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Anlisis de vivienda unifamiliARAPLICANDOELTEOREMADE CASTIGLIANOPaico Saavedra Segundo A. [email protected]

1. Introduccin2. Justificacin3. Justificacin

4. Marco terico5. Anlisis estructural6. Conclusiones7. Bibliografa

Introduccin

Este trabajo analiza una estructura la cual esta representada por marcos doblemente empotrados con variostipos de cargas aplicadas sobre esta. Se sabe que para estos clculos existen programas computacionalespero siempre es bueno saber que mtodo puedo aplicar para analizarla sin tener un programa

computacional eso es lo que se muestra bsicamente en este trabajo.En este trabajo damos a conocer algunos trminos bsicos y la forma de distribucin de cargas segn sufuncin. Tambin Mediante la aplicacin del teorema de Castigliano analizamos la estructura basndonosen el potencial interno del material, con el cual podemos resolver las incgnitas mostradas y proceder conun anlisis ms a fondo como lo es el clculo del momento flector y fuerzas cortantes. Con respecto alanlisis de las vigas calculamos tambin la deflexin producida por las cargas actuantes en esta, y conrespecto a las columnas tambin se ha calculado la deformacin unitaria de la longitud y variacin unitariadel rea de la seccin transversal, todos estos datos importantes para un ingeniero para hacer un buendiseo.

Justificacin

La resistencia de materiales es materia bsica de la rama de las estructuras. El conocimiento de laspropiedades de los diferentes materiales que se usan en el campo de la construccin y las fuerzas queactan sobre ellas nos permiten establecer los principios fundamentales que servirn para comprender elanlisis y diseo estructural.

OBJETIVOSQue sirva para que el lector adquiera los conocimientos necesarios para comprender el comportamientomecnico de los materiales en trminos de esfuerzos y deformaciones. Algunos de nuestros objetivostambin es responder a las siguientes preguntas: Qu es una carga muerta?, Qu es una carga viva?,Cul es el rea tributaria de una columna y una viga?, Qu mtodo puedo usar para analizar un marco?Qu me determina un momento flector y una fuerza cortante?

CAPITULO I

Marco terico

I. CONCEPTOS BSICOS1. ESTRUCTURA:Dentro del mbito de la ingeniera, se conoce con el nombre de estructura a toda construccin destinada asoportar su propio peso y la presencia de acciones exteriores (fuerzas, momentos, cargas trmicas, etc.) sinperder las condiciones de funcionalidad para las que fue concebida sta. Una estructura tiene un nmero degrados de libertadnegativo o cero, por lo que los nicos desplazamientos que puede sufrir son resultado dedeformaciones internas. La ingeniera estructural es la rama de la ingeniera que abarca el proyecto deestructuras y el clculo de su equilibrioy resistencia.

2. FUERZAS:

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Magnitud fsica vectorial que se define como la causa de los movimientos y de la deformacin de loscuerpos. La accin de una fuerza sobre los cuerpos depende de su mdulo, direccin (lnea de accin),sentido y punto de aplicacin.Las fuerzas en la naturaleza son: Gravitacionales (siempre de atraccin, tal es el caso del peso de uncuerpo); Electromagntica (se deben a las cargas elctricas en reposo o en movimiento); Nucleares fuertes(son las que mantienen juntos a los protones con los neutrones); Nucleares dbiles (su accin se reduce a

dirigir los cambios de identidad de las partculas subatmicas)Las fuerzas internas se manifiestan al interior de cuerpos flexibles y rgidos cuando stos son sometidos a laaccin de fuerzas externas que tratan de deformarlo por alargamiento o estiramiento y por aplastamiento ocompresin. Estas fuerzas internas se clasifican en: tensin, compresin, torsin, y fuerza elstica.

a. Tensin (T): Es aquella fuerza generada internamente en un cuerpo (cable, soga, barras)cuando tratamos de estirarla. Para graficar la tensin se realiza previamente un corteimaginario. La tensin se caracteriza por apuntar al punto de corte. Si el peso de la cuerda esdespreciable, la tensin tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpo.

b. Compresin (C): Es aquella fuerza interna que se opone a la deformacin por aplastamiento delos cuerpos rgidos. Para graficar la compresin se realiza previamente un corte imaginario, se

caracteriza por alejarse del punto de corte. Si el peso del cuerpo rgido es despreciable, lacompresin es colineal con el cuerpo y tiene el mismo valor en todos los puntos.

3. MOMENTO DE UNA FUERZA:Magnitud vectorial cuyo valor indica la tendencia a la rotacin que provoca una fuerza aplicada sobre uncuerpo, respecto a un punto llamado Centro de rotacin. Su valor se calcula multiplicando el mdulo de lafuerza por su brazo de palanca, que viene a ser la distancia del centro de rotacin (o centro de giro) a lalnea de accin de la fuerza.




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dFMF

o .= , donde la fuerza ""F y el brazo ""d de palanca, son perpendiculares.4. VIGAS:Son miembros estructurales sometidos a cargas laterales; es decir a fuerzas o momentos que tienen susvectores perpendiculares al eje de la barra.

Tipos de vigas:Las vigas se describen segn el modo en que estn sometidas:

1. Viga Simple

La viga simple es una viga con un soporte de pasador en un extremo y un soporte o apoyo de rodilloen el otro. La caracterstica esencial de un soporte de pasador es que impide la traslacin en elextremo de una viga pero no su rotacin. El extremo A de la viga en la figura (a) no puede moverseen sentido horizontal o vertical, pero el eje de la viga puede girar en el plano de la figura. Enconsecuencia, un soporte de pasador es capaz de desarrollar una reaccin de fuerza concomponentes horizontal y vertical (HA y RA), pero no puede desarrollar una reaccin de momento.En el extremo B de la viga en la figura (a), el soporte de rodillo impide la traslacin en direccinvertical pero no en la horizontal; por tanto, ese apoyo puede resistir una fuerza vertical (RB) mas nouna fuerza horizontal. Por supuesto, el eje de la viga puede girar en B y en A. Las reaccionesverticales en los soportes de rodillo y en los soportes de pasador pueden actuar ya sea hacia abajoo hacia arriba y la reaccin horizontal en un soporte de pasador puede actuar ya sea hacia laizquierda o hacia la derecha. En las figuras, las reacciones se indican por diagonales que atraviesanlas flechas para distinguirlas de las cargas.

5. COLUMNAS:Una columna es una pieza arquitectnica vertical y de forma alargada que sirve, en general, para sostenerel peso de la estructura, aunque tambin puede tener fines decorativos. De ordinario su seccin es circular;cuando es cuadrangular suele denominarse pilaro pilastra. La columna est comnmente formada por treselementos: basa, fuste y capitel.

6. TIPOS DE APOYO:a) Apoyo Empotrado b) Apoyo Mvil o de Rodillo


http://es.wikipedia.org/wiki/Pilarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Basahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fustehttp://es.wikipedia.org/wiki/Capitelhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pilarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Basahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fustehttp://es.wikipedia.org/wiki/Capitel


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7. CENTRO DE GRAVEDAD:El centro de gravedad (CG) es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad queactan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de uncuerpo es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los

diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.8. MOMENTO DE INERCIA:El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cmo es la distribucin demasas de un cuerpo o un sistema de partculas alrededor de uno de sus puntos. En el movimiento derotacin, este concepto desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimientorectilneo y uniforme.

II. CARGAS ESTRUCTURALESLa actividad del diseo estructural que realiza el ingeniero civil, requiere un gran conocimiento de lascargas, los materiales y las formas estructurales y no solo de los modelos matemticos usados para obtenerlas fuerzas internas: momento flector (M), cortante (V), fuerza axial (N), y momento torsor (T). Losestudiantes ya estn acostumbrados a esos procedimientos matemticos y es necesario que entiendan queuna viga es un cuerpo real y no una ecuacin diferencial o una matriz; por tal razn se presenta aqu unresumen o referencia, para ir introduciendo al estudiante de ingeniera civil en ellos.En el proceso de diseo el ingeniero civil debe evaluar las cargas o solicitaciones a las que estar sometidala estructura durante su vida til. Debe hacer un esfuerzo por tenerlas todas en cuenta sin olvidar aquellasque aunque pequeas puedan poner en peligro la resistencia o estabilidad de la estructura, v.gr.: el efectode succin producido por un viento fuerte en una bodega o hangar, que puede levantarlo y separarlo de losapoyos, o los cambios fuertes de temperatura que puedan inducir efectos de acortamiento o alargamientopara los cuales no est adecuadamente provista la estructura. Se debern tener en cuenta no solo las queconstituyan empujes, fuerzas exteriores o pesos permanentes, sino aquellos estados temporales durante laconstruccin y los mencionados antes, como los efectos trmicos y de retraccin, para evitar accidentes yefectos imprevistos. En algunos casos se podrn despreciar, porque su incidencia es pequea, perosiempre despus de haber meditado en su efecto. Los modernos cdigos de construccin le dan alingeniero recomendaciones de cargas mnimas que deben usarse en el diseo de estructuras comunes; ennuestro pas la Norma sismorresistente colombiana NSR-98 exige unas cargas mnimas cuyos valores se

mostrarn ms adelante. Sin embargo, siempre quedar en el ingeniero la responsabilidad de su evaluaciny escogencia. Las cargas que deben considerarse en el diseo de estructuras segn la NSR-98, son:TIPOS DE CARGA:1. CARGAS MUERTAS.-Son aquellas cargas que actan durante toda la vida de la estructura. Incluyen todos aquellos elementos dela estructura como vigas, pisos, techos, columnas, cubiertas y los elementos arquitectnicos comoventanas, acabados, divisiones permanentes. Tambin se denominan cargas permanentes. Su smbolo D,corresponde a la inicial en ingls de Dead (muerto).La principal carga muerta es el peso propio de la estructura. Sus valores se obtienen considerando el pesoespecfico del material de la estructura y el volumen de la estructura. Aunque es el tipo de carga ms fcilde evaluar, su monto depende de las dimensiones de los miembros de la estructura las cuales no seconocen al inicio del proceso. Es necesario recurrir entonces a estimaciones del valor inicial. Esta accin

ser ms o menos aproximada, dependiendo de la experiencia del diseador. En los casos comunes esta


http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_resultantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Masa_inercialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_resultantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Masa_inercial


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estimacin inicial ser suficiente; pero en casos no rutinarios, ser necesario evaluar de nuevo el peso de laestructura y revisar el diseo.Para elementos longitudinales (vigas), la carga se evala por unidad de longitud. Ha sido costumbreevaluarla en sistema MKS: kg/m , t/m. Sin embargo a partir de la vigencia de la norma NSR-98 se deberahacer en el Sistema Internacional (SI): N/m, kN/m.El control de las cargas muertas es muy importante en estructuras de concreto reforzado construidas in

situ, pues el volumen de los concretos colocados puede ser muy variable, conduciendo a sobre espesoresque producen masas adicionales a las contempladas en el diseo, afectando la evaluacin de las cargas desismo. En el acero estructural se controlan ms fcilmente, pues los perfiles vienen de fbrica contolerancias de peso pequeas.

Figura 1. Fuerzas distribuidasPara elementos de gran rea, como las placas o pisos se evala por metro cuadrado: kN/m2, (kgf/m2 ensistema MKS).

Algunos ejemplos corrientes de pesos propios, propuestos por la norma NSR-98 y el Cdigo Peruano dePuentes (CCP-95) son:

MATERIAL PESO DENSIDADConcreto simple 23 kN/m3 2300 Kg/m3

Concreto reforzado 24 kN/m3 2400 Kg/m3

Mampostera de ladrillo 18 kN/m3 1800 Kg/m3

Acero 78 kN/m3 7850 Kg/m3

Madera laminada 6 kN/m3 600 Kg/m3

Madera, densa, seca 7,5 kN/m3 750 Kg/m3

Arena, grava, tierra suelta 16 kN/m3 1600 Kg/m3

Arena, grava compactada 19 kN/m3 1900 Kg/m3




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Macadam 22 kN/m3 2200 Kg/m3

Mampostera de piedra 27 kN/m3 2700 Kg/m3

Mortero de pega 21 kN/m3 2100 Kg/m3

2. CARGAS VIVAS.-

Las cargas vivas son cargas no permanentes producidas por materiales o artculos, e inclusive gente enpermanente movimiento. Cabinas, particiones y personas que entran y salen de una edificacin pueden serconsideradas como carga vivas. Para simplificar los clculos las cargas vivas son expresadas como cargasuniformes aplicadas sobre el rea de la edificacin. Las cargas vivas que se utilicen en el diseo de laestructura deben ser las mximas cargas que se espera ocurran en la edificacin debido al uso que sta vaa tener y estn determinadas con base a una parte variable y a una porcin sostenida por el uso diario.Las cargas vivas dadas en los cdigos tienen la intencin de representar la suma mxima de todas lascargas que pueden ocurrir en un rea pequea durante la vida til del edificio. En ningn caso las cargasvivas deben ser menores que las cargas vivas mnimas dadas a continuacin:

Vivienda .......................................................................................... 1.80 kN/m2 (180 kgf/m2)Oficinas ........................................................................................... 2.00 kN/m2 (200 kgf/m2)Escaleras en oficinas y vivienda...................................................... 3.00 kN/m 2 (300 kgf/m2)Salones de Reunin

- Con asientos fijos (anclados al piso)............................... 3.00 kN/m 2 (300kgf/m2)- Sin asientos fijos ................................................................ 5.00 kN/m 2 (500 kgf/m2)

Hospitales- Cuartos .................................................................................. 2.00 kN/m 2 (200 kgf/m2)- Salas de operaciones.............................................................. 4.00 kN/m 2 (400 kgf/m2)

Coliseos y Estadios- Graderas................................................................................... 4.00 kN/m 2 (400 kgf/m2)- Escaleras ................................................................................... 5.00 kN/m 2 (500 kgf/m2)

Garajes- Automviles ...................................................................... 2.50 kN/m 2 (250kgf/m2)- Hoteles ............................................................................................... 2.00 kN/m 2 (200 kgf/m2)

- Escuelas, Colegios y Universidades................................................... 2.00 kN/m 2 (200 kgf/m2)- Bibliotecas- Salas de lectura ............................................................. 2.00 kN/m 2 (200 kgf/m2)- Depsitos de libros........................................................ 5.00 kN/m 2 (500 kgf/m2)

Cubiertas, Azoteas y Terrazas ................................. La misma del resto de la edificacin.Cubiertas inclinadas de estructuras metlicas y de madera con imposibilidad fsica de verse sometidas a

cargas superiores a las aqu estipulada:- si la pendiente es mayor del 20% ..................................... 0.35 kN/m2 (35 kgf/m2)- si la pendiente es menor del 20% ..................................... 0.50 kN/m2 (50 kgf/m2)

Fbricas:- Livianas .......................................................................... 5.00 kN/m 2 (500 kgf/m2)- Pesadas............................................................................. 10.00 kN/m2 (1000 kgf/m2)

Depsitos- Livianos ............................................................................ 5.00 kN/m2 (500 kgf/m2)- Pesados................................................................................ 10.00 kN/m2 (1000 kgf/m2)

Almacenes- Detal .................................................................................. 3.50 kN/m2 (350 kgf/m2)- Por Mayor ............................................................................. 5.00 kN/m 2 (500 kgf/m2)

Las barandas, pasamanos y antepechos deben disearse para resistir una fuerza horizontal de 0.75 kNpor metro lineal, aplicadas en la parte superior. Se debe disear con el efecto ms desfavorable de cargaviva en los diferentes vanos de la estructura o elemento.

Cargas vivas en obra o durante el proceso de construccin deben incluir: materiales de construccin,formaletera y gras u otras maquinarias. Para cubiertas se deben incluir los trabajadores y materiales deconstruccin dentro del anlisis de cargas vivas.




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III. SISTEMA DE CARGASAREAS TRIBUTARIAS:Es el rea cargada de una estructura particular que contribuye en forma directa a la carga aplicada aunmiembro particular de la estructura. Conviene definirla como el rea limitada por lneas trazadas a la mitadde la distancia a la viga o la columna prximas. En la figura 2 se muestra las reas tributarias de variascolumnas.

Figura 2. reas tributarias de columnas

En la Figura 3 se muestra las reas tributarias tericas de una viga y de una trabe. (El trmino trabe engeneral se refiere a una viga grande y, en algunas ocasiones, tambin puede referirse a una viga a la quese unen otras vigas ms pequeas).

Figura 3. reas tributarias

Si consideramos la viga en la parte superior izquierda del sistema de piso de la Figura 3. vemos q ala mitadde la viga el rea tributaria se extiende a la motad de la distancia a la viga prxima en cada direccin. Sinembargo, en los extremos de la viga el piso estas soportado en parte por las vigas y en parte por las trabesque son perpendiculares a la vigas. La superficie superiores de las vigas y de las trabes se supone q confrecuencia se localizan ala misma elevacin. En consecuencia, la frontera del rea tributaria estar a lamitad de las dos, es decir, aun ngulo de 45.




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De manera similar, las reas tributarias para una trabe interior de piso se han dibujado en la misma figura.La trabe debe soportar las cargas sobre las reas tributarias q ah se muestran, as como las reacciones deextremo de las vigas.

PRTICOS O MARCOSSon otras estructuras cuyo comportamiento est gobernado por la flexin. Estn conformados por la uninrgida de vigas y columnas. Es una de las formas ms populares en la construccin de estructuras de

concreto reforzado y acero estructural para edificaciones de vivienda multifamiliar u oficinas; en nuestromedio haba sido tradicional la construccin en concreto reforzado, pero despes de 1991, con la aperturaeconmica se hacen cada vez ms populares las estructuras aporticadas construdas con perfilesestructurales importados, desde nuestros pases vecinos: Chile, Brasil, Ecuador y de otros, tan lejanos comoel Japn o Polonia.

Figura 4: estructura metlica aporticada, campus La Nubia UN Manizales

La gran estandarizacin y control de calidad que ha obtenido la industria del acero en el mundo, haceindiferente para el diseo, el origen geogrfico del perfil estructural, primando el menor costo. En pocas de

superproduccin de acero a nivel mundial, como la actual, ste aumenta an ms sus ventajas competitivassobre materiales tradicionales en nuestro medio como el concreto reforzado.Los prticos tienen su origen en el primitivo conjunto de la columna y el dintel de piedra usado por losantiguos, en las construcciones clsicas de los griegos, como en el Partenn y an ms atrs, en los trilitosdel conjunto de Stonehenge en Inglaterra (1800 aos a.C.). En stos la flexin solo se presenta en elelemento horizontal (viga) para cargas verticales y en los elementos verticales (columnas) para el caso defuerzas horizontales (figura 5: (a) y (c)).




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Figura 5: accin de prtico bajo cargas verticales y horizontales v.s. accin en voladizo.

Con la unin rgida de la columna y el dintel (viga) se logra que los dos miembros participen a flexin en elsoporte de las cargas (figuras 5 (b) y (d)), no solamente verticales, sino horizontales, dndole al conjuntouna mayor resistencia, y una mayor rigidez o capacidad de limitar los desplazamientos horizontales.Materiales como el concreto reforzado y el acero estructural facilitaron la construccin de los nudos rgidosque unen la viga y la columna.

La combinacin de una serie de marcos rectangulares permite desarrollar el denominado entramado devarios pisos; combinando marcos en dos planos perpendiculares se forman entramados espaciales. Estossistemas estructurales son muy populares en la construccin, a pesar de que no sean tan eficientes comootras formas, pero permiten aberturas rectangulares tiles para la conformacin de espacios funcionales yreas libres necesarias para muchas actividades humanas (ver figura 6).

Figura 6: edificio aporticado de concreto reforzado




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Los mtodos de anlisis introducidos desde la distribucin de momentos de CROSS (1930), hasta lasformulaciones matriciales de la RIGIDEZ, ampliamente usados con los computadores, han reducido lastediosas operaciones rutinarias, que limitaron su uso en el siglo pasado.En cursos posteriores se trabajar a profundidad el denominado Mtodo Matricial de la Rigidez, que eshoy en da el preferido por los sistemas de anlisis de estructuras por computador y se har unaintroduccin detallada al Mtodo de los Elementos Finitos, que es la mejor herramienta de que disponen

los ingenieros para el estudio de esfuerzos en estructuras complejas; este tema lo podrn cursar losestudiantes que seleccionen la lnea de profundizacin en estructuras, del plan de estudios de IngenieraCivil.

A. DISTRIBUCIN DE CARGAS EN PRTICOS




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B. ANLISIS EN UN PRTICO

Tramo 1 (x = 0 en B) L > x > 0yBN =1 01 =V 01 =M

Tramo 2 (x = 0 en D) L/2 > x > 002 =N yBV =2 xBM y =2

Tramo 3 (x = 0 en E) L/2 > x > 003 =N yBPV =3 ( ) xPLxBM y += 2/3

Tramo 4 (x = 0 en A) L > x > 0

yAN =4 xAV =4 xAM x =4

CAPTULO II




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Anlisis estructural

I. ESTRUCTURA A ANALIZAR.-

Como objeto de estudio y de anlisis estructural tomaremos esta vivienda unifamiliar, caracterizada por seruna vivienda simple de cuatro lados y por tener presente un muro a lo largo del permetro del techo.II. METRADO DE CARGAS.-

Para el anlisis de la vivienda en primer lugar la vemos como un prtico en la cual podemos repartir lascargas que se presentan sobre esta.




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En el siguiente prtico podemos apreciar la presencia de vigas principales y secundarias. Diferenciarlas esimportante ya que esto definir la forma de distribucin de las cargas.

Las vigas principales son perpendiculares al sentido del vaciado de la loza.Las vigas principales soportan cargas, las vigas secundarias solo son de enlace.Dimensiones de la loza de Concreto armado




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Seccin de las vigas principales:

Seccin de las vigas secundarias:

Muro sobre la loza




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III. METRADO PARA VIGASI. VIGAS PRINCIPALES:

1. Cargas muertas:P = volumen x peso especifico

- Peso propio de la viga :

mkgkgP

mkgmmmP

/180840

/24005.43.025.03

==

=

- Peso de la losa :mkgkgP

mkgmmmP

/9604320

/24005.42.000.23

==

=

- Peso del muro superpuesto :mkgkgP

mkgmmmP

/170765

/17005.41.000.13

==

=

2. Carga viva:

- Sobrecarga : mkgmkg /600/3002

=

- Carga final es igual a: 1.5 carga muerta + 1.8 carga viva

( ) ( )

mkgW

mkgmkgW

CCW vm

/3045

/6008.1/13105.1

8.15.1

=

+=

+=

II. VIGAS SECUNDARIAS.1. Carga muerta:

- Peso propio de la viga :mkgkgP

mkgmmP

/180810

/24005.43.025.03

==

=

- Peso del muro superpuesto :mkgkgP

mkgmmmP

/170765

/17005.41.000.13

==

=

- Carga final es igual a: 1.5 carga muerta + 1.8 carga viva

( ) ( )

mkgW

mkgmkgW

CCW vm

/525

/08.1/3505.1

8.15.1

=

+=

+=

IV. METRADO PARA COLUMNAS

1. Cargas muertas:Peso de la losa.Peso de la viga principal.Peso de la viga secundaria.Peso de muros sobre la viga principal.Peso del muro sobre la viga secundaria.




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2. Cargas vivas:Sobrecarga.

Carga final es igual a: 1.5 carga muerta + 1.8 carga muerta.

ANALISIS DE FUERZAS ACTUANTES SOBRE LA ESTRUCTURA

I. VIGAS PRINCIPALES:

Cargas muertas:- Peso propio de la viga: mkgP /180=

- Peso de la losa:mkgP /960=

- Peso del muro superpuesto:mkgP /170=

Carga viva:

- Sobrecarga : mkgmkg /600/3002

=




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( ) ( )

mkgW

mkgmkgW

CCW vm

/3045

/6008.1/13105.1

8.15.1

=

+=

+=

- Corte 1-1 Tramo AB:

- Corte 2-2 Tramo BC:




M

VN

A

W =3045 kg/m

h=3m

2

1xR

1M1yR

Bx

2

( )

( ) ( )2

2

1 11

1

1

xWxRhRMM

xWRV

RN

yx

y

x

+=

=

=

h = 3 m 3

A

W =3045 kg/m

3

1yR

1M1yR

B C

x

M

V

N


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Por el teorema de Castigiliano.

( )( )dx

EI

xRMh x

AB

= 0

2

1

2

1

( ) ( )

dxEI

xWxRhRM

l yx

BC

+

= 0

22

1

2

211

( ) ( )

dxEI

lWlRxhRM

h yx

CD

+

=0

22

1

2

211

CDBCAB ++=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

++

++=

xWlRxhRMdxh

xWxRhRMdxxRMx

EIR

h

yx

h l

yxx

x 0

2

1

0 0

2

1122

10

11111

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

+=

dxllW

lRxhRMdxxxW

xRhRMEIR

h

yx

l

yx

y 0

2

1

0

2

122

10

1111

1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

++=

dxlW

lRxhRMdxxW

xRhRMdxxRMEIM

h

yx

h l

yxx

0

2

1

0 0

2

11

122

10

11111



( )

( ) ( )2

2

1 11

1

1

xWlRxhRMM

lWRN

RV

yx

y

x

+=

=

=


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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )( )

422

322

262320

22

20

)

22222

233

32

1

2

1

322

1

32

1

0

2

0

2

000

2

0

11

0

2

00

2

0

1

0

2

0

1

1

1111111

111

111

hWlhWllhR

hRh

Rh

RhRh

MhMhWlhl

RlhRlhMh

Rh

M

dxxlW

dxhlW

dxxlRdxlRhdxxhR

MMhdxhxW

dxxRhdxhRdxMhdxxRdxxM

a

y

yxxxyxx

hhh

y

h

y

h

x

hll

y

l

x

lh

x

h

++

++++++=

+++

++

+++++=

Reemplazando ( 3=h , 5.4=l )

05

9

45

52

9

4111

=++ WRRM yx . (1)

2283220

)

32

22

1

4322

111111

hWlhlR

lhRlhRlhM

WllR

hlR

lM

b

yxxyx+++++=


01215

2506

9

5

27

7111

=+ WRRM yx . (2)

226220

)

222

1

32

1

2

1 111111

hWllhR

hRhRhM

WllRhlRlM

hRhM

c

yxxyxx+++++=


014

27

21

20

9

4111

=+ WRRM yx . (3)

Sumando (1) y (3)

( )

( )

kgR

R

RRM

RRM

x

x

yx

yx

914063.1926

2

783

315

64

304514

27

21

20

9

4

30455

9

45

52

9

4

1

1

11

11

1

1

=

=

=+

=+

Sumando (2) y (3)( )

( )

mkgM

kgR

R

RRM

RRM

y

y

yx

yx

=

=

=

=+

+

=+

06823.1926

625926.6851

819616.126827

5

304514

27

21

20

9

4

27

7

30451215

2506

9

5

27

7

9

4

1

1

1

1

1

11

11

DIAGRAMAS DE CORTANTES Y MOMENTOS




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CORTANTES MOMENTOS

II. VIGAS SECUNDARIAS:Cargas muertas:



h = 3 m

FRONTE (viga secundaria)

3

2

L = 4.5 m

A B

W = 525 kg/m

1 1 3

2

3xR

3M

4M

4xR

3yR

4yR

B C

x

x

x

L = 4.5 m

A B

h = 3 m

W = 3045 kg/m

FRONTE (viga principal)

1 1 3 3

2

2

1xR

1M 2M

2xR

1yR

2yR

B C

x

x

x

-1296.91kg -1296.91kg

6851.62kg

-6851.62kg

1926.07kg.m 1926.07kg.m

-3855.7

8kg.m

-3855.7

8kg.m

-3855.78kg.m-3855.78kg.m

8135.86kg.m


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- Peso propio de la viga: mkgP /180=

- Peso del muro superpuesto:mkgP /170=

( )

mkgW

mkgW

CW m

/525

/3505.1

5.1

=

=

=


- Corte 2-2 Tramo BC:



A

1 1

3xR

3M3yR

x

M

V

N

( )xRMM

RV

RN

x

x

y

3

3

3

3 =

=

=

M

VN

A

W = 525 kg/m

h=3m

2

3xR

3M3yR

Bx

2


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( )

( ) ( )

2

2

3 33

3

3

xWxRhRMM

xWRV

RN

yx

y

x

+=

=

=

h = 3 m 3

A

W = 525 kg/m

3

3xR

3M3yR

B C

x

M

V

N

( )

( ) ( )2

2

3 33

3

3

xWlRxhRMM

lWRN

RV

yx

y

x

+=

=

=


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Por el teorema de Castigiliano.

( )( ) dxEI

xRMh xAB

= 0

23

2

3

( ) ( )

dxEI

xWxRhRM

l yx

BC

+

= 0

22

3

2

233

( ) ( )

dxEI

lWlRxhRM

h yx

CD

+

= 0

22

3

2

233

CDBCAB ++=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

++=

xW

lRxhRMdxhxW

xRhRMdxxRMxEIR

h

yx

h l

yxx

x 0

2

3

0 0

2

3322

10

33333

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

+=

dxllW

lRxhRMdxxxW

xRhRMEIR

h

yx

l

yx

y 0

2

3

0

2

322

10

3333

3

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

++=

dxlW

lRxhRMdxxW

xRhRMdxxRMEIM

h

yx

h l

yxx

0

2

3

0 0

2

33

3

22

10

33333

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )( )

422

322

262320

22

20

)

22222

333

2

31

2

3

322

3

32

3

0

2

0

2

000

2

0

33

0

2

00

2

0

3

0

2

0

3

3

3333333

333

333

hWlhWllhR

hRh

Rh

RhRh

MhMhWlhl

RlhRlhMh

Rh

M

dxxlW

dxhlW

dxxlRdxlRhdxxhR

MMhdxhxW

dxxRhdxhRdxMhdxxRdxxM

a

y

yxxxyxx

hhh

y

h

y

h

x

hll

y

l

x

lh

x

h

++

++++++=

+++

++

+++++=


05

9

45

52

9

4333

=++ WRRM yx . (1)

2283220

)

32

22

3

4322

3 33333

hWlhlR

lhRlhRlhM

WllR

hlR

lM

b

yxxyx+++++=

Reemplazando ( 3=h

, 5.4=l

)




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01215

2506

9

5

27

7333

=+ WRRM yx . (2)

226220

)

222

3

32

3

2

3 333333

hWllhR

hRhRhM

WllRhlRlM

hRhM

c

yxxyxx

+++++=


014

27

21

20

9

4333

=+ WRRM yx . (3)

Sumando (1) y (3)

( )

( )

kgR

R

RRM

RRM

x

x

yx

yx

2265625.332

2

135

315

64

525

14

27

21

20

9

4

5255

9

45

52

9

4

3

3

33

33

3

3

=

=

=+

=+

Sumando (2) y (3)

( )

( )

mkgM

kgR

R

RRM

RRM

y

y

yx

yx

=

==

=+

+

=+

9130198.464

314815.1181

7620027.21827

5

52514

27

21

20

9

4

27

7

5251215

2506

9

5

27

7

9

4

3

3

3

3

3

33

33

DIAGRAMAS DE CORTANTES Y MOMENTOS



h = 3 m

FRONTE (viga secundaria)

3

2

L = 4.5 m

A B

W = 525 kg/m

1 1 3

2

3x

R

3M

4M

4xR

3yR

4yR

B C

x

x

x


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CORTANTES MOMENTOS

III. COLUMNAS:Como ya se mostr en el metrado de cargas el peso que soportara cada columna de la estructura ser:

- CARGAS MUERTAS:



-332.22kg -332.22kg

-1181.31kg

1181.31kg

464.91kg.m 469.91kg.m

-531.7

78kg.m

-531.7

78kg.m

-531.77kg.m-531.77kg.m

797.285kg.m


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- CARGAS VIVAS:

Sobrecarga

Carga final:

1.5 carga muerta + 1.8 carga muerta.Analizando el esfuerzo producido en la columna tenemos:



mmm

kg95.12300

2=

kgw 75.6987=

93170kg/m2

93170kg/m2

DIAGRAMA DE ESFUERZOS


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Analizando la deformacin unitaria de la longitud y la variacin unitaria del rea de la seccintransversal tenemos:

Deformacin unitaria de la longitud

Variacin unitaria del rea de la s. transversal

ANALISIS DE LA DEFLEXION DE LA VIGA

A. VIGA PRINCIPAL:



1

1

75.6987

0

Nkg

Nw

Fy

=

=

=

293170

25.03.0

75.6987

m

kgkg

A

w=

==

2792.0

2

mmA

EA

A

==

W=3045kg/m

Ry

Rx

Ry

MbRxMa

L=4.5m.


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Primero calculamos el valor de las incgnitas mostradas:

Hacemos los cortes necesarios para poder analizarla y planteamos nuestra ecuacin de momentos:

Conociendo la siguiente relacin matemtica obtenemos:

Aplicando las siguientes condiciones obtenemos:

Cuando

Cuando

Finalmente tenemos que la ecuacin que determina la deflexin en cualquier punto es:

EI

xxxx 096.0)875.12688.114122.2569(432 ++

=

A. VIGA SECUNDARIA:



kgwlRy 25.68512

== kgwlMa 44.513812

2

== kgwlMb 44.513812

2

==

2

2

5.152225.685144.5138

2

0

xxM

xwxRyMaM

M

+=

+=

=

EI

BAxxxx

EI

Axxx

x

EI

M

x

+++=

++=

=

)875.12688.114122.2569(

)5.50763.342544.5138(

432

32

2

2

0;0 == x

0=B

0;5.4 == x

096.0=A

W=3045kg/m

Ry

Rx

V M

Ma

X

W=525kg/m

Ry

Rx

Ry

MbRxMa

L=4.5m.


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Primero calculamos el valor de las incgnitas mostradas:

Hacemos los cortes necesarios para poder analizarla y planteamos nuestra ecuacin de momentos:

Conociendo la siguiente relacin matemtica obtenemos:

Aplicando las siguientes condiciones obtenemos:

Cuando



kgwl

Ry 25.11812

== kgwl

Ma 938.88512

2

== kgwl

Mb 938.88512

2

==

252525.1181938.885

2

0

2

2

xxM

xwxRyMaM

M

+=

+=

=

EI

BAxxxx

EI

Axxx

x

EIM

x

+++=

++=

=

)875.21875.196969.442(

)5.87625.590938.885(

432

32

2

2

0;0 == x

0=B

W=525kg/m

Ry

Rx

V M

Ma

X


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Cuando

Finalmente tenemos que la ecuacin que determina la deflexin en cualquier punto es:

EI

xxxx 001.0)875.21875.196969.442( 432 ++=

Conclusiones

Despus de haber finalizado este trabajo podemos concluir:- Que el teorema de CASTIGLIANO es muy til para el desarrollo de cuerpos estticamente

indeterminados ya que basndose en la energa potencial interna del cuerpo hallamos las diferentesincgnitas.

-

Hemos calculado los esfuerzos cortantes los cuales nos determinan el acero transversal se colocantanto en columnas como en vigas.- Tambin se clculo los momentos flectores los cuales determinan el acero longitudinal que se

coloca tanto en columnas como en vigas.- El clculo de la deflexin en la viga por el mtodo de doble integracin nos da el expresado en una

ecuacin con la cual podemos saber el valor de la deflexin en cualquier punto de la viga.

Bibliografa

Cervera Ruiz,M y Blanco Diaz,E.(2002). Mecanica de Materiales-Metodos de Analisis. SegundaEdicion. Edicions UPC. Barcelona-Espaa.

Ortiz Berrocal,Luis.(1998). Resistencia de Materiales.McGra-Hill.Madrid-Espaa. Timoshenko.S.(1957). Resistencia de Materiales. Espasa-Galpa S.A. Madrid-Espaa. Vsquez Fernndez, Manuel(1994). Resistencia de Materiales. Tercera Edicion. Editorial Noela.

Madrid-Espaa. Beer, Ferdinand P.; Johnston, E. Rusell Jr & DeWolf, John T.(2003). Mecnica de Materiales.

Tercera Edicin. McGra-Hill.Madrid-Espaa.

Autores:Olano Facundo Tulio H.Paico Saavedra Segundo [email protected]

Tirado Morales Vctor E.Curso: Resistencia de MaterialesDocente: Ing. Alejandro Vera LzaroChiclayo, Marzo del 2009

UNIVERSIDAD CATLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJOFACULTAD DE INGENIERAESCUELA DE INGENIERA CIVIL Y AMBIENTAL

0;5.4 == x

001.0=A
mailto:[email protected]:[email protected]

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