Cenni sulle coniche1.Corso di laurea in Ingegneria Civile ed Edile

Universita degli Studi di PalermoA.A. 2013/2014

prof.ssa Paola Stagliano(pstagliano@unime.it)

1 Premessa

Scopo della geometria analitica piana e rappresentare luoghi di punti con-tenuti in un piano mediante equazioni e studiare problemi geometrici usandole equazioni medesime. Ellissi, iperboli, parabole, sono particolari luoghi ge-ometrici di punti del piano le cui coordinate soddisfano una equazione polino-miale di secondo grado in due variabili, f(x, y) = 0. Studieremo tutti i luoghigeometrici di punti che soddisfano una equazione di secondo grado, scoprendoche non si tratta sempre delle figure note. Tali luoghi geometrici, definitisempre da equazioni polinomiali di secondo grado, si chiamano coniche. Ilnome, gia usato nell’antichita dai matematici greci, dipende dal fatto che leconiche (dette anche sezioni coniche), si ottengono segando i coni circolariretti con piani.Le equazioni note sin dalle scuole superiori, rappresentano ellissi, circon-ferenze, iperboli e parabole, poste in posizioni “speciali ”rispetto agli assicoordinati. Cambiando il sistema di coordinate cartesiane, il luogo geomet-rico resta lo stesso ma cambia l’equazione, cioe la relazione analitica fra lecoordinate dei punti.Ci sono luoghi geometrici del piano, diversi da ellissi, iperboli e paraboleche pure soddisfano equazioni polinomiali di secondo grado a coefficienti re-ali, tali luoghi di punti sono due equazioni di primo grado (eventualmentea coefficienti non reali) e sono dette coniche degeneri o riducibili. Unaconica e degenere se e soltanto se e formata da due rette (reali o complesseconiugate) ovvero da una retta doppia. Una conica degenere resta tale anchesi si cambiano le coordinate poiche la proprieta di essere degenere e geomet-rica, definita dal fatto che la conica e l’unione di due rette. Notiamo che

1La presente dispensa e una bozza, eventuali errori possono essere segnalati via e-mail.Lo scopo della presente dispensa e quello di illustrare brevemente la riduzione a formacanonica di una conica utilizzando le nozioni dell’algebra lineare introdotte durante ilcorso. Per i teoremi e gli altri metodi si invita a consultare i testi in commercio

1

l’equazione f(x, y) = 0 e l’equazione αf(x, y) = 0 rappresentano la stessaconica, in quanto hanno le stesse soluzioni.

2 Cenni sulle coniche dal punto di vista della

geometria elementare

2.1 Le coniche come sezioni di un cono

Lo studio delle curve piane chiamate coniche, e cioe le ellissi, le parabole e leiperboli, risale all’antichita. Un’analisi pressoche completa delle proprieta ditali curve redatta dal grande matematico greco Apollonio di Perga (circa 262-190 a.C.). Nella sua opera Sezioni coniche Apollonio definisce le conichecome le curve ottenute dall’intersezione di un cono circolare retto infinito conun piano; le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche.

2.2 Le coniche come luoghi geometrici

Le coniche possono anche essere definite come opportuni luoghi geometrici.Un luogo geometrico (o piu semplicemente luogo) e l’insieme di tutti e solii punti che soddisfano una data proprieta.

2

Definizione 2.1. Fissati nel piano due punti distinti F1 e F2 detti fuochied un numero reale positivo k, si chiama ellisse il luogo dei punti P taliche sia ¯PF1 + ¯PF2 = k, ovvero l’insieme dei punti tali che la somma delledistanze dai fuochi e costante. Se i due fuochi coincidono, allora l’ellisse euna circonferenza di centro F1 = F2 e raggio k; si chiama iperbole il luogodei punti P tali che sia ¯PF1 − ¯PF2 = k, ovvero l’insieme dei punti tali cheil modulo della differenza delle distanze dai fuochi e costante.

Definizione 2.2. La parabola e il luogo dei punti del piano che hannouguale distanza da un punto fisso, F , detto fuoco e da una retta (non passanteper il fuoco), r, detta direttrice .

3 Equazioni canoniche delle coniche

Dopo aver visto le definizioni delle coniche, ci chiediamo come si possonorappresentare analiticamente, ossia, dato un sistema di riferimento carte-siano quali sono le equazioni che rapresentano delle coniche. A partire dalledefinizione delle coniche come luogo geometrico e facile ricavare le equazionicanoniche (la dimostrazione e omessa):

3.1 Ellisse

L’equazione canonica di una ellisse e rappresentata dalla scrittura:

x2

a2+y2

b2= 1

con a, b > 0, detti semiassi dell’ellisse. Se a = b = R, si ha l’equazione diuna circonferenza di centro l’origine O degli assi e raggio R:

x2 + y2 = R2.

Dall’equazione canonica di una ellisse si osserva subito che:

• la curva e simmetrica rispetto a ciascuno dei due assi e rispetto all’origine.

• la curva interseca gli assi cartesiani nei quattro punti (±a, 0), (0,±b)detti vertici dell’ellisse. I semiassi rappresentano, quindi, le distanzedei vertici dal centro di simmetria.

3

3.2 Iperbole

L’equazione canonica di una iperbole e:

x2

a2− y2

b2= 1, (∗)

con a, b > 0, oppure:x2

a2− y2

b2= −1, (∗∗)

con a, b > 0. Se a = b, l’iperbole e equilatera.Dall’equazione canonica di una iperbole si osserva subito che:

• la curva e simmetrica rispetto a ciascuno dei due assi e rispetto all’origine.

• nel caso (∗), la curva interseca gli assi cartesiani nei due punti (±a, 0)detti vertici dell’iperbole. Nel caso (∗∗) i vertici sono (0,±b).

• le rette y = − bax rappresentano gli asintoti dell’iperbole e delimitano

le regioni in cui giace l’iperbole.

4

3.3 Parabola

L’equazione canonica di una parabola e:

y = ax2, (∗)

oppure:x = by2, (∗∗)

Consideriamo l’equazione (∗). Osserviamo che:

• la curva e simmetrica rispetto all’asse y, detto asse della parabola.

• se a > 0 la curva sta nel semipiano positivo, se a < 0 la curva sta nelsemipiano negativo.

• l’origine e il vertice della parabola.

Considerazioni analoghe si hanno nel caso (∗∗).

5

Osservazione 3.1. La forma canonica delle coniche e quella che l’equazioneassume in un sistema di riferimento “opportuno”. Se cambiamo il sistema diriferimento, ossia eseguiamo una rototraslazione degli assi, l’equazione dellaconica assumera la forma generale ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 nellaquale compaiono tutti termini di una equazione di secondo grado. Questosignifica che in un sistema di riferimento “generico ”, ossia non scelto conparticolari criteri, l’equazione di una conica si presenta “completa”.

Definizione 3.1. Si definisce conica qualsiasi curva che in un sistemacartesiano si rappresenti con una equazione algebrica di secondo grado inx, y. (ovviamente i coefficienti dei termini di secondo grado non possonoessere tutti nulli).

Osservazione 3.2. Una conica nel senso della geometria elementare e an-che una conica rispetto a questa definizione, il viceversa non e vero, poichequesta definizione comprende anche le coniche degeneri, ovvero coniche chesi spezzano in rette o che degenerano in un punto.

Occorre, quindi, trovare un metodo che permette di stabilire se una de-terminata equazione di secondo grado rappresenta una conica degenere o nondegenere ed, in secondo luogo, di che tipo di conica si tratta. Se la conicae non degenere vogliamo, quindi trovare, una forma canonica, se la conica edegenere individuare le rette nelle quali si spezza.

6

4 L’algebra lineare nello studio delle coniche

E possibile utilizzare le tecniche dell’algebra lineare per studiare e classifi-care le coniche. Data l’equazione generale di una conica, si considera la sua“forma matriciale”, ovvero si considerano due matrici quadrate simmetriche,denotate con A e A33, ottenute a partire dai coefficienti della curva. At-traverso l’uso di autovalori, autovettori, rango delle matrici e determinantee, poi, possibile dedurre proprieta geometriche.Sia Γ una conica di equazione f(x, y) = 0. Poiche f e un polinomio genericodi secondo grado si puo scrivere:

Γ = f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x+ 2a23y + a33

ovvero Γ = (x, y, 1)A(x, y, 1)t.Associamo ad f due matrici simmetriche:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

; A33 =

(a11 a12

a12 a22

)

A e detta matrice associata alla conica, A33 matrice dei termini disecondo grado della conica f .Cambiamenti di coordinate nel piano consentono di trasformare l’equazionedi secondo grado f(x, y) = 0, in una equazione piu semplice, cioe in formacanonica. Una equazione di secondo grado rappresenta una conica non de-genere in forma canonica se e del tipo (per le coniche a centro):

αx2 + βy2 = γ

con α e β autovalori di A33 e γ = − detAdetA33

oppure (per le parabole)

βy2 = 2γx o αx2 = 2γy

con α = 0, β autovalore di A33 e γ2 = −detAβ

nel primo caso e con β = 0, α

autovalore di A33 e γ2 = −detAα

nel secondo caso.Data la conica Γ, la classificazione avviene secondo il seguente schema:

7

• Det(A) 6= 0. Si tratta di una conica non degenere:detA33 Tr(A33) · detA Γ> 0 > 0 ellisse a punti immaginari> 0 < 0 ellisse a punti reali= 0 qualsiasi parabola< 0 qualsiasi iperbole (se a11 + a22 = 0 equilatera)

con Tr(A33) = a11 + a22

• Det(A) = 0. Si Tratta di una conica degeneredetA33 ρ(A) Γ< 0 2 coppia di rette reali distinte e incidenti> 0 2 coppia di rette immaginarie (1 punto reale in comune)= 0 2 coppia di rette reali parallele o complesse coniugate= 0 1 coppia di rette reali coincidenti

Esempio:Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = x2 + 2xy − 2y2 + 6x+ 6 = 0.

A =

1 1 31 −2 03 0 6

A33 =

(1 11 −2

)

poiche det(A) = 0 la conica e degenere. Poiche det(A33) = −3 la conica sispezza in due rette reali incidenti.

Esempio:Data la conica Γ : f(x, y) = hx2 + 2xy + ky2 − 2hx − 2y + h = 0, per qualivalori reali di h, k la conica e riducibile?Consideriamo la matrice A associata alla conica ed imponiamo che il suodeterminante sia nullo.

A =

h 1 −h1 k −1−h −1 h

8

det(A) = h2k + h+ h− kh2 − h− h = 0 ∀h, k ∈ R.

Esempio:Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = 3x2 + 2xy + 3y2 + 2

√2x = 0.

A =

3 1√

21 3 0√2 0 0

A33 =

(3 11 3

)

poiche det(A) = −6 la conica e irriducibile. Poiche det(A33) = 8 la conica euna ellisse (reale poiche tr(A33) · det(A) = −36).Una forma canonica della conica sara: αx2 + βy2 = γ. Calcoliamo gli auto-valori di A33.

det(A33 − λI) = 0

det(A33 − λI) =

∣∣∣∣ 3− λ 11 3− λ

∣∣∣∣ = λ2 − 6λ+ 8 = 0

risolvendo: λ1 = α = 2, λ2 = β = 4, γ = 34.

Una forma canonica sara:

2x2 + 4y2 =3

4

Esempio:Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = x2 + 6xy + 9y2 − 6x = 0.

A =

1 3 −33 9 0−3 0 0

A33 =

(1 33 9

)

poiche det(A) = −81 la conica e irriducibile. Poiche det(A33) = 0 la conicae una parabola.Una forma canonica della conica sara: βy2 = 2γx. Calcoliamo gli autovaloridi A33 (uno sara nullo).

det(A33 − λI) = 0

det(A33 − λI) =

∣∣∣∣ 1− λ 33 9− λ

∣∣∣∣ = λ2 − 10λ = 0

risolvendo: λ1 = α = 0, λ2 = β = 10, γ2 = 8110

.Una forma canonica sara:

10y2 = 2

√81

10x

9

oppure

10y2 = −2

√81

10x

Esempio:Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = x2 +2xy+y2−2x−2y+1 = 0.

A =

1 1 −11 1 −1−1 −1 1

A33 =

(1 11 1

)

poiche det(A) = 0 la conica e riducibile. Poiche det(A33) = 0 e ρ(A) = 1 laconica si spezza in due rette reali coincidenti.Troviamo le rette, risolvendo in funzione della variabile x:

x2 + 2(y − 1)x+ y2 − 2y + 1 = 0

∆ = 4(y − 1)2 − 4(y2 − 2y + 1) = 4(y2 − 2y + 1)− 4(y2 − 2y + 1) = 0

La retta cercata sara:

x =−2(y − 1)

2= −y + 1 cioe x+ y − 1 = 0

Esempio:Classificare la seguente conica: Γ = f(x, y) = 2x2−5xy+2y2+3x−3y+1 = 0.

A =

2 −52

32

−52

2 −32

32−3

21

A33 =

(2 −5

2

−52

2

)

poiche det(A) = 0 la conica e riducibile. Poiche det(A33) = −946= 0 la conica

si spezza in due rette reali e distinte.Troviamo le rette, risolvendo in funzione della variabile x:

2x2 + (−5y + 3)x+ 2y2 − 3y + 1 = 0

∆ = (−5y + 3)2 − 4 · 2(2y2 − 3y + 1) = (3y − 1)2

La rette cercate saranno:

x =5y − 3± (3y − 1)

4=↗ 1

2y − 1

2↘ 2y − 1

10

ovvero:x− 2y + 1 = 0 e 2x− y + 1 = 0

Esempio:Classificare la seguente conica al variare del parametro t:

Γ = f(x, y) = x2 + 2txy + y2 + t = 0

A =

1 t 0t 1 00 0 t

A33 =

(1 tt 1

)det(A) = t(1− t2), det(A33) = 1− t2.Se det(A) = 0 ovvero t = 0 o t = ±1 allora Γ e degenere. In particolare

• per t = 0, det(A33) = 1, ρ(A) = 2 la conica si spezza in due rettecomplesse coniugate incidenti in punto reale.

• per t = ±1, det(A33) = 0, ρ(A) = 2 la conica si spezza in due retteparallele

Se det(A) 6= 0 ovvero t 6= 0 o t 6= ±1 allora Γ e irriducibile. In particolare

• se det(A33) = 1 − t2 > 0 ovvero −1 < t < 1 allora Γ e una ellisse. Sitratta di una ellisse immaginaria per 0 < t < 1, reale per −1 < t < 0.

• se det(A33) = 1− t2 < 0 ovvero t < −1 o t > 1 allora Γ e una iperbole.

• Non esistono parabole

5 Studio delle coniche a centro

5.1 Centro di simmetria e assi di simmetria

Il centro di simmetria di una conica a centro si ottiene risolvendo il sistemalineare omogeneo:

C =

{a11x+ a12y + a13 = 0a12x+ a22y + a23 = 0

Gli assi sono delle rette che passano per il centro di simmetria. Si possonodistinguere due casi:

11

• a12 = 0, in questo caso gli assi sono paralleli agli assi coordinati;

• a12 6= 0, in questo caso gli assi sono paralleli alle rette di equazione

r1 : (a11 − α)x+ a12y = 0

r2 : (a11 − β)x+ a12y = 0

con α e β autovalori di A33. Per ottenere gli assi si considerano duerette parallele a r1, r2 rispettivamente e si impone il passaggio per ilcentro C.

Osservazione 5.1. Per le coniche degeneri il centro di simmetria e rappre-sentato dall’intersezione (se esiste) delle due rette in cui la conica si decom-pone.

Esempio: Trovare il centro e gli assi di simmetria della conica

Γ : 3x2 + 8xy − 3y2 − 6x− 8y = 0

A =

3 4 34 −3 −4−3 −4 0

det(A) = 75 > 0

La conica e irriducibile.

A33 =

(3 44 −3

)la conica e una iperbole, poiche a11 + a22 = 0 e una iperbole equilatera.Il centro sara dato da:

C =

{3x+ 4y +−3 = 04x− 3y − 4 = 0

C = (1, 0)

Gli autovalori della matrice A33, ottenuti risolvendo l’equazione det(A33 −λI) = 0, sono λ1 = α = −5, λ2 = β = 5. Di conseguenza gli assi sarannoparalleli alle rette:

r1 = (3− 5)x+ 4y = 0

r2 = (3 + 5)x+ 4y = 0

ovvero saranno rispettivamente del tipo: −2x+ 4 + h = 0 e 8x+ 4y+ k = 0.Imponendo il passaggio per il centro C si ottiene h = 2, k = −8. Gli assisaranno quindi le rette −2x+4y+2 = 0 e 8x+4y−8 = 0 ovvero semplificandox− 2− 1 = 0 e 2x+ y − 2 = 0.

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5.2 Asintoti dell’iperbole

Sia Γ = f(x, y) = 0 una iperbole e sia C il suo centro. Sia g(x, y) = 0l’equazione formata dai coefficienti di secondo grado della conica Γ. L’equazioneg(x, y) = 0 individua una conica spezzata in due rette distinte s1, s2. Gliasintoti di Γ sono delle rette parallele a s1 e s2 e passanti per il centro C.

Esempio: Trovare gli asintoti dell’iperbole studiata nell’esempio precedente:

Γ : 3x2 + 8xy − 3y2 − 6x− 8y = 0

Sappiamo che il centro C ha coordinate C = (1, 0).Consideriamo la conica formata dai coefficienti di secondo grado: 3x2 +8xy−3y2 = 0. Calcoliamo le rette s1 e s2, risolvendo rispetto alla x.

∆ = 64y2 − 4 · 3(−3y2) = 100y2

x =−8y ± (10y)

6=↗ −3y

↘ y

3ovvero:

s1 : x− 3y = 0 s2 : x+y

3= 0

Le rette parallele alle rette s1 e s2 saranno rispettivamente:

x− 3y + h = 0 e x+1

3y + k = 0

Imponendo il passaggio per il centro C otteniamo: h = −1 e k = −1, Gliasintoti saranno, quindi, le rette:

x− 3y − 1 = 0 e 3x+ y − 3 = 0

6 Studio della parabola

6.1 Asse della parabola

Sia Γ = f(x, y) = 0 una parabola. Allora l’asse della parabola e una rettaparallela alla retta di equazione a11x+ a12y = 0

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6.2 Vertice

La tangente alla parabola Γ nel vertice e ortogonale all’asse; essa e l’unicaretta ortogonale all’asse che interseca Γ in un solo punto doppio. Questopunto e il vertice.

6.3 Come trovare l’asse e il vertice di una parabola

Sia Γ = f(x, y) = 0 una parabola. Per trovare l’asse e il vertice si puoprocedere cosı:

• l’asse della parabola e parallelo alla retta di equazione a11x+ a12y = 0,quindi la tangente nel vertice ha equazione a12x− a11y + t = 0, dove te determinato in modo che vi sia una sola soluzione (doppia) V con laparabola. V e il vertice.

• l’asse e la retta per V parallela alla retta a11x+ a12y = 0

Esempio: Trovare l’asse e il vertice della parabola: Γ : 4x2−4xy+y2+4y = 0Poiche a11 = 4 e a12 = −2 6= 0 l’asse della parabola sara parallelo alla rettadi equazione: 4x − 2y = 0 ovvero 2x − y = 0. La tangente nel vertice Vha equazione −x − 2y + t = 0 ovvero x + 2y − t = 0 con t da determinare,considerando il sistema {

x+ 2y − t = 04x2 − 4xy + y2 + 4y = 0

Ricavando la x dalla prima equazione e sostituendo nella seconda si troval’equazione nella y

25y2 + (−20t+ 4)y + 4t2 = 0

imponiamo la condizione di tangenza ovvero ∆ = 0, ∆ = 16 − 160t = 0 dacui t = 1

10.

La tangente nel vertice e quindi: x+ 2y − 110

= 0.Il vertice si trova intersecando la retta tangente con la conica Γ. Risolvendoil sistema si ha: V = ( 9

50,− 1

25).

L’asse di Γ e la retta parallela alla retta 2x − y = 0 e passante per V ,risolvendo si ha 2x− y − 2

5= 0.

Osservazione 6.1. Metodo pratico per trovare vertice, asse e tangente allaparabola Γ:

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• l’asse e parallelo alla retta a11x+ a12y = 0

• la tangente e ortogonale alla retta a11x+ a12y = 0 cioe e una retta deltipo a12x− a11y + t = 0

• t si ottiene imponendo la condizione di tangenza ovvero ∆ = 0 risol-vendo il sistema tra la tangente e la conica.

• il vertice V si ottiene intersecando la tangente con la curva Γ

• imponendo il passaggio dell’asse di simmetria a11x + a12y + h = 0 peril vertice V si trova il parametro h

Osservazione 6.2. Sia Γ = f(x, y) = 0, una conica non degenere e g(x, y)la parte di secondo grado di Γ. Allora Γ e una parabola se e solo se g(x, y) eun quadrato a meno del segno.

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Esercizi

Esercizio 1:Date le seguenti coniche non degeneri:

1. 9x2 + 4xy + 6y2 − 10 = 0

2. x2 + 6xy + y2 + 2x+ y + 12

= 0

3. 5x2 − 6xy + 5y2 + 16√

2x+ 38 = 0

4. 25x2 − 7y2 + 48y + 7 = 0

5. x2 + 4xy + 4y2 − 6x+ 1 = 0

Per ognuna di esse stabilire

• le matrici associate alla conica

• di quale conica si tratta

• se si tratta di una conica a centro, determinare centro e assi di simme-tria

• determinare una forma canonica

Esercizio 2:Date le seguenti coniche degeneri:

1. x2 + 2xy + y2 + 3x+ 3y = 0

2. x2 + 9y2 − 6xy + 2x− 6y + 1 = 0

3. x2 + xy − 2y2 + 3y − 1 = 0

4. x2 + 4y2 = 0

Determinare le equazioni delle rette che la formano e l’eventuale centro disimmetria.

Esercizio 3:Sia Γ la conica di equazione:

f(x, y) = 2xy − x− 3y = k

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• Stabilire per quali valori di k la conica e degenere.

• Posto k = 0, stabilire di quale tipo di conica si tratti.

• Trovare gli assi (o l’asse) di simmetria di Γ per k = 0.

Esercizio 4:Sia k un parametro reale. Si consideri la famiglia di coniche Γk di equazione:

f(x, y) = 2kx2 + 2(k − 2)xy − 4y2 + 2x = 1.

• Esistono coniche degeneri nella famiglia?

• Si classifichi la conica Γk al variare di k.

• Si determinino le coordinate dei centri delle coniche (quando esistono).

Esercizio 5:Sia Γ la conica di equazione

f(x, y) = 3x2 + 14xy − 5y2 − 10x+ 14y = 0

• Stabilire il tipo di conica.

• Nel caso sia una conica a centro, trovare le coordinate del centro.

• Trovare equazioni degli eventuali asintoti della conica.

Esercizio 6:Data la parabola di equazione x2 + 4xy + 4y2 − 6x+ 1 = 0, determinarne ilvertice e l’asse di simmetria.Esercizio 7:Provare che la conica 4x2−4xy+y2 +6x+2y−3 = 0 e una parabola, trovareil vertice ed una forma canonica.

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Soluzioni:

Esercizio 1:

1. Ellisse, C(0, 0), x− 2y = 0, 2x+ y = 0, x2 + 12y2 − 1 = 0.

2. Iperbole, C(− 116,− 5

16), 4x−4y−1 = 0, 8x+8y+3 = 0, −2x2+4y2+ 9

32=

0

3. Ellisse, C(− 5√2,−3

2

√2), x+y+4

√2 = 0, x−y+

√2 = 0, 4x2+y2−1 = 0.

4. Iperbole, C(0, 247

), y = 247

, x = 0, 25x2 − 7y2 + 6257

= 0

5. Parabola, x2 = 125√

5y

Esercizio 2:

1. rette parallele, x+ y = 0, x+ y + 3 = 0

2. rette coincidenti, x− 3y + 1 = 0

3. rette reali distinte, x− y + 1 = 0, x+ 2y − 1 = 0, C = (−13, 2

3)

4. rette complesse coniugate, x± 2iy = 0

Esercizio 3:

• k = −32

• iperbole

• x− y = 1, x+ y = 2

Esercizio 4:

• non esistono coniche degeneri

• se k = −2 e una parabola, se k 6= −2 e una iperbole

• per k 6= −2, C = (− 4(k+2)2

,− k−2(k+2)2

)

Esercizio 5:

• iperbole

• C = (−38, 7

8)

• x+ 5y − 4 = 0, 3x− y + 2 = 0

Esercizio 6: asse: 5x+ 10y = 3, V = (1775, 14

75)

Esercizio 7: V = (0, 1), y = − 2√5x

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