Introduzione agli Acceleratori di Particelle

Antonio PalmieriINFN-LNL

1

• Considerazioni introduttive• Parte1: Panoramica sugli acceleratori di

particelle• Parte 2: Focus sugli acceleratori lineari a

Radiofrequenza: la cavità RF, l’RFQ e il DTL• Parte 3: Cenni alle tecniche di misura dei

parametri fondamentali di una cavità RF

2

Parte 1Una Panoramica sugli

acceleratori di particelle

3

Un Acceleratore di Particelle è un apparato attoall’accelerazione di particelle cariche lungo una traiettoriaprefissata, al fine di raggiungere una determinata energia.

• Apparato = > apparecchiatura artificiale complessa• Particelle cariche => elettroni, protoni, ioni, ecc.• Accelerazione lungo una traiettoria prefissata =>

applicazione di forze

4

Campi magnetici ed elettrici hanno le proprietà giuste per determinare la traiettoria di una particella, ossia• mantenere una particella in moto su un’orbita circolare (bending)• Contenere la divergenza angolare delle traiettorie (focussing)• Aumentare la loro energia (acceleration)• Il campo E compie lavoro sulla carica, mentre il campo B noFM + FE = Forza di Lorentz

La forza di Lorentz

5

Acceleratori elettrostaticiPrincipio di funzionamento:una d.d.p. applicata fra due elettrodi accelera di moto uniformemente accelerato ioniinizialmente a riposo. L’energia conferita dipende dalla d.d.p. del campo elettrico e dallaquantità di carica elettrica della particella da accelerare.

Ekin = ΔV ∙ Q

Limitazione principale:già a pochi MV si verificano scariche premature (anche nel tubo a vuoto in cui viaggiano leparticelle) che abbassano la tensione e ne rendono impossibile il funzionamento.

ΔV+ -

-+

6

Per aggirare la limitazione delle altissime tensioni, tra il 1930 e il 1940, in Germania, Rolf Wideröe progettòun raffinato sistema di accelerazione basato sulla successione di molte piccole “spinte” date al momentogiusto, che non richiede l’impiego di tensioni molto elevate, ma beneficia della somma totale delle tensioni.

R. Wideröe

Notare che la lunghezza degli elettrodi cavi è di lunghezzavariabile, per tener conto dell’aumento di velocità degli ioniaccelerati. Se si usa un pre-iniettore le dimensioni diventanosimili.

𝐸=|𝐸0|sin(2𝜋𝑓𝑡+𝜙)

La particella carica è accelerata dal campo elettrico sinusoidale. Quandoil campo cambia segno essa si trova all’interno dei tubi schermati (dove ilcampo decade esponenzialmente), per cui non ne risente l’effetto. Ora,affinché il sistema funzioni, occorre che la particella attraversi la distanzaAB pari a d in un semiperiodo. Se ora v è la velocità della particella, deveaversi che

7

8

t=0

Gap accelerante

Tubi schermati

= linea del Campo E

b=v/c

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t=T/2

Gap accelerante

Tubi schermati

= linea del Campo E

b=v/c

10

t=T

Gap accelerante

Tubi schermati

= linea del Campo E

b=v/c

11

t=3T/2

Gap accelerante

Tubi schermati

= linea del Campo E

b=v/c

12

t=2T

Gap accelerante

Tubi schermati

= linea del Campo E

b=v/c

13

t=5T/2

Gap accelerante

Tubi schermati

= linea del Campo E

b=v/c

14

t=3T

Gap accelerante

Tubi schermati

= linea del Campo E

b=v/c

Notiamo che la distanza fra i centri delle gap acceleranti aumenta con lavelocità delle particelle. Perciò, mano a mano che tali particelle vengonoaccelerate, la lunghezza dei tubi aumenta.All’epoca questa soluzione venne considerata poco «pratica», in quantoessendo a disposizione solo amplificatori in grado di erogare potenze afrequenze fino a circa 10 MHz, chiaramente la distanza d diventavanotevole, Ad esempio a f=10 MHz la lunghezza d’onda l è pari a 30 m,per cui, per ottenere una velocità pari a 1/10 della velocità delle luce c, ddovrebbe essere pari a 1.5 m. Inoltre, una parte dell’energiaelettromagnetica associata al campo elettromagnetico sinusoidale siperde mediante irradiazioneIntanto…nell’aprile del 1929, Ernest Orlando Lawrwnce, un giovane fisicodell’Università di Berkeley, si imbatte nella pubblicazione di Wideroe.Lawrence, sebbene non fosse in grado di leggere il tedesco, comprese ilprincipio di funzionamento della macchina di Wideroe, ma non solo…

Ernest Orlando Lawrence

15

Lawrence capì che, se le particelle fossero state accelerate su un percorso circolare, certamente la strutturasarebbe stata più compatta. Affinché la traiettoria rimanesse circolare occorreva cheLa forza centrifuga FC = mv2/R e la forza di Lorenz FB = qvB dovevano essrer uguali, per cuiR = mv/qB , ω= 2πf = v/R= qB/m! La velocità angolare non dipendeva dal raggio, ma solo dal campo B e dalrapporto carica/massa q/m. Il campo elettrico applicato ad una frequenza pari a qB/(2πm) fornisce la necessariaaccelerazione. Questo tipo di macchina prende il nome di Ciclotrone

Il Ciclotrone

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Il Ciclotrone (2)

B

17

Primo prototipo funzionante di ciclotrone(E.O.Lawrence e M.S.Livingston, 1931, Berkeley, CA)

Diametro 4.5 pollici (≈ 11.5 cm)d.d.p. = 1,800 volts

Accelerava Ioni H a 80 KeV

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Ciclotrone da 27 pollici (1932)

La Seconda Guerra Mondiale vide un notevole sviluppo nelle tecnologie radar, con l’avvento di amplificatoria frequenze più alte e di maggiore potenza, come ad esempio il Magnetron (ma non solo). All'epoca ilMagnetron era uno dei segreti più ben custoditi dagli Inglesi. Ai giorni nostri il Magnetron lo si può trovarein moltissime abitazioni, all'interno dei forni a microonde, dato che esso è ora il sistema più economico esemplice per generare microonde con potenza elevata.

Il blocco anodico del primo magnetron costruito da Randal e Boot (1940)

La Seconda Guerra Mondiale e i suoi sviluppi tecnici: il magnetron

19

I fori e le fessure funzionano come circuiti risonanti LC, dove ilforo sostituisce l'induttanza L e la fessura sostituisce la capacitàC. Il catodo, una volta riscaldato, emette elettroni. Essi tendonoa muoversi verso le pareti della camera, mantenute a potenzialezero, che corrispondono all'anodo, positivo rispetto al catodo. Lapresenza del campo magnetico causa una curvatura nella lorotraiettoria per effetto della forza di Lorentz, portandoli a seguireun percorso a cicloide (cioè un punto appartenente ad unacirconferenza che si muove lungo un retta). Gli elettroni,raggiungendo il bordo delle cavità, si uniscono in fasci cheoscillano a Radio frequenza, dipendente dalle dimensioni delMagnetron, per effetto dei campi incrociati (campo magnetico ecampo elettrico). In tal modo essi emettono potenza sotto formadi onde elettromagnetiche. La potenza RF viene estrattamediante un'antenna (loop) e resa disponibile.

Russell e Sigurd Varian e William Hasen inventano il klystron, un amplificatore ad alta frequenza (>300 MHz), presso laStanford University. Un simile dispositivo fu proposto da Agnesa Arsenjewa-Heiland Oskar Heil nel 1935. Nel 1948fondarono la Varian Associates (insieme a Hansen e Ginzton) per commercializzare il klystron e altre invenzioni. I klystronpossono raggiungere anche potenze di 1 MW in onda continua e alcuni MW in potenza impulsata. Attualmente stannocominciando a prendere piede anche amplificatori basati sulla combinazione di moduli a transistori MOSFET di potenza(fino a 180 kW attualmente).

Il Klystron

20

.

Dopo la fine della seconda guerra mondiale, alcune tecnologie utilizzate per il radar furono de-classificate. Diconseguenza, nuovi tipi di amplificatori ad alta frequenza (da 100 MHz a qualche GHz) sono diventati disponibili.Inoltre, Nel 1946 Luis Alvarez superò gli inconvenienti del Wideroe Linac includendo la struttura di Wideroe all'internodi un grande tubo metallico che formava una cavità efficiente dove i campi erano confinati e se ne impedival’rradiazione Questa struttura, chiamata DTL (Drift Tube Linac), è ampiamente utilizzata come pre-acceleratore perprotoni e ioni. Le particelle a poche centinaia di keV da un Cockcroft-Walton, ad esempio, vengono accelerate a pochecentinaia di MeV.

Il DTL di Alvarez

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DTL di 12m a protoni costruito nel 1947 a Berkeley, f = 200 MHz, Energia = 32 MeV, diametro del tank 0.9 m

Un moderno DTL: costruito al CERN per ilprogetto LINAC 4, opera a 352 MHz , ed acceleraioni H- da 3MeV a 50 MeV

Il DTL di Alvarez

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Per Ernest Lawrence, l'unico limite per l'energia era la dimensione del magnete. Nel suo stile, Ernest stava progettandoil ciclotrone da 60 pollici prima che il 27 pollici fosse completo. Aveva persino visioni di macchine a 100MeV , ma:1) L'ottenimento di energie elevate nei ciclotroni richiede magneti molto grandi. A partire da ~ 400MeV la produzionedi ciclotroni diventa sconveniente e costosa2) Alte energie => effetti relativistici => w non più costante (poiché m aumenta con v secondo la Relatività). Le particellevanno fuori fase con i campi acceleranti, e alla fine non vi è più accelerazione.

Il sincrotrone permette di superare queste difficoltà, in quanto• I campi magnetici si adattano nel tempo piuttosto che nello spazio, al finedi compensare le variazioni di velocità e di massa.• Per le particelle che non sono vicine alla velocità della luce, la frequenzadel campo elettromagnetico applicato può anche variare per seguire il lorotempo di circolazione non costante.• Aumentando questi parametri quando le particelle ottengono energia, ilpercorso di circolazione può essere mantenuto costante.• La preaccelerazione può essere ottenuta da una catena di altre strutturedi acceleratore come un linac o un altro sincrotroneIl principio fu inventato da Vladimir Veksler nel 1944. Edwin Mc Millancostruì il primo sincrotrone per elettroni nel 1945, arrivando all'idea inmodo indipendente. Il primo sincrotrone per protoni fu progettato da SirMarcus Oliphant e costruito nel 1952,

r = m(t)v(t)/qB(t)= constw(t)= qB(t)/2πm(t)

Il Sincrotrone (1945)

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L'invenzione del focheggiamento forte nel 1950 da parte di Ernie Courant, HartlandSnyder e Stan Livingston, rivoluzionò il design degli Acceleratori, in quanto consentivapiccole aperture per il passaggio del fascio (a differenza del Bevatron, il cui l'aperturaera abbastanza grande da contenere una jeep, con il relativo parabrezza verso ilbasso). Un quadrupolo magnetico, analogamente ad una lente, focheggia in un piano,ma defocheggia nel piano ortogonale. Chiaramente una particella che passa lungol’asse non risentirà di alcuna forza.Se però si intercalano quadrupoli focalizzanti ne defocalizzanti separati da una lineasenza elementi di focalizzazione (drift), è possibile dimostrare che si ottiene uneffetto netto focalizzante in ambo i piani coordinati giacenti sull’asse di fascio(struttura FODO)

y

x

Il focheggiamento forte (1950)

24

Edwin McMillan of UC Berkley, and V.I. Veksler (USSR)scoprirono indipendentemente il principio di Stabilità difase nel 1950. Consideriamo una successione di gapacceleranti, per i quali la condizione di sincronismo èsoddisfatta per una fase Φs (fase di riferimento) . Laparticella P1 è chiamata la particella di riferimentostabile. La particella N1 arriva in anticipo rispetto a P1ed è soggetta ad un campo accelerante inferiore,mentre la particella M1 arriva in ritardo rispetto a P1 edè soggetta ad un campo accelerante superiore. quindi,l'effetto della tensione accelerante è quello dirallentare N1 rispetto a P e per accelerare M1 rispetto aP. Alla fine N1 e M1 saranno entrambi più vicino a P(raggruppamento). Per essere più precisi le particelleeseguiranno una oscillazione stabile intorno allaparticella di riferimento. Il contrario avverrà per leparticelle N2 e M2 del P2 (instabili).

La Stabilità di fase (1950)

Il focheggiamento forte e la Stabilità di fase sono fra i più importanti principi su cui si basano i moderniacceleratori di particelle

25

Co

llid

ers

e+e-

Bruno Touscheck

ADA – LNF 1961

Il primo collider materia-antimateria√s = 400 MeV

Negli anni ’50 in diversi laboratori (Novosibirsk, CERN, Stanford, Frascati ecc), si svluppò la tecnologia delle collisioni fra fasci di particelle, grazie soprattutto agli studi di Bruno Touschek, Gersh Budker e Don Kerst

I collisionatori

26

Super Proto Sincrotronedel CERN (SPS) E = 450 GeVTunnel di 7 Km

Carlo Rubbia

Simon Van Der Meer

Alla fine degli anni ’70 viene convertito in un collider protone – antiprotone con√s = 540 – 900 GeV !!

Premio Nobel 1984 per la scopertadei mediatori della forza debole

W+ W- Zo

Accumulatore di antiprotoni

27

Il primo collisionatore p+/p+, ISR al CERN, operante a 26 GeV (anni ’70)

Il collisionatore è+/e- LEP costruito al CERN di Ginevra operava a 352.21 MHz con una energia massima di 208 GeV . E’ stato attivo dal 1989 al 2000

Circonferenza 27 kmCavità acceleratrici a RF

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A basse energie, per protoni (o ioni), il focheggiamento quadrupolare non è moltoefficace 𝑭 = 𝑞𝒗 × 𝑩 Infatti, se 𝒗 è basso, per avere un buon focheggiamentooccorre un grande valore di 𝑩, cioè quadrupoli magnetici molto grandi (e costosi).Quindi, in questo caso, il campo elettrico, usato per focalizzare, potrebbefunzionare meglio (𝑭 = 𝑞𝑬). Supponiamo che il campo nei quattro elettrodimetallici vari sinusoidalmente con il tempo con frequenza f. La particella vedràquesta polarità alternata come lo stesso effetto di un FODO, in quanto, in questocaso, il campo E darà origine alle stesse forze del quadrupolo magnetico, Fx = -g x,Fy = g y

Nel 1970 Kapchinskiy e Teplyakov (URSS) proposero dimodulare sinusoidalemnte la forma degli elettrodi con unperiodo pari a vλ/c: così si crea una componentelongitudinale del campo elettrico, con le stesseconsiderazioni sul sincronismo fatte precedentemente.Oggi in tutti i moderni Linac un RFQ funge da primo stadioaccelerante.

L’RFQ (Quadrupolo a Radiofrequenza) (1970)

29

L’RFQ del progetto IFMIF, 175 MHz, 125 mA di Deuteroni, 5 MeV di energia finale), progettatoda INFN, attualmente in fase di collaudo a Rokkasho (Giappone).

30

La superconduttività (SC) è un fenomeno fisico, spiegabile con la meccanica quantistica, in cui determinatimateriali, se raffreddati al di sotto di una temperatura critica Tc (tipicamente sotto i 10 K), presentano unaresistenza elettrica praticamente nulla ed espellono le linee di forza del campo magnetico. In questo modo èpossibile far circolare correnti e/o imprimere campi acceleranti, senza dissipare potenza sotto forma di calore.Questo effetto è in parte mitigato dall'efficienza di Carnot (h = Tf / Tc << 1 se, per esempio, Tf = 4K e Tc = 300K). Apartire dalla fine degli anni ’70, i materiali superconduttori (ad esempio il Niobio, con Tc=8.4 K) sono stati utilizzatiper costruire i magneti e le cavità acceleranti, e oggi quasi tutte le sezioni acceleranti ad alto v/c utilizzanostrutture SC

Strutture superconduttive (anni 80)

31

Il primo linac SC fu costruito a Stanford (USA) nel 1977. Accelerava elettroni fino a 50 MeV ed era lungo 27 m. Assemblaggio in camera pulita di una cavità SC.

• LHC (Large Hadron Collider) accelera protoni da 450 GeV fino a 7000 GeV. I due fasci collidono in quattro aree sperimentali

LHC (Large Hadron Collider) è costituito da un anello di 27chilometri di magneti SC, ricavato nello stesso tunnel del LEP,con un certo numero di strutture acceleranti SC per aumentarel 'energia delle particelle I fasci raggiungono velocità moltoprossime a quelle della luce nei punti di collisione.

L’obiettivo di LHC è riprodurre le condizioni dell’universo ~10-6 secondidopo il big-bang per studiare fenomeni fisici mai osservati.Nel 2012 è stato scoperto al Large Hadron Collider del CERN il bosonedi Higgs, l'anello mancante al Modello Standard, la teoria cheattualmente descrive le particelle elementari e le loro interazionifondamentali.La progettazione e costruzione di LHC hanno preso più di 15 anni ed ilcosto complessivo è stato di circa 6 miliardi di EUR

LHC al CERN (2008)

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Nel 1950 Livingstone rappresentòl'energia degli acceleratori espressain una scala semi-logaritmica infunzione dell'anno di costruzioneosservando una crescita lineare.L'aumento di energia di un fattore33 ogni decennio, è dovutosoprattutto alle scoperte ed aiprogressi tecnologici.

Il diagramma di Livingstone

33

Usi degli Acceleratori

34

35

Principali acceleratori di particelle nel mondo

Parte 2Focus sugli acceleratori

lineari

36

La European Spallation Source (ESS) sarà la più intensa sorgente dineutroni operanti al mondo. Si tratta di un’infrastruttura pan-europea per accogliere una comunità scientifica di circa 5000ricercatori. I fasci di neutroni a bassa energia che verranno residisponibili permetteranno nuove opportunità sperimentali permisure in tempo reale, in situ, in vivo, incluse misure di eventidinamici su scala nanometrica. Il Progetto, dal punto di vistatecnico, prevede la produzione di neutroni per reazione dispallazione di protoni su bersaglio rotante di tungsteno. Sulbersaglio arriverà un impulso di protoni di energia 2.5 GeV, durata2.86 ms e frequenza 14 Hz (corrente 50 mA, potenza totale sulbersaglio 5 MW, potenza istantanea 125 MW). Il laboratorio verràcostruito a Lund (Svezia), si prevede di completare la costruzione nel2019 e aprire all’utenza nel 2025 per successivi 40 anni difunzionamento. Gli LNL (assieme a INFN Torino) sono impegnatinella progettazione e realizzazione del DTL.

Esempio di schema di un moderno Linac: il progetto ESS

37

Schema a blocchi di un Linac

38

Richiami sulle grandezze in regime sinusoidaleI campi elettromagnetici nelle strutture acceleranti a Radiofrequenza sono di tipo sinusoidale. Pertanto è appropriato esprimereenergia e potenza medie in termini regime sinusoidale, supponendo che

22 2

0

0

1 1 1( )

2 4 4

T

eU C v t dt CV C VT

0 0( ) cos( ), ( ) cos( ) V t V t i t I tw w

22 2

0

0

1 1 1( )

2 4 4

T

mU L i t dt LI L IT

*

0 0

0

1 1 1( ) ( ) cos Re

2 2

T

P v t i t dt V I VIT

Ha senso quindi definire una potenza complessa

*1

2W VI P jQ

potenza attiva

potenza reattiva

P

Q

Notiamo che, se tensione corrente sono sfasate di 90° non viene fornita potenza attiva, ma si ha solo una variazionetemporale di energia a media nulla nel periodo. Il fattore cos viene detto quindi fattore di potenza. Un resistore adesempio, dissipa unicamente potenza attiva, mentre un condensatore o un induttore non contribuiscono alcunché allapotenza attiva.Notiamo ancora due cose:1) Mentre la potenza attiva si misura in Watt [W], la potenza complessa si misura in VoltAmpere [VA]2) Le compagnie elettriche forniscono (e fatturano) potenza disponibile, quindi la potenza complessa, in quanto la

potenza attiva dipende dal cos che è determinato dall’utilizzatore. Pertanto se il fattore di potenza non èadeguatamente elevato, noi stiamo sprecando la potenza fornita dalla compagnia elettrica.

L’asterisco Indica il complesso coniugato

Pertanto il guadagno di energia è pari a

cos0W qE LT

2/

2/

2/

2/

2/

2/

)(

)2

sin()(tan)2

cos()(

L

L

z

L

L

L

L

zz

dzzE

dzzzEdzzzE

Tbl

bl

T=Fattore tempo di transito (TTF): indica diquanto si riduce il guadagno di energiarispetto al caso di un campo elettricostatico a causa del fatto che la particella“vede” un campo che varia col tempo.

Guadagno di energia di una particella che attraversa una gap accelerante

/

/

( )

2

20

L

z

L

E z dz

EL

Campo accelerante

Equazione di Panofsky

39

Consideriamo una particella che all’istante t si trovi nella posizione z e convelocità v, all’interno di una gap accelerante, in cui sia presente un campoelettrico sinusoidale di pulsazione w.e fase L’istante t è funzione dellaposizione z della particella secondo la relazione

Se si suppone v(z)≈costante=bc lungo la gap si ha

Nell’ulteriore ipotesi che E sia costante e pari nella gap risp a z, si ha che

40

Quanta potenza è necessaria per eccitare una gap accelerante?

Esempio tipico: acceleratore a 200 MHz con un campo accelerante medio di Eacc=2 MV/m e b=0.031. In questo caso l=1.5 me la lunghezza della cella accelerante è pari a bl=4.7 cm. La gap accelerante è lunga g= ¼ bl=1.17 cm e il diametro della gapè di 2a=21 cm. La capacità della gap è pari a

2

0 26pFa

Cg

E la tensione alla gap deve essere pari a: V=Eacc bl = 94 kV.Pertanto la corrente di picco necessaria per caricare la gap al valore di tensione voluto deve essereuguale a I=jVwC = =j3070 A. Quindi la potenza rms richiesta è pari a Prms= ½ VI=144 MVA! Inoltre,essendo tensione e corrente sfasate di 90°,non vi è trasferimento di potenza attiva al carico.Forse modificando il circuito si può ridurre al potenza impegnata…

I V

Una soluzione: Il circuito RLCConsideriamo questo circuito con C e V uguali al caso precedente e L scelta inmodo tale che

LCf /10

L’ammettenza di tale circuito vale

2

201

111

w

ww

ww Cj

RLjCj

RY

41

2

0

2

1 1 11 Y j C j C

R j L R

ww w

w w

2

0

2

11Z R j L R j L

j C

ww w

w w

Richiami sui circuiti risonanti RLC

0

1

LCw Pulsazione di risonanza

Circuito risonante serie Circuito risonante parallelo

0 21 0

2tan 1 /

j

j

V eVI L R

Z Z e

ww w

ww

con

0 21 0

2tan 1

j

j

I eIV C R

Y Y e

ww w

ww

con

42

Richiami sui circuiti risonanti RLC (2)

2

00 0 02

2e m m

d d

L IU U U LQ

P P RR I

ww w w

w

2

00 0 0 02

2

/

e e e

d d

C VU U UQ RC

P P V R

ww w w w

w

Il w che compare nelle equazioni precedenti è l’intervallo di frequenza individuato dalle w tali che

0

Energia media (el.+magn) immagazzinata nel periodo

Potenza media dissipata nel periodoQ w

Il diagramma è lo stesso anche per l’RLC parallelo a patto di sostituire I con V

RLC parallelo

RLC serie

0

0

( )( )

2 2

II

www

ossia l’intervallo di frequenza a metà potenza. Pertanto un circuito risonante RLC tanto maggiore è il Q, tanto maggiore è la sua selettività in frequenza. In unità logaritmiche, l’intervallo suddetto rappresenta la banda a 3dB del circuito risonante, in quanto tale intervallo determina i valori a metà potenza. Infine si osservi che, se si risolve l’equazione delcircuito nel dominio del tempo (vedi ad esempio http://www.unife.it/ing/informazione/teoria-circuiti/Transitori2.pdf) e si immagina all’istante t=t0 di spegnere i generatori, si ha, nell’ipotesi (sempre verificata nelle nostre applicazioni) che Q>1/2 che la variabile i(t) (o v(t)) entra in oscillazione smorzata con costante tempo t=2Q/w0. Pertanto i circuiti RLC tanto più sono selettivi in frequenza, tanto più lentamente rispondono.

43

Un valore tipico di R può essere 100 kΩ. Alla frequenza di risonanza f0, si ha che Y=1/R e quindi I=V/R= 0.188 A . Pertanto inquesto caso potenza rms richiesta è pari a Prms= ½ VI= 44 kW e stavolta tensione e corrente sono in fase!Pertanto le strutture risonanti sono molto più efficienti.Per realizzare fisicamente tale circuito occorre connettere elettricamente i due piatti della gap ad esempio con un filoconduttore: in questo modo una corrente fluisce fra di essi, la quale genererà un campo magnetico e otteniamo unainduttanza. La stessa corrente dissipa potenza nel filo e quindi otteniamo un termine di resistenza.

La capacità e l’induttanza immagazzinano energia

Connettendole insieme si forma un circuitorisonante con L in parallelo a C, ma con unsolo filo l’induttanza sarebbe troppo alta ef0 di conseguenza troppo bassa. Mettendopiù induttanze in parallelo la frequenza delcircuito aumenterà

Al limite le induttanze formeranno uncontinuum metallico e si otterrà uncilindro chiuso, che potremmo chiamarecavità risonante.

In una struttura come una cavità risonante non è immediato riconoscere una “tensione” e una “corrente”, per cui il modellocircuitale è solo un’approssimazione. In realtà in tali strutture si instaurano configurazioni di campo elettromagnetico (modi)che si autosostengono in corrispondenza delle frequenze di risonanza, sicché la potenza fornita dai generatori e accoppiataall’interno della cavità mediante un’antenna (loop) serve a compensare la potenza dissipata a causa delle perdite ohmichesulle pareti conduttrici e la potenza necessaria per accelerare la corrente di fascio .Lo strumento adeguato a descrivere le cavità sono dunque le Equazioni di Maxwell con le appropriate condizioni al contorno

Dai circuiti ai campi

44

Equazioni di Maxwell nel vuoto ed equazione delle onde

Assumendo una dipendenza sinusoidale dei campi si può adottare, In modo analogo a quanto fatto per i circuiti,la rappresentazione fasoriale

J Correnti di conduzione

0J Correnti impresse

Equazioni delle onde nel vuoto e inassenza di sorgentiE Campo elettrico

H Campo magnetico

D Induzione elettrica

B Induzione magnetica

45

Le strutture acceleranti sono in vuoto e circondate da pareti metalliche per cui vanno imposte le appropriate condizioni alcontorno. Innanzitutto ricordiamo che dalle equazioni di Maxwell è possibile ricavare le condizioni di continuità per i campi E,B, D, H alla superficie di separazione fra due mezzi. In particolare: a)si conservano la componente tangente di E e lacomponente normale di B, b) Una discontinuità della componente tangente di H è sostenuta da una densità di correntesuperficiale Js [A/m], c) Una discontinuità della componente tangente di D è sostenuta da una densità di carica superficiale rs[C/m2]

Un conduttore elettrico perfetto (PEC) è caratterizzato dalla relazione E=0 in ogni punto del suo volume.

Condizioni al contorno per un conduttore elettrico perfetto

Condizioni al contorno notevoli

Pertanto nelle superfici di interfaccia fra PEC e vuoto deve aversi inparticolare che:• La componente tangente di E deve essere nulla (nxE=0)• La componente normale di H deve essere nulla (n∙H=0)

EPEC

Si definisce buon conduttore un mezzo tale che. Nei buoni conduttori il campo elettromagnetico RFsi attenua esponenzialmente come exp(-x/d) con d=(2/(mws))1/2 (effetto pelle). E’ possibile dimostrare che perun buon conduttore, detto Ht il campo magnetico calcolato per una superficie in PEC, è possibile approssimare ilcampo elettrico tangente come segue:

Condizioni al contorno per un buon conduttore

0ws r

𝑬𝒕 = (1 + 𝑗)𝑅𝑠𝑯𝒕 =1 + 𝑗

𝜎𝛿𝑯𝒕

Un risuonatore è un dispositivo o un sistema che presenta una risonanza o un comportamento risonante, ovvero oscillanaturalmente ad alcune frequenze, chiamate frequenze di risonanza, con una maggiore ampiezza rispetto ad altre. Leoscillazioni in un risonatore possono essere sia elettromagnetiche che meccaniche (incluse quelle acustiche). Le frequenze ditali oscillazioni dipendono dalle dimensioni della cavità.La condizione essenziale affinché un sistema risuoni è che sia vincolato agli estremi

Pizzicando una corda vibrante, essacomincia ad oscillare a frequenzeben determinate. L’attrito dei puntisu cui è fissata la corda determina:• Quanta forza devo applicare per

ottenere l’intensità di vibrazionedesiderata (meno è l’attrito,meno forza debvo applicare)

• Quanto tempo «dura»l’oscillazione (meno è l’attrito,più a lungo dura il suono)

Ancora sui risuonatori

46

Un risuonatore elettromagnetico (o cavità risonante) è costituito da un volume vuoto circondato da paretimetalliche (tipicamente Rame). Il suo funzionamento è analogo a quello della corda, solo che• Il vincolo è dato dalla parete metallica, che forza il campo E parallelo a tale parete ad essere nullo• Le quantità che oscillano sono il campo E e il campo B• In una cavità accelerante il campo E principalmente concentrato nei dintorni dell’asse, mentre il campo B è

distribuito per lo più sulle pareti metalliche• L’attrito è costituito dal metallo; il campo B induce delle correnti su di esso che dissipano energia• Il segnale RF viene portato in cavità da un amplificatore attraverso delle strutture schermate (guide d’onda)

Ancora sui risuonatori (2)

47

48

Ottimizzazione dei parametri

Passo 1:Cavità pillbox Passo 2: cavità rientrante:il campo elettrico è concentrato vicino all’asse e la gapviene ridotta: aumenta il TTF e la capacità.Quest’ultima dipenderà essenzialmente da L1 e R1Il campo magnetico è concentrato sulle pareti esternee l’induttanza dipenderà essenzialmente da L2 e R2-R1 .Quindi, a parità di frequenza è possibile ridurre ilraggio e ottimizzare il Q e la Rsh.

Passo 3: ulteriore ottimizzazione:Si smussano gli spigoli verso l’asse di fascioper aumentare il massimo campo elettrico , sicrea una protrusione all’interno della cavità(nose cone) per aumentare il TTF e ZT2 , e sidà una forma sferica alla parte induttiva permigliorare il Q (miglior rapporto volume/superficie)

Sfortunatamente per le cavità 2 e 3 non ci sono soluzioni in forma chiusa e l’ottimizzazione delle dimensioni viene effettuatamediante appositi codici di simulazione numerici (SUPERFISH, CST Microwave Studio, HFSS, COMSOL ecc.). Valori di Qnell’ordine delle decine di migliaia e di Rsh nell’ordine delle centinaia di migliaia di Ohm sono ottenibili.

49

Finora abbiamo visto quelli che potrebbero essere considerati gli elementi base acceleranti di un linac, cioè le cavità risonantiaccelaranti. Pertanto possiamo immaginare un linac come una struttura composta da una serie di tali elementi (detti celleacceleranti) disposti in modo tale da “far vedere” sempre alla particella un campo accelerante

Strutture acceleranti periodiche

Evidentemente la configurazione del campo accelerante dipenderà dall’andamento del campo in ciascuna delle cavità. Inoltre neglispazi fra cavità adiacenti si può supporre che il campo accelerante non sia presente in quanto il raggio del tubo è tale da mandarein taglio i modi acceleranti, che quindi ivi si attenueranno esponenzialmente.Stabiliamo ora quali siano le principali configurazioni di campo che si possono stabilire in tali strutture

gap1 gap2 gap n.....

50

Modo 0: i campi nelle cavità hanno, in un determinato istante tutti lo stesso verso. La fase del campo non varia fra una cella e lasuccessiva (avanzamento di fase per cella=0)

Strutture acceleranti periodiche (2)

d

1d cT c

fb b bl

Se la distanza d è uguale aallora la cavità in questione fornisce una accelerazione nettaalla particella. Infatti, se la particella di velocità bc trova auna gap un campo che la accelera e impiega un periodo perpercorrere la distanza d essa, una volta arrivata alla gapsuccessiva troverà ancora un campo che la accelera, per cuideve aversi che

bl

Modo : i campi nelle cavità hanno, in un determinato istante verso opposto in gap adiacenti. La fase del campo varia di frauna cella e la successiva (avanzamento di fase per cella=)

d

Se la distanza d è uguale aallora la cavità in questione fornisce una accelerazione nettaalla particella. Infatti, se la particella di velocità bc trova a unagap un campo che la accelera e impiega un semiperiodo perpercorrere la distanza d essa, una volta arrivata alla gapsuccessiva troverà ancora un campo che la accelera, per cuideve aversi che

/ 2bl

1

2 2 2

Td c c

f

blb b

51

La struttura DTL (Drift Tube Linac) di Alvarez

tubo di drift

stem

IL DTL è una cavità multicella ottenuta installando dei tubi di drift in una lunga cavità pillbox operante nel modo TM010. In questomodo si ottiene una struttura formata da più celle che opera nel modo 0,sicchè la lunghezza di ciascuna cella è pari a βλ. Pertantoogni cella può essere riguardata come un risuonatore a frequenza f0=c/l. Notiamo inoltre che, giacché la particella vieneaccelerata, la lunghezza di ogni cella aumenta progressivamente. Gli elementi focheggianti (quadrupoli) possono essere inseritidirettamente nei tubi di drift

Quadrupolomagnetico

52

La struttura DTL (Drift Tube Linac) di Alvarez (2)In un DTL gli stem non trasportano corrente e hanno il solo scopo di sostenere meccanicamente I tubi di drift e di permettere ilpassaggio dell’acqua di raffreddamento.

G

Applicando la legge di Faraday-Neumann alla curva G in figura , si ottiene

Ma poichè il campo è non nullo solo in corrispondenza dell’asse di fascio,dove è costante nel modo TM010 si ha

D’altra parte l’integrale di superficie non è che la derivata del flusso F di B

Resta quindi stabilita una proporzionalità fra il flusso di B per unità dilunghezza della cella e il campo accelerante. Di conseguenza, se si vuole cheil campo sia lo stesso in tutte le celle, non occorre che accordare le stesse inmodo tale da avere lo stesso campo B.

Il DTL è tipicamente utilizzato per accelerare protoni in unintervallo di velocità 0.05<b<0.5 ed opera a frequenzenell’ordine delle centinaia di MHz. Per velocità più basse legap sarebbero troppo piccole (ad es a 300 MHz per b0.002 siavrebbe βλ= 2 cm) e lo spazio per I quadrupoli troppo limitato,mentre per velocità elevate il TTF diminuirebbe, sicchéstrutture operanti nel modo diventerebbero più efficienti.

53

Modello in alluminio del DTL a400 MHz utilizzato perl’acceleratore della SpallationNeutron Source (Oak Ridge,USA)

Installazione del DTL in ramesulla linea

Parte 3Cenni alle tecniche di misuradei parametri fondamentalidi una cavità RF

54

55

Misure di parametri di cavità risonantiLa misura di frequenza di risonanza di una cavità può essere effettuata connettendo la cavità ad un generatore di frequenzevariabili e prelevando, mediante un opportuno ricevitore, il segnale in cavità mediante un’antenna (loop), e poiricostruendo il picco della curva ampiezza vs frequenza in maniera non dissimile a come si farebbe per un circuito RLC. Intale maniera si può determinare anche il QL della cavità misurando la banda a 3dB f della curva ottenuta.Successivamente, da una misura di coefficiente di riflessione si può ricavare il coefficiente di accoppiamento(eventualmente osservando il diagramma di Smith, come visto precedentemente) e finalmente il Q0. Uno strumentoparticolarmente adatto a questo tipo di misura è il Network Analyzer Vettoriale (VNA). Esso integra una sorgente sinusoidalea frequenza variabile e il ricevitore, nonché dei dispositivi (detti accoppiatori direzionali) che permettono di separare lacomponente incidente e quella riflessa.

1V

1V

2V

2V

port1 port2

VNA

Cavità

Ad esempio, con riferimento alla figura, se si eccita la cavità dalla porta 1 colsegnale e si pone il ricevitore alla porta 2, ove misurerà il segnaleLa funzione

ci darà la curva di risonanza (modulo e fase). Allo stesso modo la curva

Ci fornirà il coefficiente di riflessione (modulo, fase, e Smith Chart).Il VNA si chiama vettoriale in quanto la caratterizzazione dei parametri diriflessione e trasmissione (detti comunemente parametri S) è fornita sia inmodulo che in fase.

( )( )

( )

221

1

V fS f

V f

( )1V f

( )( )

( )

111

1

V fS f

V f

56

Misure di parametri di cavità risonanti (2): un esempio

Acquisizione dello spettro dell’RFQ di IFMIF (modulo ditest lungo 2 m). L’RFQ è misurato con quattro loop (unoper quadrante). Una coppia di loop viene combinata eafferisce alla Porta 1 del VNA, l’altra coppia di loop vieneanch’essa combinata e afferisce alla porta 2. In questomodo è possibile discriminare i modi Q e i modi D. Lacurva blu rappresenta l’alimentazione di tipo Q (loop inQ1,Q3 alla porta 1 e loop in Q2,Q4 alla porta 2) e isola imodi di quadrupolo. La curva verde[rossa] rapprsental’alimentazione Q+D1 [Q+D2] (loop in Q1,Q2 [Q1,Q4]alla porta 1 e loop in Q3,Q4 [Q2,Q3] alla porta 2), vedianchehttp://www.lnl.infn.it/~annrep/read_ar/2011/contributions/pdfs/212_E_74_E069.pdf

Modo diquadrupolo (Q)

Modi di dipolo (D)- degeneri

Frequenza [Hz]

|S2

1|

[dB

]

E0 e H0 sono i campi imperturbati nella cavità.fm e fe sono fattori di forma che dipendono dallegeometria dell’oggetto perturbante. Ad esempio,per una sfera metallica si ha fe=3 e fm=3/2

57

Misure di parametri di cavità risonanti (2): il bead pullingLa misura dell’ampiezza del campo elettrico accelerante in una cavità viene invece fatta con la tecnica del bead pulling.introducendo lungo l’asse della cavità (o parallelamente a d esso) un piccolo oggetto (dielettrico o metallico) detto bead divolume V che perturba la frequenza della cavità in maniera proporzionale al quadrato del campo elettrico o magnetico. Infatti,se si introduce un oggetto perturbante nel volume V della cavità, esso creerà un piccolo sbilanciamento fra le energie elettrica emagnetica. Pertanto, per ripristinare tale equilibrio, la cavità dovrà risuonare ad una frequenza w leggermente diversa dallafrequenza originaria w0 . Una informazione quantitativa su tale spostamento di frequenza ci viene fornita dalla formula di Slater

2 2

0 0 0 0

0

2 20 0 0 0 0 0

m e

V m e

m e

V

f f dVU U

U UdV

m w ww

w w m

H E

H E

Ad esempio, con riferimento alla figura, se si pone l’oggetto perturbante sull’assedella cavità (dove Ue>>Um) e lo si connette mediante un filo dielettrico a un motoreche ne permette lo scorrimento, è possibile determinare l’andamento longitudinaledel campo elettrico, a partire dalla misura dello scostamento in frequenza,supponendo che le dimensioni dell’oggetto siano tanto piccole che all’interno delvolume V il campo elettrico imperturbato sia costante. Nel caso di una sferettametallica di raggio rbead si ha 2 3

2 30 0

0 0

0

4

3

4

e beadbead

f r r

U U

w

w

E E

Inoltre, visto che la curva fase-frequenza dei risuonatori ha massima pendenza alla risonanza, è preferibile misurare gliscostamenti di fase del segnale trasmesso S21(f), in modo da avere maggiore sensibilità nella misura.

58

Misure di parametri di cavità risonanti (4)Nel caso di uso di una sferetta dielettrica (r>1) la variazione di frequenza è data da(https://www.jlab.org/indico/getFile.py/access?contribId=7&resId=1&materialId=slides&confId=98). Tale variazione è negativa

Per quanto riguarda l’energia elettromagnetica immagazzinata U, essa si può ricavare dalla conoscenza della potenza dissipata

nella cavità Pd=Pin-Pr-P2 ove Pin è la potenza in ingresso dalla porta 1 (1 dBm default per i VNA), Pr la potenza riflessa e P2 la

potenza trasmessa alla porta 2, ossia Pd=Pin(1-|S111|2-|S121|2) e del fattore di merito loaded QL. Quanto al Df(z), ricordandol’espressione dell’impedenza di una cavità RF, si ha che la fase di tale impedenza vale

Ora, l’inserzione della pallina varia la frequenza di risonanza di un ammontare pari f(z), per cui lo shift di fase misurato af=f0 vale

Pertanto è possibile determinare l’ampiezza del campo elettrico (si noti che lo shift di fase è negativo)

In modo analogo si può calcolare E(z) per una sfera metallica

59

Materiale aggiuntivo

60

Richiami sulle grandezze in regime sinusoidaleUna grandezza fisica x(t) si dice sinusoidale se può essere espressa nella forma

0 0( ) cos( ) cos(2 )x t X t X ftw O in maniera alternativa

( ) 2 cos( ) 2 cos(2 )rms rmsx t X t X ftw 0:2

rms

XX

Se la frequenza f è fissa è possibile identificare la grandezza in questione con una quantità complessa X, detta fasore

0 0 0 0( ) Re( ) ( ) Re( ) j j t j j j t jx t X e e X X e x t j X e e j X e j X w w w w w &

Supponiamo ora che la nostra grandezza sia una tensione v(t) o una corrente i(t): le relazioni costitutive del condensatore,dell’induttore o del resistore si esprimono come segue

( )dv

i t C I j CVdt

w ( )di

v t L V j LIdt

w ( )v t Ri V RI

1/ reattanza capacitivaCZ j Cw reattanza induttivaLZ j Lw

In regime sinusoidale le energie e le potenze si intendono mediate sul periodo, per cui

0 0 0

1 1 1( ) , ( ) ( ) ( )

T t T

U u t dt P p t dt v t i t dT T T

t

2 21 1( ) ( ), ( ) ( )

2 2 e mu t Cv t u t Li t

VZ

I Definizione di impedenza complessa

IY

V Definizione di ammettenza complessa

Energia elettricaistantanea

Energia magneticaistantanea

61

Per comprendere meglio il concetto di densità di corrente superficiale, occorre guardare più da vicino lacondizione di continuità per la componente tangente di H. A tale scopo, consideriamo l’equazione diMaxwell del rotore di H. Sia z l’asse orientato secondo la normale al piano di separazione di due mezzi e sia Sla superficie tratteggiata di altezza h, base a (sufficientemente piccola da poter considerare costanti i campi)e di bordo g. Consideriamo l’equazione di Maxwell in forma fasoriale

Condizioni al contorno notevoli (2): correnti e cariche superficiali

S

h

EjJH 0wApplicando il teorema di Stokes al primo membro si ottiene

dSnEjJdltHdSnHSS

ˆ)(ˆˆ0 w

g

z

Ora, supponiamo che la densità di corrente J possa scriversi come segue,come dire che la densità di corrente si concentra su una laminasuperficiale all’intrrfaccia dei due mezzi

)(zJJ sd

d è la delta di Dirac eJs[A/m] è definita comedensità di correntesuperficiale

Passando al limite per h->0 il contributo dell’integrale di superficie di E scompare mentre la circuitazione di H si riduce a(Ht1-Ht2)a. Inoltre l’integrale di superficie di J si riduce a Js·a Da ciò, segue, per l’arbitrarietà di a, la condizione

a

sJHHn 21ˆ

In maniera analoga, applicando l’equazione di Maxwell alla divergenza di D, ma facendo uso di una superficie chiusa acavallo fra i due mezzi e del teorema di Gauss, si ricava la condizione per il vettore D, avendo introdotto la densità dicarica superficiale rs definita da r= rs d(z)

sr 21ˆ DDn

62

Condizioni al contorno notevoli (3) : buoni conduttori

Consideriamo un’onda piana che incida alla superficie di separazione fra il vuoto e un buon conduttore

Si definisce buon conduttore un mezzo tale che0ws r

Profondità di penetrazione (effetto pelle)

Impedenza caratteristica di un buon conduttore (es. rame , s=5.8*107 S/m)

Dalle condizioni di continuitàle componenti tangenti di E edi H si ottiene

)()(

)()()(

ˆˆ

ˆ

condvuoto

cond

m

cond

t

vuoto

t ZEE

HnHn

Hn

n̂

Tali condizioni sono equivalenti a quelle che si avrebbero all’interfaccia vuoto-conduttore perfetto, a patto di assumere che la discontinuità della componentetangente di H sia sostenuta da una densità di corrente superficiale pari a )(ˆ vuoto

s HnJ

Il fatto di poter di fatto ignorare ciò che accade all’interno del buon conduttore semplifica notevolmente latrattazione delle equazioni, come vedremo in seguito.

Resistenza superficialeCondizione al contorno per un buon conduttore sd/1sR)(ˆ vuoto

mt ZE Hn

Equazione delle onde con l’approssimazione di buon conduttore

63

La cavità pillbox

0 Lz

Equazione delle onde in coordinate cilindriche

Assunzione sulla forma di Ez (separazione delle variabili)

00 )()( ccz RRRE Condizione al contorno per E

0( , , , ) ( ) zjk z jn

z n tE r z t E J k e e r

Jn è la funzione di Bessel di prima specie e di ordine m

Applichiamo ora quanto detto precedentemente allo studio di una cavità cilindrica (detta pillbox). Sia z l’asse del cilindro esupponiamo di voler studiare l’andamento del campo accelerante Ez

tj

z eRzVtzrE wr )()()(),,,( F

Gli ultimi due termini dell’equazione delle onde sono indipendenti da φ and ρ e quindi devono essere costanti, per cui

Se definiamo kt in modo che otteniamo

Il secondo termine dell’equazione precedente è indipendente da ρ e quindi deve essere costante per cui

Inoltre, dovendo necessariamente essere F periodica di periodo 2, allora n deve essere intero. Quindi

64

La cavità pillbox (2)

La condizione al contorno per E impone la relazione nmt c nm t

c

xk R x k

R

Ove xmn è l’m-mo zero della funzione di Bessel di ordine n. Pertanto esiste una infinità numerabile di modi. In particolareinteressiamoci al modo in cui n=0 e kz=0 (campo elettrico costante lungo z), in quanto esso ha caratteristicheparticolarmente attraenti per l’accelerazione. Dalla relazione di dispersione è possibile determinare le frequenza dirisonanza di tali modi 0

02

m

c

cxf

R

Il modo a più bassa frequenza si ha per m=1 e corrisponde al primo zero della funzione di Bessel di ordine 0

405201 .xcR

cf

2

40520

.

)/.()( cz RrJErE 405200

65

La cavità pillbox (3)

Questo modo è noto come TM010 (TM sta per TrasversoMagnetico) Infatti esso è uniforme lungo z e lungo l’azimut epresenta un solo zero in direzione radiale. TM sta pertrasverso magnetico, in quanto per tale modo (ma non solo) ilcampo H lungo z è nullo. Infatti B ha la sola componenteazimutale

)/.(),( cRrJc

EtrB 40521

0

Per l’espressione degli operatori differenziali incoordinate cilindriche vedihttp://it.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_coordinate_cilindriche_e_sferiche oppurehttp://personalpages.to.infn.it/~botta/CEM/CEM_appendici_0607.pdfPer una trattazione dettaglaiata della soluzionedell’equazione vedihttps://www.eecis.udel.edu/~weile/ELEG648Spring06/Resources/Cylindrical.pdf

66

Parametri fisici e figure di merito di una cavità accelerante

il circuito equivalente che abbiamo introdotto possa essere usato per determinare delle informazioni sintetiche sulla nostracavità, a partire dalla conoscenza dei campi. Anche se ricaveremo i risultati per la pillbox, quanto stiamo per dire vale perqualunque tipo di cavità accelerante. Definiamo quindi alcuni parametri fisici per la cavità

V

dVU )(2

0

2

04

1HE m

Energia elettromagnetica media immagazzinatanel volume V della cavità (in risonanza i due addendi sono uguali)

S

sd dS

RP

2

2Hn̂

Potenza dissipata sulla superficiemetallica S (di conducibilità s )dellacavità (Rs resistenza superficiale)

dP

UfQ 02

Fattore di merito della cavità: è un parametro globale che indica quanto efficientemente la cavitàimmagazzina energia a scapito della potenza dissipata. Per cavità in Rame (s=5.8·107 S/m) valori tipici diQ sono nell’intervallo 5000-50000.

2

2

/

/

)(

L

L

z dzzEV

/

/

( )

2

2

L

z

Lacc

E z dzV

EL L

Tensione accelerante Campo accelerante

2

shd

VR

P

Shunt Impedance: è una figura dimerito che indica quantoefficacemente la cavità è in grado diaccelerare a scapito della potenzadissipata.

0

2

2

1

fU

VQRsh

/

R/Q : parametro puramentegeometrico (indipendente dallaresistenza superficiale)

b b

WP I

q

Potenza di fascio: potenza necessaria peraccelerare un fascio di corrente Ib,facendogli guadagnare un’energia W

67

2

2

1VCUe 22

2

2

0

2

2

2

/

/

)(

L

L

z

Ve

dzzE

dV

V

UC

E

22

2

22

2

2R

dSR

dzzE

P

VR

S

s

L

L

z

d

sh

Hn̂

)(

/

/ RCfP

UfQ

d

00 2

2

Parametri fisici e figure di merito di una cavità accelerante (2)

A questo punto possiamo stabilire le equivalenze campi in cavità-circuito equivalente

CffU

VQRsh

00

2

2

1

2

1

/

( )

/

22 acc

d

E TZT

P L

ZT2 è un parametro che misura l’efficienza dell’accelerazione indipendentemente dallalunghezza della cavità e del livello del campo. Valori alti di tale parametro indicano unelevato guadagno di energia per unità di potenza e di lunghezza