Analisi dei profili costituenti un volante ergonomico da Go-Kart.

La storia del go-kart iniziò negli Stati Uniti a Glendale, cittadina nella contea di Los Angeles dove Arthur Ingels, già partecipante alla realizzazione ed al suc-cesso di alcune vetture per Indianapolis, ebbe la stravagante idea di assemblare dei tubi saldati tra loro, un volante, un freno rudimentale, un sedile ed un pic-colo motore industriale.Per il più modesto ed economico veicolo da corsa come ruote utilizzò quelle di un semplice carrello. Inizialmente si girava all’interno di grandi parcheggi destan-do una grossa curiosità dapprima presso la gente e poi da parte della stampa che diede talmente tanta risonanza al feno-meno tanto da spingere alcuni industriali alla produzione in serie di questi piccoli

mezzi. La prima fabbrica di kart si chia-mava “Go Kart Manufacturing Com-pany” e proprio da quest’azienda venne coniato nel 1957 il termine Go-Kart.La prima competizione a livello interna-zionale avvenne nel 1959 a Nassau, isola delle Bahamas, vicino alla Florida.In Italia il kart venne importato all’inizio degli anni 60, sulla Pista d’Oro di Roma e sulla Pista Rossa di Milano, dai nobili fratelli veneziani Nicolò e Luigi Donà dalle Rose che fondarono anche la pri-ma delle tante aziende leader produttri-ci di go-kart vincenti in tutto il mondo: la “ItalKart”. Ora l’Italia rappresenta il principale costruttore a livello interna-zionale sia di telai che di motori da kart.

In alto si può osservare il primo kart della storia realizzato da Arthur Ingels. Tutto l’insieme era davvero ben fatto, essenziale, frutto di un’idea razionale e realizzato da un tecnico competente.

In basso il conte Nicolò Donà dalle Rose a bordo di uno dei primi kart importati in Italia. Inizial-mente la disciplina kartistica nel bel paese assun-se un carattere elitario.

Dagli anni 60 ad oggi l’evoluzione del kart è stata esponenziale. Sebbene i mezzi abbiano conservato un carattere di semplicità sia meccanica (si utilizzano motori a 2 tempi) che telaistica (tuttora i telai sono realizzati con tubi in accia-io saldati), la tecnologia e la ricerca sono progredite a tal punto da permettere la produzione di mezzi dalle prestazioni inimmaginabili in passato. Basti pensare che attualmente un kart 125cc a marce ha un'accelerazione talmente elevata da

poter superare qualsiasi auto da corsa in una partenza da fermo. Per non parlare delle accelerazioni trasversali: in curva un kart è soggetto a sollecitazioni para-gonabili a quelle cui sono soggetti i piloti di formula uno. Proprio per questo moti-vo i più forti piloti d’auto del mondo uti-lizzano questo mezzo per allenarsi du-rante le pause invernali. Anche Michael Schumacher (in basso) è stato uno di questi, guidando nelle pause del campio-nato un Tonykart motorizzato Vortex.

In questa sezione cercherò di analizzare matematicamente i profili e la geome-tria del volante ergonomico che monta il Tonykart appunto, mezzo che detiene un

palmares impressionate, soffermandomi sul modello “Racer 401” a 4 razze. Que-sto volante è stato utilizzato anche dallo scrivente nella veste grafica “Kosmic”.

Partiremo studiando i profili delle circonferenze e degli archi di circonferenza che costitui-scono il volante e i fori presenti su di esso. Poi analizzeremo le equazioni di alcune coniche.

parabola k: y = 0.024x² - 15-123/10≤x≤123/10

iperboled: (x + 0.001)² / 6.637 - (y - 1)² / 0.606 = 1-83/100≤x≤243/100

parabola p: y = -0.069x² + 11.3-45/10≤x≤45/10

parabola r: y = 0.066x² + 0.5- 1 0 9 / 1 0 ≤ x ≤ - 5 3 9 / 1 0 0 ^ 539/100≤x≤109/10

parabola q: y = 0.094x² + 3.2-88/10≤x≤88/10

r

q

d

kp

retta R₁: y=-330/100 nell’intervallo -138/10≤x≤138/10

retta R₂: y=44/125 x-3363/1250 nell’intervallo -48 /10≤x≤-23/10

retta R´₂: y=-44/125 x-3363/1250nell’intervallo 23/10≤x≤48/10

retta R₃: y=419/520 x-457/1040 nell’intervallo -105/10≤x≤-53/10

retta R´₃: y=-419/520 x-457/1040 nell’intervallo 53/10≤x≤105/10

retta R₄: y=-15/46 x-5669/460 nell’intervallo -105/10≤x≤-13/10

retta R´₄: y=15/46 x-5669/460 nell’intervallo 13/10≤x≤105/10

retta R₅: y=42/53 x+2377/530 nell’intervallo -126/10≤x≤-73/10

retta R´₅: y=-42/53 x+2377/530 nell’intervallo 73/10≤x≤126/10

Analizziamo i tratti di rette che costituiscono i profili delle razze inferiori del volante.

Ora definiamo l’equazione del foro su-periore di forma ellittica dove alloggia il sistema telemetrico del kart.

L’equazione dell’ellisse c è la seguente:

x^2/(23/10)^2 + (y-79/10)^2/(16/10)^2 =1c

R₁

R₂ R´₂

R₃ R´₃

R₄R´₄

R₅ R´₅

Il foro ellittico, descritto nella pagina precedente, si trova su un lamierino metallico sago-mato in modo tale da adattarsi perfettamente alla cavità ricavabile all’interno delle razze superiori del volante. Vediamo le equazioni dei tratti di rette che lo costituiscono assieme al tratto di parabola p già descritta.

retta R₆: y=58/10 nell’intervallo -18/10≤x≤18/10

retta R₇: y=24/41 x+281/41 nell’intervallo -385/100≤x≤-18/10

retta R´₇: y=-24/41 x+281/41 nell’intervallo 18/10≤x≤385/100

retta R₈: y=9/13 x+556/65 nell’intervallo -47/10≤x≤-34/10

retta R´₈: y=-9/13 x+556/65 nell’intervallo 34/10≤x≤47/10

retta R₉: y=-13/9 x+58/45 nell’intervallo -43/10≤x≤-34/10

retta R´₉: y=13/9 x+58/45 nell’intervallo 34/10≤x≤43/10

retta R₁₀: : y=11/15 x+799/75 nell’intervallo -58/10≤x≤-43/10

retta R´₁₀: y=-11/15 x+799/75 nell’intervallo 43/10≤x≤58/10

retta R₁₁: y=4/5 x+62/5 nell’intervallo -65/10≤x≤-45/10

retta R´₁₁: y=-4/5 x+62/5 nell’in-tervallo 45/10≤x≤65/10

retta R₁₂: y: x=-45/80 nell’intervallo 99/10≤y≤88/10

retta R´₁₂: y: x=45/80 nell’intervallo 99/10≤y≤88/10

p

R₆

R₇ R´₇R₈ R´₈

R₉ R´₉

R₁₀R´₁₀ R₁₁ R´₁₁

R₁₂ R´₁₂

Infine, nella definizione della geometria del volante Tonykart, studiamo i profili forati solo del lato sinistro per velocizzare l’analisi. Per i profili forati destri basterà cambiare segno ai coefficienti angolari delle rette individuate sulle quali giacciono i segmenti per noi utili allo studio (essendovi simmetria rispetto l'asse delle ordinate).

retta Rp₉: y=-12/7 x-487/70 nell’intervallo -74/10≤x≤-67/10

retta Rp₁₀: y=-49/86 x+759/860 nell’intervallo -67/10≤x≤-24/10

retta Rp₁₁: y=-50/31 x-794/155 nell’intervallo -702/100≤x≤-64/10

retta Rp₁₂: y=-49/80 x+32/25 nell’intervallo -64/10≤x≤-24/10

alle estremità dei profili ritroviamo le circonferenze N e M già descritte.

Rp₉

Rp₁₀

Rp₁₁

Rp₁₂

N

M

retta Rp₁: y=13/16 x+79/80 nell’intervallo -78/10≤x≤-54/10

retta Rp₂: y=1/3 x-8/5 nell’intervallo -54/10≤x≤-33/10

retta Rp₃: y=14/17x+291/170 nell’intervallo -73/10≤x≤-56/10

retta Rp₄: y=7/22x-123/110 nell’intervallo -56/10≤x≤-34/10

alle estremità dei profili ritrovia-mo le circonferenze G ed H già descritte.

Rp₁

Rp₂

Rp₃

Rp₄

Rp₅Rp₇

Rp₈Rp₆

G

I H

L

retta Rp₅: y=7/10 x+19/10 nell’intervallo -80/10≤x≤-60/10

retta Rp₆: y=9/25 x-7/50 nell’intervallo -60/10≤x≤-35/10

retta Rp₇: y=14/19 x+263/95 nell’intervallo -81/10≤x≤-62/10

retta Rp₈: y=8/25 x+23/125 nell’intervallo -62/10≤x≤-37/10

alle estremità dei profili ritroviamo le circonferenze I ed L già descritte.

Osserviamo dunque il risultato dell'analisi della geometria di questo volante:

Ora andiamo oltre: cerchiamo di modificare il profilo di questo volante per ottenerne uno nuovo, più ergonomico e prestazionalmente migliorato.Per modificare il volante appena trovato si adatteranno alcune coniche e rette costituenti i profili, oltre che ad aggiungere delle nuove equazioni e funzioni.Vediamo come procedere nella pagina successiva.

Un nuovo volante: definizione dei profili partendo dal modello appena studiato con conclusione in 3D

Utilizzando il software "GeoGebra" procedo definendo i profili che caratterizzano l'impugnatura del nuovo volante.

A

B

C

a b

f

h

d

r

- Rette:a: y=0,12x-12.13 nell’intervallo 0,48 ≤ x ≤8,01b: y=-0,12x-12.13 nell’intervallo -8,01≤ x ≤ -0,48 h: y=15,75 nell’intervallo -5,57 ≤ x ≤ 5,57f: y=12,75 nell’intervallo -5,14 ≤ x ≤ 5,14

- Parabole:d: y=0,01x^2 -15nell’intervallo -9,2≤ x ≤ 9,2r: y=0,07x^2+4nell’intervallo -9,47≤ x ≤9,47- Circonferenze: A: x^2+ y^2=278,89B: x^2+ y^2=189,06

C: x^2+(y+7,37)^2=22.56nell’intervallo -0.48 ≤ x ≤ 0.48-Funzioni:s(x)=0,25x^2+6,08x+31,25nell'intervallo -12,6 ≤ x ≤ -9,2t(x)=0,25x^2-6,08x+31,25 nell'intervallo 9,2 ≤ x ≤ 12,6

s(x) t(x)

Ora cerchiamo di connettere le due funzioni precedentemente descritte s(x) e t(x) e la parabola r con dei nuovi profili in modo tale da definire i contorni delle razze del nuovo volante ergonomico.

- Rette:i: y=-3,31nell’intervallo -1,2 ≤ x ≤ 1,2- Parabole:r: y=0,07x^2+4nell’intervallo -9,47≤ x ≤9,47-Iperbole:d1: x^2/(7,07)-(y-2)^2/(1,93)=1nell’intervallo -1,1 ≤ y ≤ 7,77

- Circonferenze: c1: (x+3,22)^2+(y+7,61)^2=53,2 nell’intervallo -9,2≤ x ≤-6,5c'1:(x-3,22)^2+(y+7,61)^2=53,2nell’intervallo 6,5≤ x ≤9,2-Funzioni:p(x)= -1/2^(x+5,02) -3,24 nell’intervallo -8,01≤ x ≤ -1,2q(x)= -1/2^(-x+5,02) -3,24 nell’intervallo 1,2≤ x ≤8,01

d1

c1 c'1

i

r

p(x) q(x)

s(x) t(x)

Come già fatto nel caso del precedente volante, dedichiamo una sezione per analizzare il nuovo alloggiamento del sistema telemetrico da posizionare nello spazio ricavabile tra le due razze superiori. Questo elemento elettronico è di fondamentale importanza nelle competizioni poiché l’acquisizione di numerosi dati, da parte del pilota durante la gara e del team poi, permette di affinare le prestazioni del mezzo. L'alloggiamento è definibile mediante due funzioni e due circonferenze, tutte speculari rispetto l’asse y, e due ellissi che hanno i fuochi sulla stessa retta parallela all’asse x.

-Funzioni:u(x)=-1/3^(x+6,38) +9,16nell’intervallo -6,97≤ x ≤-2,89 v(x)=-1/3^(-x+6,38) +9,16 nell'intervallo 2,89≤ x ≤6,97h1(x)=-0,0008x^3-0,0373x^2-0,0185x+10,5nell’intervallo -8,27≤ x ≤0g1(x)=0,0008x^3-0,0373x^2+0,0185x+10,5 nell’intervallo 0≤ x ≤8,27

- Ellissi: c:(x+0,001)^2/5,295+(y-7,9)^2/2,569=1e1: x^2/10,76+(y-7,9)^2/6,76=1

- Circonferenze:O :(x+2,8)^2+(y-7,4)^2=0,04O' :(x-2,8)^2+(y-7,4)^2=0,04P :(x+2,8)^2+(y-9,8)^2=0,04P' :(x-2,8)^2+(y-9,8)^2=0,04

u(x) v(x)

h1(x) g1(x)ce1

o'o

p p'

Infine passiamo ad analizzare i profili forati solo del lato sinistro del volante per velociz-zarne l’analisi. Per i profili forati destri basterà cambiare segno ai coefficienti angolari delle rette individuate (essendovi simmetria rispetto l'asse delle ordinate) sulle quali giacciono i segmenti per noi utili allo studio. Stesso procedimento di cambio di segno lo si applichi alle circonferenze all'interno del termine numerico successivo ad x. Il numero totale di profili forati è pari a 6, come nel caso del volante precedente. In questo caso si è però prov-veduto a ricollocare e a modificare le dimensioni di questi con il fine di ottimizzarli.

retta j': y=-0,77x+0,63 nell’intervallo -9,68≤ x ≤-6,8

retta a'1: y=-0,77x+1,25 nell’intervallo -9,37≤ x ≤-6,5

alle estremità dei profili ritroviamo le circonferenze N e M di equazioni:N: (x+9,53)^2+(y-8,25)^2=0,06M: (x+6,65)^2+(y-6,04)^2=0,06

j'a'1

N

M

retta m: y=2,22x+12,04 nell’intervallo -8,98 ≤ x ≤-7,39

retta l': y=2,22x+10,81nell’intervallo -8,53≤ x ≤-7

retta n': y=0,81x+1,62nell’intevallo -7,39 ≤ x ≤-4,25

retta k': y=0,81x+1nell’intevallo-7≤ x ≤-3,93

alle estremità dei profili ritroviamo le circonferenze G ed H di equazioni:G: (x+8,75)^2+(y+7,98)^2=0,06H: (x+4,09)^2+(y+2,01)^2=0,06

retta o: y=2,22x+13,99nell’intervallo -9,56≤ x ≤-8,04

retta p'1: y=2,22x+15,21nell’intervallo -10,02≤ x ≤-8,43

retta q'1: y=0,81x+2,66.nell’intervallo -8,04≤ x≤-5,21

l'mop'1k'n'

q'1a'1

H

G

retta r'1: y=0,81x+3,32 nell’intervallo -8,43≤ x ≤-5,53

alle estremità dei profili ritroviamo le circonferenze I1 e L di equazioni:I1: (x+9,79)^2+(y+7,15)^2=0,06L: (x+5,38)^2+(y+1,37)^2=0,06

I1

L

Osserviamo il risultato dell'analisi della geometria di questo nuovo volante da kart:

Rispetto il volante precedente, questo presenta delle razze migliorate ed un profilo per l'impugnatura riprogettato per l'utilizzo sui go kart. Da notare anche le modifiche appor-tate ai profili forati sulle razze e sul sistema di fissaggio per la telemetria.Come ultimo step procediamo con la realizzazione del modello 3D di questo nuovo vo-lante con un software di modellazione digitale parametrica.

Di seguito sono osservabili alcune inquadrature del modello 3D realizzato mantenendo sul piano di schizzo superiore l'immagine derivata dall'analisi matematica dei profili.

Ecco dunque determinate le geometrie con conclusione in 3D di questo nuovo volante ergonomico studiato appositamente per il kart.

Studente: Giacomo Cosmo