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Analisi incrementale di travi e telai EPP:

Il diagramma Momento-Curvatura

Ipotesi di Eulero-Bernoulli: sezione trasversale rimane piana,

normale all’asse inflesso della trave � γγγγ=0, scorrimento nullo

Il diagramma Momento-Curvatura

Deformazione

nella fibra in

posizione y

χ=θ==ε ydz

dy

dz

)y(du)y(

curvatureofradiusR

curvatureR

1=χ

Momento flettente dAy)y(MA∫σ=A

modello elastico

perfettamente plastico EPP

εεεεel= deformazione

limite elastica

Cerniera plastica in sezione rettangolare

ε=χy σ=Eχy

Deforma

zione

Stress

Stato

elastico

Stress

Stato

Elasto-

plastico

Stress

Sezione

totalmente

plasticizzata

hE

2

h

2

2

hmax 0el

elel

σ=ε=χ<χ⇒ε<χ=ε

χ=χ=⇒χ=σ ∫−

2/h

2/h

JEydyyEbMyE

Fase elastica


Momento di inerzia della sezione trasversale rispetto dAyJ

A

2

∫= Momento di inerzia della sezione trasversale rispetto

all’asse orizzontale baricentrico x

12

bhJ

3

= Sezione rettangolare

⇒χ=χ elSnervamento all’intradosso ed estradosso

⇒σ=σ=χ=χ bhJ2

EJ)(M2

00momento limite

Limite Elastico

⇒σ=σ=χ=χ

6

bh

h

J2EJ)(M 00

elelel momento limite

Elastico

el0el

2

el WM6

bhW σ=⇒= Modulo Elastico Wel

elelM

M

χχ=

Legge costitutiva adimensionalizzata

Eh

2 0el

σ=χ>χ

Alla fibra y=d

Fase elasto-plastica

χχ=

χσ=⇒

σ=ε=χ⇒ε=ε el00elel 2

h

Ed

Ed)d(

χχ= el

2

1

h

d

braccio=2*(d+1/2(h/2-d))

Braccio=2*(2/3d)

Risultante=

σ0*(h/2-d)

=

σ+χ= ∫∫2/hd

2 dyydyyEb2M


Risultante=

σ0*d/2

χχ−=

−σ=

=

−+

−σ+σ

=

σ+χ= ∫∫

2

elel

220

00

d

0

0

2

2

1

2

3M

h

d2

2

3

6

bh

d2

h

2

1dd

2

hd

3

2d

2

1b2

dyydyyEb2M

χχ−=

2

el

el 3

11

2

3

M

M

el0 M2

3MMlim ==∞→χ


Quando la curvatura diventa infinita, il

momento flettente tende ad un valore

limite che rappresenta il momento

limite plastico o di snervamento M0


χ>χχ≤χ

χχ−

χχ

=el

el2

el

el

el ||

||

3

11

2

3M

M


Modulo plastico

00

200

0 W4

bh

2

h

2

bhM σ=σ=σ= Sezione rettangolare

4

bhydAydAW

2

AA

0 =−= ∫∫−+


M0 ed Mel dipendono linearmente dallo stress di snervamento σσσσ0

cosicchè il loro rapporto M0/Mel dipende solo dalla forma della

sezione, ovvero da un fattore di forma αααα

Analisi incrementale di una trave EP appoggiata

z


M(z)=P/2*z

Il momento massimo per un qualunque

P è M=P/2*ℓ/2

Aumentando P fino a Pel si raggiungerà

in ℓ/2 il momento limite elastico

Mel= Pel /2*ℓ/2 cui corrisponde

Pel= 4Mel/ℓ

z


Pel= 4Mel/ℓ

Risposta elastica finchè M=Pℓ/4<=Mel

EJ12

M

EJ48

Pv,

EJ48

Pv

2el

3el

el

3lll ===

elel P

P

v

v =

Il momento massimo per un qualunque

P è M=P/2*ℓ/2

Aumentando P fino a Pel si raggiungerà

il momento limite elastico

Mel= Pel /2*ℓ/2z


M(z)=P/2*z

Mel=Pel/2*ℓ/2

M/Mel=(P/Pel)z*2/ℓ

Poichè

z


χ>χχ≤χ

χχ−

χχ

=el

el2

el

el

el ||

||

3

11

2

3M

M

Invertendo

<≤≤

−=

−

=

=χχ

0el

el

elel

elel

el MMM

MM

PPz

43

1

MM

23

1P

Pz2

M

M

l

l


= Pz2M

*

<≤≤

−=

−

=

=χχ

0el

el

elel

elel

el MMM

MM

PPz

43

1

MM

23

1P

Pz2

M

M

l

l


Leone Corradi, Vol II pag 62

Sezioni monosimmetriche

A-

A+

la posizione dell’asse neutro dipende dalla geometria della sezione

Risposta sezione totalmente plasticizzata

Momento plastico

2/AAA0dAdANA

0

A

0 ==⇒=σ−σ= −+∫∫

−+

)tAtA(M 0p−−++ +σ=

Mono-symmetric sections

I-Section

Tensioni residue allo scarico

Cerniera plastica



Cerniera plastica

L’effetto della curvatura plastica su una porzione limitata δ della

trave viene messo in conto attraverso un dispositivo chiamato

cerniera plastica

In corrispondenza della cerniera plastica si ammette una rotazione

relativa regolata dalla legge M-θ θ θ θ di un modello rigido plastico

Cerniera plastica

Le coppie M0 hanno verso opposto rispetto alla

rotazione relativa

La dissipazione in una cerniera plastica si scrive come

θ= &0MD

Analisi Incrementale di travi e telai

Elasto Plastici Perfetti

•Legame Momento curvatura M=Ejχχχχ

•Rigidezza infinita nei confronti dello sforzo normale e

del taglio

•Attivazione di una cerniera rigido plastica•Attivazione di una cerniera rigido plastica

•Funzione di snervamento φφφφ=|M|-M0<=0

•Leggi di flusso

0,M

≥λλ∂

φ∂=θ &&&

Travi isostatiche

Analisi incrementale di travi e telai EPP

Esempio: telaio 3 volte iperstatico

1/12Pℓ


1- risposta elastica

el0 µ≤µ≤

ll

l

0

0el00el

0elel

0elel

P

M6MP

6

1

PP

MP6

1M

=µ⇒=µ

µ=

==


2- cerniera plastica sezione E

2el µ≤µ≤µ


Tra tutti i moltiplicatori µµµµ prendiamo quello che verifica la condizione di

plasticizzazione in C e D


3- cerniere plastiche nelle sezioni E,C,D, valutiamo il

moltiplicatore di collasso µµµµ3

µµµµ3

Vc= µµµµ3 P0/2=4M0/ℓ quindi µµµµ3 =8M0/(P0ℓ)

Con 3 cerniere plastiche si ha il collasso (meccanismo parziale) dato che las

truttura è affetta da un cinematismo


Inoltre, variazioni dela rigidezza elsatica influenzano la risposta

elsato-plastica ma non alterano il moltiplicatore di collasso µµµµc

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