Analisi e Gestione del Rischio

Lezione 10

Rischio di prodotti strutturati

VaR ed Expected Shortfall

Analisi del rischio di prodotti strutturati

• Analisi dei pay-off• Definizione del portafoglio di replica• Analisi dei fattori di rischio presenti nel

prodotto.• Analisi della sensitività ai fattori di rischio• Definizione dei fattori di rischio principali• Comunicazione dei fattori di rischio

all’investitore.

Analisi dei pay-off: richiami• L’analisi dei pay-off deve distinguere:

– Il piano di rimborso– Il piano cedole

• E’ importante appurare se e in quali scenari il capitale impiegato nell’investimento viene perso, in quale misura massima e minima.

• E’ importante appurare se la durata dell’investimento è definita o può variare in funzione di eventi esterni o decisioni dell’investitore o dell’emittente.

• E’ importante definire se le cedole sono fisse o variabili e in quale intervallo possono variare.

Portafoglio di replica: richiami

• Si individuano i prodotti derivati presenti nella struttura.

• In generale, utilizzeremo le scomposizioni, che derivano dalla parità put-call, introdotte nella lezione 2:Max(y,k) = k + max(y – k, 0)

= y + max(k – y, 0) Min(y,k) = k – max(k – y, 0)

= y – max(y – k, 0)

Analisi dei fattori di rischio

• Vengono passati in rassegna i fattori di rischio presenti nella struttura.

• Rischio di tasso d’interesse, legato ai movimenti della struttura dei tassi privi di rischio

• Rischio emittente: legato alla dinamica degli spread di credito dell’emittente

• Rischio sottostante: legato alla dinamica dei titoli sottostanti i contratti derivati che fanno parte del portafoglio di replica

• Rischio opzione: legato a prodotti derivati non lineari che sono presenti nel portafoglio di replica.

Analisi della sensitività ai fattori di rischio

• La sensitività al rischio di tasso è misurata da duration e convexity rispetto alla curva risk-free (o da modelli più complessi di bucket hedging)

• La sensitività al rischio emittente è misurata da duration e convexity della curva dell’emittente.

• La sensitività al sottostante è misurato dal delta e dei derivati presenti nella struttura

• La sensitività al rischio opzione è misurata dal gamma e vega delle opzioni presenti nella struttura (sensitività a cambi di volatilità e correlazione.

Definizione dei fattori di rischio principali

• Nella comunicazione al pubblico è importante focalizzare i fattori di rischio principali ed esporli in modo da attrarre l’attenzione su quelli maggiori.

• Per questo motivo in fase di analisi si stabilisce una sorta di “gerarchia dei rischi” al fine di esporli in ordine di rilevanza decrescente.

• La definizione di tale gerarchia è in genere basata su due considerazioni: i) l’individuazione dei

Comunicazione dei fattori di rischio all’investitore

• La comunicazione deve essere sintetica e focalizzata sui fattori di rischio principali.

• Deve essere completa per quanto riguarda la definizione dell’anagrafica del titolo.

• Per l’investitore non sofisticato non viene utilizzata la descrizione del portafoglio di replica, ma viene fornita una descrizione dei principali effetti che emergono dalla scomposizione e vengono elencati i rischi in ordine decrescente.

Protected Equity Certificate

Abn Amro

Protection Bull

• Sottostante iniziale = 4200

• Valore Nominale = 1

• Protezione del Capitale (protection) = 0,9

• Tasso di Partecipazione 1 (part1)= 1

• Tasso di Partecipazione 2 (part2) = 1,1

• Rendimento massimo (cap) = NA

Descrizione del prodotto

• Il valore finale è definito come il rapporto tra il valore del sottostante a scadenza sul valore del sottostante iniziale:

VF = Sottostante (T) /Sottostante(0)• Il pay-off è riferito all’ammontare nominale VN• Il fine del prodotto, da prospetto informativo è di

“avvantaggiarsi di eventuali rialzi del Sottostante, proteggendosi da eventuali ribassi del

Sottostante”.

Pay-off a scadenza

• Secondo il prospetto, se alla scadenza abbiamo VF > 1 l’investitore riceve:VN[Protection + Part1*(1 – Protection) +

Part2*(VF – 1)]• Se alla scadenza Protection < VF < 1 l’investitore

percepisce:VN[Protection + Part1*(VF – 1)]

• Se infine VF < Protection l’investitore ottieneVN[Protection]

Piano di rimborso…

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000

…più cedola

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000

“Lo strano caso” part1 < 1

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000

Informazione al pubblico (Bull)

• Il titolo Protection Bull è composto di un piano cedole e di rimborso del capitale come segue

• La cedola è legata alla performance di un indice di borsa, e paga alla scadenza l’apprezzamento dell’indice moltiplicato per una percentuale. Paga zero in caso contrario

• Il rimborso del capitale NON è garantito. La perdita di capitale massima è 1 meno il livello di protezione e si verifica quando l’indice di borsa alla scadenza ha fatto registrare una perdita di ammontare corrispondente.

• Per certi valori dei parametri (partecipazione 1 e protezione entrambi minori di 1) il capitale NON verrà restituito integralmente in nessun caso.

Portafoglio di replica (Bull)

• Il Protection Bull certificate è così composto:• Cedola: Lungo opzioni call sul sottostante con

strike pari a 1, per un ammontare pari al nominale per il tasso di partecipazione 2.

• Rimborso:– Lungo titolo privo di rischio per un valore nominale

pari alla percentuale di protezione per il valore nominale.– Lungo call spread con strike pari al livello di protezione

e 1, per un ammontare pari al nominale per il tasso di partecipazione 1.

Cap Protection Bull

• Sottostante iniziale = 4200

• Valore Nominale = 1

• Protezione del Capitale (protection) = 0,9

• Tasso di Partecipazione 1 (part1)= 1

• Tasso di Partecipazione 2 (part2) = 1,4

• Rendimento massimo (cap) = 1,3

Definizione del cap

• Vogliamo una posizione corta in part2 opzioni call, con strike K tale che nel caso VF > K, abbiamo

Protection + Part1*(1 – Protection) +

Part2*(VF – 1) – Part2(VF – K) = Cap

K = 1 + [Cap – Protection –

– Part1*(1 – protection)]/Part2

Considerazioni sulla trasparenza

• Si noti che il modo in cui è presentato il cap risente della confusione che viene fatta tra piano cedole e piano di rimborso.

• Dire che il rendimento massimo è limitato al 30%, per esempio, non significa che il titolo consente di partecipare a rialzi del mercato fino al 30%. Nell’ipotesi in cui il tasso di protezione è 90% e il tasso di partecipazione 1 è pari a 1, e il tasso di partecipazione 2 è pari a 140%, la cedola partecipa all’apprezzamento del sottostante fino al 21,43%.

Capped Bull Protection

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2900 3100 3300 3500 3700 3900 4100 4300 4500 4700 4900 5100 5300 5500 5700 5900 6100 6300 6500 6700 6900

Rimborso

Bull Protection

Capped Protection

Sensitività

• Il titolo Protection Bull sarà lungo del sottostante. La cedola è infatti rappresentata da un’opzione call che è lunga nel sottostante e il derivato presente nel piano di rimborso è un call spread, anch’esso lungo nel sottostante.

• Anche il titolo capped sarà lungo nel sottostante: si tratta infatti della somma di due call spread.

• Per quanto riguarda la sensitività alla volatilità, il segno è incerto e dipende dalla distanza tra gli strike price dei call spread.

Sensitività al sottostante

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500

Protected Equity

Capped Protected Equity

Sensitività alla volatilità

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

Protected

Capped

Critiche al Value-at-Risk

• La problematica delle misure coerenti di rischio (approccio assiomatico alle misure di rischio)

• Tecniche alternative (o complementari): expected shorfall, stress testing.

• Il rischio di liquidità

Misure coerenti di rischio

• Nel 1999 Artzner, Delbaen e Eber e Heath affrontarono il seguente problema

• “Che caratteristiche deve avere una misura di rischio per essere ben definita?”

• Assiomi di una misura di rischio   Positive homogeneity: (X) = (X)  Translation invariance: (X + ) = (X) –

 Subadditivity: (X1+ X2) (X1) + (X2)

Nuove misureexpected shortfall

• Il Value-at-Risk rappresenta un percentile corrispondente ad un livello di probabilità.

• Critiche:– Il VaR non fornisce nessuna informazione sulla forma

della distribuzione nella coda.

– Il VaR di due business può essere super-additivo (unendo due business, il VaR può aumentare

– In generale, il problema di ottimizzazione di un portafoglio con vincolo di VaR è complesso.

Expected shortfall

• L’expected shortfall è la perdita media oltre il VaR. In comune con il VaR ha il fatto che è riferito alla distribuzione di probabilità delle perdite.

• Consideriamo una posizione X, l’expected shortfall è definito come

ES = E(X: X VaR)

Expected shortfall: pro e contro

• Vantaggi: i) è una misura della forma della coda della distribuzione: ii) è sub-additiva, iii) è di facile utilizzo per ottimizzazioni di portafoglio

• Svantaggio: non fornisce informazione sul fatto che la fusione di due business può aumentare la probabilità di default.

Put protettiva…

• L’ammontare di capitale da accantonare per il rischio di una posizione X può essere visto come una posizione put.

• Assumiamo infatti di avere una posizione rischiosa X e di acquistare un’opzione put. Ricordiamo dalla parità put-call

• X + put(X,t: K, T) = E(max(X(T), K))• Quindi• E(max(X(T), K)) – X(t) = put(X,t: K, T)

…ed expected shortfall

• La put protettiva può essere vista come una misura di expected shortfall.

• Infatti definiamo: – Lo strike K la misura di VaR– La scadenza T il tempo di smobilizzo

• Allora possiamo scrivere put(X, t: VaR, T)= E(X(T) VaR)

• N.B. Nell’interpretazione finanziaria comunque il valore atteso è calcolato sotto la misura aggiustata per il rischio Q.