Amplificatore Operazionale

Capitolo 4 Note sullamplificatore operazionale 27

P.M. Azzoni, Strumenti e misure per lingegneria meccanica - copyright 2006, Hoepli, Milano.

4. NOTE SULLAMPLIFICATORE OPERAZIONALE

4.1 LIMITI FISICI DELLAMPLIFICATORE OPERAZIONALE

Il comportamento dellamplificatore a circuito chiuso, descritto nei capitoli precedenti, stato studiatoassumendo che lamplificatore operazionale a circuito aperto fosse ideale, per cui:

e e+ = 0, i i+ = = 0e che lamplificatore a circuito chiuso potesse amplificare tensioni di qualsiasi ampiezza e di qualsiasifrequenza. Questi comportamenti non si realizzano nella realt, a causa dei limiti fisici dellamplificatorea circuito aperto, come verr esposto in seguito.

LIMITI NELLA RISPOSTA IN FREQUENZANel funzionamento di un amplificatore operazionale si assunto che il coefficiente di amplificazione,AV OL( ) , fosse costante, indipendentemente dalla frequenza del segnale di ingresso; in realt il coefficientedi amplificazione a circuito aperto una funzione della frequenza del segnale di ingresso, rad s/[ ],del tipo:

A A

jOL

o

o

( ) =+1

(4.1)

Questo comportamento simile a quello di un filtro passa basso1, con una frequenza di taglio, pari a o.

Nella figura 4.1 mostrato landamento del modulo del coefficiente di amplificazione a circuito aperto,A A

jOL

o

o

( ) =+

12

in funzione della frequenza, per un valore di Ao = 106 e o = 10 .

[rad]0

2

4

6

8

10.105

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3

AOL

Figura 4.1. Andamento del modulo del coefficiente di amplificazione in funzione della frequenza.Si pu notare che la risposta dellamplificatore diventa sempre meno accurata man mano che la fre-quenza si allontana dal valore della frequenza di taglio, per il quale lampiezza uguale a

A 0.707 AOL o o( ) = con

o10 rad s= [ ]/ e A 10o 6= .

Lipotesi fatta di amplificazione infinita:AOL

perde la sua validit per frequenze maggiori di o. A questa frequenza lamplificazione diminuita di3dB rispetto al valore a =0 2:

1 Vedi il Capitolo Filtri passivi e attivi.

2 Vedi il paragrafo Rappresentazione in decibel nel Capitolo Filtri passivi e attivi.



20 310( )

= log A A dBOL o

o

Per questa ragione o detto larghezza di banda a 3 dB. Si tratta di stabilire, ora, una relazione fra la

larghezza di banda dellamplificatore operazionale a circuito aperto, o e la larghezza di banda, i , di

un amplificatore a circuito chiuso, in cui il componente inserito. Nella pratica si osservato che ilprodotto fra guadagno e larghezza di banda a 3 dB di un amplificatore a circuito chiuso Ai i( ) uguale al prodotto AOL o( ) dellamplificatore operazionale utilizzato, per cui:

A A Ao o = = = 1 1 2 2 L (4.2)

in cui Ao e o hanno il significato sopra accennato, relativo allamplificatore a circuito aperto e Ai e i,con i = 1,2, sono, rispettivamente, il guadagno e la larghezza di banda a 3dB dellamplificatore acircuito chiuso, che pu essere, per esempio, un amplificatore invertente o non invertente, o un ampli-ficatore formato da due amplificatori invertenti in serie, come in figura 4.2

e-

e++

-e-

e++-

eo(t)

ei(t)

Figura 4.2. Amplificatore costituito da due amplificatori invertenti in serie.o una qualsiasi combinazione di amplificatori invertenti o non invertenti.Nella figura 4.3 rappresentata graficamente la relazione (4.2). Poich il valore del guadagno a circuitochiuso inferiore al coefficiente di amplificazione a circuito aperto, AOL, la frequenza relativa, 1 superiore al valore o

A

frequenze [Hz]

20.log10 A1

20.log10 A2

80

60

40

20

0o 1

2

20.log10 A0

Figura 4.3. Rappresentazione grafica della relazione (4.2).

LIMITI DELLA TENSIONE DI ALIMENTAZIONE

Come gi esposto in precedenza3, lamplificatore operazionale per il suo funzionamento necessita di duesorgenti di alimentazione a tensione costante, VS

+ VS

, il cui valore assoluto compreso, normalmente, fra5 V e 25 V. Il fatto che le tensioni di alimentazione siano limitate, comporta una limitazione nel valoremassimo del valore in uscita dallamplificatore a circuito chiuso, eo, che nella pratica pu essere espressadalla seguente relazione:

V e e t V eS o S +( ) ( ) ( )+

in cui e attorno a 1,5 V.Nella figura 4.4 mostrato un esempio, in cui la tensione di ingresso di un amplificatore non invertente amplificata di un fattore 2 e le due tensioni di alimentazione dellamplificatore operazionale sono

V VS+= 5 , V VS+ = 5

3 Vedi il paragrafo Lamplificatore operazionale.



tempo (s)0 2 4 6 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

Vm in

Vmax

ampiezza

t ens ionedi ingresso

tensionedi u sci ta

Figura 4.4. Andamento della tensione di ingresso e quello di uscitada un amplificatore a circuito chiuso, in presenza di saturazione.

Dati i valori delle tensioni di alimentazione, luscita dallamplificatore non supera il valore di 3 5. V .

RITARDO SULLA TENSIONE DI USCITA DELLAMPLIFICATORELa risposta ad un variazione temporale della tensione in ingresso allamplificatore non istantanea, mapresenta un certo ritardo. Per esempio, ad un ingresso a gradino corrisponde un andamento della ten-sione in uscita, mostrato nella figura 4.5.

tens

ione

tensi onedi ingresso

tensi onedi uscita

tempo

Figura 4.5. Risposta dellamplificatore ad una variazione a gradino.Questa variazione chiamata slew rate ed definita nel seguente modo:

de tdt So

o

( )=

in cui So un parametro caratteristico dellamplificatore.Se la tensione in ingresso di tipo sinusoidale

e t e sen f ti i( ) = ( )2 la sua derivata

de tdt f e cos f ti

i( )

= ( )2 2 il cui valore massimo 2 f ei . Affinch lamplificatore non introduca ritardi significativi , quindi,necessario che venga rispettata la disuguaglianza:

2 f e Si o4.2. IL TRIGGER DI SCHMITT

Lamplificatore comparatore, illustrato in uno dei paragrafi precedenti, utilizzato quando necessariorivelare il passaggio di una tensione al di sopra o al di sotto di un determinato valore, detto valore di so-glia. Lo schema dellamplificatore comparatore mostrato nella figura 4.6; in questo schema il mor-setto non invertente collegato con la tensione continua di soglia, er, mentre la tensione da controllare posta sul morsetto invertente.Quando la differenza di tensione, t( )

t e e e e tr i( ) = = ( )+ (4.3)



allingresso dellamplificatore, fra il morsetto non invertente e quello invertente positiva, la tensione diuscita, e t

o( ), assume il valore della tensione di alimentazione, VS+ , mentre se negativa, assume il valore

della tensione VS

.

ei(t)eo(t)

e-

e+ +

-

i+=0

ii(t)=i-=0

+- er

V+S

V-S=0

Figura 4.6. Amplificatore comparatore con una tensione di soglia, er.La figura 4.7 illustra il comportamento dellamplificatore comparatore nel caso in cui la tensione dialimentazione VS

+ ha un valore positivo, mentre la tensione VS

ha il valore zero.

er

ei

tt1 t2

VS+

VS=0-

eo

t1 t2 t

Figura 4.7. Andamento della tensione di ingresso e di uscita di un amplificatorecomparatore in presenza di una tensione di soglia, er.

In base alla (4.3), quando la tensione ei(t) inferiore al valore di soglia er, la tensione di uscita assume ilvalore VS

+, mentre se superiore, assume valore zero.

Questo comportamento sarebbe corretto, se il segnale avesse un andamento regolare, come in figura 4.7.Nella realt landamento della tensione ha un andamento irregolare, che pu rendere difficile la deter-minazione del passaggio della tensione attraverso la soglia, come evidenziato nella figura seguente.

er

ei

tVS+

VS=0-

eo

t

Figura 4.8. Comportamento dellamplificatore comparatore, in presenza di undisturbo elettrico di alta frequenza.



Si nota come la presenza di frastagliature rende indeterminato il passaggio per il valore di soglia. Unmodo efficace di migliorare le prestazioni dellamplificatore comparatore quello di introdurre unacontro reazione positiva, come mostrato nella figura 4.9; questo tipo di amplificatore viene chiamatoTrigger di Schmitt.

+

-

R2R1

+-

e+

e-

i

er

ei

VS+

VS-

eo

Figura 4.9. Schema del Trigger di Schmitt.

Sul morsetto non invertente presente una frazione della tensione di uscita, e to( ), che pu assumere il

valore VS+ o VS

, in relazione al segno della differenza delle due tensioni di ingresso, = + e e .Nellesempio illustrato in seguito le due tensioni di alimentazione hanno lo stesso valore assoluto, masegno opposto, cos che V VS a

+= e V VS a

= .

Se in un determinato istante la tensione di uscita e V V

o S a= =+

si ha:V R R i e e V R i

a r a +( ) = = +1 2 10,

Da queste espressioni si ricava il valore della tensione di soglia, er

'

, scelto per il passaggio della tensionedi uscita, eo, dal valore Va al valore Va e viceversa, a secondo del segno di =

+ e e .

e V RR R eR

R R VR

R R ea r a r+=

++

+=

++2

1 2

1

1 2

2

1 2

'

in cui:

e eR

R Rr r'

= +

1

1 2La differenza delle due tensioni di ingresso :

= = +

+ ( )

+ e e V RR R e e ta r i2

1 2

per cui il passaggio della tensione di uscita al valore e V Vo S a= =

, avviene, quando il valore dellatensione di ingresso soddisfa la seguente disuguaglianza:

e t V RR R ei a r( ) > + +2

1 2

'

Poniamo, adesso, il caso in cui in un determinato istante la tensione in uscita abbia il valoree V V

o S a= =

per cui la tensione al morsetto non invertente :

e V RR R ea r+=

++2

1 2

'

e, quindi: = =

++

( )

+ e e V RR R e e ta r i2

1 2

'

Il cambio di tensione sul morsetto di uscita al valore e V Vo S a= =

+ si verifica nel momento in cui:

e t V RR R ei a r( ) < + +2

1 2

'

Nella figura 4.10 mostrato landamento della tensione di uscita del Trigger di Schmitt al variare delvalore della tensione sul morsetto invertente di ingresso.



eo

ei

Va

-Va

e'r

e'r Va R1 R2+R2+

-e'r Va R1 R2+R2

Figura 4.10. Andamento della tensione di uscita del Trigger di Schmitt inpresenza di una tensione di soglia, er.

Applichiamo, ora, il Trigger di Schmitt al segnale mostrato nella figura 4.11. Allaumentare della tensio-ne di ingresso, e ti ( ), dai valori negativi a quelli positivi, la tensione di uscita, e to( ), passa da + Va a Vadopo che il valore della tensione di ingresso ha superato il valore di e t V R R R ei a r( ) > +( ) +2 1 2 . Alcontrario, al diminuire della tensione di ingresso, il cambio di tensione sul morsetto di uscita avviene,quando il valore della tensione e ti ( ) inferiore a e t V R R R ei a r( ) < +( ) +2 1 2 . Il valore delle resistenzedeve essere scelto in modo che V R R R

a +( )2 1 2 sia superiore alle oscillazioni di tensione attorno al

valore di soglia er, in modo da evitare gli inconvenienti illustrati nella figura 4.15. Nella figura 4.11 sipu osservare landamento della tensione di uscita del Trigger di Schmitt in presenza di un segnale conun andamento irregolare.

ei

e'r

eo

VS+

-VS

t

t0

0

e'r + VaR2

R1 + R2

e'r - VaR2

R1 + R2

Figura 4.11. Andamento della tensione di uscita del Trigger di Schmitt.

Si pu notare come la presenza delle due resistenze di controreazione ha permesso di annullare i disturbidovuti alle piccole oscillazioni della tensione di ingresso del Trigger.

4.3 LOSCILLOSCOPIO

Per la visualizzazione e la misura di grandezze tempo-varianti si utilizza uno strumento, chiamatooscilloscopio. Questo strumento in grado di visualizzare su uno schermo una porzione temporale delsegnale elettrico, proveniente dal sensore, come mostrato nella figura 4.12. Nella prima presentato ilsegnale periodico proveniente dal sensore, in cui stata messa in evidenza la porzione temporale che siintende visualizzare sullo schermo delloscilloscopio, mentre la seconda figura mostra il quadrantedelloscilloscopio, su cui fissata la porzione desiderata del segnale; nel quadrante lasse orizzontale, x,prende il posto della variabile temporale, mentre sullasse verticale, y, si legge lintensit del segnaleproveniente dal sensore.



0 2 4 6- 2

0

- 1

eo (V)

tempo (s)

2

8 10

a

y

x

oscil loscopio

bFigura 4.12. Andamento del segnale proveniente dal sensore e porzione dello stesso visualizzato

sulloscilloscopio.Data lassenza di masse in movimento, loscilloscopio in grado di visualizzare in tempo reale la por-zione del segnale; questa caratteristica rende loscilloscopio uno strumento prezioso, sia in laboratorio,sia in ambiente industriale per la verifica in linea delle grandezze elettriche sotto osservazione. Oltre aquesta importante caratteristica, loscilloscopio pu memorizzare una porzione temporale del segnale eriportarlo sullo schermo in un tempo successivo per una sua analisi.Poich la funzione sullo schermo (vedi fig. 4.12b) deve essere simile alla forma donda proveniente dalsensore, necessario che la dimensione verticale, y, della funzione disegnata sullo schermo sia pro-porzionale al valore della tensione proveniente dal sensore, mentre la dimensione orizzontale, x, sulquadrante delloscilloscopio sia proporzionale al tempo:

y t c e ty( ) = ( )1 ; x t c t( ) = 2 (4.4)La visualizzazione di un segnale elettrico del tipo di figura 4.12a viene realizzata tramite un pennellinodi elettroni, che colpiscono lo schermo delloscilloscopio. Gli elettroni, colpendo gli atomi delloschermo, li portano in uno stato eccitato4; il ritorno di questi atomi allo stato di riposo genera unaradiazione elettromagnetica nel campo del visibile.Di seguito vengono illustrati i principi di funzionamento delloscilloscopio a filo caldo, schematizzatonella figura 4.13. Gli elettroni del pennellino, emessi dal filamento caldo,f , del catodo, percorso dallacorrente i , vengono accelerati verso lanodo dal campo elettrico, generato dalla forza elettromotrice ep.

+-eS

i

f

ep+-

elettrone

anodo

tra ettoriadell'e lett rone scherm o

flu orescente

piastre peril movim entovertica le

d egli eletroni

pia stre peril movimentoo rizzont aled egli eletro ni

catodo

Figura 4.13. Schema delloscilloscopio a filo caldo.Gli elettroni, attraversato il foro praticato nellanodo, proseguono con moto uniforme fino allingressodelle due coppie di piastre, i cui campi elettrici impongono un movimento orizzontale e uno verticale alpercorso degli elettroni.Prendiamo in esame il comportamento degli elettroni, mentre attraversano una coppia di piastre, adesempio, quella che regola lo spostamento orizzontale. Tra queste piastre generata una differenza ditensione, ex(t), variabile nel tempo (vedi fig. 4.14); la distanza fra le piastre d e la loro altezza s; vp lavelocit dellelettrone parallela alle piastre e vt quella trasversale.

4 Vedi paragrafo Il velocimetro laser nel Capitolo Misure di velocit lineare e rotazionale.



sche rmo

D

x(t)

vp

vt (t)

L

d

vp+ -

ex (t)

s

0

Figura 4.14. Moto dellelettrone attraverso le piastre, che regolano lospostamento orizzontale.

Allistante t presente fra le piastre una differenza di tensione, ex(t), che genera al loro interno uncampo elettrico

E t e tdxx( ) = ( ) . (4.5)

Lelettrone, di carica q, per tutto lintervallo infinitesimo di tempo, t s vp= / , soggetto ad una forza:F t q E t

x x( ) = ( ); (4.6)

che imprime unaccelerazione perpendicolare al moto dellelettrone, a tp( ) . Dato il tempo infinitesimo,t

, il campo elettrico Ex(t) pu ritenersi costante per tutto questo periodo. Laccelerazione perpendico-lare, impressa allelettrone, data dalla espressione5:

a tv t t v t

tv t t

tv t

ttt ti t t( ) = +( ) ( ) = +( ) ( )

in cui v tti ( ) la velocit trasversale allingresso delle piastre (nulla nel nostro caso) e v tt ( ) la velocittrasversale dellelettrone alluscita dalle piastre. Ne consegue:

q E t m v tt

mv t

sv

x e

te

tp ( ) =

( )=

( ) (4.7)

in cui me la massa dellelettrone. Utilizzando le espressioni precedenti, si ottiene la velocit trasversale:v t

q sv m d e t k e tt p e x x

( ) =

( ) = ( )

Lo spostamento x(t) del punto luminoso sullo schermo, prodotto dallurto degli elettroni con gli atomifluorescenti dello schermo, :

Dx t

Lv

v tp

pd2 ( ) = ( ), da cui e t hD

x tx( ) = ( )

12 ,

con h L k vp= ( ) e D la larghezza dello schermo che esprime una relazione lineare fra lo spostamentodel punto luminoso sullo schermo e la tensione alle piastre. Poich lo spostamento deve essere pro-porzionale al tempo (vedi 4.4), ne consegue che la tensione ex(t) deve essere a sua volta proporzionale altempo

e t hD

c tx( ) = 1 2 2

e variare in modo che il pennellino parta dallestremo sinistro dello schermo e arrivi allestremo oppo-sto, D, come mostrato nella figura seguente. Utilizzando queste due ultime espressioni, si deduce che il

5 Nella espressione si approssimato il tempo t t+ con t, dato il valore estremamente piccolo di t .



pennellino elettronico percorre lo schermo a velocit uniforme, c2; T il tempo impiegato dal puntoluminoso per attraversare lo schermo: T D c= 2 .

ex(t1) ex(t1+T/2) ex(t1+T)

elettronepiast re per ilmovimento orizzonta le

a b c

+ - +-0 0

0 0 0

schermopunto luminos oin movimento

D DD

Figura 4.15. Spostamento dellelettrone sullo schermo in funzione delladifferenza di tensione sulle piastre.

Al tempo t1 la tensione sulla piastra di sinistra (vedi fig. 4.15a) superiore a quella sulla piastra di destrae la direzione dellelettrone deviata in modo che limpatto sullo schermo avvenga sullestremosinistro; al tempo t T1 2+ / (fig. 4.15b) le tensioni sulle piastre sono uguali, per cui lelettrone non subi-sce alcuna deviazione, e limpatto avviene sul centro dello schermo; una situazione opposta alla prima sipresenta al tempo t T1 + (fig. 4.15c), in cui la tensione sulla piastra sinistra inferiore a quella sullapiastra destra.Anche per lo spostamento verticale, y, del pennellino si pu ripetere quanto gi esposto per lo spo-stamento orizzontale, per cui sar proporzionale alla tensione, ey(t), proveniente dal sensore; questatensione applicata alle piastre, che regolano il moto verticale.Il pennellino elettronico percorre lo schermo da sinistra a destra in T D c= 2 secondi, per cui la tensioneex(t) varia linearmente entro i seguenti valori:

t e hD

x= = 0 1 2, t T e h

Dx

= = ,

12

Ne consegue che il valore assoluto della tensione ex(t) deve essere compreso fra:e e t e

max x max ( )

con e hD

max=

12 .

Se la tensione supera questo valore, il pennellino elettronico colpisce le pareti laterali dello schermo.Landamento della tensione, ex(t), dovendo essere lineare con il tempo e limitato fra i due valori, emax eemax, avr landamento a dente di sega di figura 4.16.

ex

emax

- emax

0 tT

Figura 4.16. Andamento a dente di sega della tensione sulle piastre cheregolano il movimento orizzontale del pennellino elettronico.

Landamento della tensione regolato dalla relazione:e t e k t

x max( ) = + 2

Variando linclinazione della retta si varia il valore del tempo T e, di conseguenza, anche la velocit, vx,di attraversamento orizzontale.La combinazione delle due tensioni, ex(t) e ey(t), costringe il pennellino a muoversi in sintonia con la ten-sione proveniente dal sensore, nel senso che, mentre la tensione ex(t) costringe il pennellino a muoversilungo lasse x in modo proporzionale al tempo, la tensione ey(t) lo spinge a muoversi lungo lasse y,



proporzionalmente alla tensione stessa. Sullo schermo delloscilloscopio viene, quindi, disegnato il trattodel segnale compreso nellintervallo di tempo T, come mostrato nella figura 4.17.

t

eo

ex

emax

- emaxt

schermo dellooscilloscopio

partenza deldente di sega

arresto deldente di sega

0 to

to + Tto

Figura 4.17. Trasposizione sullo schermo delloscilloscopio di untratto di segnale proveniente da un sensore.

Trascorso lintervallo di tempo T, il pennellino si trova allestremo destro dello schermo e in questoistante viene, dal circuito di comando delloscilloscopio, istantaneamente riportato allestremo sinistro,poich sulle piastre viene ripristinata la tensione

emax

.

Le considerazioni che vengono svolte nel seguito sono applicate a segnali periodici, di periodo To6. Se latensione a dente di sega, ex(t), dovesse ripartire nellistante di tempo t t To= + , o t t To= + 2 e cos via(vedi fig. 4.18a), si determinerebbe sullo schermo una situazione confusa, descritta nella figura 4.18b,caratterizzata dalla sovrapposizione di curve diverse. Il tratto di curva impresso sullo schermo durante ilprimo periodo andr scomparendo nel tempo, sostituito dal secondo tratto e cos via.

ey (t)

0

ex (t)

t

t

emax

- emax

0T 2T 3T 4T

Ta 2Ta 3Ta

a

oscilloscopio

bFigura 4.18. Partenza non corretta della tensione a dente di sega (a) e visione sullo schermo

delloscilloscopio dei vari spezzoni di segnale (b).Se si vuole, invece, evidenziare sullo schermo sempre lo stesso tratto di curva, occorre fare ripartire ilpennellino, non allistante t T= , ma nel momento in cui la curva periodica del segnale riprende il valore,che aveva allistante t = 0, cio, nel nostro esempio, il pennellino deve ripartire allistante t T

a= 2 , in cui

Ta il periodo della forma donda del segnale. Quindi, la partenza del dente di sega deve essere ritardata,nel nostro esempio, di un tempo pari a t T T

a= 2 , dato che, in questo caso, il tempo T superiore a

un periodo, Ta, come mostrato nella figura 4.19.Durante lintervallo di attesa, t, sullo schermo rimane limmagine della curva precedentemente impres-sa, la cui intensit va progressivamente attenuandosi; questa attenuazione non viene percepita dallocchioe viene subito rafforzato dallimmagine successiva. Sullo schermo, quindi, si imprime sempre la stessaporzione di curva, disegnata in neretto nella figura seguente.

6 Se il segnale non periodico, si predispone loscilloscopio in modo da acquisire la porzione di segnale, relativa allintervallo

di tempo 0 T , nella memoria delloscilloscopio; in un secondo tempo questa porzione di segnale viene visualizzata sulloschermo per una sua analisi.



ey (t)

0

ex (t)

t

t

emax

- emax

0 T

Ta 2Ta 3Ta 4Ta

2Ta 4Ta

Figura 4.19. Partenza corretta della tensione a dente di sega.

Se sullo schermo si vuole riprodurre un tratto pi ampio del segnale, occorre avere una rampa di risalitadel dente di sega meno pronunciata, cio bisogna ridurre langolo di inclinazione dellandamento retti-lineo della tensione ex(t). Uno dei modi utilizzati per modificare questa inclinazione verr descritto piavanti.Per comandare la partenza della tensione a dente di sega, si utilizza il Trigger di Schmitt7. Nella suaversione pi semplice il Trigger di Schmitt costituito da un amplificatore operazionale, in cui ilmorsetto invertente collegato con una tensione continua di soglia, er, la cui intensit pu essere variata,mentre la tensione proveniente dal sensore posta sul morsetto non invertente (vedi fig. 4.20a).

+

-+-

VS = 5 V+

VS = 0 V-

ey (t)

eo (t)

e r

a

VS = 5 V+

VS = 0 V-

= ey (t) - er

eo

0

bFigura 4.20. Schema semplificato del Trigger di Schmitt con una tensione di soglia (a) e

andamento della tensione di uscita del Trigger di Schmitt.Le tensioni di alimentazione sono V VS

+=5 e V VS =0 . La tensione di uscita del Trigger

e V Vo S= =

+ 5 8, quando la tensione proveniente dal sensore superiore al valore di soglia er ed uguale a

zero nel caso contrario, come mostrato nella figura 4.20b.Non appena la tensione e ty ( ) attraversa il valore di soglia er , luscita del Trigger registra un brusco cam-biamento di tensione, come stato accennato in precedenza, che determina la partenza della tensionee t

x( ) .

Il passaggio di tensione attraverso il valore di soglia pu avvenire, sia in fase di aumento della tensionee ty ( ) , sia in fase di diminuzione della stessa. Nelloscilloscopio possibile utilizzare le due possibilit: seil comando di partenza del dente di sega posto sulla opzione up, caratterizzata dal simbolo ,nellistante in cui la tensione e t

o( ) passa da 0 [V] a 5 [V], parte la tensione e t

x( ) . Se, viceversa, il co-

mando posto sulla opzione down, caratterizzata dal simbolo , quando la tensione e to( )

passa da 5[V] a 0 [V], inizia la partenza della tensione e t

x( ) .

7 Vedi il paragrafo Il trigger di Schmitt.

8 Vedi il paragrafo LAmplificatore operazionale.



Lesempio riportato di seguito serve a chiarire quanto esposto precedentemente. La figura 4.21a mostralandamento della tensione periodica, con periodo To, proveniente dal sensore, mentre nella figura 4.21b presentata la tensione in uscita dal Trigger di Schmitt in opzione down. Quando la tensione e ty ( )attraversa in discesa il valore di soglia e

r, la tensione del Trigger passa da 5 V a 0 V; questo passaggio av-

viene al tempo to, tempo di partenza del dente di sega. Dopo lintervallo di tempo T, il pennellino elet-tronico ha percorso tutto lo schermo delloscilloscopio e viene riportato al punto di partenza sul latosinistro dello schermo, imponendo alla tensione e t

x( )

di assumere il valore emax

. Questo passaggio non istantaneo, come vedremo pi avanti, ma avviene in un tempo finito, come mostrato nella figura 4.21c.

t

t

tout

to

T+to

t1

y

er

(b)

(c)

0

eo (V)

emax

- emax

exTo 2To

5

T+to

to

(a)

8642

Figura 4.21. Andamento delle tensioni del sensore, del Trigger e del dente di sega.

Dopo che il transitorio della tensione e tx( )

si esaurito, cio, dopo lintervallo di tempo tout,loscilloscopio in grado di fare ripartire, al tempo t1, la tensione del dente di sega e, quindi, diridisegnare sullo schermo un altro spezzone della forma donda della tensione proveniente dal sensore,identica alla prima (segnata in neretto nella fig. 4.21a). Durante tutto lintervallo di tempo

t t to

= 1il circuito di comando delloscilloscopio non percepisce gli impulsi di tensione provenienti dal Trigger.Nella figura 4.22 mostrata la parte della forma donda della tensione del sensore, selezionatadalloscilloscopio.

Figura 4.22. Visualizzazione sullo schermo delloscilloscopio di una parte dellaforma donda della tensione proveniente dal sensore.

Il circuito, che genera landamento a dente di sega della tensione e tx( ) , pu essere realizzato nella sua

versione pi semplice da un circuito resistivo-capacitivo descritto nella figura 4.23a.



R

C R2 eo (t)V+-

I1 I2

R

C R2 eo (t)V+-

i1

R

C R2V+-

i2 eo (t)

a b c

I1 I2 I1 I2

Figura 4.23. Circuito per la generazione della tensione a dente di sega.

La partenza della tensione, e to( ), avviene nel momento in cui si chiude linterruttore I1, comandato dal

Trigger di Schmitt e contemporaneamente si apre linterruttore I2; in questo istante il condensatore C scarico (vedi fig. 4.23b). Lequazione che regola il comportamento del circuito la seguente:

V R i t C i t dtt

= ( ) + ( ) 10

Derivando questa equazione, si ottiene:R C di tdt i t

( )+ ( ) = 0

la cui soluzione data dallespressione:i t c e

t

( ) = 1 con = R C .La tensione ai capi del condensatore :

e tc

C e dt c R e dott

t

( ) = =

10

10

con

=t.

Risolvendo lintegrale e tenendo conto che per t la tensione tende a V, si ha:e t V e

o

t

( ) = 1 (4.8)il cui andamento mostrato nella figura 4.24 con V = 5 [V].

eo (V)

1

0

2

3

4

5

tempo [s]0 0.5 1.0 1.5 2.0 2,5

T

2.emax

Figura 4.24. Andamento della tensione in uscita al circuito RC di figura 4.23b.La derivata della funzione allorigine incrocia lasintoto nel punto (, V). Nellintorno dello zero questacurva pu essere approssimata dalla retta tangente nel punto di origine

e tV

to( )

Quando la tensione e t

o( )

raggiunge il valore 2 emax

, linterruttore I1 viene aperto e contemporaneamenteviene chiuso linterruttore I2. Il condensatore C si scarica attraverso la resistenza R2 con una costante ditempo pari a 2 2= R C (vedi fig. 4.23c). Infatti, il nuovo circuito un semplice circuito resistivo-capacitivo, la cui equazione la seguente:

1 1 01

2C i t dt R i t V et

t T

( ) + ( ) =



Derivando i termini di questa espressione rispetto al tempo, si ha lequazione:1 02C i t R

di tdt( ) + ( )

=

la cui soluzione :

i t k et

( ) = 2con 2 2= R C . Al tempo t = t1 la corrente ha la seguente espressione:

i t k eV e

R

t

t

12

12

1

1( ) = =

da cui si ricava il valore della costante:

kV e

R e

t

t

=

11

12

2

La tensione ai capi della resistenza data dallespressione:

e t RV e

R e eo

T

T t

2 22

1 12 2( ) =

da cui:

e t V e eo

T t T

2 1 2( ) =

Landamento della tensione eo(t) mostrato nella figura 4.25.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.04 0.08

tempo [s]

0. 0

tes ione [V]

0.12

2.emax

TFigura 4.25. Andamento della tensione a dente di sega.

La tensione massima uguale a 2 emax

. Per fare in modo che la tensione ai capi delle piastre orizzontalipassi da + e

max a e

max occorre mettere in serie al circuito un amplificatore invertente con due resistenze

uguali che inverte il segno della tensione di figura 4.25 e una tensione di off-set, pari a e eoffset max= , come

descritto nella figura 4.26.

R

e-e+ +

-emax

eo (t) ex (t)

+

+

-

+-

R

eo (t)

+

-

-

Figura 4.26. Circuito per innalzare landamento di figura 4.25 di una quantit pari a emax e perinvertirne il segno



Infatti, per il principio di Kirchoff sulle tensioni nella maglia [-eo(t), emax, ex(t)] si ha:+ ( ){ } + ( ) =e t e e to max x 0

da cui:e t e t e

x o max( ) = ( ) +

Nella figura 4.27 mostrato landamento della tensione a dente di sega.ex

emax

- emax

0t

T

Figura 4.27. Andamento della tensione a dente di sega con un off-set di emax.Variando il tempo di ritardo = R C si varia la pendenza del dente di sega, come evidente dalla figura4.27. La discesa della tensione dipende dal valore della resistenza R2, dato che legata al valore dellacostante di tempo 2 2= R C ; la resistenza non pu essere troppo piccola per non avere correnti troppoelevate nel circuito di scarica, in grado di danneggiare il circuito.

BIBLIOGRAFIAR. Giometti, F. Frascari, Elettronica, lanalogica, Calderini 1999.P. Horowitz, W. Hill, The art of electronics, second edition, Cambridge University Press (1998).J. Millman, Christos, C. Halkias, Integrated electronics: analog and digital circuits and systems,McGraw-Hill (1972).G. Rizzoni, Principles and applications of electrical engineering, McGraw-Hill (2000), (third edition).

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