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Analisi probabilistica e valutazione dellaAnalisi probabilistica e valutazione della mano nel gioco del bridgemano nel gioco del bridge

Relazione finale inRelazione finale inStatistica e calcolo della probabilitàStatistica e calcolo della probabilità

Presentata da: Relatore: Chiar.mo ProfPresentata da: Relatore: Chiar.mo Prof

Michela Orlandi Maurizio BrizziMichela Orlandi Maurizio Brizzi Sessione IIISessione III

Anno accademico 2006-2007Anno accademico 2006-2007

PremessaPremessa Il gioco del bridge è uno dei giochi di carte più diffusi al Il gioco del bridge è uno dei giochi di carte più diffusi al

mondo.mondo. ((Conta oltre Conta oltre 2 milioni2 milioni di agonisti e di agonisti e 10 milioni10 milioni di appassionati, oltre l’1 per di appassionati, oltre l’1 per

mille dell’intera popolazione mondialemille dell’intera popolazione mondiale))

Il bridge si può definire un vero e proprio sport della mente:Il bridge si può definire un vero e proprio sport della mente: stimola i giovani alla sintesi e all’analisi ed è per gli anzianistimola i giovani alla sintesi e all’analisi ed è per gli anziani un ottimo esercizio mentale.un ottimo esercizio mentale.

In questa relazione viene effettuata un’analisi probabilistica In questa relazione viene effettuata un’analisi probabilistica del gioco del bridge, partendo dalle origini del bridge,del gioco del bridge, partendo dalle origini del bridge, le regole del gioco e il suo svolgimento.le regole del gioco e il suo svolgimento.

Cenni storiciCenni storici1500 - In Inghilterra si sviluppa il gioco a carte del Whist (nobile 1500 - In Inghilterra si sviluppa il gioco a carte del Whist (nobile e diretto antenato del bridge).e diretto antenato del bridge).

1742 - Sir Edmond Hoyle codifica il Whist.1742 - Sir Edmond Hoyle codifica il Whist.

1873 - A Buyukdere, sul Bosforo, in Turchia, si sviluppa il1873 - A Buyukdere, sul Bosforo, in Turchia, si sviluppa il Whist-Bridge, grazie al napoletano Edoardo Graziani.Whist-Bridge, grazie al napoletano Edoardo Graziani.

Nello stesso periodo in Medio Oriente si diffonde ilNello stesso periodo in Medio Oriente si diffonde il “ “Biritch”, un gioco analogo di origini russe.Biritch”, un gioco analogo di origini russe.

1904 - Nasce “l’Auction Bridge”, nel quale viene introdotta la 1904 - Nasce “l’Auction Bridge”, nel quale viene introdotta la dichiarazione e l’uso dell’atout .dichiarazione e l’uso dell’atout .

1918- Nasce in Francia il Plafond Bridge.1918- Nasce in Francia il Plafond Bridge.

1925- Grazie a Harold Stirling Vanderbilt vengono sancite le 1925- Grazie a Harold Stirling Vanderbilt vengono sancite le regole del Contract Bridge.regole del Contract Bridge.

1930- Negli Stati Uniti Ely Culbertson contribuisce allo1930- Negli Stati Uniti Ely Culbertson contribuisce allo sviluppo straordinario del gioco e pubblica il “Contractsviluppo straordinario del gioco e pubblica il “Contract BridgeBluebook”che vende oltre mezzo milione di copie.BridgeBluebook”che vende oltre mezzo milione di copie.

1940- Nasce in Italia il bridge moderno con Eugenio Chiaradia,1940- Nasce in Italia il bridge moderno con Eugenio Chiaradia, che rivoluziona il gioco con il “Fiori napoletano”.che rivoluziona il gioco con il “Fiori napoletano”.

1956- Inizia il ventennio di indiscusso successo mondiale1956- Inizia il ventennio di indiscusso successo mondiale da parte della Squadra Nazionale Italiana di bridge,da parte della Squadra Nazionale Italiana di bridge, denominata Blue Team.denominata Blue Team.

Regole del gioco e il suo svolgimentoRegole del gioco e il suo svolgimento Il bridge si gioca in 4 giocatori, con un mazzo di 52 carteIl bridge si gioca in 4 giocatori, con un mazzo di 52 carte francesi, in due coppe contrapposte denominate linee,francesi, in due coppe contrapposte denominate linee, Nord-Sud, Est-OvestNord-Sud, Est-Ovest..

Le carte hanno valore decrescente (A R D F ……4 3 2).Le carte hanno valore decrescente (A R D F ……4 3 2).

Il rango dei colori o semi è in ordine decrescente, Picche e Il rango dei colori o semi è in ordine decrescente, Picche e Cuori (nobili), Quadri e Fiori (minori).Cuori (nobili), Quadri e Fiori (minori).

Il gioco preceduto dalla distribuzione delle carte,Il gioco preceduto dalla distribuzione delle carte, si articola in due fasi: la licitazione o asta e il gioco della carta.si articola in due fasi: la licitazione o asta e il gioco della carta.

Lo scopo del gioco è di determinare, attraverso laLo scopo del gioco è di determinare, attraverso la licitazione, cui partecipano i 4 giocatori, il numero di preselicitazione, cui partecipano i 4 giocatori, il numero di prese “ “contratto” che una delle coppie (quella che ha vinto l’asta) sicontratto” che una delle coppie (quella che ha vinto l’asta) si impegna a realizzare attraverso il gioco della carta.impegna a realizzare attraverso il gioco della carta.

Per poter licitare si usano dei sistemi licitativiPer poter licitare si usano dei sistemi licitativi convenzionali che apportano il maggior numero diconvenzionali che apportano il maggior numero di informazioni sulle carte. Ogni sistema si basa sullainformazioni sulle carte. Ogni sistema si basa sulla valutazione della mano e, per valutare le carte, vienevalutazione della mano e, per valutare le carte, viene attribuito un valore agli onori, rispettivamente attribuito un valore agli onori, rispettivamente Asso=4, Re=3, Donna=2, Fante=1.Asso=4, Re=3, Donna=2, Fante=1.

Il mazziere o dichiarante, inizia la dichiarazione e dichiara Il mazziere o dichiarante, inizia la dichiarazione e dichiara se possiede almeno 12 punti onori .se possiede almeno 12 punti onori .

Analisi probabilisticaAnalisi probabilistica Per eseguire il calcolo della probabilità nel bridge,Per eseguire il calcolo della probabilità nel bridge, bisogna distinguere tra probabilità a priori e probabilitàbisogna distinguere tra probabilità a priori e probabilità a posteriori.a posteriori. Probabilità a priori nelle distribuzioniProbabilità a priori nelle distribuzioni, che dipende da quante , che dipende da quante

mani possibili si possono presentare ad ogni giocatore con lemani possibili si possono presentare ad ogni giocatore con le tredici carte distribuite e da quanti mani possibili si possonotredici carte distribuite e da quanti mani possibili si possono formare con una determinata distribuzione dei vari semiformare con una determinata distribuzione dei vari semi delle carte. delle carte. Con la formula del calcolo combinatorio n!/k!(n-k)!, Con la formula del calcolo combinatorio n!/k!(n-k)!,

abbiamo calcolato come segue: abbiamo calcolato come segue: 52!/(13! 52!/(13! ·· 39!) = (52 39!) = (52··51…51…··40)/(1340)/(13··12….212….2··1) 1) ~ 635 mld.~ 635 mld. numero che rappresenta le mani possibili che si possono numero che rappresenta le mani possibili che si possono

presentare al primo giocatore.presentare al primo giocatore.

Il numero delle mani di bridge si possono avere, con una Il numero delle mani di bridge si possono avere, con una determinata distribuzione (ad esempio la 5.4.3.1), le possiamo determinata distribuzione (ad esempio la 5.4.3.1), le possiamo calcolare con il calcolo combinatorio.calcolare con il calcolo combinatorio.

Con la già citata formula avremo quindi:Con la già citata formula avremo quindi:

1313CC55xx1313CC44xx1313CC33xx1313CC11x24=82.111.732.560x24=82.111.732.560

Dividendo questo numero per tutte le mani che si possono Dividendo questo numero per tutte le mani che si possono verificare ad un giocatore (635.013.559.600) si ottieneverificare ad un giocatore (635.013.559.600) si ottiene

0,1293 (pari a 12,93%), che è la probabilità di ricevere una 0,1293 (pari a 12,93%), che è la probabilità di ricevere una distribuzione (5.4.3.1).distribuzione (5.4.3.1).

Qui di seguito vediamo la tabella delle distribuzioni a priori.Qui di seguito vediamo la tabella delle distribuzioni a priori.

DistribuzioneDistribuzione ProbabilitàProbabilità

4-4-3-24-4-3-2 21,5521,55

5-3-3-25-3-3-2 15,5215,52

5-4-3-15-4-3-1 12,9312,93

5-4-2-25-4-2-2 10,5810,58

4-3-3-34-3-3-3 10,5410,54

6-3-2-26-3-2-2 5,645,64

6-4-2-16-4-2-1 4,704,70

6-3-3-16-3-3-1 3,453,45

5-5-2-15-5-2-1 3,173,17

4-4-4-14-4-4-1 2,992,99

7-3-2-17-3-2-1 1,881,88

6-4-3-06-4-3-0 1,331,33

5-4-4-05-4-4-0 1,241,24

5-5-3-05-5-3-0 0,900,90

6-5-1-16-5-1-1 0,710,71

6-5-2-06-5-2-0 0,650,65

7-2-2-27-2-2-2 0,510,51

7-4-1-17-4-1-1 0,390,39

7-4-2-07-4-2-0 0,360,36

7-3-3-07-3-3-0 0,270,27

0

5

10

15

20

25

Probabilità

4-4-3-25-3-3-25-4-3-15-4-2-24-3-3-36-3-2-26-4-2-16-3-3-15-5-2-14-4-4-17-3-2-16-4-3-05-4-4-05-5-3-06-5-1-16-5-2-07-2-2-27-4-1-17-4-2-07-3-3-0

Carte Carte mancantimancanti

Divisioni Divisioni dei restidei resti

ProbabilitàProbabilità%%

Numero diNumero dicombina-combina-zioni diversezioni diverse

Probabilità di ogni Probabilità di ogni combinazione %combinazione %

22 1-11-12-0 0-22-0 0-2

52,0052,0048,0048,00

222(1+1)2(1+1)

26,0026,0024,0024,00

33 2-1 1-22-1 1-23-0 0-33-0 0-3

78,0078,0022,0022,00

6(3+3)6(3+3)2(1+1)2(1+1)

13,0013,0011,0011,00

44 2-22-23-1 1-33-1 1-34-0 0-44-0 0-4

40,7040,7049.7449.749,569,56

668(4+4)8(4+4)2(1+1)2(1+1)

6,786,786,226,224,784,78

55 3-2 2-33-2 2-34-1 1-44-1 1-45-0 0-55-0 0-5

67,8367,8328,2628,263,913,91

20(10+10)20(10+10)10(5+5)10(5+5)2(1+1)2(1+1)

3,393,392,832,831,961,96

66 3-33-34-2 2-44-2 2-45-1 1-55-1 1-56-0 0-66-0 0-6

35,5335,5348,4548,4514,5314,531,491,49

202030(15+15)30(15+15)12(6+6)12(6+6)2(1+1)2(1+1)

1,781,781,611,611,211,210,750,75

77 4-3 3-44-3 3-45-2 2-55-2 2-56-1 1-66-1 1-67-0 0-77-0 0-7

62,1862,1830,5230,526,786,780,520,52

70(35+35)70(35+35)42(21+21)42(21+21)14(7+7)14(7+7)2(1+1)2(1+1)

0,890,890,730,730,480,480,260,26

88 4-44-45-3 3-55-3 3-56-2 2-66-2 2-67-1 1-77-1 1-78-0 0-88-0 0-8

32,7232,7247,1247,1217,1417,142,862,860,160,16

7070112(56+56)112(56+56)56(28+28)56(28+28)16(8+8)16(8+8)2(1+1)2(1+1)

0,470,470,420,420,310,310,180,180,080,08

Probabilità di divisione dei resti (carte rimanenti)a priori

Un tipico problema del bridge è prevedere come sono distribuite tra le due linee di gioco le carte di un certo seme (colore). Per esempio se il dichiarante e il morto hanno complessivamente 7 Picche nelle loro due mani è importante sapere come sono divise le carte restanti di quel colore, perchè ciò è la chiave per giocare correttamente. Possonoverificarsi 4 situazioni distinte:6-0,5-1,4-2,3-3.Per calcolare la probabilità delladistribuzione dei resti di un colore per esempio la 3-3 combiniamo modi in cui uno degli avversari può avere 3 picche moltiplicato modi in cui le rimanenti carte della sua mano possono essere raggruppate e dividendolo per il numero totale delle mani possibili = 10.400.600 e da qui troviamo la percentuale della probabilità cioè il 35,53%

36

1020

1326

Carte degliavversari

Probabilità di

trovare un onore

singolo%

Probabilità di trovare un onore secondo

%

Probabilità di trovare un onore terzo

%

2 52,00 48,00 ------

3 26,00 52,00 22,00

4 12,44 40,70 37,30

5 5,66 27,12 40,71

6 2,42 16,15 35,53

7 0,96 8,76 26.90

8 0,36 4,28 17,67

Questa nuova tabella permette a sua volta di formulare una regola generale per quelle situazioni in cui si deve scegliere se battere o effettuare un sorpasso. Occorre tentare il sorpasso tutte le volte che la probabilità di battere un onore avversario è minore del 50%, dato che il sorpasso ha una probabilità del 50% di riuscire o fallire.

Quando gli avversari hanno:

2 carte battere poiché la probabilità è del 52% che il Re cada;

3 o 4 carte sorpasso al Re ma non alla Donna o al Fante;

5 o 6 carte sorpasso al Re o alla Donna ma non al Fante;

7 o 8 carte sorpasso al Re , Donna, Fante

Per quanto riguarda il Per quanto riguarda il calcolo delle probabilità a posterioricalcolo delle probabilità a posteriori,, un aiuto è rappresentato anche dal principio di esclusioneun aiuto è rappresentato anche dal principio di esclusione che consiste nell’eliminazione della divisione dei resti, cheche consiste nell’eliminazione della divisione dei resti, che non sono più possibili alla luce delle carte giocate dagli avversari,non sono più possibili alla luce delle carte giocate dagli avversari, (cioè dopo uno o due giri di risposta su un colore(cioè dopo uno o due giri di risposta su un colore);); occorre occorre pertanto ricalcolare le probabilità della divisione dei restipertanto ricalcolare le probabilità della divisione dei resti a priori dopo ogni presa e confrontare i valori a priori relativia priori dopo ogni presa e confrontare i valori a priori relativi alle divisioni ancora possibili.alle divisioni ancora possibili. Supponiamo di avere un colore così disposto :Supponiamo di avere un colore così disposto : A R D 5 3 manoA R D 5 3 mano 4 2 morto 4 2 morto battiamo Asso e Re ed entrambi gli avversari rispondonobattiamo Asso e Re ed entrambi gli avversari rispondono a colore e decidiamo di calcolare la probabilità che le duea colore e decidiamo di calcolare la probabilità che le due carte rimaste cadano entrambe sotto la Donna.carte rimaste cadano entrambe sotto la Donna.

Per calcolare questa probabilità dobbiamo fare riferimento Per calcolare questa probabilità dobbiamo fare riferimento alla tabella della divisione dei resti in corrispondenza di 6 carte alla tabella della divisione dei resti in corrispondenza di 6 carte mancanti qui di seguito riprodottamancanti qui di seguito riprodotta

66 3-33-34-2 2-44-2 2-45-1 1-55-1 1-56-0 0-66-0 0-6

35,5335,5348,4548,4514,5314,531,491,49

Se entrambi gli avversari hanno risposto due volte, le distribuzioni 6-0 e 5-1 possono essere eliminate in quanto non più possibili, rimanendo in gioco solo le distribuzioni 3-3 e 4-2, con probabilità a priori rispettivamente 35,53 e 48,45 e adesso calcolate con la proporzione abbiamo le seguenti probabilità a posteriori:

per la divisione 3-3: 35,53/(35,53+48,45)=42,3%

per la divisione 4-2: 48,45/(35,53+48,45)= 57,7% .

La percentuale della divisione 3-3 è aumentata ma non può competere con la probabilità del 50% di un sorpasso.

ConclusioniConclusioni Nel gioco del bridge l’applicazione del calcolo della Nel gioco del bridge l’applicazione del calcolo della probabilità è fondamentale sia per lo studio e la pratica delprobabilità è fondamentale sia per lo studio e la pratica del sistema licitativo tra le coppie, sia per le strategie di giocosistema licitativo tra le coppie, sia per le strategie di gioco della carta. della carta. Gli studiosi di sistemi licitativi, per esempio, sapendo la Gli studiosi di sistemi licitativi, per esempio, sapendo la

probabilità del verificarsi di una mano 4-4-4-1 equivalente al probabilità del verificarsi di una mano 4-4-4-1 equivalente al 2,99% con 19.007.345.500 mani possibili, quasi certamente 2,99% con 19.007.345.500 mani possibili, quasi certamente prevedranno una licita apposita per questa distribuzioneprevedranno una licita apposita per questa distribuzione

(mano tricolore).(mano tricolore). Per quando riguarda il gioco della carta abbiamo notato Per quando riguarda il gioco della carta abbiamo notato

l’importanza del calcolo della probabilità a priori e posteriori l’importanza del calcolo della probabilità a priori e posteriori che consente una migliore valutazione della mano e di creare che consente una migliore valutazione della mano e di creare un piano di gioco per soddisfare il contratto dichiarato.un piano di gioco per soddisfare il contratto dichiarato.

Conclusioni 2Conclusioni 2 Il gioco del bridge è complesso e ricco di sfaccettature e meriterebbe Il gioco del bridge è complesso e ricco di sfaccettature e meriterebbe

un’analisi probabilistica più approfondita, quindi questa relazione non si un’analisi probabilistica più approfondita, quindi questa relazione non si esaurisce certo qui ma potrebbe essere esaurisce certo qui ma potrebbe essere

un punto di partenza per ulteriori studi e ricerche.un punto di partenza per ulteriori studi e ricerche.

Ho intervistato matematici e bridgisti come Michele Impedovo (docente Ho intervistato matematici e bridgisti come Michele Impedovo (docente alla Bocconi), Carlo Mantegazza (ricercatore alla Normale di Pisa), alla Bocconi), Carlo Mantegazza (ricercatore alla Normale di Pisa), Norbero Bocchi, Luigi Salemi, Marco Troiani e tutti sono concordi Norbero Bocchi, Luigi Salemi, Marco Troiani e tutti sono concordi dell’importanza della probabilità nel gioco del bridge per avere una dell’importanza della probabilità nel gioco del bridge per avere una maggior chiarezza e visione del gioco.maggior chiarezza e visione del gioco.

Spero che questa relazione sia un motivo di discussione e di chiarimenti Spero che questa relazione sia un motivo di discussione e di chiarimenti e ciò in parte è gia avvenuto nei circoli bridge da me frequentati.e ciò in parte è gia avvenuto nei circoli bridge da me frequentati.