Andando in qua e là : introduzione al concetto di struttura

Andando in qua e là:introduzione al concetto di struttura

Liceo Scientifico G. Galilei6 febbraio 2013

Giochi di Archimede ---- 2006

PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via.

Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova il ragno?

PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a

che distanza dal punto O si trova il ragno?

O

al quinto minuto: 50 cm a est

al sesto minuto: 60 cm a nord......

Est

Nord

Ovest

Sud

REGOLA : minuto dopo minuto, per la direzione il ragno segue la sequenza E N O S, mentre la distanza percorsa aumenta sempre di 10 cm.

Tirare a indovinare

Forza bruta

Metodo matematico

MENONE: Differenza fra retta opinione e Scienza

Platone



METODI

O


idee? ciclo

Alla fine di ogni ciclo di 4 minuti, il ragno ha percorso 20 cm a sud e 20 cm a ovest

= 4 movimenti(cioè 4 minuti)

Metodo matematico

Soluzione

1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503 cicli più un movimento (verso Est).

2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e Sud del punto di partenza.

3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est

4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O

5) La distanza di P da O è:

A R R I V E D E R C I ALT!

Dobbiamo ancora capire bene cosa abbiamo fatto

Un ottimo modo per vedere se abbiamo capito è affrontare variazioni sul tema

Soluzione



3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est

4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060 = 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O

5) La distanza di P da O è:

DIMOSTRAZIONE

In ogni ciclo il ragno fa x cm verso Est, x + 10 cm verso Nord, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.

x cm verso Est = - x cm verso Ovest

x + 10 cm verso Nord = - x - 10 cm verso Sud

In ogni ciclo il ragno fa - x cm verso Ovest, - x - 10 cm verso Sud, x + 20 cm verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.quindi il ragno fa - x + x + 20 = 20 cm verso Ovest e - x – 10 + x + 30 = 20 cm verso Sud.

Soluzione



?

O

Nord

A1

A4 A5

A2A3

A6

A1 = (10 , 0)

O = (0 , 0)

A2 = (10 , 20)

A3 = (- 20 , 20)

A4 = (- 20 , - 20)

A5 = (30 , - 20)

A6 = (30 , 40)

x =

y =

0 10 10 -20 -20 30 30

0 0 20 20 -20 -20 40

Quali numeri secondo logica aggiungeresti?

-40 -40

40 -40

dimostrazione

y = 0 0 20 20 -20 -20 40 40 -40

x = 0 10 10 -20 -20 30 30 -40 -40

x = 0 10 -20 30 -40

10 -30 50 -70

y = 0 20 -20 40 -40

20 -40 60 -80


REGOLA al passo N il ragno fa:

se N è pari, n = 2m + 2

se N è dispari, n = 2m + 1

verso Est(20m+10)

verso Nord(20m+20)


se N è pari, n=2m + 2

se N è dispari, n=2m + 1

verso Est(20m+10)

verso Nord(20m+20)

formula apertadescrizione analitica

descrizione locale

ciò che otteniamo dagli esperimenti

nello spazio e nel tempo

ventopressionetemperaturavariazione del ventovariazione di pressionevariazione di temperatura...

previsione

esempio meteo

Come ottenere una visione globale?

lungo x 10 0 -30 0 50 0 -70 0 90 ... dopo N passi? 10 - 30 + 50 - 70 + 90 ...

(10 - 30) +(50 - 70) +(90 ... (- 20) + (- 20) + ...

serie numerica

si scrive m = 2 a + b b = 0, 1

se b = 0 (cioè m è pari), la somma è -20 a

se b = 1 (cioè m è dispari), la somma è -20 a + 20 m = 20 a + 10

in un colpo solo, la somma è (-1)b+1 20 a + 10 b

...

...

m si ottiene da Nscrivendo N = 2m – r r = 0,1

REGOLA dopo N minuti il ragno è:

x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2

formula chiusadescrizione algebrica

descrizione globale

y = (-1)b+1(40 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|

?????


se N è pari, n=2m + 2

se N è dispari, n=2m + 1

verso Est(10m+10)

verso Nord(20m+20)

descrizione analitica

descrizione algebrica


x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2

y = (-1)b+1(20 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|

DUALITA’


descrizione algebrica

DUALITA’

descrizione locale

ciò che otteniamo dagli esperimenti


più facile da ricavare

descrizione globale

ciò che otteniamo dalla elaborazione


più facile da usare


x = (-1)b+1(20 u) + 10 b N = 4 u + ww = -1, 0, 1, 2b = INT(w+1)/2

y = (-1)b+1(20 u) + 20 b N = 4 u + ww = 0, 1, 2, 3b = |INT(w-1)/2|



ogni minuto la distanza percorsa aumenta di 10 cm.

prima variazione sul tema

e se invece aumentasse di 20 cm? o di 5 cm? o di 4,8123 cm? o di π cm?

o (in generale) di k cm?

2k k


e se invece ogni minuto la distanza percorsa raddoppiasse?

seconda variazione sul tema

movimentilungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0 ...

(tralasciando gli zeri)

serie di potenzea segni alterni

- 3 - 48 - 768

- 3 x 1 - 3 x 16 - 3 x 162 ...

ciclo

ma questa come si somma?

ma questa come si somma?

a = 1 somma di m volte 1 m

a = 2

1 + 3 + 9 + 27 + .... + 3m

2m+1 - 1

sistema binario 1 1 1 .... 1 1 1 +

1

1 0 0 .... 0 0 0 0 2m+1

a = 3

1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2m

sistema ternario 1 1 1 .... 1 1 1

1 1 1 .... 1 1 1 +

+

1

1 0 0 .... 0 0 0 0 3m+1

3m+1 - 1

2

1 + 16 + 256 + .... + 16m

=

a = 16

sistema esadecimale0123456789ABCDEF

1 1 1 .... 1 1 1

E E E .... E E E +

+

1

1 0 0 .... 0 0 0 0 16m+1

am+1 - 1

a-1

=16m+1 - 1

15


movimentilungo x = 1 0 -4 0 16 0 -64 0 256 0 -1024 0 ...

dopo m cicli = -16m+1 - 1

15

ecc. ecc.

PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto 1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.

e se invece ogni minuto la distanza percorsa dimezzasse?

terza variazione sul tema

O


movimentilungo x = 1 0 -1/4 0 1/16 0 -1/64 0 1/256 0 -1/1024 0 ...

3/4 3/64 3/1024

ciclo

=16m+1 - 1

15 x

(3/4)

a = 1/16

am+1 - 1

a-1 (3/4) =

16m dopo m cicli

movimentilungo y =

16m+1 - 1

15 x

(3/8)16m

dopo m cicli =

ecc. ecc. dopo 2013 minuti?


16m+1 - 1

15 x

(3/4)( =16m

posizione del ragno dopo m cicli

16m+1 - 1

15 x

(3/8)16m

,

dopo 4m minuti.

)

O

e dopo infiniti minuti?

16m+1 - 1

15 x

(3/4)( 16m

16m+1 - 1

15 x

(3/8)16m , ) =

4

5

( , 2

5

)

4/5

2/5

punto limite

16m+1 - 1

15 x

(3/4)( 16m

16m+1 - 1

15 x

(3/8)16m

, ) e dopo infiniti minuti?

un momento!! m è il numero dei cicli, non dei minuti

movimentilungo x = 1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...

= (1 + 0 -1/4 + 0) + (1/16 + 0 -1/64 + 0) + (1/256 + 0 -1/1024 + 0) + ...

se ho un numero finito di addendi, ok (proprietà associativa)

ma se il numero di addendi è infinito?

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) ... = 0 + 0 + 0 + 0 ... 0

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 ... 1

la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.

la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.

(cioè il passaggio dai singoli passi ai cicli)

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... qui fallisce

1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...

qui non fallisce

ARCHIMEDE raggiunse grandi traguardi perché aveva la capacità innata di utilizzare correttamente i procedimenti di somma di infinite quantità, ciascuna infinitesima.

I filosofi medioevali non avevano tecniche per comprendere i procedimenti di somme infinite e mancando loro la sensibilità di Archimede, non potevano utilizzarle, pena la comparsa di paradossi (come 1 = 0).

Solo con NEWTON e LEIBNIZ furono poste le basi moderne per il calcolo infinitesimo

Solo con NEWTON e LEIBNIZ furono poste le basi moderne per il calcolo infinitesimo

F = m a d2s/dt2


descrizione globale

quarta variazione sul tema


???

PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?

O

PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?

O

variazioniogni punto è definito da 3 coordinate.

(1 , 0 , 0) (1 , 2 , 3)(1 , 2 , 0) (-3 , 2 , 3) (-3 , -3 , 3)(0 , 0 , 0) (-3 , -3 , -3)

e così via

il ciclo è composto da 6 passi.

soluz = (1006 , 1007 , 1008)

(1 , 2 , 3)

O

in dimensione 4

ogni punto è definito da 4 coordinate.

il ciclo è composto da 8 passi.

e perché non salire ancora di dimensione?

(0 , 0 , 0 , 0) (1 , 0 , 0 , 0) (1 , 2 , 0 , 0) (1 , 2 , 3 , 0) (1 , 2 , 3 , 4)

(-4 , 2 , 3 , 4) (-4 , -4 , 3 , 4) (-4 , -4 , -4 , 4) (-4 , -4 , -4 , -4) ...

ma l’esercizio può essere risolto!

solo calcoli.

no disegno

ogni punto è definito da 4 coordinate.

e perché non salire ancora di dimensione?

(0 , 0 , 0 , 0)

dimensione = numero di coordinate

Arthur Clarke

2001: Odissea nello spazio

...

Come era ovvio, come era necessario il rapporto dei lati del monolito, la sequenza 1 : 4 : 9!

E quale ingenuità avere immaginato che la sequenza terminasse a quel punto, con appena 3 dimensioni!

...

ma torniamo un attimo sul pianeta Terra ...

Cosa succede se facciamo muovere il ragno sulla superficie (curva) terrestre?

aereo

PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 1000 km verso est, poi 2000 km verso nord, poi 3000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud. E

così via. Dopo 2013 passi, a che distanza dal punto O si trova l’aereo?

PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 4000 km verso est, poi 4000 km verso nord, poi 4000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud.

A che distanza dal punto O si trova ora l’aereo?

sul piano è chiaro:

al punto di partenza

ma sulla superficie

sferica NO

Geometria non-Euclidea

Un esploratore cammina 1 km verso sud, 1 km verso est, 1 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza.Vede un orso e lo cattura.Di che colore è l’orso? W

W

PROBLEMA DEGLI ORSI :

polo nord

punto di partenza?

angolo w

AB = R sen(w)

2πR sen(w) = 1

w = arcsen(1/(2πR))

arco d

d = wR = R arcsen(1/(2πR)))

punto di partenza 1 + R arcsen(1/(2πR)) = circa 1,16 Km dal polo

AB

polo sud

P

P

PA = 1 km

A = ?

A

il giro del mondo partendo da A è lungo un 1 km

quanto dista A dal polo?

PROBLEMA DELL’AEREO: Un aereo viaggia 1000 km verso est, 1000 km verso sud, 1000 km verso ovest, 1000 km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza.Da dove è partito?

punto di partenza?

ESERCIZIO!

Cosa sono Nord Sud Est Ovest?

???

nord

ovest

Il pianeta Ciambella

nord

ovest

Liceo Scientifico Statale "Galileo Galilei" di Siena

"poesia della Matematica"

ITALO CALVINO

nato a Cuba 1923

morto a Siena 1985

Le città invisibili (1972)

MARCO Di una città non godi le sette, o le settantasette meraviglie, ma la risposta che dà ad una tua domanda

KAN O le domande che ti pone, costringendoti a rispondere. Come Tebe, per bocca della Sfinge.

Il CONCETTO di STRUTTURA

O

un ciclo è una struttura

In tutti i problemi precedenti, il punto chiave consisteva nel riconoscere correttamente una struttura

come ad esempio un ciclo

Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE

saper riconoscere correttamente le struttureutili a risolvere un problemaè compito fondamentale nella Matematicanella Fisica, nell’Ingegneria, nell’Informatica, nell’Economia ....

retta opinione

vediamo alcuni esempi in cui la nostra percezione di struttura si comporta in modo distorto.


PROBLEMA : Per raggiungere la sua mela, un lombrico deve salire 6 scalini. Ogni giorno sale 2 scalini, mentre ogni notte ne scende 1.Dopo quante giornate il lombrico raggiungerà la sua mela?

2 -1 2 -1 2 -1 2 ....

1 1 1 .... 6 giorni

2 1 3 2 4 3 5 4 6 giorno1 giorno2 giorno3 giorno4 giorno5


2 42+ =

+ =

+ =

+ =

2 2 4frutti frutti frutti+ =

2 42+ =

+ =4 oggetti

+ =

2 + =2 6paia di calzini calzini calzini

???4

1 2paio di calzini calzini=

mi raccomando 2 + 2 = 4

Grazie per l’attenzione

ciao

Le città invisibili (1972)

... Il Kan cercava di immedesimarsi nel gioco, ma ora era il perchè del gioco a sfuggirgli. Quale era la posta? Allo scacco matto, sotto il piede del re sbalzato dal vincitore, non rimaneva che una casella vuota, un tassello di legno piallato: il nulla ...

Allora Marco parlò – La tua scacchiera, Sire, è intarsio di due legni: ebano e acero. Il tassello sul quale si fissa il tuo sguardo illuminato fu tagliato su uno strato del tronco che crebbe in un anno di siccità: vedi infatti come sono strette le fibre? Ecco un poro più grosso, indice di una malattia della pianta, che forse portò al suo abbattimento ... – e continuava.

Il Kan era stupito. La quantità di cose che si potevano leggere su un pezzetto di legno piallato lo sommergeva. E già Marco era venuto a parlare dei boschi di ebano, di zattere sui fiumi, e di approdi, e di donne alle finestre ...

Andando in qua e là : introduzione al concetto di struttura

Documents

Transcript of Andando in qua e là : introduzione al concetto di struttura