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ALGEBRA SUPERIORE 2

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Cosa studieremo in questo corso?

In questo corso considereremo anelli A commutativi e unitari.Studieremo la teoria degli ideali di A, e piu in generale degliA-moduli. Come avete visto negli altri corsi, spesso e difficilevedere se due oggetti di una qualche categoria (A-moduli, spazitopologici, insiemi...) sono isomorfi.

ESEMPIO: Per capire che un n-sfera e omeomorfa a un m-sfera see solo se m = n serve tutto il macchinario dell omologia singolare.

Lesempio di sopra suggerisce che, per studiare gli oggetti di unaqualche categoria matematica, e essenziale trovare degli invarianti,perche dimostrare direttamente che non esistono isomorfismi puoessere molto difficile. In pratica, lo scopo del corso sara quindi diintrodurre invarianti che ci aiutino a capire gli oggetti dell algebracommutativa.

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In questo corso considereremo anelli A commutativi e unitari.

Studieremo la teoria degli ideali di A, e piu in generale degliA-moduli. Come avete visto negli altri corsi, spesso e difficilevedere se due oggetti di una qualche categoria (A-moduli, spazitopologici, insiemi...) sono isomorfi.



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In questo corso considereremo anelli A commutativi e unitari.Studieremo la teoria degli ideali di A, e piu in generale degliA-moduli.

Come avete visto negli altri corsi, spesso e difficilevedere se due oggetti di una qualche categoria (A-moduli, spazitopologici, insiemi...) sono isomorfi.



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Lesempio di sopra suggerisce che, per studiare gli oggetti di unaqualche categoria matematica, e essenziale trovare degli invarianti,perche dimostrare direttamente che non esistono isomorfismi puoessere molto difficile.

In pratica, lo scopo del corso sara quindi diintrodurre invarianti che ci aiutino a capire gli oggetti dell algebracommutativa.

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Programma approssimativo

(i) Concetto di dimensione di anelli e moduli (richiamo).

(ii) Funzioni di Hilbert su K -algebre graduate standard (richiamo).

(iii) Algebra omologica.

(iv) Concetto di grado e di profondita.

(v) Anelli di Cohen-Macaulay.

(vi) Complesso di Koszul.

(vii) Anelli regolari.

(ix) Numeri di Betti, teoria di Boij-Soderberg.

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Le referenze principali saranno:

[BH] W. Bruns, J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridgestudies in advanced mathematics, 1993.

[Ei] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View TowardAlgebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150,Springer, 1994.

[Ma] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge studiesin advanced mathematics, 1980.

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Algebra&Geometria

Uno dei motivi per cui e nata lalgebra commutativa, e stata lanecessita di porre delle basi solide e rigorose per lo sviluppo dellageometria algebrica. Non dobbiamo dimenticarci queste origini,dunque iniziamo ricordando che algebra e geometria sono legatelun laltra sin da subito.

K campo, S = K [x1, . . . , xn] anello di polinomi, I S ideale.

Z(I ) = {p AnK f (p) = 0 f I} AnK

I sottoinsiemi di AnK della forma Z(I ) per qualche ideale I sono ichiusi della topologia di Zariski su AnK (si dicono varieta algebricheaffini). Sarebbe bello se ci fosse una corrispondenza biunivoca traideali di S e chiusi, ma questo e impossibile ....

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Algebra&Geometria

Uno dei motivi per cui e nata lalgebra commutativa, e stata lanecessita di porre delle basi solide e rigorose per lo sviluppo dellageometria algebrica.

Non dobbiamo dimenticarci queste origini,dunque iniziamo ricordando che algebra e geometria sono legatelun laltra sin da subito.


Z(I ) = {p AnK f (p) = 0 f I} AnK


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Algebra&Geometria



Z(I ) = {p AnK f (p) = 0 f I} AnK


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Algebra&Geometria



Z(I ) = {p AnK f (p) = 0 f I} AnK

I sottoinsiemi di AnK della forma Z(I ) per qualche ideale I sono ichiusi della topologia di Zariski su AnK (si dicono varieta algebricheaffini).

Sarebbe bello se ci fosse una corrispondenza biunivoca traideali di S e chiusi, ma questo e impossibile ....

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Algebra&Geometria



Z(I ) = {p AnK f (p) = 0 f I} AnK


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ESEMPIO: 1. Se S = K [x , y], allora

{(0, ) K} = Z((x)) = Z((x2)).

2. Se S = R[x , y], allora

= Z((1)) = Z((x2 + y2 + 1))

.

Nullstellensatz (Hilbert): Se K e algebricamente chiuso, allora:

Z(I ) = Z(J) I =

J.

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Il Nullstellensatz e il primo ponte fra algebra e geometria, fornendouna corrispondenza biunivoca fra varieta algebriche affini e idealiradicali in un anello di polinomi a coefficienti in un campoalgebricamente chiuso.

Nella geometria algebrica moderna, si usa il(piu complesso) linguaggio degli schemi introdotto daGrothendieck, che fornisce una corrispondenza biunivoca fraschemi affini ed anelli.

Per tutto il corso sara utile tenere a mente esempi di anelliprovenienti dalla geometria, cioe K -algebre finitamente generate.

ESEMPIO: Lanello A = K [x , y]/(x2 y) rappresenta la parabola:

P = Z((x2 y)) A2.

Come avete visto, la dimensione (di Krull) di A e 1, che rispecchiail fatto intuitivo che la parabola e un oggetto 1-dimensionale.

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Il Nullstellensatz e il primo ponte fra algebra e geometria, fornendouna corrispondenza biunivoca fra varieta algebriche affini e idealiradicali in un anello di polinomi a coefficienti in un campoalgebricamente chiuso. Nella geometria algebrica moderna, si usa il(piu complesso) linguaggio degli schemi introdotto daGrothendieck, che fornisce una corrispondenza biunivoca fraschemi affini ed anelli.

Per tutto il corso sara utile tenere a mente esempi di anelliprovenienti dalla geometria, cioe K -algebre finitamente generate.

ESEMPIO: Lanello A = K [x , y]/(x2 y) rappresenta la parabola:

P = Z((x2 y)) A2.

Come avete visto, la dimensione (di Krull) di A e 1, che rispecchiail fatto intuitivo che la parabola e un oggetto 1-dimensionale.

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DUE ESEMPI DI ANELLI MOLTO BELLI (= REGOLARI)

Un esempio di anello che bisognera tenere a mente per tutto ilcorso e lanello di polinomi

S = K [x1, . . . , xn],

dove K e un campo. Grazie al teorema della base di Hilbert,sappiamo che S e Noetheriano, cioe che ogni suo ideale efinitamente generato.

In contrasto a quanto succede quando n = 1, in cui S = K [x] e unPID e ogni ideale e generato da un unico elemento, in piu variabilinon ce limite al numero di generatori di un ideale:

ESEMPIO: In S = K [x , y] consideriamo lideale:

I = (xd , xd1y , xd2y2, . . . , yd).

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S = K [x1, . . . , xn],

dove K e un campo.

Grazie al teorema della base di Hilbert,sappiamo che S e Noetheriano, cioe che ogni suo ideale efinitamente generato.



I = (xd , xd1y , xd2y2, . . . , yd).

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S = K [x1, . . . , xn],




I = (xd , xd1y , xd2y2, . . . , yd).

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S = K [x1, . . . , xn],


In contrasto a quanto succede quando n = 1, in cui S = K [x] e unPID e ogni ideale e generato da un unico elemento,

in piu variabilinon ce limite al numero di generatori di un ideale:


I = (xd , xd1y , xd2y2, . . . , yd).

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S = K [x1, . . . , xn],




I = (xd , xd1y , xd2y2, . . . , yd).

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TEOREMA: Ogni ideale massimale di S = K [x1, . . . , xn] e generatoda n elementi.

Dimostrazione: Se n = 1 il risultato gia lo conosciamo, quindiprocediamo per induzione su n. Sia m S un ideale massimale.Sappiamo che S/m e un campo contenente K . Essendo S/m unaK -algebra finitamente generata, lestensione di campi K S/m efinita grazie al lemma di Artin-Tate. Sia f K [t] il polinomiominimo dellimmagine di xn in S/m e L = K [xn]/(f ), cosiccheS/(f (xn)) L[x1, . . . , xn1]. Dunque

S/m L[x1, . . . , xn1]/n.

per qualche ideale massimale n di L[x1, . . . , xn1]. Per induzionen = (f1, . . . , fn1) dove fi L[x1, . . . , xn1]. Poiche L K [xn]/(f ),possiamo anche vedere gli fi come polinomi in S , dunquem = (f1, . . . , fn1, f ).

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Dimostrazione: Se n = 1 il risultato gia lo conosciamo, quindiprocediamo per induzione su n. Sia m S un ideale massimale.

Sappiamo che S/m e un campo contenente K . Essendo S/m unaK -algebra finitamente generata, lestensione di campi K S/m efinita grazie al lemma di Artin-Tate. Sia f K [t] il polinomiominimo dellimmagine di xn in S/m e L = K [xn]/(f ), cosiccheS/(f (xn)) L[x1, . . . , xn1]. Dunque

S/m L[x1, . . . , xn1]/n.


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Dimostrazione: Se n = 1 il risultato gia lo conosciamo, quindiprocediamo per induzione su n. Sia m S un ideale massimale.Sappiamo che S/m e un campo contenente K .

Essendo S/m unaK -algebra finitamente generata, lestensione di campi K S/m efinita grazie al lemma di Artin-Tate. Sia f K [t] il polinomiominimo dellimmagine di xn in S/m e L = K [xn]/(f ), cosiccheS/(f (xn)) L[x1, . . . , xn1]. Dunque

S/m L[x1, . . . , xn1]/n.


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Dimostrazione: Se n = 1 il risultato gia lo conosciamo, quindiprocediamo per induzione su n. Sia m S un ideale massimale.Sappiamo che S/m e un campo contenente K . Essendo S/m unaK -algebra finitamente generata, lestensione di campi K S/m efinita grazie al lemma di Artin-Tate.

Sia f K [t] il polinomiominimo dellimmagine di xn in S/m e L = K [xn]/(f ), cosiccheS/(f (xn)) L[x1, . . . , xn1]. Dunque

S/m L[x1, . . . , xn1]/n.


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S/m L[x1, . . . , xn1]/n.


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S/m L[x1, . . . , xn1]/n.

per qualche ideale massimale n di L[x1, . . . , xn1].

Per induzionen = (f1, . . . , fn1) dove fi L[x1, . . . , xn1]. Poiche L K [xn]/(f ),possiamo anche vedere gli fi come polinomi in S , dunquem = (f1, . . . , fn1, f ).

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S/m L[x1, . . . , xn1]/n.

per qualche ideale massimale n di L[x1, . . . , xn1]. Per induzionen = (f1, . . . , fn1) dove fi L[x1, . . . , xn1].

Poiche L K [xn]/(f ),possiamo anche vedere gli fi come polinomi in S , dunquem = (f1, . . . , fn1, f ).

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S/m L[x1, . . . , xn1]/n.


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Un altro esempio di anello da tenere a mente per tutto il corso elanello delle serie formali

R = K [[x1, . . . , xn]],

dove K e un campo. Gli elementi di R sono del tipo

+

i=0

Fi

dove gli Fi sono polinomi omogenei di grado i in K [x1, . . . , xn].Come lanello di polinomi, anche R e Noetheriano, e comeosserveremo piu avanti i due anelli hanno molto altro in comune.Pero R e locale, cioe possiede un unico ideale massimale.

ESERCIZIO: Dimostrare che lunico ideale massimale di R e:

(x1, . . . , xn).

Hint: dimostrare che +i=0 Fi e invertibile se e solo se F0 0.

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DUE ESEMPI DI ANELLI MOLTO BELLI (= REGOLARI)Un altro esempio di anello da tenere a mente per tutto il corso elanello delle serie formali

R = K [[x1, . . . , xn]],

dove K e un campo.

Gli elementi di R sono del tipo

+

i=0

Fi



(x1, . . . , xn).


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R = K [[x1, . . . , xn]],


+

i=0

Fi

dove gli Fi sono polinomi omogenei di grado i in K [x1, . . . , xn].

Come lanello di polinomi, anche R e Noetheriano, e comeosserveremo piu avanti i due anelli hanno molto altro in comune.Pero R e locale, cioe possiede un unico ideale massimale.


(x1, . . . , xn).


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R = K [[x1, . . . , xn]],


+

i=0

Fi

dove gli Fi sono polinomi omogenei di grado i in K [x1, . . . , xn].Come lanello di polinomi, anche R e Noetheriano, e comeosserveremo piu avanti i due anelli hanno molto altro in comune.

Pero R e locale, cioe possiede un unico ideale massimale.


(x1, . . . , xn).


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R = K [[x1, . . . , xn]],


+

i=0

Fi



(x1, . . . , xn).


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R = K [[x1, . . . , xn]],


+

i=0

Fi



(x1, . . . , xn).

Hint: dimostrare che +i=0 Fi e invertibile se e solo se F0 0.10 / 352

Teoria della dimensione (richiamo)

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DEF.: La dimensione (di Krull) di un anello A e:

dim(A) = sup{r N p0 p1 . . . pr dove pi Spec(A)}.

ESERCIZI: Dimostrare che:

La dimensione di un campo e 0.

La dimensione di Z e 1. Piu in generale, la dimensione di un PID e 1.

DEF.: La dimensione (di Krull) di un A-modulo M e definita come:

dimA(M) = dim(A/(0 A M)).

ESEMPIO: Essendo Q un campo, dim(Q) = 0. Come Z-modulo,pero, dimZ(Q) = dim(Z/(0 Z Q)) = dim(Z) = 1.

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La dimensione di Z e 1.

Piu in generale, la dimensione di un PID e 1.




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ESEMPIO: Essendo Q un campo, dim(Q) = 0.

Come Z-modulo,pero, dimZ(Q) = dim(Z/(0 Z Q)) = dim(Z) = 1.

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ESEMPIO: Essendo Q un campo, dim(Q) = 0. Come Z-modulo,pero, dimZ(Q) = dim(Z/(0 Z Q))

= dim(Z) = 1.

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DEF.: L altezza di un primo p Spec(A) e:

ht(p) = sup{r N p0 p1 . . . pr = p dove pi Spec(A)}.

Laltezza di un ideale qualsiasi I A e definita come:

ht(I ) = min{ht(p) p Spec(A), p I}.

OSSERVAZIONI: Per ogni p Spec(A):(i) ht(p) = dim(Ap);(ii) ht(p) + dim(A/p) dim(A).(iii) ht(p) = 0 p Min(A).(iv) dim(A) = sup{ht(p) p Spec(A)}.

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OSSERVAZIONI: Per ogni p Spec(A):

(i) ht(p) = dim(Ap);(ii) ht(p) + dim(A/p) dim(A).(iii) ht(p) = 0 p Min(A).(iv) dim(A) = sup{ht(p) p Spec(A)}.

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OSSERVAZIONI: Per ogni p Spec(A):(i) ht(p) = dim(Ap);

(ii) ht(p) + dim(A/p) dim(A).(iii) ht(p) = 0 p Min(A).(iv) dim(A) = sup{ht(p) p Spec(A)}.

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OSSERVAZIONI: Per ogni p Spec(A):(i) ht(p) = dim(Ap);(ii) ht(p) + dim(A/p) dim(A).

(iii) ht(p) = 0 p Min(A).(iv) dim(A) = sup{ht(p) p Spec(A)}.

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OSSERVAZIONI: Per ogni p Spec(A):(i) ht(p) = dim(Ap);(ii) ht(p) + dim(A/p) dim(A).(iii) ht(p) = 0 p Min(A).

(iv) dim(A) = sup{ht(p) p Spec(A)}.

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OSSERVAZIONI: Per ogni p Spec(A):(i) ht(p) = dim(Ap);(ii) ht(p) + dim(A/p) dim(A).(iii) ht(p) = 0 p Min(A).(iv) dim(A) = sup{ht(p) p Spec(A)}.

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La diseguaglianza (ii) precedente puo essere stretta:

ESEMPIO: Se A = K [x , y , z]((x) (y , z)) , allora Min(A) = {(x), (y , z)}, e

(x) (x , y) (x , y , z)

e una catena di primi di lunghezza 2. Dunque dim(A) 2.Considerando p = (y , z), abbiamo A/p K [x , y , z]/(y , z) K [x].Ma sappiamo che K [x] e un PID, quindi dim(A/p) = 1.Daltra parte ht(p) = 0 perche p Min(A), quindi

ht(p) + dim(A/p) = 1 < 2 dim(A).

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(x) (x , y) (x , y , z)

e una catena di primi di lunghezza 2.

Dunque dim(A) 2.Considerando p = (y , z), abbiamo A/p K [x , y , z]/(y , z) K [x].Ma sappiamo che K [x] e un PID, quindi dim(A/p) = 1.Daltra parte ht(p) = 0 perche p Min(A), quindi

ht(p) + dim(A/p) = 1 < 2 dim(A).

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(x) (x , y) (x , y , z)

e una catena di primi di lunghezza 2. Dunque dim(A) 2.

Considerando p = (y , z), abbiamo A/p K [x , y , z]/(y , z) K [x].Ma sappiamo che K [x] e un PID, quindi dim(A/p) = 1.Daltra parte ht(p) = 0 perche p Min(A), quindi

ht(p) + dim(A/p) = 1 < 2 dim(A).

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(x) (x , y) (x , y , z)

e una catena di primi di lunghezza 2. Dunque dim(A) 2.Considerando p = (y , z), abbiamo A/p K [x , y , z]/(y , z) K [x].

Ma sappiamo che K [x] e un PID, quindi dim(A/p) = 1.Daltra parte ht(p) = 0 perche p Min(A), quindi

ht(p) + dim(A/p) = 1 < 2 dim(A).

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(x) (x , y) (x , y , z)

e una catena di primi di lunghezza 2. Dunque dim(A) 2.Considerando p = (y , z), abbiamo A/p K [x , y , z]/(y , z) K [x].Ma sappiamo che K [x] e un PID, quindi dim(A/p) = 1.

Daltra parte ht(p) = 0 perche p Min(A), quindi

ht(p) + dim(A/p) = 1 < 2 dim(A).

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(x) (x , y) (x , y , z)

e una catena di primi di lunghezza 2. Dunque dim(A) 2.Considerando p = (y , z), abbiamo A/p K [x , y , z]/(y , z) K [x].Ma sappiamo che K [x] e un PID, quindi dim(A/p) = 1.Daltra parte ht(p) = 0 perche p Min(A), quindi

ht(p) + dim(A/p) = 1 < 2 dim(A).

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Gli anelli per cui vale:

ht(p) + dim(A/p) = dim(A) p Spec(A)

sono parecchi.

Questa proprieta e legata al concetto di catenarieta.

DEF.: 1. Una catena di primi in A, p = p0 p1 . . . pr = p, sidice saturata se, per ogni i = 0, . . . , r 1, non esiste nessun idealeprimo q tale che pi q pi+1.2. A si dice catenario se per ogni due ideali primi p p esiste unacatena saturata, e due tali catene hanno uguale lunghezza.

(Ratliff) Un dominio locale Noetheriano (A,m) e catenario ht(p) + dim(A/p) = dim(A) p Spec(A).

Ogni K -algebra finitamente generata e catenaria. La filosofiagenerale e che tutti gli anelli Noetheriani ragionevoli sonocatenari.

(Nagata) Esempio di anello Noetheriano non catenario.

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sono parecchi. Questa proprieta e legata al concetto di catenarieta.





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DEF.: 1. Una catena di primi in A, p = p0 p1 . . . pr = p, sidice saturata se, per ogni i = 0, . . . , r 1, non esiste nessun idealeprimo q tale che pi q pi+1.

2. A si dice catenario se per ogni due ideali primi p p esiste unacatena saturata, e due tali catene hanno uguale lunghezza.




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Ogni K -algebra finitamente generata e catenaria.

La filosofiagenerale e che tutti gli anelli Noetheriani ragionevoli sonocatenari.


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LHauptidealsatz di Krull

Possiamo dire che laltezza di un ideale in un anello Noetheriano efinita? Si, grazie allHauptidealsatz di Krull, che e il teoremaprincipale della teoria della dimensione:

TEOREMA (Krull): Sia I = (a1, . . . , ac) un ideale di un anelloNoetheriano A, e p Min(I ). Allora ht(p) c .

Come avete visto, il teorema precedente segue abbastanzafacilmente dallHauptidealsatz, che significa Teorema dellidealeprincipale.

HAUPTIDEALSATZ (Krull): Sia a un elemento di un anelloNoetheriano A, e p Min((a)). Allora ht(p) 1.

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Possiamo dire che laltezza di un ideale in un anello Noetheriano efinita?

Si, grazie allHauptidealsatz di Krull, che e il teoremaprincipale della teoria della dimensione:




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Possiamo dire che laltezza di un ideale in un anello Noetheriano efinita? Si, grazie allHauptidealsatz di Krull, che e il teoremaprincipale della teoria della dimensione:




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A meno di eventuali specifiche, dora in poi considereremo soloanelli Noetheriani.

OSS.: Denotando con (M) il minimo numero di generatori di unA-modulo M, lHauptidealsatz implica che ht(I ) (I ).La precedente diseguaglianza puo essere stretta. Piu avanti,vedremo che gli ideali per cui vale luguale hanno proprietaparticolarmente buone.

ESEMPIO: Consideriamo I = (x2, xy , y2) K [[x , y]] = A.

PoicheI = (x , y) = m (lunico ideale massimale di A), abbiamo

Min(I ) = {m} da cui, usando lHauptidealsatz, ht(I ) = 2.

Vogliamo provare che (I ) = 3. Questo segue dal lemma diNakayama, che implica che (I ) = dimA/m(I /mI ), poicheI /mI = {1x2 + 2xy + 3y2 i K = A/m} e un K -spaziovettoriale di dimensione 3.

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OSS.: Denotando con (M) il minimo numero di generatori di unA-modulo M, lHauptidealsatz implica che ht(I ) (I ).

La precedente diseguaglianza puo essere stretta. Piu avanti,vedremo che gli ideali per cui vale luguale hanno proprietaparticolarmente buone.





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Vogliamo provare che (I ) = 3.

Questo segue dal lemma diNakayama, che implica che (I ) = dimA/m(I /mI ), poicheI /mI = {1x2 + 2xy + 3y2 i K = A/m} e un K -spaziovettoriale di dimensione 3.

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Vogliamo provare che (I ) = 3. Questo segue dal lemma diNakayama, che implica che (I ) = dimA/m(I /mI ),

poiche

I /mI = {1x2 + 2xy + 3y2 i K = A/m} e un K -spaziovettoriale di dimensione 3.

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Sistemi di parametri

TEOREMA: Sia (A,m) un anello locale Noetheriano di dimensionedi Krull d . Dati m elementi a1, . . . , am m, si ha

dimA/(a1, . . . , am) d m.

Inoltre, esistono d elementi x1, . . . , xd m tali che:

dimA/(x1, . . . , xd) = 0 ( m =

(x1, . . . , xd)).

DEF.: Elementi x1, . . . , xd come quelli del teorema precedentevengono chiamati sistema di parametri per A.

ESERCIZIO: Usando lHauptidealsatz, dimostrare che, se x1, . . . , xde un sistema di parametri per A, allora

dimA/(x1, . . . , xi) = d i i = 1, . . . ,d

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Sistemi di parametriTEOREMA: Sia (A,m) un anello locale Noetheriano di dimensionedi Krull d .

Dati m elementi a1, . . . , am m, si ha

dimA/(a1, . . . , am) d m.


dimA/(x1, . . . , xd) = 0 ( m =

(x1, . . . , xd)).



dimA/(x1, . . . , xi) = d i i = 1, . . . ,d

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Sistemi di parametriTEOREMA: Sia (A,m) un anello locale Noetheriano di dimensionedi Krull d . Dati m elementi a1, . . . , am m, si ha

dimA/(a1, . . . , am) d m.


dimA/(x1, . . . , xd) = 0 ( m =

(x1, . . . , xd)).



dimA/(x1, . . . , xi) = d i i = 1, . . . ,d

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La dimensione di Krull conta i gradi di liberta di una varieta

Ora cerchiamo di giustificare (senza dimostrazioni complete) che lanozione di dimensione di Krull coincide con il concetto intuitivo didimensione nel contesto geometrico.

TEOREMA: Lanello dei polinomi S = K [x1, . . . , xn] in n variabilisu un campo K ha dimensione di Krull n.

Osserviamo che dim(S) n, poiche ce la catena di primi:

(0) (x1) (x1, x2) . . . (x1, . . . , xn).

Daltra parte dim(S) = sup{ht(m) m ideale massimale di S}.Abbiamo gia visto che un ideale massimale di S e generato da nelementi, dunque dim(S) n grazie all Hauptidealsatz.

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(0) (x1) (x1, x2) . . . (x1, . . . , xn).

Daltra parte dim(S) = sup{ht(m) m ideale massimale di S}.

Abbiamo gia visto che un ideale massimale di S e generato da nelementi, dunque dim(S) n grazie all Hauptidealsatz.

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(0) (x1) (x1, x2) . . . (x1, . . . , xn).

Daltra parte dim(S) = sup{ht(m) m ideale massimale di S}.Abbiamo gia visto che un ideale massimale di S e generato da nelementi, dunque dim(S) n grazie all Hauptidealsatz.

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Sia X = Z(p) AnK una varieta algebrica irriducibile, dove K = K ep e un ideale primo di S = K [x1, . . . , xn].

DEF.: Una funzione X K si dice regolare nel punto P seesiste un intorno U X di P e due polinomi f ,g S tali cheg(Q) 0 e (Q) = f (Q)/g(Q) per ogni Q U.La funzione si dice regolare su X se e regolare in P per ogniP X . Linsieme O(X ) delle funzioni regolari su X e un anello inmodo naturale, e si chiama lanello delle funzioni regolari su X .

Una funzione razionale su X e una funzione U K , doveU X e aperto, che sia regolare in tutti i punti di U. Due funzionirazionali U K e V K sono equivalenti se coincidono suU V . Linsieme K(X ) delle classi dequivalenza delle funzionirazionali su X e un campo in modo naturale, e si chiama il campodelle funzioni razionali su X .

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DEF.: Una funzione X K si dice regolare nel punto P seesiste un intorno U X di P e due polinomi f ,g S tali cheg(Q) 0 e (Q) = f (Q)/g(Q) per ogni Q U.

La funzione si dice regolare su X se e regolare in P per ogniP X . Linsieme O(X ) delle funzioni regolari su X e un anello inmodo naturale, e si chiama lanello delle funzioni regolari su X .


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DEF.: Una funzione X K si dice regolare nel punto P seesiste un intorno U X di P e due polinomi f ,g S tali cheg(Q) 0 e (Q) = f (Q)/g(Q) per ogni Q U.La funzione si dice regolare su X se e regolare in P per ogniP X .

Linsieme O(X ) delle funzioni regolari su X e un anello inmodo naturale, e si chiama lanello delle funzioni regolari su X .


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Una funzione razionale su X e una funzione U K , doveU X e aperto, che sia regolare in tutti i punti di U.

Due funzionirazionali U K e V K sono equivalenti se coincidono suU V . Linsieme K(X ) delle classi dequivalenza delle funzionirazionali su X e un campo in modo naturale, e si chiama il campodelle funzioni razionali su X .

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Una funzione razionale su X e una funzione U K , doveU X e aperto, che sia regolare in tutti i punti di U. Due funzionirazionali U K e V K sono equivalenti se coincidono suU V .

Linsieme K(X ) delle classi dequivalenza delle funzionirazionali su X e un campo in modo naturale, e si chiama il campodelle funzioni razionali su X .

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TEOREMA: Ce un isomorfismo di K -algebre O(X ) S/p, eK(X ) e isomorfo al campo delle frazioni Q(S/p) di S/p.

In particolare X K e regolare se e solo se esiste f S taleche (x) = f(x) per ogni x X . Inoltre = f f p.

Il modo classico per calcolare la dimensione di X e contare iparametri liberi di una funzione razionale su X . Piu precisamente,

dim(X ) = Trdeg(K(X ) K).

TEOREMA: dim(X ) = dim(S/p).Il motivo e che, se y1, . . . , yd sono algebricamente indipendenti suK , allora la K -algebra K [y1, . . . , yd] e un anello di polinomi in dvariabili su K , dunque ha dimensione di Krull d .

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In particolare X K e regolare se e solo se esiste f S taleche (x) = f(x) per ogni x X .

Inoltre = f f p.




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Il modo classico per calcolare la dimensione di X e contare iparametri liberi di una funzione razionale su X .

Piu precisamente,



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TEOREMA: dim(X ) = dim(S/p).

Il motivo e che, se y1, . . . , yd sono algebricamente indipendenti suK , allora la K -algebra K [y1, . . . , yd] e un anello di polinomi in dvariabili su K , dunque ha dimensione di Krull d .

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TEOREMA: dim(X ) = dim(S/p).Il motivo e che,

se y1, . . . , yd sono algebricamente indipendenti suK , allora la K -algebra K [y1, . . . , yd] e un anello di polinomi in dvariabili su K , dunque ha dimensione di Krull d .

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TEOREMA: dim(X ) = dim(S/p).Il motivo e che, se y1, . . . , yd sono algebricamente indipendenti suK , allora la K -algebra K [y1, . . . , yd] e un anello di polinomi in dvariabili su K ,

dunque ha dimensione di Krull d .

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Dato un ideale primo p S , si ha che

dim(S/p) + ht(p) = dim(S) = n.

Questo significa che ht(p) e proprio la codimensione di X = Z(p).

ESERCIZIO: Sia X AnK una varieta algebrica di codimensione c .Dopo aver verificato che ogni varieta algebrica e lintersezione ditante ipersuperfici algebriche (chiusi della forma Z(f ) per f S)dimostrare che per ottenere X bisogna intersecarne almeno c .

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Funzioni di Hilbert (richiamo)

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DEF.: Un anello A e G -graduato su un gruppo abeliano (G ,+) se: A =gG Ag (come gruppo abeliano); AgAh Ag+h g ,h G .

In tal caso, un A-modulo M si dice graduato se:

M =gG Mg (come gruppo abeliano); AgMh Mg+h g ,h G .

Un sottomodulo N M e un sottomodulo graduato se

N = gG

Mg N.

In tal caso, N e un A-modulo graduato con Ng =Mg N. Se I Ae un sottomodulo graduato, I si dice ideale omogeneo.

DEF.: Se G = Z, diremo soltanto che A e graduato. Se Ad = 0 d < 0, A si dice positivamente graduato. Infine, A e graduatostandard su A0 se A e Noetheriano e A = A0[A1].

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N = gG

Mg N.

In tal caso, N e un A-modulo graduato con Ng =Mg N.

Se I Ae un sottomodulo graduato, I si dice ideale omogeneo.


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N = gG

Mg N.



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N = gG

Mg N.


DEF.: Se G = Z, diremo soltanto che A e graduato.

Se Ad = 0 d < 0, A si dice positivamente graduato. Infine, A e graduatostandard su A0 se A e Noetheriano e A = A0[A1].

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N = gG

Mg N.


DEF.: Se G = Z, diremo soltanto che A e graduato. Se Ad = 0 d < 0, A si dice positivamente graduato.

Infine, A e graduatostandard su A0 se A e Noetheriano e A = A0[A1].

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N = gG

Mg N.



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OSS.: 1. Dalla definizione segue che, se e G e lelemento neutrodi G , allora Ae e un sottoanello di A, e gli Mg (in particolare gliAg ) non sono solo gruppi abeliani, bens Ae-moduli.

2. A0[A1] e Noetheriano se e solo se A0 e Noetheriano e A1 e unA0-modulo finitamente generato.

3. Lanello di polinomi S = K [x1, . . . , xn] in n variabili su un campoK e graduato standard su K , essendo Sd e il K -spazio vettorialedei polinomi in S di grado d .

PROP.: Un anello A e graduato standard su A0 = K se e solo seA S/I dove S e lanello di polinomi in dimK A1 variabili su K e Ie un ideale omogeneo.

Dimostrazione: Sia n = dimK A1, e a1, . . . , an una base. Allora ceuna surgezione di K -algebre S = K [x1, . . . , xn]

A che estendenellunico modo possibile xi ai (notare che A e graduatostandard e surgettiva). Allora A S/Ker(), e Ker() eomogeneo poiche (Sd) Ad .

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OSS.: 1. Dalla definizione segu

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