Analisi_statistica

7/29/2019 Analisi_statistica

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Un ramo della matematica applicata che si occupa della raccolta edellinterpretazione dei dati quantitativi e delluso della teoria delleprobabilit per la stima di parametri di una popolazione.

Lo studio scientifico dei dati numerici basato sui fenomeni naturali.La procedura matematica per descrivere le probabilit e la distribuzionecasuale o non-casuale della materia o del verificarsi degli eventi.

Una serie di teoremi matematici che aiuta ad analizzare i dati attribuendosignificativit ai risultati.

Una raccolta di metodi per raccogliere, organizzare, riassumere,analizzare e interpretare i dati, e per trarre conclusioni basate su di essi.

La scienza e larte di raccogliere, riassumere ed analizzare dati soggetti avariazione casuale (Biology Online)

Alcune definizioni della statistica


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Tipi di statistica

Statistica descrittiva: procedure per riassumere e

presentare i dati e per descriverli attraverso

strumenti matematici

Statistica inferenziale: procedure per derivare

dai dati gi noti, con laiuto di modellimatematici, affermazioni pi generali.


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Statistica descrittiva: riassunto e

presentazione dei dati

Riassume i dati per mezzo di tabelle e grafici:

Tabelle di frequenza (numero assoluto di casi

per categoria)

Tabelle percentuali (% di casi per categoria)

Tabelle crociate (matrici 2 x 2, 2 x 3, ecc.) Grafici (a barre, lineari, a torta, ecc.)


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Tipi di variabili

I dati della statistica riguardano variabili, cio grandezze che possono

assumere valori differenti. Le variabili possono essere di tipo diverso:

Quantitative (i valori sono numeri)

continue: altezza, peso, ecc (i valori sono numeri reali).

discrete: risultati del lancio di un dado (possono

assumere solo certi valori)

Qualitative o categoriche(i valori sono rappresentati dallappartenenzaa categorie)

nominali: maschio/femmina; remissione/recidiva/morte

(le categorie non sono ordinate)NB: se le categorie sono solo due, mutuamenteesclusive, si parla di variabili binarie odicotomiche

ordinali: 50 anni (lecategorie hanno un ordine)


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Tipi di variabili

In una ricerca, si definisce variabile indipendente quella cheviene manipolata direttamente dallo sperimentatore, o inalternativa selezionata attraverso il metodo di campionamento.Per esempio, il fatto che i pazienti siano trattati con un farmaco ocon placebo un esempio di variabile indipendente manipolatadirettamente dallo sperimentatore. In alternativa, se vieneselezionato un campione di maschi da confrontare con uncampione di femmine, il sesso una variabile indipendentecontrollata indirettamente attraverso il sistema dicampionamento.

Al contrario, la variabile dipendente quella che misuriamo perverificare la sua correlazione con la variabile indipendente. Neidue esempi precedenti, la variabile dipendente potrebbe essere larisposta alla terapia nel primo caso, e lincidenza di una certapatologia nei due sessi nel secondo caso.


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Statistica descrittiva: descrizione

matematica dei dati

Fornisce una descrizione sintetica dei dati

utilizzando (per i dati quantitativi) metodi

numerici:

Valutazione del punto centrale dei dati

Valutazione della distribuzione dei dati


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Valutazione del punto centrale dei dati

Mediana:il punto centrale calcolato sulla base dellordinamentocrescente dei dati, e rappresenta la posizione centrale in questo

ordinamento.

Dati: 2, 5, 6, 13, 14, 45, 47 Mediana = 13

Media aritmetica: il rapporto fra la somma dei valori e il numero

dei valori

Dati: 2, 5, 6, 13, 14, 45, 47 Media = 132/7 = 18,85


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Attorno alla mediana: utilizzando lo stesso principiodellordinamento crescente dei dati e della loro posizione, possibile definire vari quantili (per esempio, dividendo in 4intervalli si ottengono i quartili, e cos via).

Se si divide in 100 intervalli, si ottengono ipercentili. Peresempio, il 75 percentile il valore del dato che,nellordinamento crescente, ha un posizione tale che:

il 75% dei dati ha un valore inferiore (cio rimane a

sinistra nellordinamento) il 25% dei dati ha un valore superiore (cio rimane adestra nellordinamento)

NB: la mediana il 50 percentile


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2, 5, 6, 9, .. 46, .. 157, 542, 3450, 6213, 6578, 12500

Numero di dati = 121 Ordinamento crescente

Mediana: dato n 61: 60 dati (50%) a sinistra, 60 dati (50%) a destra

25 percentile: dato n 31: 30 dati (25%) a sinistra, 90 dati (75%) a destra

25 percentile = 46

Mediana (50 percentile) = 157

75 percentile = 542

La media invece la somma aritmetica dei 121

valori divisa per 121. Pu essere molto diversa

dalla mediana. Per esempio, in questo caso

potrebbe essere molto pi alta, perch influenzata

dai valori molto alti allestremo destro dei dati.


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Attorno alla media: la deviazione standard () laradice quadrata della varianza, un indicatore di

dispersione che si ottiene sommando tutti i singoli

scarti dalla media, elevando al quadrato e dividendoper il numero di dati.

2 = VAR


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La distribuzione normale

Una distribuzione normale in una variabile

Xcon media e varianza unadistribuzione statistica con funzione di

probabilit:

Sul dominio . Mentre statistici e

matematici usano uniformemente il termine

distribuzione normale, i fisici talvolta la chiamanodistribuzione Gaussiana e gli studiosi di scienzesociali si riferiscono ad essa come curva a

campana.


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Lascissa rappresenta i valori. Lordinata rappresenta la densit di

probabilit dei valori.

Tutta larea sotto la curva rappresenta linsieme di tutti i casi possibili,

cio la probabilit totale (1,0).

Le probabilit non sono mai riferite a un punto, ma a un intervallo, e

rappresentano il rapporto fra tutti i casi che rientrano in quellintervallo

e il totale dei casi


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In una distribuzione normale perfetta:

68.26% dei casi sono compresi fra -1 e +1 DS attorno alla media95.46% dei casi sono compresi fra -2 e +2 DS attorno alla media

99.74% dei casi sono compresi fra -3 e +3 DS attorno alla media


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Z score

Lo z-score (chiamato anche standard score, o normal score) un

modo di trasformare un singolo valore di una distribuzionenormale nel suo equivalente standardizzato.In altre parole, lo z-score ci dice di quante DS il valore dista dallamedia della popolazione.


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Statistica descrittiva per variabili categoriche

I dati riguardanti variabili categoriche vengono spessoriportati in forma di tabella (2x2, 2x3, ecc.). La

maniera pi semplice di descrivere matematicamente i

dati di calcolare le proporzioni.

Remissione Malattia Morte Totale

Popolazione 28 12 10 50

% 56 24 20 100


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Statistica inferenzialeIl concetto di verit delle affermazioni della statistica inferenziale deve essere bencompreso.

Le affermazioni della statistica inferenziale sono matematicamente vere e

rigorose(nellambito della validit del modello matematico che si adotta, epurch, naturalmente, i calcoli vengano condotti correttamente), ma riguardanoesclusivamente laprobabilit della verit di altre affermazioni.

In altre parole, la statistica inferenziale non ci fornisce certezze sullargomentodella nostra ricerca, ma solo certezze sulla probabilit che le nostre asserzioni sutale argomento siano vere.

Il gruppo A diverso dal gruppo B

relativamente al parametro x

Laffermazione N 2, sulla base dei dati noti, ha il

95% di probabilit di essere vera.

Affermazione N 1

(calcolata dalla

statistica inferenziale)

Affermazione N 2

(oggetto della ricerca)

Affermazione vera (se il modello valido e i calcoli sono corretti)

Affermazione probabile


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Statistica inferenziale

I problemi che la statistica inferenziale cerca di risolvere sonoessenzialmente di due tipi:

1) Problema della stima (per esempio stima di una media):

fornisce informazioni sulla media di una popolazione quandosono note media e deviazione standard di un campione della

stessa.

2)Problema della verifica di ipotesi (per esempio confronto fra

due o pi campioni):

calcola la probabilit che due campioni, di cui siano note mediae deviazione standard, siano campioni derivati da una stessa

popolazione oppure da due popolazioni diverse.


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Campionamento statistico

Nellambito della statistica descrittiva abbiamo finora consideratostrumenti per descrivere unintera popolazione quando siano notitutti i dati ad essa relativi. Ma nella ricerca, in genere, non siconoscono i dati dellintera popolazione, ma solo quelli di uncampione.

Il campionamento si usa quando si vuole conoscere uno o piparametri di una popolazione, senza doverli misurare in ogni suoelemento. Il campionamento consiste nel selezionare un numero pipiccolo di elementi fra tutti quelli che formano una popolazione. Puessere fatto in vari modi, ma deve sempre essere di tipoprobabilistico (cio garantire la casualit della selezione).

Parleremo allora di numerosit, media e deviazione standard delcampione, e dobbiamo porci il problema di che rapporto esista fraquesti valori e la numerosit, la media e la deviazione standarddellintera popolazione.


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Media del campione e media della

popolazione

Immaginiamo di avere una popolazione

rappresentata da mille persone (per esempio la

popolazione degli abitanti maschi di un paese), edi volere conoscere la loro statura.

Se conoscessimo la statura di ciascuno dei mille

abitanti, potremmo descrivere la popolazione conassoluta precisione in termini di media e

deviazione standard.


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Media del campione e media della

popolazione

Immaginiamo di ripetere loperazione di campionamento20 volte, ogni volta con un diverso campione casuale di30 abitanti. Otterremo 20 medie diverse, e 20 DS diverse.

Un concetto importante che linsieme di queste mediedei campioni tende ad assumere una distribuzionenormale, anche se la popolazione di origine non distribuita normalmente.

In altre parole, il processo di campionamento casuale diper s un fenomeno che si distribuisce normalmente.


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Teorema del limite centrale

Il teorema del limite centrale afferma appunto che, data unacerta popolazione con media e DS , da cui si estrae unnumero infinito di campioni random e di numerosit N, manmano che N aumenta la distribuzione delle medie dei campionitende a una distribuzione normale, con media (uguale a

quella della popolazione di origine) e DS = /N.Laspetto sorprendente e non intuitivo di questo teorema che,qualunque sia la forma della distribuzione della popolazioneoriginale, la distribuzione delle medie dei campioni tende alladistribuzione normale.

Spesso la distribuzione normale viene raggiunta rapidamente,anche per valori non molto grandi di N.

Ricordate che N la numerosit del singolo campione, e non ilnumero di campioni (questultimo si assume essere infinito).


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Teorema del limite centrale

Qui sono mostrati i risultati di una simulazione al computer. Il computer ha

eseguito un campionamento di numerosit N a partire da una popolazione con

distribuzione uniforme (quindi assolutamente diversa da quella normale), e

ha calcolato la media. Questa procedura stata ripetuta 500 volte per ciascuna

di quattro numerosit del singolo campione: 1, 4, 7, e 10.
http://davidmlane.com/hyperstat/A12237.htmlhttp://davidmlane.com/hyperstat/A14461.htmlhttp://davidmlane.com/hyperstat/A12237.html


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Campioni diversi di

una popolazione.

Le medie dei vari

campioni

tendono a distribuirsinormalmente.

Distribution of Sample Means


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Errore standard della media (SEM)

Lo Standard Error of the Mean (SEM)

una valutazione della deviazionestandard di un insieme di medie dicampioni. Idealmente si dovrebbecalcolare dividendo la deviazionestandard dellintera popolazione () perla radice quadrata della numerosit delcampione:

________

n

SEM =

Poich in genere la DS dellintera

popolazione non nota, si pu ottenereuna stima del SEM utilizzando al posto

di la deviazione standard del singolo

campione (s)

s________

nSEM =

(stimato)

NOTA: il SEM sempre pi piccolo della DS della popolazione di origine, ed tanto pi piccolo quanto maggiore la numerosit del campione.


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Limportanza di n

In termini pi semplici, quando valutiamo la media diun campione, la probabilit che questa media sia similea quella della popolazione di origine dipendeessenzialmente da due fattori:

n (la numerosit del campione)

s (la deviazione standard del campione

Infatti, poich il SEM uguale a s /n, quanto pigrande n, e quanto pi piccolo s, tanto pi piccolo

il SEM.Un SEM pi piccolo significa meno probabilit che lamedia del campione sia molto diversa da quella dellapopolazione.


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Confidence interval: definizioni

Tabella per i Confidence Intervals

Confidence level 0.8 0.9 0.95 0.99

Z score 1.28 1.645 1.96 2.58

Confidence interval = intervallo attorno alla media in cui si ha una certa probabilit

che cada un valore

Confidence limits = i due valori, superiore e inferiore, che delimitano il confidence

interval

Confidence level = la probabilit per cui si calcola il confidence interval (per esempio

95% o 99%)

Z score = il numero di deviazioni standard (moltiplicatore) necessario per ottenere ilconfidence interval per un certo confidence level

Per esempio, per un

confidence level del 95%

Z score

Deviazione standard

CI = Media 1,96 x


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Un confidence interval del 95% un intervallo di valori, centrato sulla media, che contiene

il 95% dei dati dellintera popolazione (ovvero, in cui c il 95% di probabilit che siacompreso un dato qualunque della popolazione). Corrisponde alla zona ombreggiata del

diagramma. Viene in genere definito per mezzo dei due valori a sinistra e a destra della

regione (confidence limits).

Il valore del 95% il confidence level, e si ottiene utilizzando come moltiplicatore uno z-

score di 1,96. Per ottenere livelli diversi, si usano z-scores appropriati (per esempio, per il

99% si deve moltiplicare per 2,58.

1.96 x

Z score


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CI riferito alla media di un campione

Se ci riferiamo a un campione di unapopolazione, si definisce il CI della media comelintervallo attorno alla media del campione

entro cui c il 95% (o qualunque altro livello) diprobabilit che cada la vera media dellapopolazione

Il CI della media si calcola a partire dallerrorestandard della media (SEM) del campione


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CI della media: come si calcola

Partendo da un campione, il CI della media sipu calcolare in due modi diversi:

Se nota la DSdella

popolazione generale:

CI = Media z x SEM

Se non nota la DSdella

popolazione generale:

CI = Media t x SEM stimato

Media del

campione

Z score

appropriato

SEM calcolato usando

la DS della popolazione

generale ()

Media del

campione

t appropriato

(sostituisce z)

SEM calcolato

usando la DS del

campione (s)


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Distribuzione z e distribuzione t

La z-distribution descrive la

distribuzione dei dati in una

popolazione normalmente distribuita.

Intervallo attorno alla media = Media z x

% di dati nellintervallo 80% 90% 95% 99%

z 1.28 1.645 1.96 2.58

La t-distribution (t di Student) simile allaz, ma tiene conto dei gradi di libert (cio

della numerosit N del campione - 1). Per

N che tende allinfinito, t tende a z.

E opportuno usare la t-distribution in

problemi come quello di calcolare il CIper la valutazione della media di una

popolazione dalla media di un campione,

problemi cio in cui lincertezza delrisultato dipende in modo critico dalla

numerosit del campione.

t distribution

df Probability

50% 90% 95% 98% 99% 99,9%

1 l.000 6.314 12.706 3l.821 63.657 636.6l9

2 0.816 2.920 4.303 6.965 9.925 31.598

5 0.727 2.015 2.571 3.365 4.032 6.859

40 0.681 l.684 2.021 2.423 2.704 3.551

60 0.679 1.671 2.000 2.390 2.660 3.460

120 0.677 1.658 l.980 2.358 2.617 3.373

0.674 1.645 1.960 2.326 2.576 3.291


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Problema della stima della mediaRiassumendo, il problema della stima il primo dei due problemi oggetto dellastatistica inferenziale, e in genere si presenta in questa forma:

Popolazione generale

(di cui non si conosce n la media n la deviazione standard)

Campione(di cui si conoscono N (numerosit),

M (Media) e s (DS)

Calcolo di un Confidence Inetrval attorno alla media del campione,

per un certo Confidence Level, utilizzando N, s, e la tabella t

Conclusione:Secondo i dati noti, c il X% (Confidence Level) di probabilit

che la media della popolazione cada entro il CI calcolato


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Esempio di stima di una media

Se la media del campione , per esempio, 25, e ilCI calcolato per un CL del 95% va da 22 a 28(media 3), allora si pu dire che:

Secondo i dati a nostra disposizione, laffermazioneche

la media della popolazione di origine compresa fra 22 e 28

ha il 95% di probabilit di essere vera.

NB: E assolutamente sbagliato, invece, dire che, con il95% di probabilit, la media della popolazione di origine

uguale a 25


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Stima della % da un campione

Per le variabili categoriche, in maniera assolutamente analoga, possibile stimare la percentuale di una variabile nella popolazionegenerale a partire da quella nel campione, calcolando un CI.Anche qui si calcola uno SE, di definisce un CL, e si calcolalintervallo.

Per esempio, ammettiamo che in uno studio su 165 neonati di peso < 1000 g, 124 (0,7515, cio

75,15%) abbiano avuto bisogno di ventilazione assistita. Se vogliamo stimare la proporzione nella

popolazione generale dei neonati di quel peso che ha bisogno di ventilazione, calcoleremo lo SE

(mettiamo che in questo caso sia 0,033). Fissato un CL, per esempio 95%, si sceglie un adatto

moltiplicatore (1,96 se si usa la z distribution) e si calcola il CI:

95% CI = 0,7515 1,96 x 0,033

In altre parole, dal campione in esame si pu stimare che c il 95% di

probabilit (CL) che la percentuale di neonati sotto il chilo di peso che ha

bisogno di ventilazione assistita sia compresa fra 0,687 (cio il 68,7%) e 0,817

(cio l81,7%) (CI)

Si ifi t d l CI d l CL


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Riassumendo, il CI una misura del grado di imprecisione dellanostra stima. Pi ampio il CI, pi imprecisa la nostra stima.

Al contrario, il CL una misura del livello di certezza chevogliamo raggiungere. Pi alto il CL, maggiore la probabilitche la nostra affermazione sia vera.

Un CL alto fa aumentare la certezza, ma anche limprecisione

Un CL basso fa diminuire la certezza, ma aumenta la precisione

Significato del CI e del CL

Esempio:

La media del mio campione e 15. Quale sar la vera media della

popolazione?

A: Sar compresa fra 14 e 16 La probabilit che questo sia vero

dell80% (CI stretto e CL basso: alta precisione, minore certezza)

B: Sar compresa fra 12 e 18 La probabilit che questo sia vero del

95% (CI ampio e CL alto: bassa precisione, maggiore certezza)


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Verifica di ipotesi

La verifica di ipotesi il secondo tipo di

problema affrontato dalla statistica inferenziale.

Lipotesi da verificare in questo caso lacosiddetta ipotesi nulla (null hypothesis)


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Ipotesi nulla

Lipotesi nulla (H0) unipotesi che il ricercatore fa riguardo a un

parametro della popolazione oggetto della ricerca (in genere la media) eche viene confutata o non confutata dai dati sperimentali. Nel caso picomune, del confronto fra due campioni, la forma dellipotesi nulla laseguente:

H0: 1 = 2

Dove 1 e 2 sono le medie delle due popolazioni da cui sono stati trattii due campioni.

Per esempio, se i due campioni si riferiscono a neonati a termineoppure a neonati pretermine, e la variabile misurata il valore dellaglicemia a unora di vita, allora lipotesi nulla dice che:non c differenza fra la media dei valori glicemia a unora di vita

nelle due popolazioni.

Lipotesi alternativa, cio che la differenza esiste, prende il nome di H1


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Ipotesi nulla

Molto spesso lipotesi nulla lopposto di ci che si vorrebbedimostrare.

Come vedremo, lipotesi nulla viene rigettata oppure no asecondo del suo livello di improbabilit.Se lipotesi nulla viene rigettata, questo un dato a favoredellipotesi alternativa. In senso stretto, per, il test statistico nondice nulla sullipotesi alternativa H1, ma solo sulla probabilitdellipotesi nulla.Riassumendo:

Se H0 viene rigettata perch improbabile, questo un dato afavore di H1

Se H0 non viene rigettata, questo non vuol dire che H0 debbaessere vera. Si pu solo dire che, sulla base dei dati raccolti, nonla si pu considerare abbastanza improbabile.


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Il p-value (probability value)

Ma che vuol dire abbastanza improbabile? Anche nelcaso della verifica di ipotesi, necessario decidere unlivello di improbabilit che autorizzi a rigettare lipotesinulla.

Questo valore si chiama p-value, o soltanto p, e si pudefinire come la probabilit che il risultato ottenuto (peresempio la differenza fra le medie dei due campioni) siadovuto al caso, se lipotesi nulla vera, cio se le mediedelle popolazioni da cui i campioni sono tratti sono uguali.

Il p si esprime come frazione dellunit. Valori di p spessousati come livello sono:


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Il p-value

Glicemia a unora in un

campione di neonati a termine

Media = M1

IPOTESI NULLA: La media dei valori di glicemia a unora nella

popolazione di tutti i neonati a termine (1) e nella popolazione

di tutti i neonati pretermine (2) uguale (1 = 2)

M1 > M2

Glicemia a unora in un

campione di neonati pretermine

Media = M2

SCELTA DEL LIVELLO: Sar considerato significativo un p < 0,01

A questo punto si dovr scegliere un modello di analisi statistica

appropriato per il tipo di problema (per esempio, in questo caso, il t di Student).

Il risultato del calcolo statistico, alla fine, dovr essere espressosotto forma di p-value per lipotesi nulla.

SE il p < a 0,01: lipotesi nulla viene rigettata, in favore di una possibile

ipotesi alternativa.

SE il p > a 0,01: lipotesi nulla non viene rigettata. Ci non dimostra che

essa sia vera.


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Errori di tipo I e II

SE il p < a 0,01: lipotesi nullaviene rigettata, in favore di una

possibile ipotesi alternativa.

(studio che ha successo)

SE il p > a 0,01: lipotesi nullanon viene rigettata. Ci nondimostra che essa sia vera.

(studio che non ha successo)

Se per lipotesi nulla vera, si

commette un errore di tipo I.

La probabilit di commettere un

errore di tipo I (detta ) ugualeal p-value.

Se comunque lipotesi nulla falsa, si commette un errore di

tipo II.

La probabilit di commettere un

errore di tipo II (detta ) spessonon calcolabile.

La causa pi frequente di errore

di tipo II la numerosit

insufficiente dei campioni.


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Errore tipo II e potenza

la probabilit di commettere un errore di tipo II,cio di non riuscire a rigettare unipotesi nulla che falsa (in altre parole, di non riuscire ad affermare la

nostra ipotesi anche se vera 1- esprime la potenza di uno studio, cio laprobabilit di non commettere un errore di tipo II

Se 0,20, la potenza dello studio sar 0,80, in altre

parole lo studio avr l80% di probabilit di riuscire adimostrare la propria ipotesi, se questa vera

di d l ?


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Da cosa dipende la potenza?

1. Dalla dimensione reale delleffetto che si vuole dimostrare. In

altre parole, quanto pi il segnale da rivelare grande, tantopi facile , per uno studio, rivelarlo.

2. Dal livello di significativit prefissato (soglia di p). In altreparole, quanto pi bassa si pone la soglia di p, tanto pi facile che non si arrivi a quella soglia anche se lipotesi vera.Uno studio che vuole essere pi affidabile, sar anche menopotente.

3. Dalla numerosit del campione. Pi grande N, pi potente lo studio.

4. Dalla varianza (o DS) della popolazione di origine. Pigrande la varianza, meno potente lo studio

5. Da altri fattori: normalit della popolazione, tipo di teststatistico adoperato

i i d l i


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Dimensionamento del campione Un campione troppo piccolo porta pi facilmente ad errori

di tipo II La numerosit del campione dipende per in modo criticodallentit della differenza esistente fra le due popolazionirelativamente al parametro oggetto dello studio

In uno studio RCT, quindi, importante dimensionare inanticipo il campione, cio decidere prima quanti soggettidovranno essere arruolati per rispondere al quesito

Il dimensionamento va fatto tenendo conto della differenzapi piccola che si ha interesse a cogliere (grandezza del

segnale minimo che si considera utile), e del livello disignificativit statistica che si desidera raggiungere (cio,della soglia fissata per il p)


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Scelta del test appropriato

A seconda della forma del problema, si sceglier

un test diverso per la verifica delle ipotesi. E

importante ricordare che, qualunque sia il teststatistico impiegato, alla fine il risultato dovr

essere espresso sotto la forma di un p-value

perch lo si possa interpretare.

i h h bi ?


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Di che test ho bisogno?

Variabili quantitative in gruppi categorici:

confronto fra le medie di due campioni, anchedi numerosit diversa (between-subject)

Variabili quantitative in un gruppo unico:confronto fra coppie di misurazioni nello stessosoggetto (within-subject)

Variabili qualitative in gruppi categorici:confronto fra conteggi (numero dei casi chericadono in differenti categorie)

Rapporto fra due variabili quantitative continuemisurate nello stesso gruppo di soggetti

Variabili quantitative continue o in gruppicategorici: confronto fra le medie di tre o picampioni, e di pi variabili indipendenti(analisi covariata)

Analisi contemporanea di pi variabilidipendenti

t di Student, unpaired

t di Student, paired

ANOVA, ANCOVA

Chi quadro

Coefficiente di correlazione r

e regressione

MANOVA

T t di St d t i d


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Test di Student unpaired

(between-subject design)

Due gruppi categorici

Maschi Femmine

In cui si misura una variabile

dipendente quantitativa

Bilirubinemia:

media, DS

Bilirubinemia:

media, DS

Due gruppi creati a partire da una variabile

quantitativa secondo un valore arbitrario

EG < 37 sett EG >= 37 sett

In cui si misura una variabile

dipendente quantitativa

Bilirubinemia:

media, DS

Bilirubinemia:

media, DS

OP

P

U

R

E

Test di student paired


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Test di student paired

(within-subject design)

Un solo gruppo

Neonati a termine

Bilirubina a 2 gg Bilirubina a 4 gg

Due misurazioni per ciascun soggetto

Ogni misurazione viene confrontata con quella corrispondente nello stesso soggetto


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Variet di t-test

Nel t-test per campioni indipendenti (unpaired) i duecampioni si riferiscono a due gruppi di soggetti diversi(per esempio pazienti trattati o non trattati):

between-subject design.

Nel t-test per campioni appaiati (paired) i due campionisi riferiscono a due diverse misurazioni dello stessoparametro nello stesso gruppo di soggetti (per esempioglicemia prima e dopo un trattamento). In questo caso ci

saranno due misurazioni per ogni soggetto, e quindi lanumerosit dei due campioni necessariamente uguale:

within-subject design.


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Il test del t di Student

Student lo pseudonimo con cui William Gosset, pubblic nel 1908un lavoro sulla distribuzione t nel caso in cui un campione piccolovenga utilizzato per stimare i parametri della popolazione di origine.

La distribuzione t si avvicina a quella normale (distribuzione z) manmano che la numerosit del campione cresce.


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Il test del t di Student

Il test del t di Studentapplica il concetto di distribuzione t al confronto fra duecampioni, in particolare alla distribuzione della differenza fra la media di due campioni

derivati dalla stessa popolazione di origine (ipotesi nulla)

Distribuzione ideale delle medie

di due campioni

Tre scenari per la differenza fra due medie

Il t-test come esempio di valutazione del rapporto segnale-rumore

La formula del t-test

i di


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Variet di t-test

Per campioni indipendenti, anche di numerosit diversa(unpaired):

- campioni con varianza simile (omoschedastico)

- campioni con varianza diversaPer campioni appaiati (paired)

NB: In tutti i casi il test pu essere calcolato a una coda

o a due code


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Variet di t-test

nel test ad una coda, la zona di rifiuto solamente da una parte della distribuzione (asinistra quando il segno negativo, a destraquando positivo)

nel test a due code, la zona di rifiuto distribuita dalle due parti

Il test a due code pi conservativo (vi siricorre quando non si ha alcuna idea suipossibili risultati) mentre il test ad una coda pi potente

T


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T-test

Il t-test un test molto robusto. Questo significa che,se applicato bene, d risultati affidabili anche quando lepopolazioni di origine non hanno una distribuzionenormale, soprattutto se le dimensioni dei campioni non

sono estremamente ridotte.

In tutti i casi in cui non si abbia una comprensioneprecisa di quale variet applicare, pi opportuno

ricorrere, conservativamente, al test unpaired, a duecode, per campioni con varianza differente


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Chi quadro

Il chi quadro si applica quando la variabile dipendente espressacome conteggi in categorie. I risultati quindi sono espressi sottoforma di una tabella (2x2, 2x3, 3x3, ecc.)

Per esempio, se vogliamo valutare il follow-up a 5 anni dei pazientiaffetti da una certa patologia a seconda del sesso, ed esprimiamo ilrisultato come conteggio del numero di pazienti guariti, ancora

malati o morti, avremo una tabella 2x3:

Guariti Malati Morti

Maschi 20 12 4

Femmine 15 9 6


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Come si calcola il chi quadro

Il calcolo del chi quadro si basa sul confronto fra frequenze osservate efrequenze attese nelle singole sottocategorie.

Le frequenze attese si calcolano a partire dalle frequenze osservate

Guariti Malati

Valori osservati M 20 8 28

F 16 13 29

36 21 57

Guariti Malati

Valori attesi M 17.68 10.32

F 18.32 10.68

chi (p) = 0.203

17.68 = 36*28 / 57

C d l hi d l


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Come passare dal chi quadro al p

Il test del chi quadro calcola i valori

attesi per ogni cella della tabella, e li

confronta con quelli osservati. Il

risultato ottenuto, detto appunto chi

quadro, viene trasformato in p-value

in maniera dipendente dai gradi di

libert (il numero di gradi di libert di

una tabella uguale al numero di

righe meno 1 moltiplicato per ilnumero di colonne meno 1)

df P = 0.05 P = 0.01 P = 0.001

1 3.84 6.64 10.83

2 5.99 9.21 13.82

3 7.82 11.35 16.27

4 9.49 13.28 18.475 11.07 15.09 20.52

6 12.59 16.81 22.46

7 14.07 18.48 24.32

8 15.51 20.09 26.13

9 16.92 21.67 27.88

10 18.31 23.21 29.59

11 19.68 24.73 31.26

12 21.03 26.22 32.91

Risk e Odds


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Risk e Odds

Un modo semiquantitativo di esprimere la significativit nel caso di variabilicategoriche rappresentato dai concetti di risk, odds, risk ratio e odds ratio.

Immaginiamo una tabella 2x2 che esprima lincidenza di handicap in funzionedel peso alla nascita

Handicap Non handicap Totale

A. < 1000 g 10 42 52

B. 10001500g 8 88 96

Si definisce rischio (risk) il rapporto fra i soggetti con outcome e il totale,

mentre si definisce probabilit (odds) il rapporto fra soggetti con

outcome e soggetti senza.

Per A: Risk = 10/52 = 0,19 Odds = 10/42 = 0,24

Per B: Risk = 8/96 = 0,08 Odds = 8/88 = 0,09

Risk Ratio e Odds Ratio


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Risk Ratio e Odds Ratio

Se invece confrontiamo i due gruppi fra di loro, otterremo il Risk Ratio (RR,detto anche Relative Risk) e lOdds Ratio (OR).

Handicap Non handicap Totale

A. < 1000 g 10 42 52

B. 10001500g 8 88 96

Per A: Risk = 10/52 = 0,19 Odds = 10/42 = 0,24

Per B: Risk = 8/96 = 0,08 Odds = 8/88 = 0,09

Confronto di A con B:

RR = 0,19/0,08 = 2,3

OR = 0,24/0,09 = 2,6

Risk Ratio e Odds Ratio: significato


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Risk Ratio e Odds Ratio: significato

Sia il RR che lOR possono essere riportati, in modo semiquantitativo, a un giudizio disignificativit nel rigettare lipotesi nulla. Ecco due tabelle orientative:


RR = 0,19/0,08 = 2,3

OR = 0,24/0,09 = 2,6

Table 1. Semiquantitative grading of the relative risk, odds ratio, or rate ratio

Reported Relative Risk, Odds Ratio, or Rate Ratio Estimate

3.0 +++

1 Values 1 indicate increased risk.

Risk Ratio e Odds Ratio: differenza


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Risk Ratio e Odds Ratio: differenza

Per outcome rari rispetto allintera popolazione, RR e OR sonoquasi uguali.

Quanto pi loutcome frequente, tanto pi il RR e lORdivergono, tenendo presente che lOR sempre pi grande,cio pi lontano dallunit, del RR.


RR = 0,19/0,08 = 2,3

OR = 0,24/0,09 = 2,6

ANOVA


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ANOVA

Se si confrontano fra loro tre o pi gruppi, non pi correttoutilizzare il t-test ripetendolo per tutte le combinazioni. In questomodo la probabilit di avere risultati falsamente significativicresce al crescere del numero di gruppi.

In questi casi si deve usare una metodologia di calcolo picomplessa, chiamata ANOVA (ANalysis OfVAriance).

Questo metodo tiene conto non solo della devianza totale deivalori, ma anche della devianza tra (between) i gruppi e delladevianza entro (within) i gruppi.

LANOVA un calcolo statistico complesso, e richiede in genereuna buona comprensione dei concetti teorici di base.


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Confronto fra due o pi variabili

I test considerati finora misurano una variabile in

pi gruppi. Quando invece si vuole confrontare

landamento di due o pi variabili quantitativenello stesso gruppo si ricorre ai test di

correlazione e di regressione.

Coefficiente di correlazione


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Coefficiente di correlazione

Il coefficiente di correlazioneesprime la probabilit che duevariabili siano correlate fra loro,anche se non sussiste necessariamenteun rapporto diretto di causalit. Lacorrelazione pu essere lineare o di

altro tipo (quadratica, ecc.)Un coefficiente di correlazione va da-1 (correlazione negativa) a 1(correlazione positiva). I valoriintorni allo 0 esprimono lassenza dicorrelazione.

Il pi semplice coefficiente dicorrelazione quello di Pearson,detto r, che misura la correlazionelineare fra due variabili in uncampione.

r = -1

r = +1

r = 0

Altri esempi di r


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Altri esempi di r


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Coefficiente di determinazione r2

E il quadrato della correlazione, ed esprime lapercentuale della variazione dei valori di y che spiegata dal modello di regressione associato a x

0 r2

1.

Quanto pi grande r2 , tanto pi forte la relazionelineare

Quanto pi r2

vicino a 1, tanto pi sicure sono le nostrepredizioni


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Coefficiente di determinazione

Rapporto fra r e r2

Come passare da r a p


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Una riflessione sul significato di p

In questo esempio, abbiamo due casi in cui il p di

0,05, ma il significato molto diverso

In questo campione di 5 casi (N = 5), r molto alto

(0,80), e quindi la correlazione fra le due variabili

elevata. A causa del piccolo numero di rilevazioni, per,

la probabilit che questo risultato sia casuale elevata, e

il valore del p si attesta a 0,05.

In altre parole, sembra che fra le due variabili ci sia una

correlazione molto alta, ma non lo si pu dire con molta

certezza perch il numero di dati piccolo

In questaltro caso, invece, il numero di dati moltogrande (N = 1000), ma r piccolo (0,05). Anche qui, psi attesta a 0,05.

In altre parole, fra le due variabili c probabilmenteuna correlazione, ma la correlazione di lieve entit

Significato generale di un test


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In altre parole, possiamo considerare il risultato di un test statistico,

come il t-test o r, come la misura di un rapporto segnale/rumore.Il segnale lentit della differenza fra due gruppi di dati nel confrontofra medie (t di Student), o lentit della correlazione fra due variabili(r).

Il rumore la probabilit della generazione casuale di uno pseudo-segnale, e dipende in modo critico dalla numerosit dei dati.

Significato generale di un test

Segnaleentit della differenza fra lemedie, o della correlazione

Rumorevariabilit casuale


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Regressione

Se esiste correlazione fra due variabili,

possibile calcolare una funzione che descriva

il rapporto fra le due variabili e che permetta

di predire altri valori. Se tale funzione unalinea, si parla di regressione lineare, altrimenti

di regressione non lineare.

Se le variabili sono pi di due, si parla di

regressione multipla

Un esempio di regressione lineare


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Un esempio di regressione lineare

La formula generale di una linea di regressione :

y = a + bx

dove a il punto di intersezione dellasse Y, e b lapendenza della linea (angolo con lasse X)

La linea di regressione viene calcolata in maniera da rendere

minima la somma degli scarti quadratici dei singoli valori osservati


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Predizione

Il calcolo di una linea di regressione pu permettere di farepredizioni riguardo a valori non osservati


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Regressione lineare e non lineare


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Regressione multipla

I test di regressione multipla valutano

la maniera in cui molte variabili

indipendenti influenzano unasingola variabile dipendente: per

esempio, come vari fattori prognostici

influenzano la sopravvivenza in una

patologia neoplastica.

Regressione multipla lineare e non


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Regressione multipla lineare e non

lineare

Curve di Kaplan Meier


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Curve di Kaplan Meier

La curva di Kaplan Meier permette di rappresentare i dati diuno studio in termini di time to event, cio del temponecessario perch i pazienti raggiungano un determinatoendpoint (per esempio la morte: in questo caso la curva unacurva di sopravvivenza).

La curva rappresenra tutti i dati disponibili in termini dipercentuale dellevento rispetto al tempo trascorso

dallarruolamento, e questo permette di valutare insieme i dati dipazienti arruolati in tempi diversi.

Vengono inclusi anche i pazienti che non hanno presentatoancora lendpoint al momento della chiusura dello studio, e quellidei pazienti persi al follow-up. Tali dati vengono definiticensored e il tempo trascorso fra larruolamento e laconclusione dello studio, oppure fra larruolamento e luscitadallo studio per i persi al follow-up, rappresentato graficamentecon un segno verticale (tick mark).


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Un esempio di curva di Kaplan Meier


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Un esempio di curva di Kaplan Meier

Example of a Censored Curve with Tick MarksThis Group of Patients Has a Minimum Follow-Up of a Little Over a Year

Rappresentazione di due gruppi come curva di Kaplan Meier


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Gap verticale: differenza

nellesito finale

Gap orizzontale: differenza

nel tempo di presentazione

delloutcome

V l i d i i d K l M i


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Valori derivati da una curva Kaplan Meier

Mediana = tempo a cui il 50% dei pazienti ha

presentato levento

Media = tempo medio di presentazione

dellevento


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Comparison of survival between two groups. Eyeballing the KM curves for the Placebo and 6-

MP groups, we see that

1. Median survival time is 22.5 m for 6-MP and 8 for placebo (14.5 month difference).

2. The Kaplan-Meier curve for 6-MP group lies above that for the Placebo group and there is a

big gap between the two curves: the survival of 6-MP seems to be superior.

3. The gap seems to become bigger as time progresses.

Valutazione statistica delle curve di Kaplan


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p

Meier

Lanalisi statistica basata sui principi del chi-quadro, che confronta le percentuali attese con

quelle osservate.

Test: Log rank test.

H0: non c differenza fra le curve A e B

H1: la differenza esiste

Il risultato finale espresso come p.


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Confronto fra curve di Kaplan Meier


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p

(Log Rank Test)

Figure 2:Survival of patients in the low risk group treated by liverresection alone or liver resection plus adjuvant chemotherapy.(n=113; Kaplan-Meier estimate, log-rank test).

Cox regression test


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Cox regression test

E un modello complesso di analisi di regressione multivariata, che

permette sia il confronto fra curve di sopravvivenza di tipo KaplanMeier che il calcolo del contributo di fattori prognostici

indipendenti al rischio.

Un esempio di valutazione del contributo di fattori diversi al rischio cumulativo

Cox proportional hazards model e


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p p

hazard ratio

Il modello di Cox permette di valutare dueimportanti aspetti nellambito di unarappresentazione time to event di tipoKaplan Meier:

1. Calcolo dell hazard ratio, un numero cheesprime il rischio relativo fra i due gruppi

per unit di tempo2. Calcolo del contributo indipendente al

rischio di pi variabili (analisi covariata)

H d ti diff f i


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Hazard ratio e differenza fra gruppi

Non sempre lhazard ratio esprime in modorealistico la differenza clinica fra due gruppi.

Come molte misure complesse, il suo significato

pu essere fuorviante, perch dipende in manieracritica dalla forma delle curve.

Se si vuole sapere essenzialmente la rilevanzadel significato clinico finale, occorre semprevalutare anche la mediana e la media delle duecurve.

Cox model


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Il modello di Cox permette di calcolare il

contributo delle singole variabili alloutcome,stratificando in maniera complessa per le

differenti variabili (analisi covariata)


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