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C.Golia: Aerodinamica P a g i n a 4 | 1

Aero_Cap4a.docs 18/01/2009

Capitolo 4

Profili Alari

Scopo del Capitolo 4 Introdurre lo studente alle metodologie di base che gli permettano l’analisi potenziale (non viscosa) di profili alari portanti. In particolare in questo capitolo si svilupperanno:

• Modellistica del campo di moto stazionario, bi‐dimensionale, potenziale, portante, at‐torno a profili alari mediante teorie vorticose,

• Analisi di profili sottili e poco ricurvi posti a piccolo angolo d’attacco [piccoli disturbi: teoria linearizzata].

• Scomposizione del problema in parte portante (camber ed angolo d’attacco) e parte non portante (spessore).

• Soluzioni analitiche per il problema portante. • Soluzione numerica per il problema portante con vortici concentrati. • Metodi numerici (pannelli) per profili arbitrari. Si propongono due Progetti di ricerca:

1. Codice numerico basato sul metodo dei vortici concentrati per l’analisi di profili sottili,

2. Codice numerico basato sul metodo Smith‐Hess (pannelli sorgenti più vorticità uniforme) per l’analisi di profili portanti arbitrari.



Indice del Capitolo 4

.4.1 Generalità ................................................................................................................................ 4

.4.2 La Teoria Vorticosa ................................................................................................................ 5

.4.3 La Strategia di Analisi: Linea Vorticosa ................................................................................. 5

.4.4 La Condizione di Kutta .......................................................................................................... 7

.4.5 Conseguenze del Teorema di Kelvin : Il Vortice di Partenza ................................................. 9

.4.6 Teoria Vorticosa dei Profili Sottili e Poco Ricurvi (Prandtl-Glauert) .................................. 11

.4.6.1 Profili simmetrici ................................................................................................................... 13

.4.6.2 Profili ricurvi (i.e con camber, ovvero non simmetrici .......................................................... 19

.4.7 Sommario dei Risultati dell’analisi dei Profili Sottili e Poco Ricurvi .................................. 23

.4.7.1 Particolari linee medie ............................................................................................................ 25

.4.7.1.1 Linea media cubica ................................................................................................ 25

.4.7.1.2 Le linee medie NACA (4 cifre).............................................................................. 26

.4.8 IL METODO DEI VORTICI CONCENTRATI (Lumped-Vortex) PER PROFILI SOTTILI

28

.4.9 FLUSSI ATTORNO A PROFILI ......................................................................................... 32

.4.9.1 Metodo dei pannelli vorticosi ...................................................................................... 32

.4.9.2 Metodi dei pannelli misti ( sorgenti + vortici) ............................................................ 33

4.10 Profili alari in schiera ............................................................................................................. 37

CHECK OUT ..................................................................................................................................... 39



Indice analitico del Capitolo 4 angolo (di attacco) di portanza nulla .......... 22 angolo d'attacco assoluto ........................... 22 angolo di attacco ideale o di progetto ........ 22 Angolo di portanza ideale(o di progetto) ... 25 Angolo di portanza nullo ............................. 25 ascissa curvilinea "s" ...................................... 6 bordo di uscita a cuspide .............................. 8 bordo di uscita aguzzo ................................... 8 campo solenoidale ......................................... 6 centro aerodinamico anteriore ................... 29 centro di pressione ...................................... 29 circolazione elementare (s) ............................ 6 circolazione totale ....................................... 13 Circolazione totale ....................................... 21 circolazione totale Γ ....................................... 6 circuitazione della velocità ............................. 5 Coefficiente (inclinazione) della retta di portanza ................................................... 21

coefficiente di momento .............................. 16 Coefficiente di momento focale (xfuoco=c/4):

.................................................................. 25 coefficiente di portanza .............................. 15 Coefficiente di portanza ....................... 21; 25 coefficiente di portanza di progetto o ideale

.................................................................. 22 coefficienti Ao ed An .................................... 21 coefficienti di influenza Ni,j e Ti,j.................. 36 componente della velocità asintotica, normale al pannello .................................. 33

componente della velocità normale al pannello "i", indotta da tutti i pannelli vorticosi .................................................... 33

condizione alla Neuman .............................. 33 condizione di Kutta ................................. 9; 34 condizione di Kutta al bordo di uscita .......... 11 condizione di Kutta nel bordo di uscita ...... 36 condizione di tangenza .................................. 7 condizione di tangenza della velocità alla linea media ............................................... 12

condizioni iposoniche ..................................... 6 conservazione "particellare" della vorticità .. 9 corpi portanti bidimensionali ....................... 4 distribuzione di circolazione .......................... 7 distribuzione di circolazione (x) sulla linea media del profilo ...................................... 13

down wash sulla corda ............................... 12 equazione fondamentale della teoria vorticosa di Prandtl‐Glauert .................... 13

fairing ............................................................. 7 far field ......................................................... 29 Formule di Glauert ...................................... 13 fuoco ............................................................ 29 inclinazione (coefficiente) della retta di portanza ................................................... 15

inversione della serie di Fourier ................. 20

l'assurdo della lastra piana con angolo d'attacco ................................................... 18

linea media parabolica ................................. 32 metodo del vortice concentrato esteso [prof. Pistolesi] a profili sottili con linee medie paraboliche ............................................... 31

momento aerodinamico rispetto al bordo di attacco ...................................................... 23

Momento focale .......................................... 17 momento totale rispetto al bordo di attacco

.................................................................. 16 Portanza....................................................... 21 posizione del centro di pressione ................ 17 Posizione del centro di pressione ............... 25 posizione del fuoco ...................................... 17 posizione del punto di ristagno .................. 18 Prandtl ........................................................... 5 profili aerodinamici messi in tandem ......... 30 profilo alare ................................................... 5 punto neutro posteriore ............................. 30 serie di Fourier ....................................... 14; 20 Smith & Hess ............................................... 34 teorema di Kelvin .......................................... 9 teorema di Kutta‐Joukowsky .................... 5; 6 teoria vorticosa ............................................. 6 trasformazione per la coordinata di integrazione .............................................. 14

tubo vorticoso ................................................ 6 velocità normale al pannello ....................... 35 velocità tangenziale al pannello .................. 35 vortice di partenza ...................................... 10 vorticità sulla linea media ....................... 7; 11



.4.1 GENERALITÀ

L'analisi del campo di moto attorno ad un profilo portante è fatta con tecniche analiti‐che/numeriche capaci (con vari mezzi ed artifici) di generare campi di velocità che simulano quelli os‐servati sperimentalmente attorno a profili alari. E' ben ovvio che, similmente a quanto fatto per i casi non portanti, eviteremo l’uso di tecniche clas‐siche quali: • la soluzione dell’equazione di Laplace, • uso della variabile complessa e delle trasforma‐

zioni conformi

Faremo, invece, uso della tecnica di sovrapposi‐zione delle soluzioni. In particolare sovrapporremo ad un campo di velocità uniforme alcune distribuzioni di singolarità trattate nel capitolo precedente. Lo scopo è di simulare corpi portanti bidimensionali, cioè corpi con campi di moto non simmetrici con velocità sul corpo che siano tangenti alla parete solida e con velocità che, a grande distanza dal corpo, tendono alla velocità asintotica Per decidere che tipo di singolarità usare, forti dei potenti mezzi offerti dai moderni software tipo MATLAB, MAPLE, ecc.., ricorriamo ad esperimenti preliminari di visualizzazione delle linee di cor‐rente.

Simuliamo così i campi di moto ottenuti con la sovrapposizione di:

Corrente uniforme U∞ con doppietta contraria alla corrente asintotica Corrente uniforme U∞ con doppietta normale alla corrente asintotica Corrente uniforme U∞ con vortice

E' ben chiaro che per avere un corpo portante dobbiamo realizzare:

• sul ventre del profilo una pressione maggiore di quella sul dorso;

• ovvero, in termini di velocità, sul ventre velo‐cità minori di quelle sul dorso,

• ovvero [ricordando il teorema di Kutta‐Joukowsky: L = ρ∞ V∞ Γ] occorre generare at‐torno ad un qualunque circuito che avvolga una sola volta il corpo una circuitazione della velocità Γ diversa da zero.

Da tutte le considerazioni fatte discende, in pratica, che per generare portanza oc‐corre introdurre una asimmetria nel campo di velocità.

Dagli esperimenti sopra fatti si vede chiaramente che campi non simmetrici non sono realizzabili con l'introduzione di sorgenti/pozzi o di doppiette che soffiano nella direzione della velocità asin‐totica.

MAPLE:U + doppietta contraria

MAPLEU+ doppietta normale



Per generare campi portanti occorre quindi (oltre a pozzi/sorgenti che servono sol‐tanto a fare/simulare spessore) introdurre necessariamente vortici oppure doppiet‐

te che soffiano in direzione diverse da quella della velocità asintotica.

Quanto osservato nel caso del cilindro con circolazione(par.3.3.5), conferma tale conclusione. Nel contesto di questo corso ci limiteremo all'uso di distribuzioni vorticose. Nel prosieguo dei corsi saranno esaminati ed analizzate metodologie che fanno uso di distribuzioni di doppiette (preferite dalla letteratura russa) con direzione normali alle parete. .4.2 LA TEORIA VORTICOSA

Ludwig Prandtl (tedesco, 1874‐1953) fu il primo che ipo‐tizzò che l'analisi delle superfici alari poteva essere fatta dividendo il problema in due parti: 1. lo studio della sezione dell'ala 2. le modificazioni delle proprietà aerodinamiche della

sezione generica derivanti dalla "finitezza" dell'ala. Questo approccio è tuttora valido ed è usato per lo studio di tali problemi. Ricordiamo che per definizione un profilo alare è la sezio‐

ne trasversale di un'ala (che si assume estendersi nella di‐rezione "y", con la corrente asintotica diretta secondo la direzione "x"); ogni sezione dell'ala parallela al piano "x‐z" è chiamata profilo alare.

Il profilo alare sarà quindi studiato nel piano "x‐z" assumendo unitaria la dimensione nella direzione "y".

Ovviamente le prestazioni del profilo saranno estensibili direttamente a quelli di un'ala "infinita" ∞che abbia profilo costante lungo "y". Tale ultima definizione può però essere fuorviante; meglio sarebbe definire

il profilo come una forma aerodinamica (ideale) che opera in condizioni di moto bi‐dimensionale. .4.3 LA STRATEGIA DI ANALISI: LINEA VORTICOSA Abbiamo già visto, nel caso del cilindro, che l'introduzione di una circolazione [circuitazione della velocità] è capace di causare una asimmetria nel campo delle velocità/pressioni che genera una forza portante, calcolabile secondo il teorema di Kutta‐Joukowsky.

Fig. (4. 2) Schema vorticoso per profilo alare

Fig. (4. 1) Profilo come sezione alare



Da tali considerazioni discende la filosofia di simulare sistemi portanti, quali profili, con un tubo vorticoso che si appoggia sul profilo stesso, e di calcolare la distribuzione della vorticità sulla su‐perficie del profilo [equivalente alla distribuzione di circolazione γ(s) espressa in funzione dell' a‐scissa curvilinea "s" ] capace di rendere la superficie stessa linea di corrente. Ovviamente la circolazione totale Γ sarà :

(4.1)

e la portanza (dal teorema di Kutta‐Joukowsky) :

(4.2)

Questa strategia fu proposta da Prandtl negli anni 1910‐1920 ed è tuttora alla base dell'a‐nalisi delle superfici portanti: essa è nota come teoria vorticosa. In realtà il concetto di simulare il profilo con una superficie vorticosa, a parte l'ingegno matematico, ha un significato fisico che deri‐va dal fatto che, per alti valori del numero di

Reynolds, lo strato limite che si genera sulle superfici solide è molto sottile e sede di vor‐ticità distribuita:

d(s) U

dsΓ

γ = ≈ (4.3)

Questa vorticità [che esiste in una zona estremamente sottile nelle vicinanze della parete] può essere considerata quasi aderente al corpo stesso. Possiamo quindi supporre che all'esterno di questo strato il campo di moto possa considerarsi po‐tenziale. Ma abbiamo visto precedentemente che i profili alari usati in pratica sono molto sottili (raramente si superano spessori superiori al 14‐18 %) ed abbiamo anche notato che in condizioni iposoniche [Mach<<1] il campo incompressibile di velocità è descritto da un operatore lineare (∇•V=0 : di‐vergenza nulla campo solenoidale). Possiamo, quindi, assumere che il campo di velocità attorno ad un profilo sottile, poco ricurvo po‐sto a piccolo angolo d’attacco sia esprimibile come somma di due problemi:

• un campo simmetrico derivante dallo spessore, • un campo non simmetrico derivante dal camber della linea media e dall'angolo di attacco

Fig. (4. 4) Sovrapposizione di campi di moto

∫ γ=ΓS

ds)s(

∫ γρ=Γρ= ∞∞∞∞

S

ds)s(VVL'

Fig. (4. 3) Schema di Strato Limite attorno a profilo



Ovviamente il campo di velocità derivante dallo spessore (problema del fairing: campo simmetri‐co) non concorrerà alla determinazione della portanza. In pratica nello studio del problema non simmetrico abbiamo schiacciato la vorticità sulla linea media; quindi, è su questa linea media che deve essere imposta la condizio‐ne di tangenza (linea media = linea di cor‐rente) derivante dal camber. Lungo la linea media le circolazioni elemen‐tari della superficie superiore e di quella in‐feriore si sommeranno algebricamente. Se andiamo a calcolare la circolazione lungo un contorno "dn" per "ds" che contiene il profilo schematizzato come linea media, si ottiene:

0bordo di uscitaγ = (4.4)

Facendo tendere nella (4.4) "dn" a zero si ottiene:

(4.5)

ovvero: 1 2(s) u uγ = − (4.6)

Cioè il salto della velocità tangenziale attraverso la linea vorticosa è pari all'intensità locale della vorticità per unità di lunghezza (distribuzione di circolazione). .4.4 LA CONDIZIONE DI KUTTA

Nello studio del cilindro portante (3.3.5) abbiamo ritrovato che la portanza per unità di profondità “L’ ” è legata alla circolazione “Γ “che si realizza attorno al profilo dal teorema di Kutta Joukowsky . Ma abbiamo visto che esistevano diverse soluzioni per varie Circolazioni, è ovvio che dobbiamo avere un criterio di fissare la circolazione attorno al cilindro ovvero attorno al profilo

La successiva considerazione di collegare la circolazione Γ alla velocità di rotazione del cilindro Ω. è certamente "impropria", L'improprietà discende dal fatto che nell'ambito delle ipotesi fatte (trascurabilità degli effetti viscosi) non siamo nella condizione di imporre che la componente tan‐genziale della velocità del fluido sulla parete del cilindro sia pari a quella della parete [possiamo imporre soltanto l'annullamento della componente normale sulla parete].

Ne deriva in conclusione che il problema del cilindro ammette, in effetti, infinite soluzioni, ognuna descritta dalla circolazione che si assume esistere attorno al cilindro stesso, ma non siamo in gra‐do di imporre la "condizione fisica" che ne determini quella giusta. Questo fatto non Vi deve spaventare, il problema, nella variabile potenziale di velocità, è un pu‐

ro problema di Laplace con condizioni alla Neumann, che ammette infinite soluzioni [come apprenderete in futuri approfondimenti di metodi matematici per l'ingegneria].

ds)s(dn)vv(ds)uu(

)dsudnvdsudnv(d

2121

2112

γ==−+−=

=+−−−=Γ

ds)uu(ds)s( 21 −=γ

Fig. (4. 5) Vorticità sulla linea media



In pratica, per specificare la soluzione, attorno ad un profilo alare occorre un' ulteriore condizione che fissi in qualche modo per un dato profilo e per un dato angolo di attacco la circolazione Γ.

Fig. (4. 6) La condizione sul Bordo di uscita per fissare la Circolazione

Senza questa condizione, se analizziamo un profilo con un qualsiasi metodo potenziale (numerico o analitico), si vedrà che il campo di moto è del tipo come nella parte sinistra della Fig. 4.6, corri‐spondente a Γ1 = 0 (la natura tende alla simmetria globale) ben diverso dal campo, indicato

della parte destra della stessa figura che descrive quello che osserviamo con prove sperimentali, e che si realizza soltanto con una ben definita Γ2 ≠ 0. D'altro canto, osservando l'ipotetico Caso 1, si nota che nel girare attorno al bordo di uscita la ve‐locità dovrebbe invertire il suo verso di quasi un angolo giro, il che causerebbe nel bordo di uscita un gradiente di velocità infinito: una sia pur minima viscosità renderebbe lo sforzo viscoso infinito. Il che conferma che la Situazione non è accettabile fisicamente.

La condizione di Kutta impone la condizione fisica sul bordo di uscita.

Fig. (4. 7) La condizione di Kutta sul bordo di uscita

In realtà dobbiamo esaminare due diverse tipologie che derivano dalla forma del bordo d’uscita. a) nel caso di bordo di uscita aguzzo ci sembra fisicamente accettabile imporre che il bordo di

uscita sia punto di ristagno: , [vedi la soluzione attorno a diedri piani para. 3.6 ] b) nel caso di bordo di uscita a cuspide deve essere invece: [ per l'equilibri della

scia le pressioni sopra e sotto devono equilibrarsi, questo impone, dal teorema di Bernoulli l'eguaglianza delle velocità]

Se consideriamo la relazione (4.6) trovata tra velocità ed intensità della vorticità ne risulta che per entrambi i casi,la condizione di Kutta può essere formulata come:

0bordo di uscitaγ = (4.7)

V V1 2 0= =V V1 2 0= ≠



.4.5 CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI KELVIN : IL VORTICE DI PARTENZA

La condizione di Kutta (basata su considerazioni fisiche) permette di rendere univoca la soluzione del problema del campo di moto attorno a profili portanti: tra tanti possibili (vari livelli di circola‐zioni) quello fisicamente accettabile deve soddisfare la condizione di Kutta. La circolazione che ne deriva determina la portanza per unità di profondità generata dal profilo per tramite il teo‐rema di Kutta‐Joukowsky. Questo soddisfa la nostra ansia di risolutori di problemi fisici, ma ci pone davanti ad un'altro pro‐blema derivante dal teorema di Kelvin che è valido sotto le stesse ipotesi (trascurabilità degli ef‐fetti viscosi):

(4.8)

Se la vorticità si deve conservare, ed all'inizio del moto (avviamento del corpo o avviamento del‐la corrente fluida) di un profilo la vorticità è nulla (essendo nullo il campo di moto),

come fa a generarsi? Invero il teorema di Kelvin impone la conservazione "particellare" della vorticità: la vorticità di una particella o di un insieme di particelle deve essere costante durante la sua evoluzione nel tempo.

Fig. (4. 8) Conservazione della Circolazione

Per cui se in assenza di velocità la circolazione di un gruppo di particelle lungo un contorno che abbraccia il profilo è nulla, la circolazione per lo stesso insieme di particelle deve rimanere nulla anche quando si ha una velocità asintotica diversa da zero. Ma in questo caso la condizione di Kutta impone una circolazione diversa da zero calcolata attorno al profilo. Questo può essere realizzata se una stessa circolazione, ma di senso opposto, viene ge‐nerata nel fluido; circolazione che, essendo attaccata alle particelle, viene trasportata all'infinito a valle dalla corrente (vortice di partenza).

0DtD

=Γ

Γ1 = Γ2

Γ1

Γ2

C1

C2

particella fluida sulla linea C1 al tempo t1

stessa particella fluida sulla linea C2 al tempo t2



Fig. (4. 9) Vortice di Partenza

Nota che la condizione di Kutta ed il teorema di Kutta‐Joukowsky sono definiti in un riferimento Euleriano, il teorema di Kelvin è in un riferimento Lagrangiano.

In pratica considerando il circuito C2 che abbraccia le particelle iniziali, notiamo che questo può

essere diviso in due circuiti C3 e C4 su cui deve risultare:

Il vortice Γ3 è detto vortice di partenza ed è visualizzabile sperimentalmente; esso si genererà o‐

gni qual volta vi sia una variazione della velocità asintotica o dell’angolo di attacco, per adeguare la circolazione attorno al profilo [lo si vede bene svilupparsi a valle di un remo posto in movimento in acqua]. Riportiamo nella figura sottostante (4.10) lo sviluppo della scia a valle di un profilo che parte im‐pulsivamente (da una velocità zero ad una velocità finita) calcolata con un semplice codice insta‐zionario.

Fig. (4. 10) Andamento del vortice di partenza (scia vorticosa)

V=0

V≠0

Caso (a): Fuido in quiete Γ1=0

Caso (b): Campo di moto subito dopo l'avvio del moto Γ1=Γ2=0 ⇒ Γ3=Γ4

C1

C 2

C4 C3

Γ4

Γ3

vortice di partenza

43243 0 Γ−=Γ→=Γ=Γ+Γ

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Scia di lastra piana: instazionario alla partenza

α =9.9° , U=1

Xw



.4.6 TEORIA VORTICOSA DEI PROFILI SOTTILI E POCO RICURVI (PRANDTLGLAUERT)

Consideriamo una distribuzione vorti‐cosa che si appoggia sulla linea media di un profilo alare messo in una cor‐rente con velocità asintotica V∞ ad un angolo di attacco α.

L'intensità della distribuzione di vorti‐cità per unità di lunghezza γ(s) è misu‐rata rispetto all'ascissa curvilinea "s" che parte dal bordo di attacco.

La linea media è descritta dalla rela‐zione z=z(x) , dove “x” è compresa tra 0 e "c"; e "c" è la corda del profilo. Sulla linea media la velocità indotta dal sistema vorticoso è denotata w'(s).

Le cose funzionano, ma sono troppo complicate per un’analisi analitica la w’(s) ha direzioni di‐verse! Prandtl pensò di semplificare il modello, considerando che il camber dei profili usati in aeronau‐tica è decisamente piccolo (meno di un decimo della corda).

Se consideriamo il sistema vorticoso insistere sulla corda, γ(x) , questo induce una velocità, nella direzione normale alla corda, pari a w(x). Elemento principale semplificativo della teoria [che permetterà di ritrovare soluzioni analitiche] è di assumere:

w'(s) = w(x) (4.9)

Per profili poco ricurvi (camber piccolo) tale posizione è accettabile (o.k. per profili alari); non è accettabile invece per alcuni profili ad alto camber usati, ad esempio, in certe turbomacchine). In definitiva possiamo assumere che la distribuzione di vorticità posta sulla linea media causa, al‐meno ad una certa distanza, degli effetti poco diversi da una stessa distribuzione posta sulla corda, per la quale gli sviluppi analitico‐matematici saranno enormemente semplificati.

Assumeremo valida tale ipotesi e quindi posizioneremo la vorticità sulla linea media assumendo una distribuzione γ(x) che dovrà essere tale da garantire la condizione di tangenza della velocità alla linea media, e la condizione di Kutta al bordo di uscita [γ(c)=0]. Per far sì che la linea media sia linea di corrente, dovremo imporre che sulla linea media la com‐ponente della velocità normale alla linea media stessa sia nulla: cioè che in ogni punto della linea media si verifichi:

(4.10)

Riferendoci alla figura sottostante risulta che in ogni punto "P" della linea media, [che ha una incli‐nazione di “‐dz/dx” rispetto alla corda che a sua volta è posta ad un angolo “α” rispetto alla veloci‐tà asintotica], risulta:

0)s('wV:)x(zz n, =+=∀ ∞

Fig. (4. 11) Schematizzazione della linea vorticosa



(4.11)

Ma noi stiamo considerando un profilo poco ricurvo, ed assumiamo inoltre che l'angolo di attacco α (espresso in radianti) sia picco‐lo, possiamo semplificare e linearizzare:

(4.12)

Per cui la (4.11) diventa:

(4.13)

Ricordiamo che la velocità indotta w'(s), sarà cal‐colata sulla corda in quanto, sotto l' ipotesi di pic‐cola freccia, la velocità indotta normalmente alla linea media sarà molto prossima alla velocità in‐dotta normalmente alla corda, cioè: w'(s) ≅ w(x). Il calcolo della w(x) è fatto agevolmente conside‐rando che un elemento del sistema vorticoso sul‐la corda:

γ(ξ) dξ (4.14)

induce alla generica ascissa "x" una componente di velocità, normale alla corda, pari a:

(4.15)

[N.B. i segni: con le notazioni assunte γ (ξ) è positiva se oraria, w(x) è positiva se verso l'alto] Integrando rispetto a tutta la distribuzione sulla corda (dal bordo di attacco, ξ=0, a quello di uscita, ξ=c) risulta che la velocità indotta normalmente alla corda all’ascissa “x” (i.e. il down wash sulla corda) è:

(4.16)

per cui la condizione di tangenza della velocità alla linea media si scrive:

(4.17)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+α= −

∞∞ dxdztansinVV 1

n,

dxdz

dxdztansin

dxdz

dxdztan

1

1

−α≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+α

−≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −α≅ ∞∞ dx

)x(dzVV n,

)x(2d)()x(dw

ξ−πξξγ

−=

∫ ξ−ξξγ

π−=

c

0)x(

d)(21)x(w

[ ] ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −α=

ξ−ξξγ

πε∀ ∞

c

0dxdzV

)x(d)(

21:c,0x

-w(x)

dξ

ξ

x

z

x

γ(ξ)

c

α

V∞

α

V∞

tan-1(-dz/dx)

tan-1(-dz/dx)

x

z

V∞,,n

Fig. (4. 12) Condizione di annullamento della velocità normale alla linea media

Fig. (4. 13) Schema di calcolo velocità indotta sulla corda



Questa rappresenta l' equazione fondamentale della teoria vorticosa di Prandtl‐Glauert dei profi‐li sottili, poco ricurvi ed a piccoli angoli di attacco. La condizione dell'equazione integrale è rappresentata dalla condizione di Kutta: γ (c) = 0

Notiamo che questa è una equazione integrale[la funzione incognita γ(x) è contenuta in un inte‐grale]che è singolare per x = ξ , e che deve valere per ogni punto della corda (i.e. per x∈[0,c] ). Nota che l'integrale,fatto rispetto alla variabile ξ, risulta essere una funzione di "x" (memo: l'integrale rappresenta la w(x )), ovviamente la dz/dx , a destra, è funzione di "x".

La risoluzione del problema integrale (4.18) fornirà la distribuzione di circolazione γ(x) sulla linea media del profilo, nota la quale potremo calcolare la circolazione totale

(4.18)

e quindi la portanza mediante il teorema di Kutta‐Joukowsky. Senza voler entrare nella trattazione rigorosa della teoria delle equazioni integrali, illustreremo nel seguito alcune tecniche di risoluzione basate sullo sviluppo in serie di Fourier o su metodologie numeriche. NOTA: le seguenti Formule di Glauert saranno di grande ausilio per alcune integrazioni che inte‐ressano l’analisi di profili e di ali:

I.a Formula:

II.a Formula:

Nota che le formule di Glauert si riferiscono ad integrali di funzioni trigonometriche di un’anomalia (angolo) θ. .4.6.1 Profili simmetrici

In questo caso la linea media coincide con la corda, z(x)=0; dz/dx=0, e il problema integrale (4.17) si semplifica :

(4.19)

B.B. questa equazione modella esattamente una lastra piana immersa ad un angolo di attacco "α"; e rappresenta in modo approssimato il campo di velocità indotto, di interesse ai fini della portanza, da un angolo di attacco "α" di una corrente uniforme su di un profilo simmetrico, l'influenza dello spessore sarà trascurabile ai fini della portanza (nei limiti delle ipotesi di flusso potenziale). Nota che il termine a sinistra della (4.19) è funzione di “x” , quello a destra è costan‐te. Il problema è quindi di individuare una distribuzione γ(x)= γ(ξ) che rende costan‐te l’integrale singolare (di sinistra).

∫ γ=Γc

odx)x(

( ) ( )( )

coscos cos

nd

sin nsin

θθ ϑ

θ πϑ

ϑ

π

−=∫

0

( ) ( )( )sin n sin

d nθ θ

θ ϑθ π ϑ

π

cos coscos

−= −∫

0

[ ]c

cond.Kutta0

1 ( ) dx 0,c : V ; (c) 02 (x ) ∞

γ ξ ξ∀ ∈ = α γ =

π − ξ∫



Nota: per uno studente che per la prima volta osserva un integrale come quello del‐la (4.20) può essere fuorviante l’uso di due variabili x e ξ. In pratica queste due va‐riabili rappresentano posizioni sulla corda [0, c], ma una (la x) rappresenta la posi‐zione del punto dove è calcolato l’integrale, l’altro (la ξ) è semplicemente la variabi‐le di integrazione. Nota: l’integrale della (4.19) è un integrale di convoluzione, ed è formalmente sin‐golare. In realtà dovremmo definirlo come integrale di Cauchy ed assumere che esi‐sta ed è finito. In pratica dovremmo dividere l’integrale in due parti, non singolari, sommarle e farne il limite, sperando che questo sia finito.

c x c

00 0 x

Int.Cauchy

( ) d ( ) d ( ) dlim(x ) (x ) (x )

−ε

ε→−ε

⎡ ⎤γ ξ ξ γ ξ ξ γ ξ ξ⎢ ⎥= +− ξ − ξ − ξ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Per ricercare una soluzione analitica della (4.19) mediante una serie di Fourier, useremo la tra‐sformazione per la coordinata di integrazione, ξ ,:

1 cos cc ; d sin d2 2

− θξ = ξ = θ θ (4.20)

Il punto "x" dell'equazione (considerato fisso), sarà e‐spresso dal valore dell'anomalia dato da:

(4.21)

Con queste trasformazioni il problema integrale (4.19) si riscrive:

(4.22)

che può essere risolto con la trasformata di Fourier e le formule di Glauert. Senza entrare nella descrizione della metodologia di soluzione (circa due pagine di passaggi) ci li‐mitiamo a fornire la soluzione:

( )1 cos c( ) 2 V 2 V cot 2 2 V 1xsin∞ ∞ ∞+ ϑ

γ ϑ = α = α ϑ = α −ϑ

(4.23)

La verifica che la (4.23) soddisfa la (4.22) è lasciata come esercizio allo studente (basta usare la I formula di Glauert). Da notare che la circolazione γ(θ)

• è infinita sul bordo d’attacco [ ϑ =0, o x=0 ] • è nulla sul bordo d’uscita [ ϑ =π, ovvero x=c ] (i.e. la condizione di Kut‐

ta è , ovviamente, verificata) •

La circolazione totale, Γ ,è ricavata per semplice integrazione di γ:

ϑ

2cos1cx ϑ−

=

0)(;Vcoscos

dsin)(21

o

=πγα=ϑ−θθθθγ

π ∞

π

∫

0 c

θ

ξ

θ= 0 θ= π

c/2

Fig. (4. 14) Anomalia per la posizione sul-la corda

Fig. (4. 15) Andamento della circolazione lungo la corda



c

0 o 0

c(x)dx ( ) sin d c V (1 cos ) d c V2

π π

∞ ∞Γ = γ = γ ϑ ϑ ϑ = α + ϑ ϑ = π α∫ ∫ ∫ (4.24)

Il calcolo della portanza deriva dal teorema di Kutta‐Joukowski:

(4.25)

da cui si può ricavare il coefficiente di portanza [S=c ∗ (1)]:

(4.26)

ovvero:

• il coefficiente di portanza è: (4.27)

• l’ inclinazione (coefficiente) della retta di portanza è: (4.28)

NOTA: In certa letteratura il coefficiente della retta di portanza è indicato con mo oppure con ao.

Questo risultato è molto importante in quanto stabilisce che, per profili sottili, poco ricurvi e a pic‐coli angoli di attacco, il coefficiente di portanza è linearmente proporzionale all'angolo di attacco (retta di portanza nel piano Cl ‐ α) e che tale coefficiente di proporzionalità (inclinazione della ret‐ta di portanza) è pari a:

• 6.2831 se l'angolo α è espresso in radianti

• 0.1097 se l'angolo α è espresso in gradi

In realtà tale conclusione non è sorprendente. Il problema sotto le ipotesi fatte di: pic‐colo spessore, piccola curvatura, piccolo angolo di attacco ha permesso la linearizza‐zione delle condizioni al contorno; essendo il campo di velocità lineare, il problema è lineare. La relazione tra causa (angolo di attacco) ed effetto (portanza) deve essere necessariamente lineare. Ovviamente che il coefficiente di proporzionalità tra Cl ed α debba essere pari proprio a 2π non poteva essere previsto, ed è questo il vero risultato dell'analisi. NOTA BENE: La teoria originale di Glauert non faceva l'ipotesi di piccolo angolo d'attacco e ritrovava formule similari in cui al posto dell'angolo d'attacco "α" si ri‐trova "sin α ". Ovviamente per piccoli angoli d’attacco le due formulazioni coincidono.

2VcV'L ∞∞∞∞ ραπ=Γρ=

cV21

VcSq'Lc

2

2

L

∞∞

∞∞

∞ ρ

ραπ=≡

απ= 2C l

π=α

≡α 2ddCC l

,l



Il momento attorno al bordo di attacco [indicato con M0 oppure MLE ] è calcolato considerando semplicemente che un elemento di corda dx, genera una portanza elementare dL , data dal teorema di Kutta‐Joukowski. Per un elemento di vorticità dΓ= γ(x) dx risulta:

(4.29)

Il momento della dL’ rispetto al bordo di attacco si ottiene semplicemente:

( )o

dL'

dM ' x dL ' x V x dx∞ ∞= − = − ρ γ (4.30)

Nota bene il segno: il momento è considerato positivo se cabrante (naso dell'aereo in sù)

Il momento totale rispetto al bordo di attacco M’o è quindi:

(4.31)

Da questa si ricava il coefficiente di momento [ S = c∗(1) ]:

o lmo

M ' CC

q c S 2 4∞

π≡ = − α = − (4.32)

Nota: Il momento rispetto al bordo di attacco è negativo (momento picchiante) ed è proporzionale all'angolo di attacco. In vista delle prossime elaborazioni la (4.32) può scriversi in termini della por‐tanza come:

l

2 2 2o l

Cq S'

1 1 c c cM ' V c V c 2 q C L '2 2 2 4 4 4

∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞π ⎛ ⎞= − ρ α = − ρ πα = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.33)

La posizione del centro di pressione “xcp/c” rispetto al b.d.a. si ricava dalla (4.34) semplicemente:

cpocp

xM ' c 1xL ' 4 c 4

≡ − = → = (4.34)

La posizione del fuoco “xf” rispetto al b.d.a. si ricava dalla (4.34) derivando il momento M’o rispet‐to alla portanza L’

of

dM ' cxdL ' 4

≡ − = (4.35)

Il Momento focale si ricava dal teorema di trasporto:

'f o

c c cM M ' L ' L ' L ' 04 4 4

= + = − = (4.36)

In definitiva risulta quindi che, per profili simmetrici, sottili e poco ricurvi: • il centro di pressione è ad 1/4 della corda, • il fuoco è ad 1/4 della corda (coincide con il centro di pressione) [dCm/dCl = 1/4], • il momento focale è nullo.

dx)x(VdV'dL γρ=Γρ= ∞∞∞∞

( )2

cV21dsin

sincos1

2cV2Vdx)x(xV'M 22

0

22c

0o

παρ−=ϑϑ

ϑϑ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛αρ−=γρ−= ∞∞

π

∞∞∞∞∞ ∫∫

Fig. (4. 16) Schema per il calcolo del Momento rispetto al Bordo d'attacco



La conoscenza della vorticità elementare lungo la corda “ γ (x) ”, ci permette di calcolare la distri‐buzione, sul dorso e sul ventre, delle velocità e quindi del coefficiente di pressione. Denotando con indice (1) il dorso e con indice (2) il ventre del profilo notiamo che:

• la vorticità è collegata al salto delle velocità tangenziali: ( ) 1 2x V Vγ = −

• la portanza elementare è collegata alla vorticità: dL' V (x) dx∞ ∞= ρ γ

• la portanza elementare deve essere collegata alla differenza di pressione:

• le pressioni devono essere collegate alle velocità (Bernoulli):

Da queste considerazioni ricaviamo semplicemente che le velocità (superiori ed inferiori) alla la‐stra devono essere collegate alla vorticità:

Essendo (4.23)

Ne discende che (4.37)

ovvero

(4.38)

Da queste relazioni si può calcolare la posizione del punto di ristagno in funzione dell'angolo di at‐tacco:

dobbiamo imporre l'annullarsi delle velocità tangenziali

(quelle normali al corpo sono già nulle per definizione di tangenza).

Dall’analisi delle velocità superficiali (4.37) risulta che per angoli positivi, la V1(dorso) non si annulla mai. Mentre la V2(ventre) si annulla per:

(4.39)

La posizione del punto di ristagno sarà quindi:

)VV(21pp 2

22

112 −ρ=− ∞

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γ−=

γ+=→

⎪⎩

⎪⎨⎧

γ=−γ=−

∞

∞∞

)x(21VV

)x(21VV

)x(VV)x(V2VV

2

1

21

22

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−α=γ ∞ 1

xcV2)x(

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−α−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−α+=

∞

∞

1xc1VV

1xc1VV

2

1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−α−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−α+−=

2

2p

2

1p

1xc11C

1xc11C

11x

c

rist=−α



(4.40)

ovvero, attesa la assunta piccolezza (in radianti) di α :

(4.41)

Nota che per α≠0 sul bordo di at‐tacco di un profilo sottile (per x=0 ovvero θ=0) risulta (4.2a) una vorticità e quindi una velocità in‐finita. Questo è spiegabile fisicamente dal fatto che per piccoli spessori (nella fattispecie lo spessore con‐siderato è nullo) nei pressi del bordo di attacco, nel risalire dal punto di ristagno (che sta sul ven‐tre) verso il dorso, la corrente de‐ve ruotare di un angolo giro. In pratica la corrente non riesce a rimanere attaccata localmente e si genera così una bolla di sepa‐razione laminare cui segue un riattacco turbolento. In realtà la velocità sul bordo di attacco è molto grande (teoricamente infinita) e conseguentemen‐te la pressione molto bassa (teoricamente nulla). Questa bolla causa un risucchio del fluido sul dorso verso il bordo di attacco, risucchio che genera una forza parallela alla corda diretta verso il bordo di attacco.

E' questa forza quella che viene usata (con maestria) dai velisti per navigare di bolina.

Questo spiega l' assurdo della lastra piana con angolo d'attacco: In assenza di effetti viscosi le forze agenti sulla lastra sono generate solo dal campo di pressione. Queste, essendo normali alla lastra, genereranno un risultante necessariamente normale alla la‐stra, che avrà componente diversa da zero nella direzione della velocità. Nascerebbe così una componente nella direzione della velocità, ovvero una resistenza non viscosa.

E' proprio la forza di suzione (che è in pratica una forza di trazione) che mette a posto le cose.

Questa fenomenologia si ritrova anche in altre problematiche aerodinamiche quali

le ali a piccolo allungamento (slender bodies)

2

2

rist 1cx

α+α

=

2rist cx α≈

Fig. (4. 17) Aspirazione sul bordo d'attacco



.4.6.2 Profili ricurvi (i.e con camber, ovvero non simmetrici

La teoria vorticosa per un profilo non‐simmetrico [con camber: zlinea media = z(x) ≠ 0 ] è una genera‐lizzazione di quella fatta per il profilo simmetrico (che ne deve essere un caso particolare). Il problema analitico è definito dall'equazione integrale (4.19) e dalla condizione di Kutta:

; (4.42)

Che conviene esprimere in termini delle anomalie (θ):

( )0

sin1 dzd V2 cos cos dx

π

∞

γ θ θ ⎛ ⎞θ = α −⎜ ⎟π θ − ϑ ⎝ ⎠∫ (4.43)

Anche questa volta senza entrare nella teoria generale della soluzione, assumiamo per la vorticità γ(θ) una forma che abbia una prima parte simile a quella della lastra piana ma aumentata da una serie di Fourier di soli seni:

( ) ( )o nn 1

1 cos2V A A sin nsin

∞

∞=

+ θ⎡ ⎤γ θ = + θ⎢ ⎥θ⎣ ⎦

∑ (4.44)

Preliminarmente osserviamo che la (4.44) soddisfa la relazione di Kutta. Per determinare i coefficienti A0 e An , n=1,…,∞ occorre:

a) inserire la (4.44) nella (4.43),

b) cercare di sviluppare gli integrali con le formule di Glauert

c) invertire la serie che ne deriva.

Sostituiamo l’espressione assunta per la γ(θ) (4.44) nella (4.43):

( )o nn 10

1 1 cos sin dz2V A A sin n d V2 sin cos cos dx

π ∞

∞ ∞=

+ ϑ θ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ ϑ θ = α −⎜ ⎟⎢ ⎥π ϑ θ − ϑ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑∫ (4.45)

I termini a sinistra di questa espressione possono essere elaborati pensando alle formule di

Glauert:

( )

( )

( )

o nn 10

o nn 10 0

o nn 10 0

1 1 cos sin2V A A sin n d2 sin cos cos

2V 1 cos sin sinA d A sin n d2 sin cos cos cos cos

sin sin nV 1 cosA d Acos cos cos co

π ∞

∞=

π π∞∞

=

π π∞∞

=

+ θ θ⎡ ⎤+ θ θ =⎢ ⎥π θ θ − ϑ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ θ θ θ⎧ ⎫ ⎧ ⎫θ + θ θ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥π θ θ − ϑ θ − ϑ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

θ θ+ θ⎧ ⎫= θ +⎨ ⎬π θ − ϑ θ −⎩ ⎭

∑∫

∑∫ ∫

∑∫ ∫ ds

⎡ ⎤⎧ ⎫θ⎢ ⎥⎨ ⎬ϑ⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

L’uso delle formule di Glauert porta:

0)c( =γ

[ ] ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −α=ξ−ξξγ

π ε∀ ∞

c

0 dxdz

V)x(

d)(2 1

:c,0x



( )o n

n 10 0

o o0 0

I Glauert I Glauertcon n=0 con n=1Integrale=0 Integrale=

sin sin nV 1 cosA d A dcos cos cos cos

V 1 cosA d A dcos cos cos cos

π π∞∞

=

π π∞

° °

π

⎡ ⎤⎧ ⎫θ θ+ θ⎧ ⎫θ + θ =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬π θ − ϑ θ − ϑ⎩ ⎭⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

θ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= θ + θ⎨ ⎬ ⎨ ⎬π θ − ϑ θ − ϑ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∑∫ ∫

∫ ∫( )

( )

nn 1 0

II GaluertIntegrale = - cos(n )

o nn 1

sin sin nA d

cos cos

V A A cos n

π∞

=

°π ϑ

∞∞

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎧ ⎫θ θ⎢ ⎥+ θ =⎨ ⎬⎢ ⎥θ − ϑ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= π − π ϑ⎢ ⎥π ⎣ ⎦

∑ ∫

∑

In definitiva la (4.45) diventa (cambiamo il simbolo di “teta” per meri motivi tipografici):

o nn 1

dzV A A cos(n ) Vdx

∞

∞ ∞=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞− θ = α −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

(4.46)

Riscriviamo la (4.46) raggruppando i termini costanti (A0 e α) e ricaviamo:

[ ]o nn 1

dzA A cos(n )dx

∞

=

α − + θ =∑

(4.47)

La (4.47) rappresenta una serie di Fourier di soli coseni, la cui soluzione è indipendente dalla V∞.

Per l’ inversione della serie di Fourier (i.e. trovare le soluzioni per A0 e gli An) procediamo come

per tutte le altre serie di Fourier: moltiplichiamo entrambi i lati dell’equazione (4.47) per cos(mθ)

con m=0,…∞, e integriamo sull’intervallo di definizione θ∈ [0,π]:

[ ] ( ) ( ) ( )o nn 10 0 0

dzA cos m d A cos m cos(n )d cos m ddx

π π π∞

=

α − θ θ + θ θ θ = θ θ∑∫ ∫ ∫ (4.48)

Valutiamo gli integrali nella (4. 48) al variare di m:

Per m=0 gli integrali del II termine a sinistra della (4. 48) sono tutti nulli, ne deriva:

( )o o0 0 0

dz 1 dzA d d A ddx dx

π π π

α − θ = θ → α − = θπ∫ ∫ ∫ (4.49)

Per m≠0 il primo integrale a sinistra della (4. 48) è nullo. Degli integrali del II termine a sinistra del‐

la (4. 48) è non nullo solo il termine n=m, ne deriva:

( ) ( ) ( )n n0 0 0

/ 2

dz 2 dzA cos n cos( n )d cos n d A cos n ddx dx

π π π

=π

− θ θ θ = θ θ → = θ θπ∫ ∫ ∫ (4.50)

In definitiva i coefficienti Ao ed An, n=1, …∞ sono dati dagli integrali

(4.51) ϑϑπ

=ϑϑπ

=ϑϑπ

=ϑπ

−α= ∫∫∫∫ππππ

d)ncos(dxdz2A,d)2cos(

dxdz2A,d)cos(

dxdz2A,d

dxdz1A

on

o2

o1

oo



Come atteso:

• Ao dipende dall'angolo di attacco "α" e dal camber del profilo "dz/dx",

• gli altri coefficienti An dipendono soltanto dal camber del profilo "dz/dx",.

Per ottenere i coefficienti aerodinamici notiamo che, come al solito, la circolazione totale è l'inte‐grale della vorticità locale:

(4.52)

Sviluppando gli integrali si ottiene che i termini non nulli sono quelli relativi a A0 e A1:

Circolazione totale: (4.53)

Portanza: (4.54)

Coefficiente di portanza: (4.55)

Coefficiente (inclinazione) della retta di portanza (4.56)

Notiamo che il coefficiente della retta di portanza rimane uguale a quello del profilo simmetrico (che è quindi un risultato generale per qualunque profilo sottile e poco ricurvo).

L'espressione del coefficiente di portanza per profili ricurvi può assumere la forma:

(4.57)

dove il termine “ αL0 ”:

( )L00

1 dz cos 1 ddx

π

α = − θ − θπ ∫ (4.58)

prende il nome di angolo (di attacco) di portanza nulla; è cioè l'angolo di attacco per cui si ha por‐tanza nulla (αL0 è negativo per camber verso l'alto). In pratica αL0 misura di quanto è ruotato l'asse di portanza nulla rispetto alla corda. Mentre l'angolo:

(4.59)

prende il nome di angolo d'attac‐co assoluto (αass , i.e. quello che in assoluto (moltiplicato per CLa) determina il coefficiente di por‐tanza).

L'altra considerazione da fare è che l'espressione per la vorticità (4.44) prevede sul bordo di attacco

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϑϑϑ+ϑϑ+=ϑϑϑγ=γ=Γ ∫ ∑ ∫∫∫

π ∞

=

π

∞

π

o 1n ono

o

c

o

d)(sin)n(sinAd)cos1(AcVdsin)(2cdx)x(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+π=Γ ∞ 1o A2

AcV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+πρ=Γρ= ∞∞∞∞ 1o2 A

2AcVV'L

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϑ−ϑ

π+απ=+π= ∫

π

o1ol d1cos

dxdz12AA2C

π=α

≡α 2ddcC l

l

ass0L α=α−α

( ) ) (Cd1cosdxdz12C loL

ol α−α=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ϑ−ϑ

π+απ= α

π

∫

Fig. (4. 18) Asse ed angolo di portanza nulla



(sinθ=0) una velocità (e quindi una depressione) infinita a meno che non si verifichi che il coeffi‐ciente Ao sia nullo:

(4.60)

Questa condizione [ Ao =0 ] si ottiene se il profilo è posto ad una angolo di attacco αi :

(4.61)

Questo è chiamato angolo di attacco ideale o di progetto, cui corrisponde il coefficiente di por‐tanza di progetto o ideale:

(4.62)

Il calcolo del momento aerodinamico rispetto al bordo di attacco segue la falsariga di quanto fat‐to per il profilo simmetrico. Ipotizzando la validità locale del teorema di Kutta Joukowsky, il momento rispetto al bordo di at‐tacco della portanza generata da un segmento dx posto all’ascissa x è (momento positivo se ca‐brante):

( )o

dL'

dM ' x dL ' x V x dx∞ ∞= − = − ρ γ (4.63)

Memo 1 cos cx c ; dx sin d2 2

− θ= = θ θ

La (4.63) espressa in funzione dell’anomalia θ diventa:

( ) ( )o

dL'x dx

1 cos cdM ' x V x dx c V sin d2 2

∞ ∞ ∞ ∞− θ

= − ρ γ = ρ γ θ θ θ (4.64)

Sostituendo nella (4.64) l’espressione della γ(θ) (4.44) ed raggruppando si ha

( )

( ) ( ) ( )

o o nn 10

( )

2 22

o nn 10 0

1 cos 1 cos cM ' c V 2V A A sin n sin d2 sin 2

c V A 1 cos d A 1 cos sin n sin d2

π ∞

∞ ∞ ∞=

γ θ

π π∞∞ ∞

=

− θ + θ⎡ ⎤= − ρ + θ θ θ =⎢ ⎥θ⎣ ⎦

⎧ ⎫ρ ⎪ ⎪⎡ ⎤= − − θ θ + − θ θ θ θ⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

∑∫

∑∫ ∫

Tale espressione può essere integrata semplicemente:

( ) ( )

sin cos2 2

o o n nn 1 n 10 0

/2 per n=1 /4 per n=2

c V sin 2M ' A A sin n sin d A sin n d2 2 2

θ θπ π∞ ∞

∞ ∞

= =

=π =π

⎧ ⎫⎪ ⎪ρ π θ⎪ ⎪⎡ ⎤= − π − + θ θ θ − θ θ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑∫ ∫

0ddxdz1A

oio =ϑ

π−α= ∫

π

ϑπ

=α ∫π

ddxdz1

oi

∫π

ϑϑ=o

il dcosdxdz2C



In definitiva si ha:

( )1 1

2 2 2 21

o o 1 2 o 1 2A A2 2

c V c V AM ' A A A A A A2 2 2 4 2 2 2 4

∞ ∞ ∞ ∞

= +

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫ρ ρπ π π π π⎡ ⎤= − + − = − + + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Richiamando la (4.55) ( )l 0 1C 2A A= π + ne discende:

( ) ( )

l

o 1 lmo o 1 2 1 22 2

C / 2

M ' A C1C A A A A Ac V 2 2 4 4 4

2

∞ ∞

⎧ ⎫⎪ ⎪π π⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎧ ⎫= = − π + + − = − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ρ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(4.65)

In definitiva ne deriva che:

• il fuoco è posizionato ad 1/4 della corda (4.66)

• il momento focale è: (4.67)

• il centro di pressione è posizionato a: (4.68)

Osserviamo che il centro di pressione si sposta all'infinito al diminuire del coefficiente di portanza, comprendiamo con questo perché si preferisce usare il fuoco (posto ad 1/4 della corda) come pun‐to più conveniente per rappresentare il sistema di forze attorno ad un profilo alare.

E' per questo motivo che quasi tutti i diagrammi di momenti forniti dalla NACA e da altre agenzie riportano sempre momenti riferiti a tale punto focale. .4.7 Sommario dei Risultati dell’analisi dei Profili Sottili e Poco Ricurvi

In estrema sintesi, sotto le ipotesi di piccoli disturbi (profilo con piccolo angolo d’attacco, piccolo camber, piccolo spessore), i coefficienti aerodinamici di un profilo aerodinamico sono individuabi‐li mediante tre soli coefficienti (A0, A1, A2) ottenuti mediante integrazioni della linea media: zlm(x) e dell’angolo d’attacco α [memo cosθ=1‐ 2(x/c)]

(4.69)

(4.70)

(4.71)

4cxf =

( )124c,mf,m AA4

CC −π

==

( )( )c

x

cx

cx

lm1

0

lm

0o d

1

1dx

dz1ddx

dz1A−π

−=θπ

−≡α− ∫∫π

( )( )

( )cx

cx

cx

cx

lm1

0

lm

01 d

1

21dx

dz2dcosdx

dz2A−

−

π=θθ

π≡ ∫∫

π

( )( )[ ]

( )( )c

x

cx

cx

cx

cx

lm1

0

lm

02 d

1

181dx

dz2d2cosdx

dz2A−

−+

π=θθ

π≡ ∫∫

π

( )⎥ ⎦

⎤ ⎢⎣

⎡− π+= 2 1

lcp A A

C 1

4cx



Quale delle due integrazioni è più comoda (?) dipende dalla particolare espressione della linea media.

Per tutti i profili sottili e poco ricurvi il coefficiente della retta di portanza è sempre pari a 2π con α in radianti).

(4.72)

I soli parametri (che variano con la forma della linea media) sono quindi: Coefficiente di portanza : (4.73)

Angolo di portanza nullo: (4.74)

Coefficiente di momento focale (xfuoco=c/4): (4.75)

Angolo di portanza ideale(o di progetto): (4.76)

Posizione del centro di pressione: (4.77)

Esercizio 4.1 Considera una lamina sottile con flap:

Determina la dipendenza di αL0 di Cm,f e di αid in funzione di δ, con F fissato,

θ=π/2+a sin(1‐2F)

α L0=tan(δ)[π‐θ+sin(θ)]/π

Cmf=‐tan(δ)[‐2sin(θ)+sin(2θ)]

α id=tan(δ){π−θ}/π

Esercizio 4.2 Considera una lamina sottile con slat:

determina la dipendenza di αL0 , di Cm,f e di αid in funzione di β, con S fissato

θ=π/2‐a sin(1‐2S)

α L0=tan(β)[θ+sin(θ)]/π

Cmf=‐tan(β)[2sin(θ)+sin(2θ)]

α id=tan(β){θ}/π

π=α

≡α 2ddCC

( )0CC α−α= α

( )214/c,mf,m AA4

CC −π

−==

oid A−α=α

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π+= 21cp AA

C1

4cx

( 2/AA 100 )− −α=α

c

F c

δαV∞

c

α

V∞

S c

β



Esercizio 4.3 Confrontare le variazioni dei parametri aerodinamici nei due casi del profilo con flap e del pro‐filo con slat ( a parità di F ed S e di angoli di deflessione), e commentare.

Esercizio 4.4 Considera una lamina sottile con slat e flap: determina la dipendenza di αL0 di Cm,f e di αid in funzione di β, δcon S fissato (0.2) e con F fissato (0.4)

αL0=0.6607 tan(δ)+0.0404 tan(β)

Cmf=0.64007 tan(δ)‐0.1589 tan(β)

αid=0.4697 tan(δ)+0.2949 tan(β)

.4.7.1 Particolari linee medie

La ricerca di linee medie particolari deriva da un lato dalla volontà di avere particolari veloci del momento focale (velivoli tutt’ala senza piano di coda) ovvero particolari andamenti del carico (bassi gradienti sfavorevoli) lungo la corda [γ(x) ovvero Δp(x)] per profili transonici o profili ad alta portanza e basso Rey. .4.7.1.1 Linea media cubica Nel recente passato, ampia analisi è stata fatta sullo studio di linee medie espresse da polinomi cubici. Lo scopo era ricercare profili con particolari valori del momento focale (nullo o positivo). L’equazione della linea media cubica [avente un camber di valore f posizionato all’ascissa xcamb ] è, di solito, convenientemente scritta, come prodotto:

∀x ∈ [0,c],

I valori dei parametri a, b, c, d devono, ovviamente, soddisfare i vincoli:

• z=0 per x=0 (bordo di attacco)

• z=0 per x=c (bordo di uscita)

• z=f per x=xcamb (valore del camber)

• dz/dx=0 per x=xcamb (tangenza orizzontale al max camber) Esercizio 4.5 Se il requisito di progetto della linea media è Cm,f =Cm,c/4=0 :

• Determinare: αL0, αid in funzione di f/c [αL0= ‐231 f, αid= 120.06 f ]

• Ritrovare se è corretto il risultato (ξ= x/c): a = 8.28 ; b = ‐7/8 ; d = ‐1 ; xcamb= 7.45/24 c

• Se è corretta l’equazione della linea media

• Disegnare la linea media per f = 0.1 c

• Paragona αL0 con la tangente alla linea media ai 3/4 della corda

( )( )dxbxxaz ++=

( )ξ+ξ−ξ= 872

8153f28.8z

c

F c

δα

V∞

S c

β



.4.7.1.2 Le linee medie NACA (4 cifre) Le prime due cifre della sigla del generico profilo NACA 42 ** avente una corda c, indicano che:

• il massimo valore del camber è pari a: m = 0.04 c

• che il massimo camber è posto all’ascissa: p = 0.2 c (= xcamb ) Come visto prima, la linea media usata nei NACA a quattro cifre è formata da due archi di parabola che sono tra di loro tangenti all’ascissa xcamb . Le loro espressioni sono date dalle seguenti equazioni (ξ=x/c):

• per x ≤ p

• per x ≥ p

Nei limiti di applicabilità della teoria dei profili sottili e poco ricurvi, siamo in grado di calcolare i parametri aerodinamici di interesse di tutti i profili NACA a 4 cifre. Esercizio 4.6 Ricavare che, sotto le ipotesi di profilo sottile e poco ricurvo, per i NACA a 4 cifre valgono le se‐guenti espressioni dei coefficienti Ai: :

Esercizio 4.7 Considera il profilo NACA 4412.

‐determina m, p, θc [0.04, 0.4, 1.4694]

‐determina A0‐α, A1, A2 [‐0.009, 0.163, ‐0.02774]

‐calcola: α l0 , Cm,f , α id (angoli in gradi) [‐4.154°, ‐0.1062, 0.516°]

‐paragona α l0 con la tangente alla linea media ai 3/4 della corda e con il valore ‐tan‐1(camber/c)

‐confronta i tuoi risultati con quelli sperimentali

Esercizio 4.8

Considera un profilo sottile avente la (classica e obsoleta) linea media parabolica:

‐quale è il significato di f? ( 0.25*camber )

( )( )[ ]2

2p2p21

p1mcz ξ−ξ+−

−=

( )[ ]p/21cos:memo 1c −=θ −

( )[ ]( )

( )( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ−θ−π−−π

+θ+θ−π

−=α− cc2cc0 sin1p2p1

msin1p2p

mA

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ θ−π−

θ+θ−

−π−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ θ+θ+θ−

π=

242sin

sin1p2p1

m22

2sinsin1p2pm2

A ccc2

cc4

1c1

( )[ ]2c/xc/xf4c/z −=

( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ θ−θ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ+ θ −

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

− π −

π=

3sin

sin2

2 sin 1 p 2 p 1

m2 p m2

A c3

cc

c4 1

2 2

( )2 p 2 p2 mcz ξ − ξ=



‐determina A0‐ α, A1, A2 [ 0, 4f/c, 0 ] ‐calcola: α L0 , Cm,f , α id per f=0.04 (angoli in gradi) [ ‐4.58, ‐ 0.12, 0 ] ‐paragona αL0 con la tangente alla linea media ai 3/4 della corda e con il valore ‐tan‐1(camber/c) Esercizio 4.9 Considera un profilo sottile avente la linea media costituita da un arco di cerchio di raggio R avente una freccia (camber) f (ovviamente in mezzeria) e corda c:

determina l’equazione della linea media

semplifica se vuoi l'espressione nell'ipotesi di f<<c

introduci un'anomalia θ: ?

determina A0‐ α, A1, A2 [ 0, 4f/c , 0]

calcola: α L0 , Cm,f , α id per f=0.04 (angoli in gradi) [ ? ]

paragona α L0 con la tangente alla linea media ai ¾ della corda e con il valore ‐tan‐1(camber/c)

Esercizio 4.10 Considera un profilo sottile avente la linea media costituita da una semi ellisse :

con

quale è il significato di f ?

determina A0‐ α, A1, A2 [ 0 4f/c 0 ]

calcola: α L0 , Cm,f , α id per f=0.04 (angoli in gradi) [ ? ]

paragona α L0 con la tangente alla linea media ai ¾ della corda e con il valore ‐tan‐1(camber/c)

Esercizio 4.11 (*)

Considera un profilo sottile avente la linea media parabolica :

‐quale è il significato di f ?

‐determina A0‐ α, A1, A2 [ f/π f/π 0 ]

‐calcola: α L0 , Cm,f , α id per f=0.04 (angoli in gradi) [ ‐1.094 ‐0.01 0.012 ]

‐paragona α L0 con la tangente alla linea media ai 3/4 della corda e con il valore ‐tan‐1(camber/c)

Esercizio 4.12 (*)

Considera un profilo sottile avente la linea media cubica:

‐quale è il significato di f e di k? Per k=4/3:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+−−= 22 2/cxRfRz

( )[ ][ ]2c/xc/xf4c/z −≈

( )[ ]2sinf4c/z θ≈

θ= sinfc/z [ ] ( )θ−=π∈θ cos12cx:,0

( )2)c/x(414fc/z −π

=

( )( ))c/x(k21)c/x(414fc/z 2 +−π

=



‐determina A0‐ α, A1, A2 [ 10 f/π ‐f/π ‐f/π ]

‐calcola: α L0 , Cm,f , α id per f=0.04 (angoli in gradi) [ ‐0.12 0 2.43]

‐paragona α L0 con la tangente alla linea media ai ¾ della corda e con il valore ‐tan‐1(camber/c)

Esercizio 4.13 (*)

Considera un profilo sottile avente la linea media cubica:

‐quale è il significato di f e di k?

Per k=3/4:

‐determina A0‐ α, A1, A2 [ ‐3f/3π, 15 f/64 π 3f/64 α ]

‐calcola: α L0 , Cm,f , α id per f=0.04 (angoli in gradi) [ ‐0.05 ‐0.0018 0.137]

‐paragona α L0 con la tangente alla linea media ai 3/4 della corda e con il valore ‐tan‐1(camber/c)

.4.8 IL METODO DEI VORTICI CONCENTRATI (LUMPEDVORTEX) PER PROFILI SOTTILI

Abbiamo visto che il fuoco (centro aerodinamico anteriore) è un punto significativo in quanto il momento focale è (nei limiti della linearità della portanza) è indipendente dalla portanza (i.e. dall’angolo d’attacco. Abbiamo visto inoltre che il Momento focale è nullo per profili simmetrici. Basandoci sui risultati ottenuti per profili simmetrici sottili (lastra piana) è possibile sviluppare un metodo molto semplice per la soluzione vorticosa approssimata, basato nel considerare un solo vortice concentrato nel fuoco.

Questo metodo è invero applicabile anche a profili sottili e (anche non poco) ricurvi.

Ricordiamo che la espressione della distribuzione vorticosa γ(θ) sulla lastra piana:

(4.78)

Notiamo che vista da grande distanza (far field: (x,z) >> c) l'effetto di questa distribuzione è equivalente ad un singo‐lo vortice avente la stessa intensità globale (4.24):

= π α c V∞ che genera una portanza pari a (teo‐

rema di K‐J)

(Memo: le velocità indotte da ipotetiche doppiette vanno a zero più rapidamente da quelle vorticose).

Da un punto di vista sistemistico le incognite sono due: l’intensità della circolazione totale Γ ed il suo punto di applicazione.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π=

2k

cx

41

cx

4f

cz 2

1xcV2

2cotV2

sincos1V2)( −α=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ϑ

α=ϑ

ϑ+α=ϑγ ∞∞∞

∫ γ=Γc

0dx)x(

L V= ∞ρ Γ



Abbiamo già visto, nel calcolare i momenti aerodinamici, che la portanza è applicata nel centro di pressione, che, per la lastra piana (e per tutti i profili simmetrici), coincide con il ed è posto ad un quarto della corda. Sembra quindi opportuno rappresentare la vorticità totale collocando un vortice concentrato di intensità Γ nel punto a c/4.

Ma come determinare il valore di Γ?

Se la lastra piana è rappresentata da un solo vortice di intensità Γ posto nel fuoco (c/4), la condi‐zione al contorno, non può richiedere velocità normale nulla su tutta la corda (condizione di tan‐genza).

Avendo concentrata la vorticità nel fuoco rimane una sola incognita, l’intensità di Γ, che può es‐sere determinata specificando la condizione di tangenza in un solo punto [una incognita ⇔ una equazione].

Assumiamo che questo punto sia ad una distanza incognita (kc) dal bordo di attacco. La condizione di velocità normale nulla (somma di quella asintotica e di quella indotta dal vortice concentrato) in questo punto si scrive

(nota: nell'ambito di validità della teoria l'angolo di attacco α deve essere piccolo):

(4.79)

L’intensità del vortice è data dall'integrale della distribuzione vorticosa (4.24) che soddisfa la con‐dizione di Kutta sul b.d.u.:

(4.80)

Da cui ne discende l'equazione:

(4.81)

La soluzione di questa equazione fornisce:

(4.82)

cioè il posizionamento del punto in cui si deve imporre la condizione di tangenza per determinare il valore di Γ.

p.n.p.3x c4

= (4.83)

Questo punto è chiamato punto neutro posteriore ed è a ¾ della corda (collocation point):

Da notare che questa rappresentazione è basata su un risultato che tiene conto della condizione di Kutta sul bordo di uscita. E' questa la ragione per cui, questo pur semplice metodo , fornisce risul‐tati globali alquanto soddisfacenti.

( ) 0V4/ckc2

=α+−π

Γ− ∞

απ=Γ ∞Vc

( ) 0V4/ckc2

Vc=α+

−παπ

− ∞∞

43k =



Esempio Svolto I vantaggi di questa modellazione sono dimostrati dal seguente esempio che tratta il calcolo di due profili aerodinamici messi in tandem.

V ∞

α

x

w 2 Γ 2

5c/2 3c/2c 0

Γ 1

w 1

La circolazione dei due profili (lastre piane) è rappresentata da due vortici concentrati Γ1 e Γ2 le cui intensità devono essere tali da imporre che nei due punti neutri posteriori le velocità w1 e w2

siano nulle. Ne derivano le due equazioni algebriche:

(4.84)

La cui soluzione è:

(4.85)

Chiaramente il profilo anteriore ha una portanza maggiore a causa del up‐wash indotto dal profilo posteriore.

Fine Esempio Svolto

Notare come questo semplice metodo ha risolto agevolmente un problema altrimenti abbastanza arduo.

Nota in appendice viene presentato un semplice codice VORCON che permette la risoluzione di

linee medie di qualsiasi forma suddividendole in tratti retti. Il metodo del vortice concentrato può essere esteso [prof. Pistolesi] a profili sottili con linee me‐die paraboliche di equazione:

la cui pendenza è data da: (4.86)

Con la solita posizione:

l'espressione della pendenza diventa:

Nota: " f/4 " rappresenta il valore massimo del camber.

Ponendo il vortice concentrato alla distanza "a" dal bordo di attacco ed il punto di controllo alla distanza "b" dal bordo di attacco, la condizione di tangenza della velocità totale (asintotica + quella indotta dal vortice) diventa (sotto le ipotesi di piccoli disturbi, i.e. angoli e camber):

( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=α+πΓ

−πΓ

−=

=α+πΓ

+π

Γ−=

∞

∞

0V2c2c22

w

0Vc22c2

w

212

211

απ=Γαπ=Γ ∞∞ Vc32 ; Vc

34

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

cx1xf)x(y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

cx21f

dx)x(dy

( )ϑ−= cos12cx ϑ= cosf

dx)x(dy



(4.87)

Dalla teoria vorticosa dei profili sottili di Prandtl‐Glauert, la portanza/vorticità dipende soltanto dai primi due coefficienti A0 ed A1 (4.53) che in questo caso (svolgendo gli integrali) sono:

An = 0 per n > 1 (4.88)

Da cui (4.54):

( ) ( )2 21 10 12 2L' V c A A V c f∞ ∞ ∞ ∞= πρ + = πρ α + (4.89)

(4.90)

La condizione di tangenza nel punto "b" diventa:

(4.91)

Tale identità è soddisfatta se si verifica il sistema:

(4.92)

Sistema che ha per soluzione:

a = 1/4 c b = 3/4 c (4.93)

Nota si ritrova ancora il fuoco a c/4 ed il punto neutro posteriore a 3c/4

Da cui risulta che la circolazione di un profilo sottile con linea media parabolica è data da:

(4.94)

Nota che per linee medie paraboliche l'angolo di portanza nulla coincide con la pendenza della linea media a 3c/4

(4.95)

PROGETTO N. 6 Codice VORCON Scrivere ed operare un codice di calcolo che schematizza la linea media di un profilo in N seg‐menti retti di lunghezza dc=c/N. Con il metodo dei vortici concentrati ritrovare Γi ∀i=1,..N, e da questi risalire a γi=Γi/dc=Γi N/c [vedi Appendice 7]

Esercizio 3.14 Analizzare con VORCON la linea media NACA 44 e confrontare i risultati con gli analoghi da ABBOT.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−≅

−πΓ

− ∞bdx

dyV)ab(

12

α=ϑπ

−α= ∫π

ddxdy1A

00 fdcos

dxdy2A

01 =ϑϑ

π= ∫

π

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−≅

−π+απ

− ∞∞

bdxdyV

)ab(1

22fcV

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

−−

−=−

−

cb21f

dxdy

)ab(4cf

1)ab(2

c

b

4/c30l

4/c3l

4/c34/c3 dxdy

dxdy2c

dxdyVc

dxdyV)ab(2 =α⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−απ=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−απ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−α−π≅Γ ∞∞

4/c30 dx

dy=α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +απ=

ρ=Γ ∞

∞

f21cV

∞V

'L



.4.9 FLUSSI ATTORNO A PROFILI ALARI

La teoria sviluppata finora è una teoria lineare valida per profili a piccolo spessore, piccola freccia e piccoli angoli d'attacco. Il vantaggio di tale teoria sta nel fatto che i maggiori parametri d'interesse per il sistema di forze (coefficienti aerodinamici) sono determinabili in forma chiusa. Lo svantaggio è che la determinazione della distribuzione di carico “ dL' = ρ∞ V∞ γ(x) dx= dp “lungo la corda è espressa con una serie infinita. Ma esistono profili (specialmente quelli a bassa velocità e quelli usati per turbomacchine) dove:

• gli spessori e/o i camber sono elevati, • esistono condizioni di volo dove si usano angoli di attacco elevati

Per poter coprire l'intero spettro di applicazioni occorre quindi definire metodi di calcolo più gene‐rali che si baseranno, ovviamente, su tecniche numeriche. Numerosi sono i metodi usati nel campo dell'aerodinamica applicata all'aeromobile; in questo contesto vogliamo soltanto presentare le filosofie (e gli algoritmi derivanti, nelle loro formulazioni più semplici) rimandando ad ulteriori approfondimenti da fare in altro corso. .4.9.1 Metodo dei pannelli vorticosi Questo metodo è la diretta esten‐sione del metodo dei pannelli sor‐genti, già presentato per l'analisi di corpi arbitrari non portanti (paragra‐fo 3.12.3). La filosofia alla base è quella di rico‐prire la superficie del profilo con uno strato vorticoso schematizzato in "N" pannelli lineari (in cui si assume che l'intensità della vorticità per unità di lunghezza [ γ i , i= 1,2,...,N] sia costante su ogni pannello). In analogia con il metodo dei pannelli sorgenti, la chiave del metodo è quella di determinare le in‐cognite, γi , imponendo che la superficie sia linea di corrente. Questa condizione è imposta (in modo discretizzato , come condizione alla Neuman) in "N" punti di controllo scelti in mezzeria di ogni pannello, imponendo cioè che in ogni punto di controllo (i), risulti:

(4.96)

dove: • è la componente della velocità asintotica, normale al pannello "i"

• è la componente della velocità normale al pannello "i", indotta da tutti i pannelli

vorticosi, Ovviamente per ottenere portanza occorre imporre anche la condizione di Kutta. La condizione di Kutta, necessaria per chiudere il sistema, non può venire imposta in modo esatto con questa semplice metodologia (pannelli con distribuzione costante).

N,...,2,1i;0WV in.,indin, =∀=+∞

V n i∞,

Wind n i.,

Fig. (4. 19) Schema per metodo a pannelli vorticosi



Si può pensare di approssimarla imponendo che la somma delle vorticità nei pannelli superiore ed inferiore, che confluiscono nel bordo di uscita, sia nulla:

γ N = ‐ γ1

Ma questa rappresenta un'ulteriore equazione: se aggiunta al sistema di "N" equazioni (condizioni di tangenza) nelle "N" incognite γi , il problema risulterebbe mal posto (sovra‐determinato). Per evitare tale inconveniente, una delle soluzioni più semplice è di ignorare la condizione di tan‐genza in un pannello e di sostituirla con la condizione di Kutta. Questa combinazione produrrà un sistema ben posto di "N" equazioni in "N" incognite, che si può risolvere. Una volta ottenute le soluzioni: γi, le velocità superficiali possono essere calcolate molto sempli‐cemente ricordando che la vorticità specifica di una superficie vorticosa rappresenta il salto delle velocità tangenziali alla superficie stessa:

(4.97)

ma le velocità nell'interno del profilo saranno nulle, per cui le velocità locali tangenti alla superfi‐cie del profilo saranno uguali ai valori locali di γ :

(4.98)

La circolazione totale sarà ovviamente pari alla somma delle circolazioni di tutti i pannelli :

(4.99)

dove si è la estensione dell'i‐esimo pannello.

La presentazione fatta è volutamente generale e semplificata, vi sono molte varianti di questa metodologia (quella presentata rappresenta pannelli "del primo ordine" cioè geometricamente lineari con distribuzione costante). Sebbene il metodo appare abbastanza semplice, la sua implementazione numerica è a volte fru‐strante perché la matrice del sistema presenta molti zeri sulla diagonale principale (la velocità in‐dotta da un pannello vorticoso su se stesso è nulla), cioè non è ben condizionata. Il che comporta una sensitività (dipendenza dall'accuratezza) dal numero di pannelli usati, dalla loro dimensione e distribuzione sul corpo, e soprattutto da quale pannello viene eliminato per introdurre la condi‐zione di Kutta.

In realtà si usa una formulazione con distribuzione di vorticità lineare che supera questo problema .4.9.2 Metodi dei pannelli misti ( sorgenti + vortici) Tali metodi, che sono nati nella Douglas e dovuti a Smith & Hess (1966), si basano sullo stesso principio per il quale, nel caso del cilindro portante, abbiamo sovrapposto ad una doppietta (sor‐gente/pozzo) un vortice. Nel caso di un profilo di forma arbitraria, si propone di usare contemporaneamente distribuzione di sorgenti e di vortici, le cui intensità vengono determinati dalle condizioni di tangenza e dalla condizione di Kutta. Varie sono le possibilità, tra queste:

1. discretizzare la superficie con pannelli sorgenti e di usare un solo vortice posto nel fuoco,

)s(u)s(u infsups −=γ

)s(V genzialetans =γ

Γ ==∑ γ i ii

n

s1



2. discretizzare la superficie con pannelli sorgenti e la linea media con pannelli su cui porre i vortici, 3. discretizzare il profilo con una serie di pannelli sui quali distribuire sia sorgenti che vortici.

Smith & Hess optano per l'ultima scelta perché, anche se sembra la più complicata, è in effetti la più semplice se si pensa di sfruttare il fatto che il campo di moto generato da distribuzioni di vorti‐ci è normale al campo generato da una distribuzione di sorgenti. Nota che, in questo modo, il problema generico viene risolto con la sovrapposizione di due pro‐blemi:

a) un problema di sole sorgenti poste sulla superficie,

determinate imponendo nei punti di controllo l'an‐nullamento della velocità normale. Da questo pro‐blema ne deriverà, per un profilo ad angolo di at‐tacco, un campo di moto del tipo di quello raffigura‐to nella parte superiore della figura. Ovviamente la condizione di Kutta nel bordo di uscita non sarà soddisfatta e la circolazione totale sarà nulla.

b) un problema di sola vorticità spalmata sul corpo

che ovvierà a tale inconveniente in quanto la distri‐buzione di vorticità (posta sulla superficie) sarà cal‐colata in modo tale da : • generare, nei punti di controllo sulla superficie,

velocità normale nulla, • verificare la condizione di Kutta [di solito viene

soddisfatta imponendo che le velocità tangen‐ziali nei due pannelli di coda risultanti dalla somma delle velocità calcolate nel primo problema (quello delle sorgenti) e del secondo problema (quello della distribuzione vorticosa ) siano uguali].

In definitiva per ogni punto di controllo “ pc ”: • la velocità normale al pannello è posta pari a:

(4.100)

• la velocità tangenziale al pannello è posta pari a:

(4.101)

Dove il primo termine a destra è il contributo della corrente asintotica, il secondo termine è il con‐tributo derivante dalla distribuzione di sorgenti, il terzo termine è il contributo derivante dalla di‐stribuzione dei vortici. Ovviamente nella versione più semplice del metodo di Smith & Hess, si può immaginare la vorticità spalmata in modo costante su tutta la superficie del profilo (i.e. tutti i pannelli con la stessa γ ).

Vi sarà quindi una sola incognita “γ” da aggiungere alle "N" incognite σj delle sorgenti.

Ne deriva un problema in "N+1" incognite, che devono soddisfare simultaneamente:

pcpcpcpc,n,n,nn

VVVVγσ∞

++=

pcpcpcpc,t,t,tt

VVVVγσ∞

++=

Solo vorticità

Somma con condizione di Kutta

Solo sorgenti + corrente



• le "N" condizioni di tangenza sugli "N" punti di controllo posti sulla superficie, • la singola condizione di Kutta nel bordo di uscita [in questo caso la condizione di Kutta vie‐ne imposta imponendo che le velocità tangenziali (e quindi le velocità totali, e quindi le pres‐sioni) nei due pannelli di coda siano uguali: “ Vtang,N = ‐ Vtang,1 “

(nota il segno meno deriva dall'orientamento delle Vt diverso tra dorso e ventre)].

In questo semplice caso si assume quindi: • per la velocità normale al punto di controllo dell’i‐esimo pannello:

(4.102)

• per la velocità tangenziale al punto di controllo dell’i‐esimo pannello:

(4.103)

Dove le matrici dei coefficienti di influenza Ni,j e Ti,j rappresentano:

• la velocità normale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di sor‐

genti posta sul pannello “j”

• la velocità normale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di vortici

posta sul pannello “j”

• la velocità tangenziale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di

sorgenti posta sul pannello “j”

• la velocità tangenziale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di

vortici posta sul pannello “j” Abbiamo quindi N incognite per le sorgenti [ σi ] ed 1 incognita per la sola [ γ ], in totale N+1 inco‐gnite. Le N+1 equazioni necessarie si ottengono imponendo l’annullamento delle componenti normali delle velocità negli N punti di controllo:

(4.104)

e la condizione di Kutta nel bordo di uscita (bdu) espressa imponendo l’eguaglianza della velocità tangenziale nei due pannelli (ventre e dorso) di uscita,

Vtang,N = ‐ Vtang,1 (4.105)

(4.106)

ovvero

vorticiN

1jj

N

1j

sorgentii,pci,pcj,ij,i,nn

NNVV ∑∑==

γ+σ+=∞

vorticiN

1jj

N

1j

sorgentii,pci,pcj,ij,i,tt

TTVV ∑∑==

γ+σ+=∞

sorgentij,i

N

vorticij,i

N

sorgentij,i

T

vorticij,i

T

i,pcvorticiN

1jj

N

1j

sorgenti,nj,ij,i

VNN:N,...1i∞

−=γ+σ=∀ ∑∑==

1,genzialetan

j,1j,1

N,genzialetan

j,Nj,N

V

vorticiN

1jj

N

1j

sorgenti1,t

V

vorticiN

1jj

N

1j

sorgentiN,t TTVTTV

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡γ+σ+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡γ+σ+ ∑∑∑∑

==∞

==∞



(4.107)

La soluzione del sistema di equazioni fornirà le N+1 incognite [ σi ] e [ γ ], dalle quali si possono calcolare le velocità tangenziali negli N punti di controllo “pc,i”:

(4.108)

Dall’acclarata ortogonalità delle sorgenti e dei vortici, ne segue, per i coefficienti di influenza che: la velocità normale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di sorgenti sul pannel‐

lo “j” è uguale e contraria

alla velocità tangenziale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di vortici sul pan‐

nello “j”

= ‐

la velocità tangenziale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di sorgenti sul pan‐nello “j”

è uguale e concorde

alla velocità normale nel punto di controllo “i” di una distribuzione unitaria di vortici sul pannel‐lo “j”

=

Il che dovrebbe semplificare la vita !! P.S. è ovvio che per calcolare i coefficienti di influenza è utile usare i risultati ottenuti per le di‐stribuzioni di singolarità (paragrafo 3.2.7), con l’avvertenza di stare attenti ai sistemi di riferimento in cui sono calcolate le componenti delle velocità. PROGETTO N. 7 Codice SMITHESS Scrivere ed operare un codice di calcolo basato sul metodo Douglas, capace di auto generare i dati di profili NACA e di outputs particolarmente adatti ad analisi di strato limite (individuazione dl punto di ristagno e dati ventre e dorso organizzati separatamente) [Appendice 8] Esercizio 4.15 Usare il codice SMITH‐HESS per analizzare il profilo NACA 4412 e paragonare i risultati con quelli ottenibili da ABBOTT

{ } { } { }N,t

1,t

vorticivorticiN

1j

sorgentisorgentiN

1jj VVTTTT

j,1j,Nj,1j,N ∞∞==

−−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+γ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+σ ∑∑

vorticiN

1jj

N

1j

sorgentii,pci,pcj,ij,i,tt

TTVV ∑∑==

γ+σ+=∞

sorgentij,i

N vorticij,i

T

sorgentij,i

T vorticij,i

N



.4.10 PROFILI ALARI IN SCHIERA

In molti problemi di flui‐dodinamica interna, un ingegnere aeronautico / meccanico può, a volte dover affrontare il calco‐lo aerodinamico di una schiera di profili alari. Problemi classici: • per causare una op‐

portuna deviazione della direzione del flusso in un condot‐to,

• per fornire/sottrarre

energia da una cor‐rente, [tipici proble‐mi delle turbomacchine (compressori e/o turbine assiali)].

Tentiamo di fornire una metodologia molto semplice per analizzare tali problemi Il problema tipico è come in figura. Per la continuità deve essere [(1) ingresso, (2) uscita]:

222111 UbUb ρ=ρ (4.109)

Se la palettatura è posta in un condotto a pareti parallele ed il flusso è incompressibile sarà: U1=U2=U L'analisi di schiere di palette composte da lastre piane è fattibile con il metodo delle trasformazioni conformi e porta al risultato che su di ogni paletta (lastra piana) si realizza (vedi circuito tratteggiato) una circolazione Γ:

( ) ( )σ−απ=α−α=Γ mm2211 sinVcsinVsinVs (4.110) dove:

2m

2m WUV += ;

2WWW 21

m+

= ; ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α+α

=α −

2tantantan 211

m

Le interpretazioni fisiche di Vm Wm ed αm sono definiti dalla figura (4.21). Ricordando che su di un profilo isola‐

to si verificava: ( )σ−απ=Γ∞ 11 sinVc si ritrova per l'effet‐to di schiera un rapporto delle circolazioni:

( )( )

( )( ) ( )[ ]( )( )σ−α

σ−α+α

+

++=

σ−απσ−απ

=ΓΓ −

∞ 1

211

21

2

221

2

11

mm

sin2/tantantansin

WU

2WWUsinVcsinVc (4.111)

e delle portanze:

( )( )

( )( ) ( )[ ]( )( )σ−α

σ−α+α

+

++=

σ−α

σ−α=

ΓρΓρ

=−

∞∞ 1

211

21

2

221

2

12

1

m2

m

1

m

sin2/tantantansin

WU2WWU

sinVsinV

VV

LL (4.112)

Nota che in genere si verifica che 2α≈σ

Fig. (4. 20) Schema per profili in schiera

Fig. (4. 21) Triangoli di velocità per profili a schiera



Nel caso di profili con camber, si può pensare di applicare la stessa relazione intendendo l'angolo σ misurato rispetto all'asse di portanza nulla del profilo.

NOTA: L'analisi potenziale di profili con spessore può essere implementata con le trasformazioni conformi, ma è molta più complicata e non porta a risultati espliciti.

In una prima analisi di progetto è di solito accettabile che il profilo in schiera si comporti come uno isolato, posto ad un angolo di at‐tacco effettivo

σ−α=α meff (4.113)

le cui prestazioni siano relative ad una velocità Vm. Sicchè in base alla polare sperimentale del profilo( Fig.4.22), si de‐termina CL(αeff) e CD(αeff) e da questi la portanza L e la resistenza D:

DLE,CcbV

21D,CcbV

21L D

2mL

2m =ρ=ρ= (4.114)

dove E è detta efficienza aerodinamica.

Dalla composizione di queste, si può risalire alla forza aerodinamica F e quindi alla forza assiale FX ed a quella trasversale FZ:

22 DLF +=

mmX sinLcosDF α−α=

mmZ cosLsinDF α+α=

In base alla polare del profilo (Fig. 4.22), ov‐vero in funzione dell'efficienza E(αm) si può procedere ad una prima analisi per ottimizza‐re le prestazioni della schiera.

Bada bene, in genere questa analisi può essere valida per piccoli angoli (αm‐σ).

Per grandi valori di (αm‐σ) si potranno verificare degli effetti di separazione sui dorsi dei profili (lee sides) che causeran‐no non solo una perdita delle caratteristiche aerodinamiche ma realizzandosi un effettivo restringimento del canale fluido si realizzerà un calo della portata di fluido. In sintesi si verifica il fenomeno dello stallo aerodinamico che influenzerà non solo la prestazione ma anche la portata massica della turbomacchina, generando fenomeni di pul‐sazioni che possono essere molto dannosi per la macchina.

Fig. (4. 22) Polare di una schiera di profili

Fig. (4. 23) Triangoli di forze per schiere di profili

Fig. (4. 24) Stallo di schiere di profili



.CHECK OUT

E' tempo delle verifiche: lo studente diligente dovrebbe essere consapevole di:

1. origine e significato delle teorie vorticose, 2. linearizzazione del problema e separazione/sovrapposizione della soluzione portante da quella

dello spessore, 3. la condizione di Kutta, 4. il vortice di partenza ed il teorema di Kelvin, 5. i fondamenti della teoria di Prandtl‐Glauert, 6. la soluzione per la lastra piana e per profili simmetrici, 7. l'assurdo della lastra piana e l'aspirazione al bordo d'attacco, 8. profili ricurvi, 9. ricavare parametri aerodinamici per linee medie particolari, 10. il metodi dei vortici concentrati: il fuoco ed il punto neutro posteriore, 11. operare con il codice VORCON, 12. fondamenti dei metodi a pannelli, 13. fondamenti del metodo a pannelli misti della Douglas, 14. operare con il codice SMITH‐HESS,

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