Analisi della varianza• Resistenza di una fibra sintetica: essa è legata

alla percentuale di cotone che potrà però variare tra il 10 e il 40% perché il prodotto rispetti altri canoni di qualità

Percentuale Cotone

Osservazioni1 2 3 4 5 Totale Media

15 7 7 15 11 9 49 9,8020 12 17 12 18 18 77 15,4025 14 18 18 19 19 88 17,6030 19 25 22 19 23 108 21,6035 7 10 11 15 11 54 10,80

376 15,04

• Entrambi i grafici indicano che la resistenza a trazione aumenta all’aumentare della percentuale di cotone fino al 30%; oltre si osserva un marcato decremento.

Percentuale di Cotone, %

Resi

sten

za a

traz

ione

(lb/

in^

2)

3530252015

30

20

10

0

Analisi della varianza

Percentuale di cotone, %

Resi

sten

za a

Tra

zion

e (lb

/in^

2)

3530252015

25

20

15

10

5

Come si procede se si vuole indagare sulle differenze tra le resistenze medie a tutti gli a=5 livelli della percentuale di cotone

• La procedura più appropriata per verificare l’uguaglianza di medie di popolazioni è l’analisi della varianza.

Analisi della varianza

Livelli Osservazioni Totali Medie

1 y11 y12 … y1n y1.

2 y21 y22 … y2n y2.

… … … … … …

a ya1 ya2 … yan ya.

y.. ..

.

.2

.1

...

yy

yy

a

njai

Y ijiij ,...,2,1,...,2,1

)0!a pari comodità'per ' assume (si casuale errore di componentelivello o fattore esimo-iall' entecorrispond epopolaziondella media

neosservazioesima -ij

ij

i

ijY

ijijij YE 0

Modello delle medie

• La procedura più appropriata per verificare l’uguaglianza di due medie di popolazioni è l’analisi della varianza.

Analisi della varianza

Livelli Osservazioni Totali Medie

1 y11 y12 … y1n y1.

2 y21 y22 … y2n y2.

… … … … … …

a ya1 ya2 … yan ya.

y.. ..

.

.2

.1

...

yy

yy

a

njai

Y ijiij

ii

,...,2,1,...,2,1a1,2,...,i ,

Modello degli effetti

casuale errore di componenteesimo-i to trattamendel effetto

generalemedia

neosservazioesima -ij

ij

i

ijY

Analisi della varianza• Il modello degli effetti è anche chiamato

analisi della varianza ad una via o ad un fattore.

• Per la verifica di ipotesi, si assume che gli errori nel modello siano variabili casuali, distribuite normalmente ed indipendentemente con valore atteso 0 e varianza 2

Analisi della varianza• Il modello degli effetti è detto ad effetti fissi se i

trattamenti (livelli) sono scelti specificatamente dallo sperimentatore ed in tal caso le conclusioni a cui si perviene saranno valide solo per i livelli dei fattori considerati nell’analisi

• Il modello degli effetti è detto ad effetti casuali se i trattamenti sono scelti casualmente tra un campione più ampio di dati. In tal caso, le conclusioni a cui si perviene sono generalizzabili a tutto il campione di provenienza