Pratica didattica

Rete di Scuole - Istituto Comprensivo OZIERI

Terzo incontro – 29 maggio 2017

Analisi dei lavori del II incontro

Maria Polo-Dipartimento di Matematica e Informatica Università

degli Studi di Cagliari – CRSEM

Alessandra Desogus-Istituto Comprensivo Villasor - CRSEM

Lucia Cirina -Istituto Comprensivo Senorbì - CRSEM

Proposte di trasposizione didattica di situazioni di problem-solving

Didattica laboratoriale e metodologie

IN QUESTO INCONTRO … COME ORGANIZZAREE GESTIRE ATTIVITÀ DI PROBLEM SOLVING

Costruzione della situazione-problema:Costruzione della situazione-problema:- offerta dall’insegnante;- costruita dal singolo allievo;- costruita da piccoli gruppi di allievi.

Sviluppo/svolgimento della situazione-problema:Sviluppo/svolgimento della situazione-problema:- piccoli gruppi;- gruppo classe; -individualmente.

Conclusione – Istituzionalizzazione:- effettuata dall’insegnante;- collettiva (insegnante/classe).

Risoluzione e analisi di un problema

La consegna del lavoro di gruppo

•Individuare il sapere o saperi in gioco

•Quali difficoltà potrebbero incontrare gli alunnidurante l’esecuzione dell’attività?durante l’esecuzione dell’attività?

•Possibili errori commessi durante il percorso risolutivo

•Modificare l’attività per alunni di 5^ primaria•Modificare l’attività per alunni di 1^ secondaria di I grado•Modificare l’attività per alunni di 1^ secondaria II grado

Facendo colazione, Obelix osserva il suo pacchetto di «Cereali»

e vi legge la seguente tabella:

Valori energetici e nutrizionali medi:

per 40 g di cereali

per 125 g di latte scremato In questa tabella i

valori energetici sono calcolati in kJ(kiloJoule). Tra parentesi, sono

IL PROBLEMA. PRIMA COLAZIONE (CAT. 8, 9, 10) ©ARMT 2008 - 17° - I PROVA

parentesi, sono indicati in kcal (kilocalorie), arrotondate all’unità.

per 40 g di cereali e 125 g di latte scremato

718 kJ (171 kcal)

236 kJ (56 kcal) 954 kJ (227 kcal)

PROTEINE 3,6 g 4,0 g 7,6 gGLUCIDI 26,0 g 5,5 g 31,5 gLIPIDI 5,8 g 2,0 g 7,8 g

Siccome Obelix è un po’ sovrappeso, sa che non può esagerare

con le calorie e con i lipidi in particolare.

Si chiede quale quantità di energia e quanti lipidi contiene la sua tazza nella quale

mette ogni mattina un intero pacchetto da 375 grammi di cereali e 1 litro, cioè 1005

grammi, di latte scremato.

Fate i calcoli dettagliati e determinate il valore energetico e la quantità

di lipidi della colazione di Obelix.

Date le risposte approssimate al kiloJoule (kJ) e alla kilocaloria (kcal)

per l’energia e al decimo di grammo (g) per i lipidi.

_____________________________________________________________

Il Problema e’ tratto da uno dei problemi della I prova del 17°Rally Matematico Transalpino ©ARMT 2008 e proposto alle categorie Cat. 8, 9, 10terza secondaria di I grado e biennio della secondaria di II grado I problemi sono corredati da una analisi a priori del compito che individua i saperi, le conoscenze e competenze necessarie per risolvere il problemauno o più procedimenti risolutivi

per maggiori informazioni http://www.armtint.org/

Ambito concettuale - Aritmetica: addizione,

moltiplicazione e divisione, proporzionalità,

approssimazione; lettura e comprensione di testi non

continui

Determinare il valore energetico della tazza di Obelix in kJ:

Analisi del compitoAnalisi del compito

L’analisi a priori del punto di vista matematico si articola nell’individuazione L’analisi a priori del punto di vista matematico si articola nell’individuazione

dei saperi coinvolti , dei procedimenti e delle strategie risolutive (il compito dei saperi coinvolti , dei procedimenti e delle strategie risolutive (il compito

del risolutore)del risolutore)

Sia per i cereali che per il latte ci si riconduce al valore energetico per grammo e poi

si moltiplica per i grammi richiesti (divisione e

moltiplicazione)

ADATTAMENTO DA PRIMA COLAZIONE (CAT. 8, 9, 10) ©ARMT 2008 - 17° - I PROVA

Determinare il valore energetico della tazza di Obelix in kJ:

cereali 718/40 = 17,95 (kJ/g)

17,95 X 375 = 6 731,25 (kJ totali)

latte 236/125 = 1,89 (kJ/g)

1,89 X 1005 = 1 897,44 (kJ totali)

8 628,69 kJ

arrotondati a 8 629 kJ.

moltiplicazione)

PRIMA COLAZIONE (CAT. 8, 9, 10) ©ARMT 2008 - 17° - I PROVA

Ambito concettuale - Aritmetica: addizione,

moltiplicazione e divisione, proporzionalità,

approssimazione; lettura e comprensione di testi

non continui Si utilizza un ragionamento sulle

8 628,69 kJ, arrotondati a 8 629 kJ.

ragionamento sulle proporzioni cioè

sull’uguaglianza di rapporti

-Verificare la proporzionalità tra kJ e kcal: 718/171 = 4,1988... ; 236/56 = 4,2143... ;954/227 = 4,2026...

Rapporto circa 4,2.

Trasformare con rapporto medio 4,2 il valore energetico da kJ a kcal :

8 628,69 / 4,2 = 2 054,45 ≈ 2 054 kcal

con il precedente arrotondamento:

8 629/4,2 = 2 054,29 ≈ 2 054.

Due strategie diverse per esprimere il risultato in

Kcal

Utilizzare la relazione tra KJ e Kcal e uno dei

Utilizzando uno o l’altro dei rapporti dati si ottiene:

8 628,69 x 171/718 = 2055 ; 8 628,69 x 56/236 = 2047,5 ; 8 628,69 x 227/954 = 2053,15

Calcolare Kcal : 375 x 171/40 + 1005 x 56/125 = 2 053,36.

Si può dunque approssimare 2 054 kcal alla kilocaloria,

considerando il secondo rapporto dato nella tabella

KJ e Kcal e uno dei risultati trovati

Ripetere uno dei due procedimenti utilizzati

per calcolare nell’unità di misura considerata per

prima

ANALISI DEI RISULTATI DEI LAVORI PER GRUPPI DI

LIVELLO

-Procedere allo stesso modo per i lipidi:

375 x 5,8/40 ≈ 54,4 g per i cereali

1005 x 2,0/125 ≈ 16,1 g per il latte

70,5 g per l’intera colazione

LIVELLO

•Individuare il sapere o saperi in gioco

•Quali difficoltà potrebbero incontrare gli alunnidurante l’esecuzione dell’attività?

•Possibili errori commessi durante il percorso risolutivo

•Modificare l’attività per alunni di

INDIVIDUARE IL SAPERE O

SAPERI IN GIOCO

Quattro gruppi: divisione

moltiplicazione

Un gruppo: proporzioni

Tutti i gruppi: numeri decimali, addizione,

Strategie e competenze trasversaliUn gruppo: lettura di tabelle a doppia entrata

Tutti i gruppi: numeri decimali, addizione,

unità di misura, approssimazione

QUALI DIFFICOLTÀ POTREBBERO INCONTRARE

GLI ALUNNI DURANTE L’ESECUZIONE

DELL’ATTIVITÀ?POSSIBILI ERRORI COMMESSI DURANTE IL

PERCORSO RISOLUTIVO

A volte sovrapposizione delle risposte alle due domandeA volte sovrapposizione delle risposte alle due domande

Numero eccessivo di distrattori , la terza colonna potrebbe rendere difficoltosa la scelta del procedimento

Cosa dobbiamo intendere per distrattori?Che ruolo nel compito può avere la terza colonna?

•Modificare l’attività per alunni di …….

Nell’adattamento ad una classe non possono essere apportate modifiche che rendono il problema poco verosimile

Ogni adattamento ad una classe necessita una nuova analisi a priori

NELL’ANALISI A PRIORI SI DEVONO PREVEDERE ERRORI

RICORRENTI RISPETTO AL COMPITO INDIVIDUATO, SCEGLIERE

AD HOC LE VARIABILI PER “FAR SORGERE” E NON “EVITARE” LA DIFFICOLTÀ

Il problema deve essere realistico

il compito commisurato alle conoscenze e saperi supposti già acquisiti o in fase di costruzione

Impostare una riflessione su

La gestione in classe di attività di risoluzione di problemi

Il lavoro di gruppo

La restituzione dei risultati

Attività e modalità di lavoro per reparare gli alunni alla

II PARTE

SIMULIAMO UNA SITUAZIONE DI RISOLUZIONE

DI PROBLEMI

UNA SFIDA DI CLASSE

Attività e modalità di lavoro per reparare gli alunni alla risoluzione di problemi

RALLY MATEMATICO TRANSALPINO

CONTESTO: GARE MATEMATICHE DI CLASSE CAT. 3,4,5,6,7,8,9,10

� In ciascuna prova ogni classe ha 50 minuti di tempo per risolvere i problemi relativi alla categoria di appartenenza, il cui numero può variare da 5 a 7.

� Il numero e il grado di difficoltà dei problemi assegnati sono tali da permettere anche agli allievi “più deboli” di trovare un proprio ruolo, mentre rendono impossibile la risoluzione dell’intero compito ad un singolo allievo, per quanto “capace” egli sia. Si presenta quindi per un singolo allievo, per quanto “capace” egli sia. Si presenta quindi per la classe la necessità di dividersi in gruppi, organizzarsi, ricercare le soluzioni, discuterle e redigerle.

� La classe intera è responsabile delle risposte date e, per ciascun problema, deve produrre un’unica soluzione. Non è solo la “risposta giusta” che conta perché le soluzioni saranno giudicate anche in base al rigore dei passaggi e alla chiarezza delle spiegazioni fornite.

� L’insegnante non deve essere presente nella propria classe durante lo svolgimento della prima e della seconda prova ma farsi sostituire da un collega che ha solo il compito di “sorveglianza” (l’insegnante deve, invece, essere presente in classe nelle prove di allenamento).

3. CANNUCCE E QUADRATI

(CAT. 3, 4)

Alice e Diego hanno molte cannucce, tutte della stessa lunghezza. Con queste cannucce, si divertono a costruire dei quadrati.Con 20 cannucce, Alice forma 5 quadrati. Ciascun quadrato ha una cannuccia come lato.Sempre con 20 cannucce, ma disponendole in un modo più Sempre con 20 cannucce, ma disponendole in un modo più conveniente, Diego è riuscito a formare 7 quadrati. Ciascun quadrato ha una cannuccia come lato.

Con 29 cannucce, quanti quadrati, che abbiano sempre una

cannuccia come lato, si possono formare al massimo?

Fate un disegno che mostri come avete disposto le 29

cannucce per formare i quadrati.

Compito matematico- A partire da 29 segmenti isometrici,

costruire il maggior numero possibile di quadrati uguali,

aventi per lati i segmenti dati.

Analisi del compito:

Comprendere che i quadrati devono avere lati della stessa

lunghezza, cioè una cannuccia per lato, senza cannucce

isolate. isolate.

Comprendere che i 5 quadrati di Alice sono separati gli uni dagli altri 20 (cannucce) : 4 (lati q.) = 5 (quadrati ottenuti)Oppure 4 (lati q.) × 5 (quadrati ottenuti)= 20 (cannucce)

• Diego, invece, ha formato i 7 quadrati con i lati in comune,

altrimenti avrebbe avuto bisogno di 28 cannucce.

Comprendere che, analogamente a come si è proceduto con le

20 cannucce, le 29 cannucce dovranno essere utilizzate tutte

per arrivare ad un numero massimo di quadrati e che di

conseguenza, i quadrati dovranno avere dei lati in comune tra

loro.

LA FACCIA NASCOSTA DEL CUBO

(CAT. 5, 6, 7)

Su ciascuna delle facce di un cubo è disegnata una delle sei figure seguenti:

Sul cubo sono disegnate tutte e sei le figure.Sul cubo sono disegnate tutte e sei le figure.A destra potete vedere il cubo rappresentato in treposizioni diverse.Qual è la figura disegnata sulla faccia opposta aquella sulla quale è stato disegnato il

cerchio ?

Spiegate come avete fatto a trovarla.

Compito matematico- Determinare la figura disegnata su

una faccia nascosta di un cubo con un ragionamento logico

di esclusione di casi.

Analisi del compito:Costruire un cubo (o il suo sviluppo) e disegnare sulle sue facce le figure di una delle tre rappresentazioni;

b)

•Es. disegnare a), poi osservare la c);• Vedere che c’è un solo modo di sistemare le figure delle altre due facce contigue a quella del quadrato;•La faccia opposta al cerchio è quella della stella a otto punte. Verificare eventualmente che la rappresentazione b) è compatibile con questa disposizione.

a)

b)

c)

ANALISI DEL COMPITO 2Constatare che ognuna delle rappresentazioni determina

le posizioni relative di tre figure e che sono quelle che si

ritrovano su due rappresentazioni che permettono di

determinare le posizioni relative delle sei figure:

ogni volta che una figura è su due rappresentazioni,

si determinano anche le figure delle quattro facce

adiacenti a quella della figura comune ed inoltre, per

eliminazione, si capisce che la sesta figura è quella sulla eliminazione, si capisce che la sesta figura è quella sulla

faccia opposta.

•la stella a otto punte é sulle rappresentazioni b) e c),

con il doppio cerchio, la croce, il quadrato e la stella a

quattro punte sulle facce adiacenti, il cerchio é sulla faccia

opposta a quella della stella a otto punte.

•Condurre un’analisi di tipo combinatorio. Per esempio, un’esplorazione

sistematica a partire da a) permette di eliminare le due figure delle facce adiacenti

a quella del cerchio (il quadrato e il doppio cerchio) e di pensare alle sei

disposizioni delle altre tre figure sulle tre facce non visibili, poi di rappresentare

questi sei cubi in prospettiva (o costruire degli sviluppi) sistemando le figure sulle

facce, secondo le rappresentazioni b) e c):

ANALISI DEL COMPITO 3

SALTI DI CANGURO (Cat. 7, 8, 9, 10)

Mamma canguro esce dalla tana con il suo piccolo nel marsupio e attraversala radura per raggiungere il ruscello. Procede con andatura regolarecompiendo salti di 8 m ciascuno. Al ritorno fa di nuovo esattamente lostesso percorso procedendo ancora con salti di 8 m. A metà strada, però, siferma, fa uscire il piccolo dal marsupio e continua il percorso, fino alla tana,saltando insieme a lui con salti regolari di 4 m ciascuno.Alla fine, mamma canguro, tra andata e ritorno, ha fatto in tutto 135 salti,Alla fine, mamma canguro, tra andata e ritorno, ha fatto in tutto 135 salti,tra salti di 8 m e salti di 4 m.Quanti metri ha percorso il piccolo canguro saltando sulle propriezampe?Spiegate come avete trovato la vostra risposta.

Compito matematico- Determinare la distanza, espressa in

metri, che si percorre con salti da 4 m ciascuno, sapendo che il

numero totale di salti che occorrono per coprire il percorso,

facendolo per tre quarti con salti da 8m e per un quarto con salti da

4 m, è 135.

•Analisi del compito•Capire che mamma canguro segue lo stesso percorso sia all’andata cheal ritorno, quindi i metri percorsi sono gli stessi.• Capire che nella seconda metà del percorso di ritorno, i salti dimamma canguro sono lunghi la metà (4m) di quelli fatti fino ad allora(8m) e che quindi per raggiungere la tana dovrà fare il doppio dei saltiche ha fatto nella prima metà del percorso di ritorno.

…8 m4 m4 m…4 m 8 m

•Rendersi conto quindi che all’andata, così come nella seconda

metà del percorso di ritorno, mamma canguro compie il doppio

del numero dei salti che fa nella prima metà del percorso di

ritorno cioè, in totale, 5 volte questo numero (aiutarsi,

eventualmente con una rappresentazione grafica).

135 : 5=27 salti da 8 m

o 54 (=27 × 2) salti da 4 m.

Concludere che il piccolo canguro percorre saltando sulle proprie

zampe, 54 × 4=216 m.

ANALISI DEL COMPITO 2

Capire che il percorso totale si può considerare formato da quattro parti,

di cui le prime tre con lo stesso numero di salti e l’ultima con il doppio

di salti e procedere per tentativi organizzati, fino ad ottenere in totale 135 salti.

Ad esempio:

15+15+15+30=7515+15+15+30=75

25+25+25+50=125

26+26+26+52=130

27+27+27+54=135

Concludere che il piccolo canguro saltando sulle proprie zampe

percorre 54 × 4 = 216m.

ANALISI DEL COMPITO 3

con tentativi organizzati relativi alla scelta del numero dei salti dell’andatae dei metri percorsi, si determinano quelli del ritorno fino ad ottenere 135 salti

andata ritorno Numero salti and/rit

50 × 8 =400 m (25×8)+(50×4)=400 m 125

60×8=480 m (30×8)+(60×4)=480 m 150

54×8=432 m (27×8)+(54×4)=432 m 135

ANALISI DEL COMPITO 4

Indicare con:

• X il numero di salti da 8m fatti all’andata,

• il numero dei salti fatti nella prima metà del percorso di ritorno

•x = 2· il numero dei salti fatti nella seconda metà del percorso diritorno

.

Impostare l’equazione

x = 54 (numero di salti da 8m fatti all’andata e anche numero dei salti da 4m).

• Dedurne che il piccolo canguro percorre 216 m.

COMPITI E CONCLUSIONE DEI LAVORI DI GRUPPO

I parte lavoro del “gruppo classe” dopo la risoluzione dei problemi

Come avete costituito i gruppi?Avete contribuito tutti alla gara? in che modo?Ritieni che l’organizzazione sia stata ottimale?Quali modifiche apportereste all’organizzazione?Quali difficoltà avete incontrato maggiormente?Avete terminato tutti i problemi?Altre considerazioni scaturite dalla discussione

Riflessione su

Apprendimento cooperativo e collaborativo

Come organizzare (una classe, un gruppo) o organizzarsi in funzione di uno scopo

PROSSIMO INCONTRO …Analisi e discussione sulle vostre risposteAnalisi e discussione sulle vostre risposteCostruzione e gestione della situazione-problema:

II parte lavoro per “gruppi di livello” Problemi nella didattica curricolareUtilizzeresti questo tipo di attività nella pratica didattica? Perché?Nel caso di risposta positiva In quali momenti e con quale frequenza?Quali adattamenti sulle modalità e sviluppi apporteresti?

L’inserimento nel curricolo di matematica di situazioni di problem solving

Le situazioni di problem solving e le tipologia di problemi delle prove invalsiDidattica laboratoriale e metodologie

BIBLIOGRAFIA

� Bencivenni, Morini, (2002); sulle abilità psico-cognitive nella risoluzione di problemi a livello elementare, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol 25°, n°1, 64-77.

� Brousseau (1998), Théorie des situations didactiques. La pensée sauvage.

� Brousseau (2005); Ricerche in educazione matematica, L’educazione matematica, 2, 34-44.

� Caponi, Falco, Focchiatti (2006); L’alunno matematico e i suoi contesti: L’alunno e la classe, Difficoltà in matematica, n°1, ottobre, 51- 66.

� Dehaene (2000); Il pallino della matematica, Mondatori.

� Iannitti, Lucangeli (2005); Perché i calcoli sono difficili?Ipotesi e modelli psicologici dell’abilità di calcolo. Difficoltà in Matematica, 2, 153-170.

� Ferrari (2004); Matematica e linguaggio. Quadro teorico e idee per la didattica, Pitagora.

� Ferreri (1998); Il problema di matematica: un problema linguistico, Guerriero (a cura di) L’educazione linguistica e i linguaggi delle scienze, La Nuova Italia.L’educazione linguistica e i linguaggi delle scienze, La Nuova Italia.

� Passolunghi (2006); Memoria di lavoro: influenza dei processi inibitori e di updatingsull’abilità di calcolo e soluzione dei problemi, Età evolutiva, 83, 79- 89.

� Passolunghi, (2004); Apprendimento matematico: competenza e disabilità nella soluzione dei problemi, Difficoltà in matematica, vol.1, n° 1, 27-39.

� Polo (2000); Interpretare e gestire le risposte degli alunni nelle attività con la matematica, La matematica e la sua didattica, 4, 423-437.

� Sarrazy (1998); Il contratto didattico, La matematica e la sua Didattica, n°2 (Maggio), Pitagora ,133-175.

� Zan (1999); Problemi e convinzioni, Pitagora

� Zan R, (2016), La dimensione narrativa di un problema: il modello C&D per l'analisi e la (ri)formulazione del testo http://docenti.unimc.it/doriana.fabiani/teaching/2016/16403/files/lezione-11-del-7.12.2016/la-dimensione-narrativa-di-un-problema-rosetta-zan