Algoritmo programmazione manutenzione

X CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000

X CONVEGNONAZIONALE

S.I.I.V.

UN ALGORITMO PER LA PROGRAMMAZIONEDELLA MANUTENZIONE AUTOSTRADALE

Annalisa BoniniDISTART - Dipartimento di Ingegneria delle Strutture, dei Trasporti, delle Acque,

del Rilevamento e del TerritorioUniversità di Bologna – Viale Risorgimento 2 – 40136 – Bologna – Italy

Tel: +39.051.2093522Fax: +39.051.2093527

E-mail: [email protected]

X CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26-28 OTTOBRE 2000 1

UN ALGORITMO PER LA PROGRAMMAZIONE DELLAMANUTENZIONE AUTOSTRADALE

ANNALISA BONINI – DISTART - Università di Bologna

SOMMARIOLe problematiche inerenti la manutenzione stradale sono oggetto di continui studi edapprofondimenti e ricerche da parte degli studiosi del settore. La crescente domanda dimobilità, connessa allo sviluppo economico e produttivo delle nazioni, ha determinatoun notevole incremento di domanda di risorse necessarie, sia per la costruzione sia perla manutenzione del sistema di infrastrutture.Le risorse a disposizione devono essere dunque impiegate in maniera efficiente,soprattutto quando sono limitate rispetto al fabbisogno. Ogni intervento dimanutenzione costituisce infatti un impegno finanziario per il gestore dell’infrastruttura,che spesso si trova costretto a programmare la manutenzione in condizioni di vincoli dibudget. Nella memoria presentata si descrive un algoritmo per la programmazione dellamanutenzione a livello di rete autostradale. Il modello è stato sviluppato in base aiprincipi della teoria probabilistica e delle tecniche di programmazione lineare.Mediante le tecniche della programmazione lineare, il problema di pianificazione dellamanutenzione è stato tradotto in un problema di ottimizzazione, studiando duealternative: la minimizzazione dei costi e la massimizzazione dei benefici.Il modello è stato sviluppato sulla base della banca dati delle pavimentazioni e dellemanutenzioni della Autostrada A21 “Brescia-Cremona-Piacenza”.L’obiettivo principale del sistema è di determinare l’azione di manutenzione piùopportuna per ogni categoria di pavimentazione della rete, in ciascuno stato diammaloramento, in corrispondenza di ogni anno del periodo di programmazione.

ABSTRACTThe problems concerning with the road maintenance are subject to continuous studies,deepening and research. The growing request of mobility has caused a large incrementof the means’s needs for road system construction and maintenance.Resources must be used efficiently, especially when they are less than the needs. Everymaintenance action is a financial charge for the road manager that often stages themaintenance with tied-up funds. In this paper is described an algorithm for the planningof maintenance on highway.The model was developed on the basis of probabilistic theory and of linearprogramming techniques. With those techniques, the maintenance planning problemwas reduced to an optimisation one, with two alternatives: the minimisation of costs andthe maximisation of benefits.The pavements on theHighway A21 “Brescia-Cremona-Piacenza” were used to develop the model.The main goal of the system is to determine the most proper maintenance action foreach group of paving of the network, in whatever condition of damage, in every year ofthe staged period.


1. PREMESSALo sviluppo socio-economico è da sempre legato alla mobilità, che rappresenta uno

tra i più importanti fattori d’incentivazione dello sviluppo dell’economia.A queste esigenze nel nostro Paese si è dato per lo più risposta con le infrastrutture

stradali ed autostradali, trascurando altre modalità di traffico.In questi ultimi dieci anni si è verificato in Italia un forte incremento del traffico

veicolare; il traffico pesante in particolare è aumentato del 40 %, determinando unanotevole aggressione alle pavimentazioni stradali, sia in termini di capacità portante chedi caratteristiche funzionali, e quindi la necessità di interventi periodici sullapavimentazione [1].

Allo stato attuale non è più pensabile affrontare i problemi della manutenzionemediante esami qualitativi e soggettivi delle pavimentazioni ma, piuttosto, devonoessere risolti con un metodo scientifico che permetta di conciliare le esigenze diintervento con le risorse finanziarie disponibili. Considerato infatti un certo “budget”per la manutenzione, si pone il problema dell’ottimizzazione della spesa, cioè seconviene intervenire su poche strade assegnando loro una lunga vita utile oppureintervenire su molte strade ottenendo una vita utile più limitata. Generalmente èquest’ultima la soluzione adottata dagli enti gestori delle strade in quanto ritenutaottimale sia sotto l’aspetto gestionale che politico.

L’aspetto gestionale consiste nel porre in tempi brevi un elevato numero di strade inbuone condizioni di percorribilità, assicurando così maggiore sicurezza di circolazione evelocizzazione dei percorsi. L’aspetto politico è quello di rendere percettibile all’utenzaun miglioramento complessivo di tutta la rete, in modo da ottenere il massimo consenso.

2. LA PROGRAMMAZIONE DELLA MANUTENZIONE DI UNA RETEAUTOSTRADALE

Il mantenimento di una rete autostradale in condizioni soddisfacenti richiede unaspecifica programmazione della riabilitazione delle pavimentazioni deteriorate [2].La selezione delle strategie di manutenzione per le differenti categorie dipavimentazioni che costituiscono la rete stradale è influenzata da un elevato numero difattori, tra i quali i più rilevanti sono:• le condizioni della pavimentazione;• i volumi di traffico;• le condizioni ambientali;• gli standard di prestazione richiesti;• le limitazioni di budget.

I modelli di seguito discussi sviluppano una procedura per la programmazione el’ottimizzazione delle risorse economiche destinate alla manutenzione dellepavimentazioni a livello di rete autostradale.

In particolare il modello è stato definito per le pavimentazioni delle corsie di Marciadella Autostrada A21 Brescia-Cemona-Piacenza, per le quali erano disponibili i dati ditraffico e lo stato delle sovrastrutture stradali.

L’obiettivo principale del modello è di determinare l’azione di manutenzione piùopportuna per ogni categoria di pavimentazione della rete, in ciascuno stato diammaloramento, in corrispondenza di ogni anno di un prefissato periodo diprogrammazione.

Per lo sviluppo dei modelli di ottimizzazione si sono considerati due differentiapprocci, la minimizzazione dei costi e la massimizzazione dei benefici, che


rispettivamente permettono di determinare: le strategie di manutenzione che permettono di raggiungere gli obiettivi prestazionali

richiesti al minimo costo; le massime prestazioni che possono essere raggiunte con un prefissato budget.

Le soluzioni fornite dai modelli permettono di rispondere alle seguenti domande: quale percentuale delle rete, per ciascuna famiglia di pavimentazioni, si troverà nei

vari stati di condizione all’inizio di ciascun anno di programmazione; qual è l’azione di manutenzione caratterizzata dal maggiore rapporto benefici/costi

per ciascuna tratta di pavimentazione; qual è il costo atteso per le azioni di manutenzione per ciascun anno del periodo di

programmazione.Trattandosi di un sistema di ottimizzazione sviluppato a livello di rete, le risposte del

modello sono costituite da percentuali di rete da sottoporre agli specifici interventi presiin esame, in funzione dello stato delle pavimentazioni, per ciascun anno del periodo diprogrammazione.

3. LO STUDIO DEL MODELLOLa definizione del modello ha comportato lo studio dei seguenti punti fondamentali:

selezione dei parametri preposti alla descrizione delle condizioni e delle prestazionidella pavimentazione e definizione degli “stati di condizione”;

individuazione dei possibili interventi di manutenzione; suddivisione della rete in famiglie di pavimentazioni; sviluppo di modelli di previsione del decadimento delle caratteristiche delle

pavimentazioni; sviluppo del modello di ottimizzazione.

3.1 I parametri che descrivono lo stato della pavimentazioneLa scelta delle variabili di prestazione rappresenta un momento molto importante

nell’ambito della costituzione di un sistema di gestione della manutenzione. Infatti sullabase di tali variabili viene stabilità “l’accettabilità” di una determinata pavimentazione.

Per il modello dedicato alla A21 come variabili di prestazione si sono sceltel’aderenza e la regolarità, in quanto sono le caratteristiche superficiali di primariaimportanza per la definizione del livello di sicurezza su strada.

Infatti alle caratteristiche superficiali di una pavimentazione stradale è affidato ilcompito principale di mantenere il veicolo sulla traiettoria voluta dal guidatore e digarantire la frenatura, sia in condizioni di asciutto che di bagnato [2].

Nel caso in oggetto, la scelta di basare le scelte decisionali di programmazionelimitatamente ai parametri di aderenza e di regolarità è stata condizionata dalladisponibilità di dati in termini di rilievi di traffico e delle condizioni dellapavimentazione; non è stato possibile prendere in considerazione anche la portanzadelle pavimentazioni, in quanto i rilievi effettuati non hanno permesso di ricavare, allastregua di quanto fatto per l’aderenza e la regolarità, alcuna significativa ed attendibilecorrelazione di tipo empirico tra il numero di assi e i valori dei moduli di portanza.

Lo stato di condizione per una pavimentazione è stato dunque descritto dalla coppiadi parametri aderenza-regolarità: individuando per l’aderenza 4 possibili stati, mentreper la regolarità 3, complessivamente si ottengono per la pavimentazione 12 possibilistati di condizioni (tabella1).


STATO VALORI DI CAT VALORI DI IRI0 CAT≥65 IRI ≤ 1.51 55≤CAT<65 IRI ≤ 1.52 45≤CAT<55 IRI ≤ 1.53 CAT<45 IRI ≤ 1.54 CAT≥65 1.5 < IRI ≤2.55 55≤CAT<65 1.5 < IRI ≤2.56 45≤CAT<55 1.5 < IRI ≤2.57 CAT<45 1.5 < IRI ≤2.58 CAT≥65 IRI > 2.59 55≤CAT<65 IRI > 2.510 45≤CAT<55 IRI > 2.511 CAT<45 IRI > 2.5

Tabella 1 - Definizione degli stati di condizione

3.2 Individuazione dei possibili interventi di manutenzioneUn aspetto molto importante nella definizione dei modelli è dato dalle alternative di

manutenzione prese in considerazione.Il modello sviluppato permette di contemplare un numero indefinito di interventi,

anche se nel caso in oggetto ci si è limitati a tre possibili azioni di manutenzionecontrassegnato dalla lettera k: la condizione di “non intervento (k=0) e due interventi dimanutenzione vera e propria, rispettivamente denominati “leggero”(k=1) e“medio”(k=2), descritti in [3]. Ciò è scaturito da un esigenza di semplificazione delmodello, in quanto non è consigliabile considerare trattamenti tra loro più differenziatiper tecniche di realizzazione che non per risultati ottenuti, in quanto indistinguibili dalmodello.

Per ogni intervento, mediante una matrice si sono rappresentati gli effetti su ciascunaprestazione della pavimentazione presa in considerazione (aderenza e regolarità). Adesempio, nel modello sviluppato l’intervento contrassegnato con k=1 consiste nellafresatura e nel rifacimento dello strato di usura in conglomerato bituminoso modificato,con spessore finito di 4 cm.

Si è ipotizzato che a seguito di questo intervento, indipendentemente dalle inizialicondizioni di aderenza, il 95% delle pavimentazioni presenti il parametro di aderenzaCAT maggiore di 65 ed il rimanente 5% abbia CAT compreso tra 55 e 65.

Questa ipotesi viene rappresentata mediante la matrice in tabella 2.

CAT FIN.>65

CAT FIN.55<CAT<65

CAT FIN.45<CAT<55

CAT FIN.CAT<45

CAT INIZ. > 65 0.95 0.05 0.00 0.0055 < CAT INIZ. < 65 0.95 0.05 0.00 0.0045 < CAT INIZ. < 55 0.95 0.05 0.00 0.00

CAT INIZ. <45 0.95 0.05 0.00 0.00

Tabella 2 – La matrice di transizione rappresentativa dei benefici dell’intervento dimanutenzione k=1 sull’aderenza


3.3 Concetto di accettabilità e di beneficio associato agli stati di condizioneDopo avere definito i parametri su cui basare la valutazione delle prestazioni della

pavimentazione e il concetto di stato di condizione, descritto dalla coppia (CAT, IRI), èstato necessario stabilire in corrispondenza di quali stati si ritiene che le prestazionidelle pavimentazioni siano accettabili (A), mediamente accettabili (M) e inaccettabili(I).

È evidente che, a seconda del punto di vista da cui si osserva un problema digestione, derivano soluzioni differenti.

Si è inoltre ipotizzato di assegnare ad ogni stato di condizione un valore numerico,chiamato “ beneficio”, che descrive quanto lo stato di condizione è desiderabile, convalore compreso nell'intervallo [0.001;1] (tabella 3). Le condizioni di accettabilità sonostate assegnate con riferimento ai valori riportati nel Capitolato Autostrade, secondo icriteri illustrati in [3].

STATO CAT IRI Accettabilità Beneficio0 CAT≥65 IRI ≤ 1.5 A 1.0001 55≤CAT<65 IRI ≤ 1.5 A 0.8332 45≤CAT<55 IRI ≤ 1.5 M 0.7503 CAT<45 IRI ≤ 1.5 I 0.6674 CAT≥65 1.5 < IRI ≤2.5 A 0.5835 55≤CAT<65 1.5 < IRI ≤2.5 A 0.5006 45≤CAT<55 1.5 < IRI ≤2.5 M 0.5007 CAT<45 1.5 < IRI ≤2.5 I 0.4178 CAT≥65 IRI > 2.5 A 0.3339 55≤CAT<65 IRI > 2.5 M 0.25010 45≤CAT<55 IRI > 2.5 I 0.16711 CAT<45 IRI > 2.5 I 0.001

Tabella 3 - Assegnazione dell’accettabilità e del beneficio ad ogni stato di condizione

3.4 Lo sviluppo di modelli probabilistici di previsione del decadimento dellecaratteristiche delle pavimentazioni

La pavimentazione perde progressivamente nel tempo la propria funzionalità sottol’effetto del traffico e delle condizioni ambientali.

L’efficacia di un sistema finalizzato alla gestione della manutenzione risiedenell’abilità di predire l’evoluzione delle condizioni della pavimentazione nel tempo, incorrispondenza delle possibili alternative di manutenzione ordinaria e straordinaria [4].

I modelli di previsione sono principalmente distinguibili in due categorie: modellideterministici e probabilistici.

I modelli deterministici, che consistono in relazioni matematiche tra i deterioramentifunzionali e strutturali (ad esempio l’indice PSI , la regolarità o il grado di fessurazione)e le variabili indipendenti (sia strutturali che ambientali), forniscono un singolo valoreper il parametro di deterioramento previsto, a partire da ogni gruppo di valori per levariabili indipendenti (figura 1), ma tali variabili possono essere affette da errore.

Per esempio il numero cumulativo di assi standard equivalenti ad un asse diriferimento (ESA) previsto in un certo periodo di tempo potrebbe, nella realtà, nonessere uguale a quello effettivamente applicato alla pavimentazione, per esempio a


causa di una imprevisto aumento del volume di traffico o della percentuale di mezzipesanti. Dunque i modelli di tipo deterministico risultano inadeguati in quantoimprecisi.

Figura 1 - Deterioramento della pavimentazione rappresentato mediante modellideterministici

I modelli di previsione probabilistici, che si esplicano mediante Matrici diTransizione, sono invece costruiti sulla base di una grande quantità di osservazionidelle pavimentazioni oppure sono sviluppati sull’assunto che il deterioramento dellecaratteristiche funzionali e strutturali delle pavimentazioni nel tempo sia assimilabile adun processo di transizione di tipo semi-Markoviano, detto anche Markoviano nonomogeneo [5],[6]. Tale assunto trova ragione nel fatto che il processo di transizione èconsiderato stazionario, dunque omogeneo, su determinati intervalli di tempo,caratterizzati da traffico e condizioni ambientali costanti. Tale processo di transizionepermette di tenere conto delle variazioni di traffico.

La teoria di Markov, applicata alle pavimentazioni stradali, si basa sull’assunto chela probabilità che lo stato di condizione di una pavimentazione cambi lungo un certoperiodo temporale, dipende solamente dal suo stato attuale. Gli stati di condizione sonointesi come intervalli di prestazione, come definiti in Par.3.1.

Per la definizione del modello di tipo probabilistico si indica con “psij(t)” la

probabilità che una pavimentazione, appartenente ad una generica famiglia “s”, nellostato iniziale i-esimo si deteriori giungendo allo stato j-esimo durante il periodo t.

Il procedimento è dunque basato sulla determinazione delle probabilità associate alletransizioni tra stati di condizione della pavimentazione, a partire da ciascuno statoiniziale, nell’arco di un ciclo temporale, che può essere un periodo di uno o più anni, incui si considerano costanti alcune variabili quali gli effetti climatici ed i carichi ditraffico.

Le probabilità di transizione sono esplicitate in una matrice probabilistica ditransizione (tabella 4). La prima colonna di sinistra rappresenta gli stati all’inizio delperiodo. Procedendo sulla riga, in corrispondenza delle colonna successive si leggono leprobabilità che la pavimentazione, a partire da un generico stato, ha di trovarsi nellostesso stato (2a colonna) o di passare a stati successivi ed indicativi di un peggioramentodella pavimentazione, alla fine del periodo t.

Attraverso le matrici di transizione è possibile modellare anche il deterioramentodelle pavimentazione sottoposte ad intervento di manutenzione, per cui in generale unamatrice di transizione è contemporaneamente riferita ad una specifica famiglia dipavimentazioni, al parametro di condizione, ad un anno del periodo di programmazione,in quanto si suppone che i carichi di traffico siano in progressivo aumento, e ad untrattamento di manutenzione, compresa la situazione di non intervento.


Stato 0 1 2 … n

0 P00 P10 P12 … P0n

1 P10 P11 P12 … P1n

2 P20 P11 P12 … P2n

… … … … … …

n Pn0 Pn1 Pn2 … Pnn

Tabella 4 – Rappresentazione di una generica matrice di transizione

3.5 Un procedimento per la conversione dai modelli deterministici ai probabilisticiDi seguito si illustra il procedimento impiegato per definire le matrici di transizione,

cioè per calcolare le pij(t), a partire da variabili inizialmente espresse come risposta diun modello deterministico.

Ipotizzando di trattare una sola famiglia di pavimentazioni, si definiscono le seguentigrandezze [7], che si suppongono variabili con distribuzione normale:

- Nt : traffico cumulativo in corrispondenza dell’anno t, espresso in assi standard (ESA);- pNt(N) : funzione di densità di probabilità del traffico cumulativo, espresso in assistandard (ESA) all’anno t;- Nij(N) : numero medio di assi standard equivalenti (ESA) che la pavimentazioni dellafamiglia può sopportare prima di passare dallo stato di condizione i allo stato j;- pNij(N): funzione di densità di probabilità di Nij.

Figura 2 – Determinazione delle probabilità di transizione pij nel caso che la variabile Nijsia costante o di origine deterministica

Se Nij sono numeri di origine deterministica o costanti, allora le probabilità ditransizione dallo stato i a quello j [pij(t)], sono le aree sottese dalla funzione di densitàdel traffico cumulativo pNt(N) di figura 2.

Statoattuale

Stato futuro

pNt(N)

pNt(N) pNi,i+1(N)

pNi,i(N) pNi,i+2(N)

Ni,i Ni,i+1


Tuttavia Nij sono in genere variabili casuali con densità di probabilità pNij(N), per cui

le pij(t) si ottengono come funzione sia di pNij(N) che di pNt(N), come evidenziatodall’area tratteggiata in figura 3.

Figura 3 - Determinazione delle probabilità di transizione pij nel caso che la variabile Nijsia di tipo probabilistico

Tuttavia Nij sono in genere variabili casuali con densità di probabilità pNij(N), per cui le

pij(t) si ottengono come funzione sia di pNij(N) che di pNt(N), come evidenziato dall’areatratteggiata in figura 3.

=

)(...)()(............

)(...)()()(...)()(

)(

11,111,110,11

11,11,10,1

11,01,00,0

tptptp

tptptptptptp

tP

sss

sss

sss

s

(1)

Complessivamente si ottiene la matrice delle probabilità di transizione (1), relativa aldeterioramento senza intervento di manutenzione, riferita ad uno specifico annocaratterizzato dal traffico cumulativo Nt.

L’essenza del modello probabilistico sviluppato è raffigurata in figura 4: la curva cherappresenta il decadimento delle prestazioni viene associata al numero di ESA, descrittiin termini probabilistici mediante una successione di distribuzioni normali.

Figura 4 - Descrizione del deterioramento in termini probablistici

pNt(N)pNi,j (N)

pNt(N)

pNi,j(N)


In un modello deterministico tale curva è invece riferita ad un asse, per cui ad ognivalore di ESA corrisponde un preciso deterioramento.

A partire dalle (1) ricavate per ciascun anno del periodo di programmazione e dallematrici che descrivono gli effetti degli interventi di manutenzione sulle prestazioni dellepavimentazioni (Par.3.2), si ottengono le matrici delle probabilità di transizione relativeagli interventi di manutenzione, per ciascun anno del periodo di programmazione.

4. LA PROGRAMMAZIONE LINEAREMediante le tecniche della programmazione lineare il problema di pianificazione

della manutenzione è stato tradotto in un problema di ottimizzazione, studiando duealternative: la minimizzazione dei costi e la massimizzazione dei benefici.

La programmazione lineare è una tecnica matematica comunemente impiegata neimodelli di ottimizzazione [5].Le componenti principali di un problema di programmazione lineare sono: le variabili o incognite decisionali, i cui valori devono essere determinati (sono le

incognite del problema); la funzione obiettivo, che può essere una funzione da minimizzare o massimizzare; i vincoli, che devono essere soddisfatti dalle variabili o incognite decisionali.

Tanto la funzione obiettivo quanto i vincoli devono essere espressi come funzionilineari delle incognite decisionali. Per entrambi i modelli le incognite sono identiche,mentre cambiano la funzione obiettivo ed alcune condizioni di vincolo.

4.1 Le incognite dell’algoritmoDefinita una certa famiglia di pavimentazioni, l’incognita generica del problema è

rappresentata da Wikt , cioè la percentuale di rete che si trova nello stato i e per la qualeviene previsto un intervento di manutenzione k all'inizio di un generico anno t.

Assumendo che il periodo di programmazione sia di 4 anni, per cui t=1,2,3,4, e chesiano contemplati tre possibili azioni di manutenzione, le generiche incognite riferite alall’anno t sono espresse in tabella 5.

W00t W01t W02tW10 W11t w12tW20t W21 w22tw30t w31t w32tw401t w41t w42tw50t w51t w52tw60t w61t w62tw701t w71t w72tw80t w81t w82tw90t w91t w92tw100t w101t w102tw110t w111t w112t

Tabella 5 - Incognite del problema

Direttamente dalla definizione di Wikt segue che:


( )∑tki

tki tkcw,,

,, ,

1,

=∑ki

iktW (2)

per ogni t = 1,2,3,4, cioè per ogni anno la sommatoria di tutte percentuali dipavimentazioni in un qualsiasi stato i, sottoposte a ogni possibile intervento k, deveessere pari alla totalità della rete, cioè per ciascun anno t il modello fornisce lepercentuali previste di pavimentazione che si troveranno nello stato i , le quali siottengono come somma degli elementi che appartengono alla i-esima riga della tabella5.

Dunque si può osservare che: la matrice soluzione ha tante righe quanti sono gli stati di prestazione e tante

colonne quanti sono gli interventi di manutenzione previsti. per ciascun anno la somma degli elementi di ciascuna riga fornisce la percentuale

totale di rete che si trova in quel determinato stato;

itk

ikt qW =∑ per ogni t; (3)

per ciascun anno la somma degli elementi della prima, seconda e terza colonnacostituisce rispettivamente la percentuale di rete su cui non si interviene, si intervienecon trattamento k=1 e k=2.

kti

ikt qW =∑ per ogni t. (4)

4.2 Le funzioni obiettivoNel problema di minimizzazione la funzione obiettivo è data da:

(5)

dove con c(k,t) si intende il costo per unità di superficie (m2) dell’intervento k all’annot: la dipendenza temporale è legata all'attualizzazione finanziaria e all’incremento ditraffico.Nel caso della massimizzazione l'individuazione di una plausibile Funzione Obiettivo èun’operazione decisamente più laboriosa che nel caso della minimizzazione dei costi.Le maggiori difficoltà si riscontrano nel definire un appropriato beneficio da combinarelinearmente con le incognite così da definire la funzione obiettivo.

Per le motivazioni illustrate in [2], si è scelta la seguente funzione obiettivo:

(6)

dove:1) la sommatoria è estesa alle sole incognite relative agli stati accettabili (A) emediamente accettabili (M), con l'esclusione di quegli inaccettabili (I), questo in quantolo stato inaccettabile non apporta beneficio, se non negativo, alla rete.2) b(i) sono benefici di stato definiti in Par.3.3.

4.3. I vincoliI vincoli comuni ai due problemi di ottimizzazione sono di seguito illustrati.

( )∑tkii

tkimediacc

ibw,,,

*,,


Imposizione delle condizioni iniziali

i

k

tki qw =∑ ,, per t = 1 e per ∀ i (7)

S'impongono come condizioni iniziali quella della rete (qi) all’anno 1 del periodo diprogrammazione, che si ricavano dall’analisi delle pavimentazioni della rete.

Imposizione delle condizioni di transizione

( )∑∑ =+

ki

tijtki

k

tkj kpww,

,,1,, ∀ j (8)

La somma delle percentuali di rete nello stato j-esimo all'inizio dell’anno t+1 conk=0,…,2 deve necessariamente essere pari alla somma delle percentuali di rete in stato iche in seguito all’intervento k passeranno allo stato j-esimo alla fine del periodo t;pij(kt) rappresenta il generico elemento (i,j) della matrice di transizione relativaall'intervento k per l’anno t, calcolata per ogni k e per ogni t.

E’ attraverso tale condizione di vincolo che si applica il modello di decadimentodelle prestazioni della pavimentazione di tipo probabilistico, in termini di matrici ditransizione calcolate mediante la teoria semi-Markoviana.

Imposizione delle Condizioni di prestazione

tki

tkiinacc

w γ≤∑,

,, per ogni t , (9)

dove per ogni t = 2,3,4,5 si fissa un limite γγγγt alla somma degli stati inaccettabili (I).Risulta ovvio che per t = 1 essendo state imposte le condizioni iniziali ricavate dalle

attuali condizioni della rete è impossibile stabilire una soglia di stati accettabili diversada quella realmente rilevata sul campo.

In riferimento al solo problema di massimizzazione si hanno ulteriori condizioni divincolo, legate ai costi.

Imposizione di costoIn questo caso si hanno due possibilità alternative: imposizione di un unico budget complessivo per tutto l'orizzonte temporale di

pianificazione (10):

Ttki

tki BtkcW ≤∑ ),(,,

,, (10)

dove c(k,t) rappresenta il costo di ciascun intervento k all’anno t, attualizzato con tassodi inflazione ( stimato al 1%) e BT è il budget quadriennale. imposizione di una condizione di costo annuale (11):

tki

tki CtkcW ≤∑ ),(,

,, ∀t (11)

dove Ct rappresenta il budget annuale, tale che C1 + C2 + C3 + C4 = BT

4.4. I limitiPoiché le incognite rappresentano percentuali di rete, il loro dominio è dato da:


10 ,, ≤≤ tkiw ∀ i,k,t (12)

5. L’APPLICAZIONE ALLE PAVIMENTAZIONI DELL’AUTOSTRADA A21Si riporta, a titolo esemplificativo, un’applicazione dell’algoritmo di

massimizzazione per individuare la soluzione migliore in termini di manutenzione perle pavimentazioni della corsia di Marcia dell’Autostrada A21.

Le disponibilità finanziarie riportate in tabella 6 per il periodo di programmazionequadriennale 1999-2003 sono state dimensionate in base a quelle impiegate negli annipassati.

Anno Periodo Budget Annuo

1 1999/2000 L. 6.279.000.000

2 2000/2001 L. 6.580.000.000

3 2001/2002 L. 6.853.000.000

4 2002/2003 L. 7.098.000.000

Tabella 6 - Budget a disposizione nel periodo 1999 – 2003

Stato % Pavimentazione Qualifica degli stati0 1% acc.(A)1 32% acc.(A)2 44% med.acc. (M)3 8% inacc. (I)4 4% acc.(A)5 4% acc.(A)6 4% med.acc. (M)7 2% inacc. (I)8 0% acc.(A)9 0% med.acc. (M)10 3% inacc. (I)11 0% inacc. (I)

Tabella 7 - Descrizione delle condizioni in corsia di Marcia (maggio 1999)

A partire dalla condizioni della rete rilevate nel maggio 1999 e riportate in tabella 7,l’ottimizzazione della manutenzione è stato formulata come un problema dimassimizzazione dei benefici, con limitazioni alla percentuale totale di pavimentazioniin stato inaccettabile, negli anni successivi al primo, come da tabella 8 e con lecondizioni di costo come da tabella 6.

Il problema di massimizzazione è stato risolto mediante il programma diottimizzazione Cplex, messo a punto dal LAB.O.R. (Laboratory of OperationsResearch) della Facoltà di Ingegneria di Bologna; la strategia di manutenzione, cioè lasoluzione, per le corsie di Marcia della A21 è descritta anno per anno mediante quadririassuntivi. Le tabelle 9 e 10 rappresentano la soluzione relativa al primo ed al secondoanno di programmazione.


γγγγt

anno 2 7%anno 3 6%anno 4 5%anno 5 5%

Tabella 8 - Valori di γγγγt richiesti

Anno 1 InterventoStato K=0 K=1 K=2 Totale ( %/100)

0 0.01 0.00 0.00 0.011 0.32 0.00 0.00 0.322 0.19 0.25 0.00 0.443 0.00 0.08 0.00 0.084 0.04 0.00 0.00 0.045 0.04 0.00 0.00 0.046 0.03 0.01 0.00 0.047 0.00 0.02 0.00 0.028 0.00 0.00 0.00 0.009 0.00 0.00 0.00 0.00

10 0.01 0.02 0.00 0.0311 0.00 0.00 0.00 0.00

Totale (%/100) 0.62 0.38 0.00 1.00Tabella 9 – Strategia di manutenzione indicata dalla soluzione per l’anno 1 del periodo di

programmazione

Anno 2 InterventoStato K=0 K=1 K=2 Totale (%/100)

0 0.13 0.00 0.00 0.131 0.32 0.00 0.00 0.322 0.00 0.23 0.00 0.233 0.00 0.04 0.00 0.044 0.05 0.00 0.00 0.055 0.11 0.00 0.00 0.116 0.00 0.07 0.00 0.077 0.00 0.01 0.00 0.018 0.00 0.00 0.00 0.009 0.00 0.00 0.01 0.01

10 0.00 0.01 0.00 0.0111 0.00 0.00 0.00 0.00

Totale (%/100) 0.62 0.37 0.01 1.00Tabella 10 – Strategia di manutenzione indicata dalla soluzione per l’anno 2 del periodo di

programmazione

In figura 5 si riportano i risultati ottenuti dall’operazione di ottimizzazione in terminidi andamento dei benefici, lungo il periodo di programmazione, associati alle categoriedi stati di condizione “Accettabile (A)”, “Mediamente Accettabile (M)” e “Inaccettabile(I)”: i primi progressivamente aumentano, mentre diminuiscono quelli relativi agli


inaccettabili ed ai medi, complessivamente il beneficio aumenta. Progressivamentenegli anni le soluzioni fornite dall’algoritmo di massimizzazione indicano unmiglioramento della rete.

Tale andamento, dal punto di vista teorico, convalida la cosiddetta coerenza delmodello, seppure dal lato vada verificata sul campo la correttezza dei risultati, cioèoccorra calibrare le matrici di transizione. Per tale operazione è necessario disporre deirilievi delle condizioni delle pavimentazioni a seguito dell’applicazione degli interventidi manutenzioni suggeriti dalla soluzione ottimizzata.

Figura 5 – Andamento dei benefici associati alle categorie “A”, “M” e “I”

010203040506070

A M IStato di accettabilità

%

Anno 1Anno 2

Figura 6 - Andamento delle percentuali di stati A, M e I

Nel grafico di figura 6 si schematizza l’andamento delle percentuali degli stati dicategoria accettabile (A), mediamente accettabile (M) ed inaccettabile (I) tra gli anni 1 e2, come risulta dalla soluzione ottenuta.

Come già osservato, le soluzioni del modello sviluppato per l’ottimizzazione dellemanutenzioni a livello di rete consistono in percentuali di pavimentazione su cuiintervenire o meno a seconda dello stato i-esimo in cui si trovano, non individuandopuntualmente dove applicare l’intervento.

A questo punto il problema è l’applicabilità della soluzione formulata per l’anno 1,cioè il primo del periodo di programmazione (tabella 9). Per individuare sulla retestradale le tratte da sottoporre ad intervento è stato necessario ricorrere al Sistema

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

1 2 3 4

anni

bene

ficio acc.

medio.inacc.Beneficio Tot.


Informativo Stradale (SIT) della A21 [8]. Mediante la formulazione di specificitematismi con il SIT si è localizzata sul grafo dell’Autostrada la successione delle tratteomogenee per stati di condizione (CAT; IRI) ed è quindi stato possibile individuare itratti su cui intervenire (figura 7), secondo le indicazioni fornite dalla soluzione delproblema di ottimizzazione della manutenzione.

Figura 7 – Utilizzo del SIT per la localizzazione delle tratte stradali da sottoporre amanutenzione

BIBLIOGRAFIA[1] Bucchi A, Chinni M., Dondi G., «Introduzione alla manutenzione programmata

delle strade», rivista «Ingegneri Architetti Costruttori», Marzo 1995[2] Camomilla G.,”Strategie manutentive a breve e lungo termine ai fini dei piani

finanziari”, Atti del Convegno SIIV “La sicurezza stradale: strategie e strumentidell’ingegneria delle infrastrutture viarie”, Pisa 1997

[3] Bonini A., “Gestione della manutenzione: un modello di ottimizzazione integrato aiSistemi Informativi Stradali”, Tesi di Dottorato di Ricerca in Ingegneria deiTrasporti, XII Ciclo, Bologna, 2000

[4] Haas R., W. R. Hudson and J. Zaniewski, «Modern Pavement Management»,Krieger Publishing Co., Malablar, FL, 1994

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[7] Lytton, R. L., “Concepts of Pavement Performance Prediction and Modeling”,Second North American Conference on Managing Pavements ConferenceProceedings, 1987

[8] Li N., Xie W. Haas R., «Investigation of Relationship Between Deterministic andProbabilistic Prediction Models in Pavement Management», TransportationResearch Record 1592

[9] G. Dondi, A. Bonini, Un sistema informativo nella gestione della manutenzionestradale, Atti del XXIII Convegno Nazionale Stradale, Verona, 18-21 Maggio1998.

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