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C.Golia: Aerodinamica P a g i n a 3 | 1

Capitolo 3 Campi potenziali

Scopo del capitolo

Introdurre lo studente alla risoluzione di campi di moto potenziali bi‐dimensionali non portanti mediante: • Risoluzione dei campi laplaciani con l’uso di soluzioni elementari e/o di loro distribuzioni, in

rappresentazioni cartesiane, polari, cilindriche e assialsimmetriche, • Composizione delle soluzioni per la soluzione di problemi diretti, e per l’analisi delle interfe‐

renze • Metodologie per la risoluzione di problemi inversi in problemi non portanti. • Metodi a distribuzione di singolarità sull’asse e metodi a pannelli Si propongono due Progetti di ricerca: • Uso di MARPLE e/o MATLAB per la risoluzione di problemi potenziali diretti (assegnate le

singolarità determinare il campo di moto e le linee di correnti su possibili corpi di interesse) • Scrittura ed uso di un codice di calcolo PANSOR a pannelli sorgenti per la soluzione di pro‐

blemi potenziali inversi (forma assegnata → determinare il campo di moto).



Indice del Capitolo 3

.3.1 GENERALITÀ........................................................................................................................ 5

.3.1.1 Sistemi di coordinate .......................................................................................................... 7

.3.2 SOLUZIONI POTENZIALI ELEMENTARI PER CAMPI PIANI ..................................................... 8 .3.2.1 Moto uniforme (ad angolo α rispetto all'asse x) ......................................................... 8 .3.2.2 Moto radiale (Sorgente/pozzo nell'origine) ................................................................ 8 .3.2.3 Moto circolatorio potenziale (vortice potenziale nell'origine) .................................. 10 .3.2.4 Singolarità in punti diversi dall'origine ..................................................................... 12 .3.2.5 Doppietta (o dipolo nell'origine) ............................................................................... 13 .3.2.6 Sinopsi delle soluzioni elementari ............................................................................ 16 .3.2.7 Distribuzioni di singolarità ........................................................................................ 17

.3.2.7.1 Distribuzione di sorgenti/pozzi ................................................................................ 17

.3.2.7.2 Distribuzione di doppiette........................................................................................ 20 .3.2.7.2.1Doppiette nella direzione normale al pannello ................................................. 20 .3.2.7.2.1Doppiette nella direzione tangenziale al pannello ............................................ 22

.3.2.7.3 Distribuzione di vorticità ......................................................................................... 23 .3.3 COMPOSIZIONE DI MOTI PIANI ........................................................................................ 25 .3.3.1 Ovale di Rankine ...................................................................................................... 27 .3.3.2 Corpo aperto semi‐infinito (mezzo corpo di Rankine) ............................................... 28 .3.3.3 Corrente uniforme su vortice isolato [Γ] nell’origine ................................................. 29 .3.3.4 Ovale di Kelvin .......................................................................................................... 29 .3.3.5 Cilindro con circolazione ........................................................................................... 30

.3.3.5.1 Calcolo delle forze – Teorema di Kutta-Joukowsky ............................................. 32 Teorema di Kutta – Joukowsky ............................................................................ 33

.3.3.5.2 Cilindro ruotante: il caso reale ................................................................................ 34 .3.3.6 Campo di moto potenziale attorno ad una ellisse ..................................................... 35

.3.4 CILINDRO SENZA CIRCOLAZIONE: CASO REALE ................................................................. 36

.3.5 CILINDRO IN MOTO VARIO SENZA CIRCOLAZIONE (MASSA APPARENTE) ......................... 37

.3.6 DIEDRI PIANI .................................................................................................................... 40

.3.7 CONI ................................................................................................................................. 41

.3.8 VORTICI 3D ....................................................................................................................... 42

.3.9 METODO DELLE IMMAGINI PER L'ANALISI DELLE INTERFERENZE AERODINAMICHE ......... 47 .3.9.1 Sorgente vicino a parete infinita ............................................................................... 47 .3.9.3 Vortice vicino a parete infinita ................................................................................. 48 .3.9.3 Coppia di vortici vicino a parete infinita ................................................................... 49 .3.9.4 Corpo in effetto suolo ............................................................................................... 50 .3.10 SOLUZIONI POTENZIALI PER CAMPI ASSIALSIMMETRICI ........................................... 51 .3.10.1 Corrente uniforme nella direzione z ......................................................................... 52 .3.10.3 Sorgente/Pozzo nell'origine ...................................................................................... 52 .3.10.3 Doppietta nell'origine di direzione –k ....................................................................... 53 .3.11 COMBINAZIONI DI MOTI PER CAMPI ASSIALSIMMETRICI ......................................... 54 .3.11.1 Corpo semi‐infinito ..................................................................................................... 54

Corrente uniforme nella direzione z , ................................................................... 54 Sorgente nell'origine, eq. (3,216) ......................................................................... 54

.3.11.3 Sfera ......................................................................................................................... 56 Corrente uniforme nella direzione z , eq. (3.307) ........................................................................ 56 Doppietta nell'origine di asse ‐k, eq. (3.323) ............................................................................... 56



.3.11.3 Ellissoidi di rivoluzione ............................................................................................. 56

.3.11.4 Sfera ruotante .......................................................................................................... 57

.3.12 CAMPI DI MOTO ATTORNO A CORPI NON PORTANTI ............................................... 59

.3.12.1 Ri‐Meditazioni sulle proprietà dei campi non portanti .............................................. 59

.3.12.2 Il metodo delle doppiette ......................................................................................... 61

.3.12.3 Il metodo dei pannelli sorgente ................................................................................ 64 CHECK OUT.............................................................................................................................. 68



Indice analitico del Capitolo 3

Cambiamento di riferimento ..................................... 7 campo di moto irrotationale...................................... 5 campo di vorticità ..................................................... 42 circolazione .............................................................. 11 circolazione della velocità rappresenta la vorticità per area unitaria .................................................. 42

coefficiente di influenza ..................................... 63; 66 coefficiente di pressione ............................................ 6 condizione di tangenza ............................................. 65 Condizioni alla Direchlet .......................................... 59 Condizioni alla Neumann ......................................... 59 Condizioni all'infinito ............................................... 60 Condizioni miste (o alla Robin): ............................... 59 Condizioni sul corpo ................................................. 60 dalla legge di Biot‐Savart (forma vettoriale)" ......... 42 definizione di derivata alla Frèchét .......................... 14 densità costante ......................................................... 5 densità di doppietta ................................................. 62 derivata parziale alla Frèchét ................................... 13 dipoli ......................................................................... 15 distribuzione di doppiette tangenziali (per unità di lunghezza), ........................................................... 22

distribuzione di doppiette normali, (per unità di lunghezza), ........................................................... 20

distribuzione di sorgenti .......................................... 64 doppietta proprietà vettoriale .................................. 15 doppiette .................................................................. 15 effetto della gravità (gz) trascurabile ......................... 5 equazione di Laplace .................................................. 5 Flettener ................................................................... 34 forma instazionaria del teorema di Bernoulli ........... 37 funzione complessa ................................................... 40 funzione di corrente ................................................... 6 funzione di corrente ψ è armonica ........................... 6 instazionarietà del moto provoca una resistenza ... 38 intensità del tubo vorticoso ..................................... 42

intensità della distribuzione di sorgenti/pozzi ....... 17 linearità dell'operatore di campo Laplaciano ......... 26 linee di corrente ......................................................... 6 massa apparente ( o virtuale ovvero aggiunta) ...... 38 metodo dei pannelli sorgenti .................................. 64 Operatori differenziali ............................................... 7 pannelli ..................................................................... 64 Paradosso di d’Alambert ......................................... 33 portata volumetrica ................................................... 9 potenziale di velocità ϕ ............................................. 5 potenziale scalare di Stokes ................................ 6; 51 pressioni non sovrapponibili ................................... 26 problema alla Dirichlet, discretizzato ..................... 63 problema alla Neuman ............................................ 65 problema di Laplace ................................................. 59 problema inverso ..................................................... 62 regione vorticosa filamentosa .................................. 42 resistenza apparente (o virtuale o aggiunta) ........ 39 riferimenti cartesiani e/o polari ................................. 7 solenoidalità del campo di velocità .......................... 5 somma delle intensità di sorgenti/pozzi nulla, corpo simulato chiuso .................................................... 26

somma delle intensità totale delle sorgenti/pozzi diverso da zero, corpo simulato aperto ............. 26

Sorgente/Pozzo ........................................................ 12 teorema di Bernoulli .................................................. 5 teorema di Eulero .................................................... 32 Teorema di Kutta – Joukowsky ................................ 33 traslazione del sistema di riferimento ...................... 12 tubo vorticoso .......................................................... 42 velocità sovrapponibili ............................................ 26 vortice rettilineo ...................................................... 43 vortice rettilineo illimitato ........................................ 43 vortice rettilineo semi-infinito .................................. 43 ψ = costante rappresenta una linea di corrente ...... 26



.3.1 GENERALITÀ

L'analisi dei campi di moto potenziali fornisce soluzioni (cosiddette euleriane) utili per calcolare i campi di velocità e di pressione su ed attorno a corpi in assenza di effetti viscosi. Tali soluzioni permetteranno successivamente la determinazione delle correzioni viscose tramite l'analisi dello strato limite (nell'ambito dell'applicabilità dell'interazione debole). Consideriamo: • assenza di effetti viscosi (ReL → ∞), • moto uniforme all'infinito, • campi incompressibili, M2 << 0.1 • campi stazionari In tal modo la vorticità (nulla all'infinito) deve rimanere tale, a causa del teorema di Thomson (Lord Kelvin):

Ne consegue che il campo di moto sarà irrotazionale:

V 0∇ ∧ = (3. 1)

Dall’ipotesi di stazionarietà e di incompressibilità risulterà che la densità può essere considerata costante, ρ = costante = ρ∞, per cui l’equazione di continuità diventa:

( ) ( )V V 0t ∞

∂ρ+ ∇• ρ ⇒ ρ ∇• =

∂ (3. 2)

Ne consegue la solenoidalità del solo campo di velocità:

V 0∇• = (3. 3)

Dall’irrotazionalità (3.1) discende inoltre che esisterà (sia in 2D che in 3D) un potenziale di veloci‐tà ϕ :

V = ∇ ϕ (3. 4)

Combinando tale conclusione con la (3.3), ne deriva che il potenziale di velocità ϕ deve essere una funzione armonica (soddisfare l’ equazione di Laplace):

2V 0⎡ ⎤∇• = ∇• ∇ϕ = ∇ ϕ =⎣ ⎦ (3. 5)

Una volta risolto il campo di velocità, il campo di pressione può essere determinato per tramite del teorema di Bernoulli:

.CostzgVpt

221 =++

ρ+

∂ϕ∂

∞ (3. 6)

con

In molte applicazioni l' effetto della gravità (gz) è trascurabile in quanto sono piccole le variazioni di z nel campo di interesse e si considera la pressione relativa rispetto a quella idrostatica, (ovve‐ro il numero di Froude Fr=V2/(zg) è molto alto), e se inoltre il campo è stazionario, l'equazione di Bernoulli si riduce (forma stazionaria) a:

212

p V Cost.∞

+ =ρ

(3. 7)

campo il in tutto 0ie traiettorle per tutte infinitoall' 00DtD

DtD

=ω→=ω→=ω

=Γ

ϕ∇=V



Il valore della costante (causa l’uniformità all’infinito) è lo stesso per tutto il campo, e può essere determinato in un qualsiasi punto dove sono noti p e V. In molte applicazioni di aerodinamica e‐sterna si usano i valori asintotici (all'infinito) :

2 21 12 2

pp V V∞∞

∞ ∞

+ = +ρ ρ

(3. 8)

Da questo discende naturale la ratio di definire un coefficiente di pressione "cp":

2

p 212

p p Vc 1V V

∞

∞ ∞ ∞

⎛ ⎞−= = − ⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠

(3. 9)

Nota che se il campo di moto è a due dimensioni (piano, polare o assialsimmetrico) la continuità ammette l'esistenza di una funzione di corrente ψ (detta anche potenziale scalare di Stokes). Sia k la normale al piano del moto, le possibili definizioni sono:

(3. 10)

Ne discende che l'ipotesi d’irrotazionalità [(3.1): V 0∇∧ = ], impone:

(3. 11)

Ovvero anche la funzione di corrente ψ è armonica (Laplaciana). Riconsideriamo quanto detto a proposito dell’esistenza della funzione di corrente, in termini più concreti. Tutto si basa sulle conseguenze dell’ipotesi di solenoidalità del campo di velocità:

V 0∇• = in condizioni bi-dimensionali. Vediamo cosa questo implica in una rappresentazione cartesiana ed in una polare. Rappresentazione cartesiana 2D:

( ) ( )2 2

y x

uy

V 0 u v 0 0 sex y x y y x v

y∂ψ ∂ψ

= =−∂ ∂

∂ψ⎧ =⎪ ∂∂ ∂ ∂ ψ ∂ ψ ⎪∇• = ⇒ + = ⇒ − = ⎨ ∂ψ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ = −⎪ ∂⎩

se il campo è irrotazionale:

( ) ( )2 2

22 2z

x y

V 0 v u 0 0x y x 2

∂ψ ∂ψ=− =

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ψ ∂ ψ∇ ∧ = ⇒ − = ⇒ − − = −∇ ψ =

∂ ∂ ∂ ∂

Da quanto detto risulta abbastanza ovvio che per risolvere problemi aerodinamici, sotto le ipote‐si assunte, occorrerebbe considerare la risoluzione di problemi di Laplace imponendo sul corpo velocità tangenziale e all’infinito la velocità asintotica. Questo sarà ovviamente possibile me‐diante metodi numerici. Ma in quest’ambito, preferiamo inizialmente procedere con una metodologia molto più sempli‐ce: ritrovare soluzioni elementari e combinarle in modo intelligente. Nella ricerca di soluzioni elementari preferiremo, in genere, considerare l'uso della funzione di corrente ψ, in quanto le linee ψ=costante, rappresentano linee di corrente, e quindi forme di possibili corpi (sui quali possiamo imporre, nell'ambito di una teoria non viscosa, soltanto l'an‐nullarsi della componente normale della velocità).

( ) ψ∇≈ψ∇∧−=ψ∧∇= travkkV

( )( ) 0kkV 2 =ψ∇=ψ∧∇∧∇=∧∇



.3.1.1 Sistemi di coordinate Per comodità d’analisi useremo, secondo i casi, riferimenti cartesia‐ni e/o polari (cilindrici senza la dipendenza da z) Per entrambi i sistemi di riferimento è utile richiamare le definizioni più utili:

Cambiamento di riferimento:

⎩⎨⎧

θ=θ=

sinrycosrx

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ

+=− xytan

yxr1

22

⎩⎨⎧

θ+θ=

θ−θ=

θ

θ

cosisinijsinicosii

r

r

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ+θ−=

θ+θ=

θ cosjsinii

sinjcosiir (3. 12)

Operatori differenziali Rif. Cartesiano: V = (u, v)

V = u i + v j xy

v;yx

u∂ψ∂

−=∂ϕ∂

=∂ψ∂

=∂ϕ∂

= yv

xuV

∂∂

+∂∂

=•∇ (3. 13)

z

v uVx y

∂ ∂∇ ∧ = −

∂ ∂ j

yfi

xff

∂∂

+∂∂

=∇ 2

2

2

22

yf

xff

∂∂

+∂∂

=∇

Rif. Polare: V = (Vr , Vθ)

V = Vr i r + Vθ i θ rr1V;

r1

rVr ∂

ψ∂−=

θ∂ϕ∂

=θ∂ψ∂

=∂ϕ∂

= θ ( ) ( )θ∂

∂+

∂∂

=•∇ θVr1

rVr

r1V r (3. 14)

( ) r

z

rV V1 1Vr r r

θ∂ ∂∇ ∧ = −

∂ ∂ θ θθ∂

∂+

∂∂

=∇ ifr1i

rff r 2

2

22 f

r1

rfr

rr1f

θ∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

=∇

Esercizio 3. 1 Verificare che: a. In un sistema di coordinate cartesiane, le funzioni:

b. c=cost. ; ax+by+cz ; x2‐y2 ; xy ; xyz sono armoniche.

c. La funzione (3D) : 222 zyx

1r1

++= è armonica in ogni punto tranne che nell'origine.

d. La funzione (3D) : ( ) 222 zyxlnrln ++= non è armonica.

e. La funzione (3D) : 22 yx

1R1

+= non è armonica

f. La funzione (3D): ( ) 22 yxlnRln += è armonica in ogni punto tranne che nell'ori‐

gine.

g. In un sistema di coordinate polari (3D) , le funzioni: Rα sin (α θ ) , Rα cos (α θ ) sono ar‐moniche.

r

θ

y

x

i r

i

j

i θ



.3. 2 SOLUZIONI POTENZIALI ELEMENTARI PER CAMPI PIANI

Nella specificazione dei potenziali, ometteremo di consi‐derare le costanti d’integrazione. Nel seguito ritroveremo soluzioni di campi elementari che saranno considerati nel prosieguo come elementi che combinati opportunamente saranno in gradi di ritrovare soluzioni per campi aerodinamici di interesse. .3.2.1 Moto uniforme (ad angolo α rispetto all'asse x)

Per definizione: V = (u, v) = ( V∞ cosα, V∞ sinα)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ψ∂

−=∂ϕ∂

=α=

∂ψ∂

=∂ϕ∂

=α=

∞

∞

xysinVv

yxcosVu

;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ψ∂

=θ∂ϕ∂

=θα+θα−=

θ∂ψ∂

=∂ϕ∂

=θα+θα=

∞∞θ

∞∞

rr1cossinVsincosVV

r1

rsinsinVcoscosVVr

(3. 15)

Per integrazione si ricava facilmente: Riferimento cartesiano:

(x, y) V y cos V x sin(x, y) V x cos V y sin

∞ ∞

∞ ∞

ψ = α − α⎧⎨ϕ = α + α⎩

(3. 16)

Riferimento polare:

(r, ) V r sin cos V r cos sin(r, ) V r cos cos V r sin sin

∞ ∞

∞ ∞

ψ θ = θ α − θ α⎧⎨ϕ θ = θ α + θ α⎩

(3. 17)

Esercizio 3. 2 Verificare che per questo campo di moto la circolazione e la portata volumetrica calcolata lungo il circuito chiuso C indicato in figura (3.1) è nulla. .3.2.2 Moto radiale (Sorgente/pozzo nell'origine)

E’ abbastanza evidente la convenienza di considerare un sistema di riferimento polare. In un riferimento polare (r,θ), la velocità ha componenti V = ( Vr , Vθ ) Per definizione di moto radiale, la componente azimutale della ve‐locità Vθ deve essere nulla e la componente radiale deve essere in‐dipendente da θ, ovvero si deve verificare che:

( )rV C f (r) , V 0 , 0θ= = ∂ • ∂θ = (3. 18)

Per determinare la relazione f(r) dovremo imporre matematicamente l’irrotazionalità (3.1) e la solenoidalità (3.3) sotto le condizioni di ( ) 0∂ • ∂θ = . Dalla 3.14:

Fig. (3. 1) Campo piano

Fig. (3. 2) Campo radiale



0

rz

0

r VV1 1V 0

r r r

=

θ

=

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠∇ ∧ = − =

∂ ∂ θ

Risulta che l’irrotazionalità è sempre soddisfatta qualunque sia la funzione f(r).

La condizione di solenoidalità genera un’equazione differenziale cui deve soddisfare la f(r):

( ) ( ) ( )

C f (r)

r

r

0

r Vr V V d r Cf (r)1 1 1 1 f CV C f ' 0 f

r r r r r r d r r rθ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎜ ⎟∂ ∂ ⎡ ⎤⎝ ⎠∇• = + = = = + = → =⎢ ⎥∂ ∂ θ ∂ ⎣ ⎦

(3. 19)

Questa può essere ritrovata più pedestremente analizzando direttamente la terza della (3.14):

( ) ( ) ( ) ( )r rr r

r 00

r V d r VV1 10 V 0 r V Vr r r d r r

CostCostθ

≠

=

∂ ∂= ∇• = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

∂ ∂ θ

Un'alternativa alla risoluzione dell'equazione differenziale viene da un ragionamento fisico che ci può aiutare anche nella individu‐azione del significato fisico della costante C. Consideriamo una circonferenza di raggio r, con centro nell’origine degli assi. Essendo la velocità funzione solo del raggio r, la condizione di so‐lenoidalità [valida in tutto il campo, tranne che nell’origine] impo‐ne [teorema di Gauss] che la portata volumetrica attraverso una qualunque circonferenza centrata nell'origine deve essere indi‐pendente dal suo raggio. Considerando in Fig. (3.3) una circonferenza con centro nell’origine, la normale uscente al con‐torno circolare, n , coinciderà con il versore radiale ir . Se imponiamo che la portata volumetrica uscente Q per unità di profondità sia indipendente da r, si ricava:

2 2

r0 0 solo seS 1f(r)

r

Q costante n V dS V r d C f (r) r d 2 C costanteπ π

=

= → • = θ = θ = π =∫∫ ∫ ∫ (3. 20)

Da questa risulta:

rir1

2QVπ

= (3. 21)

Ovviamente • valori positivi di Q si riferiscono a flussi uscenti (Sorgenti), • valori negativi a flussi entranti (Pozzi).

In definitiva dalle (3.13) e (3.14) risulta:

Fig. (3. 3) Bilancio portata di massa



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ψ∂

−=θ∂ϕ∂

==

θ∂ψ∂

=∂ϕ∂

=π

=

θ rr10V

r1

rr1

2QVr

;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ψ∂

−=∂ϕ∂

=+π

=

∂ψ∂

=∂ϕ∂

=+π

=

xyyxy

2Qv

yxyxx

2Qu

22

22

(3. 22)

Dalle (3.31) si ricavano facilmente le espressioni per la funzione di corrente ψ e per il potenziale di velocità ϕ . Dalle (3.31) risulta infatti cheϕ (r ) e ψ(θ) devono essere tali che:

Q 1 Q;r 2 r 2

∂ϕ ∂ψ= =

∂ π ∂θ π (3. 23)

Le (3.32) sono facilmente integrabili (si omettono le costanti d’integrazione):

( ) θπ

=θψ2Q,r ; ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

=ψ −

xytan

2Qy,x 1 (3. 24)

( ) rln2Q,rπ

=θϕ ; ( ) 22 yxln2Qy,x +π

=ϕ (3. 25)

NOTA: è doveroso far notare che le soluzioni non sono valide nell’origine (velocità infinita) che deve esser quindi esclusa dal campo, e che la funzione di corrente ψ deve essere considera-ta solo nel quadrante [0,π] Esercizio 3. 3 Verificare che la portata e la circolazione attraverso qualsiasi circuito non contenente la singolari‐tà è nulla .3.2.3 Moto circolatorio potenziale (vortice potenziale nell'origine)

In un riferimento polare (r,θ), la velocità ha componenti V = (Vr ,Vθ) Per definizione di moto circolatorio, la componente radiale Vr deve essere nulla e la componente azimutale, Vθ , deve essere indipendente da θ, ovvero si deve verificare che:

)r(fKV,0Vr == θ (3. 26)

Per determinare la relazione f(r) dovremo imporre matematicamente la solenoidalità e l’irrotazionalità sotto le condizioni di ( ) 0∂ • ∂θ = . La solenoidalità sarà sempre soddisfatta [qualunque sia la funzione f(r)], infatti dalla (3.14) si deriva che:

( ) ( )

0

rr

0

r Vr V V1 1 1V 0

r r r r r

=

θ

=

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠∇• = + = =

∂ ∂ θ ∂

La condizione d’irrotazionalità (3.14) impone invece:

Fig. (3. 4) Campo di moto rotatorio



( )

K f (r)

rz

0

r VrV V1 1 1V 0

r r r r r

θ

θ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠∇ ∧ = − = =

∂ ∂ θ ∂

Da questa risulta una equazione differenziale (simile a quella per le sorgenti(3. 19)) cui deve sod‐disfare la f(r):

r/Kf0r/f'f =→=+ (3. 27)

Un'alternativa alla risoluzione dell'equazione differenziale viene da un ragionamento fisico che ci permette di individuare il significato della costante K. Se la velocità è funzione solo del raggio r, la circolazione attraverso una qualunque circonferenza centrata nell'origine deve essere indipendente dal suo raggio. Per un circuito circolare il versore tangenziale t coincide con i θ . Se calcoliamo la circolazione Γ attraverso una qualsiasi circonferenza con centro negli assi (nota bene Γ è assunta positiva se oraria, Vθ è positiva se antioraria) si ricava:

V2

0 costanter dC 1solo se f(r)r

t V dc V r d 2 Kθ

π

θθ

=

Γ = • = − θ = − π∫ ∫ ovvero K = ‐ Γ/2π (3. 28)

in definitiva quindi:

θπΓ

−= ir1

2V (3. 29)

da cui risulta:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ψ∂

−=∂ϕ∂

=+π

Γ−=

∂ψ∂

=∂ϕ∂

=+π

Γ=

xyyxx

2v

yxyxy

2u

22

22

;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂ψ∂

−=θ∂ϕ∂

=π

Γ−=

θ∂ψ∂

=∂ϕ∂

==

θ rr1

r1

2V

r1

r0Vr

(3. 30)

da cui per integrazione si ricava:

( ) rln2

,rπ

Γ=θψ ; ( ) 22 yxln

2y,x +

πΓ

=ψ (3. 31)

( ) θπ

Γ−=θϕ

2,r ; ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

Γ−=ϕ −

xy

tan2

y,x 1 (3. 32)

NOTA: è doveroso far notare che le soluzioni non sono valide nell’origine (velocità infinita) che deve esser quindi esclusa dal campo e che il potenziale di velocità ϕ deve essere conside-rato nel quadrante [0,π]

Nota la simmetria tra il campo circolatorio (vortice) ed il campo radiale (sorgente)

Le linee ϕ = costante sono ortogonali a quelle ψ = costante



Esercizio 3. 4 Verificare che la portata e la circolazione della velocità attraverso qualsiasi circuito non conte‐nente la singolarità è nulla Esercizio 3. 5 Verificare che il campo di velocità di un atto di moto rigido con velocità angolare Ω [

rKV,0Vr == θ ] è rotazionale e correlare la costante K alla velocità angolare Ω. .3.2.4 Singolarità in punti diversi dall'origine

Se le singolarità non sono poste nell'origine degli assi, ma in un generico punto P(xo,yo), occorre effettuare una traslazione del siste‐ma di riferimento. Questa operazione è molto semplice per ri‐ferimenti cartesiani in quanto, se la singola‐rità è posta a (xo,yo), basta sostituire nelle formule:

• x‐xo al posto di x • y‐yo al posto di y

In un riferimento cartesiano risulta:

Per una Sorgente/Pozzo in (xo,yo):

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

π=ψ −

o

o1

xxyytan

2Qy,x ( ) ( ) ( )2

o2

o yyxxln2Qy,x −+−π

=ϕ (3. 33)

Per un Vortice in (xo,yo):

( ) ( ) ( )2o

2o yyxxln

2y,x −+−

πΓ

−=ψ ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

πΓ

−=ϕ −

o

o1

xxyy

tan2

y,x (3. 34)

In un riferimento polare, la situazione è più complicata in quanto occorre considerare il raggio vettore dalla discontuità al punto P e la sua distanza reff e la sua anomalia θeff.

Per una Sorgente/Pozzo in (ro,θo) di intensità Q deve risultare:

( ) eff2Q,r θπ

=θψ ( ) effrln2Q,rπ

=θϕ (3. 35)

Per un Vortice in (ro,θo) di intensità Γ (positiva oraria):

( ) effrln2

,rπ

Γ−=θψ ( ) eff2

,r θπ

Γ−=θϕ (3. 36)

Ovviamente la determinazione di reff e di θeff in funzione di (r, θ) e di (ro, θo) è molto più laborio‐sa. Facendo riferimento alla Fig. 3.5, risulta infatti:

( )2 2 1 o oeff o o o eff

o o

r sin r sinr r r 2 r r cos ; tanr cos r cos

− ⎡ ⎤θ − θ= + − θ − θ θ = ⎢ ⎥θ − θ⎣ ⎦

(3. 37)

Fig. (3. 5) Singolarità non nell'origine, riferimento cartesiano



.3.2.5 Doppietta (o dipolo nell'origine)

Consideriamo la composizione di una sorgente Q e di un pozzo –Q (stessa intensità) posti ad una distanza 2a. Vediamo cosa succede se facciamo il limite per a→0 e Q→1/2a, imponendo che il prodotto 2Qa = M si mantiene costante. Ovviamente possiamo porre le singolarità lungo una qualsiasi direzione: considereremo quindi due casi di disposizione delle singolarità uno lungo l’asse “x” e l’altro lungo l’asse “y”, come nella figura, con il Pozzo (‐Q) sul semiasse positivo e la sorgente (Q) su quello negativo.

Fig. (3. 6) Accoppiamento di pozzo/sorgente

Per la disposizione lungo l’asse “x” si pone il prodotto (costante) 2aQ = ‐Mx e si ricava (dalla so‐vrapposizione delle soluzioni per i potenziali):

[ ]a2

axytan

axytan

2a2ax

ytanax

ytan

2aQ2

axytan

axytan

2Q

axytan

2Q

axytan

2Q)y,x(

11

x

11

1111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+π

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+π

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+π=ψ

−−−−

−−−−

M

(3. 38)

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

a2

yaxlnyaxln

2a2

yaxlnyaxln

2aQ2

yaxlnyaxln2Qyaxln

2Qyaxln

2Q)y,x(

2222

x

2222

22222222

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

π=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

π=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

π=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

π−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++

π=ϕ

M-

(3. 39)

Nel fare il limite per a→0 , si evidenzia la definizione di una derivata parziale alla Frèchét :

( )( )

( )

1 1

x

a 0

(x a) (x a)

1x x

2

2x x

2 2 2 2 2

y ytan tanx a x aM(x, y) lim

2 2a

tan y x y xM M 12 x 2 x1 y x

M Mx y y2 x y x 2 x y

− −

→

+ − −

−

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ −− ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ψ = =⎨ ⎬π ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭⎛ ⎞∂ ∂− −

= = =⎜ ⎟π ∂ π ∂+ ⎝ ⎠

− ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟π + π +⎝ ⎠

(3. 40)



( ) ( )2 22 2

x

a 0

(x a) (x a)

2 2 2 2x x

x x2 2 2 2

ln x a y ln x a yM(x, y) lim2 2a

ln x y ln x yM M 12 x 2 2 xM M1 1 x2x2 2 x y 2 x y

→

+ − −

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − +⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ϕ = =⎨ ⎬π ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤∂ + ⎡ ⎤∂ +− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =π ∂ π ∂

= − = −π + π +

(3. 41)

Per la disposizione lungo l’asse “y” si pone il prodotto (costante) 2aQ = ‐My , si ha analogamente:

[ ]a2

xaytan

xaytan

2a2x

aytanx

aytan

2aQ2

axaytan

xaytan

2Q

xaytan

2Q

xaytan

2Q)y,x(

11

y

11

1111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π=ψ

−−−−

−−−−

M

(3. 42)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 2 22

2 22 2

2 22 2

y

Q Q(x, y) ln x y a ln x y a2 2

Q ln x y a ln x a y a2

ln x y a ln x y a2aQ2 2a

ln x y a ln x y aM2 2a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϕ = + + − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦π π⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − − + − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦π ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦= =π

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦=π

(3. 43)

Nel fare il limite risulta una definizione di derivata alla Frèchét:

( )

( )( )

1 11

y y

a 0

(y a) (y a)

2y y y

2 2 2 2 2

y a y atan tanM M tan y xx x(x, y) lim2 2a 2 y

M M My x1 x 1 x2 y 2 x y x 2 x y1 y x

− −−

→

+ − −

⎧ ⎫⎡ ⎤+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − ∂⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ψ = = =⎨ ⎬π π ∂⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

− −⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟π ∂ π + π +⎝ ⎠+ ⎝ ⎠

(3. 44)

( ) ( )2 22 2

y

a 0

(y a)) (y a)

2 2y y

2 2

ln x a y ln x a yM(x, y) lim

2 2a

ln x yM M1 y2 2 y 2 x y

→

+ − −

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − +⎪ ⎪− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ϕ = =⎨ ⎬π ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤∂ +− ⎣ ⎦= = −π ∂ π +

(3. 45)



Visualizzando le linee di corrente, per i due casi di disposizione delle singolarità, risultano i campi di velocità come in figura:

Fig. (3. 7) Linee di corrente per la combinazione pozzo/sorgente: Doppietta o Dipolo

Questi campi rappresentano delle singolarità chiamate doppiette (ovvero dipoli), che sono carat‐terizzate da un’intensità e da una direzione (hanno quindi una tipicità vettoriale). Nel comporre la componenti di doppiette nelle direzioni “x” ed “y”, si deriva che per una generi‐ca doppietta proprietà vettoriale M[Mx , My ] risulta:

22yx

yx

xy21)y,x(

+

−

π=ψ

MM ; 22

yx

yx

yx21)y,x(

+

+

π−=ϕ

MM (3. 46)

Queste relazioni, in coordinate polari (r,θ) prendono la forma:

2k

r

r

21),r(

∧

π=θψ

M ;

2rr

21),r(

•π

−=θϕM (3. 47)

Se osserviamo con attenzione la struttura dell’espressione del potenziale di velocità della dop‐pietta, notiamo che è formalmente simile alla componente direzionale della velocità di una sor‐gente.

Questo non ci deve sorprendere in quanto • la derivata (direzionale) di una soluzione laplaciana deve essere necessariamente laplacia‐

na. • nella derivazione della singolarità si evidenzia un processo di derivazione

Le velocità che ne discendono (per derivazione) sono:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∧

π=

•π

−=

θ 3k

3r

r

r

21V

rr

21V

M

M

;

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−π

=

+

+−π

=

222

22yx

222

y22

x

yx

yxyx221v

yx

yx2yx21u

M-M

MM

(3. 48)



.3.2.6 Sinopsi delle soluzioni elementari

Richiamiamo che le singolarità prima esaminate: sorgente/pozzo, doppietta, vortice, poste nel generico punto P(r')=P(x',z') inducono nel generico punto P(r)=P(x,z) un potenziale di velocità e componenti di velocità che sono rappresentabili in un sistema di riferimento cartesiano (x,z) dalle seguenti relazioni:

Sorgente/Pozzo intensità σ

Doppietta intensità ( )zx , MMM =

Vortice intensità Γ (oraria)

ψ(x,z)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

π−

'xx'zztan

2Q 1

( ) ( )

2zx

'rr

'xx'zz21

−

−−−π

MM

( )'rrln2

−π

Γ

ϕ(x,z)

( )'rrln2Q

−π

2'rr

)'zz()'xx(21

−

−+−π

− zx MM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

πΓ

− −

'xx'zztan

21

u(x,z)

2'rr'xx

2Q

−

−π

( ) ( )[ ] ( )( )4

z22

x

'rr'zz'xx2'zz'xx

21

−

−−+−−−π

MM

2'rr

'zz2 −

−π

Γ

w(x,z)

2'rr'zz

2Q

−

−π

( )( ) ( ) ( )[ ]

4

22zx

'rr'zz'xx'zz'xx2

21

−

+−−−−−π

M-M

2'rr

'xx2 −

−π

Γ−

Esercizio 3. 6 Esaminare la tabella delle soluzioni elementari ed individuare le simmetrie tra velocità e tra po‐tenziali. Note: potrebbero essere di aiuto, nel seguito, le seguenti osservazioni

a. Identità trigonometriche: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

±⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βα

β±α=β±α −−−−− 1tan1tan

1tan)(tan)(tan 11111

∓

b. L’andamento asintotico delle velocità indotte da sorgenti e da vortici è del tipo (1/r) c. L’andamento asintotico delle velocità indotte da doppiette è del tipo (1/r2)



.3.2.7 Distribuzioni di singolarità

Consideriamo per semplicità, distribuzio‐ni di singolarità lungo un segmento (pan‐nello) di lunghezza “ l ” disposto sull'as‐se delle x.

Per un sistema di riferimento con origine nel centro del pannello) il punto generico (x’,z’) del pannello avrà: x' compreso tra i punti x1 = l/2 ed x2 = l/2 e z'=0.

.3.2.7.1 Distribuzione di sorgenti/pozzi

Se indichiamo con σ(x') l' intensità della distribuzione di sorgenti/pozzi: σ (x') = dQ/dx' è facile verificare [data la sommabilità delle singolarità e quindi l’integrabilità delle loro distribuzioni] che tale distribuzione di singolarità induce nel punto generico P(x,z) del piano (riferimento nel centro del pannello con l’asse x parallelo al pannello stesso):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx'xx

ztan'x21)z,x,'dxz'xxln'x

21)z,x

2

1

2

1

x

x

1x

x

22 ∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−σ

π=ψ+−σ

π=ϕ − (3. 49)

( ) ( )( ) ( )

'dxz'xx

)'xx('x21)z,xu

2

1

x

x22∫ +−

−σ

π= ; ( ) ( )

( ) ( )'dx

z'xxz'x

21z,xw

2

1

x

x22∫ +−

σπ

= (3. 50)

Esaminiamo, per future necessità di modellazione, le proprietà di discontinuità insite a tale di‐stribuzione.

Nota quanto segue è fatto in modo molto pedestre e poco elegante da un punto di vista mate‐matico, ma abbastanza efficace per un rude ingegnere (o aspirante tale)

Poiché una sorgente emette in tutte le direzioni, è intuitivo immaginare che le velocità indotte ri‐sultanti saranno tali da allontanarsi dal pannello. Ne deriva quindi una discontinuità della com‐ponente "w" normale al pannello, della velocità attraverso il pannello. Esaminiamo con attenzione l'espressione della w(x, z=0) dalla (3.50). Se facciamo il limite per z→0+ dalla parte superiore (z positive), risulta:

( ) ( )( ) ( )

'dxz'xx

z'x21lim0,xw

2

1

x

x220z ∫ +−

σπ

=+→

+

Se analizziamo l'integrando, notiamo che per z=0 esso è sempre nullo a meno che contempora‐neamente sia nullo il denominatore, sia cioè x=x'. Se ne deduce che, in questo caso, il valore dell'integrale dipende soltanto dall’entità della distri‐buzione di sorgenti nel punto x=x’. Conseguentemente la funzione σ(x') può essere portata fuori dell'integrale e diventare σ(x):

Fig. (3. 8) Distribuzioni di singolarità su un pannello piano



( ) ( )( ) ( )

( )z

'dx

1z

'xx1

2xlim'dx

z'xxz

2xlim0,xw

2

1

2

1

x

x20z

x

x220z ∫∫

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

σ=

+−πσ

=++ →→

+ (3. 51)

Integrale può essere risolto facilmente con la posizione:

z'dxd

z'xx

−=λ→−

=λ

[ i limiti di integrazione, per z che tende a zero, diventano ±∞ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x

222x)(tan

2x

1d

2x

1d

2xlim0,xw 1

2

x

x20z

2

1

σ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−−π

πσ

=λπ

σ=

λ+λ

πσ

=+λλ

πσ

−=∞+

∞−

−+∞

∞−→

+ ∫∫+ (3. 52)

In conclusione la componente della velocità normale al pannello (sopra/sotto) al segmento di‐venta:

( ) ( ) ( )2x

z0,x0,xw σ

±=∂

∂ϕ≡

±±

(3. 53)

E' evidente allora che il salto della componente della velocità normale al pannello risulta essere pari al salto dell’intensità della distribuzione di sorgenti:

[ ] )x(z

)0,x()0,x(w)0,x(w)0,x(w σ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂ϕ

δ≡−≡δ −+ (3. 54)

E’ facile verificare dalla (3.50) che la componente tangenziale [ u(x,0) ] risulta essere continua at‐traverso il pannello [u(x,0+)=u(x,0‐)] e in particolare sarà nulla nella mezzeria ed infinita nelle e‐stremità del pannello Per vostra comodità riportiamo nel seguito lo svolgimento degli integrali sotto le ipotesi di distri‐buzione σ(x) = costante =σ , per la fattispecie analizza la (3.57) INTEGRALI: Se σ(x) = σ è costante, l è la lunghezza del pannello, l'origine degli assi è nel centro del pannello cioè con : x1 = ‐ l /2, x2 = + l /2 da un buon manuale di matematica o con l'ausilio di un pro‐gramma tipo MAPLE si ricava esplicitamente:

pot 12 σ

14 l ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 l 12 x ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 z ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

− 2 x lz − − − ⎛

⎝⎜⎜ :=

14 l ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2 12 x ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2 z ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

+ 2 x lz + + + ⎞

⎠⎟⎟ Pig/

ψ12 σ ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan 2

z − 2 x l x 1

2⎛⎝⎜⎜


z − 2 x l l z ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln 2

z − 2 x l− + +

⎛

⎝⎜⎜⎜ :=

12 z ⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ln

− + + 4 x2 4 x l l2 4 z2

( ) − 2 x l 2⎛⎝⎜⎜


z + 2 x l x 1

2⎛⎝⎜⎜


z + 2 x l l − + +

z ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln 2

z + 2 x l

12 z ⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ln

+ + + 4 x2 4 x l l2 4 z2

( ) + 2 x l 2 − + ⎞

⎠⎟⎟⎟ Pig/



:=w 12

σ ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟− + ⎛

⎝⎜⎜


2 − 2 x lz

⎛⎝⎜⎜


2 + 2 x lz

Pig

Queste formule vanno bene, ma non appaiono nella forma che vogliamo (limite dei programmi generalisti). Ricorrendo alla matita e a qualche vecchio manuale vediamo che queste possono es‐sere meglio assemblate come:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) [ ] 1221

11

2222

sorg

zrln2/xrln2/x2

2/xztan

2/xztanz2

z2/xln2/xz2/xln2/x

4)z,x

θ−θ+−−−+π

σ=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

+−−−+++

πσ

=ϕ−−

(3. 55)

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+θ−−θ+

πσ

=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

πσ

=ψ −−

2

111

22

2211

sorg

rrlnz2/x2/x

2

z2/xz2/xln

2z

2/xztan2/x

2/xztan2/x

2)z,x

(3. 56)

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π

σ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

++π

σ=

2

122

22

sorg rr

ln2z2/x

z2/xln21

2)z,x(u (3. 57)

[ ]1211

sorg 22/xz

tan2/x

ztan

2)z,x(w θ−θ

πσ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−π

σ= −− (3. 58)

Notiamo che le (3.57) e (3.58) forniscono una formulazione mista u e w cartesiane espresse in coordinate polari (r,θ) che è molto utile!

NOTA BENE: il sistema di riferimento usato è aderente al pannello, con l’asse x tangente e l’asse z normale, l’origine nel centro del pannello. • I valori del potenziale di velocità e funzione di corrente (proprietà scalari) sono definiti nei

punti di coordinate (x,z) rispetto al sistema pannello. • I valori delle componenti delle velocità sono definiti nei punti di coordinate (x,z) rispetto al

sistema pannello, e, in quanto proprietà vettoriale, rappresentano: la u(x,z) una velocità nella direzione del pannello, la w(x,z) una velocità nella direzione normale al pannello

Quanto detto vale per tutte le altre distribuzioni di singolarità che saranno discusse nel seguito

:= u 12

σ ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟− +

12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2

Pig



.3.2.7.2 Distribuzione di doppiette Avendo le doppiette carattere vettoriale, dovremo distinguere la loro orientazione rispetto al pannello. .3.2.7.2.1 Doppiette nella direzione normale al pannello

Consideriamo, analogamente a quanto fatto per le sorgenti, l'influenza su di un punto P(x,z) di una distribuzione di doppiette nor‐mali, (per unità di lunghezza), μ(x')=dM/dx' , che puntano nella direzione e nel senso delle "z" positive [ i.e. μ = [0 , μz (x’)] . Ne risulta, per un sistema di riferimento nel centro del pannello, con l’asse x nella direzio‐ne del pannello stesso:

( ) ( )( )

'dxz'xx

z'x21z,x

2

1

x

x22z∫ +−

μπ

−=ϕ (3. 59)

( ) ( )( )

'dxz'xx

'xx'x21z,x

2

1

x

x22z∫ +−

−μ

π−=ψ (3. 60)

( ) ( )( ) ( )[ ] 'dx

z'xx

z)'xx(2'x21z,xu

2

1

x

x222z∫

+−

−μ

π= (3. 61)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] 'dx

z'xx

z'xx'x21z,xw

2

1

x

x222

22

z∫+−

−−μ

π−= (3. 62)

Notando che l'espressione del potenziale di velocità per la distribuzione di doppiette è simile a quella della velocità normale della distribuzione di sorgenti, valgono le stesse considerazioni che portano a dedurre che, nell'approssimarsi alla discontinuità, per z = ± 0 , risulta un salto per il po‐tenziale di velocità pari a:

[ ]zz

(x)(x, 0) (x) (x)2

μ⎛ ⎞ϕ ± = − ± ⇒ δ ϕ = −μ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3. 63)

Ne discende, per derivazione, una discontinuità per la componente tangenziale di velocità:

( ) zx, 0 d (x)1u(x, 0)x 2 dx

∂ϕ ± μ⎛ ⎞± = = − ±⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ (3. 64)

Se immaginiamo un circuito che contorni la distribuzione in senso orario da x1 ad un generico punto x < x2 , ne risulta una circolazione Γ(x) pari al salto del potenziale di velocità:

Fig. (3. 9) Distribuzioni di doppiette normali al pannello



( ) ( ) ( ) [ ]1

1

xx

zx x

x u x ',0 dx ' u x ',0 dx ' (x) (x)+ −Γ = + = −μ = δ ϕ∫ ∫ (3. 65)

INTEGRALI:

Se μ(x) = μ è costante, “l “ è la lunghezza del pannello, l'origine degli assi al centro del pannello con x1 = ‐ l /2, x2 = l /2 da un buon manuale di matematica o con l'ausilio di un programma tipo MAPLE si ricava esplicitamente:

:=pot 12

Mz ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ − ⎛

⎝⎜⎜


2− + l 2 x

z⎛⎝⎜⎜


2 + l 2 x

zPig

(3. 66)

(3. 67)

(3. 68)

(3. 69)

Che assemblati meglio appaiono come:

[ ]21z11z

dopp 22/xztan

2/xztan

2)z,x( θ−θ

πμ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+πμ

=ϕ −− (3. 70)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

μ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+−π

μ=ψ

1

2z22

22z

dopp rr

ln2z)2/x(

z)2/x(ln

2)z,x( (3. 71)

( ) ( )[ ]21

z2222

zdopp tantan

2z2/xz

z2/xz

2)z,x(u θ−θ

πμ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

++πμ

= (3. 72)

( ) ( )[ ]12

z2222

zdopp coscos

2z2/x2/x

z2/x2/x

2)z,x(w θ−θ

πμ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+−

+−

−π

μ= (3. 73)

Paragonando le (3.71) con le (3.25)

( )12

iconcentratvortici1

z2

z

1

2z

doppiettedionedistribuzi rln

2rln

2)z,x(rln

2rln

2rrln

2)z,x(

z πΓ−

+π

Γ=ψ⇔

πμ

−π

μ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π

μ=ψ

Γ=μ

si evidenzia che un pannello con una distribuzione di doppiette nella direzione normale al pan‐nello è equivalente a due vortici concentrati controrotanti nelle estremità del pannello stesso aventi una circolazione pari all’intensità della distribuzione di doppiette.

Fig. (3. 10) Equivalenza di un pannello con dipoli normali ad una coppia di vortici posti nelle estremità

:= ψ12

Mz ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ −

12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2

Pig

:= u 16Mz z x l

Pig ( ) − + + 4 x2 4 x l l2 4 z2 ( ) + + + 4 x2 4 x l l2 4 z2

:= w −2Mz l ( ) − − 4 x2 l2 4 z2

Pig ( ) − + + 4 x2 4 x l l2 4 z2 ( ) + + + 4 x2 4 x l l2 4 z2



.3.2.7.2.1 Doppiette nella direzione tangenziale al pannello

Consideriamo, analogamente a quanto fatto per le sorgenti, l'influenza su di un punto P(x,z) di una distribuzione di doppiette tangenziali (per unità di lunghezza), μx (x')=dM/dx' ,che puntano nella direzione e nel senso delle "x" positive [ i.e. μ = (μx(x'),0) ] Risulta:

( ) ( )( )

'dxz'xx

'xx'x21z,x

2

1

x

x22x∫ +−

−μ

π−=ϕ (3. 74)

( ) ( )( )

'dxz'xx

z'x21z,x

2

1

x

x22x∫ +−

μπ

=ψ (3. 75)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] 'dx

z'xx

z'xx'x21z,xu

2

1

x

x222

22

x∫+−

−−μ

π= (3. 76)

( ) ( )( ) ( )[ ] 'dx

z'xx

z)'xx(2'x21z,xw

2

1

x

x222x∫

+−

−μ

π= (3. 77)

INTEGRALI:

Se μx(x) = μ è costante, “l “ è la lunghezza del pannello, l'origine degli assi al centro del pannello con x1 = ‐ l /2, x2 = l /2 da un buon manuale di matematica o con l'ausilio di un programma tipo MAPLE si ricava esplicitamente:

(3. 78)

(3. 79)

(3. 80)

(3. 81)

Che assemblate meglio, appaiono come:

:= pot 12

Mx ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ −

12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2

Pig

:= ψ12

Mx ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟− + ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

− 2 x lz

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

+ 2 x lz

Pig

:= u 2Mx l ( ) − − 4 x2 l2 4 z2

Pig ( ) − + + 4 x2 4 x l l2 4 z2 ( ) + + + 4 x2 4 x l l2 4 z2

:= w 16Mx z x l

Pig ( ) − + + 4 x2 4 x l l2 4 z2 ( ) + + + 4 x2 4 x l l2 4 z2

Fig. (3. 11) Pannello con dipoli tangenti



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡π

μ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++−

πμ

=ϕ1

2x22

22x

dopp rrln

2z)2/x(z)2/x(ln

2)z,x( (3. 82)

[ ]12x11x

dopp 22/xztan

2/xztan

2)z,x( θ−θ

πμ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−πμ

=ψ −− (3. 83)

( ) ( )[ ]21

x2222

xdopp coscos

2z2/x2/x

z2/x2/x

2)z,x(u θ−θ

πμ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−−

++

+π

μ= (3. 84)

( ) ( )[ ]21

x2222

xdopp tantan

2z2/xz

z2/xz

2)z,x(w θ−θ

πμ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

++πμ

= (3. 85)

Paragonando le (3.81) con le (3.24)

( )z

z 2 z zdistribuzione 2 1 sorgenti 2 1Qdi doppiette concentrate1

Qr Q(x, z) ln ln r ln r (x, z) ln r ln r2 r 2 2 2 2μ =

−⎡ ⎤μ μ μφ = = − ⇔ φ = +⎢ ⎥π π π π π⎣ ⎦

si evidenzia che un pannello con una distribuzione di doppiette nella direzione normale al pan‐nello è equivalente ad una sorgente ed un pozzo posti nelle estremità del pannello stesso aventi una portata pari all’intensità della distribuzione di doppiette.

Fig. (3. 12) Equivalenza di un pannello con dipoli tangenti a due sorgenti poste alle estremità

.3.2.7.3 Distribuzione di vorticità

Nello stesso modo dei due casi precedenti, conside‐riamo una distribuzione di vorticità (per unità di lunghezza), γ(x')=dΓ/dx' su un pannello di lunghez‐za l. E’ facile verificare che questa induce in un punto P(x,z):

( ) ( ) ( ) 'dxz'xxln'x21z,x

2

1

x

x

22∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−γ

π=ψ (3. 86)

( ) ( )( ) ( )[ ]∫ +−

γπ

=2

1

x

x22 z'xx

'dxz'x21z,xu (3. 87)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]∫ +−

−γ

π−=

2

1

x

x22 z'xx

'dx'xx'x21z,xw (3. 88)

Notando che la componente tangenziale della velocità (i.e. la u(x,z)) indotta dalla distribuzione di vortici è simile , nella forma, alla componente normale della velocità indotta dalla distribuzione di sorgenti ed alla espressione del potenziale della distribuzione di doppiette, ne deriva, per que‐sta componente u(x,0), un salto attraverso la discontinuità pari a:

Fig. (3. 13) Pannello vorticoso



( )2

)x(x

0,x)0,x(u γ±=

∂±∂ϕ

=± (3. 89)

Il contributo al salto del potenziale derivante dalla distribuzione dei vortici ad una generica sta‐zione x è [avendo posto ( ) 00,x1 =ϕ ; i.e. potenziale nullo all'inizio della discontinuità ]:

( )[ ] ( ) ( ) )x('dx)x('dx2

)x('dx

2)x(

0,x0,xxx

x

x

x

x

x 111

Γ=γ=γ

−−γ

=ϕ−ϕ≡ϕδ ∫∫∫−+ (3. 90)

Ne consegue che: condizioni di flusso relative a discontinuità di contatto possono realizzarsi sia con una

distribuzione di vortici che con una distribuzione di doppiette. Le relazioni tra queste due distribuzioni sono:

dx(x)d

-=(x) ; )x()x( zμ

γμ−=Γ (3. 91)

INTEGRALI: Se γ(x) = γ è costante, l è la lunghezza del pannello, l'origine degli assi è nel centro del pannello con x1 = ‐ l /2, x2 = l /2 da un buon manuale di matematica o con l'ausilio di un programma tipo MAPLE si ricava esplicitamente:

(3. 92)

(3. 93)

(3. 94)

(3. 95)

che possono essere assemblate meglio come:

pot 12 γ ⎛

⎝⎜⎜


z − 2 x l x 1

2⎛⎝⎜⎜


z − 2 x l l z ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln 2

z − 2 x l − −

⎛

⎝⎜⎜⎜ :=

12 z ⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ln

− + + 4 x2 4 x l l2 4 z2

( ) − 2 x l 2⎛⎝⎜⎜


z + 2 x l x 1

2⎛⎝⎜⎜


z + 2 x l l + − −

z ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln 2

z + 2 x l

12 z ⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ln

+ + + 4 x2 4 x l l2 4 z2

( ) + 2 x l 2 + − ⎞

⎠⎟⎟⎟ Pig/

ψ12 γ

14 l ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 l 12 x ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 z ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

− 2 x lz − − − ⎛

⎝⎜⎜ :=

14 l ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2 12 x ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2 z ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

+ 2 x lz + + + ⎞

⎠⎟⎟ Pig/

:= u 12

γ ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟− + ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

− 2 x lz

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟arctan

12

+ 2 x lz

Pig

:= w 12

γ ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ −

12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln − + + x2 x l 1

4 l2 z2 12

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ln + + + x2 x l 1

4 l2 z2

Pig



( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

vortice

2 21 1

2 2

22 1

1

x, z)

x / 2 zz z zx / 2 tan x / 2 tan ln2 x / 2 x / 2 2 x / 2 z

rx / 2 x / 2 z ln2 r

− −

ϕ =

⎧ ⎫− +γ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − + + =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟π − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + +⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎡ ⎤γ ⎪ ⎪⎡ ⎤= − θ − + θ +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦π ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(3. 96)

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( ) [ ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

θ−θ+−−+

πσ

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

+−−−+++

πγ

=ψ−−

122

1

11

2222

vortice

z2rln2/xrln2/x

2

2/xztan

2/xztanz2

z2/xln2/xz2/xln2/x

4)z,x

(3. 97)

[ ]1211

vortice 22/xz

tan2/x

ztan

2)z,x(u θ−θ

πγ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−π

γ= −− (3. 98)

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡πγ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+−πγ

=1r

rln

2z2/xz2/xln

21

2)z,x(w 2

22

22

vortive (3. 99)

NOTA (ripetizione)

i potenziali, le componenti di velocità e le coordinate del punto (x, z) in cui si calcolano i valori con l'uso di questi integrali, sono riferiti agli assi "x" e "z" del

sistema di riferimento connesso al pannello inducente.



.3.3 COMPOSIZIONE DI MOTI PIANI

Invece di tentare la risoluzione dell’equazione di Laplace, per problemi di interesse aerodinamica ricerchiamo soluzioni per mezzo di composizioni delle soluzioni elementari trovate nei preceden‐ti paragrafi. Tale fatto è reso possibile dalla linearità dell'operatore di campo Laplaciano. Sia f una combinazione lineare di n soluzioni elementari fi (tutte soluzioni laplaciane), risulterà

che anche f sarà laplaciana:

0fafaffaf i2

n

1ii

n

1iii

22n

1iii =∇=∇=∇⇒= ∑∑∑

===

(3. 100)

Essendo le velocità espresse da derivate parziali della funzione di corrente o del potenziale di ve‐locità, ed essendo la derivata parziale un operatore lineare, e quindi inter‐scambiabile con l'ope‐ratore Laplaciano, ne risulta che anche le velocità sono sovrapponibili:

⎩⎨⎧

++=++=

n21

n21

v....vvvu....uuu

(3. 101)

Non così con le pressioni, che sono collegate, in modo non lineare, al campo delle velocità dal teorema di Bernoulli:

2 21 1p V costante p costante V2 2

+ ρ = → = − ρ (3. 102)

Per cui le pressioni non sono sovrapponibili: n21 p....ppp +++≠ Esse dovranno essere calcolate in un secondo tempo dopo aver calcolato le velocità facendo uso del teorema di Bernoulli:

( ) 2 2 21 2 n i i

1p V V ..... V V u v2 iCostante - con = ρ + + + = + (3. 103)

Conviene, in genere, lavorare sulla funzione di corrente ψ in quanto i punti che soddisfano l'e‐quazione ψ = costante rappresentano una linea di corrente ed è facile quindi immaginare la forma del corpo simulato. Assumeremo quindi una ψ somma di varie soluzioni elementari ψi trovate (corrente uniforme, sorgente/pozzo, vortice, doppietta) e ricercheremo la forma del corpo (con i parametri geome‐trici di interesse), le velocità sul corpo, ed eventualmente le forze su questo agenti. Nota che:

• se la somma delle intensità di sorgenti/pozzi è nulla, il corpo simulato sarà chiuso e rappre‐sentato dall'equazione ψ(x,y)=0.

• se la somma delle intensità totale delle sorgenti/pozzi sarà diverso da zero, il corpo simula‐to sarà aperto, e rappresentato dall'equazione ψ ( x,y ) = ψ rist , dove ψ rist è il valore assunto da ψ nel punto di ristagno (euleriano) cioè quello in cui si realizza: V=0 (u=0, v=0).



.3.3.1 Ovale di Rankine Componiamo:

• Corrente uniforme (U∞, α = 0) • Sorgente [Q] in (‐a , 0) • Pozzo [–Q] posto in (+a , 0) Nota: la somma delle intensità di Sorgenti/Pozzi è globalmente nulla: corpo chiuso.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+π−=ψ −

∞ 2221

ayxay2tan

2QyUy,x (3. 104)

La forma del corpo è data dall’equazione ψ=0:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+π= −

∞ 2221

ayxay2tan

2QyU (3. 105)

Questa è una relazione trascendente, non risolvibile analiticamente. Ovviamente esiste la soluzione banale y=0, di poco inte‐resse. I principali parametri geometrici del corpo sono • la posizione dei punti di ristagno (±xo,0) • l'estremo superiore yo. La ricerca dell’ascissa del punto (±xo 0), può essere fatta però con un ragionamento fisico. Questo punto rappresenta un punto di ristagno posto sull'asse y=0. Possiamo individuarlo facilmente imponendo in esso una velocità assiale nulla:

,0)(xa Pozzo

o

,0)(-x aSorgente

o

asintoticacorrente

oo

)0,x(u)0,x(uU0 ++= ∞ ⇒ ax

12Q

ax1

2QU0

oo +π+

−π−= ∞ (3. 106)

Risulta facilmente:

2o a

U1

2Qx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=∞

(3. 107)

La soluzione del punto dell’ovale per (0,yo ) si ritrova facilmente ponendo x=0 nell'equazione del corpo (3.105):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−π= −

∞ 22o

o1o ay

ay2tan2QyU (3. 108)

Questa è un equazione trascendentale che può essere risolta iterativamente per fornire:

Q/(πU∞a) 0. 0.01 0.1 1. 10. 100. ∞ yo/a 0. 0.016 0.143 0.860 3.111 9.983 ∞ xo/a 1.0 1.005 1.049 1.414 3.317 10.050 ∞ yo/xo 0.0 0.015 0.136 0.608 0.938 0.993 1.000

MAPLE: U=1, Q=1

Fig. (3. 14) Ovale di Rankine



.3.3.2 Corpo aperto semiinfinito (mezzo corpo di Rankine)

Componiamo: • Corrente uniforme (U∞, α=0) • Sorgente [Q] in (‐a , 0)

Nota: la somma delle intensità di Sorgenti/pozzi non è globalmente nulla: corpo aperto.

( ) 1eff eff

Q y Qx, y U y tan U r sin2 x a 2

−∞ ∞

⎡ ⎤ψ = + = θ + θ⎢ ⎥π + π⎣ ⎦ (2. 109)

La forma del corpo è data dalla equazione ψ=ψrist .

Il punto di ristagno giace sul lato negativo dell’asse delle x (y=0 e θeff=π) .

In questo punto la (3.109) fornisce :

ψrist = Q/2 (3. 110)

L’equazione del corpo è quindi

1 effQ y Q QU y tan U y 12 x a 2 2 2

−∞ ∞

θ⎛ ⎞⎡ ⎤+ = → = −⎜ ⎟⎢ ⎥π +⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (3. 111)

I parametri geometrici del corpo sono • la posizione del (unico) punto di ristagno (‐xo,0) ovvero (ro, θeff = π) • l'ascissa dell'asintoto (x=∞ , yo ) ovvero ( yo , θeff = 0) Il punto di ristagno deve giacere sull'asse y=0 La ricerca della xo può essere fatta con un ragionamento fisico imponendo velocità assiale U nul‐la:

,0)(-x aSorgente

o

asintoticacorrente

o

)0,x(uU0 += ∞ ⇒ ( )ax1

2QU0

o −π−= ∞ (3. 112)

Risulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

+=∞U

12Qaxo (3. 113)

Per questo punto la funzione di corrente (3.109) assume il valore ψrist = Q/2 che conferma la (3.110) e la (3.110). Ovviamente esiste la soluzione banale y=0, ma èdi poco interesse. La ricerca dell'ascissa dell'asintoto yo può essere ora fatta facendo tendere nella (3.111) θeff →0. Ne discende (memo la 2.113):

MAPLEU=1, Q=1

Fig. (3. 15) Half Rankine (corpo semi infinito)



axU2Qy oo −π==

∞ (3. 114)

.3.3.3 Corrente uniforme su vortice isolato nell’origine Risulta:

( ) rln2

sinrU,rπ

Γ+θ=θψ ∞ (3. 115)

r1V U cosr

1V U sinr 2 r

∞

θ ∞

∂ψ⎧ = = θ⎪⎪ ∂θ⎨ ∂ψ Γ⎪ = − = − θ −⎪ ∂ π⎩

(3. 116)

Nel punto di ristagno le due componenti della velocità date dalle (3.117) si devono annullare, ciò si verifica nel punto:

o o1 3r ;

2 U 2∞

Γ= θ = π

π (3.1)

.3.3.4 Ovale di Kelvin Consideriamo la sovrapposizione di:

• una corrente uniforme U∞ (α=0) • un vortice + Γ (orario) posto a (0, + a) + • un vortice – Γ (antiorario) posto a (0, ‐ a)

Ne deriva:

( ) ( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++π

Γ+=ψ ∞ 22

22

ayxayxln

2yUy,x (3. 117)

Il corpo è definito dall’equazione ψ(x,y)=0

( )( )

22

22

x y aU y ln 0

2 x y a∞

⎡ ⎤+ +Γ+ =⎢ ⎥

π + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (3. 118)

Questa è una equazione trascendentale. Per valori di [Γ/(3U∞a)] >> 1 il corpo è molto simile all’ovale di Rankine (ovviamente ruotata di 90°).

Per valori di [Γ/(3U∞a)] =.5 il corpo forma una figura ad otto; per valori ancora minori si formano due corpi separati che circondano i vortici.

MAPLE 6corrente (U=1) +

vortice (Γ=2π) nell'origine

Fig. (3. 16) Ovale di Kelvin



U=1, Γ=0.8 U=1, Γ=0.5

.3.3.5 Cilindro con circolazione

Consideriamo la composizione di • una corrente uniforma U∞ (α=0) • una doppietta (‐Mx) nell’origine diretta nella direzione (‐i) avversa alla corrente asintotica • un vortice (Γ) posto nell’origine

Per la funzione di corrente deriva:

( ) .Costrln2r

sin2

sinrU,r x +π

Γ+

θπ

−θ=θψ ∞

M (3. 119)

Ponendo:

Cost ln C2Γ

= −π

(3. 120)

risulta:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πΓ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

−θ=θψ∞

∞ Crln

2r1

U1

21sinrU,r 2

xM (3. 121)

Ponendo infine

22x RCU1

2==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π ∞

M (3. 122)

si ottiene:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πΓ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−θ=θψ ∞ R

rln2r

R1sinrU,r 2

2

(3. 123)

Vedremo che la (3.123) rappresenta la funzione di corrente del campo di moto attorno ad un ci‐lindro di raggio R immerso in una corrente U∞ con circolazione Γ .

Le velocità si ottengono per derivazione:



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θ=

θ∂ψ∂

= ∞ 2

2

r rR1cosU

r1V r

12r

R1sinUr

V2

2

πΓ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θ−=

∂ψ∂

−= ∞θ (3. 124)

Il potenziale di velocità si ottiene dalle :

2 2

r 2 2

R 1 RV U cos 1 ; V U sin 1r r r r∞ θ ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ϕ ∂ϕ= = θ − = = − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3. 125)

Che integrate danno:

2

2

RU cos r 1r∞

⎛ ⎞ϕ = θ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3. 126)

Sul corpo (r = R ⇒ ψ= 0 ⇒ ϕ=2 R U∞ cosθ ):

0V cilr = R1

2sin2UV cil π

Γ−θ−= ∞θ (3. 127)

I punti di ristagno dipendono dal valore della circolazione Γ rispetto a quella critica Γc

Γc = 4π R U∞ (3. 128)

• Se Γ< Γc esistono due punti di ristagno sul cilindro:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

Γ±=θ

∞

−

R2U1

2sin,R 1

o (3. 129)

• Se Γ = Γ esiste un solo punto di ristagno sul cilindro:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

−=θ2

,R o (3. 130)

• Se Γ > Γ c non esistono punti di ristagno sul cilindro, ma uno solo al di fuori del cilindro:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡π

−=θ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

π−+

πΓ

= ∞

∞ 2,

UR411

U1

4r o

2

o (3. 131)

La figura sottostante mostra tali situazioni:

In condizioni super‐critiche la circolazione è tanto forte da indurre uno strato di fluido vicino al cilindro che ruota con lui ed a rimane aderente senza mescolarsi con la corrente asintotica. Visto da lontano (far field) appare un campo simile ad un vortice isolato.

Sub-critico Critico Super-criticoΓ=0

Γ=0

Γ > Γc Γ = ΓcΓ < Γc



Nota che le velocità indotte dal vortice vanno come 1/r , nel mentre le velocità indotte dalla doppietta (firing) vanno come 1/r2, ne consegue che lontano dal cilindro gli effetti del vortice saranno molto maggiori di quelli della doppietta. .3.3.5.1 Calcolo delle forze – Teorema di KuttaJoukowsky

Nel caso del cilindro senza circolazione [Γ=0] la velocità superficiale è dalla (3.127):

V 2U sin∞= θ (3. 132)

Il coefficiente di pressione sulle pareti del cilindro vale:

22

p 2 212

p p Vc 1 1 4 sinU U

∞

∞ ∞

−= = − = − θ

ρ (3. 133)

La Forza agente è per il teorema di Eulero (assenza di attrito):

( )[ ] dSVVpnF nS

ρ+−= ∫∫ (3. 134)

Consideriamo l’integrazione della (3.14) sulla superficie del cilindro, essendo il cilindro imperme‐abile sarà Vn=0, per cui la (3.134) si semplifica:

dSpnFS∫∫−= (3. 135)

Se consideriamo un segmento di profondità unitaria, essendo n = ir e ds=R dθ, la forza per unità di lunghezza F’ risulta essere:

θ−= ∫π

dRpi'F r

2

0

(3. 136)

Essendo i r = i cosθ+ j sinθ possiamo scomporre la (3.136) in Portanza (L', direzione y) e Resi‐stenza (D', direzione x) come:

idRpcosjdRpsini'Dj'L'F2

0

2

0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθ−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθ−=+= ∫∫

ππ

(3. 137)

ovvero:

θθ−= ∫π

dRpsin'L2

0

; θθ−= ∫π

dRpcos'D2

0

(3. 138)

I relativi coefficienti adimensionali si ottengono richiamando l’espressione del cp sulla superficie del cilindro (3.133). Per il coefficiente di portanza (per unità di lunghezze del cilindro) si ritrova:



( ) 0dsin41sin21dcsin

21

dUppsin

21

RdR

Upsin

21

R2U'LC

22

0p

2

0

221

2

0costantep2

21

2

02

21L

=θθ−θ−=θθ−=

=θ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ρ−

θ−=θ

ρθ−=

ρ≡

∫∫

∫∫ππ

∞

∞π

∞

π

∞ ∞

(3. 139)

Analogamente per il coefficiente di resistenza (per unità di lunghezza) si ritrova:

( ) 0dsin41cos21dccos

21

R2U'DC 2

2

0p

2

02

21D =θθ−θ−=θθ−=

ρ≡ ∫∫

ππ

∞

(3. 140)

Ritroviamo cioè il "Paradosso di d’Alambert"

Nel caso di cilindro con circolazione Γ non nulla sarà invece: 2

p RU2sin21c

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

Γ+θ−=

∞ (3. 141)

Da cui si ricava:

RURU2

421dsin

RU24

21dcsin

21C 2

2

0p

2

0L

∞∞

π

∞

πΓ

−=π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

Γ−=θθ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

Γ−=θθ−= ∫∫ (3. 142)

CD = 0 (3. 143)

Ovvero

Γρ−=ρ≡ ∞∞ UR2UC'L 221

L (3. 144)

Nota che consideriamo i vettori: L , V∞ , Γ (Γ positiva se oraria) risulta:

Teorema di Kutta – Joukowsky Γ∧ρ= ∞V'L (3. 145)

Questa è la forma di un teorema dimostrato indipendentemente da Kutta (1902) e da Jou‐kowsky (1906). Il teorema è valido per il campo di moto attorno ad ogni corpo (dove Γ è la circolazione (oraria) misurata attorno ad un qualsiasi circuito che avvolge una sola volta il corpo) sotto le condizioni:

• moto stazionario • moto piano • moto incompressibile • corrente uniforme all’infinito

Analogamente è possibile dimostrare che per campi di moto simulati con distribuzioni di poz‐zi/sorgenti aventi una somma Q non nulla (corpi aperti) il teorema esteso di Kutta‐Joukowski predice una forza nella direzione della velocità asintotica (resistenza D' per unità di profondità) pari a

'QV'D ∞ρ= (3. 146)



.3.3.5.2 Cilindro ruotante: il caso reale

Finora abbiamo parlato di cilindro con circolazione e senza circolazione. Ma come è possibile introdurre la circolazione? Possiamo pensare di far ruotare il cilindro lungo il suo asse. Nel fare questo ipotizziamo (ad essere pignoli, impropriamente) che un cilindro che ruoti con ve‐locità angolare Ω generi sulla superficie una velocità di rotazione Vθ = Ω R e quindi una circola‐zione:

Γ = (Vθ) 2π R = (Ω R) 2π R= 2Ω π R2 (3. 147)

La non correttezza di questo ragionamento sta nel fatto che, a rigore, in un regime non viscoso, non possiamo imporre che la velocità tangenziale del fluido sul corpo coincida con la velocità del corpo (sia nulla sul corpo).

Ma in effetti, con un poco di indulgenza, possiamo pensare che un minimo effetto viscoso mette‐rebbe le cose a posto imponendo le condizione di no‐slip.

Ciò assunto, possiamo immaginare la portanza ideale indotta da un cilindro ruotante con velocità angolare Ω:

CD=0 ; ∞∞

Ωπ−=

Γ=

UR2

RUCL (3. 148)

ovvero:

2RU2'L Ωρπ−= ∞ (3. 149)

Sembrerebbe, a prima vista, che abbiamo risolto il pro‐blema del volo, in quanto non vi è limite alla generazio‐ne della portanza. Per esempio con: • U=10 m/s, • R=1 m, • Ω=10 rad/sec Dalla (3.149) risulta CL = 6.38 In pratica le realtà è più crudele: gli effetti viscosi limita‐no sensibilmente la portanza, a causa della separazione dello strato limite (cosa che era da aspettarsi), ma sfor‐tunatamente la resistenza che è generata dagli sforzi vi‐scosi e dal campo di pressione è sensibilmente elevata. Sicché, per il momento, l'uso di tale dispositivo di so‐stentazione è limitato a problemi marini sostituendo ro‐tori alle vele. L'idea di Flettener (1924) viene oggi usata su una nave da carico mercantile giapponese su rotte del Pacifico.

Fig. (3. 17) Prestazioni del rotore di Flettner



.3.3.6 Campo di moto potenziale attorno ad una ellisse E' possibile dimostrare (con l'ausilio delle trasfor‐mazioni conformi) che per una Ellisse con semiassi a, b e τ = b/a la cui equazione parametrica è:

x = a cosθ; y = b sinθ

si ritrova una velocità superficiale data da:

( )θτ+θ

θτ+=θ ∞

222 cossin

sinU)1(V (3. 150)

Attenzione θ è l’anomalia eccentrica del punto sulla superficie dell’ellisse (osserva attentamente la figura 3.18)! PROGETTO N.3 Uso del software MAPLE (o di equivalenti) per visualizzare campi di moto potenziali mediante sovrapposizione di soluzioni elementari. Esercizio 3.1 Considera il campo di moto attorno ad un cilindro non ruotante immerso in una corrente asinto‐tica uniforme. Calcola i punti del cilindro dove la pressione è pari a quella asintotica. [30°,150°,210°,330°] Esercizio 3.2 Considera un cilindro ruotante posto in una corrente. Il coefficiente di portanza e 0.5. Calcola il picco di pressione (negativo) [Cp=‐6.82] Esercizio 3.3 Per il caso dell'esercizio 2.3, calcola la locazione dei punti di ristagno e di quelli dove la pressione sul cilindro è pari a quella asintotica [203.4° e 336.6°; 5.85°, 174.1°, 243.8°, 286.33°] Esercizio 3.4 Un flusso incompressibile piano ha componenti della velocità u = ‐ K y , v = K x. • Tale campo di moto è possibile? • Si può definire un potenziale di velocità? • Come la K è collegata al rotore della velocità? • Schizza le linee di corrente! Esercizio 3.5 Considera una sorgente di intensità Q posta in una corrente asintotica U. • Calcola l'apertura asintotica del corpo • Plotta la forma del copro e la distribuzione di pressioni sul corpo • Determina la forza sul corpo Esercizio 3.6 Considera ovali di Rankine per cui il parametro )aV2(Q ∞π è pari a: 0.01, 0.1, 1.0 • Plotta nei tre casi le forme e le distribuzioni di pressione sul corpo. Esercizio 3.7 Considera la sovrapposizione di una corrente uniforme U con 4 sorgenti/pozzi posti in punti diffe‐renti sull'asse delle x con a sinistra una sorgente positiva.

Fig. (3. 18) Geometria di una ellisse



• Plotta il campo di moto nei casi in cui la somma delle intensità è nullo e nei casi in cui non lo è. Esercizio 3.8 Considera che il campo di moto generato dal vento che soffia su di un hangar di forma cilindrica è assimilabile a quello su metà cilindro.Sia U la velocità asintotica e R il raggio dell'hangar. • Calcola la forza portante. Esercizio 3.9 Considera una collina la cui forma è assimilabile a quella di metà di un corpo semi‐infinito descri‐vibile da una sorgente posta in una corrente uniforme. • In quale punto della collina si lancereste con il vostro deltaplano? Esercizio 3.10 La portanza (per unità di profondità) di un cilindro ruotante in una corrente U=30 m/s e condi‐zioni standard è di 6 N/m. • Calcola la circolazione della velocità Esercizio 3.11 Considera il campo di moto attorno ad un cilindro di dato raggio e con circolazione in una cor‐rente U. Se la velocità della corrente è raddoppiata: • cambiano le linee di corrente? spiega il tuo ragionamento! Esercizio 3.12 Un Pitot posto su di un aereo che vola a quota zero segna 1.07 105 N/m2. • Quale è la velocità del velivolo? Esercizio 3.17 In un punto della superficie dell'ala del velivolo dell'es.3.12 si misura una velocità di 130 m/s. • Calcola la pressione in tale punto. .3.4 CILINDRO SENZA CIRCOLAZIONE: CASO REALE Abbiamo visto che la soluzione euleriana per il cilindro sen‐za circolazione fornisce:

θ−= 2p sin41c

Ma abbiamo anche commentato gli effetti viscosi e le diffe‐renze sul punto di separazione tra regime laminare e turbo‐lento. Misurazioni sperimentali portano a diagrammi del cp come nella figura a lato valide per ReD alti (ordine 10

6) Come si vede gli effetti viscosi [che dipendono dal numero di Reynolds ReD ] alterano profondamente il campo poten‐ziale. Nel caso di strato limite laminare si ritrova una separazione sulla parte anteriore del cilindro (θ<90°) ed una scia ampia, nel caso di strato limite turbolento si ritrova invece che il punto di separazione si sposta sulla parte posteriore (θ>90°) e si genera una scia con dimensioni più contenute.

Fig. (3. 19) Andamenti del coefficiente di pressione su di un cilindro



Ne deriva quindi che per ReD, prossimo al valore critico la resistenza in caso laminare può essere maggiore di quella in caso turbolento. Questo fatto viene implementato in tutti gli sport che sfruttano palle ovvero sfere (golf, baseball, pallavolo, ecc…) .3.5 CILINDRO IN MOTO VARIO SENZA CIRCOLAZIONE (MASSA APPARENTE) In questo caso la velocità asintotica (assunta nella direzione dell’asse delle “x”) varia nel tempo U(t). Ma, per moti incompressibili, l'equazione di continuità non varia, per cui deve valere la trattazio‐ne fatta per la funzione di corrente e per il potenziale di velocità:

( )2

2

sin Rr, , t U(t) r sin U(t) r sin 12 r r

⎡ ⎤μ θψ θ = θ − = θ −⎢ ⎥π ⎣ ⎦

(3. 151)

( ) θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=θϕ cos

rRr)t(Ut,,r

2

(3. 152)

Per la determinazione del campo di pressione, si deve ovviamente applicare la forma instaziona‐ria del teorema di Bernoulli:

)t(FVpt

221 =+

ρ+

∂ϕ∂

(3. 153)

Fortunatamente, in questo caso, il termine instazionario [∂ϕ/∂t] presente nel teorema di Ber‐noulli (3.153) , può essere calcolato, semplicemente, differenziando rispetto al tempo diretta‐mente l'espressione (3.152) disponibile per ϕ :

θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂ϕ∂ cos

rRr

dt)t(Ud

t

2 (3. 154)

Il valore della (3.154) sostituito nel teorema di Bernoulli fornisce:

)t(FVpcosr

Rrdt

)t(Ud 221

2=+

ρ+θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (3. 155)

Rimane il problema di calcolare la costante di integrazione F(t). Il posto più comodo dove calcolare il valore della F(t) è certamente all'infinito sull'asse delle y (x=0 → r=∞ , θ=π/2) dove risulta:

[cos(π/2)=0] ⇒ )t(FVp 221 =+

ρ ∞∞ (3. 156)

Per cui in definitiva il teorema di Bernoulli diventa:

2212

21

2VpVpcos

rRr

dt)t(Ud

∞∞ +

ρ=+

ρ+θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (3. 157)

Sul corpo (r=R) quindi per la pressione vale:



[ ]θ−ρ+θρ−= ∞∞22

21 sin41UcosR2

dt)t(Udpp (3. 158)

Il calcolo delle forze porta:

0dRpsin'L2

0

=θθ−= ∫π

(3. 159)

( )dtdU)Massa(2

dtdU.Lungh/.Vol2

dtdUR2dRpcos'D dislocato fluido del

22

0

=ρ=ρπ=θθ−= ∫π

(3. 160)

Ne deriva che anche in condizioni non viscose, l' instazionarietà del moto provoca una resi‐stenza, che, nel caso del cilindro, è pari al prodotto dell'accelerazione del cilindro dU/dT per il doppio della massa fluida dislocata dal cilindro.

Occorre forse ripensare al meccanismo fisico che giustifica tale forma di resistenza ed al concetto derivante di massa apparente ( o virtuale ovvero aggiunta).

Consideriamo un corpo di massa “m” immobile nel vuoto (senza campo fluido) ed in assenza di campo gravitazionale. Se su di esso agisce, per un certo tempo, una forza F , si genera per il corpo un moto con una accelerazione a=dV/dt diretta nella direzione della forza, tale che:

bb b

dVF adt

m m= = (3. 161)

Per accelerare il corpo, dalla quiete ad una certa velocità Vb = costante, occorre quindi fornire ad esso una energia E:

t t Vbb b b b b b0 0 0

dVE F V dt V dt V dV

dtm m= • = • = •∫ ∫ ∫ (3. 162)

Se la forza ha sempre direzione e verso costanti, l’energia spesa si ritrova come energia cinetica Eb posseduta dal corpo:

b21

b b2E V Em= = (3. 163)

Consideriamo ora un corpo immerso in un fluido, e ripetiamo l’esperimento trascurando gli ef‐fetti viscosi valutiamo i livelli energetici iniziali e finali. Notiamo che:

• In condizioni iniziali il livello energetico è posto essere nullo. • Nelle condizioni finali si deve ritrovare non solo l’energia cinetica del corpo Eb , ma occorre

anche considerare che il fluido circostante il corpo, ha modificato le sue condizioni.

Questo campo fluido possederà un campo di velocità diverso da zero caratterizzato da una e‐nergia cinetica Ec pari a:

21c 2

V

E V d= ρ∫ V (3. 164)

Sicché l’energia totale E sarà:

b2 21 1

b c b 2 2V

E E E m V V d= + = + ρ∫ V (3. 165)



Dove ρ e V sono la densità e la velocità del campo fluido esterno al corpo, V il volume (infinito) del campo. Se esprimiamo la Ec come:

b2 21 1

c app2 2V

E V d Vm= ρ∫ V = (3. 166)

Ne deriva la definizione di massa apparente “mapp” che regola il bilancio energetico nel transien‐te nel seguente modo:

( ) b21

b c b app 2E E E Vm m= + += (3. 167)

Per cui si può assumere che la forza agente su di un corpo immerso in un fluido genererà su di esso una accelerazione data da:

( )b appdVFdt

m m= + (3. 168)

La forza:

a appdVDdt

m= (3. 169)

è la cosiddetta resistenza apparente (o addizionale o virtuale o aggiunta) che si genera allor‐quando si hanno condizioni instazionarie su di un corpo immerso in un fluido (in condizioni di moto potenziale); forza che ovviamente svanisce allorquando si realizza la stazionarietà.

Nota: ovviamente nella realtà esisterà anche una resistenza derivante dagli effetti viscosi, dal‐la compressibilità, dalle onde, eccetera

La massa apparente è agevolmente calcolabile per geometrie semplici ed allorquando è descrivi‐bile, in forma analitica, il campo di moto attorno a corpi (le trasformazioni conformi sono state ampiamente usate per questo).

Nota: quanto detto pur se limitato ad un campo bi‐dimensionale vale ovviamente anche per campi tri‐dimensionali!

Esempi classici:

Per un cilindro di raggio R (profondità unitaria) R =m 2a πρ

lastra piana di larghezza “b” in moto normale alla corda

b4

=m 2a

πρ

sfera di raggio r r3

2 =m 3a

πρ

Nota: la massa apparente è proporzionale alla massa del fluido dislocato dal corpo, per que‐sto motivo tale concetto è molto importante laddove la densità del fluido è paragonabile a quella del corpo, come accade in moti di corpi in liquidi (i.e. dirigibili, aerostati, palloni sonda, moto di navi e sottomarini, ecc..)



.3.6 DIEDRI PIANI Consideriamo la seguente forma della funzione di corrente:

)sin(RC αθ=ψ α (3. 170)

con C = costante (dimensionale).

NOTA: Si può vedere che questa forma rappresenta la parte immagi‐naria della funzione complessa:

( ) ( ) ( )[ ] ψ+ϕ=αθ+αθ=θ+θ=ζ ααα isinicosRsinRicosR (3. 171)

che è una funzione armonica ottenibile con il metodo delle se‐parazione di variabili: f(r,θ) = R(r) Θ(θ) come soluzione dell’espressione del laplaciano in coordi‐nate cilindriche:

0fr1

rfr

rr1f 2

2

22 =

θ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇ (3. 172)

Tale campo avrà delle velocità espresse (riferimento polare) da:

( ) ( )αθα−=∂∂ψ

−=αθα=∂θ∂ψ

= −αθ

−α sinRCR

V,cosRCR1V 11

r (3. 173)

Notiamo che la Vθ nella (3.173) si annulla per: o

o ϑπ

=α→π=αϑ

Sostituendo tale valore nella (3.170) si ottiene la funzione di corrente:

)sin(RC0ϑ

θπ=ψ α

(3. 174)

Che descrive un campo di moto attorno (interno/esterno) di un diedro piano di semiangolo ϑo. Ponendo

o

o=m1- ϑ

ϑ−π=α (3. 175)

le componenti della velocità sono date (3.173) da:

sinRCVcosRCV m

o

mr α−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϑθ

πα= θ (3. 176)

Notare che lungo la superficie del diedro (θ = ϑo ) le velocità sono :

mparetep,

mp,r RCV0V,RCV =⇒=α−= θ (3. 177)

I valori di m rappresentano le seguenti situazioni:

m α ϑo campo di moto 0 1 ϑo = 0, π lastra piana

0 ≤ m < 1 1≤ α<2 0 ≤ ϑo < π/2 angolo di compressione ‐ acuto

Fig. (3. 20) Diedro piano



1 2 ϑo = π/2 punto di ristagno piano / angolo di 90°

1 < m < ∞ 1 < α < ∞ π/2 < ϑo < π angolo di compressione ‐ ottuso

‐1/2 ≤ m < 0 0.5 ≤ α< 1 ‐π ≤ ϑo ≤ 0 angolo di espansione m = ‐1 0 ‐ moto verso un pozzo puntuale m = ‐2 ‐1 ‐ doppietta vicino ad una parete m = ‐5/3 ‐2/3 ‐ doppietta vicino ad un angolo di 90°

C=‐1

α = 1 , m =0 α = 4/3 , m =1/3 α = 2 , m =1 α = 3 , m =2 α = 4/5 , m =1/5

Nel seguito un esempio di visualizzazione del campo di moto attorno a un diedro piano ottuso ot‐tenuto con MAPLE .3.7 CONI

Il campo di moto potenziale euleriano sulla super‐ficie di un cono con un angolo di semiapertura φ [ad angolo di attacco nullo] ammette una soluzione del tipo:

U(x) = C xn (3. 178)

dove C ed n sono costanti ed x è la coordinata lun‐go la superficie del cono. La situazione è molto simile al caso piano (diedri piani) ma stavolta la relazione tra la potenza "n" e l'angolo di cono “φ” non è esprimibile algebricamente, ma è stata tabulata (Evans, 1968):

n φ (gradi) n φ (gradi)

0.0 0.0 1.3 97.01 0.05 19.10 1.4 102.99 0.1 27.73 1.6 108.12 0.15 34.52 1.8 112.61 0.3 40.33 2.0 116.58

MAPLE : Diedro piano m=1/3, C=-1

MAPLE : Diedro Piano, m=1/3, C = -1

Fig. (3. 21) Cono retto



0.3 50.11 2.5 124.60 0.4 58.32 3.0 130.89 0.5 65.30 4.0 139.90 0.6 71.31 5.0 146.12 0.7 76.84 6.0 150.71 0.8 81.60 7.0 154‐12 0.9 86.00 8.0 156.86 1.0 90.00 9.0 159.70

.3.8 VORTICI 3D

Noto il campo di velocità V(r) , il campo di vorticità V∧∇=ω è immediatamente calcolabile in tutti i punti in cui V(r) è differenziabile (questo è il problema diretto).

Il problema inverso: dato un campo di vorticità, ω( r ), calcolare quello delle velocità (indotte dai vortici): V (r), risulta essere un problema puramente cinematico. In Fluidodinamica avevamo dimostrato che la velocità V indotta in un punto P da una regione vorticosa ω(r) contenuta in un volume V, è data da:

( )3

( )

1V(P) d4 rω

ω ∧=

π ∫r

V (3. 179)

Sempre in Fluidodinamica si era definita una regione vorticosa filamentosa, comunemente chia‐mata vortice, schematizzabile come un tubo vorticoso di sezione infinitesima. A causa della necessaria solenoidalità del rotore della velocità, la portata di vorticità attraverso ogni sezione del tubo vorticoso (che viene indicata come intensità del tubo vorticoso) deve ri‐manere costante e collegata dal teorema di Stokes alla circolazione della velocità:

Γ=•==ω• ∫∫∫ dsVcostantedAnC

A

(3. 180)

(la circolazione della velocità rappresenta la vorticità per area unitaria)

Nel caso di vortice (ideale) in un moto incompressibile, la velocità indotta nel punto P da un elemento ds del filamento vorticoso è data dalla legge di Biot‐Savart (forma vettoriale):

23 rdscos

4rrsd

4du β

πΓ

=∧

πΓ

=θ (3. 181)

Formula che si ricava direttamente dall'espressione generale (3.180), consi‐derando il volume infinitesimo dV :

dV = A ds , n = is , ω A = Γ (3. 182)

dove:

• Γ è l'intensità del filamento vorticoso, • r la distanza tra l'elemento del filamento ed il punto P, • β l'angolo formato tra il segmento r e la normale al filamento.

La direzione della velocità indotta è perpendicolare al piano contenente ds

Fig. (3. 22) Velocità indotta da vortice

rettilineo



ed il punto P. Nel caso di vortice rettilineo, la velocità indotta in P dall'intero filamento è ottenuta integrando la (3.181) rispetto a ds tra ( )−∞ + ∞, , Γ essendo costante può essere portato fuori dell’integrale:

∫+∞

∞−θ

βπ

Γ= 2r

dscos4

u (3. 183)

L’integrale (3.183) può essere facilmente calcolato considerando le relazioni:

2

h hr ; s h tan ; ds dcos cos

= = β = ββ β

(3. 184)

dove h è la minima distanza tra il filamento ed il punto P. Se si sostituiscono le relazioni (3.184) nell'integrale (3.183), si ottiene:

22 2

2 22 2

cos ds cos hu cos d cos d4 r 4 h cos 4 h

+π +π+∞

θ−∞ −π −π

Γ β Γ β Γ⎛ ⎞= = β β = β β⎜ ⎟π π β π⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (3. 185)

Per un vortice rettilineo illimitato l'integrazione della (3.185) è stata fatta rispetto all'angolo β tra i limiti ( )2/ , 2/ ππ− , e si ricava agevolmente l’espressione solita della legge di Biot‐Savart:

vortice rettilineo illimitato h1

2u

πΓ

=θ (3. 186)

Nella formula sopra considerata l'intensità del vortice è definita con Γ e rappresenta la cir‐colazione della velocità ottenuta su di un contorno chiuso che circonda il vortice.

Ovviamente la velocità indotta nel punto P da un seg‐mento vorticoso limitato che inizia in A e finisce in B sarà ottenuta integrando la (3.185) tra i valori degli angoli in‐terni α e β del segmento vorticoso:

( )β+απ

Γ= coscos

h1

4kV P (3. 187)

Nota: la velocità indotta in P è diretta normalmente al piano contenente i punti A, B, P . per un vortice infinito α e β sono nulli, si ricava la formula standard. valida per un vortice 2D.

La velocità indotta nel punto P da un vortice rettilineo semi‐infinito che inizia nel punto A e si e‐stende all'infinito (lungo x) sarà (α≠0, β=0):

vortice rettilineo semi‐infinito ( )1cosh1

4kV P +α

πΓ

= (3. 188)

Fig. (3. 23) Velocità indotta da un segmento vorticoso rettilineo



Esercizio 3.13 Considera un vortice toroidale (pensa ad un anello di fumo) di intensità e raggio R Prova che la velocità indotta nel centro del vortice è normale al piano del vorti‐ce ed ha intensità Γ/(3R). Esercizio 3.14 Considera un vortice chiuso di intensità di forma quadrata. • La vorticità di ogni lato deve essere la stessa? (e perché?), • Calcola la velocità indotta nel centro. Esercizio 3.15 Considera un vortice a staffa (anche detto a ferro di cavallo, ovvero horse shoe) di intensità Γ di apertura L nel pi‐ano x,y. Tale vortice è costituito da un segmen‐to vorticoso limitato che va dai punti A e B (in futuro sarà detto aderente) da cui partono due vortici illimitati (che si estendono all'infinito) (in futuro detti liberi). • La vorticità di ogni segmento deve essere la stessa? (e se si, perché?), • Calcola la velocità indotta nel punto P indicato in figura. Esercizio 3.16 Considera un vortice toroidale (pensa ad un anello di fumo) di in‐tensità Γ e raggio R. Calcola l’intensità della velocità indotta sull’asse del vortice e veri‐fica se essa è normale al piano del vortice . Esercizio 3.17 Considera un vortice a staffa di intensità Γ di apertu‐ra L nel piano x,y. Considera gli assi (x,y,z) come in figura Dimostra che la velocità indotta V(u,v,w) nel punto P(x,y.z) indicato in figura, è data da:

R

Γ

L

L

G

x

y

L/2

L/2

L/2

P

V ΓB

A

∞

∞

R

Γ

φ

∞

x

y

L/2

L/2

x

P(x,y,z)

Γ B

A

∞

z

z

y



( ) ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−+

−−

+++

++π

Γ=

22222222z2/Lyx

2/Ly

z2/Lyx

2/Lyzx

z4

u

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++−

++−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−+−

+−πΓ

=2222222222

z2/Lyx

x1z2/Ly

z

z2/Lyx

x1z2/Ly

z4

v

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 22 2 2 2

2 22 22 22 2 2 2

x y L / 2 y L / 2x z x y L / 2 z x y L / 2 z

w4

y L / 2 x y L / 2 x1 1y L / 2 z y L / 2 zx y L / 2 z x y L / 2 z

⎡ ⎤⎧ ⎫+ +⎪ ⎪⎢ ⎥− − − +⎨ ⎬⎢ ⎥+ ⎪ ⎪+ + + + + +Γ ⎢ ⎥⎩ ⎭= ⎢ ⎥π ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥− +⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − + −⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

− + + +⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ − + + + +⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

Esercizio 3.18 Considera un vortice semi infinito di intensità Γ che si diparte dall’origine degli assi in dire‐zione dell’asse “x”. Verifica che la velocità indotta V(u,v,w) nel generico punto P(x,y,z) non ha componente nella direzione delle x, ed è data dalla formu‐la:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+πΓ

= kryj

rz1

rx

zy

14

V22

Esercizio 3.19 Considera un segmento vorticoso di intensità Γ che si diparte da un generico punto A(xa,ya,za) per finire nel punto B(xb,yb,zb). Verifica che la velocità indotta V(u,v,w) nel generico punto P(x,y,z), è data dall’integrazione della formula:

3rrsd

4Vd ∧

πΓ

=

L’integrale diventa vettorialmente:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−•−

∧

∧π

Γ=

∧π

Γ= ∫

b

b

a

aab2

ba

ba3

r

rrr

rr

rrrr

rr4r

rsd4

V2

1

che scalarmente è espresso come:

x

y

x

P(x,y,z)

Γ ∞

z

z

y

r

x

y

xa

P(x,y,z) Γ

z

za

ya

ds A

ra r B

xb

yb

zb

rb



( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+−

−−+−−+−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−+−

−−+−−+−−•

•−−−−−+−−−−−−−−−−−

−−−−−+−−−−−−−−−−−

πΓ

=

2b

2b

2b

babbabbab2

a2

a2

a

aabaabaab

2abba

2abba

2abba

abbaabbaabba

zzyyxx

zzzzyyyyxxxx

zzyyxx

zzzzyyyyxxxx

yyxxyyxxzzxxzzxxzzyyzzyy

kyyxxyyxxjzzxxzzxxizzyyzzyy

4V

Esercizio 3.20 Considera un vortice semi infinito di intensità Γ allineato nella direzione dell’asse “x”, che si diparte da un ge‐nerico punto A(xa,ya,za). Verifica che la velocità indotta V(u,v,w) nel generico punto P(x,y,z) non ha componente nella direzione delle x, ed è data dalla formula (basta cosa accade nell’ esercizio pre‐cedente se si fa tendere il punto B all’infinito i )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−

−+•

−+−

−−−

πΓ

=2

a2

a2

a

a2

a2

a

aa

zzyyxx

xx1yyzz

kyyjzz4

V

Esercizio 3.21 Dai risultati degli esercizi 2.34 e 2.35 hai i mattoni necessari per costruirti una subroutine che ti calcola la velocità indotta (u,v,w) (x,y,z) da un vortice a staffa tridimensionale di intensità gamma (tra i punti A e B con i vortici liberi lungo x):

HSV_3D(gamma, xa, ya, za, xb, yb, zb, x, y, z, u, v, w)

Scrivi e valida la subroutine Esercizio 3.22 Dai risultati degli esercizi 2.34 e 2.35 hai i mattoni necessari per costruirti una subroutine che ti calcola la velo‐cità indotta (u,v,w) nel punto (x,y,z) da un vortice quadrangolare tridi‐mensionale di intensità gamma (tra i punti A B C,D ):

VRING_3D(gamma, xa, ya, za, xb, yb, zb, xc, yc, zc, xd, yd, zd, x, y, z, u, v, w) Scrivi e valida la subroutine

x

y

xa

P(x,y,z)

Γ

∞

z

za

ya

dsA

ra r

x

y

L/2

L/2

L/2

P

V ΓB

A

∞

∞



.3.9 METODO DELLE IMMAGINI PER L'ANALISI DELLE INTERFERENZE AERODINA

MICHE

Finora abbiamo considerato campi di moto attorno a corpi isolati, immersi in un fluido che si e‐stende all'infinito. Vi sono problemi di pratico interesse in cui è occorre studiare come corpi interferiscono sul cam‐po aerodinamico dell'uno sull'altro.

Esempi tipici: gli effetti della prossimità del suolo, o gli effetti di interferenza di una componen‐te di un velivolo su di un'altra (gondola motore ‐ ala; o ala ‐ fusoliera ecc.) o infine gli effetti delle pareti di un tunnel a vento sulle prestazioni di un modello.

Il metodo delle immagini è un strumento semplice per determinare tali fenomenologie. L'uso di software applicativi di matematica quali MAPLE o altri semplifica enormemente l'uti‐

lizzo di tale metodo. .3.9.1 Sorgente vicino a parete infinita

Nella figura (3.24) è illustrato il campo genera‐to da una sorgente (posta ad y=a ) in presenza di una parete piana (y=0). Si nota che la condizione di velocità normale nulla (v=0) da imporre sulla parete (y=0) è fa‐cilmente realizzabile osservando che tale effet‐to è equivalente a quello di introdurre una sorgente immagine di eguale intensità posta ad y = ‐a. Il triangolo di velocità mostrato in figura mo‐stra che tale sovrapposizione realizza in ogni punto del piano una velocità tangente al piano stesso. La funzione di corrente che descrive tale campo di moto è dato da:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−πσ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

πσ

=ψ −−−222

111

ayxxy2tan

2xaytan

xaytan

2 (3. 189)

Per differenziazione:

La velocità orizzontale lungo il piano (y=0) è data da: 22 axx2

2)0,x(u

+πσ

= (3. 190)

La velocità verticale (v(y)) lungo l'asse verticale x=0 è data da: 22 ayy2

2)y,0(v

−πσ

= (3. 191)

Si verifica che l'origine degli assi (0,0) è un punto di ristagno. E' facile verificare che se la sorgente è fisicamente libera da vincoli essa si muoverà con una velo‐cità verticale inizialmente pari a:

a21

2)y,0(v

πσ

= (3. 192)

Fig. (3. 24) Sorgente vicina a parete piana



Basta infatti considerare che: • una singolarità non induce velocità su se stessa • la velocità della sorgente, indotta dalla presenza della

parete, è pari a quella indotta dalla sua immagine. Il teorema di Bernoulli permetterà di calcolare la distri‐buzione di pressioni lungo il piano che genererà una for‐za finita che spinge il corpo verso l'alto. Questa configurazione è grossolanamente simile a quel‐la di una macchina a cuscino d'aria in cui un getto d'aria è diretto verso il suolo: la sovrapressione generata, con‐finata sotto il cuscino, genera la forza di sostentamento (in pratica converrebbe meglio simula‐re la macchina con una distribuzione di pannelli sorgenti). .3.9.3 Vortice vicino a parete infinita

Similmente al caso precedente, quando un vortice di intensità Γ è posto ad una distanza "a" vici‐no ad una parete infinita, la funzione di corrente è la somma di quella associata al vortice stesso ed alla sua immagine:

( ) ( ) ( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−+π

Γ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−−+

πΓ

=ψ 22

222222

ayxayxln

4ayxlnayxln

2 (3. 193)

In assenza di vincoli, il vortice si muoverà parallelamente al piano con una velocità pari a

( )a22πΓ velocità indotta da un vortice sull'altro (3. 194)

La configurazione può essere usata per calcolare gli effetti della vicinanza del suolo sulla capacità di portanza di un profilo alare. Se infatti sovrapponiamo alla funzione di corrente come sopra derivata, il contributo di una cor‐rente uniforme parallela alla parete (V∞ y) otteniamo:

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−+π

Γ+=ψ ∞ 22

22

ayxayxln

4yV (3. 195)

Da questa, per differenziazione possiamo calcolare le velocità sulla parete (y=0):

0v;ax

a22

Vu p22p =+π

Γ−= ∞ (3. 196)

Dal teorema di Bernoulli si può calcolare la distribuzione di pressione sulla parete:

22pp V

21pu

21p ∞∞ ρ+=ρ+ e quindi ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+πΓ

−+π

Γρ=− ∞∞ 2222p ax

a2

Vax

a22

pp (3. 197)

da cui, integrando rispetto a x, si ottiene la forza agente sulla parete che sarà ovviamente uguale ed opposta a quella agente sul vortice (portanza):

( ) ( ) ( )ΓΔ−ρ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∞Δ−Γρ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ πΓ−Γρ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π

Γ−Γρ=−= ∞∞

∞∞

∞∞

∞∞

+∞

∞−

∞∫ VVVV1V

Va41V

aV41VdxppL p (3. 198)

Osservando che il termine ( )a4V πΓ=Δ ∞ è proprio la velocità indotta sul vortice reale dal vortice

immagine, si comprende perché l'effetto suolo fa diminuire la capacità di portanza di un vortice :

MAPLE: σ=1



la presenza del suolo fa muovere il vortice in direzione opposta a quella della corrente, fa quindi diminuire la velocità relativa.

NOTA: per il caso dell'ala finita l'effetto suolo farà aumentare la portanza.

.3.9.3 Coppia di vortici vicino a parete infinita

Se una coppia di vortici uguali ma di circolazione opposta, è posta nelle vicinanze di una parete, ogni vortice si muoverà secondo le traiettorie indicate nella figura a causa delle velocità indotte nel centro del vortice dagli altri tre vortici. Questa configurazione è di interesse sia per quanto riguarda la fase instazionaria di avvio o di ar‐resto di una profilo alare, ma anche per l'effetto della prossimità del suolo sulla portanza di un'a‐la finita.

Esercizio 3.23 Come sarà il campo di moto di un vortice in uno spigolo retto?

MAPLE: Vortice vicino a parete(immagine) MAPLE: Vortice vicino a parete

(immagine)

MAPLE : coppia di vortici contro-rotanti

vicino a parete

MAPLE : Coppia divortici contro-rotanti

vicino a parete



.3.9.4 Corpo in effetto suolo Un altro esempio interessante è quello che deriva da una doppietta posta in una corrente uniforme in pros‐simità di una parete. Dalla composizione delle immagini risulta una confi‐gurazione del campo come a lato. Dall'analisi della figura risultano interessanti conclu‐sioni: • la prima deriva dal campo di moto distorto attorno

ad una forma che si discosta da quella di un cilindro • la seconda deriva dal considerare che, per poter simulare realmente un cilindro in presenza di

una parete occorrerà aggiungere altre singolarità (pozzi e sorgenti) e le loro immagini.

Fig. (3. 25) Corpo in effetto suolo



.3.10 SOLUZIONI POTENZIALI PER CAMPI ASSIALSIMMETRICI In questo caso conviene usare coordinate sferiche (r,θ,χ)

Nota: in letteratura si possono trovare notazioni differenti.

In genere in questo sistema, il vettore velocità V è rappre‐sentato come:

χχθθ ++= iViViVV rr (3. 199)

La sua divergenza è:

( ) ( ) ( )χ∂

∂

θ+

θ∂θ∂

θ+

∂∂

=•∇ χθ Vsinr1Vsin

sinr1

rVr

r1V r

2

2 (3. 200)

Il gradiente di una funzione scalare f è:

rf 1 f 1 ff i i ir r r sinθ χ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂θ θ ∂χ (3. 201)

Se si assume l’asse z come asse di simmetria, scompare la dipendenza dalla longitudine χ. In tal caso la continuità diventa:

( ) ( )2r2

1 1V r V sin V 0r r sinr θ

∂ ∂∇ • = + θ =

∂ θ ∂θ (3. 202)

Anche se non si tratta di un moto piano, il campo di moto sarà comunque bidimensionale (di‐pende da r e da θ). Si può verificare che esiste una funzione di corrente (potenziale scalare di Stokes) ψ(r,θ). Procediamo in modo casereccio: basta moltiplicare la (3.302) per “r2 sinθ ”, per avere:

( ) ( )2r

r

r sin V r sin V 0r θ

∂ψ∂ψ −∂∂θ

∂ ∂θ + θ =

∂ ∂θ (3. 203)

, Poniamo i termini differenziandi pari a derivate miste incrociate (con il segno contrario) della funzione di corrente ψ(r,θ). In tale modo la (3.203) soddisfa il teorema di Schwarz, ne segue la garanzia dell’esistenza della funzione di corrente ψ(r,θ):

2r r 2

1r sin V ovvero Vr sin

1r sin V ovvero Vr r sin rθ θ

∂ψ ∂ψ= θ =

∂θ θ ∂θ

∂ψ ∂ψ− = θ = −

∂ θ ∂

(3. 204)

Nota: in letteratura si può ritrovare un cambiamento di segno nelle derivate della (3.204) Ovviamente per il potenziale di velocità ϕ(r,θ) esisterà certamente data la irrotazionalità del campo e risulterà [ ]ϕ∇=V ovvero :

rVr ∂

ϕ∂= ;

1Vrθ

∂ϕ=

∂θ (3. 205)

Fig. (3. 26) Coordinate sferiche



La ricerca di soluzioni semplici particolari seguirà la falsariga di quanto fatto per i campi piani. Come al solito non si indicheranno le costanti di integrazioni. .3.10.1 Corrente uniforme nella direzione z

La rappresentazione pittorica, nella Fig. 3.27 ripropone il problema in una prospettiva diversa che meglio fa com‐prendere le considerazioni trigonometriche che portano, richiamando le (3.304), alle relazioni:

r 2

1W cos Vr sin∞

∂ψθ = =

θ ∂θ ; 1W sin V

r sin r∞ θ∂ψ

− θ = = −θ ∂

(3. 206)

Il sistema (3.206) può essere integrato facilmente per fornire l’espressione della funzione di cor‐rente di una corrente uniforme nella direzione dell’asse “z”:

( ) 2 21r, W r sin2 ∞ψ θ = θ (3. 207)

Analogamente si procede per il potenziale di velocità:

rVcosW r ∂

ϕ∂==θ∞ ;

θ∂ϕ∂

==θ− θ∞ r1VsinW (3. 208)

Integrando la (3.208) si ottiene l’espressione del potenziale di velocità di una corrente uniforme nella direzione dell’asse “z”:

( ) θ=θϕ ∞ cosrW,r (3. 209)

.3.10.3 Sorgente/Pozzo nell'origine

Per definizione questo campo di moto presenta velocità puramente radiali. Per considerazioni di simmetria, la componente radiale della velocità deve essere funzione sol‐tanto del raggio:

Vr = f ( r ) (3. 210)

Invece di imporre la solenoidalità, per ritrovare la f(r), facciamo il solito ragionamento fisico: La portata volumetrica della sorgente deve essere pari a quella che passa attraverso una qualsia‐si superficie che contiene la singolarità:

dSnVQS

•= ∫∫ (3. 211)

Se usiamo una superficie sferica con centro nella singolarità, il versore n coinciderà con il versore radiale i r , e l’elemento di superficie sarà dS = r2 dθdχ . La (3.211) diventa:

Fig. (3. 27) Coordinate sferiche in condizioni di simmetria assiale



( ) ( ) 2rQ V n dS V r d r sin d f (r) r sin d d= • = θ θ χ = θ χ θ∫∫ ∫∫ ∫∫ (3. 212)

La necessaria e logica indipendenza della Q dal raggio della sfera (3. 212) impone che sia:

f(r) = C/r2 (3. 213)

Effettuando l’integrazione della (3.212) con f(r) = C/r2, si ricava: C = Q/(4π) In definitiva si ricava per il campo di velocità:

r 2

QV ; V 04 r θ= =

π (3. 214)

Dalle (3.204 e 3.414) si ricava:

22r r4Q

sinr1V

π=

θ∂ψ∂

θ= ; 0

rsinr1V =

∂ψ∂

θ−=θ (3. 215)

Il sistema (3.215) può essere integrato semplicemente per fornire l’espressione della funzione di corrente per una sorgente/pozzo nell’origine:

( ) Qr, cos4

ψ θ = − θπ

(3. 216)

Si procede analogamente dalle (3.305) per il potenziale di velocità:

2r r4Q

rV

π=

∂ϕ∂

= ; 0r1V =

θ∂ϕ∂

=θ (3. 217)

Integrando il sistema (3.217) si ricava l’espressione del potenziale di velocità per una sorgen‐te/pozzo nell’origine:

( )r1

4Q,rπ

−=θϕ (3. 218)

.3.10.3 Doppietta di direzione –k nell'origine

Per questa singolarità, anche nel caso assialsimmetrico, sfrutteremo il concetto che la derivata di una soluzione laplaciana è una soluzione laplaciana, ed useremo l’espressione della componente della velocità di una sorgente nella direzione opposta all’asse della doppietta, i.e.:

[ ] rsorgente sorgenteV ( k) V k V cos• − − = • = θ

per costruire il potenziale di velocità della doppietta equivalente. Nella fattispecie richiamando la (3.217) si ha :

2r rcos

4QcosV θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=θ (3. 219)

Ponendo l’intensità della doppietta pari a “μ” , assumeremo per il potenziale di velocità della doppietta nell’origine:

( ) 2

cosr,4 rμ θ

ϕ θ = −π

(3. 220)



Dalle (3.205) risulta:

r 3

cosVr 2 r

∂ϕ μ θ= =

∂ π 3

1 sinVr 4 rθ

∂ϕ μ θ= =

∂θ π (3. 221)

Per calcolare la funzione di corrente dalle (3.204 e 3.221) ricaviamo:

r 2 3

1 cosVr sin 2 r

∂ψ μ θ= =

θ ∂θ π 3

1 sinVr sin r 4 rθ

∂ψ μ θ= − =

θ ∂ π (3. 222)

L’integrazione delle (3.222) fornisce l’espressione della funzione di corrente di una doppietta nell’origine:

( )2sinr,

4 rμ θ

ψ θ =π

(3. 223)

.3.11 COMBINAZIONI DI MOTI PER CAMPI ASSIALSIMMETRICI .3.11.1 Corpo semiinfinito Consideriamo la combinazione delle funzioni di correnti per: • Corrente uniforme nella direzione z , eq.

(3.307) • Sorgente nell'origine, eq. (3,216) Si ottiene

( ) 2 21 Qr, W r sin cos2 4∞ψ θ = θ − θ

π (3. 224)

Il potenziale di velocità f(r,q) si ottiene dalle (3.209 e 3.218):

( ) Qr, W r cos4 r∞ϕ θ = θ −

π (3. 225)

Dalla (3.225) si derivano facilmente le componenti del campo di velocità:

r 2

Q 1V W cosr 4 r∞

∂ϕ= = θ +

∂ π ;

1V W sinrθ ∞

∂ϕ= = − θ

∂θ (3. 226)

Il punto di ristagno (unica soluzione reale Vr = Vθ = 0 delle 2.326) sta nel punto

oQ 1, r4 W∞

θ = π =π

(3. 227)

In questo punto la funzione di corrente (3.224) vale per la seconda della (3.227):

Fig. (3. 28) Corpo se‐infinito assialsimmetrico



2rist. o o(dalla 2.226)

Q W r4

ψ = =π

(3. 228)

L'equazione del corpo è quindi (3.224 e 3.228):

2 2rist.

1 Q QW r sin cos2 4 4∞ θ − θ = ψ =

π π (3. 229)

Il raggio dell' asintoto, rasint = r sinθ, si ottiene riscrivendo la (3.229) come:

2 2asin t a sin t

1 Q Q QW r cos r (1 cos )2 4 4 2 W∞

∞

− θ = → = + θπ π π

(3. 230)

facendo il limite θ→0 della (3.230) si ricava:

asin tQ Qr 2W 4 W∞ ∞

= =π π

(3. 231)

Ovvero, richiamando la (3.327) si ottiene

rasint.=2 ro (3. 232)



.3.11.3 Sfera

Consideriamo la combinazione delle funzioni di correnti per: • Corrente uniforme nella direzione z , eq. (3.207) • Doppietta nell'origine di asse ‐k, eq. (3.223) Si ottiene:

( )2

2 2

32 2 2 2

3 3

1 sinr, W r sin2 4 r

1 2 1 1 RW r sin 1 W r sin 12 4 W r 2 r

∞

∞ ∞∞

μ θψ θ = θ − =

π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤μ

= θ − = θ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥π ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

(3. 233)

avendo posto: 3 1R2 W∞

μ=

π

Dalla (3.233) si ricavano per derivazione le componenti del campo di velocità:

2

r 2

1 RV W cos 1r sin r

⎡ ⎤∂ψ ⎛ ⎞= = θ −⎢ ⎥⎜ ⎟θ ∂θ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ;

31 1 RV W sin 2r sin r 2 rθ ∞

⎡ ⎤∂ψ ⎛ ⎞= − = θ +⎢ ⎥⎜ ⎟θ ∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (3. 234)

Sul corpo (r = R) si ricava gli andamenti:

0Vr = ; θ= ∞θ sinW23V ; θ−= 2

p sin491c (3. 235)

A lato i Fig. 3.29 gli andamenti sperimentali dei coefficienti di pressione per una sfera Esercizio 3.24 Dimostra che per una sfera portanza e resi‐stenza sono nulle. Esercizio 3.25 Dimostra che per una semisfera posta su di una parete, si ricava (area di riferimento: πR2/2):

CL=11/8 ; CD=0.

.3.11.3 Ellissoidi di rivoluzione E' possibile dimostrare (con l’uso delle variabili complesse) che la velocità superficiale su ellissoidi di rivoluzione di spessore relativo τ= a/b (τ=1 sfera) è:

( )θτ+θ

θ+=

θ

∞ 2221

cossin

sink1U

)(V (3. 236)

con k1 dato da:

Fig. (3. 29) Pressioni su di una sfera



τ 0 0.1 0.3 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 k1 0 0.02 0.06 0.1 0.15 0.31 0.36 0.32 0.38 0.44 0.5

.3.11.4 Sfera ruotante

I valori sperimentali di CL e CD , per una sfera ruo‐tante, validi per ReD=10

5 sono riportati nel grafico che segue. L’autore di queste note rinuncia a commentare le applicazioni, aeronautiche e sportive di questo fe‐nomeno.

Fig. (3. 30) Sfera ruotante



Fig. (3. 31) Coefficienti aerodinamici per una sfera ruotante

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Sfera di diametro D ruotante con velocità angolare ω

in una corrente con velocità U

CL ,

C D

Dω/(2U)

CL

CD



.3.12 CAMPI DI MOTO ATTORNO A CORPI NON PORTANTI

Consideriamo il problema della determinazione di campi di moti simmetrici, ovviamente non portanti. E’ ovvio che questi campi sono generati da corpi simmetrici posti simmetricamente in una corrente asintotica uniforme. .3.12.1 Rimeditazioni sulle proprietà dei campi non portanti Campi non portanti piani, stazionari , incompressibili e po‐tenziali, sono descrivibili da potenziali scalari (potenziale di

velocità ϕ e funzione di corrente ψ) che soddisfano l'equazione di Laplace.

Un problema di Laplace è completamente specificato dall'e‐quazione di campo:

∇2 f = 0 (3. 237)

e dalle condizioni su f da fissare su tutto il contorno (inter‐no(corpo) ed esterno). Nel caso più generale il contorno S potrà essere composto di vari tratti Si su cui possono specifi‐

carsi condizioni di vario tipo: • Condizioni alla Direchlet: tratti su cui f è fissata, • Condizioni alla Neumann: tratti in cui si fissa la derivata normale df/dn, • Condizioni miste (anche dette alla Robin): tratti in cui si fissa una combinazione: df/dn =

a + b f . Nel caso di problemi tipici di Aerodinamica, il volume V in cui è definito il Laplaciano, è quello compreso da due superfici, una esterna (di solito di estensione infinita) ed un'altra interna, che rappresenta il corpo. Un’alternativa alla risoluzione (numerica o analitica che sarà rimandata ai corsi a venire) del pro‐blema di Laplace si ricava dal notare che l'equazione di Laplace è una equazione lineare a deriva‐te parziali del secondo ordine. Il fatto che sia lineare è molto importante perché implica che la somma di soluzioni elementari è ancora una soluzione dell'equazione. Per esempio siano ϕ ϕ ϕ ϕ0 1 2, , , ......, , ...n n soluzioni distinte del Laplaciano; a causa della lineari‐tà dell’operatore, anche una loro combinazione lineare:

...a......aaa nn221100 +ϕ++ϕ+ϕ+ϕ=ϕ (3. 238)

sarà soluzione dell'equazione di Laplace. Se ne conclude che: ogni problema di flussi irrotazionali (potenziali) ed incompressibili può essere descritto som‐mando un certo numero di soluzioni di flussi elementari irrotazionali ed incompressibili che

soddisfano l'equazione di Laplace.

La combinazione è determinata in modo tale da soddisfare le condizioni al contorno e quelle ai limiti (i.e. non occorre verificare il soddisfacimento dell’equazione di campo).

Fig. (3. 32) Schema di un problema ellittico



Questa conclusione stabilisce, di fatto, la strategia che useremo in seguito :

• Ritrovare un certo numero di soluzioni elementari (che per se hanno scarso interesse) • Sommarle (sovrapporle) in modo tale da riuscire a descrivere problemi d’interesse reale.

Una volta ricavate le soluzioni elementari (i.e. corrente asintotica, sorgenti/pozzi, vortici, dop‐piette).

La tattica da usare è sovrapporle in modo tale da il soddisfare le condizioni al contorno/limiti. Per un tipico problema di Aerodinamica stazionaria (moto attorno ad un profilo) useremo sem‐pre un riferimento fisso rispetto al corpo, per cui il moto di un profilo in moto rispetto all'aria sarà equivale al moto di aria attorno ad un profilo fermo. Per questo problema si userà uno schema come nella figura, con la Superficie esterna che deve tendere all'infinito e con la superficie inter‐na che deve contornare il profilo. Condizioni all'infinito

Molto lontano dal corpo il flusso deve ten‐dere alla corrente uniforme (indisturbata). Se si assume (per ovvia comodità di rappre‐sentazione) che la velocità della corrente indisturbata sia allineata con l'asse delle "x", all'infinito avremo:

0xy

v

Vyx

u

=∂∂ψ

−=∂∂ϕ

=

=∂∂ψ

=∂∂ϕ

=

∞∞∞

∞∞∞

∞

(3. 239)

Queste rappresentano le condizioni che devono essere applicate ad una distanza “infinita” dal corpo in tutte le direzioni (sopra, sotto, a destra ed a sinistra del corpo della figura sopra riporta‐ta). Condizioni sul corpo

Se si assume che il corpo del profilo sia rigido ed impermeabile, è impossibile che il fluido penetri attraverso la superficie del corpo. D'altro canto avendo trascurato gli effetti della viscosità, non sarà possibile imporre che la velocità sul corpo sia nulla, per cui possiamo imporre soltanto la tangenza della velocità al corpo, cosa che equivale ad imporre che la componente normale della velocità sul corpo deve essere nulla:

( ) 0sn

nVcorpocorpo

corpo =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ψ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ϕ

=• (3. 240)

dove "s" è la direzione tangente al corpo. E' da notare che dalle proprietà della funzione di corrente ,ψ ,:

corpo sul costante0s corpo

=ψ→=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ψ

(3. 241)

per cui se il corpo è definito da una equazione del tipo yb = f(x), dovrà imporsi:

Fig. (3. 33) Condizioni al contorno per le velocità



.cost)x(fyycorpo b=ψ=ψ

== (3. 242)

Notiamo che il problema

• se definito in termini del potenziale di velocità sarà un problema di Neumann, • se definito in termini della funzione di corrente sarà, in genere, di Dirichlet o tipo misto.

Nel caso che il problema fosse trattato nelle variabili primitive (u,v) la condizione da imporre sul corpo viene ottenuta imponendo il corpo come linea di corrente:

byy

b

uv

dxdy

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (3. 243)

La tattica che useremo è la seguente:

1. useremo una soluzione base "ϕo " che corrisponde al moto base (corrente indisturbata),

2. useremo un certo numero di soluzioni elementari "ϕ i " che hanno la proprietà di produrre velocità che si annullano all'infinito,

3. la somma di tali soluzioni soddisferà automaticamente il laplaciano e condizione all'infini‐to,

4. le soluzioni dovranno quindi essere combinate in modo da soddisfare la condizione sul cor‐po,

5. A causa della proprietà di univocità della soluzione (vale solo per problemi lineari) tale com‐binazione (che soddisfa l'equazione e le condizioni al contorno) sarà la soluzione del proble‐ma.

Soluzioni numeriche piane per corpi non portanti, possono essere ottenute con una miriade di metodologie che possono dividersi in due tipologie: • La più rozza è di porre distribuzioni di singolarità nell’interno del corpo di cui si vuole simulare

il campo di moto indotto; ovviamente tali singolarità saranno poste sull’asse del corpo (per campi simmetrici)

• L’altra tecnica, che evolve verso il metodo degli elementi di contorno (BEM), pone le distribu‐zioni di singolarità sulla superficie del corpo.

.3.12.2 Il metodo delle doppiette

E' stato dimostrato, nelle sezioni pre‐cedenti, che la sovrapposizione ad una corrente uniforme: • di una sorgente simula un corpo

aperto (semi‐infinito), • di una sorgente e di un pozzo di

eguale intensità simula un corpo chiuso (ovale),

• di una doppietta simula un cilin‐dro.

E' lecito quindi immaginare che la so‐vrapposizione, ad una corrente unifor‐me, di una distribuzione di sorgenti e pozzi con intensità globale nulla (o di doppiette) può simu‐lare corpi chiusi di varie forme.

Fig. (3. 34) Dopppiette interne sull'asse del corpo



Consideriamo di sovrapporre ad una corrente uniforme lungo l’asse delle “x”, U∞ i , una distri‐buzione di doppiette di direzione i , e di intensità m(x) :

dM (x) =2π m(x) dx (3. 244)

la distribuzione è posta lungo l'asse delle x, nell'intervallo: a < x < b.

Le distanze tra il bordo di attacco e l'inizio della distribuzione di doppiette x=a , nonché la di‐stanza tra la fine della distribuzione di doppiette x=b ed il bordo di uscita devono essere non nulle (altrimenti le velocità ai bordi saranno infinite invece che nulle).

Tale sovrapposizione determinerà la forma di un corpo simmetrico rispetto all'asse delle x, come in Fig. (3.34). La quantità 2π m(x) sarà chiamata densità di doppietta, sicché l'intensità totale della distribu‐zione di doppiette sarà:

∫ π=b

adx)x(2 mΜ (3. 245)

Considerando la Fig. (3.34), si riconosce che le doppiette contenute in un intervallo dξ , localizza‐to ad una distanza ξ dall'origine, partecipano a formare la funzione di corrente ψ nel generico punto P(x,y) con un contributo dψ pari a:

22 z)x(dz)(

d+ξ−

ξξ−=ψm

(3. 246)

Per cui la funzione di corrente totale in P(x,y) , risultante dalla sovrapposizione, sarà:

b

2 2a

( ) z(x, y) V z d(x ) z∞

ξψ = − ξ

− ξ +∫m

(3. 247)

Ad ogni distribuzione m(ξ) corrisponderà un corpo chiuso la cui forma sarà descritta dalla funzio‐ne implicita ψ =0 ().

E' ovviamente di grande interesse il problema inverso: per un corpo di for‐ma definita, trovare la distribuzione m(ξ) che simuli il campo di moto intorno al corpo. Il problema inverso [assegnata la z(x) determinare la ψ(x,y)] richiede la solu‐zione di un’equazione integrale (3.247) per la m(ξ) a<ξ<b, la cui soluzione non è agevole analiticamente; più facile una simulazione numerica. Facendo riferi‐mento alla Fig. 3.35, dividiamo la regio‐ne delle doppiette a<x<b , in "N" seg‐menti di lunghezze “Δξj “ ed indichiamo con “mjΔξj “ l'intensità totale delle doppiette contenute

nel segmento "j", il cui centro è posto ad una distanza ξj dall'origine; (mj è preso costante

sull’intervallo Δξj e ne rappresenta la media della distribuzione); ovviamente mj varia da un

segmento all'altro).

Fig. (3. 35) Schema per il Metodo delle doppiette



Le doppiette contenute nel segmento "j" forniscono un contributo Δψj alla funzione di corren‐te in P(xp,zp), dato da (3.46, memo: le doppiette hanno direzione – i ):

2p

2jp

pjj z)x(

z

+ξ−

ξΔ−=ψΔ

m (3. 248)

In conclusione la (3.347) viene discretizzata dalla formulazione numerica (approssimata):

∑=

∞ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ξ−

ξΔ−=ψ

n

1j2

p2

jp

pjpp z)x(

zzV m (3. 249)

Se imponiamo che il corpo (chiuso) sia linea di corrente, la funzione di corrente deve essere nul‐la. Se assumiamo N doppiette abbiamo N incognite mj, e imponiamo che la (3.349) si annulli in "N" punti del corpo (di cui è disponibile la forma, i.e. la zp) In pratica abbiamo un problema alla Dirichlet, discretizzato da un sistema di "N" equazioni linea‐ri del tipo:

N1,..,i zVC i

N

1jjij =∀=∑

=∞m con

( )i

i j 2 2i j i

z C

x z

Δξ=

− ξ + (3. 250)

dove: • C i j rappresenta il contributo di una distribuzione di doppiette unitaria (mj=1) posta sul pan‐

nello (j) alla funzione di corrente nel punto Pi(xi ,zi) del corpo

• C i j è detto coefficiente di influenza della distribuzione di singolarità sul pannello “j” sulla

funzione di corrente nel punto di controllo del pannello “i”.

La (3.250) rappresenta un sistema di "N" equazioni nelle variabili m1, m2, ...., mn noti z1 , z2 ,…

zN:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

∞

∞

∞

nNNN22N11N

2NN2222121

1NN1212111

zVmC.......mCmC................................................

zVmC.......mCmCzVmC.......mCmC

(3. 251)

Il sistema (3. 51) essere risolto con un qualsiasi metodo numerico. Per N→ ∞ la soluzione "numerica" dovrebbe tendere a quella "esatta".

Una volta noti i valori delle mi , si potrà calcolare, mediante la (3.349), la funzione di corrente per ogni punto del corpo e dello spazio, e quindi, tramite derivazione, si possono determinare la velocità tangenziale sul corpo, ed infine, mediante il teorema di Bernoulli, la pressione sul corpo.

L’uso di tale metodologia, anche se semplice, è a volte frustrante a causa della dipendenza della soluzione dai parametri a scelta “a” e “b” che devono venere assunti a priori, e dal posiziona‐mento dei punti di controllo sulla superficie del corpo (arbitrario):

Al variare della scelte dei valori di a e b variano i risultati!

Scarso è inoltre il grado di convergenza: non sempre l’aumento delle incognite porta ad un reale miglioramento della soluzione essendo la matrice C i j non ben condizionata.



.3.12.3 Il metodo dei pannelli sorgenti

Un altro metodo che permette il cal‐colo di campo di moto attorno a cor‐pi, non portanti è il metodo dei pan‐nelli sorgenti, che, ha rivoluzionato l'aerodinamica applicata.

Viene ampiamente usato in industria, nelle forme e nelle estensioni più va‐rie.

Abbiamo già visto che il metodo delle doppiette prevede di determinare la distribuzione (incognita) di doppiette posta sull'asse del corpo (nel suo interno) che simuli il corpo.

Il metodo dei pannelli sorgente, si basa sull'assunzione di distribuire sul contorno del corpo una distribuzione di sorgenti/pozzi (secondo il segno) in modo tale che l'azione di queste singolarità sommate alla corrente indisturbata simuli la forma del corpo (ovvero generi delle velocità tan‐genti al corpo). Ovviamente assumeremo che il contorno del corpo sia cosparso di una distribuzione di sorgenti σ(s)=dQ/ds , sicché un segmento infinitesimo di superficie di lunghezza "ds" contribuirà a fornire un contributo "dϕ" al potenziale di velocità in un punto P(x,y) distante "R" da "ds" dato da (3.35):

dsd ln(R)2

σϕ =

π (3. 252)

Il potenziale di velocità completo in P(x,y) sarà dato da:

ds)Rln(2

)y,x(Corpo

πσ

=ϕ ∫ (3. 253)

Ricopriamo il corpo di una distribuzione di singolarità σ(s) e ci poniamoci il problema di trovare la distribuzione q(s) che, sommata ad una corrente uniforme, simili il corpo, i.e. renda il corpo linea di corrente. Consideriamo un corpo bidimensionale e pannelliamo il suo contorno con una rete di "N" pannel‐li sorgenti di differente lunghezza "sj" e differente intensità "σ j” che assumiamo costanti su ogni pannello (ma variabili da un pannello all'altro). Vi sono quindi un totale di "N" pannelli le cui intensità di distribuzioni di sorgenti per unità di lunghezza, sono:

Nj2 ,........,,........,, σσσσ

Queste N incognite sono soggette esclusivamente al vincolo che la somma totale delle sorgenti e dei pozzi sia nulla: i.e.

∑=

=σN

1jjj 0s ( sj essendo la lunghezza del pannello) affinché il corpo sia chiuso.

Fig. (3. 36) Schema Metodo pannelli sorgenti



La determinazione delle intensità σ j viene fatta imponendo che il corpo, se immerso nella cor‐rente uniforme, risulti linea di corrente.

E' quindi la condizione al contorno di tangenza al corpo [della risultante della velocità indotta dalla superficie sorgente e della velocità asintotica] che determina la equazione di campo per l'individuazione delle N incognite σ j : è un problema alla Neuman. a (3.354) rappresenta una equazione integrale, invero questa viene discre‐tizzata imponendo la condizione di tangenza in "N" punti di controllo scelti, di solito, come i punti mediani di ogni pannello.

Dovreste aver capito che il segreto è sempre lo stesso: determinare, in qualche modo, tante equazioni quante sono le incognite

Sia P un punto di coordinate (x,y) e sia Rpj la distanza di un punto qualsiasi del "j.mo" pannello

da P:

( ) ( )2j

2jpj yyxxR −+−= (3. 254)

qui (xj ,yj ) sono le coordinate di un punto qualsiasi del pannello "j".

Il potenziale di velocità indotto in P dal pannello "j" è:

( )∫π

σ=ϕΔ

jjpj

jj dsRln

2 (3. 255)

Da notare che in quest’equazione l’incognita, σi , compare al di fuori dell'integrale perché è co‐

stante sul pannello. Il potenziale di velocità indotto in P da tutti i pannelli è dato dalla somma:

( )∫∑∑ π

σ=ϕΔ=ϕ

== jjpj

jn

1jj

n

1j

dsRln2

)P( (3. 256)

Se imponiamo P essere il punto di controllo del pannello "i" che ha coordinate (xi , yi ) l'equazio‐

ne diventa:

( )∫∑ π

σ=ϕ

= jjij

jn

1jii dsRln

2)y,x( con: ( ) ( )2ji

2jiij yyxxR −+−= (3. 257)

Questa equazione rappresenta l'influenza di tutti gli (N) pannelli del profilo al potenziale di ve‐locità ϕ calcolato nel punto di controllo del pannello "i". La condizione di tangenza (problema alla Neumann) si applica imponendo che la velocità risul‐tante (della velocità asintotica e di quella indotta) abbia componente normale nulla:

Fig. (3. 37) Schema pannello indicente su mezzeria del pannello indotto



0VV nn, =+∞ (3. 258)

ovvero , indicando con ni il versore normale (uscente) al pannello "i" , risulta:

i

iinin, n

)y,x(V ; cosVVV

∂∂ϕ

=β=•= ∞∞∞ n (3. 259)

Nota che nel fare la derivata comparirà un Rij al denominatore della velocità indotta, sicché esi‐

sterà un punto singolare allorquando sia "i" = "j" , cui corrisponde Rij=0.

Può essere dimostrato che il contributo di tale derivata è pari a σi / 2 sicché si può enucleare il

calcolo della velocità indotta da un pannello su se stesso dalla sommatoria:

( )∫∑ ∂

∂

π

σ+

σ=

≠= j

ji

ijN

)ji(1j

jin ds

nRln

22V (3. 260)

In definitiva la condizione al contorno determina l'equazione fondamentale del metodo dei pan‐nelli sorgenti come:

( )i

jj

i

ijN

)ji(1j

ji cosVdsnRln

22β−=

∂

∂

π

σ+

σ∞

≠=

∫∑ (3. 261)

Con la notazione:

( )∫ ∂

∂

π=

jj

i

ijj,i ds

nRln

21N (3. 262)

Ni,j rappresenta il coefficiente di influenza del pannello “j” sulla velocità normale del punto di controllo del pannello “i” , l'equazione (3.361) prende una forma più umana:

ijijij,i

N

)ji(1j

ji bCovverocosVN

2=σβ−=σ+

σ∞

≠=∑ (3. 263)

La (3.363 ci fa comprendere che in fondo si tratta soltanto di risolvere un sistema di "N" equazio‐ni algebriche nelle "N" incognite Nj21 ,........,,........,, σσσσ che può essere fatto con un qualsiasi me‐

todo convenzionale di calcolo numerico. Una volta ottenuta la soluzione, le velocità sul corpo (che saranno per definizione coincidenti con le componenti tangenti) potranno essere calcolate come somma dei contributi derivanti dal‐la corrente uniforme e da quella indotta:

ij

n

)ji(1j

jist,t TsinVVVV ∑≠

=∞∞ σ+β−=+= (3. 264)

dove Ti,j che rappresenta il coefficiente di influenza del pannello “j” sulla velocità tangenziale del punto di controllo del pannello “i” è dato da:

( )∫ ∂

∂

π=

jj

i

ijij ds

sRln

21T (3. 265)

Da notare che è scomparso il contributo alla velocità tangenziale di un pannello su se stesso: a parte la prova matematica, si può facilmente intuire, da un punto di vista fisico, che un pannello



sorgente emette flusso di volume dalla sua superficie verso l'esterno e verso l'interno, in una di‐rezione perpendicolare alla tangente al pannello stesso. Una volta calcolate le velocità superficiali, il coefficiente di pressione superficiale, per ogni pan‐nello, si determina facilmente come:

2i

i,p VV

1c ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∞

(3. 266)

L'accuratezza del metodo dei pannelli sorgenti è sorprendentemente buona, un cilindro può es‐sere bene approssimato con solo 8 pannelli, mentre per profili alari 50 a 100 pannelli riescono a dare ottimi risultati. Ovviamente è buona regola infittire i pannelli nelle zone in cui la curvatura è maggiore (vedi bor‐di di attacco). Nota: i metodi a pannelli di tutti i tipi si basano sulla risoluzione di un sistema algebrico definito dal‐la matrice Ni,j ed un termine noto bj , la cui risoluzione fornisce la determinazione dei parametri incogniti χi . Questi permettono di ritrovare la soluzione per mezzo della matrice Ti,j Il vero problema sta quindi nella determinazione delle matrici Ni,j e Ti,j . Talvolta non è semplice. Lo studente troverà nell’appendice Pansor, utili suggerimenti ed approfondimenti. Progetto n.3 Programma PANSOR Scrivere ed operare un codice di calcolo basato su pannelli sorgenti per la determinazione del campo di moto attorno a corpi simmetrici non portanti bidimensionali. Esercizio 3.26 Calcolare i valori del coefficiente di pressione per un cilindro piano discretizzato con N=8 pannelli e confrontarli con quelli esatti. Ripetere l'esercizio incrementando il valore di N. Esercizio 3.27 Calcolare il profilo NACA 0012, e confrontare i risultati ottenuti per la distribuzione superficiale di velocità (V/V∞) con quelli riportati nel testo di ABBOTT.



CHECK OUT

E' tempo delle verifiche: lo studente diligente dovrebbe essere capace di e consapevole dei/delle:

1. Saper gestire coordinate cartesiane, polari e sferiche, 2. Significati e proprietà dei potenziali ϕ e ψ e loro collegamenti con il campo di velocità, 3. Soluzioni elementari per campi piani, 4. Distribuzioni delle soluzioni elementari, 5. Sovrapposizione delle soluzioni elementari, 6. Campo di moto attorno ad un cilindro con circolazione, 7. Operare il software MAPLE o equivalente, 8. Teorema di Kutta‐Joukowsky, 9. Vortici tri‐dimensionali, 10. Legge di Biot‐Savart, 11. Massa apparente, 12. Diedri piani, 13. Metodo delle immagini, 14. Soluzioni per campi assialsimmetrici, 15. Metodologie di soluzione per campi attorno a corpi non portanti, 16. Operare con il codice PANSOR.

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