Gruppi quantistici e Computazione quantistica

Alessio Lapponi

22 novembre 2018

Indice

1 Introduzione ai gruppi quantistici 51.1 Gruppi ed algebre di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Gruppi quantistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Gruppo SU(n) e rappresentazione di Schwinger . . . . . . . . 121.4 Gruppo SUq(n) e rappresentazione di Schwinger . . . . . . . 15

2 Computazione quantistica 192.1 Porte logiche quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Circuiti quantistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Porte logiche quantistiche universali . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Computazione quantistica con algebre deformate 273.1 Il qubit deformato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Azione delle porte logiche sul qubit deformato . . . . . . . . . 303.3 Azione delle porte logiche deformate sul qubit deformato . . . 33

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Introduzione

Dopo l’avvento dei computer si e sempre cercato di minimizzare o di compri-mere le componenti elettroniche all’interno degli stessi. La miniaturizzazionedelle componenti elettroniche infatti permette un maggior numero di questeper unita di volume e questo provoca un aumento della potenza del com-puter con conseguente aumento della velocita di elaborazione dati. Nellaminiaturizzazione dei circuiti elettronici c’e pero un limite teorico, dato cheper dimensioni particolarmente piccole entrano in gioco le leggi della mecca-nica quantistica. Per ovviare a questo problema negli anni 80 si sono iniziatia sviluppare dei modelli di computazione che prendevano gia come punto dipartenza degli oggetti ”quantistici”. Richard Feynman nel 1982 espose quin-di la prima idea di un computer quantistico, basato sulla sovrapposizionedegli stati delle particelle elementari ([10]). Da lı numerosi studiosi hannoportato avanti questa idea ([9]), cercando dei modi per costruire i circuitiquantistici e gli algoritmi, dimostrare in linea teorica la maggiore velocitadi questi nel risolvere problemi e mettere in evidenza le grandi potenzialitadi strumenti puramente quantistici (come l’entanglement) nell’elaborazionedati. Nasce cosı la computazione quantistica. Dal 2013 sono a disposizionei primi prototipi di computer quantistici, ma gli studi proseguono per ave-re una migliore implementazione a basso costo e per avere degli algoritmiquantistici capaci di risolvere problemi non risolubili secondo la computa-zione classica.Con lo sviluppo della tecnologia e quindi degli apparati sperimentali si vaspesso a cercare di testare una data formula in condizioni estreme, per verifi-carne la validita o meno anche in queste situazioni; consideriamo ad esempiole formule della meccanica classica, che in condizioni estreme (i.e. v ∼ c)perdono di validita. Nei casi come quello appena menzionato, ossia nei casiin cui una formula perde di validita o diverge in modo non trascurabile dalleevidenze sperimentali, e necessario modificare questa formula e quindi, dettoin altro modo, ”deformarla”. Il concetto di deformazione di una formula,cosı come di una quantita appartenente ad essa, e stato poi generalizzato eformalizzato matematicamente, introducendo il parametro deformativo q.Accennando alla teoria dei campi quantistica, abbiamo di notevole impor-tanza le equazioni di Yang-Mills. Una grande conseguenza di queste equa-zioni e che ”deformano” le algebre relative ai gruppi di Lie. Con questa

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deformazione un gruppo di Lie si trasforma in un cosiddetto gruppo quan-tistico. Questa e un risultato assolutamente importante, poiche con questadeformazione tutte le conseguenze della teoria dei gruppi perdono di vali-dita e per trattare un sistema fisico dovremo considerare non piu i gruppidi Lie, ma i relativi gruppi quantistici. Questi sono oggetti completamenteastratti, nel senso che di essi non conosciamo nulla, nemmeno i suoi elemen-ti. L’unica cosa che conosciamo di un gruppo quantistico e la sua ”algebralocale” nell’intorno dell’identita. Vedremo infatti come alcuni gruppi, chia-mati ”gruppi di Lie”, hanno la proprieta di poter essere descritti localmenteda un’algebra. Se poi applicassimo una deformazione q a questa algebraavremo una deformazione anche al gruppo che essa descrive, che diventa ungruppo quantistico. Purtroppo pero, dato che l’algebra descrive il gruppodi Lie solo locamente non e possibile da questa risalire al gruppo di Lie, perquesta ragione il gruppo quantistico e un concetto astratto, a differenza del-la sua algebra, che possiamo tranquillamente scrivere e studiare (si rimandaalla sezione 1.2 per una trattazione sempre qualitativa ma piu estesa). Ungruppo di Lie molto importante, che descrive spesso le simmetrie rotazionalidi un sistema fisico e il gruppo SU(2) che con la deformazione q diventa ilgruppo quantistico SUq(2). Possiamo dire in generale che la deformazione qha luogo quando il sistema fisico in esame si trova in condizioni particolari,tali da creare delle anomalie sulle regole di commutazione e sulla linearitadella dinamica del sistema. In genere per q → 1 la deformazione e nulla. Igruppi quantistici, ovvero la deformazione q, si usano ad esempio:

• in meccanica statistica, per descrivere la dinamica di un attrattore diFeigerbaum [18];

• in fisica molecolare e nucleare, in particolare nella dinamica a multi-corpi per trovare delle soluzioni esatte in funzione del parametro dideformazione q [5];

• nella teoria della gravita quantistica a loop, per descrivere le regole dicommutazione per sistemi con volume nell’ordine della scala di Planck[16].

Parlando dei qubit, questi possono essere rappresentati da oscillatori armo-nici quantistici (sezione 3.1). Deformare un qubit significa quindi deformarequesti oscillatori armonici e la deformazione q di questi viene attuata sem-plicemente considerando il gruppo quantistico SUq(2) anziche il gruppo diLie SU(2) nella rappresentazione di Schwinger (sezione 1.3 e 1.4). Vedremoquindi le conseguenze della deformazione del gruppo SU(2) sull’algebra de-gli operatori di momento angolare, sull’algebra degli oscillatori armonici einfine sulla computazione quantistica. Cercheremo alla fine di trovare delleporte logiche quantistiche deformate, ossia delle porte logiche costruite adhoc tali che se queste agissero su un qubit deformato allora darebbero un

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risultato analogo a quello nel caso di assenza di deformazione. Il risultatotrovato e il seguente: ai prodotti esterni che rappresentano le porte logiche

e che hanno il ”ket” diverso dal ”bra” va moltiplicato il fattore2√q

1+q doveq e il nostro parametro di deformazione, conseguente alla deformazione delgruppo SU(2).Specifichiamo che in questa tesi non parleremo di come, dalle equazioni diYang-Mills, si arriva alla deformazione del gruppo SU(2). Definiremo infattiil gruppo SUq(2) direttamente e ci concentreremo maggiormente sulle sueapplicazioni nella computazione quantistica e sulle deformazioni delle alge-bre degli operatori momento angolare, degli operatori bosonici e dei qubit.Nel primo capitolo della tesi richiameremo i concetti fondamentali della teo-ria dei gruppi, descriveremo poi qualitativamente il gruppo quantistico eil particolare definiremo l’algebra del gruppo quantistico di Jimbo-Drinfeld([6]), infine si trattera la rappresentazione di Schwinger e si costruiranno glioscillatori armonici deformati. Nel secondo capitolo invece parleremo dellacomputazione quantistica secondo il modello dei circuiti quantistici e dimo-streremo alla fine l’universalita di un determinato set di porte logiche. Nelterzo capitolo implementeremo il qubit con due oscillatori armonici, usandodapprima la loro algebra non deformata e poi quella deformata, studieremopoi l’azione delle porte logiche (deformate e non) su un qubit deformato ecostruiremo delle porte logiche tali che la loro azione sul qubit deformatorimanga analoga al caso di deformazione nulla.

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Capitolo 1

Introduzione ai gruppiquantistici

In questo capitolo il percorso che faremo e quello di richiamare le nozioni dibase di algebra e teoria dei gruppi (in particolare gruppi ed algebre di Lie),che permetteranno in seguito di introdurre il concetto di gruppo quantistico.Vedremo in particolare come ad alcuni gruppi si puo associare un’algebra,definendo anche le proprieta di quest’ultima. Nelle sezioni 1.3 e 1.4 definire-mo il gruppo SU(2) con il suo relativo gruppo quantistico e studieremo unasua particolare rappresentazione (i.e. la rappresentazione di Schwinger) cheuseremo nei capitoli successivi per rappresentare il qubit.

1.1 Gruppi ed algebre di Lie

In un sistema fisico troviamo spesso delle simmetrie rispetto ad alcune tra-sformazioni, pensiamo ad esempio a un reticolo cristallino e alle sue numero-se proprieta invarianti rispetto a traslazioni, rotazioni, rotoinversioni e cosıvia. Queste simmetrie rispetto a delle trasformazioni giocano un ruolo pri-mario in fisica, poiche consentono ad esempio di semplificare notevolmentelo studio di sistemi fisici altrimenti impossibili da studiare analiticamente.E quindi importante capire la struttura e le proprieta di tali trasformazionie la teoria dei gruppi si occupa appunto di questo. Definizioni e teoremi diquesta sezione sono stati presi da [14] e [7].

Definizione 1.1.1. Si dice ”gruppo” un insieme G di elementi munito diun’operazione ⊗ : G × G → G che soddisfa le seguenti proprieta:

• g ∈ G ∧ f ∈ G ⇒ (f ⊗ g) ∈ G;

• ⊗ e associativa;

• ⊗ e dotata di elemento neutro ∈ G, ossia ∀g ∈ G ∃I ∈ G : g ⊗ I =I ⊗ g = g;

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• ⊗ e dotata di elemento inverso ∈ G, ossia ∀g ∈ G ∃g−1 ∈ G : g⊗ g−1 =g−1 ⊗ g = I.

La classe di gruppi che studieremo maggiormente sono i gruppi di Lie.Questi hanno una notevole importanza poiche vi si puo associare uno spaziotangente, una struttura algebrica e costituiscono il punto di partenza perarrivare ai gruppi quantistici. Sia g ∈ G con g−1 suo elemento inverso e siaO−1 : G → G l’applicazione O−1(g) = g−1, definiamo il gruppo di Lie comesegue:

Definizione 1.1.2. Un gruppo {G,⊗} e un gruppo di Lie se sono soddisfattele seguenti condizioni:

• Ogni elemento del gruppo g ∈ G si puo parametrizzare tramite unvettore a = (a1, a2, . . . , ar) ∈ Rr le cui componenti sono chiamateparametri di Lie;

• Sia g ∈ G parametrizzato da a e sia il suo inverso g−1 parametrizzatoda a′, allora ∀g ∈ G ∃f : Rr → Rr tale che f(a) = a′ con f analitica einvertibile in Rr;

• siano g, g′ ∈ G parametrizzati rispettivamente con a e a′ e sia l’elemen-to g′′ = g⊗g′ parametrizzato da a′′, allora ∀g, g′ ∈ G ∃γ : Rr×Rr → Rrtale che γ(a, a′) = a′′ con γ analitica in Rr × Rr.

Le tre condizioni equivalgono piu brevemente a dire che se le due mappe⊗ e O−1 sono mappe lisce (i.e. possono essere rappresentate da una funzioneanalitica) allora il gruppo G e un gruppo di Lie.Diamo ora la definizione piu generale di algebra:

Definizione 1.1.3. Un’algebra e definita come uno spazio vettoriale Asu un campo K in cui e definita una mappa ? : A × A → A chiamatamoltiplicazione, che e bilineare, ossia che soddisfa:

• (x+ y) ? z = x ? z + y ? z;

• x ? (y + z) = x ? y + x ? z;

• ax ? y = a(x ? y);

• x ? by = b(x ? y).

∀x, y, z ∈ A e ∀a, b ∈ K.

Si dice poi che l’algebra e commutativa se ? e commutativa. Allo stessomodo si dice che l’algebra e associativa se ? e associativa.A questo punto occorre cercare degli oggetti matematici da associare aglielementi di questi gruppi. La teoria delle rappresentazioni si occupa appuntodi rappresentare elementi di un gruppo (o di un’algebra) astratto in termini

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di elementi piu noti. Questo significa quindi trovare uno spazio isomorfo algruppo o all’algebra da rappresentare. A questo proposito entra in gioco ilTeorema di Ado qui sotto enunciato

Teorema 1.1.1. Ogni gruppo di Lie e isomorfo a un gruppo di matrici

In generale gli elementi di un gruppo qualunque si associano ad unatrasformazione lineare in uno spazio vettoriale V su un campo K. Se si con-sidera come GLn(V ) il gruppo generale lineare, ossia il gruppo delle matricin × n invertibili su campo K, allora si possono definire le rappresentazionidei gruppi come segue

Definizione 1.1.4. Sia G un gruppo. La rappresentazione di questo gruppoe un’applicazione ρ : G → GLn(V ) che preserva le operazioni e le proprietadel gruppo. In particolare, siano g1, g2 ∈ G, e richiesto che:

ρ(g1 ⊗ g2) = ρ(g1)ρ(g2) (1.1)

La dimensione di V i.e. n viene chiamata dimensione della rappresenta-zione. Analogamente si puo definire la rappresentazione di un’algebra A suuno spazio vettoriale V su un campo K come un’applicazione che associaad ogni elemento dell’algebra un’applicazione lineare in V .Associamo dunque una matrice M ad ogni elemento di un gruppo di Lie G te-nendo presente che, secondo la definizione di gruppo di Lie, anche le matriciM saranno parametrizzate da un vettore a ∈ Rr. E molto conveniente sce-gliere la parametrizzazione in modo tale da avere M (a = (0, 0, . . . , 0)) = I(chiameremo d’ora in poi per brevita 0 il vettore nullo r-dimensionale). Datele mappe lisce che definiscono il gruppo di Lie e possibile ”derivare” que-ste matrici rispetto ad ogni componente di a. In un intorno dell’identitasi possono quindi ”sviluppare in serie” queste matrici ottenendo al primoordine

M(a) = M(0) +

r∑i=1

∂M

∂ai

∣∣∣a=0

ai = I +

r∑i=1

Aiai (1.2)

Avendo definito Ai = ∂M∂ai

∣∣∣a=0

.

Prendiamo adesso una matrice M diagonalizzabile e invertibile, allora esi-stera la sua diagonalizzata Md che ha nella diagonale i suoi autovalori{µj}nj=1 (tutti diversi da zero, altrimenti M non sarebbe piu invertibile).

Chiamiamo poi S la trasformazione che diagonalizza M i.e. M = SMdS−1.

Dato che µj 6= 0 possiamo porre µj = eαj , chiamiamo poi Ad la matri-ce diagonale formata dagli αj e allora avremo Md = eAd . Avremo poi ilseguente

Lemma 1.1.2. Sia A una matrice e S una matrice invertibile ⇒SeAS−1 = eSAS

−1.

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Da questo avremo quindi:

M = SMdS−1 = SeAdS−1 = eSAdS

−1= eA

Abbiamo provato che ogni matrice M diagonalizzabile e invertibile puo es-sere scritta come M = eA. Osserviamo che la corrispondenza tra αj e µj econtinua solo localmente. Infatti si avra che αj = lnµj = ln |µj | + iθj doveθj e l’argomento di µj ed e compreso tra −π e π. In questo caso il dominiodi αj sara un foglio di Riemann con taglio che va da 0 a −∞ e quindi adesempio non vi sara una corrispondenza continua in un intorno di θj = π.

Teorema 1.1.3. Sia G un gruppo di Lie e sia M = eA con M ∈ G, la corri-spondenza M → A e un omomorfismo fra un intorno dell’identita del gruppoe l’intorno di una matrice nulla in uno spazio vettoriale A di dimensioneuguale a quella del gruppo.

Lo spazio vettoriale A si dice spazio tangente al gruppo ed e lo spaziovettoriale formato dalle matrici A. Sia quindi A ∈ A, essa si puo scrivere,tramite la (1.2), come

A =

r∑i=1

aiAi

E gli Ai si dicono generatori del gruppo G. Avremo poi che se A ∈ A ⇒SAS−1 ∈ A ed S si puo scrivere come S = S(t) = atAi dove t e un parametromolto piccolo. Avremo che S(t)AjS

−1(t) ∈ A e allora

S(t)AjS−1(t) = (I + tAi + . . . )Aj(I − tAi + . . . ) = Aj + t [Ai, Aj ]

dove [, ] indica il commutatore. Al primo ordine rimane quindi solo [Ai, Aj ]e dato che A e uno spazio vettoriale il commutatore deve appartenere adesso. E allora avremo la relazione

[Ai, Aj ] =

r∑k=1

cijkAk (1.3)

Vi sara quindi una relazione del tipo (1.3) per ogni terna di vettori (Ai, Aj , Ak)nello spazio vettoriale A. Le cijk si dicono costanti di struttura dell’algebra.Possiamo quindi dare la seguente

Definizione 1.1.5. Uno spazio vettoriale A dotato di una struttura alge-brica data dalle relazioni (1.3) si dice algebra di Lie.

Ad ogni gruppo di Lie G e quindi possibile associare uno spazio vettorialetangente all’identita di G. Questo spazio corrisponde all’algebra di Lie. Lamappa di moltiplicazione ? definita nella definizione dell’algebra coincidecon il commutatore [·, ·] detto anche prodotto di Lie. In generale questo none ne commutativo ne associativo, ma e bilineare. Possiamo poi affermareche in un’algebra di Lie ? soddisfa le seguenti proprieta:

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• (ax+ by) ? z = a(x ? z) + b(y ? z) ∀x, y, z ∈ A∧∀a, b ∈ K (bilinearita);

• (x? y) ? z+ (z ?x) ? y+ (y ? z) ?x = 0 ∀x, y, z ∈ A (identita di Jacobi);

• x ? x = 0 ∀x ∈ A (nilpotenza).

Dato che quindi ad ogni gruppo di Lie e associata un’algebra di Lie saraanche definita una rappresentazione dell’algebra di Lie come segue.

Definizione 1.1.6. Una rappresentazione di un’algebra di Lie su uno spaziovettoriale V e un’applicazione ρ : A → GL(V ) che soddisfa la seguenteproprieta

ρ ([A1, A2]) = [ρ(A1), ρ(A2)] ∀A1, A2 ∈ A (1.4)

In realta abbiamo gia utilizzato questa rappresentazione, poiche abbiamosempre interpretato gli elementi dello spazio tangente A, e quindi dell’alge-bra di Lie, come matrici A e quindi come applicazioni lineari di uno spaziovettoriale V .

1.2 Gruppi quantistici

Per dare un’idea del concetto di gruppi quantistici partiamo dal percorsofatto nella sezione precedente. Abbiamo definito una particolare classe digruppi detti gruppi di Lie, i cui elementi seguono quindi gli assiomi del grup-po. La particolarita di questi gruppi e che ad essi si possono associare dellealgebre commutative che descrivono la struttura locale del gruppo nell’in-torno dell’identita del gruppo stesso. Queste particolari algebre si diconoalgebre di Lie e sono in generale non associative e descritte dalle equazioni(1.3).Introduciamo ora il concetto di deformazione. Le leggi della meccanica clas-sica, con l’avvento della meccanica quantistica e della meccanica relativisti-ca, sono state corrette al fine di spiegare alcuni fenomeni in dei casi limitein cui le leggi della meccanica classica perdevano di validita. Il piu delle vol-te queste leggi modificate sono delle generalizzazioni delle leggi classiche, omeglio, delle deformazioni di esse. Si prendano ad esempio alcune leggi dellameccanica quantistica che tendono alle leggi classiche per ~ → 0 oppure leleggi della fisica relativistica che tendono alle leggi classiche per β → 0 i.e.per γ → 1. In questo caso ~ e β sono esempio di parametri di deformazione.La deformazione di un’equazione si intende quindi come l’introduzione inessa di un parametro a che, per a→ a0 essa ritorna l’equazione originale.Cosa succederebbe se ora deformassimo le strutture algebriche di un’al-gebra di Lie, ossia le equazioni (1.3) che descrivono un’algebra? In ge-nerale otteniamo un nuovo spazio vettoriale Aa con dei diversi elementi{Ai(a)} con a ∈ R e cambierebbero anche le costanti di struttura dell’algebra

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cijk → cijk(a). Le equazioni (1.3) diventerebbero quindi:

[Ai(a), Aj(a)

]=

r∑k=1

cijk(a)Ak(a) (1.5)

La condizione primaria per poter svolgere questa operazione e che per atendente ad a0 le equazioni (1.5) diventano le (1.3). Osserviamo poi che lealgebre di Lie, oltre a dover seguire le condizioni che la definiscono, hannoanche degli assiomi extra relativi alla particolare algebra di Lie a cui ci sista riferendo. Ad esempio gli elementi dell’algebra di Lie del gruppo SU(n)non solo devono soddisfare le condizioni dell’algebra di Lie, ma devono an-che essere matrici n × n antihermitiane a traccia nulla (come vedremo inseguito). Ebbene, una deformazione dell’algebra di SU(n) dovra mantene-re i suoi elementi antihermitiani e a traccia nulla, mentre possono renderenon piu valide le condizioni che definiscono l’algebra di Lie. Piu in generalepossiamo dire che una deformazione deve necessariamente lasciare inalteratiquesti assiomi extra, mentre cambiando la struttura algebrica puo anche farvenir meno le condizioni che definiscono l’algebra di Lie. Di conseguenzaun’algebra di Lie deformata non sara piu un’algebra di Lie e in generalel’algebra sara non commutativa. Data la corrispondenza tra un’algebra diLie e un gruppo di Lie possiamo dire che ad un’algebra di Lie deformatacorrisponde un gruppo di Lie deformato: quest’ultimo viene definito comeun gruppo quantistico. Questo tipo di gruppo e completamente diverso daun gruppo di Lie, infatti quest’ultimo e a tutti gli effetti un gruppo dovei suoi elementi seguono degli assiomi e da essi si ricava l’algebra di Lie. Ilgruppo quantistico invece e un concetto puramente astratto, poiche vieneda un’algebra che non e un’algebra di Lie e quindi non ha nulla a che vederecon il gruppo classico, non segue i suoi assiomi e non conosciamo in generalei suoi elementi. L’unica cosa che sappiamo di un gruppo quantistico e che inun intorno dell’identita puo essere descritto da una struttura algebrica checorrisponde a un’algebra di Lie deformata. Preso un gruppo di Lie qualun-que G per arrivare al corrispondente gruppo quantistico si fanno i seguentipassaggi:

• Si ricava l’algebra di Lie corrispondente a G che chiamiamo A;

• Si deforma quest’algebra ottenendo Aa;

• Si ipotizza l’esistenza di un gruppo Ga descritto dall’algebra Aa.

Il gruppo quantistico e quindi un concetto astratto che puo essere identificatosolo con la sua algebra, che sara un’algebra di Lie a cui e stata applicatauna deformazione a.I gruppi quantistici che studieremo sono quelli sviluppati da Jimbo-Drinfeld.La deformazione di quest’algebra e espressa dal parametro q che per q =

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1 diventera un’algebra non deformata. Consideriamo un gruppo di Lie Gdescritto localmente da un’algebra di Lie A che in generale non e associativa.L’approccio di Jimbo-Drinfeld e quello di non deformare direttamente A madi costruire da questa un’algebra associativa che puo essere rappresentatada A. In questo modo sara applicabile la deformazione q e l’associativitadel prodotto di Lie sara uno degli assiomi extra che la deformazione q dovramantenere. Vediamo ora come ottenere da A questa algebra associativafacendo riferimento a [14].

Definizione 1.2.1. Sia A un’algebra associativa. Essa si dice ”unitale” se∀A ∈ A ∃I ∈ A : I ⊗A = A⊗ I = A.

Da questa abbiamo tutti gli elementi per definire l’algebra universale diinviluppo.

Definizione 1.2.2. Sia {A, ?} un’algebra di Lie su un campo K. Si dicealgebra universale di inviluppo di A un’algebra {U(A), ·} definita insieme aun’applicazione i : A → U(A) che soddisfa le seguenti proprieta:

• U(A) e un’algebra associativa e unitale;

• i e lineare e soddisfa i([x ? y]) = i(x) · i(y)− i(y) · i(x) ∀x, y ∈ A;

• per ogni algebra associativa e unitale {A′, •} e per ogni applicazionej : A → A′ che soddisfa j([x ? y]) = j(x) • j(y)− j(y) • j(x) ∀x, y ∈ Aavremo che esiste ed e unico l’omomorfismo Φ : U(A) → A′ tale cheΦ ◦ i = j

Quindi da un’algebra non associativa A ci siamo ricavati la sua algebrauniversale di inviluppo U(A) che e sempre associativa. Un’altra conseguenzadi trattare anziche l’algebra di Lie A la sua algebra universale di inviluppo eche se come prodotto di Lie di A i.e. ? non avessimo il commutatore alloraavremmo che le formule (1.3) non sarebbero piu esprimibili. Considerandoinvece l’algebra universale di inviluppo di A avremo dalla seconda proprietache applicando i al prodotto di Lie ? ci si rimanda sempre ad un commuta-tore e quindi diventano esprimibili le formule (1.3).Il gruppo quantistico di Jimbo-Drinfeld quindi, invece di deformare l’algebradi Lie di un gruppo, deforma la sua algebra universale di inviluppo in mododa ereditarne l’associativita. L’algebra universale di inviluppo q-deformatadi un’algebra di Lie A si indica con Uq(A) e in generale indicheremo unqualunque oggetto q-deformato con un pedice q. Ulteriori dettagli sull’ot-tenimento di questi gruppi quantistici sono riportati nel capitolo 9 del libro[6] in bibliografia. Onde evitare una trattazione troppo lunga ci limiteremoa studiare le sue principali applicazioni.

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1.3 Gruppo SU(n) e rappresentazione di Schwin-ger

In questa sezione metteremo da parte i gruppi quantistici e ci concentrere-mo principalmente sui gruppi di Lie SU(n), detto gruppo speciale unitario,ossia il gruppo delle matrici unitarie n × n con determinante pari a 1. Diimportanza particolarmente rilevante e il gruppo SU(2) delle matrici 2× 2unitarie a determinante 1. Questo e dovuto al fatto che il gruppo delle ro-tazioni spaziali SO(3) puo essere rappresentato tramite il gruppo SU(2).Ulteriori dettagli su come arrivare a questa rappresentazione si trovano in[17]. Prendiamo in esame un sistema con momento angolare totale j fissatoe indichiamo con {|j,m〉}jm=−j la base di autostati del sistema (m va da −ja j saltando di un intero e j puo essere intero o semintero). Allora avremogli osservabili compatibili J2 e Jz che (considerando ~ = 1) daranno:

J2 |j,m〉 = j(j + 1) |j,m〉 (1.6)

Jz |j,m〉 = m |j,m〉 (1.7)

Inoltre avremo gli operatori ausiliari

J± |j,m〉 = (Jx ± iJy) |j,m〉 =√j(j + 1)−m(m± 1) |j,m± 1〉 (1.8)

In generale, prendendo {|j,m〉}jm=−j come base, avremo che ogni osservabiledi momento angolare lungo una qualunque direzione puo essere rappresen-tato come una matrice semplice unitaria (2j + 1)× (2j + 1). Quindi, iden-tificando n = 2j + 1 e prendendo un’asse qualunque ζ, avremo che Jζ puoessere rappresentato da una matrice ∈ SU(n). Di conseguenza possiamoaffermare che il gruppo di Lie SU(n) puo essere rappresentato localmentetramite la seguente algebra di Lie:{

[Jz, J±] = ±J±[J+, J−] = 2Jz

(1.9)

Studiamo ora la rappresentazione di Schwinger del momento angolare e os-serviamo come l’algebra dei momenti angolari sia strettamente collegata aquella di due oscillatori armonici quantistici indipendenti. A tal fine quindiconsideriamo un sistema fisico composto da due oscillatori armonici indipen-denti, il primo indicato con + e il secondo indicato con −. Ad essi sarannoassociati i rispettivi operatori creazione e distruzione a† e a e quindi ognunodi essi avra un operatore numero

N+ = a†+a+

N− = a†−a−

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Considerando quindi la base di autostati del sistema {|n+, n−〉}∞n+,n−=0

avremo per gli operatori le seguenti espressioni:

N± |n+, n−〉 = n± |n+, n−〉 (1.10)

a†± |n+, n−〉 =√n± + 1

∣∣∣∣n+ +1

2± 1

2, n− +

1

2∓ 1

2

⟩(1.11)

a± |n+, n−〉 =√n±

∣∣∣∣n+ −1

2∓ 1

2, n− −

1

2± 1

2

⟩(1.12)

Possiamo quindi ottenere tutti gli autostati possibili applicando piu voltea†+ e a†− al cosidetto stato di vuoto |0+, 0−〉 definito come quello stato taleper cui vale la seguente relazione:

a± |0+, 0−〉 = 0 (1.13)

E quindi per lo stato generico otteniamo

|n+, n−〉 =

(a†+

)n+(a†−

)n−√n+!n−!

|0+, 0−〉 (1.14)

I risultati trovati fino ad ora vengono semplicemente dalla teoria degli oscil-latori armonici quantistici.Definiamo ora i seguenti operatori:

J± = a†±a∓ (1.15)

Jz =N+ −N−

2(1.16)

Il primo e un operatore che alza di uno stato quantico l’oscillatore armonico+ (-) e abbassa di uno stato quantico l’oscillatore armonico - (+). Il secondoe un’osservabile che lascia inalterati gli autostati del sistema e che da un’au-tovalore n++n−

2 . Calcoliamo ora i commutatori [Jz, J±] e [J+, J−], sapendoche, data l’indipendenza dei due oscillatori armonici, il commutatore tra dueoperatori che si riferiscono ad oscillatori diversi e zero.

[Jz, J±] =

[N+ −N−

2, a†±a∓

]=

1

2

([a†+a+, a

†±a∓

]−[a†−a−, a

†±a∓

])=

1

2

(a†+

[a+, a

†±

]a∓ + a†±

[a†+, a∓

]− a†−

[a−, a

†±

]a∓ − a†±

[a†−, a∓

]a−

)=

1

2

(a†+a∓

(1

2± 1

2

)+ a†±a+

(−1

2± 1

2

)− a†−a∓

(1

2∓ 1

2

)− a†±a−

(−1

2∓ 1

2

))che nel caso del + diventa

[Jz, J±] =1

2(J+ + J+) = J+

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e nel caso del −[Jz, J±] = −1

2(J− + J−) = −J−

Per il secondo commutatore invece avremo

[J+, J−] =[a†+a−, a

†−a+

]= a†+

[a−, a

†−

]a+ + a†−

[a†+, a+

]a−

= n+ − n− = 2Jz

E quindi per questi osservabili avremo le regole di commutazione analoghealle (1.9). Fisicamente questo puo essere interpretato come se un sistema din = n++n− particelle di spin 1

2 possa essere rappresentato da due oscillatoriarmonici quantistici indipendenti. In questa rappresentazione n+ rappresen-ta il numero delle particelle del sistema con spin |↑〉 e n− il numero delle

particelle con spin |↓〉. J+ = a†+a− (J− = a+a†−) rappresenta invece un ope-

ratore che distrugge (crea) una particella di spin |↓〉 e ne crea (distrugge)una di spin |↑〉. Avendo quindi la base di autostati {|n+, n−〉}∞n+,n−=0 pos-

siamo fissare il numero delle particelle n = n+ + n− e ponendo j = n++n−2

possiamo passare alla base di autostati {|j,m〉}jm=−j dove j ed m soddisfanoquindi le relazioni:

J2 |j,m〉 = (J2x + J2

y + J2z ) |j,m〉 = j(j + 1) |j,m〉 (1.17)

Jz |j,m〉 = m |j,m〉 (1.18)

Nelle relazioni precedenti abbiamo posto Jx = J++J−2 e Jy = J+−J−

2i e dalla(1.18) e dalla (1.16) avremo

m =n+ − n−

2(1.19)

Cosı facendo stiamo rappresentando due oscillatori armonici quantistici tra-mite l’algebra dei momenti angolari, algebra di Lie del gruppo di Lie SU(n).Allo stesso modo possiamo fare il viceversa, ossia rappresentare un sistemafisico anziche con l’algebra dei momenti angolari con l’algebra degli opera-tori bosonici a+, a−, a†+ e a†−. Per completezza osserviamo che un autosta-to di due oscillatori armonici indipendenti, tramite la rappresentazione deimomenti angolari puo essere scritto come

|j,m〉 =

(a†+

)j+m (a†−

)j−m√

(j +m)!(j −m)!|0〉 (1.20)

Dove |0〉 e lo stato di vuoto definito nella (1.13). Nei capitoli successivivedremo l’utilita della rappresentazione di Schwinger (i.e. rappresentazionedi stati di momenti angolari con operatori bosonici) nel rappresentare statidi qubit e di qudit in computazione quantistica.

14

1.4 Gruppo SUq(n) e rappresentazione di Schwin-ger

Nella sezione precedente abbiamo definito il gruppo SU(n) con le relazioni(1.9). Consideriamo ora finalmente il gruppo quantistico relativo a que-sto gruppo, ossia il gruppo SUq(n) deformato secondo la deformazione-qdi Jimbo-Drinfeld. Considerando i nuovi generatori {Jq±, Jqz} che per bre-vita scriveremo senza i pedici q, si ottiene l’algebra del gruppo quantisticoSUq(n) definita dalle seguenti relazioni:[Jz, J±] = ±J±

[J+, J−] = qJz−q−Jz

q12−q−

12

(1.21)

Dove q ∈ R+. Osserviamo che il secondo commutatore non da piu comerisultato 2Jz ma un termine esponenziale che si puo anche scrivere comesomma finita di esponenziali, ossia

qJz − q−Jz

q12 − q−

12

=

2Jz−1∑i=0

q2Jz−1−2i

2 (1.22)

D’ora in poi, per brevita, useremo la notazione

[x]q =qx2 − q−

x2

q12 − q−

12

(1.23)

e quindi le regole commutazione dell’algebra del gruppo quantistico SUq(n)saranno scritte in questo modo:{

[Jz, J±] = ±J±[J+, J−] = [2Jz]q

(1.24)

Osserviamo poi che usando la (1.22) e immediato che per q = 1 avremo

[2Jz]q = 2Jz (1.25)

E quindi per q = 1 avremo l’algebra di Lie del gruppo SU(n), come deveessere. Per q 6= 1 invece non si avra piu un’algebra di Lie e questo confermaquanto detto nella sezione 1.2, ossia che e impossibile trovare elementi diquesto gruppo e che l’unica informazione che abbiamo sul gruppo quantisti-co SUq(n) e la sua algebra e quindi la sua struttura nell’intorno dell’identita.Cerchiamo ora di rappresentare questo gruppo quantico SUq(n) con gli ope-ratori bosonici degli oscillatori armonici i.e. tramite la rappresentazione diSchwinger. Procediamo quindi a ritroso rispetto a quanto fatto nel paragra-fo 2, cercando di trovare delle relazioni di commutazione per gli operatori

15

aq± e a†q±. Scriviamo quindi gli operatori momento angolare come

J± = a†q±aq∓

Jz =Nq+ −Nq−

2

doveNq± sono i rispettivi operatori numero q-deformati, ossiaNq± = a†q±aq±.Una volta apportate queste definizioni possiamo scrivere queste nelle equa-zioni (1.24) e cercare delle algebre q-deformate per gli operatori a affinchequeste equazioni vengano soddisfatte. In generale vi sono infinite regole dicommutazione, ma possiamo adottare la restrizione di considerare l’oscilla-tore armonico + indipendente da quello − e quindi reputare tutti i commu-tatori riferenti a oscillatori diversi come nulli. In questo caso il risultato perentrambi gli oscillatori sara:

aq±a†q± − q

12a†q±aq± = q−

Nq±2 (1.26)

Definendo poi come |0〉q lo stato di vuoto deformato possiamo scrivere lostato di un sistema quantistico q-deformato in modo simile al paragrafoprecedente, ossia come

|j,m〉 =

(a†q+

)j+m(aq−)j−m

[j +m]q! [j −m]q!|0〉q =

(a†q+

)N+

(aq−)N−

[N+]q! [N−]q!|0〉q (1.27)

dove si intende

[n]q! =

n∏i=1

[i]q

dove [0]q! = 1 per definizione. Abbiamo quindi espresso lo stato di un siste-ma sia con l’algebra q-deformata del gruppo quantico SUq(n) (ossia l’algebradei momenti angolari), sia con l’algebra bosonica di due oscillatori armoniciindipendenti q-deformati definiti nell’equazione (1.26). Osserviamo che que-sta relazione e sempre la stessa sia per l’oscillatore + che per l’oscillatore −.Quindi possiamo considerare un singolo oscillatore armonico, senza conside-rarne due indipendenti, definendo quindi con l’algebra dei bosoni l’oscillatorearmonico quantistico q-deformato e quindi l’analogo dell’oscillatore armoni-co nel gruppo SUq(n). Gli autostati di questo sistema saranno {|n〉q}∞n=0 esono definiti da

|n〉q =(a†q)n

[n]q!|0〉q (1.28)

Cerchiamo ora di trovare una forma agli operatori dell’algebra bosonica q-deformata. In particolare cercheremo di trovare una forma per gli operatoriq-deformati in funzione di quelli non deformati. Le forme piu generali che si

16

possono avere per gli operatori di creazione e distruzione sono le seguenti,riferendoci a [11]:

aq = a

√√√√√qN2 Φ1 − q−

N2 Φ2

N(q

12 − q−

12

)∗

(1.29)

a†q =

√√√√√qN2 Φ1 − q−

N2 Φ2

N(q

12 − q−

12

) a† (1.30)

dove le funzioni Φ1 e Φ2 sono dei parametri arbitrari che soddisfano lacondizione di essere periodiche per n. Avremo allora Φi(q, n) = Φi(q, n+ 1)dove n e l’autovalore dell’operatore numero N . Dato che n e un numerointero possiamo anche affermare che le Φi dipendono solo da q. Nel casoΦ1 = Φ2 = Φ avremo:

aq = aΦ(q)[N ]qN

(1.31)

Dimostriamo ora che |0〉q = |0〉 ossia che lo stato di vuoto dell’oscillatorearmonico q-deformato corrisponde a quello non deformato. Consideriamol’operatore distruzione a non deformato, questo e in generale definito comel’operatore tale che: {

a |n〉 =√n |n− 1〉

a |0〉 = 0(1.32)

Se prendessimo in considerazione lo stato dell’oscillatore armonico |−1〉 ≡ 0avremo

a |0〉 =√n |−1〉 = 0 (1.33)

In questo modo l’operatore a si puo definire anche solo con la prima delleequazioni (1.32). Osserviamo poi che al secondo membro della (1.33) anche√n = 0 ma l’annullamento viene in generale dalla condizione |−1〉 ≡ 0

imposta per definizione. Analogamente per l’operatore di distruzione q-deformato aq deve valere la condizione aq |0〉q = 0. Dato che poi l’operatore

a ha il suo inverso 1na† allora anche aq avra il suo inverso. Questo significa

che il kernel di a (aq) deve contenere un solo elemento ed esso corrispondea |0〉 (|0〉q). Poiche quindi e unico l’elemento del kernel di aq possiamoaffermare che aq |0〉 = 0 e condizione necessaria e sufficiente per dire che|0〉 = |0〉q. Vediamo se questo e vero. Dalla (1.29) avremo per un generico

17

stato |n〉 che:

aq = a

√√√√√qN2 Φ1 − q−

N2 Φ2

N(q

12 − q−

12

) |n〉 =

√√√√qn2 Φ1 − q−

n2 Φ2

n(q

12 − q−

12

) a |n〉=

√√√√qn2 Φ1 − q−

n2 Φ2

n(q

12 − q−

12

) √n |n− 1〉 =

√√√√qn2 Φ1 − q−

n2 Φ2(

q12 − q−

12

) |n− 1〉

che per n = 0 diventa √√√√ Φ1 − Φ2(q

12 − q−

12

) |−1〉 = 0

Dato che il primo fattore e una quantita finita (se fosse stata una quantitainfinita non avremmo avuto l’annullamento desiderato).A questo punto, dalla (1.28) possiamo ricavarci gli stati dell’oscillatore ar-monico q-deformato in funzione di quelli non deformati, infatti avremo:

|n〉q =

(a†q)n

[n]q!|0〉q =

(a†q)n

[n]q!|0〉

⇒ |n〉q =

∏ni=1

(qi2 Φ1 − q−

i2 Φ2

)[n]q!

(q

12 − q−

12

)n |n〉

(1.34)

Possiamo facilmente verificare che se Φ1 = Φ2 = 1 allora semplicemente|n〉q = |n〉 e non vi e deformazione.

18

Capitolo 2

Computazione quantistica

In questo capitolo descriveremo brevemente gli aspetti fondamentali dellacomputazione quantistica. Introdurremo quindi il concetto di qubit, di portelogiche quantistiche e di circuiti quantistici generalizzando il concetto delleporte ”control”. Nell’ultima sezione poi ci occuperemo delle porte logichequantistiche universali e dimostreremo l’universalita di un particolare setdi porte logiche. Lo scopo principale di questo capitolo e quello di dareuna base per il capitolo successivo, dove introdurremo la deformazione q aiconcetti descritti in questo.

2.1 Porte logiche quantistiche

Nell’informatica classica l’unita di misura della quantita di informazione eil bit. Questo e generalmente costruito attraverso un segnale elettrico e perdefinizione e una quantita che puo assumere solo due valori i.e. 0 e 1. In-dicando quindi con b il valore del bit si avra b ∈ {0, 1}. Analogamente ininformatica quantistica l’unita di misura della quantita di informazione, equindi la quantita di informazione piu piccola che possiamo avere, e costi-tuita dal qubit. Il qubit e lo spazio degli stati di dimensione complessa 2(i.e C2). Lo stato generico di un qubit si puo quindi scrivere come

|q〉 = α |0〉+ β |1〉

dove α, β ∈ C e questi soddisfano la condizione di normalizzazione |α|2 +|β|2 = 1. |0〉 e |1〉 sono invece i vettori della base canonica di C2, ossia:

|0〉 =

(10

)= (1, 0) |1〉 =

(01

)= (0, 1) (2.1)

Un qubit puo essere quindi rappresentato nella forma q = (α, β).Torniamo nuovamente all’informatica classica, o meglio alla computazione.Dati dei bit, questi devono poter essere manipolati e modificati al fine di

19

eseguirci dei calcoli. Vi saranno quindi delle funzioni f : {0, 1} → {0, 1}chiamate porte logiche ad un bit. Per n bit ci saranno delle porte logiche cherestituiscono m bit in output. In computazione quantistica invece avremodegli operatori lineari ϕ : C2 → C2 che trasformano il qubit in un altro qubit.Queste applicazioni si dicono porte logiche quantistiche ad un qubit. Primadi iniziare a trattare le proprieta fondamentali di queste e opportuno faredelle considerazioni per quanto riguarda i sistemi a piu qubit. Consideriamoad esempio un sistema di due qubit |q1〉 = α1 |0〉 + β1 |1〉 e |q2〉 = α2 |0〉 +β2 |1〉. Lo stato del sistema sara descritto dal prodotto tensoriale dei duequbit

|q1〉 ⊗ |q2〉 = (α1 |0〉+ β1 |1〉)⊗ (α2 |0〉+ β2 |1〉)= α1α2 |00〉+ α1β2 |01〉+ β1α2 |10〉+ β1β2 |11〉

dove abbiamo indicato con |00〉 = |0〉 ⊗ |0〉 e cosı via. Analogamente si puoscrivere il generico stato del sistema a due qubit come

q = α |00〉+ β |01〉+ γ |10〉+ δ |11〉 (2.2)

dove vale la condizione di normalizzazione (|α|2 + |β|2 + |γ|2 + |δ|2 = 1). Lostato del sistema appartiene quindi allo spazio C4. Possiamo inoltre osserva-re che la (2.2) puo rappresentare anche uno stato con due qubit ”entangled”,ossia non scomponibili in prodotti tensoriali. Generalizzando per n qubitpossiamo dire che lo stato sistema ad n qubit appartiene allo spazio C2n equindi e rappresentato da un vettore 2n-dimensionale di norma 1.Detto cio possiamo iniziare a parlare delle porte logiche quantistiche osser-vando innanzitutto che, sia n il numero dei qubit del sistema, esse sonoapplicazioni lineari che operano su spazi vettoriali ϕ : C2n → C2n e sonoinvertibili. Quindi queste sono applicazioni lineari che possono essere rap-presentate come matrici 2n × 2n e allora avremo ϕ ∈ GL2n(C). Le portelogiche possono quindi essere rappresentate da matrici facenti parti di ungruppo, in particolare al gruppo lineare generale GL2n(C). Possiamo anchedire di piu: supponiamo che una porta logica trasformi il qubit q1 nel qubitq2, allora sia q1 che q2 devono soddisfare la condizione di normalizzazione.Ne consegue che le porte logiche appartengono al sottogruppo di GL2n(C)delle matrici unitarie 2n × 2n, ossia U(2n). Dato che successivamente scri-veremo le porte logiche non solo in forma matriciale ma anche in forma diprodotti esterni, e bene dire come passare da una scrittura all’altra. Unaqualunque applicazione lineare A che ha come dominio uno spazio vettorialecon base {|i〉}ki=1 e come codominio lo stesso spazio vettoriale puo esserescritta nel modo seguente, tramite somma di prodotti esterni.

A =

k∑i,j=1

cij |i〉 〈j| (2.3)

Gli elementi cij corrispondono ai coefficienti della matrice che rappresentaA.

20

Forniamo ora degli esempi delle porte logiche quantistiche piu utilizzate.Scriveremo le porte logiche sia in forma matriciale sia in forma di prodottiesterni. In questa sezione vedremo solo le porte ad un qubit, occupandocidi quelle a due qubit alla sezione 2.2, date le loro applicazioni per crearecircuiti quantistici. Tra le porte logiche ad un qubit di rilevante importanzaabbiamo la NOT , definita come:

NOT =

(0 11 0

)= 2σx = |1〉 〈0|+ |0〉 〈1| (2.4)

La porta NOT e quindi un analogo della NOT per i bit, che cambia i valoridel qubit da |0〉 a |1〉 e viceversa e quindi otterremo

NOT (α, β) = (β, α) (2.5)

avendo scritto il qubit tramite le sue componenti complesse nella base {|0〉 , |1〉}.Osserviamo poi come questa corrisponde alla matrice di Pauli σx.Abbiamo anche la porta Phase indicata con Ph(θ), parametrizzata da θ edefinita come:

Ph(θ) =

(1 00 eiθ

)= |0〉 〈0|+ eiθ |1〉 〈1| (2.6)

e quindi si avra Ph(θ) (α, β) =(α, eiθβ

). Possiamo osservare che Ph(0) = I

e inoltre ponendo θ = π otteniamo la matrice di Pauli σz. Un’altra portaad un qubit molto usata e la Hadamard H definita come segue:

H =1√2

(1 11 −1

)=

1√2

(|0〉 〈0| − |1〉 〈1|+ |0〉 〈1|+ |1〉 〈0|) (2.7)

Che verifica H (α, β) = 1√2

(α+ β, α− β).

Ai fini della dimostrazione del teorema che enunceremo nella terza sezionedi questo capitolo e necessario introdurre anche le seguenti porte logiche adun qubit, parametrizzate da un angolo θ:

Rz(θ) =

(e−i

θ2 0

0 eiθ2

)= e−i

θ2 |0〉 〈0|+ ei

θ2 |1〉 〈1| (2.8)

Ry(θ) =

(cos(θ2

)− sin

(θ2

)sin(θ2

)cos(θ2

) ) = cos

(θ

2

)(|0〉 〈0|+ |1〉 〈1|)+sin

(θ

2

)(|1〉 〈0| − |0〉 〈1|)

(2.9)

2.2 Circuiti quantistici

Un circuito quantistico e definito come un’insieme di porte logiche che dan qubit in input restituiscono n qubit in output. Vediamo ora come fare

21

per trasformare non piu un qubit ma un sistema di n qubit. Si utilizzano ingenerale delle porte logiche quantistiche a piu qubit, rappresentabili semprecome matrici unitarie e quindi anche come somma di vari prodotti esterni.Consideriamo per adesso solo le porte logiche a due qubit, il caso piu sempli-ce e quello in cui questa porta logica si puo scomporre in due porte logicheseparate, ognuna delle quali agisce su un singolo qubit. Nei circuiti quanti-stici sono incluse invece delle porte logiche che permettono a due qubit ininput diversi di ”interagire” effettuando scambi o istruzioni condizionali. Aproposito di scambi possiamo definire la porta SWAP : C4 → C4 come laporta tale che:

SWAP |00〉 = |00〉 SWAP |01〉 = |10〉SWAP |10〉 = |01〉 SWAP |11〉 = |11〉

⇒ SWAP{α, β, γ, δ} = {α, γ, β, δ}

(2.10)In termini matriciali si puo scrivere come:

SWAP =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

(2.11)

Con due qubit possiamo gia definire le porte ”Control” in questo modo:

Definizione 2.2.1. Sia A una porta logica quantistica ad un qubit, la portaC(A) (controlled-A) e una porta logica quantistica a due qubit che applicaA al secondo qubit se e solo se il primo qubit e preparato nello stato |1〉

Scriviamo ad esempio la porta C(NOT ) e avremo:

C(NOT ) |00〉 = |00〉 C(NOT ) |01〉 = |01〉C(NOT ) |10〉 = |11〉 C(NOT ) |11〉 = |10〉

⇒ C(NOT ){α, β, γ, δ} = {α, β, δ, γ}

(2.12)E in termini di matrici e prodotti esterni avremo:

C(NOT ) =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

= |0〉 〈0| ⊗ I + |1〉 〈1| ⊗NOT (2.13)

Osserviamo che la notazione in prodotti esterni e quella piu comoda e in-tuitiva per le porte control, poiche i prodotti tensioriali mettono subito inevidenza in quale caso bisogna applicare la porta o meno. Una porta C(A)qualunque si scrive quindi come:

C(A) = |0〉 〈0| ⊗ I + |1〉 〈1| ⊗A (2.14)

Queste porte sono quindi in grado di creare delle istruzioni condizionali,ossia si attiva una porta su un qubit se e solo se un altro qubit soddisfa

22

una condizione. Le istruzioni condizionali sono molto frequenti nei circuitiquantistici e saranno usate anche dopo per studiare le porte logiche quan-tistiche universali. E bene quindi cercare di generalizzare il concetto delleporte control estendendole ad n qubit. In generale avremo un qubit c-esimoqc che chiamiamo qubit di controllo e un insieme di qubit Q che chiamiamoqubit controllati. Sia k il numero di qubit controllati (quindi Q contiene kelementi), e sia A la porta logica che agisce sui k qubit se e solo se qc sitrova in uno stato |x〉 chiamato stato di controllo. Per semplicita poniamolo stato di controllo come |1〉 (se volessimo un’altro stato di controllo |x〉bastera applicare una porta logica a qc che trasforma |x〉 in |1〉). Allora, laporta logica C(A) si definisce tramite prodotti esterni come

C(A) = |0〉 〈0| ⊗ In−1 + |1〉 〈1| ⊗AQ (2.15)

Dove il primo fattore del prodotto tensoriale si riferisce al qubit qc mentreil secondo si riferisce agli altri n− 1 qubit. In−1 sara quindi la porta logicache lascia inalterati tutti gli n− 1 qubit mentre AQ e la porta logica agentesugli n− 1 qubit che applica A solo a quei k qubit appartenenti a Q e lasciagli altri n− 1− k qubit inalterati.

2.3 Porte logiche quantistiche universali

Nella computazione classica abbiamo che ogni funzione f : {0, 1}n → {0, 1}m(e quindi ogni circuito) puo essere scritta solamente tramite la porta logicaNAND definite come segue:

NAND : {0, 1}2 → {0, 1} NAND(x, y) =

{0 se x = y = 1

1 altrimenti(2.16)

In generale possiamo definire un set di porte logiche universali come uninsieme U tale che ogni f : {0, 1}n → {0, 1}m possa essere scritta solo condelle funzioni fi ∈ U con fi : {0, 1}ki → {0, 1}ji , ki ≤ n e ji ≤ m poste in unacerta combinazione. Nell’esempio appena fatto per le porte NAND avremoU = {NAND} e quindi un insieme composto da un solo elemento. Questopero non e l’unico set di porte logiche universali. Ad esempio anche {NOR}e un insieme di porte logiche universali, dove NOR : {0, 1}2 → {0, 1} edefinita come:

NOR(x, y) =

{1 se x = y = 0

0 altrimenti(2.17)

Lo scopo di questa sezione e quello di trovare l’analogo per un circuitoquantistico, ossia e quello di trovare un set di porte logiche quantisticheΥ tali che, preso un circuito quantistico, esso possa essere scomposto intermini di porte appartenenti a Υ .In computazione quantistica, come in computazione classica, non esiste un

23

solo set di porte logiche universali. Noi ci riferiremo al lavoro di Barenco-Bennet che affermarono il seguente:

Teorema 2.3.1. Per descrivere un circuito quantistico e sufficiente usareporte logiche ad un qubit con la porta a due qubit controlled-NOT. In al-tre parole il set Υ = {U,C(NOT ) : U ∈ U(2)} e un set di porte logichequantistiche universali.

Dimostrazione. Possiamo innanzitutto osservare che la maggior parte delleporte logiche ad n qubit, dove i qubit non sono in stati entangled, possonoessere scomposte in n porte logiche diverse ad un qubit dove ognuna operasu un qubit diverso. In altre parole, se la porta logica U ad n qubit rientrain questa categoria possiamo scomporre U come:

U = U1 ⊗ U2 ⊗ · · · ⊗ Un

dove Ui ∈ U(2). Quindi abbiamo trovato una scomposizione secondo il setΥ di queste porte logiche.Le porte logiche controlled non rientrano pero in questa categoria. Il prossi-mo passo e percio quello di dimostrare che le porte logiche controlled a duequbit possono essere scomposte in porte logiche ∈ Υ . Successivamente do-vremo estendere questo risultato ad n qubit. Consideriamo quindi una portacontrolled-U (C(U)) dove U ∈ U(2), questa si puo anche scrivere come

|0〉 〈0| ⊗ I + |1〉 〈1| ⊗ U (2.18)

Consideriamo ora il gruppo SU(2) delle matrici speciali unitarie. Esso e ilgruppo delle matrici 2×2 con determinante unitario. Invece U ∈ U(2) e quin-di ha determinante con modulo unitario, allora si puo scomporre una matriceunitaria U come U = det(U)U dove U = SU(2). Una matrice ∈ SU(2) e poiparametrizzabile tramite gli angoli di Eulero α, β, γ e scomponibile quindiattraverso

U = Rz(α)Ry(β)Rz(γ) (2.19)

dove Rz e Ry sono state definite nelle (2.8) e (2.9). Definiamo adesso leseguenti porte logiche:

U1 := Rz(α)Ry

(β

2

)U2 := Ry

(−β

2

)Rz

(−α+ γ

2

)U3 := Rz

(−α+ γ

2

) (2.20)

Si puo dimostrare che sono valide le seguenti relazioni

U1U2U3 = I

U1σxU2σxU3 = U(2.21)

24

A questo punto possiamo scrivere, senza considerare detU che crea solo unosfasamento a tutto il qubit:

C(U) = |0〉 〈0| ⊗ I + |1〉 〈1| ⊗ U = |0〉 〈0| ⊗ U1U2U3 + |1〉 〈1| ⊗ U1σxU2σxU3

= |0〉 〈0| ⊗ U1IU2IU3 + |1〉 〈1| ⊗ U1σxU2σxU3

= [(|0〉 〈0|+ |1〉 〈1|)⊗ U1] · (|0〉 〈0| ⊗ I + |1〉 〈1| ⊗ σx) · [(|0〉 〈0|+ |1〉 〈1|)⊗ U2] ·· (|0〉 〈0| ⊗ I + |1〉 〈1| ⊗ σx) · [(|0〉 〈0|+ |1〉 〈1|)⊗ U3]

= (I ⊗ U1)C(NOT ) (I ⊗ U2)C(NOT ) (I ⊗ U3)

In questo modo abbiamo provato che una qualunque porta control a duequbit puo essere scomposta nelle porte appartenenti a Υ .Dimostriamo ora che vale la stessa cosa per le porte control a tre qubit.Indichiamo con Ci→j(A) la porta control a due qubit dove il qubit i-esimoe quello di controllo e il qubit j-esimo e quello controllato. Inoltre indichia-mo con Ii la porta logica identita ad un qubit applicata all’i-esimo qubit.Avremo che la porta C(C(U)) e scomponibile come:

C(C(U)) =(C1→3

(√U)⊗ I2

)(C1→2(NOT )⊗ I3)

(I1 ⊗ C2→3

(√U †))·

· (C1→2(NOT )⊗ I3)(I1 ⊗ C2→3

(√U))

(2.22)Onde evitare calcoli troppo lunghi e omessa la dimostrazione dell’uguaglian-za sopra. Abbiamo quindi dimostrato che anche le porte C(C(U)) sonoscomponibili con le porte logiche quantistiche appartenenti a Υ .Ora possiamo dimostrare che le porte logiche Cn(U) (controllate n vol-te) sono scomponibili attraverso le porte appartenenti a Υ . La dimostra-zione di questo e banale, infatti per avere una scomposizione della portaC3(U) = C(C(C(U))) basta sostituire nell’equazione (2.22) tutte le portecontrol C(A) con porte control-control C(C(A)). Procedendo iterativamen-te allo stesso modo si possono scomporre in porte appartenenti a Υ tutte leporte Cn(U).Per completare la dimostrazione dobbiamo vedere come scomporre in portelogiche appartenenti a Υ una generica porta logica ad n qubit, rappresen-tabile tramite una matrice unitaria 2n × 2n. Per fare questo prendiamo inesame quelle porte logiche quantistiche ad n qubit che coinvolgono solo duestati della base canonica |s〉 e |t〉. La matrice che esprime questa porta logicasi dice matrice a due livelli, definita come la matrice che opera nel sotto-spazio span{|s〉 , |t〉} e che lascia gli altri stati della base inalterati. Avremoche ogni matrice unitaria pu essere scomposta in n(n − 1) matrici a duelivelli (il numero deriva da tutte le coppie di stati della base canonica pos-sibili), percio per completare questa dimostrazione e sufficiente dimostrareche una qualunque matrice a due livelli pu essere scomposta in matrici lecui porte logiche che rappresentano appartengono a Υ . Consideriamo adesempio |s〉 = |00111010〉 e |t〉 = |00100111〉, per fare in modo che su |s〉 e

25

|t〉 operi una matrice U ∈ U(2) bisogna trasformare |t〉 in |t′〉 = |00111011〉,di modo che |t〉 diventi il vettore successivo a |s〉 nella base considerata.L’algoritmo per trasformare |t〉 in |t′〉 consiste in una serie di permutazioni,e quindi di porte NOT , sui singoli qubit di |t〉, controllate dagli stati deisingoli qubit di |s〉 e quindi da una serie di porte C(NOT ) (eventualmenteper queste C(NOT ) lo stato di controllo sara |0〉 anziche |1〉, ma abbiamovisto nella sezione precedente come trattare stati di controllo diversi da |1〉).Quindi anche quest’ultimo tipo di porte logiche quantistiche possono esserescomposte dalle porte logiche U ∈ U(2) e C(NOT ).

26

Capitolo 3

Computazione quantisticacon algebre deformate

In questo capitolo introduciamo l’algebra del gruppo quantistico SUq(2) nel-la computazione quantistica. Per far cio rappresenteremo il qubit con unoscillatore armonico quantistico e applicheremo ad esso l’algebra bosonicaq-deformata definita nella sezione 1.4, costruendo a tutti gli effetti un qubitq-deformato. Vedremo quindi le principali conseguenze della deformazioneq di un qubit nella computazione quantistica e con determinate condizionici troveremo delle porte logiche ad hoc per lavorare con il qubit deforma-to, definendo a tutti gli effetti delle nuove porte logiche e studiandone ledifferenze rispetto a quelle non deformate.

3.1 Il qubit deformato

Prima di introdurre il gruppo quantistico nella computazione quantistica enecessario dare al qubit una rappresentazione che utilizzi le algebre definitenel primo capitolo. Rappresentiamo quindi il qubit con una particella dispin 1

2 , quest’ultima puo essere rappresentata in una combinazione dei suoidue autostati dello spin |j,m〉 dove j = 1

2 e m = ±12 . Associamo allora lo

stato |↑〉 = |12 ,12〉 allo stato del qubit |1〉 e lo stato |↓〉 = |12 ,−

12〉 allo stato

del qubit |0〉. Indichiamo ora gli stati della base del qubit come |x〉 dovex ∈ {0, 1}. Lo stato di un |q〉 ∈ C2 si puo quindi scrivere come:

|q〉 = (α0, α1) =∑x=0,1

αx |x〉 (3.1)

Effettuiamo dunque un collegamento tra gli stati della base dello spaziodei qubit {|x〉}1x=0 e gli stati della base dello spazio dei momenti angolari{|j,m〉}jm=−j . Se j = 1

2 , i.e. se consideriamo lo spazio dei momenti angolari

di una particella di spin 12 , allora i due spazi sono isomorfi e il collegamento

27

tra i due sara il seguente:|x〉 = |j +m〉 (3.2)

Utilizziamo adesso la rappresentazione di Schwinger per rappresentare glistati di momento angolare con l’algebra bosonica dell’oscillatore armonicoquantistico. Usando la formula (1.20) combinata con la (3.2) otterremo lostato |x〉 rappresentato con l’algebra bosonica, prendendo come riferimentoil ket di vuoto dei due oscillatori armonici accoppiati che indichiamo con |0〉.La formula ottenuta e la seguente:

|x〉 =

(a†+

)x (a†−

)1−x

√x!√

(1− x)!|0〉 (3.3)

ma dato che x ∈ {0, 1} essa si riduce a

|x〉 =(a†+

)x (a†−

)1−x|0〉 (3.4)

Analogamente si puo scrivere anche lo stato ortogonale a |x〉, ossia |1− x〉,come

|1− x〉 =(a†+

)1−x (a†−

)x|0〉 (3.5)

Cosı facendo abbiamo praticamente associato lo stato del qubit |x〉 allo stato|n+〉 del primo oscillatore armonico, denominato con +, e quindi abbiamoposto n+ = x.Dato che ora abbiamo usato la notazione |x〉, con x ∈ {0, 1}, per indicarelo stato di un qubit, e interessante riscrivere le porte logiche ad un qubitpiu importanti secondo questa notazione. Le porte logiche definite in (2.4),(2.6) e (2.7) diventano cosı:

NOT |x〉 = |1− x〉 (3.6)

Ph(θ) |x〉 = eixθ |x〉 (3.7)

H |x〉 = (−1)x |x〉+ |1− x〉 (3.8)

Analogamente si possono scrivere anche le porte logiche a due qubit, uti-lizzando, oltre a x, il numero y ∈ {0, 1} ad indicare le l’altro qubit. Comeesempio scriviamo la porta C(NOT ) applicata allo stato |x, y〉 come:

C(NOT ) |x, y〉 = (1− x) |x, y〉+ x |x, 1− y〉 (3.9)

A questo punto inseriamo la deformazione q del gruppo quantistico SUq(n).Dato che poi stiamo parlando di qubit, ossia di elementi dello spazio C2,il gruppo quantistico corrispondente che utilizzeremo sara SUq(2). Nellasezione 1.4 ci siamo gia occupati di rappresentare gli stati relativi al momentoangolare di una particella con l’algebra bosonica q-deformata (in analogia a

28

quanto fatto nella sezione 1.3 con la rappresentazione di Schwinger), in modotale che gli assiomi dell’algebra q-deformata del gruppo quantistico SUq(n)(1.24) venissero soddisfatti. Ci siamo in questo modo creati degli oscillatoriarmonici q-deformati e se ora utilizzassimo questi per rappresentare gli statidel qubit, tramite la (1.27), otterremo le espressioni:

|x〉q =

(a†q+

)x (a†q−

)1−x

√[x]q! [1− x]q!

|0〉q (3.10)

|1− x〉q =

(a†q+

)1−x (a†q−

)x√

[x]q! [1− x]q!|0〉q (3.11)

Poiche, come nel caso non deformato, vale [0]q! = [1]q! = 1 si ottiene piusemplicemente:

|x〉q =(a†q+

)x (a†q−

)1−x|0〉q (3.12)

|1− x〉q =(a†q+

)1−x (a†q−

)x|0〉q (3.13)

Abbiamo cosı costruito un qubit q-deformato, ossia un qubit creato a partireda un’algebra bosonica q-deformata anziche dall’algebra bosonica classica.Nella sezione 1.4 abbiamo poi un collegamento tra un oscillatore armonicoclassico e quello q-deformato e lo abbiamo fatto tramite i due parametriarbitrari Φ1 e Φ2 con le formule (1.29) e (1.30). In particolare abbiamodimostrato che il ket di vuoto q-deformato e uguale a quello deformato.Quest’ultimo risultato si puo banalmente estendere al caso di due oscillatoriarmonici indipendenti + e −. Avremo quindi anche |0+, 0−〉q = |0〉q = |0〉 =|0+, 0−〉. Applicando quest’ultima uguaglianza e la (1.30) agli stati dellabase del qubit deformato otterremo:

|x〉q =

√√√√√q

N+2 Φ1 − q−

N+2 Φ2

N+

(q

12 − q−

12

) a†+

x√√√√√q

N−2 Φ3 − q−

N−2 Φ4

N−

(q

12 − q−

12

) a†−

1−x

|0〉

(3.14)

|1− x〉q =

√√√√√q

N+2 Φ1 − q−

N+2 Φ2

N+

(q

12 − q−

12

) a†+

1−x

√√√√√qN−2 Φ3 − q−

N−2 Φ4

N−

(q

12 − q−

12

) a†−

x

|0〉

(3.15)Osserviamo che la deformazione dell’oscillatore armonico + e espressa daiparametri arbitrari Φ1 e Φ2 mentre la deformazione dell’oscillatore armonico− e espressa dai parametri Φ3 e Φ4. I parametri relativi a + e a − non equindi detto che debbono essere uguali poiche si sta parlando di due oscilla-tori armonici diversi e non accoppiati. Possiamo a questo punto scrivere gli

29

stati del qubit |0〉 e |1〉 deformati in relazione agli stessi non deformati conle seguenti:

|1〉q =

√√√√q12 Φ1 − q−

12 Φ2

q12 − q−

12

|1〉 (3.16)

|0〉q =

√√√√q12 Φ3 − q−

12 Φ4

q12 − q−

12

|0〉 (3.17)

In generale possiamo scrivere il qubit deformato |x〉q in funzione di quellonon deformato |x〉 se applichiamo a quest’ultimo un operatore dipendentedai quattro parametri arbitrari Φ1, Φ2, Φ3 e Φ4, che chiamiamo operatoredi deformazione Ψ. Possiamo quindi in definitiva scrivere:

|x〉q = Ψx(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4; q) |x〉 (3.18)

dove:

Ψx(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4; q) =

√√√√√q

N+2 Φ1 − q−

N+2 Φ2

N+

(q

12 − q−

12

)x√√√√√q

N−2 Φ3 − q−

N−2 Φ4

N−

(q

12 − q−

12

)

1−x

(3.19)Per concludere scriviamo anche l’operatore di deformazione relativo al ket|1− x〉 (ossia tale che |1− x〉q = Ψ1−x(Φi) |1− x〉)come:

Ψ1−x(Φ1,Φ2,Φ3,Φ4; q) =

√√√√√q

N+2 Φ1 − q−

N+2 Φ2

N+

(q

12 − q−

12

)

1−x√√√√√q

N−2 Φ3 − q−

N−2 Φ4

N−

(q

12 − q−

12

)x

(3.20)che si differenzia da Ψx solo per gli esponenti delle radici.

3.2 Azione delle porte logiche sul qubit deformato

Come abbiamo visto nella precedente sezione, il qubit deformato e costruitoa partire dal qubit non deformato tramite un’operatore dipendente da quat-tro funzioni arbitrarie. Bisogna a tal proposito ricordare che queste funzioniΦi sono dipendenti da q e periodiche per n, dove |n〉q e lo stato dell’oscilla-tore armonico q-deformato. Dato che stiamo trattando solo il qubit avremon = n+ ∈ {0, 1}. Il qubit deformato e quindi dipendente da quattro funzionidi q incognite e d’ora in poi il nostro scopo sara quello di determinare questefunzioni. In genere non avremo mai tutti gli strumenti necessari per deter-minare univocamente queste funzioni, ma dovremo imporre delle condizioniche ci consentiranno solamente di avere delle restrizioni in esse.

30

Consideriamo dunque una porta logica agente su un qubit, per procedere ol-tre e dare quindi una prima condizione imponiamo che l’azione di una portalogica su un qubit e sempre la stessa e indipendente dalla deformazione siadella porta logica sia del qubit. Questo significa che, in generale, data unaporta logica A e uno stato di qubit |a〉, se A |a〉 = |b〉 avremo le seguentiimplicazioni:

A |a〉 = |b〉 ⇒ A |a〉q = |b〉qA |a〉 = |b〉 ⇒ Aq |a〉 = |b〉A |a〉 = |b〉 ⇒ Aq |a〉q = |b〉q

(3.21)

Ora ci occuperemo delle porte logiche non deformate che agiscono nel qubitdeformato. In questo caso tramite la prima delle implicazioni (3.21) otterre-mo delle restrizioni sulle Φi che parametrizzano la deformazione del qubit.Scriviamo quindi una porta logica A dipendente da due funzioni α(x) e β(x)(con x ∈ {0, 1}). La loro azione sullo stato |x〉 avra la forma seguente:

A (α(x), β(x)) |x〉 = α(x) |x〉+ β(x) |1− x〉 (3.22)

Se ora deformassimo il qubit avremo

A (α(x), β(x)) |x〉q = α(x) |x〉q + β(x) |1− x〉q (3.23)

Introducendo poi in quest’ultima gli operatori di deformazione definiti in(3.19) e (3.20) otterremo:

A (α(x), β(x)) Ψx(Φi) |x〉 = α(x)Ψx(Φi) |x〉+ β(x)Ψ1−x(Φi) |1− x〉 (3.24)

Per la restrizione (3.21) quindi la (3.22) e la (3.24) devono essere soddisfattecontemporaneamente. In particolare, dividendo ambo i membri della (3.24)per Ψx abbiamo

A (α(x), β(x)) |x〉 = α(x) |x〉+ β(x)Ψ1−x(Φi)

Ψx(Φi)|1− x〉 (3.25)

Affinche si verifichi quest’ultima e la (3.22) bisogna che venga soddisfatta lacondizione:

Ψ1−x(Φi)

Ψx(Φi)= 1 (3.26)

31

Con essa siamo in grado di ricavarci le prime restrizioni sulle Φi che defini-scono la deformazione del qubit. Calcolando avremo:

Ψ1−x(Φi)

Ψx(Φi)=

(qN+2 Φ1 − q−

N+2 Φ2

qN−2 Φ3 − q−

N−2 Φ4

N−N+

) 1−x2(qN−2 Φ3 − q−

N−2 Φ4

qN+2 Φ1 − q−

N+2 Φ2

N+

N−

)x= 1

⇒

(qn+2 Φ1 − q−

n+2 Φ2

q1−n+

2 Φ3 − q−1−n+

2 Φ4

) 1−x2(q

1−n+2 Φ3 − q−

1−n+2 Φ4

qn+2 Φ1 − q−

n+2 Φ2

)x(1− n+

n+

) 12−x

= 1

⇒

(qn+2 Φ1 − q−

n+2 Φ2

)(1− n+)(

q1−n+

2 Φ3 − q−1−n+

2 Φ4

)n+

12−x

= 1

⇒(qn+2 Φ1 − q−

n+2 Φ2

)(1− n+) =

(q

1−n+2 Φ3 − q−

1−n+2 Φ4

)n+ (3.27)

Abbiamo quindi trovato una restrizione sulle Φi nel caso piu generale possi-bile. Dato che poi n+ puo essere uguale a zero o a uno avremo i due seguenticasi:

• n+ = 0. In questo caso un membro si annulla e nell’altro avremoΦ1 − Φ2 = 0⇒ Φ1 = Φ2.

• n+ = 1. In questo caso invece avremo Φ3 = Φ4

Riassumendo quindi, se abbiamo una porta logica agente su un qubit e defor-miamo solo il qubit, affinche l’azione della porta logica sul qubit deformatosia uguale all’azione di questa sul qubit non deformato, le Φi definenti ladeformazione devono soddisfare le seguenti condizioni:{

Φ1 = Φ2

Φ3 = Φ4

(3.28)

mentre non esiste alcuna relazione tra Φ1 e Φ3 (idem tra Φ2 e Φ4).I calcoli fino ad ora sono stati eseguiti a partire dal rapporto tra Ψ1−x e Ψx

che deve essere uguale ad 1. Questo rapporto nell’equazione (3.25) moltiplicail ket |1− x〉 e la relativa funzione β(x). Se rifacessimo gli stessi calcoliponendo β(x) = 0 allora la prima delle implicazioni (3.21) viene soddisfattaper qualunque Φ1, Φ2, Φ3 e Φ4 senza alcuna restrizione su di esse. Neconsegue che le porte logiche quantistiche con β(x) = 0, ad esempio la Ph(θ)o la piu semplice identita, possono essere applicate al qubit deformato comea quello non deformato, senza richiedere restrizioni sulle Φi e quindi sulladeformazione stessa. Al contrario applicando le porte con β(x) 6= 0, comead esempio la Hadamard o la NOT , su un qubit deformato si richiederannole condizioni sulle Φi dettate dal sistema (3.28).

32

3.3 Azione delle porte logiche deformate sul qubitdeformato

In questa sezione oltre a considerare la deformazione del qubit di input diuna porta logica considereremo anche la deformazione della porta logicastessa e ne studieremo le restrizioni sulle Φi in modo che le implicazioni in(3.21) vengano soddisfatte. In particolare la condizione a cui ci riferiremo ela terza delle (3.21). Prima di procedere oltre e bene ritornare agli operatoridi deformazione Ψx e Ψ1−x, infatti quando abbiamo definito questi nelle(3.19) e (3.20) non abbiamo mai messo in evidenza la loro dipendenza daglioperatori numero dei due oscillatori armonici che costruiscono il qubit: N+

e N−. Considerando poi che stiamo trattando il qubit l’autovalore di N− elo stesso di 1−N+ e quindi si possono scrivere le Ψ in dipendenza del solooperatore N+. Possiamo inoltre scomporre gli operatori Ψx e Ψ1−x in dueoperatori ψ+ e ψ− nel seguente modo.

Ψx = ψx+(N+)ψ1−x− (1−N+) Ψ1−x = ψ1−x

+ (N+)ψx−(1−N+) (3.29)

e quindi agli operatori ψ possiamo dare le seguenti espressioni:ψ+(N) =

√qN2 Φ1−q−

N2 Φ2

N(q12−q−

12

)ψ−(N) =

√qN2 Φ3−q−

N2 Φ4

N(q12−q−

12

) (3.30)

dove per brevita abbiamo posto N+ = N .Vediamo ora come deformare una porta logica quantistica e lo faremo con-siderando la terza implicazione delle (3.21). Partendo direttamente da que-st’ultima avremo che deve essere soddisfatto il seguente sistema di equazioni:{

A |x〉 = α(x) |x〉+ β(x) |x− 1〉Aq |x〉q = α(x) |x〉q + β(x) |x− 1〉q

(3.31)

dove A e una porta logica qualsiasi, che puo essere scritta anche nellaseguente forma:

A = α(x) |x〉 〈x|+ β(x) |1− x〉 〈x| (3.32)

Quindi la corrispondente porta logica deformata sara data da

Aq = α(x) |x〉q 〈x|q + β(x) |1− x〉q 〈x|q (3.33)

Applichiamo una porta logica deformata a un qubit deformato e vediamocome riscrivere il risultato in termini di qubit e porte logiche non deformati.

Aq |x〉q = α(x) |x〉q 〈x|q |x〉q + β(x) |1− x〉q 〈x|q |x〉q= α(x)Ψx(N+) |x〉q 〈x| |Ψx(N+)|2 |x〉+ β(x)Ψ1−x(N+) |1− x〉q 〈x| |Ψx(N+)|2 |x〉

33

Ora facciamo un passo indietro e riscriviamo gli stati |x〉q e |1− x〉q secondole (3.12) e (3.13). In questo modo otterremo:

Aq |x〉q = α(x)Ψx(N+)(a†+

)x (a†−

)1−x|0〉 〈0| ax+a1−x

− |Ψx(N+)|2(a†+

)x (a†−

)1−x|0〉+

+ β(x)Ψ1−x

(a†+

)1−x (a†−

)x|0〉 〈0| ax+a1−x

− |Ψx(N+)|2(a†+

)x (a†−

)1−x|0〉

= α(x)ψx+(N+)ψ1−x− (1−N+)

(a†+

)x (a†−

)1−x|0〉 〈0| ax+a1−x

−∣∣ψx+(N+)ψ1−x

− (1−N+)∣∣2

×(a†+

)x (a†−

)1−x|0〉+ β(x)ψ1−x

+ (N+)ψx−(1−N+)(a†+

)1−x (a†−

)x|0〉 〈0| ax+a1−x

−

×∣∣ψx+(N+)ψ1−x

− (1−N+)∣∣2 (a†+)x (a†−)1−x

|0〉

Tenendo poi conto delle regole di commutazione dell’oscillatore armonico(sia N il suo operatore numero) f(N)a† = a†f(N + 1) e af(N) = f(N + 1)aavremo:

Aq |x〉q = α(x)ψx+(N+)ψ1−x− (1−N+)ψ2x

+ (N+)ψ2−2x− (1−N+)

(a†+

)x (a†−

)1−x|0〉 〈0|0〉+

+ β(x)ψ1−x+ (N+)ψx−(1−N+)ψ2−2x

− (2− 2x−N+)ψ2x+ (N+ + 2x− 1)

(a†+

)1−x (a†−

)x|0〉 〈0|0〉

= α(x)Ψ3x(n+) |x〉+ β(x)ψ1−x

+ (n+)ψx−(1− n+)ψ2−2x− (2− 2x− n+)ψ2x

+ (n+ + 2x− 1) |1− x〉

Le condizioni che devono quindi essere soddisfatte sono:{Ψ3x(n+) = 1

ψ1−x+ (n+)ψx−(1− n+)ψ2−2x

− (2− 2x− n+)ψ2x+ (n+ + 2x− 1) = 1

(3.34)

Possiamo inoltre supporre che il prodotto esterno |x〉q 〈x|q sia costruito conuna coppia di oscillatori armonici diversa da quella utilizzata per il prodottoesterno |1− x〉q 〈x|q: questo significa che le Φi relative alla parte con α(x)(i.e. alla prima equazione della (3.34)) sono diverse e indipendenti da quellerelative alla parte con β(x) (i.e. alla seconda equazione della (3.34)). Daquesto segue che le equazioni in (3.34) possono essere risolte separatamente ele due condizioni non devono essere quindi soddisfatte contemporaneamente(se volessimo quest’ultima cosa la prima delle (3.34) deve essere estesa allaseconda e questo provochera un effetto della deformazione nullo in tutte leporte logiche. Ad ogni modo, avevamo detto nella sezione 3.1 che la defor-mazione di un singolo qubit era data da quattro funzioni Φi; supporre quindiche una porta logica operante su un qubit venga definita da otto Φi non ecorretto dal momento che, scrivendo gli stati tramite |x〉 e |1− x〉, avremodue prodotti esterni che descrivono una porta logica qualsiasi).Risolvendo quindi la prima delle (3.34) si possono trovare delle restrizionisulle Φi. Le Φi trovate sono quelle che rendono Ψx = 1, ragion per cui einutile trovarle, infatti tutte le possibili soluzioni della prima delle (3.34) ci

34

condurranno sempre allo stesso risultato, ossia |x〉q 〈x|q = |x〉 〈x|. Questovuol dire che le porte logiche quantistiche con β(x) = 0 non vengono defor-mate. Il risultato e consistente, infatti se cosı non fosse anche la porta logicaidentita I modificherebbe il qubit in input e questo e assurdo.Cerchiamo ora di risolvere la seconda delle equazioni (3.34) e lo facciamorestringendoci al caso Φ1 = Φ2 e Φ3 = Φ4. Il tal caso si avra: ψ+(N) =

√Φ1

[N ]qN

ψ−(N) =

√Φ3

[N ]qN

(3.35)

e quindi la seconda delle (3.34) diventera:(Φ1

[n+]qn+

) 1−x2(

Φ3

[1− n+]q1− n+

)x2(

Φ3

[2− 2x− n+]q2− 2x− n+

)1−x(Φ1

[n+ + 2x− 1]qn+ + 2x− 1

)x= 1

(3.36)

Dato che[0]q0 =

[1]q1 =

[−1]q−1 = 1 e che n+ e x possono essere uguali o a

zero o a uno, avremo che[2−2x−n+]q2−2x−n+

= 1 sempre tranne quando x e n+ sono

entrambi uguali a zero: in quel caso avremo[2]q2 . Si puo quindi scrivere:

[2− 2x− n+]q2− 2x− n+

=

([2]q2

)1−x−n++xn+

(3.37)

Si possono poi fare considerazioni analoghe per il fattore[n++2x−1]qn++2x−1 (stavolta

diverso da uno se e solo se x e n+ sono entrambi uguali a uno) ottenendo:

[n+ + 2x− 1]qn+ + 2x− 1

=

([2]q2

)xn+

(3.38)

E quindi l’equazione (3.36) diventa

Φ1+x2

1 Φ2−x2

3 =

(2

[2]q

)1−x−n++2xn+

(3.39)

⇒ Φ2−x1+x

3 Φ1 =

(2

[2]q

) 2−2x−2n++4xn+1+x

(3.40)

A questo punto possiamo associare il valore x ∈ {0, 1} col valore n+ ∈{0, 1} autovalore dell’operatore numero relativo allo stato dell’oscillatorearmonico +. Possiamo osservare che il valore dell’esponente del secondomembro dell’equazione (3.40) e uguale a 2 se x = n+ = 0 ed e uguale a 1 sex = n+ = 1 e quindi la (3.40) diventa:

Φ2−x1+x

3 Φ1 =

(2

[2]q

)2−x

(3.41)

35

Con dei rapidi passaggi algebrici si puo poi estendere il rapporto 2[2]q

e si

ottiene

Φ2−x1+x

3 Φ1 =

(2√q

1 + q

)2−x(3.42)

che esprime quindi le condizioni finali delle Φi, posto Φ1 = Φ2 e Φ3 = Φ4,che soddisfano il sistema (3.34) e quindi il sistema (3.31) dal quale eravamopartiti per avere un’analogia tra le porte logiche deformate e non.Ora, a noi interessa trovare una delle funzioni di q che esprima la deforma-zione delle porte logiche, ossia trovare le funzioni S1(q;x) e S2(q;x) tale chevenga soddisfatta la seguente equazione:

α(x) |x〉q 〈x|q+β(x) |1− x〉q 〈x|q = α(x)S1(q;x) |x〉 〈x|+β(x)S2(q;x) |1− x〉 〈x|(3.43)

Dato che il funzionale 〈x|q da un valore non nullo se e solo se l’argomentodi questo e |x〉 avremo, come gia detto prima, che le Φi relative al ket |x〉 equindi anche al suo duale 〈x| sono uguali a uno e quindi S1(q;x) = 1. PerS2(q;x) avremo invece, considerando la condizione (3.42), che dovra esserevalido il seguente sistema: Φ

1−x2

1 Φx23 = S2(q;x)

Φ2−x1+x

3 Φ1 =(

2√q

1+q

)2−x (3.44)

Supponiamo ora che valga x = 0 (i.e. stiamo ricavando la funzione chemoltiplichera |1〉 〈0|). In questo caso, dalla seconda delle condizioni (3.34)avremo che necessariamente Φ3 = 1 e il sistema (3.44) si puo facilmenterisolvere ottenendo:

S2(q;x) =2√q

1 + q(3.45)

Analogamente si puo ragionare ponendo x = 1 (in questo caso stiamoricavando la funzione che moltiplichera |0〉 〈1|) ed ottenendo:

S2(q;x) =2√q

1 + q(3.46)

In definitiva abbiamo trovato le modifiche da effettuare alle porte logiche adun qubit nel caso di deformazione q. Riassumendo:

• i prodotti esterni |0〉 〈0| e |1〉 〈1| non vengono modificati dalla defor-mazione q;

• ai prodotti esterni |0〉 〈1| e |1〉 〈0| va moltiplicato il fattore2√q

1+q inpresenza di deformazione q.

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In forma matriciale quindi la trasformazione di una porta logica quantisticagenerica a seguito della deformazione q e la seguente:(

c11 c12

c21 c22

)→

(c11

2√q

1+q c122√q

1+q c21 c22

)(3.47)

Ovviamente questa non e una trasformazione unitaria, percio i coefficientidella matrice delle porte logiche q-deformate devono essere opportunamenterinormalizzate. Ad esempio per la porta logica NOT avremo:

NOTq = |1〉q 〈0|q + |0〉q 〈1|q =2√q

1 + q(|1〉 〈0|+ |0〉 〈1|) (3.48)

e se volessimo normalizzarla (i.e. renderla unitaria) avremo

NOTq = NOT (3.49)

Lo stesso risultato e valido per tutte le porte logiche ad un qubit con c12 =c21 = 0. Ad esempio per la porta Ph(θ) avremo

Phq(θ) = Ph(θ) (3.50)

Per la porta di Hadamard avremo invece (essendo N ∈ R il coefficiente dinormalizzazione):

Hq =1√2

(|0〉q 〈0|q − |1〉q 〈1|q + |0〉q 〈1|q + |1〉q 〈0|q

)=

N√2

(|0〉 〈0| − |1〉 〈1|+

2√q

1 + q|0〉 〈1|+

2√q

1 + q|1〉 〈0|

)=

1 + q√1 + 6q + q2

(|0〉 〈0| − |1〉 〈1|) +2√q√

1 + 6q + q2(|0〉 〈1|+ |1〉 〈0|)

(3.51)

E quindi in questo caso la deformazione q della porta logica cambia l’outputdella stessa.Prendendo ora in esame le porte logiche ad n qubit, tenendo conto deiprodotti tensoriali segue immediatamente che:

|x〉q 〈y|q =

(2√q

1 + q

)d(x,y)

|x〉 〈y| (3.52)

dove |x〉 , |y〉 sono due vettori della base canonica di C2n , e x e y sono duestringhe con n valori booleani (x, y ∈ Fn2 ). La funzione d : Fn2 ⊗ Fn2 → Ne la distanza tra x e y, ossia il numero delle componenti per le quali x ey differiscono. Ci interessa particolarmente la porta logica C(NOT )q chediventa:

C(NOT )q = |00〉 〈00|+ |01〉 〈01|+2√q

1 + q|10〉 〈11|+

2√q

1 + q|11〉 〈10| (3.53)

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e quindi, rinormalizzando:

C(NOT )q =

√1 + q

2√q

(|00〉 〈00|+ |01〉 〈01|) +

√2√q

1 + q(|10〉 〈11|+ |11〉 〈10|)

(3.54)Il set di porte logiche universali Υ definito nel precedente capitolo, per uncircuito quantistico in presenza di deformazione q, diventa:

Υq = {C(NOT )q, Uq ∈ U(2)} (3.55)

Osserviamo che il gruppo di appartenenza delle porte logiche ad un qu-bit e sempre U(2) poiche queste matrici vengono rinormalizzate dopo ladeformazione-q moltiplicandole con il coefficiente di normalizzazione N ,posto nella (3.51).

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Conclusioni

Riassumendo, abbiamo rappresentato il qubit con due oscillatori armoniciquantistici q-deformati, definendo quindi gli stati |0〉q, |1〉q in funzione deirispettivi non deformati, tenendo conto degli operatori bosonici q-deformatistudiati nella sezione 1.4. Abbiamo poi visto come il qubit deformato do-vrebbe essere trattato quando una porta logica ad un qubit agisce su diesso, trovando per le Φi le restrizioni (3.28), che smettono di valere quandola porta logica agente sul qubit deformato puo essere rappresentata da unamatrice diagonale. In seguito abbiamo posto la deformazione anche sulleporte logiche stesse. Dovendo poi fare in modo che la deformazione noninfluisse sul risultato finale, ci siamo ricavati altre restrizioni sulle Φi cheapplicate alla porta logica conducono alle seguenti espressioni per i prodottiesterni deformati: {

|x〉q 〈x|q = |x〉 〈x||x〉q 〈1− x|q =

2√q

1+q |x〉 〈1− x|(3.56)

Estendendo questo approccio alle porte logiche a piu qubit abbiamo ottenu-to la formula (3.52).Con questi risultati, implementando porte logiche q-deformate, possiamoprevenire un qualunque effetto anomalo in un circuito quantistico dato dauna deformazione descritta dal parametro q. In altre parole, se avessimoun circuito quantistico in una situazione fisica tale che q diverga da 1 inmaniera non trascurabile, avremo degli errori consistenti sul processo deiqubit, dati dalla anomalia q 6= 1. Se invece implementassimo un circuitoquantistico composto da porte logiche q-deformate e in input avessimo deiqubit q-deformati, allora questi effetti anomali dovuti a q 6= 1 verrebberoautomaticamente rimossi. Questo vale in generale se i qubit di un computerquantistico vengono implementati con sistemi fisici che subiscono la defor-mazione q e quindi sistemi descritti da una dinamica non lineare. Sappiamopoi che degli studi (come ad esempio quelli citati nell’introduzione [18], [5])ci mostrano come considerando la deformazione q si riesce meglio a prevede-re dei risultati sperimentali. Per questo motivo, implementare porte logichequantistiche e qubit con sistemi q deformati potrebbe essere piu efficace [1].Il problema che rimane e che i risultati (3.56) e (3.52) sono stati trovati

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imponendo le condizioni Φ1 = Φ2, Φ3 = Φ4. Questa imposizione, oltre cheper semplificare i calcoli, e stata fatta per avere due equazioni (i.e. (3.31))e due incognite (le Φi), di modo che il sistema fosse risolvibile. Nel caso piugenerale pero non abbiamo delle restrizioni sulle Φi e avremo un sistema didue equazioni e quattro incognite e quindi indeterminato. Per svolgere unatrattazione completa bisognerebbe allora studiare pi approfonditamente ladeformazione q relativa all’implementazione del qubit in questione, di modoche si abbiano ulteriori restrizioni sulle Φi al fine di risolvere il problemaesattamente.Inoltre in futuro si puo estendere la trattazione anche ai qudit (analogo deiqubit ma nello spazio Cd anziche nello spazio C2), semplicemente conside-rando il gruppo quantistico SUq(d) anziche il gruppo quantistico SUq(2):questo qudit verra rappresentato con una particella di spin maggiore di 1

2 e

quindi puo essere scritto in una combinazione degli stati |j,m〉 con j = d−12

e m ∈ {−j,−j + 1,−j + 2, . . . , j − 1, j}. Dalla sezione 1.4, dato che la trat-tazione e stata fatta con il gruppo SUq(d), avremo che le algebre deformatedegli operatori momento angolare e degli operatori bosonici si possono ap-plicare anche ai qudit e di conseguenza si puo ricostruire il qudit deformatoin maniera analoga a quanto fatto nella formula (3.3) per il qubit. Per l’u-niversalita delle porte logiche che operano nei qudit si puo fare riferimentoa [22].

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