Anno scolastico 2005-06 Istituto Statale “Sandro Pertini” · Figura 3. Curve attese ai capi del...

Anno scolastico 2005-06

Istituto Statale “Sandro Pertini”

Esperienze capacitive

Gruppo di lavoro: Angela Berto Enrica Butini

Emma De Matteis Maria Vittoria Giaume Gabriella Sanguineti


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Sommario

Sommario .................................................................................................................................1 Premesse...................................................................................................................................2 La teoria ...................................................................................................................................4 La pratica con il cronometro ....................................................................................................9 La pratica con un sistema di acquisizione on line..................................................................24 Una variante alle precedenti esperienze.................................................................................27 La carica e la scarica del condensatore in sequenza ..............................................................30 Una semplice analogia ...........................................................................................................37 Considerazioni energetiche in un circuito R-C......................................................................39 Bibliografia e sitografia .........................................................................................................45


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Premesse Se si guarda indietro nella Storia della Fisica si scopre che lo studio di questa disciplina nasce essenzialmente in risposta ad esigenze pratiche, dal bisogno di comprendere perché succedano le cose, perché gli oggetti cadano, perché il cielo sia azzurro, perché il fuoco bruci, ecc. Nel tempo questa disciplina ha, a tal punto, ampliato il suo ambito di studio da investire campi che, a prima vista, nulla hanno in comune fra loro (si pensi, per esempio, alle applicazioni in Astrofisica, da un lato, e in Fisica Medica, dall’altro), ma che si intrecciano sulla base di principi comuni, capaci di offrire innumerevoli spunti di discussione e di approfondimento. In corrispondenza all’ampliamento dei campi di interesse della Fisica, anche le funzioni educative di questa disciplina hanno conosciuto una forte crescita e, attualmente, si esplicano in vari ambiti, da quello più strettamente culturale a quello sociale e relazionale. Non è possibile descrivere in poche righe tutte le funzioni educative della fisica, ma è bene richiamarne alcune legate all’utilizzo del laboratorio. Prima di tutto è importante stimolare nello studente la capacità di cogliere i collegamenti fra le leggi o gli esperimenti che studia in classe e la realtà quotidiana di ogni giorno e, quindi, in senso molto più generale, il nesso profondo fra scuola e vita. In effetti, non c’è argomento di Fisica classica che, in una forma o nell’altra, non tocchi o non abbia toccato gli studenti da vicino, per esempio, quando osservano il tramonto, quando guardano una sorgente di luce, quando ascoltano musica. La Fisica permette loro di inserirsi meglio negli eventi di ogni giorno, arricchendo il piacere della contemplazione estetica con quello della comprensione intellettuale. Un compito fondamentale dell’insegnante è appunto quello di fare in modo che lo studente prenda contatto concretamente con i problemi e i temi tipici della disciplina, per evitare il pericolo sempre presente che una trattazione teorica sviluppata solo sui libri di testo perda, nella mente degli studenti, il contatto col mondo reale che quella teoria cerca di interpretare. Gli studenti hanno bisogno di sperimentare con gli oggetti del mondo di tutti i giorni. E’, quindi, molto importante agevolare la costruzione di quello che Bruner chiamava “ponte fra scuola e vita”. Il laboratorio di Fisica ha un ruolo fondamentale per lo sviluppo del connubio tra sapere e saper fare in quanto, attraverso gli esperimenti, gli studenti imparano a concretizzare i principi teorici studiati. Inoltre, l’utilizzo del laboratorio di Fisica aiuta la classe a costituirsi come gruppo perché promuove la capacità di relazione fra gli studenti e stimola lo sviluppo di atteggiamenti di solidarietà, di confronto e di collaborazione fra i membri dello stesso gruppo o fra un gruppo di lavoro e l’altro. In laboratorio gli studenti imparano a riflettere criticamente su ciò che osservano, ad interpretare e a problematizzare ciò che vedono, a dialogare e a discutere con gli altri, a mettersi in discussione avanzando ipotesi, a confrontarsi con i compagni e con l’insegnante, ad accogliere o a respingere i suggerimenti degli altri motivando di volta in volta le loro scelte, ad esporre con coraggio le loro perplessità senza timore di essere presi in giro. Il laboratorio educa, quindi, all’ascolto e all’apertura mentale, sviluppa la capacità di concentrarsi, di analizzare i problemi sotto più punti di vista; insegna a prendere l’iniziativa, ad imparare a rischiare, ad imparare a fare a meno del docente e, quindi, a lavorare in maniera autonoma. La realizzazione pratica degli esperimenti promuove negli studenti la capacità di operare in maniera ordinata e precisa, prestando la dovuta attenzione ai dettagli; l’interpretazione dei risultati sviluppa la capacità di ragionare e il senso logico; la presentazione dell’esperienza ai compagni insegna ad utilizzare un linguaggio rigoroso. In questo lavoro, sono descritte delle esperienze realizzate in laboratorio con l’utilizzo di condensatori. Diversamente dagli esperimenti in corrente continua o in corrente alternata con componenti solo resistivi, che sostanzialmente si riducono a banali applicazioni della legge di Ohm, gli esperimenti con condensatori non sono sempre di semplice esecuzione. Per esempio, nel caso dei processi di carica e scarica di un condensatore in un circuito R-C, se si sceglie una coppia resistenza-capacità con una costante di tempo abbastanza lunga (alcuni secondi), tale da poter essere agevolmente misurata leggendo manualmente la tensione durante il processo, sorgono difficoltà o per il fatto che i condensatori di grande capacità (decine o centinaia di µF) sono


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elettrolitici (e quindi sensibili al valore della tensione di polarizzazione e richiedono attenzione con il segno della polarità), o per il fatto che valori troppo elevati della resistenza (centinaia di kΩ) rendono non sempre trascurabile l’impedenza di ingresso del voltmetro utilizzato. Se, invece, la costante di tempo è piccola, il processo di carica/scarica avviene assai rapidamente e lo strumento che, tradizionalmente, si deve usare è l’oscilloscopio. Purtroppo, a meno di usare un costoso oscilloscopio digitale, in questo modo non si possono analizzare i dati con comodità anche in tempi successivi all’ esecuzione dell’esperimento. Il sistema on line della “Pasco Scientific” risolve il problema: infatti, risulta particolarmente utile proprio quando i fenomeni da analizzare sono rapidi, in quanto consente di acquisire dati a frequenza di campionamento relativamente alta (qualche kHz) per brevi intervalli di tempo a partire da un istante che può essere opportunamente scelto mediante l’uso di un trigger. Queste caratteristiche possono semplificare la scelta dei componenti e dell’apparato sperimentale, permettendo agli studenti un’analisi dei dati più attenta e rigorosa.


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La teoria Finché si considerano circuiti comprendenti un generatore di forza elettromotrice costante ed una o più resistenze, l’intensità di corrente che percorre tali circuiti non muta nel tempo. Nel momento in cui, però, si introduce anche la capacità come elemento di circuito, l’intensità di corrente diventa variabile nel tempo. Da un punto di vista qualitativo, si può osservare che, collegando le armature di un condensatore ai poli di un generatore, si produce un movimento di cariche dal generatore verso le armature e, quindi, anche una corrente variabile nel tempo, in quanto con il moto delle cariche si genera una differenza di potenziale tra le armature che ostacola il successivo afflusso di cariche. Allorché il condensatore è carico, escludendo il generatore, si genera una corrente in senso inverso in quanto le cariche si spostano da una faccia all’altra del condensatore che si scarica, diminuendo così via via la differenza di potenziale, finché le due facce si trovano allo stesso potenziale. A questo punto la corrente cessa di fluire. Prima di procedere a delle misure, il fatto che il condensatore sia in grado di immagazzinare carica e, di conseguenza, energia può essere visto facilmente con la seguente breve esperienza, realizzabile procurandosi una pila da 4,5 V, un condensatore elettrolitico da circa 1000 µF ed un led cui si aggiunge in serie una resistenza da 100 Ω. Ecco la descrizione dell’esperienza: 1) Il condensatore viene collegato alla pila, facendo attenzione alla polarità (il segno "+" del

condensatore deve corrispondere al segno "+" della pila); dopo pochi secondi il condensatore è carico.

2) Il condensatore carico viene staccato dalla pila ed è collegato al led, facendo attenzione alla giusta polarità dei terminali ed interponendo la resistenza da 100 Ω: per qualche istante il led si illumina, come se lo si avesse collegato alla pila, spegnendosi gradualmente man mano che il condensatore si scarica. La resistenza serve per far scorrere la corrente più lentamente durante la scarica, altrimenti il led farebbe solo un rapido lampo di luce, rischiando anche di bruciarsi. Usando condensatori di maggiore capacità, il led rimane acceso più a lungo.

Punto 1) Punto 2)

Figura 1. Punto 1): il condensatore è caricato, collegandolo alla pila; punto 2): il condensatore carico fa accendere il led, che si spegne gradualmente, man mano che il condensatore si scarica.

Fonte: http://digilander.libero.it/nick47/index.htm

Per un esame quantitativo delle proprietà del circuito suddetto è necessario distinguere, invece, tra processo di carica e processo di scarica.


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Figura 2. Portando il commutatore sulla posizione A, si ottiene il circuito relativo al processo di carica, mentre se

si porta il commutatore sulla posizione B, si ottiene quello relativo al processo di scarica.

a) Il processo di carica Collegando un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, attraverso una resistenza R ai poli di una batteria di accumulatori di forza elettromotrice f e resistenza interna Ri, la carica q sulle armature, inizialmente nulla, tende a raggiungere il valore nominale fC con un certo ritardo, che dipende dalla capacità del condensatore e dalla resistenza R del circuito. (La resistenza interna del generatore Ri è supposta trascurabile). L’equazione del circuito è data da

RiCqf =−

dove dtdqi = .

Per mezzo del calcolo integrale si trova che

RCdt

Cfqdq

−=−

∫∫ −=−

tq

dtRCCfq

dq

00

1

RCt

CfCfq

−=−− )ln(

Pertanto, la carica q sulle armature del condensatore è espressa in funzione del tempo dalla relazione:

)1( τt

eCfq−

−= con τ = RC nota come costante di tempo. Analogamente, la differenza di potenziale tra le armature aumenta dal valore iniziale zero al valore nominale f secondo la formula

)1( τt

efV−

−= La misura della differenza di potenziale può essere eseguita per mezzo di un voltmetro inserito in parallelo con il condensatore. L’intensità di corrente, invece, è massima per t=0 e uguale a f/R, mentre, successivamente, tende ad annullarsi; la relazione matematica è data da

τt

eRfi

−=

La sua misura può essere eseguita inserendo un milliamperometro in serie con il condensatore.


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Dalle relazioni precedenti segue che, per t tendente all’infinito, la carica sulle armature del condensatore, la differenza di potenziale tra le armature e l’intensità di corrente hanno un andamento esponenziale verso Cf, f e 0 rispettivamente. In pratica, però, dopo un tempo di alcuni τ tutte le variazioni tendono ad annullarsi.

Figura 3. Curve attese ai capi del condensatore durante il processo di carica.

b) Il processo di scarica Se, dopo aver caricato un condensatore per mezzo di un generatore, si disinserisce dal circuito il generatore, il condensatore si scarica sulla resistenza R, dando origine per un intervallo di tempo la cui durata dipende dai valori di R e C inseriti nel circuito, ad una corrente di intensità i variabile nel tempo. Contemporaneamente la carica sulle armature e la differenza di potenziale tra le stesse diminuiscono dai valori massimi iniziali, Cf ed f rispettivamente, a zero. L’equazione del circuito è data da

RiCq

=

dove dtdqi −= .

Utilizzando il calcolo integrale come nel processo di carica, si trova che

RCdt

qdq

−=

∫∫ −=tq

q

dtRCq

dq

0

1

0

con Cfq =0

RCt

Cfq

−=)ln(

Pertanto, la carica sulle armature del condensatore è espressa in funzione del tempo dalla relazione:

τt

Cfeq−

= con τ = RC; la differenza di potenziale tra le armature è data da:

τt

feV−

= mentre l’intensità di corrente è data da

τt

eRfi

−=

Ne segue che tutte e tre le grandezze q, V e i decrescono esponenzialmente col tempo. In pratica, però, dopo un tempo di alcuni τ sono pressoché nulle. È interessante notare che l’andamento dell’intensità di corrente in funzione del tempo, a parte il verso che nel processo di scarica è opposto, è identico a quello per il processo di carica.


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Figura 4. Curve attese ai capi del condensatore durante il processo di scarica. Osservazione

La carica e la scarica del condensatore avvengono in un tempo che può essere previsto e che dipende dal valore (in Ohm) della resistenza in serie al condensatore e dal valore della capacità (in Farad) del condensatore stesso.

Sperimentalmente è stato appurato che il tempo necessario affinché il condensatore si carichi al 63% della tensione che gli viene applicata è uguale al risultato del prodotto della resistenza per la capacità. Il risultato di tale prodotto viene chiamato "costante di tempo" e viene indicato con la lettera greca τ (tau), e quindi:

τ = R * C dove R è espresso in Ohm e C in Farad ed il risultato in secondi. Sempre sperimentalmente è stato verificato che il condensatore può essere considerato

carico dopo un tempo T = (4 ÷ 5) τ perchè dopo il primo τ si carica del 63% della tensione applicata e dopo ogni altra costante di tempo τ si carica sempre di un ulteriore 63%, ma della differenza restante.

La carica rispetta, all'incirca, la seguente tabella:

Tabella 1 Tempo % di carica

1° τ 63 % 2° τ 86 % 3° τ 95 % 4° τ 97 % 5° τ 99 %

Dopo il quinto τ il condensatore si può considerare carico. Per la scarica avviene il processo inverso: che dopo il primo τ il condensatore si scarica del

63 % e, quindi, ai suoi capi si ha una tensione pari al 37 % del valore della tensione a cui si era caricato.

Dopo il quinto τ il processo di scarica si può considerare esaurito ed il condensatore può, praticamente, considerarsi scarico.

La scarica rispetta, dunque, all’incirca la seguente tabella:


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Tabella 2

Tempo % di scarica Vc in % rispetto al valore di carica 1° τ 63 % 37 % 2° τ 86 % 14 % 3° τ 95 % 5 % 4° τ 97 % 3 % 5° τ 99 % 1 %


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La pratica con il cronometro Negli esperimenti che seguono, in laboratorio, è costruito il circuito di figura 2, attraverso il quale avvengono i fenomeni di carica e di scarica del condensatore. Tali esperimenti richiedono i seguenti prerequisiti:

• Prerequisiti disciplinari: circuiti in corrente continua; legge di Ohm; legge di Kirchoff; elementi di base del calcolo integrale;

• Prerequisiti metodologici e operativi: lettura di grafici dell’evoluzione temporale di diverse grandezze misurate, loro trasformazione in grafici di dispersione con scelta qualificata delle variabili rappresentate, utilizzo del foglio elettronico, del software ScienceWorkshop e/o del software DataStudio.

a) Obiettivi

• Verificare che la differenza di potenziale agli estremi di un condensatore, quando viene collegato ad un generatore elettrico attraverso una resistenza, aumenta esponenzialmente verso il valore della forza elettromotrice del generatore stesso.

• Verificare che nella scarica la differenza di potenziale tra le armature del condensatore si porta a zero con andamento esponenziale.

• Verificare la diretta proporzionalità tra la capacità e la costante di tempo. • Verificare che la costante di tempo, per la carica e la scarica, ha lo stesso valore. Sono, inoltre, obiettivi formativi trasversali delle modalità proposte per una cultura scientifica di base: • l’analisi e la discussione dei grafici; • la correlazione tra la forma tabulare e quella grafica di rappresentazione dei dati; • la gestione di ipotesi per le misure e di informazioni sperimentali per un confronto con il

modello interpretativo. b) Destinatari L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico. c) Tempi di esecuzione

• Per la preparazione: 20 min. • Per l’esecuzione: 30 min. • Per l’eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 2h

d) Materiale occorrente

• resistenza elettrica dell’ordine di 200 KΩ; • condensatore dell’ordine di qualche centinaio di microfarad; • generatore di tensione continua da 10 V; • interruttore; • basetta per il circuito; • fili elettrici per i collegamenti.


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Figura 5. Da sinistra,un generatore di corrente, un condensatore elettrolitico, dei fili elettrici per i collegamenti, una basetta (bread board).

Osservazioni

L’interruttore può essere realizzato semplicemente con due fili che vanno messi a contatto, purché il contatto sia stabile. Tutti i collegamenti fra i vari componenti devono essere fatti in modo da non aprirsi accidentalmente nel corso della misura.

La rapidità con cui un condensatore si carica e si scarica dipende, tra l’altro, dalla sua capacità. Poiché è necessario che la carica avvenga lentamente per poterla studiare con comodo, è opportuno usare un condensatore di capacità molto alta, realizzato mediante deposizione di un isolante per via elettrolitica e, pertanto, con un polo negativo ed uno positivo (altrimenti, dovrebbe avere dimensioni esagerate!). È assolutamente indispensabile collegarlo in modo che il polo positivo sia a tensione maggiore del polo negativo, cioè dal lato positivo della batteria. Bisogna fare la massima attenzione a non invertirne la polarità, a scanso di inconvenienti spiacevoli.

Di un condensatore, infatti, oltre al valore della capacità (intesa come l'attitudine ad immagazzinare energia elettrica) è importante conoscere anche la tensione di lavoro ( VL ). La tensione di lavoro dipende dal tipo e dallo spessore del dielettrico e rappresenta il valore di tensione massima a cui può essere sottoposto il condensatore per funzionare correttamente. Se si supera la tensione di lavoro il dielettrico può forarsi determinando perdite o cortocircuito tra le armature. Molto importante, poi, è il valore di tolleranza, generalmente espressa in percentuale sul valore nominale della capacità.

Tra i condensatori fissi un posto di grande importanza è occupato dai condensatori elettrolitici; essi sono condensatori che, rispetto agli altri, hanno un elevatissimo valore di capacità per unità di volume. In questi condensatori le armature sono di alluminio o di tantalio. Su una delle armature, che poi dovrà essere sempre collegata al potenziale positivo, viene provocata (per dissociazione elettrolitica) la formazione di uno strato di ossido isolante dello stesso materiale e che, quindi, si comporterà come dielettrico.

Tra l'armatura positiva (anodo) e l'armatura negativa (catodo) viene interposto un elettrolita molto denso con il compito di assicurare la permanenza dello strato di ossido sull'armatura positiva. I condensatori elettrolitici sono polarizzati e, quindi, possono essere usati solo in corrente continua facendo attenzione a rispettare sempre la polarità che è indicata sul condensatore stesso. Se un condensatore elettrolitico viene collegato al circuito con le polarità invertite può esplodere e rappresentare, quindi, un pericolo. E' necessario, pertanto, fare sempre molta attenzione nel collegare i condensatori elettrolitici.


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La basetta (bread board) contiene molte strisce metalliche nel supporto di plastica che connettono i buchi (sockets) in cui possono essere inseriti i componenti. Le connessioni tra due componenti si ottengono connettendo due piedini alla stessa striscia metallica (stessa riga o colonna di buchi nella matrice). Due strisce (in genere quella superiore e quella inferiore) si possono connettere all’alimentatore.

La figura 6 mette in evidenza come leggere i valori di una resistenza o di un condensatore.

Resistenza Codice dei colori per le resistenze

Codice di lettura per i condensatori

Figura 6. Una resistenza, il codice dei colori per le resistenze e il codice di lettura dei valori dei condensatori. c) Strumenti di misura

• cronometro (sensibilità di 1/1000 s); • voltmetro con resistenza interna molto elevata.

Osservazione

Un voltmetro contiene un circuito con una certa resistenza elettrica, attraverso cui fluisce corrente quando viene collegato alla tensione che si vuole misurare. È bene tenere presente, quindi, che la sua presenza in un circuito altera le caratteristiche del circuito, e, per questo, va usato con precauzione.

d) Esecuzione É stato realizzato un circuito come in figura 7.

Figura 7. Un voltmetro è posto in parallelo con il condensatore al fine di misurare la differenza di potenziale.


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Collegando inizialmente il commutatore con A, il condensatore è caricato da un generatore di corrente continua attraverso una resistenza. Utilizzando valori adeguati per il condensatore e per la resistenza, la carica avviene molto lentamente ed è possibile determinare il grafico della differenza di potenziale ai capi del condensatore in funzione del tempo. L’interruttore inserito ha la funzione di collegare durante la carica (o scollegare durante la scarica) il condensatore al generatore di corrente. Per l’esecuzione della prova si è usato un condensatore di capacità teorica C = 470 µF (errore percentuale del 30%) e una resistenza R = 220 KΩ (errore percentuale dell’ 1%); la forza elettromotrice del generatore di corrente era al massimo di 10 V. Prima di alimentare il circuito si sono collegati tra loro i capi del condensatore mediante un filo per eliminare eventuali cariche residue. Si è fatta anche attenzione a collegare il condensatore secondo le polarità indicate su di esso. Nel momento in cui è stato chiuso il circuito, si è fatto scattare contemporaneamente il cronometro. A intervalli regolari, di 10 secondi, l’operatore che seguiva il contasecondi avvisava colui che seguiva il voltmetro, il quale prontamente leggeva il valore sulla scala dello strumento; un terzo operatore aveva il compito di trascrivere le letture. La prova realizzata ha, dunque, un carattere indicativo, senza pretese di eccessiva precisione, in quanto le letture effettuate sugli strumenti di misura sono state piuttosto approssimate, dato che sono state effettuate a vista, cioè senza l'uso di strumenti registratori e mentre i valori cambiavano. È stata così compilata la seguente tabella di dati:

Tabella 3

Tempo (s) Potenziale (V) 0 0,092 10 0,896 20 1,658 30 2,279 40 2,867 50 3,470 60 3,870 70 4,240 80 4,660 90 5,030 100 5,340 110 5,630 120 5,900 130 6,150 140 6,350 150 6,560 160 6,770 170 6,950 180 7,150 190 7,310 200 7,460 210 7,600 220 7,730 230 7,850 240 7,970


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250 8,080 260 8,170 270 8,270 280 8,350 290 8,430 300 8,510 310 8,580 320 8,650 330 8,710 340 8,770 350 8,820 360 8,870 370 8,850 380 8,810 390 8,790 400 8,800 410 8,820 420 8,830 430 8,840 440 8,860 450 8,890

Figura 8. Il circuito realizzato in laboratorio.

Riportando i dati sugli assi cartesiani si è ottenuto il grafico di figura 9 relativo alla differenza di potenziale ai capi del condensatore in funzione del tempo:


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0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Tempo (s)

Diff

eren

za d

i pot

enzi

ale

(V)

Figura 9. Il grafico della differenza di potenziale in funzione del tempo durante la carica del condensatore.

(Realizzazione con Microsoft Excel).

Il grafico mette in evidenza che la differenza di potenziale ai capi del condensatore, inizialmente nulla, cresce dapprima molto rapidamente per aumentare, poi, con molta lentezza. Il valore massimo raggiunto è appena inferiore a 9V: pertanto, dal momento che il generatore ha erogato una tensione di 10 V, c’è stata dispersione dovuta alla resistenza interna del generatore e, soprattutto, all’inserimento del voltmetro. Teoricamente il processo avrebbe potuto durare un tempo infinito, ma la lettura dei dati è stata cessata quando questi hanno terminato di variare sensibilmente. Conducendo, a partire dall’asse delle ordinate, la retta tangente al grafico fino ad incontrare la retta di equazione V = f (ossia V=10) come in figura 10, è interessante confrontare il valore del tempo τ così individuato sull’asse dei tempi con la quantità RC. La pendenza della tangente alla curva calcolata nell’origine è data da

RCf

dttdV

t

C ==0

)(.

Pertanto, l’equazione della retta tangente è data da

tRCfV = .

Nel caso in cui V = f, si ottiene che t = RC.


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0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Tempo (s)

Diff

eren

za d

i pot

enzi

ale

(V)

Figura 10. La tangente alla curva V = V(t) nell’origine. (Realizzazione con Microsoft Excel).

Dal punto di vista teorico, essendo C = 470 µF (errore percentuale del 30%)

R = 220 KΩ (errore percentuale dell’1%) si trova

τ = RC = (220 KΩ * 470 µF) = 103,4 s con errore percentuale del 31%. Dal punto di vista reale, si può leggere approssimativamente sul grafico che τ = 125 s: tale valore discosta da quello trovato per via teorica del 20,9%. Si può osservare, inoltre, che dopo un tempo inferiore a 5τ tutte le variazioni tendono ad annullarsi. Con l’ausilio del foglio elettronico, si può notare che la curva che interpola meglio i dati trovati ha equazione:

)1(87,9 4,103t

eV−

−= verificando, così, l’andamento esponenziale della curva.


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0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Tempo (s)

Diff

eren

za d

i pot

enzi

ale

(V)

Curva reale Curva di tendenza Figura 11. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con Microsoft Excel).

Figura 12. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con DataStudio).


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Figura 13. Il grafico relativo alla carica e la relativa curva teorica. (Realizzazione con DataStudio).

L’esperienza è stata ripetuta introducendo un condensatore in parallelo al precedente in modo da raddoppiare la capacità. Si è ottenuta la seguente tabella 2:

Tabella 4 Tempo (s) Potenziale (V)

0 0,000 10 0,804 20 1,608 30 2,412 40 3,216 50 4,020 60 4,824 70 5,628 80 6,432 90 7,236 100 8,040 110 8,844 120 9,648 130 10,452 140 11,256 150 12,060 160 12,864


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170 13,668 180 14,472 190 15,276 200 16,080 210 16,884 220 17,688 230 18,492 240 19,296 250 20,100 260 20,904 270 21,708 280 22,512 290 23,316 300 24,120 310 24,924 320 25,728 330 26,532 340 27,336 350 28,140 360 28,944 370 29,748 380 30,552 390 31,356 400 32,160 410 32,964 420 33,768 430 34,572 440 35,376 450 36,180

Riportando i dati su un grafico si è potuto confrontare i risultati ottenuti con quelli precedenti:


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0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Tempo (s)

Diff

eren

za d

i pot

enzi

ale

(V)

Figura 14. Confronto delle curve e relative tangenti ottenute con condensatori di capacità l’uno il doppio

dell’altro. (Realizzazione con Microsoft Excel). Il confronto mette in evidenza che, al raddoppiare della capacità, anche il tempo τ raddoppia; infatti, sul grafico si legge approssimativamente τ = 250 s. Si è montato, quindi, il circuito come in figura 7, con il commutatore collegato in B e il condensatore carico. La grandissima resistenza del voltmetro ha fatto sì che il condensatore si scaricasse lentamente. È stata compilata una tabella tensione tempo in cui si sono raccolti i valori di V ai capi del condensatore, rilevati sul voltmetro, ogni 10 s durante la scarica:

Tabella 5

Tempo (s) Potenziale (V) 0 8,798 10 7,994 20 7,232 30 6,611 40 6,023 50 5,420 60 5,020 70 4,650 80 4,230 90 3,860 100 3,550 110 3,260 120 2,990 130 2,740 140 2,540 150 2,330


20

160 2,120 170 1,940 180 1,740 190 1,580 200 1,430 210 1,290 220 1,160 230 1,040 240 0,920 250 0,810 260 0,720 270 0,620 280 0,540 290 0,460 300 0,380 310 0,310 320 0,240 330 0,180 340 0,120 350 0,070 360 0,020 370 0,040 380 0,080 390 0,100 400 0,090 410 0,070 420 0,060 430 0,050 440 0,030 450 0,000

È stato costruito il grafico V = f(t) e si è giudicato, con l’ausilio del foglio elettronico, quale potesse essere la funzione matematica che lo rappresentava meglio. Si può valutare graficamente la costante di tempo del circuito τ = RC che rappresenta approssimativamente il tempo di scarica del condensatore, misurando il segmento staccato sull’asse dei tempi dalla tangente al grafico nel punto iniziale sull’asse V. Dal grafico si legge approssimativamente che τ = 110 s, con errore percentuale del 6,4%.


21

-1,000

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tempo (s)

Diff

eren

za d

i pot

enzi

ale

(V)

Figura 15. Il grafico relativo alla scarica e la tangente al grafico nel punto iniziale. (Realizzazione con Microsoft

Excel). Con l’ausilio del foglio elettronico si trova pure che, nella scarica del condensatore, l’equazione della curva V = V(t) che interpola meglio i valori trovati è data da

110798,8t

eV−

=

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Tempo (s)

Diff

eren

za d

i pot

enzi

ale

(V)

Curva reale Curva di tendenza Figura 16. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con Microsoft Excel).


22

Figura 17. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva di tendenza. (Realizzazione con DataStudio).

Figura 18. Il grafico relativo alla scarica e la relativa curva teorica. (Realizzazione con DataStudio).


23

-1,000

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Tempo (s)

Diff

eren

za d

i pot

enzi

ale

(V)

Figura 19. Confronto tra il processo di carica e quello di scarica di un condensatore. (Realizzazione con

Microsoft Excel).

Osservazioni conclusive

Collegando un condensatore ad una sorgente di tensione, le sue armature si caricano attraverso un impulso di tensione.

La carica si conserva anche dopo l’esclusione della tensione V del generatore. Stabilendo un collegamento fra le armature di un condensatore, ha luogo la scarica che porta

ad una compensazione delle cariche sulle armature attraverso la resistenza del circuito (resistenza del voltmetro) e ad una diminuzione progressiva di tensione fra le armature del condensatore. L’impulso di tensione di carica è una funzione crescente del tempo, quella di scarica è una funzione decrescente.

Confrontando i risultati raggiunti per la carica e per la scarica del condensatore, si osserva che i dati ottenuti non sono del tutto soddisfacenti. Infatti, l’esperienza è stata realizzata con notevole approssimazione e con un margine di errore decisamente troppo elevato. Per ovviare a questi inconvenienti, l’esperienza è stata ripetuta usando una strumentazione on line.


24

La pratica con un sistema di acquisizione on line L’analisi di un fenomeno transitorio, quale quello della carica/scarica di un condensatore, è effettuata più facilmente con un sistema di misura on line piuttosto che con metodi tradizionali. Tale sistema, infatti, permette di acquisire i dati rapidamente e accuratamente, offre la possibilità di registrarli in formato duplicabile e trasferibile, consente di rappresentarli graficamente in modo immediato e dà facoltà di poterli poi manipolare con semplicità. Per questo motivo l’esperienza è stata realizzata con il sistema on line della ditta “Pasco Scientific” che non richiede particolari abilità sperimentali. Gli esperimenti richiedono, oltre ai requisiti elencati in precedenza, di saper utilizzare il sistema di acquisizione per misure on line precedentemente citato e il software allegato ScienceWorkshop. a) Obiettivi

• Usare il sensore di tensione per misurare la differenza di potenziale ai capi di un condensatore durante il processo di carica e quello di scarica;

• Calcolare la capacità del condensatore; • Confrontare la misura di capacità trovata con quella teorica.

b) Destinatari L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico. c) Tempi di esecuzione



• Sonda di tensione; • Sensore di tensione – corrente; • Interruttore; • Basetta per componenti; • Resistenza; • Condensatore elettrolitico; • Cavetti per le connessioni; • Alimentatore; • Interfaccia; • Computer; • Software ScienceWorkshop; • Stampante.

e) Esecuzione L'apparato sperimentale si monta in questo modo:

• si realizza il circuito di figura 20: è usata una resistenza nominale di 100 Ω e un condensatore di capacità nominale di 330 µF, al 20 % di accuratezza ;


25

Figura 20. Il circuito per lo studio del processo di carica del condensatore

• si connette l’interfaccia Pasco 750 al computer attraverso dei connettori a banana;

Figura 21. L’interfaccia Pasco 750

• si connette il sensore di tensione ad un canale analogico dell’interfaccia e alle estremità del

condensatore; • si attiva il software ScienceWorkshop per preparare il computer a ricevere i dati,

selezionando un range di valori per la tensione e per il tempo di durata dell'esperimento. Osservazioni

È molto importante la calibrazione dei componenti. In particolare, per quanto riguarda il condensatore, sono applicabili al massimo 5 V con onda quadra solo positiva.

Il sensore di tensione è costituito da due cavi elettrici, lunghi circa 1 m, uno rosso e uno nero. Ogni cavetto monta ad un capo un connettore a banana da 4 mm, mentre l’altro capo termina in un connettore DIN, comune ad entrambi. Bisogna fare attenzione a non inserire assolutamente i terminali del sensore in una presa di rete (220 V) in quanto il sensore non deve misurare differenze di potenziale maggiori di 10 V. Qualche Volt in più potrebbe danneggiare l’interfaccia.

A questo punto: • si imposta il generatore di segnale in modo che ci sia in uscita una tensione di 4 V con onda

quadra solo positiva e frequenza di 0,40 Hz;


26

• si fa partire la rilevazione dei dati, che si fa fermare automaticamente dopo 4s; • si osserva il grafico che appare sullo schermo del computer.

Il grafico ottenuto immediatamente consente numerosi quesiti, ai quali possono essere fornite risposte date in modi assai diversi tra loro. Innanzitutto, è sicuramente opportuno osservare che l’esperienza è stata effettuata con meno approssimazione rispetto a quella eseguita con il cronometro, per cui gli errori sperimentali sono sicuramente inferiori. Si può provare, pertanto, a calcolare la capacità del condensatore e a confrontare il valore trovato con quello teorico. Un modo per calcolare la capacità del condensatore può essere quello di utilizzare il tempo che la tensione ai capi del condensatore impiega per raggiungere la metà del suo valore finale. Infatti, dalla relazione teorica

)1(0τt

eVV−

−=

si ricava, con semplici calcoli, che per 2

0VV = ,

RCRCt 693,02ln2ln21 === τ

Pertanto, R

tC

693,021

= .

Leggendo sul grafico che st 0269,021 = , si ottiene che la capacità reale è

C=388 µF con un errore percentuale del 17,5%.

Figura 22. Lo studio della carica del condensatore col software DataStudio.


27

Una variante alle precedenti esperienze Negli esperimenti precedentemente descritti, si è posto l’accento sulla differenza di potenziale ai capi di un condensatore durante i processi di carica e scarica. Una variante potrebbe essere data dall’osservazione del comportamento dell’intensità di corrente in un circuito R-C. In tal caso, è necessario un microamperometro inserito in serie con il condensatore. a) Obiettivi

• Visualizzare l’andamento grafico della corrente durante il processo di scarica di un condensatore;

• Determinare la quantità di carica elettrica ceduta dal condensatore nella fase di scarica. b) Destinatari L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico. c) Tempi di esecuzione



• Sonda di corrente elettrica; • Sensore di corrente; • Interruttore; • Basetta per componenti; • Resistenza; • Condensatore elettrolitico; • Cavetti per le connessioni; • Alimentatore; • Interfaccia; • Computer; • Software ScienceWorkshop; • Stampante.

e) Traccia dell’esecuzione Supponendo di prendere in considerazione la scarica, l’intensità della corrente cala rapidamente, per cui è necessario leggere lo strumento ad intervalli di tempo molto brevi; questo può creare problemi nella lettura, per cui è preferibile collegarsi on line con l’elaboratore per la raccolta dei dati. Con i dati raccolti in una tabella del tipo

Tempo (s) Intensità di corrente (µA)

si può costruire il grafico dell’intensità della corrente in funzione del tempo, che è una curva decrescente con andamento esponenziale. Anche in questo caso, tracciando la tangente alla curva nel punto iniziale i0 , si può dimostrare, con calcoli analoghi a quelli visti in precedenza, che tale retta incontra l’asse dei tempi in t = τ = RC.


28

Nel caso in cui il valore di τ trovato sperimentalmente sia soddisfacente e nota R, si può provare a calcolare il valore della capacità del condensatore. Una grandezza interessante è la quantità di carica elettrica che si trova sul condensatore all’inizio della scarica. Le intensità di corrente che l’amperometro misura durante la scarica sono dovute al flusso di cariche elettriche che lasciano gradualmente il condensatore. Per calcolare la carica totale si può pensare di utilizzare la definizione di intensità di corrente:

tiq *= dove t è il tempo di scarica. Però, l’equazione è valida solo se l’intensità di corrente i è costante durante il tempo t. Nel nostro caso, invece, l’intensità di corrente decresce rapidamente, ma si possono trovare intervalli di tempo sufficientemente piccoli per considerare la corrente costante. Si può, quindi, suddividere il tempo di scarica in piccoli intervalli e, con l’aiuto del foglio elettronico, calcolare in ogni intervallo il valore medio dell’intensità di corrente. Con il metodo di integrazione grafica si può così calcolare l’area compresa tra la curva e l’asse dei tempi al fine di conoscere la quantità di carica ceduta (e quindi precedentemente acquisita) dal condensatore.

Figura 23. La suddivisione in intervalli del tempo di scarica

Tabella 6

t (s) i (A) Valore medio di i

(A) ∆t (s)

i*∆t (Coulomb)

0,0 5,00E-04 1,7 4,70E-04 4,85E-04 1,7 0,000825 2,7 4,50E-04 4,60E-04 1,0 0,000460 3,5 4,30E-04 4,40E-04 0,8 0,000352 4,9 4,00E-04 4,15E-04 1,4 0,000581 6,2 3,70E-04 3,85E-04 1,3 0,000501 7,0 3,50E-04 3,60E-04 0,8 0,000288 8,3 3,30E-04 3,40E-04 1,3 0,000442 9,8 3,00E-04 3,15E-04 1,5 0,000473

12,0 2,70E-04 2,85E-04 2,2 0,000627 13,1 2,50E-04 2,60E-04 1,1 0,000286


29

14,9 2,30E-04 2,40E-04 1,8 0,000432 17,2 2,00E-04 2,15E-04 2,3 0,000495 20,7 1,70E-04 1,85E-04 3,5 0,000648 23,0 1,50E-04 1,60E-04 2,3 0,000368 25,9 1,30E-04 1,40E-04 2,9 0,000406 31,1 1,00E-04 1,15E-04 5,2 0,000598 32,9 9,00E-05 9,50E-05 1,8 0,000171 35,5 8,00E-05 8,50E-05 2,6 0,000221 37,8 7,00E-05 7,50E-05 2,3 0,000173 40,9 6,00E-05 6,50E-05 3,1 0,000202 44,3 5,00E-05 5,50E-05 3,4 0,000187 47,8 4,00E-05 4,50E-05 3,5 0,000158 53,6 3,00E-05 3,50E-05 5,8 0,000203 61,6 2,00E-05 2,50E-05 8,0 0,000200 77,9 1,00E-05 1,50E-05 16,3 0,000245

Area = 0,009538 Osservazioni

In corrispondenza dell’ultimo t, l’intensità di corrente non è nulla: pertanto, la quantità di carica calcolata non è esattamente tutta la carica che si trovava sul condensatore all’inizio della scarica. In tale istante, dunque, c’è ancora una piccola quantità di carica che fluisce nel circuito, dando però luogo ad una corrente più piccola della sensibilità dello strumento usato e quindi non rilevabile da questo strumento.

La quantità di carica è rappresentata nella figura 23 dall’area di tutti i rettangoli evidenziati e può essere considerata una buona approssimazione dell’area sotto la curva. Tale approssimazione è tanto migliore quanto più piccoli sono gli intervalli di tempo, quindi è bene non considerare intervalli di tempo troppo lunghi.

Il software DataStudio è in grado di calcolare immediatamente l’area sotto la curva dell’intensità di corrente (figura 24).

Figura 24. La quantità di carica calcolata come area sotto la curva dell’ intensità di corrente nel processo di

scarica. (Realizzazione col software DataStudio).


30

La carica e la scarica del condensatore in sequenza Si consideri il circuito di figura 2. A seconda della posizione del deviatore, il circuito si carica o si scarica attraverso la resistenza. Pertanto, si supponga di agire in rapida successione sul deviatore, generando una sequenza di cariche e scariche alternate, ciascuna di durata TM. La forma che assumono i grafici di Q in funzione del tempo dipende dal valore di TM in rapporto alla costante di tempo τ = RC. È, quindi, interessante esaminare le diverse forme dei grafici ottenibili variando opportunamente i dati in ingresso. Si supponga che TM sia dello stesso ordine di grandezza di τ. Il condensatore inizia la carica, ma, prima che Q si sia sensibilmente avvicinato al valore Qlim, lo scatto del deviatore fa iniziare la scarica. Questa parte dal valore di Q appena raggiunto (punto B in figura 25) e tende a Qlim= 0; anche questo valore, però, non viene raggiunto perché un nuovo scatto del deviatore fa riprendere la carica che, a sua volta, inizia dal nuovo valore di Q (punto C in figura 25).

Figura 25. La carica e la scarica in sequenza.

Utilizzando circuiti R-C si può osservare quel fenomeno che in elettronica è noto come “generazione di onde quadre e di onde triangolari”. Infatti, se il tempo TM è molto maggiore della costante di tempo RC, il condensatore ha modo di caricarsi fino a Qlim, rimanendo a tale valore fino allo scatto del deviatore; in quell’istante, comincia a scaricarsi e, poiché TM è elevato, ha modo di raggiungere Q = 0 e rimanere a tale valore fino al nuovo scatto del deviatore, quando torna a caricarsi. La successione di cariche e scariche ha l’aspetto di un’onda quadra, come è mostrato in figura 26. Se, invece, il tempo TM è sensibilmente più piccolo della costante di tempo RC, il condensatore ha appena il tempo di iniziare la carica che lo scatto del deviatore impone la scarica; d’altra parte, neppure la scarica può essere portata a termine perché lo spostamento del deviatore produce una nuova carica. Il grafico di Q in funzione del tempo assume l’aspetto di figura 27 che mostra come, dopo una breve fase transitoria, si generi un’onda triangolare. I segmenti che la compongono rappresentano la parte iniziale delle curve di carica e di scarica del condensatore.


31

Figura 26. Carica e scarica del condensatore con TM>>RC.

Figura 27. Carica e scarica del condensatore con TM<RC.

Esercitazione

Obiettivi • Rilevare il comportamento di un circuito R-C quando viene alimentato da un segnale ad

onda quadra con frequenza variabile, in modo da visualizzare, utilizzando l'oscilloscopio,


32

l'andamento della carica e della scarica in riferimento al semiperiodo del segnale applicato all'ingresso.

• Verificare, in particolare, che il condensatore si carica completamente durante la semionda positiva del segnale di ingresso e si scarica completamente durante la semionda successiva solo se si verifica la condizione che la frequenza del segnale d'ingresso sia f <= 1/ (10 τ), mentre, se la frequenza è superiore a tale limite, sia la carica sia la scarica sono incomplete.

Destinatari

L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico.

Tempi di esecuzione • Per la preparazione: 20 min. • Per l’esecuzione: 40 min. • Per l’eventuale elaborazione dei dati col software DataStudio: 1h

Materiale occorrente

• Sonda di tensione; • Sensore di tensione – corrente; • Interruttore; • Basetta per componenti; • Resistenze; • Condensatori elettrolitici; • Cavetti per le connessioni; • Alimentatore; • Oscilloscopio; • Interfaccia; • Computer; • Software ScienceWorkshop; • Stampante.

Figura 28. Schema di un oscilloscopio


33

Osservazione La figura soprastante riproduce lo schema di massima di un oscilloscopio. Solitamente il campo

elettrico delle placche disposte verticalmente è pilotato da un apposito circuito che determina lo spostamento sul piano orizzontale del fascio elettronico con velocità costante. Al termine del suo spostamento il circuito azzera il valore del campo elettrico in un tempo brevissimo; il fascio elettronico torna, allora, al suo punto di partenza, pronto per ricominciare lo spostamento orizzontale sotto l’azione del campo elettrico nuovamente attivato dal circuito. Questo movimento del fascio viene pilotato da una differenza di potenziale tra le placche verticali. L’intervallo di tempo ∆T nel quale la tensione tra le placche si azzera dipende dal tipo di oscilloscopio e solitamente è uguale all’1% dell’inverso della banda passante dello strumento. Il tempo T può essere regolato a piacere, entro certi limiti, e definisce il valore della base dei tempi dell’oscilloscopio. Inviando un segnale di tensione variabile sulle placche orizzontali, si produce un moto secondo la direzione verticale che va a sovrapporsi a quello precedentemente descritto.

Esecuzione Per la prova sono stati scelti valori di R e C in modo da avere τ = R*C = 0,1 ms e, quindi, avere frequenza limite di 1 KHz <= 1/ (10τ). Pertanto, sono stati effettuati i rilievi utilizzando, per il segnale di ingresso, rispettivamente le frequenze di 0,5 KHz, 1 KHz, 2 KHz e 5 KHz.

Il circuito di misura utilizzato è quello rappresentato nella figura che segue:

Figura 29. La figura mette in evidenza l’inserimento del generatore di funzioni (a sinistra) e dell’oscilloscopio (a destra) nel circuito.

Il circuito è stato realizzato su una bread-board. È stato applicato all'ingresso un segnale ad onda quadra del valore di 20 Vpp e, siccome il condensatore ha iniziato a caricarsi dal valore max negativo, detto valore è stato considerato come valore iniziale 0 V della carica del condensatore. Il condensatore ha, quindi, potuto caricarsi al valore massimo di 20 V. Si sono effettuate le quattro prove previste e per ognuna di essa il Generatore di Funzioni è stato regolato in modo da dare rispettivamente le frequenze di 0,5 KHz, 1 KHz, 2 KHz, 5 KHz. Sono state regolate le scale di lettura dell'oscilloscopio e, per ognuna delle prove, sono stati rilevati la tensione d'ingresso massima ( VM ), il valore iniziale V0 ed il valore finale Vf della tensione di uscita.


34

I valori ricavati sono stati riportati in una tabella come quella che segue:

Tabella 7 Prove f (KHz) T/2 (ms) τ(ms) VM (V) V0 (V) Vf (V)

1 0,5 1 0,1 20 0 20 2 1 0,5 0,1 20 0 20 3 2 0,25 0,1 20 ~ 1,5 ~ 18,5 4 5 0,1 0,1 20 ~ 4,5 ~ 15,5

Per ognuna delle misure effettuate, l’oscilloscopio ha permesso di visualizzare dei segnali così come nelle figure successive.

1. Analisi dei risultati della prima misura (f = 0,5 khz T/2 = 1 ms)

Dall'analisi dei segnali della prima prova ed i cui valori sono riportati nella tabella, emerge che, essendo la frequenza di ingresso di 0,5 KHz e quindi inferiore a quella limite, la durata del semiperiodo T/2, pari a 10 τ , è tale da consentire la carica e la scarica completa del condensatore; la tensione che si ha in uscita è una sequenza di esponenziali completi, con valore iniziale nullo ( 0 V ) e valore finale 20 V, pari a quello della tensione di ingresso.

Figura 30. Grafico relativo alla prima misura (f = 0,5 khz T/2 = 1 ms)

2. Analisi dei risultati della seconda misura (f = 1 KHz T/2 = 0,5 ms)

In questo caso la frequenza del segnale di ingresso è quella limite, con T/2 = 5 τ , il condensatore si carica e si scarica completamente ma, a differenza della prima prova, non vi è più il periodo di tempo finale in cui la tensione d'uscita rimane praticamente costante per ogni ciclo.


35

Figura 31. Grafico relativo alla seconda misura (f = 1 khz T/2 = 0,5 ms)

3. Analisi dei risultati della terza misura (f = 2 KHz T/2 = 0,25 ms)

In questo caso, essendo la frequenza del segnale ad onda quadra d'ingresso inferiore a quella limite e avendosi T/2 = 2,5 τ , la durata del semiperiodo non è tale da consentire la carica e la scarica completa del condensatore; la tensione d'uscita è una sequenza di curve esponenziali non a regime, con valore iniziale di circa 1,5 V e valore finale di circa 18,5 V inferiore quindi a quella della tensione d'ingresso.

Figura 32. Grafico relativo alla terza misura (f = 2 khz T/2 = 0,25 ms)

4. Analisi dei risultati della terza misura (f = 5 KHz T/2 = 0,1 ms)

In questo ultimo caso l'andamento della tensione d'uscita è simile a quello della terza prova; essendo però minore la durata del semiperiodo ( T/2 = τ ) , è ancora più evidente il fatto che gli esponenziali non sono a regime e quindi, per ogni ciclo, la tensione d'uscita parte da un valore maggiore (circa 4,5 V) e arriva ad un valore minore ( circa 15,5 V ), rispetto all'andamento della prova 3.

Figura 33. Grafico relativo alla quarta misura (f = 5 khz T/2 = 0,1 ms)


36

Osservazione Questa esperienza può, ovviamente, essere effettuata cambiando i valori dei

componenti R e C in modo da avere una costante di tempo diversa, come pure può essere cambiata l'ampiezza del segnale d'ingresso.

Figura 34. I quattro grafici sovrapposti permettono di confrontare la scarica di un condensatore, tenendo fissata la capacità, ma variando la resistenza.


37

Una semplice analogia Esiste una semplice analogia fra il circuito R-C ed il sistema meccanico mostrato nella figura sottostante, il quale è una versione semplificata di un meccanismo per la chiusura automatica delle porte.

Figura 35. Il meccanismo di chiusura automatica delle porte.

Il pistone è forato e l’olio è costretto a passare attraverso i fori quando il pistone si muove. Di conseguenza, si ha una forza resistiva, dipendente dalla velocità, a causa della viscosità dell’olio. Per velocità abbastanza piccole questa forza è proporzionale alla velocità e può venir espressa come F = -bv, dove b è una costante di proporzionalità e il segno negativo indica che la forza è sempre opposta al moto. Anche la molla esercita una forza sul pistone in movimento. Quando la molla viene spostata di una quantità x dalla sua posizione di equilibrio, essa esercita una forza F = -kx, dove k è la costante elastica della molla. La somma di queste due forze, che agiscono sul pistone, deve essere uguale alla massa del pistone per la sua accelerazione, in accordo con la seconda legge di Newton. Se la massa è trascurabile, la somma delle due forze è uguale a zero, e si ha

0=−− bvkx oppure

xbk

dtdx

−= .

Questa equazione differenziale ha esattamente la stessa forma dell’equazione per la carica del condensatore. Lo spostamento x corrisponde alla carica q, la velocità v alla corrente i. Esistono relazioni simili anche fra i parametri delle componenti corrispondenti dei due sistemi: la costante di smorzamento b corrisponde alla resistenza R e la costante elastica k della molla all’inverso della capacità C. Questa analisi mostra immediatamente che quando si sposta il dispositivo automatico di chiusura dalla sua posizione di equilibrio di una quantità x0, esso tende all’equilibrio in modo esponenziale, secondo l’equazione

tbk

exx−

= 0 con una costante di tempo uguale a b/k. Se al meccanismo di chiusura automatica viene aggiunta un’ulteriore forza esterna F(t) dipendente dal tempo, la situazione è analoga a quella del circuito R-C con una tensione esterna V(t) dipendente dal tempo, come è mostrato nella figura sotto riportata.


38

Figura 36. Analogia tra il meccanismo di chiusura automatica delle porte ed un circuito R-C.

Fonte: Portis M., Young H. D., La fisica di Berkeley. Laboratorio 2


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Considerazioni energetiche in un circuito R-C Sia dato un circuito R-C comprendente un resistore di resistenza R, un condensatore di capacità C, un generatore di f.e.m. ξ ed un interruttore T. In tale circuito le sollecitazioni elettriche (ad esempio il potenziale applicato ai capi della resistenza) non sono costanti nel tempo, ma le variazioni non sono così rapide da produrre effetti apprezzabili nel tempo impiegato dai segnali elettromagnetici per propagarsi da un capo all’altro del circuito.

Figura 37. Il circuito R-C aperto: non circola corrente e il condensatore è scarico. Ad ogni istante, la configurazione delle grandezze elettriche (campo elettrico, corrente, ecc.) ha tempo per aggiustarsi a soddisfare le relazioni proprie del caso stazionario prima che intervengano variazioni apprezzabili delle grandezze stesse. Il circuito, perciò, opera in condizioni quasi stazionarie. Lo studio dei problemi di correnti variabili nel tempo secondo l’approssimazione quasi-stazionaria implica che si trascuri l’energia emessa nella forma di radiazione elettromagnetica; l’energia fornita dal generatore dunque si troverà tutta localizzata nel campo elettrico e magnetico presente nello spazio circostante, ovvero sarà dissipata per effetto Joule. a) Bilancio energetico e rendimento di carica Inizialmente l’interruttore T è aperto, nel circuito non circola corrente e il condensatore è scarico. Al tempo t=0 viene chiuso l’interruttore e il generatore inizia a prelevare cariche dai conduttori connessi al polo negativo e a portarle al polo positivo di modo che sulle armature del condensatore compaiono le cariche +q e -q.

Figura 38. Il circuito R-C chiuso: il condensatore si carica. Il processo continua fino a quando la carica del condensatore raggiunge il valore massimo q0=Cξ, cui corrisponde la d.d.p. VA-VB tra le armature, pari alla f.e.m. ξ del generatore.

Per quanto riguarda il bilancio energetico del circuito si deve considerare: l’energia fornita dal generatore durante il transitorio, l’energia ricevuta dal condensatore, detta anche energia di carica


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del condensatore, e l’energia dissipata nella resistenza per effetto Joule. In base alle relazioni per la carica di un condensatore, la potenza istantanea erogata dal generatore vale

quella dissipata nel resistore (diversa da quella del generatore durante la carica) vale

RCt

R eR

RiP22

2 −==

ξ

e quella relativa all’energia di carica del condensatore è

RgenRC

tRCt

CC PPeR

eR

iVP −=−==−−

222 ξξ

Quindi, l’equazione del bilancio energetico totale, in accordo col principio di conservazione dell’energia, si scrive:

idtVdtRidtidtPdtPdtP CCRgen +=⇔+= 2ξ

Il lavoro fornito dal generatore, quello consumato nel resistore e l’energia elettrostatica del condensatore alla fine del processo, dopo un intervallo di tempo sufficientemente lungo, valgono rispettivamente

2

0

2

0

ξξ CdteR

dtPW RCt

gengen ===−

∞∞

∫∫

2

0 21 ξCdtPW RR == ∫

∞

2

0 21 ξCdtPUE CeC ==∆= ∫

∞

L’energia dissipata in calore nel resistore è uguale a quella immagazzinata nel condensatore, indipendentemente dai valori della resistenza e della capacità, pertanto il rendimento di carica è sempre del 50%; i valori R e C determinano soltanto la durata del processo, la capacità C e la f.e.m. ξ fissano la spesa energetica, ma la ripartizione relativa rimane sempre la stessa. E’ possibile pervenire allo stesso risultato calcolando il lavoro fatto dal generatore come

[ ] 20

00

00

ξξξξ CqqdqWqq

gen ==== ∫

Essendo 2

21 ξCU e =∆ , si deduce che sulla resistenza viene dissipato il lavoro 2

21 ξC .

RCt

gen eR

iP−

==2ξξ


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b) Energia associata alla scarica Consideriamo il condensatore con carica iniziale q0, un resistore R e l’interruttore T aperto. La d.d.p

ai capi del condensatore vale Cq

V 00 = e l’energia elettrostatica immagazzinata

CqU e 2

20= .

All’istante t=0 si chiude il circuito e le cariche si muovono, generando una corrente positiva lungo il

resistore data da dtdqi −= , dove il segno meno è necessario in quanto la carica diminuisce nel

tempo.

Figura 39. Il circuito R-C ora è aperto, ma il condensatore è carico.

Dalla espressioni per la scarica si ricava che la potenza istantanea dissipata su R vale

RCt

R eR

VRiP

2202 −

==

L’energia UJ dissipata in R per effetto Joule nell’intero processo di scarica è

Cq

CVdteR

VdtPU RC

t

RJ 221 2

020

0

220

0

==== ∫∫∞

−∞

pari proprio all’energia elettrostatica del condensatore, prima dell’inizio della scarica.

Come già detto, la schematizzazione quasi-stazionaria del problema implica che l’energia iniziale, di tipo elettrostatico, si ritrovi integralmente convertita in calore per effetto Joule senza nessuna perdita per irraggiamento elettromagnetico.

c) Esercitazione

Obiettivi • Verificare la conservazione dell’energia in un circuito R-C durante il processo di carica.

Destinatari

L’attività è adatta a studenti del triennio della scuola superiore, con particolare riferimento a quelli del liceo scientifico e del liceo scientifico tecnologico.


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Tempi di esecuzione • Per la preparazione: 20 min. • Per l’esecuzione: 30 min. • Per l’eventuale elaborazione dei dati col foglio elettronico e/o col software DataStudio: 1h

Materiale occorrente

• Sonda di tensione; • Sensore di tensione – corrente; • Interruttore; • Basetta per componenti; • Resistenza; • Condensatore elettrolitico; • Cavetti per le connessioni; • Alimentatore; • Interfaccia; • Computer; • Software ScienceWorkshop; • Stampante.

Esecuzione

Si consideri un circuito R-C costituito da un condensatore in serie con una resistenza. Con un sistema on line, si acquisiscano i dati relativi alla tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo e alla tensione ai capi della resistenza durante il processo di carica e quello di scarica. Si può discutere l'andamento delle curve. Nella prima parte della curva, relativa alla tensione ai capi del condensatore, dopo alcuni secondi passati a tensione zero, viene avviata la carica del condensatore che si porta velocemente alla tensione massima di batteria, Vmax= 10 V, dove rimane per alcuni secondi; dopo questo tempo, viene avviata una scarica veloce, che porta la tensione del componente dal valore massimo a zero.

Figura 40. La tensione ai capi del condensatore durante il processo di carica e di scarica. ( Realizzazione col

software DataStudio).


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Figura 41. La tensione ai capi della resistenza durante il processo di carica e di scarica. ( Realizzazione col

software DataStudio). Contemporaneamente, si può osservare il comportamento della curva che rappresenta la tensione ai capi della resistenza: durante la carica la differenza di potenziale ai capi della resistenza, inizialmente massima, diminuisce fino ad annullarsi, mentre, durante la scarica, ha un comportamento analogo, ma con segno opposto. Osservazioni

Indicando con V0 la tensione fornita dal generatore, con VC la tensione fra le armature del condensatore e con VR quella ai capi della resistenza, in un istante generico si può dimostrare che vale la relazione V0 =VC + VR. Tale relazione esprime la conservazione dell’energia nel circuito in esame. Infatti, per il secondo principio di Kirchoff, la somma delle f.e.m. applicate è uguale alla somma delle cadute di tensione sui diversi componenti del circuito.

Per esempio, nell’esperienza effettuata si è trovato che, a fronte di una tensione fornita dal generatore di 10V, la somma suddetta valeva costantemente (10,431±0,067)V con un errore percentuale del 4% rispetto al valore della forza elettromotrice erogata.

Il generatore fornisce energia al circuito. Una parte di tale energia viene assorbita dalla resistenza R e una parte si accumula sulle armature del condensatore. Utilizzando l’equazione di bilancio energetico, si può calcolare per differenza l’energia che viene immagazzinata dal condensatore e confrontare il valore trovato con quello teorico.

L’andamento di VR nel tempo è identico a quello della corrente, a conferma del fatto che le due grandezze sono direttamente proporzionali.

Il segno negativo di VR durante il processo di scarica indica che la corrente circola in verso opposto a quello durante il processo di carica.

d) Conclusioni Collegando le due armature di un condensatore a un generatore di tensione, “sono prelevati” elettroni dall’armatura a potenziale maggiore che “vengono spinti” verso l’armatura a potenziale minore. Il risultato è dato dall’accumulo di carica Q = C ∆V uguale e opposta sulle due armature, tanto maggiore quanto maggiore è la capacità C del condensatore. Variando opportunamente queste grandezze si può immagazzinare sul condensatore una “quantità di elettricità” arbitrariamente


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grande. Per “aggiungere carica” alle armature bisogna compiere lavoro contro la repulsione coulombiana tra le cariche già presenti. Questo lavoro durante la carica del condensatore è a spese dell’energia chimica del generatore di tensione, e durante la scarica viene restituito sotto forma di energia diversa (es. avviamento auto, flash).

Figura 42. La variazione di energia durante il processo di carica di un condensatore.


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Bibliografia e sitografia • Caforio A., Ferilli A., Nuova fisica 2000, vol. 3, Le Monnier, Firenze, 2000 • Portis M., Young H. D., La fisica di Berkeley. Laboratorio 2, Zanichelli, Bologna, 1982 • http://digilander.libero.it/nick47/index.htm • http://www.peduto.it/condensatori/condensatori.htm

Anno scolastico 2005-06 Istituto Statale “Sandro Pertini” · Figura 3. Curve attese ai capi del...

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