ALGEBRAalgebrizzare problemi

Mohamed al Kharizmi (IX sec)Equazioni di 1° e 2° grado

al-jhabr

Viéte (1540-1603)Indica con le lettere non solo le incognite ma anche altre quantità

XIX sec.: ALGEBRA = teoria delle equazioni algebriche

1 21 2 1......... 0n n n

n nx a x a x a x a

Dalle idee di Galois (1811-1832) sulla teoria delle equazioni algebriche nascono :

•La teoria dei gruppi

•La teoria dei numeri algebrici

ALGEBRA MODERNA

STUDIO DI SISTEMI ALGEBRICI

Insieme di regole che permettono di trattare enti diversi dai numeri: matrici, vettori, tensori….

ALGEBRA ASSIOMATICA O ASTRATTA

Bertrand Russel(1872-1970):

“la matematica si può definire quella materia in cui non sappiamo mai di cosa stiamo parlando, né se quello che diciamo è vero “

Partiamo da un’equazione algebrica:1 2

0 1 2 1 0

0

1 21 2 1

1 21 2 1

.... 0, con 0

posso dividere per

.... 0

sia ( ) ....

n n nn n

n n nn n

n n nn n

a x a x a x a x a a

a

x a x a x a x a

F x x a x a x a x a

F(x) è detta funzione polinomiale

F(x)=0 è detta equazione polinomiale

Un numero a è soluzione dell’equazione F(x)=0 se e solo se F(a)=0

a è radice del polinomio

Ad esempio:5 2( ) 3 2F x x x

Verificare che 1 è soluzione e che – 1 non lo è

•Equazioni di 1° grado: x + a = 0 soluzione x = - a

•Equazioni di 2° grado x2 + px + q = 0 soluzioni con il metodo di completamento dl quadrato x = ……….

•Equazioni di grado superiore, trovare una soluzione o tutte mediante somme, prodotti, divisioni, elevamenti, estrazioni di radici sui coefficienti dell’equazione

FORMULA RISOLUTIVA EQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON IL METODO DI COMPLETAMENTO DEL QUADRATO

 

2

2

2

Data l'equazione di secondo grado

0

portiamo il termine noto a secondo membro

aggiungiamo ad entrambi i membri........

affinchè il primo membro sia lo sviluppo di un quadrato

..... .

x px q

x px q

x px

2

2

2

.....

scriviamo a primo membro il quadrato di binomio

.....4

estraiamo da entrambi i membri la radice quadrata e ricaviamo la x

..............

2

dove 4 è detto discriminante, infatti...

q

px q

px

p p

....

I PROTAGONISTIDEL ‘500

• SCIPIONE DAL FERRO

• ANTONIO MARIA FLOR

• NICOLO’ TARTAGLIA

• GERONIMO CARDANO

• LUDOVICO FERRARI

• RAFAEL BOMBELLI

3

3 2 3 2

3 3

3

3 31

1

equazione di terzo grado

2 3 2 2 3 2

15 4

2 11 1 2 11 1

4 è soluzione e ci sono altre due soluzioni reali

x=2 3, si deve supporre che x esista an

x px q

q p q q p qx

x x

x

x

che se compare -1

1 i 2 è l'unità immaginaria/ 1i i

LUDOVICO FERRARI1522-1565

FORMULA RISOLUTIVA EQUAZIONI DI QUARTO GRADO

La formula di Ferrari per le quartiche.Sempre nell’Ars Magna, Cardano scrive che la formula

risolutiva delle equazioni di quarto grado “era dovuta a Ludovico Ferrari, che l’ha scoperta dietro mia richiesta”. Il procedimento attraverso cui si giungeva alla soluzione dell’equazione x4+px2+q=sx può essere sintetizzato in sei passaggi. Ad esempio, volendo risolvere l’equazione x4+4x2+36=60x si procede in questo modo:1)      si aggiunge ad entrambi i membri un termine in x2 in modo da rendere il primo membro un quadrato perfetto, nel nostro caso si aggiunge 8x2, così che si ha (x2+6)2;2)      si aggiunge in entrambi i membri una nuova incognita in modo che il primo membro rimanga un quadrato, per noi (x2+6+y)2=60x+8x2+y2+12y+2x2y ;3)      si ottiene, al secondo membro, ordinando secondo la x, un’equazione di secondo grado che vogliamo che sia un quadrato perfetto: a tal scopo basta uguagliare a zero il discriminante;4)      l’equazione ottenuta dal discriminante è un’equazione di terzo grado nota come la risolvente di Ferrari, risolta tramite la formula risolutiva delle equazioni cubiche;5)      il valore della y trovato si sostituisce nell’equazione di cui al punto 2 e si estrae la radice quadrata di entrambi i membri;6)      il risultato del quinto passaggio rappresenta un’equazione di secondo grado, facilmente risolvibile.

Equazioni di grado superiore:difficoltà insormontabili

nei secoli 16°, 17°, 18°, ed inizio del 19°

TEOREMA DI ABEL-RUFFINI:Non esiste una formula risolutiva per radicali delle

equazioni di grado superiore al quinto

Niels Abel

(1802-1829)

Paolo Ruffini

(1765-1822)

Legame tra risoluzione e fattorizzazione

Teorema di Ruffini:

sia F(x) un polionmio di grado n e sia c un numero reale

Allora c è radice di di F(x) se e solo se F(x)=(x – c)G(x) con degG(x)= n – 1

Diciamo che c ha nolteplicità di k, se e solo se F(x) è divisibile per (x-c)k, ma non per (x-c)k+1

Conseguenze del teorema di Ruffini

• Un’equazione polinomiale di grado n ha al massimo n radici, ciascuna contata con la sua molteplicità (si basa sull’annullamento del prodotto: ab=0 se e solo se a = 0 o b=0, ad esempio per le matrici non vale!)

• Risolvere equazioni polinomiali ha la stessa difficoltà di fattorizzare (la fattorizzazione dei polinomi è unica: in altri “mondi” non è così)

• Dire che non esiste nessuna formula per calcolare le soluzioni delle equazioni di grado superiore al quinto equivale ad affermare che non esiste alcun metodo per fattorizzare polinomi con deg>4: x5 – 16x + 2 = 0 ha tre soluzioni reali (visibili disegnando la funzione), ma non sono esprimibili mediante formule per radicali

• Se esistono soluzioni razionali siamo in grado di trovarle

• La funzione

y = x5 –16x + 2

• Oppure possiamo pensare all’equazione polinomiale x5 – 16x + 2 =0 come al risultato dell’intersezione di

• y = x5 e di y = 16x – 2, anche qui vediamo le tre intersezioni che corrispondono alle tre soluzioni reali

1 20 1 2 1.......... 0n n n

n na x a x a x a x a

REGOLA DI RUFFINI

dove i coefficienti ai sono interi, se non lo sono facciamo il mcm.

Possiamo supporre che an≠0, in caso contrario 0 è soluzione e possiamo dividere il polinomio per x

Ogni soluzione b/c, dove b e c sono numeri interi senza fattori comuni, avrà la proprietà che il suo numeratore b è un divisore del termine noto an e il suo denominatore c è un divisore del coefficiente direttivo a0 . Infatti,

sostituiamo b/c nell’equazione e moltiplichiamo i due membri per cn, ottenendo1 2 2 1

0 1 2 1.......... 0n n n n nn na b a b c a b c a bc a c

Raccogliamo b dai primi n addendi portando l’ultimo a secondo membro

 

……………………………………………………………………………….

 

Poiché b non ha fattori comuni con c li deve avere con an , ripetendo la stessa operazione per c si

arriva a dimostrare che c deve dividere a0

Vogliamo risolvere l’equazione F(x) = 0 dove

F(x) = 40x5 – 58x4 – 5x3 + 13x2 – 17x + 3

I divisori di 3 sono:

I divisori di 40 sono:

Posso usare solo i divisori di 40 positivi

Tentiamo: 1, ½, 1/3, ………

Funziona per……, quindi F(x) = ( )G(x) dove

G(x) = ………………………………….

Procedendo allo stesso modo…..