= (f(2,A .

La completezza di L2(A) assicura quindi che L

2(A) e uno spazio di

Hilbert.

d) Lo spazio vettoriale di tutte le funzioni a valori complessi continue in[0, 1] e uno spazio con prodotto interno se:

<f, g= =

6 1

0f · g,

ma non e uno spazio di Hilbert.Per esempio la successione

fn(x) =

'(2x)n 0 . x . 1

21 1

2 . x . 1

e contenuta in C([0, 1]) ed e di Cauchy, ma il suo limite in L2([0, 1]) non

appartiene a C([0, 1]).

Proposizione 3.1.3 (Identita del parallelogramma). Sia Huno spazio vettoriale dotato di prodotto interno. Allora:

(1.6) (x + y(2 + (x+ y(2 = 2(x(2 + 2(y(2 * x, y " H.

Dimostrazione.

(x + y(2 + (x+ y(2 = <x + y, x + y=+ <x+ y, x+ y= =

= (x(2 + <x, y=+ <y, x=+ (y(2 + (x(2 + <x, y= + <y, x=+ (y(2 =

2(x(2 + 2(y(2.

"

Vedremo in seguito che l’Identita del Parallelogramma ha un ruolo car-dine nella teoria degli spazi di Hilbert. Essa e importante anche per imotivi sottoesposti.

Definizione 3.1.4. Sia (E, ( · (E ) uno spazio normato. E si dicepre–hilbertiano se e possibile definire in E un prodotto interno <·, ·= taleche:

(1.7) <x, x= = (x(2E* x " E.

Teorema 3.1.5. Uno spazio normato (E, ( · (E ) e pre–hilbertianose e solo se la norma ( · (E verifica l’identita del parallelogramma.

Dimostrazione. Se E e pre–hilbertiano, ossia la norma (·(E provieneda un prodotto scalare, allora esso verifica (1.6) come abbiamo appenadimostrato (vedi Proposizione 3.1.3).

Viceversa, supponiamo che ( · (E verifichi (1.6) e proviamo che epossibile definire un prodotto interno in E in modo tale che valga (1.7).Procediamo in due passi.Primo Passo. Poniamo:

(1.8) <x, y=1 =,,,x + y

2

,,,2

E+,,,x+ y

2

,,,2

Ex, y " E

Si ha:

(1.9) <x, x=1 =,,x

,,2

E

(1.10) <y, x=1 = <x, y=1

(1.11) <0, y=1 = 0.

Proviamo che:

(1.12) <x, z=1 + <y, z=1 = <x + y, z=1 .Da (1.8):

<x, z=1 + <y, z=1 =,,,x + z

2

,,,2

E+,,,x+ z

2

,,,2

E+,,,y + z

2

,,,2

E+,,,y + z

2

,,,2

E

e per (1.6):

<x, z=1 + <y, z=1 =1

2

-,,,x + y

2+ z

,,,2

E+,,,x+ y

2

,,,2

E

.+

+ 1

2

-,,,x + y

2+ z

,,,2

E+,,,x+ y

2

,,,2

E

.=

=1

2

-,,,x + y

2+ z

,,,2

E+,,,x + y

2+ z

,,,2

E

.=

= 2?x + y

2, z@

1.

(1.13)

Da (1.13) con y = 0 segue:

(1.14) <x, z=1 = 2?x

2, z@

1.

Pertanto:

(1.15) <x + y, z=1 = 2?x + y

2, z@

1.

Da (1.13) e (1.15) segue subito (1.12).Applicando m volte (1.12) con x = y si ottiene:

(1.16) m<x, z=1 = <mx, z=1 .Applicando n volte la (1.14):

(1.17)? x

2n, z@

1=

1

2n<x, z=1 .

Da (1.16) e (1.17) segue dunque:?m

2nx, z

@1

= m? x

2n, z@

1=

m

2n<x, z=1 .

Resta cosı provato:

(1.18) <#x, z=1 = # <x, z=1 se # =m

2n, m, n " Z+.

Sia # " R. Esiste una successione della formamh

2htale che # = lim

h'+(

mh

2h

(rappresentazione dei numeri reali in base 2).E immediato verificare che, fissati x, y " E, l’applicazione:

C 7 # +) (#x + y(E e continua.

Pertanto:?mh

2hx, y

@1

=,,,1

2

-mh

2hx + y

.,,,2

E+,,,1

2

-mh

2hx+ y

.,,,2

E+)

+),,,1

2

$#x + y

%,,,2

E+,,,1

2

$#x+ y

%,,,2

E=

= <#x, y=1 ;

(1.19)

mentre per (1.18):

(1.20)?mh

2hx, y

@1

=mh

2h<x, y=1 +) # <x, y=1 .

Da (1.19) e (1.20) segue:

(1.21) <#x, y=1 = # <x, y=1 * # " R.

Se E e uno spazio vettoriale sul campo R, (1.9), (1.10), (1.11), (1.12),(1.21) provano che <·, ·=1 e un prodotto scalare in E; (1.9) mostra che lanorma ad esso associata coincide con ( · (E .

Secondo Passo. Supponiamo che E sia uno spazio vettoriale comp-lesso. Poniamo:

(1.22) <x, y= = <x, y=1 + ı<x, ı y=1 , x, y " E

e proviamo che <·, ·= e un prodotto scalare in E.Da (1.12) e (1.13) segue subito:

(1.23) <x, z=+ <y, z= = <x + y, z=;

(1.24) <#x, y= = # <x, y=.Proviamo ora che:

(1.25) <x, y= = <y, x=.Per (1.9):

(1.26) <y, x= = <y, x=1 + ı<y, ı x=1 = <x, y=1 + ı<y, ı x=1 .Per le proprieta della norma:

<ı x, ı y=1 =,,,ı x + ı y

2

,,,2

E+,,,ı x+ ı y

2

,,,2

E=,,,x + y

2

,,,2

E+,,,x+ y

2

,,,2

E= <x, y=1 .

Quindi

(1.27) <y, ı x=1 = <+ı2y, ı x=1 = +<ı y, x=1 = +<x, ı y=1 .Da (1.26) e (1.27):

<y, x= = <x, y=1 + ı<x, ı y=1 = <x, y=.

E poi

<ı x, y= = <ı x, y=1 + ı<ı x, ı y=1 = <y, ı x=1 + ı<x, y=1 =

= +<x, ı y=1 + ı<x, y=1 = ı$<x, y=1 + ı<x, ı y=1

%=

= ı<x, y=.(1.28)

Le formule (1.24) e (1.28) danno subito:

(1.29) <#x, y= = #<x, y= * # " C.

Infine per (1.8):

<x, x= = <x, x=1 + ı<x, ı x=1 =

= (x(2 + ı-,,,

x + ı x

2

,,,2

E+,,,x+ ı x

2

,,,2

E

.=

= (x(2 + ı-<<<

1 + ı

2

<<<2+<<<1+ ı

2

<<<2.(x(2 = (x(2 3 0;

(1.30)

(1.31) <x, x= = 0 1 (x( = 0 1 x = 0.

Ora (1.25), (1.23), (1.29), (1.30), (1.31) assicurano che (x, y) ) <x, y= eun prodotto scalare su E. La formula (1.30) dice inoltre che la normaassociata al prodotto scalare coincide con ( · (. "

Il Teorema appena provato viene spesso “usato in senso negativo” cioeper provare che uno spazio normato non e pre–hilbertiano. Proviamo adesempio che gli spazi L

pcon p %= 2 non sono pre–hilbertiani.

Si considerino le funzioni

)(x) =

'1 0 . x . 10 1 . x . 2

+(x) =

'0 0 . x . 11 1 . x . 2

definite in [0, 2]. Abbiamo:

$)+ +

%(x) = 1, 0 . x . 2;

$)+ +

%(x) =

'1 0 . x . 1+1 1 . x . 2

;

()(p = (+(p = 1; ()+ +(p = ()+ +(p = 21p.

Quindi:

()+ +(2

p+ ()+ +(2

p= 2 · 2

2p;

2()(2

p+ 2(+(2

p= 4.

L’identita del parallelogramma vale per le due funzioni considerate se esolo se p = 2. Pertanto:

- se p %= 2, Lp(A) non e pre–hilbertiano, perche esiste almeno

una coppia di funzioni che viola l’identita del parallelogramma;

- se p = 2, le considerazioni precedenti non consentono di con-cludere ne in senso positivo ne in senso negativo, ma dall’esem-pio 3.1.2 c), sappiamo che L

2(A) e di Hilbert.

Teorema 3.1.6. Sia H uno spazio dotato di prodotto interno.Allora, per ogni y " H fissato, le applicazioni:

x ) <x, y=; x ) <y, x=,e l’applicazione x ) (x( sono uniformemente continue su H.

Dimostrazione. La disuguaglianza di Schwarz implica:<<<<x1 , y= + <x2 , y=

<<< =<<<<x1 + x2 , y=

<<< . (x1 + x2( · (y(,

e cio prova che x ) <x, y= e uniformemente continua, e questo vale ancheper x ) <y, x=.

Per la disuguaglianza triangolare:

(x1( . (x1 + x2(+ (x2(e quindi

(x1( + (x2( . (x1 + x2(.Scambiando x2 con x1 :

(x2( + (x1( . (x1 + x2(,ossia <<<(x1( + (x2(

<<< . (x1 + x2(,

sicche x ) (x( e uniformemente continua. "

Nel seguito H designera uno spazio dotato di prodotto interno.

2. Teoremi delle proiezioni, di Freche–Riesz, di Riesz–Fischer

Definizione 3.2.1. Sia M $ H. M e un sottospazio chiuso di Hse:

a) M e un sottospazio vettoriale di H;b) M e un insieme chiuso relativamente alla topologia indotta su

M dalla norma di H.

Definizione 3.2.2. Un sottoinsieme E di uno spazio vettoriale Xsi dice convesso se ha la seguente proprieta: quali che siano x, y " E,t " [0, 1] il punto zt = (1+ t)x + ty appartiene ad E.

Quando t varia tra 0 e 1, si puo visualizzare zt come un punto chedescrive il segmento (di retta di X) di estremi x ed y. La convessita

2. TEOREMI DELLE PROIEZIONI, DI FRECHE–RIESZ, DI RIESZ–FISCHER 75

richiede che E contenga i segmenti aventi per estremi due qualunque deisuoi punti.

E chiaro che ogni sottospazio di X e convesso. Inoltre se E e convessotale e anche ogni suo traslato:

E + x =8y + x : y " E

9.

Definizione 3.2.3 (Ortogonalita). Se x, y " H e <x, y= = 0,diciamo che x e ortogonale ad y e scriviamo x> y.

Poiche <x, y= = 0, allora <y, x= = 0, la relazione > e simmetrica.Denotiamo x. l’insieme di tutti gli y " H che sono ortogonali ad x; seM e un sottospazio di H indichiamo con M. l’insieme di tutti gli y " Hche sono ortogonali ad ogni x " M . Quindi:

x. =8y " H : <y, x= = 0

9;

(2.1) M. =/

y " H : y " x. * x " M0

=4

x!M

x..

Nota che x. e un sottospazio di H, poiche coincide con il nucleo dell’ap-plicazione lineare y ) <y, x=; tale sottospazio e chiuso perche y ) <y, x=e continua. La seconda uguaglianza in (2.1) dice che M. e intersezionedi sottospazi chiusi e quindi e esso pure un sottospazio chiuso di H.

Teorema 3.2.4 (della norma minima). Ogni sottoinsieme E nonvuoto, chiuso, convesso in uno spazio di Hilbert H, contiene un unicoelemento di norma piu piccola. (In altre parole c’e un unico x0 " E taleche (x0( . (x( per ogni x " E).

Dimostrazione. Sia ' = inf8(x(, x " E

9; dobbiamo provare che

esiste, ed e unico, un punto x0 " E tale che (x0( = '. L’esistenzae l’unicita verranno entrambe dedotte da una stima ottenuta mediantel’applicazione dell’identita del parallelogramma.

Osserviamo che se x, y " E, applicando l’identita del parallelogram-

ma adx

2,

y

2otteniamo

,,,x

2+

y

2

,,,2+,,,x

2+ y

2

,,,2

= 2,,,x

2

,,,2+ 2

,,,y

2

,,,2.

Quindi

(x+ y(2= 2 (x(2

+ 2 (y(2 + 4,,,x + y

2

,,,2

.


Poiche E e convesso,x + y

2" E. Quindi

,,,x + y

2

,,, 3 ', da cui:

(2.2) (x+ y(2 . 2 (x(2+ 2 (y(2 + 4 '

2 * x, y " E.

Dalla definizione di ', per le proprieta dell’estremo inferiore, segue cheper ogni n esiste xn " E tale che:

' . (xn( . ' +1

n.

Dunque:

(2.3) limn'+(

(xn( = '.

Proviamo che la successione {xn} e di Cauchy. Applicando ad xn ed xm

(elementi di E) la (2.2) otteniamo:

(xn + xm(2 . 2 (xn(

2+ 2 (xm(

2 + 4 '2.

Il limite per n ) +', m ) +' del secondo membro e 0, a causa di(2.3). Quindi:

(xn + xm( +) 0 per n, m ) +',

percio {xn} e di Cauchy. Poiche H e completo, esiste x0 " H tale che

xn +) x0 in H.

Essendo {xn} $ E, con E chiuso, x0 " E. Inoltre, per la continuitadella norma:

(2.4) (xn( +) (x0(.Da (2.3) e (2.4), per l’unicita del limite,

(x0( = '.

Abbiamo cosı provato l’esistenza di un elemento x0 " E tale che(x0( = '.

Proviamo l’unicita di tale elemento ragionando per assurdo: sia x1

un altro elemento di E con norma '. Applicando (2.2) alla coppia x0 , x1

si ottiene:(x1 + x0(

2 . 2 '2+ 2 '

2 + 4 '2

= 0.

Allora x1 = x0 . "

Teorema 3.2.5 (delle proiezioni). Sia M un sottospazio chiuso diuno spazio di Hilbert H. Allora esiste un’unica coppia di applicazioniP , Q,

P : H ) MQ : H ) M.

tali che:

i) x = P (x) + Q(x), per ogni x " H.

Le applicazioni P e Q verificano le ulteriori proprieta :

ii) x " M - P (x) = x, Q(x) = 0; x " M. - P (x) = 0,Q(x) = x;

iii) (x+ P (x)( = inf8(x+ y(, y " M

9;

iv) (x(2= (P (x)(2

+ (Q(x)(2;

v) P e Q sono lineari.

P e Q sono dette le “proiezioni ortogonali” di H su M e su M. rispet-tivamente.

Dimostrazione. Per ogni x " H l’insieme x+M e chiuso e convesso(M e chiuso per ipotesi, inoltre e convesso poiche e un sottospazio; ognitraslato di un insieme chiuso e convesso e chiuso e convesso).

Definiamo Q(x) come l’unico elemento di norma minima in x + M ;esso esiste in forza del Teorema 3.2.4. Definiamo poi P (x) = x+Q(x).Allora i) vale. Poniamo Q(x) = z.“Q(x) e l’unico elemento di norma minima in x + M” equivale a:

(2.5) z = x + y, y " M ; (z( . (x + y( * y " M.

La prima di queste relazioni assicura che P (x) " M :

P (x) = x+Q(x) = x+ z = +y " M (M e un sottospazio).

Proviamo ora che Q(x) " M., ossia che <z, y= = 0, per ogni y " M . Daz = x + y si ha x = z + y. Possiamo cosı riscrivere la seconda relazionein (2.5) nella forma:

(z( . (z + y + y( * y " M,

ossia, essendo8y + y, y " M

9= M ,

(2.6) (z( . (z + y( * y " M.

Sia ora y " M , (y( = 1. Allora per ogni scalare #, # y " M e da (2.6)segue:

(z(2 . (z + # y(2= <z + # y, z + # y= = (z(2

+ # <y, z=+ # <z, y=+ |#|2 .

Scegliendo # = +<z, y= si ottiene

0 . +|<z, y=|2

e quindi<z, y= = 0.

Se y " M \ {0} si ha percio

<z, y= = (y( ·?z,

y

(y(

@= 0.

Dunque Q applica H in M..Proviamo ora che P e Q sono le uniche applicazioni da H in M e

da H in M. per le quali valga i). In e!etti, se >P e >Q godono di questestesse proprieta da

x = P (x) + Q(x), x = >P (x) + >Q(x)

segue:

P (x)+ >P (x) = >Q(x)+Q(x).

Poiche P (x)+ >P (x) " M , >Q(x)+Q(x) " M. e M #M. = {0}1, neces-sariamente P (x) = >P (x); Q(x) = >Q(x).

Dimostriamo ii). Sia x " M . Allora x+P (x) " M e, per i), x+P (x) =Q(x) " M.. Poiche M #M. = {0}

x+ P (x) = Q(x) = 0.

In modo analogo si prova che se x " M., allora P (x) = 0, Q(x) = x.

iii) e vera per definizione di Q(x):

(x+ P (x)( = (Q(x)( = inf{(x+ y(, y " M}.

iv) segue da i) e da <P (x), Q(x)= = 0:

(x(2= <P (x) + Q(x), P (x) + Q(x)= =

= (P (x)(2+ <P (x), Q(x)=+ <Q(x), P (x)=+ (Q(x)(2

= (P (x)(2+ (Q(x)(2

.

Infine la linearita si ottiene applicando i) a x, y, #x+% y, con #,% " K:

x = P (x) + Q(x)

y = P (y) + Q(y)

#x + % y = P (#x + % y) + Q(#x + % y).

Da cui:

#P (x) + #Q(x) + % P (y) + %Q(y) = P (#x + % y) + Q(#x + % y),

1x $ M % M& & 'x, x( = 0 & x = 0

ossia

#P (x) + % P (y)+ P (#x + % y) = Q(#x + % y)+ #Q(x)+ %Q(y).

Il primo membro appartiene ad M , il secondo all’ortogonale di M , quindientrambi sono nulli, sicche P e Q sono lineari. "

Corollario 3.2.6. Se M e un sottospazio chiuso di H, M %= H,allora esiste in H un y %= 0 ortogonale ad M .

Dimostrazione. Sia x " H, x /" M . Per il Teorema delle proiezioni:x = P (x)+Q(x), P (x) " M , Q(x) " M.. Q(x) non puo essere 0 perchein tal caso si avrebbe x = P (x) " M . Dunque y = Q(x) gode delleproprieta richieste. "

Abbiamo gia osservato che, fissato y " H, x ) <x, y= e un’applicazionelineare continua da H in C. Molto importante e il fatto che tutte leapplicazioni lineari e continue da H in C sono di questo tipo.

Un’applicazione da H in C viene anche detta “funzionale su H”.

Teorema 3.2.7 (Frechet–Riesz). Se L e un funzionale lineare con-tinuo su uno spazio di Hilbert H, allora esiste uno ed un solo elementox0 " H tale che

(2.7) L(x) = <x, x0= * x " H.

Inoltre:

(2.8) (L( = supx!H\{0}

|L(x)|(x(

= (x0(.

Dimostrazione. Sia M =8x " H : L(x) = 0

9. M , nucleo di

un’applicazione lineare, e un sottospazio di H; essendo L continua, M echiuso.

Ora se M = H, il teorema si prova ponendo x0 = 0. Se M ! H,il Corollario 3.2.6 assicura l’esistenza di un y0 " M., y0 %= 0. PercioL(y0) %= 0.

Per ogni x " H e allora:

L-x+ L(x)

L(y0)y0

.= L(x)+ L(x)

L(y0)L(y0) = 0.

Cosı x+ L(x)

L(y0)y0 " M . Poiche y0 " M. si ha:

?x+ L(x)

L(y0)y0 , y0

@= 0 * x " H,

ossia:

<x, y0= =L(x)

L(y0)(y0(

2.

Quindi:

L(x) =?x,

L(y0)

(y0(2 y0

@.

Resta cosı provata (2.7) con x0 =L(y0)

(y0(2 y0 . Per provare (2.8) osserviamo

che da (2.7) e dalla disuguaglianza di Schwarz segue:

|L(x)|(x(

=|<x, x0=|(x(

. (x( · (x0((x(

= (x0(, x %= 0.

Quindi:

(L( = supx %=0

|L(x)|(x( . (x0(.

D’altra parte, ponendo x = x0 in (2.7), si ha:

L(x0) = (x0(2;

L(x0)

(x0(= (x0(.

Da cui (L( 3 (x0(. Resta cosı provata (2.8).L’unicita di x0 si prova facilmente. In e!etti, se fosse:

L(x) = <x, x0=, L(x) = <x, x$0= * x,

si avrebbe:<x, x0= = <x, x$

0= * x " H,

ossia<x, x0 + x$

0= = 0 * x " H.

In particolare:<x0 + x$

0, x0 + x$

0= = 0

onde x0 = x$0. "

Insiemi ortonormali

Definizione 3.2.8. Se V e uno spazio vettoriale, v1 , . . . , vk " V ec1 , . . . , ck scalari, allora c1v1 + · · ·+ckvk si dice una combinazione linearedi v1 , . . . , vk .L’insieme {v1 , . . . , vk} si dice linearmente indipendente se

c1v1 + · · · + ckvk = 0 - c1 = · · · = ck = 0.

Un sottoinsieme S di V si dice linearmente indipendente se ogni sottoin-sieme finito di S e linearmente indipendente.

Denotiamo con [S] l’insieme di tutte le combinazioni lineari di e-lementi di S, cioe l’insieme di tutte le combinazioni lineari di tutti isottoinsiemi finiti di S. [S] e chiaramente un sottospazio vettoriale diV ; inoltre se >V e un sottospazio di V che contiene S, allora >V / [S].Quindi [S] e il piu piccolo sottospazio di V che contiene S. [S] si dice lo“spazio generato da S”.

Sia A un insieme di indici e {u!}#!A un insieme di vettori in unospazio H dotato di prodotto scalare. L’insieme {u!}#!A si dice ortonor-male se soddisfa le seguenti condizioni:

(2.9) <u!, u&= =

'1 se # = %0 se # %= %

.

In altre parole i vettori devono essere due a due ortogonali e normalizzati.

Teorema 3.2.9. Se u1 , . . . , uk e un insieme ortonormale e se

x =k1

j=1

cjuj allora:

cj = <x, uj =, 1 . j . k; (x(2=

k1

j=1

|cj |2.

Dimostrazione. Entrambe le uguaglianze sono immediate conseguen-ze di (2.9):

<x, uj = =k1

h=1

ch<uh , uj = = cj ;

<x, x= =k1

j=1

cj

?uj ,

k1

h=1

chuh

@=

k1

j=1

cj

k1

h=1

ch <uj , uh= =k1

j=1

cjcj .

"

Corollario 3.2.10. Ogni insieme ortonormale S e linearmenteindipendente.

Dimostrazione. Sia {u1 , . . . , um} un sottoinsieme finito di S e sianoc1 , . . . , cm scalari tali che: c1u1 + · · · + cmum = 0.

Per il Teorema 3.2.9 (con x = 0)

c1u1 + · · · + cmum = 0 -m1

j=1

|cj |2

= 0 - cj = 0, j = 1, . . . , m.

"

Lemma 3.2.11. Sia V un sottospazio chiuso di uno spazio normatoH e sia y un elemento di H non appartenente a V . Allora lo spaziogenerato da V e y e chiuso.

Dimostrazione. Denotiamo V * lo spazio generato da V e y:

V * =8x + * y, x " V, * " K

9.

Sia z " V *, esiste allora una successione {zn} $ V * convergente a z.Poiche in uno spazio metrico le successioni convergenti sono limitate,esiste una costante c tale che:

(2.10) (zn( . c * n.

Poiche zn " V *, zn e della forma: zn = xn + *n y, xn " V , *n " K.Quindi (2.10) si riscrive nella forma:

(2.11) (xn + *n y( . c * n.

Discende da qui che la successione {*n} e limitata. (Infatti se cosı nonfosse, per ogni k esisterebbe un *nk

" {*n} tale che |*nk| > k. Poiche la

(2.11) implica(xnk

+ *nky( . c,

dividendo ambo i termini per |*nk| si otterrebbe

,,,xnk

*nk

+ y,,, .

c

|*nk|<

c

k+) 0.

Quindi la successionexnk

*nk

convergerebbe a +y; poiche tale successione

e costituita da elementi di V chiuso, si avrebbe +y e dunque y " V ,contro le ipotesi. Allora {*n} e limitata). Per il Teorema di Bolzano–Weierstrass e possibile estrarre da {*n} una sottosuccessione {*

n"k} con-

vergente ad un * " K. La successione zn"

k= x

n"k

+ *n"

ky estratta da

zn = xn + *n y converge a z; quindi xn"

k= z

n"k+ *

n"k

y, di!erenza di

due successioni convergenti in H, converge; sia x il suo limite. Poiche{x

n"k} $ V chiuso, x " V . Allora passando al limite in entrambi i

membri diz

n"k

= xn"

k+ *

n"k

y

si ottiene z = x + * y, con x " V e * " K. Cio prova che V * contienetutti i suoi punti di accumulazione. "

Teorema 3.2.12. Lo spazio generato da un numero finito di vettoridi uno spazio H dotato di un prodotto interno e chiuso.

Dimostrazione. Si ragiona per induzione osservando che {0} e cer-tamente un sottospazio chiuso di H ed utilizzando il Lemma 3.2.11. "

Problema 3.2.13 (di Approssimazione). Siano v1 , . . . , vm vettoriindipendenti di uno spazio di Hilbert H e sia x " H. Ci proponiamo dirisolvere il seguente problema.i) Determinare il minimo valore di

(2.12),,,x+

m1

j=1

*jvj

,,,

al variare di *1 , . . . ,*m " K.ii) Determinare i corrispondenti valori di *1 , . . . ,*m .

Soluzione. Sia M lo spazio generato da v1 , . . . , vm . Per il Teorema3.2.12, M e chiuso. Il Teorema delle proiezioni assicura allora l’esistenzae l’unicita di P (x) " M , Q(x) " M. tali che:

x = P (x) + Q(x); (x+ P (x)( = infy!M

(x+ y(.

Dunque il minimo di (2.12) e ' = (x+ P (x)( e P (x) e l’unico elementodi M che minimizza (2.12). Poiche P (x) " M , P (x) e della forma:

(2.13) P (x) = c1v1 + · · · + cmvm ,

per opportuni valori di c1 , . . . , cm . Il problema sara risolto se riusciremoa determinare c1 , . . . , cm e ' mediante i dati x e v1 , . . . , vm .

Poniamo:

(2.14) <vj , vi= = aj,i , <x, vi= = bi

ed osserviamo che x+ P (x) " M. e quindi

<x+ P (x), vi= = 0, i = 1, . . . , m

cioe:

<P (x), vi= = <x, vi= i = 1, . . . , m.

Pertanto per (2.13) e (2.14):

? m1

j=1

cjvj , vi

@= <x, vi= i = 1, . . . , m;

(2.15)m1

j=1

cjaj,i = bi , i = 1, . . . , m.

Questo e un sistema lineare di m equazioni nelle m incognite c1 , . . . , cm .Il Teorema delle proiezioni assicura l’esistenza e l’unicita di P (x) e quindil’esistenza e l’unicita della soluzione di (2.15). Pertanto il determinantedella matrice

$aj,i

%e diverso da 0 e *1 , . . . ,*m possono essere calcolati

da (2.15) in termini dei numeri aj,i e bi .Per calcolare ' = (x+ P (x)( osserviamo che:

P (x) " M, x+ P (x) " M. - <x+ P (x), P (x)= = 0.

Quindi:

'2

= <x+ P (x), x+ P (x)= = <x+ P (x), x= =

= (x(2 +m1

j=1

cj <uj , x= = (x(2 +m1

j=1

cjbj .(2.16)

Il problema e completamente risolto.Consideriamo ora il caso particolare in cui v1 , . . . , vm e un sistema

ortonormale. Allora la matrice$ai,j

%e la matrice unita: ai,j = 1 se

i = j, ai,j = 0 se i %= j. Quindi (2.15) da:

ci = bi , i = 1, . . . , m

e (2.16):

(2.17) '2

= (x(2 +m1

j=1

|bj |2

= (x(2 +m1

j=1

|<x, vj =|2.

"

La soluzione del Problema di approssimazione nel caso particolarein cui i vettori assegnati formano un sistema ortonormale fornisce ladimostrazione del seguente teorema:

Teorema 3.2.14. Sia {v1 , . . . , vm} un sistema ortonormale in unospazio di Hilbert H. Allora per ogni x " H:

,,,x+m1

j=1

<x, vj = vj

,,, .,,,x+

m1

j=1

*jvj

,,,

quali che siano gli scalari *1 , . . . ,*m e vale l’uguaglianza se e solo se*j = <x, vj =, per j = 1, . . . , m.

Il vettorem1

j=1

<x, vj = vj

e la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato da v1 , . . . , vm ese ' e la distanza di x da questo sottospazio, allora:

(2.18)m1

j=1

|<x, vj =|2

= (x(2 + '2.

Corollario 3.2.15. Se {uj}j!Ne un sistema ortonormale in uno

spazio di Hilbert H, allora, posto Axj = <x, uj =, vale per ogni x " H laseguente disuguaglianza:

(2.19)(1

j=1

|Axj |2 . (x(2

,

detta “disuguaglianza di Bessel”.

Dimostrazione. Dalla (2.18) segue, con le notazioni introdotte:

(2.20)m1

j=1

|Axj |2 . (x(2

, * x " H, * m " N.

Poichem1

j=1

|Axj |2

e la ridotta m–ma della serie(1

j=1

|Axj |2, per noti teoremi

sulle serie a termini non negativi, da (2.20) segue subito (2.19). "

Osservazione 3.2.16. Indichiamo con l2

lo spazio delle successioni{"n} di numeri complessi tali che

#n |"n |

2< '. E un semplice esercizio

provare che l2

e uno spazio di Hilbert con prodotto scalare:

<", -= =1

n

"n-n, " = {"n}, - = {-n} " l

2.

Indichiamo con ( · (2 la corrispondente norma in l2.

(2.19) assicura allora che per ogni x " H

Ax " l2

e

(2.21) (Ax(2 . (x(.

Sia F l’applicazione che ad ogni x " H fa corrispondere Ax " l2.

F : H ) l2

x 6) Ax.

F e lineare; inoltre per (1.15):

(F (x)+ F (y)(2 = (Ax+ Ay(2 = ("x+ y(2 . (x+ y(.Dunque F non aumenta le distanze; in particolare F e continua.

Vedremo ora che la completezza di H implica che F applica H sul2

e che, sotto certe condizioni su {un}, F e un’isometria, cioe che(Ax(2 = (x(, per ogni x " H. Allora naturalmente F sara iniettiva.

Teorema 3.2.17 (di Riesz–Fischer). Sia {uj}j!Nun insieme orto-

normale in uno spazio di Hilbert H e sia c = {cj}j!N" l

2. Allora esiste

un x " H tale che<x, uj = = cj , * j " N.

Dimostrazione. Per ogni n " N poniamo:

xn =n1

k=1

ckuk .

{xn}n!Ne una successione di Cauchy in H. In e!etti, se n > m

xn + xm =n1

k=m+1

ckuk

e per il Teorema 3.2.9:

(xn + xm( =n1

k=m+1

|ck |2.

Poiche la serie#

k |ck |2

e convergente, il secondo membro tende a 0.Dunque {xn} e di Cauchy. Poiche H e completo

xn +) x in H, per n ) +'.

Fissato j " N, l’applicazione H 7 y ) <y, uj = e continua (per il Teorema3.1.6). Pertanto:

(2.22) <xn , uj = +) <x, uj =.D’altra parte

<xn , uj = =n1

k=1

ck<uk , uj = =

'0 se n < jcj se n 3 j

.

3. TEOREMA DI PARSEVAL ED APPLICAZIONI 87

Quindi, fissato j:

(2.23) <xn , uj = +) cj per n )',

(2.22) e (2.23) portano subito alla tesi. "

3. Teorema di Parseval ed applicazioni

Definizione 3.3.1. Sia {uk}k!Nun insieme ortonormale in uno

spazio vettoriale H con prodotto scalare. {uk}k!Nsi dice massimale (o

completo) se nessun vettore di H puo essere aggiunto a {uk}k!Nin modo

tale che l’insieme risultante sia ancora ortonormale. Cio succede se e solose non esiste in H alcun x %= 0 che e ortogonale ad ogni uk .

Teorema 3.3.2 (Parseval). Sia {uk}k!Nun insieme ortonormale in

uno spazio di Hilbert H. Le seguenti quattro condizioni su {uk}k!Nsono

equivalenti:

a) {uk}k!Ne un insieme ortonormale massimale in H.

b) L’insieme S di tutte le combinazioni lineari di elementi di {uk}k!N

e denso in H.c) Per ogni x " H si ha: (x(2

=1

k!N

|Axk |2.

d) Se x, y " H, allora: <x, y= =1

k!N

Axk · Ayk.

Quest’ultima formula e nota come “Identita di Parseval”. Naturalmentec) e il caso particolare x = y di d). Con le notazioni precedentementeintrodotte, le uguaglianze in c) e d) si scrivono:

(x(2= (Ax(2

; <x, y= = <Ax, Ay=2 .

Dimostrazione. a) - b). Sia M la chiusura di S. Poiche S e unsottospazio, tale e anche M . Ragioniamo per assurdo: se S non fossedenso in H, allora sarebbe M ! H e, per il Corollario del Teorema delleproiezioni, M. conterrebbe un vettore non nullo e quindi {uk}k!N

nonsarebbe massimale. Dunque a) - b).

b) - c). Supponiamo che valga b). Fissato x " H, per ogni & > 0 esisteun y " S tale che (x+y( < &, ossia esistono u1 , . . . , um e *1 , . . . ,*m " Ktali che:

,,,x+m1

j=1

*juj

,,, < &.

Per il Teorema 3.2.14, se si sostituiscono i *j con <x, uj = = Axj la mag-giorazione si ra!orza. Quindi

,,,x+m1

j=1

Axjuj

,,, < &.

Ossia:?x+

m1

j=1

Axjuj , x+m1

h=1

Axhuh

@< &

2;

(x(2 +m1

j=1

Axj <uj , x= +m1

h=1

Axh<x, uh=+m1

j=1

Axj

m1

h=1

Axh<uj , uh= < &2;

(x(2 +m1

j=1

|Axj |2 +

m1

h=1

|Axh |2+

m1

j=1

|Axj |2

< &2;

(x(2 +m1

j=1

|Axj |2

< &2.

Per la disuguaglianza di Bessel:

0 . (x(2 +(1

j=1

|Axj |2.

Dunque:

0 . (x(2 +(1

j=1

|Axj |2

< &2

e, per l’arbitrarieta di &:

(x(2=

(1

j=1

|Axj |2.

Allora c) e provato.

c) - d). Fissiamo x, y " H. Se c) vale, allora, per ogni * " C:

<x + * y, x + * y= = <Ax + * Ay, Ax + * Ay=.Dunque:

(x(2+ 24* <y, x=+ |*|2(y(2

= (Ax(2+ 24* <Ay, Ax=+ |*|2(Ay(2

e, utilizzando ancora c):

24* <y, x= = 24* <Ay, Ax=.

Per * = 1 si ottiene:4<y, x= = 4<Ay, Ax=;

e per * = ı+5<y, x= = +5<Ay, Ax=.

Dunque <y, x= e <Ay, Ax= hanno uguali parte reale e parte immaginaria,quindi sono uguali. Si e cosı provato d).

d) - a). Da d) segue subito c) (prendendo x = y). Se a) fosse falsaesisterebbe x %= 0 in H tale che <x, uk= = 0 per ogni k " N. Si avrebbeallora per c):

<x, x= =1

k!N

|<x, uk=|2

= 0

e quindi x = 0, contro l’asserto x %= 0. La dimostrazione del teorema ecosı completa. "

Definizione 3.3.3. Un’applicazione lineare L fra due spazi diHilbert H1 e H2 si dice un “ isomorfismo di spazi di Hilbert” se L ebiettiva e conserva il prodotto scalare:

<x, y=1 = <L(x), L(y)=2 * x, y " H1.

Corollario 3.3.4. Se {uk}k!Ne un sistema ortonormale massimale

in uno spazio di Hilbert H, l’applicazione F da H in l2:

F : x ) Ax (Ax = {Axj}, Axj = <x, uj =)e un isomorfismo di spazi di Hilbert.

Dimostrazione. Il Teorema di Riesz–Fischer assicura che l’appli-cazione F e suriettiva; il Teorema di Parseval che F e iniettiva. Lalinearita di F e di immediata verifica. La conservazione del prodottoscalare e assicurata dall’Identita di Parseval. "

Serie Trigonometriche

Definizione 3.3.5. Una funzione f : R ) C si dice periodica diperiodo T se

f(x + T ) = f(x) * x " R.

E chiaro che una funzione periodica di periodo T avra periodo2T, 3T, . . ., come d’altra parte potrebbe avere periodo piu piccolo. Avolte quando si parla di periodo di una funzione si intende il piu piccoloperiodo positivo.

Una funzione periodica e definita su tutto R non appena sia nota inun intervallo [a, a + T [ di ampiezza T ; viceversa una funzione f definitain [a, a+T [ potra essere prolungata ad una funzione periodica, di periodoT , che denoteremo f '.

E chiaro che, anche nel caso che la funzione f sia regolare, non sipotra supporre che la funzione f ' sia continua. In generale, si avra unsalto nei punti a ± kT , con k " N, di ampiezza

S = limx'a+

f(x)+ limx'(a+T )$

f(x).

Se f e periodica di periodo T e integrabile in [0, T ], allora

(3.1)

6 a+T

af =

6 T

0f, * a " R.

Nel seguito considereremo funzioni periodiche di periodo 2/; cio none restrittivo, poiche se f e periodica di periodo T la funzione g(x) =

f- T

2/x.

e periodica di periodo 2/.

Indichiamo con Lp(T ), 1 . p < ', la classe di tutte le funzioni

f : R ) C misurabili, periodiche di periodo 2/ per le quali

6 (

"(|f |p < '

e assumiamo come norma di f " Lp(T )

(f(p,T =- 1

2/

6 (

"(|f |p

. 1p

.

L#

(T ) e la classe di tutte le funzioni periodiche di periodo 2/ apparte-nenti a L

#(R) con la norma

(f(#,T = (f(# = ess. sup |f |.Infine C(T ) denota la classe delle funzioni periodiche di periodo 2/continue in [+/,/] con la norma:

(f(# = sup |f |.Chiaramente, per 1 . p . ', se f " L

p(T ), allora f|[$&,&]

" Lp([+/,/])

e (f(p,T = cp (f(p,[$&,&].

Pertanto gli spazi Lp(T ) godono delle proprieta degli usuali spazi

Lp(A), con A $ Rn, µ(A) < '. In particolare sono completi, valgono

le inclusioni

1 < p < q < ' - L#

(T ) $ Lq(T ) $ L

p(T ) $ L

1(T ),

C(T ) e denso in Lp(T ), se 1 . p < '.(3.2)

Un polinomio trigonometrico e una somma finita della forma:

(3.3) P (t) = a0 +n1

k=1

(ak cos kt + bk sin kt), t " R,

dove a0 , a1 , . . . , an e b1 , . . . , bn " C.Tenuto conto delle identita di Eulero, (3.3) si scrive nella forma:

P (t) =n1

k="n

ckeıkt,

-c0 = a0 , ck =

ak + ıbk

2, k = 1, . . . , n, c$k =

ak + ıbk

2, k = 1, . . . , n

.

che in molti casi e piu conveniente.E evidente che ogni polinomio trigonometrico ha periodo 2/. In

L2(T ) definiamo il prodotto scalare mediante:

(3.4) <f, g= =1

2/

6 (

"(fg.

L2(T ) e uno spazio di Hilbert (nota che (3.4) si accorda con (3.2) se

p = 2).Posto:

uk(t) = eıkt, k " Z

un facile calcolo mostra che:

<uk , uh= =1

2/

6 (

"(eı(k"h)tdt =

'1 se k = h0 se k %= h

.

Dunque {uk}k!Ze un sistema ortonormale il L

2(T ), esso viene usual-

mente chiamato “sistema trigonometrico”. Dimostreremo ora che talesistema e massimale ed otterremo versioni concrete dei teoremi prece-dentemente provati nell’ambito degli spazi di Hilbert.

Teorema 3.3.6. Il sistema trigonometrico e massimale.

Dimostrazione. Per il Teorema di Parseval la massimalita del si-stema trigonometrico sara provata se dimostreremo che l’insieme deipolinomi trigonometrici e denso in L

2(T ). Per quanto osservato sopra,

cfr. (3.2), C(T ) e denso in L2(T ). E percio su%ciente provare che:

“per ogni f " C(T ) e per ogni & > 0 esiste un polinomio trigonometricoP tale che (f + P(2,T < &”.

Poiche per ogni g " C(T ):

(g(2,T =- 1

2/

6 (

"(|g|2

. 12

.- 1

2/sup |g|2

6 (

"(1. 1

2

= sup |g|,

la stima (f + P(2,T < & segue dalla sup |f + P | < &.La dimostrazione del teorema e cosı ricondotta a provare:

(3.5) “per ogni f " C(T ) e per ogni & > 0 esiste un polinomio

trigonometrico P tale che : supt!R

|f(t)+ P (t)| < &”.

A tale scopo supponiamo di avere una successione {Qk} di polinomitrigonometrici con le seguenti proprieta:

a) Qk(t) 3 0, * t " R, * k;

b)1

2/

6 (

"(Qk = 1, * k;

c) Qk +) 0 uniformemente in [+/,+'] & [',/], * ' > 0.

Posto:

-k(') = sup"+|t|+(

|Qk(t)|, ' > 0,

c) e equivalente a:

c’) limk'(

-k(') = 0, * ' > 0.

Ad ogni f " C(T ) associamo la funzione Pk(t) definita da:

Pk(t) =1

2/

6 (

"(f(t+ s)Qk(s)ds k = 1, 2, . . . .

Il cambiamento di variabile t+ s = s$ e la periodicita di f danno:

Pk(t) =1

2/

6 t+(

t"(f(s$)Qk(t+ s$)ds$ =

1

2/

6 (

"(f(s)Qk(t+ s)ds.

Poiche ogni Qk e un polinomio trigonometrico, Qk e della forma:

Qk(t) =

nk1

j="nk

a(k)

jeıjt.

Abbiamo cosı provato che Pk(t) converge uniformemente ad f . Resta dacostruire la successione {Qk} soddisfacente a), b), c). Cio si puo fare invari modi, eccone uno semplice. Poniamo:

Qk(t) = ck

-1 + cos t

2

.k

,

dove ck =1

12(

; ("(

-1+cos t

2

.kdt

, sicche Qk verifica b).

Poiche a) e evidente, resta da verificare c). Essendo Qk(t) pari edecrescente in [0,/], si ha:

(3.7) 0 . Qk(t) . Qk(') = ck

-1 + cos '

2

.k

, 0 < ' . |t| . /.

Al fine di ottenere una stima per ck , osserviamo che:

1

2/

6 (

"(

-1 + cos t

2

.k

dt =1

/

6 (

0

-1 + cos t

2

.k

dt >

>1

/

6 (

0

-1 + cos t

2

.k

sin t dt =

=1

/· 2

k + 1.

Dunque:

ck </

2(k + 1).

Da questo e da (3.7) segue quindi:

sup"+|t|+(

Qk(t) . /

2(k + 1) ·

-1 + cos '

2

.k

.

Poiche ' e positivo 1+ cos ' e minore di 2 e dunque il limite del secondomembro e zero. Cio prova c’) e completa la dimostrazione del teorema.

"

Con la dimostrazione precedente si e provato inoltre il seguente impor-tante teorema:

Teorema 3.3.7 (Stone–Weierstrass). Se f " C(T ) ed & > 0, alloraesiste un polinomio trigonometrico P tale che:

|f(t)+ P (t)| < &, * t " R.

4. SERIE DI FOURIER 95

Poiche ogni polinomio trigonometrico e approssimabile nella topologiadi C(T ) mediante polinomi (le funzioni seno e coseno sono sviluppabiliin serie di Taylor), dal Teorema 3.3.7 segue:

Teorema 3.3.8 (Weierstrass). Se f e una funzione continua su[a, b] esiste una successione di polinomi Pn tale che:

limn'(

Pn(x) = f(x)

uniformemente su [a, b].

4. Serie di Fourier

Definizione 3.4.1. Se f " L1(T ) poniamo:

(4.1) Afk =1

2/

6 (

"(f(t) e"ıktdt, k " Z.

In questo modo ad ogni f " L1(T ) si fa corrispondere una successione

di numeri complessi { Afk}k!Zdetti “coe%cienti di Fourier” di f .

La serie:

(4.2)1

k!Z

Afk eıkt

si dice “serie di Fourier” di f . Le sue somme parziali sono:

Sn(t) =n1

k="n

Afk eıkt, n = 0, 1, 2, . . . .

Poiche L2(T ) $ L

1(T ), i coe"cienti di Fourier (4.1) e quindi la serie di

Fourier sono definiti per ogni f " L2(T ).

Si presenta ora il problema: data f " L1(T ), la sua serie di Fourier e

convergente in un qualche senso? In caso positivo, converge ad f?Se si sceglie come ambiente L

2(T ), ossia f " L

2(T ), la risposta a

queste domande e fornita dai teoremi precedenti. Per renderci conto dicio, ricordiamo che L

2(T ) e uno spazio di Hilbert e che {eıkt}k!Z

e un

suo sistema ortonormale massimale. I coe%cienti di Fourier Afk non sono

altro che il prodotto scalare in L2(T ) di f per eıkt = uk(t):

Afk = <f, uk=.

I polinomi trigonometrici sono gli elementi dello spazio generato daivettori {eıkt}k!Z

. Il Teorema 3.2.14 assicura che fra tutti i polinomi

trigonometrici della forma:n1

k="n

*keıkt (n fissato),

quello che meglio approssima (nel senso di L2(T )) una funzione f "

L2(T ) e la ridotta Sn(t) della serie di Fourier di f . Poiche il sistema

trigonometrico e massimale, il Teorema di Parseval assicura che:

(4.3)1

k!Z

| Afk |2

= (f(2

2,T, f " L

2(T ).

Dunque l’applicazione F da L2(T ) in l

2, f ) { Afk} e iniettiva. La

dimostrazione del Teorema di Riesz–Fischer mostra che la successione

Sn(t) =n1

k="n

Afk eıkt converge in L2(T ) ad una funzione g, i cui coe%cienti

di Fourier Agk verificano: Agk = Afk , per ogni k, vale a dire F(g) = { Afk}.Da:

F(f) = { Afk}; F(g) = { Afk},segue, per l’iniettivita di F :

(4.4) f = g in L2(T ).

Poiche g e il limite in L2(T ) della successione delle somme parziali Sn(t)

della serie di Fourier di f si conclude, per (4.4), che tale serie convergein L

2(T ) ad f :

limn'(

(f + Sn(2,T = 0.

A questa stessa conclusione si puo pervenire utilizzando solo la (4.3)senza passare per il Teorema di Riesz–Fischer:

(4.5) (f + Sn(2

2,T=1

k

| Afk + ASn,k|2

=1

|k|>n

| Afk |2.

L’ultima uguaglianza segue da:

ASn,k = <Sn, eıkt= =n1

j="n

Afj <eıjt, eıkt= =

'0 se |k| > nAfk se |k| . n

.

Poiche#

k| Afk |

2e convergente (cfr. (4.3)), da (4.5) segue:

limn'(

(f + Sn(2

2,T= lim

n'(

1

|k|>n

| Afk |2

= 0.

Cosa si puo dire circa la convergenza puntuale delle serie di Fourier?


E chiaro che non possiamo aspettarci che la serie di Fourier di ognifunzione converga al valore della funzione in ogni punto, anche se cilimitiamo a considerare funzioni Riemann integrabili in [+/,/]. Perche,se consideriamo due funzioni che di!eriscono solo in un insieme finito dipunti, gli integrali che definiscono i loro coe%cienti di Fourier sarannouguali; quindi le due funzioni avranno la stessa serie di Fourier.

Che vi siano seri problemi riguardo alla convergenza puntuale delleserie di Fourier e provato dal fatto che a tutt’oggi non e noto se laseguente a!ermazione, apparentemente innocente, sia vera o falsa: “Perogni funzione continua f esiste un punto x nel quale la serie di Fourier dif converge”. E noto che esistono funzioni continue la cui serie di Fourierdiverge in un insieme non numerabile di punti.

Comunque, questa situazione non soddisfacente, si chiarisce in modoelegante se invece delle somme parziali Sn(t) consideriamo le loro mediearitmetiche:

0n(t) =S0(t) + S1(t) + · · · + Sn(t)

n + 1.

Teorema 3.4.2 (Fejer). Se f e continua (e naturalmente periodicadi periodo 2/), i.e. f " C(T ), e se {0n(t)} e la successione delle mediearitmetiche delle somme parziali della serie di Fourier di f , allora

limn'(

0n(t) = f(t)

uniformemente per ogni t.

La dimostrazione, dopo aver stabilito un’identita algebrica, segue lelinee di quella del Teorema 3.3.7 (inserita a sua volta nella dimostrazionedel Teorema 3.3.6). Tralasciamo la dimostrazione del Teorema di Fejer.

Facciamo pero notare la di!erenza fra il Teorema di Stone–Weier-strass e quello di Fejer: entrambi riguardano funzioni f " C(T ) ed en-trambi stabiliscono l’esistenza di una successione di polinomi trigono-metrici che converge ad f uniformemente, ma solo il secondo (Fejer) sta-bilisce una precisa relazione fra la successione dei polinomi approssimantie la serie di Fourier di f .

Il resto di questo capitolo e dedicato allo studio della convergenzapuntuale delle serie di Fourier.

Proposizione 3.4.3. Se f e Riemann integrabile in [a, b], allora:

(4.6) limn'(

6 b

af(t) cos(nt)dt = 0; lim

n'(

6 b

af(t) sin(nt)dt = 0.


Dimostrazione. Denotiamo R([a, b]) l’insieme delle funzioni Rie-mann integrabili su [a, b]. Abbiamo che:

f " R([a, b]) - f · f " R([a, b]) - |f |2 " L1([a, b]) 1 f " L

2([a, b]).

Sia f ' il prolungamento di f ad una funzione periodica di periodo T =b + a. Non e restrittivo supporre T = 2/, b = +a = /. Dunquef ' " L

2(T ); i suoi coe%cienti di Fourier sono:

Afk =1

2/

6 (

"(f(t) e"ıktdt, k " Z.

Per la disuguaglianza di Bessel, la serie#

k| Afk |

2e convergente. Quindi:

limk'(

Afk = 0

e 6 (

"(f(t) cos(kt)dt =

1

2

6 (

"(f(t) eıktdt +

1

2

6 (

"(f(t) e"ıktdt =

= /( Af$k + Afk) +) 0.

Analogamente si ottiene

6 (

"(f(t) sin(kt) +) 0. "

Proposizione 3.4.4. Il nucleo di Dirichlet:

(4.7) Dn(t) =n1

k="n

eıkt, n " N

verifica:

(4.8) Dn(t) =sin

-n + 1

2

.t

sin t2

;

(4.9)1

2/

6 (

"(Dn(t)dt = 1.

Dimostrazione. Da (4.7):

(eıt + 1)Dn(t) =n1

k="n

eı(k+1)t +n1

k="n

eıkt =

= eı(n+1)t + e"ınt.

(4.10)

Per ottenere (4.8) e su%ciente moltiplicare entrambi i membri di (4.10)

per e"ı t2 ed utilizzare le formule di Eulero.

La (4.9) segue immediatamente da (4.7) integrando ogni addendodella sommatoria. "

Notazioni 3.4.5. Denotiamo con R(T ) lo spazio delle funzionif : R ) C periodiche di periodo 2/, Riemann integrabili in [+/,/].

Sia f " R(T ). La ridotta n–ma della sua serie di Fourier, con le notazioniintrodotte (cfr. (4.7)) ha la seguente espressione:

Sn(x) =n1

k="n

Afkeıkx =n1

k="n

1

2/

-6 (

"(f(t) e"ıktdt

.eıkx =

=1

2/

6 (

"(f(t)

- n1

k="n

eık(x"t).dt =

1

2/

6 (

"(f(t)Dn(x+ t)dt =

=1

2/

6 t+(

t"(f(x+ t$)Dn(t$)dt$ =

1

2/

6 (

"(f(x+ t)Dn(t)dt;

(4.11)

per l’ultima uguaglianza si e osservato che essendo l’integranda periodicadi periodo 2/, e irrilevante l’intervallo su cui si integra a patto che abbialunghezza 2/.

Teorema 3.4.6 (Principio di localizzazione). Se f " R(T ) e0 < ' < / allora:

(4.12) limn'(

6

"+|t|+(f(x+ t)Dn(t)dt = 0.

Dimostrazione. Fissiamo x e poniamo:

g(t) =

50 se |t| < '

f(x"t)sin t

2

se ' . |t| . / .

Per (4.8):

6

"+|t|+(f(x+ t)Dn(t)dt =

6

"+|t|+(f(x+ t)

sin-n + 1

2

.t

sin t2

dt =

=

6 (

"(g(t) sin

-n +

1

2

.t dt =

=

6 (

"(g(t) cos

t

2sinnt dt +

6 (

"(g(t) sin

t

2cos nt dt.

Poiche1

sin t2

e R–integrabile in ' . |t| . /, g e R–integrabile in [+/,/];

quindi tali sono anche g(t) cos t2 e g(t) sin t

2 . Per la Proposizione 3.4.3,entrambi gli integrali tendono a zero e questo da (4.12). "

Corollario 3.4.7. Abbiamo che

limn'(

6

"+|t|+(Dn(t) dt = 0.

Dimostrazione. Basta prendere f = 1 in (4.12). "

Osservazione 3.4.8. Il Teorema 3.4.6 e usualmente detto “Teore-ma della localizzazione”. Esso mostra che il comportamento della suc-cessione Sn(x) dipende soltanto dai valori di f in un arbitrario intornodi x.

Supponiamo che la serie di Fourier di f converge ad f per ogni x,lim

n'(Sn(f, x) = f(x) e poniamo:

f1(x) = f(x) + r(x) $(x), r " R(T ),

dove $(x) e la funzione caratteristica di un intervallo [x0 + 1, x0 + 1] $[+/,/], 1 > 0. Studiamo il comportamento della serie di Fourier di f1 :

Sn(f1 ; x) = Sn(f, x) + Sn(r$, x) =

= Sn(f, x) +1

2/

6 (

"(r(x+ t) $(x+ t)Dn(t) dt.

Quindi per il Teorema di localizzazione con ' = $2 :

(4.13) limn'(

Sn(f1 ; x) = f(x)+ limn'(

1

2/

6

|t|< '2

r(x+ t) $(x+ t)Dn(t) dt.

Studiamo questo limite per |x+ x0 | > 321 e per |x+ x0 | . 3

21 separata-mente.

|x+ x0 | > 321

|t| < $2

B- |x+ x0 + t| 3

<<<|x+ x0 |+ |t|<<< >

3

21+ 1

2= 1.

Ma $(x+ t) = 0 se |x+ t+ x0 | > 1. Quindi se |x+ x0 | 3 321 l’integrale

in (4.13) vale zero per ogni n:

limn'(

Sn(f1 ; x) = f(x), * |x+ x0 | 33

21.

Se |x + x0 | < 321 il limn'( Sn(f1 ; x) non e detto che esiste e, se anche

esiste, sara in generale diverso da f(x).

Pertanto due serie di Fourier possono avere lo stesso comportamentoin un intervallo ed avere un comportamento completamente di!erente inun altro. Esiste quindi un netto contrasto fra il comportamento delleserie di Fourier e quello delle serie di potenze.

Definizione 3.4.9. Diciamo che una funzione f soddisfa la con-dizione di Lipschitz a x se esistono M e ' > 0 tali che:

(4.14) |y + x| < ' - |f(y)+ f(x)| . M |y + x|

(M e ' possono dipendere da x).

Teorema 3.4.10. Sia f " R(T ). Se f soddisfa la condizione diLipschitz a x, allora la serie di Fourier di f converge in x.

Dimostrazione. Per (4.11) e (4.9):

Sn(x)+ f(x) =1

2/

6 (

"(f(x+ t)Dn(t) dt+ 1

2/

6 (

"(f(x)Dn(t) dt =

=1

2/

6 (

"([f(x+ t)+ f(x)] Dn(t) dt.

(4.15)

Per ipotesi esistono M e ' > 0 tali che (4.14) vale. Fissato & > 0arbitrario, definiamo '1 = min(&, ') e riscriviamo (4.15) nella forma:

Sn(x)+ f(x) =1

2/

6

"1+|t|+([f(x+ t)+ f(x)] Dn(t) dt+

+1

2/

6

|t|+"1

[f(x+ t)+ f(x)] Dn(t) dt.

Per il Teorema 3.4.6 ed il Corollario 3.4.7, esiste n! tale che per ognin > n! il primo integrale ha modulo minore di &. Quanto al secondoosserviamo che |t| . '1 - |t| < ' e per (4.14) (ricordando anche (4.8)):

<<<[f(x+ t)+ f(x)] Dn(t)<<< . M |t|

<<<sin

$n + 1/2

%t

sin t/2

<<< . 2M, |t| < '1 , * n.

Poiche 0 < '1 < &, segue da qui:<<<

1

2/

6

|t|<"1

[f(x+ t)+ f(x)] Dn(t)<<< . M'1 < M&, * n.

Dunque se n > n! :

|Sn(x)+ f(x)| < (1 + M)&,


i.e.

limn'(

Sn(x) = f(x).

"

Definizione 3.4.11. Una funzione f si dice regolare a tratti in [a, b[se ha derivata continua in [a, b[ fatta eccezione per un numero finito dipunti x1 , . . . , xm , in ognuno dei quali esistono finiti i limiti:

limx'x+

j

f(x) =: f(xj + 0), limx'x$

j

f(x) =: f(xj + 0)

limx'x+

j

f $(x) = limt'0+

f(x + t)+ f(xj + 0)

t=: f $(xj + 0)

limx'x$

j

f $(x) = limt'0$

f(x + t)+ f(xj + 0)

t=: f $(xj + 0).

Teorema 3.4.12. Sia f " R(T ) regolare a tratti in [+/,/[. Allora

per ogni x la serie di Fourier di f converge af(x + 0)+ f(x+ 0)

2. In

particolare tale serie converge ad f(x) in ogni punto in cui f e continua.

Dimostrazione. Fissiamo x. Poiche Dn(t) e una funzione pari evale (4.9), abbiamo:

1

2=

1

2/

6 0

"(Dn(t) dt =

1

2/

6 (

0Dn(t) dt.

Quindi:(4.16)f(x + 0) + f(x+ 0)

2=

1

2/

6 0

"(f(x+0)Dn(t) dt+

1

2/

6 (

0f(x+0)Dn(t) dt

e

Sn(x) =1

2/

6 (

"(f(x+ t)Dn(t) dt =

1

2/

6 (

"(f(x + t)Dn(t) dt =

=1

2/

6 0

"(f(x + t)Dn(t) dt +

1

2/

6 (

0f(x + t)Dn(t) dt.

(4.17)

Sottraendo (4.17) a (4.16) si ottiene:

Sn(x)+ f(x + 0) + f(x+ 0)

2=

1

2/

6 0

"([f(x + t)+ f(x + 0)]Dn(t) dt+

+1

2/

6 (

0[f(x + t)+ f(x+ 0)] Dn(t) dt.

(4.18)

Posto:

(4.19) G(t) =

()

*

f(x + t)+ f(x+ 0) se t < 00 se t = 0

f(x + t)+ f(x + 0) se t > 0.

La (4.18) si riscrive nella forma:

Sn(x)+ f(x + 0)+ f(x+ 0)

2=

1

2/

6 (

"(G(t)Dn(t) dt =

1

2/

6 (

"(

G(t)

t

t

sin t2

cost

2sinnt dt +

1

2/

6 (

"(

G(t)

tcos nt dt.

Proveremo sotto cheG(t)

t" R(T ). Poiche chiaramente

t

sin t2

e cost

2"

R(T ) ed il prodotto di funzioni R–integrabili e R–integrabile, ciascunodei due ultimi integrali avra limite zero per n ) ', in forza dellaProposizione 3.4.3; il teorema sara cosı provato.

Dalla definizione di G(t) i punti di discontinuita diG(t)

tsono, con

le notazioni della Definizione 3.4.11:

t = 0, t = tj = xj + x, j = 1, . . . , m, xj %= x.

Abbiamo:

limt'0+

G(t)

t= f $(x + 0); lim

t'0$

G(t)

t= f $(x + 0);

limt't+j

G(t)

t=

1

tj

[f(xj + 0)+ f(x + 0)] j = 1, . . . , m;

limt't$j

G(t)

t=

1

tj

[f(xj + 0)+ f(x + 0)] j = 1, . . . , m.

Poiche ciascuno di questi limiti e finito,G(t)

te R–integrabile su [+/,/].

CAPITOLO 4

Trasformata di Fourier


Definizione 4.1.1. Se f " L1

si chiama “trasformata di Fourier”di f la funzione:

(1.1) Af(") =

6e"ıx )f(x) dx, " " Rn, x " =

n1

j=1

xj"j .

Osservazione 4.1.2. a) Per ogni " " Rn:

|eıx )f(x)| = |f(x)| " L1.

Pertanto l’integrale a secondo membro di (1.1) assume un valore finitoper ogni " " Rn, i.e. Af e definita per ogni " " Rn.b) Per il Teorema di “continuita degli integrali dipendenti da un para-metro” Af " C0

(Rn). Infatti, posto:

F (x, ") = e"ıx )f(x), x, " " Rn,

si ha " ) F (x, ") e continua e |F (x, ")| = |f(x)| " L1.

Esempio 4.1.3. Sia $[a,b] la funzione caratteristica dell’intervallo

[a, b] $ R. Allora:

A$[a,b](") =

6 b

ae"ıx )dx =

e"ıb ) + e"ıa )

+ı", " %= 0.

In particolare:

A$["a,a](") =

e"ıa ) + eıa )

+ı"=

2

"· eıa ) + e"ıa )

2ı=

2 sin a"

", " %= 0.

Inoltre A$["a,a](0) =

6 a

"adx = 2a. Poiche

lim)'0

2 sin a"

"= 2a,

105

106 4. TRASFORMATA DI FOURIER

A$["a,a] risulta essere una funzione continua, in accordo con quanto os-

servato in b).

Si verifica altresı agevolmente che anche A$[a,b] " C0

(R). In e!etti:

A$[a,b](") =

e"ıb )

ı·2eı(b"a)) + 1

"

3, " %= 0,

quindi

lim)'0

A$[a,b](") =

1

ı

- d

d"eı(b"a))

.(0) = b+ a.

Inoltre A$[a,b](0) =

6 b

adx = b + a. Dunque A$

[a,b] risulta continua. Si

osservi che A$[a,b] /" L

1.

Esempio 4.1.4. Trasformata di Fourier di x ) e"x2, x " R.

Abbiamo:

(1.2) (e"x2) (") =

6e"ı x)"x2

dx = e"(2

4

6e"(x+ ı (

2 )2dx.

Posto f(z) = e"z2, z " C, l’ultimo integrale scritto e l’integrale di f(z)

lungo la retta del piano complesso di equazione z = t + ı )2 , t " R.Ricordiamo la seguente semplice conseguenza del Teorema di Cauchy:

Proposizione. Sia f " O(Sa,b), Sa,b = {z " C : a < 5z < b}.Se per ogni y " [a, b], limx'±( f(x + ı y) = 0, allora, indicata con 2c laretta {z = t + ı c, t " R}, si ha:

6

*c1

f(z)dz =

6

*c2

f(z)dz * c1 , c2 " ]a, b[.

Nel caso f(z) = e"z2abbiamo f " O(C) e |f(x + ı y)| = e"(x2"y2).

Quindi per ogni y " R si ha limx'±( f(x+ ı y) = 0. Per la Proposizioneprecedente: 6

*c

e"z2dz =

6

*0

e"z2dz * c " R;

ossia 6 +(

"(e"(t+ı c)2dt =

6 +(

"(e"t2dt =

,/.

Da (1.2) segue quindi:

(1.3) (e"x2) (") =

,/ e")

2/4.

1. TRASFORMATA DI FOURIER IN L1

107

Osserviamo che " ) (e"x2) (") e indefinitamente di!erenziabile ed ap-

partiene ad L1.

E ora agevole calcolare la trasformata di Fourier di e"|x|2 , x " Rn.Infatti:

(e"|x|2) (") =

6e"ı x)"|x|2dx =

6e$ı n

j=1 xj(j$nj=1 x2

jdx =

=

6 nC

j=1

$e"ı xj)j"x2

j%dx =

nC

j=1

6 +(

"(e"ı xj)j"x2

j dxj =

=nC

j=1

(e"x2j ) ("j) =

nC

j=1

$,/ e"

(2j4%

=

= /n/2 e"|)|2/4.

(1.4)

Proposizione 4.1.5. L’applicazione F : f ) Af e un’applicazionelineare continua da L

1in L

#con:

(1.5) supRn

| Af(")| . (f(1 .

Dimostrazione. Se f " L1

da (1.1) segue:

| Af(")| .6

|f(x)| dx, * " " Rn.

Abbiamo cosı provato (1.5). Questa stima prova che F applica L1

inL

#. La linearita di F e conseguenza della linearita dell’integrale. La

continuita e assicurata da (1.5). "

Teorema 4.1.6 (Riemann–Lebesgue). Se f " L1(Rn), allora:

(1.6) lim|)|'+(

Af(") = 0.

Dimostrazione. Cominciamo col provare (1.6) per le funzioni carat-teristiche di un intervallo.

Sia I = {x " Rn : aj . xj . bj , 1 . j . n} un intervallo

n–dimensionale e sia f = $I la sua funzione caratteristica. E

A$I(") =

6

Ie"ı x) dx =

nC

j=1

6 bj

aj

e"ı xj )j dxj .

Sia ora |"h | = maxj=1,...,n |"j |. Poiche dobbiamo far tendere |"| all’infini-to, possiamo supporre |"| > 1. Quindi |"h | %= 0.Inoltre:

|"| .,

n maxj

|"j | =,

n |"h |.

Dunque:

<<A$I(")

<< .nC

j=1j '=h

(bj + aj )<<<6 bh

ah

e"ı xh)h dxh

<<< . c<<<e"ı bh)h + e"ı ah)h

ı "h

<<< .

. c · 2

|"h |. c · 2

,n

|"|+) 0, per |"|) +',

dove c =nC

j=1j '=h

(bj+aj ). Abbiamo cosı provato che se f e la funzione carat-

teristica di un intervallo n–dimensionale, la sua trasformata di Fouriertende a 0 per |"|) +'. Lo stesso accade percio se f e una combinazionelineare finita di tali funzioni caratteristiche.

Sia ora f " L1. E noto che f puo essere approssimata nella metrica di

L1

da una successione di funzioni ognuna delle quali e una combinazionelineare di funzioni caratteristiche di intervalli n–dimensionali.

Pertanto, dato & > 0 esiste g, combinazione lineare di funzionicaratteristiche di intervalli, tali che:

(f + g(1 < &.

Si ha allora, utilizzando (1.5) e la linearita della trasformata di Fourier:

| Af(")| . | Af(")+ Ag(")| + |Ag(")| . (f + g(1 + |Ag(")| < &+ |Ag(")|.

Per quanto premesso, esiste un '# tale che |Ag(")| < & per ogni " " Rn

con |"| > '#. Quindi:

| Af(")| < 2&, * " " Rn, |"| > '#.

Cio prova il teorema. "

Corollario 4.1.7. Se f " L1, la sua trasformata di Fourier appar-

tiene allo spazio C0 delle funzioni continue convergenti a 0 all’infinito.

Dimostrazione. Immediata conseguenza del Teorema 4.1.6 e delpunto b) dell’Osservazione 4.1.2. "

109

Osservazione 4.1.8. Se f " L1, le applicazioni:

Rn ) C" 6) Af(")

L1 ) L

#

f 6) Af

sono entrambe continue. Esse sono pero di natura diversa. In particolarela seconda e lineare (vedi Proposizione 4.1.5), mentre la prima non lo e(confronta gli Esempi 4.1.3 e 4.1.4). La continuita e naturalmente daintendersi negli spazi su cui le applicazioni sono definite: Rn, L

1, muniti

della metrica euclidea e della metrica di L1

rispettivamente.

Teorema 4.1.9. Se f, g " L1

allora:

i) (f 9 g) = Af · Ag;ii)

; Af g =;

f Ag.

Dimostrazione. Abbiamo:

(1.7) (f 9 g) (") =

6e"ı x)

-6f(x+ y) g(y)dy

.dx.

Poiche:6 -6

|e"ı x)f(x+ y) g(y)|dx.dy =

=

6|g(y)|

-6|f(x+ y)|dx

.dy = (f(1 · (g(1 < ',

il Teorema di Fubini–Tonelli ci consente di cambiare l’ordine di inte-grazione a secondo membro di (1.7). Abbiamo cosı:

(f 9 g) (") =

6g(y)

-6e"ı x)f(x+ y) dx

.dy = x+ y = x!

=

6e"ı y)g(y)

-6e"ı x")f(x$)dx$

.dy =

= Af(") · Ag(").

Resta cosı provato i).Quanto a ii) osserviamo che per la Proposizione 4.1.5, Af " L

#;

quindi Af g " L1. Analogamente f Ag " L

1. Gli integrali a primo e se-

condo membro di ii) sono entrambi finiti. Verifichiamo che sono uguali.


Utilizzando come sopra il Teorema di Fubini–Tonelli, abbiamo:6

Af(") g(")d" =

6 -6e"ı x)f(x) dx

.g(")d" =

=

6f(x)

-6e"ı x)g(") d"

.dx =

=

6f(x) Ag(x)dx.

Cio completa la dimostrazione del teorema. "

Proposizione 4.1.10. Sia f " L1

allora:

i) (!hf) (") = e"ı h) Af(");

ii) ('af) (") = a"n Af( )a), dove ('af)(x) = f(ax), con a > 0;

iii)$eı xhf(x)

%(") =

$!h

Af%(").

Dimostrazione. Semplici verifiche. "

Proposizione 4.1.11. Se f ed |x|mf " L1

allora Af " Cm e

(1.8) ,! Af(") =-(+ı x)!f

.(").

Dimostrazione. E

(1.9) Af(") =

6e"ı x)f(x) dx.

Proveremo (1.8) verificando che sono soddisfatte le ipotesi del Teoremadi “derivazione sotto il segno di integrale” per gli integrali dipendentida un parametro.

Posto:

(1.10) F (x, ") = e"ı x)f(x),

abbiamo:

(1.11) ,!) F (x, ") = (+ı x)!e"ı x)f(x), * # " Zn+

e|,!) F (x, ")| = |x!f(x)| . (1 + |x|m)|f(x)| * |#| . m.

Per ipotesi l’ultimo termine e sommabile. Il teorema sopra citato assi-cura che la funzione " )

;F (x, ")dx ammette derivate di ordine . m e

che:

,!)

6F (x, ")dx =

6,!) F (x, ")dx.

111

Cio , in vista di (1.9), (1.10), (1.11), equivale a (1.8). "

Proposizione 4.1.12. Se f " Cm, ,!f " L1, per ogni |#| . m ed

inoltre lim|x|'+(

,!f(x) = 0, per ogni |#| . m+ 1, allora

(1.12)$,!f

%(") = (ı ")! Af("), * |#| . m.

Dimostrazione. Cominciamo col provare (1.12) per ogni |#| = 1.Abbiamo:

(,xkf) (") =

6e"ı x)(,xk

f)(x)dx =

=

6

Rn$1e"ı x")"

-6 +(

"(e"ı xk)k,xk

f(xk , x$)dxk

.dx$,

(1.13)

dove si e posto x = (xk , x$), x$ = (x1 , . . . ,,xk , . . . , xn) " Rn"1 e dunque

x" = x$"$ + xk"k . Integrando per parti si ottiene:

(1.14)

6 +(

"(e"ı xk)k,xk

f(xk , x$)dxk =

= e"ı xk )k f(xk , x$)<<<xk(+#

xk($#+6

f(xk , x$)(+ı "k)e"ı xk)k dxk .

Poiche la funzione e"ı xk)k e limitata e per ipotesi lim|x|'+(

f(x) = 0, si

ha:lim

xk'±(e"ı xk )k f(xk , x$) = 0.

Resta cosı provato che il primo addendo a secondo membro di (1.14) enullo. Da (1.13) e (1.14) segue quindi:

(,xkf) (") = ı "k

6

Rn$1e"ı x")"

-6 +(

"(e"ı xk)k f(xk , x$)dxk

.dx$ =

= ı "k

6

Rne"ı x)f(x)dx = ı "k

Af(").

(1.15)

Dunque la (1.12) nel caso |#| = 1 e provata. Osserviamo che per ot-tenere questo risultato abbiamo solo utilizzato le ipotesi: f, ,xk

f " L1,

lim|x|'+(

f(x) = 0.

Supponiamo di aver provato (1.12) per ogni |#| . m1 < m. Sia% = #+ ek con |#| = m1 . Allora:

(1.16) ,&xf = ,xk,!f, |%| = m1 + 1 . m.


Per ipotesi abbiamo ,!f, ,&f " L1

e lim|x|'+(

,!f(x) = 0. La (1.15) con

,!f in luogo di f fornisce

(1.17)$,xk

,!f%

(") = ı "k(,!f) (").

Per l’ipotesi induttiva e inoltre

(1.18) (,!f) (") = (ı ")! Af(").

Da (1.16), (1.17), (1.18) segue:

(,&xf) (") = ı "k(ı ")! Af(") = (ı ")& Af(").

Dunque (1.12) e vera per ogni |%| = m1 + 1. Per induzione (1.12) e veraper ogni |%| . m. "

Notazioni 4.1.13. Poniamo Dj = +ı ,j ; D!j

j = (+ı)!j,!j

j , con

#j " Z; D! = D!11 · · ·D!n

n , # = (#1, . . . ,#n) " Z+n . Abbiamo dunque:

(1.19) D! = (+ı)!,! e ,! = (ı)|!|D!.

Con tali notazioni la (1.8) diventa:

(ı)|!|D! Af(") =$(+ı x)!f

%(").

Quindi:

(1.8$) D! Af(") =$(+x)!f

%(").

Analogamente la (1.12) diventa:

(1.12$)$D! f

%(") = "! Af(").

Si noti che in (1.8$) e (1.12$) non compare piu ı.

Le notazioni sopra introdotte sono particolarmente convenienti quandosi studiano equazioni di!erenziali lineari. Diamone un semplice esempio.

Esempio 4.1.14. Sia P un “operatore di!erenziale lineare a coef-ficienti costanti”, vale a dire un operatore della forma:

P =1

|!|+m

c!,!, con c! " C, m " Z+.

Per (1.19):

P =1

|!|+m

c! (ı)|!|D!,


113

ossia:

(1.20) P =1

|!|+m

a! D!, con a! = (ı)|!|c! " C.

Sia f : & ) C una funzione assegnata (& $ Rn). Consideriamol’equazione:

(1.21) Pu = f.

Una funzione u si dice “soluzione in &” di tale equazione se

(1.22)1

|!|+m

a! D! u(x) = f(x), * x " &.

Se f e dotata di trasformata di Fourier, applicando ad entrambi i membridi (1.22) tale trasformazione, abbiamo:

1

|!|+m

a!$D! u

%(") = Af(").

Quindi, per (1.12$):

(1.23)- 1

|!|+m

a! "!.Au(") = Af(").

L’espressione entro parentesi tonde e un polinomio di grado m nellavariabile " " Rn, a coe"cienti complessi. Esso si ottiene formalmentedal secondo membro di (1.20) sostituendo a D la variabile " e viene

detto “simbolo dell’operatore P”: se P =1

|!|+m

a! D!, il simbolo di P e

il polinomio P (") =1

|!|+m

a! "!. Quindi (1.23) si scrive nella forma:

(1.23$) P (") Au(") = Af(").

Se P (") %= 0, per ogni " " Rn, si ottiene da qui:

Au(") =Af(")

P (").

Si presentano ora due problemi.

1) Esiste una funzione u la cui trasformata di Fourier siaAf(")

P (")?

2) In caso a!ermativo, qual e l’espressione di u, o, quantomeno,di quali proprieta gode u?


Si tratta in definitiva del problema dell’“inversione della trasformata diFourier”. I teoremi che seguono forniscono una risposta nell’ambito L

1.

Teorema 4.1.15. Se f e 3 appartengono ad L1

e ) = (2/)"nA3,allora per ogni & > 0:

(1.24) (2/)"n6

eı x) Af(")3(& ")d" =

6f(y))#(y + x)dy,

ove 3(& ") = &"n)-x

&

.. In particolare:

(1.25)

(2/)"n6

eı x) Af(")e"! |)|2d" =

6f(y)W (y + x,#) dy, # > 0,

dove:

W (x, &) = (2/)"n$e"# |)|

2%(x) = (4/&)"n/2e"|x|2/4#,

e detto “Nucleo di Weierstrass”.

Dimostrazione. Posto g(") = (2/)"neı x) 3(& "), il primo membrodi (1.24) e uguale a (cfr. Teorema 4.1.9 ii)):

6g(") Af(") d" =

6f(y)Ag(y) dy.

Poiche:

g(") = (2/)"neı x)$'#3

%("),

tenendo conto della Proposizione 4.1.10 ii) e iii) abbiamo:

Ag(y) = (2/)"n$'#3

%(y + x) = (2/)"n&"nA3

-y + x

&

.= )#(y + x).

La (1.24) e cosı provata.L’uguaglianza (1.25) si ottiene da (1.24) ponendo 3(") = e"|)|2 ,

& = #1/2. "

Teorema 4.1.16. Se f " L1

allora

(1.26) (2/)"n6

eı x) Af(") e"#|)|2d" +) f, per &) 0

nella metrica di L1.

Dimostrazione. Poiche il nucleo di Weierstrass e a simmetria ra-diale, il secondo membro di (1.25) e uguale alla convoluzione di f con

115

W (·,#). Pertanto:

(1.27) (2/)"n6

eı x) Af(") e"#|)|2d" =

-f 9W (·, &)

.(x).

Poniamo )(") = (4/)"n/2 e"|)|2/4. Allora:

) " L1

e

6) = 1

(porre )2 = x e ricordare che

;e"|x|2dx = /n/2).

Per un teorema sulle convoluzioni, posto ))!(x) = &"

n2 )

- x,&

., si

ha:

(1.28) f 9 ))!+) f, per &) 0 in L

1.

Essendo ))!(x) = W (x, &), da (1.27) e (1.28) segue subito la tesi. "

Corollario 4.1.17. Se f1 e f2 appartengono ad L1

e Af1(") = Af2("),per ogni " " Rn, allora f1 = f2 q.o. in Rn.

Dimostrazione. Posto f = f1+f2 , per il Teorema 1.16 vale (1.26).

Poiche Af(") = Af1(")+ Af2(") = 0, per ogni ", il primo membro di (1.26) ezero qualunque sia &. Il suo limite e quindi zero. Per l’unicita del limiteabbiamo f = 0 in L

1, ossia f(x) = 0 q.o. x " Rn. "

Corollario 4.1.18. Se f e Af appartengono entrambe ad L1, allora

per quasi tutti gli x " Rn e :

(1.29) f(x) = (2/)"n6

eı x) Af(") d" = (2/)"n$ Af

%(+x).

Dimostrazione. Per il Teorema 4.1.16:

lim#'0

,,,(2/)"n6

eı x) Af(") e"#|)|2d" + f

,,,1

= 0.

Poiche la convergenza in norma L1

implica l’esistenza di una successioneconvergente quasi ovunque, esiste una successione di numeri positivi&k +) 0 tale che:

(1.30) limk'(

(2/)"n6

eı x) Af(") e"#k|)|2d" = f(x) q.o. x.

D’altra parte: <<<eı x) Af(") e"#k|)|2<<< . | Af(")| * k.

Poiche per ipotesi Af " L1, possiamo, utilizzando il Teorema della con-

vergenza dominata, passare al limite sotto il segno di integrale:(1.31)

limk'(

(2/)"n6

eı x) Af(") e"#k|)|2d" = (2/)"n6

eı x) Af(") d", *x " Rn.

Da (1.30) e (1.31) segue:

f(x) = (2/)"n6

eı x) Af(") d" q.o. x " Rn.

"

Corollario 4.1.19. Se f ed Af " L1, allora f coincide quasi ovunque

con una funzione appartenente a C0.

Dimostrazione. L’ipotesi che Af " L1

assicura, come visto nel

Corollario 4.1.7, che la funzione x )6

eı x) Af(") d" appartiene a C0.

Per il Corollario 4.1.18, tale funzione coincide q.o. con f . "

Teorema 4.1.20. Sia f " L1, W (·, &) il nucleo di Weierstrass.

Allora in ogni punto x in cui f e continua:

lim#'0

-f 9W (·, &)

.(x) = f(x).

Dimostrazione. Supponiamo f continua in x0 . Allora:-f 9W (·, &)

.(x0)+ f(x0) =

=

6f(x0 + y)W (y, &) dy +

6f(x0)W (y, &) dy =

=

6[f(x0 + y)+ f(x0)] W (y, &) dy.

Per ogni - > 0 esiste ' > 0 tale che |y| < ' - |f(x0 + y)+ f(x0)| < -.Scriveremo quindi:

-f 9W (·, &)

.(x0)+ f(x0) =

6

|y|<"[f(x0 + y)+ f(x0)] W (y, &) dy+

+

6

|y|>"[f(x0 + y)+ f(x0)] W (y, &) dy = I1 + I2.

117

|I1| . -

6

|y|<"W (y, &) dy . -

|I2| .6

|y|>"|f(x0 + y)|W (y, &) dy + |f(x0)|

6

|y|>"W (y, &) dy .

. W (', &)

6|f(x0 + y)| dy + |f(x0)|

6

|y|>"/#1/2W (y, 1) dy,

doveW (', &) = W (x, &)

<<<|x|="

+) 0 per &) 0

e 6

|y|>"/#1/2W (y, 1) dy +) 0 per &) 0,

essendo W (y, 1) sommabile. Dunque I2(&) +) 0 per &) 0 e<<<-f9W (·, &)

.(x0)+f(x0)

<<< < -+I2(&) < 2-, se & e su%cientemente piccolo.

"

Dal Teorema 4.1.20 e dalla (1.25) segue:

Corollario 4.1.21. Se f ed Af " L1, allora la formula di inversione

della trasformata di Fourier vale in ogni punto x in cui f e continua.

Corollario 4.1.22. Sia f " L1(Rn), Af(") 3 0, per ogni " " Rn ed

f continua per x = 0. Allora Af " L1

e:

(1.32) f(x) = (2/)"n6

eı x) Af(") d" = (2/)"n$ Af

%(+x) q.o. x.

Dimostrazione. Per il Teorema 4.1.15 ed il Teorema 4.1.20:

(2/)"n6

Rn

Af(") e"#|)|2d" =

6

Rnf(y)W (y, &) dy =

=-f 9W (·, &)

.(0) +) f(0) per &) 0.

D’altro canto essendo Af(") 3 0, il Lemma di Fatou garantisce che6

lim#'0

Af(") e"#|)|2d" . min lim

#'0

6Af(") e"#|)|

2d".

Quindi 6Af(") d" . (2/)n f(0) < '.

Dunque f " L1

e si puo applicare il Corollario 4.1.18. "

Poiche L2

non e un sottoinsieme di L1, la definizione di trasformata

di Fourier data dalla formula (1.1) non si puo applicare ad ogni f " L2.

La definizione si puo applicare se f " L1#L

2. Vedremo che allora Af " L

2

e che ( Af(2 = (2/)n/2(f(2 .Cio consente di estendere l’applicazione

L1 # L

1 7 f +) Af " L2

ad un isomorfismo di L2

in se. Questa estensione definisce la trasformatadi Fourier di ogni f " L

2.

La teoria della trasformata di Fourier in L2

riesce inoltre piu sim-metrica che non in L

1. In L

2, f e Af giocano esattamente lo stesso

ruolo.

Teorema 4.2.1. Se f " L1 # L

2, allora Af " L

2e

(2.0) ( Af(2 = (2/)n/2(f(2 .

Dimostrazione. Poniamo

(2.1) g =*f ; h = f 9 g.

La funzione h, convoluzione di due funzioni di L1, appartiene ad L

1e

per il Teorema 4.1.9 i):Ah = Af · Ag.

Essendo Ag = Af risulta:

Ah =<< Af

<<2 .

Inoltre h, convoluzione di due funzioni di L2, e limitata e uniformemente

continua. In particolare h e continua in x = 0. Alla funzione h si puoquindi applicare il Corollario 4.1.22. Questo ci assicura che Ah " L

1, ossia

Af " L2. Da (1.32) con x = 0 segue poi:

(2.2) h(0) = (2/)"n6

Ah(") d" = (2/)"n6 << Af(")

<<2 d";

mentre dalla definizione di h (cfr. (2.1)):

(2.3) h(0) =

6f(y) g(+y) dy =

6|f(y)|2dy.

Uguagliando i secondi membri di (2.2) e (2.3) si ottiene (2.0). "

119

Definizione 4.2.2. E noto che Cc e denso il L2. Poiche Cc $

L1#L

2, abbiamo che L

1#L2e denso in L

2. Cio e quanto dire che per ogni

f " L2

esiste una successione {fn} $ L1 # L

2tale che (fh + f(2 +) 0.

Consideriamo la successione { Afh}. Per il Teorema 4.2.1 { Afh} $ L2

e per(2.0):

( Afh + Afk(2 = (2/)n/2(fh + fk(2 +) 0.

Dunque { Afh} e di Cauchy in L2. Poiche L

2e completo esiste g " L

2tale

che Afh +) g in L2.

Proviamo ora che g dipende solo da f e non dalla successione ap-prossimante {fh} $ L

1 # L2. Sia infatti {f $

h} un’altra successione in

L1 #L

2tale che f $

h +) f in L2. Allora { Af $

h} e di Cauchy in L2, sia g$ il

suo limite in L2. Ora

( Af $h+ Afh(2 = (f $

h+fk(2 ·(2/)n/2 .-(f $

h+f(2 +(f+fh(2

.·(2/)n/2 +) 0.

Quindi Af $h ed Afh hanno lo stesso limite in L

2, ossia g = g$ in L

2. La

funzione g si dice trasformata di Fourier di f in L2

e viene denotata Af .

In conclusione per ottenere la trasformata di Fourier di una funzionef " L

2bisogna considerare una qualunque successione {fh} $ L

1 # L2,

convergente ad f in L2

e calcolare il limite in L2

della successione { Afh},Afh definita da (1.1). Di successioni {fh} con le proprieta sopra indicateve ne sono tante, ad esempio possiamo scegliere come fh le funzioni cosıdefinite:

fh(x) =

'f(x) se |x| . h

0 altrimenti.

Infatti, ovviamente, fh " L2

e, applicando la disuguaglianza di Holder:6

|fh| =

6

|x|+h|f | .

-6

|x|<h|f |2

. 12 ·

-6

|x|<h1. 1

2< '.

Dunque fh " L1 # L

2. Inoltre:

(fh + f(2 =-6

|x|>h|f |2

. 12 +) 0 per h )'.

Con questa scelta per la successione fh avremo:

Af(") = limh(#in L2

6

|x|<he"ı x)f(x) dx.

Esempio Importante 4.2.3. Determinare la trasformata di

Fourier in L2(R) della funzione f(x) =

1

1 + ı x.

Soluzione. Poiche f " L2(R) \ L

1(R). Af e il limite in L

2(R) di Afn,

con

Afn(") =

6 n

"ne"ı x) 1

1 + ı xdx.

Sia " > 0, n 3 2, z = x + ı y. Abbiamo:

Afn(") =

6

*$(n)e"ı z) 1

1 + ı zdz,

dove 2"(n) = {n eı +; +/ . 4 . 0} (vedi Figura 1).

n+n

+in

iy

x

!"(n)

Figura 1

Poiche1

|1 + ı z| .1

n+ 1, allora

<< Afn(")<< . n

n+ 1

6 0

"(en) sin +d4 =

2n

n+ 1

6 0

"&2

en) sin +d4.

Essendosin 4

43 2

/, per ogni 4 "

2+ /

2,/

2

3, si ha

<< Afn(")<< . 2n

n+ 1

6 0

"&2

e2n)+/(d4 =

121

=/

(n+ 1)"

$1+ e"n)

%=

/

(n+ 1)|"|$1+ e"n|)|

%.

Per " > 0, Afn(") +) 0 puntualmente.

Sia " < 0, n 3 2. La funzione e"ı z) 1

1 + ı zha un polo semplice per

z0 = ı. Il residuo vale:

limz'ı

e"ı z) z + ı

1 + ı z= lim

z'ıe"ı z) z + ı

ı(z + ı)=

1

ıe).

Allora:Afn(")+ 2/ e) = +

6

*+(n)e"ı z) 1

1 + ı zdz,

dove 2+(n) = {neı +; 0 . 4 . /} (vedi Figura 2).

n+n

!+(n)

i

Figura 2

Dunque:

<< Afn(")+ 2/ e)<< . n

n+ 1

6 (

0en) sin +d4 =

2n

n+ 1

6 &2

0en) sin +d4 .

. 2n

n+ 1

6 &2

0e2n)+/(d4 =

/

(n+ 1)"

$en)"1

%=

/

(n+ 1)|"|$1+ e"n|)|

%.

Per " < 0, Afn(") +) 2/ e) puntualmente.Sia

g(") =

'0 per " 3 0

2/ e) per " < 0,

allora Afn(") +) g(") puntualmente per " %= 0. Dobbiamo provare cheAfn(") +) Af(") in L

2, quindi che Af(") = g(") q.o. ". Si puo dimostrare

direttamente che Afn(") +) g(") in L2:

( Afn + g(2

2=

6 +#

$#

<< Afn(")+ g(")<<2 . /

2

(n+ 1)2

6 +#

$#

$1+ e"n|)|

%2

|"|2d" =

=/

2n

2

(n+ 1)2

6 +#

$#

$1+ e"n|)|

%2

n2 |"|2d" = (posto n" = t, quindi d" = dt/n)

=2/ n

(n+ 1)2

6 +#

0

$1+ e"t

%2

t2dt =

2/M n

(n+ 1)2 +) 0 per n )'.

Osserviamo che g " L1 # L

2ed f e continua, dunque

f(x) =1

2/

6 +#

$#

eı x)g(") d", * x " R,

come subito si verifica:

1

2/

6 +#

$#

eı x)g(") d" =

6 0

$#

eı x)+) d" =1

1 + ı x= f(x), * x " R.

"

Teorema 4.2.4. Se f " L2, allora ( Af(2 = (2/)n/2(f(2 .

Dimostrazione. Sia {fk} $ L1 #L

2, fk +) f in L

2. Allora per la

Definizione 4.2.2 Afk +) Af in L2

e per il Teorema 4.2.1:

(2.4) ( Afk(2 = (2/)n/2(fk(2 * k.

Per la continuita della norma da:

fk +) f segue (fk(2 +) (f(2

e da:Afk +) Af segue ( Afk(2 +) ( Af(2 .

Passando al limite in (2.4) si ottiene pertanto la tesi. "

Immediata conseguenza di questo teorema e il seguente:

Corollario 4.2.5. Se f1, f2 " L2

e Af1 = Af2, allora e pure f1 = f2,entrambe le uguaglianze essendo intese in L

2.

123

Teorema 4.2.6. Se f, g " L2, allora:

6Af g =

6f Ag.

Dimostrazione. Siano {fk} e {gk} due successioni in L1 #L

2con-

vergenti in L2

ad f e g rispettivamente; onde

Afk +) Af, Agk +) Ag in L2.

Per il Teorema 4.1.9 ii) e poi:

(2.5)

6Afk gk =

6fk Agk, * k.

D’altra parte, osservato che per la disuguaglianza di Holder Af g eAfk gk " L

1, si ha:

<<<6

Af g +6

Afk gk

<<< .<<<6

Af [g + gk]<<< +

<<<6

gk [ Af + Afk]<<< .

. ( Af (2 · (g + gk(2 + (gk(2 · ( Af + Afk(2 .

Tenuto conto che la successione (gk(2 e limitata, l’ultimo membro tendea 0 e quindi:

limk'(

6Afk gk =

6Af g.

In modo analogo si prova che:

limk'(

6fk Agk =

6f Ag.

Dalla (2.5), passando al limite per k )', segue quindi la tesi. "

Teorema 4.2.7. L’applicazione F : f ) Af da L2

in L2

e suriettiva.

Dimostrazione. Si deve provare che

(2.6) F(L2) = L

2.

Cominciamo col dimostrare che F(L2) e un sottospazio chiuso di L

2,

ossia che F(L2) e uguale a F(L2). Infatti se g " F(L2) esiste una

successione {gk} $ F(L2) tale che gk ) g in L

2. D’altra parte per il

Corollario 4.2.5 l’applicazione F e iniettiva. Esiste quindi uno ed un solofk " L

2tale che Afk = gk. Inoltre per il Teorema 4.2.4

(fk + fh(2 = (2/)"n/2(gk + gh(2 ;

quindi {fk} e di Cauchy in L2. Essendo questo spazio completo, esiste

f " L2

tale che fk ) f in L2. Ma allora la successione Afk = gk converge

in L2

ad Af . Si conclude g = Af , onde g " F(L2).

Proviamo ora (2.6). Se fosse F(L2) %= L

2, per un Corollario del

Teorema delle proiezioni (che possiamo applicare avendo provato cheF(L

2) e un sottospazio chiuso di L

2), esisterebbe almeno una f " L

2

tale che f %= 0 e;

f ) = 0 per ogni ) " F(L2). Allora per ogni + " L

2

si avrebbe, per il Teorema 4.2.6:6

Af + =

6

Rnf A+ =

6fA*+ = 0,

dato cheA*+ " F(L

2). Dunque Af sarebbe ortogonale ad L

2, onde Af = 0.

Quindi, per il Corollario 4.2.5, f = 0, contro f %= 0. Si e cosı provato(2.6). "

Questo teorema unitamente al Teorema 4.2.4 e al Corollario 4.2.5consente di concludere:

Corollario 4.2.8. L’applicazione F definita precedentemente e unisomorfismo (per la struttura di spazio di Banach) di L

2su di se.

Prima di studiare l’applicazione F"1 inversa della F proviamo:

Teorema 4.2.9. Se f, g " L2

allora:6

f g = (2/)"n6

Af · Ag

(ossia <f, g= = (2/)"n< Af, Ag =, dove <·, ·= e il prodotto scalare in L2).

Dimostrazione. Dal Teorema 4.2.4 segue:

<f + g, f + g= = (f + g(2

2= (2/)"n( Af + Ag(2

2= (2/)"n< Af + Ag, Af + Ag=.

Quindi svolgendo i conti nei prodotti scalari ed utilizzando ancora ilTeorema 4.2.4 per le funzioni f e g:

<f, g=+ <g, f= = (2/)"n[< Af, Ag=+ <Ag, Af=],ossia:

4<f, g= = (2/)"n4< Af, Ag=.Sostituendo g con ı g abbiamo anche:

5<f, g= = (2/)"n5< Af, Ag=.


125

Resta cosı provata la tesi. "

Teorema 4.2.10. Se g " L2

allora F"1(g) = (2/)"n(Ag ),, ondeanche F"1 e un omeomorfismo (per la struttura di spazio di Banach) diL

2su di se.

Dimostrazione. Si deve provare che:

F-(2/)"n(Ag ),

.= g, * g " L

2.

Siano f, g " L2. Per i Teoremi 4.2.6 e 4.2.9 abbiamo:

6f g = (2/)"n

6Af · Ag = (2/)"n

6f AAg = (2/)"n

6f

*

AAg.

Quindi:6

f-g + (2/)"n

*

AAg.

= 0 * f " L2.

Cio significa che g + (2/)"n*

AAg e ortogonale ad ogni elemento di L2

edunque:

g + (2/)"n*

AAg= 0.

Quindi:

g = F-(2/)"n

*

Ag.,

i.e.

F"1(g) = (2/)"n*

Ag .


Ap p u n ti d i An a lisi V L uisa Z...

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