Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i...

Si raccolgono qui temi d’esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni2003-2014 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza.Il materiale e stato reso disponibile dai docenti che hanno tenuto i corsi.

Si inseriscono prima esercizi di autovalutazione. I temi d’esame sono poiordinati dai piu recenti ai meno recenti. Ci sono alcune tracce di soluzione.

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gliesercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati.

Contenuto :

Test autovalutazione 2008 Pag. 2Test autovalutazione 2007 Pag. 5Test autovalutazione 2006 Pag. 8Esercizi d’autovalutazione Pag. 10Temi d’esame 2013-14 Pag. 29Temi d’esame 2012-13 Pag. 53Temi d’esame 2011-12 Pag. 77Temi d’esame 2010-11 Pag. 99

Temi d’esame 2009-10 Pag. 117Temi d’esame 2008-09 Pag. 140Temi d’esame 2007-08 Pag. 153Temi d’esame 2006-07 Pag. 157Temi d’esame 2005-06 Pag. 165Temi d’esame 2004-05 Pag. 174Temi d’esame 2003-04 Pag. 177

1

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta

Prova di autovalutazione di Analisi Matematica 1, parte A

Vicenza, 4 dicembre 2008

ATTENZIONE:

• l’Es. 4 e facoltativo (la valutazione complessiva dei primi 3 esercizi e28/30)

• Tempo assegnato: 2 ore e 1/2 per svolgere gli esercizi 1,2,3; 3 ore persvolgere gli esercizi 1,2, 3 e 4.

Esercizio 1 Si consideri la funzione

f(x) = arccos |ex − 1|(a) Determinare il dominio e il segno di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativoe assoluto di f .

(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi.

(e) Studiare convessita e flessi di f .

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.

Esercizio 2 Si consideri la successione

an =2n2 arctan

(1√n

)− 4n arctann+

√n log(1 + 2n)

n2 cosn− 3n2

1

(a) Calcolare limn→+∞ an

(b) Determinare, se esiste, l’ordine di infinitesimo (o infinito) di an.

Esercizio 3 Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

limx→0

2x2−x − 2x + 2(log 2)x+ x3 sin(1x

)

sin(αx2) + (cos x− 1)2 + e−3/x2 .

Esercizio 4 (Facoltativo) Determinare il valore dei parametri a, b realiaffinche la funzione seguente:

f(x) =

{sinx+cosx−ex2/2

2xx > 0,

2aex − 3bx x ≤ 0

(a) sia continua in IR;

(b) sia di classe C1 in IR.

2

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini. P. Mannucci, C. Marchi e e M. Motta

Prova di autovalutazione di Analisi Matematica 1, orale

Vicenza, 4 dicembre 2008.

TEMA 1

[1] Dare le definizioni precise di massimo, minimo, estremo superiore edestremo inferiore ed enunciarne le proprieta principali.

[2] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.

[3] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (enunciatoe dimostrazione).

TEMA 2

[1] Definizione di limx→−∞ f(x) = −1

[2] Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Enunciare edimostrare il Teorema di derivazione della funzione composta.

[3] Definizione di polinomio di Taylor ed enunciato e dimostrazione dellaFormula di Taylor con il resto di Peano.

1

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini e M. Motta

Prova di autovalutazione di Matematica A, parte A

Vicenza, 15 novembre 2007.Esercizio 1 Si consideri la funzione

f(x) = log(e2x − 5ex + 6

)− |x|

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie eperiodicita (non e richiesto lo studio del segno).




(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non erichiesto lo studio di f ′′)

Esercizio 2 Si consideri il seguente polinomio

P (z) = z3 + (4 + 3i)z2 + (12i+ 3)z + 9i

(a) Verificare che z = −1 e radice di P (z)

(b) Determinarne le altre radici.

(c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ⊆ C di tutti inumeri complessi che soddisfano la seguente disequazione:

∣∣∣∣∣P (z)

(z + 1)(z + 3)

∣∣∣∣∣ ≤ |z + Im(z) + 3i|.

1

Esercizio 3

(a) Calcolare il limite

limx→0+

8x6− log(1+x)

x7

sin2(x)x8− 2 log6

(1 + 1

x

) .

(b) Calcolare per ogni valore reale del parametro α il limite

limx→0−

2e3x − 6 tan(x) + αx2 − 2

6 arcsin(x+ x3)− 6x− 6x3.

(c) Determinare il valore del parametro reale α per cui la funzione

f(x) =

2e3x−6 tan(x)+αx2−26 arcsin(x+x3)−6x−6x3 per x < 0

8x6− log(1+x)

x7

sin2(x)

x8−2 log6(1+ 1

x)per x > 0

risulta prolungabile per continuita in x = 0.

2

Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaProf. F. Albertini e M. Motta

Prova di autovalutazione di Matematica A, parte B

Vicenza, 15 novembre 2007.

TEMA 1

[1] Dare la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva e di insiemeimmagine e insieme antimmagine di un dato insieme tramite f . Fornirequalche esempio.

[2] Dare la definizione di primitiva di una funzione f e di funzione integraledi f . Enunciare con precisione e dimostrare il fatto che ”tutte le primitivedifferiscono al piu per una costante”.

[3] Enunciare e dimostrare il Teorema (o Criterio) di monotonia per lefunzioni derivabili.

TEMA 2

[1] Definizione di limite di successione (finito e infinito) e di successione in-determinata. Enunciare e dimostrare il Teorema sul limite di una successioneinfinitesima per una limitata.

[2] Dare la definizione di limite finito di una funzione per x tendente ad x0reale tramite le successioni e con gli intorni (ε, δ). Enunciare il Teorema diequivalenza tra le due definizioni (senza dimostrazione).

[3] Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.

1

Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 15 novembre 2006.

1. i) Risolvere la seguente equazione in C:

(|z| − i)(z2 − 2z + 6i− 7)(z + 1) = 0.

ii) Determinare, al variare di α ∈ R, l’insieme di definizione della seguente funzionedi variabile complessa

f(z) =z − α

(|z| − i)(z2 − 2z + 6i− 7)(z + 1).

2. Considerando

f(x) =

{ax+ b se x ≥ 0

sin(x4−x)x se x < 0,

determinare i parametri reali a e b in modo che la funzione sia continua e derivabilenel proprio dominio.

3. Data la funzione f(x) = log x+arctg x, determinarne il dominio e l’immagine;si assuma f definita su tali insiemi. i) Provare che la funzione f e invertibile. ii) De-notata con f−1 la relativa funzione inversa, calcolare Df−1(π/4).

4. Trovare dominio, segno, asintoti, intervalli di monotonia della funzione f(x) =√4x2 + 3x− 2x.5. Calcolare il limite seguente, al variare di a ∈ R:

limx→0+

eax2 − ax2 − 1 + x2 log(cosx)

2x5 sin(1x

)+ x2 − x sinx

.

Cognome Nome Matricola

Prova di autovalutazione per l’ orale di Matematica A

Vicenza, novembre 2006.

TEMA 1

[1] Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore: definizioni e proprieta. Teoremadi esistenza dell’estremo superiore (con dim.)

[1] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (con dim.).

[3] Enunciato e dimostrazione del Teorema sul limite di funzioni composte.

TEMA 2

[1] Successioni monotone e loro proprieta (con dim.)

[2] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri.

[3] Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

Alcuni esercizi sui primi argomenti di Matematica A.1. Siano date due funzioni g : A → B e f : B → C. Dimostrare che se f ◦ g e

iniettiva, allora g e iniettiva. Dimostrare anche che se f ◦g e iniettiva e g e suriettiva,allora f e iniettiva.

2. Si consideri la funzionef(x) =

x

1 + |x| .

Dimostrare che f(x) e dispari, strettamente crescente e f(R) = (−1, 1). Dimostrareche f : R→ (−1, 1) e biiettiva. Trovare la funzione inversa di f .

3. Trovare, se esistono, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore degliinsiemi seguenti:

{n

n+ 1|n ∈ N∗

},

{1

n+ (−1)n|n ∈ N∗

},

{2n

n2 + 1|n ∈ N∗

},

{p2| p ∈ Z

},

{arcsin

(1

n2 + 1

)|n ∈ N∗

},{2− 1

n2−4n+2 |n ∈ N∗}.

4. Trovare la funzione inversa di h(x) = sin(x+ π) (x ∈[−π

2 ,π2

]).

5. Trovare il dominio di g(x) = arccos |x3 − 1/2|.

Esercizi sui numeri complessi1. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (1− i)3.2. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (−1 + 2i)(−1− 2i).3. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = 1− i.4. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = −1 + i

√3.

5. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (1− i)37.6. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = (−1 + i

√3)10.

7. Esprimere in forma algebrica il numero complesso

α = 1 +4− i

1 + 2i.


α =i(2− i)

5i− 1.

9. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = (1−i)5(−1+i√3).

10. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = (1 − i)5/(−1 +i√3).11. Esprimere in forma algebrica il numero complesso

α =

{2(cos(23π)+ i sin

(23π))}3

3(cos(π6

)+ i sin

(π6

)) .


α =

{2

(cos

(2

3π

)+ i sin

(2

3π

))}3

3(cos(π6

)+ i sin

(π6

)).

13. Esprimere in forma algebrica il numero complesso (1/i)4.

14. Esprimere in forma algebrica il numero complesso(

1+i1−i

)3.

15. Risolvere l’equazione complessa z3 = −8.16. Risolvere l’equazione complessa iz3 + 1 = 0.17. Risolvere l’equazione complessa z2 = −1− i

√3.

18. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 = −√3−

i.19. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa iz2 − 2z +

3i = 0.20. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 − (2 +

4i)z + 4i− 12 = 0.21. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa iz2 +2z −

2√2 = 0.22. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z2 − 2z +

6(1− 2i) = 0.

23. Determinare un numero complesso z tale che ez = 12 − i

√32 .

24. Esprimere in forma algebrica il numero complesso z = elog 2+i 34π.

25. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z3 = (2 +3i)3.

26. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione complessa z4 = (3 +4i)4.

Gli esercizi sui numeri complessi sono tratti da (e, in parte, svolti in): C. Zanella,Geometria – Teoria ed Esercizi, Esculapio, Bologna, 2002.

MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 2(giustificare le risposte)

Vicenza, ottobre 2007.

Funzioni e numeri complessi

1. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arccos(|x+ 1| − 6)− π/3.

2. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzione

f(x) = arcsin(

1cosh(sinx)

).

3. Determinare dominio e segno della funzionef(x) = arctan

(√4e2x − 9ex + 2− 2ex

).

4. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzionef(x) = log

(4 sinh2 x− 5 sinhx+ 1

).

5. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicita della funzione

f(x) = log(sinx)sinx−1

.

6. Data la funzione f(x) = 2x2 − x:a) determinare f(R), f([1/2,+∞[), f−1([0,+∞[),b) dire se f e iniettiva;c) dire se f e suriettiva;d) dire se f ha una restrizione biunivoca sull’immagine e determinarla in caso affermativo.

7. Risolvere le equazioni:

iz2 − 2z − 2− i = 0 iz2 − 2z − 2− i = 0

nell’insieme dei numeri complessi.

8. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’insieme

E ={z ∈ C : (Re(z) + 3)3 (|z + (1 + i)| − 5)2 = 0

}.

9. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’insieme

E =

{z ∈ C :

∣∣∣∣∣|z|2 − i

√5

z2 + 2i

∣∣∣∣∣ > 1

}.

10. (a) Determinare al variare di a ∈ IR le soluzioni complesse di

z2 + z2 − 2|z|2 + i(z − z) + 2z = i− a.(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’ insieme

A ={z ∈ C :

∣∣z2 − (z)2∣∣+ 2zz ≤ 8

}.

(c) Determinare i valori di a ∈ IR per i quali risulta non vuota l’ intersezione tra l’ insiemedelle soluzioni trovate nel punto (a) e l’ insieme A del punto (b).

11. Determinare l’insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguente disequazione:∣∣∣∣

z

z + iRez

∣∣∣∣ ≥ 1.

Disegnare A nel piano complesso.



Complessi e limiti di successione

1. Determinare l’insieme degli z complessi tali che|z − 1− 2i| ≤ |z + 1 + 2i||z + 2 + i| ≤ |z − 2− i|Re (iz2 − iz2) ≤ 4.

2. Determinare l’insieme degli z complessi tali che{

log (log(|z + 3|2 − zz)) >∣∣ z+1z+i

∣∣z2 = |z|2i.

3. Determinare l’insieme degli z complessi tali che

z3 = |z|3 2i log(|z|).

4. Calcolare i limiti seguenti:

1. limn

(−1)n cos2 n

n; 2. lim

n

1 + (a− 1)n3 − n sinn + n2 sin(1/n)

log4 n +√n2 + 1

(a 6= 1);

3. limn

n

√nn

n!( usare: lim

n

n√an = lim

n

an+1

anse ∃ il secondo); 4. lim

n

4n + an

n22n + 5n(a > 0);

5. limn

n2 log(1 + 1

n

)+ en sinn + 2

13n logn

n5 − n5 sinn + nn3/2; 6. lim

n

(−1)n−1 − 2

(−1)n − 2.



Limiti di successione e di funzione

1. Calcolare:

limn

nn

en2 .

2. Calcolare:

limn

na − cosn

3n2 − n2 sin(n3) + sin(√n)

per a = 1 e per a = 3.

3. Calcolare:

limn

n√n + (

√n)n

2n+√n

.

4. Calcolare:

limn

(1 +

1√n

)(n1/3 sinn+(−1)n).

5. Calcolare:

limx→π−

√1 + sin x−

√1− sinx

1− cos2 x.

6. Calcolare:lim

x→−∞

(√3x2 − x−

√3x2 + x+ 1

).

7. Calcolare:

limx→+∞

1 + 3 sinx− x sin(2x)

x2 − 1.

Limiti di successione e di funzione (da appelli)

1. Calcolare il limite seguente:

limn→+∞

5n!−√

5n2+n3

n3 log(

1 + 1√n

)− 2n2 log(1 + n)

n−n3

.

2. Per ogni valore di α ∈ IR, determinare il seguente limite:

limx→0+

2x − sin(αx)− 1 + x3 sin 1x

1− cos(√x)− 1

2log(x+ 1)

.

3. Calcolare il limite della successione

an =1 + tan3

(1n

)− esin3( 1

n)

1n3+α

(esin

2( 2n) − e 1

n2

)

per n→ +∞ al variare del parametro α ∈ IR.

4. Calcolare il limite seguente al variare di a ∈ IR:

limx→+∞

(1x

)1/x − 2e1/x + cos(1x

)+ a

xlog(1x

)(√

1 + sinh(1x

)−√

1 + sin(1x

))1/3 .

MATEMATICA A, Cenni sulle soluzioni degli esercizi di autovalutazione bis, 4(ATTENZIONE: in un compito non basta scrivere come nel seguito, vanno giustificati tutti i

passaggi!)


Limiti di successione e di funzione

1.

limn

nn

en2 = limnen logn−n2

= 0.

2.

limn

na − cosn

3n2 − n2 sin(n3) + sin(√n)

= limn

na

n2(3− sin(n3))= lim

n

na−2

(3− sin(n3)).

Poiche 2 ≤ 3− sin(n3) ≤ 4, e dunque 1/4 ≤ 1/(3− sin(n3)) ≤ 1/3, per a = 1 il limite e 0 e pera = 3 e +∞.

3. (Svolto a lezione)

limn

n√n + (

√n)n

2n+√n

= +∞.

4.

limn

(1 +

1√n

)(n1/3 sinn+(−1)n)= lim

ne(n1/3 sinn+(−1)n) log

“1+ 1√

n

”,

dove per le asintoticita

limn

(n1/3 sinn+ (−1)n

)log

(1 +

1√n

)= lim

n

(n1/3 sinn+ (−1)n

) 1√n

=

limn

(sinn

n1/2−1/3 +(−1)n

n1/2

)= 0.

Quindi, risulta e0 = 1.


limx→π−

√1 + sin x−

√1− sinx

1− cos2 x= +∞.


limx→−∞

(√3x2 − x−

√3x2 + x+ 1

)=

√3

3.

7.

limx→+∞

1 + 3 sinx− x sin(2x)

x2 − 1= lim

x→+∞−x sin(2x)

x2= 0.

Limiti di successione e di funzione (da appelli)

1. Usando le scale (e giustificando gli ”o-piccolo” usati..)

limn→+∞

5n!−√

5n2+n3

n3 log(

1 + 1√n

)− 2n2 log(1 + n)

n−n3

= limn→+∞

−√

5n2+n3n−n

3

n3 log(

1 + 1√n

) = limn→+∞

−√

5n2

n3√n

= 0.

2. (Svolto a lezione: si una Mac-Laurin)

limx→0+

2x − sin(αx)− 1 + x3 sin 1x

1− cos(√x)− 1

2log(x+ 1)

.

Risulta: +∞ se α < log 2; −∞ se α > log 2; 125

log2 2 se α = log 2.

3. (Usando Mac-Laurin)

limn

1 + tan3(1n

)− esin3( 1

n)

1n3+α

(esin

2( 2n) − e 1

n2

) = limn

32

1n5

1n3+α

(3n2

) = limn

1

2nα,

perche

tan3

(1

n

)=

(1

n+

1

3

1

n3+ o

(1

n3

))3

=1

n3+

1

n5+ o

(1

n5

),

sin3

(1

n

)=

(1

n− 1

6

1

n3+ o

(1

n3

))3

=1

n3− 1

2

1

n5+ o

(1

n5

),

sin2

(2

n

)=

(2

n+ o

(1

n

))2

=4

n2+ o

(1

n2

),

e1n2 = 1 +

1

n2+

1

2

1

n4+ o

(1

n4

),

esin3( 1

n) = 1 + sin3

(1

n

)+

1

2sin6

(1

n

)+ o

(sin6

(1

n

))= 1 +

1

n3− 1

2

1

n5+ o

(1

n5

).

esin2( 2

n) = 1 + sin2

(2

n

)+ o

(sin2

(2

n

))= 1 +

4

n2+ o

(1

n2

).

Risulta: +∞ se α > 0; 12

se α = 0; 0 se α < 0.

3. modificato Se si considera al posto dell’ es. 3 l’esercizio seguente

limn

1 + tan3(1n

)− esin3( 1

n)

1n3+α

(esin

2( 1n) − e 1

n2

) = limn

32

1n5

1n3+α

(−1

31n4

) = limn−9

2n2+α,

usando Mac-Laurin si ha quanto sopra, perche

tan3

(1

n

)=

(1

n+

1

3

1

n3+ o

(1

n3

))3

=1

n3+

1

n5+ o

(1

n5

),

sin3

(1

n

)=

(1

n− 1

6

1

n3+ o

(1

n3

))3

=1

n3− 1

2

1

n5+ o

(1

n5

),

sin2

(1

n

)=

(1

n− 1

6

1

n3+ o

(1

n3

))2

=1

n2− 1

3

1

n4+ o

(1

n4

),

e1n2 = 1 +

1

n2+

1

2

1

n4+ o

(1

n4

),

esin3( 1

n) = 1 + sin3

(1

n

)+

1

2sin6

(1

n

)+ o

(sin6

(1

n

))= 1 +

1

n3− 1

2

1

n5+ o

(1

n5

).

esin2( 1

n) = 1 + sin2

(1

n

)+

1

2sin4

(1

n

)+ o

(sin4

(1

n

))= 1 +

1

n2− 1

3

1

n4+

1

2

1

n4+ o

(1

n4

).

Risulta: −∞ se α > −2; −92

se α = −2; 0 se α < −2.

4. (Si usa Mac-Laurin, dopo la sost. y = 1/x)

L = limx→+∞

(1x

)1/x − 2e1/x + cos(1x

)+ a

xlog(1x

)(√

1 + sinh(1x

)−√

1 + sin(1x

))1/3 = limy→0+

yy − 2ey + cos (y) + ay log (y)(√

1 + sinh (y)−√

1 + sin (y))1/3

dove

yy = ey log y = 1 + y log y +1

2y2 log2 y + o(y2 log2 y) ( perche y log y → 0..),

√1 + sinh (y) = 1+

1

2sinh y−1

8sinh2 y+

1

16sinh3 y+o(sinh3 y) = 1+

1

2

(y +

1

6y3)−1

8y2+

1

16y3+o(y3)

√1 + sin (y) = 1+

1

2sin y−1

8sin2 y+

1

16sin3 y+o(sin3 y) = 1+

1

2

(y − 1

6y3)−1

8y2+

1

16y3+o(y3).

Quindi

L = limy→0+

(1 + a)y log y − 2y + o(y)(

112y3 + 1

12y3 + o(y3)

)1/3 = limy→0+

(1 + a)y log y − 2y13√6y

e risulta −∞ se a > −1; +∞ se a < −1; −2 3√

6 se a = −1.



Studi di funzione

1. Studiare la funzionef(x) = xe

1|2x|−1

(Dominio, segno, eventuali simmetrie, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e deriv-abilita, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali at-tacchi di f ′, abbozzo del grafico. Non e richiesto lo studio di f ′′.)

2. Studiare la funzionef(x) = |x2 − 4|e x

|x+2|


3. Si consideri la funzionef(x) = log

(x+ 1 + e|x+1|)

(a) Determinare il dominio di f , il segno di f ed eventuali simmetrie.


(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .

(d) Calcolare i limiti di f ′, se significativi e disegnare un grafico qualitativo di f .

(e) (facoltativo) Studiare concavita e convessita della funzione f .

4. Si consideri la funzionef(x) = (cos x)3−

1cos x

(a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie e periodicita di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti.


(d) Calcolare i limiti di f ′ se significativi.

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto IR). (Non e richiesto lo studio di f ′′)

5. Si consideri la funzionef(x) = sin

(π2− x)etanx

(a) Determinare il dominio di f , il segno di f, eventuali simmetrie e periodicita.




(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non e richiesto lo studio di f ′′)

6. Si consideri la funzione

f(x) = arctan

(x+ 1

x− 1+ log(x2)

).





(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f ′′)

7. Completare lo studio delle funzioni da 1. a 5. assegnate nel foglio di autovalutazione 2(dove erano richiesti solo lo studio del dominio e del segno).



Esercizi sugli integrali e sugli integrali impropri

1. Per x > 0 si consideri la funzione integrale

F (x) =

∫ x

1

2 + sin√|t|

|t|1/3 dt.

i) Dire se F si prolunga per continuita in x = 0. ii) Calcolare il limx→+∞ F (x). iii) CalcolareF ′(1). iii) Dire se F e invertibile in ]0,+∞[ e in caso affermativo calcolare D[F−1](0).

2. Data la funzione integrale

g(x) =

∫ x

0

sinh(t3)

5 + t4dt

i) determinare l’ordine di infinitesimo di g per x → 0+ (significa: determinare α ∈ IR tale che

limx→0+g(x)xα

= L, con L numero reale non nullo.)ii) Calcolare il limx→+∞ g(x) e il limx→−∞ g(x).iii) Scrivere due termini non nulli dello sviluppo di Mac-Laurin di g.

3. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale:∫ 1

0

xα

ex − 1dx.

4. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale:∫ +∞

1

logα(x+ 2)√x2 − 1

dx.

Raccolta di esercizi da appelli

1 (a) Dire per quali α ∈ IR esiste finito l’integrale seguente:

∫ √π/2

0

xα sin(x2) + | log(xα−1)|(1− cos(x2))

78α

dx

e giustificare la risposta.

(b) Calcolare l’integrale per α = 1.

2 Determinare la primitiva F : IR→ IR della funzione

f(x) =

cosx2(1+sin2 x)

x ≤ 0

x+12x2+5x+2

x > 0,

tale che F (1) = 0.

3 Determinare tutti gli α ∈ IR e β > 0 per i quali e convergente l’integrale generalizzato∫ +∞

0

| sinhx− α sinx|x2βx

dx.

4 Data la funzione integrale

F (x) =

∫ x

0

[log(1 + t2)− arctan(ta)

]dt,

(a) calcolare al variare del parametro a > 0 il limite seguente

limx→0+

F (x)

x3.

(b) Calcolare il valore F (1) per a = 1.



Esercizi sulle serie

1. Determinare il carattere della serie

∞∑

n=1

3n(

1− 1

n3/2

)n5/2

.

2. Dire per quali α ≥ 0 converge la seguente serie

∞∑

n=1

n2n + 5n

αn + 3n.

3. Data la serie ∞∑

n=1

(−1)n1

nαarctan

3√n,

• dire per quali α ∈ IR converge assolutamente;

• discutere la convergenza per α = 1/2.

4. Dire se la serie+∞∑

n=1

e1/n(cosh 1n3 − 1)

sin 1n4/3 − 1

n4/3

converge assolutamente e se converge.

5. Studiare la convergenza della serie

∞∑

n=1

(1− 1

2n

)5n2

.

6. Discutere la convergenza della serie

∞∑

n=1

[9n3

(1

n− sin

1

n

)]n.



Esercizi sulle equazioni differenziali

1. Si consideri l’equazione differenziale

αy′′(t) + 2y′(t) +α

2y(t) = 0.

i) Determinare l’integrale generale per ogni valore del parametro α ≥ 0. Dire per quali valoridei parametri le soluzioni sono tutte: i) periodiche; ii) limitate in [0,+∞[. iii) Determinare, seesistono, i valori di α ≥ 0 per cui esiste almeno una soluzione dell’equazione differenziale tale

che et√3y(t) risulta illimitata in [0,+∞[.

2. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

y′(t) +2 y(t)

sin(2t)= sin t+ cos t.


y′(t) + 2ty(t) = te−t2

.


y′′(t) + y′(t) = t+ sin t.

5. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l’equazione differenziale

y′′′(t)− αy′(t) = sin t

ammette almeno una soluzione y tale che limt→−∞ y(t) = −∞. Determinare l’insieme di talisoluzioni.

6. Per quali valori del parametro λ > 0 la soluzione y(t) di{ −y′′(t) = λy(t)

y(0) = 0, y′(0) =√λ

verifica la condizione y(π) = 0? Fra queste soluzioni ne esiste una strettamente positiva in]0, π[?

7. Si consideri il problema di Cauchy

y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = sin t

y(0) = α, y′(0) = β

i) Trovare una soluzione nel caso α = β = 0. ii) Dire se esistono α, β reali tali da rendere lasoluzione periodica.

8. Risolvere il problema di Cauchy

y′(t) =√

1+y(t)1+t2

y(0) = 2

9. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l’equazione differenziale

2y′′(t) + y′(t) +α

2y(t) = te−t

ammette almeno una soluzione y(t) tale che limt→+∞ y(t) = +∞. Determinare l’insieme di talisoluzioni.

Raccolta di esercizi da appelli

1 Si consideri l’equazione differenziale

y′′(x)− y′(x)− αy(x) = cos x− ex/2 sinx.

(a) Determinare l’ integrale generale dell’equazione differenziale ∀α ∈ IR (Non si richiede dicalcolare esplicitamente le costanti delle soluzioni particolari).

(b) Determinare i valori di α ∈ IR per cui esiste una soluzione y(x) dell’equazione differenzialetale che la funzione e−x/2y(x) sia illimitata in [0,+∞[.

2 Determinare l’integrale generale dell’ equazione differenziale

y′′′(x) +2x

1 + x2y′′(x) = x.

3 (a) Risolvere al variare del parametro a ∈ IR l’equazione differenziale

y′′(x)− 2ay′(x) + 4y(x) = e2x.

(b) Dire per quali valori di a ∈ IR si ha

limx→−∞

y(x) = 0

per ogni soluzione y(x) dell’equazione data.

4 Per ogni α ∈ IR si consideri la seguente equazione differenziale:

αy′′ − 3y = xex.

(a) Determinare la soluzione per ogni valore di α.

(b) Dire per quali valori del parametro α esistono soluzioni y(x) tali che

limx→+∞

y(x)

xex∈ IR.

Esercizi sulle equazioni differenziali

1) Calcolare la soluzione del problema di Cauchy

y′ =y2 − 9

6t sin(4t)

y(0) = 1

2) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy

y′ =1

16− x4− 2x

4 + x2y,

y(0) = 2.

3)Data l’equazione differenziale

y′ = (y + 2)(y + 1) tanx,

a) se ne trovino tutte le soluzioni costanti,b) se ne trovi (esplicitamente) la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(π) = 2.

4) Trovare la soluzione del problema di Cauchy

y′ =y2 − 3y − 4

3x2 + 1

y(0) = 5

5)Calcolare l’integrale generale della seguente equazione differenziale

y′′ + 4y′ + 4y = 4t2.

6) Date l’equazione differenziale

(1) y′′ + 2y′ + y = e−x

e la funzione ϕ(x) = ax2e−x (a ∈ IR),a) si determini a in modo che ϕ sia soluzione di (1);b) si determini la soluzione che soddisfa le condizioni y(0) = 0 e y′(0) = 1.

7) Trovare l’integrale generale di

y′′ − 2y′ + 4y = − sin(√3t).

Facoltativo: determinare tutte le soluzioni periodiche.

8)Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

y′ +2

xy =

1

x2· sin 2x(1 + tan2 x)

3 sin 2x+ 4 cos 2xy(−π/4) = 0

9) Determinare α ∈ IR tale che la funzione ϕ(x) = α tanx sia soluzione dell’equazionedifferenziale

y′′ + y′ − 2y = 2 tan3 x+ tan2 x+ 1; (1)

Determinare poi la soluzione di (1) che soddisfa le condizioni y(0) = 0, y′(0) = 2.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 16 settembre 2014

TEMA


f(x) = log

✓sin(2x) +

1

2

◆

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie o periodicita ed il segno di f ;

(b) determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare f per continuita;

(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f . Calcolare i limiti di f 0 sesignificativi;

(d) disegnare un grafico qualitativo di f .

(e) Facoltativo: calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.

Svolgimento:a) La funzione e periodica di periodo ⇡ infatti f(x + ⇡) = f(x), quindi la studieremo in [0,⇡].Dominio: dobbiamo risolvere la disequazione sin(2x) + 1/2 > 0 che, in [0,⇡], ha come soluzioni[0, 7

12⇡) [ (1112⇡,⇡] e in tutto R il dominio e [k⇡, 7

12⇡ + k⇡) [ (1112⇡ + k⇡, 7

12⇡ + k⇡].Da ora in poi studieremo la funzione in D = [0, 7

12⇡) [ (1112⇡,⇡] e poi la estenderemo tenendo

conto della periodicita.Segno: f(x) > 0 se sin(2x) + 1/2 > 1, quindi sin(2x) > 1/2. Risolto in D si ottiene x 2 [ ⇡12 , 5

12⇡].b)i limiti significativi sono limx!( 7⇡

12) = �1, limx!( 11⇡

12) = �1.

Inoltre f(0) = f(⇡) = � log 2 < 0.c) La funzione dove e definita e continua e derivabile.

f 0(x) = 2 cos(2x)sin(2x)+1/2 , che si annulla in D solo se x = ⇡/4 (notare che 3

4⇡ non appartiene al dominio).

Quindi per i punti di D si ha che f e crescente in (0,⇡/4) decrescente in (⇡/4, 712⇡) e crescente

in (1112⇡,⇡). Quindi x = ⇡/4 e un punto di massimo relativo e dal segno della funzione si deduce

che e anche un punto di massimo assoluto con f(⇡/4) = log(3/2).Non ci sono limiti di f 0 significativi perche in x = 0 e in x = ⇡ la funzione e derivabile e si attaccaattraverso la sua periodicita.

Facoltativo: f 00(x) = � 4 cos2(2x)(sin(2x)+1/2)2

� 4 sin(2x)sin(2x)+1/2 = � 4

(sin(2x)+1/2)2(1+ 1

2 sin(2x)) da cui si osserva

che f 00(x) < 0 nel suo dominio, cioe la f e sempre concava.

12

34

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5


an = n↵(3 sin(1/n2) � log(1 + 3/n2))

(a) Discutere per quali ↵ 2 R la successione tende a zero.

(b) Discutere per quali ↵ 2 R converge la serieP+1

1 an.

Svolgimento: (cenno)

Poiche per x ! 0 vale:

log(1 + x) = x � x2

2+ o(x2), sin(x) = x + o(x2),

possiamo riscrivere la successione come:

an = n↵

✓3

1

n2+ o(

1

n4) � 3

n2+

9

2n4+ o(

1

n4))

◆,

an =9

2n4�↵+ o(

1

n4�↵).

(a)

Utilizzando lo sviluppo precedente abbiamo:

limn!+1

an = limn!+1

9

2n4�↵+ o(

1

n4�↵) =

8<:

0 ↵ < 492 ↵ = 4+1 ↵ > 4.

(b)

Se ↵ � 4 la serie non converge poiche non e infinitesima. Se ↵ < 4 la serie e asintotica allaserie armonica generalizzata con esponente 4 � ↵ che converge se e solo se

4 � ↵ > 1 ) ↵ < 3.

Esercizio 3 Data la funzione

f(x) =�x2 + 1

�e2x.

(a) Determinarne una primitiva

(b) Calcolare l’area della regione del piano definita da

A = {(x, y) 2 R2 | x 2 [0, 1], 1 y f(x).}.


(a)

Per trovare una primitiva di f determiniamoR

f(x)dx, che si calcola utilizzando la tecnicadi integrazione per parti per due passaggi.

Z �x2 + 1

�e2x =

1

2e2x�x2 + 1

�� 1

2

Ze2x(2x)dx =

e2x x2 + 1

2�Z

xe2x = e2x x2 + 1

2�1

2xe2x � 1

2

Ze2xdx

�=

e2x

x2 + 1 � x

2+

1

4

�+ cost.

Z �x2 + 1

�e2x = e2x 2x2 � 2x + 3

4+ cost.

(b) Si ha che f(0) = 1 e se x > 0 allora x2 + 1 > 1 e anche e2x > 1, da cui f(x) � 1 per ognix 2 [0, 1]. Quindi

Area A =

Z 1

0(f(x) � 1)dx =

Z 1

0f(x)dx �

Z 1

01dx = e2x 2x2 � 2x + 3

4

��1

0

� x��1

0=

e2

✓2 � 2 + 3

4

◆� 3

4� 1 =

3e2 � 7

4.

Esercizio 4 Si consideri la funzione di due variabili

f(x, y) =1

log( yx)

(a) Determinare il dominio di f e disegnarlo. Dire se e chiuso e limitato.

(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (1, e, f(1, e)), giustificando larisposta.

Svolgimento: (cenno) (a) Il dominio e

D = {(x, y) : x 6= 0, y/x > 0, log(y/x) 6= 0} = {(x, y) : (x, y > 0 o x, y < 0) e y 6= x}, cioeil primo ed il terzo quadrante esclusi gli assi e la prima bisettrice, y = x. D quindi e aperto eillimitato.

(b) (1, e) 2 D, dove f e continua e di↵erenziabile, perche composizione di funzioni derivabilicon derivate continue. Quindi esiste il piano tangente in (1, e, f(1, e)). Si ha: f(1, e) = 1/ log(e) =1 e le derivate parziali sono:

fx(x, y) = � 1

log2( yx)

x

y

⇣� y

x2

⌘=) fx(1, e) = 1,

fy(x, y) = � 1

log2( yx)

x

y

✓1

x

◆=) fx(1, e) = �1

e.

Quindi l’equazione del piano tangente richiesta e

z = 1 + x � 1 � y � e

e= x � y

e+ 1.


Vicenza, 8 luglio 2014

TEMA

Esercizio 1 (8 punti) Si consideri la funzione

f(x) = arcsin

✓ |2x � 2|x2 + 1

◆

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie ed il segno di f ;


(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f .

Facoltativo: Calcolare i limiti di f 0 se significativi;


Svolgimento: (cenno) a) Il dominio si ricava ponendo |2x � 2| x2 + 1, e si ha:

D = {x 2 R, x �1 �p

2, x � �1 +p

2}.

Non ci sono simmetrie. Poiche l’argomento della funzione arcsin e sempre maggiore o uguale azero, anche f � 0 sempre. Inoltre 0 f(x) ⇡/2, e f(1) = 0, mentre f(�1±

p2) = ⇡/2, quindi

x = 1 e punto di minimo assoluto e x = �1 ±p

2 sono punti di massimo assoluto per f .

b) limx!±1 f(x) = 0, quindi la retta y = 0 e asintoto orizzontale per x ! ±1.

c) La funzione e continua nel suo dominio.

Se x �1 �p

2 oppure �1 +p

2 x 1, f(x) = arcsin⇣�2x+2x2+1

⌘, quindi

f 0(x) =2x2 � 4x � 2

(x2 + 1)p

(x2 + 1)2 � (�2x + 2)2per x < �1 �

p2 o �1 +

p2 < x < 1 .

Si ha f 0(x) > 0 per x < �1 �p

2, quindi in questo intervallo la funzione e crescente, e f 0(x) < 0per �1 +

p2 < x < 1, dove quindi e decrescente.

Inoltre limx!�1�p

2 f 0(x) = +1, limx!�1+p

2 f 0(x) = �1, limx!1� f 0(x) = �1.

Se x � 1 si ha f(x) = arcsin⇣

2x�2x2+1

⌘, che da per x > 1

f 0(x) = � 2x2 � 4x � 2

(x2 + 1)p

(x2 + 1)2 � (�2x + 2)2.

Si ha che 1 < x < 1 +p

2, f 0(x) > 0, se x > 1 +p

2, f 0(x) < 0. Inoltre limx!1+ f 0(x) = 1.

Quindi x = 1 e un punto angoloso, e x = 1 +p

2 e un punto di massimo locale per f .

Out[6]=

-4

-2

24

0.5

1.0

1.5

Esercizio 2 (8 punti)(a) Calcolare l’integrale generalizzato

Z +1

1

1

x2 + 4x + 9dx.

(b) Dire per quali ↵ 2 R l’integrale

Z +1

1arctan

✓1

x2�↵

◆1

x2 + 4x + 9dx

converge.


(a) Si noti che x2 + 4x + 9 = 5 + (x + 2)2, da cui si ha:

Z +1

1

1

x2 + 4x + 9dx =

1

5

Z +1

1

1

1 +⇣

x+2p5

⌘2 dx =1

5lim

b!+1

p5 arctan

✓x + 2p

5

◆ ��b

1=

=

p5

5

✓⇡

2� arctan(

3p5)

◆.

(b) Si deve solo discutere l’integrabilita in +1. Si ha che:

- se 2 � ↵ > 0 allora limx!+1 arctan�

1x2�↵

�= 0,

-se ↵ = 2 allora arctan 1 = ⇡/4,

-se ↵ > 2 allora limx!+1 arctan�

1x2�↵

�= ⇡/2.

Nel primo caso (↵ < 2) la funzione integranda f(x) e f(x) ⇠ 1x4�↵ quindi e integrabile se

4 � ↵ > 1 che, in questo caso e sempre vero. Nel secondo caso (↵ = 2) f(x) ⇠ ⇡4x2 quindi e

integrabile. Nel terzo caso (↵ > 2) f(x) ⇠ ⇡2x2 quindi e integrabile.

OPPURE: Nel primo caso la funzione integranda della parte (b) e o-piccolo di quella dellaparte (a), quindi integrabile, nel secondo e nel terzo caso la funzione integranda della parte (b)e asintotica a quella della parte (a), quindi di nuovo integrabile.

OPPURE: 0 f(x) ⇡2

1x2+4x+9

⇠ ⇡2x2 per cui f e integrabile per ogni ↵ 2 R per il Teorema

del confronto.

Esercizio 3 (7 punti) Per ogni ↵ 2 R, calcolare il limite

limn!+1

↵n + (n2 � 4) log

✓n

n + 2

◆�.


Si ha: log⇣

nn+2

⌘= log

⇣1 + �2

n+2

⌘. Quando n ! +1, si ha �2

n+2 ! 0, quindi possiamo usare

lo sviluppo del logaritmo e scrivere:

log

✓1 +

�2

n + 2

◆=

�2

n + 2� 1

2

4

(n + 2)2+ o

✓1

(n + 2)2

◆.

Sostituendo lo sviluppo nel limite si ha:

limn!+1

↵n + (n + 2)(n � 2)

✓ �2

n + 2� 1

2

4

(n + 2)2+ o(

1

(n + 2)2)

◆�=

= limn!+1

↵n � 2(n � 2) � 2

(n � 2)

(n + 2)+ o(

n � 2

(n + 2)2)

�=

limn!+1

(↵� 2)n + 4 � 2

(n � 2)

(n + 2)+ o(

n � 2

(n + 2)2)

�=

8<:

+1 ↵ > 22 ↵ = 2

�1 ↵ < 2

(OPPURE: log⇣

nn+2

⌘= � log

�n+2

n

�= log

�1 + 2

n

�= � 2

n + 2n2 + o

�1n2

�...)

Esercizio 4 (7 punti) Si consideri la funzione di due variabili

f(x, y) =

rxy � 4

x2 + 4y2


(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (4, 2, f(4, 2)), giustificando larisposta.

Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, lim(x,y)!1 f(x, y).


(a) Il dominio e dato dalla condizione xy > 4, cioe il dominio sopra l’iperbole del primoquadrante e sotto quella del terzo. E un insieme aperto e illimitato.

(b) La funzione e di↵erenziabile nel suo dominio, quindi il piano tangente e definito dall’equazione

z = f(4, 2)) +@

@xf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

(x � 4) +@

@yf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

(y � 2).

Si ha:@

@xf(x, y) =

1

2

✓xy � 4

x2 + 4y2

◆�1/2 y(x2 + 4y2) � 2x(xy � 4)

(x2 + 4y2)2.

@

@yf(x, y) =

1

2

✓xy � 4

x2 + 4y2

◆�1/2 x(x2 + 4y2) � 8y(xy � 4)

(x2 + 4y2)2.

Quindi@

@xf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

=

p8

64,

@

@yf(x, y)

��(x,y)=(4,2)

=

p8

32.

Da cui il piano tangente risulta:

z =1p8

+

p8

64(x � 4) +

p8

32(y � 2).

Tempo: due ore. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti,

telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.



TEMA

Esercizio 1 (8 punti)

Si consideri la funzione

f(x) = arcsin

✓ |2 + 2x|1 + x2

◆



(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f .

Facoltativo: Calcolare i limiti di f 0 se significativi;


Esercizio 2 (8 punti)(a) Calcolare l’integrale generalizzato

Z +1

1

1

x2 + 6x + 14dx.

(b) Dire per quali ↵ 2 R l’integraleZ +1

1arctan

✓1

x3�↵

◆1

x2 + 6x + 14dx

converge.

Esercizio 3 (7 punti) Per ogni ↵ 2 R, calcolare il limite

limn!+1

↵n � (n2 � 9) log

✓n

n � 3

◆�.


f(x, y) = log

xy � 4

4x2 + y2

�


(b) Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f in (2, 4, f(2, 4)), giustificando larisposta.

Facoltativo: Determinare, se ha senso ed esiste, lim(x,y)!1 f(x, y).


telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.


Vicenza, 18 febbraio 2014

TEMA


f(x) = 2 arctan

✓3 � x

x + 2

◆� 2|x|

(a) Determinare il dominio ed eventuali simmetrie di f ; non e richiesto lo studio del segno di f ;



(d) disegnare un grafico qualitativo di f ;

(e) (Facoltativo) calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di concavita econvessita con eventuali punti di flesso.

Svolgimento: (cenno) a) Dominio={x 2 R, x 6= �2}. Non ci sono simmetrie.b) limx!�2� f(x) = �⇡ � 4, limx!�2+ f(x) = ⇡ � 4. La funzione non puo essere prolungata percontinuita in x = �2, dove c’e un salto.

limx!+1 f(x) = limx!+1 2 arctan⇣

3�xx+2

⌘� 2x = �1,

limx!+1f(x)

x = �2, limx!+1 f(x) + 2x = limx!+1 2 arctan⇣

3�xx+2

⌘= �⇡/2.

Quindi per x ! +1 la f(x) ha l’asintoto obliquo y = �2x � ⇡/2.Analogamente limx!�1 f(x) = �1 e procedendo come sopra si ottiene che y = 2x � ⇡/2 easintoto obliquo per f(x) quando x ! �1.

c) Se x > 0, si ha f 0(x) = 2⇣

�5(x+2)2+(3�x)2

� 1⌘, che e strettamente negativa per ogni x > 0.

Se x < 0, x 6= �2, si ha f 0(x) = 2⇣

�5(x+2)2+(3�x)2

+ 1⌘

= 2 2x2�2x+8(x+2)2+(3�x)2

che e sempre strettamente

positiva.Si ha: limx!0� f 0(x) = 16/13 e limx!0+ f 0(x) = �36/13Quindi x = 0 e un punto angoloso per f .La funzione f(x) e crescente negli intervalli (�1,�2) e (�2, 0), ha un punto di massimo relativoin x = 0 e poi e decrescente in (0, +1). La funzione non presenta minimo assoluto, mentre x = 0e anche massimo assoluto.Ha senso calcolare limx!�2+ f 0(x) = limx!�2� f 0(x) = 8/5.d) Per il grafico si veda il disegno.e) (Facoltativo) Si calcola facilmente che per x 6= 0 e x 6= �2, si ha f”(x) = 10 4x�2

[(x+2)2+(3�x)2]2, che

risulta positiva quando x > 1/2, quindi la funzione e concava negli intervalli (�1,�2), (�2, 0),e (0, 1/2), presenta un punto di flesso in x = 1/2 ed e convessa in (1/2, +1).

-20

-15

-10

-50

510

1520

-10-5510

Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro a � 0, la convergenza della serie

+1X

n=1

2n + log(n3) + n an

3n + cos n + 2.

Svolgimento: (cenno) Se a > 2 il numeratore del termine della serie e asintotico a nan, se a = 2il numeratore del termine della serie e asintotico a (1 + n)2n. Se a < 2 (anche se a < 1!) ilnumeratore e asintotico a 2n. Il denominatore e asintotico a 3n, quindi si ha chei) se a > 2 il termine della serie e asintotico a nan

3n e la serie corrispondente converge (usando ilcriterio della radice o del rapporto) se e solo se a < 3 (se a = 3 il termine della serie tende a +1e quindi la serie non converge).

ii) se a = 2 il termine della serie e asintotico a (1+n)2n

3n e la serie corrispondente converge (usandoil criterio della radice o del rapporto).iii) se a < 2 il termine della serie e asintotico a 2n

3n e la serie corrispondente converge perche euna serie geometrica con ragione q < 1.Quindi la serie converge per ogni 0 a < 3.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1/2

0earcsin(2x) dx

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin(2x)...).

(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1/2], �x y earcsin(2x)}.Svolgimento: (cenno) a) con la sostituzione t = arcsin(2x), poiche 2x = sin t, 2dx = cos t dt,integrando due volte per parti si ottiene:

Z 1/2

0earcsin(2x)dx =

1

2

Z ⇡/2

0et cos t dt =

1

2(et cos t|⇡/2

0 +

Z ⇡/2

0et sin t dt) =

=1

2(et cos t|⇡/2

0 + et sin t|⇡/20 �

Z ⇡/2

0et cos t dt).

Quindi si ottiene a destra lo stesso integrale (in t) che abbiamo a sinistra e quindi

(1

2+

1

2)

Z ⇡/2

0et cos t dt =

1

2(et cos t + et sin t)|⇡/2

0

da cui Z ⇡/2

0et cos t dt =

1

2(e⇡/2 � 1).

Quindi Z 1/2

0earcsin(2x) dx =

1

4(e⇡/2 � 1).

b) (Facoltativo) L’area di A e

Z 1/2

0(earcsin(2x) +x)dx =

Z 1/2

0earcsin(2x)dx+

Z 1/2

0xdx =

1

4(e⇡/2�1)+

x2

2|1/20 =

1

4(e⇡/2�1)+

1

8.

Esercizio 4 (a) Calcolare per ogni valore del parametro a > 0 il limite

limx!0+

ex2 � cos(p

x) + x

x2 sin�

2x

�+ a

px sin

⇣px

2

⌘ .

(b) Determinare a > 0 per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuita in x = 0:

f(x) =

8<:

(1 + x2)3

1�cos x x < 0ex2�cos(

px)+x

x2 sin( 2x)+a

px sin

⇣px

2

⌘ x > 0

Svolgimento: (cenno) a) usando gli sviluppi di McLaurin il numeratore del limite e

ex2 � cos(p

x) + x = 1 + x2 � 1 +1

2x � 1

4!x2 + x + o(x2) =

3

2x + o(x).

Il denominatore e

x2 sin

✓2

x

◆+ a

px sin

✓px

2

◆= x2 sin

✓2

x

◆+ a

px

✓px

2+ o(

px)

◆=

a

2x + o(x).

quindi il limite e uguale a

limx!0+

32x + o(x)a2x + o(x)

=3

a.

b) Calcoliamo il limite per x ! 0� della f(x) e poi lo imponiamo uguale al limite per x ! 0+

della f(x) che e proprio 3a .

Per x ! 0� dobbiamo considerare la f(x) definita per x < 0, quindi dobbiamo calcolare

limx!0�

(1 + x2)3

1�cos x = limx!0�

e3 log(1+x2)

1�cos x .

Calcoliamo il limite (con McLaurin) dell’esponente (si puo fare anche con L’Hopital) :

limx!0�

3 log(1 + x2)

1 � cos x= lim

x!0�

3

x2/2x2 = 6.

quindi limx!0� f(x) = e6

Quindi f(x) e prolungabile per continuita in x = 0 se e solo se 3a = e6 cioe a = 3e�6.


telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti

facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la su�cienza.



TEMA


f(x) = 2 arctan

✓x � 3

x + 2

◆+ 2|x|






Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro b � 0, la convergenza della serie

+1X

n=1

3n + log(n2) + n bn

5n + sin n + 3.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1/2

0earccos(2x) dx

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos(2x)...).

(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1/2], �x y earccos(2x)}.


limx!0+

3ax tan x + x3 sin�

13x

�

cosh x � ex4 + x2.


f(x) =

8<:

(1 � x)1

3(1�e�x) x < 03ax tan x+x3 sin( 1

3x)cosh x�ex4

+x2x > 0






TEMA


f(x) = 2 arctan

✓x + 3

2 � x

◆� 2|x|






Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro a � 0, la convergenza della serie

+1X

n=1

4n + cos n + 7

n2a n + n2 + 2n.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1

0e3 arcsin x dx

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arcsin x...).

(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1], �x y e3 arcsin x}.


limx!0+

x2 sin( 1x) + 5ax

2p

x arcsin(p

x) + e2x2 � cos(p

x).


f(x) =

8<:

(1 � x)2

1�ex x < 0x2 sin( 1

x)+5ax

2p

x arcsin(p

x)+e2x2�cos(p

x)x > 0






TEMA


f(x) = 2 arctan

✓x + 3

x � 2

◆+ 2|x|






Esercizio 2 Studiare, al variare del parametro b � 0, la convergenza della serie

+1X

n=1

4n + sin n + 2

3n + n3 + n2 bn.

Esercizio 3(a) Calcolare Z 1

0e2 arccos x dx.

(Suggerimento: utilizzare la sostituzione t = arccos x...).(b) Facoltativo: Calcolare l’area della regione A = {(x, y) : x 2 [0, 1], �x y e2 arccos x}.


limx!0+

2x sinh x � cos x + e�x4

5ax arcsin x + x3 sin�

5x

� .


f(x) =

8<:

(1 + x2)2

cosh x�1 , x < 02x sinh x�cos x+e�x4

5ax arcsin x+x3 sin( 5x)

, x > 0





Vicenza, 27 gennaio 2014

TEMA


f(x) = x ex�2x+2



(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (non e richiesto lo studio delladerivata seconda di f).

(d) Disegnare un grafico qualitativo di f .

(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi .

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2) per x ! 0.

(b) Calcolare per ogni ↵ > 0, ↵ = 0 e ↵ < 0 il limite

limx!0+

ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2)

x2 log(1 + x↵).

Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (2 � x) sinh x.

(b) Calcolare l’integrale definito Z 4

0|2 � x| sinh x dx.

(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzatoZ 4

0

|2 � x| sinh x

x↵�1dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (1/3,�2

p2/3) della funzione

f(x, y) = arctan

✓y

3x + y

◆.

(b) (Facoltativo) Calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).






TEMA


f(x) = x ex�33+x






Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di log(1 + x + x2) � x � x2 + tan(x2) per x ! 0.


limx!0+

log(1 + x + x2) � x � x2 + tan(x2)

x2 arctan(x↵).

Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (x � 1) sinh x.


0|x � 1| sinh x dx.


0

|x � 1| sinh x

x↵�1dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (0, 1) la derivata direzionale lungo il versore v = (2

p2/3, 1/3) della funzione

f(x, y) = arcsin

✓x

2x + y

◆.







TEMA


f(x) = x e3+xx�3






Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di sin(x + x3) � x � x3 + arcsin(x3) per x ! 0.


limx!0+

sin(x + x3) � x � x3 + arcsin(x3)

x3 arctan(x↵).





0

|3 � x| sinh x

x↵�2dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (0, 1) la derivata direzionale lungo il versore v = (2/3,�


f(x, y) = arctan

✓x

x + 4y

◆.







TEMA


f(x) = x ex+2x�2





(e) (Facoltativo) Calcolare i limiti di f 0 se significativi.

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di tan(x + x3) � x � x3 + sinh(x3) per x ! 0.


limx!0+

tan(x + x3) � x � x3 + sinh(x3)

x3 log(1 + x↵).

Esercizio 3 (8 punti)(a) Determinare una primitiva della funzione f(x) = (x � 4) sinh x.


0|x � 4| sinh x dx.


0

|x � 4| sinh x

x↵�2dx.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (

p5/3, 2/3) della funzione

f(x, y) = arcsin

✓y

x + 5y

◆.







Cenni di svolgimento del TEMA


f(x) = x ex�2x+2






Svolgimento: (cenno) a) Dominio={x 2 R, x 6= �2}. Non ci sono simmetrie. f(x) > 0 sse x > 0,f(x) = 0 sse x = 0.b) limx!�2� f(x) = �1, limx!�2+ f(x) = 0. La retta x = �2 e un asintoto verticale sinistro.

limx!+1 f(x) = +1, limx!+1f(x)

x = e,

limx!+1 f(x) � ex = limx!+1 xe(ex�2x+2

�1 � 1) = limx!+1 xe(e�4

x+2 � 1) = limx!+1 xe( �4x+2) =

�4e.L’ultimo passaggio e motivato dal fatto che e

�4x+2 � 1 ⇠ �4

x+2 per x ! +1.Quindi per x ! +1 la f(x) ha l’asintoto obliquo y = ex � 4e.Analogamente limx!�1 f(x) = �1 e procedendo come sopra si ottiene che y = ex�4e e asintotoobliquo per la f(x) anche quando x ! �1.

c) f 0(x) = ex�2x+2 (1 + x 4

(x+2)2) = e

x�2x+2 x2+8x+4

(x+2)2. f 0(x) > 0 se e solo se x2 + 8x + 4 > 0 e risolvendo

la disequazione si ottiene, f 0(x) > 0 sse x > �4 +p

12 o x < �4 �p

12. Quindi si ottiene che laf(x) e crescente per x < �4 �

p12, ha un punto di massimo relativo in x = �4 �

p12 e poi e

decrescente tra x = �4p

12 e x = �2. Tra x = �2 e x = �4+p

12 decresce, ha in x = �4+p

12un punto di minimo relativo e per x > �4 +sqrt12 e strettamente crescente.e) Ha senso studiare limx!�2+ f 0(x). Per x ! �2+, raccogliendo ”e” come sopra, si puo dire che

f 0(x) ⇠ e e�4

x+2 �8(x+2)2

. Con la sostituzione y = 1x+2 (y ! +1) si ottiene f 0(y) ⇠ e e�4y(�8y2) =

�8e y2

e4y ! 0 se y ! +1, quindi limx!�2+ f 0(x) = 0 e il grafico di f si attacca a x = �2+ contangente orizzontale.

Esercizio 2 (7 punti)(a) Determinare l’ordine di infinitesimo di ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2) per x ! 0.


limx!0+

ex+x2 � 1 � x � x2 + sin(x2)

x2 log(1 + x↵).

Svolgimento: (cenno)a) ex+x2 � 1�x�x2 +sin(x2) = 1+(x+x2)+ 1

2(x+x2)2 � 1�x�x2 +x2 + o(x2) = 32x2 + o(x2)

per x ! 0 quindi la funzione e infinitesima di ordine 2 per x ! 0.

b) limx!0+ex+x2�1�x�x2+sin(x2)

x2 log(1+x↵)= limx!0+

32x2+o(x2)

x2 log(1+x↵)= limx!0+

3/2+o(1)log(1+x↵) .

Se ↵ > 0, x↵ ! 0+ se x ! 0+, quindi log(1 + x↵) = x↵ + o(x↵) e il limite limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) =

limx!0+3/2+o(1)x↵+o(x↵) = +1.

Se ↵ = 0, limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) = limx!0+

3/2+o(1)log(2) = 3

2 log 2 .

Se ↵ < 0, limx!0+3/2+o(1)log(1+x↵) = 0, perche il denominatore tende a +1.




(c) Discutere per ogni ↵ 2 R la convergenza dell’integrale generalizzato

Z 4

0

|2 � x| sinh x

x↵�1dx.

Svolgimento: (cenno) a) Integrando per partiR(2 � x) sinh xdx = (2 � x) cosh x +

Rcosh xdx = (2 � x) cosh x + sinh x + C.

b)R 40 |2 � x| sinh x dx =

R 20 (2 � x) sinh x dx +

R 42 (x � 2) sinh x dx = [(2 � x) cosh x + sinh x]20 �

[(2 � x) cosh x + sinh x]42 = 2 sinh 2 � 2 + 2 cosh 4 � sinh 4.c) L’integrale e da considerarsi in senso generalizzato perche la funzione integranda e illimitatain x = 0 se ↵ � 1 > 0. Quindi se ↵ � 1 0 l’integrale e un integrale definito e quindi converge.Se ↵ � 1 > 0, f(x) = |2�x| sinh x

x↵�1 ⇠ 2xx↵�1 = 2

x↵�2 per x ! 0 quindi dal principio del confrontoasintotico, converge tra (0, 4) se e solo se ↵� 2 < 1 cioe ↵ < 3.

Esercizio 4 (6 punti)(a) Calcolare in (1, 0) la derivata direzionale lungo il versore v = (1/3,�2


f(x, y) = arctan

✓y

3x + y

◆.


Svolgimento: (cenno) (NB: il punto (1, 0) e interno al dominio di f : nel dominio deve esserey 6= �3x e (1, 0) verifica y > �3x, per cui e in un aperto contenuto nel dominio).

(a) Le derivate parziali di f nel suo dominio esistono e sono:

@f

@x(x, y) = � 1

1 +⇣

y3x+y

⌘2

3y

(3x + y)2;

@f

@y(x, y) =

1

1 +⇣

y3x+y

⌘2

3x

(3x + y)2.

Quindi @f@x (1, 0) = 0 e @f

@y (1, 0) = 1/3 e poiche le derivate parziali sono funzioni continue in unintorno di (1, 0), f e di↵erenziabile in tal punto e vale la Formula del Gradiente per il calcolodella derivata direzionale:

Dvf(1, 0) =@f

@x(1, 0) v1 +

@f

@y(1, 0) v2 = �2

p2

9.

(b) Per es, in coordinate polari: x = ⇢ cos ✓, y = ⇢ sin ✓, si ha

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) = lim⇢!0+

= arctan

✓⇢ sin ✓

3⇢ cos ✓ + ⇢ sin ✓

◆= arctan

✓sin ✓

3 cos ✓ + sin ✓

◆,

che dipende da ✓, per cui il limite non esiste. Analogamente, lungo le rette y = mx, si ottiene

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) = limx!0

= arctan

✓mx

3x + mx

◆= arctan

✓m

3 + m

◆,

che dipende da m, per cui ancora risulta dimostrato che il limite non esiste. Nel caso particolarepoi del limite lungo gli assi:

lim(x!0)

f(x, 0) = 0, lim(y!0)

f(0, y) = arctan 1.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza


TEMA


f(x) =log(1 + x2)

x� 2 arctan(x)




(d) studiare convessita, concavita e determinare eventuali punti di flesso di f ;

(e) disegnare un grafico qualitativo di f .

Esercizio 2 (a) Scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin in 0+ fino al grado 3 della funzione

g(x) = e�x � cos(p

2x).

(b) Calcolare al variare del parametro reale a il limite

limn!+1

e�1/n � cos(p

2/n) + an2q

1 + 1n2 � 1

Esercizio 3 (a) Calcolare il seguente integrale:

Z 2⇡

0x2| sin x| dx.

(b) Scrivere in forma esplicita la funzione integrale F (x) =R x0 t2| sin t| dt per x 2 [0, 2⇡].

Esercizio 4 Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie

+1X

n=1

(�1)n

✓1pn� sin

✓1

na

◆◆, a � 1/2 .

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri,

appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.



TEMA


f(x) =log(1 + x2)

x� 2 arctan(x)




(d) studiare convessita, concavita e determinare eventuali punti di flesso di f ;

(e) disegnare un grafico qualitativo di f .

Sol. (a) Dom(f) = R \ {0} e f e dispari. Possiamo quindi in seguito limitare lo studio a x > 0.

(b) Usando lo sviluppo del logaritmo, limx!0+ f(x) = limx!0+ [x2

x �2 arctan(x)] = 0. Quindi(tenendo anche conto della simmetria) f si prolunga per continuita in x = 0 ponendo f(0) = 0.Per la gerarchia degli infiniti, limx!+1 f(x) = 0 � 2⇡/2 = �⇡. Quindi y = �⇡ e un asintotoorizzontale a +1 (e y = ⇡ e un asintoto orizzontale a �1).

(c) Per x 6= 0, f e derivabile e vale

f 0(x) = � 1

x2log(1 + x2) +

1

x

2x

1 + x2� 2

1 + x2= � log(1 + x2)

x2.

Quindi f 0(x) < 0 per ogni x > 0 e quindi f e strettamente decrescente. Per simmetria, lo e ancheper x < 0. Percio f non ha max e min relativi o assoluti ma solo inf f = �⇡ e sup f = +⇡.Attacco in x = 0±: usando lo sviluppo del logaritmo, , limx!0± f 0(x) = � limx!0± x2

x2 = �1.Quindi f e derivabile in x = 0 con f 0(0) = �1.

(d) Per x 6= 0, f e derivabile due volte e vale

f 00(x) =2

x3(1 + x2)

⇥(1 + x2) log(1 + x2) � x2

⇤.

Per x > 0 f 00(x) > 0 se e solo se log(1+x2) > x2

1+x2 e questo e sempre vero, per es. per confronto

dei grafici di y = log(1 + x2) e y = x2

1+x2 . Quindi per x > 0 f e convessa mentre per x < 0 econcava. In x = 0 c’e un punto di flesso. La funzione e derivabile due volte anche in x = 0,perche usando lo sviluppo del logaritmo e l’asintoticita 1 + x2 ⇠ 1, si ottiene che

limx!0±

f 00(x) = � limx!0±

2

x3

(1 + x2)(x2 � 1

2x4) � x2 + o(x4)

�= � lim

x!0±

x4

x3= 0.

Esercizio 2 (a) Scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin in 0+ fino al grado 3 della funzione

g(x) = e�x � cos(p

2x).

(b) Calcolare al variare del parametro reale a il limite

L = limn!+1

e�1/n � cos(p

2/n) + an2q

1 + 1n2 � 1

Sol. (a) Usando gli sviluppi di esponenziale e coseno in x = 0 si ottiene:

g(x) = 1 � x +1

2x2 � 1

6x3 �

1 � x +

1

24(4x2) � 1

6!(8x3)

�+ o(x3) =

1

3x2 � 7

45x3 + o(x3).

(b) Usando il punto (a) e lo sviluppo dip

1 + x:

L = limn!+1

13

1n2 � 7

451n3 + a

n2

12n2

= 2 limn!+1

✓1

3+ a

◆� 7

45n

�= 2

✓1

3+ a

◆.

Esercizio 3 (a) Calcolare il seguente integrale:

Z 2⇡

0x2| sin x| dx

(b) scrivere in forma esplicita la funzione integrale F (x) =R x0 t2| sin t| dt per x 2 [0, 2⇡].

Sol. Essendo | sin x| = sin x per x 2 [0,⇡] e | sin x| = � sin x per x 2 [⇡, 2⇡], l’integrale diventa

I =

Z 2⇡

0x2| sin x| dx =

Z ⇡

0x2 sin x dx �

Z 2⇡

⇡x2 sin x dx.

Poiche, integrando per parti in modo indefinito, si ha che

Zx2 sin x dx = �x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + cost,

si ottiene

I = [�x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x]⇡0 � [�x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x]2⇡⇡ = 6⇡2 � 8.

Facoltativo: per definizione:

F (x) =

⇢ R x0 t2 sin t dt = �x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x � 2 se x 2 [0,⇡]R ⇡0 t2 sin t dt �

R x⇡ t2 sin t dt = 2⇡2 � 6 + x2 cos x � 2x sin x � 2 cos x se x 2]⇡, 2⇡].


+1X

n=1

(�1)n

✓1pn� sin

✓1

na

◆◆, a � 1/2 .

Sol. Per lo studio della convergenza assoluta, osserviamo che per ogni a > 1/2, an.= 1p

n�

sin�

1na

�⇠ 1p

nper la gerarchia degli infinitesimi. Quindi an > 0 per n grande e la serie non

converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico con 1/n↵ con ↵ = 1/2 < 1.Per a = 1/2, dallo sviluppo del seno segue che an ⇠ 1

6n3/2 (> 0) e quindi la serie convergeassolutamente.

Per la convergenza semplice, per a = 1/2, segue da quella assoluta. Per a > 1/2, la serienon converge assolutamente ma e infinitesima. Quindi per il Criterio delle serie alternate (odi Leibnitz), la serie converge se an e decrescente. Per dimostrare questo, poniamo f(x)

.=

1px� sin

�1xa

�e deriviamo:

f 0(x) = � 1

2 x3/2+ cos

✓1

xa

◆⇣ a

xa+1

⌘.

Dalla gerarchia degli infinitesimi, poiche a > 1/2, segue che per x su�cientemente grande:

f 0(x) = � 1

2 x3/2+ o

✓1

x3/2

◆⇠ � 1

2 x3/2< 0.

Quindi an e anche infinitesima e la serie converge anche per a > 1/2.




Vicenza, 3 Luglio 2013

TEMA


f(x) = cosh3 x � 9 cosh2 x + 24 cosh x � 18




(d) disegnare un grafico qualitativo di f (non e richiesto lo studio di f 00).

Domanda facoltativa: Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f(x) = �, al variare di � nell’intervallo

[0, 3].

Svolgimento. (a) Dom(f) = R, f e pari e quindi possiamo limitarci a studiarla per x � 0.

(b) Usando la definizione di cosh e le asintoticita a +1, si ha che

limx!+1

f(x) = limx!+1

e3x

8= +1

e non esiste asintoto obliquo visto che f ha crescita superlineare a +1. Inoltre f e continua inR e f(0) = �2.

(c) f e derivabile infinite volte in R e

f 0(x) = sinh x�3 cosh2 x � 18 cosh x + 24

�

Per x � 0, sinh x � 0 quindi basta studiare il segno dell’espressione tra parentesi. Poniamot = cosh x:

3 cosh2 x � 18 cosh x + 24 = 3(t2 � 6t + 8) � 0

se e solo se t = cosh x 2 oppure t = cosh x � 4. Quindi otteniamo che f 0(x) � 0, e quindi f ecrescente, per x � 0 se e solo se x 2 [0, sett cosh 2][ [sett cosh 4, +1[. In R, i punti 0, ±sett cosh 4risultano di minimo relativo, mentre ±sett cosh 2 sono di massimo relativo. Non esiste massimoassoluto, perche sup f = +1, mentre esiste il minimo assoluto che viene assunto in tutti i punti0, ±sett cosh 4 e vale �2. Non ci sono limiti di f 0 significativi.

-5-4

-3-2

-10

12

34

5

-3-2-1123

Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite

L = limx!0+

arctan(x + x3) � x +�cos�

1x

�� 1�x5

xa log x + 2x � 1 � log 2 sin x.

Svolgimento. Grazie agli sviluppi di Mac Laurin, arctan(x+x3) = (x+x3)� 13x3 +o(x3), mentre�

cos�

1x

�� 1�x5 = o(x3), visto che per il teorema sul limite del prodotto di una f. infinitesima

con una limitata si ha

limx!0+

�cos�

1x

�� 1�x5

x3= 0.

Quindi: Numeratore= 23x3 + o(x3).

Sviluppando 2x = elog 2 x = 1 + log 2 x + (log 2)2

2 x2 + o(x2) e sin x = x� 16x3 + o(x3), si ottiene

Denominatore = xa log x +(log 2)2

2x2 + o(x2) =

(se 0 < a 2 : xa log x + o(xa log x)

se a > 2 : (log 2)2

2 x2 + o(x2)

In conclusione: 8><>:

se 0 < a 2 : L = limx!0+

23x3+o(x3)

xa log x+o(xa log x) = 0

se a > 2 : L = limx!0+

23x3+o(x3)

(log 2)2

2x2+o(x2)

= 0

Esercizio 3 Calcolare l’integrale definito

Z 1

0

1

10 + exdx .

Domanda facoltativa: Discutere la convergenza dell’integrale generalizzato

Z +1

1

(sinh x)↵

10 + exdx

al variare di ↵ 2 R.

Svolgimento. Utilizzando il cambiamento di variabile y = ex, si ha:

Z 1

0

1

10 + exdx =

Z e

1

1

10 + y

dy

y.

Inoltre ponendo:1

(10 + y)y=

A

y+

B

10 + y,

si trova A = 1/10 e B = �1/10, quindi abbiamo:

Z e

1

1

10 + y

dy

y=

1

10

Z e

1

1

y� 1

10 + ydy =

1

10[log(y) � log(10 + y)]|e1 =

1

10

1 + log

✓11

10 + e

◆�.

Facoltativo Si ha (sinh x)↵ ⇠ (ex/2)↵, quando x ! +1, quindi

(sinh x)↵

10 + ex⇠ e↵x

2↵(10 + ex),

Ponendo, come sopra y = ex, si ha:

Z +1

1

e↵x

2↵(10 + ex)=

Z +1

e

1

2↵y↵

(10 + y)

dy

y.

Quando y ! +1, la seconda funzione integranda e asintotica a 1y2�↵ , che sappiamo essere

integrabile se e solo se 2 � ↵ > 1. Quindi l’integrale generalizzato converge se e solo se ↵ < 1.


f(x, y) = log(x + ey) + 3x2 +p

y + 1 ,

1) determinarne il dominio e rappresentarlo nel piano cartesiano.

2) Calcolare il gradiente in (0, 0) e scrivere l’equazione del piano tangente al grafico in quelpunto.

3) Calcolare la derivata direzionale di f in (0, 0) lungo u = (p

2/2,p

2/2) .

Svolgimento.

1. Il dominio e dato da:D = {(x, y) | y � �1, x > �ey }.

2. Derivando si ha:

@f

@x=

1

x + ey+ 6x,

@f

@y=

ey

x + ey+

1

2(y + 1)�1/2.

Quindi si ha:rf(0, 0) = (1, 3/2).

Poiche f(0, 0) = 1, l’equazione del piano tangente risulta:

z = 1 + x +3

2y.

3. Per calcolare la derivata direzionale si puo utilizzare la formula del gradiente e si ottiene:

@f

@u= rf(0, 0) · u =

p2

2+

3

2

p2

2=

5p

2

4.



TEMA


f(x) = e| log(x2)|+x+3x .

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie e il segno di f ;


(c) studiare la continuita e la derivabilita di f , studiare la monotonia e determinare gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo ed assoluto di f (Facoltativo: calcolare gli attacchi,cioe i limiti di f 0, nei punti significativi);


Esercizio 2

(a) Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di

f(x) = (2 + sinh(2x)) · log(1 + 2x).

(b) Calcolare poi il limite

limx!0+

ef(x) � 1 � 4x

x↵�1,

al variare di ↵ > 1.

Esercizio 3 Discutere la convergenza della serie

+1X

n=1

(sin(2n) + 3)

✓2n2 tan

✓1

n2

◆◆n

.


f(x, y) = log

✓4x2 � y2

4x2 + y2

◆,

1) determinarne il dominio, disegnarlo nel piano cartesiano e stabilire, in particolare, se eaperto o chiuso.

2) Dire se esiste ed eventualmente calcolare lim(x,y)!(0,0) f(x, y).

3) Calcolare il gradiente nel punto (x0, y0) = (1, 0) e scrivere l’equazione del piano tangenteal grafico in quel punto.





TEMA


f(x) = e| log(x2)|+x+5x .





Esercizio 2


f(x) = log(1 + 2x) · (1 + arctan(x)).


limx!0+

ef(x) � 1 � 2x

x↵+1,

al variare di ↵ > �1.


+1X

n=1

(5 + cos(3n))

✓1

3n2 sin

✓1

n2

◆◆n

.


f(x, y) = log

✓y2 � 4x2

4x2 + y2

◆








TEMA


f(x) = e| log(x2)|+x�3x .





Esercizio 2


f(x) = (2 + sin(4x)) · log(1 + 4x).


limx!0+

ef(x) � 1 � 8x

x↵�1,



+1X

n=1

(sin(3n) + 4)

✓4n2 arctan

✓1

n2

◆◆n

.


f(x, y) = log

✓x2 + 9y2

x2 � 9y2

◆,








TEMA


f(x) = e| log(x2)|+x�5x .





Esercizio 2


f(x) = (tan x +2

3) · log(1 + 3x).


limx!0+

ef(x) � 1 � 2x

x↵+1,

al variare di ↵ > �1.


+1X

n=1

(4 + cos(2n))

✓1

5n2 sinh

✓1

n2

◆◆n

.


f(x, y) = log

✓x2 + 9y2

9y2 � x2

◆








TEMA

Esercizio 1. Si consideri la funzione

f(x) = e| log(x2)|+x+3x

Sol. (a) Dominio R \ {0}, no simmetrie, f(x) > 0 8x 6= 0.

(b) , limx!0+ f(x) = +1, limx!0� f(x) = 0. Infatti

limx!0±

(| log(x2)| +x + 3

x) = lim

x!0±x| log(x2)| + x + 3

x= lim

x!0±3

x=

3

0±

per la gerarchia degli infinitesimi (limx!0±(x| log(x2)| + x) = 0).

Si osservi che, togliendo il valore assoluto:

f(x) =

(x2 e

x+3x se log(x2) � 0, cioe se x �1 o x � 1,

ex+3

x

x2 se log(x2) < 0, cioe se �1 < x < 1.(1)

Quindi limx!±1f(x)

x = limx!±1 x ex+3

x = ±1 e non ci sono asintoti obliqui a ±1.

(c) Derivando (1) per x 6= ±1, 0:

f 0(x) =

(e

x+3x (2x � 3) se x < �1 o x > 1,

� ex+3

x

x4 (2x + 3) se �1 < x < 1.(2)

Quindi:

f 0(x) > 0 per x < �1 o x > 1 se e solo se x > 3/2 e vale 0 per x = 3/2 (> 1);

f 0(x) > 0 per �1 < x < 1 se e solo se x < �3/2 (< �1, non appartenente a ] � 1, 1[).

Segue che f e strettamente decrescente in ] �1, 0[ e in ]0, 3/2[ ed e strettamente crescentein ]3/2, +1[. Ha minimo relativo in 3/2, non ha minimo assoluto e inf f = 0; non ha massimoassoluto e sup f = +1.

(Fac) Gli attacchi di f 0 da calcolare sono in ±1± e in 0�.

Si ha:

limx!1�

f 0(x) = limx!1�

�ex+3

x

x4(2x + 3) = �5e4.

limx!1+

f 0(x) = limx!1+

ex+3

x (2x � 3) = �e�2.

Quindi f non risulta derivabilie in x = 1.

limx!�1�

f 0(x) = limx!1�

ex+3

x (2x � 3) = �5e�2.

limx!�1+

f 0(x) = limx!1+

�ex+3

x

x4(2x + 3) = �e�2.

Quindi f non risulta derivabilie in x = �1. Infine si ha:

limx!0�

f 0(x) = limx!0�

�ex+3

x

x4(2x + 3) = lim

x!0��e(2x + 3)

e3x

x4= �3e lim

x!0�

e3x

x4.

Ponendo y = � 3x , se x ! 0� allora y ! +1, quindi il limite diventa:

� e

27lim

y!+1y4

ey= 0.

Esercizio 2


f(x) = (2 + sinh(2x)) · log(1 + 2x)

(b) calcolare per ↵ > 1:

limx!0+

ef(x) � 1 � 4x

x↵�1.

Sol. (a) Per gli sviluppi del sinh e del log si ha:

f(x) =

✓2 + 2x +

4

3x3 + o(x3)

◆✓2x � 2x2 +

8

3x3 + o(x3)

◆

da cui segue che lo sviluppo di Mac Laurin di ordine 3 di f e: f(x) = 4x + 43x3 + o(x3).

(b) Usando lo sviluppo precedente e lo sviluppo dell’esponenziale:

ef(x) = 1 + f(x) +1

2[f(x)]2 + o([f(x)]2) = 1 + 4x +

1

2(4x)2 + o(x2) = 1 + 4x + 8x2 + o(x2)

da cui si ottiene

limx!0+

ef(x) � 1 � 4x

x↵�1= lim

x!0+

8x2

x↵�1= lim

x!0+8x3�↵ =

8<:

0 se 1 < ↵ < 38 se ↵ = 3+1 se ↵ > 3


+1X

n=1

(sin(2n) + 3)

✓2n2 arctan

✓1

n2

◆◆n

Sol. Metodo 1. Osserviamo che an.= (sin(2n)+3)

�2n2 arctan

�1n2

��ne positiva e che, essendo

2 (sin(2n) + 3) 4, posto bn.=�2n2 arctan

�1n2

��n, si ha 0 < 2 bn an 4 bn, per cui per cui

la serie data converge o diverge se e solo se converge o diverge, rispettivamente, la serie ⌃ bn, peril Criterio del Confronto. Studiamo quindi la convergenza di ⌃ bn con il criterio della radice:

L = limn!+1

np

bn = limn!+1

n

s✓2n2 arctan

✓1

n2

◆◆n

= limn!+1

✓2n2 arctan

✓1

n2

◆◆= 2.

Poiche L = 2 > 1, la serie data diverge.

Metodo 2. Si puo anche applicare direttamente il criterio della radice ad an, dopo avermostrato che e a termini positivi:

limn!+1

np

an = limn!+1

e1n

log(sin(2n)+3) log(1 +

✓2n2 arctan

✓1

n2

◆◆= 2,

perche e1n

log(sin(2n)+3) tende a e0 = 1, essendo log 2 log(sin(2n) + 3) log(4), successionelimitata, moltiplicata per la successione infinitesima 1/n.

Esercizio 4 Data

f(x, y) = log

✓4x2 � y2

4x2 + y2

◆

(a) disegnare il dominio di f e dire se risulta aperto o chiuso, limitato o illimitato.

(b) Dire se esiste ed in tal caso calcolare il lim(x,y)!(0,0) f(x, y).

(c) Gradiente in (1,p

2) ed equazione del piano tangente al grafico di f in quel punto.

Sol.(a) Il dominio di f e

⇢(x, y) :

4x2 � y2

4x2 + y2> 0

�=�(x, y) : 4x2 > y2, (x, y) 6= (0, 0)

= {(x, y) : �2|x| < y < 2|x|, (x, y) 6= (0, 0)}

E aperto e illimitato.

(b) Metodo 1. In coordinate polari:

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) = lim⇢!0+

log

✓⇢2(4 cos2 ✓ � sin2 ✓)

⇢2(4 cos2 ✓ + sin2 ✓)

◆= log

✓4 cos2 ✓ � sin2 ✓

4 cos2 ✓ + sin2 ✓

◆

che dipende da ✓, per cui il limite non esiste.

Metodo 2. Per dire che il limite non esiste basta osservare che lungo la retta y = 0, f(x, 0) =

log⇣

4x2

4x2

⌘= 0 mentre lungo y = x, f(x, x) = log

⇣4x2�x2

4x2+x2

⌘= log(3/5), per cui i due limiti a (0, 0)

sono diversi.

(c) (1, 0) e interno al dominio di f che risulta ivi continua e derivabile infinite volte, per cui fe di↵erenziabile ed esiste il piano tangente. Si ha

@f

@x(x, y) =

16xy2

(4x2 � y2)(4x2 + y2),

@f

@y(x, y) = � 16x2y

(4x2 � y2)(4x2 + y2)

per cui rf(1, 0) = (0, 0), f(1, 0) = 0 e il piano tangente e

z = 0.



TEMA


f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log |ex � e2|





Esercizio 2 Calcolare al variare del parametro ↵ > 0 il limite

limx!+1

↵x↵ sin�

1x

�� 4x3 + 2xp

1 + x6 � 1 + 3x3.


+1X

n=2

(�1)n3p

4 + n � 3p

np2 log n

.

Esercizio 4 Calcolare l’integrale generalizzato

Z +1

0

xe�|4�x|

exdx.


Z +1

0

xae�|4�x|

exdx.

al variare di a 2 R.





TEMA


f(x) = log |e � ex| + 2 arctan(1 � ex)






limx!+1

p1 + x4 � 1 + 2x4

6x4 � ↵x↵ arctan�

1x2

�+ 3x

.


+1X

n=2

(�1)n3p

5 + n � 3p

np4 log n

.


Z +1

0

xe�x

e|3�x| dx.


Z +1

0

xae�x

e|3�x| dx.






TEMA


f(x) = 2 arctan(ex � 3) � log |e3 � ex|






limx!+1

↵x↵�cosh

�1x

�� 1�� 2x2 + 5x

log(1 + x2) � 3x2.


+1X

n=2

(�1)n3p

2 + n � 3p

np3 log n

.


Z +1

0

xe�|1�x|

exdx.


Z +1

0

xae�|1�x|

exdx.






TEMA


f(x) = log |ex � e4| � 2 arctan(ex � 4)






limx!+1

x3 � 4 log(1 + x3)

6x4 � ↵x↵ arctan�

1x2

�+ 3x

.


+1X

n=2

(�1)n3p

3 + n � 3p

np5 log n

.


Z +1

0

xe�x

e|2�x| dx.


Z +1

0

xae�x

e|2�x| dx.




Svolgimento TEMA 1

Esercizio 1 .

f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log |ex � e2|(a) Il dominio e {x : |ex � e2| > 0} = {x : ex � e2 6= 0} = R \ {2}. Non ci sono simmetrie operiodicita evidenti.

(b) Limiti:

1. limx!�1 f(x) = 2 arctan(�2) � log(e2) = �2 arctan 2 � 2 (< 0). Quindi c’e un asintotoorizzontale y = �2 arctan 2 � 2 a �1.

2. limx!+1 f(x) = �1, e poiche |ex � e2| = ex � e2 quando x � 2, per tali x possiamoriscrivere

f(x) = 2 arctan(ex � 2) � log[ex(1 � e2�x)] = 2 arctan(ex � 2) � x � log(1 � e2�x)

Si ottiene allora che limx!+1f(x)

x = �1 e limx!+1[f(x)+x] = ⇡. Quindi f ha y = �x+⇡come asintoto obliquo a +1.

3. limx!2± f(x) = +1, quindi x = 2 e un asintoto verticale completo.

(c) Derivabilita: f e continua e derivabile 8x 6= 2 perche composizione di f ivi derivabili.

f 0(x) =2 ex

1 + (ex � 2)2� ex

ex � e2=

ex

[1 + (ex � 2)2](ex � e2)[2ex � 2e2 � 1 � (ex � 2)2],

dove f 0(x) > 0 se e solo se

[2ex � 2e2 � 1 � (ex � 2)2]

ex � e2= � [e2x � 6ex + 2e2 + 5]

ex � e2> 0.

Poiche il polinomio di secondo grado in ex dentro le parentesi quadre a numeratore ha � < 0 (percui e sempre strettamente positivo), f 0(x) > se e solo se ex � e2 < 0, cioe se x < 2. la funzionef e allora strettamente crescente per x < 2 e strettamente decrescente per x > 2. Inoltre f eillimitata, perche sup f = +1 e inf f = �1 e non assume max e min relativi o assoluti.

Esercizio 2 . Il limite

L = limx!+1

↵x↵ sin�

1x

�� 4x3 + 2xp

1 + x6 � 1 + 3x3

e una forma indeterminata 1/1. A numeratore, poiche limx!+1 1x = 0, possiamo sviluppare

con Mac Laurin

sin

✓1

x

◆=

1

x� 1

6

1

x3+ o(

1

x3)

che sostituendo e usando le proprieta di ”o-piccolo” porta a

↵x↵ sin

✓1

x

◆�4x3+2x = ↵x↵�1�↵

6x↵�3�4x3+2x+o(x↵�3) =

8<:

�4x3 + o(x3) se ↵ < 4,��2

3 + 2�x + o(x) se ↵ = 4,

↵x↵�1 + o(x↵�1) se ↵ > 4.

A denominatore,p

1 + x6 ⇠ x3 a +1, dunquep

1 + x6 � 1 + 3x3 = 4x3 + o(x3). In conclusione,L = �1 se ↵ 2]0, 4[; L = 0 se ↵ = 4 e L = +1 se ↵ > 4.

Esercizio 3 .

Osserviamo che la serie e a termini di segno alterno, poiche bn :=3p4+n� 3pnp

2 log n> 0 per ogni

n � 2.

Studiamo innanzitutto la convergenza assoluta.

Ricordando che x3 � y3 = (x � y)(x2 + xy + y2), poniamo x = 3p

4 + n e y = 3p

n, ottenendo

bn =3p

4 + n � 3p

np2 log n

=4 + n � n

3p

(4 + n)2 + + 3p

(4 + n)n +3p

n2· 1p

2 log n

=4

3p

(4 + n)2 + + 3p

(4 + n)n +3p

n2· 1p

2 log n.

Quando n ! +1, si ha

43p

(4 + n)2 + + 3p

(4 + n)n +3p

n2· 1p

2 log n⇠ 4

3p

2n2/3(log n)1/2.

La serieP+1

n=21

n2/3(log n)1/2 diverge, perche, per esempio, 1n2/3(log n)1/2 > 1

n5/6 per ogni n > 1.

Poiche la serie armonica generalizzataP+1

n=21

n5/6 diverge, per il criterio del confronto diverge

ancheP+1

n=21

n2/3(log n)1/2 .

Come applicazione del criterio del confronto asintotico, ne deduciamo che diverge ancheP+1n=2 bn , cioe che la serie data non converge assolutamente.

Passiamo ora a studiare la convergenza semplice della serie data. Dai conti appena svoltisi deduce che bn tende a zero quando n ! +1. Per poter applicare il criterio di Leibniz, esu�ciente dimostrare che {bn} e monotona decrescente, almeno definitivamente.

Metodo 1. bn e decrescente perche reciproco di una successione positiva strettamente crescente,infatti

1

bn=

1

4

⇣3p

(4 + n)2 + 3p

(4 + n)n +3p

n2⌘ p

2 log n

e somma di successioni strettamente crescenti e positive moltiplicate per una successione crescentee positiva.

Metodo 2. Consideriamo la funzione

f(x) =3p

4 + x � 3p

xp2 log x

.

Derivando f , otteniamo

f 0(x) =1

2 log x

⇣1

3(4 + x)�2/3 � 1

3(x)�2/3

⌘p2 log x � ( 3

px + 4 � 3

px)

1

2xp

2 log x

!

=1

2 log x

⇣(x)2/3 � (4 + x)2/3

3(4 + x)2/3x2/3

⌘p2 log x � ( 3

px + 4 � 3

px)

1

2xp

2 log x

!.

Osserviamo ora che⇣

(x)2/3�(4+x)2/3

3(4+x)2/3x2/3

⌘p2 log x < 0 e che ( 3

px + 4 � 3

px) 1

2xp

2 log x> 0 per ogni

x � 2, cosı che f 0(x) < 0 per ogni x � 2. Come conseguenza del criterio di Leibniz, la serie dataconverge semplicemente.

Esercizio 4 .

Osserviamo cheZ +1

0

xe�|4�x|

exdx =

Z 4

0

xex�4

exdx +

Z +1

4

xe4�x

exdx,

purche entrambi gli integrali esistano finiti. Li studiamo quindi separatamente.

Osserviamo prima di tutto cheZ 4

0

xex�4

exdx =

Z 4

0xe�4 dx = 8e�4 .

Si ha inoltreZ +1

4

xe4�x

exdx = e4 lim

R!+1

Z R

4

xe�x

exdx = e4 lim

R!+1

Z R

4xe�2x dx .

Calcoliamo l’integrale indefinitoR

xe�2x dx , integrando per parti. Ponendo f(x) = x e g0(x) =e�2x, otteniamo Z

xe�2x dx = �x

2e�2x � 1

4e�2x ,

da cui segueZ +1

4

xe4�x

exdx = e4 lim

R!+1

Z R

4xe�2x dx = e4 lim

R!+1

⇣� x

2e�2x � 1

4e�2x

⌘��R

4=

9

4e4e�8 =

9

4e�4 .

Poiche entrambi gli integrali esistono finiti, concludiamo cheZ +1

0

xe�|4�x|

exdx =

Z 4

0

xex�4

exdx +

Z +1

4

xe4�x

exdx = 8e�4 +

9

4e�4 =

41

4e�4 .

Domanda facoltativa:

Z +1

0

xae�|4�x|

exdx.


Possono esservi problemi di convergenza sia per x ! 0+, sia per x ! +1. Studiamo quindiseparatamente i due integrali

Z 4

0

xae�|4�x|

exdx e

Z +1

4

xae�|4�x|

exdx .

L’integrale generalizzato assegnato converge se entrambi gli integrali convergono. Abbiamo gi aosservato che Z 4

0

xae�|4�x|

exdx = e�4

Z 4

0xa dx.

Questo integrale converge per ogni valore a > �1. Risulta inoltreZ +1

4

xae4�x

exdx = e4

Z +1

4xae�2x dx =

Questo integrale converge per ogni valore reale di a, perche la funzione xae�2x e infinitesima diordine superiore a 1 al tendere di x ! +1 per ogni valore di a.

In conclusione, l’integrale assegnato converge per ogni valore di a > �1.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 18 Settembre 2012

TEMA1

Esercizio 1 (9 punti). Si consideri la funzione

f(x) =x2

4 log2 x + 2 log x + 1

(a) Determinare il dominio di f , il segno, eventuali simmetrie e periodicita.


(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .


(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.

(Non e richiesto lo studio della derivata seconda di f(x)).

Esercizio 2 (8 punti).

(a) Calcolare l’integrale definito ∫ 4

3

1

(x− 2)√xdx.

(b) Discutere la convergenza dell’integrale improprio

∫ 2

0

1

(x− 2)√xdx .

Esercizio 3 (7 punti) Determinare il carattere della serie

+∞∑

n=1

(2n + 1)!

(n + 1)n

Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente limite:

limx→0+

log(1 + x + x2)− sinx

1− cosx + x4 log x.

Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte

N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’appello successivo a

questo.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 18 Settembre 2012

TEMA2


f(x) =x2

3 log2 x + 2 log x + 1

(a) Determinare il dominio di f , il segno, eventuali simmetrie e periodicita.





(Non e richiesto lo studio della derivata seconda di f(x)).


(a) Calcolare l’integrale definito ∫ 5

4

1√x (x− 3)

dx.

(b) Discutere la convergenza dell’integrale improprio

∫ 3

0

1√x (x− 3)

dx .

Esercizio 3 (7 punti) Determinare il carattere della serie

+∞∑

n=1

(n + 1)n

(2n + 1)!

Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente limite:

limx→0+

ex+x2 − 1− log(1 + x)

sin(x2) + x3 log x.


N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’appello successivo a

questo.

ANALISI MATEMATICA 1Commissione V. Casarino, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Soluzioni del TEMA1Esercizio 1

(a) Si osservi che f(x) = x2

g(x) , ove g(x) = p(log x) e p(t) = 4t2 + 2t+ 1. Poiche il polinomio 4t2 + 2t+ 1

ha discriminante negativo, il denominatore di f non si annulla mai. Per la presenza della funzionelog x risulta quindi

domf = {x ∈ R : x > 0}.La funzione non presenta simmetrie o periodicita ed e sempre positiva.

(b) Risultalimx→0+

f(x) = 0

elim

x→+∞f(x) = +∞ .

Non ha senso cercare eventuali asintoti obliqui per x → +∞, perche f tende a +∞ con ordinemaggiore di uno.

(c) La funzione e continua e derivabile su tutto il suo dominio come conseguenza dei teoremi sullacontinuita e sulla derivabilita del quoziente e della composizione di funzioni. Risulta, inoltre,

f ′(x) =8x log2 x− 4x log x

g2(x).

La funzione risulta allora crescente sugli intervalli (0, 1) e (e1/2,+∞), decrescente in (1, e1/2).

f presenta un massimo relativo in x = 1 (ove assume il valore 1) e un mnimo relativo in e1/2, oveassume il valore e/3. La funzione non ha ne massimi ne minimi assoluti.

(d) Risulta

limx→0+

f ′(x) = limx→0+

8x log2 x− 4x log x

g2(x)= 0 .

Esercizio 2

(a). Per il calcolo dell’integrale definito, tramite la sostituzione x = t2 (che implica “dx = 2t dt”, x = 3ed x = 4 da sostituire con t =

√3 e t = 2 rispettivamente) otteniamo

I :=

∫ 4

3

1

(x− 2)√xdx = 2

∫ 2

√3

1

t2 − 2dt.

Osserviamo che si ha t2 − 2 = (t−√

2)(t +√

2); inoltre l’equazione

A

t−√

2+

B

t +√

2=

1

t2 − 2

implica: A =√

2/4 e B = −√

2/4. Abbiamo pertanto

I = 2

∫ 2

√3

1

t2 − 2dt =

√2

2

∫ 2

√3

(1

t−√

2− 1

t +√

2

)dt

=

√2

2

[log |t−

√2| − log |t +

√2|]2√3

=

√2

2log

[(2−

√2)(√

3 +√

2)

(2 +√

2)(√

3−√

2)

]=

√2

2log

[(√

2− 1)(√

3 +√

2)

(√

2 + 1)(√

3−√

2)

].

(b). Essendo l’integranda continua solo su (0, 2), si deve studiare il suo comportamento sia intorno alpunto x = 0 che al punto x = 2. Per il primo notiamo che

1

(x− 2)√x∼ −1

2x−1/2 per x→ 0+.

Per il criterio del confronto asintotico, l’integrale improprio converge.

Per x = 2 osserviamo1

(x− 2)√x∼ (x− 2)−1√

2per x→ 2−.

Per il criterio del confronto asintotico, l’integrale improprio diverge.

(In alternativa, si puo usare il risultato del punto (a) e la definizione di integrale improprio:∫ 2

0· · · =

limξ→0+∫ 1

ξ· · ·+ limη→2−

∫ η1. . . dove il primo limite e convergente mentre il secondo e divergente.)

Esercizio 3 Essendo una serie a termini positivi, si puo provare ad usare il criterio del rapporto:

limn

an+1

an=

(2(n + 1) + 1)!

(n + 1 + 1)n+1

(n + 1)n

(2n + 1)!=

(2n + 3)!

(n + 2)n+1

(n + 1)n

(2n + 1)!=

=(2n + 1)!(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)n(n + 2)

(n + 1)n

(2n + 1)!=

(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)

(n + 1

n + 2

)n

=(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)

(1− 1

n + 2

)n=

(2n + 2)(2n + 3)

(n + 2)

[(1− 1

n + 2

)n+2] n

n+2

=

= +∞,

dove nel calcolo del limite si e tenuto conto che limn(1− 1n+2 )n+2 = e−1, limn

nn+2 = 1 e limn

(2n+2)(2n+3)(n+2) =

+∞.

Quindi limnan+1

an= +∞ e, per il principio del rapporto, la serie diverge.

Esercizio 4

limx→0+

log(1 + x + x2)− sinx

1− cosx + x4 log x.

Scriviamo lo sviluppo di McLaurin del numeratore:

log(1 + x + x2)− sinx = (x + x2)− 1

2(x + x2)2 +

1

3(x + x2)3 − x +

x3

3!+ o(x3) =

x2

2+ o(x2),

per x→ 0.

Al denominatore:

1− cosx + x4 log x =x2

2+ o(x2),

per x→ 0, dove abbiamo tenuto conto che limx→0+x4 log xx2 = 0 quindi x4 log x = o(x2). Quindi facendo il

quoziente si ottiene che il limite e = 1.



TEMA


Si consideri la funzionef(x) = earctan |x2�1|

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno della funzione.



(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi.


Facoltativo: Studiare la convessita di f sull’intervallo (1, +1) e determinare gli eventuali flessi.


(a) Determinare il dominio della funzione

f(x) =4 + log x

x(9 � log2 x)

e dedurne il massimo intervallo contenente x0 = 2 sul quale la funzione e definita.

(b) Calcolare tutte le primitive di f su tale intervallo.

Esercizio 3 (8 punti). Si consideri la serie:

+1X

n=1

⇣ 2

n� log(1 +

2

n)⌘ 1

n↵.

(a) Stabilire per quali ↵ 2 R il termine n�esimo della serie an tende a zero.

(b) Stabilire per quali ↵ 2 R la serie converge.


g(x, y) = e2x log y

.

(a) Determinare il dominio di definizione di g e disegnarlo nel piano cartesiano.

(b) Calcolare le derivate parziali prime di g.

(c) Calcolare le derivate direzionali di g nel punto (1, 1) nella generica direzione v = (cos↵, sin↵),↵ 2 [0, 2⇡).


N.B. Le parti facoltative vanno svolte dopo aver completato le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.

N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere l’ appello successivo a

questo.



TEMA


Si consideri la funzionef(x) = earctan |x2�4|

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno della funzione.





Facoltativo: studiare la convessita di f sull’intervallo (2, +1) e determinare gli eventuali flessi.


(a) Determinare il dominio della funzione

f(x) =3 + log x

x(16 � log2 x)

e dedurne il massimo intervallo contenente x0 = 3 sul quale la funzione e definita.

(b) Calcolare tutte le primitive di f su tale intervallo.

Esercizio 3 (8 punti). Si consideri la serie:

+1X

n=1

⇣ 3

n� log(1 +

3

n)⌘ 1

n↵.

(a) Stabilire per quali ↵ 2 R il termine n�esimo della serie an tende a zero.

(b) Stabilire per quali ↵ 2 R la serie converge.


g(x, y) = e2y log x

.

(a) Determinare il dominio di definizione di g e disegnarlo nel piano cartesiano.

(b) Calcolare le derivate parziali prime di g.

(c) Calcolare le derivate direzionali di g nel punto (2, 2) nella generica direzione v = (cos↵, sin↵),↵ 2 [0, 2⇡).


N.B. Le parti facoltative vanno svolte dopo aver completato le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.


questo.



Soluzioni del tema

Esercizio 1f(x) = earctan |x2�1|

(a) Il dominio di f e tutto R. Inoltre, poiche f(x) = f(�x), la funzione e pari, cioe simmetrica rispettoall’asse delle ordinate. La funzione, essendo un esponenziale, e sempre positiva e inoltre, poichel’argomento dell’esponente e sempre maggiore o uguale a zero, si ha che f(x) � 1 per ogni x 2 R.Inoltre f(±1) = 1 quindi x = ±1 sono i punti di minimo assoluto e f = 1 e il minimo assoluto. Perla simmetria della funzione, studiamola per x � 0 e di conseguenza otterremo le informazioni ancheper gli x < 0.

(b) limx!+1 f(x) = e⇡/2 quindi y = e⇡/2 e un asintoto orizzontale per x ! +1. Inoltre, poichearctan() < ⇡/2 si ha che f(x) < e⇡/2, quindi f(x) tende a e⇡/2 ”da sotto”.

(c) La funzione e continua su R perche composizione di funzioni continue. Per studiarne la derivata

prima conviene spezzare la funzione per x > 1 e per 0 < x < 1. Per x > 1 si ha f(x) = earctan(x2�1)

da cui f 0(x) = earctan(x2�1) 11+(x2�1)2 2x. Quindi, poiche stiamo considerando gli x > 1 si ha che

f 0 > 0 cioe f e strettamente crescente per ogni x > 1. Per 0 < x < 1 si ha f(x) = earctan(1�x2) da

cui f 0(x) = earctan(1�x2) 11+(1�x2)2 (�2x). Quindi, poiche stiamo considerando gli 0 < x < 1 si ha che

f 0 < 0 cioe f e strettamente decrescente per ogni 0 < x < 1. Inoltre abbiamo gia osservato in a)che x = 1 e un punto di minimo assoluto. Nel punto x = 0 f e derivabile. Inoltre f e strettamentedecrescente a destra di 0 ed e simmetrica, f(0) = e⇡/4, quindi x = 0 e un punto di massimo relativo.

(d) Dall’espressione della derivata prima di f trovata in c) si ha che f 0+(1) = limx!1+ f 0(x) = 2 e

f 0�(1) = limx!1� f 0(x) = �2 quindi f non e derivabile in x = 1 e x = 1 e un punto spigoloso. Una

volta ottenute tutte queste informazioni si puo disegnare il grafico per x > 0 e poi disegnare la curvasimmetrica rispetto all’asse delle y ottenendo cosı il grafico di f(x).

Facoltativo: Derivando l’espressione di f 0 per x > 1 si ottiene f 00(x) = earctan(x2�1) 2(1+(x2�1)2)2 (�3x4 +

2 + 4x2). Poiche la funzione e due volte derivabile per x > 1 i possibili flessi si trovano cercando gli zeri

di f 00, cie risolvendo �3x4 + 2 + 4x2 = 0. Ponendo x2 = y si ha 3y2 � 4y � 2 = 0 da cui x2 = 2+p

103 .

Quindi c’e un flesso per x > 1 in x0 =

q2+

p10

3 e la funzione e concava a destra di tale punto e convessaper 1 < x < x0.

Esercizio 2

(a) Il dominio della funzione

f(x) =4 + log x

x(9 � log2 x)

si ottiene imponendo x > 0 (in quanto x e argomento del logaritmo) e la condizione log2 x 6= 9, cioelog x 6= ±3, cioe ancora x 6= e±3. Risulta quindi

domf := {x > 0 : x 6= e±3} = (0, e�3) [ (e�3, e3) [ (e3, +1) .

Cio implica che il piu grande intervallo contenente x0 = 2 sul quale la funzione e definita sia (e�3, e3).

(b) Calcoliamo l’integrale indefinito

I :=

Z4 + log x

x(9 � log2 x)dx

imponendo la sostituzione log x = t. Otteniamo

I =

Z4 + t

9 � t2dt =

Z3 + t + 1

(3 + t)(3 � t)dt =

Z1

3 � tdt +

Z1

(3 + t)(3 � t)dt


Vicenza, 24 Febbraio 2012

TEMA


f(x) = arctan

✓e2x

e2x + 1

◆

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, periodicita e segno.



(d) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.


Facoltativo: Individuare il piu grande intervallo contenente 0 in cui la funzione e invertibile; individuare la funzione

inversa ed il suo dominio.

Esercizio 2. (8 punti)

(a) Calcolare una primitiva di

f(x) =1

x3arctan(

2

x).

(b) Dire se l’integrale generalizzatoR +11

f(x) dx converge e in caso a↵ermativo calcolarlo.


(a) Stabilire per quali ↵ > 0, la successione ak = tan 1k � sin 1

k↵ converge per k ! +1.

(b) Studiare il carattere della serie+1X

k=1

ak



f(x, y) = log

✓y log(x � 1)

◆.

(a) Trovare e disegnare in R2 il dominio di definizione. Dire se e aperto, chiuso, ne aperto ne chiuso.

(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (e + 1, 1).


N.B. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver fatto le altri parti e non servono per ottenere l’ammissione all’orale.


questo.



TEMA


f(x) = arctan

✓e3x

e3x + 1

◆










f(x) =2

x3arctan(

1

x).




(a) Stabilire per quali � > 0 la successione ak = sin 1k� � e1/k + 1 converge per k ! +1.


k=1

ak

al variare di � > 0.


f(x, y) = log

✓(y � 2) log x

◆.


(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (e, 3).




questo.



TEMA


f(x) = arctan

✓e2x

e2x + 2

◆










f(x) =1

x3arctan(

3

x).




(a) Stabilire per quali ↵ > 0 la successione ak = sin 1k � sinh 1

k↵ converge per k ! +1.


k=1

ak



f(x, y) = log

✓x log(y � 1)

◆.


(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (1, e + 1).




questo.



TEMA


f(x) = arctan

✓e3x

e3x + 2

◆










f(x) =3

x3arctan(

1

x).




(a) Stabilire per quali � > 0 la successione ak = e1/k� � 1 � sin1

kconverge per k ! +1.


k=1

ak

al variare di � > 0.


f(x, y) = log

✓(x � 2) log y

◆.


(b) Calcolare il piano tangente al grafico in (3, e).




questo.



Soluzioni del tema 1

Esercizio 1

(a) dom(f) = R; infatti arctan e definita su tutto R e e2x + 1 6= 0 per ogni x 2 R.

La funzione non presenta simmetrie ne evidenti periodicita.

Segno: f(x) > 0 8x 2 R. Infatti f > 0 equivale a e2x

e2x+1 > 0 e quest’ultima e sempre verificata.

(b) Si halim

x!+1f(x) = arctan 1 = ⇡/4, lim

x!�1f(x) = arctan 0 = 0

perche arctan e continua e perche ( e2x

e2x+1 ) ! 1 e ! 0 rispettivamente per x ! +1 e per x ! �1.

Ne deduciamo che le rette y = ⇡/4 e y = 0 sono rispettivamente l’asintoto orizzontale per x ! +1e per x ! �1.

(c) La funzione e continua sul suo dominio, come conseguenza dei teoremi sulla somma, la composizionee il quoziente di funzioni continue. La funzione e anche derivabile nei punti del suo dominio, comeconseguenza dei teoremi sulla somma, la composizione e il quoziente di funzioni derivabili.

Risulta poi

f 0(x) =1

1 +⇣

e2x

e2x+1

⌘2

2e2x(e2x + 1) � e2x(2e2x)

(e2x + 1)2=

2e2x

2e4x + 2e2x + 1.

Ne segue che f 0 > 0 su R. Quindi la funzione f e sempre strettamente crescente e non presentapunti di massimo o minimo ne relativi ne assoluti.

(Si osservi che a questa conclusione si puo giungere osservando che f(x) ⌘ arctan(1 � 1e2x+1 ) e la

composizione di funzioni strettamente crescenti).

Non richiesto: per il teorema di monotonia si evince facilmente che inf(f) = 0, sup(f) = ⇡/4.

(d) Risulta

f 00(x) =4e2x(2e4x + 2e2x + 1) � 2e2x(8e4x + 4e2x)

[2e4x + 2e2x + 1]2=

4e2x

[2e4x + 2e2x + 1]2��2e4x + 1

�.

Ne segue che lo studio di f 00 > 0 equivale a quello di �2e4x + 1 > 0. Quindi abbiamo f 00 > 0 perx < � ln 2

4 , f 00 < 0 per x > � ln 24 e f 00(� ln 2

4 ) = 0.

La funzione e convessa su (�1,� ln 24 ), concava su (� ln 2

4 , +1) e presenta un flesso in � ln 24 (non

richiesto: con coe�ciente angolare della tangente pari a 1/(p

2 + 1)).

Domanda facoltativa. Essendo strettamente crescente, f e invertibile sul suo dominio. Denotiamog la sua inversa, cioe g = f�1. Abbiamo: dom(g) = Im(f) = (0,⇡/4).

Ricordiamo che si costruisce la funzione inversa tramite la relazione “g(y) = x00 se e solo se f(x) = y.Osserviamo che arctan(. . . ) = y se e solo se (. . . ) = tan y se e solo se (1 � tan y)e2x = tan y se e solo se

e2x = tan y1�tan y se e solo se x = 1

2 log⇣

tan y1�tan y

⌘. Pertanto abbiamo g(y) = 1

2 log⇣

tan y1�tan y

⌘.

Esercizio 2

a) Con la sostituzione y = 2/x, poiche dy = � 2x2 dx, l’integrale diventa:

Z1

x3arctan

2

xdx = �1

4

Zy arctan y dy.

Integrando per parti prendendo y come fattore integrante:

Zy arctan y dy =

y2

2arctan y �

Zy2

2

1

1 + y2dy =

y2

2arctan y � 1

2

Zy2 + 1 � 1

1 + y2dy

Dividiamo ora il numeratore per il denominatore e otteniamo:

y2

2arctan y � 1

2

Z1dy +

1

2

Z1

1 + y2dy =

y2

2arctan y � y

2+

1

2arctan y.

Ritornando alla variabile x e tenendo conto del fattore �1/4 a moltiplicare si ha che una primitiva di f(x)e G(x) = � 1

2x2 arctan 2x + 1

4x � 18 arctan 2

x

b) Poiche arctan y ⇠ y se y ! 0, si ha che, per x ! +1 f(x) = 1x3 arctan 2

x ⇠ 1x3

2x = 2

x4 . Quindi peril principio del confronto asintotico f(x) e asintotica ad un funzione che e integrabile in (1, +1) e quindie integrabile. Per calcolare l’integrale, si usa la definizione di integrale generalizzato:

Z +1

1

1

x3arctan

2

xdx = lim

K!+1

Z K

1

1

x3arctan

2

xdx = lim

K!+1G(K) � G(1)

dove G(x) e la primitiva trovata sopra al punto a). Quindi si ottiene

Z +1

1

1

x3arctan

2

xdx = lim

K!+1� 1

2K2arctan

2

K+

1

4K� 1

1

8arctan

2

K� 1 +

5

8arctan 2 =

5

8arctan 2 � 1.

Esercizio 3

(a) Dalle stime asintotiche sin x ⇠ x e tan x ⇠ x per x ! 0 e dal fatto che 1k↵ ! 0 per k ! +1, per

ogni valore di ↵ > 0, e immediato dedurre che la successione ak converge a 0 per k ! +1, per ogni↵ > 0.

(b) Osserviamo che se ↵ 2 (0, 1), allora tan 1k � sin 1

k↵ ⇠ � 1k↵ , perche

limk!+1

tan 1k � sin 1

k↵

1k↵

= limt!0

tan t � sin t↵

t↵= lim

t!0(t1�↵ � 1) = �1 .

Dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce allora che la serie data non converge se↵ 2 (0, 1).

Se ↵ > 1, si ha tan 1k � sin 1

k↵ ⇠ 1k , perche

limk!+1

tan 1k � sin 1

k↵

1k

= limt!0

tan t � sin t↵

t= lim

t!0(1 � t↵�1) = 1 .

Anche in questo caso, dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce allora che la seriedata non converge se ↵ > 1.

Infine, se ↵ = 1, dagli sviluppi elementari si ottiene

tan1

k� sin

1

k=

1

k+

1

3k3� 1

k+

1

3!k3+ o(

1

k3) =

�13

+1

3!

� 1

k3+ o(

1

k3)

per k ! +1. Dal confronto con la serie armonica generalizzata si deduce in questo caso che la seriedata converge se ↵ = 1.

Esercizio 4

a) Il dominio di f(x, y) e il sottoinsieme di R2 formato da tutte le coppie del piano tali che x > 1 ey log(x � 1) > 0. La seconda disuguaglianza porta a trovare i punti(

y > 0

x > 2oppure

(y < 0

x < 2

quindi si ottiene che il dominio e D = D1 [ D2 dove D1 = {(x, y) : x > 2 e y > 0} e D2 = {(x, y) : 1 <x < 2 e y < 0}.Il dominio e l’unione di due insieme aperti quindi e aperto.

b) L’equazione del piano tangente al grafico di f in (e + 1, 1) si ottiene dalla formula:

z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x � x0) + fy(x0, y0)(y � y0).

Si ha che f(e + 1, 1) = 0.

Calcoliamoci le derivate parziali di f :

fx(x, y) =1

y log(x � 1)

y

x � 1, fy(x, y) =

1

y log(x � 1)log(x � 1) =

1

y.

Calcolate in (e + 1, 1) si ha fx(e + 1, 1) = 1e , fy(e + 1, 1) = 1, da cui otteniamo l’equazione del piano

tangente cercata:

z =1

e(x � e � 1) + y � 1 =

x

e+ y � 2 � 1

e.

-

6

x

y

� log 24

f(� log 24 )



TEMA


f(x) = log |e2x � 1| +2

e2x � 1.

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita, i limiti agli estremi del dominio edeventuali asintoti di f .

(b) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f .

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.Non e richiesto lo studio della convessita della funzione.

Facoltativo: Stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0.


2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

.

(a) Trovarne una primitiva.

(b) Calcolarne l’integrale sull’intervallo (log 4, +1).


(a) Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 3 della funzione

g(x) = log (1 + sin(3x)) � ↵ arctan(3x) +9

2x2 ,

al variare del parametro ↵ 2 R.

(b) Determinare ↵ in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .

Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie

+1X

n=1

(�1)n

pn

3n � 2 log n.




questo.



TEMA

Esercizio 1. (9 punti) Si consideri la funzione

f(x) = log |e4x � 1| +3

e4x � 1.






2e2x + 2ex

pe2x + 2ex � 8

.





g(x) = � arctan(2x) � log (1 + sin(2x)) � 2x2 ,

al variare del parametro � 2 R.

(b) Determinare � in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .

Esercizio 4. (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie

+1X

n=1

(�1)n

pn

4n � log n.




questo.



TEMA


f(x) = log |e2x � 1| +3

e2x � 1.






2e2x + ex

pe2x + ex � 6

.





g(x) = log (1 � sinh(3x)) + ↵ arctan(3x) +9

2x2 ,

al variare del parametro ↵ 2 R.

(b) Determinare ↵ in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .


+1X

n=1

(�1)n

pn

3n � log n.




questo.



TEMA


f(x) = log |e3x � 1| +2

e3x � 1.






2e2x � ex

pe2x � ex � 6

.





g(x) = log (1 � sinh(2x)) + � arctan(2x) + 2x2 ,

al variare del parametro � 2 R.

(b) Determinare � in modo tale che

g(x) = o(x2) per x ! 0 .


+1X

n=1

(�1)n

pn

2n � log n.




questo.



Soluzioni del tema 1

Esercizio 1

(a) Osserviamo innanzitutto che la funzione f si puo esprimere come

f(x) =

(log(e2x � 1) + 2

e2x�1 se x > 0 ,

log(1 � e2x) + 2e2x�1 se x < 0 .

Il dominio di f e l’insieme dom f := {x 2 R : x 6= 0}. La funzione non presenta simmetrie neperiodicita. Si ha, inoltre, lim

x!+1f(x) = +1, lim

x!�1f(x) = �2, lim

x!0+f(x) = (y = e2x � 1) =

limy!0+

(log y + 2/y) = +1 (per gerarchia degli infiniti) e limx!0�

f(x) = �1.

La retta y = �2 e quindi asintoto orizzontale sinistro.Per x > 0, osserviamo che

f(x) = 2x + log�1 � 1

e2x

�+

2

e2x � 1; (1)

cio implica limx!+1

f(x)

x= 2 e lim

x!+1

�f(x) � 2x

�= 0, cosı che la retta y = 2x e asintoto obliquo

destro per f .

(b) La funzione e continua sul suo dominio, come conseguenza dei teoremi sulla somma, la composizionee il quoziente di funzioni continue. La funzione e inoltre derivabile nei punti del suo dominio, comeconseguenza dei teoremi sulla somma, la composizione e il quoziente di funzioni derivabili.Risulta, inoltre, per x > 0,

f 0(x) =2e2x

e2x � 1� 4e2x

(e2x � 1)2=

2e2x(e2x � 3)

(e2x � 1)2,

cosı che f e decrescente sull’intervallo (0, log 32 ), crescente in ( log 3

2 ,+1).

Il punto x1 = log 32 e un punto di minimo relativo (non assoluto), e si ha f(x1) = log 2 + 1.

Per x < 0 si ha poi

f 0(x) =�2e2x

1 � e2x� 4e2x

(e2x � 1)2= �2e2x(3 � e2x)

(1 � e2x)2.

Poiche e2x < 3 per ogni x < 0, risulta f 0(x) < 0 per ogni x < 0, cosı che f e decrescente sull’intervallo(�1, 0).

Domanda facoltativa. Infine, per stabilire se esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0 studiamo laconvessita di f . Per calcolare la derivata seconda, scriviamo f 0(x) = h(g(x)), x > 0, con g(x) = e2x

e h(t) = 2t(t�3)(t�1)2 .

Poiche risulta h(t) = 2 � 2t�1 � 4

(t�1)2 , si ha allora

f 00(x) = h0(g(x)) g0(x) = 2e2x⇣ 2

(e2x � 1)2+

8

(e2x � 1)3

⌘� 0

per ogni x > 0. Dalla convessita di f si deduce che non esiste un punto x0 > 0 tale che f(x0) < 2x0.

Un’altra possibilita consiste nello studiare il segno di f(x)� 2x usando la formula (??). Si dimostrafacilmente, usando gli sviluppi elementari per x ! +1, che f(x) � 2x > 0.

Esercizio 2

Innanzitutto consideriamo la sostituzione ex = y. Poiche ex dx = dy si ha

Z2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

dx =

Z2y � 5p

y2 � 5y + 6dy.

Al numeratore si ha proprio la derivata della funzione sotto radice, quindi con la sostituzione y2�5y+6 = z,l’integrale diventa Z

1pz

dz = 2z1/2 + C

e considerando le sostituzioni fatte si ha che una primitiva della funzione e 2p

e2x � 5ex + 6 + C, C 2 R.Per calcolare l’integrale generalizzato basta usare la definizione:

Z +1

log 4

2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

dx = limk!+1

Z k

log 4

2e2x � 5ex

pe2x � 5ex + 6

dx = limk!+1

2p

e2k � 5ek + 6 � 2p

2 = +1.

Quindi l’integrale diverge a +1.

Esercizio 3

(a) Dagli sviluppi elementari si deduce che

g(x) = log (1 + sin(3x)) � ↵ arctan(3x) +9

2x2

= sin(3x) � 1

2

�sin(3x)

�2+

1

3

�sin(3x)

�3 � 3↵x +1

3↵(3x)3 +

9

2x2 + o(x3)

= 3(1 � ↵)x +9

2x2 � 9

2x2 � 1

3!(3x)3 + 9x3 + 9↵x3 + o(x3)

= 3(1 � ↵)x + 9(↵ +1

2)x3 + o(x3) ,

per x ! 0, al variare del parametro ↵ 2 R (si osservi che nel primo passaggio si e usata la relazioneo([sinx]3) = o(x3)).

(b) A�nche risulti g(x) = o(x2) per x ! 0 , il termine di primo grado nello sviluppo di g deveannullarsi. Bisogna quindi imporre ↵ = 1.

Esercizio 4 Denotiamo an :=p

n3n�2 log n .

*) Convergenza assoluta. Si deve studiare il comportamento della serieP+1

n=1 an. Osserviamo che

an =1

3

pn

n|{z}=n�1/2

1

1 � 2 log n3n| {z }

!1

;

in particolare ne deduciamo che an ⇠ 13n�1/2. Per il criterio del confronto asintotico, essendo

divergente la serieP+1

n=1 n�1/2, la serieP+1

n=1 an e divergente.

*) Convergenza semplice. Verifichiamo le ipotesi del criterio di Leibniz. Ovviamente abbiamo an > 0.Inoltre, per i calcoli del punto precedente, abbiamo anche: an ! 0 per n ! +1. Rimane dadimostrare che an sia definitivamente decrescente. A questo scopo basta provare che la funzione

f(x) :=

px

3x � 2 log x

abbia derivata definitivamente negativa per x ! +1. Infatti si ha

f 0(x) =�3x � 2 log x + 4

2p

x[3x � 2 log x]2< 0 (almeno) per x >

4

3.

In conclusione: tutte le ipotesi del criterio di Leibniz sono verificate e quindi la serie convergesemplicemente.

-

6

x

y

��y = 2x

y = �2

f( log 32 )

log 32

ANALISI MATEMATICA 1Commissione A.Centomo, M. Motta

Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza


TEMA

Esercizio 1

f(x) = 3x e� arctan

„1p

x2�9

«

.

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f 0, se significativi.


Non e richiesto lo studio della convessita.

Esercizio 2 Calcolare

limn!+1

n3 arcsin�

1n

�� n sin(n) + (n + 1) arctan(n!)

n! + 2en2+log(n2)en2

Esercizio 3 Calcolare Z ⇡4

�⇡4

| sin x|cos2 x + 7 cos x + 12

dx

Esercizio 4 Data+1X

n=1

log(n + 1) � log n

3 + nx2n+1,

(a) studiare la convergenza della serie 8x � 0;

(b) (Facoltativo) studiare la convergenza della serie 8x < 0.

Tempo: due ore e mezza.




TEMA1Esercizio 1 Si consideri la funzione

f(x) = arctan

( |x− 3|x

+ 1

)



(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.



Esercizio 2 Calcolare l’integrale improprio

∫ +∞

0

coshx

sinh2 x + | sinh2 x− 4|+ 6dx

Esercizio 3 Calcolare il limite seguente

limx→+∞

xa + ax + sin(x2)

6ex +√x6 + 2x + 1

per ogni valore del parametro a > 0.


f(x, y) =

{sin(√

x2+y2) log(1+x2y2)x per x 6= 0

0 per x = 0

(a) Discutere la continuita di f in (x, y) = (0, 0).

(b) (Facoltativo) Discutere la derivabilita e la differenziabilita di f in (x, y) = (0, 0).

Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. Si puo utilizzare un unico foglio A4 di

regole, personale. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. E vietato uscire dall’aula durante il

compito.

Traccia di soluzione del Tema 1

Commissione A. Centomo, M. Motta

12 luglio 2011

Esercizio 1


f(x) = arctan

!|x ! 3|

x+ 1

"


(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti incui è possibile prolungare la funzione.

(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f !, se significativi.


Non è richiesto lo studio della convessità.

Soluzione. La funzione è definita in D =R\{0} e possiamo riscriverla nella forma

f(x) =

#$$$$$$%$$$$$$&

arctan

!2! 3

x

"x " (3, + #)

!

4x= 3

arctan

!3

x

"x " ( !#, 0) $ (0, 3).

La funzione non presenta simmetrie e

f(x) > 0 x " (0, +#)f(x) < 0 x " ( !#, 0).

I limiti agli estremi del dominio sono

limx"+#

f(x)= arctan 2 limx"0+

f(x)=!

2

limx"$#

f(x)= 0 limx"0!

f(x)= ! !

2

da cui possiamo concludere che

a) la retta y = arctan 2 è asintoto orizzontale destro;

b) la retta y = 0 è asintoto orizzontale sinistro;

c) la funzione non è prolungabile per continuità in x= 0.

La derivata prima di f è

f !(x) =

#$$%$$&

3

5x2 ! 12x +9x " (3, + #)

! 3

x2 + 9x " (! #, 0)$ (0, 3).

Lo studio del segno della derivata prima è immediato

f !(x) > 0 x " (3, +#)f !(x) < 0 x " ( !#, 0) $ (0, 3)

1

da cui possiamo concludere che:

1. f(x) è monotona strettamente crescente in (3, +!)

2. f(x) è monotona strettamente decrescente in (" !, 0) e in (0, 3)

3. il punto x= 3 è di minimo relativo

4. f(x) non ammette massimo e minimo assoluto e sup f =!/2 mentre inf f = " !/2.

Per x= 3 si ha

limx!3+

f "(x)=1

6lim

x!3!f "(x)= " 1

6

da cui possiamo conclude che x= 3 è un punto angoloso.

Per determinare gli attacchi di f osserviamo che

limx!0!

arctan!

3

x

"" !

2

x= lim

z!0+

arctan!

3

z

"+

!

2

z= lim

z!0+" 3

z2 +9= " 1

3.

Figura 1. Grafico di f

Esercizio 2

Calcolare l’integrale improprio #

0

+# coshx

sinh2x + |sinh2x " 4| + 6d x

Soluzione. Osserviamo che

|sinh2x " 4| =$

sinh2x " 4 x # [settsinh 2, + !)

4 " sinh2x x # [0, settsinh 2]da cui

I =

#

0

+# coshx

sinh2x+ |sinh2x " 4| + 6d x =

1

10

#

0

settsinh 2

cosh x dx +1

2

#

settsinh 2

+# coshx

sinh2x +1d x.

Utilizziamo la sostituzione z = sinh x

I =1

10

#

0

2

dz +1

2

#

2

+# dz

1+ z2=

1

5+

!

4" 1

2arctan 2.

2 Sezione

Esercizio 3

Calcolare il limite seguente

limx!+"

xa + ax + sin(x2)

6ex + x6 + 2x+ 1!

per ogni valore del parametro a > 0.

Soluzione. Iniziamo dallo studio del denominatore osservando che

limx!+"

6ex

x6 +2x+ 1! = lim

x!+"6ex

x3 + o(x3)= + ".

Possiamo quindi calcolare il limite distinguendo i seguenti casi

i. a > 1

limx!+"

xa + ax + sin(x2)

6ex + x6 + 2x+ 1! = lim

x!+"ax

6ex

i cui valori sono

a) 0 se 1 <a < e,

b) 1/6 se a = e

c) + " se a > e

ii. 0 <a # 1

limx!+"

xa + ax + sin(x2)

6ex + x6 +2x +1! = lim

x!+"xa

6ex= 0.

Esercizio 4


f(x, y)=

!"#

sin( x2 + y2$

) log(1+ x2y2)

xper x 0

0 per x= 0

(a) Discutere la continuità di f in (x, y)= (0, 0).

(b) (Facoltativo) Discutere la derivabilità e la di!erenziabilità di f in (x, y)= (0, 0).

Soluzione. Osserviamo che per ogni (x, y)$ {(x, y) $R2: 0 < x2 + y2$

# 1} si ha

0 # sin( x2 + y2$

) log(1+ x2y2)

x# log (1 +x2y2)

x# x2y2

x= xy2

da cui, utilizzando il teorema del confronto, concludiamo che

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y)= 0.

Quindi f è continua in (0, 0). Possiamo calcolare le derivate parziali di f nel punto (0, 0) ricor-rendo alla definizione %

!f

!x

&(0, 0)= lim

h!0

f(h, 0)% f(0, 0)

h= 0

%!f

!y

&(0, 0) = lim

h!0

f(0, h)% f(0, 0)

h= 0.

A questo punto calcoliamo

lim(x,y)!(0,0)

f(x, y) % f(0, 0)% &f(0, 0) · (x, y)

x2 + y2$ = lim

(x,y)!(0,0)=

sin( x2 + y2$

) log(1 + x2y2)

x x2 + y2$ = 0

da cui concludiamo che f(x, y) = f(0, 0) % &f(0, 0) · (x, y) + o('(x, y)') ossia che f è di!erenzia-bile in (0, 0).

Esercizio 4 3


di A. Centomo & M. Motta

24 febbraio 2011

Esercizio 1


f(x)= 2log (cosh (3x))! 6x

(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Non è richiesto lo studio del segno dif .


(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f !, se significativi.



Soluzione. (a) La funzione è definita su tutto R. Osservato che

f( !x)= 2log (cosh (3x)) +6x= f(x)+ 12x

possiamo concludere che f(x) non presenta simmetrie.

(b) Per calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, osserviamo che pos-siamo riscrivere f(x) nella forma

f(x) = 2log!e3x + e"3x

"! 2log 2! 6x

= 2log(e3x(1+ e"6x))! 2log 2! 6x

= 2log (1 + e"6x)! 2log 2e anche

f(x) = 2log!e3x + e"3x

"! 2log 2! 6x

= 2log(e"3x(e6x + 1))! 2log 2! 6x

= 2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12x.

Ora i limiti agli estremi del dominio sono

limx#+$

f(x)= ! 2log 2 limx#"$

f(x)= + "

da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = ! 2log 2 è asintoto orizzontale destro.Inoltre

limx#"$

2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12xx

=! 12

e

limx#"$

#2log (e6x + 1) ! 2log 2 ! 12x+ 12x

$=! 2log 2

da cui possiamo concludere che la retta di equazione y = ! 12x ! 2log 2 è asintoto obliquo sini-stro.

(c) La funzione è continua e derivabile in R e la sua derivata prima è

f !(x)= 6sinh(3x)

cosh(3x)! 6= 6(tanh(3x)! 1)

1

oppure, usando la prima delle formulazioni equivalenti di f ,

f !(x) =! 12e"6x

1+ e"6x

ed è sempre strettamente negativa (ricordiamo: ! 1 < tanh y < 1 "y #R). In conclusione la fun-zione è monotona strettamente decrescente su tutto R.


Esercizio 2

Calcolare l’integrale !

0

2

log"(2+ x)4x

#d x.

Soluzione. Iniziamo osservando che

I =

!

0

2

log"(2+ x)4x

#d x=

!

0

2

4x log (2 + x)d x.

Ora, integrando per parti, si ha!

0

2

4x log (2 +x)d x="2x2log (2+ x)

#0

2 !!

0

2 2x2

2 + xdx= 16 log 2!

!

0

2 2x2

2 + xdx.

La funzione integranda dell’ultimo integrale è una funzione razionale e il grado del suo numera-tore è maggiore di quello del denominatore. Quindi, ricorrendo all’algoritmo di divisione euclidea(Ru!ni), si ha

2x2 = (2x ! 4)(2 + x)+ 8

da cui !

0

2 2x2

2 +xdx =

!

0

2

(2x ! 4)d x +

!

0

2 8

2 +xdx

e !

0

2

(2x ! 4)d x +

!

0

2 8

2 +xdx=

"x2 ! 4x

#0

2+ [8log |2 +x|]0

2 =! 4 +8 log 2.

In conclusione

I = 16 log 2+ 4! 8 log 2 =4 + 8 log 2.

2 Sezione

Nota 1. Osserviamo che per risolvere l’esercizio non serviva conoscere l’algoritmo di divisioneeuclidea in quanto si ha anche la decomposizione

!2x2

2+ xdx = 2

!x2 + 2x ! 2x

2 + xdx

= 2

!x(2 +x)

2 + xdx ! 4

!x+ 2 ! 2

2 +xd x

= x2 ! 4x +8log|x+ 2| + ccon c "R.

Esercizio 3

Posto

an =n2 + 3n+ 1

#! n2 + 2n ! 1

#

(3n +6)· 1

n

"a!1

3

#

log1

2n

,

(a) discutere la convergenza della serie$

n=2+" an per ogni valore a "R del parametro;

(b) (Facoltativo) discutere la convergenza semplice della serie$

n=2+" ( ! 1)n+1 an per ogni

valore a $ 1/3 del parametro.

Soluzione. (a) La serie è a termini positivi. Per n% & si ha

n2 +3n + 1#

! n2 + 2n ! 1#

(3n + 6)=

1

3(n + 2)· n + 2

n2 + 3n + 1#

+ n2 + 2n ! 1# ' 1

6n.

e, nello stesso limite, an' bn con

bn =1

6n· 1

n

"a! 1

3

#

log1

2n

=1

6n

"a+

2

3

#

log1

2nQuindi la serie converge se

a +2

3> 1 ( a >

1

3e diverge se a ) 1/3.

(b) La serie a termini di segno alterno converge assolutamente e quindi anche semplicemente pera > 1/3. Per a = 1/3 la serie non converge assolutamente ma semplicemente per il criterio diLeibnitz (o delle serie a segni alterni). Infatti an è infinitesima, per quanto visto al punto (a), e

decrescente perchè a denominatore 3( n2 + 3n +1#

+ n2 + 2n ! 1#

)log1

2n è chiaramente prodottodi successioni positive crescenti e quindi crescente, per cui il reciproco è decrescente.

Esercizio 4

a) Calcolare al variare del parametro a "R il limite

limx#0+

3arctanx ! 3a2x ! a x3

3sin3x !x4.

b) Determinare i valori del parametro a "R per i quali la funzione:

f(x)=

%&&&'&&&(

3arctanx ! 3a2x ! a x3

3sin3x !x4x " (0, 1]

3x2sin

)1

x2

*x " [ ! 1, 0)

risulta prolungabile per continuità in x= 0.

Esercizio 4 3

Soluzione. (a) Posto

fa(x)=3arctan x ! 3a2x ! a x3

3sin3x ! x4

osserviamo che, per x" 0+, il numeratore si può scrivere come

3arctanx ! 3a2x ! a x3 = 3x ! x3 ! 3a2x ! a x3 +3

5x5 + o(x6)

e quindi si hanno i seguenti casi:

i. a = ! 1, fa(x)=3

5x5 + o(x6);

ii. a = 1, fa(x) =! 2x3 + o(x4);

iii. a #R\{1, ! 1}, fa(x) =3(1 ! a2)x + o(x2).

Il denominatore si può scrivere come

3sin3x ! x4 = 3x3 + o(x3).

Possiamo adesso calcolare il limite iniziale nei tre casi:

1. a = ! 1

limx!0+

3

5x5 + o(x6)

3x3 + o(x3)= lim

x!0+

3

5x2 + o(x3)

3 + o(1)= 0

2. a = 1

limx!0+

! 2x3 + o(x4)

3x3 + o(x3)= lim

x!0+

! 2 + o(x)

3 + o(1)=! 2

33. a #R\{1, ! 1}

limx!0+

3(1! a2)x+ o(x2)

3x3 + o(x3)= lim

x!0+

(1! a2)+ o(x)

x2 + o(x2).

Per concludere notiamo che

4. se 1! a2 > 0 ossia se a # (! 1, 1) si ha

limx!0+

(1 ! a2)+ o(x)

x2 + o(x2)=+ $

5. se 1! a2 < 0 ossia se a #R\[ ! 1, 1] si ha

limx!0+

(1! a2)+ o(x)

x2 + o(x2)= !$.

(b) Dopo quanto discusso in precedenza, osservato che per x # [ ! 1, 0), si ha

0 % 3x2sin

!1

x2

"% 3x2

e che, per il teorema del confronto, si ha

limx!0!

f(x) =0

si conclude immediatamente che f(x) è prolungabile per continuità in x = 0 solo se a =! 1.

4 Sezione


Commissione A. Centomo, M. Motta

22 febbraio 2011

Esercizio 1


f(x) =

✓1

2

◆ 1

| 14�cos2 x|

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, periodicita e segno di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f ,eventuali punti in cui e possibile prolungare la funzione per continuita.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli dimonotonia e gli eventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi eassoluti, inf e sup) di f . Calcolare i limiti di f 0, se significativi.


Non e richiesto lo studio della convessita di f .Soluzione. (a) La funzione e definita per ogni x 2 tale che

1

4� cos2(x) 6= 0.

Per risolvere in l’equazione

1

4� cos2(x) = 0

osserviamo che la funzione cos2(x) e periodica di periodo ⇡ e pari. Quindie su�ciente determinare le soluzioni dell’equazione, ad esempio, nell’intervallo[0,⇡/2] ottenendo x = ⇡/3, aggiungere la soluzione simmetrica x = �⇡/3 equindi estendere le soluzioni ottenute per periodicita. In conclusione, il dominiodella funzione e

D = \ {x 2 : x = ±⇡/3 + k⇡, k 2 }.

La funzione e continua e positiva nel suo dominio. Inoltre f : D ! si puoscrivere nella forma

f(x) = 2� 1

| 14�cos2 x|

1

e f(�x) = f(x), f(x+⇡) = f(x) per ogni x 2 D, quindi f(x) e pari e periodicadi periodo ⇡.Per questo possiamo limitare il resto dello studio della funzione alla particolarerestrizione all’insieme D \ [0,⇡/2] = [0,⇡/2] \ {⇡/3}.(b) Agli estremi di [0,⇡/2] \ {⇡/3}, per la continuita di f , si ha

f(0) =1

2 3p

2f(⇡/2) =

1

16,

e l’unico limite da calcolare e

limx!⇡/3+

f(x) = limx!⇡/3�

f(x) = 0

da cui possiamo dedurre che f(x) e prolungabile per continuita su tutto [0,⇡/2]ponendo f(⇡/3) = 0, anzi, su tutto ponendo f(±⇡/3 + k⇡) = 0 per ognik 2 . La funzione non ha asintoti.(c) La funzione f(x) e derivabile per ogni x 2 [0,⇡/2] \ {⇡/3} e si ha

f 0(x) = e� log 2

| 14�cos2 x| · 2 log 2 sinx cos x�

14 � cos2 x

�| 14 � cos2 x|

e in particolare f 0(0) = f 0(⇡/2) = 0.Equivalentemente, essendo

�� 14 � cos2 x

�� = ±�

14 � cos2 x

�per 1

4 � cos2 x � 0(risp., < 0),

f 0(x) = ± log 2 · 2� 1

| 14�cos2 x| · 2 sinx cos x

�14 � cos2 x

�2 per1

4� cos2 x > 0 (risp., < 0).

Quindi lo studio del segno della derivata prima f 0(x) > 0, si riduce alla dise-quazione

1

4� cos2 x > 0

la cui soluzione e

f 0(x) > 0 x 2 (⇡/3,⇡/2) f 0(x) < 0 x 2 (0,⇡/3)

da cui possiamo concludere che f(x) e monotona strettamente decrescente nel-l’intervallo (0,⇡/3) e monotona strettamente crescente nell’intervallo (⇡/3,⇡/2).Il punto x = 0 e punto di massimo relativo e assoluto, il punto x = ⇡/2 e puntodi massimo relativo in [0,⇡/2]. Il punto x = ⇡/3 e di minimo assoluto per la fun-zione prolungata per continuita (0 e l’estremo inferiore della funzione data). Sututto D, f ha massimo assoluto in x = k⇡ e massimo relativo in x = ±⇡/2+k⇡per ogni k 2 . Il suo prolungamento per continuit a ad ha minimo assolutoin x = ±⇡/3 + k⇡ per ogni k 2 . Prima di abbozzare il grafico valutiamo ilimiti significativi della derivata prima:

limx!⇡/3+

f 0(x) = limx!⇡/3+

2642 sinx cos x

log 2·

log2 2

( 14�cos2 x)

2

e

log 2

( 14�cos2 x)

375

2

Osserviamo che

limx!⇡/3+

2 sinx cos x

log 2=

p3

2 log 2

e posto

z = log 2

✓1

4� cos2 x

◆�1

limx!⇡/3+

log2 2

( 14�cos2 x)

2

e

log 2

( 14�cos2 x)

= limz!+1

z2

ez= 0.

Analogamente si calcola che limx!⇡/3� f 0(x) = 0 da cui possiamo concludereche

limx!⇡/3

f 0(x) = 0.

Quindi la funzione prolungata per continuita ad risulta derivabile anche intutti i punti x = ±⇡/3 + k⇡ per ogni k 2 .

Figura 1: Grafico di f(x)

Esercizio 2

Calcolare al variare del parametro a > 0 il limite

limx!0+

x3a log x +⇣1 � earcsin2(x)

⌘2

1 � cos x � x � log(1 � sinh x)

Soluzione. Nel limite per x ! 0+ si ha

⇣1 � earcsin2(x)

⌘=��x2 + o(x3)

�2= x4 + o(x4)

da cui, per il numeratore, si ottiene

x3a log x + 1 � earcsin2(x) = x3a log x + x4 + o(x4).

Inoltre

log(1 � sinh x) = � sinh x � sinh2 x

2+ o(sinh2 x)

da cui

log(1 � sinh x) = ��x + o(x2)

�� 1

2

�x2 + o(x2)

�+ o(x2)

e quindi

log(1 � sinh x) = �x � 1

2x2 + o(x2).

3

Inoltre

1 � cos x =x2

2+ o(x3).

In conclusione per il deonominatore si ha

1 � cos x � x � log(1 � sinh x) = x2 + o(x2).

Allora

limx!0+

x3a log x +⇣1 � earcsin2(x)

⌘2

1 � cos x � x � log(1 � sinh x)= lim

x!0+

x3a log x + x4 + o(x4)

x2 + o(x2)

e

limx!0+

x3a log x + x4 + o(x4)

x2 + o(x2)= lim

x!0+x3a�2 log x.

Si hanno i seguenti casi

i. 3a � 2 > 0 ossia a > 2/3 il limite vale 0;

ii. 3a � 2 0 ossia a 2/3 il limite vale �1.

Esercizio 3

Si consideri il seguente integrale

Z +1

1

1

x5(a�1)(1 + x)a⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

⇤ dx.

(a) Determinare i valori del parametro a 2 per cui l’integrale generalizzatoconverge.

(b) Calcolare l’integrale per a = 1.

Soluzione. (a) Nel limite per x ! +1 si ha

1

x5(a�1)(1 + x)a⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

⇤ ⇠ 1

x6a�5 log2 x

e quindi l’integrale e convergente se

6a � 5 � 1 , a � 1.

(b) Per calcolare l’integrale il valore I dell’integrale nel caso a = 1 calcoliamoprima di tutto

Z1

(1 + x)⇥log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

⇤ dx.

4

Ricorrendo alla sostituzione

z = log(1 + x) dz =dx

1 + x

si ha Z1

z2 + 2z + 2dz =

Z1

(z + 1)2 + 1dz = arctan(z + 1)

da cui

I = limk!+1

arctan(log(k + 1) + 1) � arctan(log 2 + 1) =⇡

2� arctan(log 2 + 1).

Esercizio 4

Data la successione

an =2n

pn + 2

log�1 + 3e�n

�

(a) calcolarne il limite.

(b) Discutere la convergenza della serieP+1

n=1 an.

Soluzione. (a) Nel limite per n ! 1 si ha

log�1 + 3e�n

�= 3e�n + o(e�n),

da cui

an =2n

pn + 2

log�1 + 3e�n

�=

2n

pn + 2

·3e�n+o(2n

pn + 2

·e�n) ⇠ 32n

(p

n + 2) en

da cui si vede che {an}n2 e una successione infinitesima per il criterio delconfronto asintotico, grazie alla scala degli infiniti (2n = o(en)) .(b) La serie

+1X

n=1

an

e a termini positivi e per quanto visto nel punto (a), nel limite per n ! 1 siha si ha

an ⇠ 32n

(p

n + 2) en= 3

(2/e)n

pn + 2

.

La serie geometrica di ragione 2/e < 1 e convergente e, sempre per n ! 1, siha

an = o

✓✓2

e

◆n◆(cioe, an e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a

✓2

e

◆n

)

da cui possiamo concludere subito che la serie e convergente, per il criterio delconfronto asintotico.Utilizzando invece il criterio del rapporto, si ha

limn!1

3 · 2n+1

(p

n + 1 + 2)en+1· (

pn + 2)en

3 · 2n=

2

e< 1

da cui concludiamo come prima che la serie converge.

5



Vicenza, 10-02-2011

TEMA1Esercizio 1. Si consideri la funzione

f(x) =

(1

2

) 1

| 14−cos2 x|


(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione per continuita.

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimi, minimi relativi e assoluti, inf e sup) di f . Calcolare ilimiti di f ′, se significativi.


Non e richiesto lo studio della convessita di f .


limx→0+

x3a log x + (1− earcsin(x))2

1− cosx− x− log(1− sinhx).

Esercizio 3 Si consideri il seguente integrale∫ +∞

1

1

x5(a−1)(1 + x)a[log2(1 + x) + 2 log(1 + x) + 2

] dx.

(a) Determinare i valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale generalizzato converge.


Esercizio 4 Data la successione

an =2n√n + 2

log(1 + 3e−n

)


(b) Discutere la convergenza della serie∑+∞

n=1 an



compito.



Vicenza, 10-02-2011


f(x) =

(1

3

) 1

| 14−sin2 x|







limx→0+

x tanx− log(1− sinx)− x

x5a log x + earctan2(x) − 1.


an = (3n + en) log

(1 +

3−n

n

)



n=1 an


1

1

x3(a−1)(1 + x2)a [arctan2 x + 6 arctanx + 10]dx.





compito.



Vicenza, 10-02-2011


f(x) =

(1

3

) 1

| cos2 x− 34 |







an =en + 2

√n

nlog(1 + 3−n

)



n=1 an


limx→0+

(etan(x) − 1)2 + x3a log x

x arcsinx− log(1− sinx)− x.


2

1

xa(1 + x)3(a−1)[log2 x + 4 log x + 5

] dx.





compito.



Vicenza, 10-02-2011


f(x) =

(1

2

) 1

| sin2 x− 34 |







1

1

(1 + x)4(a−1)(1 + x2)a [arctan2 x− 2 arctanx + 2]dx.




limx→0+

log(1− sinx) + x + cosx− 1

x7a log x + 1− esinh2(x).


an = (2n + en) log

(1 +

e−n√n

)



n=1 an



compito.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza


TEMA


f(x) =p

8x �p

|x � 1|.(a) Determinare il dominio di f ,

(b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f ,

(c) studiare la derivabilita di f , calcolare f 0 e studiare la monotonia di f ,

(d) calcolare gli attacchi di f ,

(e) dalle informazioni precedenti disegnare un abbozzo del grafico.

Esercizio 2 (6 punti) Studiare i punti di flesso, la concavita e convessita della funzione

f(x) = |x|3e�(x+2).

Esercizio 3 (6 punti) Calcolare il limite

limx!0+

log(1 + x) � ex + x2 + 6x + 1pcosh(x) � 1

.

Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza assoluta e la convergenza, al variare delparametro ↵ > 0, della serie

+1X

n=1

(�1)n arctan(2

n↵).

Esercizio 5 (6 punti + 2 del facoltativo)

(a) Calcolare il seguente integrale indefinitoZ

1

ex + 2e�xdx.

(b) Facoltativo: dalle informazioni ottenute in (a), calcolareZ +1

0

1

ex + 2e�xdx.



N.B. Chi e sorpreso a parlare o copiare non solo verra allontanato dall’aula ma non potra sostenere gli altri due appelli

successivi a questo.

Analisi 1


Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi

15 settembre 2010

Esercizio 1

(7 punti) Si consideri la funzione

f(x) = |3x ! 1|!

! 2x"

.

(a) Determinare il dominio di f ,

(b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f ,

(c) calcolare f ! e studiare la monotonia di f ,

(d) calcolare i limiti di f ! agli estremi del dominio,

(e) dalle informazioni precedenti disegnare un abbozzo del grafico.

Soluzione. La funzione è definita e continua in D = [0, + #). Inoltre

limx"+#

f(x)= limx"+#

3x ! 1"

! 2x"

= limx"+#

x ! 1

3x ! 1"

+ 2x" = +#.

Prima di calcolare la derivata I conviene riscrivere la funzione come

f(x)=

"#$#%

3x ! 1"

! 2x"

, x $ 1

3

1! 3x"

! 2x"

, 0 %x <1

3da cui

f !(x) =

"##$##%

3

2 3x ! 1" ! 1

2x" , x >

1

3! 3

2 1 ! 3x" ! 1

2x" , 0< x <

1

3

.

Osserviamo che f !(x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è sempre strettamente negativa. Quindi, perx & (1/3, + #), studiamo il segno della derivata I

3

2 3x ! 1" ! 1

2x" > 0 ' 3

2 3x ! 1" >

1

2x"

da cui

3

2 3x ! 1" >

1

2x" ' 3 2x

"> 2 3x ! 1

"' 18x > 12x ! 4 ' x >! 2

3

e, essendo ! 2/3< 1/3, f !(x)< 0 in (1/3, + #). Possiamo concludere che:

a) f(x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è monotona strettamente decrescente;

b) f(x) ristretta all’intervallo (1/3, + #) è monotona strettamente crescente.

Calcoliamo quindi i seguenti limiti:

limx"0+

f !(x)= ! #

limx" 1

3

!f !(x)= !# lim

x" 1

3

+f !(x) =+ #

da cui possiamo concludere in particolare che il punto (1/3, ! 2/3!

) è una cuspide.

1


Esercizio 2

(6 punti) Studiare i punti di flesso, la concavità e convessità della funzione

f(x)= |x|3e!(x+1).

Soluzione. La funzione è definita su tutto R e si può riscrivere nella forma

f(x)=

!x3 e!(x+1), x ! 0

" x3 e!(x+1), x < 0.La derivata prima è

f "(x) =

!x2 (3" x)e!(x+1), x > 0

" x2 (3" x)e!(x+1), x < 0.la derivata seconda è

f ""(x)=

!x(x2 " 6x + 6)e!(x+1), x > 0

" x(x2 " 6x +6)e!(x+1), x < 0.

Prima di procedere allo studio del segno della derivata II osserviamo che

x2 " 6x " 6 ! 0 # x $ 3 " 3%

& x ! 3+ 3%

.

Suddividiamo lo studio della derivata II in due parti.

A) Per valori di x che cadono nell’intervallo ( " ', 0) si ha sempre f ""(x) > 0. Quindi f(x) èstrettamente convessa in (" ', 0);

B) Per valori di x che cadono nell’intervallo (0, +') si ha:

i. f ""(x) > 0 se x ( (0, 3 " 3%

) ) (3 + 3%

, + '). Quindi f(x) è convessa in ciascunodei due intervalli dell’unione;

ii. f ""(x)< 0 nell’intervallo (3 " 3%

, 3+ 3%

). Quindi f(x) è concava in tale intervallo.

I punti di flesso di f sono x1 = 3 " 3%

e x2 = 3 + 3%

. Per concludere l’esercizio vediamo cosa sipuò dire del punto x= 0. Osserviamo che

limx#0+

f "(x)= limx#0!

f "(x)= 0 limx#0+

f ""(x)= limx#0!

f ""(x) =0.

2 Sezione

Per quanto visto in precedenza, in opportuni intorni destri e sinistri di x = 0, la funzione èsempre convessa e quindi x = 0 non è un punto di flesso. Non sarebbe di!cile vedere che x = 0 èun punto di minimo relativo.

Esercizio 3

(6 punti) Calcolare il limite

limx!0+

(cosh(x)! 1)1/2

ex ! log(1 + x) +x2 + 5x ! 1.

Soluzione. Nel limite x" 0+ si ha

cosh(x) ! 1 =x2

2+ o(x3) log(1 +x)= x + o(x) ex ! 1= x+ o(x).

Per quanto riguarda il numeratore osserviamo che

limx!0+

!cosh (x) ! 1

x2

"1/2

= limx!0+

(cosh (x)! 1)1/2

x=

2#

2

da cui possiamo concludere che, nel limite di x" 0+, si ha

(cosh(x) ! 1)1/2 =2

#

2x + o(x).

Sostituendo gli sviluppi per il denominatore si ha direttamente

ex ! log(1+ x)+ x2 + 5x ! 1= 5x + o(x).

Il limite di partenza diviene

limx!0+

2"

2x + o(x)

5x + o(x)= lim

x!0+

2"

2+ o(1)

5 + o(1)=

2#

10.

Esercizio 4

(7 punti) Studiare la convergenza assoluta e la convergenza, al variare del parametro ! > 0, dellaserie

#

n=1

+#(! 1)nlog

!1+

3

n!

".

Soluzione. La serie si presenta nella forma

#

n=1

+#( ! 1)nan (1)

con

an = log

!1 +

3

n!

".

Osserviamo subito che an > 0 per ogni n $ 1 e per ogni ! > 0. Quindi la serie è a termini disegno alterno. Iniziamo studiando la convergenza assoluta ossia la convergenza della serie a ter-mini positivi

#

n=1

+#an.

Nel limite per n" + % e per ! > 0 si ha

an = log

!1 +

3

n!

"=

3

n!+ o

!1

n!

"& 3

n!.

Esercizio 4 3

Ricordato che la serie armonica generalizzata

!

n=1

+!1

n!

converge per ! > 1, per il Criterio del confronto asintotico, possiamo concludere che la serie (1)converge assolutamente, e quindi anche semplicemente, per ! > 1.

Resta da discutere la convergenza semplice nel caso 0 <! ! 1.

Per quanto osservato all’inizio possiamo ricorrere al Criterio di Leibniz:

1. la successione {an} è a termini positivi;

2. la successione {an} è infinitesima. Infatti si ha

limn"+!

log

"1+

3

n!

#= 0

per ogni ! > 0;

3. la successione {an} è monotona strettamente decrescente in quanto

log

"1+

3

(n +1)!

#< log

"1 +

3

n!

#" 1

(n + 1)! <1

n!"

"1 +

1

n

#!

> 1

per ogni n # 1 e se ! > 0.

Quindi per il Criterio di Leibniz la serie converge semplicemente se ! $ (0, 1].

Esercizio 5

(6 punti) Calcolare il seguente integrale indefinito$

1

e#x + 3exd x.

(2 punti) Facoltativo: dalle informazioni ottenute al punto precedente, calcolare$

0

+! 1

e#x + 3exd x.

Soluzione. Osserviamo che $1

e#x +3exd x =

$ex

1+ 3e2xd x

e quindi utilizziamo il Teorema di integrazione per sostituzione con

y = 3%

ex dy = 3%

ex dx

ottenendo3

%

3

$1

1 + y2dy =

3%

3arctan y

da cui $1

e#x + 3exd x=

3%

3arctan 3

%ex.

A questo punto possiamo concludere l’esercizio in quanto

$

0

+! 1

e#x + 3exd x= lim

x"+!

%3

%

3arctan 3

%ex

&& 3

%

3arctan 3

%e0 =

" 3%

6& " 3

%

9=

" 3%

18.

4 Sezione

Analisi 1



20 luglio 2010

Esercizio 1


f(x) =xsin 3x

(a) Determinare il dominio di f e il segno.


(c) Studiare la continuità ed eventuali estendibilità per continuità.

(d) Studiare la derivabilità di f ; calcolare f !.

(e) Calcolare il limite di f !(x) agli estremi del dominio.

Soluzione. Per risolvere l’esercizio conviene riscrivere la funzione nella forma

f(x) = esin 3x log x

da cui si vede subito che il dominio è D = (0, + !) e che la funzione è definita strettamente posi-tiva in D. Osserviamo che la funzione non ammette limite per x" + !. Inoltre

limx"0+

sin 3x log x = limx"0+

sin 3x

3x3x log x =0

in quanto

limx"0+

sin 3x

3x= 1 lim

x"0+3x log x =0.

Possiamo allora concludere che

limx"0+

f(x)= e0 = 1.

La funzione non ammette asintoti verticali, orizzontali e obliqui. La funzione è continua nel suodominio e può essere estesa per continuità su [0, + !) ponendo f(0)= 1.

La derivata I di f(x) è

f !(x)= esin 3x log x

!3 cos 3x log x +

sin 3x

x

"

da cui concludiamo che la funzione è derivabile in D. Per concludere l’esercizio osserviamo che

limx"0+

!3 cos 3x log x+

sin 3x

x

"= 3 lim

x"0+cos 3x log x+ 3 =# !

e, ricordato che

limx"0+

f(x) =1

si ha

limx"0+

f !(x) = limx"0+

f(x)

!3 cos 3x log x+

sin 3x

x

"=# !.

Esercizio 2


f(x)= arctan

!x # 1

!x

"

1

e si determinino i valori di ! > 0 in modo che essa abbia un punto di flesso in x = 1/2. Scriverel’equazione della retta tangente nel punto di flesso.

Soluzione. La derivata I di f(x) è

f !(x)=1

1 +!

x " 1

!x

"2 · !x !!(x ! 1)

!2x2=

!

!2x2 + (x ! 1)2=

!

!2 x2 + x2 ! 2x+ 1

ed è definita per ogni x "R+. La derivata II di f(x) è

f !!(x)= ! 2!(!2x+ x ! 1)

(!2 x2 +x2 ! 2x + 1)2

e si annulla in x= 1/2 quando

!2 ! 1 =0.

ossia, ricordato che ! > 0, solo per ! = 1. In corrispondenza di tale valore si ha

f !!(x)= ! 4x ! 2

(2x2 ! 2x+ 1)2

e

! 4x ! 2

(2x2 ! 2x + 1)2> 0 # x <

1

2.

Possiamo allora concludere che esiste un intorno sinistro di x = 1/2 in cui si ha f !!(x) > 0 e unintorno destro di x = 1/2 in cui f !!(x) < 0 e ciò conferma che x= 1/2 è un punto di flesso.

Esercizio 3

(7 punti) Studiare il comportamento della serie

#

n=1

+#e1/n ! 1! log(1+ sin(1/n))

arctann

Soluzione. Nel limite di n$ +% si ha

sin

$1

n

%=

1

n+ o

$1

n2

%e1/n = 1+

1

n+

1

2n2+ o

$1

n2

%

da cui, sostituendo, possiamo concludere che

e1/n ! 1! log

$1+ sin

$1

n

%%=

1

n+

1

2n2+ o

$1

n2

%! 1

n+

1

2n2+ o

$1

n2

%=

1

n2+ o

$1

n2

%.

Il numeratore è asintotico a 1/n2 e quindi è definitivamente positivo per n $ + %. In altri ter-mini, per n “grande”, la serie è a termini positivi. Posto

an =e1/n ! 1 ! log(1 + sin(1/n))

arctanne ricordato che

limn$+#

arctann ="

2si ha

an& 2

"· 1

n2

da cui, sapendo che la serie armonica generalizzata di termine generico 1/n2 converge, per il Cri-terio del confronto asintotico si ha che la serie di partenza converge.

2 Section

Esercizio 4

(7 punti) Calcolare il seguente integrale definito!

1

2

sin(log x)d x.

Soluzione. Utilizziamo la sostituzione

y = log x dy =1

xdx y1 =0 y2 = log 2

da cui !

1

2

sin(log x)d x =

!

0

log 2

ey sin ydy.

Integrando per parti!

0

log 2

ey sin ydy = [ey sin y]0log 2 !

!

0

log 2

ey cos ydy =2 sin(log 2)!!

0

log 2

ey cos ydy

e quindi !

0

log 2

ey sin ydy =2 sin(log 2)! [ey cos y]0log 2 !

!

0

log 2

ey sin ydy

da cui !

0

log 2

ey sin ydy = sin(log 2) ! 1

2(2 cos (log 2) ! 1)= sin(log 2)! cos (log 2) +

1

2.

Esercizio 5

(5 punti) Si consideri la funzione in due variabili

f(x, y)= y2 + 2y + x2 +7 ! 2 log x.

Determinare i punti critici di f e specificarne il tipo.

Soluzione. La funzione è definita in

D = {(x, y) "R2 : x > 0}.

Per determinare i punti critici calcoliamo innanzitutto il gradiente della funzione

#f =

"!f

!x,!f

!y

#=

"2x ! 2

x, 2y +2

#

quindi risolviamo il sistema $%&

2x ! 2

x= 0

2y +2 =0le cui soluzioni sono '

x1 = 1y1 =! 1

'x2 = ! 1y2 =! 1

.

L’unico punto critico in D è P =(1, ! 1). La matrice hessiana risulta

H(x, y) =

(2+

2

x2 0

0 2

)

e

H(1, ! 1)=

"4 00 2

#

il determinante della matrice hessiana è 8> 0 e osservato che

!2f

!x2(1, ! 1) =4 > 0

possiamo concludere che il punto critico è un minimo locale.

Esercizio 5 3

ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi

Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza


TEMA2


f(x) = xsin(2x)

(a) Determinare il dominio di f e il segno.

(b) Determinare il limx→0+ f(x) ed eventuali asintoti di f .

(c) Studiare la continuita ed eventuali estendibilita per continuita.

(d) Studiare la derivabilita di f ; calcolare f ′.

(e) Calcolare il limite di f ′(x) agli estremi del dominio.


f(x) = arctan

(x

α(x− 1)

)

e si determinino i valori di α > 0 in modo che essa abbia un punto di flesso in x = 1/2. Scriverel’equazione della retta tangente nel punto di flesso.

Esercizio 3 (7 punti) Studiare il comportamento della serie

+∞∑

n=1

e1/n − 1 − log (1 + sinh(1/n))

arctan(n2)

Esercizio 4 (7 punti) Calcolare il seguente integrale definito

∫ 3

1cos(log x) dx.

Esercizio 5 (5 punti) Si consideri la funzione in due variabili

f(x, y) = x2 + 2x+ y2 + 5 − 2 log y.

Determinare i punti critici di f e specificarne il tipo.





Analisi 1



8 febbraio 2010

Esercizio 1


f(x) = arctan

!e

"2x+

1

x

#$

(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed even-tuali asintoti di f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimoe minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f !, se significativi.



Soluzione. La funzione è definita positiva in D =R\{0} e

limx"+#

f(x) =!2

limx"$#

f(x) = 0.

Inoltre

limx"0+

f(x) =!2

limx"0!

f(x) = 0.

Possiamo concludere che la funzione presenta un asintoto orizzontale destro e un asin-toto orizzontale sinistro rispettivamente di equazione y = !/2 e y = 0.

La funzione è limitata in D e quindi non ammette altri asintoti.

La funzione è derivabile in D e

f !(x) =e2x+

1

x

1 +

!e2x+

1

x

$2·!

2 ! 1

x2

$

Lo studio del segno della derivata prima si riduce a

f !(x) " 0 # 2x2 ! 1 " 0 # x $! 2%

2& x " 2

%

2.

Possiamo concludere che

• f è monotona strettamente crescente se ristretta agli intervalli ( ! ', ! 2%

/2) e( 2%

/2, +');

• f è monotona strettamente decrescente se ristretta agli intervalli ( ! 2%

/2, 0) e

(0, 2%

/2);

1

ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 8-02-2010

TEMA2


f(x) = arctan(e(

3x+x))

(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintotidi f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f . I limiti di f ′, se significativi.



Esercizio 2 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ π

0x3 cos(2x2) dx.


(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = 1nα + e

1n arcsin( 1n) − sin( 1n + 1

n2 ) al variare delparametro reale α > 0.

(b) Determinare per quali α > 0 la serie∑+∞

n=1 an converge.

Esercizio 4 (6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x → ±∞, della funzione

f(x) = x3(1− e1x2 ) + 2 arctanx.


f(x, y) = exy−3y.

(a) Calcolare le derivate parziali fx(x, y) e fy(x, y).

(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti critici edeterminarne la natura.

Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte.



ANALISI MATEMATICA 1Commissione A. Centomo, P. Mannucci, C. MarchiIngegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza

Vicenza, 8-02-2010

TEMA3


f(x) = arctan(e(x+

2x))

(a) Determinare il dominio di f , il segno, i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintotidi f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f . I limiti di f ′, se significativi.




∫ 2π

0x3 sin(3x2) dx.


(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = cos( 1n) log(1 +1n)− arcsin( 1n − 1

2n2 ) +1nα al variare

del parametro reale α > 0.

(b) Determinare per quali α > 0 la serie∑+∞

n=1 an converge.

Esercizio 4 (6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x → ±∞, della funzione

f(x) = arctan(2x) + x3(e1x2 − 1).


f(x, y) = exy−3x.


(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti critici edeterminarne la natura.

Tempo: due ore e mezza. Motivare tutte le risposte.



Analisi 1



26 gennaio 2010


f(x) = arctan!

x! "

" log(1 +x)

(a) Determinare il dominio di f e i limiti agli estremi del dominio.

(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo eminimo) relativo e assoluto di f , i limiti di f ! se significativi.

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.


(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni ricavate dai punti precedenti, direse esistono e quanti sono gli zeri della funzione g(x) = f(x) " 27x.

Soluzione. Il dominio di f è D = [0, +#), f(0) =0, e

limx"+#

f(x) = "#.

La derivata prima di f è

f !(x)=1

2 x! · 1

1 +x" 1

1 +x=

#1

2 x! " 1

$· 11 + x

=1 " 2 x

!

2 x!

(1 +x)

ed è definita in (0, + #). Lo studio del segno della derivata prima si riduce allo studiodella disequazione

1 " 2 x! $ 0 % 0 & x & 1

4

da cui concludiamo che la funzione è monotona strettamente crescente in (0, 1/4) emonotona strettamente decrescente in (1/4, + #). Il punto x = 1/4 è di massimo rela-tivo e assoluto

f(1/4) = arctan(1/2)" log 5 + log 4

L’unico limite significativo della derivata prima è

limx"0+

f !(x) =+#.

1


(Facoltativo) La funzione g(x) è definita continua in D e ha uno zero in x = 0. Pervedere se ci sono altri zeri in D osserviamo che

g(x)= 0 ! f(x)= r(x) (1)

dove r(x) = 27x. Per quanto visto sopra la funzione f(x) è limitata superiormente e

max(0,+!)

f = f(1/4) <!4

+2 <r(1/4) =274

. (2)

Da (2) e dal fatto che r(x) è monotona strettamente crescente possiamo concludere che

g(x) < 0

per ogni x " [1/4, + #) e quindi che, se esistono altri zeri di g oltre x = 0, questi devonocadere nell’intervallo (0, 1/4). Per x$ 0+

g(x) % x& ' 28x > 0 ! 0 <x <

1

282

e quindi g(x) è definitivamente positiva per x $ 0+. Per il Teorema degli zeri esisteallora almeno un valore di " " (0, 1/4) tale che g(") = 0 e quindi g ammette almeno duezeri. Si può dimostrare che " è unico osservando che la derivata prima

g "(x) = f "(x) ' 27=

!1

2 x& ' 1

"· 11 + x

' 27

è continua e monotona strettamente decrescente in (0, 1/4] con

limx#0+

g "(x) =+ # g "(1/4) =' 27.

Dal Teorema degli zeri, tenuto conto anche della monotonia di g ", possiamo concludereche esiste unico # " (0, 1/4) tale che g "(#) = 0. Quindi g(x) è monotona strettamentecrescente in [0, #) e strettamente decrescente in (# , 1/4]. Il punto x = # è di massimoassoluto e g(#) > 0. Quindi " " (# , 1/4) è l’unico zero di g oltre a x= 0.

Esercizio 2 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale " > 0:

limx#0+

(x ' arcsinx)2 ' log(1 + sin2x)

x! +x log(1 +x).

Soluzione. Il limite si presenta come forma indeterminata del tipo [0/0]. Per x ! 0+ siha

arcsinx= x+ o(x2) log(1 +x) =x " x2

2+ o(x2) sin(x) =x + o(x2)

da cui

limx!0+

(x " arcsinx)2 " log(1 + sin2x)x! + x log(1 +x)

= limx!0+

"x2 + o(x2)

x! +x2 + o(x2).

Distinguiamo i seguenti casi:

1. 0 < ! < 2 allora

limx!0+

" x2 + o(x2)x! +x2 + o(x2)

= limx!0+

"x2 + o(x2)x! + o(x!)

= 0

2. ! = 2 allora

limx!0+

" x2 + o(x2)

x! +x2 + o(x2)= lim

x!0+

"x2 + o(x2)

2x2 + o(x2)=" 1

23. ! > 2 allora

limx!0+

"x2 + o(x2)

x! +x2 + o(x2)= lim

x!0+

"x2 + o(x2)

x2 + o(x2)= " 1.


!

0

"/6 1

cos 2x 1 " tanx# d x.

(Facoltativo) Discutere la convergenza di"

0

"/4 1

cos 2x 1 " tanx# d x.

Soluzione. Si ha direttamente!

0

"/6 1

cos 2x 1 " tanx# dx =

#" 2 1 " tanx

# $0

"/6=2 " 2 1 " 3

#

3

%.

(Facoltativo) Il modo più semplice di studiare la convergenza è

!

0

"/4 1

cos 2x 1 " tanx# d x = lim

y!!

4!

!

0

y 1

cos 2x 1 " tanx# d x= 2 + lim

y!!

4!

" 2 1 " tan y#

=2

da cui si vede che l’integrale converge.

Nota 1. L’integrale di partenza di può risolvere con la sostituzione y =1 " tanx.

Esercizio 4 (7 punti) Studiare la convergenza della serie

&

n=2

+$ 'logn+ 2nlogn + sinn

3n

(n

Soluzione. La serie è a termini positivi. Per discutere la convergenza ricorriamo al Cri-terio della radice e calcoliamo il limite:

limn!+$

logn+2nlogn + sinn3n =2 lim

n!+$elog

2 n

en log3·'

1 +logn

2nlogn+

sinn

2nlogn

((3)

ora

limn!+"

elog2 n

en log3= lim

n!+"elog

2n#n log3 = limn!+"

en

!log2n

n# log3

"

= 0

dove si è utilizzato

limn!+"

n

!log2n

n! log 3

"= !".

Allora il limite (3) vale 0 < 1 e quindi per il Criterio della radice la serie converge.

Esercizio 5 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale ! # R, la fun-zione

f(x) = (3x2 ! 1)e!x+2

ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangentein tale punto.

(Facoltativo) Per tali valori del parametro !, determinare gli intervalli di convessità dif .

Soluzione. La funzione è derivabile e

f $(x) = (3!x2 +6x ! !)e!x+2

inoltre

f $$(0)= e2(6 ! !2).

I valori di ! che annullano la derivata seconda sono ! = ± 6$

. L’equazione delle tan-genti corrispondenti a tali valori sono

y =! 6$

e2x ! e2 y = 6$

e2x ! e2.

(Facoltativo) Nel caso ! = 6$

si ha

f(x) = (3x2 ! 1)e 6%

x+2

che è definita su tutto R. La derivata prima di f è

f $(x) = (6x+ (3x2 ! 1) 6$

)e 6%

x+2

e la derivata seconda di f è

f $$(x)= 6x(3x+ 2 6$

)e 6%

x+2.

Lo studio del segno della derivata seconda si riduce alla disequazione

x(3x+ 2 6$

) > 0 % x <! 23

6$

& x > 0

da cui

f $$(x) > 0 x #!

!", ! 23

6$ "

f strettamente convessa

f $$(x) < 0 x #!

! 23

6$

, 0

"f strettamente concava

f $$(x) > 0 x # (0, +") f strettamente convessa

e i punti x= 0 e x =! 2 6$

/3 sono punti di flesso. Il caso ! = ! 6$

è del tutto analogo.

ANALISI MATEMATICA 1 e MATEMATICA ACommissione A. Centomo, P. Mannucci, C. Marchi


Vicenza, 26-01-2010

TEMA2


f(x) = arctan(√

2x)− log (1 + 2x)


(b) Determinare gli intervalli di monotonia, gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f , i limiti di f ′ se significativi.



(Facoltativo) Tenuto conto anche delle informazioni precedenti, dire se esistono e quanti sonogli zeri della funzione g(x) = f(x)− 29x.


+∞∑

n=2

(nlogn + sinn+ 5 log n

4n

)n

Esercizio 3 (7 punti) Calcolare il seguente limite al variare del parametro reale α > 0:

limx→0+

xα + x(ex − 1)

(x− log(1 + x))2 + log(1 + arcsinx2).

Esercizio 4 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ 2

1

1

x√

1− log xdx.

(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ e

11

x√

1−log xdx.

Esercizio 5 (5 punti) Determinare per quali valori del parametro reale α ∈ R, la funzione

f(x) = (x2 − 3)eαx+1

ha derivata seconda nulla in x = 0. Determinare inoltre l’equazione della retta tangente in talepunto.

(Facoltativo) Per tali valori del parametro α, determinare gli intervalli di convessita di f .







Vicenza, 26-01-2010

TEMA3Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione

f(x) = 2 log (1 + x)− arctan(√x)







f(x) = (1− 2x2)eαx−1




limx→0+

log(1 + 3 sin2 x) + (arcsinx− x)2

x sinx+ xα.


+∞∑

n=2

(n2 + cosn+ nlogn

2n

)n

Esercizio 5 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ π/4

0

cosx√1− sinx

dx.

(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ π/2

0cosx√1−sinx

dx.







Vicenza, 26-01-2010

TEMA4Esercizio 1 (7 punti) Si consideri la funzione

f(x) = log (1 + 2x)− arctan(√

2x)







f(x) = (3− x2)eαx+2




limx→0+

xα + x sinx

(x− sinx)2 − log(1 + arcsin2 x).

Esercizio 4 (6 punti) Calcolare il seguente integrale definito∫ 4

3

1

x√

log x− 1dx.

(Facoltativo) Discutere la convergenza di∫ 4e

1x√

log x−1dx.


+∞∑

n=2

(2nlogn + 5n

3n + sinn

)n





• il punto xM =! 2"

/2 è punto di massimo relativo (non assoluto);

• il punto xm = 2"

/2 è punto di minimo relativo (non assoluto).

I valori massimo e minimo assunti dalla funzione sono rispettivamente:

f(xM) = arctan!

e!2 2" "

f(xm)= arctan!

e2 2" "

.

Calcoliamo i limiti significativi della derivata prima.

Nel limite x# 0+, si ha

limx#0+

e2x+

1

x =+$e si vede che #

e2x+

1

x

$

1 +

#e2x+

1

x

$2% 1

e2x+

1

x

% 1

e1

x

allora

f $(x)=

#e2x+

1

x

$

1 +

#e2x+

1

x

$2· 2x2 ! 1

x2%! 1

x 2e1

x

da cui si conclude che

limx#0+

f $(x) = 0.

Analogamente si vede che

limx#0!

f $(x) = 0


Esercizio 2

(6 punti) Calcolare il seguente integrale definito%

0

!

x3sin(2x2)d x.

2 Sezione

Soluzione. Iniziamo calcolando una primitiva della funzione integranda. Con la sostitu-zione

y =x2 dy = 2xdx

si ha !x3sin(2x2)d x=

12

!y sin (2y)dy

Integrando per parti si ha

12

!y sin (2y)dy =! y

4cos (2y) +

14

!cos (2y)dy =! y

4cos (2y) +

18sin (2y)

da cui!

0

!

x3sin(2x2)d x=

"! x2

4cos (2x2) +

1

8sin (2x2)

#

0

!

=! !2

4cos (2!2) +

1

8sin (2!2).

Esercizio 3

(7 punti)

(a) Trovare l’ordine di infinitesimo di an = arcsin$

1

n+

1

n2

%! e

1

n · sin$

1

n

%+

1

n! alvariare del parametro reale " > 0.

(b) Determinare per quali " > 0 la serie&

n=1+! an converge.

Soluzione. Nel limite per n" + # si ha

arcsin

'1n

+1

n2

(=

'1n

+1

n2

(+

16

'1n

+1

n2

(3

+ o

)'1n

+1

n2

(4*

da cui, sviluppando i calcoli, anche

arcsin

'1n

+1n2

(=

1n

+1n2

+1

6n3+ o

'1n3

(.

Inoltre

e1/n · sin'

1n

(=

'1 +

1n

+1

2n2 + o

'1

n2

((·'

1n

! 1

6n3 + o

'1

n4

((

da cui, sviluppando i calcoli, anche

e1/n · sin'

1

n

(=

1

n+

1

n2+

1

3n3+ o

'1

n3

(.

In conclusione allora

arcsin

'1n

+1

n2

(! e1/n · sin

'1n

(=! 1

6n3 + o

'1

n3

(

e quindi

an =1n" ! 1

6n3+ o

'1

n3

(.

Possiamo distingere i seguenti casi

1. per " $ 3 si ha che an è infinitesimo di ordine 3 rispetto a 1/n;

Esercizio 3 3

2. 0 < ! < 3: an è infinitesimo di ordine ! rispetto a 1/n.

Per il Criterio del confronto asintotico e tenuto conto di quanto noto sulla convergenzadella serie armonica generalizzata, possiamo concludere che la serie

!

n=1

+!an

risulta convergente per ! > 1 e divergente per 0< ! ! 1.

Esercizio 4

(6 punti) Trovare, se esistono, gli asintoti obliqui, per x"± #, della funzione

f(x) =x3 log

"1 +

1

x2

#+ arctan 3x.

Soluzione. Per x" ±#, si ha

log

"1 +

1

x2

#=

1

x2+ o

"1

x2

#

da cui osserviamo che

limx"±!

f(x) = limx"±!

x ·"

1 + o(1)+arctan(3x)

x

#=± #.

Ora

limx"+!

f(x)x

= limx"+!

"1 + o(1) +

arctan(3x)x

#=1.

Inoltre

limx"+!

f(x) $x = limx"+!

o(x) + arctan (3x) ="2.

La funzione ha come asintoto obliquo destro la retta di equazione y = x + "/2. La fun-zione è dispari, in quanto f( $x) =$ f(x), quindi

limx"#!

f(x)x

= limx"+!

f( $ x)$ x

= limx"+!

f(x)x

=1.

Inoltre

limx"#!

f(x) $x= limx"#!

o(x) + arctan (3x) =$ "2.

In conclusione l’asintoto obliquo sinistro è la retta di equazione y = x $ "/2.

Esercizio 5

(6 punti) Si consideri la funzione di due variabili

f(x, y) = exy+2x.


(b) Trovare gli eventuali punti critici di f , calcolare la matrice Hessiana nei punti cri-tici e determinarne la natura.

4 Sezione

Soluzione. Le derivate parziali sono

!f!x

=(y +2)exy+2x !f!y

= x exy+2x.

L’unico punto critico di f è P = (0, ! 2). La matrice Hessiana in tale punto risulta

D2f(P )=

!0 11 0

"

e, osservato che detD2f(P ) =! 1 < 0, possiamo concludere che P è un punto di sella.

Esercizio 5 5

ANALISI MATEMATICA 1Commissione F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta


Vicenza, 15-09-2009

TEMA


f(x) =e�

11+cos x

1 + cos x


(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f .

(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi. (Non e richiesto lo studio della derivata seconda ne quello degli intervalli diconvessita e di concavita).


Esercizio 2 Calcolare il seguente limite:

limx!2+

ex�2 � x + cos(x � 2) + (x � 2)4 sin⇣

1x�2

⌘

log(x � 1) � (x � 2).

Esercizio 3 Dire per quali ↵ 2 R la serie

+1X

n=1

(cos n + 2)

✓p1 + ↵

|1 � ↵|

◆n

converge.




Vicenza, 15-07-2009

TEMA

Esercizio 1


f(x) = |arctanx|arctan x


(b) Determinare eventuali estendibilita per continuita; nel caso proseguire nello studio dellafunzione estesa.

(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .

(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia, i puntiestremi e gli eventuali punti di massimo e di minimo, relativo e assoluto, di f . Calcolare ilimiti di f 0, individuando gli eventuali punti angolosi e cuspidi. (Non e richiesto lo studiodella derivata seconda ne quello degli intervalli di convessita e di concavita).


Esercizio 2 Data la serie 1X

n=1

(�1)n 1

n↵sin

✓1pn

◆e

1pn .

1. dire per quali ↵ > 0 converge assolutamente;

2. dire per quali ↵ > 0 converge semplicemente.

Esercizio 3 Risolvere il seguente problema di Cauchy

8<:

y00 + 2y0 + y = e�x

y(0) = 12

y0(0) = 32




Vicenza, 11-02-2009

(Viene dato un cenno di soluzione del Tema 1. I Temi 2, 3 e 4 possono essere svolti in mododel tutto simile)

TEMA1

Esercizio 1


f(x) = arctan

(cos(3x)− 1

cos(3x) + 1

)+π

3.






Cenno della risoluzione

La funzione e definita in D = R \ {π3 + 23kπ, k ∈ Z}.

E pari quindi si studia per gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.E anche periodica di periodo 2

3π, quindi basta studiarla in [0, π3 [.

f(x) ≥ 0 se e solo se arctan(cos(3x)−1cos(3x)+1

)≥ −π

3 , che, essendo arctan(·) crescente, equivale a

cos(3x)−1cos(3x)+1 ≥ tan(−π

3 ) = −√

3. Risolvendo, si ottiene che f(x) ≥ 0 se e solo se x ≤ x∗ =

13 arccos

(1−√3

1+√3

)che e un numero appartenente a ]π6 ,

π3 [.

limx→0+ f(x) = f(0) = π3 .

limx→(π3−) f(x) = −π

6 (si noti che in questo caso cos(3x)→ −1+).

Non ci sono asintoti. Si puo estendere la funzione ad una funzione continua in tutto R.L’espressione della derivata prima e:

f ′(x) =1

1 +(cos(3x)−1cos(3x)+1

)2(

cos(3x)− 1

cos(3x) + 1

)′= ... =

−3 sin(3x)

cos2(3x) + 1.

Quindi f(x) e strettamente decrescente in [0, π3 [. Il punto x = 0 (e tutti i punti xk = 23kπ, k ∈ Z)

e un punto di massimo relativo ed assoluto, mentre x = π3 (e tutti i punti π

3 + 23kπ, k ∈ Z) e un

punto di minimo relativo ed assoluto.L’ attacco di f ′ in π

3 e limx→π3− f ′(x) = 0.

Quindi f si puo estendere ad una funzione continua e derivabile con derivata continua in tuttoR.

f ′′(x) =−9 cos(3x)

(cos2(3x) + 1)2(cos2(3x) + 1 + 2 sin2(3x)).

Quindi f e concava in [0, π6 [ e convessa in ]π6 ,π3 [ e ha un flesso in x = π

6 .

Esercizio 2

Calcolare il seguente integrale definito

∫ (tan 1)/2

0log(1 + arctan2(2x)

) 1

1 + 4x2dx.

Cenno della risoluzioneCon la sostituzione y = arctan(2x) (per cui dy = 2

1+4x2dx e y(0) = 0, y((tan 1)/2) = 1) l’integrale

diventa

1

2

∫ 1

0log(1 + y2

)dy =

1

2

{y log(1 + y2)

]10− 2

∫ 1

0

y2

1 + y2dy

}=

1

2

{y log(1 + y2)− 2y + 2 arctan y

]10

}=

=1

2log 2 +

π

4− 1,

dove nel primo passaggio si e integrato per parti.

Esercizio 3

Si consideri la successione

an =2 · n5 + 5 · 2n + n!

nn+1 · log(1 + 3n) + n · (−1)n+1

.

(a) Calcolare il limite limn→+∞ an.

(b) Studiare la convergenza della serie+∞∑

n=1

an.

Cenno della risoluzionePer la scala delle successioni infinite, 2 · n5, 5 · 2n = o(n!). Inoltre usando Mac-Laurin e la scaladelle successioni infinite, nn+1 · log(1+ 3

n) = nn+1( 3n +o( 3

n)) = 3nn+o(nn) e n · (−1)n+1 = o(nn).Quindi

an ∼n!

3nn

e limn an = 0 sempre per la scala. Inoltre per il teorema di confronto asintotico la serie∑+∞

n=1 anconverge se e solo se converge la serie 1

3

∑+∞n=1

n!nn . Usando il criterio del rapporto per quest’ultima:

(n+ 1)!

(n+ 1)n+1

nn

n!= ... =

nn

(n+ 1)n=

1(1 + 1

n

)n →1

e.

Poiche 1e < 1, la serie data converge.



Vicenza, 11-02-2009

TEMA2

Esercizio 1


f(x) = arctan

(cos(5x)− 1

cos(5x) + 1

)+π

3.

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e periodicita.

(b) Determinare il segno di f (non e essenziale per lo studio del grafico di f , si consiglia dirispondere a questa domanda dopo aver svolto gli altri esercizi).

(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cuie possibile prolungare la funzione.

(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limitidi f ′, se significativi.

(e) Studiare la convessita e determinare gli eventuali flessi.

(f) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.

Esercizio 2


∫ (e2−1)/2

0log(1 + log2(2x+ 1)

) 1

2x+ 1dx.


an =n!− 3 · n3 log n+ 5 · 3n

n · cos2 n+ nn+1 · arcsin(2n

) .



n=1

an.




Vicenza, 11-02-2009

TEMA3

Esercizio 1


f(x) = arctan

(1− cos(3x)

1 + cos(3x)

)− π

3.







Esercizio 2


∫ (tan 1)/3

0log(1 + arctan2(3x)

) 1

1 + 9x2dx.

Esercizio 3


an =4n+1 − n!− 3n · (n+ 1)

n2 · sinn+ nn+1 · log(1− 12n)

.



n=1

an.




Vicenza, 11-02-2009

TEMA4

Esercizio 1


f(x) = arctan

(1− cos(5x)

1 + cos(5x)

)− π

3.







Esercizio 2


∫ (e2−1)/3

0log(1 + log2(3x+ 1)

) 1

3x+ 1dx.

Esercizio 3


an =2n · log n+ 2 · n6 − n!

n2 · (−1)n+1 − nn+1 · tan( 13n)

.



n=1

an.




Vicenza, 28-01-2009

(Viene dato un cenno di soluzione del Tema 1 e del solo Es. 1 del Tema 2. Gli esercizirimanenti del Tema 2 e i Temi 3 e 4 possono essere svolti in modo del tutto simile a questi.)

TEMA1


f(x) = e2

log(9−x2)







La funzione e definita in D = {|x| < 3, x 6= ±2√

2}. E sempre positiva e pari quindi si studiaper gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.limx→3 f(x) = 1.limx→(2

√2)+ f(x) = 0 (si noti che in questo caso log(9− x2)→ 0−).

limx→(2√2)− f(x) = +∞ (si noti che in questo caso log(9− x2)→ 0+).

Si puo estendere la funzione in [2√

2, 3] ad una funzione continua.L’espressione della derivata prima e:

f ′(x) = e2

log(9−x2)−2

log2(9− x2)

1

9− x2(−2x).

Quindi f(x) e strettamente crescente nei due intervalli [0, 2√

2), (2√

2, 3). Il punto x = 0 e unpunto di minimo relativo. Studiamo ora gli attacchi agli estremi del dominio dove il limite dellafunzione e finito.limx→3 f

′(x) = +∞.limx→(2

√2)+ f ′(x) = 0.

Per calcolare quest’ultimo limite si puo usare il fatto che il fattore 4x9−x2 e limitato in un intorno di

2√

2 e per l’altra parte si puo usare la sostituzione y = 1log(9−x2) , se x→ (2

√2)+, si ha y → −∞,

quindi il limite si riconduce allo studio del limite limy→−∞ e2yy2 che si riconduce alla scala degliinfiniti con l’ulteriore sostituzione z = −y.

Esercizio 2 Calcolare il seguente limite al variare del parametro a > 0:

limx→0+

xa − 2 sin2 x + 1− e−x2

x− arctan(x + 1

6x3)

+ 4−13x

Cenno della risoluzionesin2 x = (x− x3

6 + o(x3))2 = x2 − x4

3 + o(x4).

e−x2

= 1− x2 + x4

2 + o(x4)Quindi il numeratore diventa

NUM. = xa − x2 +x4

6+ o(x4).

arctan(x + x3

6 ) = (x + x3

6 )− 13(x + x3

6 )3 + o(x3) = x + x3

6 − x3

3 + o(x3) = x− x3

6 + o(x3).

Il termine 4−13x = o(x3).

Quindi il denominatore diventa

DENOM. =x3

6+ o(x3).

Quindi il limite diventa

limx→0+

xa − x2 + x4

6 + o(x4)x3

6 + o(x3).

Quindi si hanno tre casi:

1) a > 2 : = limx→0+−x2+o(x2)x3

6+o(x3)

= −∞

2) a = 2 : = limx→0+x4

6+o(x4)

x3

6+o(x3)

= 0

2) a < 2 : = limx→0+xa+o(xa)x3

6+o(x3)

= +∞.

Esercizio 3 Calcolare il seguente integrale definito

∫ π/2

0

sin(2x) + sinx

cos2 x− 5 cosx + 6dx.

Cenno della risoluzione Tenendo conto che sin(2x) = 2 sinx cosx raccogliendo al numeratoresinx e usando la sostituzione cosx = y l’integrale diventa

−∫ 0

1

2y + 1

y2 − 5y + 6dy =

∫ 1

0

2y + 1

y2 − 5y + 6dy.

Tendo conto che y2 − 5y + 6 = (y − 3)(y − 2) la funzione razionale si puo decomporre:

2y + 1

(y − 3)(y − 2)=

A

y − 3+

B

y − 2

con A = 7 e B = −5 e si ottiene cosı

∫ 1

0

2y + 1

y2 − 5y + 6dy =

∫ 1

0

7

y − 3dy −

∫ 1

0

5

y − 2dy = 7 log 2− 7 log 3 + 5 log 2 = 12 log 2− 7 log 3.

TEMA2


f(x) = e2

log(x2−4)







La funzione e definita in D = (]−∞,−2[∪]2,+∞[) \ {±√

5}. E sempre positiva e pari quindisi studia per gli x > 0 e poi si considera la simmetrica rispetto all’asse delle y.limx→2 f(x) = 1.limx→(

√5)+ f(x) = +∞ (si noti che in questo caso log(x2 − 4)→ 0+).

limx→(√5)− f(x) = 0 (si noti che in questo caso log(x2 − 4)→ 0−).

limx→+∞ f(x) = 1. (asintoto orizzontale)L’espressione della derivata prima e:

f ′(x) = e2

log(x2−4)3

log2(x2 − 4)

1

x2 − 4(−2x).

Quindi f(x) e strettamente decrescente nei due intervalli ]2,√

5[, ]√

5,+∞[. La funzione non ha

min e max relativi ed assoluti (se si prolunga per continuita in 2+ e in√

5−

ha max rel. in 2 emin rel. e assoluto in

√5). inf f = 0, sup f = +∞. Studiamo ora gli attacchi agli estremi del

dominio dove il limite della funzione e finito.limx→2 f

′(x) = +∞.limx→(

√5)− f ′(x) = 0.

Per calcolare quest’ultimo limite si possono usare gli argomenti usati nella sol. dell’Es.1 del Tema1.



Vicenza, 28-01-2009

TEMA2


f(x) = e3

log(x2−4)







limx→0+

3−12x + ex−

14x2 − 1− x

xa − log(1− x2)− 2 tan2 x


∫ π/2

0

sin(2x) + 3 cosx

sin2 x− 6 sinx + 8dx.

Vicenza, 28-01-2009

TEMA3


f(x) = e2

log(5−x2)







limx→0+

xa + 2(1− cosx)− 2 sinh2 x

x− arcsin(x− 1

12x3)− 2−

4x


∫ π

π/2

3 sinx + sin(2x)

cos2 x− cosx− 6dx.



Vicenza, 28-01-2009

TEMA4


f(x) = e5

log(x2−8)







limx→0+

3−2x + x + 1− ex−

14x2

xa − log(1− x2)− 2 sin2 x


∫ π

π/2

3 cosx + sin(2x)

sin2 x + sinx− 6dx.

MATEMATICA ACanali 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza


Esercizio 1 Studiare la funzione

f(x) =p

4 cos2 x � 1 + | sin x|.

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita. Studiare il segno di f .


(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia egli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi. Non e richiesto lo studio della convessita di f .


Esercizio 2 Calcolare per ogni valore reale del parametro ↵ il limite

limx!0+

↵2x2 log(x) + x sin(x)

x4 log(1 + x) + ex2+x � 1 � x � ↵x.

Esercizio 3 Determinare la primitiva F : [e,+1[! R della funzione

f(x) =1

x(log2 x + |1 � log x|)

che soddisfa la condizione F (e) =p

3.

Tempo: due ore e mezza. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.

Viene corretto solo cio che e scritto sul foglio intestato. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi

tipo. E permesso usare solo un foglio A4 personale.

MATEMATICA ACanali 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza



f(x) = arctan

✓e2x + 1

e2x � 1

◆� x

4

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita. Non e richiesto lo studiodel segno di f .


(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia egli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi.




an =

an3/2 � 6

⇣a2pn� sin

⇣1pn

⌘⌘� 2

n2

�1 + 1

n � 2n3

�pn � 1

(a) Calcolare il limite limn!+1 an al variare del parametro a 2 R.

(b) Discutere la convergenza della serieP+1

n=1 an per ogni a 2 R.

Esercizio 3 (a) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A1 ✓ C di tutti inumeri complessi che soddisfano la seguente disequazione:

|z| � 1

2 0.

(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A2 ✓ C di tutti i numeri complessiche soddisfano la seguente disequazione:

��|z| + i

z + z + 4

�� 1/2.

(c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ✓ C di tutti i numeri complessiche soddisfano la seguente disequazione:

✓|z| � 1

2

◆✓��|z| + i

z + z + 4

�� 1/2

◆ 0.




MATEMATICA ACanali, 1 e 2, Commissione F. Albertini, M. MottaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza



f(x) = log�2ex + 3e�x + |x| � 5

�.

(a) Preliminarmente, studiare brevemente la funzione

g(x) = 2ex + 3e�x + |x| � 5.

(b) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, e periodicita di f . Non e richiesto lostudio del segno di f .

(c) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f .

(d) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Non e richiesto lo studiodella convessita di f .

(e) Disegnare un grafico qualitativo di f .

Esercizio 2 Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme A ✓ C di tutti i numericomplessi che soddisfano la seguente disequazione:

��|p

2z| + 2iRe(z)

z � z

�� 1.

Esercizio 3 Si consideri, per ogni ↵ 2 R, la seguente equazione di↵erenziale:

y00 + y0 � 2y = ↵e�2x + sin(x).

(a) Determinarne la soluzione per ogni valore del parametro reale ↵.

(b) Dire se esistono dei valori del parametro ↵ che danno luogo a qualche soluzione periodicae specificare tali soluzioni.

(c) Dire se esistono dei valori del parametro ↵ che danno luogo a qualche soluzione y(x) taleche limx!�1 y(x) = +1 e specificare tali soluzioni.




MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta, G. ZampieriIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza


TEMA


f(x) = e�|x(x+3)| (x + |x + 3|)

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie, eperiodicita e segno.


(c) Studiare la continuita e la derivabilita di f ; determinare gli intervalli di monotonia e glieventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . I limiti di f 0, sesignificativi.



Esercizio 2 Si consideri l’integrale improprio

Z +1p

33

(1 + x2)1�a

log3(2�a)(3 + x) [arctan2 x + | arctan2 x � arctanx|]dx

(a) Determinare i valori del parametro reale a per cui l’integrale converge.


Esercizio 3 Risolvere il problema di Cauchy seguente

(y0 = 2xy

y2+3

y(0) = c

per i due valori c = 2 e c = 0 della condizione iniziale.


MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta e G. Zampieri



TEMA


f(x) = log

!x + 5

|x + 4|

"! x + 5

|x + 4| .

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie,periodicita e segno.


(c) Studiare la continuita e la derivabilita ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto. I limiti di f !, se significativi.


(e) Abbozzare il grafico in tutto il dominio.

Esercizio 2 Si calcoli il limite

limx"+#

x$

x +"

x3 + 3 ! 4x + cos#3ex2

+ 2$

sinh(x) + ("

x)x + 5x.

Si ricordi che sinh(x) = ex%e!x

2 .


limx"0+

sin("

x ! tan("

x))

(ex ! 1)"

x.

Esercizio 4 Si studi la convergenza della serie

+#%

n=1

"n + 1 ! "

n

n.


MATEMATICA ACommissione F. Albertini, M. Motta e G. Zampieri



TEMA


f(x) =x + 3

|x + 2| ! log

!x + 3

|x + 2|

".

(a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie,

periodicita e segno.


(c) Studiare la continuita e la derivabilita; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo

e minimo) relativo e assoluto. I limiti di f !, se significativi.


(e) Abbozzare il grafico in tutto il dominio.


limx"+#

sinh(x) + ("

x)x + 3x

"x3 + 1 + 5x + cos

#5ex2 ! 5

$+ x

$x.

Si ricordi che sinh(x) = ex%e!x

2 .


limx"0

sin(x ! tan(x))(ex)

1 ! cos(x).

Esercizio 4 Si studi il carattere della serie

+#%

n=1

"2n + 1 !

"2n"

n.


MATEMATICA ACommissione Albertini, Mannucci, Motta, ZanellaIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

Prova scritta – 5 settembre 2007

TEMA

1) [10 punti ] Studiare la funzione

f(x) = xlog |x| � 1

log x + 1.

(Determinare il dominio D; studiarne il segno; calcolare i limiti per x che tende ai punti difrontiera del dominio e trovare gli eventuali asintoti; studiare la continuita e la derivabilita dif ed eventuali attacchi di f 0; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; studiarne la convessita e trovare gli eventuali flessi; disegnare un abbozzomotivato del grafico di f .)

2) [10 punti ] Per ogni valore del parametro reale ↵ � 0, determinare il carattere della seguenteserie:

+1X

n=2

e1

n2 (sinn + 2)2

nlog(1+↵).

3) [10 punti ] Dopo aver verificato che esiste finito, si calcoli l’integrale

Z 3

0

x + 2q1 � x2

9

dx.





Prova scritta – 24 luglio 2007

TEMA


f(x) = esinh

“x2+12�x

”

(Dominio, segno, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, continuita e derivabilita, crescenza edecrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f 0, abbozzo delgrafico. Non e richiesto lo studio di f 00.)

2) [8 punti ] Risolvere la seguente equazione in C e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss

Im(iz2 + 2z) > Re(zz).

3) [10 punti ] (i) Calcolare l’integrale indefinito della funzione

f(x) =1

|ex � e| � 7e�x, �1 < x 1.

(ii) Determinare la primitiva di f , F : [0, 1] ! R tale che F (1) = 0.





Prova scritta – 8 gennaio 2007

TEMA


f(x) = |x � 3| � arctan

✓x � 2

|x � 3|

◆

(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti – deldominio e gli eventuali asintoti; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremirelativi ed assoluti; determinare i punti in cui f e derivabile; studiarne la convessita e gli eventualiflessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , non e richiesto lo studio del segno di f).

2) [10 punti ] Calcolare il limite seguente al variare del parametro reale ↵:

limx!0

ex2+ 3x2 � 2 � ↵x2

log(1 + x2) � x2 � 5�(1/x2).

3) [10 punti ] Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

(y0 = (y � 1)2 6x + 3

x2 + x + 1y(0) = 4






TEMA


f(x) = |x � 2| � arctan

✓x � 1

|x � 2|

◆



limx!0

ex2+ 5x2 � 2 � ↵x2

log(1 + x2) � x2 � 3�1

x2

.


(y0 = 4x + 4

x2 + 2x + 2(2 � y)2

y(�1) = 1






TEMA


f(x) = |x + 3| + arctan

✓x + 2

|x + 3|

◆



limx!0

ex2+ 3x2 � 2 � ↵x2

cos(x) � 1 + x2

2 � 5�1

x2

.


(y0 = (y � 1)2 8x + 2

2x2 + x + 1y(0) = 3






TEMA


f(x) = |x + 2| + arctan

✓x + 1

|x + 2|

◆



limx!0

ex2+ 5x2 � 2 � ↵x2

cos(x) � 1 + x2

2 � 3�1

x2

.


(y0 = 4x + 6

x2 + 3x + 3(2 � y)2

y(�1) = 1





Prova scritta – 15 dicembre 2006

TEMA


f(x) = log

µ |x ° 1|x

∂° 2x

(determinare il dominio D; calcolare i limiti per x che tende agli estremi – finiti o infiniti –del dominio e gli eventuali asintoti; determinare i punti in cui f e continua e i punti in cui ederivabile; studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali estremi relativi ed assoluti;studiarne la convessita e gli eventuali flessi; disegnare un abbozzo motivato del grafico di f , none richiesto lo studio del segno di f).

2) [8 punti ] Esprimere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le soluzioni complessedella seguente equazione:

z4 + 2(3 + 6i)z2 + 5 + 12i = 0.

3) [10 punti ] (i) Determinare i valori del parametro reale Æ per i quali converge il seguenteintegrale improprio: Z +1

1

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

2 log x + 2)dx.

(ii) Calcolare l’integrale per Æ = 1.

4) Esercizio facoltativo (da svolgersi per ultimo, terminati gli altri esercizi, non viene valutatoper l’ammissione all’orale).

Si consideri il problema di Cauchy

(y0 = ex2

y,

y(1) = Æ.

Decidere per quali valori del parametro reale Æ la soluzione e iniettiva. Posto Æ = 2, indicatacon g la funzione inversa di y (ristretta al proprio dominio e immagine), calcolare g0(2).

MOTIVARE LE RISPOSTE.






TEMA


f(x) = x ° log

µ |x ° 1|x

∂



z4 + 2(3 ° 6i)z2 + 5 ° 12i = 0.


1

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

3 log x + 3)dx.




(y0 = ex2

y,

y(1) = Æ.








TEMA


f(x) = log

µ |x|x + 1

∂° 2x



z4 ° 2(3 + 6i)z2 + 5 + 12i = 0.


1

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

5 log x + 5)dx.




(y0 = ex2

y,

y(1) = Æ.








TEMA


f(x) = x ° log

µ |x|x + 1

∂



z4 ° 2(3 ° 6i)z2 + 5 ° 12i = 0.


1

(1 + x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x + 2p

6 log x + 6)dx.




(y0 = ex2

y,

y(1) = Æ.






Soluzioni del tema 1.

1) La funzione e definita per|x ° 1|

x > 0, x 6= 0, quindi il dominio D e

D = {x > 0, x 6= 1}.

Limiti finiti e infiniti:limx!0+ f(x) = +1,limx!1± f(x) = °1,limx!+1 f(x) = °1,

limx!+1f(x)

x = °2, limx!+1 f(x) + 2x = 0.Quindi la retta y = °2x e asintoto obliquo per x ! +1.La funzione e continua e derivabile nel suo dominio di definizione perche somma, quoziente ecomposizione di funzioni continue e derivabili.f 0(x) = 1°2x2+2x

x(x°1) se x > 1,

f 0(x) = °1+2x2°2xx(1°x) se x < 1

quindi

f 0(x) =1 ° 2x2 + 2x

x(x ° 1), 8x 2 D.

Studiando il segno di 1 ° 2x2 + 2x, si ottiene che f e strettamente decrescente in (0, 1) e in

(1+p

32 ,+1), strettamente crescente in (1, 1+

p3

2 ). Ha un punto di massimo relativo in x = 1+p

32

mentre non esistono punti di massimo e minimo assoluto in quanto sup f = +1, inf f = °1.La derivata seconda e

f 00(x) =1 ° 2x

x2(x ° 1)2, 8x 2 D.

Quindi f e concava se x > 1 e se x 2 (1/2, 1) mentre e convessa in (0, 1/2) e ha un punto di flessoin x = 1/2.

2) Ponendo w = z2, si ha un’equazione di secondo grado. La formula ridotta da

w = °3 ° 6i ±p

(3 + 6i)2 ° 5 ° 12i = °3 ° 6i ±p°32 + 24i. (1)

Per trovare le radici, si risolve l’equazione (x + iy)2 = °32 + 24i, x, y 2 R, da cui

(x2 ° y2 = °32

2xy = 24,,

(x4 + 32x2 ° 144 = 0

y = 12/x.

Risolvendo l’equazione biquadratica si ottiene x2 = °16 ± 20, di cui solo la soluzione positiva eaccettabile. In definitiva, le due radici nella (1) sono ±(2 + 6i). Sostituendo, otteniamo le dueequazioni z2 = °1 e z2 = °5°12i. Le soluzioni della prima sono evidentemente z1 = i e z2 = °i.Per risolvere la seconda, si imposta un sistema analogo a quello precedente:

(x2 ° y2 = °5

2xy = °12,,

(x4 + 5x2 ° 36 = 0

y = °6/x.

Come prima, la biquadratica ha solo due soluzioni reali, x = ±2; corrispondentemente, y = ®3.Concludendo, otteniamo le soluzioni z3 = 2 ° 3i e z4 = °2 + 3i. La rappresentazione nel pianodi Gauss consiste nell’insieme dei quattro punti di coordinate (0, 1), (0,°1), (2,°3), (°2, 3).

3) (i) La funzione integranda f(x) = (1+x3)1°Æ

x2°Æ(log2 x+2p

2 log x+2)e definita, positiva e continua

su tutto l’intervallo [1, +1[. L’integrale quindi converge se e solo se f e integrabile in sensogeneralizzato in un intorno di +1. Poiche nell’intorno di +1 si ha

f(x) ª x3(1°Æ)

x2°Æ log2 x=

1

x2°Æ°3+3Æ log2 x=

1

x2Æ°1 log2 x,

dal criterio di confronto asintotico con la funzione f(x) = 1xa logb x

dove a = 2Æ° 1 e b = 2, segue

che l’integrale converge se e solo se 2Æ° 1 ∏ 1, cioe per Æ ∏ 1.

(ii) Per Æ = 1, l’integrale di f tra 1 e x (con x > 1), diventa

Z x

1

1

t(log2 t + 2p

2 log t + 2)dt =

Z log x

0

1

(y +p

2)2dy =

∑° 1

y +p

2

∏log x

0

=

p2

2° 1

log x +p

2,

dove la prima uguaglianza si ottiene operando la sostituzione y = log t. Passando al limite perx ! +1, risulta infine

Z +1

1

1

t(log2 t + 2p

2 log t + 2)dt = lim

x!+1

Z x

1

1

t(log2 t + 2p

2 log t + 2)dt =

p2

2.

Universita degli Studi di Padovasede di Vicenza

Prova scritta di Matematica Adel 5 Settembre 2006

GIUSTIFICARE TUTTE LE RISPOSTE

(1)Si consideri la funzione

f(x) = sin(π2− x)etanx

(a) Determinare il dominio di f , il segno di f, eventuali simmetrie e peri-odicita.




(e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non erichiesto lo studio di f ′′)

(2) Si consideri il seguente problema di Cauchy:

{y′(x) = y(x)

2x− ex

2y3,

y(−1) = 1.

(a) Determinare la soluzione in un intorno di x0 = −1.

(b) Trovare il dominio massimale della soluzione.

(3) Data la successione

an =

(√1 + 2 sin

(1

n2

)− e−

1na

)n1−a per ogni n ∈ N,

(a) discutere la convergenza della serie∑+∞

n=1 an al variare del parametroa > 0.

(b) (Facoltativo) Studiare la convergenza della serie∑+∞

n=1(−1)n+1an nelcaso a = 1.


Prova scritta di Matematica Adel 19 Settembre 2006

(Canale 2, Prof. F. Albertini e M. Motta)


(1) Si consideri la funzione

f(x) = arctan

✓x + 1

x � 1+ log(x2)

◆.





(e) Disegnare un grafico qualitativo di f . (Non e richiesto lo studio di f 00)

(2) Per ogni valore di ↵ 2 RI , determinare il seguente limite:

limx!0+

2x � sin(↵x) � 1 + x3 sin 1x

1 � cos(p

x) � 12log(x + 1)

.

(3) Determinare il carattere della seguente serie:

+1X

n=1

pn4 + 2n � n2

pn

sin(p

n).


Prova scritta di Matematica Adel 20 Luglio 2006

(Canale 2, Prof. F. Albertini e M. Motta)



f(x) = (x � 1) e1p

x2�1

(a) Determinare il dominio, il segno ed eventuali simmetrie di f .

(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti ver-ticali.


(d) (Fac.) Determinare eventuali asintoti obliqui di f .


(2) Determinare le radici del seguente polinomio:

P (z) = z4 + (2i + 1)z2 + 2i.

(3) Data la funzione integrale

F (x) =

Z x

0

⇥log(1 + t2) � arctan(ta)

⇤dt,

(a) calcolare al variare del parametro a > 0 il limite seguente

limx!0+

F (x)

x3.

(b) Calcolare il valore F (1) per a = 1.


Prova scritta di Matematica Adel 12 dicembre 2005



f(x) = log�x + 1 + e|x+1|�




(d) Calcolare i limiti di f 0, se significativi e disegnare un grafico qualitativodi f .

(e) (facoltativo) Studiare concavita e convessita della funzione f .

(2) Determinare l’insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguentedisequazione:

��z

z + iRez

�� 1.

Disegnare A nel piano complesso.

(3)

(a) Discutere al variare del parametro a 2 R la convergenza del seguenteintegrale improprio

Z ⇡/4

0

tan|a|/2 x (tan2 x + 1)

x2�a(1 +p

tan x)dx.



Esame di Analisi 1 e di Matematica 1del 21 giugno 2005



f(x) =p

x2 + 8x + 15 � |x � 1|

(a) Determinare il dominio di f .





(2) (a) Calcolare, se esiste, il limite della successione

an = (�1)nn2

✓1 � n arctan

✓1

n

◆◆+

(�1)n+1

3

per n tendente a +1.(b) Discutere la convergenza semplice e assoluta della serie

P+1n=1 an.

(3) Calcolare la primitiva F : [�1, +1[! R della funzione seguente

f(x) =

px + 1

|x � 1| + 2

tale che F (�1) = 2⇡.


Esame di Matematica A del 11 gennaio 2005



f(x) = log1

1 + cos x� 1

1 + cos x

(a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, e periodicita di f .


(c) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo(massimo e minimo) relativo e assoluto di f ristretta a (�⇡, ⇡).


(2) Si consideri la serie

+1X

n=1

(�3)n

3n+1n log(1 + n) � 3nn sin�

3n

� .

(a) Studiare il segno della successione

bn = 3n+1n log(1 + n) � 3nn sin

✓3

n

◆

per n tendente a +1.

(b) Discutere la convergenza assoluta della serie data.

(c) Discutere la convergenza semplice della serie data. (Suggerimento: us-are il punto (a))

(3) Per ogni ↵ 6= �1 si consideri la seguente equazione di↵erenziale:

y00 � ↵y = cos(x).

(a) Determinare le soluzioni per ogni ↵ 6= �1.

(b) Dire se esistono soluzioni y(x), tali che limx!+1 y(x) = +1. In casoa↵ermativo, determinarle.

(c) Fissato ↵ = 0, dire se esistono soluzioni limite. In caso a↵ermativo,determinarle.

(d) (facoltativo) Determinare le soluzioni per ↵ = �1.


Esame di Matematica A del 14 dicembre 2004



f(x) =x2

x + 1e

xx+1

(a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventualiasintoti di f .

(b) Determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo(massimo e minimo) relativo e assoluto di f .

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f .

(2) Calcolare il seguente limite:

limx!0+

e(x+x2) � 1 � sin(x)

x2 + arctan(x3) + x3 sin( 1x).

(3) Si consideri il seguente integrale improprio

Z +1

0

dx

xa2�1(x2 + |1 � 2x|a) .

(a) Determinare i valori del parametro a > 0 per i quali tale integraleconverge.



Esame di Matematica A/Analisi 1 del 19/9/2005

SCHEMA DI SOLUZIONE


f(x) = arcsin

!1 ! x2

1 + x2

"

(a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie, continuita, limitiagli estremi del dominio, e gli eventuali asintoti di f .

(b) Determinare la derivabilita, gli eventuali punti angolosi, gli intervallidi monotonia, e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo)relativo e assoluto di f .

(c) Determinare gli intervalli di concavita e convessita e gli eventuali puntidi flesso di f .

Soluzione: Dominio: deve essere:###1!x2

1+x2

### " 1 #$ !1 " 1!x2

1+x2 " 1 #$ !1 ! x2 " 1 ! x2 " 1 + x2

#$ !1 " 1 " 1 + 2x2

disuguaglianze chiaramente soddisfatte per ogni x % R. Il dominio e quinditutto R.Simmetrie: chiaramente f e pari.Continuita: Essendo f composizione di funzioni continue e continua.Derivabilita: La funzione g(x) = 1!x2

1+x2 e ovunque derivabile; arcsin e deriv-abile in (!1, 1); quindi f e certamente derivabile, almeno per gli x % R percui g(x) &= ±1; si ha g(x) = 1 #$ x = 0, mentre g(x) = !1 non e maiverificato. Percio f e certamente derivabile in R/{0} e si ha:

f "(x) =1$

1 ! g2(x)

!4x

(1 + x2)2

Per vedere se f e derivabile in 0 calcoliamo i limiti destro e sinistro di f " inx = 0; essendo f continua in x = 0 il limite destro, se esiste sara la derivata

destra, e quello sinistro la derivata sinistra; anzi essendo f ! dispari, bastafare il limite destro, per x !" 0+. Si noti che:

!1 ! g2(x) =

!(1 ! g(x))(1 + g(x)) # 2x per x !" 0+

e in definitivalim

x"0±f !(x) = $2

e quindi 0 e punto angoloso per f .Monotonia: f !(x) < 0 per x > 0; f e strettamente decrescente su [0, +%); fe strettamente crescente su !%, 0]. Il punto x = 0 e di max assoluto, dovef vale f(0) = !/2.Asintoti: essendo

limx"±#

g(x) = !1

si halim

x"±#f(x) = !!/2

e quindi y = !!/2 e asintoto orizzontale bilatero per f ; il valore !!/2 el’estremo inferiore di f , ma non e raggiunto: f non ha minimo.Convessita: per x &= 0, si ha

f !!(x) =1!

1 ! g2(x)

"g(x) (g!(x)2)

1 ! g2(x)+ g!!(x)

#

calcoli diretti (anche se un po lunghi) mostrano che

g(x) (g!(x)2)

1 ! g2(x)+ g!!(x) =

8x2

(1 + x2)3> 0

pertanto f e strettamente convessa su (!%, 0) ' (0, +%).Abbozzo di grafico:

(2) Al variare del parametro ! ! R, calcolare il seguente limite:

limx"#0+

1

x4!

!1 "

$1 " !x2

cos x

".

Soluzione: Dobbiamo calcolare

limx"#0+

cos x "$

1 " !x2

x4! cos x.

Usando gli sviluppi di Mac Laurin si ottiene che

cos x = 1 " 1

2x2 +

1

24x4 + o(x5),

$1 " !x2 = 1 " !

2x2 " !2

8x4 + o(x4).

Se ! %= 1, si ha

limx"#0+

cos x "$

1 + !x2

x4! cos x= lim

x"#0+

!!12

x2 + o(x3)

x4!=

#$$$%$$$&

+&, se ! > 1,

"&, se 12

< ! < 1,

"14, se ! = 1

2,

0, se ! < 12.

Se ! = 1, si ha

limx"#0+

cos x "$

1 + x2

x4 cos x= lim

x"#0+

16x4 + o(x4)

x4=

1

6.

(3) Si consideri il seguente integrale improprio

' +"

2

6x2a

(x " 1)2(x2 + xa + 1)dx.

(a) Determinare i valori del parametro a > 0 per i quali tale integraleconverge.


Soluzione: (a) Per ogni a > 0 la funzione integranda

fa(x) =6x2a

(x " 1)2(x2 + xa + 1)

e continua in [2, +![. In un intorno di +! si ha

fa(x) "

!"#"$

6xa!2, se a > 2,

3, se a = 2,1

x2(2!a) , se 0 < a < 2.

Quindi dal criterio del confronto asintotico segue che l’integrale converge per0 < a < 3/2.(b) Calcoliamo l’integrale indefinito

%6x2

(x # 1)2(x2 + x + 1)dx.

Si puo scomporre

6x2

(x # 1)2(x2 + x + 1)=

A

x # 1+

B

(x # 1)2+

C(2x + 1)

(x2 + x + 1)+

D

(x2 + x + 1).

Facendo denominatore comune ed eguagliando i coe!cienti delle varie potenzedi x, si ottiene A = 2, B = 2, C = #1, D = 1. Quindi

%6x2

(x # 1)2(x2 + x + 1)dx =

log(x # 1)2

x2 + x + 1# 2

x # 1+

2$3

arctan

&2$3

&x +

1

2

''+ c.

In conclusione, l’integrale cercato e

% +"

2

6x2a

(x # 1)2(x2 + xa + 1)dx =

!$3

+ log 7 + 2 # 2$3

arctan5$3.


Esame di Matematica A, di Matematica 1 e di Analisi1 del 5 settembre 2005



f(x) = 1 � sin x log

��sin x

e

��

(a) Determinare il dominio, eventuali periodicita e simmetrie e studiare ilsegno di f . Calcolare i limiti agli estremi del dominio di f . (Sugg.Studiare f nel piu piccolo intervallo possibile..)

(b) Calcolare f 0 e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventualipunti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Deter-minare eventuali attacchi di f 0.

(c) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto R). Non e richiesto lostudio di f 00.

Soluzione:(a) Il dominio di f e D = R \ {sin x 6= 0} = R \ {x 2 R : x =k⇡, k 2 N}. La funzione e 2⇡–periodica e f(x) � 1 e dispari, quindi bastastudiarla nell’intervallo D \ [0, ⇡] =]0, ⇡[. 8x 2]0, ⇡[ la funzione sin x > 0,quindi f(x) = 1� sin x log

⇥sin x

e

⇤e poiche 0 < sin x

e 1

e, si ha che log

⇥sin x

e

⇤

log⇥

1e

⇤= �1 per cui sin x log

⇥sin x

e

⇤> 0 e f(x) > 1 > 0 8x 2]0, ⇡[.

limx!0+

f(x) = limx!⇡�

f(x) = 1,

e f si estende per continuita a tutto R.(b) 8x 2]0, ⇡[ la funzione sin x > 0, quindi f(x) = 1 � sin x log

⇥sin x

e

⇤e

f 0(x) = � cos x

log

sin x

e

�+ sin x

e

sin x

1

e

�= � cos x

log

sin x

e

�+ 1

�.

Per quanto gia osservato, log⇥

sin xe

⇤ �1, dunque

log

sin x

e

�+ 1 0 8x 2]0, ⇡[

e f 0(x) � 0 se e solo se cos x � 0, cioe x 2]0, ⇡/2]. Percio f e monotonacrescente in ]0, ⇡/2] e decrescente in ]⇡/2, ⇡[ e assume un massimo relativo inx = ⇡/2. Per la periodicita e le simmetrie di f , per k 2 Z i punti ⇡/2 + 2k⇡sono di massimo assoluto, mentre i punti �⇡/2+2k⇡ sono di minimo assoluto.Gli attacchi di f 0 in 0+ e in ⇡� sono

limx!0+

= +1, limx!⇡�

f 0(x) = �1,

quindi nei punti k⇡ con k 2 Z f non e derivabile e ha tangente verticale.

(2) Calcolare al variare del parametro a > 0 il seguente limite:

L = limx!+1

xa + ex3�1 � e1/x

�

x sin x � ex3 sin (1/x).

Soluzione: Poiche 1 � e1/x e asintotica a �1/x, in breve, 1 � e1/x ⇠ �1/x,per x ! +1, il numeratore soddisfa

xa + ex3�1 � e1/x

�⇠ xa � ex2 ⇠

8<:

�ex2 se a < 2(1 � e)x2 se a = 2xa se a > 2

mentre x sin x = o(x2) e �ex3 sin (1/x) ⇠ �ex2, per cui

x sin x � ex3 sin (1/x) ⇠ �ex2.

Il limite richiesto vale allora

L =

8<:

1 se a < 2(1�e)�e

se a = 2

�1 se a > 2.

(3) Calcolare l’integrale

I =

Z p2

0

arccos

��x � 1p2

�� dx.

Soluzione: Il dominio della funzione integranda e

D =

⇢x 2 R :

��x � 1p2

�� 1

�=

⇢x 2 R :

1p2� 1 x 1 +

1p2

�,

e quindi D ⇢ [0,p

2]. Inoltre, dalla definizione di modulo si ha

Z p2

0

arccos

��x � 1p2

�� dx =

Z p2/2

0

arccos

✓1p2� x

◆dx+

Z p2

p2/2

arccos

✓x � 1p

2

◆dx.

Operando le sostituzioni y = 1p2� x e y = x� 1p

2rispettivamente nel primo

e nel secondo integrale, si ottiene

I = 2

Z p2/2

0

arccos y dy = 2

y arccos y

��p

2/20 +

Z p2/2

0

y dyp1 � y2

!=

p2

4⇡+2

✓1 � 1p

2

◆.

dove la penultima uguaglianza si ha integrando per parti.


Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaLaurea in Ingegneria Gestionale,

Prof. M. Motta

Analisi 1, N.O.Vicenza, 22 giugno 2004.

Esercizio 1

Studiare la funzionef(x) = |x2 − 4|e x

|x+2|



Esercizio 2

(a) Dire per quali α ∈ IR esiste finito l’integrale seguente:

∫ √π/2

0

xα sin(x2) + | log(xα−1)|(1− cos(x2))

78α

dx

e giustificare la risposta.

(b) Calcolare l’integrale per α = 1.


Esercizio 3

(a) Calcolare il limite della successione

an =1 + tan3

(1n

)− esin

3( 1n)

1n3+α

(esin

2( 2n) − e

1n2

)

per n → +∞ al variare del parametro α ∈ IR.

(b) Dire per quali valori di α ∈ IR la serie∑+∞

n=1 an converge.


Universita degli Studi di Padova – Facolta di IngegneriaLaurea in Ingegneria Gestionale,

Doc. M. Motta

Analisi Matematica 1, V.OVicenza-29-04-03.

Esercizio 1

Studiare la funzionef(x) = xe

1|2x|−1



Esercizio 2

Calcolare il limite seguente al variare di a ∈ IR:

limx→+∞

(1x

)1/x − 2e1/x + cos(1x

)+ a

xlog(1x

)(√

1 + sinh(1x

)−√

1 + sin(1x

))1/3 .


Esercizio 3

(a) Determinare al variare di a ∈ IR le soluzioni complesse di

z2 + z2 − 2|z|2 + i(z − z) + 2z = i− a.

(b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’ insieme

A ={z ∈ C :

∣∣z2 − (z)2∣∣+ 2zz ≤ 8

}.

(c) Determinare i valori di a ∈ IR per i quali risulta non vuota l’ intersezione tra l’ insiemedelle soluzioni trovate nel punto (a) e l’ insieme A del punto (b).

Analisi Matematica I DTG di Vicenza Attenzione: i...

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