ANALISI 2 ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010 RACCOLTA...

ANALISI 2

ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010

1

RACCOLTA DI ESERCIZI DAI VECCHI APPELLI DI ANALISI C

APPELLO DEL 11/06/03 (TOSQUES)

Dopo aver ricordato le definizioni si studi la continuità e la differenziabilità in 0,0 della funzione

2

2 2

sen se , 0,0

, 2

0 se , 0,0

x yx y

f x y x y

x y

Definizione di funzione continua in un punto: sia f x una funzione definita su un aperto

: n mf e sia x . f x è continua in x se lim f f

x x

x x . Specializzando la

notazione per funzioni in due variabili reali a valori reali diciamo che se ,f x y è una funzione

definita su un aperto , 2:f e 0 0,x y , ,f x y è continua in 0 0,x y se

0 00 0

, ,lim , ,

x y x yf x y f x y

.

Verifichiamo la continuità della funzione in esame: la funzione è nulla lungo gli assi quindi se il

limite esiste vale 0. Inoltre possiamo scrivere la funzione come prodotto: , ,f x y g x y h y ,

dove 2

2 2,

2

xyg x y

x y

e

2

2

sen yh y

y . In questo modo calcoliamo il limite come prodotto dei

limiti. Il limite per 0y della funzione h y si riconduce ad un limite notevole, e vale 1. Resta

da studiare il limite

3

2 2, 0,0lim

2x y

xy

x y , che per la continuità della funzione f dovrebbe valere 0.

In coordinate polari

3 2 2

2 22 2 2

cos sen cos sen0

cos 2sencos 2sen

Possiamo quindi affermare che 0 2f C .

Verifichiamo l’esistenza delle derivate prime:

22 2

22 2

20

2 sen se , 0,0

2,

0lim 0 se , 0,0h

x y yx y

f x yx yx

x yh

ANALISI 2


2

22 2

22 2

20

sen cos 2 4 sen se , 0,0

2,

0lim 0 se , 0,0h

x y y x y xy yx y

f x yx yy

x yh

Le derivate prime, però, sono continue solo sull’insieme 2 \ 0,0 . Infatti nell’origine si ha, ad

esempio,

22 2

2, 0,0 2 2

2 senlim

2x y

x y y

x y

, perché la restrizione 0,f y tende al valore

1

2,

mentre ,0f x è identicamente nulla.

Questo significa che possiamo applicare il teorema del differenziale totale solo all’insieme

2 \ 0,0 , ma non significa ancora che la funzione non sia differenziabile nell’origine.

Definizione di differenziabilità: sia f x una funzione definita su un aperto : n mf e

sia x . f x è differenziabile in x se

lim 0f f f

x x

x x x x x

x x.

Specializzando la notazione per funzioni in due variabili reali a valori reali diciamo che se ,f x y

è una funzione definita su un aperto , 2:f e 0 0,x y , ,f x y è differenziabile

in 0 0,x y se

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2, ,

0 0

, , , ,

lim 0x y x y

f ff x y f x y x y x x x y y y

x y

x x y y

.

Dato che 0 0, 0f x y e 0 0, 0,0f x y il limite da calcolare si riduce a

2

2 2

2 2, 0,0

sen

2lim

x y

x y

x y

x y

.

Questo limite però non esiste, come si mostra con la restrizione lungo la bisettrice del I e del III

quadrante:

2

2, 0,0

sinlim

3 2x x

x x

x x .

APPELLO DEL 03/09/04 (BELLONI, COSCIA E LORENZI)

Data la funzione 2 2, 8 2 2f x y x y determinate, motivando opportunamente le risposte,

A l’insieme dei punti dove f risulta continua, B l’insieme dei punti dove f risulta

differenziabile.

2 2 2dom , | 4f x y x y .

ANALISI 2


3

La funzione è continua sul suo dominio perché somma e composizione e di funzioni elementari

continue, perciò 2 2 2, | 4A x y x y .

Il gradiente della funzione è 2 2 2 2

2 2, ;

8 2 2 8 2 2

x yf x y

x y x y

, e le componenti del

gradiente sono funzioni continue su tutto il dominio privato dei punti di frontiera perché somma,

quoziente e composizione di funzioni elementari. Per il teorema del differenziale totale, poiché la

funzione è di classe 1C sull’aperto 2 2 2, | 4B x y x y , allora è anche differenziabile su

B.


Sia data la funzione 2: \ 0,0f definita da 3

2 2,

x yf x y

x y

.

Dopo aver ricordato la definizione di continuità, definire f in 0,0 affinché essa sia continua in

0,0 (giustificando le affermazioni fatte).

Si enunci il teorema del differenziale totale ed usando tale teorema si dimostri che f è

differenziabile in 0,0 (con il valore con cui è stata definita in 0,0 in modo da essere continua).

La funzione data è definita su 2 \ 0,0 . L’origine è un punto di accumulazione del dominio. Le

restrizioni della funzione agli assi cartesiani sono nulle, quindi se il limite esiste è 0. Passando a

coordinate polari abbiamo 4 3

2

2

cos sin0

. La funzione è continua su 2 \ 0,0

perché somma, prodotto e quoziente di funzioni elementari continue. La funzione sarà continua

anche in 0,0 se definiamo 0,0 0f , perché abbiamo visto che questo è il valore del limite

nell’origine.

Sia quindi

3

2 2 se , 0,0

,

0 se , 0,0

x yx y

x yf x y

x y

.

ANALISI 2


4

Calcoliamo le derivate parziali prime con le usuali regole di derivazione nell’insieme 2 \ 0,0 ,

mentre in 0,0 abbiamo

0 0

,0 0,0 00,0 lim lim 0

h t

f h ff

x h h

e

0 0

0, 0,0 00,0 lim lim 0

h h

f h ff

y h h

.

Abbiamo così:

4 2 3

22 2

3 se , 0,0

,

0 se , 0,0

x y x yx y

fx yx y

xx y

e

5 3 2

22 2

se , 0,0,

0 se , 0,0

x x yx y

fx yx y

yx y

.

Le derivate prime sono funzioni continue su tutto il piano, infatti passando a coordinate polari

abbiamo rispettivamente 5 2 2

4

cos sin 1 2sin0

e

5 3 2 2

4

cos cos sin0

.

Teorema del differenziale totale: sia n un aperto e sia :f una funzione per la quale

esistono continue le n derivate prime i

f

x

nel punto x . Allora f è differenziabile nel punto x .

Si può applicare il teorema del differenziale totale alla funzione in esame, perciò essa è

differenziabile in 0,0 . Inoltre poiché 1 2f C la funzione è differenziabile su tutto il piano.


Considerare la funzione 4 2

2 4

sen 2,

xyf x y x y

x y

1) Determinare il dominio massimale di f.

2) Stabilire se esiste il

, 0,0lim ,

x yf x y

.

3) Determinare i punti in cui f è continua, motivando accuratamente la risposta.

Si ha: 2dom \ 0,0f . L’origine non appartiene al dominio ma ne è un punto di

accumulazione.

ANALISI 2


5

La funzione non ha limite nell’origine. Infatti

4 2

2 4, 0,0

sen 2lim

x y

xyx y

x y

non esiste perché

lungo gli assi le restrizioni hanno per limite 0, mentre lungo la bisettrice dei quadranti I-III la

restrizione ha limite 2.

In ogni punto del piano diverso dall’origine la funzione è continua perché somma, quoziente e

composizione di funzioni elementari continue.


Considerare la funzione 2 2, 4 logf x y x y y x .

1) Determinare il dominio massimale di f , i punti in cui f vale 0 e il segno di f nei restanti

punti.

2) Determinare il gradiente di f precisando in quali punti ha senso calcolarlo.

3) Determinare l’equazione del piano tangente al grafico nel punto corrispondente a

0, 1x y .

La funzione è definita sul sottoinsieme del piano delimitato dalla circonferenza di raggio 2 centrata

nell’origine e dalla bisettrice del I e del III quadrante. I punti della circonferenza sono punti di

frontiera. La funzione si annulla sui punti della retta 1y x appartenenti al dominio. La funzione

assume valori positivi fra questa retta e la circonferenza (rosa in figura 1), mentre assume valori

negativi fra le due rette (azzurro).

figura 1

Il gradiente della funzione è il vettore

2 2 2 2

2 2 2 2

log log4 4, ,

4 4

x y x y y xx y x yf x y

y x y xx y x y

, e non è definito per i

punti di frontiera del dominio.

ANALISI 2


6

L’equazione del piano tangente al grafico della funzione f nel punto 0 0 0 0, , ,f x y f x y si ottiene

da 0 0 0 0 0 0 0 0, , , ,f f

z f x y f x y x y x x x y y yx y

. In corrispondenza del punto

0,1 abbiamo 0,1 0f e 0,1 3, 3f , quindi il piano tangente in 0,1,0 ha equazione

3 3 3z x y .


Disegnare approssimativamente il grafico della seguente funzione 2:f definita da

0 se 0

,2 se 0

xyf x y

xy

e ricordando la definizione di continuità e differenziabilità dire se

1) f è continua in 0,0 ;

2) esistono le 0,0f

x

e 0,0

f

y

;

3) f è differenziabile in 0,0 .

La funzione è nulla su tutto il piano mentre vale 2 al di sopra degli assi cartesiani.

La funzione non è continua in 0,0 . Infatti la condizione di continuità sarebbe

, 0,0lim , 0,0 2

x yf x y f

, ma questo limite non esiste, poiché i limiti assumono valori diversi a

seconda della direzione lungo la quale ci avviciniamo all’origine: 2 lungo gli assi e 0 per qualunque

altra direzione.

Esistono invece le derivate prime:

0 0

,0 0,0 2 20,0 lim lim 0

h h

f h ff

x h h

e

0 0

0, 0,0 2 20,0 lim lim 0

h t

f h ff

y h h

.

Per la differenziabilità si dovrebbe avere

2 2 2 22 2 2 20 0

, 0,0 0,0 0 0,0 0, 2

lim lim 0x y x y

f ff x y f x y

f x yx y

x y x y

,

ma anche questo limite non esiste.

ANALISI 2


7

Il calcolo del limite, in realtà, non è necessario, perché una funzione differenziabile in punto è

anche continua in quel punto, quindi la funzione assegnata non essendo continua in 0,0 non è

nemmeno differenziabile.

DERIVATE SUCCESSIVE, TEOREMA DI SCHWARZ E MATRICE HESSIANA

Nell’eseguire le derivate seconde di una funzione di due variabili ci troviamo a derivare la funzione

gradiente, cioè una funzione vettoriale. Possiamo quindi derivare la prima componente del gradiente

rispetto alla prima o alla seconda variabile, e la seconda componente rispetto alla prima o alla

seconda variabile. Si costruisce, allora, la matrice Hessiana, delle derivate seconde, utilizzando la

solita convenzione: nella prima riga abbiamo le derivate della prima componente del gradiente, fatte

la prima rispetto a x, e la indichiamo con 2

2

f

x

, e la seconda rispetto a y, e la indichiamo con

2 f

y x

.

Nella seconda riga abbiamo invece le derivate della seconda componente del gradiente, la prima

fatta rispetto a x, cioè 2 f

x y

, e la seconda fatta rispetto a y,

2

2

f

y

. Abbiamo quindi

2 2

0 0 0 02

0 0 2 2

0 0 0 02

, ,

,

, ,

f fx y x y

x y xHf x y

f fx y x y

x y y

.

Sulla diagonale principale della matrice Hessiana abbiamo le derivate seconde pure, sulla diagonale

secondaria le derivate seconde miste. Una funzione si dice derivabile due volte in un punto 0 0,x y

se esistono finite tutte e quattro le sue derivate seconde. Se le derivate seconde sono tutte funzioni

continue su un aperto A allora la funzione si dice di classe 2C su A. Una funzione di classe 2C ha

derivate miste uguali (è l’enunciato del teorema di Schwarz).

1. Calcolare gradiente e matrice Hessiana della funzione 2 2 2,f x y x y x y

La funzione è un polinomio, è definita e continua su tutto il piano.

Le derivate parziali prime sono , 2 2f

x y x xyx

e 2, 2

fx y y x

y

; sono definite e

continue su tutto il piano.

Calcoliamo le derivate seconde sono 2

2, 2 2

fx y y

x

,

2

, 2f

x y xy x

,

2

, 2f

x y xx y

e

2

2, 2

fx y

y

; sono definite e continue su tutto il piano. La funzione è di

classe 2C su 2 .

ANALISI 2


8

Abbiamo quindi: 2, 2 2 ,2f x y x xy y x e 2 2 2

,2 2

y xHf x y

x

.

2. Calcolare gradiente e matrice Hessiana della funzione 2 2, log 1f x y x y

La funzione è definita e continua su tutto il piano perché composizione di funzioni continue.

Le derivate parziali prime sono 2

2 2

2,

1

f xyx y

x x y

e

2

2 2

2,

1

f x yx y

y x y

; sono definite e

continue su tutto il piano.

Calcoliamo le derivate seconde sono

2 2 2 2 4 2 2 22

2 222 2 2 2

2 1 2 2 1,

1 1

y x y x y y x yfx y

x x y x y

,

2

22 2

4,

1

f xyx y

y x x y

,

2

22 2

4,

1

f xyx y

x y x y

e

2 2 22

222 2

2 1,

1

x x yfx y

y x y

; sono definite

e continue su tutto il piano. La funzione è di classe 2C su 2 .

Abbiamo quindi: 2 2

2 2 2 2

2 2, ,

1 1

xy x yf x y

x y x y

e

2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2

2 1 4

1 1,

2 14

1 1

y x y xy

x y x yHf x y

x x yxy

x y x y

.

3. Calcolare i punti nei quali si annulla il gradiente della funzione

3 2 2 3, 2 2f x y x x y xy x y y e scrivere la matrice Hessiana in tali punti.

La funzione è definita e continua su tutto il piano, perché è un polinomio.

2 2 2 2, 3 2 2, 2 3 2f x y x xy y x xy y .

Uguagliando a 0 entrambe le componenti del gradiente otteniamo 2 23 1 1

x y x y

x x

e

quindi i punti 1,1 , 1, 1 , 1 1

,3 3

e

1 1,

3 3

.

La matrice Hessiana generale ha forma 2 6 2 2

,2 2 6 2

y x x yHf x y

x y y x

e quindi

ANALISI 2


9

4 0

1,10 4

Hf

, 4 0

1, 10 4

Hf

,

8 4

1 1 3 3,

4 83 3

3 3

Hf

8 4

1 1 3 3,

4 83 3

3 3

Hf

.

4. Verificare che la funzione

3 3

2 2 se , 0,0

,

0 se , 0,0

x y xyx y

x yf x y

x y

ha derivate seconde

miste diverse in 0,0 .

La funzione è continua su tutto il piano: su 2 \ 0,0 perché quoziente di funzioni

continue, invece in 0,0 perché si può mostrare che

, 0,0lim , 0,0 0

x yf x y f

. Infatti

in coordinate polari abbiamo 4 3 3

2

2

cos sen cos sen0

.

Le derivate parziali prime della funzione sono:

4 2 3 5

22 2

4 se , 0,0

,

0 se , 0,0

x y x y yx y

fx yx y

xx y

e

5 3 2 4

22 2

4 se , 0,0

,

0 se , 0,0

x x y xyx y

fx yx y

yx y

.

Le derivate parziali prime sono continue: infatti si verifica facilmente che una volta scritte in

coordinate polari sono entrambe maggiorate dalla funzione g .

Vediamo le derivate seconde:

3 2 2

23

2 2

2

4 3 se , 0,0

,

0 se , 0,0

xy y xx yf

x y x yx

x y

3 2 2

23

2 2

2

4 3 se , 0,0

,

0 se , 0,0

x y y xx yf

x y x yx

x y

ANALISI 2


10

È immediato notare che le derivate seconde pure non sono continue nell’origine: le

restrizioni agli assi sono nulle mentre la restrizione alla bisettrice vale 1 per la derivata fatta

due volte rispetto a x e 1 per la derivata fatta due volte rispetto a y. La funzione è quindi

di classe 2C solo su 2 \ 0,0 .

Su questo insieme le derivate miste sono uguali:

2 2 6 4 2 2 4 6

32 2

9 9, ,

f f x x y x y yx y x y

x y y x x y

per , 0,0x y .

Nel calcolare le derivate seconde miste in 0,0 , invece, incontriamo il seguente caso:

5

2 4

0 0

0, 0,0 0

lim lim 1h h

f f hh

f x x h

y x h h

, mentre

5

2 4

0 0

,0 0,0 0

0,0 lim lim 1h h

f f hhf y y h

x y h h

.

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