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Compiti d'Esame { A.A. 2011/2012

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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA

Facolta di Scienze MM. FF. e NN.

Corso di Analisi Matematica IC.d.L. Triennale in Matematica

I Esercitazione { 14 Novembre 2011

Esercizio 1. Dimostrare per induzione che

(1 + i)n

(1 i)n2 = 2 in1 per ogni n 2 N+:

Esercizio 2. Calcolare al variare di q > 1

limx!1

ex + qx

eqx + xq log xe lim

x!0+ex + qx

eqx + xq log x:

Esercizio 3. Sia t > 0. Determinare ` tale che limx!0

log(cos xt)

x2t= `. Dimostrare che la funzione

f(x) =

8>>>>>>>:alog(x+

p1 + x2)

x+ sin x; 1 x < 0;

log(cosxt)

x2t; 0 < x 1;

e continua nel suo dominio per ogni valore di a 2 R. Posto poi f(0) = `, determinare a 2 R inmodo che f risulti continua in [1; 1].

Esercizio 4. Determinare s > 0 in modo che la successione n !

s1

n+

r1

n

nsammetta limite in

R+.Esercizio 5. Calcolare

limn!1

1 +

1

n

n+

n3

n!

n

rnn

n!+

npn

n+

n

r(2n)n

n!

:

N.B. Giusticare tutte le risposte!

Risoluzione

Esercizio 1. Il predicato P(1) e vero, essendo (1 + i)(1 i) = 2. Supponiamo dunque che P(n)sia vero al passo n 1 e dimostriamo che anche P(n+ 1) sussiste. Infatti,

(1 + i)n+1

(1 i)n1 =(1 + i)n

(1 i)n2 1 + i

1 i = 2 in1 (1 + i)

2

2= 2 in1 i = 2 in;

come desiderato.

Esercizio 2. Per x!1

f(x)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ex

eqx= e(1q)x ! 0; quando 1 < q < e;

2ex

eex= 2e(1e)x ! 0; quando q = e;

qx

eqx=

qeq

x ! 0; quando q > e:Mentre lim

x!0+ex + qx

eqx + xq log x= 2, in quanto lim

x!0+xq log x = 0 per ogni q 2 R n f0g, e quindi in parti-

colare per ogni q > 1.

Esercizio 3. Per x! 0 abbiamo cosxt 1 x2t=2 per ogni t > 0 e log(1 + x) x. Pertanto, perx! 0

log(cosxt)

x2t log(1 x

2t=2)

x2t=2 12

! 1

2:

Quindi ` = 1=2.La funzione f , come composizione e divisione di funzioni continue, con denominatori che non

si annullano, ove considerati, e certamente continua in [1; 1] n f0g per ogni a 2 R. Ora, sef(0) = 1=2, dobbiamo scegliere a in modo che anche il limite sinistro in 0 esista e sia 1=2. Perx! 0

alog(x+

p1 + x2)

x+ sin x a

2 log(1 + x)

x! a

2:

Dunque deve essere a = 1, anche f sia continua in tutto [1; 1].

Esercizio 4. Per n!1s1

n+

r1

n=

vuutr 1n

r1

n+ 1

!sr

1

n= n1=4;

quindi s = 1=4 e il valore del limite e 1.

Esercizio 5. Per n!11 +

1

n

n! e; n

3

n!! 0; n

rnn

n!! e; npn! 1; n

r(2n)n

n!! 2e:

Pertanto il limite richiesto per n!1 e1 +

1

n

n+

n3

n!

n

rnn

n!+

npn

n+

n

r(2n)n

n!

! e3e

=1

3: