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Corso di Campi Elettromagnetici e Circuiti: Propagazione Guidata - Prof. Maurizio Bozzi Lezione 5 - 1

CORSO DI

CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI

- PROPAGAZIONE GUIDATA -

Università di Pavia, Facoltà di Ingegneria

[email protected]

http://microwave.unipv.it/bozzi/

Prof. Maurizio Bozzi


LEZIONE 5

POLARIZZAZIONE DELLE

ONDE PIANE


SOMMARIO DELLA LEZIONE

Soluzione dell’equazione delle onde nel caso generale

Polarizzazione delle onde

Polarizzazione lineare

Polarizzazione circolare

Polarizzazione ellittica


L’EQUAZIONE DELLE ONDE (CASO GENERALE)

Nel caso generale, l’equazione delle onde nel vuoto ( ε = 𝜀0, 𝜇 = 𝜇0,

𝑘 = 𝑘0 = 𝜔 𝜀0𝜇0) è espressa come:

che in coordinate cartesiane diventa:

L’equazione vettoriale corrisponde a tre equazioni scalari:

Queste equazioni possono essere risolte con il metodo di separazione

delle variabili.

𝛻2 𝐸 + 𝑘02 𝐸 = 0

𝑑2 𝐸

𝑑𝑥2+

𝑑2 𝐸

𝑑𝑦2+

𝑑2 𝐸

𝑑𝑧2+ 𝑘0

2 𝐸 = 0

𝑑2𝐸𝑖

𝑑𝑥2+

𝑑2𝐸𝑖

𝑑𝑦2+

𝑑2𝐸𝑖

𝑑𝑧2+ 𝑘0

2𝐸𝑖 = 0 (𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)



Ciascuna componente del campo elettrico è espressa come prodotto di tre

funzioni. Nel caso di 𝐸𝑥, ad esempio:

Sostituendo nell’equazione delle onde:

dove ′′ indica l’operatore di derivata seconda.

Poiché 𝑓′′/𝑓 è una funzione che dipende solo da x (e analogamente

𝑔′′/𝑔 dipende solo da y e ℎ′′/ℎ dipende solo da z), si ha:

con

𝐸𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 ℎ 𝑧

𝑓′′

𝑓+

𝑔′′

𝑔+

ℎ′′

ℎ+ 𝑘0

2 = 0

𝑓′′

𝑓+ 𝑘𝑥

2 = 0𝑔′′

𝑔+ 𝑘𝑦

2 = 0ℎ′′

ℎ+ 𝑘𝑧

2 = 0

𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦

2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘0

2



L’equazione

ammette come soluzioni

e analogamente le altre equazioni.

𝑓′′

𝑓+ 𝑘𝑥

2 = 0𝑑2𝑓

𝑑𝑥2+ 𝑘𝑥

2𝑓 = 0

𝑓(𝑥) = 𝑒±𝑗𝑘𝑥𝑥due onde che

si propagano

verso +x e -x

La soluzione generale per 𝐸𝑥 è del tipo:

dove A è una costante arbitraria che determina l’ampiezza dell’onda.

𝐸𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐴𝑒−𝑗(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧)



Introduciamo il vettore numero d’onda 𝑘

dove 𝑛 è il versore nella direzione di propagazione, e il vettore posizione 𝑟

La soluzione generale per 𝐸𝑥 può essere riscritta come:

Analogamente:

dove B e C sono costanti arbitrarie.

𝑘 = 𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦 + 𝑘𝑧 𝑧 = 𝑘0 𝑛

𝑟 = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑧

𝐸𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐴𝑒−𝑗(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧) = 𝐴𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟

𝐸𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐵𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟

𝐸𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐶𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟


vettore campo elettrico

perpendicolare alla

direzione di propagazione

𝐸0 = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 𝑧


Combinando i risultati precedenti, si ottiene:

Imponendo che il campo elettrico soddisfi l’equazione di Maxwell della

divergenza:

Si ottiene

𝐸 = 𝐸𝑥 𝑥 + 𝐸𝑦 𝑦 + 𝐸𝑧 𝑧

= 𝐴𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟 𝑥 + 𝐵𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟 𝑦 + 𝐶𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟 𝑧

= (𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑦 + 𝐶 𝑧)𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟

𝛻 ∙ 𝐸 = 𝛻 ∙ 𝐸0𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟 = 𝐸0 ∙ 𝛻𝑒−𝑗 𝑘∙ 𝑟 = −𝑗 𝑘 ∙ 𝐸0𝑒

−𝑗 𝑘∙ 𝑟 = 0

𝑘 ∙ 𝐸0 = 0


vettore campo magnetico

perpendicolare a 𝐸 ed alla

direzione di propagazione

𝑛 𝐸

𝐻

𝑥

𝑦

𝑧

onda TEM


Il campo magnetico può essere determinato dal campo elettrico tramite

l’equazione di Maxwell:

Pertanto:

da cui infine si ottiene:

𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇0 𝐻

𝐻 =𝑗

𝜔𝜇0𝛻 × 𝐸 =

𝑗

𝜔𝜇0𝛻 × 𝐸0𝑒

−𝑗 𝑘∙ 𝑟

𝐻 =1

𝜂0 𝑛 × 𝐸


POLARIZZAZIONE DELLE ONDE

La polarizzazione di un’onda piana rappresenta l’orientazione del vettore

campo elettrico, che può essere fissa o cambiare nel tempo.

Per lo studio della polarizzazione, si considera il piano perpendicolare alla

direzione di propagazione, su cui giace il vettore campo elettrico.

Esistono tre tipi di polarizzazione:

- Polarizzazione lineare

- Polarizzazione circolare

- Polarizzazione ellittica


POLARIZZAZIONE LINEARE

L’esempio considerato in precedenza, con il campo elettrico orientato

lungo l’asse x e l’onda che si propaga nella direzione dell’asse z, è un

esempio di polarizzazione lineare.

Nel dominio dei fasori:

Nel dominio del tempo:

𝑥

𝑦

𝑧

𝐸(𝑧) = 𝐸𝑥 𝑥 𝑒−𝑗𝑘𝑧

Il campo elettrico oscilla lungo l’asse x e cambia la sia ampiezza al variare

del tempo.

ℰ(𝑧, 𝑡) = 𝐸𝑥 𝑥 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)


𝑦

𝑥

POLARIZZAZIONE LINEARE

Consideriamo la sovrapposizione di un’onda con il campo elettrico

orientato lungo l’asse x e un’onda con il campo elettrico orientato lungo

l’asse y, entrambe con propagazione nella direzione dell’asse z:

𝐸 𝑧 = 𝐸1 𝑥 𝑒−𝑗𝑘𝑧 + 𝐸2 𝑦 𝑒−𝑗𝑘𝑧

= (𝐸1 𝑥 + 𝐸2 𝑦) 𝑒−𝑗𝑘𝑧

Se le ampiezze 𝐸1 ed 𝐸2 sono uguali

(𝐸1=𝐸2=𝐸0), il campo elettrico risultante

è orientato a 45° sul piano xy.

𝐸 𝑧 = 𝐸0( 𝑥 + 𝑦) 𝑒−𝑗𝑘𝑧


POLARIZZAZIONE CIRCOLARE

Se consideriamo il caso in cui 𝐸1=𝑗𝐸2=𝐸0, il campo elettrico nel dominio

dei fasori risulta:

e, nel dominio del tempo:

𝐸 𝑧 = 𝐸0( 𝑥 − 𝑗 𝑦) 𝑒−𝑗𝑘𝑧

ℰ(𝑧, 𝑡) = 𝐸0[ 𝑥 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑧+ 𝑦 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜋/2 ]

Si osserva che l’orientazione del

campo elettrico cambia nel tempo,

ed il vettore campo elettrico descrive

una circonferenza sul piano xy, che

percorre in un periodo.

𝑦

𝑥



Analogamente, se consideriamo il caso in cui 𝐸1=−𝑗𝐸2=𝐸0, il campo

elettrico nel dominio dei fasori fasori risulta:

e, nel dominio del tempo:

𝐸 𝑧 = 𝐸0( 𝑥 + 𝑗 𝑦) 𝑒−𝑗𝑘𝑧

ℰ(𝑧, 𝑡) = 𝐸0[ 𝑥 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑧+ 𝑦 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜋/2 ]

𝑦

𝑥In questo caso il verso di rotazione è

opposto al precedente.



𝑦

𝑧

LHCP (left hand circular polarization)

𝑥


Circolare destra (RHCP)

Rotazione oraria (visto dalla sorgente)

Rotazione antioraria (dall’osservatore)


𝑦

𝑥

𝑦

Circolare sinistra (LHCP)

Rotazione antioraria (dalla sorgente)

Rotazione oraria (dall’osservatore)

𝑧𝑥

𝑧


POLARIZZAZIONE ELLITTICA

La polarizzazione dell’onda è di tipo ellittico nel caso in cui

con 𝐸1 ≠ 𝐸2 .

𝐸 𝑧 = (𝐸1 𝑥 − 𝑗𝐸2 𝑦) 𝑒−𝑗𝑘𝑧

𝑦

𝑥

𝑦

𝑥

𝐸 𝑧 = (𝐸1 𝑥 + 𝑗𝐸2 𝑦) 𝑒−𝑗𝑘𝑧


POLARIZZAZIONE DELLE ONDE

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