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❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃ Compiti d’Esame – A.A. 2011/2012 ❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃ UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PERUGIA Facolt` a di Scienze MM. FF. e NN. Corso di Analisi Matematica I C.d.L. Triennale in Matematica I Esercitazione – 14 Novembre 2011 Esercizio 1. Dimostrare per induzione che (1 + i) n (1 - i) n-2 =2 i n-1 per ogni n N + . Esercizio 2. Calcolare al variare di q> 1 lim x→∞ e x + q x e qx + x q log x e lim x0 + e x + q x e qx + x q log x . Esercizio 3. Sia t> 0. Determinare tale che lim x0 log(cos x t ) x 2t = . Dimostrare che la funzione f (x)= a log(x + 1+ x 2 ) x + sin x , -1 x< 0, log(cos x t ) x 2t , 0 <x 1, ` e continua nel suo dominio per ogni valore di a R. Posto poi f (0) = , determinare a R in modo che f risulti continua in [-1, 1]. Esercizio 4. Determinare s> 0 in modo che la successione n 1 n + 1 n n -s ammetta limite in R + . Esercizio 5. Calcolare lim n→∞ ( 1+ 1 n ) n + n 3 n! n n n n! + n n n + n (2n) n n! . N.B. Giustificare tutte le risposte!

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  • c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c

    Compiti d'Esame { A.A. 2011/2012

    c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c

    UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA

    Facolta di Scienze MM. FF. e NN.

    Corso di Analisi Matematica IC.d.L. Triennale in Matematica

    I Esercitazione { 14 Novembre 2011

    Esercizio 1. Dimostrare per induzione che

    (1 + i)n

    (1 i)n2 = 2 in1 per ogni n 2 N+:

    Esercizio 2. Calcolare al variare di q > 1

    limx!1

    ex + qx

    eqx + xq log xe lim

    x!0+ex + qx

    eqx + xq log x:

    Esercizio 3. Sia t > 0. Determinare ` tale che limx!0

    log(cos xt)

    x2t= `. Dimostrare che la funzione

    f(x) =

    8>>>>>>>:alog(x+

    p1 + x2)

    x+ sin x; 1 x < 0;

    log(cosxt)

    x2t; 0 < x 1;

    e continua nel suo dominio per ogni valore di a 2 R. Posto poi f(0) = `, determinare a 2 R inmodo che f risulti continua in [1; 1].

    Esercizio 4. Determinare s > 0 in modo che la successione n !

    s1

    n+

    r1

    n

    nsammetta limite in

    R+.Esercizio 5. Calcolare

    limn!1

    1 +

    1

    n

    n+

    n3

    n!

    n

    rnn

    n!+

    npn

    n+

    n

    r(2n)n

    n!

    :

    N.B. Giusticare tutte le risposte!

  • Risoluzione

    Esercizio 1. Il predicato P(1) e vero, essendo (1 + i)(1 i) = 2. Supponiamo dunque che P(n)sia vero al passo n 1 e dimostriamo che anche P(n+ 1) sussiste. Infatti,

    (1 + i)n+1

    (1 i)n1 =(1 + i)n

    (1 i)n2 1 + i

    1 i = 2 in1 (1 + i)

    2

    2= 2 in1 i = 2 in;

    come desiderato.

    Esercizio 2. Per x!1

    f(x)

    8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

    ex

    eqx= e(1q)x ! 0; quando 1 < q < e;

    2ex

    eex= 2e(1e)x ! 0; quando q = e;

    qx

    eqx=

    qeq

    x ! 0; quando q > e:Mentre lim

    x!0+ex + qx

    eqx + xq log x= 2, in quanto lim

    x!0+xq log x = 0 per ogni q 2 R n f0g, e quindi in parti-

    colare per ogni q > 1.

    Esercizio 3. Per x! 0 abbiamo cosxt 1 x2t=2 per ogni t > 0 e log(1 + x) x. Pertanto, perx! 0

    log(cosxt)

    x2t log(1 x

    2t=2)

    x2t=2 12

    ! 1

    2:

    Quindi ` = 1=2.La funzione f , come composizione e divisione di funzioni continue, con denominatori che non

    si annullano, ove considerati, e certamente continua in [1; 1] n f0g per ogni a 2 R. Ora, sef(0) = 1=2, dobbiamo scegliere a in modo che anche il limite sinistro in 0 esista e sia 1=2. Perx! 0

    alog(x+

    p1 + x2)

    x+ sin x a

    2 log(1 + x)

    x! a

    2:

    Dunque deve essere a = 1, anche f sia continua in tutto [1; 1].

    Esercizio 4. Per n!1s1

    n+

    r1

    n=

    vuutr 1n

    r1

    n+ 1

    !sr

    1

    n= n1=4;

    quindi s = 1=4 e il valore del limite e 1.

    Esercizio 5. Per n!11 +

    1

    n

    n! e; n

    3

    n!! 0; n

    rnn

    n!! e; npn! 1; n

    r(2n)n

    n!! 2e:

  • Pertanto il limite richiesto per n!1 e1 +

    1

    n

    n+

    n3

    n!

    n

    rnn

    n!+

    npn

    n+

    n

    r(2n)n

    n!

    ! e3e

    =1

    3: