Analisi e Gestione del Rischio

Lezione 5

Calcolo della volatilità

La scelta dell’informazione• Informazione storica

– Vantaggi: dati storici possono essere usati per la previsione di rischi futuri su un largo numero di mercati

– Svantaggi: la storia non si ripete mai nello stesso modo, ed è difficile prevedere i cambiamenti strutturali, che sono invece al centro dell’interesse del risk-manager

• Informazione implicita– Vantaggi: l’analisi cross-section dei prezzi (es volalità implicite) può

estrarre la previsione di mercato del rischio, inclusi i cambiamenti strutturali

– Svantaggi: è disponibile per un numero limitato di mercati sufficientemente liquidi.

• L’informazione cui è interessato il risk-manager riguarda la distribuzione dei rendimenti, in prima approssimazione la loro volatilità.

Volatilità storica

• Un’alternativa alla stima della volatilità implicita è l’utilizzo della volatilità storica

• La volatilità storica non richiede la presenza di un mercato delle opzioni liquido, ed è applicabile ad un largo numero di mercati

• La stima della volatilità storica è pero rivolta al passato (backward looking) e soggetta a due problemi– Rischio di stima della volatilità– Rischio di modello (fluttuazione della volatilità)

Il rischio di stima

• Il rischio di stima della volatilità, rispetto allo stimatore classico di volatilità, può essere ridotto ricorrendo a informazione su– Quotazioni di apertura e di chiusura della

giornata– Quotazioni massime e minime della giornata

• Stimatori: i) Garman e Klass; ii) Parkinson; iii) Rogers e Satchell; iv) Yang e Zhang

Rischio di stima (1)

• Oi e Ci rispettivamente prezzi di apertura e chiusura del giorno i.

• Hi e Li rispettivamente prezzi massimo e minimo del giorno i.

• Parkinson:

• GK

T

i

iiP

LH

T 1

22

2ln4

1̂

T

i

iiiiP f

LHa

f

COa

T 1

2212

2ln411

1̂

Rischio di stima (2)

• Definiamo: oi = Oi – Ci-1, hi = Hi – Oi, li = Li – Oi, ci = Ci – Oi. Inoltre 2

o e 2c sono le

varianze calcolate sui prezzi di apertura e chiusura rispettivamente

• Rogers-Satchell :

• Yang-Zang:

T

iiiiiiiRS cllchh

T 1

2 1̂

2222 ˆ1ˆˆˆ RSCOYZ kk

Rischio di stima (3)

• Parkinson: 5 volte più efficiente– Rendimento medio = 0; “opening jump” f = 0

• Garman e Klass: 6 volte più efficiente– Rendimento medio = 0; “opening jump” f 0

• Rogers e Satchell:– Rendimento medio 0; “opening jump” f = 0

• Yang e Zhang: – Rendimento medio 0; “opening jump” f 0

Esempio: dati sul Mib30

41000

42000

43000

44000

45000

46000

47000

26/09/00

27/09/00

28/09/00

29/09/00

30/09/00

01/10/00

02/10/00

03/10/00

04/10/00

05/10/00

06/10/00

07/10/00

08/10/00

09/10/00

10/10/00

11/10/00

12/10/00

13/10/00

I risultati dell’elaborazioneData h l o c (h - l)^2/(4*ln2) h(h-c)+l(l-c)

27/09/00 1.57304% 0.00000% -1.08562% 0.90659% 0.00892% 0.01048%28/09/00 0.00000% -1.42275% 0.39039% -0.79109% 0.00730% 0.00899%29/09/00 0.24260% -0.97856% 0.26074% -0.81075% 0.00538% 0.00420%02/10/00 1.87499% 0.00000% -0.34253% 1.72715% 0.01268% 0.00277%03/10/00 0.72456% -0.48452% -0.06747% 0.11533% 0.00527% 0.00732%04/10/00 0.59880% -0.67934% -0.42497% 0.19419% 0.00589% 0.00836%05/10/00 0.15623% -0.49416% 0.37639% -0.19563% 0.00153% 0.00202%06/10/00 0.17383% -1.60912% 0.05003% -1.45675% 0.01147% 0.00529%09/10/00 0.00222% -1.25356% -0.45117% -0.97338% 0.00569% 0.00353%10/10/00 0.29532% -0.77015% 0.65145% -0.12238% 0.00409% 0.00622%11/10/00 0.12797% -1.77694% -0.89458% -1.27056% 0.01309% 0.01079%12/10/00 0.54148% -2.07786% 0.56945% -1.48141% 0.02475% 0.02335%13/10/00 3.39528% 0.00000% -1.41515% 3.39528% 0.04158% 0.00000%

Volatilità Apertura Chiusura Parkinson Rogers-Satchell0.65599% 1.40101% 1.06566% 0.84726%

Numero Osservazioni 13 Yang-Zhang k=0.1875 1.17542%

Rischio di modello

• Oltre al rischio di stima, la volatilità stessa del mercato può cambiare nel corso del tempo.

• Modelli Garch: shock che raggiungono il rendimento ne modificano la volatilità al periodo successivo

• Modelli a volatilità stocastica: la volatilità del rendimento è influenzata da shock che possono essere correlati con shock che raggiungono il rendimento stesso (ma la correlazione non è perfetta)

La volatilità del Mib30

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

03/03/95

03/05/95

03/07/95

03/09/95

03/11/95

03/01/96

03/03/96

03/05/96

03/07/96

03/09/96

03/11/96

03/01/97

03/03/97

03/05/97

03/07/97

03/09/97

03/11/97

03/01/98

03/03/98

03/05/98

03/07/98

03/09/98

03/11/98

03/01/99

03/03/99

03/05/99

03/07/99

03/09/99

03/11/99

03/01/00

Modelli Garch(p,q)

• La distribuzione del rendimento condizionale alla volatilità è normale, ma la volatilità varia nel tempo con un processo autoregressivo di tipo ARMA(p,q). Ad es. il Garch(1,1) è:

2t

2tt

tttt N~ R

11112

,0

Garch: ABC…

• In un modello Garch la distribuzione NON condizionale dei rendimenti non è normale, ed in particolare ha code “grasse” (“fat-tails”): eventi estremi sono più probabili rispetto alla distribuzione normale

• In un modello Garch la varianza futura è prevista ricursivamente dalla formula

• Il grado di persistenza è dato da 1 + 1 1

2itit 111

2 ˆˆ

Un Garch particolare…

• Assumiamo: = 0 e 1 + 1 = 1. In questo caso abbiamo un Garch integrato (Igarch):– i) la volatilità è persistente: ogni shock rimane

per sempre nella storia della volatilità– ii) il miglior previsore della volatilità al tempo t

+ i è quella al tempo t + i – 1.

– iii) la volatilità al tempo t è data da ( 1)

2t

2tt 11

2 1

…di nome EWMA• Notiamo che l’IGarch(1,1) con = 0 corrisponde a

un modello in cui la volatilità è calcolata come una media mobile a pesi che decadono esponenzialmente (EWMA).

• Il modello, con parametro = 0.94, è impiegato da RiskMetrics™ per valutare volatilità e correlazioni.

• Il modello corrisponde a una stima di volatilità che pesa in maniera decrescente le osservazioni più recenti (il parametro usato corrisponde a 75 osservazioni)

Stime di volatilità: il Mib30

Ghost feature

• La modulazione dei pesi nella opzione EWMA consente di ridurre il cosiddetto problema della ghost feature nei dati

• Ghost feature: uno shock continua a avere effetto sulla stima del VaR per tutto il periodo in cui resta nel campione, e quando ne esce la stima di VaR cambia senza un motivo apparente. Attribuire pesi via via decrescenti agli shock attutisce questo fenomeno.