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Universitesto

D.L. Ferrario

Appunti di

Geometria 1

© D.L. Ferrario, -

Appunti del corso di Geometria I (A.A. 2013/2014)D.L. FerrarioDipartimento di Matematica e ApplicazioniUniversità di Milano-Bicocca

[Versione preliminare del 2014-05-30]

PREMESSA

Queste sono le note per il corso di Geometria I (primo anno del CdLin Matematica), tenuto nel secondo semestre dell’A.A. 2013/2014 pressoil Dipartimento di Matematica e Applicazioni dell’Università di Milano-Bicocca. Gli argomenti presentati a lezione sono riassunti in modo moltoschematico (e approssimativo nonché non esente da errori di varia natura*);approssimativamente ogni settimana viene presentato un elenco di eserciziassegnati (facoltativi ma fortemente consigliati). Tra questi ce ne sarannoalcuni da risolvere in gruppi di studio e da consegnare per ottenere unbonus di punti all’esame. La parte teorica di queste note non può essereconsiderata un testo su cui studiare, ma solo un compendio abbastanza det-tagliato degli argomenti affrontati. Lo studio deve essere necessariamentesvolto sui libri consigliati (o sui numerosi volumi presenti in letteraturae in biblioteca dedicati a questi argomenti) e sui propri appunti, possi-bilmente confrontando quanto si legge con quanto presentato in queste note.Gli esercizi proposti settimanalmente possono essere semplici, di mediadifficoltà, oppure presentare difficoltà significative (questi esercizi sonosegnalati in genere con uno o più asterischi). A volte l’asterisco segnalasemplicemente l’importanza dell’argomento affrontato nell’esercizio. Neltempo le note sono state e saranno modificate, corrette e integrate, percui si consiglia verso la fine del corso di ristampare o di controllare lanuova versione.

Milano, 2014-05-30

D.L. Ferrario

*A proposito di errori: la segnalazione di errori (a lezione, ricevimento, esercita-zione o tutoraggio) è ben accetta. Sia di quelli che potrebbero essere stati inseritiinvolontariamente che quelli volontari.

i

ii

[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30

http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014

INDICE

1 Richiami, aperti di spazi metrici 1§ 1 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

§ 1.1 Richiami di logica matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1§ 1.2 Richiami di teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

§ 2 Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§ 2.1 Proprietà dei sottoinsiemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Chiusi e topologie 13§ 3 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13§ 4 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§ 4.1 Base di una topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19§ 4.2 Topologia indotta (topologia dei sottospazi, sottospazi topologici) . . . . . . . . . . . 20§ 4.3 Opzionale: Contare le topologie finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Omeomorfismi, topologia prodotto e topologia quoziente 25§ 5 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25§ 6 Topologia prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§ 7 Spazi di identificazione e topologie quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Compattezza 41§ 8 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

§ 8.1 Spazi di funzioni e convergenza puntuale (opzionale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Compattezza negli spazi euclidei 57§ 9 Compattezza in spazi metrici ed euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57§ 10 Spazi metrici completi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

§ 10.1 Opzionale: costruzione di R (Cantor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

iii

iv INDICE

6 Connessione 73§ 11 Spazi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

§ 11.1 Spazi connessi per archi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81§ 11.2 Opzionale: construzione di R (Dedekind) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Gruppi di trasformazioni 93§ 12 Gruppi di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93§ 13 Gruppi di trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8 Spazi affini 117§ 14 Spazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117§ 15 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

§ 15.1 Opzionale: piani affini finiti e quadrati latini, greco-latini e magici . . . . . . . . . . . 127Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9 Trasformazioni affini, incidenza e parallelismo 139§ 16 Mappe affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139§ 17 Incidenza e parallelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

§ 17.1 Proiezioni parallele e non dello spazio su un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10 Spazi euclidei e isometrie 155§ 18 Spazi affini euclidei e isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155§ 19 Angoli e proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

§ 19.1 Area e volume negli spazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11 Spazi proiettivi e proiettività 179§ 20 Spazi proiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

§ 20.1 Isomorfismi proiettivi e proiettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185§ 20.2 Incidenza di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A Alcuni esercizi svolti 195§ 1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195§ 2 Seconda parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213§ 3 Alcuni œrrori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

B Temi d’esame 243§ 4 A.A. 2012-13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243§ 5 A.A. 2011-12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251§ 6 A.A. 2010-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259§ 7 A.A. 2009-10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266



INDICE v

Bibliografia 275

Indice analitico 277



vi INDICE



Settimana N° 1

RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI

§ 1. RICHIAMI

§ 1.1. RICHIAMI DI LOGICA MATEMATICA

(Cfr.)*Definire cos’è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La

definizione è data in termini di una proprietà dell’enunciato: l’essere vero o falso (logica bivalente). Dunquesi assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità scelto tra i due: vero oppure falso. Sistemi logicipiù completi possono averne altri (indeterminato, per esempio).

Variabili: Lettere dell’alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apici o pedici): A,x, B1, j, …Assegnamento di valore alle variabili.

Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuove proposizioni a partireda proposizioni date.

- negazione: ¬p.

- congiunzione (AND): p∧ q.

- disgiunzione (OR, p vel q): p∨ q.

- disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) : p ⊕ q.

- implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q):p =⇒ q.

- doppia implicazione (se e solo se): p ⇐⇒ q.

Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q, …assumo valori di verità 0/1, è possibiledefinire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità.

*Cfr: M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal calcolo all’analisi, Apogeo, 2006. Cap. ℵ.

1

2 #1. RICHIAMI, APERTI DI SPAZI METRICI

p ¬p1 00 1

p q p∧ q1 1 10 1 01 0 00 0 0

p q p∨ q1 1 10 1 11 0 10 0 0

p q p XOR q1 1 00 1 11 0 10 0 0

p q p =⇒ q1 1 10 1 11 0 00 0 1

p q p ⇐⇒ q1 1 10 1 01 0 00 0 1

Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r, …si costruiscono espres-sioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni), utilizzando le parentesi peresplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sono sempre vere (cioè assumono valore di verità1 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false(cioè assumono valore di verità 0 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni.Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e B sono equivalenti se esolo se A ⇐⇒ B è una tautologia.

Le seguenti sono tautologie:

(i) A∨¬A (terzo escluso);

(ii) ¬(A∧¬A) (non contraddizione);

(iii) ¬(¬A) ⇐⇒ A (doppia negazione);

(iv) A∧ A ⇐⇒ A, A∨ A ⇐⇒ A;

(v) A∨ B ⇐⇒ B ∨ A, A∧ B ⇐⇒ B ∧ A (commutatività);

(vi) associatività:

(A∨ B) ∨C ⇐⇒ A∨ (B ∨C);

(A∧ B) ∧C ⇐⇒ A∧ (B ∧C);

(vii) Leggi distributive:

A∧ (B ∨C) ⇐⇒ (A∧ B) ∨ (A∧C);

A∨ (B ∧C) ⇐⇒ (A∨ B) ∧ (A∨C);

(viii) Leggi di de Morgan:

¬(A∧ B) ⇐⇒ ¬A∨¬B;

¬(A∨ B) ⇐⇒ ¬B ∧¬A;

Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi di sillogismi,riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni.

(i) (A∧ B) =⇒ A;



§ 1. RICHIAMI 3

(ii) (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo);

(iii) (A =⇒ B) ∧ A =⇒ B (modus ponens);

(iv) (A =⇒ B) ∧¬B =⇒ ¬A (modus tollens);

(v) (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C) (modus barbara, sillogismo ipotetico);

(vi) ((A∨ B) ∧¬A) =⇒ B (sillogismo disgiuntivo).

Predicati: Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate (variabililibere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciato aperto.

Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Se ci sono piùvariabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valore assegnate oppure quantificateda un quantificatore si dicono vincolate.

- Quantificatore universale: ∀ (per ogni, per tutti).Uso: ∀x, p(x).

Significato: Per ogni x (nell’universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p).Anche: ∀x ∈ U, p(x).

- Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste, esiste almeno un x).

Uso: ∃x : p(x).

Significato: Esiste almeno un x (nell’universo U) per cui la proprietà p(x) è vera (cioè x gode dellaproprietà p). Anche: ∃x ∈ U : p(x).

- ¬(∀x, p(x)) ⇐⇒ ∃x : ¬p(x) (principio di negazione).

- ¬(∃x : p(x)) ⇐⇒ ∀x,¬p(x) (principio di negazione).

- ∀x,∀y, p(x, y) ⇐⇒ ∀y,∀, xp(x, y) (principio di scambio).

- ∃x : ∃y : p(x, y) ⇐⇒ ∃y : ∃ : xp(x, y) (principio di scambio).

- ∃x : ∀y, p(x, y) =⇒ ∀y,∃x : p(x, y) (principio di scambio).

§ 1.2. RICHIAMI DI TEORIA DEGLI INSIEMI

(Cfr.)*Concetti primitivi (non definiti):

- Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia).

- Relazione di appartenenza: x ∈ X, x ∈ X.

*Cfr: Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).




In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi* si definisce un insieme come collezione dioggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire se x = y oppure x = y). Si assumonoanche i seguenti principi:

(i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.

(ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzione che gli elementidi A sono esattamente gli “oggetti” x per cui P(x) è vera:

A = x : p(x).

(iii) Assioma della …Estensioni di questa notazione:

x ∈ A : p(x) Esempio: x ∈ R : x ≥ 4 f (x) : p(x) Esempio: x2 : x ∈ Z

1, 2, 3, 1, 2Insieme vuoto†: ∅.Relazioni tra insiemi:- (Inclusione) A ⊂ B (anche A ⊆ B): se x ∈ A implica x ∈ B. A è un sottoinsieme di B.

- A ⊃ B: se B ⊂ A.

- A = B se e solo se (A ⊂ B) e (B ⊂ A).Operazioni con gli insiemi:- Unione A∪ B = x : x ∈ A∨ x ∈ B.

- Intersezione A∩ B = x : x ∈ A∧ x ∈ B (due insiemi sono disgiunti quando A∩ B = ∅).

- Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A × B = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B = (a, b) : a ∈A∧ b ∈ B.

- Complemento di A in B ⊃ A (differenza tra insiemi): A′(= Ac = B ∖ A) = x ∈ B : x ∈ A.

- Insieme delle parti:P(X) = 2X = l’insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l’insieme delle funzioni f : X →0, 1).

Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria∑

può essere usato perdefinire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezione possono essere usati perfamiglie di insiemi. Siano J eU due insiemi non vuoti e f : J → 2U una funzione. Per ogni i ∈ J , il sottoinsiemef (i) ∈ 2U può anche essere denotato con Xi , per esempio (cf. successioni xi vs. funzioni x = f (i)).

-∪i∈J

Xi := x ∈ U : (∃i ∈ I : x ∈ Xi), o equivalentemente‡

*G. Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere il criterio per stabilire cosa èun insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi (contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901):sia X l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x ∈ x); se X appartienea se stesso, X ∈ X, allora per definizione X ∈ X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa…

†Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S’intende che questo viene scelto – e sottinteso – indipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali, …

‡Si noti l’uso del simbolo “:=” usato per le definizioni o gli assegnamenti.



§ 2. SPAZI METRICI E CONTINUITÀ: TOPOLOGIA DEGLI SPAZI METRICI 5

∪i∈J Xi := x ∈ U : x ∈ Xi per qualche i ∈ I.

-∩i∈J

Xi := x ∈ U : (∀i ∈ J , x ∈ Xi), o equivalentemente∩i∈J Xi := x ∈ U : x ∈ Xi per tutti gli i ∈ J.

In ultimo, si ricordi che una funzione f : X → Y si dice iniettiva se ∀x ∈ X,∀y ∈ Y , (x = y =⇒ f (x) =f (q)), suriettiva se ∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : f (x) = y, bijettiva (biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva.

(1.1) Definizione. Sia f : X → Y una funzione. Se B ⊂ Y è un sottoinsieme di Y , la controimmagine di B è

f −1(B) = x ∈ X : f (x) ∈ B.

§ 2. SPAZI METRICI E CONTINUITÀ: TOPOLOGIA DEGLI SPAZI METRICI

(Cfr.)*Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici.

(2.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione d : X × X → R tale che perogni x1, x2, x3 ∈ X:

(i) ∀x1,∀x2, d(x1, x2) ≥ 0 e d(x1, x2) = 0 se e solo se x1 = x2.

(ii) Simmetria: d(x1, x2) = d(x2, x1).

(iii) Disuguaglianza triangolare: d(x1, x3) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3).

La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti.

(2.2) Esempio. Metrica su R: d : R ×R→ R, d(x, y) = |x − y|, ha le proprietà che per ogni x, y ∈ R

(i) |x − y| ≥ 0 e |x − y| = 0 ⇐⇒ x = y.

(ii) |x − y| = |y − x|.

(iii) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.

Importante concetto associato al concetto di metrica e di distanza:

(2.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x0 ∈ X (X spazio metrico):

Br(x0) = x ∈ X : d(x, x0) < r.

(Anche più esplicitamente Br(x0, X))*Cfr: Cap I, §1; Sernesi Vol II [1].




(2.4) Nota. Una funzione f : A ⊂ R → R è continua nel punto x ∈ A se per ogni ϵ > 0 esiste un δ > 0 taleche |x − y| < δ =⇒ | f (x) − f (y)| < ϵ . Cioè, equivalentemente, f è continua in x ∈ R se per ogni ϵ > 0 esisteδ > 0 tale che y ∈ Bδ(x) =⇒ f (y) ∈ Bϵ ( f (x)), cioè

f (Bδ(x)) ⊂ Bϵ ( f (x)).

In generale, f : A→ R è continua in A ⊂ R se è continua per ogni x ∈ A, cioè se per ogni ϵ > 0 e per ognix ∈ A esiste δ (dipendente da ϵ e x) tale che f (Bδ(x)) ⊂ Bϵ ( f (x)).

Dal momento che f (U) ⊂ V ⇐⇒ U ⊂ f −1V (esercizio (1.7) a pagina 11), la funzione f è continua inx ∈ A se e solo se per ogni ϵ > 0 esiste δ (dipendente da ϵ) tale che Bδ(x) ⊂ f −1 (Bϵ ( f (x))).

(2.5) Definizione. Un sottoinsieme* U di uno spazio metrico X si dice intorno di un punto x ∈ U se contieneun intorno circolare di x, cioè se esiste δ > 0 tale che

Bδ(x) ⊂ U

Se U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U.

(2.6) Nota. Se U è un intorno di x e U ⊂ V , allora V è un intorno di x.

Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f −1(Bϵ ( f (x))) di ogniintorno circolare di f (x) è un intorno di x. Notiamo anche il fatto importante che una palla è intorno di ognisuo punto (esercizio (1.10) a pagina 11).

(2.7) Se f : A ⊂ X → Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla Br(y) in Y (intervallo!) èintorno di ogni suo punto.

Dim. Se x ∈ f −1Bϵ (y), cioè f (x) ∈ Bϵ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cui Br( f (x)) ⊂ Bϵ (y). Dalmomento che f è continua in x, f −1(Br( f (x))) è intorno di x. Ma

Br( f (x)) ⊂ Bϵ (y) =⇒ f −1 (Br( f (x))) ⊂ f −1 (Bϵ (y))

e quindi f −1 (Bϵ (y)) è un intorno di x. ⨳

(2.8) Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio metrico si dice aperto se è intorno di ogni suo punto(equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenuto in A, o, equivalentemente, ognipunto di A ha un intorno tutto contenuto in A).

(2.9) Una palla aperta Br(x) è un aperto.

Dim. (Esercizio (1.10) di pagina 11) ⨳

(2.10) Una funzione f : X → Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X di ogni palla Br(y)di Y è un aperto.

Dim. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmagine di ogni palla è unaperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni palla Br(y) è un aperto. Allora, per ogni x ∈ Xe per ogni ϵ > 0

f −1 (Bϵ ( f (x)))

è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni x e ϵ esiste δ > 0tale che Bδ(x) ⊂ f −1 (Bϵ ( f (x))), cioè f è continua. ⨳

*U può non essere aperto…




§ 2.1. PROPRIETÀ DEI SOTTOINSIEMI APERTI

Se A ⊂ X è aperto, allora per ogni x ∈ A esiste r = r(x) > 0 tale che Br(x) ⊂ A, e quindi A è unione di(anche infinite) palle aperte

A =∪x∈A

Br(x)(x).

Viceversa, si può mostrare che l’unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindi vale:

(2.11) Un sottoinsieme A ⊂ X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle).

(2.12) Corollario. L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.

(2.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzano null’altro che pro-prietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono in generale per spazi metrici, le medesimeproposizioni valgono per spazi metrici.

(2.14) Sia X uno spazio metrico. Allora l’insieme vuoto e X sono aperti.

(2.15) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l’intersezione A∩ B è un aperto.

Dim. Sia x ∈ A∩ B. Dato che A e B sono aperti, esistono rA e rB > 0 tali che

BrA(x) ⊂ A e BrB(x) ⊂ B.

Sia r il minimo tra rA e rB: Br ⊂ BrA , Br ⊂ BrB , e quindi Br ⊂ A∧ Br ⊂ B(⇐⇒ Br ⊂ A∩ B). Quindi A∩ B èintorno di x e la tesi segue dall’arbitrarietà di x. ⨳

Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell’insieme delle parti A ⊂ 2X checonsiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X.

(2.16) L’insiemeA di tutti gli aperti (secondo la definizione (2.8) di pagina 6) di uno spazio metrico X verificale seguenti proprietà:

(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,

(ii) B ⊂ A =⇒ ∪B∈B B ∈ A,

(iii) B ⊂ A, B è finito, allora∩

B∈B B ∈ A.

(2.17) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X:

(i) Ogni elemento x ∈ X ha almeno un intorno (aperto) B ∋ x.

(ii) L’intersezione di due intorni circolari B1 ∩ B2 è un aperto, e quindi per ogni x ∈ B1 ∩ B2 esiste un terzointorno circolare B di x per cui x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2.

(2.18) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famigliaA di tutti i sottoinsiemi aperti definitapoco sopra. Si dice anche che A è la topologia di X generata dagli intorni circolari (definiti a partire dallametrica).

(X, d) 7→ (X, d,A)




Si possono riassumere tutti i fatti visti sulle funzioni continue nel seguente teorema.

(2.19) Teorema. Una funzione f : X → Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmagine di ogniaperto di Y è un aperto di X.

Dim. Sia V un aperto di Y . Allora è unione di intorni circolari B j := Br j (y j)

V =∪j∈J

B j

e dunque la sua controimmagine

f −1V = f −1

∪j∈J

B j

=∪j∈J

f −1B j

è unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Y è un aperto di X,allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare diY è un aperto di X, e quindi f è continua. ⨳

La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famiglie di aperti deglispazi in considerazione, e non dal valore della metrica.

Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere le famiglie diaperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che due metriche sono equivalentise inducono la stessa topologia.

(2.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti se inducono la stessatopologia su X.

(2.21) Due metriche d e d′ su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: per ogni x ∈ Xe per ogni palla Bd

r (x) (nella metrica d) esiste r′ > 0 tale che Bd′r′ (x) ⊂ Bd

r (x) (dove Bd′r′ (x) è la palla nella

metrica d′) e, viceversa, per ogni r′ e x esiste r tale che Bdr (x) ⊂ Bd′

r′ (x).

Dim. Supponiamo che le due metriche d e d′ siano equivalenti e siano x e r > 0 dati. Per (2.9) la palla Bdr (x)

è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologia indotta da d′: pertanto esiste r′ tale cheBd′

r′ (x) ⊂ Bdr (x). Analogamente se si scambia il ruolo di d e d′. Viceversa, supponiamo A aperto secondo la

topologia indotta da d. Per ogni x ∈ A esiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale che

Bdr (x) ⊂ A,

ed un corrispondente r′ > 0 tale cheBd′

r′ (x) ⊂ Bdr (x).

Cioè, per ogni x esiste r′ = r′(x) > 0 tale che

Bd′r′ (x) ⊂ A,

e quindi A è aperto nella topologia indotta da d′. Analogamente, ogni aperto nella topologia indotta da d′ èanche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono. ⨳

(2.22) Esempio. Esempi di metriche su R2:




(i) d(x, y) =√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 = |x − y| (metrica euclidea).

(ii) d(x, y) =

0 se x = y1 altrimenti

(metrica discreta).

(iii) d(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|.

(iv) d(x, y) = maxi=1,2|xi − yi |.

(v) d(x, y) = mini=1,2|xi − yi | (?).

(vi) d(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)

2 (?).

(2.23) Esempio. Sia p ∈N un primo ≥ 2. Sappiamo che ogni intero n ∈ Z ha una decomposizione in fattoriprimi, per cui esiste unico l’esponente α per cui n = pαk, dove l’intero k non contiene il fattore primo p. Siconsideri in Z la funzione | · |p definita da

|pαk|p = p−α

ogni volta che k è primo con p, e |n|p = 0 quando n = 0. Sia quindi d : Z ×Z → Q ⊂ R la funzione definitada d(x, y) = |x − y|p. Si può vedere che è una metrica su Z (perché?).

(2.24) Esempio. Consideriamo la funzione f : R2 → R, definita da

f (x, y) =

x|y|

x2 + y2 se (x, y) = (0, 0);

0 se (x, y) = (0, 0).

Osserviamo che per ogni x0 ∈ R la funzione

f (x0,−) : R→ R

è continua, e che per ogni y0 ∈ R la funzione

f (−, y0) : R→ R

è continua. Si può dedurre che la funzione f è continua, quindi? Se f fosse continua, dovrebbe essere continuaanche la funzione

φ(t) = f (t, t) =t|t|2t2=

t2|t| ,

che continua non è, malgrado le apparenze.




ESERCIZI

(1.1) Dimostrare che:

(i) L’insieme vuoto ∅ è unico.

(ii) per ogni insieme A, ∅ ⊂ A.

(iii) per ogni insieme A, A ⊂ A.

(iv) per ogni insieme A, A = A∪ ∅.

(1.2) Dimostrare che se A, B, C e X sono insiemi arbitrari:

(i) A∪ B = B ∪ A.

(ii) A∩ B = B ∩ A.

(iii) (A∪ B) ∪C = A∪ (B ∪C).

(iv) (A∩ B) ∩C = A∩ (B ∩C).

(v) A∪ (B ∩C) = (A∪ B) ∩ (A∪C).

(vi) A∩ (B ∪C) = (A∩ B) ∪ (A∩C).

(vii) Se A ⊂ X, allora X ∖ (X ∖ A) = A.

(viii) Se A, B ⊂ X, allora X ∖ (A∪ B) = (X ∖ A) ∩ (X ∖ B).

(ix) Se A, B ⊂ X, allora X ∖ (A∩ B) = (X ∖ A) ∪ (X ∖ B).

(1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti:

(i) A ⊂ B;

(ii) A∩ B = A;

(iii) A∪ B = B.

(1.4) Costruire una bijezione tra l’insieme delle partiP(X) di un insieme X e l’insieme delle funzioni f : X →0, 1.

*(1.5) Siano A e B due insiemi e X l’insieme definito da X = a, a, b : a ∈ A, b ∈ B. Mostrare chea, a, b = b, b, a se e solo se a = b e costruire una bijezione X → A× B.

*(1.6) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se A ⊂ X e B ⊂ Y sono sottoinsiemi di X e Y :

(i) f(f −1(B)

)⊂ B.

(ii) f è suriettiva se e solo se per ogni B ⊂ Y , f f −1(B) = B.

(iii) A ⊂ f −1 f (A).



Esercizi 11

(1.7) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi, A ⊂ X e B ⊂ Y sottoinsiemi di X e Y . Dimostrare che:

f (A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f −1B.

(1.8) Sia X un insieme e f : X × X → R una funzione tale che:

(i) f (x, y) = 0 se e solo se x = y.

(ii) ∀x, y, z ∈ X, f (x, z) ≤ f (x, y) + f (z, y).

Dimostrare che f è una metrica su X.

(1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di R è intorno di ogni suo punto.

*(1.10) Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla è intorno di ogni suo punto (cioè è un aperto).

(1.11) Dimostrare che l’unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte di uno spazio metrico è un aperto.

*(1.12) Sia B j j∈J una famiglia di insiemi in Y e f : X → Y una funzione. Dimostrare che

f −1

∪j∈J

B j

=∪j∈J

f −1B j

(1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di R2 (con la metrica euclidea) sono aperti?

(i) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 ∪ (1, 0).

(ii) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1.

(iii) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1.

(iv) (x, y) ∈ R2 : x4 + y4 ≤ −1.

(v) (x, y) ∈ R2 : x4 + y4 ≥ 1.

*(1.14) È vero che l’intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni aperti di R è un aperto? Se la famiglia èfinita?

*(1.15) Dimostrare che, dato uno spazio metrico X e un punto x0 ∈ X, la funzione f (x) = d(x, x0) è continua.

(1.16) Dimostrare che una metrica d e la metrica 2d sono equivalenti. Quali delle metriche dell’esempio (2.22)sono equivalenti?

(1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle prossime lezioni).



Settimana N° 2

CHIUSI E TOPOLOGIE

§ 3. SOTTOINSIEMI CHIUSI DI UNO SPAZIO METRICO

(3.1) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x ∈ X si dice di accumula-zione (anche: punto limite) per A in X se per ogni r > 0 l’intersezione Br(x) ∩ A contiene almeno un puntooltre al centro x.

Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di successioni in A. Se A = xnn∈N ⊂ Xè una successione convergente, allora il limite della successione è punto limite di A. È davvero cosí?

(3.2) Se x ∈ X è di accumulazione per A ⊂ X in X, e A ⊂ B ⊂ X, allora x è di accumulazione per B in X.

Dim. Per ogni r > 0 l’intersezione Br(x) ∩ A contiene almeno un punto oltre al centro x, e dato che A ⊂ B siha

Br(x) ∩ A ⊂ Br(x) ∩ B,

quindi Br(x) ∩ B contiene almeno un punto oltre a x, cioè x è di accumulazione per B. ⨳

(3.3) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C ⊂ X si dice chiuso se contiene tutti i suoipunti di accumulazione.

(3.4) Il complementare in X di un chiuso è aperto. Il complementare in X di un aperto è chiuso. Quindi C ⊂ Xè chiuso se e solo se X ∖C è aperto.

Dim. Sia C ⊂ X un chiuso e x ∈ X ∖C. Dato che C è chiuso, x non può essere un punto di accumulazione,e quindi esiste r > 0 per cui Br(x) ∩C = ∅. Ma allora Br(x) ⊂ (X ∖C) e quindi X ∖C è intorno di x. Perl’arbitrarietà di x in X ∖C si ha che X ∖C è aperto.

Viceversa, sia A ⊂ X un aperto e sia C il complementare X ∖ A. Se x è un punto di accumulazione di Callora non è un punto di A: infatti, A sarebbe intorno di x, per cui ci sarebbe r > 0 tale che Br(x) ⊂ A, ma alloraBr(x) ∩C ⊂ A∩C = ∅, cioè x non sarebbe di accumulazione per C. In altre parole, i punti di accumulazionedi C sono contenuti in C e dunque C è chiuso. ⨳

(3.5) L’insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà:

(i) ∅ ∈ C, X ∈ C,

13

14 #2. CHIUSI E TOPOLOGIE

(ii) B ⊂ C =⇒ ∩C∈BC ∈ C,

(iii) B ⊂ C, B è finito, allora∪

C∈BC ∈ C.

Dim. Basta considerare la proposizione (2.16) e il fatto che i chiusi sono i complementari degli aperti (dualità),oppure applicare direttamente la definizione (esercizio). ⨳

(3.6) Definizione. Sia A ⊂ X. L’unione di A con l’insieme di tutti i suoi punti di accumulazione si dice chiusuradi A in X e si indica con A.

(3.7) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inoltre, se A ⊂ B, si ha che A ⊂ B (esercizio (2.6)).

(3.8) Proposizione. Un sottoinsieme A ⊂ X è chiuso se e soltanto se A = A.

Dim. Se A è chiuso, allora contiene i suoi punti di accumulazione, e quindi A = A. Viceversa, se A = A, alloraA contiene i suoi punti di accumulazione, e quindi è chiuso. ⨳

(3.9) La chiusura A di A è uguale all’intersezione di tutti i chiusi che contengono A, ed è un chiuso. È il piùpiccolo insieme chiuso che contiene A.

Dim. Consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A ⊂ C, si ha che A ⊂ C, ed essendo Cchiuso si ha:C = C. Ma allora A ⊂ C, cioè A è contenuto in tutti i chiusi che contengono A. Sia K l’intersezionedi tutti i chiusi che contengono A. Allora K è chiuso (perché intersezione di chiusi) e A ⊂ K , da cui A ⊂ K . Sex ∈ A, allora x non è né punto di A né punto di accumulazione, e dunque esiste r > 0 per cui Br(x) ∩ A = ∅;dato che Br(x) è aperto, il suo complementare C = X ∖ Br(x) è un chiuso che non contiene x e che contieneA. Ma questo implica che K ⊂ C (dato che C è un chiuso che contiene A) e che quindi nemmeno K contiene x(dato che C non contiene x). Quindi K non contiene nessun x ∈ A, cioè K ⊂ A. Dunque K = A, A è chiuso edè uguale all’intersezione di tutti i chiusi che contengono A. ⨳

(3.10) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni seguenti sono equivalenti:

(i) f è continua

(ii) ∀A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A).

(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1(C) ⊂ X è chiuso.

Dim. Supponiamo che la funzione f sia continua. Mostriamo che 1 =⇒ 2. Sia x ∈ A. Se x ∈ A, alloraf (x) ∈ f (A) ⊂ f (A), e quindi f (x) ∈ f (A). Se x ∈ A ∖ A, allora x deve essere di accumulazione per A.Vogliamo mostrare che o f (x) appartiene a f (A) oppure ne è punto di accumulazione. Se f (x) ∈ f (A), alloranon c’è altro da dimostrare. Supponiamo altrimenti che f (x) ∈ f (A). Ora, dato che f è continua, per ognir > 0 la controimmagine dell’intorno circolare f −1 (Br( f (x))) è un intorno di x, e quindi esiste ϵ > 0 (chedipende da r e x) per cui Bϵ (x) ⊂ f −1 (Br( f (x))). Ma x è di accumulazione per A, e quindi Bϵ (x) ∩ A = x,cioè esiste un punto z ∈ Bϵ (x) ∩ A, z = x, ed in particolare

f (z) ⊂ Br( f (x))

Dato che stiamo supponendo f (x) ∈ f (A) e che z ∈ A, si ha che f (z) ∈ f (A) e quindi f (z) = f (x). Cioè, perogni r > 0 l’intorno Br( f (x)) contiene punti di f (A) diversi da f (x), e quindi f (x) è di accumulazione perf (A).



§ 3. SOTTOINSIEMI CHIUSI DI UNO SPAZIO METRICO 15

Ora dimostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia C ⊂ Y un chiuso e A = f −1C la sua controimmagine in X. Dalmomento che f (A) ⊂ f (A), e che f (A) ⊂ C, f (A) ⊂ C = C, e quindi A ⊂ f −1C. Ne segue che A ⊂ A, da cuiA = A, visto che anche A ⊂ A.

Ora dimostriamo che (iii) =⇒ (i). Se A ⊂ Y è aperto, allora C = Y ∖ A è chiuso in Y , e quindi f −1C èchiuso in X, il che implica che X ∖ f −1C è aperto. Ma

X ∖ f −1C = x ∈ X : f (x) ∈ C = f −1(X ∖C) = f −1(A),

quindi f −1(A) è aperto. ⨳

(3.11) Nota. Continuità: f (lim) = lim( f )…Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se y = x ∈ X e r = d(x, y), allora r > 0 e

y ∈ Br/2(y) ∋ x, cioè X ∖ x è aperto.

(3.12) Esempio. Si consideri la funzione f : X = R → Y = R definita da f (x) = ex. Se A = X, allora A èchiuso e A = A = R, mentre

f (A) = ex : x ∈ R = (0,+∞)

f (A) = [0,+∞).Quindi si ha

f (A) ⊂ f (A), ma f (A) = f (A).

(3.13) Esempio. Se A = Z ⊂ R, allora A non ha punti di accumulazione, dato che se ϵ < 1 e n ∈ Z, alloraBϵ (n) ∩Z = n. I punti di accumulazione dell’insieme

1n

: n ∈ Z, n > 0

sono dati dall’insieme 0. Perché (esercizio).

(3.14) Esempio. Quali sono i punti di accumulazione dell’insieme X ⊂ Q costituito da tutti i numeri che sipossono scrivere come somme

l∑j=1

1k j

per certi interi k j ≥ 2 tutti distinti k j ∈ N, j = 1, . . . , l (cioè tali che i = j =⇒ ki = k j)? Esercizio (2.3),google: egyptian fractions.

Opzionale: alcuni passi delle soluzione di questo esempio/esercizio.

(Passo 1) Se x è di accumulazione per X, allora x ≥ 0.

Dim. Basta mostrare che se x < 0, allora x non è di accumulazione per X. Se x < 0, allora esiste ϵ > 0 tale cheBϵ (x) è composto da soli numeri < 0; quindi Bϵ (x) non contiene punti di X e x non è di accumulazione. ⨳

Sia ora x ≥ 0. Se x = 0, allora la successione 1/n converge a x, e quindi 0 è di accumulazione per X.Sia invece x > 0. Per ogni n ∈N, n ≥ 2 e per ogni x ∈ R, x > 0, sia

f (n, x) = mink ∈N : k ≥ n∧ 1k≤ x,




cioèf (n, x) = max(n,

⌈1x

⌉),

dove la funzione ceiling ⌈x⌉ è definita da

⌈x⌉ = mink ∈N : k ≥ x.

Quindi si ha che

f (n, x) =

n se 1/(n − 1) ≤ x⌈1x

⌉altrimenti .

Definiamo una successione n1, n2, . . . , nl, . . . di interi e una corrispondente successione x0 = x, x1, …, xldi reali nel modo seguente. Ricordiamo che f non è definita per x ≤ 0.

n1 = f (2, x), x1 = x − 1n1

n2 = f (n1 + 1, x1), x2 = x1 −1n2

n3 = f (n2 + 1, x2), x3 = x2 −1n3

......

nl = f (nl−1 + 1, xl−1) xl = xl−1 −1nl

Per definizione si ha

(3.15) nk > nk−1,1nk≤ xk−1.

Se per un certo k si ha xk = 0, la successione termina. Si tratta certamente di x ∈ Q, quindi se x ∈ Q, lasuccessione non può terminare. *

(Passo 2) La successione nk è strettamente crescente. La successione xk è strettamente decrescente e positiva.

Dim. Dato che f (n, x) ≥ n, si ha nk = f (nk−1 + 1, xk−1) ≥ nk−1 + 1, per ogni k. Inoltre nk > 0, e quindi

xk = xk−1 −1nk

< xk−1, quindi xk è strettamente decrescente. Per la (3.15), xk ≥ 0 per ogni k (ed è 0 soloquando termina la successione). ⨳

Osserviamo che se x > 1/2, i primi n termini della successione saranno k1 = 2, k2 = 3, …, kn = n + 1, edesiste certamente un n tale che

12+

13+ · · · + 1

n + 1≤ x <

12+

13+ · · · + 1

n + 1+

1n + 2

,

dato che la serie armonica diverge.*Ma quando questa successione termina? Su ogni x razionale positivo o solo su alcuni?



§ 3. SOTTOINSIEMI CHIUSI DI UNO SPAZIO METRICO 17

(Passo 3) Sia x > 0, x ∈ Q, e nk , xk le successioni corrispondenti. Allora

∞∑k=1

1nk= x,

e quindi x è di accumulazione per X.

Dim. Le somme parziali

Sn =

n∑k=1

1nk

verificano per ogni nx = Sn + xn.

Basta quindi mostrare che xn → 0. Osserviamo che non può essere definitivamente nk = k + 1, perché la serie(armonica) diverge. Quindi devono esserci infiniti k per cui risulta

nk+1 = f (nk + 1, xk) = nk + 1,

cioè infiniti k per cui

xk <1nk

.

Ma1nk

è una successione monotona decrescente che tende a zero, e 0 < xk , quindi xk → 0. ⨳

(Passo 4) Ogni reale x ≥ 0 è di accumulazione per X.

Dim. Se x ∈ R, x ≥ 0, in ogni intorno Bϵ (x) cadono certamente infiniti punti irrazionali positivi, e quindialmeno uno diverso da x, che chiamiamo z. Dato che Bϵ(x) è intorno aperto di z, che è di accumulazione per X,in Bϵ(x) ci sono altri punti di X, e quindi x è di accumulazione per X. ⨳

Risultato: i punti di accumulazione di X sono

x ∈ R : x ≥ 0.

(3.16) Nota. Quanti termini servono per scrivere

12+

13+ . . . +

1n≤ 100 <

12+

13+ . . . +

1n+

1n + 1

?

Osserviamo che

ln(n + 1) − ln 2 =∫ n+1

2

dxx<

12+

13+ . . . +

1n<

∫ n

1

dxx= ln n,

quindi dovrà essereln(n + 1) − ln 2 < 100 < ln(n + 1),

cioè più o meno dieci septillioni di termini

n ∈ (e100 − 1, 2e100 − 1).




§ 4. SPAZI TOPOLOGICI

(Cfr.)*Se si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli aperti, chiusi e funzioni continue di

spazi metrici, ci si rende conto che la metrica serve solo per definire la famiglia degli intorni circolari e alcuneproprietà caratterizzanti.

Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemiA ⊂ 2X che verifica le proprietà di (2.16) consente di fattodi introdurre una definizione non solo metrica di continuità.

(4.1) Definizione. Una famigliaA ⊂ 2X di sottoinsiemi di un insieme X si dice topologia se verifica le seguentiproprietà:

(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,

(ii) B ⊂ A =⇒ ∪B∈B B ∈ A,

(iii) B ⊂ A, B è finito, allora∩

B∈B B ∈ A.

Uno spazio X munito di una topologiaA ⊂ 2X (spesso indicata con la lettera τ) viene detto spazio topologico†e gli elementi diA si dicono gli aperti di X.

È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associare ad ogni spaziometrico una topologia come nella definizione (2.18), che è detta anche topologia metrica. Sappiamo già chespazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (se le metriche sono equivalenti). Non tuttigli spazi topologici però ammettono l’esistenza di una metrica che genera la topologia (cioè, non tutti sonometrizzabili).

(4.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più aperti possibile e quella con menoaperti possibile.

(i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = ∅, X ⊂ 2X (che devono esistere per poter soddisfare tuttigli assiomi della definizione (4.1)).

(ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono apertiA = 2X .

(iii) Topologia metrica: in uno spazio metrico, la topologia generata dalla metrica si chiama topologiametrica.

(4.3) Esempio. Su Z siaA la famiglia di tutte le unioni di progressioni aritmetiche (Ua,b = a+ kb : k ∈ Z ⊂Z). Allora la famiglia A è una topologia di Z, e in questa topologia, le progressioni Ua,n sono sia aperti chechiusi. Perché?

Questo serve a rilassare il concetto di “vicinanza” che è intrinseco per gli spazi metrici.

(4.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico, A ⊂ X è un sottoinsieme e x ∈ A, si dice che A è un intornodi x se contiene un aperto B tale che x ∈ B ⊂ A.‡ Allora x si dice punto interno di A.

*Cfr: Cap I § 2-3, Sernesi Vol II [1].†Così come uno spazio metrico X è più propriamente una coppia (X, d), anche uno spazio topologico dovrebbe essere indicato

come coppia (X, τ) con τ ⊂ 2X , ma per brevità la topologia non viene espressamente indicata, se non quando necessario.‡Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono x.



§ 4. SPAZI TOPOLOGICI 19

Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del teorema (2.19).

(4.5) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X → Y si dice continua se per ogni apertoA ⊂ Y la controimmagine f −1A è aperto di X.

Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di chiusura può essere esteso aglispazi topologici, utilizzando il fatto che gli aperto sono per definizione intorni dei propri punti.

(4.6) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Un punto x ∈ X si dice di accumu-lazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni intorno B di x l’intersezione B ∩ A contiene almeno unaltro punto oltre a x. La chiusura A di A è definita come l’unione di A con tutti i suoi punti di accumulazione.

(4.7) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Le seguenti proposizioni sono equivalenti.

(i) X ∖C è aperto.

(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Dim. Basta ripetere la dimostrazione di (3.4) sostituendo ovunque intorni aperti invece che intorni circolari.⨳

(4.8) Definizione. Un sottoinsiemeC ⊂ X di uno spazio topologico si dice chiuso se una delle due proposizioniequivalenti di (4.7) è verificata.

Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (3.9) si può dimostrare che (vedi esercizio (2.9)):

(4.9) La chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A (in altreparole: l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare, è un chiuso.

(4.10) Definizione. Se A ⊂ X è un sottoinsieme tale che A = X, allora si dice che A è denso in X.

§ 4.1. BASE DI UNA TOPOLOGIA

La topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari, nel senso che gli aperti sono tuttie soli le unioni di intorni circolari. Ci si può chiedere quando una famiglia di insiemi genera una topologia inquesto modo. Basta prendere le proprietà degli intorni circolari di spazi metrici di (2.17).

(4.11) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B ⊂ 2X di un insieme X si dice base se le seguenti proprietàsono soddisfatte:

(i) per ogni x ∈ X esiste almeno un elemento della base B ∈ B che contiene x (equivalentemente, X =∪B∈B B).

(ii) Se B1, B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2, allora esiste Bx ∈ B tale che x ∈ Bx ⊂ B1 ∩ B2 (equivalentemente, B1 ∩ B2è unione di elementi della base).

Possiamo riscrivere (2.17) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una base. Il modo di generare unatopologia a partire da una base procede dall’osservazione che gli aperti sono le unioni di intorni circolari.




(4.12) Sia X un insieme. Data una base B ⊂ 2X , sia A ⊂ 2X la famiglia di tutte le unioni di elementi di Bunita a ∅. Allora A è una topologia per X ed è la più piccola topologia in cui gli elementi della base B sonoaperti.

Dim. Esercizio. ⨳

(4.13) Definizione. La topologia generata come in (4.12) si dice topologia generata dalla base B.

(4.14) Esempio. In X = N = 1, 2, 3, . . . siano Bi = ki : k ∈ N = n ∈ N : n ≡ 0 mod i. Sono unabase? La topologia in N è quella metrica? È quella discreta? È metrizzabile (cioè può essere generata da unametrica)?

§ 4.2. TOPOLOGIA INDOTTA (TOPOLOGIA DEI SOTTOSPAZI, SOTTOSPAZI TOPOLOGICI)

(Cfr.)*Se X è uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia, detta topologia indotta per re-

strizione sui sottospazi Y ⊂ X. Cioè, per definizione A ⊂ Y è aperto se e solo se esiste U ⊂ X aperto la cuiintersezione con Y è A: gli aperti di Y sono tutte e sole le intersezioni

A = Y ∩U

di aperti di X con Y . Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assume che abbiano latopologia indotta, se non esplicitamente indicato in altro modo.

(4.15) Nota. Tutti gli intervalli del tipo [a, b), con a < b costituiscono una base per la retta realeR. La topologiache ne risulta ha piú aperti di quella generata dalla metrica euclidea. Gli intervalli del tipo (−∞, b), con b ∈ R

sono una base? Se sí, essa genera una topologia con piú o meno aperti di quella euclidea? Esiste una metricache genera questa topologia? Quando una funzione è semicontinua superiormente?

(4.16) Esempio. Se X = R con la topologia metrica (euclidea), Y = [0, 1] ⊂ X, allora l’intervallo [0, 1/2) èun aperto di Y (perché [0, 1/2) = (−1/2, 1/2)∩ Y ), ma non è un aperto di X (dato che 0 non è interno a [0, 1/2)in X, ma lo è in Y ).

(4.17) Esempio. La topologia indotta da R (con la topologia metrica standard) su Z ⊂ R è uguale allatopologia discreta su Z. Basta osservare che i punti di Z sono tutti aperti nella topologia indotta da R in Z.Ma non sono aperti della topologia di R!

§ 4.3. OPZIONALE: CONTARE LE TOPOLOGIE FINITE

Sia X un insieme: ricordiamo che R una relazione (binaria) su X è una forma proposizionale su X × X,cioè una funzione R : X × X → 0, 1 (o Vero/Falso), indicata nei due modi R(x, y) = xRy. La relazioneè riflessiva se per ogni x ∈ X si ha che xRx = 1 (è vero), e transitiva se per ogni x, y, z ∈ X si ha chexRy = yRz = 1 =⇒ xRz = 1. Una relazione binaria riflessiva e transitiva è detta relazione di preordineparziale.

*Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II §5 [1].



§ 4. SPAZI TOPOLOGICI 21

(4.18) Nota. Sia X un insieme finito, con una topologia A. Allora A definisce una relazione di preordineparziale R su X (che possiamo indicare con RA) nel modo seguente: se x, y ∈ X, si definisce

xRy ⇐⇒(“ogni aperto U di X che contiene x contieneanche y”

)che è una relazione riflessiva e transitiva (perché?).

(4.19) Nota. Se R è una relazione di preordine parziale su X, allora definiamo una topologiaA su X nel modoseguente: sia, per ogni x ∈ X, Ux l’insieme definito da

Ux = y ∈ X : xRy.

Se x1 e x2 sono due elementi di X e z ∈ Ux1 ∩Ux2 , allora x1Rz e x2Rz, e quindi

Uz = y ∈ X : zRy ⊂ Ux1 ∩Ux2 = y ∈ X : x1Ry ∧ x2Ry,

dato che zRy ∧ x1Rz =⇒ x1Ry, zRy ∧ x2Rz =⇒ x2Ry. Inoltre x ∈ Ux (perché riflessiva), e dunque gli Uxcostituiscono una base per una topologia di X, la topologia associata alla relazione R.

Utilizzando (4.18) e (4.19), si può mostrare che le topologie su X sono in corrispondenza biunivoca conle relazioni riflessive e transitive su X. Problema: come elencare tutte le relazioni riflessive e transitive su uninsieme finito X? È possibile scrivere un algoritmo che le elenca? Vediamo per X = 1, 2 si hanno le seguentitopologie.

(i) Matrice (relazione binaria):[1 00 1

]A = , 1 , 2 , 1, 2 ⊂ 2X

(ii) Matrice (relazione binaria):[1 01 1

]A = , 1 , 1, 2 ⊂ 2X

(iii) Matrice (relazione binaria):[1 10 1

]A = , 2 , 1, 2 ⊂ 2X

(iv) Matrice (relazione binaria):[1 11 1

]A = , 1, 2 ⊂ 2X




ESERCIZI

(2.1) Dimostrare che, se A, B ⊂ X sono sottoinsiemi di uno spazio metrico:

(i) A∪ B = A∪ B.

(ii) A∩ B ⊂ A∩ B.

(2.2) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:

(i) 1n : n ∈N, n > 0.

(ii) kn : k, n ∈N, n > 0.

(iii) k2n : k, n ∈N (razionali diadici positivi).

(iv) 1k +1n : k, n ∈N, k, n > 0.

**(2.3) Quali sono i punti di accumulazione in R dell’insieme X ⊂ Q ⊂ R costituito da tutti i numeri che sipossono scrivere come somme

l∑j=1

1k j

per certi interi positivi tutti distinti k j ∈N, j = 1, . . . , l (cioè tali che i = j =⇒ ki = k j)? google: egyptianfractions

*(2.4) Dimostrare che se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio metrico X allora

(i) A∪ B = A∪ B;

(ii) A ⊆ A;

(iii) (A) = A;

(iv) ∅ = ∅.

Viceversa, si consideri un operatore C : 2X → 2X con le seguenti proprietà:

(i) CA∪CB = C(A∪ B);

(ii) A ⊆ CA;

(iii) CCA = CA;

(iv) C∅ = ∅.

Dimostrare che, definendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall’operatore C (CA = A) si ottiene una topolo-gia su X (cioè valgono gli assiomi della definizione (4.1)). Questi assiomi alternativi si chiamano assiomi diKuratowski ).



Esercizi 23

(2.5) Quali sono i punti di accumulazione per la successione 1n (per n > 0) nella retta reale R munita della

metrica discreta d(x, y) =

0 se x = y1 altrimenti

?

(2.6) Dimostrare che se A ⊂ B, allora A ⊂ B.

*(2.7) Dimostrare che uno spazio topologico con più di due punti con la topologia banale non è metrizzabile,mentre ogni spazio topologico discreto (con topologia discreta) è metrizzabile.

*(2.8) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che le seguenti proposizioni sonoequivalenti.

(i) X ∖C è aperto.

(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

*(2.9) Dimostrare che la chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio topologico X è il più piccolosottoinsieme chiuso di X che contiene A.

(2.10) Sia X un insieme e Y ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che se τ ⊂ 2X è una topologia per X, alloraτY = U ∩ Y : U ∈ τ è una topologia per Y , e che l’inclusione i : Y → X è una funzione continua.

(2.11) Sia X un insieme di tre elementi X = a, b, c. Le seguenti sono topologie per X:

(i) , b, a, b, b, c, a, b, c.

(ii) , a, a, b, c.

(iii) , a, b, c.

Le seguenti non sono topologie

(i) , a, b, b, c, a, b, c.

(ii) a, a, b, c.

Quante topologie ci sono su X in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di 2X?

*(2.12) (Topologia dei complementi finiti) Sia X un insieme e τ ⊂ 2X la famiglia di tutti i sottoinsiemi A di Xcon complemento finito, cioè tali che X ∖ A ha un numero finito di elementi, unita all’insieme X (si vuole che∅ sia aperto). Si dimostri che τ è una topologia.

(2.13) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale R.

(i) Tutti gli intervalli aperti: (a, b) = x ∈ R : a < x < b.

(ii) Tutti gli intervalli semiaperti: [a, b) = x ∈ R : a ≤ x < b (Sorgenfrey line).

(iii) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a) = x ∈ R : x < a.

(iv) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a] = x ∈ R : x ≤ a.




Quali sono basi? Come sono relazionate le topologie che generano (Cioè quando le topologie sono contenuteuna nell’altra)?

(2.14) Dimostrare che se f : R→ R è una funzione continua, allora l’insieme x ∈ R : f (x) = 0 è chiuso inR mentre l’insieme x ∈ R : f (x) > 0 è aperto in R.

*(2.15) Sia A ⊂ R un insieme e χA la funzione (detta funzione caratteristica di A) definita da

χA(x) =

1 se x ∈ A;0 se x ∈ A;

In quali punti di R la funzione χA è continua?

*(2.16) Quale topologia deve avere R affinché tutte le funzioni f : R→ R siano continue?

*(2.17) Dimostrare che una funzione f : R→ R è continua se e solo se per ogni successione convergente xn(cioè per cui esiste x tale che limn→∞ |xn − x| = 0) vale l’uguaglianza

limn→∞| f (xn) − f (x)| = 0.

(2.18) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non ha punti limite.



Settimana N° 3

OMEOMORFISMI DI SPAZI TOPOLOGICI, TOPOLOGIAPRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE

§ 5. FUNZIONI CONTINUE

(Cfr.)*Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamente come in

(3.10) e in (2.10), che vale la seguente proposizione.

(5.1) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti sono equivalenti:

(i) f è continua

(ii) ∀A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A).

(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1(C) ⊂ X è chiuso in X.

(iv) Se B è una base per Y , allora per ogni elemento della base B ∈ B la controimmagine f −1B è aperto inX.

(5.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua.

Dim. Sia f : X → Y una funzione continua e g : Y → Z una funzione continua. La composizione gf : X → Zè continua se e solo se (gf )−1(A) è aperto in X ogni volta che A è aperto in Z . Ora,

(gf )−1(A) = x ∈ X : g( f (x)) ∈ A= x ∈ X : f (x) ∈ g−1(A)= f −1(g−1(A))

e dunque se A è aperto anche g−1(A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f è continua f −1(g−1(A))è aperto in X. ⨳

*Cfr: Sernesi vol II, cap I, §4 [1].

25

26 #3. OMEOMORFISMI, TOPOLOGIA PRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE

(5.3) Teorema. Sia f : X → Y una funzione continua. Se A ⊂ X ha la topologia indotta, allora la restrizionef |A è continua.

Dim. Sia B ⊂ Y un aperto. La controimmagine f −1(B) è aperta in X, dato che f è continua. La controimmaginedi B mediante la funzione ristretta f |A è data dall’insieme

x ∈ A : f (x) ∈ B,

e quindi da A∩ f −1(B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A. ⨳

(5.4) Definizione. Una funzione f : X → Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è biunivoca e sia f chela funzione inversa f −1 sono continue. Si dice allora che X e Y sono omeomorfi (e si indica con X ≈ Y ).

La topologia studia gli spazi a meno di omeomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro che un “cam-biamento di coordinate” in uno spazio, e l’essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti vieneconservata.

(5.5) Esempio. Sia X l’insieme delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munito della metrica

d((ai j), (bi j)) = maxi j

(|ai j − bi j |) .

X è omeomorfo a R4 con la metrica euclidea

d((xi), (yi)) =

√√√ 4∑i=1

(xi − yi)2

tramite l’omeomorfismo (a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)7→

a1,1a2,1a1,2a2,2

Dimostrazione: esercizio.

(5.6) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione stereografica). Lasfera meno un punto è omeomorfa al piano, analogamente. Esercizio: in coordinate.

(5.7) Esempio. La retta reale è omeomorfa ad un segmento aperto: R ≈ (a, b) per ogni a < b. Definia-mo f : (−1, 1) → R f (x) =

x1 − x2 . La funzione è continua perché composizione di funzioni continue.

Osserviamo poi che f (x) = f (y) se e soltanto se

x(1 − y2) = y(1 − x2) ⇐⇒ xy2 − x2y + y − x = 0⇐⇒ xy(y − x) + (y − x) = 0⇐⇒ (xy + 1)(y − x) = 0,

e quindi se x, y ∈ (−1, 1) e f (x) = f (y), allora x = y, dato che certamente xy + 1 = 0 (perché?). Quindi fè iniettiva*. Mostrare che è suriettiva equivale a mostrare che per ogni y ∈ R esiste un x ∈ (−1, 1) tale chef (x) = y, cioè che l’equazione

yx2 + x − y = 0

*La funzione è iniettiva, anche perché è differenziabile e monotona crescente f ′(x) =x2 + 1

(1 − x2)2 .



§ 5. FUNZIONI CONTINUE 27

x, !

y, "

z, #

N

P

S

P$

%

a

Figura 3.1: Proiezione stereografica

ha una soluzione in x compresa tra −1 e 1. Se y = 0, allora è vero. Se y = 0, dato che ∆ = 1 + 4y2, delle duesoluzioni dell’equazione almeno una deve avere norma minore di 1, visto che il loro prodotto è uguale a −1,

(x − x1)(x − x2) = x2 +xy− 1.

Quindi f è suriettiva. Le due soluzioni sono

x1 =−1 +

√1 + 4y2

2y, x2 =

−1 −√

1 + 4y2

2y.

Per ogni y > 0 si ha −x2 >1+2y

2y > 1, e di conseguenza per ogni y < 0 x2 > 1: quindi necessariamentex1 ∈ (−1, 1). In altre parole, la funzione inversa di f è

g(y) =√

1 + 4y2 − 12y

=(1 + 4y2) − 1

2y(√

1 + 4y2 + 1)

=2y√

1 + 4y2 + 1,

e anch’essa è continua, dato che è composizione di funzioni continue. Per finire: omeomorfismo lineare

(a, b) ≈ (−1, 1) ≈ R.




Figura 3.2: Curva di Peano

(5.8) Esempio. La funzione f : [0, 2π) ⊂ R→ S1 ⊂ C definita ponendo f (t) = eit ∈ S1 per ogni t è continuae biunivoca. Ma non è aperta: f ([0, 1)) non è aperto in S1, ma [0, 1) ⊂ [0, 2π) è aperto in [0, 2π). Quindi nonè un omeomorfismo. Vedremo in seguito che non possono esistere omeomorfismi tra [0, 2π) e S1 (cioè i duespazi non sono omeomorfi).

(5.9) Esempio. Quali tra i seguenti spazi sono omeomorfi tra di loro?

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R ST U V W X Y Z

(5.10) Esempio (Curva di Peano). Curva continua e suriettiva f : I = [0, 1] → I2 ⊂ R2. Figura 3.2.



§ 5. FUNZIONI CONTINUE 29

Figura 3.3: I sette ponti di Königsberg (figura originale di Euler)

Figura 3.4: I (sette?) ponti di Kaliningrad




(5.11) Esempio (I sette ponti di Königsberg). Il grande matematico Leonhard Euler (1707–1783) nel 1735si trovò ad affrontare il seguente problema: trovare una passeggiata (cammino) nella città di Königsberg (oRegiomontium il latino; ora è chiamata Kaliningrad) che attraversi una e una sola volta tutti i sette ponti (siveda la figura 3.3). La sua soluzione (negativa) fu data nel 1736 e pubblicata nel 1741 in Solutio problematisad geometriam situs pertinentis (Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8, 1741, pp. 128-140)*.Si parla di questo lavoro come la nascita della topologia. Nella foto da satellite 3.4 è possibile notare che neglianni un certo numero di ponti sono stati distrutti. È possibile ai giorni nostri risolvere in modo positivo ilproblema dei ponti superstiti di Kaliningrad?

(5.12) Definizione. Una funzione f : X → Y è

(i) aperta se l’immagine f (A) di ogni aperto A di X è aperta in Y .

(ii) chiusa se l’immagine f (C) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y .

(5.13) Una funzione f : X → Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà è vera:

(i) f è biunivoca, continua e aperta.

(ii) f è biunivoca, continua e chiusa.

§ 6. TOPOLOGIA PRODOTTO

(Cfr.)†

(6.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X ×Y ammette una topologia, chiamatatopologia prodotto definita a partire dalla base

base = U ×V ⊂ X × Y :U è aperto in X eV è aperto in Y .

Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l’insieme di aperti sopradescritto costituisca una base per X × Y : esercizio (3.1).

Le funzione p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y definite da p1(x, y) = x e p2(x, y) = y si dicono leproiezioni.

(6.2) Se X ×Y ha la topologia prodotto, allora X ×Y ≈ Y × X (sono omeomorfi), e le proiezioni p1 : X ×Y →X, p2 : X × Y → Y sono continue e aperte.

Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi topologiciX1,X2,…, Xn, che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U1 ×U2 × ×Un ⊂ X1 × X2 × · · · × Xn.

(6.3) Proposizione. Una funzione f : X → Y1 × Y2 (che si può scrivere quindi come f (x) = ( f1(x), f2(x))) ècontinua se e solo se le sue due componenti ( f1 = p1 f e f2 = p2 f ) sono continue.

*http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E053.html†Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §6 [1].


http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E053.html


§ 7. SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE 31

Dim. Se f è continua, allora f1 e f2 sono continue perché composizioni di f con le funzioni continue p1 ep2. Viceversa, se f1 e f2 sono continue, allora se V1 × V2 ⊂ Y1 × Y2 è un aperto della base per la topologia(prodotto) di Y1 × Y2, si ha

f −1(V1 ×V2) = x ∈ X : ( f1(x), f2(x)) ∈ V1 ×V2= x ∈ X : f1(x) ∈ V1 e f2(x) ∈ V2= f −1

1 (V1) ∩ f −12 (V2),

che è aperto perché intersezione di due aperti. ⨳

(6.4) Esempio. La topologia di Rn indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale alla topologiaprodotto.

(6.5) Esempio. I × I è il quadrato (pieno) di R2. Analogamente, In è il cubo di dimensione n.

(6.6) Esempio. Le proiezioni p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y sono aperte ma possono non essere chiuse.Per esempio, se X = Y = R,

C = (x, y) ∈ R2 : xy = 1

è chiuso, map1(C) = x ∈ R : x = 0 = R ∖ 0

non è chiuso.

(6.7) Nota. Nell’esercizio precedente C è chiuso perché, se si pone f : R2 → R definita da f (x, y) = xy, siha che f è continua e

C = f −1(1),

che è chiuso in R2, dato che 1 è chiuso in R (con la topologia metrica).

(6.8) Nota. In generale non è detto che f : X → Y continua e biunivoca sia un omeomorfismo (potrebbe nonessere una mappa aperta e/o chiusa, cioè l’inversa di f potrebbe non essere continua). Per gli spazi euclidei,però, vale il seguente teorema dimostrato da Brouwer nel 1912 (di cui non possiamo dare la dimostrazione –Hanc marginis exiguitas non caperet).

(6.9) Teorema (Invarianza del dominio). Se X ⊂ Rn è un aperto e f : X → Rn (lo spazio Rn è inteso con latopologia metrica) è una funzione continua e iniettiva, allora f è anche una mappa aperta.

(6.10) Corollario. Se f : Rn → Rn è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.

§ 7. SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE

(Cfr.)*Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di funzioni

continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati.*Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §7 [1].




Ricordiamo che una relazione su un insieme X è detta relazione di equivalenza se è riflessiva, simmetricae transitiva. In genere una relazione di equivalenza su X viene indicata con il simbolo “∼”. Quindi x ∼ x,(x ∼ y ⇐⇒ y ∼ x) e (x ∼ y ∧ y ∼ z =⇒ x ∼ z) Il fatto fondamentale è questo: ad una relazione diequivalenza si associa naturalmente una partizione di X in classi di equivalenza. Cioè, per ogni x si definisceil sottoinsieme di X

[x] = y ∈ X : y ∼ x ⊂ X,

e risulta che x ∼ y ⇐⇒ [x] = [y]. Le classi di equivalenza distinte sono a due a due disgiunte

[x] ∩ [y] = ∅ =⇒ [x] = [y]

e X è l’unione delle sue classi di equivalenza. L’insieme di tutte le classi di equivalenza in X viene indicatocon X/∼, ed è detto anche insieme quoziente. La funzione p : X → X/∼ che associa ad ogni x ∈ X la sua classedi equivalnza [x] ∈ X/∼ è chiamata la proiezione sul quoziente. Quindi una relazione di equivalenza determinauna funzione suriettiva p : X → X/∼ sull’insieme delle classi di equivalenza.

Viceversa, data una funzione suriettiva f : X → Y , Y è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delleclassi di equivalenza date dalla relazione

∀x, y ∈ X, x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y).

Quindi le relazioni di equivalenza su X e le funzioni suriettive con dominio X si corrispondono.Problema: sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X → X/∼ = Y la proiezione

sull’insieme quoziente. Come dare ad X/∼ una topologia?Le relazioni di equivalenza in un certo senso corrispondono con l’operazione di “incollamento” di punti

diversi di uno spazio topologico, cioè “identificando” tra loro punti diversi (che quando appartengono allastessa classe di equivalenza, saranno identificati ad un punto dell’insieme quoziente).

(7.1) Esempio. (i) I0∼1: incollare tra di loro gli estremi di un segmento.

(ii) R con x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z. Cos’è l’insieme quoziente? La classe di equivalenza di x ∈ R è perdefinizione

= y ∈ R : y − x ∈ Z= y ∈ R : ∃k ∈ Z, y − x = k= y ∈ R : ∃k ∈ Z, y = x + k= x + k : k ∈ Z= x +Z.

Qui usiamo la notazione x + Z = x + z : z ∈ Z, se Z è un insieme di elementi che si possono sommarea x.

(iii) R2 con x = (x1, x2) ∼ y = (y1, y2) ⇐⇒ x − y ∈ Z2.

(iv) Nastro di Möbius: è possibile costruirlo incollando in modo opportuno gli estremi di un nastro.

(7.2) Definizione. Se X è un insieme e A ⊂ X un sottoinsieme, si scrive X/A (quoziente di X su A) per indicarel’insieme ottenuto identificando A ad un punto, che è l’insieme ottenuto dalla relazione di equivalenza in cuile classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di X ∖ A e l’intero A.




(7.3) Definizione. Sia F : X → Z una funzione tra insiemi, e ∼ una relazione di equivalenza su X, con proie-zione sul quoziente p : X → X/∼, p(x) = [x] ∈ X/∼. Si dice che la funzione F passa al quoziente se è possibiledefinire una funzione sul quoziente f : X∼ → Z con la proprietà che per ogni x ∈ X

F(x) = f (p(x)).

(7.4) Sia X come sopra un insieme con una relazione di equivalenza ∼, e F : X → Z una funzione qualsiasi.Allora F passa al quoziente se e soltanto se è costante sulle classi di equivalenza in X.

Dim. Supponiamo che F passi al quoziente. Allora esiste f : X/∼ → Z tale che per ogni x ∈ X si ha F(x) =f ([x]). Ma allora per ogni y ∈ [x] vale p(y) = [y] = [x], e quindi

F(y) = f (p(y)) = f ([x]) = F(x),

cioè F è costante sulla classe di equivalenza [x].Viceversa, se F è costante sulle classi di equivalenza, definiamo f : X/∼ → Z ponendo

f ([x]) = F(x).

La definizione di f è ben posta, perché se [x] = [y], allora F(x) = F(y) per ipotesi, e quindi f ([x]) = f ([y]).E per ogni x si ha F(x) = f (p(x)), per cui F passa al quoziente. ⨳

(7.5) Esempio. Consideriamo i due esempi I0∼1 e X = R/∼ definiti nell’esempio (7.1). Se indichiamo con∂I = 0, 1 il bordo di I , allora 0∼1 è l’insieme ottenuto identificando ∂I ⊂ I = [0, 1] ⊂ R ad un punto, secondola definizione (7.2).

Osserviamo che I0∼1 e X sono in corrispondenza biunivoca. Infatti, la funzione

F : I → X

definita ponendo F(t) = [t] = t +Z ∈ X passa al quoziente. Per (7.4), basta verificare che F è costante sulleclassi di equivalenza in I . Ma visto che c’è una sola classe in I con più di un elemento (cioè ∂I = 0, 1), bastaverificare che F(0) = F(1). Infatti, F(0) = Z ⊂ R, mentre F(1) = 1 +Z = Z ⊂ R.

Dimostriamo anche che la funzione indotta f : I/0∼1 → X è biunivoca. Infatti, siano [s] e [t] due puntidistinti di I0∼1, cioè due classi di equivalenza. Dato che sono distinti, almeno uno dei due è diverso dalla classe∂I . Supponiamo che quindi s ∈ (0, 1). Se fosse vero che f ([s]) = f ([t]), allora per definizione dovrebbeessere che s +Z = t +Z, cioè esiste k ∈ Z tale che s − t = k. Osserviamo che s ∈ (0, 1) e t ∈ [0, 1], quindi−t ∈ [−1, 0] e

s − t < 1 − t ≤ 1 − 0 = 1s − t > 0 − t ≥ 0 − 1 = −1,

e quindi k = s − t è un intero compreso nell’intervallo −1 < k < 1. Ma l’unico intero possibile è k = 0, equindi s = t contro l’ipotesi che [s] = [t]. Quindi f è iniettiva.

Verifichiamo che è suriettiva: per ogni x ∈ R esistono un intero n (la parte intera di x) e un δ ∈ R tali che

x = n + δ, n ∈ Z, 0 ≤ δ < 1 .

Quindi per ogni x ∈ R si ha che esiste δ ∈ [0, 1) tale che x − δ ∈ Z, cioè [x] = [δ]. Ma questo implica che f èsuriettiva, dato che esiste t = δ per cui l’elemento [t] ∈ I0∼1 ha immagine mediante f uguale a [x].




(7.6) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X → Y una funzione suriettiva, allora si definiscela topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi A ⊂ Y per cui lacontroimmagine f −1(A) ⊂ X è aperto. Lo spazio Y si dice spazio quoziente di X rispetto alla proiezione f .

(7.7) La definizione (7.6) è ben posta: la classe di aperti descritta è in effetti una topologia su Y .

Dim. Sia f : X → Y come nella definizione (7.6).f −1(∅) = ∅ ⊂ X =⇒ ∅ aperto di Y .

f −1(Y) = X =⇒ Y aperto di Y ;∀i, Ai ⊂ Y aperto , f −1 (∪i Ai) = ∪i f −1Ai

=⇒ ∪i Ai aperto di Y .A1, A2 ⊂ Y aperti , f −1 (A1 ∩ A2) = f −1A1 ∩ f −1A2

=⇒ A1 ∩ A2 aperto di Y .⨳

(7.8) Se f : X → Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologia quoziente (cioèogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X).

Dim. Per definizione di continuità, se f : X → Y è continua e A ⊂ Y è aperto nella topologia di Y , alloraf −1(A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente. ⨳

(7.9) Teorema. Sia X uno spazio topologico, e p : X → X/∼ = Y la proiezione sullo spazio quoziente Y . Seuna funzione F : X → Z è continua e passa al quoziente, allora la funzione indotta sul quoziente f : X/∼ → Zè continua.

Dim. La funzione indotta f : Y = X/∼ → Z è continua se e soltanto se per ogni aperto A ⊂ Z , la controimma-gine f −1A ⊂ Y è un aperto di Y . Ma gli aperti di Y sono tutti e soli i sottoinsiemi B ⊂ Y le cui controimmaginip−1B sono aperti di X. Quindi f −1A è aperto se e soltanto se p−1 f −1A ⊂ X è aperto in X. Ma p−1 f −1A = F−1A,dato che F = f p per ipotesi, e dal momento che F è continua F−1A è un aperto di X. ⨳

(7.10) Esempio. Il toro (superficie di una ciambella)*: [0, 1] × [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione diequivalenza…)

(i) (0, 0) ∼ (1, 0) ∼ (1, 1) ∼ (0, 1).

(ii) (x, 0) ∼ (x, 1) per 0 < x < 1.

(iii) (0, y) ∼ (1, y) per 0 < y < 1.

È omeomorfo a S1 × S1?

(7.11) Esempio. Il disco: D1(0, R2) = D2 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, quozientato rispetto alla relazionedi equivalenza:

x ∼ y ⇐⇒x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2 (x e y stanno sul bordo)

x = y altrimenti

Il quoziente risulta essere omeomorfo ad una sfera. Perché?*Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometria) per approfondimenti.


http://it.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometria)



Figura 3.5: Toro, ≈ S1 × S1

x

−x

Figura 3.6: Identificazione antipodale dei punti sul bordo del disco

(7.12) Esempio. Il piano proiettivo*: D2 quozientato rispetto alla relazione:

x ∼ y ⇐⇒x = −y se x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2

x = y altrimenti

Analogo: S2/∼ dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale). Perché le due definizioni sono equivalenti? Lo vedremomeglio più avanti.

(7.13) Esempio. Nastro di Möbius: si prenda un nastro sufficientemente lungo, e si incollino i due estremi,dopo aver fatto fare mezzo giro al nastro. Lo spazio che risulta deve avere una faccia sola†. Cosa succede se sitaglia un nastro di Möbius esattamente a metà, lungo la sua linea mediana? Si ottengono due nastri di Möbius?Due cilindri? Un nastro di Möbius? Un cilindro? E se il taglio inizia a 1/4 dalla linea mediana?

*Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Piano_proiettivo per approfondimenti. Comunque ritorneremo più avanti sulpiano proiettivo.

† Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius e http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/AnelliMobius.htm per approfondimenti.


http://it.wikipedia.org/wiki/Piano_proiettivo

http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/AnelliMobius.htm

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/AnelliMobius.htm



Figura 3.7: Il nastro di Möbius

(7.14) Esempio. La bottiglia di Klein si può ottenere come somma di due nastri di Möbius, incollati lungo ibordi, oppure identificando opportunamente i lati opposti di un quadrato, a due a due, in modo che due sianoidentificati per il medesimo verso, e due per il verso opposto*.

*Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein per approfondimenti.


http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein



Figura 3.8: Bottiglia di Klein: somma di due nastri di Möbius, incollati lungo i bordi




ESERCIZI

(3.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U ×V , con U aperto in X e V aperto in Y è una base di intorninello spazio prodotto (cartesiano) X × Y .

(3.2) Dimostrare che se X × Y ha la topologia prodotto e A ⊂ X, B ⊂ Y sono sottospazi, allora A× B = A× B,e che A× B è aperto in X × Y se e solo se A è aperto in X e B è aperto in Y .

*(3.3) Dimostrare che [0, 1) × [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] × [0, 1).

(3.4) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione, A è un sottospazio di Y con la topologia indotta tale chef X ⊂ A ⊂ Y , allora la funzione f : X → Y è continua se e solo se lo è la funzione fA : X → A, dove fA indicala funzione definita da fA(x) = f (x) ∈ A ⊂ X per ogni x ∈ X.

(3.5) Dimostrare che Q = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che Q non ha punti interni in R.

(3.6) Dimostrare che il quadrato(x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) = 1

è omeomorfo alla circonferenza (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1.

(3.7) Dimostrare che la mappa diagonale ∆ : X → X × X definita da x 7→ (x, x) è continua.

*(3.8) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa quoziente.

*(3.9) È vero che la mappa di proiezione p1 : X × Y → X è sempre una mappa chiusa?

(3.10) Sia p1 : R2 = R ×R→ R la proiezione sulla prima coordinata. Sia

A = (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∨ y = 0,

e f : A→ R la restrizione di p1 a A. La mappa f è aperta/chiusa?

(3.11) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione tra insiemi allora la relazione x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y)è una relazione di equivalenza, e la funzione f induce una funzione biunivoca tra l’insieme delle classi diequivalenza e f (X) ⊂ Y .

*(3.12) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Möbius?

(3.13) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi:

(i) Cilindro = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1∧ z2 ≤ 1.

(ii) Cono = (x, y, z) ∈ R3 : z2 = x2 + y2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1.

(iii) Toro (≈ S1 × S1 ≈ . . . ).

(iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1 e z = −1) di bordo identificatead un punto.

(v) La sfera (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1.



Esercizi 39

(vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto.

(vii) Il piano R2.

*(3.14) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su R.

(3.15) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R2:

(i) (x, y) : xy = 1.

(ii) (x, y) : x2 + y2 = 1.

(iii) (x, y) : x2 + y2 ≤ 1.

(iv) (x, y) : x3 + y3 = 1 (e in generale, (x, y) : xn + yn = 1).

*(3.16) Sia f : X → Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzione continua g : Y →X (inversa destra) tale che f g è l’identità di Y , allora f è una mappa quoziente. Se g = i è l’inclusione diun sottospazio i : Y = A ⊂ X (dove A ha la topologia indotta da X), allora il fatto che i sia inversa destra di fsi legge f i = 1Y , e cioè ∀x ∈ A, f (x) = x, cioè la restrizione f |A è uguale all’identità 1A. In questo caso lamappa f si dice retrazione.

*(3.17) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q (se la differenza è razionale);Qual è la topologia dello spazio quoziente R/∼? (Dimostrare che è la topologia banale.)

(3.18) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa quoziente.

(3.19) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un omeomorfismo.

*(3.20) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY . Dimostrare che la funzione d : X ×Y → R definitada

d ((x1, y1), (x2, y2)) =√

dX(x1, x2)2 + dY (y1, y2)2

è una metrica sul prodotto X × Y . Dimostrare anche che la topologia indotta da d coincide con la topologiaprodotto.

*(3.21) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l’unione delle circonferenze (x, y) ∈ R2 : (x − 1n )

2 + y2 = ( 1n )

2, pern = 1, 2, 3 . . . con la topologia indotta da R2, e sia Y lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi Z ⊂ R adun punto. Determinare (in modo intuitivo) se X e Y sono omeomorfi o meno.

(3.22) Dimostrare che le due funzioni s : R2 → R e p : R2 → R definite da

s(x, y) = x + y, p(x, y) = xy

sono continue.



Settimana N° 4

COMPATTEZZA

§ 8. COMPATTEZZA

(Cfr.)*Alcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso e limitato):

(i) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.

(ii) L’immagine di un intervallo chiuso e limitato mediante una funzione continua è un intervallo chiuso elimitato (teorema del valore intermedio). (È vero anche se l’intervallo è chiuso ma non è limitato?)

(iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso e limitato.

(iv) Ogni successione di Cauchy converge.

(v) Se A ⊂ R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessione convergente.

Vedremo in che modo che queste proprietà derivino da certe proprietà topologiche della retta reale. Richia-miamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi):

(8.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali R:

(i) Assiomi di campo:

(a) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).(b) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.(c) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x = 0 =⇒ 1x = x.(d) ∀x ∈ R,∃ unico y ∈ R : x + y = 0. ∀x ∈ R, x = 0,∃ unico y ∈ R : xy = 1.(e) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.

(ii) Assiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine† totale su R in modo tale che*Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].†Una relazione R su X si dice relazione d’ordine (stretto) se

41

42 #4. COMPATTEZZA

(a) x > y =⇒ x + z > y + z.(b) x > y, z > 0 =⇒ xz > yz.

(iii) Proprietà dell’ordinamento (continuo lineare):

(a) (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine < ha la proprietà dell’estremo superiore (cioèogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l’estremo superiore).

(b) Se x < y, allora esiste un numero z ∈ R tale che x < z < y.

(8.2) Teorema. Esiste una unica retta reale, cioè: Esiste uno e un solo campo (R) che soddisfa tutti gli assiomidi (8.1).

Dim. In seguito, per esercizio (opzionale). ⨳

(8.3) Nota. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐέν, “un punto è ciò che non ha parti”, Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές,“una linea è una lunghezza senza larghezza”, Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα,e “gli estremi di una linea sonopunti”. Ma cosa è una linea retta? Εὐεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται, “unalinea retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa”. Elementi di Euclide, pubblicato perla prima volta intorno al III secolo BCE ad Alessandria.*

Αἰτήματα

α'. Ἠιτήσω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

β'. Καὶ πεπερασμένην εὐεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' εὐείας ἐκϐαλεῖν.

γ'. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσαι.

δ'. Καὶ πάσας τὰς ὀρὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.

(a) ∀x ∈ X, ¬(xRx) ( x < x);

(b) ∀x, y ∈ X, xRy =⇒ ¬(yRx) (x < y =⇒ y < x);

(c) ∀x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz =⇒ xRz (x < y ∧ y < z =⇒ x < z);

L’ordine è totale se è anche tricotomico, cioè ∀x = y ∈ X, allora (x < y) ∨ (y < x).*La citazione in greco è presa da Euclid. Euclidis Elementa J. L. Heiberg. Leipzig. Teubner. 1883-1888. Il testo degli Elementi di

Euclide è il libro più famoso dell’antichità classica, anche perché è stato usato come libro di testo ininterrottamente dal III secolo BCEfino ai giorni nostri. Curiosamente, fino a non molto tempo fa il testo originale (in greco) era disponibile a stampa solo con l’edizionedi Heiberg e Menge (1883-1888), con testo latino a fronte. Una versione interessante con il testo a fronte in inglese si può trovare a:http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf , basata sull’edizione di Heiberg.Il filologo danese Heiberg aveva ricostruito il testo originale dei 13 (non 15, come si credeva anticamente) libri degli Elementi, a

partire dai manoscritti disponibili. I due principali erano il D’Orville 301, ora nella Biblioteca Bodleiana di Oxford (scritto nel 888 CEdal copista Stefano, a Costantinopoli – consultabile on-line su http://rarebookroom.org/Control/eucmsd/index.html o nelsito della Bodleian Library), e il Manoscritto 190 della Biblioteca Vaticana (il Vaticanus graecus 190, che risale al decimo secolo; dalVaticano Napoleone lo portò a Parigi nel 1810, e lo fece esaminare da F. Peyrard che ne comprese l’importanza e lo usò per pubblicarela sua edizione in francese e latino dei primi 12 capitoli degli Elementi, così come fece successivamente Heiberg; il manoscritto fupoi riportato a Roma nel 1815, con la restaurazionei dell’Ancien Régime, e non sembra essere consultabile on-line). L’importanza delVaticanus graecus 190 sta nel fatto che il copista aveva avuto a disposizione sia la copia di Teone di Alessandria (IV secolo CE, padredella famosa Ipazia di Alessandria; purtroppo la copia di Teone aveva molto semplificato e alterato il testo di Euclide) che altre versioniprecedenti più fedeli all’originale.

[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 30 Μαιου 2014

http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf

http://rarebookroom.org/Control/eucmsd/index.html


§ 8. COMPATTEZZA 43

ε'. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐείας εὐεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρῶνἐλάσσονας ποιῇ, ἐκϐαλλομένας τὰς δύο εὐείας ἐπ'ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶνδύο ὀρῶν ἐλάσσονες.

Traduzione:Assiomi

1. Per ogni coppia di punti è possibile tracciare un segmento che ha i due punti per estremi.

2. Ogni segmento di retta si può prolungare dai due lati.

3. Dati un punto (centro) e un raggio arbitrari, è possibile tracciare la circonferenza con centro e raggiodati.

4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra di loro.

5. Se una linea retta che incontra altre due linee rette ha angoli interni dallo stesso lato minori di due angoliretti, allora le due linee rette si incontreranno (prolungandole indefinitamente) dalla parte dei due angolicitati.

Perché la nota (8.3) è stata giustapposta agli assiomi della retta reale R (8.1)? Si tratta di due espressionimolto importanti della presentazione assiomatica della matematica. Gli Elementi di Euclide sono stati la primae più importante opera matematica in cui una teoria matematica è stata presentata a partire da un insieme dipostulati (o assiomi), oltre che certe nozioni comuni e schemi di deduzione (la logica). I risultati (Teoremi,Proposizioni, Lemmi, Corollari) vengono quindi dedotti con il massimo rigore, attraverso un lungo processodi dimostrazione delle affermazioni. È interessante però osservare che proprio l’evidenziare quali assiomi siseguono permette poi di creare e confrontare diverse teorie, e di valutare le conseguenze delle scelte. Per esem-pio, i cinque assiomi di Euclide non sono gli unici, per la geometria del piano: i tredici assiomi per il piano diHilbert, per esempio, presentati nelGrundlagen der Geometrie, 1899, sono una alternativa più rigorosa. Anchela retta dei numeri reali può essere presentata in modi diversi da (8.1): per esempio con la teoria delle propor-zioni di Eudosso, oppure con la versione predicativa di Herman Weyl (che riteneva che la definizione stessa diestremo superiore fosse inaccettabile nella forma attuale, e provò a ragionare su presentazioni più intuitive delcontinuum), o anche con la versione costruttiva di Errett Bishop, che segue l’intuizionismo di L.E.J. Brouwer*e la versione non costruttiva di Abraham Robinson† dei numeri reali non standard o iperreali. Non solo glioggetti matematici possono essere presentati con sistemi di assiomi diversi e non sempre equivalenti: anche ilmodo di ragionare, cioè la logica stessa, e il linguaggio usato per comunicare sono oggetto di riflessioni. Inqueste note cercheremo di non toccare mai queste quesioni delicate, ma si tenga conto che questo è un mododi presentare questi argomenti, e non il modo.

(8.4) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y ∈ X, x = y, esistono dueintorni Ux e Uy di x e y rispettivamente tali che

Ux ∩Uy = ∅.

(8.5) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)).*John Myhill, What is a Real Number? Amer. Math. Monthly 79 (1972), 748-754.†Lightstone, A. H. Infinitesimals. Amer. Math. Monthly 79 (1972), 242–251.



44 #4. COMPATTEZZA

Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamo ora laconvergenza di successioni in spazi topologici.

(8.6) Definizione. Si dice che una successione xn in X converge ad un punto x ∈ X se per ogni intorno U xdi x esiste un intero n (che dipende da U x) tale che

j ≥ n =⇒ x j ∈ U x.

In tal caso si scrivelim

nxn = x

e si dice che xn converge a x.

Se una successione in uno spazio topologico X non è altro che una funzione x : N → X, allora unasottosuccessione è la composizione x n : N 7→ N → X di x con una funzione n : N → N monotona(strettamente) crescente (cioè tale che k < k′ =⇒ nk < nk′).

(8.7) Se xnk è una sottosuccessione di una successione convergente xn (con limite limn xn = x), allora lasottosuccessione converge al medesimo limite limk xnk = x.

Dim. Vedi esercizio (4.6). ⨳

(8.8) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e xn una successione in X. Se limn xn = x e limn xn =

y, allora x = y.

Dim. Esercizio (4.7). ⨳

(8.9) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto Uii di X (cioè unafamiglia di aperti Uii∈J tale che X = ∪i∈JUi) ha un sottoricoprimento finito, cioè esiste un sottoinsieme finitodi indici J0 ⊂ J tale che

X =∪i∈J0

Ui

(8.10) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (con la topologiametrica) è compatto.

Se Y ⊂ X è un sottospazio di uno spazio topologico X, con la topologia indotta da quella di X, allora unricoprimento di Y può essere inteso come una famiglia di aperti Ui, con Ui ⊂ X, tali che

Y ⊂∪

iUi.

Le intersezioni Ui ∩ Y sono gli aperti di Y (nella topologia indotta) della definizione (8.9).

(8.11) Esempio. Sia X = x ∈ Q : 0 ≤ x ≤ 1. L’insieme di tutti gli aperti Vk,n della forma

Vk,n = (k

n + 1,kn),

con k, n ∈N, k ≤ n non è un ricoprimento di X. Perché? È un ricoprimento di

Y = x ∈ Q :13≤ x ≤ 2

3?




(8.12) Esempio. L’insieme di tutti gli aperti Vn della forma Vn = (1

n + 2,1n), per n ∈ N è un ricoprimento

aperto di (0, 1) ⊂ R.

(8.13) Esempio. L’insieme di intervalli aperti

Vn =

se n ≥ 1: x ∈ Q :√

22 +

√2

n+1 < x <√

22 +

√2

n se n ≤ −1: x ∈ Q :

√2

2 −√

2|n| < x <

√2

2 −√

2|n|+1 ,

con n ∈ Z ∖ 0 è un ricoprimento dell’insieme X = x ∈ Q : 0 < x < 1.

(8.14) Esempio. Sia Vn l’insieme

Vn = x ∈ Q : x ∈ [√

2 − 1n

,√

2 +1n],

definito per ogni intero n ≥ 1. La famiglia Vn è un ricoprimento aperto di X = x ∈ Q : 0 < x < 2, che nonammette sottoricoprimenti finiti.

(8.15) Se X è compatto e C ⊂ X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto (con la topologia indotta).

Dim. Se Uii∈J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso di notazione, possiamo conside-rare un ricoprimento di C mediante aperti dato da C ∩Uii∈J , dove Ui sono aperti di X. Dato che C è chiusoX ∖C è aperto, e quindi

X ∖C ∪ Uii∈Jè un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C ⊂ ∪iUi), e quindi esiste un sottoricoprimento finito, che saràdella forma

X ∖C ∪ Uii∈J0

oppure Uii∈J0 . In entrambi i casi, risultaC ⊂

∪i∈J0

Ui,

e quindi la tesi. ⨳

(8.16) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso.

Dim. Sia C ⊂ X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamo che C è chiuso. Sia x ∈X ∖C. Per ogni c ∈ C, dato che X è di Hausdorff, esistono due intorni disgiunti Uc e Vc tali che Uc ∩Vc = ∅,c ∈ Uc, x ∈ Vc. Ora, Ucc∈C è un ricoprimento di C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioè

C ⊂ Uc1 ∪Uc2 ∪ · · · ∪UcN .

L’intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi

V = Vc1 ∩Vc2 ∩ · · · ∩VcN

è un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1 . . .N , l’intersezione Vci ∩Uci = ∅,

V ∩C = ∅,

cioè V ⊂ X ∖C e quindi X ∖C è aperto per l’arbitrarietà di x, cioè C è chiuso. ⨳



46 #4. COMPATTEZZA

(8.17) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.

Dim. Sia X compatto e f : X → Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrare che f (X) è compatto con latopologia indotta da Y . Ogni ricoprimento aperto Uii di f (X) in Y induce un ricoprimento aperto

f −1(Ui)i

di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La tesi segue dal fatto che per ogni i

f ( f −1(Ui)) ⊂ Ui,

e quindi gli Ui corrispondenti al sottoricoprimento finito f −1Ui coprono f (X). ⨳

(8.18) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è compatto se e solo se Y ècompatto.

Dim. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Se X è compatto, allora f (X) = Y è compatto. Viceversa, se Y ècompatto, allora X = f −1(Y) è compatto dato che f −1 è continua. ⨳

(8.19) Teorema. Una funzione f : X → Y continua tra X compatto e Y Hausdorff è sempre chiusa.

Dim. Se C ⊂ X è un chiuso di X, allora per (8.15) C è compatto. Ma per (8.17) f (C) è compatto di Y , ed uncompatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso per (8.16), quindi f (C) è chiuso. ⨳

(8.20) Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente


(8.21) Corollario. Una funzione continua f : X → Y , biunivoca da un compatto X a un Hausdorff Y è unomeomorfismo.

Dim. È continua, biunivoca e chiusa, dunque un omeomorfismo. ⨳

(8.22) Esempio. Mostriamo che I0∼1 (l’intervallo [0, 1] con gli estremi identificati ad un punto) è omeomorfoalla circonferenza S1 = z ∈ C : |z|2 = 1. Sia p : I → I0∼1 la proiezione sul quoziente. La funzione f : I → S1

definita daf (t) = e2πit = cos 2πt + i sin 2πt = (cos 2πt, sin 2πt)

è continua se e soltanto se lo sono le sue componenti, per la proposizione (6.3) a pagina 30; ma queste lo sonoin quanto composizioni di funzioni continue*. Osserviamo il seguente diagramma:

If

//

p

S1

I0∼1

f

==

La funzione f è indotta dalla funzione f sul quoziente, nel seguente modo:

f ([x]) = f (x)*Per poter dimostrare la continuità delle funzioni sin x, cos x occorrerebbe prima definirle: come sono definite?




per ogni [x] ∈ I0∼1, cioè per ogni x ∈ I . Essa è ben posta semplicemente perché f (0) = f (1). Ora, osserviamoche f è biunivoca, dal momento che è iniettiva in (0, 1) e

f −1(1) = 0, 1 = [0] ∈ I0∼1.

Mostriamo che la funzione indotta f è continua: se U ⊂ S1 è un aperto, allora f −1(U) è aperto nellatopologia indotta se e soltanto se la sua controimmagine mediante p in I è aperto, cioè se e soltanto se p−1 f −1Uè aperto in I . Ma

p−1 f −1U = x ∈ I : p(x) ∈ f −1U= x ∈ I : f (p(x)) ∈ U

= x ∈ I : f (x) ∈ U = f −1U ,

che è aperto dato che f è continua.Per poter usare il Corollario (8.21) occorre mostrare che I0∼1 è compatto e che S1 è Hausdorff. Ma I0∼1

è l’immagine di dell’intervallo I mediante la proiezione (continua) p, e quindi, visto che I ⊂ R è compatto(lo dimostreremo direttamente, con il Teorema di Heine-Borel (9.11) a pagina 60), per la proposizione (8.17)anch’esso è compatto. Infine, S1 ha la topologia metrica di C ∼= R2, e quindi è di Hausdorff (cfr. Esercizio(4.4) a pagina 52). Possiamo quindi usare il Corollario (8.21), e dedurre che f è un omeomorfismo.

Rivedremo questo ragionamento nell’esempio (13.16).

(8.23) Nota (Opzionale). Uno spazio X è compatto se ogni famiglia di chiusi Ci di X con intersezione vuotaammette una sottofamiglia finita con intersezione vuota (infatti…).

Questo consente di esprimere la compattezza nel seguente modo: diciamo che un famiglia J di chiusi diuno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se

∀J0 ⊂ J , |J0| < ∞ =⇒∩i∈J0

Ci = ∅

(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Si può dimostrare che X è compatto se e solose ogni famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota (vedi esercizio (4.8)).

(8.24) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è compatto, allora, in particolare, ogniricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un ricoprimento finito. Viceversa, se ogniricoprimento mediante intorni di B ammette un sotto-ricoprimento finito, allora X è compatto (cioè ogni ri-coprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito, non solo ogni ricoprimento mediante intorni dellabase). Infatti, se Ui è un generico ricoprimento di X, allora (visto che ogni Ui è aperto) Ui = ∪ j Bi, j dove iBi, j sono una famiglia di intorni della base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma allora

X =∪

iUi =

∪i

∪j

Bi, j =∪i, j

Bi, j ,

e quindi Bi, ji, j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l’esistenza di un sottoricopri-mento finito

X = Bi1, j1 ∪ Bi2, j2 ∪ · · · ∪ BiN , jN .

Dal momento che Ui =∪

j Bi, j , per ogni i, j si ha Bi, j ⊂ Ui, e quindi

X = Ui1 ∪Ui2 ∪ · · · ∪UiN ,



48 #4. COMPATTEZZA

cioè Uii ammette sottoricoprimento finito. In altre parole, se H è l’insieme dei Bi, j e J l’insieme degli Ui,allora si può definire una funzione g : H → J tale che Bh ⊂ Ug(h) per ogni h ∈ H. Dato che X ⊂ ∪

h∈H0 Bh perun certo sottoinsieme finito H0 ⊂ H, dovrà essere anche

X ⊂∪h∈H0

Bh ⊂∪

i∈g(H0)

Bi,

dove g(H0) ⊂ J è l’insieme finito di indici cercato.

(8.25) Teorema (Tychonoff – fin(i)to). Se X e Y sono due spazi topologici compatti, allora il prodotto carte-siano X × Y (con la topologia prodotto) è compatto.

Dim. Per la nota (8.24), è sufficiente dimostrare che ogni ricoprimento di X × Y dato da aperti della baseU × V (con U aperto di X e V aperto di Y ) ammette un sottoricoprimento finito. Passo 1: supponiamo cheY sia compatto, x0 ∈ X un punto e N ⊂ X × Y un intorno di x0 × Y in X × Y . Allora esiste un intorno W dix0 in X tale che N ⊃ W × Y (l’intorno W × Y è detto il tubo attorno a x0 × Y ). Dato che x0 × Y è compatto(è omeomorfo a Y !) è possibile estrarre sottoricoprimenti finiti da tutti i ricoprimenti dati dagli elementi dellabase di intorni (per la topologia prodotto) U × V (quelli che generano N con la loro unione…). A meno discartare qualche intorno della base, si può supporre che

U1 ×V1, . . . , Un ×Vn

ricoprono x0 × Y . Sia W = U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un, che è un intorno aperto di x0 con la proprietà cercata:W × Y ⊂ N .Passo 2: Sia Ui × Vi un ricoprimento mediante aperti della base Ui × Vi. Dato che x × Y è compatto, ècontenuto in un sottoricoprimento finito, e l’unione degli aperti di tale ricoprimento per quanto visto sopracontiene un aperto del tipo Wx × Y che contiene x × Y . Quindi per ogni x ∈ X si può trovare un apertoWx di X tale che Wx × Y è contenuto nell’unione di un numero finito di aperti del ricoprimento. Ma datoche X è compatto, esiste una famiglia finita di Wi che ricopre X, e quindi il prodotto cartesiano X × Y èuguale all’unione dei tubi Wxi × Y , ognuno dei quali è coperto dall’unione di un numero finito di aperti delricoprimento Ui ×Vi. ⨳

§ 8.1. SPAZI DI FUNZIONI E CONVERGENZA PUNTUALE (OPZIONALE)

Nella prossima nota introduciamo alcuni esempi di spazi di funzioni, cioè spazi costituiti da tutte le fun-zioni (non necessariamente continue) da un certo insieme A a un certo spazio topologico X. La topologia cheprenderemo in considerazione per questo spazio sarà quella della convergenza puntuale, cioè la topologia percui una successione fn di funzioni fn : A→ X converge ad un limite f se e solo se per ogni α ∈ A la successionedi punti di X definita da fn(α) converge a f (α). Faremo vedere in seguito nella nota (9.16) a pagina 62 che ilcubo di Hilbert (cubo di dimensione infinita, che è uno spazio di questo tipo) è compatto rispetto alla topologiadella convergenza puntuale ma non è vero che ogni successione di suoi punti ha sottosuccessioni convergenti.

(8.26) Nota. Il teorema appena visto non è il teorema di Tychonoff (Тихонов): il vero teorema stabilisce cheil prodotto di una famiglia qualsiasi di compatti è compatto (nella topologia prodotto); se infatti la famiglia èinfinita non si può ripetere il ragionamento sopra esposto.

La cosa importante, in generale, però è la definizione stessa di topologia prodotto per una famiglia infinitadi spazi. Per semplicità, consideriamo il prodotto di infinite copie dello stesso spazio Y , che indichiamo con Y A,




con A insieme infinito. La notazione Y A è scelta per l’analogia con gli interi, dato che Y ×Y = Y2, Y ×Y ×Y =Y3, etc. Osserviamo che gli elementi di Y2 sono le coppie (y1, y2) con yi ∈ Y , e quindi sono le funzioni1, 2 → Y dall’insieme con due elementi ad Y (basta porre y1 = f (1) e y2 = f (2)). Gli elementi di Y3 sonole 3-uple (y1, y2, y3), cioè le funzioni 1, 2, 3 → Y ; gli elementi di Yn sono le funzioni 1, 2, 3, . . . , n → Y .Gli elementi di Y A sono quindi le funzioni, non necessariamente continue, A→ Y (anche l’insieme delle parti2X dell’insieme X non è altro che l’insieme di tutte le funzioni X → 0, 1 da X all’insieme con due elementi0, 1). Un altro simbolo usato è

Y A =∏α∈A

Y

(con questa notazione potremmo definire il prodotto di infiniti spazi arbitrari, non necessariamente copie dellostesso Y ). Se x ∈ X = Y A è un elemento di X, indicheremo anche con xα = x(α) ∈ Y l’immagine di α in Y (lacomponente α-esima di x).

Per ogni insieme finito di indici α1,α2, . . . ,αn ∈ A si possono scegliere n aperti Uα1 , Uα2 , …, Uαn di Y . Latopologia prodotto per X = Y A (detta anche topologia di Tychonoff ) è quella che ha per base tutti i sottoinsiemidel tipo

x ∈ X : x(α) ∈ Uα per ogni α ∈ α1,α2, . . . ,αn

al variare di n ∈N, degli indici αi e delle n-uple Uαi . Si tratta cioè degli insiemi del tipo∏α∈A

Uα

dove gli Uα sono tutti uguali a Y , tranne per un numero finito di indici α per cui sono aperti di Y .Una successione xn di elementi di X converge a x ∈ X se per ogni intorno U di x esiste N tale che n ≥

N =⇒ xn ∈ U. Se quindi xn converge a x, in particolare per un α ∈ A arbitrario fissato accade che per ogniaperto Uα ⊂ Y che contiene x(α) l’aperto di X

x ∈ X : x(α) ∈ Uα

è un intorno di x, e quindi si ha che per n abbastanza grande

xn ∈x ∈ X : x(α) ∈ Uα

e dunque xn(α) ∈ Uα, cioè xn(α) converge a x(α). Cioè, se xn converge a x in Y A con la topologia prodotto,allora per ogni α ∈ A la successione xn(α) converge a x(α) in Y . Viceversa, supponiamo che per ogni α lasuccessione xn(α) converge ad un certo x(α) ∈ Y . Questo definisce un elemento x ∈ X. Mostriamo che alloraxn converge a x in X con la topologia prodotto. Infatti, sia

U =x ∈ X : x(α) ∈ Uα per ogni α ∈ α1,α2, . . . ,αk

un intorno (della base) di x, con k ≥ 1 qualsiasi. Dato che per ipotesi xn(α1) converge a x(α1), esiste N1 taleche n ≥ N1 =⇒ xn(α1) ∈ Uα1 . Dato che per ipotesi xn(α2) converge a x(α2), esiste N2 tale che n ≥ N2 =⇒xn(α2) ∈ Uα2 . Dato che per ipotesi xn(α3) converge a x(α3), esiste N3 tale che n ≥ N3 =⇒ xn(α3) ∈ Uα3

…Dato che per ipotesi xn(αk) converge a x(αk), esiste Nk tale che n ≥ Nk =⇒ xn(αk) ∈ Uαk . Ma allora esistecertamente N (il massimo di tutti gli Ni) per cui vale che n ≥ N =⇒ xn(αi) ∈ Uαi per ogni i = 1, . . . , k, cioè

n ≥ N =⇒ xn ∈ U.



50 #4. COMPATTEZZA

Possiamo quindi concludere che xn converge a x in X. Per questa ragione la topologia prodotto si chiama anchela topologia della convergenza puntuale.

È con questa topologia, che vale il teorema di Tychonoff.Sul prodotto Y A si può definire anche un’altra topologia (che coincide con quella prodotto se A è finito):

la topologia box. Questa ha per base di aperti la famiglia di tutti i prodotti∏α∈A

Uα

di aperti Uα ⊂ Y , senza la restrizione di finitezza. Al variare delle famiglie di aperti Uα (le famiglie di apertidi Y sono le funzioni A→ 2Y che hanno per immagini degli elementi α di A gli aperti Uα ∈ 2Y ), gli insiemi

x ∈ X : x(α) ∈ Uα per ogni α ∈ A

sono quindi una base per la topologia box. Ogni aperto nella topologia box è pertanto anche un aperto nellatopologia prodotto di Y A, ma in generale può non essere vero il viceversa.

Prendiamo infatti A = N e Y = R. Lo spazio X = RN(= Rω) è lo spazio di tutte le successioni dipunti sulla retta reale R. Si può far vedere che la topologia prodotto è metrizzabile (cioè indotta da una certametrica): si veda l’esercizio (4.18). Osserviamo che se x ∈ X è una successione limitata in R, allora x ècontenuto nell’intorno

(8.27)x ∈ X : xα ∈ Bϵ (xα) per ogni α ∈ A

per ϵ > 0 arbitrario, cioè l’insieme delle successioni limitate di R costituisce un aperto di X (nella topologiabox). Analogamente, se la successione x ∈ X non è limitata in R, allora x è contenuto nell’intorno

(8.28)x ∈ X : xα ∈ Bϵ (xα) per ogni α ∈ A

,

per ϵ > 0 arbitrario. Allora anche il complementare dell’insieme delle successioni limitate è un aperto nellatopologia box.

D’altro canto, nella topologia prodotto, ogni intorno ha solo un numero finito di vincoli del tipo x(α) ∈ Uα,per cui ogni intorno di una successione convergente x ∈ RN con la topologia prodotto contiene certamentesuccessioni non convergenti, e quindi l’insieme delle successioni convergenti non è un aperto di RN nella topo-logia della convergenza puntuale (topologia prodotto). (Non è un aperto nemmeno l’insieme delle successioninon convergenti, e quindi l’insieme delle successioni convergenti non è nemmeno un chiuso).

Il cubo di Hilbert = [0, 1]N ⊂ RN è compatto nella topologia prodotto (per il teorema di Tychonoff),mentre non lo è nella topologia box. Infatti, se [0, 1]N fosse compatto nella topologia box, allora lo sarebbeanche il sottoinsieme 0, 1N, che sarebbe un chiuso di un compatto. Infatti, se x ∈ [0, 1]N è nel complementaredi 0, 1N, cioè esiste un α ∈ N tale che xα ∈ 0, 1, cioè 0 < xα < 1, allora esiste certamente ϵ > 0 per cuiBϵ (xα) ⊂ (0, 1), e quindi l’aperto

x ∈ [0, 1]N : ∀α, x(α) ∈ Bϵ (xα)

è un intorno di x contenuto nel complementare di 0, 1N. In altre parole, 0, 1N è un chiuso di [0, 1]N, equindi compatto per ipotesi (d’assurdo). Ma basta ora osservare che

(i) 0, 1N ha infiniti elementi distinti (sono numerabili?).




(ii) Per ogni x ∈ 0, 1N, se ϵ < 1 allora

x ∈ 0, 1N : ∀α, x(α) ∈ Bϵ (xα) = x,

cioè x ha un intorno aperto che contiene solo x, tra i punti di 0, 1N. Quindi la topologia indotta dallatopologia box su 0, 1N è la topologia discreta.

I punti stessi di 0, 1N costituiscono quindi un ricoprimento aperto, che non ammette sottoricoprimento finito:non può essere compatto.



52 #4. COMPATTEZZA

ESERCIZI

*(4.1) Sia A ⊂ R un sottoinsieme non vuoto. Un numero m ∈ R è un maggiorante se ∀a ∈ A, a ≤ m (perdefinizione, un insieme limitato superiormente è un insieme con almeno un maggiorante). L’insieme di tutti imaggioranti di A è chiuso? È limitato inferiormente (nota: l’estremo superiore sup A è il minimo dell’insiemedei maggioranti)?

*(4.2) Dimostrare che se A ⊂ R è un sottoinsieme di R (con la metrica euclidea), allora sup A e inf A apparten-gono alla chiusura A.

(4.3) Sia C ⊂ [a, b] ⊂ R un sottoinsieme chiuso di [a, b] (chiuso nella topologia indotta su [a, b] da R).Dimostrare cheC è chiuso inR. Dimostrare che la stessa proprietà è falsa per gli aperti: trovare un sottoinsiemeA ⊂ [a, b] ⊂ R aperto nella topologia di [a, b] ma non in quella di R.

(4.4) Dimostrare che uno spazio X metrizzabile è di Hausdorff.

(4.5) Sia A ⊂ X un sottoinsieme di X spazio topologico. Dimostrare che x ∈ X è un punto di accumulazionedi A se e solo se

x ∈ A∖ x.

(4.6) Dimostrare che ogni sottosuccessione di una successione convergente converge.

(4.7) Dimostrare l’unicità del limite di successioni in spazi di Hausdorff: Se X è uno spazio di Hausdorff exn una successione in X, allora limn xn = x e limn xn = y implica x = y.

*(4.8) Diciamo che un famiglia di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se

∀J0 ⊂ J , |J0| < ∞ =⇒∩i∈J0

Ci = ∅

(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Diciamo che X ha la FIP se ogni sua famigliadi chiusi con la FIP ha intersezione non vuota: ∩

i∈JCi = ∅.

Dimostrare che X è compatto se e solo se ha la FIP. (Suggerimento: X ∖Ci è aperto, e quindi…).

*(4.9) Dimostrare che l’ultimo assioma della lista di assiomi di R è ridondante (si può dedurre dai primi 7).

(4.10) È vero che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera? E il viceversa(cioè è vero che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito dipunti)?

(4.11) Si consideri la famiglia τ di tutti i sottoinsiemi di N = 1, 2, . . . costitutita dall’insieme vuoto, da N

e da tutti i sottoinsiemi del tipo

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5 . . .

È vero che τ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia, N è compatto?



Esercizi 53

(4.12) Determinare se l’intervallo I = x, ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 meno un punto x0 ∈ I è compatto, al variare di x0.(I ∖ x0 = x ∈ I : x = x0 ).

(4.13) Si consideri il sottoinsieme di R definito da

X =

x ∈ R : x =pq

, p, q ∈ Z, |pq| ≤ 10100

.

Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia euclidea di R):

(i) X è chiuso;

(ii) X è aperto;

(iii) X è compatto.

(4.14) Sia an la successione di numeri razionali (n ≥ 1) definita come segue:

an =pqse n = 2pq con q dispari.

Se n è dispari risulta quindi an = 0 (dato che l’unico modo di scrivere un numero dispari nella forma 2pq ècon p = 0). Quali sono i suoi punti di accumulazione, cioè i punti di accumulazione dell’insieme

X = an : n ∈N, n ≥ 1?

Quali sono i punti limite di sottosuccessioni convergenti di an?

(4.15) Sia X ⊂ R2 l’insieme definito da

X = (x, y) ∈ R2 : y2 = x3 − x.

Quali delle seguenti sono vere?

(i) X è un chiuso di R2.

(ii) La parte X ∩ (x, y) ∈ R2 : x ≤ 0 è compatta.

(iii) L’interno di X in R2 è vuoto.

(4.16) Determinare quali dei seguenti spazi sono tra loro omeomorfi (esibendo gli omeomorfismi, altrimentidimostrando in modo un po’ intuitivo – non rigoroso – quando e se non ne esistono).

(i) L’intervallo chiuso [0, 1];

(ii) La circonferenza S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1.

(iii) Il quadrato: Q = (x, y) ∈ R2 : (x2 − 1)(y2 − 1) = 0, x2 ≤ 1 ≥ y2.

(iv) L’intervallo aperto (0, 1).

(4.17) Si consideri nello spazio R la relazione: x ∼ y ⇐⇒ sin2 x = sin2 y.

(i) È una relazione di equivalenza?



54 #4. COMPATTEZZA

(ii) Se sì, si dia a X = R/∼ la topologia quoziente. Lo spazio così ottenuto è compatto?

**(4.18) Sia X = [0, 1]N lo spazio di tutte le successioni di punti dell’intervallo unitario della retta reale, cioèlo spazio definito come X = [0, 1]N l’insieme di tutte le funzioni x : N → [0, 1]. Per ogni famiglia finita diaperti di [0, 1]

U0, U1, U2, . . . , UN ⊂ [0, 1]

(con Ui ⊂ [0, 1] aperto per i = 0, 1, . . . , N) si consideri in X l’insieme

Φ(U0, U1, . . . , UN ) :=x ∈ X : ∀i ∈ 0, 1, . . . , N, x(i) ∈ Ui

⊂ X.

SiaA la famiglia di tutti i possibili insiemi Φ(U0, U1, . . . , UN ) al variare di N ∈N e degli Ui .

(i) Dimostrare che ∅ ∈ A e X ∈ A.(ii) Dimostrare che A1, A2 ∈ A =⇒ A1 ∩ A2 ∈ A.(iii) Dimostrare che esistono A1, A2 ∈ A tali che A1 ∪ A2 ∈ A.(iv) Per ogni N ∈N, sia AN l’insieme definito da

AN =x ∈ X : x(N) ∈ [0, 1/2)

.

Dimostrare che AN ∈ A. Descrivere l’insieme

A =∪N∈N

AN

e determinare seA è una topologia per X.

(v) Dimostrare cheA è una base per una topologia su X.

(vi) Si consideri la funzione d : X × X → R definita da d(x, y) =∑

n∈N|x(n) − y(n)|

2n . Dimostrare che d èben definita e che è una metrica su X.

(vii) Dimostrare che gli intorni sferici in X

Br(z) =x ∈ X : d(x, z) < r

sono aperti di X rispetto alla topologia generata da A (suggerimento: se y ∈ Br(z), allora esiste δ > 0tale che d(z, y) = r − δ. Esistono allora certamente N > 0 e ϵ > 0 tali che

∑∞n=N+1 2−n < δ/2 e

ϵ(∑N

n=0 2−n)< δ/2, da cui, con la disuguaglianza triangolare, possiamo costruire un elemento della

baseA contentente y tale che ... ).

(viii) Fissati U0, U1, . . . , UN aperti di [0, 1], sia y ∈ X tale che y(n) ∈ Un per ogni n = 0, . . . , N . Mostrare cheesiste ϵ > 0 tale che per ogni n = 0, . . . , N si ha per t ∈ [0, 1]

|t − y(n)| < 2nϵ =⇒ t ∈ Un.

Dedurre che l’intorno sferico in X con centro in y e raggio ϵ è contenuto nell’aperto

Φ(U0, U1, . . . , UN ) =x ∈ X : ∀n ∈ 0, 1, . . . , N, x(n) ∈ Un

⊂ X.



Esercizi 55

(suggerimento si osservi che se an ≥ 0 sono termini positivi o nulli allora

∞∑n=0

an

2n < ϵ =⇒ ∀N , aN < 2Nϵ

). Dedurre che X ha la topologia metrica indotta da d.



56 #4. COMPATTEZZA



Settimana N° 5

COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI

§ 9. COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI

(Cfr.)*

(9.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme, con la topologia indotta†. Le seguentiproposizioni sono equivalenti:

(i) C è compatto (Heine-Borel).

(ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in C (Bolzano-Weierstrass).

(iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in C (i.e. C è compatto per succes-sioni).

Dim. Cominciamo a dimostrare che (i) =⇒ (ii), cioè che ¬(ii) =⇒ ¬(i). Se è vero ¬(ii), esiste uninsieme infinito A ⊂ C di punti di C che non ha nessun punto di accumulazione in C (cioè nessun punto di C èdi accumulazione per A, e quindi in particolare nessun punto di A è di accumulazione per A). Questo significache ogni a ∈ A non è di accumulazione, e quindi per ogni a ∈ A esiste un intorno aperto Ua di a tale che Ua ∩ Anon contiene altri punti oltre ad a, cioè

(9.2) Ua ∩ A = a

Si consideri ora il ricoprimento aperto di A:

A ⊂∪a∈A

Ua.

Per la (9.2), il ricoprimento Ua di A non ammette nessun sottoricoprimento, e dato che se A è infinito ancheil ricoprimento è infinito, risulta che A non è compatto. Per mostrare che C non è compatto, basta osservareche A è chiuso in C (dal momento che nessun punto di C è di accumulazione per A, la chiusura di A in C èuguale a A): se C fosse compatto anche A dovrebbe essere compatto, per (8.15). Quindi C non è compatto.

*Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].†Equivalentemente: sia C uno spazio metrico, quindi.

57

58 #5. COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI

Ora mostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia xii∈J una successione di punti di C e A ⊂ C l’insieme dei puntidi xii∈J . Se A è un insieme finito, allora c’è (in modo banale) una sottosuccessione xii∈J0 con J0 ⊂ J checonverge in C: basta prendere una successione costante. Altrimenti, A è un insieme infinito, e dunque per (ii)esiste un punto x ∈ C che è di accumulazione per A. Per definizione, questo vuol dire che per ogni ϵ > 0l’intersezione

Bϵ (x) ∩ (A∖ x) = ∅.Cioè, per ogni ϵ > 0 esiste y ∈ A, y = x per cui

y ∈ Bϵ (x)

(ricordiamo anche che y ∈ A ⇐⇒ y = xn per qualche n). Dato che X è uno spazio metrico, segue cheper ogni ϵ > 0 Bϵ (x) ∩ A ha infiniti punti (vedi anche esercizio (5.2)). Ora, definiamo la successione nkper induzione: si scelga y ∈ B1(x) ∩ A. Allora esiste n1 tale che xn1 = y. Supponiamo di aver definito nk .

Definiamo ϵk+1 =1

k + 1, ed allora esistono infinite scelte per y ∈ Bϵk+1(x) ∩ A, dunque infinite soluzioni

(intere) dell’equazionexn ∈ Bϵk+1(x).

Dato che sono infinite, ne esiste una per n > nk , che chiamiamo nk+1. È facile vedere che la sottosuccessionexnk converge a x ∈ C.

Infine mostriamo che (iii) =⇒ (i). Questa è la parte più difficile della dimostrazione. Per prima cosa,supponiamo di avere un ricoprimento Uα di C costituito esclusivamente da intorni circolari Uα = Brα(cα) emostriamo che

(9.3) esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ(x) è contenuto in qualche Uα.

Dimostrazione del lemma (9.3). Dobbiamo mostrare che per ogni x ∈ C esiste Uα = Brα(cα) tale che Bδ(x) ⊂Brα(cα). Se ciò non fosse vero, dovrebbe essere vero che per ogni δ > 0 esiste x = x(δ) ∈ C tale che per ogniα Bδ(x) ⊂ Bα. Consideriamo la successione δn =

1n . Allora, per ogni n ≥ 1 si può definire un elemento xn ∈ C

per cui

(9.4) ∀α, Bδn(xn) ⊂ Uα.

Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii) è vera, e quindi la successione xn ammette una sottosuccessionexnk che converge ad un certo y ∈ C. Dal momento che C è ricoperto dagli aperti Ui , esiste un aperto Uαy delricoprimento che contiene y, cioè tale che

limk

xnk = y ∈ Uαy .

Ma per ipotesi Uαy è aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che Br(y) ⊂ Uαy , e se k è grande abbastanza siha che xnk ∈ Br/2(y) (dalla convergenza della sottosuccessione) e quindi per la disuguaglianza triangolare che

Br/2(xnk ) ⊂ Br(y) ⊂ Uαy .

Dato che per k abbastanza grande δnk <r2 , si può trovare un k per cui

Bδnk(xnk ) ⊂ Br(y) ⊂ Uαy .

Ma questo contraddice la definizione degli xn (equazione (9.4)), per cui l’ipotesi è falsa. Abbiamo mostratoche esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ(x) è contenuto in qualche Ui del ricoprimento aperto. ⨳



§ 9. COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI 59

Ora, mostriamo che

(9.5) per ogni ϵ > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito di intorni circolari di raggio ϵ .*

Dimostrazione del lemma (9.5). Se ciò non fosse vero, per un certo ϵ > 0, si scelga x1 ∈ C; dato che Bϵ (x1)non può ricoprire C (per ipotesi), esiste x2 ∈ C tale che x2 ∈ Bϵ (x1). Analogamente, si scelga x3 ∈ C ∖(Bϵ (x1) ∪ Bϵ (x2)), e per induzione

xn+1 ∈ C ∖ n∪

i=1Bϵ (xi)

.

La successione (di infiniti punti distinti) esiste perché

n∪i=1

Bϵ (xi)

non può mai coprire C. Inoltre, se h = k si ha

d(xh, xk) ≥ ϵ ,

e quindi la successione xii non può avere sottosuccessioni convergenti. Ma dato che stiamo assumendo (iii)vera, ogni successione in C deve avere almeno una sottosuccessione convergente, e questa proprità è contrad-detta dall’esistenza della successione xi. Quindi l’ipotesi era falsa, e per ogni ϵ > 0 l’insieme C è ricopertoda un numero finito di intorni circolari di raggio ϵ . ⨳

Sia quindi C ricoperto da un numero finito di intorni circolari Bϵ (c j) di raggio ϵ e Uα il ricoprimentodi C di intorni circolari definito sopra, con ϵ < δ. Dato che ϵ < δ, per ogni intorno Bϵ (c j) (nell’insiemefinito di intorni che ricopre C) esiste un intorno Uα = Uα( j) tale che Bϵ (c j) ⊂ Uα( j). L’insieme finito diintorni Uα( j) j ricopre C, dato che Bϵ (c j) ricopre C, ed è quindi un sottoricoprimento finito di Uα. Perconcludere la dimostrazione, bisogna trovare sottoricoprimenti finiti per ricoprimenti aperti generici, e nonsolo per ricoprimenti di intorni della base di intorni circolari. Ma questo segue da (8.24). ⨳

(9.6) Nota. Osserviamo che abbiamo di fatto dimostrato il seguente lemma (chiamato lemma del numero diLebesgue):

(9.7) Sia X uno spazio metrico compatto, e Uα un ricoprimento aperto di X. Allora esiste δ > 0 (chiamatonumero di Lebesgue del ricoprimento Uα) tale che per ogni x ∈ X esiste α tale che x ∈ Bδ(x) ⊂ Uα.

Dim. Se Uα è composto da intorni sferici (palle), allora si tratta esattamente di (9.3). Altrimenti, gli Uα sonounioni di intorni circolari perché aperti, e quindi possiamo sostituire ad ogni Uα = ∪iBα,i l’insieme di Bα,idi cui è unione, ed ottenere un ricoprimento per cui vale (9.3). Quindi per ogni x ∈ X esiste α, i tale chex ∈ Bδ(x) ⊂ Bα,i, e quindi esiste α tale che x ∈ Bδ(x) ⊂ Uα, dato che Bα,i ⊂ Uα. ⨳

(9.8) Nota. Se X non è uno spazio metrico (o metrizzabile), le tre proprietà non sono necessariamente equi-valenti. Ci sono esempi di spazi per cui vale (i) ma non vale (iii) (nella nota (9.16) a pagina 62: si dice cheè compatto ma non compatto per successioni). Ma ci sono anche spazi per cui vale (iii) ma non (i) (cioèX = ω1 è compatto per successioni ma non lo è per ricoprimenti; ω1 è semplicemente un certo insieme con

*La proprietà che per ogni ϵ > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito di intorni sferici di raggio ϵ ha un nome: sidice cheC è totalmente limitato. È chiaro che seC è totalmente limitato, allora è limitato. Purtroppo in generale non è vero il viceversa.




la topologia degli intervalli, rispetto ad un ordine totale, che però non riusciamo a definire in questo corso;un esempio –opzionale– si può trovare nella nota (9.17) a pagina 63). In generale, però vale (i) =⇒ (ii)(guardare la dimostrazione…), e (iii) =⇒ (ii).

(9.9) Nota. L’intervallo [0, 1] di Q non è compatto. Per (9.1), basta trovare una successione in [0, 1] che con-verge a un numero irrazionale. Un esempio è quello delle troncate n-esime delle cifre decimali di un irrazionaledi [0, 1]. Esempi costruttivi di successioni di questo tipo sono molto interessanti: una cosa è dire che esiste unasuccessione di razionali che converge a q, un’altra cosa è definire una funzione (ricorsiva, per esempio) o unalgoritmo che genera tali razionali. In altre parole, fissato per esempio q =

√2/2 dovrebbe essere possibile

scrivere un programma che per k assegnato calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali di q. Èpossibile in questo modo scrivere un programma che calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimalianche di π? È vero che per ogni x ∈ R esiste un programma che per k assegnato calcola in modo esatto tuttele prime k cifre decimali di x (di qualsiasi irrazionale)? Stiamo parlando naturalmente di programmi in sensoastratto. Nei casi concreti, programmi che impiegano 10100 anni per terminare non sono di grande utilità (siveda più avanti anche (11.18) a pagina 78).

A Spigot Algorithm* for the Digits of π

import sysdef main():

k, a, b, a1, b1 = 2L, 4L, 1L, 12L, 4Lwhile 1:

p, q, k = k*k, 2L*k+1L, k+1La, b, a1, b1 = a1, b1, p*a+q*a1, p*b+q*b1d, d1 = a/b, a1/b1while d == d1:

output(d)a, a1 = 10L*(a%b), 10L*(a1%b1)d, d1 = a/b, a1/b1

def output(d):sys.stdout.write(str(d))sys.stdout.flush()

if __name__ == "__main__":main()

(9.10) Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Se C è compatto, allora C è chiuso e limitato.

Dim. Ogni spazio metrico è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)), e ogni compatto di uno spazio di Hausdorff èchiuso (vedi (8.16)), per cui seC è compatto di X alloraC è chiuso. Dobbiamo quindi mostrare cheC è limitato.Sia x0 un punto di X e Bn(x0) la successione crescente di intorni circolari di raggio n ∈N. Dato che Bn(x0)nè un ricoprimento aperto di C, deve ammettere un sottoricoprimento finito, cioè deve esistere n0 ∈ N per cuiC ⊂ Bn0(x0), cioè C è limitato. ⨳

(9.11) Teorema (Heine-Borel). L’intervallo unitario [0, 1] ⊂ R è compatto.

Prima dimostrazione. Sia Uii∈J un ricoprimento di [0, 1] e definiamo

F =t ∈ I : [0, t] è coperto da una famiglia finita

di aperti di Uii∈J

*A Spigot Algorithm for the Digits of π, S. Rabinowitz, S. Wagon (The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 3 (Mar.,1995), pp. 195-203 ).




Si vede che 0 ∈ F (e quindi F non è vuoto) e che t ∈ F, 0 ≤ s < t =⇒ s ∈ F. Si consideri m = sup F(l’estremo superiore di F, che esiste per gli assiomi (8.1)). Allora t < m =⇒ t ∈ F e t > m =⇒ t ∈ F.Vediamo se m ∈ F oppure no. Dato che m ∈ [0, 1] e Ui ricopre [0, 1], esiste im ∈ J per cui m ∈ Uim . Ma Uim èaperto, e dunque esiste un intorno circolare di raggio ϵ tale che Bϵ (m) ⊂ Uim . Visto che m− ϵ ∈ F, l’intervallo[0, m− ϵ ] è ricoperto da un numero finito di aperti Ui, che uniti ad Uim costituiscono un numero finito di apertiche copre [0, m], e dunque m ∈ F, cioè

F = [0, m].

Ora, se m < 1, allora un ricoprimento finito di [0, m] sarebbe anche ricoprimento finito di [0, m + ϵ ] per uncerto ϵ abbastanza piccolo, per cui deve essere m = 1, cioè F = [0, 1] (in altre parole, abbiamo trovato ilricoprimento finito di [0, 1]). ⨳

Seconda dimostrazione. Sia Uii∈J un ricoprimento aperto di I0 = [0, 1]. Supponiamo per assurdo che non

ammetta sottoricoprimenti finiti. Dividiamo I0 nelle due metà di lunghezza12:

[0, 1] = [0,12] ∪ [1

2, 1].

Se entrambe le metà fossero ricoperte da un numero finito di Ui, cadremmo in contraddizione, per cui almenouna delle due non lo è, e la chiamiamo I1. Dividendo I1 in due metà, possiamo di nuovo applicare lo stessoargomento per definire I2, e così via una successione In di intervalli chiusi non ricopribili da un numero finitodi aperti Ui , di lunghezza 2−n, e con la proprietà In ⊂ In−1 per ogni n ≥ 1.

I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . . .

Ora, se definiamo

I∞ =∞∩

i=0In,

osserviamo che I∞ non può avere più di un punto (infatti, x, y ∈ I∞ =⇒ ∀n ≥ 0, x, y ∈ In =⇒ ∀n ≥0, |x − y| ≤ 2−n, che implica |x − y| = 0). Come conseguenza dell’esistenza dell’estremo superiore in R, si puòmostrare (vedi esercizio (5.3)) che I∞ non è vuoto, e che

I∞ = inf(max In) = sup(min In).

Sia p ∈ I∞. Dato che p ∈ I , esiste ip ∈ J per cui p ∈ Uip , e quindi esiste un ϵ > 0 tale che

Bϵ (p) ⊂ Uip .

Ma se n è abbastanza grande, In ⊂ Bϵ (p), e dunque esiste un n per cui

In ⊂ Bϵ (p) ⊂ Uip :

ciò contraddice l’ipotesi che ogni In non si può coprire con un insieme finito di Ui (un solo Uip è sufficiente!).⨳

La seconda dimostrazione (bisezione) può essere modificata in questo modo, dato che grazie al Teorema(9.1) basta mostrare che ogni sottoinsieme infinito A di [0, 1] ha un punto di accumulazione in [0, 1]: in I0 =

[0, 1] ci sono infiniti punti di A, e quindi in una delle due metà [0, 1/2], [1/2, 1] ce ne devono essere infiniti. Ecosì per induzione, si ottiene una catena I0 ⊃ I1 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . di intervalli di ampiezza 2−n che converge alpunto di accumulazione di A (esercizio!).




(9.12) Corollario. Per ogni a<b ∈ R, l’intervallo [a, b] è compatto.

Dim. Dato che l’intervallo [a, b] è omeomorfo all’intervallo [0, 1], segue immediatamente da (9.11). ⨳

(9.13) Teorema (Heine-Borel II). Se X = Rn con la metrica euclidea, allora C ⊂ X è compatto se e solo sechiuso e limitato.

Dim. La proposizione (9.10) è la parte “solo se”. Viceversa, se C ⊂ Rn è limitato, allora è contenuto nelparallelepipedo del tipo

C ⊂ [a, b]n ⊂ Rn,

che è compatto per il corollario (9.12) unito al teorema (8.25). Quindi, se C è chiuso in X, è chiuso anchein [a, b]n e quindi è un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto, e quindi è compatto per la proposizione(8.15). ⨳

(9.14) Corollario (Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato in Rn ha almeno un punto di accu-mulazione.

Dim. Un insieme infinito e limitato in Rn è anche, come sopra, un sottoinsieme infinito del compatto [a, b]nper qualche a, b. Per (9.1), (ii), esiste quindi un punto di accumulazione. ⨳

(9.15) Teorema. Una funzione continua f : X → R definita su un dominio compatto X ha massimo e minimo.

Dim. Dato che X è compatto, f (X) è compatto e quindi chiuso e limitato in R. Dato che è limitato, sia l’e-stremo superiore M = sup( f (X)) che l’estremo inferiore m = inf( f (X)) esistono finiti. Gli estremi m e Mappartengono alla chiusura f (X) (vedi esercizio (4.2)), che coincide con f (X) dato che f (X) è chiuso, quindim ∈ f (X), M ∈ f (X), e quindi sia m che M sono assunti in X, cioè m = minx∈X f (x), M = maxx∈X f (x). ⨳

(9.16) Nota (Opzionale). Consideriamo, come nella nota (8.26) a pagina 48, la topologia prodotto di unafamiglia qualsiasi di spazi. Per esempio, l’insieme delle parti X = 2[0,1] dell’intervallo [0, 1], che possiamoidentificare con l’insieme di tutte le funzioni f : [0, 1] → 0, 1. Nella topologia (prodotto) di X una successione fn converge a f se e soltanto se per ogni α ∈ [0, 1] fn(α) converge a f (α). Con la topologia prodotto e ilteorema di Tychonoff, dato che 0, 1 è compatto, allora anche X è compatto. Ora costruiamo una successionefn in X che non converge puntualmente, e per cui nessuna sottosuccessione converge puntualmente. Per ognit ∈ [0, 1] sia

t = a0, a1a2a3 . . . an . . .

la rappresentazione in cifre binarie di t, cioè

t =∞∑j=0

a j2− j .

Poniamofn(t) = an,

cioè fn(t) è uguale all’n-esima cifra nella rappresentazione binaria di t. Ora, se fnk è una sottosuccessionequalsiasi, sia α ∈ [0, 1] un numero qualsiasi le cui cifre binarie α = a0, a1a2 . . . soddisfano

ank = k mod 2.




Allora fnk (α) = k mod 2, e la sottosuccessione fnk non converge puntualmente. Quindi X è compatto, manon è vero che ogni successione in X ammette almeno una sottosuccessione convergente. Segue qundi dalTeorema (9.1) che sullo spazio X di tutte le funzioni [0, 1] → 0, 1 non è possibile definire una metrica cheinduca la topologia della convergenza puntuale (non è metrizzabile nella topologia prodotto/della convergenzapuntuale).

Consideriamo ora in X l’insieme D ⊂ X delle funzioni f : [0, 1] → 0, 1 che sono uguali a 1 solo in unnumero finito di punti di [0, 1]. Sia x ∈ X un punto arbitrario di X; se U ⊂ X è un aperto della base dellatopologia prodotto di X, allora esistono k punti α1, . . . ,αk ∈ [0, 1] e k valori y1, . . . , yk ∈ 0, 1 tali che

U = f ∈ X : ∀i = 1 . . . k, f (αi) = yi,

e quindi gli intorni U di x ∈ X sono gli insiemi di funzioni f : [0, 1] → 0, 1 che coincidono con x suun insieme finito di punti α1, . . . ,αk . In ogni intorno quindi cadono sempre punti di D oltre ad x, cioè ognix è di accumulazione per D (D è denso in X). Però le successioni di punti in D non possono convergere(puntualmente!) che a funzioni x : [0, 1] → 0, 1 che sono uguali a 1 al massimo in un insieme numerabile dipunti. Quindi ci sono punti di accumulazione per D che non sono limiti di successioni di punti in D.

(9.17) Nota (Opzionale). Modifichiamo l’esempio della nota (9.16), per ottenere uno spazio che è compattoper successioni ma non compatto. Sia 0, 1I l’insieme di tutte le funzioni (non necessariamente continue)I → 0, 1, dove I = [0, 1] ⊂ R ha la topologia metrica e 0, 1I ha la topologia della convergenza puntuale(cioè quella prodotto di una infinità non numerabile (I) di copie di 0, 1, analogamente alla nota precedente).Per ogni f : I → 0, 1, il supporto di f è definito da

S( f ) = t ∈ [0, 1] : f (t) = 1.

Sia ora X ⊂ 0, 1I il sottospazio definito da

X =f ∈ 0, 1I : S( f ) è numerabile.

⊂ 0, 1I ,

con la topologia indotta.

(9.18) Per ogni successione fn di elementi di X esiste una sottosuccessione fnk convergente in X: X ècompatto per successioni.

Dim. L’unione di tutti i supporti delle fn è unione numerabile di insiemi numerabili, e quindi anch’esso ènumerabile:

S = ∪nS( fn) ≈N.

Ora, le funzioni fn|S, le restrizioni delle fn all’unione dei supporti S, costituiscono una successione in IS (lospazio di tutte le funzioni da S a 0, 1). Ma si può mostrare che 0, 1S ≈ 0, 1N è metrico (è l’insieme diCantor dell’esercizio (6.22) a pagina 90) e compatto (nella topologia prodotto, per il teorema di Tychonoff oper l’esercizio (6.22)), e quindi esiste una sottosuccessione fnk |S che converge in IS, cioè una sottosuccessioneper cui per ogni t ∈ S si ha che fnk (t) converge. Ma se t ∈ S, fnk = 0 per definizione, e quindi fnk (t) convergeper ogni t ∈ I , e dunque converge ad una funzione f . Il supporto di f è per forza numerabile (contenuto in S),e quindi f ∈ X, dunque X è compatto per successioni. ⨳

D’altra parte vale il seguente lemma.

(9.19) X non è compatto (per ricoprimenti).




Dim. Per ogni t ∈ I , l’insiemeAt =

f ∈ X : f (t) = 0

è un aperto di X (è un elemento della base di aperti nella topologia prodotto di 0, 1I ∩ X). Per ogni f ∈ Xesiste certamente t ∈ I tale che f (t) = 0, perché altrimenti il supporto S( f ) sarebbe non numerabile. Quindi

X ⊂ ∪t∈[0,1]At

è un ricoprimento aperto. Ma X non può essere coperto da un numero finito di At: per ogni insieme finitot1, . . . , tn esiste certamente f ∈ X tale che

f (t1) = 1, . . . , f (tn) = 1,

cioè f ∈ Ati per i = 1, . . . , n. Quindi X non è compatto. ⨳

§ 10. SPAZI METRICI COMPLETI

(10.1) Definizione. Una successione xnn in uno spazio metrico si dice di Cauchy se per ogni ϵ > 0 esiste unintero N = N(ϵ) per cui

n, m > N =⇒ d(xn, xm) < ϵ .

(10.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy.

Dim. Se limn xn = x, allora per ogni ϵ > 0 esiste n0 > 0 tale che n > n0 =⇒ d(x, xn) < ϵ . Quindi sen, m > n0 si ha (per la disuguaglianza triangolare)

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) < 2ϵ ,

e quindi la successione è di Cauchy. ⨳

(10.3) Ogni successione di Cauchy è limitata.

Dim. Per definizione, esiste N ≥ 1 tale che m, n ≥ N =⇒ d(xn, xm) < 1. Ma allora in particolare per ognin ≥ N d(xn, xN ) < 1 e quindi per ogni n ≥ 1

d(xn, x1) ≤ M = maxd(x1, x2), d(x1, x3), . . . , d(x1, xN ) + 1,

e dunque xn ⊂ BM(x1) è limitata. ⨳

(10.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni successione di Cauchy in X converge in X.

(10.5) Uno spazio metrico X è completo se e solo se ogni successione di Cauchy in X ammette una sottosuc-cessione convergente.

Dim. È ovvio che se è completo allora ogni successione di Cauchy converge, e dunque basta prendere lasuccessione stessa xn. Supponiamo invece che ogni successione di Cauchy ammetta una sottosuccessioneconvergente. Sia xn una successione di Cauchy e xnk la sottosuccessione convergente a x ∈ X. Per ogniϵ > 0 esiste N tale che

m, n > N =⇒ d(xn, xm) < ϵ /2,



§ 10. SPAZI METRICI COMPLETI 65

ed un K tale che k > K =⇒ nk > N ed(xnk , x) < ϵ /2.

Ma allora se n > N si ha per ogni k > K

d(xn, x) ≤ d(xn, xnk ) + d(xnk , x) < ϵ ,

cioè xn converge a x. ⨳

(10.6) Corollario. Se X è uno spazio metrico compatto, allora X è completo.

Dim. Per (9.1), ogni successione in X ammette una sottosuccessione convergente. In particolare, quindi, ognisuccessione di Cauchy in X ammette una sottosuccessione convergente. Ma allora per (10.5) lo spazio metricoX è completo. ⨳

(10.7) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY . Allora X × Y è uno spazio metrico con la metricaprodotto definita da

d ((x1, y1), (x2, y2)) =√

dX(x1, x2)2 + dY (y1, y2)2


(10.8) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica prodotto è uno spazio metricocompleto.

Dim. Esercizio (-1.1). ⨳

(10.9) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso in X.

Dim. Esercizio (-1.2). ⨳

(10.10) Teorema. La retta reale R è uno spazio metrico completo. Per ogni n ≥ 1 lo spazio euclideo Rn ècompleto.

Dim. Cominciamo a mostrare che R è completo. Se xn è una successione di Cauchy, allora per (10.3) è unasuccessione limitata che per (9.14) ha una sottosuccessione convergente ad un limite in R (se non fosse infinitasarebbe immediato trovare il limite…). Ma per (10.5) allora xn converge in R, e dunque R è completo. Laseconda parte dell’enunciato segue da (10.8). ⨳

(10.11) Nota. Il campo Q non è completo: come sopra, basta trovare successioni di razionali convergenti anumeri irrazionali.

(10.12) Nota. Per gli spazi metrici, la compattezza e la completezza sono concetti vicini, ma non equivalenti.Infatti, R è completo, ma non è certamente compatto. Esistono anche spazi metrici compatti che non sonocompleti? Come visto in (10.6), uno spazio metrico compatto è anche completo. Il legame può essere dato inmodo più preciso, dato che vale una generalizzazione del Teorema di Heine-Borel (che si chiama anch’essoTeorema di Heine-Borel): uno spazio metrico è compatto se e soltanto se esso è completo e totalmente limitato.Ricordiamo che uno spazio metrico è totalmente limitato quando vale la proprietà della proposizione (9.5) apagina 59 (si veda la nota a pie’ di pagina). Comunque, anche se è vero che uno spazio metrico compatto ècertamente completo, in generale uno spazio compatto non è necessariamente metrizzabile, e quindi a fortioripuò non essere completo.




(10.13) Esempio. Sia X =N con la metrica discreta. È uno spazio metrico limitato (la distanza tra due puntinon è mai maggiore di 1), ma non è uno spazio metrico totalmente limitato. Infatti, se ϵ ≤ 1, X non può esserecoperto da un numero finito di intorni circolari di raggio ϵ (tali intorni contengono solo un punto, il centro, eN ha infiniti elementi). Le successioni di Cauchy in X sono tutte e sole le successioni definitivamente costanti,che sono convergenti. Pertanto X è uno spazio metrico completo. Ovviamente X non è compatto, dal momentoche non ha un numero finito di punti (uno spazio con la topologia discreta è compatto se e soltanto se ha unnumero finito di punti).



§ 10. SPAZI METRICI COMPLETI 67

§ 10.1. OPZIONALE: COSTRUZIONE DI R (CANTOR)

*(-1.1) Dimostrare che se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica prodotto è uno spaziometrico completo.

*(-1.2) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso in X.

*(-1.3) Si consideri Q con la topologia generata dagli intervalli aperti (a, b), con a, b ∈ Q, a < b (generatadalla metrica d(x, y) = |x − y|, notiamo che è una metrica a valori razionali). Dimostrare che se xn e yn sonodue successioni di Cauchy in Q, allora la somma xn + yn e il prodotto xnyn sono successioni di Cauchy inQ. (Suggerimento: per la moltiplicazione usare il fatto che ogni successione di Cauchy è limitata (10.3))

*(-1.4) Consideriamo l’insieme R di tutte le successioni di Cauchy su Q. Dimostrare che R è un anello commu-tativo con unità, cioè che valgono i seguenti assiomi:

(i) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).

(ii) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.

(iii) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x = 0 =⇒ 1x = x.

(iv) ∀x ∈ R,∃ unico y ∈ R : x + y = 0.

(v) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.

*(-1.5) Sia R come nell’esercizio precedente l’anello delle successioni di Cauchy, e N ⊂ R il sottoinsiemedefinito da

N = xn ∈ R : limn

xn = 0 ∈ Q.

Mostrare che N è un ideale in R, cioè che N è un sottogruppo additivo e se xn è una successione di Cauchy ezn una successione di Cauchy convergente a zero allora la successione znxn converge a zero. Dedurre che ilquoziente (algebrico) R := R/N è un anello (cioè l’insieme di classi di equivalenza di successioni di Cauchy,dove xn ≡ yn ⇐⇒ limn(xn − yn) = 0).

*(-1.6) Dimostrare cheR, definito come quoziente nell’esercizio precedente, è un campo, che contiene il campodei razionali Q come sottocampo. (Suggerimento: basta far vedere che se xn ∈ N , allora esiste ϵ > 0 per cuise n è abbastanza grande xn > ϵ (oppure xn < −ϵ ), e dunque…)

*(-1.7) Dimostrare che la relazione di ordine di Q può essere estesa a R ponendo x < y ⇐⇒ y − x > 0 (edunque è sufficiente descrivere l’insieme dei numeri reali positivi, cioè le classi di equivalenza di successionidi Cauchy che sono definitivamente positive), e cioè che R è un campo ordinato.

*(-1.8) Dimostrare che R (definito sopra) è completo (cioè che ogni successione di Cauchy in R converge).(Suggerimento: una successione in R è una successione di classi di equivalenza di successioni: possiamoscrivere la successione xn come [an,k ], dove xn è uguale alla classe di equivalenza [an,k ] della successionedi Cauchy (in k) an,kk)

*(-1.9) Dimostrare che R ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè che ogni sottoinsieme limitato superior-mente ha estremo superiore in R). (Suggerimento: utilizzare un argomento di tipo “bisezione di intervalli” perassociare ad un insieme limitato superiormente una successione decrescente di intervalli chiusi, e quindi lasuccessione di Cauchy degli estremi – razionali – di questi intervalli; vedi la seconda dimostrazione di (9.10))




*(-1.10) Se invece della metrica euclidea in Q si ripete il procedimento degli esercizi precedenti partendo dallametrica discreta su Q, cosa si ottiene? Cosa sono le successioni di Cauchy? Il quoziente R/N è ancora unaestensione del campo dei razionali Q? Quale?



Esercizi 69

ESERCIZI

*(5.1) Si consideri su N la famiglia τ di insiemi formata dall’insieme vuoto ∅ e dagli tutti i sottoinsiemi di N

con complementare finito. Sia X uno spazio topologico e xn una successione in X (vista come una funzionef : N→ X, definita da ∀n ∈N : f (n) := xn).

(i) Dimostrare che τ è una topologia per N.

(ii) Dimostrare che se xn è una successione convergente, allora la corrispondente funzione f : N → X ècontinua all’infinito, cioè la controimmagine di ogni intorno del limite x = limn xn ∈ X è un aperto diN (nella topologia dei complementari finiti).

(iii) È vero che f è continua?

(iv) La seguente famiglia di sottoinsiemi di N è una topologia per N? L’insieme vuoto, N, i sottoinsiemifiniti, e i sottoinsiemi con complementare finito.

(5.2) Dimostrare che un punto di accumulazione a di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio metrico X ha laseguente proprietà: ogni intorno di a in X interseca A in infiniti punti.

*(5.3) Si consideri in un campo totalmente ordinato una famiglia di intervalli chiusi In = [an, bn] decrescentiIn ⊃ In+1, per n → ∞. Si dimostri che se X ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè ogni insieme limitatosuperiormente ammette estremo superiore), allora∩

nIn = ∅.

(5.4) Dimostrare che il cilindro (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1∧ z2 ≤ 1 con il bordo su z = 1 identificato ad unpunto è omeomorfo al cono (x, y, z) ∈ R3 : z2 = x2 + y2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1.

(5.5) Dimostrare che il toro, definito come nell’esempio (7.10), è omeomorfo a S1 × S1 (dove S1 è la circon-ferenza di raggio 1).

(5.6) Dimostrare che lo spazio dell’esempio (7.11) è omeomorfo ad una sfera di dimensione 2.

*(5.7) Dimostrare che il piano proiettivo, definito come nell’esempio (7.12), è omeomorfo al quoziente S2/∼,dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).

(5.8) Dimostrare che incollando lungo il bordo due nastri di Möbius si ottiene una bottiglia di Klein (che cos’èuna bottiglia di Klein?).

(5.9) Quali dei seguenti spazi è compatto?

(i) Q.

(ii) La sfera S2.

(iii) La sfera S2 meno un numero finito di punti.

(iv) La sfera S2 meno un disco chiuso.




(v) La striscia di Möbius.

(5.10) Dimostrare che ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff.

(5.11) Consideriamo il seguente sottoinsieme di R2 (munito della topologia euclidea):

X = (x, y) ∈ R2 : xy ∈ Z.

(i) È aperto? È chiuso?

(ii) Consideriamo la circonferenza C di raggio 1 e centro (0, 0) di equazione x2 + y2 = 1. L’intersezioneC ∩ X è aperta nella topologia di C? È chiusa? E nella topologia di R2?

(iii) Discutere della compattezza di X e C ∩ X.

(5.12) Si consideri l’intervallo[0,√

2) = x ∈ R : 0 ≤ x <√

2 ⊂ R.

(i) È chiuso nella topologia Euclidea?

(ii) Sia X l’intervallo (−√

2,√

2) ⊂ R con la topologia indotta da quella di R. Dato che [0,√

2) è anche unsottoinsieme di X, esso è un chiuso della topologia di X?

(iii) Calcolare l’insieme di tutti i maggioranti di [0,√

2) in R.

(iv) Trovare, se esiste, un sottoinsieme Y ⊂ R tale che l’insieme di tutti i maggioranti di Y in R non è unchiuso di R.

(5.13) Si consideri il sottoinsieme X di Q definito da

X = qq + 1

: q ∈N.

(i) Determinare i punti di accumulazione di X.

(ii) X è un chiuso di Q?

(iii) Sia an una successione di frazioni di Q che converge a√

2 (∈ Q!) e Y l’insieme dei suoi elementiY = an : n ∈N ⊂ Q. In questo caso Y è un chiuso di Q?

(5.14) Sia C ⊂ Q un sottospazio compatto di Q (campo dei numeri razionali con la topologia Euclidea).

(i) Dimostrare che C è chiuso in Q.

(ii) Dimostrare che C è limitato in Q.

(iii) Dimostrare che C è anche un chiuso di R. (Suggerimento: Dato che l’inclusione i : Q → R è unafunzione continua (rispetto alle topologie Euclidee di Q e R)…)

(iv) Dedurre che l’interno di C è vuoto.

**(5.15) Su Z sia B la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche (Ua,n = a + kn : k ∈ Z ⊂ Z, con n = 0).Dimostrare che:



Esercizi 71

(i) La famiglia B è una base per una topologia di Z.

(ii) In questa topologia, le progressioni Ua,n sono sia aperti che chiusi.

(iii) L’unione di un numero finito di progressioni aritmetiche è un chiuso.

(iv) Se Ap = U0,p denota l’insieme dei multipli del numero p, si dimostri che

A =∪

p primoAp

non può essere chiuso, visto che il suo complementare ha un numero finito di elementi.

(v) Dedurre che esistono infiniti numeri primi.

(Harry Furstenberg: è una topologia metrizzabile!)

(5.16) Mostrare che se K1 e K2 sono due sottospazi compatti di uno spazio topologico X, allora l’unioneK1 ∪ K2 ⊂ X è un sottospazio compatto di X.

*(5.17) Si consideri N =N∪ ∞, con∞ ∈N.

(i) L’insieme vuoto, N, tutti i sottoinsiemi di N e i sottoinsiemi di N con complementare finito e checontengono∞ costituiscono una topologia?

(ii) N è compatto rispetto a questa topologia?

(iii) Quali sono le funzioni continue N → X? È vero che sono le successioni convergenti, se si pone x∞ =limn xn? Cioè, data una successione xn convergente a x ∈ X, è vero che la funzione f : N→ X definitada f (n) = xn, f (∞) = x è continua? Viceversa, data una f : N → X continua, allora la successionexn = f (n) converge a f (∞)?

(iv) Se X è uno spazio topologico di Hausdorff, si consideri l’insieme X = X ∪ ∞ (dove ∞ ∈ X), e laseguente famiglia di sottoinsiemi di X: l’insieme vuoto, X, gli aperti di X ⊂ X e tutti i complementariX ∖ K , al variare di K ⊂ X sottospazio compatto di X ⊂ X. Mostrare che si tratta di una topologia. (Xè detto compattificazione ad un punto di X, o anche compattificazione di Alexandroff; nel caso in cuiX è anche localmente compatto – cioè quando ogni punto di X ha un intorno compatto – anche X èHausdorff)

(v) Mostrare che la topologia del punto precedente rende X compatto, e l’inclusione X 7→ X una funzionecontinua, iniettiva e aperta (omeomorfismo sull’immagine/embedding).

(5.18) Dimostrare inmodo rigoroso l’esercizio (3.21) di pagina 39: Sia X l’unione delle circonferenze (x, y) ∈R2 : (x − 1

n)2 + y2 = ( 1

n )2, per n = 1, 2, 3 . . . con la topologia indotta da R2, e sia Y lo spazio ottenuto

identificando tutti gli interi Z ⊂ R ad un punto. Allora X e Y non sono omeomorfi.Suggerimento: procedere come segue.

(i) Mostrare che (x − 1n )

2 + y2 = 1n2 ⇐⇒ x2 + y2 = 2x

n =⇒ x2 + y2 ≤ 2x ⇐⇒ (x − 1)2 + y2 ≤ 1, e quindiX è limitato.

(ii) Mostrare che Z = (x, y, t) ∈ R2 × [0, 1] : x2 + y2 = 2tx è (chiuso e limitato in R3, e quindi) compatto.




(iii) Usando la continuità della proiezione Z → [0, 1], definita da (x, y, t) 7→ t, mostrare che il sottospazioX = (x, y, t) ∈ Z : t = 0 ∨ t−1 ∈N è chiuso e limitato in R3, e quindi compatto.

(iv) Dedurre che X è compatto.

(v) Sia U ⊂ Y l’insieme definito da U = [t] ∈ Y : mink∈Z |t − k| < 13, e per ogni k ∈ Z, Uk ⊂ Y l’insieme

Uk = [t] ∈ Y : k < t < k + 1. Mostrare che U e Uk sono aperti nella topologia quoziente di Y .

(vi) Mostrare che U ∪ Ukk∈Z è un ricoprimento aperto di Y .

(vii) Mostrare che il ricoprimento aperto appena definito non ammette sottoricoprimenti finiti di Y , e quindiY non è compatto.



(11.7) Definizione.Settimana N° 6

CONNESSIONE

§ 11. SPAZI CONNESSI

(Cfr.)*Il teorema del valore intermedio si può esprimere in termini di connessione:

(11.1) Definizione. Uno spazio topologico X è detto connesso se gli unici sottoinsiemi di X simultaneamenteaperti e chiusi† sono ∅ e X.

Quando si considera un sottospazio Y ⊂ X, allora Y è connesso se è connesso nella topologia indotta daX. Osserviamo che se A ⊂ X è un sottoinsieme sia chiuso che aperto, anche il suo complementare X ∖ A è siachiuso che aperto. Quindi X = A∪ (X ∖ A), cioè X è unione disgiunta di due aperti non vuoti.

(11.2) Teorema. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se X non è unione di due aperti non vuoti edisgiunti X = A1 ∪ A2. (Equivalentemente: uno spazio topologico X non è connesso se e solo se X è unione didue aperti non vuoti e disgiunti X = A1 ∪ A2).

(11.3) Esempio. Sia S0 = −1,+1 ⊂ R la sfera di dimensione 0 (soluzioni dell’equazione x2 = 1). Entrambii punti sono chiusi in R, e quindi chiusi in S0 (che è chiuso in R): S0 non è connesso.

(11.4) Esempio. L’insieme vuoto e gli spazi con un solo punto sono connessi.

(11.5) Esempio. Uno spazio con la topologia discreta è connesso se e soltanto se ha un solo punto.

(11.6) Esempio. La retta razionale Q non è connessa. Infatti, consideriamo l’intervallo

A = (√

2,∞) ⊂ Q.

Si tratta di un aperto, che però è anche chiuso, visto che

A = (√

2,∞) = x ∈ Q :√

2 < x= x ∈ Q :

√2 ≤ x

= [√

2,∞)*Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §11 [1].†In inglese: clopen.

73

74 #6. CONNESSIONE

Quest’ultimo è chuso perché il suo complementare è l’intervallo aperto (−∞,√

2). Ora, A non è vuoto, e nonè uguale a Q, è sia aperto che chiuso, e quindi Q non è connesso.

Un intervallo in R (più in generale: in un insieme ordinato) è un insieme I ⊂ R contenente più di un punto,tale che x, y ∈ I , s ∈ R, x < s < y =⇒ s ∈ I .

Ricordiamo che m ∈ R è un minorante di un insieme di numeri X ⊂ R se ∀x ∈ X, m ≤ x (cioè se m ≤ X).Analogamente, M ∈ R è un maggiorante di X se ∀x ∈ X, x ≤ M (cioè se X ≤ M). Si dice che X è limitato dasotto se esiste un minorante di X. Si dice che X è limitato da sopra se esiste un maggiorante di X. L’insiemedi tutti i minoranti di X è quindi un insieme non vuoto se e solo se X è limitato da sotto. L’insieme di tutti imaggioranti di X è un insieme non vuoto se e solo se X è limitato da sopra.

L’insieme dei minoranti di X si scrive come

minoranti = m ∈ R : ∀x ∈ X, m ≤ x= m ∈ R : ∀x ∈ X, m ∈ (−∞, x]= m ∈ R : m ∈

∩x∈X

(−∞, x]

=∩x∈X

(−∞, x].

Dato che è l’intersezione di una famiglia di chiusi, è un sottoinsieme chiuso di R. L’insieme dei maggiorantidi X si scrive come

maggioranti = M ∈ R : ∀x ∈ X, M ≥ x= M ∈ R : ∀x ∈ X, M ∈ [x,+∞)= M ∈ R : M ∈

∩x∈X

[x,+∞)

=∩x∈X

[x,+∞).

Dato che è l’intersezione di una famiglia di chiusi, è un sottoinsieme chiuso di R. L’estremo inferiore è ilmassimo dei minoranti, l’estremo superiore è il minimo dei maggioranti.

Dato che R ha la proprietà dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore, gli intervalli sono tutti gliinsiemi del tipo (−∞, b],(−∞, b),(a, b),(a, b], [a, b), [a, b], [a,+∞), (a,+∞), con a < b. Mostreremo che tuttigli intervalli sono connessi. Cominciamo dall’intervallo chiuso (compatto) [a, b].

(11.8) Teorema. Ogni intervallo chiuso [a, b] ⊂ R è connesso.

Dim. Per assurdo, supponiamo che l’intervallo [a, b] sia unione di due aperti disgiunti non vuoti [a, b] =A1 ∪ A2 (dove A1, A2 = ∅, A1 ∩ A2 = ∅, e quindi A1 e A2 sono chiusi nella topologia di [a, b]). Essendo[a, b] chiuso in R, A1 e A2 sono anch’essi chiusi e non vuoti in R (nota: non sono necessariamente aperti!Vedi esercizio (4.3)). Dato che gli estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme chiuso di R sono contenutinell’insieme stesso (vedi esercizio (4.2)), risulta sup Ai ∈ Ai , inf Ai ∈ Ai per i = 1, 2. Consideriamo per ogniy ∈ [a, b] l’insieme chiuso

By = x ∈ A1 : x ≤ y = [a, y] ∩ A1 ⊂ A1.

L’intersezioneB =

∩y∈A2

By = x ∈ A1 : ∀y ∈ A2, x ≤ y.



§ 11. SPAZI CONNESSI 75

è dunque un chiuso contenuto in A1 (che consiste di tutti i minoranti di A2 in A1). Ora, a meno di cambiaregli indici, possiamo supporre che a ∈ A1 (e quindi a ∈ A2, poiché A1 ∩ A2 = ∅), e quindi a ∈ B. L’estremosuperiore s1 = sup B (che esiste perché B = ∅ ed è limitato) appartiene al chiuso B (e quindi è un minorante diA2), e dunque appartiene a A1 (che contiene B). D’altra parte, consideriamo l’estremo inferiore s2 di A2, cheappartiene a A2 dato che A2 è chiuso: si ha che s2 ≤ t per ogni t ∈ A2, e

t ∈ [a, b] ∧ t > s2 =⇒ ∃y ∈ A2 : t > y,

(cioè non esistono minoranti di A2 più grandi di s2, s2 è il massimo dei minoranti). Quindi s1 ≤ s2, dato chegli elementi di B sono minoranti di A2. In altre parole, B è contenuto nell’insieme di tutti i minoranti di A2, equindi il massimo di B (cioè s1) non può essere piú grande del massimo dei minoranti (cioè s2).

Ora, se s1 = s2, si haA1 ⊃ B ∋ s1 = s2 ∈ A2 =⇒ s1 = s2 ∈ A1 ∩ A2,

che è assurdo visto che A1 ∩ A2 = ∅. Dunque deve essere s1 < s2.Prendiamo dunque un s ∈ [a, b] compreso tra s1 e s2:

sup B = s1 < s < s2 = inf A2.

Dato che per definizione di s1 (estremo superiore di B)

t ∈ [a, b] ∧ t > s1 =⇒ t ∈ B,

il punto s non è in B. Inoltre s < s2 = inf A2, e quindo s non può essere un elemento di A2 (e dunque sta in A1),ed è un minorante di A2. Ma questo significa che s ∈ B, il che è assurdo. ⨳

Un Corollario è il seguente Teorema.

(11.9) Teorema. Se J ⊂ R è un intervallo, allora J è connesso.

Dim. Supponiamo che J sia un intervallo, e che per assurdo non sia connesso (nella topologia metrica), cioèche esista A ⊂ J sia aperto che chiuso, A = ∅, A = J . Dato che A = ∅, esiste a ∈ A. Dato che A = J , esisteb ∈ A, b ∈ J . Possiamo supporre senza perdere in generalità che a < b. Per la definizione di intervallo, ogni stale che a < s < b è in J , e quindi [a, b] ⊂ J . Ora, osserviamo che A è un chiuso di J , e quindi l’intersezioneA = A∩ [a, b] è un chiuso di [a, b]. Il suo complementare [a, b]∖ A è l’intersezione di J ∖ A con [a, b], e quindiè un chiuso di [a, b]. Ma allora A è anche un aperto di [a, b]. Siccome a ∈ A, A non è vuoto. Siccome b ∈ A, Aè diverso da [a, b]. Ma questo è assurdo, perché [a, b] è connesso per il Teorema (11.8). ⨳

Diamo un’altra dimostrazione del Teorema (11.9), in cui la prima parte è identica alla prima parte delladimostrazione precedente, e che è indipendente dalla validità del Teorema (11.8).

Altra Dimostrazione. Supponiamo che J sia un intervallo, e che per assurdo non sia connesso (nella topologiametrica), cioè che esista A ⊂ J sia aperto che chiuso, A = ∅, A = J . Dato che A = ∅, esiste a ∈ A. Dato cheA = J , esiste b ∈ A, b ∈ J . Possiamo supporre senza perdere in generalità che a < b. Per la definizione diintervallo, ogni s tale che a < s < b è in J , e quindi [a, b] ⊂ J . Ora, osserviamo che A è un chiuso di J , equindi l’intersezione A = A∩ [a, b] è un chiuso di [a, b], che è chiuso in R. Allora A è un chiuso di R, nonvuoto. Se poniamo m = sup A, otteniamo m ∈ A ⊂ A. Dato che A ⊂ A e b ∈ A, si ha m < b. L’intervallo(m, b] ⊂ [a, b] ⊂ J non può contenere punti di A, né di A, e quindi è contenuto nel complementare di A in J ,che è chiuso in J . Proprio perché J ∖ A è chiuso in J , l’estremo m di (m, b] ⊂ J ∖ A appartiene a J ∖ A, equindi m ∈ A, che contraddice il fatto che m ∈ A ⊂ A. ⨳



76 #6. CONNESSIONE

(11.10) Nota. Vedremo che il teorema precedente può essere generalizzato nel modo seguente:Un sottoinsiemeA ⊂ R con almeno due punti è connesso se e solo se è un intervallo. Per la parte “solo se”, si cerchi di dimostrare(esercizio (6.5)) che se un insieme ha almeno due punti e non è un intervallo, allora non è connesso (si vedaanche la prossima nota).

(11.11) Nota. Usando la stessa tecnica di dimostrazione di (11.8), si può dimostrare che A ⊂ R non è connessose e solo se esistono x, y ∈ A, s ∈ A tali che x < s < y (cioè A è connesso se e solo se x, y ∈ A, x < s < y =⇒s ∈ A). Infatti, se A non fosse connesso, si definiscono A1, A2, B, s1 e s2 come sopra (s1 = sup B e s2 = inf A2),e deve risultare s1 < s2. Ma allora esiste s ∈ A tale che s1 < s < s2 – basta prendere s = 1

2 (s1 + s2). Questofa seguire dall’ultimo assioma di (8.1) la connessione di R. Viceversa, se esistono x, y ∈ A e s ∈ A tali chex < s < y, allora si possono definire i seguenti sottoinsiemi (chiusi e aperti) di A:

A1 = x ∈ A : x ≤ s = x ∈ A : x < sA2 = x ∈ A : x ≥ s = x ∈ A : x > s

la cui intersezione è vuota e la cui unione è A.

(11.12) Teorema. Se X è connesso e f : X → Y è una funzione continua, allora f (X) ⊂ Y è connesso (con latopologia indotta da Y – si dice che l’immagine di un connesso è connessa).

Dim. Se f (X) fosse non connesso, esisterebbero A1 ⊂ f (X) e A2 ⊂ f (X) aperti disgiunti (nella topologiaindotta) e non vuoti tali che f (X) = A1 ∪ A2. Le controimmagini f −1A1 e f −1A2 sarebbero aperti disgiuntinon vuoti in X tali che X = f −1A1 ∪ f −1A2, e dunque X non sarebbe connesso. ⨳

(11.13) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è connesso se e solo se Y èconnesso.

Dim. Come nella dimostrazione del corollario (8.18) ⨳

Ricordiamo che S0 = ±1 è lo spazio con due punti e la topologia discreta.

(11.14) Uno spazio X è connesso se e solo se ogni funzione continua f : X → S0 è costante.

Dim. Supponiamo che X sia connesso. Allora la sua immagine è un sottospazio connesso di S0. Dato che S0

non è connesso, f X non può essere S0. Dato che f X = ∅, f X ha esattamente un elemento, e quindi f è costante.Viceversa, se X non è connesso allora esistono A1, A2 aperti disgiunti non vuoti tali che X = A1 ∪ A2. Si

definisca allora la funzione f : X → S0 ponendo

f (x) =

+1 if x ∈ A1

−1 if x ∈ A2.

La funzione è ben definita, dato che A1 ∩ A2 = ∅ e X = A1 ∪ A2. È continua: basta osservare che gli aperti diS0 sono tutti i suoi sottoinsiemi ∅, +1, −1, S0, e la controimmagine di ognuno di essi è aperto in X:

f −1(∅) = ∅f −1(+1) = A1

f −1(−1) = A2

f −1(S0) = X.

E non è una funzione costante. ⨳




(11.15) Esempio. La funzione f : Q→ −1, 1, definita ponendo

f (x) =

1 se x <√

2−1 se x >

√2

è continua su Q.

(11.16) (Teorema del valore intermedio) Sia f : [a, b] ⊂ R → R una funzione continua tale che f (a) < 0 ef (b) > 0. Allora esiste x0 ∈ (a, b) tale che f (x0) = 0.

Dim. L’intervallo [a, b] è connesso per (11.8), e quindi la sua immagine

f ([a, b]) = f (x) : a ≤ x ≤ b

è connessa, e dunque un intervallo (vedi anche (11.11)). Cioè, visto che f (a) ∈ f ([a, b]) e f (b) ∈ f ([a, b]), an-che tutti i valori intermedi y ∈ [ f (a), f (b)] appartengono all’immagine f ([a, b]). In particolare, 0 ∈ [ f (a), f (b)],e quindi 0 ∈ f ([a, b]), cioè esiste x ∈ [a, b] tale che f (x) = 0. ⨳

(11.17) Esempio (Bisezione). Applichiamo (11.16) ad un caso concreto: determinare in modo costruttivo unasuccessione di razionali che converge a un irrazionale. Osserviamo per esempio che q =

√2

2 ∈ [0, 1] risolvel’equazione 2x2 = 1, per cui non è un razionale (occorre che si sappia dimostrarlo!). Non solo, è anche l’unicopunto di [0, 1] che risolve l’equazione (perché?). Ora costruiamo per ricorsione una successione di intervalli[an, bn] di lunghezza 2−n con la proprietà che

2a2n − 1 < 0 < 2b2

n − 1

nel modo seguente. Per n = 0, poniamo a0 = 0b0 = 1.

Si ha 2 · 02 − 1 < 0 < 2 · 12 − 1, e

0 = a0 <

√2

2< b0 = 1

dato che02 <

12< 12.

Supponiamo di avere definito [an−1, bn−1], entrambi razionali tali che 2a2n−1 − 1 < 0 < 2b2

n−1 − 1. Allora c =an−1 + bn−1

2è ancora razionale, e quindi non può essere uguale a

√2

2che è irrazionale. Ma allora 2c2 − 1 = 0,

visto che in [0, 1] c’è un’unica soluzione di 2x2 − 1 = 0. Si hanno quindi solo due casi, in cui si pone

[an, bn] =

[c, bn−1] se 2c2 − 1 < 0;[an−1, c] se 2c2 − 1 > 0.

In entrambi i casi la lunghezza è la metà di quella di [an−1, bn−1], cioè la metà di 2−(n−1) (ipotesi di induzione),che è 1

22−n+1 = 2−n; inoltrec < 0 ⇒ 2a2n − 1 = 2c2 − 1 < 0 < 2b2

n−1 − 1 = 2b2n − 1,

c > 0 ⇒ 2a2n − 1 = 2a2

n−1 − 1 < 0 < 2c2 − 1 = 2b2n − 1.



78 #6. CONNESSIONE

Quindi la successione è ben definita. Osserviamo che per ogni n ≥ 0 si ha [an, bn] ⊂ [an−1, bn−1]. Dato che perogni n si ha q ∈ [an, bn], si ha quindi che sia an che bn sono numeri che approssimano

√2/2 a meno di 2−n, cioè

|√

22− an| < 2−n, |

√2

2− bn| < 2−n.

Questo segue dal fatto che√

2/2 ∈ [an, bn] e che bn − an = 2−n.

(11.18) Nota. È possibile implementare facilmente questo algoritmo, per avere approssimazioni dell’ordine2−n, per ogni n, in qualche linguaggio che possa fare operazioni su frazioni senza limiti sulla grandezza deinumeratori/denominatori coinvolti (altrimenti prima o poi per il calcolatore 2−n = 0). Meglio sarebbe se fossedirettamente in grado di eseguire operazioni tra frazioni. Ma anche supponendo di poter eseguire solo ope-razioni su interi di grandezza arbitraria, è possibile definire in modo semplice somme e prodotti di frazioni(come?); risulta un po’ più efficiente se si sa come ridurre le frazioni ai minimi termini (dividendo numeratoree denominatore per il massimo comun divisore). In altre parole, fissato per esempio q =

√2/2 dovrebbe essere

possibile scrivere un programma che per k assegnato calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali diq (si veda anche la nota (9.9) a pagina 60).*

(11.19) Definizione. Definiamo componenti connesse di uno spazio topologico X i sottospazi connessi mas-simali (cioè i sottospazi connessi di X che non sono contenuti in sottospazi connessi di X).

L’insieme dei sottospazi connessi di X è parzialmente ordinato, rispetto all’inclusione di sottoinsiemi. Unelementomassimale è un sottospazio connessoY che non è contenuto in nessun sottospazio connesso di X. Ognielemento x ∈ X è contenuto in un tale Y : infatti, x è connesso. Se x non è contenuto in nessun connessopiú grande, allora x stesso è massimale e basta porre x = Y . Altrimenti, x appartiene ad un connesso piúgrande. È vero che un connesso massimale che contiene x esiste sempre? È vero che ne esiste uno solo? È veroche quindi X si decompone in una unione disgiunta di componenti connesse?

(11.20) Esempio. Uno spazio X è connesso se e solo se ha una sola componente connessa. Le componenticonnesse di Q sono …

*Lo studente interessato potrebbe provare a calcolare le prime 200 cifre di π utilizzando per esempio lo sviluppo (è solo uno deimolti metodi possibili)

arctan x =n∑

k=0(−1)k x2k+1

2k + 1+ rn

con resto |rn| < x2n+3/(2n + 3) e l’identitàπ

4= arctan 1.

Dato che1

2n + 3è minore di 10−200 quando 2n+ 3 > 10200, forse occorrono un po’ troppi termini. Roadrunner, il supercomputer più

potente del mondo, supera il petaflop/s, cioè è in grado di eseguire 1105 teraflop/s (cioè approssimativamente 1015 FLoating pointOperations Per Second). Ogni termine della somma richiede certamente più di una operazione (e non è detto che si usino float: a voltebastano gli interi), ma in ogni caso con questa formula occorrerebbero a Roadrunner non meno di 10185 secondi per terminare, cioènon meno di 3 · 10177 anni. Tenuto conto che l’età stimata dell’universo è intorno ai 14 · 109 anni, il metodo è destinato al fallimento.Usando invece identità del tipo (formule di Machin)

π

4= arctan

12+ arctan

13= arctan

12+ arctan

15+ arctan

18

è possibile sommare un numero ragionevole di termini. Lo studente interessato può provare a calcolare le prime 200 cifre di π conquesto metodo, e anche a dimostrare le identità usate.




(11.21) Teorema. Le componenti connesse di Q ⊂ R sono i suoi punti.

(11.22) Siano B ⊂ X e Yww∈W sottoinsiemi connessi di uno spazio topologico X tali che ∀w ∈ W , B∩Yw = ∅.Allora l’unione Y = B ∪

∪w∈W

Yw è connesso.

Dim. Basta dimostrare che ogni funzione continua f : Y → ±1 è costante. Dato che B è connesso, la restri-zione f |B è continua e quindi per (11.14) è costante. Quindi esiste y ∈ S0 tale che f (b) = y, per ogni b ∈ B.Ora, per ogni w ∈ W lo spazio Yw è connesso, e quindi la restrizione f |Yw è una funzione costante dato che ècontinua. Ma Yw ∩ B = ∅, quindi esiste b ∈ Yw ∩ B, e deve essere f (Yw) = f (b) = y. Quindi per ogni x ∈ Ysi ha f (x) = y, cioè f è costante.

Vediamo un’altra dimostrazione. Supponiamo che A1 e A2 siano aperti disgiunti tali che Y = A1 ∪ A2. Perogni w ∈ W , A1 ∩ Yw e A2 ∩ Yw sono aperti disgiunti in Yw, e quindi non possono essere entrambi non vuoti,visto che Yw è connesso: cioè, Yw ⊂ A1 oppure Yw ⊂ A2. Lo stesso per A1 ∩ B e A2 ∩ B: supponiamo senzaperdere in generalità che B ⊂ A1. Ma allora, poiché per ipotesi B∩Yw = ∅, deve anche essere ∀w ∈ W , Yw ⊂ A1,e cioè Y ⊂ A1. Ma allora A2 = ∅. ⨳

(11.23) Corollario. Siano Aw, per w ∈ W , sottospazi connessi di uno spazio X tali che∩

w Aw = ∅. Allora∪w Aw è connesso.

Dim. Basta prendere uno degli Aw e chiamarlo B: per ogni w′ ∈ W

∅ =∩w

Aw ⊂ Aw′ ∩ B,

e quindi si può applicare il lemma precedente. ⨳

(11.24) Nota (Componenti connesse). Per ogni x ∈ X sia Cx l’unione di tutti i sottospazi connessi di X checontengono x

Cx =∪

Yconnesso, x∈Y⊂XY

Dato che x è connesso e contiene x, l’insiemeCx contiene x. Per (11.22), questa unione è un sottoinsiemeconnesso di X che contiene x. Non può essere contenuto propriamente in un connesso piú grande, perché se cosífosse sarebbe contenuto propriamente in un connesso che contiene x, e dunque sarebbe contenuto propriamentein sé stesso. QuindiCx è una componente connessa (secondo la definizione (11.19)). Osserviamo che se z ∈ Cx,allora Cz = Cx: infatti se Cz è un connesso massimale che contiene z, dato che anche Cx ∪Cz contiene z (edè connesso per (11.22)), deve essere Cx ∪Cz ⊂ Cz, cioè Cx ⊂ Cz. Analogamente, Cz ∪Cx ⊂ Cx, dato che èun connesso e contiene x, e quindi Cz ⊂ Cx. Due componenti connesse o sono disgiunte oppure coincidono:infatti se si ha Cx ∩Cy = ∅, esiste z ∈ Cx ∩Cy, e quindi Cz = Cx e Cz = Cy, da cui Cx = Cy. Quindi ognix ∈ X è contenuto in una e una sola componente connessa di X: X è l’unione disgiunta delle sue componenticonnesse.

Diamo una dimostrazione diversa del Teorema (11.9).

(11.25) Corollario. Se I ⊂ R è un intervallo, allora I è connesso.

Dim. Per definizione I ha più di un punto, e se x, y ∈ I , allora x < s < y =⇒ s ∈ I . Siano x1 e x2 due puntidi I , e x0 =

12 (x1 + x2). Allora x1 < x0 < x2 e quindi x0 ∈ I , da cui segue che

I =∪

a∈I , b∈I , a<x0<b[a, b],



80 #6. CONNESSIONE

visto che x ∈ I =⇒ x ∈ [x, x2] (se x < x0) oppure x ∈ [x1, x] (se x > x0), oppure x ∈ [x1, x2] (se x = x0). Ora,se a ∈ I , b ∈ I e a < x0 < b, allora x0 ∈ [a, b], quindi la tesi segue da (11.22) ponendo B = x0 e Yw = [a, b]con w ∈ W = (a, b) ∈ I2 : a < x0 < b. ⨳

(11.26) Corollario. La retta reale R è connessa.

Dim. Basta osservare che si può scrivere R = 0 ∪∪R>0[−R, R] e applicare (11.22), oppure direttamente il

corollario (11.25). ⨳

(11.27) Teorema. I sottoinsiemi connessi di R sono tutti e soli gli insiemi con un elemento solo e gli intervalli.

Dim. Per (11.25) gli intervalli sono connessi, e i punti sono sempre connessi. Ora, un insieme X ⊂ R con piùdi due punti che non sia un intervallo è tale che esistono x, y ∈ X e s ∈ R tali che x < s < y ma s ∈ X, e quindi

X = [X ∩ (−∞, s)] ∪ [X ∩ (s,+∞)] ,

cioè unione disgiunta di due aperti non vuoti, e quindi X non è connesso. ⨳

(11.28) Esempio. Rn è connesso: è unione di rette per l’origine. Rn ∖ 0 è connesso per n ≥ 2. Perché? Vediesercizio (6.2).

(11.29) Teorema. Due spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il prodotto X × Y è connesso.

Dim. Se X × Y è connesso, allora X e Y , in quanto immagini delle proiezioni canoniche p1 : X × Y → X ep2 : X × Y → Y , sono connessi (vedi (11.12)). Viceversa, se X e Y sono connessi, allora si scelga y0 ∈ Y : perogni x ∈ X i sottospazi x × Y ⊂ X × Y e X × y0 ⊂ X × Y sono omeomorfi rispettivamente a Y e X, e quindientrambi connessi. Ma allora

X × Y = X × y0 ∪∪x∈X

(x × Y),

e quindi possiamo applicare (11.22) con B = X × y0 e Yx = x × Y . ⨳

(11.30) Proposizione. Se A ⊂ X è connesso, allora la chiusura A di A in X è connesso.

Dim. Per (11.14), basta mostrare che ogni funzione continua f : A → ±1 è costante. Ma la restrizione di fad A è costante e quindi f (A) è un solo punto: supponiamo che sia uguale a 1 (altrimenti sostituiamo f con− f ). Per (3.10)-2 (pagina 14), f (A) ⊂ f (A), e quindi

f (A) ⊂ f (A) = 1 = 1,

cioè f è costante anche sulla chiusura A. ⨳

(11.31) Corollario. Ogni spazio topologico X è unione disgiunta delle sue componenti connesse. Ogni com-ponente connessa è chiusa in X.

Dim. Abbiamo visto sopra che X è unione disgiunta delle sue componenti connesse. Se Cx è una componenteconnessa, allora Cx non può essere più grande di Cx, e quindi Cx = Cx. ⨳




§ 11.1. SPAZI CONNESSI PER ARCHI

(Cfr.)*Un arco (oppure un cammino) in uno spazio X è una mappa (funzione continua) γ : [0, 1] → X. Si dice

che l’arco parte da γ(0) e arriva a γ(1).

(11.32) Definizione. Si dice che uno spazio X è connesso per archi se per ogni coppia di punti x0, x1 ∈ Xesiste un arco γ tale che γ(0) = x0 e γ(1) = x1.

(11.33) Se f : X → Y è una funzione continua suriettiva e X è connesso per archi, allora Y è connesso perarchi.

Dim. Siano y0, y1 due punti di Y . La funzione è suriettiva, e dunque esistono x0 e x1 in X tali che f (x0) = y0e f (x1) = y1. Dato che X è connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] → X tale che γ(0) = x0 e γ(1) = x1.Ma la composizione di funzioni continue è continua, e quindi il cammino ottenuto componendo γ con f :f γ : [0, 1] → X → Y è un cammino continuo che parte da y0 e arriva a y1. ⨳

(11.34) Corollario. Se due spazi X e Y sono omeomorfi, allora X è connesso per archi se e solo se Y è connessoper archi.

Dim. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (8.18). ⨳

(11.35) Teorema. Uno spazio connesso per archi è connesso.

Dim. Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso, e dunque che esista A ⊂ X,A = ∅, A = X sia aperto che chiuso. Dato che A = ∅, possiamo scegliere un punto x0 ∈ A. Dato che A = X,possiamo scegliere un punto x1 ∈ A. Dato che X è connesso, esiste un cammino γ : [0, 1]→ X che parte da x0e arriva a x1. La controimmagine γ−1(A) è un sottoinsieme chiuso di [0, 1] (dato che γ è continua e A è chiuso)ed al tempo stesso un sottoinsieme aperto (dato che γ è continua e A aperto). Ma [0, 1] è connesso, quindi γ−1Apuò solo essere ∅ oppure tutto [0, 1]. Ma x0 ∈ A, e quindi γ−1A = ∅, e x1 ∈ A, e quindi γ−1A = [0, 1], e questoci porta ad una contraddizione. ⨳

(11.36) Teorema. Se X è un sottoinsieme aperto e connesso di Rn, allora X è connesso per archi.

Dim. Vedi esercizio (6.20) ⨳

(11.37) Proposizione. I sottoinsiemi connessi di R sono connessi per archi.

(11.38) Proposizione. Non è vero in generale che se X è connesso allora è connesso per archi.

La dimostrazione (opzionale) è data dal seguente esempio.

(11.39) Esempio (La pulce e il pettine). Sia A ⊂ R2 il seguente insieme (con la topologia euclidea di R2):

A = (1n

, y) : 0 ≤ y ≤ 1, n ≥ 1 intero ∪ (x, 0) : 0 < x ≤ 1.

Applicando (11.22) si vede che A è connesso. È anche connesso per archi: per esempio c’è un cammino checollega tutti i punti di A con (1, 0) ∈ A.

*Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §12 [1].



82 #6. CONNESSIONE

(0, 12)(0, 12)

Figura 6.1: La pulce e il pettine dell’esempio (11.39).

Se P denota il punto di coordinate (0, 12 ), allora anche lo spazio X = P ∪ A è connesso: infatti P è di

accumulazione per A in R2, e quindi la chiusura di A in X coincide con X. Ma per (11.30) la chiusura di A inX è connesso, visto che lo è A, e quindi X è connesso perché coincide con la chiusura di A in X.

Non è connesso per archi: sia γ : I → X una funzione continua tale che γ(0) = P e γ(1) = P. Lecomponenti di γ sono due funzioni continue (x(t), y(t)). Sia m = supt ∈ I : x(t) = 0 (l’estremo superioreesiste dato che x(0) = 0). Per continuità, si ha x(m) = 0 e y(m) = 1

2 (cioè γ(m) = P). Visto che γ(1) = Pe P è il solo punto con ascissa nulla, si ha x(1) > 0 e quindi m < 1. Si prenda m′ tale che m < m′ ≤ 1. Sem′ −m è abbastanza piccolo, si ha che y(t) è abbastanza vicino a 1

2 per ogni t ∈ [m, m′]: supponiamo quindiche m′ −m è cosí piccolo (ma positivo) da far sí che per ogni t ∈ [m, m′] si abbia y(t) ≥ 1

4 . Osserviamo cheper costruzione comunque x(m′) > 0; l’insieme

B = x(t) : m ≤ t ≤ m′

è l’immagine dell’intervallo chiuso [m, m′]mediante la funzione continua x(t), e quindi è un intervallo (perchéconnesso) chiuso (perché compatto), cioè è della forma

B = x(t) : m ≤ t ≤ m′ = [0, M],

dove M è il massimo di x(t) in [m, m′] e risulta M > 0.Ma ogni punto di γ([m, m′]) ha ordinata maggiore di 1

4 , e quindi deve avere ascissa uguale a un valore deltipo 1

n con n intero, e dunque B non può essere un intervallo del tipo [0, M]. È quindi assurdo supporre cheγ(1) = P, cioè tutti i cammini continui con γ(0) = P sono costanti in P: segue che X non è connesso per archi.

(11.40) Esempio. Il sottoinsieme X ⊂ R2 definito da

X = (x, y) ∈ R2 : x + y + xy = 1

è un aperto di R2, quindi è connesso per archi se e soltanto se è connesso. Non è connesso, dato che la suaimmagine inRmediante la funzione continua f (x, y) = x+ y+ xy non è un intervallo (e quindi non è connesso)perché contiene i due punti f (2, 0) = 2 e f (0, 0) = 0, ma non 1 che è intermedio. Osserviamo che X è l’unionedisgiunta dei due aperti A1 e A2 non vuoti definiti da

A1 = (x, y) ∈ R2 : x + y + xy > 1A2 = (x, y) ∈ R2 : x + y + xy < 1.




-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-10

-5

5

10

Figura 6.2: Figura per l’esempio (11.40).

Verifichiamo che A2 è connesso per archi (e quindi connesso): se (x1, y1) ∈ A2, allora il cammino γ(t) definitoper t ∈ [0, 1] da

γ(t) = (−1 + t(x1 + 1),−1 + t(y1 + 1))

parte da γ(0) = (−1,−1) e arriva a γ(1) = (x1, y1). Per ogni t ∈ [0, 1] si ha

(−1 + t(x1 + 1)) + (−1 + t(y1 + 1)) + (−1 + t(x1 + 1))(−1 + t(y1 + 1))= −1 + t2(x1 + y1 + x1y1 + 1)< −1 + t2(1 + 1) = 2t2 − 1≤ 2 − 1 = 1,

e quindi γ(t) ∈ A2.Invece A1 non è connesso: si può scrivere come unione di aperti disgiunti non vuoti A+1 e A−1 definiti da

A+1 = (x, y) ∈ R2 : x + y + xy > 1∧ x + y > 0A−1 = (x, y) ∈ R2 : x + y + xy > 1∧ x + y < 0.

Sono ovviamente disgiunti, inoltre x + y + xy > 1 =⇒ x + y = 0 (perché?), e quindi A1 = A+1 ∪ A−1 .Verifichiamo che A+1 e A−1 sono connessi per archi, e quindi connessi. Cambiamo coordinate inR2, e prendiamole nuove coordinate a = x + 1, b = y + 1 (è un omeomorfismo R2 ≈ R2). Allora nella coordinate (a, b) si ha

A+1 ≈ (a, b) ∈ R2 : ab > 2 ∧ a + b > 2.

Definiamo γ(t) = (a1 + b1 − tb1, a1 + b1 − ta1). Si ha

γ(0) = (a1 + b1, a1 + b1)

γ(1) = (a1, b1).



84 #6. CONNESSIONE

Inoltre per ogni t ∈ [0, 1] si ha a1 > 0, b1 > 0 e quindi

(a1 + b1 − tb1)(a1 + b1 − ta1)

≥ a1b1 > 2,a1 + b1 − tb1 + a1 + b1 − ta1 = (2 − t)(a1 + b1)

≥ (a1 + b1) > 2,

quindi γ(t) ∈ A+1 . Definiamo ora un’altro cammino η(t) ponendo per t ∈ [0, 1]

η(t) = (2 + t(a1 + b1 − 2), 2 + t(a1 + b1 − 2)).

Si haη(0) = (2, 2)η(1) = (a1 + b1, a1 + b1).

Dato che(t, t) ∈ (a, b) ∈ R2 : ab > 2 ∧ a + b > 2

se e soltanto se t2 > 2, per mostrare che η(t) ∈ A+1 occorre mostrare che

(2 + t(a1 + b1 − 2))2 > 2.

Ma questo segue dal fatto che a1 + b1 > 2, quindi 2 + t(a1 + b2 − 2) > 2, e quindi il suo quadrato è maggioredi 2. Nelle coordinate a, b, quindi possiamo definire il cammino α(t) in A+1 ponendo

α(t) =

η(2t) se t ∈ [0, 1/2]γ(2t − 1) se t ∈ [1/2, t],

che collega (2, 2) con qualsiasi punto (a1, b1) di A+1 . Per A−1 si procede allo stesso modo (esercizio). Conclu-diamo quindi dicendo che X ha tre componenti connesse: A2, A+1 e A−1 (c’era una dimostrazione più veloce?).




§ 11.2. OPZIONALE: CONSTRUZIONE DI R (DEDEKIND)

(-2.1) Consideriamo il sottoinsieme Q ⊂ Q dei numeri razionali positivi o nulli: Q = x ∈ Q : x ≥ 0. Loscopo di questo esercizio (e dei seguenti) è di rivisitare la costruzione delle sezioni di Dedekind in termini diconnessione (così come la costruzione di Cantor dei numeri reali come completamento di Q è fatta in terminedi convergenza di successioni di Cauchy).* Sappiamo che Q e Q non sono connessi (perché?): esistono quindidue aperti-e-chiusi non vuoti A1,A2 ⊂ Q tali che A1 ∪ A2 = Q. Definiamo le sezioni di Q come segue: unasezione α ⊂ Q è un intervallo aperto e limitato di Q contenente lo 0, cioè

(i) 0 ∈ Q;

(ii) p ∈ α =⇒ ∃ϵ > 0, Bϵ (p) ⊂ α (α è aperto).

(iii) p ∈ α =⇒ [0, p) ⊂ α (α è un intervallo che contiene lo 0);

(iv) α è limitato (equivalentemente, α = Q, dal momento che α è un intervallo che contiene 0).

Dimostrare che le sezioni (definite come sopra) soddisfano le seguenti proprietà:

(i) α non è vuoto e α = Q;

(ii) Se p ∈ α e q ∈ Q e q < p allora q ∈ α;

(iii) Se p ∈ α allora p < r per qualche r ∈ α.

(-2.2) Sia S l’insieme di tutte le sezioni di Q. Consideriamo la funzione f : Q ∖ 0 → S definita da f (q) =α = [0, q), per ogni q ∈ Q ∖ 0. Dimostrare che è iniettiva (non è definita in 0).

*(-2.3) Dimostrare che la relazione di inclusione α < β ⇐⇒ α ⊂ β ∧ α = β è una relazione di ordine totalesu Q, cioè:

(i) Se α e β sono sezioni in S, allora una sola delle relazioni seguenti è vera: α < β, β < α, β = α.

(ii) (proprietà transitiva): se α, β e γ sono in S, e α < β ∧ β < γ, allora α < γ.

*(-2.4) Dimostrare che l’insieme delle sezioni S ha la proprietà dell’estremo superiore: ogni insieme non vuotoe limitato in S ammette estremo superiore. (Suggerimento: se A ⊂ S è un insieme limitato e non vuoto, allorasi può definire l’unione U =

∪α∈A α – le sezioni sono sì elementi di S, ma sono anche intervalli di numeri

razionali, e quindi è possibile definire l’unione…poi si dimostra che l’unione in effetti è una sezione, e quindiU ∈ S…è un maggiorante di A, ed è poi possibile vedere che è il minimo dei maggioranti…)

*(-2.5) Ora dobbiamomostrare che la somma e il prodotto, definite in Q, si estendono aS. Definiamo la sommacome

α + β = a + b : a ∈ α, b ∈ βe il prodotto come

αβ = ab : a ∈ α, b ∈ β.Dimostrare che la somma e il prodotto di sezioni sono ancora sezioni. Dimostrare che la funzione f dell’e-sercizio (-2.2) conserva le operazioni di somma, prodotto e la relazione d’ordine: f (p + q) = f (p) + f (q),f (pq) = f (pq), p < q =⇒ f (p) < f (q).

*Questa non è la costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind.



86 #6. CONNESSIONE

*(-2.6) Dimostrare che se α, β ∈ S, e α < β, allora esiste un unico γ ∈ S tale che β = α + γ.

(-2.7) Dimostrare che se α ∈ S, allora esiste un unico β tale che αβ = 1 (dove identifichiamo 1 = [0, 1) = f (1).

*(-2.8) Ora siano S+ e S− due copie di S, e sia R = S− ∪ 0 ∪ S+. Se α ∈ S, allora indicheremo con +α(o anche semplicemente con α) l’elemento corrispondente in S+, e con −α l’elemento corrispondente di S−.Definire operazioni di addizione, moltiplicazione e la relazione d’ordine su R in modo che R risulti un campoordinato.

*(-2.9) Mostrare che la funzione f di (-2.2) si estende in modo naturale ad una inclusione di campi

Q ⊂ R.

(Vale la pena di concludere osservando che R = R…).



Esercizi 87

, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3

, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 3

, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3

, 1, 2, 3, 1, 2, 3

, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3

, 1, 1, 2, 1, 2, 3

, 1, 1, 2, 3 , 1, 3, 1, 2, 3

, 1, 2, 3

Figura 6.3: Topologie con tre punti

ESERCIZI

*(6.1) Dimostrare (direttamente) che gli intervalli semiaperti [a, b) sono connessi, così come gli intervalli(−∞, a), (−∞, a], (a,∞) e [a,∞) (vedi teorema (11.8) e (11.22)).

(6.2) Dimostrare che Rn ∖ 0 è connesso, per n ≥ 2.

(6.3) Dimostrare che i punti di uno spazio topologico sono connessi.

(6.4) Dimostrare cheQ non è connesso. Quali sono le sue componenti connesse? (Nota: Q non ha la topologiadiscreta!)

(6.5) Dimostrare che i sottoinsiemi connessi non vuoti di R sono tutti e soli i singoli punti e gli intervalli(dove diciamo che un sottoinsieme A ⊂ R è un intervallo se contiene almeno due punti distinti e se x, y ∈ A,x < s < z =⇒ s ∈ A).

(6.6) Sia X un insieme con almeno due elementi. Quali sono i sottoinsiemi connessi, se X ha la topologiadiscreta? E se ha la topologia banale?

(6.7) Se X è connesso e Y ha meno aperti di X, allora è vero che anche Y è connesso? Utilizzare questo fatto perdeterminare nel grafo (cfr. figure 6.3 e 6.4 a pagg. 87 e 88) delle classi di omoeomorfismo di spazi topologicifiniti su 3 e 4 punti quali sono quelli connessi. Tra tutti gli spazi topologici finiti (a meno di omeomorfismo)con 3 o 4 punti, quanti sono quelli connessi?

(6.8) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R2 sono connessi:

(i) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1.



88 #6. CONNESSIONE

, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 2, 4, 3, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 4, 1, 4, 2, 4, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 4, 1, 4, 2, 4, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4 , 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4 , 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 4, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 4, 1, 4, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4

, 4, 1, 4, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 , 2, 3, 1, 4, 1, 2, 3, 4

, 4, 1, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 , 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4

, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 1, 2, 3, 4 , 1, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4

, 1, 2, 3, 4

Figura 6.4: Topologie con quattro punti

(ii) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1.

(iii) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1.

*(6.9) Supponiamo che f : X → Z sia una funzione continua (dove Z, con la topologia indotta da R, ha latopologia discreta) e non costante. Dimostrare che X non è connesso.

*(6.10) Dimostrare che Rn ∖ 0 è connesso per n ≥ 2. Dedurne che la sfera di dimensione n Sn e il pianoproiettivo P2(R) sono connessi.

(6.11) In uno spazio topologico X si consideri la seguente relazione: x ∼ y ⇐⇒ ∃C ⊂ X connesso taleche x ∈ C ∋ y. Mostrare che è una relazione di equivalenza. Mostrare poi che le classi di equivalenza sono lecomponenti connesse di X. Dedurre che le componenti connesse (definite in (11.19)) di uno spazio topologicosono ben definite e disgiunte (cfr. nota (11.24)).

*(6.12) Sia X l’unione dei sottospazi A e B di R2 definiti da A = (x, y) ∈ R2 : x = 0 ∧ −1 ≤ y ≤ 1 eB = (x, y) ∈ R2 : y = cos 1

x ∧ 0 < x ≤ 1. Dimostrare che X è connesso. (Suggerimento: uno è nella chiusuradell’altro)



Esercizi 89

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y

*(6.13) Siano A = (x, y) : 12 ≤ x ≤ 1, y = 0 e B = (x, y) : y = x

n , 0 ≤ x ≤ 1 per qualche n ∈N. Dimostrareche X = A∪ B è connesso.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y

(6.14) Sia Sn = x ∈ Rn+1 : |x|2 = 1. Dimostrare che Sn è connesso. (Suggerimento: Rn ∖ 0 è connesso)

*(6.15) Dimostrare che S1 non è omeomorfo ad un intervallo. (Suggerimento: S1 meno un punto …)

*(6.16) Dimostrare che gli intervalli (0, 1) e [0, 1) non sono omeomorfi. Scrivere una corrispondenza biunivocatra (0, 1) e [0, 1), però.

(6.17) Dimostrare che uno spazio topologico X è connesso se e solo se ogni volta che si scrive come X = A∪ Bcon A = ∅ e B = ∅ allora A∩ B = ∅ oppure B ∩ A = ∅.

(6.18) Dimostrare che se S ⊂ R non è un intervallo (cioè se esistono x, y, z con x < s < y, x, y ∈ S e s ∈ S )allora S non è connesso.



90 #6. CONNESSIONE

(6.19) Mostrare che se uno spazio topologico X è unione di aperti connessi disgiunti e non vuoti, allora questisono le componenti connesse di X. Dimostrare poi che se X ha un numero finito di componenti connesse alloraesse sono sia aperte che chiuse e disgiunte. Trovare un esempio di spazio con infinite componenti connessetutte chiuse ma mai aperte.

*(6.20) Dimostrare che se X ⊂ Rn è un sottoinsieme aperto e connesso di Rn, allora è anche connesso perarchi. (Suggerimento: osservare che i cammini si possono comporre nel seguente modo: se γ : [0, 1] → X èun cammino che va da x0 ∈ X a x1 ∈ X, e γ′ : [0, 1] → X un secondo cammino che va da x1 a x2, allora γ′può essere riparametrizzato (utilizzando un omeomorfismo [0, 1] ≈ [1, 2]) come γ′′ : [1, 2] → X. Ma allora èpossibile definire un nuovo cammino α : [0, 2] → X “incollando” i due cammini – e verificare che è ancoracontinuo. Ora non rimane che dimostrare la seguente cosa: se si sceglie x0 ∈ X, lo spazio di tutti i puntiraggiungibili con un cammino che parte da x0 è un aperto (“incollando” al cammino un pezzettino di camminorettilineo…), ma è anche un chiuso (cioè lo spazio di tutti i punti non raggiungibili con un cammino che parteda x0 è un aperto) …)

(6.21) Sia X uno spazio topologico, e ∼ la seguente relazione in X: x ∼ y se e solo se esiste camminoγ : [0, 1] → X che parte da x e arriva a y. Dimostrare che la relazione “∼” è di equivalenza. Cosa sono leclassi di equivalenza?

Ricordiamo che nel sistema posizionale con base b all’allineamento

(an . . . a3a2a1a0.a−1a−2 . . .)b

(finito a sinistra) corrisponde il numero reale

anbn + . . . + a3b3 + a2b2 + a1b1 + a0 + a−1b−1 + a−2b−2 + . . . .

In generale si ha che 0 ≤ an < b, ma ci sono sistemi in cui questo non è richiesto (vedi l’esercizio (6.23)).

*(6.22) Sia C ⊂ [0, 1] ⊂ R l’insime di numeri reali compresi tra 0 e 1 che hanno uno sviluppo in base ternaria(con cifre 0, 1, 2) in cui non compare mai la cifra 1 (quando la rappresentazione non è unica, come per esempioquando l’ultima cifra è 2 periodica (0.2)3 = (1.0)3 oppure (0.12)3 = (0.2)3, basta che per una delle duerappresentazioni sia vero che non compare la cifra 1). L’insieme C si chiama insieme di Cantor. Mostrare che

(i) C è chiuso;

(ii) C è compatto;

(iii) se x ∈ C, allora x è di accumulazione per il complementare di C.

(iv) se x ∈ C, allora x è di accumulazione per C ma non è interno a C.

(v) se Y ⊂ C è un sottospazio connesso e Y = ∅, allora Y ha un solo elemento (cioè l’insieme di Cantor ètotalmente sconnesso, come Q).

(vi) (opzionale) Mostrare che C è omeomorfo allo spazio 2N (con la topologia prodotto).

**(6.23) Nella notazione posizionale ternaria bilanciata invece degli allineamenti in base 3 (con i simboli 0,1, 2) si considerano gli allineamenti dei tre simboli 1, 0, 1 (che corrispondono agli interi −1,0,1) in base 3.Nel sistema ternario si ha che 0 ≤ an < 3, ma nel sistema ternario bilanciato si pone −1 ≤ an ≤ 1, e siindica 1 = −1 per semplicità (negli anni 1950-1960, per un certo periodo il sistema ternario bilanciato è statopreso seriamente in considerazione, insieme al sistema decimale e al sistema binario, per la costruzione dicalcolatori elettronici – per esempio dal gruppo di S.L. Sobolev a Mosca).



Esercizi 91

(i) Quanto valgono (0.1)3, (0.01)3, (0.1)3 e (0.01)3?

(ii) È vero che ogni x ∈ R può essere scritto in notazione ternaria bilanciata?

(iii) La rappresentazione è unica? L’insime degli x che non hanno una rappresentazione unica è chiuso inR? (osservare che se x non ha una rappresentazione unica, allora nemmeno x/3 e x ± 1 hanno unarappresentazione unica e quindi h+1/2

3k …)

(iv) Sia X l’insieme dei numeri reali in [− 12 , 1

2 ] che ha almeno una rappresentazione ternaria bilanciata in cuinon compare mai la cifra 1. Ha le stesse proprietà dell’insieme di Cantor (dell’esercizio precedente, cioèè compatto, totalmente sconnesso e ogni punto è di accumulazione sia per X che per il complementaredi X)?

*(6.24) Sia f : X ⊂ R→ R una funzione continua definita su un intervallo (connesso) X ⊂ R.

(i) Mostrare che se f non è (strettamente) monotona (né crescente né decrescente), allora non è iniettiva.

(ii) Dedurre che se f è continua e iniettiva, l’immagine di un intervallo aperto è un intervallo aperto (e quindiche f è una mappa aperta).

(iii) Dimostrare che se f : X → R è continua e biunivoca, allora è un omeomorfismo.

(iv) Mostrare che non esistono funzioni continue e iniettive f : S1 → R.

(6.25) Utilizzare l’esercizio (6.24) per mostrare che (utilizzando il fatto che le funzioni (x, y) 7→ x + y e(x, y) 7→ xy sono continue su R2, e che x 7→ x−1 è continua R ∖ 0 → R):

(i) Per ogni n ∈N, n ≥ 1, la funzione f : [0,∞)→ [0,∞) ⊂ R definita da f (x) = xn è un omeomorfismo.

(ii) Per ogni n ∈ N, n ≥ 1, per ogni x ≥ 0, x ∈ R, esiste un unico y ∈ R tale che xn = y (la radice n-esimadi x, indicata con n√x) e che la funzione x 7→ n√x è continua.

(iii) La funzione x 7→ xp/q := q√xp, definita per x ≥ 0, x ∈ R e p, q ∈ Z, q = 0, è una funzione continua di x.

Nel prossimo esercizio, utilizzare il seguente fatto (provare a dimostrarlo): comunque si scelgano n numeripositivi x1, . . . , xn si ha

x1x2 . . . xn ≤( x1 + x2 + · · · + xn

n

)n,

e l’uguaglianza è verificata solo quando i numeri sono tutti uguali fra loro. Ovvero: la media geometrica di nnumeri positivi è sempre minore o uguale alla loro media aritmetica, e le due medie sono uguali se e solo se inumeri sono tutti uguali tra loro.

*(6.26) Per l’esercizio (6.25), per ogni numero razionale x = p/q e ogni reale b > 0 abbiamo visto che esistebx. Dimostrare i seguenti fatti.

(i) Per ogni x, y razionali e ogni b > 0 reale si ha bx+y = bxby e b0 = 1.

(ii) Per ogni numero razionale x = pq dell’intervallo (0, 1) e per ogni numero reale b > 0 diverso da 1 vale

la disuguaglianza bx < 1+ (b− 1)x (utilizzare il confronto tra media geometrica e media aritmetica pern +m numeri, di cui n sono uguali a b e m uguali a 1.)

(iii) Se b > 1, funzione x 7→ bx è una funzione Q→ R continua e strettamente monotona crescente.

(iv) Se b > 1, la funzione x 7→ bx := supby : y ∈ Q, y ≤ x, definita R → R, è ben definita, monotona econtinua, ed estende la funzione x 7→ bx definita Q→ R.



92 #6. CONNESSIONE

(v) Esiste una funzione continua x 7→ logb x, che associa ad x > 0, x ∈ R, l’unico numero reale y tale cheby = x.

(vi) La funzione f : R>0 ×R→ R definita da f (b, x) = bx è una funzione continua (rispetto alla topologiaprodotto del dominio). (suggerimento: si consideri l’omeomorfismo log2 : (0,∞) ≈ R)



Settimana N° 7

GRUPPI DI TRASFORMAZIONI

§ 12. GRUPPI DI MATRICI

(Cfr.)*Ricordiamo gli assiomi di gruppo (astratto): un gruppo è un insieme G, munito di operazione binaria (di

solito indicata con la moltiplicazione) G ×G → G che sia associativa, in cui esista l’elemento neutro 1 ∈ G,e per cui ogni g ∈ G abbia un inverso g−1 (cioè un elemento g−1 tale che gg−1 = g−1g = 1). Nella realtàconsidereremo sempre sottogruppi del gruppo di funzioni biunivoche X → X definite su un certo insieme X(permutazioni, se X è finito, oppure …).

(12.1) Definizione. Un gruppo topologico è sia un gruppo sia uno spazio topologico di Hausdorff, con in piùle seguenti proprietà di continuità:

(i) Il prodotto G ×G → G, definito da (g, h) 7→ gh è una funzione continua.

(ii) L’inversione G → G definita da g 7→ g−1 è una funzione continua.

(12.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi topologici rispetto alla somma. Igruppi moltiplicativi Q∖ 0, R∖ 0 sono gruppi topologici rispetto al prodotto. Per (12.5) sotto, basta dimo-stralo per R. La funzione f : R2 → R definita da (x, y) 7→ x + y è continua: se (x0, y0) ∈ R2, per ogni ϵ > 0esiste δ = ϵ /2 tale che

max|s|, |t| < δ =⇒ |s + t| < ϵ ⇐⇒ | f (x0 + s, y0 + t) − f (x0, y0)| < ϵ .

Quindi f è continua nella topologia prodotto (che è equivalente a quella euclidea). Analogamente (facile) lafunzione x 7→ −x è continua. Per il prodotto, la funzione definita da f (x, y) = xy è continua: se (x0, y0) ∈ R2,per ogni ϵ > 0

∃δx > 0 : |s| < δx =⇒ |sy0| < ϵ /3∃δy > 0 : |t| < δy =⇒ |tx0| < ϵ /3.

Se si pone quindiδ = minδx, δy,

√ϵ /3

*Cfr: Nacinovich, Cap I [2].

93

94 #7. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI

si hamax|s|, |t| < δ =⇒ |(x0 + s)(y0 + t) − x0y0| ≤

≤ |tx0| + |sy0| + |st| < ϵ /3 + ϵ /3 + ϵ /3 = ϵ .

Per quanto riguarda la funzione x 7→ x−1, sia x0 = 0. Allora esiste δ1 > 0 tale che |t| < δ1 =⇒ |x0 + t| >|x0|2=⇒ |x0 + t|−1 <

2|x0|

. Se poniamo quindi

δ = minδ1,ϵ |x0|2

2

otteniamo un δ > 0 per cui

|t| < δ =⇒∣∣∣∣∣ 1x0 + t

− 1x0

∣∣∣∣∣ = |t||x0 + t||x0|

<2|δ||x0|2

≤ ϵ ,

e quindi x 7→ x−1 è una funzione continua.

(12.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, può essere visto come gruppo topologico. Peresempio, l’anello degli interi Z (in cui si considera solo la struttura di somma) è un gruppo discreto infinito.

(12.4) Esempio. Z/nZ è gruppo topologico (con la topologia discreta).

(12.5) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H ⊂ G è un sottogruppo di G allora (con la topologia indottada G) è un gruppo topologico.

Dim. Se H ⊂ G è un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l’inversa sono mappe ottenute per restrizione:

m : H ×H ⊂ G → G, i : H ⊂ G → H,

e quindi sono continue. Questo dimostra (12.5) (insieme al fatto che un sottospazio di uno spazio di Hausdorffè di Hausdorff). ⨳

(12.6) Siano dati N spazi topologici X1, X2, X3, …, XN . Consideriamo il prodotto X = X1 × X2 × · · · × XNe le proiezioni sulle componenti p1 : X → X1, p2 : X → X2, …, pN : X → XN . Allora una funzione f : Y →X1 × X2 × · · · × XN è continua se e solo se lo sono tutte le composizioni pi f : Y → Xi. (Di solito si scrive,per semplificare, fi = pi f )

Dim. Basta applicare un numero finito di volte (6.3) di pagina 30. ⨳

(12.7) Lo spazio euclideo Rn è gruppo topologico rispetto alla somma

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Dim. È una conseguenza del fatto che la somma è una funzione continua (come anche il prodotto), e del lemma(12.6). ⨳

(12.8) Sia GL(n) = GL(n, R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte le matrici invertibili n × n a coef-ficienti reali (gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici), munito della topologia metrica – indotta dallainclusione GL(n) ⊂ Rn2 . Allora GL(n) è un gruppo topologico. Lo stesso vale per il gruppo lineare complessoGL(n, C).



§ 12. GRUPPI DI MATRICI 95

Dim. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n × n è isomorfo (come spazio vettoriale, per esempio)a Rn2 , per cui in questa lezione denoteremo con il simbolo Rn2 lo spazio delle matrici n × n. L’inclusioneGL(n) ⊂ Rn2 è indotta dall’inclusione di GL(n) nello spazio di tutte le matrici n× n. Dal momento che Rn2 èmetrico, GL(n) è di Hausdorff. Dobbiamo mostrare che la moltiplicazione di matrici e l’inversione induconofunzioni continue m : GL(n) ×GL(n) → GL(n) e i : GL(n) → GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) hala topologia indotta da Rn2 , le funzioni m e i sono continue se e solo se lo sono le corrispondenti funzionim : GL(n) ×GL(n) → Rn2 e i : GL(n) → Rn2 , e quindi, per (12.6) se tutte le composizioni con le proiezionipi sono continue (cioè, se ogni componente è continua). Ma il prodotto di matrici (righe per colonne) si scrivecome

((ai, j), (bi, j)) 7→ (N∑

k=1ai,kbk, j),

cioè è un polinomio nei coefficienti delle matrici (ai, j) e (bi, j). Dal momento che ogni polinomio è funzionecontinua, la moltiplicazione è continua. Analogamente, il determinante di una matrice è espressione polino-miale dei suoi coefficienti ed è sempre diverso da zero in GL(n), ed anche i cofattori (che compaiono nelladefinizione di matrice inversa) si esprimono come polinomi dei coefficienti, per cui la funzione di inversionei è continua. Per le matrici con coefficienti complessi vale esattamente lo stesso ragionamento. ⨳

(12.9) Il gruppo lineare GL(n, R) non è compatto.

Dim. Per il teorema (9.13) un sottoinsieme di Rn2 è compatto se e solo se chiuso e limitato, e quindiGL(n, R)non è compatto perché non è limitato: contiene tutte le matrici diagonali λIn, con λ ∈ R. Non è nemmenochiuso: infatti, nella dimostrazione di (12.8) abbiamo usato il fatto che la funzione determinante det : Rn2 → R

è continua. Per definizione si haGL(n, R) = M : det(M) = 0,

cioè GL(n, R) è la controimmagine del sottospazio aperto R ∖ 0 ⊂ R, ed è quindi un aperto di Rn2 . Maquest’ultimo spazio è connesso, e quindi un aperto non vuoto con complementare non vuoto non può esserechiuso. ⨳

Descriviamo ora due sottogruppi importanti di GL(n, R):

Gruppo ortogonale: O(n) = A ∈ GL(n, R) : At A = AAt = In.

Gruppo speciale ortogonale: SO(n) = A ∈ O(n) : det(A) = 1.

(12.10) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici ortogonali n × n a coefficienti reali, eSO(n) il gruppo speciale ortogonale, costituito da tutte le matrici di O(n) con determinante +1. Allora O(n)e SO(n) sono gruppi topologici compatti.

Dim. Ricordiamo che O(n) è formato da tutte le matrici A (invertibili) di GL(n) tali che AAt = At A = In

(dove At indica la trasposta di A e In la matrice identica n × n). Dato che O(n) ⊂ GL(n) ⊂ Rn2 , per (9.13)dobbiamomostrare che è chiuso e limitato. Lamoltiplicazione di matrici è continua, e chiaramente l’operazionedi trasposizione induce un omeomorfismo Rn2 → Rn2 , per cui la funzione

f : Rn2 → Rn2

definita daA 7→ AAt




si può scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costituiti da singoli punti di Rn2 sono tuttichiusi, ed in particolare l’insieme In ⊂ Rn2 è chiuso. Dunque f −1(In) è un sottospazio chiuso di Rn2 ; ma

f −1(In) = A ∈ Rn2: f (A) = In

= A ∈ Rn2: AAt = In

= O(n)

e dunque O(n) è chiuso. Ora, si indichino con a:,1, a:,2, …a:,n i vettori colonna di A ∈ O(n). La condizioneAAt = In si può riscrivere come

a:,i · a:, j =

1 se i = j0 se i = j

dove v ·w indica il prodotto scalare standard in Rn, e dunque, considerando la prima equazione, si ha per ognii

a:,i · a:,i = a21,i + a2

2,i + · · · + a2n,i = 1,

e quindi ai, j ≤ 1 per ogni i, j = 1, . . . , n. Ne segue che∑i, j

a2i, j = n ≤ n,

e dunque O(n) è limitato nella metrica euclidea di Rn2 .Non rimane che dimostrare che SO(n) è compatto. Ma, dato che si può scrivere come la controimmagine di

1 mediante la funzione (continua) determinante det : O(n)→ R, esso è un sottospazio chiuso di O(n). Allorasegue da (8.15) che esso è compatto. ⨳

(12.11) (Rotazioni e riflessioni) Mostriamo che SO(2) ≈ S1.

Se[a cb d

]∈ SO(2), allora valgono le uguaglianze

(*)

ad − cb = 1 (il determinante)a2 + b2 = 1c2 + d2 = 1ac + bd = 0.

Osserviamo che se (a, b) = 0, allora l’uguaglianza ac + bd = 0 vale se e solo se esiste λ ∈ R tale che d = λae c = −λb. Infatti,

a(−λb) + b(λa) = 0 .

Viceversa, può essere che b = 0 oppure che b = 0. Nel primo caso, si ha ac/b + d = 0 e ponendo λ = −c/brisulta

−λa + d = 0, −λb = c.

Se b = 0, allora deve necessariamente essere a = 0 (per l’ipotesi (a, b) = (0, 0)), e si può porre λ = d/a peravere le uguaglianze

c + bd/a = c + λb = 0, d = λa.




Dato che a2 + b2 = 1 =⇒ (a, b) = (0, 0), il sistema (*) è dunque equivalente al sistema nelle tre variabilia, b, λ

(**)

a(λa) − (−λb)b = 1

a2 + b2 = 1(−λb)2 + (λb)2 = 1

⇐⇒ λ(a2 + b2) = 1

a2 + b2 = 1

⇐⇒ λ = 1

a2 + b2 = 1.

Quindi c = −b e d = a, e la matrice deve avere la forma[a cb d

]=

[a −bb a

]con a2 + b2 = 1.

La proiezione sulle due componenti del primo vettore-colonna della matrice[a cb d

]7→ (a, b) ∈ R2

è una funzione continua p : SO(2) → R2, e per quanto visto sopra è iniettiva, ed ha per immagine S1 ⊂ R2,dato che la circonferenza S1 ⊂ R2 è definita dall’equazione a2 + b2 = 1. Visto che SO(2) è compatto e R2 èHausdorff, la funzione p è un omeomorfismo sull’immagine S1 ⊂ R2.

La mappa f : S1 ⊂ R2 → R4 definita ponendo

(a, b) 7→[a −bb a

]per ogni (a, b) ∈ S1 è l’inversa di p (ed è quindi a sua volta un omeomorfismo).

Finiamo osservando che O(2) è suddiviso in due classi: le matrici con determinante 1 e quelle con de-terminante −1. Le prime, che indichiamo con SO(2)+ = SO(2) e chiamiamo rotazioni, sono esattamente glielementi di SO(2). Le seconde, che indichiamo con SO(2)− e chiamiamo riflessioni, sono in corrispondenzabiunivoca con gli elementi di SO(2): se h ∈ SO(2)− è una riflessione fissata, allora per ogni r in SO(2) ilprodotto hr è una riflessione (ha determinante uguale a det(r) det(h) = det(h) = −1); la mappa r 7→ hr èiniettiva (hr1 = hr2 =⇒ r1 = r2) e suriettiva (h′ ∈ SO(2)− =⇒ h′ = h(hh′) = hr con r = hh′ ∈ SO(2)).Come sopra, si può vedere facilmente che è una funzione continua da un compatto ad un Hausdorff, e quindianche SO(2)− ≈ SO(2) ≈ S1. L’unione è disgiunta, e possiamo scrivere O(2) = SO(2)+ ∪ SO(2)− ≈ S1 ∪ S1.

(12.12) Esempio. Gruppo delle rotazioni diR3 che fissano l’origine: SO(3). È compatto, connesso e connessoper archi. Ogni rotazione non banale fissa una e una sola retta.

Dim. Mostriamo prima che esiste una retta fissata. Supponiamo per assurdo che questo non sia vero. Se A ∈SO(3), allora il polinomio caratteristico pA(λ) ha grado 3, e quindi ha un autovalore reale λ1 con relativoautovettore v1. Dato che A ∈ O(3), si ha |Av1| = |v1| e dunque |λ1v1| = |v1| =⇒ |λ1| = 1, cioè λ1 ∈ ±1.Dato che per ipotesi d’assurdo A non ha autovalore 1, deve essere λ1 = −1. Gli altri due autovalori λ2 eλ3 sono radici (evantualmente coincidenti) di pA(λ), e non possono essere entrambi uguali a λ1 (altrimenti




det(A) = (λ1)3 = −1 = 1). Ci sono due casi: o sono due radici reali, oppure due radici complesse coniugate.Se sono reali, per lo stesso ragionamento di prima dovrebbero essere uguali a −1, e quindi det(A) = −1 = 1.Quindi sono complesse coniugate λ3 = λ2. Ma allora det A = λ1λ2λ2 = −|λ2|2 ≤ 0 < 1, il che è assurdo.Quindi almeno un autovalore deve essere uguale a 1.

Il sottospazio vettoriale ortogonale alla retta fissata è un piano, che rimane invariante: è possibile far vedereche la restrizione di A a questo piano è una rotazione (esercizio), che quindi non fissa altre direzioni.

Per vedere che è connesso e connesso per archi, basta trovare una funzione continua e suriettiva X → SO(3)con X spazio topologico connesso. Questo sarà fatto nell’esercizio (7.31), con X = S3. Oppure, se Rαx , Rβy eRγz denotano le rotazioni di angolo α, β e γ attorno ai tre assi di R3, si può definire la funzione continuaX = S1 × S1 × S1 → SO(3) definita ponendo

(eiα, eiβ, eiγ) 7→ Rαx RβyRγz .

È continua perché composizione di funzioni continue, ed è suriettiva (si veda il Teorema (12.16) poco sotto).Oppure, per vedere che è connesso per archi, osserviamo che le rotazioni attorno all’asse z si scrivono come

Rθz =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

e la funzione θ ∈ R 7→ Rθz ∈ SO(3) è continua. Se A ∈ SO(3) è una rotazione qualsiasi e x ∈ S2 tale cheAx = x, allora esiste certamente una rotazione Q tale che Qe3 = x (perché?), e quindi la rotazione Q−1AQfissa e3 (e3 = (0, 0, 1)), e dunque Q−1AQ = Rθz , da cui

A = QRθz Q−1.

Ma allora la funzione γ : [0, 1] → SO(3) definita ponendo

γ(t) = QRtθz Q−1

è continua ed è tale che γ(1) = QRθz Q−1 = A, e γ(0) = QR0z Q−1 = I3. Quindi SO(3) è connesso per archi. ⨳

È vero che O(3) = SO(3)+ ∪ SO(3)− (quelle con det 1 e −1)?

(12.13) Esempio. Gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero: è isomorfo al gruppo di permutazioni suitre vertici?

(12.14) Esempio. Gruppo ciclico z ∈ C : zn = 1: è il gruppo di simmetrie di un poligono regolare? Perchési chiama ciclico? Perché l’equazione zn = 1 si chiama ciclotomica? Per esempio, il gruppo di simmetrie di unquadrato? Un esagono?

(12.15) Esempio. Gruppo generato dalle rotazioni di angolo π attorno ai (due) tre assi ortogonali di R3.

(12.16) Teorema. Siano Rαx , Rβy e Rγz le rotazioni attorno agli assi coordinati di R3 di angolo α, β e γ

rispettivamente. Allora per ogni rotazione R ∈ SO(3) esistono α, β e γ tali che

R = Rαx RβyRγz ,

cioè R si scrive come prodotto di tre rotazioni attorno agli assi cartesiani.





(12.17) Nota. I tre parametri α, β e γ (non esattamente questi) sono anche chiamati gli angoli di Eulero dellarotazione A. Una convenzione abbastanza comune è A = BCD, dove D è una rotazione di angolo ϕ attornoall’asse z, C una rotazione di angolo θ attorno all’asse x, e B una rotazione di angolo ψ attorno all’asse z(bastano quindi rotazioni attorno a due assi ortogonali per generare SO(3)).

(12.18) Nota. Una norma è una funzione Rn → R che verifica le seguenti proprietà:

(i) x = 0 =⇒ ∥x∥ > 0, ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0.

(ii) ∥cx∥ = |c| ∥x∥.

(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.

Una norma su Rn induce una metrica (d(x, y) = ∥x − y∥), la quale induce a sua volta una topologia.Diciamo che due norme sono equivalenti se inducono metriche equivalenti, cioè se le topologie ottenute dallametriche coincidono (oppure se …). Accade che due norme qualsiasi (che indichiamo con ∥·∥A e ∥·∥B) su Rn

sono sempre equivalenti tra di loro:

(12.19) Tutte le norme su Rn sono tra loro equivalenti.

Dimostrazione (opzionale). È sufficiente mostrare che se ∥·∥A è una norma, allora ∥·∥A è equivalente alla normaeuclidea ∥·∥.

Infatti, la funzione N : Rn → R definita da N(x) = ∥x∥A è continua (rispetto alla norma euclidea): se gli eisono i vettori della base standard e xi le componenti di x, si ha per l’omogeneità e la disuguaglianza triangolare

N(x) = N n∑

i=1xiei

≤ n∑i=1|xi |N(ei) ≤ M

n∑i=1|xi |,

dove M è il massimo degli N(ei). Ma |xi |2 ≤ ∥x∥2 per ogni i, e quindi

Mn∑

i=1|xi | ≤ Mn∥x∥.

Allora per ogni x e y inRn si ha che N(x) = N(y+ (x− y)) ≤ N(y)+N(x− y) =⇒ N(x)−N(y) ≤ N(x− y).Analogamente N(y) − N(x) ≤ N(x − y), e quindi |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y). Dunque

|N(x) − N(y)| ≤ N(x − y) ≤ Mn∥x − y∥,

e quindi N è una funzione continua Rn → R. Consideriamo la sfera

S =x ∈ Rn : ∥x∥ = 1

,

che è uno spazio chiuso (controimmagine di 1 chiuso inR) e limitato, e quindi compatto.Ma allora la funzioneN assume un massimo m2 e un minimo m1 su S: per ogni x ∈ S si ha

m1 ≤ N(x) ≤ m2.




Se x1 ∈ S è il punto tale che m1 = N(x1), si ha m1 = 0 dato che x1 = 0, e quindi 0 < m1 ≤ m2. Ma allora sex ∈ Rn, x = 0, si ha

x∥x∥ ∈ S, e quindi per ogni x = 0 per l’omogeneità di N

m1 ≤ N(

x∥x∥

)≤ m2 =⇒ m1 ≤

N(x)∥x∥ ≤ m2 =⇒ m1∥x∥ ≤ N(x) ≤ m2∥x∥.

Quindi le due norme sono equivalenti. ⨳

Alcune norme (tutte tra loro equivalenti) sullo spazio delle matrici Matn×n(R) sono per esempio:

(i) (norma di Frobenius) ∥A∥2 = ∑i, j a2

i j = Tr(tAA), dove Tr è la traccia della matrice;

(ii) (norma MAX) ∥A∥ = maxi, j |ai j |, dove ai j sono i coefficienti di A;

(iii) (norma operatore) ∥A∥ = max |Ax||x| : x ∈ Rn ∖ 0 (quest’ultima a sua volta dipende da una scelta di

norma su Rn).

(12.20) Nota. Sia A una matrice n × n tale che tAA = I . Se a1, a2,…, an sono i vettori colonna di A, abbiamovisto nella dimostrazione di (12.10) che

tAA = I ⇐⇒ ai · a j = δi j

per ogni i, j = 1, . . . , n, dove

δi j =

1 se i = j0 se i = j

e il prodotto scalare è quello standard ai · a j =tai a j . A cosa corrisponde invece l’equazione AtA = I? Si può

dire che tAA = I =⇒ A(tA) = I?Osserviamo che se B è l’inversa sinistra di una matrice quadrata A, allora essa ne è anche l’inversa destra,

cioè per matrici quadrate si haBA = I ⇐⇒ AB = I .

Ma allora se tA è l’inversa sinistra di A, cioè se la trasposta soddisfa l’equazione tAA = I , è anche l’inversadestra di A, per cui

tAA = I =⇒ A(tA) = I .

§ 13. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI

(Cfr.)*Lematrici, con la moltiplicazione matrice × vettore, inducono trasformazioni lineari (cioè funzioni lineari)

tra spazi vettoriali. Cioè, se L è una matrice n× d con n righe e d colonne, allora la funzione lineare v 7→ Lv èuna funzione

L : Rd → Rn.*Cfr: Sernesi, Vol I, Cap 1, §14 [1].



§ 13. GRUPPI DI TRASFORMAZIONI 101

Quando n = d, cioè quando la matrice è quadrata, e quando la matrice è invertibile, si tratta quindi di unatrasformazione invertibile

L : Rn → Rn.

Il prodotto di matrici corrisponde alla composizione di funzioni biunivoche. Si può cioè far corrispondere adogni elemento L del gruppoGL(n, R) una funzione biunivoca Rn → Rn, in modo che il prodotto (nel gruppo)corrisponda alla composizione di funzioni. L’identità del gruppo finisce nella funzione identità.

Vogliamo fare questo in generale: associare ad ogni elemento g di un gruppo astratto G una trasformazioneX → X, cioè una funzione biunivoca su un insieme X, con le due proprietà: 1) l’elemento neutro diG è associatoalla funzione identità 1X : X → X; 2) l’operazione di prodotto nel gruppo corrisponde alla composizione difunzioni. Osserviamo che se f : X → X è una funzione e x ∈ X, allora è possibile definire la valutazione dellafunzione f in x, definita come f (x) = f x (era il prodotto matrice per vettore prima). In generale, possiamoassociare ad ogni funzione f : X → X e a ogni elemento x ∈ X la valutazione f (x), cioè c’è una funzione

( f , x) 7→ f (x).

Partiamo da qui per definire l’azione di un gruppo su un insieme, cioè una corrispondenza tra gli elementi diG e le trasformazioni di X in sé.

(13.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce (da sinistra) su X se esiste unafunzione ϕ : G × X → X (la valutazione), denotata da (g, x) 7→ g · x = gx, per cui

(i) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 ∈ G è l’elemento neutro).

(ii) ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G, g · (h · x) = (gh) · x.

L’insieme X si dice anche G-insieme.

elemento del gruppo g ∈ G ∼ trasformazione g : X → Xelemento neutro 1 ∈ G ∼ identità 1X : X → X

prodotto g1g2 ∼ composizione g1 g2 : X → X.

Per esercizio verificare che con questa definizione ogni g ∈ G ha associata la funzione x 7→ gx, che èbiunivoca con inversa x 7→ g−1x. All’elemento neutro 1 ∈ G corridponderà la funzione identità 1X : x 7→ 1x =x. In questo modo il gruppo non è più astratto, ma è un gruppo di trasformazioni.

(13.2) Esempio. (i) GL(n, R), GL(n, C).

(ii) Gruppi di permutazioni.

(iii) Gruppi di isometrie (simmetrie di oggetti).

(iv) Ogni gruppo astratto agisce su sé stesso per moltiplicazione/addizione a sinistra.

(v) Ogni sottogruppo H ⊂ G agisce su G per moltiplicazione/addizione (a sinistra).

(13.3) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x ∈ X si definiscono:

(i) lo stabilizzatore di x: Gx = g ∈ G : g · x = x.

(ii) L’orbita di x: G · x = gx : g ∈ G.




(13.4) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione x ∼ y ⇐⇒ ∃g ∈ G : gx = y èuna relazione di equivalenza, che partiziona X in classi di equivalenza. Le classi di equivalenza sono le orbitedi G in X.

Dim. Per mostrare che la relazione è di equivalenza, bisogna mostrare che è riflessiva, simmetrica e transitiva.Dato che 1x = x, si ha che x ∼ x, per cui è riflessiva. Inoltre, se gx = y (cioè x ∼ y) allora g−1(gx) = g−1y, equindi x = g−1y, cioè y ∼ x. Quindi è simmetrica. Infine, è transitiva: se x ∼ y e y ∼ z, si ha che esistono g1 eg2 per cui g1x = y e g2y = z. Quindi (g1g2)x = g2(g1x) = g2y = z, cioè x ∼ z. Ora, è facile vedere che duepunti stanno nella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima orbita. ⨳

(13.5) Definizione. L’insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza) di X secondo per l’azione di un gruppoG su X si indica con X/G e si chiama spazio delle orbite.

(13.6) Esempio. Il gruppo (additivo) Z degli interi agisce sulla retta reale R (vedi sotto). Lo spazio quozienteè omeomorfo alla circonferenza S1.

(13.7) Definizione. L’azione diG su X si dice fedele se per ogni g ∈ G, g = 1 ∈ G, la mappa indotta g : X → X(da x 7→ g · x) non è l’identità 1X : X → X.

(13.8) Definizione. L’azione diG su X viene detta transitiva se per ogni x, y ∈ X esiste g ∈ G per cui g · x = y.In questo caso si dice che X è uno spazio omogeneo.

(13.9) Esempio. L’azione di Z su R (traslazioni intere) è fedele ma non è transitiva. L’azione di R su R èfedele e transitiva.

(13.10) L’azione è transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X.

Dim. Supponiamo l’azione transitiva. Sia x ∈ X un punto fissato. Allora per ogni y esiste g ∈ G per cuig · x = y, cioè ogni y in X sta nella stessa G-orbita di x, che quindi è unica. Viceversa, supponiamo che esistauna sola orbita: allora esiste x ∈ X per cui g · x|g ∈ G = X, e quindi per ogni y ∈ X esiste g ∈ G tale cheg · x = y. Allora, se y1, y2 ∈ X, esistono g1, g2 ∈ G tali che g1x = y1, g2x = y2, e quindi

y2 = g2x = g2g−11 g1x =

(g2g−1

1

)y1,

cioè y2 = gy1 con g = g2g−11 , cioè l’azione è transitiva. ⨳

(13.11) Nota. Se G è un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente per moltiplicazione a sinistra.L’azione è transitiva e fedele. Se H è un sottogruppo diG, anche H agisce suG per moltiplicazione da sinistra.Le orbite sono i laterali (sinistri) di H inG. La notazioneG/H quindi è consistente: da un lato indica l’insieme(algebrico) dei laterali sinistri di H in G, dall’altro l’insieme delle orbite dell’azione di H su G.

(13.12) Definizione. Se G è un gruppo topologico, allora si dice che G agisce su uno spazio topologico Xse esiste una funzione ϕ : G × X → X che induca una azione di G su X (come nella definizione (13.1)) conl’ulteriore proprietà che la funzione

G × X → X

è continua. Allora X si chiama G-spazio.

(13.13) Esempio. È facile vedere che R2 agisce su R2 come gruppo (additivo) di traslazioni

(x, y) · (u, v) = (x + u, y + v).




(13.14) Esempio. I gruppi GL(n, R), O(n) e SO(n) agiscono su Rn in modo canonico. Come visto sopra, sipuò vedere facilmente che l’azione è continua, cioè che agiscono come gruppi topologici su Rn.

(13.15) Definizione. SeG è un gruppo topologico che agisce su uno spazio topologico X, lo spazio delle orbiteX/G è uno spazio topologico con la topologia quoziente.

(13.16) Esempio. In questo esempio, fondamentalmente, ripetiamo parola per parola il ragionamento dell’e-sempio (8.22), tranne alcune piccole differenze (quali?). SiaG = Z (con la topologia discreta) e X = R. AlloraG agisce su R mediante la somma (g, t) 7→ g+ t per ogni g ∈ Z e ogni t ∈ R. Lo spazio delle orbite è ugualeallo spazio R/ ∼ dell’esempio (7.1). Mostriamo che è omeomorfo a S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1. Siaf : R→ R2 la funzione definita da

f (t) = (cos(2πt), sin(2πt)).

Si vede subito che induce una funzione f (t) : R → S1 ⊂ R2, e che è continua (le funzioni trigonometrichesono continue, poi si usa (12.6)). Dal momento che

f (g+ t) = (cos(2πt + 2gπ), sin(2πt + 2gπ))= (cos(2πt), sin(2πt))= f (t),

la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite f : R/Z → S1. La funzione indotta f è continua:infatti, se U ⊂ S1 è un aperto di S1, la sua controimmagine f −1(U) in R/Z è continua se e soltanto se (perdefinizione di topologia quoziente) il sottoinsieme

p−1(f −1(U)

)⊂ R

è aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p : R→ R/Z. Ma

p−1(f −1(U)

)= t ∈ R : f (p(t)) ∈ U= t ∈ R : f (t) ∈ U= f −1(U),

che è aperto, visto che f è continua.Ora, la funzione indotta f : R/Z → S1 è iniettiva: se f (t1) = f (t2) si ha che cos(2πt1) = cos(2πt2) e

sin(2πt1) = sin(2πt2), e quindi t2 = 2kπ + t1 per un certo k ∈ Z, cioè esiste g ∈ Z tale che g · t1 = t2: i duepunti t1 e t2 appartengono alla stessa G-orbita. È facile vedere che f è suriettiva. Osserviamo che l’inclusione[0, 1] ⊂ R è una funzione continua, e quindi la composizione [0, 1] → R → R/Z è anch’essa una funzionecontinua, e suriettiva. Quindi la sua immagine R/Z, per (8.17), è un compatto. Ora, f è una funzione continuae biunivoca da un compatto ad uno spazio di Hausdorff (S1), e quindi un omeomorfismo per (8.19).

(13.17) Esempio. Sia G = Z2 ⊂ R2 il reticolo degli interi (h, k) ∈ R2. Allora R2/G è omeomorfo a S1 × S1.Sappiamo dall’esempio precedente che R/Z ≈ S1. Per prima cosa mostriamo che la funzione

f : R2/Z2 → R/Z ×R/Z ≈ S1 × S1

definita da(x, y) +Z2 7→ (x +Z, y +Z)




è ben posta. Se (x′, y′) +Z2 = (x, y) +Z2 ∈ R2/Z2, allora per definizione x′ − x ∈ Z e y′ − y ∈ Z, e quindix +Z = x′ +Z e y +Z = y′ +Z. È iniettiva: se (x +Z, y +Z) = (x′ +Z, y′ +Z), allora x − x′ ∈ Z ey − y′ ∈ Z, e quindi (x′, y′) +Z2 = (x, y) +Z2 ∈ R2/Z2. Analogamente si può mostrare che è suriettiva.

Dimostriamo che è continua: denotiamo con P : R2 → R2/Z2 la proiezione sul quoziente e con p × p lamappa p × p : R ×R → R/Z ×R/Z (che è continua). Se U ⊂ R/Z ×R/Z è un aperto, allora (p × p)−1(U)è aperto in R ×R, e quindi è aperto in R2 (che è identificato con R ×R tramite la mappa f : R2 → R ×R

che induce f ). Ma il sottoinsieme di R2 dato da f −1(p × p)−1(U) coincide con P−1( f −1(U)), che quindi èaperto. Ora, per definizione di topologia quoziente f −1(U) è aperto se e solo se P−1(U) è aperto in R2, equindi f −1(U) è aperto. Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di Hausdorffè un omeomorfismo. Lo spazio S1 × S1 è chiamato toro.

(13.18) Esempio. Si consideri l’azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria S1. Ogni elemento di SO(2)agisce ruotando la circonferenza su se stessa: ogni punto ha stabilizzatore banale e l’azione è transitiva efedele. Fissiamo e0 = (1, 0) ∈ S1. L’orbita di e0 è tutto S1, e quindi c’è una funzione continua

f : SO(2) → S1

definita da f (g) = g · e0. L’azione è transitiva, e quindi f è suriettiva. Inoltre lo stabilizzatore è banale, e quindif è iniettiva. Dato che SO(2) è compatto e S1 di Hausdorff, f è un omeomorfismo tra SO(2) e S1.

(13.19) Esempio. Consideriamo ora l’azione di SO(3) su S2 (la sfera di dimensione 2, centro nell’origine eraggio 1, contenuta in R3). L’azione è ancora transitiva (perché?), fedele, ma ogni punto ha uno stabilizzatorenon banale (cosa sono le rotazioni di R3 che fissano un punto?). Si veda l’esercizio (7.29).

(13.20) Esempio. Il gruppo Z/2Z agisce su S2 ponendo g · x = −x.

(13.21) Esempio. Le isometrie di uno spazio metrico X costituiscono un gruppo topologico che agisce su X.Quali sono le isometrie di R? Le isometrie di C ∼= R2? Di R3?

(13.22) Esempio. Ogni numero complesso a + ib non nullo può essere interpretato come vettore di R2 concoordinate (a, b) (piano di Argand–Gauss), ma anche come elemento di GL(2, R), come segue. Definiamol’azione, per G = C ∖ 0 e X = C,

(g, w) 7→ gw

con g ∈ G = C∖ 0 e w ∈ C ∼= R2. Per ogni g ∈ G, l’applicazione indotta g : X → X è R-lineare, e quindi c’èuna funzione f : G → GL(2, R). Osserviamo che f (g1 + g2) = f (g1) + f (g2) e f (g1g2) = f (g1) f (g2) e chese c ∈ R e g ∈ C si ha f (cg) = c f (g) (qui teniamo conto anche degli elementi non invertibili). La funzione fè anche iniettiva: f (g1) = f (g2) =⇒ g1 = g2. Se g1 = 1 ∈ R ⊂ C, allora

f (g1) = f (1) =[1 00 1

].

Se g2 = i ∈ C, allora per ogni w = w1 + iw2 ∈ C si ha

g2w = i(w1 + iw2) = iw1 −w2 = −w2 + iw1 =

[0 −11 0

] [w1w2

],

cioèf (g2) = f (i) =

[0 −11 0

].




Dunque, per l’additività se z = a + ib ∈ C, si ha

f (z) = f (a + ib) = a f (1) + b f (i) = a[1 00 1

]+ b

[0 −11 0

]=

[a −bb a

].

In questo modo, le rotazioni (che si scrivono come[a −bb a

]con a2 + b2 = 1) corrispondono mediante la f ai

numeri complessi di norma 1. Il prodotto di numeri complessi corrisponde al prodotto di matrici, la somma dinumeri complessi, alla somma di matrici.

Il coniugato del numero complesso z = a + ib è z = a − ib, dunque

f (z) =[

a b−b a

]= [ f (z)]t ,

cioè la trasposta di

f (z) =[a −bb a

].

La norma di un numero complesso z = a + ib è data da |z|2 = a2 + b2, che è anche

zz = (a + ib)(a − ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2.

Tra matrici, si ha

f (z) f (z) = f (z) f (z)t =

[a −bb a

] [a b−b a

]= (a2 + b2)

[1 00 1

].

Per ogni numero complesso z ∈ C, sia

ez =

∞∑n=0

zn

n!.

Dato che |zn| = |z|n, è una serie in C convergente (le serie parziali delle norme convergono e quindi …).Osserviamo che

ezew =

∞∑n=0

zn

n!

∞∑m=0

wm

m!

=

∞∑k=0

∑n+m=k

znwm

n!m!

=

∞∑k=0

k∑j=0

k!k!

z jwk− j

j!(k − j)!

=

∞∑k=0

1k!

k∑j=0

(kj

)z jwk− j

=

∞∑k=0

1k!(z +w)k

= ez+w




e cheez = (ez)

e0 = 1.

Quindi|eiθ |2 = eiθe−iθ = e0 = 1,

cioè eiθ è un punto della circonferenza unitaria in C. In altre parole, la mappa

R 7→ a + ib ∈ C : a2 + b2 = 1 ⊂ C,

definita da θ 7→ eiθ è ben definita. Ricordiamo che*

eiθ = cos θ + i sin θ,

quindi

cos θ = ℜ(eiθ) =∞∑

k=0(−1)k θ2k

(2k)!

sin θ = ℑ(eiθ) =∞∑

k=0(−1)k θ2k+1

(2k + 1)!

dato che

eiθ =

∞∑n=0

(iθ)n

n!

=

∞∑n=0, n pari

(iθ)n

n!+

∞∑n=1, n dispari

(iθ)n

n!

=

∞∑k=0

(i)2k θ2k

(2k)!+

∞∑k=0

(i)2k+1 θ2k+1

(2k + 1)!

=

∞∑k=0

(−1)k θ2k

(2k)!+ i

∞∑k=0

(−1)k θ2k+1

(2k + 1)!

= cos θ + i sin θ.

Cioè, con un abuso di notazione,

eiθ = cos θ + i sin θ =[cos θ − sin θsin θ cos θ

].

Moltiplicare per eiθ un punto del piano complesso significa ruotarlo attorno all’origine in senso antiorario diun angolo θ.

(13.23) La funzione esponenziale z 7→ ez, C→ C è continua.*Questa potrebbe essere una definizione delle funzioni trigonometriche cos e sin.




Dimostrazione (opzionale). Se z ∈ C, allora*

ez − 1 =∞∑

n=0

zn

n!− 1

=

∞∑n=1

zn

n!= z +

z2

2!+

z3

3!+ . . .

= z(∞∑

n=0

zn

(n + 1)!)

=⇒ ez − 1 = zr(z)

dove se |z| < 1 il resto r(z) verifica

r(z) =∞∑

n=0

zn

(n + 1)!

=⇒ |r(z)| ≤∞∑

n=0

|z|n(n + 1)!

≤∞∑

n=0|z|n = 1

1 − |z| .

=⇒ |ez − 1| ≤ |z|1 − |z| .

In conseguenza dell’ultima disuguaglianza, la funzione C→ C definita da z 7→ ez è continua: se z0 ∈ C eϵ > 0, definiamo

δ :=ϵ

|ez0 | + ϵ > 0.

Segue che per ogni h ∈ C con |h| < δ si ha |h|1−|h| <

δ1−δ e quindi

|ez0+h − ez0 | = |ez0eh − ez0 | = |ez0 ||eh − 1| ≤

≤ |ez0 | |h|1 − |h| < |e

z0 | δ

1 − δ =

= |ez0 |

ϵ

|ez0 | + ϵ1 − ϵ

|ez0 | + ϵ=

|ez0 |ϵ|ez0 | + ϵ|ez0 | + ϵ − ϵ|ez0 | + ϵ

= ϵ .

e quindi z 7→ ez è continua in z0 ∈ C. ⨳

Di conseguenza anche cos θ e sin θ sono funzioni continue di θ.

(13.24) Nota (Opzionale). A questo punto dovremmo essere però finalmente in grado di dimostrare che lefunzioni trigonometriche cos e sin, definite a partire da eit , sono periodiche di periodo 2π. Procediamo nelmodo seguente. Sia X ⊂ R definito da

X = t ∈ R : eit = 1.*Si può usare la proprietà distributiva di C anche per somme infinite?




Si ha e0 = 1 =⇒ 0 ∈ X, e t1, t2 ∈ X =⇒ t1 + t2 ∈ X, −t1 ∈ X, cioè X è un sottogruppo (additivo) di R,nonché un sottospazio chiuso di R (perché controimmagine del chiuso 1 ⊂ C mediante la funzione continuaz 7→ ez). Ci sono altri elementi in X oltre a 0? Ora, osserviamo che cos 0 = 1, mentre, dato che la successione

4k

(2k)! converge a zero monotonamente (dimostrarlo per induzione!), risulta

cos 2 =∞∑

k=0(−1)k 4k

(2k)!

= 1 − 42+

42

4!− 43

6!+ . . .

< 1 − 2 +42

4!= −1

3< 0.

Per il teorema degli zeri esiste quindi almeno un t0 ∈ (0, 2) tale che cos t0 = 0. In modo analogo,

cos 1 =∞∑

k=0(−1)k 1

(2k)!

= 1 − 12+

14− 1

6+ . . .

> 1 − 12=

12> 0,

e quindi esiste t0 ∈ (1, 2) tale che cos t0 = 0. Ora, se cos t0 = 0, allora sin2 t0 = 1. Ma, sempre per la monotonia,si può mostrare che per t ∈ (0, 2) si ha

sin t > t − t3

6,

e quindi sin t0 > 0, dato che t(1 − t2

6) è positiva per t ∈ (0, 2), cioè non può essere sin t0 = −1, e dunque

sin t0 = 1.

Abbiamo dimostrato che eit0 = i, da cui segue che

e4t0i = i4 = 1.

cioè che 4t0 ∈ X, e che perciò X non è il sottogruppo banale di R. Sia quindi

t1 = inft > 0 : t ∈ X.

Questo numero esiste certamente, perché è l’estremo inferiore di un insieme non vuoto (4t0 verifica e4it0 = 1)e limitato dal basso. Può essere uguale a zero, t1 = 0? Supponiamo che lo sia. Allora per ogni ϵ > 0 esistet > 0, tale che t ∈ X e t < ϵ . Ma X è sottogruppo, e quindi per ogni k ∈ Z si ha kt ∈ X, cioè per ogni x ∈ R cisono elementi di X ad una distanza al più ϵ . In altre parole,

X = R.

Ma dato che X è chiuso, si avrebbe X = X = R, cioè per ogni t ∈ R

eit = 1.




Ma questo è falso: basta prendere t0 e usare le identità di sopra.Quindi t1 non può essere uguale a 0: definiamo una costante π > 0 dalla relazione

2π = t1.

In altre parole, 2π è il più piccolo numero reale positivo per cui eit = 1, e ovviamente risulta per ogni k ∈ Z

e2kπi = (e2πi)k = 1k = 1.

Da cioè segue che le funzioni cos t e sin t sono periodiche di periodo almeno 2π (potrebbe essere un sottomul-tiplo di 2π, a priori):

ei(t+2kπ) = eite2kπi = eit .

Non solo, vale anche il viceversa: se t ∈ X, allora t = 2kπ. Infatti, se così non fosse esisterebbe t ∈ X, tale che

2kπ < t < 2(k + 1)π

per un certo k ∈ Z, ma allora se si pone s = t − 2kπ si ha s > 0, s < 2π e

eis = ei(t−skπ) = eit = 1,

cioè non è vero che 2π è il minimo, e questo è assurdo. Deve quindi essere

X = t ∈ R : eit = 1 = 2kπ : k ∈ Z.

Ancora: osserviamo che i due insiemi

A = t ∈ R : t > 0, eit = 1, B = t ∈ R : t > 0, eit = i

sono legati da4B ⊂ A =⇒ inf A ≤ 4 inf B.

Inoltre, (1, 2) ∋ t0 ∈ B =⇒ B = ∅ e inf B > 0 dato che e0 = i, e inf B < 2 per quanto visto sopra. Poniamoquindi b = inf B, che quindi deve verificare

(13.25) 2π ≤ 4b.

Per come abbiamo definito b poco sopra, però, è anche il più piccolo reale positivo tale che cos b = 0, da cuisegue (senza assumerlo) che sin b = 1. Ora, per definizione se t ∈ (0, b) allora cos t > 0 (dato che cos 0 > 0 ela funzione non può cambiare di segno nell’intervallo), e sin t > 0 dato che sin t > t − t3

3! , da cui segue che set ∈ (0, b] allora cos t = 1. Ma

cos(t + b) + i sin(t + b) = ei(t+b) = eiteib = ieit = i cos t − sin t,

e dunquecos(t + b) = − sin t = sin(−t)sin(t + b) = cos t = cos(−t).




Segue checos(t + 2b) = − sin(t + b) = − cos tsin(t + 2b) = cos(t + b) = − sin tcos(t + 3b) = − cos(t + b) = sin(t)sin(t + 3b) = − sin(t + b) = − cos t.

Quindi nell’intervallo [0, 4b] può accadere che cos t = 1 e sin t = 0 solo se t = 0 oppure t = 4b: cos t è negativoin [b, 3b], sin t è non nullo in (0, b] e [3b, 4b). Ma allora non può essere 2π < 4b nella formula (13.25), perchéper definizione cos 2π = 1 e sin 2π = 0: deve essere 2π = 4b, cioè b = π

2 , e dunque

ei π2 = i.

Prendiamo i quadrati di entrambi i membri e li sommiamo: otteniamo l’identità di Eulero*

eiπ + 1 = 0.

*(Dalla pagina di wikipedia sull’identità di Eulero)A reader poll conducted by Mathematical Intelligencer named the identity as the most beautiful theorem in mathematics. Another

reader poll conducted by PhysicsWorld in 2004 named Euler’s identity the ”greatest equation ever”, together withMaxwell’s equations.The book Dr. Euler’s Fabulous Formula [2006], by Paul Nahin (Professor Emeritus at the University of New Hampshire), is devoted

to Euler’s identity; it is 400 pages long. The book states that the identity sets ”the gold standard for mathematical beauty.”Constance Reid claimed that Euler’s identity was ”the most famous formula in all mathematics.”Gauss is reported to have commented that if this formula was not immediately apparent to a student on being told it, the student

would never be a first-class mathematician.After proving the identity in a lecture, Benjamin Peirce, a noted nineteenth century mathematician and Harvard professor, said, ”It

is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don’t know what it means, but we have proved it, and therefore we know itmust be the truth.”Stanford mathematics professor Keith Devlin says, ”Like a Shakespearean sonnet that captures the very essence of love, or a painting

that brings out the beauty of the human form that is far more than just skin deep, Euler’s equation reaches down into the very depthsof existence.”



Esercizi 111

ESERCIZI

(7.1) Sia G un gruppo e H ⊂ G un sottogruppo. L’insieme G/H è definito come l’insieme di tutti i laterali,cioè di tutti gli insiemi del tipo gh : h ∈ H per qualche g (fissato) inG. Equivalentemente, sia ∼H la relazionein G definita da: x ∼H y ⇐⇒ x−1y ∈ H. Dimostrare che la relazione ∼H è di equivalenza, e che le classi diequivalenza sono proprio i laterali di H in G.

(7.2) Dimostrare che GL(n, R) non è limitato.

(7.3) Si scriva la funzione GL(n) → GL(n) ⊂ Rn2 definita da A 7→ AAt (dove At indica la trasposta di A)come composizione di funzioni continue.

(7.4) SiaG un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura H di H inG è anch’essoun sottogruppo.

(7.5) Dimostrare che Z è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R.

(7.6) È vero che Q è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R?

(7.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema (11.12) con lamappa determinante)

*(7.8) Dimostrare che se S ⊂ R è un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologia discreta), allora èisomorfo a Z (cioè è un gruppo ciclico infinito).

(7.9) Sia nZ ⊂ Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero n ∈ N. L’azione da sinistra g · x =g+ x fa agire G = nZ su Z. L’azione è fedele? È transitiva? Cosa è l’insieme delle classi di equivalenza?

(7.10) Mostrare che il quoziente R2/Z2 è compatto.

*(7.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = (x, y) : y2 ≤ 1 ⊂ R2 tale che X/G sia omeomorfoal cilindro S1 × [0, 1].

*(7.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = (x, y) : y2 ≤ 1 ⊂ R2 tale che X/G sia omeomorfoal nastro di Möbius.

*(7.13) Si consideri S2 con l’azione antipodale diG = Z2 (gruppo di due elementi) data da g · x = −x se g = 1.Che cosa è S2/G? È compatto? È connesso?

(7.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro.

(7.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x ∈ X rispetto ad un’azione di un gruppo topologico G èun sottogruppo chiuso di G.

(7.16) Si consideri il gruppoG generato da una rotazione nel piano di angolo θ, che agisce sulla circonferenzaS1 = (x, y) : x2 + y2 = 1 ⊂ R2. Studiare, al variare di θ, la topologia dello spazio quoziente S1/G.

(7.17) Siano r1 e r2 riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in R2. Mostrare che la composizione r1r2è una rotazione.

*(7.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g · x = g + x per ogni g ∈ Q e x ∈ R. Dimostrare che èun’azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio quoziente X/G è di Hausdorff?




(7.19) Si consideri l’azione di GL(1) = R ∖ 0 su R data dalla moltiplicazione g · x = gx. Quali sono leorbite?

(7.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R2, con azione data da g · (x, y) = (g+ x, g+ y) per ogni g ∈ G eogni (x, y) ∈ X. Che cosa è lo spazio delle orbite?

(7.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa è lo spazio delle orbite per l’azionedi Z ⊂ G = R su X? È compatto? È connesso? È Hausdorff?

(7.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R2? Che cosa è (cioè, descriverloesplicitamente) lo spazio quoziente Q/G.

(7.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo transitivo. Dimostrare che lo spazioè “omogeneo”, cioè per ogni coppia di punti c’è un omeomorfismo f : X → X che manda x in y (cioè un“cambio di coordinate” che manda x in y). Rispetto a quale gruppo R è omogeneo? E Rn?

(7.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n). Più in generale, seG è un gruppotopologico e H ⊂ G un sottogruppo, determinare un gruppo che agisce transitivamente sullo spazio quozienteG/H.

*(7.25) Dimostrare che se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio X, allora la proiezione sullospazio delle orbite X → X/G è una mappa aperta. Se G è finito, è anche chiusa. (Suggerimento: se U ⊂ X èun aperto, allora p(U) è aperto (chiuso) se e solo se GU = g · x : g ∈ G, u ∈ U è aperto (chiuso) in X.)

(7.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per ogni g ∈ G la mappa x 7→ g · x è unomeomorfismo.

**(7.27) SiaG un gruppo topologico d N ◁G un suo sottogruppo normale (dal punto di vista algebrico) e chiuso(dal punto di vista topologico) in G. Sia G/N il quoziente (quoziente dal punto di vista algebrico, insieme deilaterali), con la topologia quoziente.

(i) Dimostrare che la proiezione p × p : G ×G → G/N ×G/N è una mappa quoziente.

(ii) Dimostrare che la moltiplicazione G ×G → G induce una moltiplicazione m : G/N ×G/N → G/N , cheè continua.

(iii) Dimostrare che G/N è un gruppo topologico.

(7.28) Sia l ≥ 2 un intero. Sia Zl ⊂ C l’insieme delle radici l-esime dell’unità Zl = z ∈ C : zl = 1. Dimostrareche Zl è un gruppo topologico, che agisce su C per moltiplicazione a sinistra g · z = gz (g ∈ Zl, z ∈ C). Alvariare di l, determinare lo spazio quoziente C/Zl.

(7.29) (La sfera di Rubik) SiaG = SO(3) che agisce su S2 ⊂ R3 (sfera di raggio uno in R3 e centro in 0 ∈ R3).Dimostrare le seguenti affermazioni.

(i) L’azione di G su S2 è transitiva.

(ii) Per ogni x ∈ S2 e ogni g ∈ G tale che gx = x, g ruota il piano ortogonale al vettore −−→Ox in sé.

(iii) Per ogni x ∈ S2, lo stabilizzatore Gx ∼= SO(2).



Esercizi 113

(iv) Per ogni x, y ∈ S2, il sottospazio Gx,y = g ∈ G : gx = y ⊂ G è non vuoto ed è omeomorfo a Gxmediante la mappa g ∈ Gx,y 7→ g−1

1 g ∈ Gx, dove g1 ∈ Gx,y è un elemento fissato.

(v) Lo spazio di tutti gli assi di rotazione degli elementi di Gx,y, per x = y, descrive un cerchio massimo inS2.

(vi) Se x, y ∈ S2 e −−→Ox · −→Oy = 0 (sono ortogonali), allora per ogni P ∈ S2 esiste una rotazione g ∈ G che fissax (gx = x) e tale che −−−→OgP e −→Oy sono ortogonali (è vero anche se −−→Ox e −→Oy non sono ortogonali?).

(vii) Se x e y sono due punti di S2 tali che −−→Ox e −→Oy sono ortogonali, allora per ogni P ∈ S2 esistono duerotazioni Rx e Ry attorno a x e y rispettivamente tali che RyRxP è ortogonale ad entrambi −−→Ox e −→Oy.

(viii) Se vettori ei sono i tre vettori della base standard di R3 e e′i = Rei le rispettive immagini mediante unarotazione R ∈ SO(3), allora esistono tre rotazioni Ri attorno a ei tali che:

R3R2R1e′3 = e3

R3R2R1e′2 = e2

R3R2R1e′1 = e1.

(ix) Dimostrare il teorema (12.16) (pagina 98): ogni rotazione in SO(3) si può scrivere come prodotto R =Rαx RβyRγz di tre rotazioni attorno agli assi coordinati di R3.

Ricordiamo che se A è una matrice n× n a coefficienti complessi, allora la trasposta coniugata (aggiuntaHermitiana) di A si indica con A∗ ed è la matrice con coefficienti a ji , se ai j sono i coefficienti di A. Per ogniintero n ≥ 1 siano U(n) (gruppo delle matrici unitarie/gruppo unitario) e SU(n) (gruppo speciale uniterio) igruppi di matrici definiti da

U(n) = A ∈ GL(n, C) : AA∗ = A∗A = In,SU(n) = A ∈ U(n) : det A = 1.

*(7.30) Siano U(n) e SU(n) il gruppo unitario e il gruppo speciale unitario. Dimostrare i seguenti fatti.

(i) Per ogni intero n ≥ 1 i gruppi U(n) e SU(n) sono compatti.

(ii) U(1) ≈ S1 ≈ SO(2).

(iii) Gli elementi di SU(2) sono tutte e sole le matrici del tipo A =[z −ww z

]con (z, w) ∈ C2, |z|2 + |w2| = 1.

(iv) Siano 1 =[1 00 1

], i =

[i 00 −i

], j =

[0 1−1 0

], k = i j =

[0 ii 0

]∈ SU(2). Allora se z = a + ib, w = c + id

si ha [z w−w z

]= a1 + bi + c j + dk.

(Per a, b, c, d ∈ R, i numeri che si scrivono come a1 + bi + c j + dk, che corrispondono a coppie dinumeri complessi (z, w), costituiscono l’algebra H dei quaternioni — di Hamilton. In un certo sensosono la “complessificazione” dei numeri complessi: così come i numeri complessi sono coppie di numerireali con somma e prodotto, i quaternioni sono coppie di numeri complessi con somma e prodotto. Inquesto caso il prodotto non è commutativo, però. Gli elementi i, j e k di H sono un po’ come le unitàimmaginarie.)




(v) SU(2) ≈ S3 (rivedere la dimostrazione SO(2) ≈ S1).

*(7.31) Continuando dall’esercizio precedente, mostrare le seguenti proposizioni.

(i) i j = k = − ji, jk = i = −k j, ki = j = −ik, i2 = j2 = k2 = −1.

(ii) Se per ogni matrice del tipo X = a1+ bi + c j + dk si pone X = a1− bi − c j − dk, allora (XY) = (Y)(X),e

XX = a2 + b2 + c2 + d2 =: |X |2

(quest’ultima uguaglianza è una definizione).Segue che |XY |2 = |X |2|Y |2.

(iii) Per ogni (a, b, c, d) = (0, 0, 0, 0) ∈ R4 la matrice inversa di X = a1 + bi + c j + dk è uguale a X/|X |2 =(a1 − bi − c j − dk)/(a2 + b2 + c2 + d2).

(iv) Si consideri la funzione M : R3 → Mat2×2(C) definita ponendo

M(v) = Mv = v1i + v2 j + v3k.

per ogni vettore v ∈ R3 di componenti vi, e H ⊂ Mat2×2(C) la sua immagine. Si mostri che H è ilsottospazio di Mat2×2(C) di tutte le matrici Hermitiane a traccia nulla.

(v) Per ogni A ∈ SU(2) la funzione LA : H → H definita ponendo

LA(X) = AXA−1

è ben definita e lineare in X rispetto alla somma di matrici (osservare che X ∈ H se e solo se la tracciadella matrice X è nulla e la traccia …).

(vi) Per ogni A ∈ SU(2) la funzione LA : H → H, tramite la corrispondenza M, è una funzione lineareinvertibile R3 → R3, cioè induce un elemento ρA ∈ GL(3, R).

(vii) Per ogni A ∈ SU(2), l’elemento ρA del punto precedente è un elemento di O(3) (basta mostrare che ρAconserva la norma).

(viii) La funzione A 7→ det(ρA) è una funzione continua SU(2) ≈ S3 → −1, 1 = S0. Dedurre che per ogniA ∈ SU(2), si ha ρA ∈ SO(3).

(ix) La funzione continua A 7→ ρA è anche un omomorfismo di gruppi π : SU(2)→ SO(3).

(x) Il nucleo di π è uguale all’insieme di tutti gli elementi A = a1 + bi + c j + dk ∈ SU(2) tali che

Ai = iA, A j = jA, Ak = kA,

e quindi ker π = −1, 1.(xi) Le immagini mediante π in SO(3) dei tre sottogruppi

Gi = A ∈ SU(2) : Ai = iA = a + biG j = A ∈ SU(2) : A j = jA = a + c jGk = A ∈ SU(2) : Ak = kA = a + dk

sono i gruppi di rotazioni di SO(3) che fissano uno degli assi cartesiani di R3 (osservare per esempioche se A = 1 cos θ + i sin θ ∈ SU(2), allora ρA è la rotazione attorno al primo asse di R3 di angolo 2θ).



Esercizi 115

(xii) Se B ∈ SU(2) è a traccia nulla B = b1i + b2 j + b3k, allora B2 = −1;

(xiii) Se B, C ∈ SU(2) sono come sopra a traccia nulla, allora BC +CB = 0 se e soltanto se i due vettoricorrispondenti in H sono ortogonali (rispetto al prodotto scalare standard di R3, con l’identificazionemediante M).

(xiv) Se B ∈ SU(2) è come sopra a traccia nulla, allora esistono esistonoC, D ∈ SU(2) a traccia nulla tali cheBC = D,CD = B, DB = C,C2 = D2 = −1, BC + BC = 0, BD+DB = 0,CD+DC = 0 (si scelgano duevettori unitari in H che costituiscano, insieme a B, una base ortonormale in H , coerentemente orientata).

(xv) Se A = 1 cos θ + B sin θ, con B ∈ SU(2) del tipo B = bi + c j + dk, allora ρA è una rotazione che fissa(b, c, d) ∈ R3, di angolo 2θ (si consideri una base come nel punto precedente …).

(xvi) L’omomorfismo π : S3 ≈ SU(2)→ SO(3) è suriettivo ed è una mappa quoziente, dunque

SU(2)/ ker π = SU(2)/±1 ≈ SO(3),

e SO(3) è connesso.



Settimana N° 8

SPAZI AFFINI

§ 14. SPAZI AFFINI

(Cfr.)*Sappiamo come è definita l’azione di un gruppo G su un insieme e l’azione di un gruppo topologico su uno

spazio topologico. Ricordiamo anche che cosa è uno spazio vettoriale su un campo K (per esempio, K = R,K = C).

(14.1) Definizione. Uno spazio vettoriale V è un gruppo abeliano (additivo) su cui il campo degli scalariK “agisce”; l’azione di un campo K su un gruppo abeliano è data in termini di una legge di composizione(“prodotto per uno scalare”)

(k, v) ∈ K ×V 7→ kv ∈ V

con le proprietà seguenti.

(i) Per ogni k ∈ K la funzione indotta v ∈ V 7→ kv ∈ V è un omomorfismo del gruppo additivo V (cioè èadditiva, manda lo zero nello zero, …)

(ii) Per ogni k1, k2 ∈ K , v ∈ V :

(a) (k1 + k2)v = k1v+ k2v,

(b) (k1k2)v = k1(k2v)

(iii) 1v = v.

(14.2) Esempio. Sia Rn il prodotto diretto di n copie di R. Ha per elementi le n-uple di numeri reali, ed è ungruppo additivo rispetto alla somma componente per componente. Il prodotto di uno scalare per una n-upla è ilmodello di prodotto di scalare per vettore più in generale. Infatti, in molti contesti non si distingue il concettodi vettore (riga o colonna) dal concetto di n-upla.

*Cfr: Nacinovich, Cap V, §1 [2].

117

118 #8. SPAZI AFFINI

L’idea di spazio affine è l’applicazione della omogeneità degli spazi vettoriali (vedi definizione (13.8))rispetto al gruppo delle traslazioni: a meno di traslazioni, gli intorni dei punti Rn sono gli stessi.* Si può direche uno spazio affine è uno spazio che localmente è come uno spazio vettoriale, e dati due punti c’è ben definitauna unica trasformazione (traslazione) che manda un punto nell’altro (trasporto parallelo). Vedremo poi comeda questa idea si deducono i concetti di parallelismo e incidenza.

(14.3) Definizione. Uno spazio affine X su un campo K è un insieme X (insieme di punti) su cui agisce inmodo fedele e transitivo uno spazio vettoriale −→X su K (considerato solo come gruppo additivo – cioè comeil gruppo delle traslazioni). Gli elementi di X si chiamano punti, gli elementi di −→X si dicono vettori affini otraslazioni, e il campo K viene detto campo dei coefficienti.

(14.4) Sia X uno spazio affine e −→X lo spazio vettoriale (su campo K) associato. Allora esiste (unica) unafunzione X × X → −→X , indicata da (A, B) 7→ −−→AB (indicato anche come −−→AB = B − A), con le seguenti proprità:

(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ −→X , ∃ unico B ∈ X :−−→AB = v.

(ii) ∀A, B, C ∈ X, −−→AB +−−→BC =

−−→AC.

Dim. L’azione di −→X su X è per definizione transitiva: dunque per ogni scelta di A e B in X esiste v ∈ −→X tale chev+ A = B. Ora, se v, w ∈ −→X sono due vettori di −→X tali che v+ A = B e w+ A = B, allora si ha v+ A = w+ A,cioè il vettore v − w fissa il punto A ((v − w) + A = A). Ma se v − w fissa il punto A allora, dal momento che(essendo l’azione transitiva) ogni punto P di X si può scrivere come P = z + A per qualche z ∈ −→X , per ogniP ∈ X si ha

(v− w) + P = (v− w) + (z + A)= (v− w+ z) + A= (z + (v− w)) + A= z + (v− w+ A)= z + A= P

e dunque v − w fissa ogni punto P di X. Ma l’azione è fedele, e quindi deve essere v = w (cioè per ogni A, Bin X esiste unico v ∈ −→X per cui B = v+ A). Si può dunque indicare con −−→AB = v.

Ora mostriamo che ∀A, B, C ∈ X, −−→AB +−−→BC =

−−→AC. Infatti, per definizione risulta

−−→AB + A = B−−→BC + B = C

*La parola affine fu usata per la prima volta da Eulero, ma la geometria affine fu riconosciuta come disciplina soltanto dopol’avvio del programma di Erlangen di Felix Klein (1849–1925) – cioè il famoso discorso tenuto nel 1872 da Klein nell’Università diErlangen, in cui Klein propone una unificazione delle geometrie note al tempo (euclidea piana e dello spazio, non-euclidea, proiettiva,affine,…) con una interpretazione in termini di gruppi di simmetria – o meglio gruppi di trasformazioni: gli spazi tradizionali sono“spazi omogenei” rispetto ad una opportuna scelta del gruppo di trasformazioni (le similitudini e le rototraslazioni per la geometriaeuclidea, le trasformazioni lineari per la geometria affine, …) e le proprietà che si studiano sono quelle invarianti rispetto all’azionedi tale gruppo (angoli, lunghezze, …). Questo approccio ha avuto una significativa influenza sul modo in cui la geometria è statainsegnata e divulgata nei successivi (≥ 50) anni.



§ 14. SPAZI AFFINI 119

e quindiC =−−→BC + B = (

−−→BC +

−−→AB) + A

che per definizione (e commutatività) si legge come

−−→AC =

−−→AB +

−−→BC.

⨳

(14.5) Supponiamo di avere un insieme non vuoto X e uno spazio vettoriale −→X , insieme con una funzioneX × X → −→X , indicata da (A, B) 7→ −−→AB che soddisfa i due assiomi:


(ii) ∀A, B, C ∈ X, −−→AB +−−→BC =

−−→AC (assioma di Chasles*)

Allora X è spazio affine rispetto all’azione

(v, A) ∈ −→X × X 7→ A+ v,

dove si definisce A+ v l’unico punto B ∈ X tale che −−→AB = v (primo assioma).


(14.6) Esempio. −→X = X = Rn. Allora lo spazio affine si indica con An(R). Analogamente, per K = C, lospazio affine n-dimensionale si indica con An(C).

(14.7) Definizione. Una retta nello spazio affine X è un sottoinsieme di X che si può scrivere come

r = x0 + tv : t ∈ K

per un certo x0 ∈ X e v ∈ −→X ∖ 0.† Si dice che la retta passa per un punto se il punto appartiene alla retta. Lospazio vettoriale ⟨v⟩ ⊂ −→X di dimensione uno generato da v è la giacitura della retta.

(14.8) Definizione. Tre punti A, B, C di uno spazio affine X sono allineati se stanno su una stessa retta.

(14.9) Tre punti distinti A, B, C di uno spazio affine X sono allineati se e soltanto se i vettori −−→AB e −−→AC sonolinearmente dipendenti (equivalentemente, se −−→BC e −−→BA sono linearmente dipendenti, oppure se −−→CA e −−→CB sonolinearmente dipendenti).


(14.10) Due rette r = A + tv : t ∈ K e s = B + tw : t ∈ K coincidono se e solo se i vettori v e w sonolinearmente dipendenti (cioè se le giaciture coincidono) e A ∈ s ∧ B ∈ r.

*Michel Chasles, matematico francese (1793–1880).†In altre parole, una retta è l’orbita del punto x0 ∈ X mediante l’azione di un sottogruppo 1-dimensionale (∼= K) dello spazio di

traslazioni −→X




Dim. Supponiamo che r = s. Allora è ovvio che A ∈ s ∧ B ∈ r. Ora, dato che A ∈ s, esiste tA ∈ K tale cheA = B + tAw; analogamente, esiste tB ∈ K tale che B = A+ tBv. Segue che

B − A = −tAw = tBv,

cioè tAw+ tBv = 0. Se tA = 0 oppure tB = 0, allora abbiamo dimostrato che v e w sono linearmente dipendenti.Altrimenti, tA = 0 = tB cioè A = B. Ma allora, dato che A+ v ∈ r = s , esiste t′ ∈ K tale che A+ v = A+ t′w, equindi v− t′w = 0 (ancora, v e w sono linearmente dipendenti).

Viceversa, supponiamo che A ∈ s e B ∈ r e che v e w siano linearmente dipendenti. Segue che A = B+ tAwper un certo tA ∈ K e che esiste t′ ∈ K , t′ = 0, tale che v = t′w; quindi

r = A+ tv : t ∈ K= B + tAw+ tv : t ∈ K= B + tAw+ tt′w : t ∈ K= B + (tA + tt′)w : t ∈ K= B + tw : t ∈ K= s

⨳

(14.11) Corollario. Per due punti distinti A = B di uno spazio affine X passa una e una sola retta.

Dim. Sia K il campo dei coefficienti. Dato che A = B, il vettore −−→AB = B − A non è nullo, e quindi è bendefinita la retta

r = A+ t−−→AB : t ∈ K ⊂ X .

Dato che A ∈ r (per t = 0 ∈ K) e B ∈ r (per t = 1 ∈ K), la retta r passa per due punti. Se ce ne fosse un’altra

s = x0 + tv ⊂ X,

dovrebbero esistere tA, tB ∈ K tali che

A = x0 + tAv, B = x0 + tBv,

e quindi−−→AB = B − A = (tB − tA)v,

cioè v e −−→AB sarebbero linearmente dipendenti. Inoltre, sostituendo si otterrebbe

x0 = A− tAv = A− tAtB − tA

−−→AB,

dunque x0 ∈ r. Dalla (14.10) segue quindi che r = s. ⨳

Vedremo più avanti come generalizzare (14.11) a insiemi di più di due punti. Un altro importante teoremadi geometria affine è il seguente.



§ 14. SPAZI AFFINI 121

(14.12) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A ∈ A2(K) è un punto e r una retta che non passa perA, allora esiste unica la retta per A che non interseca r (che chiamiamo la parallela a r passante per A). Taleretta ha la stessa giacitura di r.*

Dim. Per definizione esistono un punto x0 e un vettore v = 0 per cui

r = x0 + tv : t ∈ K,

e non esiste t ∈ K per cui x0 + tv = A (dato che r non passa per A). La retta

r′ = A+ tv : t ∈ K

passa certamente per A. Supponiamo che r ∩ r′ = ∅. Allora esistono t1, t2 ∈ K tali che

A+ t1v = x0 + t2v ∈ r ∩ r′,

e quindiA = x0 + (t2 − t1)v =⇒ A ∈ r

che è assurdo. Abbiamo mostrato che esiste una retta che non interseca r.Supponiamo di avere due rette s e s′ tali che s ∩ r = ∅ e s′ ∩ r = ∅ e passanti per A. Allora si possono

scrivere con le equazioni s = A+ tw e s′ = A+ tw′. Per la proposizione (14.10) le due rette coincidono see solo se w e w′ sono linearmente dipendenti. Analogamente a quanto visto sopra, s ∩ r = ∅ se e solo se nonesistono t1 e t2 ∈ K tali che A+ t1w = x0 + t2v, cioè se e solo se l’equazione vettoriale (nelle incognite t1 e t2)

t1w− t2v = x0 − A

non ha soluzioni, il che avviene se e solo se il vettore x0 − A non appartiene al sottospazio di K2 generato da we v. Ora, se v e w sono linearmente indipendenti allora tale sottospazio coincide con K2, per cui la soluzionec’è. Affinché la soluzione non esista è necessario che v e w siano dipendenti. Abbiamo quindi mostrato che wè necessariamente multiplo di v. Dato che lo stesso vale per w′, risulta che w e w′ sono linearmente dipendentie quindi s = s′. ⨳

(14.13) Nota. Osserviamo che valgono le seguenti proprietà: Se X è un piano affine, allora

(i) Per ogni due punti distinti passa una unica retta ((14.11)).

(ii) Per ogni retta r e punto A ∈ r, esiste una unica retta per A che non interseca r (detta parallela).

(iii) Esistono almeno 4 punti che non contengono terne di punti allineate.

(Osserviamo che le prime due proprietà (ma non la terza) valgono anche per una retta affine.)

(14.14) Esempio. Sia F un campo finito di ordine pk (prossimo anno, algebra?). Primo p. Allora, A2(F) èun piano affine sul campo F. Per p = 2, k = 1, F2, A2(F2) quanti punti ha? Quante rette? Che legame ha conun tetraedro? Per p = 3, k = 1, con F3 = Z3 (si veda l’esercizio (8.22))? In generale, se F è un campo finitodi ordine n, allora A2(F) ha n2 punti, una retta affine ha n punti, e per un punto passano n + 1 rette (perché?considerare il fascio di rette per un punto e le intersezioni delle rette del fascio con una retta che non passa peril centro del fascio). Per ognuna delle n2(n2 − 1) coppie (ordinate) di punti distinti di A2(F) c’è una sola retta,e in una retta ci sono n(n − 1) coppie (ordinate) di punti distinti. Quindi in totale le rette sono

n2(n2 − 1)n(n − 1)

= n2 + n.

*Due rette sono quindi parallele se e solo se hanno la stessa giacitura?




(14.15) Nota. Segue che esiste una relazione di equivalenza tra rette (relazione di parallelismo: r ∥ s ⇐⇒r = s ∨ r ∩ s = ∅). In particolare, un piano affine ha una struttura di incidenza, nel senso che si ha un insiemeP di punti, un insieme R di rette, e una relazione di appartenenza ∈ : P × R→ 0, 1.

È possibile definire il rapporto (ratio) −−→AC :−−→AB di tre punti allineati in uno spazio affine A, B, C come

quell’unico ρ tale che−−→AC = ρ

−−→AB.

(14.16) Il rapporto di tre punti allineati in uno spazio affine su campo K esiste ed è unico in K.


(14.17) Dati tre punti A, B, C di uno spazio affine, il rapporto ρ sopra definito si indica come

ρ =−−→AC :

−−→AB =

−−→AC−−→AB=

ACAB

,

e con un abuso di notazione si poneACBA=

CAAB= −CA

BA= −AC

AB(14.18) Teorema (Talete (∼624–546)). Siano li, i = 1, 2, 3 tre rette parallele distinte di un piano affine X, er1, r2 altre due rette non parallele a li, con intersezioni Pi, j = ri ∩ l j . Allora

−−−−−−→P1,1P1,3 :

−−−−−−→P1,1P1,2 =

−−−−−−→P2,1P2,3 :

−−−−−−→P2,1P2,2.

Viceversa, se B è un punto di r1 tale che

−−−−→P1,1B :

−−−−−−→P1,1P1,2 =

−−−−−−→P2,1P2,3 :

−−−−−−→P2,1P2,2,

allora B = P1,3.

Dim. Per semplicità chiamiamo Ai = P1,i e Bi = P2,i per i = 1, 2, 3, e a =−−−−→A1A3 :

−−−−→A1A2, b =

−−−−→B1B3 :

−−−−→B1B2. Per

prima cosa dobbiamo mostrare che a = b. I tre vettori Bi − Ai , per i = 1, 2, 3, sono tutti multipli di un vettorenon nullo v (dato che le tre rette li sono parallele), cioè

Bi = Ai + βiv

per certi βi ∈ K , i = 1, 2, 3. Le rette ri d’altra parte non sono parallele a v. Per definizione si ha A3 = A1 + a(A2 − A1)

B3 = B1 + b(B2 − B1)

=⇒ B3 − A3 = (B1 − A1) + b(B2 − B1) − a(A2 − A1).=⇒ a(A2 − A1) − b(B2 − B1) ∈ ⟨v⟩.

MaB2 − B1 = (A2 + β2v) − (A1 + β1v)

= A2 − A1 + (β2 − β1)v



§ 15. SOTTOSPAZI AFFINI 123

e quindi⟨v⟩ ∋ a(A2 − A1) − b[A2 − A1 + (β2 − β1)v]

=⇒ a(A2 − A1) − b(A2 − A1) ∈ ⟨v⟩,

cioè (a − b)(A2 − A1) ∈ ⟨v⟩. Ma r1 non è parallela a v, quindi deve necessariamente essere a − b = 0, cioè latesi. Viceversa: poniamo B3 = B (senza supporre B3 ∈ l3), e siano a, b, v, con a = b, e β1, β2 come sopra. Nonè difficile mostrare che

B3 ∈ l3 ⇐⇒ B3 − A3 ∈ ⟨v⟩.

Se ripercorriamo le uguaglianze al contrario possiamo dedurre che

B3 − A3 = (B1 − A1) + b(B2 − B1) − b(A2 − A1).= B1 − A1 + b(B2 − A2) − b(B1 − A1)

= A1 + β1v− A1 + b(β2 − β1)v ∈ ⟨v⟩

Per esercizio provare a completare i dettagli della dimostrazione (o a trovarne un’altra): esercizio (8.15) apagina 136. ⨳

§ 15. SOTTOSPAZI AFFINI

(Cfr.)*

(15.1) Definizione. Sia X uno spazio affine e −→X lo spazio vettoriale su campo K associato. Se P ∈ X è unpunto fissato di X e W ⊂ −→X è un sottospazio vettoriale, allora il sottospazio

S = x ∈ X : x − P ∈ W

di tutti i punti x per cui x − P ∈ W si dice sottospazio affine passante per P e parallelo a W . Il sottospazio Wsi dice giacitura di S. La dimensione di S è per definizione la dimensione di W .

(15.2) Nota. I sottospazi affini sono le orbite mediante l’azione del sottospazio W , che agisce mediante tra-slazioni sullo spazio affine. Osserviamo anche che, seguendo la definizione (15.1), le rette sono proprio isottospazi affini di dimensione 1. Inoltre non è difficile vedere che i punti sono i sottospazi affini di dimensione0. I sottospazi di dimensione dim(X)− 1 (codimensione 1 in X) si dicono iperpiani. I sottospazi di dimensione2 si dicono piani. Se n = 3, piani e iperpiani coincidono.

(15.3) Proposizione. Se S ⊂ X è un sottospazio affine con giacitura W ⊂ −→X , allora è uno spazio affine conspazio vettoriale associato −→S = W ⊂ −→X

Dim. Il gruppo additivo −→X agisce in modo fedele e transitivo su X per definizione, e dunque W ⊂ −→X agisce inmodo fedele e transitivo sulla sua orbita, che per definizione è S! ⨳

*Cfr: Nacinovich, Cap I, §2 [2].




(15.4) Proposizione. Siano P1, P2 ∈ X due punti di uno spazio affine X, W1, W2 ⊂−→X due sottospazi vettoriali

e S1 = P1 +W1, S2 = P2 +W2 i due sottospazi affini passanti per Pi con giacitura Wi (i = 1, 2). Allora S1 = S2se e solo se W1 = W2, P2 ∈ S1 e P1 ∈ S2. Cioè, un sottospazio affine è identificato da uno qualsiasi dei suoipunti e dalla giacitura.

Dim. Supponiamo che S1 = S2. Allora è ovvio che P1 ∈ S2 e P2 ∈ S1. Vogliamo dimostrare che W1 = W2.Osserviamo che per definizione W1 = S1 − P1 e W2 = S2 − P2. Dato che P1 ∈ S1 = S2, per definizione ilvettore P1 − P2 appartiene a W2. Inoltre P2 = P1 + (P2 − P1) da cui si trae che

S2 = P2 +W2

= P1 + (P2 − P1) +W2

= P1 +W2

dato che w +W2 = W2 (come insiemi!) per ogni w ∈ W2 (vedi esercizio (8.7)), ed in particolare per P2 − P1.Ora, questo implica che S1 = S2 se e solo se

P1 +W1 = P1 +W2

ma questo accade se e solo se W1 = W2.Viceversa, se P1 ∈ S2 e P2 ∈ S1 eW1 = W2, allora come sopra si può scrivere S1 = P1 +W1 e S2 = P2 +W2,

e quindi S1 = S2. ⨳

(15.5) Per due punti distinti di uno spazio affine passa una unica retta. Per tre punti non allineati di uno spazioaffine passa un unico piano.

Osserviamo che la proposizione (15.4) generalizza la proposizione (14.10): basta considerare i sottospazi1-dimensionali generati da v e w.

(15.6) Definizione. Consideriamo un insieme di d + 1 punti P0, P1, …Pd in uno spazio affine X. Il più piccolosottospazio affine S ⊂ X che contiene tutti i punti P0, …, Pd si dice sottospazio affine generato dai d + 1 puntiP0, …, Pd .

(15.7) Nota. Dobbiamo dimostrare che la definizione (15.6) è ben posta, dal momento che potrebbe nonesistere un sottospazio con la proprietà cercata. Vediamo come.

(15.8) Proposizione. Il sottospazio affine di X generato da d + 1 punti P0, …, Pd ∈ X è il sottospazio passanteper P0 e con giacitura

⟨−−−−→P0P1,−−−−→P0P2, . . .−−−−→P0Pd⟩ ⊂−→X ,

e non dipende dall’ordine con cui i punti P0, …, Pd sono stati scelti.

Dim. Sia S il sottospazio affine di X passante per P0 e con giacitura

W = ⟨−−−−→P0P1,−−−−→P0P2, . . .−−−−→P0Pd⟩ ⊂−→X .

Si ha ovviamente P0 ∈ S e, inoltre, per ogni i Pi ∈ S dato che per ogni i = 1, . . . d si ha Pi = P0 + (Pi − P0) ∈P0 +W = S (per definizione Pi − P0 ∈ W ). Quindi S contiene tutti i punti P0, …, Pd .




Supponiamo che S′ sia un altro sottospazio affine contenente i punti P0, …, Pd . In particolare, P0 ∈ S′,per cui esiste W ′ ⊂ −→X tale che

S′ = P0 +W ′.

Dal momento che per ogni i = 1, …, d Pi ∈ S′, e quindi Pi − P0 ∈ W ′,

W = ⟨−−−−→P0P1,−−−−→P0P2, . . .−−−−→P0Pd⟩ ⊂ W ′.

Cioè S è contenuto in ogni sottospazio affine contenente i d + 1 punti. Sia ora S′ il sottospazio affine costruitoa partire da una permutazione dei d + 1 punti esattamente come S. Allora l’argomento di sopra si applica sia aS che a S′, per cui S ⊂ S′ e S′ ⊂ S, cioè S = S′. ⨳

(15.9) Nota. Consideriamo d + 1 punti P0, P1, …, Pd nello spazio affine X. A priori non ha senso scrivere lasomma

d∑i=0

λiPi =?

per dei coefficienti λi ∈ K , dal momento che non abbiamo definito prodotto di uno scalare λi per un punto Pi(potremmo farlo solo moltiplicando vettori con scalari, non punti con scalari). Però, come nel caso di Rn, sipotrebbe prendere un punto qualsiasi O ∈ X (l’origine) e definire tale somma come

d∑i=0

λiPi = O +d∑

i=0λi−−→OPi.

Questa definizione però dipende dalla scelta fatta per O. È interessare notare, però, che nel caso∑d

i=0 λi = 1 lasomma non dipende dalla scelta di O: se Q è un altro punto,

d∑i=0

λi(−−→OPi) +O =

d∑i=0

λi(−−−→QPi) +Q

⇐⇒d∑

i=0λi(Pi −O − (Pi −Q)) +O −Q = 0

⇐⇒d∑

i=0λi(Q −O) +O −Q = 0

⇐⇒ 0 = 0.

Possiamo in questo modo definire anche il baricentro di d + 1 punti, interpretando λi come masse (piùpropriamente, densità di massa). Se le masse sono uguali, il baricentro affine (geometrico) ha λi = 1/(n + 1).

(15.10) Definizione. In uno spazio affine di dimensione n, si dice che d + 1 punti sono indipendenti se ladimensione del sottospazio affine generato è d, altrimenti si dicono dipendenti. È chiaro che se sono indipen-denti, allora d ≤ n. Due punti sono dipendenti se e solo se coincidono. Tre punti sono dipendenti se e solose appartengono ad una stessa retta (e si dicono allineati. Analogamente, quattro punti sono indipendenti senon sono contenuti in un piano, per cui quattro punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad uno stessopiano.




(15.11) d + 1 punti x0, x1, . . . , xd sono dipendenti se e soltanto se esistono λ1, …, λd non tutti nulli tali che∑di=0 λi

−−−→x0xi = 0.

Dim. Segue dalla definizione. ⨳

(15.12) Nota. Due punti distinti nel piano sono sempre allineati. È vero che tre punti nello spazio sono allineati(dipendenti) se e soltanto se il determinante della matrice 3 × 3 delle loro coordinate è nullo? Quale direzionedella doppia implicazione è vera e quale no?

(15.13) Definizione. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n ≥ 1. Un riferimento affine in X è(equivalentemente):

(i) Una scelta di n + 1 punti di X indipendenti (dal punto di vista affine).

(ii) Una scelta di un punto x0 di X e di n vettori indipendenti di −→X (cioè, di una base per −→X , visto chedim(

−→X ) = dim(X) = n).

(15.14) (Equazioni parametriche) Sia S ⊂ X un sottospazio affine. Allora se si sceglie un riferimento affineP0, P1, . . . , Pd ∈ S si può scrivere S mediante le equazioni parametriche come

S = P0 +

d∑i=1

ti−−−−→P0P1 : ti ∈ K,

o anche come

P = P0 +

d∑i=1

ti−−−−→P0P1

(15.15) Nota. Ritroviamo qui le equazioni parametriche di rette (P = P0 + tv) e piani (P = P0 + sv+ tw).

(15.16) Nota. Come abbiamo visto nella nota (15.9), dati d + 1 punti P0, . . .Pn in uno spazio affine X didimensione n si possono considerare i punti P che si scrivono come

P =d∑

i=0λiPi,

d∑i=0

λi = 1

con λi ∈ K . Questi sono tutti e soli i punti del sottospazio affine generato dai Pi, e i coefficienti λi ∈ K sonounici, nel senso che se

P =d∑

i=0λiPi ,

d∑i=0

λi = 1, =

d∑i=0

λ′iPi,d∑

i=0λ′i = 1

allora λi = λ′i per ogni i. I (d + 1) elementi λi ∈ K si chiamano le coordinate baricentriche del punto P.Quando K = R, gli insiemi dei punti con coordinate baricentriche positive o nulle vengono chiamati

Segmenti per d = 1 (con estremi P0 e P1);

Triangoli per d = 2 (con vertici P0, P1 e P2, e lati dati dai segmenti ottenuti ponendo λi = 0, per i = 0, 1, 2).




In altre parole, il segmento che ha per estremi A, B ∈An(R) si scrive come

AB = λ0A+ λ1B : λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, λ0 + λ1 = 1

= A+ λ1−−→AB : 0 ≤ λ1 ≤ 1.

I punti del triangolo che ha per vertici A, B, C ∈An(R) sono gli elementi dell’insieme

ABC =

λ0A+ λ1B + λ2C : λ0 ≥ 0,

λ1 ≥ 0,λ2 ≥ 0,

λ0 + λ1 + λ2 = 1

= A+ λ1

−−→AB + λ2

−−→AC : λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 ≤ 1.

I lati del triangolo ABC sono

AB =

λ0A+ λ1B + λ2C : λ0 ≥ 0,λ1 ≥ 0,λ2 ≥ 0,

λ0 + λ1 + λ2 = 1,λ2 = 0

= λ0A+ λ1B : λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, λ0 + λ1 = 1

BC =

λ0A+ λ1B + λ2C : λ0 ≥ 0,λ1 ≥ 0,λ2 ≥ 0,

λ0 + λ1 + λ2 = 1,λ0 = 0

= λ1B + λ2C : λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1

CA =

λ0A+ λ1B + λ2C : λ0 ≥ 0,λ1 ≥ 0,λ2 ≥ 0,

λ0 + λ1 + λ2 = 1,λ1 = 0

= λ0A+ λ2C : λ0 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ0 + λ2 = 1.

§ 15.1. OPZIONALE: PIANI AFFINI FINITI E QUADRATI LATINI, GRECO-LATINI E MAGICI

Problema dei 36 ufficiali (L. Euler, 1782): C’è una delegazione di 36 ufficiali, ognuno dei quali appartienead uno dei 6 reggimenti a, b, c, d, e, f . I 6 gradi sono α, β, γ, δ, ϵ , φ, cioè colonnello, tenente-colonnello,maggiore, capitano, tenente, sottotenente. Possono formare un quadrato 6 × 6 in modo tale che ogni grado ereggimento è rappresentato in ogni riga e in ogni colonna (equivalentemente, in ogni riga e in ogni colonnanon compaiono mai due reggimenti uguali o due gradi uguali)?

Un quadrato del genere si chiama anche “quadrato greco-latino”, perché i 36 elementi possono essererappresentati da aα, aβ, … f ϵ , f φ.




Naturalmente lo stesso problema può essere posto per quadrati n × n, ed Eulero riuscì a trovare soluzioniper ogni n tranne quelli per cui n ≡ 2 mod 4. Quindi congetturò che non possono esserci soluzioni se n ≡ 2mod 4.

La congettura fu dimostrata (con qualche errore) da Tarry (1901) per n = 6 (cioè Tarry mostrò che nonesiste la soluzione al problema per n = 6),* ma confutata per il caso in generale da Parker nel 1959, conun celebre controesempio con n = 10 (indicato nella figura 8.1 a pagina 134);† nel 1960 fu dimostrato cheanche negli altri casi la congettura è falsa, cioè che anche per per ogni n > 6, n ≡ 2 mod 4 esistono quadratigreco-latini‡ In pratica esistono per ogni n tranne n ∈ 2, 6.

Un quadrato magico n × n è un quadrato in cui i primi n2 numeri compaiono in modo tale che la sommadelle cifre per colonne e per righe è costante.§ Osserviamo che se si ha un quadrato greco-latino n × n, i cuielementi sono (i, j), con i, j = 0, . . . , n − 1, allora sostituendo al posto di (i, j) il numero 1 + i + n j di ottieneun quadrato magico. Infatti con questa sostituzione la somma dei coefficienti di ogni riga (e quella di ognicolonna) è uguale a (perché?)

n−1∑i=0

(1 + i) + nn−1∑j=0

j = n +12

n(n − 1) +12

n2(n − 1) =n2(n2 + 1).

Per costruire quadrati greco-latini, torniamo per un momento alla geometria affine.

(15.17) Nota. Le proprietà della Nota (14.13) possono essere prese come assiomi per una struttura di geometriaaffine (finita). Più precisamente, una struttura di incidenza è una coppia (X, L), dove X è un insieme finito (dipunti), e L un insieme finito di rette, con la relazione di incidenza x ∈ l, ∈ : X × L → 0, 1. Se valgono anchegli assiomi

(i) Per ogni due punti distinti di X passa una unica retta.

(ii) Per ogni retta r e punto A ∈ r, esiste una unica retta per A che non interseca r (detta parallela).

(iii) Esistono almeno 4 punti che non contengono terne di punti allineate.

allora X è un piano affine. Due rette di X si dicono parallele se non si intersecano, oppure se sono uguali. Sitratta di una relazione di equivalenza: basta dimostrare che è transitiva (dato che è simmetrica e riflessiva).Siano a, b e c tre rette distinte (se due di tre rette coincidono allora evidentemente vale la proprietà transitivaper questo caso particolare), con a ∩ b = ∅ = b ∩ c. Se esistesse un punto P ∈ a ∩ c, allora P ∈ b, e dunqueesiste una unica retta b parallela a b passante per P. Ma sia a che c non intersecano b, e passano per P, dunquea = c, cioè non è vero che le tre rette non sono distinte. Quindi P non esiste, cioè a è parallela a c.

A proposito degli assiomi, in realtà si può prendere l’assioma

(iii)’ Esistono tre punti non collineari.*G. Tarry, “Le problème des 36 officiers,” C. R. Assoc. Fran. Av. Sci. Vol. 1(1900), p. 122–123, Vol. 2(1901), p. 170–203.†E. T. Parker, “Construction of some sets of mutually orthogonal Latin squares,” Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 10(1959), p. 946–

949. Si veda anche R. C. Bose and S.S. Shrikhande, “On the construction of sets of mutually orthogonal Latin squares and the falsityof a conjecture of Euler”, Trans. Amer. Math. Soc., 95 (1960) 191–209.

‡R. C. Bose and S. S. Shrikhande, “On the falsity of Euler’s Conjecture about the non-existence of two orthogonal latin squares oforder 4t+2,” Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. Vol. 45(1959), p. 734–737. R.C. Bose, S.S. Shrikhande, and E.T. Parker, “Further resultson the construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of Euler’s conjecture”, Canad. J. Math., 12 (1960) 189–203.

§In genere si richiede anche che la somma delle cifre sulle due diagonali sia uguale alla somma costante delle colonne e righe.Alcuni chiamano tali quadrati magici perfetti.




invece che il (iii). Occorre poi dimostrare che i due insiemi di assiomi sono equivalenti…*

(15.18) Nota. Consideriamo una struttura di incidenza (X, L) come sopra. Se X ha h elementi x1, x2, …xh eL ha k elementi l1, l2, …, lk , allora ogni relazione di incidenza X × L → 0, 1 può essere descritta come unamatrice A di tipo h × k in cui i coefficienti ai j sono 0 o 1: per i = 1 . . . h, e j = 1 . . . k si pone

ai j =

1 se xi ∈ l j ;0 se xi ∈ l j .

Nell’esercizio (8.25) vedremo come è possibile verificare gli assiomi di piano affine finito su una matrice diincidenza. È possibile –teoricamente– scrivere un algoritmo a “forza-bruta” che enumera tutte le possibili 2hk

matrici di incidenza di geometrie affini finite, scarta quelle che non soddisfano gli assiomi, e genera quindi unalista di tutte le geometrie finite (fino ad un certo numero di punti). Un approccio del genere è anche praticabile?†

Osserviamo che se F ha n elementi, allora A2(F) ha n2 punti, e le rette in A2(F) sono costituite da npunti (sono parametrizzate da F, nell’equazione parametrica P = A+ tv). Quante sono le rette per un punto?Prendiamo un punto P e una retta r che non passa per P. Allora per ognuno degli n punti di r c’è una (unica)retta che passa anche per P, e queste n rette sono tutte distinte (perché?). Dato che per P c’è anche la parallelaa r, in tutto ci sono n+ 1 rette per P. Perché non ce ne sono altre? Se s è una retta per P non parallela a r, allorar ∩ s = ∅, e dato che se s ha più di un punto di intersezione con r allora s = r, l’intersezione è costituita da unpunto di r. Ma allora s è una delle n rette già contate sopra.

Ora contiamo quanti punti e quante rette ci sono in un piano affine finito (non necessariamente un A2(F)),definito a partire dalla struttura di incidenza.

(15.19) Nota. Supponiamo che una retta di un piano affine X (definito a partire però dagli assiomi dellanota (14.13)…) abbia un numero finito di punti, n (deve essere n ≥ 2 perché…). Il piano si dice di ordine n.Dimostriamo che tutte le rette hanno n punti, che per ogni punto passano n + 1 rette, e che in totale ci sono n2

punti e n2 + n rette.

Dim. Sia r la retta con n punti e sia P un punto non su r (che esiste per il (iii) della nota (14.13) a pagina 121).Sia x il numero di rette per P. Delle x rette, una sola è parallela a r (per (ii)); le x − 1 rette hanno intersezionecon r e passano per P. Let intersezioni delle rette con r sono necessariamente distinte, per cui x − 1 ≤ n. D’altrocanto per ogni punto R di r esiste una unica retta passante per R e per P (e queste rette sono tutte distinte): quindix − 1 ≥ n, cioè per ogni punto non sulla retta r passano n + 1 rette distinte.

Ora, siano P e Q due punti distinti. Per (iii), esiste sicuramente una retta l che non contenga né P né Q(altrimenti, tutte le rette contengono almeno P oppure Q: tutte le rette intersecano la retta per P e Q: non cipossono essere punti al di fuori di questa retta (per l’assioma delle parallele): tutti i punti sono allineati). Ilnumero di rette per P (e il numero di rette per Q) è uno in più del numero di punti di l, e dunque il numero dirette per P è uguale al numero di rette per Q.

*È chiaro che (iii) =⇒ (iii)’. Viceversa, se ci sono tre punti non allineati A, B, C, allora esistono le rette r parallela ad AB epassante per C e s parallela a BC e passante per A. Se le rette r e s non si intersecano (cioè, sono parallele), dato che la relazione diparallelismo è una relazione di equivalenza, allora BC (la retta per B e C) è parallela a AB, e BC e AB si intersecano in B certamente,le due rette coincidono, cioè ABC sono allineati (contro ipotesi). Quindi esiste D ∈ r ∩ s. I quattro punti A, B, C e D non contengonoterne di punti allineate. Osserviamo che AB e CD sono parallele e AD e CB sono parallele. Se tre dei quattro punti fossero allineatiallora le quattro rette AB,CD e AD eCB sarebbero tutte tra loro parallele, e quindi coincidenti. Ma ABC non sono allineati per ipotesie questo è assurdo.

†Stimando molto per eccesso che un computer non può (e non potrà nei prossimi anni) eseguire più di 1015 operazioni al secondo.




Ora, se l è una seconda retta (e la retta r ha n punti), allora scegliamo un punto P non su l e non su r (ancora,P deve esistere per (iii), altrimenti tutti i punti sono in l ∪ r, e non vale l’assioma delle parallele …). Segueche r e l hanno lo stesso numero di punti, e per l’arbitrarietà di l la tesi.

Ora, se x è il numero totale di punti e y il numero totale di rette, abbiamo:

(15.20) ny = (n + 1)x

(contando i punti al variare delle rette, alla fine ogni punto è stato contato esattamente n+1 volte). Ma possiamocontare anche le rette con le coppie di punti distinti: per ognuna delle x(x − 1)/2 coppie di punti distinti c’èuna retta, ed ogni retta è contata n(n − 1)/2 volte in questo modo. Dunque

(15.21) x(x − 1) = yn(n − 1).

Risolviamo le due equazioni (15.20) e (15.21) otteniamo subito x = n2 e y = n2 + n. ⨳

Quindi le matrici (possibili) di incidenza per i piani di ordine n hanno h = n2 righe e k = n2 + n colonne,e quindi sono

2n2(n2+n).

Il numero di secondi necessario (con un supercomputer ipotetico, capace di 1015 operazioni al secondo) èalmeno 2n3(n+1)10−15, cioè…

Torniamo ora ai quadrati greco-latini, che fondamentalmente sono unioni di due quadrati latini distinti (econ la proprietà che tutte le n2 coppie compaiono), dove per quadrato latino si intende la parte a lettere latine.Più precisamente, un quadrato latino di ordine n è una matrice n× n i cui coefficienti sono i numeri 1, 2, . . . , ne in cui ogni riga e ogni colonna contiene ogni numero esattamente una volta. Anche in questo caso si ha unquadrato magico: le somme delle righe e delle colonne sono uguali a n(n + 1)/2, oppure, se si somma k ∈ Z

ad ogni coefficiente della matrice, n(n + 1)/2 + nk.Non è difficile vedere che la tabella di moltiplicazione di un gruppo G di ordine n è di fatto un quadrato

latino: …(esercizio!).Due quadrati latini ai, j e bi, j sono ortogonali se le coppie ordinate (ai, j , bi, j) sono tutte distinte al variare

di i, j. Quindi, i quadrati greco-latini non sono altro che coppie di quadrati latini ortogonali.

(15.22) Esempio. Un piano affine di ordine n genera n − 1 quadrati latini n × n nel modo seguente: fissiamoun punto O del piano e due rette x e y distinte e passanti per O. Ci sono n + 1 − 2 = n − 1 altre rette per Odistinte, n rette parallele a x e n rette parallele a y. Chiamiamo

x1, . . . , xn

le rette parallele a x ey1, . . . , yn

le rette parallele a y. Sia z una delle n − 1 rette per O diverse da x e y, e

z = z1, . . . , zn

le rette parallele a z. Per ogni i, j le due rette xi e y j non sono parallele, e quindi si intersecano in un unico puntoxi ∩ y j . Questo punto è contenuto in una sola retta parallela a z, cioè esiste k ∈ 1, . . . , n tale che xi ∩ y j ∈ zk .Fissato z, quindi, sia A la matrice n × n con coefficienti ai, j determinati da

ai, j = k ⇐⇒ xi ∩ y j ∈ zk .




(15.23) La matrice ai, j è un quadrato latino.

Dim. Gli elementi della prima riga sono

a1, j = k ⇐⇒ x1 ∩ y j ∈ zk .

Fissato k, cioè zk , se x1 ∩ y j ∈ zk e x1 ∩ yl ∈ zk con j = l, allora in zk ci sono due punti distinti (perchéappartengono alle due rette y j e yl parallele distinte) che appartengono anche a x1, cioè x1 = zk , e questo èassurdo perché x1 è parallela a x, zk è parallela a z e x non è parallela a z. Lo stesso per le altre righe e per lecolonne. ⨳

Quindi al variare di z nell’insieme delle n − 1 rette per O non parallele a x o a y otteniamo n − 1 quadratilatini (esercizio (8.23)). Non solo sono quadrati latini distinti: sono a due a due ortogonali!

(15.24) Se z e w sono due rette distinte per O non parallele a x e a y, e ai, j e bi, j i quadrati latini generaticome sopra, allora ai, j e bi, j sono ortogonali.

Dim. Occorre mostrare che per ogni coppia (h, k), con h, k ∈ 1, . . . , n esiste una unica coppia di indici (i, j)tale che ai, j = h

bi, j = k.

Questo è equivalente a chiedere che per ogni retta zh parallela a z e per ogni retta wk parallela a w esiste unicala coppia di rette xi e y j tali che xi ∩ y j ∈ zh

xi ∩ y j ∈ wk .

Ma zh ewk non sono parallele e quindi si intersecano in un unico punto. Esiste una unica xi che passa per questopunto, ed esiste una unica y j che passa per questo punto (sono fasci di rette parallele!). Quindi xi ∩ y j ∈ zh ∩wkcome volevasi dimostrare. ⨳

Quindi per ogni piano affine finito di ordine n ≥ 3 è possibile trovare quadrati greco-latini. Ma per quali n cisono piani affini finiti? Certamente se n è l’ordine di un campo finito (per esempio, se n è primo*), altrimentinon è una domanda facile. Possiamo stabilire che non ci sono piani affini finiti di ordine 6 (altrimenti cisarebbe una soluzione per il problema dei 36 ufficiali di Eulero). È un esercizio molto semplice quello di usarela costruzione indicata sopra per costruire quadrati latini e greco-latini (e quindi quadrati magici) rispetto alcampo finito Zp, p primo. Basta prendere le due rette del sistema di riferimento standard di A2(K), conK = Zp con p primo, e considerare i fasci di rette di equazioni y = x + q e y = kx + q, con k, q ∈ K. Allora idue quadrati hanno coefficienti

axy = y − x mod p, bxy = y − kx mod p

con x, y ∈ 0 . . . p − 1, e il quadrato magico corrispondente ha coefficienti

mxy = (y − kx mod p) + p(y − x mod p).

Per esempio, per p = 5 e k = 2 si ottiene*I campi finiti hanno ordine n = pk per p primo e k intero. La Prime Power Conjecture congettura che ci sia un piano affine di

ordine n se e soltanto se n è la potenza di un primo.




0 6 12 18 24 | 6023 4 5 11 17 | 6016 22 3 9 10 | 6014 15 21 2 8 | 607 13 19 20 1 | 60

-------------------------60 60 60 60 60

Mentre per p = 11 e k = 2 :

0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 | 660119 10 11 23 35 47 59 71 83 95 107 | 660106 118 9 21 22 34 46 58 70 82 94 | 66093 105 117 8 20 32 33 45 57 69 81 | 66080 92 104 116 7 19 31 43 44 56 68 | 66067 79 91 103 115 6 18 30 42 54 55 | 66065 66 78 90 102 114 5 17 29 41 53 | 66052 64 76 77 89 101 113 4 16 28 40 | 66039 51 63 75 87 88 100 112 3 15 27 | 66026 38 50 62 74 86 98 99 111 2 14 | 66013 25 37 49 61 73 85 97 109 110 1 | 660

-------------------------------------------------------660 660 660 660 660 660 660 660 660 660 660

Per avere quadrati magici “perfetti” (cioè tali che anche sulle due diagonali la somma sia la costantemagica),occorre cambiare leggermente le formule:

mxy = (y − kx + q1 mod p) + p(y − x + q2 mod p)

con q1 e q2 costanti appropriate.Per p = 5 e k = 2 si ottiene il quadrato magico perfetto:

12 18 24 0 6 | 605 11 17 23 4 | 603 9 10 16 22 | 6021 2 8 14 15 | 6019 20 1 7 13 | 60

-------------------------60 60 60 60 60

Mentre per p = 11 e k = 2 :

60 72 84 96 108 120 0 12 24 36 48 | 66047 59 71 83 95 107 119 10 11 23 35 | 66034 46 58 70 82 94 106 118 9 21 22 | 66032 33 45 57 69 81 93 105 117 8 20 | 66019 31 43 44 56 68 80 92 104 116 7 | 6606 18 30 42 54 55 67 79 91 103 115 | 660




114 5 17 29 41 53 65 66 78 90 102 | 660101 113 4 16 28 40 52 64 76 77 89 | 66088 100 112 3 15 27 39 51 63 75 87 | 66086 98 99 111 2 14 26 38 50 62 74 | 66073 85 97 109 110 1 13 25 37 49 61 | 660

-------------------------------------------------------660 660 660 660 660 660 660 660 660 660 660

Un programma (in python) che potrebbe fare questi conti è il seguente:

import osimport sysN=11

def quad(N,k):M=[[0 for x in range(N)] for y in range(N)]for x in range(N):output=""for y in range(N):M[x][y] = ((y-k*x + (N-1)/2) % N ) +N* ( (y-x +(N-1)/2) % N )output += (" %3i " % M[x][y] )output +=("| %3i " % sum(M[x][:]))print output

print "\n" + "-" * N*5output=""for y in range(N):output += (" %3i " % sum(M[:][y]) )

print outputprint "diagonali:" , sum([M[x][x] for x in range(N)]), sum([M[x][N-1-x] for x in range(N)])print

for k in range(2,N-1):print "*"*60print "N=", N, "k=", kquad(N,k)

Se n = pk con k > 1, la faccenda si complica, però... occorre un linguaggio di programmazione che sia ingrado di fare i conti con gruppi finiti, e non solo con Zp.




Figura 8.1: Raffigurazione del controesempio alla congettura di Eulero per n = 10. È alla base della strutturadel romanzo La Vie – mode d’emploi (1978) di Georges Perec (1936 - 1982), e di alcuni quadri/decorazioni. Unaltro problema matematico, trattato da Eulero, alla base della struttura del romanzo è il problema del percorsodel cavallo, per una scacchiera 10 × 10.



Esercizi 135

ESERCIZI

(8.1) Dimostrare la proposizione (14.5): supponiamo di avere un insieme non vuoto X e uno spazio vettoriale−→X , insieme con una funzione X × X → −→X , indicata da (A, B) 7→ −−→AB che soddisfa i due assiomi:


(ii) ∀A, B, C ∈ X, −−→AB +−−→BC =

−−→AC

Allora X è spazio affine rispetto all’azione

(v, A) ∈ −→X × X 7→ A+ v,

dove si definisce A+ v l’unico punto B ∈ X tale che −−→AB = v.

(8.2) Dimostrare il lemma (14.9) a pagina 119.

(8.3) Dimostrare che due rette distinte di uno spazio affine si intersecano in al più un punto. Dedurre che perdue punti distinti passa una unica retta.

(8.4) Dimostrare che se A e r sono un punto e una retta di uno spazio affine X, con A ∈ r, allora esiste ununico piano di X che contiene sia A che r.

*(8.5) Sia l una retta del piano affine A2(R). Dimostrare che l non può incontrare tutti i lati di un triangolo.*

(8.6) Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato.

(8.7) Dimostrare che, se V è uno spazio vettoriale e v ∈ V , V = v +V = v +w, w ∈ V .

(8.8) Dimostrare che se S ⊂An(K) è un sottospazio affine e v ∈ Kn è un vettore non nullo, allora S è paralleloal suo traslato v + S (S ∥ (v + S)). Determinare per quali v ∈ Kn si ha che S ∩ (v + S) = ∅.

(8.9) Si consideri la retta r in A3(R) di equazioni parametriche

xyz =

012 + t

123 . Scrivere l’equazione della

parallela s a r passante per

111.

(8.10) Determinare il piano/i piani (le equazioni di) che contengono le due rette r e s dell’esercizio (8.9).*Legato a questo problema c’è l’assioma di Pasch, che dice che nel piano euclideo se una retta non passa per nessuno dei vertici,

e interseca un lato di un triangolo (internamente), allora interseca uno e un solo altro lato (internamente), e interseca l’altro lato in unpunto esterno (oppure è parallela all’altro lato). Pasch ha mostrato (1882) che questa proprietà non segue dagli assiomi di Euclide (cheperaltro considerava vera l’affermazione, senza derivarla da assiomi, né esplicitamente aggiungendola come postulato).Questa proprietà è stata considerata un assioma (assioma di ordine nel piano) da Hilbert, nei suoi Fondamenti di Geometria: se A,

B e C sono tre punti non allineati, e se r è una retta che non passa per nessuno dei tre punti che passa per il segmento AB, allora passaper un punto del segmento AC oppure per un punto del segmento BC.




(8.11) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A, B ∈A4(R)

A =

1−1√

2−√

2

, B =

√

2−√

21−1

.

(8.12) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A, B ∈A4(C)

A =

1−1i−i

, B =

i−i1−1

.

(8.13) Dimostrare che due rette non parallele nel piano affine si intersecano esattamente in un punto.

(8.14) Dimostrare che il rapporto −−→AC :−−→AB di tre punti ABC allineati in uno spazio affine An(K) su campo

K esiste ed è unico in K. Cosa succede se si permutano i tre punti? Se −−→AC :−−→AB = ρ, esprimere in funzione di

ρ i rapporti−−→BC :

−−→BA = . . .

−−→AB :

−−→AC = . . .

−−→CA :

−−→CB = . . .

−−→BA :

−−→BC = . . .

−−→CA :

−−→CB = . . .

*(8.15) (Teorema di Talete) Siano l1, l2 e l3 rette parallele e distinte del piano affine A2(R), e r1, r2 rette nonparallele a l1, l2, l3. Per l’esercizio precedente (8.13), le intersezioni li ∩ r j per i = 1, 2, 3 e j = 1, 2 sono seisingoli punti, che chiamiamo Pi, j . Dimostrare che esiste ρ ∈ R tale che

−−−−−−→P1,1P3,1 = ρ

−−−−−−→P1,1P2,1

−−−−−−→P1,2P3,2 = ρ

−−−−−−→P1,2P2,2.

(8.16) Determinare quali delle seguenti terne di punti di A3(R) sono allineate:123,

231,

312 ;

246,

462,

354 ;

100,

110,

211 .

(8.17) Considerare le tre terne di punti dell’esercizio precedente. Siano S1, S2 e S3 i sottospazi affini di A3(R)generati da esse. Determinare quali tra S1, S2 e S3 sono parallele, sghembe o incidenti.

(8.18) Un piano e una retta in A3(R) possono essere sghembi?

(8.19) Si considerino i tre punti[11

],[22

],[02

]di A2(R). Se costituiscono un riferimento affine, scrivere

esplicitamente il cambio di coordinate: un punto di coordinate (generiche) x, y si scriverà come …



Esercizi 137

(8.20) Determinare l’equazione del piano di A4(R) passante per i tre punti

1001

,0102

,0013

.

(8.21) Determinare se i quattro punti diA4(R)

1001

,0102

,0013

,1/31/31/32

costituiscono un riferimento affine per un op-portuno sottospazio tridimensionale di A4(R). Se sì, scrivere le equazioni del piano dell’esercizio precedente(8.20) in queste coordinate.

*(8.22) Rappresentare in un grafo la struttura di piano affine per A2(GF(3)), dove GF(3) = F3 (9 punti e 12rette).

*(8.23) Dimostrare che le matrici generate da un piano affine come nell’esempio (15.22) di pagina 130 sonoquadrati latini.

(8.24) Dimostrare che tre punti A = (a1, a2), B = (b1, b2) e C = (c1, c2) di A2(K) sono allineati se e solo seil determinante

det

a1 b1 c1a2 b2 c21 1 1

= 0.

(8.25) Sia (X, L) la struttura di incidenza (cfr. nota (15.17) a pagina 128) di un piano affine finito di ordine ne A la sua matrice di incidenza associata (cfr. nota (15.18) a pagina 129).

(i) Mostrare che A è una matrice n2 × (n2 + n) (cfr. nota (15.19) a pagina 129). Dedurre una stima degli nper cui è teoricamente possibile enumerare le geometrie finite a partire dall’elenco delle matrici A.

(ii) Mostrare che se a e b sono le colonne j-esima e j-esima di A, allora il prodotto scalare standard a · b (inRn2) è uguale a

a · b =

n se j = j;1 se l j e l j non sono parallele0 se l j e l j sono parallele e distinte.

(iii) Mostrare che se a e b sono le righe i-esima e i-esima di A, allora il prodotto scalare standard a · b (inRn2+n) è uguale a

a · b =n + 1 se i = i;1 se i = i.

(iv) Dedurre che (At indica la matrice trasposta di A, Jq indica la matrice q × q che ha tutti 1 per coefficienti,Iq la matrice identica q × q) se Pn2+n indica la matrice che rappresenta la relazione di parallelismo inL = l1, . . . , ln2+n, allora si ha

At A = nIn2+n + Jn2+n − Pn2+n

AAt = nIn2 + Jn2 .

(v) Esplicitare l’assioma delle parallele in funzione dei coefficienti di A.




(8.26) Sia X l’insieme di tutte le terne (x0, x1, x2) ∈ Q3 tali che x0 + x1 + x2 = 1, e −→X ⊂ Q3 lo spazio vettorialea coefficienti in Q costituito dai (v0, v1, v2) ∈ Q2 tali che v0 + v1 + v2 = 0.

(i) Mostrare che X è un piano affine con coefficienti in Q.

(ii) Siano (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) i tre punti del piano X. Dimostrare che non sono allineati.

(iii) Mostrare che i punti medi dei lati del triangolo ∆ con vertici (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) sono ( 12 , 1

2 , 0)( 1

2 , 0, 12 ) e (0, 1

2 , 12 ).

(iv) Dimostrare che il baricentro del triangolo ∆ è ( 13 , 1

3 , 13).

(v) Dimostrare che l’area del triangolo ABC, con A = (a0, a1, a2), B = (b0, b1, b2) e C = (c0, c1, c2), èuguale (a meno di segno) a

Area(ABC) = det

a0 b0 c0a1 b1 c1a2 b2 c2

Area(∆).

(come si definisce l’area in un piano affine? Si veda poi in § 19.1)



Settimana N° 9

TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO

§ 16. MAPPE AFFINI

(Cfr.)*

(16.1) Definizione. Siano X e Y due spazi affini sullo stesso campo K . Una funzione f : X → Y si diceaffine (anche, mappa affine o trasformatione affine) se per ogni x ∈ X la funzione indotta sugli spazi vettorialisottostanti −→X → −→Y definita da

v ∈ −→X 7→ f (x + v) − f (x) ∈ −→Yè lineare.

(16.2) Esempio. Se X = Y = K = R, allora le mappe affini sono le mappe che si possono scrivere comex 7→ ax + b.

(16.3) Esempio. Se f : X → Y è una mappa costante, allora è affine. L’identità è anche una mappa affine.

(16.4) Esempio. Tutte le traslazioni x 7→ x + v sono mappe affini.

(16.5) Una funzione f : X → Y tra spazi affini su campo K è una mappa affine se esiste x0 ∈ X per cui lafunzione

Lx0 : v ∈ −→X 7→ f (x0 + v) − f (x0) ∈−→Y

è lineare. In questo caso la funzione Lx non dipende da x e si indica con−→f .

Dim. Dobbiamo dimostrare che per ogni x ∈ X la funzione indotta v 7→ f (x + v)− f (x) è lineare −→X → −→Y . Siadunque x ∈ X arbitrario. Supponiamo che esista x0 come nell’enunciato, e quindi sia L :

−→X → −→Y la funzione

lineare (omomorfismo di spazi vettoriali) definita da

L(v) = v 7→ f (x0 + v) − f (x0).

Dal momento che per ogni v ∈ −→X

f (x + v) − f (x) = f(x0 +−−→x0x + v

)− f

(x0 +−−→x0x

),

*Cfr: Nacinovich, Cap V, §3 [2].

139

140 #9. TRASFORMAZIONI AFFINI, INCIDENZA E PARALLELISMO

si haf (x + v) − f (x) = f

(x0 +−−→x0x + v

)− f (x0)

−(f(x0 +−−→x0x

)− f (x0)

)= L(−−→x0x + v) − L(−−→x0x)

= L(−−→x0x) + L(v) − L(−−→x0x)= L(v)

che è quindi lineare in v. ⨳

(16.6) Definizione. Una mappa affine f : X → Y tra spazi affini su campo K si dice isomorfismo affine se èuna mappa affine biunivica. Se X = Y , allora si dice automorfismo affine o anche affinità.

(16.7) Se f : X → Y è biunivoca, allora deve essere biunivoca anche l’applicazione lineare associata−→f :−→X →

−→Y . Ma allora

−→f è invertibile, e quindi anche l’inversa f −1 : Y → X è una mappa affine (esercizio!). Dato che

l’identità è una affinità, la composizione di affinità è una affinità, e l’inversa di affinità è una affinità, alloral’insieme di tutte le affinità costituisce un gruppo rispetto alla composizione.

(16.8) Definizione. Il gruppo di tutte le affinità su uno spazio affine X (con campo K sottostante) si indicacon GA(X).

(16.9) Teorema. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n. La scelta di un riferimento affine induceun isomorfismo di spazi affini X ∼=An(K). Quindi due spazi affini su campo K con la stessa dimensione sonosempre tra loro isomorfi.

Dim. Se x0, x1, …xn è un riferimento affine per X, allora si può definire la mappa f : An(K) → X definitada

(λ1, . . . , λn) 7→ x0 +

n∑i=1

λi−−−→x0xi ∈ X.

Non è difficile verificare che f è una mappa affine. Dato che i punti x0, …, xn costituiscono un riferimentoaffine, la giacitura

⟨−−−→x0x1, . . . ,−−−→x0xn⟩

ha dimensione n, e quindi la funzione lineare indotta f (0 + v) − f (0) è un isomorfismo di spazi vettoriali. Dacui segue che f è bijettiva. ⨳

(16.10) Teorema. Ogni mappa affine f : Ad(K) → An(K) (nel sistema di riferimento affine standard) siscrivere in modo unico come

f (x) = Ax + b = A(x − 0) + (b − 0),

dove A è una matrice n × d e b un vettore di Kn.

Dim. Basta considerare il punto z = (0, . . . , 0) ∈ Ad(K). Per definizione la mappa f (z + v) − f (z) è lineare,e dunque esiste A : Kd → Kn (rappresentata come matrice nella base standard) tale che f (z + v) − f (z) = Av.Ponendo f (z) = b − 0 si ha

f (z + v) = Av+ b,

cioè f (x) = Ax + b in coordinate di Kd . ⨳



§ 16. MAPPE AFFINI 141

(16.11) Corollario. Sia X uno spazio affine di dimensione n e Y uno spazio affine di dimensione d. Sep0, p1, . . . , pn sono un riferimento affine per X, allora per ogni scelta di n + 1 punti q0, q1, . . . , qn in Y esisteuna unica mappa affine f : X → Y tale che f (pi) = qi per ogni i = 0, . . . , n.

Dim. Sia X ∼= An(K) l’isomorfismo indotto dalla scelta del riferimento affine. Il riferimento corrispondentenello spazio affine An(K) è 0, e1, . . . , en, dove gli ei sono i versori canonici di Kn. Scelto un qualsiasi riferi-mento affine per Y , l’applicazione affine cercata si può scrivere come f (x) = Ax + b, dove A è la matrice cheha per colonne le coordinate dei vettori q1 − q0, …, qn − q0, mentre il termine noto b è il vettore colonna dellecoordinate di q0. Infatti, se Ai, j indicano le componenti di A e bi le componenti di b, si ha (nelle coordinatescelte) per ogni i = 1 . . . n

f (pi) = Aei + b =

A1,i + b1A2,i + b2

...Ad,i + bd

e f (p0) = b. Questo determina i coefficienti Ai, j in modo unico, come indicato sopra. ⨳

(16.12) Teorema (Equazioni cartesiane). Sia S ⊂ X = An(K) un sottospazio affine di dimensione d. Alloraesiste una mappa affine e suriettiva f : X →An−d(K) per cui

S = x ∈ X : f (x) = 0.

Viceversa, per ogni mappa affine suriettiva f : X → An−d(K) l’insieme x ∈ X : f (x) = 0 è un sottospazioaffine di X di dimensione d.

Dim. Sia W la giacitura di S e P un punto di S, in modo tale che

S = P +W .

È sempre possibile trovare un comple(ta)mento W ′ di W in −→X , cioè un sottospazio vettoriale W ′ di −→X tale che

−→X = W ⊕W ′.

Se dim(W) = d, allora dim(W ′) = n − d. Per ogni x ∈ X il vettore x − P si scrive in modo unico come

x − P = w +w′

con w ∈ W e w′ ∈ W ′, ed è possibile definire la proiezione (lineare) L :−→X → W ′ tale che L(w + w′) = w′.

Il nucleo di L è ker L = W . Scelta una base per W ′, è dato un isomorfismo W ′ ∼= Kn−d . Si consideri quindi(mediante l’identificazione naturale tra An−d(K) e Kn−d) la funzione f : X →An−d(K) definita da

f (x) = 0 + L(x − P) ∈An−d(K)

(dove 0 appartiene a Kn−d). È facile vedere che è una mappa affine e che

f (x) = 0 ⇐⇒ x − P ∈ W⇐⇒ x ∈ P +W⇐⇒ x ∈ S,




e dunque S = x ∈ X : f (x) = 0.Viceversa, sia f : X → An−d(K) una mappa affine e suriettiva. Sia S = x ∈ X : f (x) = 0 e x0 ∈ S.

L’applicazione L :−→X = Kn → Kn−d definita da Lv = f (x0 + v) − f (x0) è lineare e suriettiva, ha quindi un

nucleo W ⊂ Kn di dimensione n − (n − d) = d. Dal momento che x0 ∈ S, per definizione f (x0) = 0, e quindiun elemento x0 + v appartiene a S se e solo se

f (x0 + v) = 0 ⇐⇒ Lv = 0 ⇐⇒ v ∈ W ,

e quindi S = x0 +W , dove W ha dimensione d. ⨳

(16.13) Esempio. In dimensione 2 e 3, si ritrovano le equazioni cartesiane delle rette inA2(R) (ax+by+ c = 0), dei piani in A3(R) (ax + by+ cz+ d = 0) e delle rette in A3(R) (viste come zeri di una funzione A3(R) →A2(R). ax + by + cz + d = 0

a′x + b′y + c′z + d′ = 0

(16.14) Proposizione. Se f : X → Y è una mappa affine, allora l’immagine di una retta è una retta (o un punto).Più in generale, l’immagine di un sottospazio affine di X è un sottospazio affine di Y e la controimmagine diun sottospazio affine di Y è un sottospazio affine di X.

Dim. Sia S ⊂ X un sottospazio affine con giacitura −→S e passante per p ∈ X: S = p+−→S . Allora, se

−→f :−→X → −→Y

denota l’omomorfismo indotto da f (−→f (v) = f (x0 + v) − f (x0)), si ha

f (S) = f (p + s) : s ∈ −→S

= f (p + s) − f (p) + f (p) : s ∈ −→S

= −→f (s) + f (p) : s ∈ −→S

= f (p) +w : w ∈ −→f (−→S ) ⊂ −→Y .

Dal momento che−→f è lineare, l’immagine

−→f (−→S ) ⊂ −→Y è un sottospazio vettoriale, da cui segue la tesi. In modo

analogo si dimostra la seconda parte (vedi esercizio (9.20)). ⨳

(16.15) Proposizione. Sia f : X → Y una mappa affine. Allora f manda terne di punti allineati in terne dipunti allineati. Non solo: se A, B, C ∈ X hanno rapporto ρ = −−→AC :

−−→AB , allora se A′ = f (A), B′ = f (B) e

C′ = f (C) si ha−−−→A′C′ :

−−−→A′B′ = ρ,

cioè f conserva il rapporto tra terne di punti affini.

Dim. Con una scelta di riferimenti affini, sia f : An(K) →Am(K) definita da f (x) = Fx+ b, con F matricee b vettore. Dato che

C = A+ ρ(B − A),

si haC′ = F(A+ ρ(B − A)) + b= FA+ b + ρ(FB − FA)= (FA+ b) + ρ(FB + b − FA− b)= A′ + ρ(B′ − A′),



§ 16. MAPPE AFFINI 143

cioè C′ − A′ = ρ(B′ − A′). ⨳

La seguente proposizione dà la proposizione inversa dalla proposizione (16.15).

(16.16) Proposizione. Se f : X → Y è una bijezione tra due spazi affini su campo K (di caratteristica = 2*)che conserva il rapporto di terne di punti allineati, cioè tale che per ogni A, B, C ∈ X allineati si ha cheA′, B′, C′ sono allineati e −−−→

A′C′ :−−−→A′B′ =

−−→AC :

−−→AB

con f (A) = A′, f (B) = B′ e f (C) = C′, allora f è una mappa affine.

Dim. La funzione f manda rette in rette (per definizione). SiaO ∈ X un punto qualsiasi, fissato, cui corrispondela funzione −→

f (v) = f (O + v) − f (O)

con v ∈ −→X . Dobbiamo dimostrare che −→f è una funzione lineare, cioè un omomomorfismo di spazi vettoriali−→X → −→Y (cioè che è additiva e omogenea di grado 1). Siano α ∈ K uno scalare e v ∈ −→X un vettore arbitrari.Allora O, O + v e O + αv sono allineati, e il rapporto è

(O + αv−O) : (O + v−O) = α,

quindi deve essere( f (O + αv) − f (O)) : ( f (O + v) − f (O)) = α,

cioèf (O + αv) = f (O) + α( f (O + v) − f (O),

da cui segue che−→f (αv) = f (O + αv) − f (O) = α( f (O + v) − f (O)) = α

−→f (v).

Se v, w ∈ −→X sono due vettori qualsiasi, allora O + 2v, O + v+ w e O + 2w sono tre punti allineati di X, conrapporto 2:

((O + 2w) − (O + 2v)) : ((O + v+ w) − (O + 2v)) = 2

⇐⇒ O + 2w = (O + 2v) + 2((O + v+ w) − (O + 2v)).

Lo stesso rapporto devono avere le loro immagini:

f (O + 2w) − f (O + 2v) = 2 ( f (O + v+ w) − f (O + 2v)) ,⇐⇒ f (O + 2w) − f (O) − ( f (O + 2v) − f (O))

= 2 ( f (O + v+ w) − f (O) − ( f (O + 2v) − f (O))) ,

⇐⇒ −→f (2w) − −→f (2v) = 2

−→f (v+ w) − 2

−→f (2v)

⇐⇒ 2−→f (v+ w) =

−→f (2v) +

−→f (2w) = 2

−→f (v) + 2

−→f (w)

⇐⇒ −→f (v+ w) =

−→f (v) +

−→f (w),

cioè−→f è lineare, e quindi f è una mappa affine. ⨳

*Serve davvero questa ipotesi?




(16.17) Teorema (Teorema fondamentale della geometria affine). Sia d ≥ 2. Se f : Ad(R) → Ad(R) è unabijezione che manda terne di punti allineati in terne di punti allineati, allora f è una affinità.

Dim. Si veda l’esercizio (9.26). ⨳

(16.18) Nota. Cosa succede inAd(K) conK = R? Le cose si complicano, perché la dimostrazione (per passi)data nell’esercizio (9.26) non regge. L’idea della dimostrazione per K = R è infatti di costruire una funzioneφ : K → K (che viene chiamata automorfismo del campo), e mostrare che è l’identità. Potrebbe capitare cheun campo abbia automorfismi non banali (come z 7→ z in C), per cui non solo la dimostrazione non regge, mal’enunciato del teorema è falso. Consideriamo infatti K = C, e f : A2(K)→A2(K) definita ponendo

f (x, y) = (x, y).

Tre punti A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) sono allineati se e soltanto se

det[b1 − a1 c2 − a1b2 − a2 c2 − a2

]= 0,

e quindi f manda terne di punti allineati in terne di punti allineati. Ma non è un’affinità: l’applicazione L :C2 → C2 definita da f (x0 + v) − f (x0), cioè

L(v1, v2) = (v1, v2)

non è C-lineare: per esempio

L(i, 0) = (−i, 0) = (i, 0) = iL(1, 0) = L(i, 0).

§ 17. INCIDENZA E PARALLELISMO

(Cfr.)*

(17.1) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X di uno spazio affine X sono paralleli se −→S ⊂ −→T (o −→T ⊂ −→S ?), e si indica con S ∥ T . † I due sottospazi S e T si dicono incidenti se S ∩ T = ∅‡.

(17.2) Proposizione. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli e S ∩ T = ∅, allora S ⊂ T oppureT ⊂ S.

Dim. Sia P ∈ S ∩ T . A meno di scambiare S con T , possiamo supporre dim(S) ≤ dim(T) e quindi V ⊂ W seV e W sono le giaciture di S e T rispettivamente. Per ogni x ∈ S si ha x − P ∈ V , e quindi x − P ∈ W , da cuix ∈ T . Cioè S ⊂ T . ⨳

*Cfr: Nacinovich, Cap V, §6 [2].†Alcuni definiscono sottospazi paralleli i sottospazi per cui −→S = −→T , mentre se −→S ⊂ −→T allora S e T sono paralleli in senso lato.‡Forse sarebbe meglio, seguendo la tradizione italiana, definire incidenti due rette che si incontrano in un solo punto, due piani

dello spazio che si incontrano in una retta, una retta e un piano nello spazio che si incontrano in un punto, etc. etc. Nella tradizioneanglosassone questi vengono chiamati concorrenti (invece che incidenti). C’è il problema dell’uniformità: due piani nello spazioA3(R) che si incontrano in una retta sarebbero incidenti, ma lo sarebbero se immersi in A4(R), per esempio aggiungendo unacoordinata nulla?



§ 17. INCIDENZA E PARALLELISMO 145

(17.3) Corollario. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli, dim(S) = dim(T), e S ∩ T = ∅allora S = T .

Dim. Nella notazione della dimostrazione precedente, risulta V = W , e quindi S = T . ⨳

(17.4) Corollario. Se S ⊂ X è un sottospazio affine e x ∈ X è un punto di X, allora esiste un unico sottospazioaffine T ⊂ X di dimensione dim(S) che contiene x e parallelo a S.

Dim. Due sottospazi T ′ e T con la stessa dimensione, contenenti x e paralleli a S, in particolare sono parallelitra loro e con intersezione non vuota (x ∈ T ∩ T ′), per cui si può usare il corollario (17.3). ⨳

(17.5) Nota. Nel caso in cui X = A2(R), ritroviamo la proposizione (14.12) (quinto postulato di Euclide –“assioma delle parallele”).

(17.6) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X si dicono sghembi se non hanno punti in comune e nonsono paralleli.

(17.7) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X. Se l’intersezione S ∩ T non è vuota, allora è unsottospazio affine di X, la cui dimensione soddisfa la disuguaglianza

dim(S) + dim(T) ≤ dim(X) + dim (S ∩ T)

Vale l’uguaglianza nella disequazione se e solo se dim(−→S +−→T ) = dim(

−→X ).

Dim. Sia x0 ∈ S ∩ T . Allora risultaS = x0 +

−→S

T = x0 +−→T

da cui si deduce cheS ∩ T = x0 +

−→S ∩ −→T ,

e quindi S ∩T è un sottospazio affine con giacitura −−−−→S ∩ T =−→S ∩−→T . Ora, la formula di Grassmann (dimensioni

di sottospazi vettoriali di uno spazio di dimensione finita) dà

(17.8) dim(−→S ) + dim(

−→T ) = dim(

−→S +−→T ) + dim(

−→S ∩ −→T ),

da cui si deducedim(S) + dim(T) = dim(

−→S +−→T ) + dim(S ∩ T)

≤ dim(X) + dim(S ∩ T),

dato che dim(−→S +−→T ) ≤ dim(

−→X ) = dim(X). È altresì chiaro che vale l’uguaglianza quando vale l’uguaglianza

in quest’ultima disequazione. ⨳

(17.9) Nota. Osserviamo che dalla dimostrazione di (17.7) si può dedurre un metodo per calcolare la dimen-sione dell’intersezione di due sottospazi affini (calcolando il rango della matrice del sistema di equazioni).

(17.10) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X tali che −→S + −→T = −→X . Allora l’intersezione S ∩ Tnon è vuota.




Dim. Siano xS e xT punti di S e T rispettivamente. Un punto x ∈ X appartiene all’intersezione S ∩ T se e solose esistono v ∈ −→S e w ∈ −→T tali che

x = xS + v = xT +w,

cioè l’intersezione è non vuota se e solo se esistono v ∈ −→S e w ∈ −→T tali che

xT − xS = v −w.

Ma per ipotesi −→S + −→T = −→X , e dato che xT − xS ∈−→X esistono s ∈ −→S e t ∈ −→T per cui

xT − xS = s + t.

Basta porre v = s ∈ −→S e w = −t ∈ −→T per ottenere le soluzioni v e w cercate. ⨳

(17.11) Definizione. Consideriamo un sottospazio affine S ⊂ X, S = X e un sottospazio W ⊂ −→X tale che −→S ⊕W =

−→X (complemento). Allora si può definire la proiezione di X su S parallela a W , indicata con pS,W : X → S,

come segue: se x ∈ X, allora per (15.4) esiste unico il sottospazio affine T = Tx,W passante per x con giacituraW . L’intersezione S∩Tx,W è non vuota per (17.10), e dato che−→S +−−−→Tx,W =

−→S +W =

−→X per (17.7), la dimensione

è dim(S ∩ Tx,W ) = 0, cioè consiste di un solo punto. Si può dunque definire la proiezione su S parallela a WpS,W mediante la relazione

∀x ∈ X, pS,W (x) ∈ S ∩ Tx,W .

(17.12) Definizione. In modo analogo definiamo la riflessione rS,W : X → X, lungo S parallela aW ⊂ −→X (con−→S ⊕W =

−→X ), mediante la formula

rS,W (x) = pS,W (x) +−−−−−−−−→xpS,W (x)

(17.13) Proposizione. Riflessioni e proiezioni sono mappe affini. Le riflessioni sono affinità con la proprietàche r2 = r r = 1X . Se S è il sottospazio su cui si proietta (risp., lungo la quale si riflette), allora S rimanefissata dalla proiezione (risp., dalla riflessione).

Dim. Cominciamo a mostrare che le proiezioni sono mappe affini: sia f = pS,W , dove S è un sottospazio affinedi X eW un sottospazio vettoriale di−→X complemento di−→S . È facile dedurre dalla definizione che se x ∈ S, alloraf (x) = x. Vogliamo mostrare che per qualche x ∈ X la mappa L :

−→X → −→S definita da L(v) = f (x + v) − f (x)

è lineare in v. Per definizione pS,W (x + v) = S ∩ Tx+v,W e pS,W (x) = S ∩ Tx,W , dove Tx,W e Tx+v,W sono isottospazi con giacitura W passanti per x e x + v rispettivamente. Nulla ci vieta di considerare x ∈ S, per cuisi ha f (x) = x. Dal momento che per ipotesi −→X = −→S ⊕W , ogni v ∈ −→X si scrive in modo unico come v = s +wcon s ∈ −→S e w ∈ W . Ora, se w ∈ W , allora per ogni y ∈ X i sottospazi con giacitura W passanti per y e pery +w coincidono

y +W = y +w +W ,

e quindiTx+v,W = Tx+s+w,W = Tx+s,W ,

da cui f (x + v) = f (x + s). Ma dato che x ∈ S e s ∈ −→S , anche x + s ∈ S, per cui f (x + s) = x + s. Ma allora

f (x + v) − f (x) = f (x + s) − f (x) = x + s − x = s,




cioè L(v) = s, ovvero L :−→X =−→S ⊕W → −→S è la proiezione (vettoriale) sul primo fattore, ed è lineare.

Passiamo a dimostrare che le riflessioni sono affini: se r = rS,W è una riflessione X → X, allora si scrivemediante la formula vista poco sopra

r(x) = p(x) +−−−−→xp(x) = p(x) + (p(x) − x)

dove p è la corrispondente proiezione parallela. Scelto x ∈ X, la corrispondente funzione L(v) = r(x + v) −r(x) è quindi uguale a

L(v) = p(x + v) + (p(x + v) − (x + v)) − (p(x) + (p(x) − x))= p(x + v) − p(x) + (p(x + v) − p(x) − (x + v) + x)= 2(p(x + v) − p(x)) − v,

che è lineare in v dato che p(x + v) − p(x) lo è (e quindi è somma di funzioni lineari in v). ⨳

(17.14) Nota. Se K = R oppure K = C (con la topologia metrica), allora ogni spazio vettoriale V ∼= Kn hala topologia data dal prodotto. Quindi, se X è uno spazio affine con spazio vettoriale associato −→X ∼= Kn, èpossibile, fissato x0 ∈ X, definire una topologia su X tramite la biiezione −→X → X definita da

v 7→ x0 + v.

Si può mostrare che la topologia non dipende dalla scelta di x0 e che tutte le traslazioni sono omeomorfismi.Quando non indicato altrimenti, uno spazio affine si intende munito della topologia di Kn. In questo modosi può facilmente vedere che tutte le mappe affini sono continue, e che le affinità sono omeomorfismi. Tuttii sottospazi affini risultano chiusi (dato che sono controimmagini di 0 mediante mappe affini, cioè funzionicontinue).

(17.15) Esempio. In A3(K) con coordinate x, y, z, sia (α, β,−1) un vettore direzione. La proiezione parallelaa (α, β,−1) sul piano z = 0 associa a (x, y, z) l’intersezione tra la retta

xyz + t

αβ−1

: t ∈ K

e il piano z = 0, cioè

p :

xyz 7→

[x + αzy + βz

]=

[1 0 α

0 1 β

] xyz .

(17.16) Esempio. ProiettiamoA4(K) con coordinate x, y, z, w sul piano di equazioniw = 0, lungo la direzione(a, b, c,−1). Facciamo seguire poi la proiezione diA3(K) con coordinate x, y, z (w = 0) sul piano di equazionez = 0 parallelamente a (α, β,−1). Per la prima, si ha

xyzw

+ t

abc−1

: t ∈ K

∩w = 0




cioè xyzw

7→x + awy + bwz + cw

=1 0 0 a0 1 0 b0 0 1 c

La composizione è quindi descritta dal prodotto di matrici

[1 0 α

0 1 β

] 1 0 0 a0 1 0 b0 0 1 c

=[1 0 α a + αc0 1 β b + βc

]

Consideriamo invece la proiezione di A4(K) sul suo piano di equazioni z = w = 0, parallelo alla giacitura ge-nerata dai due vettori (a, b, c,−1), (α, β,−1, 0). La proiezione del punto (x, y, z, w) è la soluzione in X, Y , Z , Wdel sistema

X = x + sa + tαY = y + sb + tβZ = z + sc − t

W = w − sW = 0Z = 0

cioè X = x + sa + tαY = y + sb + tβs = wt = z + sc

⇐⇒

X = x +wa + (z +wc)αY = y +wb + (z +wc)βs = wt = z +wc

che èX = x + αz + (a + αc)wY = y + βz + (b + βc)w.

La sua matrice rappresentativa è stata vista poco fa, infatti …Può essere un buon modo per proiettare gli spigoli di un cubo di dimensione 4?

§ 17.1. PROIEZIONI PARALLELE E NON DELLO SPAZIO SU UN PIANO

(i) proiezioni parallele:

Proiezione ortografica/ortogonale.

Proiezione obliqua (assonometrica):

proiezione isometrica/monometrica (che non è una isometria!).

assonometria cavaliera.

(ii) proiezioni non parallele:

Proiezione prospettica / prospettiva.




A B

C D

E F

G H

I J

K L

M N

O P

Figura 9.1: Proiezione parallela di un ipercubo di dimensione 4: le facce sono AEMI , BFNJ , CGOK , DHPL,ACKI , BDLJ , EGOM, FHPN , ACGE, BDHF, IKOM, JLPN , ABJI , CDLK , EFNM, GHPO, ABFE,CDHG, IJNM, KLPO, ABDC, EFHG, IJLK , MNPO.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract

(iii) proiezioni curvilinee (?)

http://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection


http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract

http://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection



ESERCIZI

(9.1) Presi due punti p1 e p2 in uno spazio affine X, come osservato nelle note (15.9) e (15.16), si può definireil punto p = λ1p1 + λ2 p2 ogni volta che λ1 + λ2 = 1. Consideriamo il caso in cui il campo K = R. Dimostrareche il punto ottenuto ponendo λ1 = λ2 = 1/2 è il punto medio del segmento con estremi p1 e p2, cioè è taleche −−→p1p = −−→pp2.

(9.2) Proseguendo con l’esercizio precedente (spazio affine con coefficienti reali), i punti del segmento diestremi p1 e p2 possono essere definiti come tutti i punti per cui esistono λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 tali che λ1 + λ2 = 1 ep = λ1p1 + λ2 p2. Dimostrare che ogni segmento è omeomorfo all’intervallo [0, 1] ⊂ R.

(9.3) Dimostrare che se S ⊂ X =An(R) è un sottospazio affine (proprio) eW un sottospazio complementaredi −→S in −→X (cioè −→S ⊕W =

−→X ), allora se p indica la proiezione su S parallela a W e r la riflessione rispetto a S

parallela a W , allora per ogni x ∈ X il punto p(x) è il punto medio del segmento con estremi x e r(x).

(9.4) Dimostrare che la riflessione r rispetto ad un sottospazio affine S fissa tutti i punti di S (cioè, per ognix ∈ S, r(x) = x).

(9.5) Determinare, se esiste, la mappa affine da A3(R) a A2(R) tale che

000 7→

[01

],

100 7→

[10

],

010 7→

[11

]e

111 7→

[00

].

(9.6) Determinare una mappa affine A2(R)→A2(R) che sia zero solo sulla retta di equazione x = y.

(9.7) Si determinino le equazioni cartesiane del piano di A3(R) che passa per i tre punti

100,

1/21/20

,1/31/31/3

.(9.8) Dare un esempio di due rette sghembe in A4(R). È possibile trovare due piani sghembi in A4? E duesottospazi di dimensione 3?

(9.9) Trovare, se esistono, due piani paralleli di A4(C).

(9.10) Esiste una retta r parallela alla retta di equazioni parametriche

xyz = t

111 e incidente alle due rette di

equazioni

xyz = t

100 e

xyz =

010 + t

001?

(9.11) Si scriva l’equazione (cartesiana) della retta di A3(R) di equazione

xyz =

110 + t

001.



Esercizi 151

(9.12) Determinare la dimensione dell’intersezione dei due piani di A4(R) (con coordinate x1, x2, x3, x4) diequazioni x1 − x3 = 1

x2 − x4 = 1e

x1x2x3x4

=1100

+ u

1111

+ v

1001

.

(9.13) Scrivere le equazioni parametriche (del primo) e le equazioni cartesiane (del secondo) dei due pianidell’esercizio precedente (9.12).

(9.14) Determinare il valore del parametro k per cui i tre punti di A3(R)

21k,

1k0,

110. sono allineati. Scrivere

l’equazione della retta per questi tre punti in forma parametrica e cartesiana.

*(9.15) Dimostrare che una affinità manda sottospazi paralleli in sottospazi paralleli, sottospazi incidenti insottospazi incidenti, sottospazi sghembi in sottospazi sghembi. È vero anche per una mappa affine?

(9.16) Sia X è uno spazio affine. Mostrare che se una funzione f : X → X è una affinità allora manda ternedi punti allineati ABC in terne di punti allineati A′B′C′, e i rapporti sono invarianti −−→AC :

−−→AB =

−−−→A′C′ :

−−−→A′B′.

Dedurre che le mediane di un triangolo si incontrano in un punto (il baricentro), mandando ABC in un triangoloisoscele (o equilatero). (cfr. proposizione (16.15) a pagina 142)

(9.17) Sia GA(n, R) il gruppo affine su X =An(R), e A ∈An(R) un punto. Qual è lo stabilizzatore di A inGA(n, R)? Qual è l’orbita di A in X? L’azione è transitiva? Si consideri l’azione diGA(n, R) su X × X definitaponendo f (A, B) = ( f (A), f (B)) per ogni f ∈ GA(n, R) e per ogni (A, B) ∈ X2. Al variare di (A, B) ∈ X2,quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di (A, B)? L’azione è transitiva? Si consideri l’azione di GA(n, R) suX × X × X definita ponendo f (A, B, C) = ( f A, f B, f C) per ogni f ∈ GA(n, R) e per ogni A, B, C ∈ X. Alvariare di (A, B, C) ∈ X3, quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di (A, B, C)?

(9.18) Trovare una mappa affine A3(R) → A2(R) che manda due rette sghembe in due rette parallele. Èpossibile mandare due rette parallele in due rette incidenti e distinte? E in due rette coincidenti? Viceversa, èpossibile mandare due rette incidenti (distinte) in due rette parallele (distinte)?

(9.19) Siano inA3(R) date le rette di equazioni: r1:

xyz =

100+ t

010, r2:

xyz =

010+ t

001 e r3:

xyz =

001+ t

100.

Quali di queste rette sono sghembe, parallele, incidenti? Trovare una affinità A : A3(R) → A3(R) tale cheA(r1) = r2, A(r2) = r3 e A(r3) = r1.

(9.20) Dimostrare che se f : X → Y è una mappa affine e T ⊂ Y un sottospazio affine di Y , allora f −1(T) èun sottospazio affine di X (Vedi proposizione (16.14)).

(9.21) Siano A, B due punti distinti in uno spazio affine su campo K . Se P è allineato ad A e B, mostrare che

(i) −−→AP :−−→AB +

−−→BP :

−−→BA = 1.

(ii) (−−→AP :

−−→AB) · (−−→AB :

−−→AP) = 1




(iii) −−→PA :−−→PB = −

−−→AP :

−−→AB

−−→BP :

−−→BA

(cfr. esercizio (8.14) a pagina 136)

(9.22) Siano A, B, C tre punti non collineari in uno spazio affine, e Q un punto di coordinate baricentriche(λ0, λ1, λ2) (rispetto ad A, B, C):

Q = λ0A+ λ1B + λ2C,

con λ0 + λ1 + λ2 = 1. Sia Q = A. Mostrare che se λ1 + λ2 = 0, allora il punto Q′ =1

λ1 + λ2(λ1B + λ2C) è un

punto della retta BC allineato con QA. Quando λ1 + λ2 = 0 cosa succede?

(Per i prossimi due teoremi, si ragioni come per l’esercizio (9.16), cercando una trasformazione affine chemanda il triangolo in un triangolo più semplice e osservando che le affinità conservano i rapporti di tre punti;si ricordi anche la definizione di rapporto di tre punti allineati)

*(9.23) (Teorema di Ceva*) Siano A, B e C tre punti non allineati in un piano affine su campo K, e PAB, PBCe PCA tre punti sulle rette AB, BC e CA rispettivamente, distinti da A, B, C. Dimostrare che le tre rette APBC ,BPCA e CPAB si incontrano in un punto se e solo se

−−−−→APAB−−−−→PABB

−−−−→BPBC−−−−→PBCC

−−−−→CPCA−−−−→PCAA

= 1

(osserviamo che come corollario le mediane si incontrano in un punto: il baricentro). Provare anche a dimo-strare questo teorema in coordiante baricentriche.

*(9.24) (Teorema di Menelao†) Siano A, B e C tre punti non allineati in un piano affine su campo K, e PAB,PBC e PCA tre punti sulle rette per AB, BC eCA rispettivamente, distinti da A, B eC. Dimostrare che i tre puntiPAB, PBC e PCA sono allineati se e soltanto se

−−−−→APAB−−−−→PABB

−−−−→BPBC−−−−→PBCC

−−−−→CPCA−−−−→PCAA

= −1.

*(9.25) Sia φ : R→ R un automorfismo di anelli, cioè una bijezione tale che per ogni x, y ∈ R, si ha φ(xy) =φ(x)φ(y) e φ(x + y) = φ(x) + φ(y). Mostrare i seguenti fatti.

(i) Per ogni k ∈ Z, φ(k) = k.

(ii) Per ogni q ∈ Q, φ(q) = q.

(iii) Se x < y, allora φ(x) < φ(y) (si consideri t = y − x, e si osservi che 0 < φ(√

t)2 = φ(t)).

(iv) La funzione φ è continua R→ R.

(v) Per ogni x ∈ R, si ha φ(x) = x, cioè φ è l’identità 1R.

**(9.26) Sia X ∼=A2(K) un piano affine a coefficienti in K e sia f : X → X è una bijezione che manda terne dipunti allineati in terne di punti allineati. Dimostrare le seguenti affermazioni.

*Giovanni Ceva (1647 – 1734).†Menelao di Alessandria (~70–140).



Esercizi 153

(i) Se A, B, C sono tre punti di X non allineati, siano r la retta passante per A+ x−−→AB parallela a −−→AC, e s la

retta passante per A+ y−−→AC parallela a −−→AB. Allora r e s si intersecano nel punto A+ x

−−→AB + y

−−→AC ∈ X.

(ii) Sia D = A+−−→AB +

−−→AC. Per (x, y) ∈ K2, sia t la retta passante per A+ x

−−→AD parallela alla retta che passa

per D e A+ y−−→AB. Allora t interseca la retta AB nel punto A+ xy

−−→AB.

(iii) La funzione f manda rette di X in rette di X (usare la suriettività di f ).

(iv) La funzione f : X → X manda rette parallele in rette parallele.

(v) Se f (A) = A′, f (B) = B′ e f (C) = C′, allora A′B′C′ è un riferimento affine per X (cioè A′B′C′ nonsono allineati).

(vi) A meno di comporre f con una affinità g : X → X, possiamo suppore, da adesso in poi, che f (A) =A′ = A, f (B) = B′ = B e f (C) = C′ = C.

(vii) La funzione−→f : K2 → K2 definita ponendo

−→f (v) = f (A+ v) − f (A) è ben definita e additiva:

−→f (v +

w) =−→f (v) +

−→f (w).

(viii) Esistono due funzioni φ e ψ tali che f (A+ x−−→AB) = A+ φ(x)

−−→AB e f (A+ y

−−→AC) = A+ ψ(y)

−−→AC, e quindi

anche−→f (x, y) = (φ(x),ψ(y)).

(ix) Dato che la retta OD va in sé, risulta φ(x) = ψ(x) per ogni x ∈ K , e φ : K → K è una bijezione.

(x) Per ogni (x, y) ∈ K2, si ha φ(xy) = φ(x)φ(y) e φ(x + y) = φ(x) + φ(y).

(xi) Se K = R, la funzione φ(x) è l’identità φ(x) = x. (si veda l’Esercizio (9.25))

(xii) (Teorema (16.17) a pagina 144): se f : Ad(R) →Ad(R)manda tre punti allineati qualsiasi in tre puntiallineati, allora è una affinità. (suggerimento: utilizzare i punti precedenti, oppure cercare un libro inbiblioteca in cui la dimostrazione viene svolta…)



Settimana N° 10

SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE

§ 18. SPAZI AFFINI EUCLIDEI E ISOMETRIE

(Cfr.)*

(18.1) Definizione. Uno spazio vettoriale euclideo è uno spazio vettoriale E di dimensione finita su campoR, munito di una forma bilineare definita positiva e simmetrica (cioè b : E × E → R è simmetrica e bilineare,e ∀x = 0, b(x, x) > 0). Scriviamo

b(x, y) = ⟨x, y⟩ = x · y

e chiamiamo questo numero il prodotto scalare di x con y.†

(18.2) Definizione. La norma di un vettore x è definita da |x| = ∥x∥ =√

x · x.

(18.3) Definizione. Se x · y = 0, allora x e y sono ortogonali. Un insieme di vettori e1, e2, . . . , en ⊂ E si diceortogonale se i suoi elementi sono a due a due ortogonali: ∀i, j, i = j =⇒ ei · e j = 0, e ortonormale se èortogonale e in più i vettori hanno norma uno, cioè ∀i, |ei | = 1. Se l’insieme di vettori e1, e2, . . . , en è unabase per E, allora si dice che la base è ortogonale (risp. ortonormale) quando lo è come insieme di vettori.

(18.4) Esempio. L’esempio standard di spazio vettoriale euclideo è E = Rn, con il prodotto scalare canonicodato da

⟨

x1x2...

xn

,

y1y2...

yn

⟩ =n∑

i=1xiyi,

ossia ei · e j = δi j .

(18.5) Esempio. Consideriamo lo spazio E di tutti i polinomi a coefficienti reali di grado al più n:

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn.

*Cfr: Sernesi, Vol I, Cap 2 [1].†Una forma bilineare simmetrica non è un prodotto scalare, se non è definita positiva.

155

156 #10. SPAZI EUCLIDEI E ISOMETRIE

Figura 10.1: Icosaedro e dodecaedro

È uno spazio vettoriale su R rispetto alla somma di polinomi e al prodotto per uno scalare. Se p, q ∈ E, sia

⟨p, q⟩ =∫ 1

0p(t)q(t) dt.

È uno prodotto scalare? È certamente bilineare, simmetrica e definito positivo (per esercizio i dettagli: bastaosservare che l’integrale di una funzione positiva o nulla p2 è nullo solo se la funzione è zero, e se un polinomioè zero in [0, 1], allora è il polinomio nullo). Esiste una base ortonormale in E? Come trovarla?

(18.6) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare) Per ogni x, y ∈ E si ha:

|⟨x, y⟩| ≤ |x||y||x + y| ≤ |x| + |y|.

Quindi la norma è una norma nel senso di (12.18) a pagina 99. E la distanza definita su E da d(x, y) = |x− y|è una metrica (che rende E spazio topologico, con la topologia metrica), nel senso di (2.1) a pagina 5.


(18.7) Il prodotto scalare e la norma sono legate dalle due identità (equivalenti)

|x + y|2 = |x|2 + |y|2 + 2⟨x, y⟩

⟨x, y⟩ = 12

(|x + y|2 − |x|2 − |y|2

).

(18.8) Definizione. Uno spazio affine euclideo è uno spazio affine (X,−→X ) per cui lo spazio delle traslazioni(dei vettori) −→X è uno spazio vettoriale euclideo. Un riferimento affine A0, A1, . . . , An di X è ortonormale se(−−−−→A0A1,−−−−→A0A2, . . . ,−−−−→A0An) è una base ortonormale per

−→X . Allora X è uno spazio metrico con la metrica definita

dad(A, B) = |−−→AB|,

dove la norma è la norma euclidea in −→X .



§ 18. SPAZI AFFINI EUCLIDEI E ISOMETRIE 157

(18.9) Definizione (Spazio euclideo En). Se Rn ha il prodotto scalare standard, allora lo spazio affine An(R)è uno spazio affine euclideo, che indichiamo con il simbolo En.

Una isometria tra spazi affini non è altro che una funzione biunivoca che conserva le distanze, e quindi:

(18.10) Definizione. Una isometria tra due spazi affini euclidei f : X → Y è una biiezione tale che per ogniA, B ∈ X, | f (A) − f (B)|Y = |A− B|X (dove la norma | · |X è la norma di X e la norma | · |Y è la norma di Y ).

Abbiamo visto che per (12.18) tutte le metriche indotte da prodotti scalari di E sono tra loro equivalenti, equindi inducono la stessa topologia. In realtà due spazi euclidei con prodotti scalari qualsiasi risultano sempreisometrici, come segue dal seguente lemma.

(18.11) Ogni spazio affine euclideo di dimensione n è isometrico allo spazio standard En (con il prodottoscalare standard).

Dim. Sia X uno spazio affine euclideo di dimensione n. Scelto un punto O ∈ X, si ha la biiezione X ∼= −→X datada

x ∈ X 7→ −−→Ox ∈ −→X .

Ora, lo spazio vettoriale euclideo −→X ha sicuramente una base ortonormale (per esempio, con il processo diortogonalizzazione di Gram-Schmidt) e1, e2, . . . , en ⊂ E, mediante la quale si può scrivere un isomorfismo

f :−→X ∼= Rn

definito da

f (v) =

⟨v, e1⟩⟨v, e2⟩. . .

⟨v, en⟩

La composizione X → −→X → Rn ∼= En è una isometria. Vediamo per prima cosa come è definita. Se x ∈ X, ilvettore associato in −→X è x −O, che viene mandato da f in

f (x −O) =

⟨x −O, e1⟩⟨x −O, e2⟩

. . .

⟨x −O, en⟩

.

Ora, presi x, y ∈ X, se definiamo per ogni i = 1, . . . , n i numeri xi = ⟨x −O, ei⟩ e yi = ⟨y −O, ei⟩ , si ha che

x −O =n∑

i=1xiei

y −O =n∑

i=1yiei,

e quindi

f (x −O) =

x1x2...

xn

∈ Rn




f (y −O) =

y1y2...

yn

∈ Rn

da cui segue chedX(x, y) = |x − y|−→X

= |(x −O) − (y −O)|−→X

= |n∑

i=1(xi − yi)ei |−→X

=

√√√⟨

n∑i=1

(xi − yi)ei,n∑

j=1(x j − y j)e j⟩

=

√√√ n∑i, j=1

(xi − yi)(x j − y j)⟨ei , e j⟩

=

√√ n∑i=1

(xi − yi)2

= | f (x) − f (y)|Rn = dRn( f (x), f (y)).

⨳

(18.12) Teorema. Siano X e Y spazi affini euclidei e f : X → Y una isometria (cioè una biiezione tale che| f (x) − f (y)|Y = |x − y|X per ogni x, y ∈ X). Allora f è un isomorfismo affine (una trasformazione affineinvertibile).

Dim. Cominciamo a mostrare che f è una mappa affine, cioè, per la definizione (16.1), che per ogni x ∈ X lafunzione indotta sugli spazi vettoriali sottostanti −→X → −→Y definita da

v ∈ −→X 7→ f (x + v) − f (x) ∈ −→Y

è lineare. In realtà, per (16.5), basta farlo vedere per un solo x0 ∈ X. Sia T :−→X → −→Y la funzione definita da

T(v) = f (x0 + v) − f (x0). Per ipotesi si ha che per ogni v ∈ −→X

|v|−→X = |(x0 + v) − x0|X= | f (x0 + v) − f (x0)|Y= |T(v)|−→Y ,

e quindi la trasformazione T conserva la norma. Osserviamo anche che per v = 0 questo implica che |T(0)| = 0,e quindi T(0) = 0 (dove qui con un abuso di notazione usiamo in simbolo 0 sia per indicare 0X ∈

−→X che 0Y ∈

−→Y ).




Se v, w ∈ −→X sono due vettori, allora si ha

|v− w|−→X = |(x0 + v) − (x0 + w)|X= | f (x0 + v) − f (x0 + w)|Y= | f (x0 + v) − f (x0) + f (x0) − f (x0 + w)|Y= |T(v) − T(w)|−→Y ,

cioè|T(v) − T(w)|2 = |v− w|2.

Per la formula del parallelogramma (18.7), si ha quindi per ogni v, w ∈ −→X

−2⟨T(v), T(w)⟩ = |T(v) − T(w)|2 − |T(v)|2 − |T(w)|2

= |v− w|2 − |v|2 − |w|2

= −2⟨v, w⟩,

cioè T conserva anche il prodotto scalare (non solo la norma).Non rimane che finire dimostrando che T è lineare: siano a, b ∈ R due scalari e v, w ∈ −→X due vettori.

Allora, per ogni scelta di un terzo vettore e ∈ −→X si ha

⟨T(av+ bw), T(e)⟩ = ⟨av+ bw, e⟩= a⟨v, e⟩ + b⟨w, e⟩,

ed anche⟨aT(v) + bT(w), T(e)⟩ = a⟨T(v), T(e)⟩ + b⟨T(w), T(e)⟩

= a⟨v, e⟩ + b⟨w, e⟩,

cioè per ogni e ∈ −→X si ha⟨T(av+ bw), T(e)⟩ = ⟨aT(v) + bT(w), T(e)⟩.

Ora, dato che f è una biiezione, anche T lo è, per cui necessariamente deve essere

T(av+ bw) = aT(v) + bT(w),

e quindi T è lineare. Per mostrare che è un isomorfismo, basta notare che è una biiezione, per cui esiste l’inversa(che è naturalmente una isometria – vedi anche la definizione (16.6)). ⨳

(18.13) Una isomorfismo affine f : X → Y è una isometria se e soltanto se l’applicazione lineare associataL : v 7→ f (x + v) − f (x) è una trasformazione ortogonale (cioè una trasformazione lineare che conserva lanorma o, equivalentemente, il prodotto scalare).

Dim. Nella dimostrazione della proposizione precedente (18.12) abbiamo di fatto dimostrato anche che latrasformazione L associata ad una isometria conserva il prodotto scalare e le norme (abbiamo usato questaproprietà per mostrare che è lineare), e cioè che è una trasformazione ortogonale. Viceversa, supponiamo che




un isomorfismo affine f : X → Y abbia la proprietà che la trasformazione lineare associata L sia ortogonale.Allora L(v− w) = L(v) − L(w) per ogni v, w ∈ −→X , e quindi per ogni x = x0 + v e y = x0 + w in X si ha

| f (x) − f (y)| = | f (x0 + v) − f (x0 + w)|= | f (x0 + v) − f (x0) + f (x0) − f (x0 + w)|= |L(v) − L(w)|= |v− w|= |x0 + v− (x0 + w)|= |x − y|,

cioè f è una isometria. ⨳

(18.14) Proposizione. Le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi di riferimenti ortonor-mali, come

x 7→ Ax + b,

dove A ∈ O(n) è una matrice ortogonale e b un vettore.

Dim. Come la dimostrazione di (16.10) (esercizio (10.2)). ⨳

(18.15) Le traslazioni sono isometrie.


Dato che una matrice ortogonale A ∈ O(n) ha determinante uguale a ±1, la parte lineare di una isometriadi En può avere determinante 1 oppure −1 (cioè essere in SO(n) oppure no).

(18.16) Definizione. Una isometria En → En rappresentata in un sistema di riferimento da x 7→ Ax + b èdetta diretta se det A = 1 (cioè A ∈ SO(n) ⊂ O(n)), altrimenti è detta inversa.

Se x è la n-upla di coordinate rispetto ad un sistema di riferimento euclideo (ortonormale) e x′ è la n-upladi coordinate dello stesso punto rispetto ad un altro riferimento, si ha

x = Qx′ + c

per una certa matrice ortogonale Q e un punto/vettore c. Allora la mappa x 7→ Ax + b si scrive, ponendoy = Ax + b, e y = Qy′ + c

y = Ax + bQy′ + c = A(Qx′ + c) + b

Qy′ = AQx′ + Ac + b − c

y′ = Q−1AQx′ +Q−1(Ac + b − c).

Ovviamente, se A è ortogonale, anche Q−1AQ lo è, dato che si ha Qt = Q−1 e At = A−1

[Q−1AQ]t [Q−1AQ] = Qt AtQQ−1AQ == Qt At AQ = QtQ = I .

Il determinante di Q−1AQ è uguale al determinante di A, e quindi Q−1AQ ∈ SO(n) ⇐⇒ A ∈ SO(n).




(18.17) Proposizione. La composizione di due isometrie dirette è una isometria diretta. La composizione diuna isometria diretta con una inversa è una isometria inversa. La composizione di due isometrie inverse è unaisometria diretta.

Dim. L’affermazione è equivalente alla seguente: se associamo ad una isometria il determinante della matriceassociata, otteniamo un omomorfismo di gruppi (rispetto alla composizione di isometrie e al prodotto di nu-meri). Osserviamo che la matrice A di cui calcoliamo il determinante è la matrice della trasformazione lineare−→f associata alla trasformazione affine (isometrica) f : En → En. Ora, dimostriamo questa proposizione ingenerale: l’applicazione f 7→ −→f che manda una affinità nella sua mappa lineare associata è un omomorfismodi gruppi (dal gruppo affine al gruppo lineare): infatti se si hanno f : X → X e g : X → X, con corrispondenti−→f e −→g , allora −−−→g f è definita da

−−−→g f (v) = g( f (x0 + v)) − g( f (x0))

per x0 ∈ X. Tenuto conto che per ogni x ∈ X e v ∈ −→X si ha

f (x + v) = f (x) +−→f (v)

g(x + v) = g(x) + −→g (v),

deduciamo cheg( f (x0 + v)) = g( f (x0) +

−→f (v))

= g( f (x0)) +−→g (−→f (v))

e quindi−−−→g f = −→g −→f . In particolare, quindi, l’applicazione f 7→ −→f è l’omomorfismo tra il gruppo del-

le affinità di An(R) e il gruppo GL(n, R). La restrizione di questo omomorsfismo alle isometrie è ancoraun omomorfismo. La dimostrazione si completa considerando che la funzione determinante è a sua volta unomomorfismo, e questo è il teorema di Binet (det(AB) = det(A) det(B)). ⨳

(18.18) Esempio. Le isometrie dirette del piano euclideo E2 si scrivono dunque come[y1y2

]=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [x1x2

]+

[b1b2

].

Se b1 = b2 = 0, si tratta di una rotazione attorno all’origine. Altrimenti, cerchiamo i punti fissati dall’isometria,cioè le soluzioni dell’equazione

Ax + b = x(I − A)x = b.

Dato che, se A = I , la rotazione A non ha autovalore 1 (cioè non fissa nessun vettore diverso dallo zero), quindila matrice I − A ha nucleo banale, e dunque è invertibile. La matrice I − A risulta quindi invertibile se A = I ,altrimenti è la matrice nulla. Ma allora se A = I esiste un unico punto fissato dalla isometria (la soluzionedi (I − A)x = b), che chiamiamo q. Trasliamo il sistema di riferimento, portando l’origine in q: x = x′ + q.L’isometria si scriverà quindi

y = Ax + by′ + q = A(x′ + q) + b

y′ = Ax′ + (A− I)q + b = Ax′,




cioè è una rotazione attorno a q. Quindi se A = I si ha sempre una rotazione (anche se b = 0). In particolare,la composizione di una rotazione con una traslazione è ancora una rotazione! Attenzione che la composizionedi rotazioni attorno allo stesso centro è commutativa, la composizione di traslazioni è commutativa, ma non lacomposizione di rotazioni e traslazioni:

x 7→ Ax 7→ Ax + b

x 7→ x + b 7→ A(x + b) = Ax + Ab.

Cosa succede per rotazioni con centri diversi (si veda l’esercizio (10.22))?

Le isometrie del piano euclideo che non sono dirette sono le riflessioni attorno a rette (se fissano una retta,simmetrie assiali) e le glissoriflessioni (se non fissano alcun punto), che sono composizione di una riflessionee di una traslazione lungo la direzione dell’asse di simmetria.

(18.19) Esempio. InE3, l’isometria di equazione y = Ax + b è una rotazione (attorno ad una retta per l’origine)se A = I e b = 0, dato che A ∈ SO(3). Altrimenti, come sopra un punto x fissato dalla isometria risolvel’equazione (I − A)x = b. Ma ogni rotazione A ∈ SO(3), se non banale, ha un autovettore con autovalore 1(cioè fissa un vettore di R3, e quindi tutta la retta generata dallo stesso). Quindi la matrice I − A non è maiinvertibile. Se A = I , il rango sarà 1 o 2. Certamente la direzione parallela all’asse di rotazione sarà nel nucleodi I − A. È possibile vedere (con un cambio di coordinate: esercizio) che I − A ha rango 2 e ha per sottospazioimmagine il piano ortogonale all’asse di rotazione. Quindi, se b è un vettore ortogonale all’asse di rotazione, cisono punti fissati (una retta di punti fissati). Altrimenti, no. Nel primo caso, si tratta di una rotazione attorno aduna retta (non non necessariamente per l’origine), nel secondo caso? Scriviamo b come somma di due vettorib = b1 + b2, il primo ortogonale alla direzione fissata (e quindi nell’immagine di I − A) e il secondo b2 paralleloalla direzione fissata (e quindi nel nucleo di I − A). Allora y = Ax + b = (Ax + b1)+ b2. L’isometria y = Ax + bsi scrive quindi come composizione

x 7→ Ax + b1 7→ (Ax + b1) + b2,

dove la prima è una rotazione attorno ad una retta di E3, e la seconda è una traslazione lungo la direzioneb2 (che è diversa da zero dato che b per ipotesi non è ortogonale all’asse). Si tratta dunque di un avvitamentolungo la direzione b2. Quindi le isometrie dirette di E3 sono le traslazioni, le rotazioni e gli avvitamenti (twist).

Provare per esercizio a cercare/classificare le isometrie non dirette di E3 (riflessioni, glissoriflessioni,rotoriflessioni, …).

§ 19. ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI

(19.1) Definizione. Con il prodotto scalare definito su uno spazio euclideo non solo si possono misurare ledistanze tra punti, e quindi in generale lunghezze, ma anche gli angoli (orientati) tra vettori, mediante la formula

cos θ =⟨v, w⟩|v||w| .

Questo consente di calcolare l’angolo, per esempio in A, di un triangolo ABC, moltiplicando (mediante prodottoscalare) i vettori −−→AB e −−→AC.



§ 19. ANGOLI E PROIEZIONI ORTOGONALI 163

Occorre notare che l’angolo è definito cosí a meno di segno (cioè non è l’angolo orientato) e a meno di 2kπ(non c’è differenza tra angolo nullo e angolo giro). Non si tratta della definizione della geometria elementaredi misura di un angolo.

(19.2) Nota. Ricordiamo che in uno spazio metrico X la distanza tra un punto p e un sottoinsieme S ⊂ X èdefinita con l’estremo inferiore delle distanze d(p, x), al variare di p in S. In particolare, se X è uno spazioeuclideo, si può definire la distanza di un punto p ∈ X da una retta, da un piano,…, da un sottospazio affineS ⊂ X proprio come l’estremo inferiore delle distanze tra punti di S e il punto p.

(19.3) Definizione. Due sottospazi U, W di uno spazio vettoriale euclideo E si dicono ortogonali se per ogniu ∈ U, per ogni v ∈ V i vettori u e v sono ortogonali, cioè il prodotto scalare ⟨u, v⟩ è nullo.

Sia U ⊂ E un sottospazio, e e1, . . . , ek una sua base ortonormale. La funzione

π : E → U

definita da

π(v) =k∑

j=1⟨v, e j⟩e j

gode delle seguenti proprietà:

(i) π è un omomorfismo di spazi vettoriali (cioè è lineare).

(ii) v ∈ U =⇒ π(v) = v.

(iii) ker π = v ∈ E : ∀u ∈ U, ⟨u, v⟩ = 0

(iv) ker π è il complemento ortogonale di U: U ⊕ ker π = E.

Si ha

π(av+ bw) =k∑

j=1⟨av+ bw, e j⟩e j

=

k∑j=1

(a⟨v, e j⟩ + b⟨w, e j⟩)e j

= ak∑

j=1⟨v, e j⟩e j + b

k∑j=1⟨w, e j⟩e j

= aπ(v) + bπ(w).




Inoltre se u ∈ U, allora u =∑k

i=1 uiei e quindi

π(u) =k∑

j=1⟨u, e j⟩e j

=

k∑j=1⟨

k∑i=1

uiei, e j⟩e j

=

k∑j=1

k∑i=1

ui⟨ei, e j⟩e j

=

k∑i=1

ui

k∑j=1⟨ei, e j⟩e j

=

k∑i=1

uiei = u

Infine, v ∈ ker π se e soltanto se ⟨v, e j⟩ = 0 per ogni j = 1, . . . , k. Quindi se u ∈ U e v ∈ ker π, si hau =

∑kj=1 u je j e quindi

⟨v, u⟩ = ⟨v,k∑

j=1u je j⟩

=

k∑j=1

u j⟨v, e j⟩

=

k∑j=1

u j0 = 0,

e dunque v e u sono ortogonali. Cioè se v ∈ ker π, allora v è ortogonale a tutti gli elementi di U. Viceversa, sev è ortogonale a tutti gli elementi di U, in particolare è ortogonale ai k elementi e1, …, ek , e quindi π(v) = 0.Per finire: per ogni v ∈ E si ha

v = π(v) + (v− π(v)),

dove u = π(v) ∈ U eπ(v− π(v)) = π(v− u)

= π(v) − π(u)= u− u = 0.

Da questo segue che U + ker π = E. La somma è diretta, perché se ci fosse u ∈ U ∩ ker π, si avrebbe π(u) = 0e anche π(u) = u, da cui u = 0.

(19.4) Definizione. Sia S ⊂ En un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo con giacitura −→S ⊂ Rn.Sia W il complemento ortogonale di −→S in Rn, cioè l’unico sottospazio ortogonale a −→S tale che −→S ⊕W = Rn.Allora per ogni x ∈ En si può definire la proiezione su S parallela al complemento ortogonale W , seguendo ladefinizione (17.11)

pS,W : En → S.




Questa proiezione si chiama proiezione ortogonale di En su S ⊂ En. Dal momento che il complementoortogonale W esiste ed è unico, la proiezione è unicamente determinata da S.

(19.5) Sia r ⊂ En una retta (sottospazio affine di dimensione 1) di uno spazio affine euclideo con giacitura−→S = ⟨v⟩ ⊂ Rn e A un punto di r. Allora la proiezione di un punto x ∈ En sulla retta r si scrive come

pS(x) = A+⟨x − A, v⟩⟨v, v⟩ v.

Dim. La proiezione di x su r è un punto Q di r per cui Q − x è ortogonale a r. È facile vedere che tale puntoQ è unico (altrimenti si formerebbe un triangolo con due lati di 90). Dobbiamo trovare un punto Q per cui

⟨x −Q, v⟩ = 0

e quindi, dato che Q = A+ tv per un certo t ∈ R, tale che ⟨x − (A+ tv), v⟩ = 0, ovvero

⟨x − A, v⟩ − t⟨v, v⟩ = 0.

Ma allora per t =⟨x − A, v⟩⟨v, v⟩ (v = 0!) si ottiene il punto cercato

pS(x) = Q = A+⟨x − A, v⟩⟨v, v⟩ v

come annunciato. ⨳

(19.6) Definizione. Se pS è la proiezione ortogonale

pS : En → S ⊂ En

definita sopra, allora si può definire come in (17.12) l’isometria (i.e. trasformazione ortogonale)

rS : x 7→ pS(x) + (pS(x) − x),

chiamata riflessione attorno a S*. È una involuzione (cioè r2S è la trasformazione identica, l’identità) che fissa

S.

(19.7) Sia S ⊂ En un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo, e p ∈ En un punto non di S. Allora ladistanza di p da S è uguale alla distanza di p dall’unico punto q di S per cui il vettore p − q è ortogonale a S(cioè la proiezione ortogonale di p su S – dove q è il punto di S con minima distanza da p).

Dim. Supponiamo che la distanza di p sulla sua proiezione q sia maggiore di quella tra p e un terzo punto A.Dal momento che −→qp per definizione è ortogonale a S, è ortogonale anche al vettore −→qA, che appartiene a −→S

*Di solito si chiama riflessione una trasformazione isometrica di questo tipo solo quando la dimensione di S è uguale a n − 1 –come se S fosse uno specchio. Per esempio, se S è un punto, quello che si trova è una inversione centrale, per cui la scelta del nomenon sembrerebbe appropriata. Se S è un punto e n = 2 si ottiene la rotazione di 180.




(dato che sia q che A appartengono a S). Ma allora, visto che −→Ap =−→Aq + −→qp,

d(A, p)2 = |−→Ap|2

= ⟨−→Ap,−→Ap⟩

= ⟨−→Aq + −→qp,−→Aq + −→qp⟩

= ⟨−→Aq,−→Aq⟩ + ⟨−→Aq,−→qp⟩ + ⟨−→qp,−→Aq⟩ + ⟨−→qp,−→qp⟩

= |−→Aq|2 + 0 + 0 + |−→qp|2

≥ |−→qp|2

= d(q, p)2,

cioè q realizza la minima distanza (è facile vedere che il minimo si ottiene per |−→Aq|2 = 0, cioè quando A =q). ⨳

Ripetendo la dimostrazione del teorema (16.12), si può dimostrare il seguente teorema:

(19.8) Teorema. Se S ⊂ En è un sottospazio affine passante per A, allora esiste un sottospazio vettorialeW ⊂ Rn (il complemento ortogonale di −→S in Rn) per cui i punti di S sono tutti e soli i punti x di En taliche x − A è ortogonale a W . Se S è un iperpiano (cioè un sottospazio di dimensione n − 1 in En), allora ladimensione di W è 1, per cui i punti di S sono tutti i punti tali che x − A è ortogonale ad un vettore fissato nonnullo n di W (che si può chiamare vettore normale a S):

S = x ∈ En : ⟨x − A, n⟩ = 0.

(19.9) Nota. Dato che ⟨x − A, n⟩ = 0 se e solo se ⟨x, n⟩ = ⟨A, n⟩, ritorniamo a vedere che l’equazione di uniperpiano è

a1x2 + a2x2 + · · · + anxn = b,

dove b = ⟨A, n⟩. Per sottospazi generici (cioè non solo di dimensione n − 1, basta prendere una base delcomplemento ortogonale W (e questi saranno vettori ortogonali a S) e, nello stesso modo, scrivere S comeluogo delle soluzioni di un sistema di equazioni.

(19.10) Esempio. Torniamo all’esempio (18.5): qual è il polinomio di grado 2 a coefficienti reali che è più vici-no (nel senso della distanza tra funzioni indotta dalla norma indotta dal prodotto scalare ⟨p, q⟩ =

∫ 10 p(t)q(t) dt)

alla funzione ex? Qual è quello di grado n?

§ 19.1. AREA E VOLUME NEGLI SPAZI AFFINI

Abbiamo definito la lunghezza e gli angoli a partire da un prodotto scalare definito sui vettori di En. Pos-siamo fare lo stesso con la definizione di volume? Qual è la definizione assiomatica di volume? Proponiamoal lettore di discutere e riflettere sulla validità e naturalezza dei seguenti assiomi, per una funzione di area consegno A di un triangolo ABC (o equivalentemente di un parallelogramma ABCD), in cui a = −−→CA e b = −−→CB:

(A1) A(ca, b) = cA(a, b) = A(a, cb); per ogni c ∈ R.

(A2) A(a, b + c) = A(a, b) + A(a, c); A(a + c, b) = A(a, b) + A(c, b);




(A3) A(a, a) = 0;

(disegnare le figure corrispondenti agli assiomi)Analogamente, una funzione di volume con segno V di un parallelepipedo con i tre spigoli concorrenti

a = −−→DA, b = −−→DB, c = −−→DC probabilmente dovrebbe soddisfare gli assiomi

(V1) V(ca, b, c) = cV(a, b, c) = V(a, cb, c) = V(a, b, cc); per ogni c ∈ R.

(V2) V(a + d, b, c) = V(a, b, c) +V(d, b, c);V(a, b + d, c) = V(a, b, c) +V(b, d, c);V(a, b, c + d) = V(a, b, c) +V(a, b, d);

(V3) (se due vettori coincidono, il volume è nullo)V(a, a, b) = 0 = V(a, b, b) = V(a, b, a);

In generale, per uno spazio affine X reale, una funzione di volume con segno (chiamiamola forma divolume) sarà una funzione ω :

−→X n → R

ω(v1, v2, . . . , vn), vi ∈−→X , i = 1, . . . , n

che sia multilineare (cioè lineare in ogni sua variabile) e tale che ω(v1, v2, . . . , vn) = 0 quando almeno due deivi coincidono. Osserviamo che da questa proprietà segue che

ω(v1, . . . , vi, . . . , v j , . . . , vn) +ω(v1, . . . , v j , . . . , vi, . . . , vn) = 0.

Infatti0 = ω(v1, . . . , vi + v j , . . . , vi + v j , . . . , vn)

= ω(v1, . . . , vi , . . . , vi , . . . , vn) +ω(v1, . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn)+

+ω(v1, . . . , v j , . . . , vi , . . . , vn) +ω(v1, . . . , v j , . . . , v j , . . . , vn)

= ω(v1, . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn) +ω(v1, . . . , v j , . . . , vi , . . . , vn).

Quindi se si scambiano due variabili vi la funzione ω cambia di segno, cioè ω è alternante. Ora, quante sono lefunzioni con queste due proprietà (multilineari e alternanti)? Nello spazio euclideo standard ce n’é una, a menodi costante, e cioè il determinante, che viene presa come unità di misura per il calcolo delle aree e dei volumi.Lo studio dei determinanti di fatto non è altro che lo studio della misura (nel senso di area/volume) con segnodei corrispondenti parallelogrammi/parallelepipedi. Provare a dimostrare che le isometrie di En conservano learee (vs. volumi) dei parallelogrammi (vs. parallelepipedi): occorre osservare che se v1, . . . , vn sono vettori diRn e L è una applicazione lineare Rn → Rn (che è la parte lineare della mappa affine corrispondente), alloraper la formula di Binet

(19.11) ω(Lv1, . . . , Lvn) = det(L)ω(v1, . . . , vn).

Ma per una isometria si ha L ∈ O(n), e quindi det(L) = ±1. Quindi, a meno di segno, ...

(19.12) Nota. La definizione di volume data sopra si riferisce ai parallelogrammi/parallelepipedi. Come èpossibile usarla per definire il volume per i triangoli/tetraedri (o in generale gli inviluppi convessi di n+ 1 puntiinRn? Più precisamente, dato che il parallelogramma che ha per spigoli i vettori v1, . . . , vn si può scrivere come

P = O + t1v1 + . . . + tnvn : ti ∈ [0, 1] ⊂ En,




come calcolare il volume del solido

T = O + t1v1 + . . . + tnvn : ti ∈ [0, 1],n∑

i=1ti ≤ 1?

Assumiamo che la funzione “volume di poliedri” in En soddisfi l’equazione (19.11), e se un poliedro è unionedi poliedri con interni disgiunti allora il suo volume è la somma dei volumi. Vediamo come da questo calcolareil volume di un tetraedro n-dimensionale.

Per prima cosa osserviamo che basta calcolare il volume di un solo n-tetraedro (con i vertici indipendentidal punto di vista affine, cioè con i vi indipendenti come vettori): il volume di ogni altro n-tetraedro si ottienecon un cambio di coordinate e un calcolo di determinante.

Cominciamo con l’ipercubo che ha per spigoli i vettori vi = ei (i vettori della base standard)

In = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ [0, 1] ⊂ En.

Il suo volume è (nella forma di volume standard) uguale a 1. Gli n+ 1 vertici dell’ n-tetraedro T0 ⊂ In definitoda

T0 = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ [0, 1],n∑

i=1xi ≤ 1

sono O = (0, 0, . . . , 0) e Ei = ei , con i = 1, . . . , n.Ora consideriamo altri (n + 1) vertici di In (comunque indipendenti dal punto di vista affine)

A0 = (0, 0, . . . , 0, 0)A1 = (0, 0, . . . , 0, 1)A2 = (0, 0, . . . , 1, 1)...

...An−1 = (0, 1, . . . , 1, 1)

An = (1, 1, . . . , 1, 1).

Il solido che ha gli Ai per vertici si scrive come

T = A0 + t1A1 + . . . + tnAn : ti ∈ [0, 1],n∑

i=1ti ≤ 1

= (x1, . . . , xn) : 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ≤ 1.

Osserviamo ora che il gruppo simmetrico Σn di tutte le permutazioni di n indici (di ordine n!) agisce su En

permutando le coordinate, e per ogni g ∈ Σn, g = 1, si ha che gT e T hanno interni disgiunti (perché?). Inoltre

In =∪g∈Σn

gT ,

da cui segue che ∑g∈Σn

|ω(gT)| = 1.




Figura 10.2: Icosaedro, di Piero Della Francesca (nel De Divina Proportione di Luca Pacioli)

Ma gT e T hanno lo stesso volume (±1), dato che g è una isometria, e quindi

n!|ω(T)| = ω(In) = 1 =⇒ |ω(T)| = 1n!

.

Per la formula (19.11), si ha quindi che se LP è un n−parallelepipedo e LT l’n-tetradro corrispondente a T siha

|ω(LT)| = | det(L)|n!

.

Ora, osserviamo che la trasformazione lineare che manda O in A0 e Ei in An−i, per i = 1, . . . , n ha la matriceL della forma triangolare inferiore

L =

1 0 0 · · · 01 1 0 · · · 0...

... . . . · · ·1 1 1 · · · 1

e quindi det(L) = 1. Segue che ω(T0) =

1n!, e anche in generale l’n-tetraedro con spigoli vi ha volume uguale

aω(v1, v2, . . . , vn)

n!.

(19.13) Esempio (Solidi platonici). Come vedremo nell’esercizio (10.25), è possibile classificare i sottogruppifiniti di rotazioni in SO(3), che sono legati ai gruppi di simmetrie dei poliedri regolari, i solidi platonici.




Figura 10.3: Leonardo Da Vinci, Dodecaedro (dal De Divina Proportione di Luca Pacioli)



Esercizi 171

ESERCIZI

*(10.1) Dimostrare che se e1, e2, . . . , en sono un insieme di vettori ortogonali di uno spazio vettoriale eucli-deo E, allora sono linearmente indipendenti. È vero anche il viceversa (cioè che se si considerano n vetto-ri linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale euclideo E allora sono ortogonali)? (Suggerimento: sesono linearmente dipendenti allora si possono trovare n coefficienti non tutti nulli λ1, λ2, …, λn tali cheλ1e1 + λ2e2 + · · ·+ λnen = 0. Ma se λi = 0 e si moltiplicano entrambi i membri per ei – con il prodotto scalare– si ottiene …. Per il viceversa: in A2(R) trovare due vettori linearmente indipendenti ma non ortogonali.

*(10.2) Dimostrare che le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi di riferimenti ortonor-mali, come

x 7→ Ax + b,

dove A è una matrice ortogonale e b un vettore. (Suggerimento: come nella dimostrazione (16.10))

(10.3) Dimostrare il lemma (18.6) a pagina 156.

(10.4) Dimostrare che le traslazioni di uno spazio euclideo sono isometrie.

*(10.5) Determinare una formula per la proiezione ortogonale di uno spazio euclideo En su un suo sottospazioaffine S di dimensione d < n, dato un punto di S e una base ortonormale per −→S . (Suggerimanto: si veda ladimostrazione di (19.5), in cui si proietta su un sottospazio di dimensione 1 – una retta. Proiettare sulle rettegenerate dagli elementi della base e sommare …)

(10.6) Siano A, B, C ∈ En tre punti di uno spazio euclideo. Dati altri tre punti A′, B′, C′ ∈ En, dimostrare cheesiste una isometria f : En → En tale che f (A) = A′, f (B) = B′ e f (C) = C′ se e solo se f conserva ledistanze tra i punti, cioè

|A′ − B′| = |A− B|, |B′ −C′| = |B −C|, |A′ −C′| = |A−C|.

(10.7) Siano A =

100, B =

010, C =

001 tre punti di E3. Esiste una isometria f : E3 → E3 tale che f (A) = B,

f (B) = C e f (C) = A? Se sì, quale (scriverla in forma matriciale)?

(10.8) Siano r1 e r2 due rette di E3. Sotto quali condizioni esiste una isometria che manda r1 in r2?

(10.9) Calcolare la distanza tra il punto

111 di E3 e il piano passante per

123 ortogonale al vettore

100.

(10.10) Determinare un vettore ortogonale al piano di E4 di equazione

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5 = 0.

*(10.11) Una similitudine f : En → En è una funzione che conserva i rapporti tra le distanze, cioè una funzioneper cui esiste una costante k > 0 tale che | f (x) − f (y)| = k|x − y| per ogni x, y ∈ En. Dimostrare che lesimilitudini conservano gli angoli: se A, B, C ∈ En sono tre punti, allora l’angolo tra B − A e C − A è uguale(a meno di orientazione) a quello tra f (B) − f (A) e f (C) − f (A).




*(10.12) È vero che una similitudine, come definita nell’esercizio precedente (10.11), è sempre una mappaaffine? E una isometria?(Suggerimento: si veda la dimostrazione di (18.12))

(10.13) Si consideri il piano affine euclideo E2. Dimostrare che ogni isometria del piano si può scrivere com-ponendo un numero finito di riflessioni lungo rette.(Suggerimento: anche le traslazioni e le rotazioni si possono scrivere come composizione di due riflessionilungo due rette …parallele oppure no …)

(10.14) Dimostrare che se S ⊂ En è un sottospazio e pS è la proiezione ortogonale pS : En → S, allora lafunzione f : En → En definita da

f (x) = pS(x) + (pS(x) − x)

è una isometria che fissa tutti e soli i punti di S (cioè tale che f (x) = x se e solo se x ∈ S).

(10.15) Scrivere una isometria del piano che manda i punti[00

],[10

] [01

]ad una distanza dall’origine di almeno

4 unità.

(10.16) Sia S la retta di equazione parametrica[x1x2

]=

[01

]+ t

[11

]in E2. Scrivere le equazioni della riflessione

(ortogonale) di E2 attorno a S.

*(10.17) Sia S la retta di equazione parametrica[x1x2

]=

[p1p2

]+ t

[v1v2

]in E2. Determinare i valori dei coefficienti

ai, j e bi per cui la trasformazione affine[x1x2

]7→

[a1,1 a1,2a2,1 a2,2

] [x1x2

]+

[b1b2

]è la riflessione (ortogonale) attorno a S.

(10.18) Determinare tutte le isometrie del piano euclideo che fissano almeno un punto. (Suggerimento: usare(18.13) e trovare tutte le trasformazioni ortogonali di O(2).)

(10.19) Dimostrare che ogni rotazione diE2 è composizione di due riflessioni (lungo due rette) (si considerinotre punti A, B, C di un sistema di riferimento affine euclideo per E2, e le tre immagini f (A) = A′, f (B) = B′,f (C) = C′: quali sono le riflessioni che mandano A in A′?).

(10.20) Dimostrare che ogni isometria del piano può essere scritta come la composizione di al più tre riflessioni(lungo rette). (Suggerimento: se A, B e C sono tre punti linearmente indipendenti del piano, cioè non allineati,allora le immagini A′, B′ e C′ sono anch’esse tre punti non allineati del piano. Con una riflessione (quale?)si può mandare A in A′. Poi si può mandare B in B′ riflettendo lungo una retta passante per A = A′, e quinditrovarsi con A = A′, B = B′…)

*(10.21) Dimostrare che le isometrie (non banali) del piano sono tutte e sole le seguenti: rotazioni, traslazioni,riflessioni, glissoriflessioni.

(10.22) Siano A e B due punti distinti di E2, e f , g le rotazioni attorno ad A e B (rispettivamente) di angoloπ/2. Determinare l’angolo e il centro delle rotazioni f g e gf . Che cos’è il gruppo di isometrie di E2 generatoda f e g? Determinare l’orbita di A, di B e del punto medio del segmento AB.



Esercizi 173

(10.23) Dimostrare che se G è un gruppo finito di isometrie di E2, allora esiste Q ∈ E2 fissato da G.

Nel prossimo esercizio si dimostra il Teorema Fondamentale dell’Algebra. Questa dimostrazione si basasu proprietà elementari dei polinomi, principalmente della funzione norma, e sul fatto che una funzione su uncompatto di C ha certamente minimo.

**(10.24) Dimostrare le seguenti affermazioni.

(i) Sia p(x) un polinomio a coefficienti in R di grado dispari. Allora p(x) ha una radice reale (cioè esistex0 ∈ R tale che p(x0) = 0).

(ii) Se p(x) è un polinomio a coefficienti in C

p(x) = anzn + an−1zn−1 + . . . + a1z + a0,

e p(x) indica il polinomio i cui coefficienti sono i complessi coniugati ai, p(x) = anzn + an−1zn−1 + . . .+

a1z + a0, allora p(x) ha coefficienti reali se e soltanto se p = p, e per ogni z ∈ C si ha p(z) = p(z).

(iii) Per ogni p, q polinomi a coefficienti in C, se r = pq, allora r = pq.

(iv) Per ogni polinomio p(z) a coefficienti in C il polinomio r(z) = p(z) p(z) ha coefficienti in R.

(v) Se z0 è una radice di r(z) = p(z) p(z), allora z0 o z0 è una radice per p(z).

(vi) Sia p(z) un polinomio a coefficienti reali. Allora per ogni m > 0 esiste r > 0 tale che |z| > r =⇒|p(z)| > m.

(vii) Per ogni r > 0, esiste z0 tale che |z0| ≤ r e |z| ≤ r =⇒ |p(z)| ≤ |p(z0)|.(viii) La funzione |p(z)|, C→ R, ammette un minimo globale z0, tale che ∀z ∈ C, |p(z)| ≥ |p(z0)|.

(ix) Se z0 ∈ C è il punto di minimo globale, e se z0 = 0, allora la funzione definita da f (z) =p(z0 + z)

p(z0)è un

polinomio di grado n (il grado di p(z)) tale che f (0) = 1 e

f (z) = 1 + zkr(z)

con r(z) polinomio di grado n − k tale che r(0) = 0, e k ≥ 1. Inoltre il minimo globale per | f (z)| è in0 ∈ C.

(x) Esiste z1 ∈ C tale che zk1r(0) = −1.

(xi) La funzione g(z) = f (z1z) è un polinomio in z di grado n che si scrive come

g(z) = 1 − zk + zk+1r(z)

dove r(z) è un polinomio in z. Il minimo globale di |g(z)| è in z = 0.

(xii) Per ogni z ∈ C, si ha|g(z)| ≤ |1 − zk | + |zk+1||r(z)|.

(xiii) Esiste t ∈ R tale che 0 < t < 1 e t|g(t)| < 1, e quindi

|g(t)| ≤ 1 − tk + tk+1|g(t)| = 1 − tk(1 − t|g(t)|) < 1.




(xiv) Se p(z) è un polinomio a coefficienti reali di grado n ≥ 1, allora esiste z0 ∈ C tale che f (z0) = 0 (siconsideri che la funzione |p(z)| ha minimo in z0, e questo punto non può essere tale che |p(z0)| = 0).

(xv) Se p(z) è un poliniomio a coefficienti complessi di grado n ≥ 1, allora esiste z0 ∈ C tale che p(z0) = 0.

Nel prossimo esercizio dimostriamo un pezzo del teorema di classificazione dei sottogruppi finiti di SO(3):Cn, Dk , T , O, I .

**(10.25) Sia G ⊂ SO(3) un gruppo finito e S = S2 ⊂ E3 la sfera unitaria. Dimostrare le seguenti proposizioni.

(i) Per ogni x ∈ S lo stabilizzatore Gx ⊂ G è un gruppo ciclico finito.

(ii) Per ogni g ∈ G ∖ 1, lo spazio fissato da g in S, cioè Sg = x ∈ S : gx = x, è un insieme di due puntiantipodali x,−x.

(iii) L’insieme X dei poli, cioè degli x ∈ S con stabilizzatore non banale X = x ∈ S : |Gx | > 1 è invarianterispetto all’azione di G su S: ∀g ∈ G, gX = X (per ogni insieme finito Y si denota con |Y | il numero dielementi di Y ).

(iv) Sia p : X → X/G la mappa di proiezione sullo spazio quoziente. Se x è un’orbita in X/G, allora x ha|G|/|Gx | elementi. Se x e y stanno nella medesima orbita, allora |Gx | = |Gy|. Sia nx l’intero definito danx = |Gx | per un elemento x dell’orbita x. Il G-insieme X è unione disgiunta delle sue orbite, e quindi

|X | =∑

x∈X/G

|G|nx

.

(v) Sia X l’insieme X dei poli quozientato rispetto alla relazione di equivalenza data da x ∼ −x. Allora2|X | = |X |.

(vi) Sia f : G ∖ 1 → X l’applicazione che associa ad ogni g ∈ G, g = 1, la coppia di poli x,−x ∈ Xfissata da g in S. Mostrare che f è suriettiva, e dedurre che X è finito.

(vii) Se [x] ∈ X è una classe di equivalenza di poli, allora Gx = Gy per ogni y ∈ [x], e l’insieme f −1([x]) ha|Gx | − 1 elementi.

(viii) Valgono le uguaglianze2(|G| − 1) = 2

∑[x]∈X

(|Gx | − 1) =∑x∈X

(|Gx | − 1)

(ix) Vale l’uguaglianza

2(|G| − 1) =∑

x∈X/G

|G|nx

(nx − 1).

(x) Se G non è il gruppo banale, valgono le disuguaglianze

1 ≤∑

x∈X/G(1 − 1

nx) < 2.

(xi) Valgono le disuguaglianze12|X/G| ≤

∑x∈X/G

(1 − 1nx

) < |X/G|,

da cui2 ≤ |X/G| ≤ 3.



Esercizi 175

(xii) Ci sono 2 o 3 orbite di poli in X/G. Se X/G = x1, x2, allora posto n1 = nx1 e n2 = nx2 si ha

2|G| =

1n1+

1n2

,

e questo implica n1 = n2 = |G| (osserviamo che se n = |G|, allora n/ni è intero per i = 1, 2 e chen/n1 + n/n2 = ). Quindi G è il gruppo ciclico generato da una rotazione, indicato con il simbolo Cn.

(xiii) Se X/G = x1, x2, x3, allora posto n = |G|, n1 = nx1 , n2 = nx2 e n3 = nx3 si ha

1 +2n=

1n1+

1n2+

1n3

.

Allora se supponiamo n1 ≥ n2 ≥ n3 > 1, deve essere n3 = 2, e quindi

12+

2n=

1n1+

1n2

.

(xiv) Dalla disequazione precedente e da n1 ≥ n2 ≥ 2, si deduce che n2 ∈ 2, 3.

(xv) Se n2 = 2, allora 2n1 = n, quindi (n1, n2, n3) = (n2

, 2, 2). Il gruppo G è (deve essere! perché?) il gruppogenerato da due rotazioni di angolo π attorno a due assi che si intersecano nell’origine con angolo 2π/n(gruppo diedrale di ordine n = 2n1, indicato con il simbolo Dn1).

(xvi) Se n2 = 3, allora16+

2n=

1n1

.

e quindi 3 ≤ n1 ≤ 5, da cuin1 = 3 =⇒ n = 12;n1 = 4 =⇒ n = 24;n1 = 5 =⇒ n = 60.

(xvii) Esistono gruppi con n3 = 2, n2 = 3 e n1 ∈ 3, 4, 5: sono i gruppi delle rotazioni che sono simmetrie deltetraedro (T ), esaedro/ottaedro (cubo) (O), icosaedro/dodecaedro (I). Descriverne gli assi di rotazione.Ci sono solo questi gruppi in SO(3) con questi insiemi di poli?

(10.26) Sia G ⊂ GL(n, R) un sottogruppo finito di ordine |G| > 1, e x · y denoti il prodotto scalare standarddi Rn. Allora:

(i) Il prodotto ⟨x, y⟩, definito per x, y ∈ Rn da

⟨x, y⟩ = 1|G|

∑A∈G

(Ax) · (Ay)

è un prodotto scalare.

(ii) Per ogni A ∈ G, per ogni x, y ∈ Rn si ha

⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩.

(iii) Esiste una base b1, . . . , bn di Rn ortonormale rispetto al prodotto ⟨−,−⟩.




(iv) Se Q è la matrice del cambio di base, tale che Qbi = ei per ogni i = 1, . . . , n (ei vettori della basestandard), allora

⟨x, y⟩ = (Qx) · (Qy) = xtQtQy.

(v) Per ogni A ∈ G la matrice coniugata QAQ−1 è ortogonale.

(vi) L’applicazione G → O(n) definita da A 7→ QAQ−1 è un omomorfismo di gruppi, ed è iniettiva.

(vii) Se G è un sottogruppo finito di GL(n, R), allora G è isomorfo ad un sottogruppo finito di O(n).

Abbiamo visto nella proposizione (18.12) che una isometria tra spazi euclidei è sempre un isomorfismoaffine. Ma cosa succede se si considerano spazi la cui metrica viene da una norma arbitraria (non quellastandard di En)? Mostriamo nel prossimi esercizi come le cose cambiano, ma non di molto.

*(10.27) Sia R con la metrica euclidea, e V = R2 con la metrica indotta dalla norma del massimo

∀x = (x1, x2) ∈ R2, ∥x∥ = max|x1|, |x2|,

per cui la distanza tra x e y in V è data da ∥x − y∥. Dimostrare i seguenti fatti.

(i) La funzione f : R → V definita da f (t) = (t, sin t) conserva la distanza, cioè per ogni t1, t2 ∈ R si ha∥ f (t1) − f (t2)∥ = |t1 − t2|.

(ii) La funzione f definita sopra non è una mappa affine.

**(10.28) (Teorema di Mazur-Ulam) Siano X e Y spazi vettoriali reali con norme ∥·∥X e ∥·∥Y . Si considerino co-me spazi affini, con la struttura di spazio affine standard. Sia f : X → Y una isometria (biunivoca). Dimostrarele seguenti proposizioni.

(i) La funzione f è continua.

(ii) Se f conserva i punti medi dei segmenti, allora è una mappa affine; cioè, se per ogni A, B ∈ X si ha

f (A+ B

2) =

f (A) + f (B)2

,

allora f è affine. (Suggerimento: usare la proposizione (16.16), la densità dei razionali diadici dell’e-sercizio (2.2) a pagina 22 e la continuità)

(iii) Se Q ∈ X è un punto qualsiasi, allora la riflessione centrale attorno a Q (definita da φ(x) = Q+ (Q− x))è una isometria tale che φ−1 = φ e φ(x) = x ⇐⇒ x = Q.

(iv) Mostrare che se φ è una riflessione centrale attorno a Q ∈ X, allora per ogni x ∈ X si ha

∥φ(x) −Q∥X = ∥x −Q∥X ,∥φ(x) − x∥X = 2∥x −Q∥X .

(v) Siano A, B ∈ X due punti distinti A = B, e Q =A+ B

2il punto medio. Se g : X → X è una isometria tale

che g(A) = A e g(B) = B, allora ∥g(Q) − A∥X = ∥Q − A∥X e

∥g(Q) −Q∥X ≤ 2∥A−Q∥X .



Esercizi 177

(vi) SiaW l’insieme di tutte le isometrie (biunivoche) g di X (in X) tali che g(A) = A e g(B) = B; esistel’estremo superiore

λ = supg∈W∥g(Q) −Q∥X .

(vii) Sia φ : X → X la riflessione centrale attorno a Q (punto medio di AB). Se g ∈ W, allora φg−1φg ∈ W.

(viii) Per ogni g ∈ W,∥φg−1φgQ −Q∥X = ∥g−1φgQ − φQ∥X

= ∥φgQ − gQ∥X .

(ix) Per ogni g ∈ W∥φ(gQ) − gQ∥X = 2∥gQ −Q∥X ,

e quindi per ogni g2∥gQ −Q∥X = ∥φg−1φgQ −Q∥X ≤ λ.

(x) λ = 0, e quindi g ∈ W =⇒ g(Q) = Q.

(xi) Siano A′ = f (A) e B′ = f (B) le immagini di A, B in Y mediante l’isometria f , e Q =A+ B

2,

Q′ =A′ + B′

2i punti medi. Sia φ′ : Y → Y la riflessione centrale attorno a Q′. Allora la mappa

h = φ f −1φ′ f : X → X è un elemento diW.

(xii) Dedurre che h(Q) = Q e che f (Q) = Q′.

(xiii) (Teorema di Mazur-Ulam)*: ogni isometria biunivoca f : X → Y tra spazi normati è una mappa affine.

*Lo schema di questa dimostrazione è di Jussi Väisälä, che a sua volta è basata su idee di A. Vogt.



Settimana N° 11

SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ

§ 20. SPAZI PROIETTIVI

(Cfr.)*

(20.1) Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su campo K . Lo spazio proiettivo generato da V (il proiettiviz-zato di V , denotato con P(V)), è il quoziente di V ∖ 0 con la relazione di equivalenza v ∼ w ⇐⇒ ∃λ ∈K∗ = K ∖ 0 : w = λv. La dimensione di P(V) è uguale a dim(V) − 1.

(20.2) Esempio. L’esempio standard si ottiene considerando lo spazio vettoriale Kn+1 di dimensione n + 1.Il proiettivo associato si indica con Pn(K) (dunque Pn(R) e Pn(C) indicano lo spazio proiettivo reale ecomplesso di dimensione n). Se K ha una topologia (metrica), così come An(K) ha la topologia generata daquella di K , anche Pn(K) ha una topologia naturale: la topologia quoziente.

(20.3) Nota. Osserviamo che la definizione (20.1) può essere data anche in termini di gruppi di trasformazioni:l’insieme degli scalari non nulli K∗ = K ∖ 0 è un gruppo rispetto all’operazione di moltiplicazione (gruppomoltiplicativo), che agisce suV ∖ 0 (moltiplicazione per uno scalare). Allora semplicemente il proiettivizzatoP(V) è uguale allo spazio delle K∗-orbite

P(V) = V ∖ 0/K∗ .

Se V ha dimensione 1, allora V ∼= K e V ∖ 0 ∼= K ∖ 0; non è difficile vedere che quindi P(V) è costituitoda un elemento solo.

(20.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo è la seguente: P(V) è l’insieme di tutti i sot-tospazi di dimensione 1 di V . Come esercizio, dimostrare che questa definizione coincide con la definizione(20.1) (cioè che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenza biunivoca).

(20.5) Esempio. La retta proiettiva P1(R) = P(R2): è omeomorfa a una circonferenza quozientata rispettoalla relazione di equivalenza x ∼ −x, oppure ad un segmento con gli estremi identificati (cfr. esercizio (11.2)a pagina 193). Quanti punti ha la retta proiettiva P1(Zp), con p ∈ N primo? E a cosa è omeomorfa la rettaproiettiva P1(C) = P(C2). Osserviamo che (z0, z1) ∼ (z′0, z′1) se e soltanto se esiste λ ∈ C∗ tale che z′i = λzi

*Cfr: Sernesi, Vol I, cap 3 [1].

179

180 #11. SPAZI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ

Figura 11.1: Piero Della Francesca (1415 – 1492), Pala di Brera / Pala Montefeltro

per i = 0, 1. Se z0 = 0, allora z1 = 0 e quindi (0, z1) ∼ (0, 1) dato che z1 = λ · 1 con λ = z1. Se z0 = 0, alloranello stesso modo

(z0, z1) ∼ (1,z1

z0).

Quindi in P1(C) ci sono i punti del tipo [(1, w) con w ∈ C e il punto [(0, 1)]. Con la proiezione stereograficapossiamo definire una funzione S2 ∖ (0, 0, 1) → R2, come

(x, y, z) ∈ S2 ∖ (0, 0, 1) ⊂ R3 7→ (x

1 − z,

y1 − z

) ∈ R2.

Questa si estende ad una funzione

(x, y, z) ∈ S2 7→ [(1,x + iy1 − z

)] ∈ P1(C) ?

Per rispondere a questa domanda, osserviamo che per ogni x, y, z ∈ R con x2 + y2 + z2 = 1 ((x, y, z) ∈ S2 ⊂ R3)e z = 1 (da cui segue che x2 + y2 = 1 − z2 = 0) si ha

(1,x + iy1 − z

) ∼ (1 − z, x + iy)

∼ (1 − z2, (1 + z)(x + iy))

∼ (x2 + y2, (1 + z)(x + iy))∼ ((x − iy)(x + iy), (1 + z)(x + iy))∼ (x − iy, 1 + z).



§ 20. SPAZI PROIETTIVI 181

Figura 11.2: Raffaello Sanzio (1483 – 1520), La Scuola di Atene




Da questo segue che la risposta è affermativa (lo si svolga per esercizio: (11.2) a pagina 193). Nello stessoesercizio dimostrare che la funzione appena definita è un omeomorfismo.

(20.6) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo Pn(K) di dimensione n su campo K . Un punto di x ∈Kn+1 si scrive come (n + 1)-upla con coordinate xi ∈ K

(x0, x1, . . . , xn).

Se x = 0 (cioè non tutte le coordinate xi sono nulle), la classe di equivalenza di x si può indicare con [x] ∈Pn(K). Le coordinate xi di x si chiamano coordinate omogenee di [x], e si scrive

[x] = [x0 : x1 : · · · : xn]

(20.7) Siano p = [p0 : p1 : · · · : pn] e q = [q0 : q1 : · · · : qn] due punti di Pn(K). Allora p = q se e solo seesiste λ ∈ K ∖ 0 tale che

∀i = 0, . . . n, qi = λpi.

Dim. È una conseguenza immediata della definizione (20.1). ⨳

(20.8) La funzionej0 : An(K)→ Pn(K),

definita da(x1, x2, . . . , xn) 7→ [1 : x1 : x2 : · · · : xn]

è iniettiva. La sua immagine è

j0(An(K)) = [p0 : p1 : · · · : pn] ∈ Pn(K) : p0 = 0,

e si può definire l’applicazione inversa

[p0 : p1 : · · · : pn] ∈ Pn(K) : p0 = 0 →An(K)

[p0 : p1 : · · · : pn] 7→ (p1

p0,

p2

p0, . . . ,

pn

p0).

Dim. È ovvio che j0 è ben definita. Per mostrare che è iniettiva, basta mostrare che l’applicazione definitasopra è la sua inversa (definita su p0 = 0). Infatti, la composizione

(x1, x2, . . . , xn) 7→ [1 : x1 : x2 : · · · : xn] 7→ (x1

1,

x2

1, . . . ,

xn

1)

è chiaramente l’identità di An(K), mentre la composizione

[p0 : p1 : · · · : pn] 7→ (p1

p0,

p2

p0, . . . ,

pn

p0) 7→

7→ [1 :p1

p0:

p2

p0: · · · : pn

p0]

è l’identità dato che esiste λ = p0 = 0, λ ∈ K ∖ 0 tale che

λ(1,p1

p0,

p2

p0, . . . ,

pn

p0) = (p0, p1, . . . , pn).

⨳




(20.9) Nota. È chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la j0 considerando non la prima coordi-nata (p0), ma una qualsiasi delle n+1 coordinate diKn+1. In questomodo possiamo “includere” lo spazio affineAn(K) nello spazio proiettivo Pn(K) in almeno n+ 1 modi distinti. Più in generale, cambiando le coordinatein Kn+1 e in An(K) si possono trovare infiniti modi di definire tale inclusione.

(20.10) Definizione. Per ogni i = 0, . . . , n il sottoinsieme di Pn(K) definito da

[p0 : p1 : · · · : pn] ∈ Pn(K) : pi = 0

si chiama la i-esima carta affine, e si indica con il simboloAni (K). È il complementare del sottospazio definito

dall’equazione pi = 0, che si dice iperpiano dei punti impropri, o punti all’infinito. I punti della i-esima cartaaffine hanno, oltre che le coordinate omogenee, anche coordinate affini relative a i, mediante l’applicazioneinversa j−1

i .

j−1i : [p0 : p1 : . . . : pn] =

[p0

pi: · · · : pi−1

pi: 1 :

pi+1

pi: · · · : pn

pi]

7→ (p0

pi, . . . ,

pi−1

pi,

pi+1

pi, . . .

pn

pi)

(20.11) Nota. Abbiamo quindi che Pn(K) è l’unione disgiunta dei due sottospazi

Pn(K) = [x] ∈ Pn(K) : x0 = 0 ∪ [x] ∈ Pn(K) : x0 = 0=An

0(K) ∪Pn−10 (K),

dove An0(K) è la parte affine e Pn−1

0 (K) è il sottospazio dei punti all’infinito, o punti impropri di Pn(K). Lascelta della coordinata x0, xi in realtà può essere vista come la scelta di un iperpiano (di codimensione 1) dipunti impropri per Pn(K).

(20.12) Definizione. SiaV ⊂ Kn+1 un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Kn+1. Allora è ben definital’inclusione

P(V) ⊂ Pn(K).

Il sottospazio P(V) ⊂ Pn(K) si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di Pn(K) di dimensionedim(P(V)) = dim(V) − 1.

(20.13) Nota. I sottospazi di dimensione 0 si dicono punti, quelli di dimensione 1 rette, quelli di dimensione2 piani, quelli di dimensione n − 1 (codimensione 1) iperpiani.

(20.14) Proposizione. Se L è un sottospazio proiettivo di Pn(K) di dimensione d, allora per ogni carta affineAn

i (K) ⊂ Pn(K) l’intersezione Ani (K) ∩ L, se non vuota, è un sottospazio affine di An

i (K) ∼= An(K) di di-mensione d. Viceversa, per ogni sottospazio affine S ⊂An

i (K) di dimensione d esiste un sottospazio proiettivoL ⊂ Pn(K) di dimensione d tale che S =An

i (K) ∩ L.

Dim. Sia V ⊂ Kn il sottospazio vettoriale per cui P(V) = L. Senza perdere in generalità, a meno di cambidi variabili, possiamo supporre che i = 0. Come abbiamo già notato nella dimostrazione di (16.12), è semprepossibile scrivere V come luogo degli zeri di una applicazione lineare (suriettiva) Kn+1 → Kn−d , cioè come




sistema di n− d equazioni (omogenee e indipendenti) nelle n+ 1 incognite (le coordinate di Kn+1, cioè le coor-dinate omogenee dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice (n − d) × (n + 1) (una funzionelineare M : Kn+1 → Kn−d) di rango n − d tale che

V = v ∈ Kn+1 : M(v) = 0.

L’intersezione An0(K) ∩ L è quindi l’insieme di tutti i punti [1 : x1 : x2 : · · · : xn] di An

0(K) tali che

M(

1x1x2. . .

xn

) = 0.

Ma M è lineare, per cui si può scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matrice per un vetto-re, e quindi esistono coefficienti bi, ai, j tali che i punti di An

0(K) ∩ L sono tutti e soli i punti di coordinate(x1, x2, . . . , xn) tali che

b1 a1,1 a1,2 . . . a1,nb2 a2,1 a2,2 . . . a2,n...

...... . . . ...

bn−d an−d,1 an−d,2 . . . an−d,n

1x1x2...

xn

=

00...0

il che è equivalente a scrivere che

b1b2...

bn−d

+

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n...

... . . . ...an−d,1 an−d,2 . . . an−d,n

x1x2...

xn

=00...0

.

L’insieme di soluzioni, se non vuoto, è uno spazio affine. Per verificare che si tratta di uno spazio affine didimensione d, basta osservare che il rango della matrice (ai, j) è proprio n − d. Infatti, il rango della matrice(ai, j) può essere uguale soltanto a n − d e n − d − 1, dal momento che la matrice (ai, j) si ottiene cancellandola prima colonna della matrice completa (bi, ai, j) (che ha rango n − d per ipotesi). Ma se il rango è ugualea n − d − 1, allora il vettore (bi) non è combinazione lineare dei vettori colonna di (ai, j), e quindi il sistemanon ha soluzioni. Quindi deve necessariamente essere uguale a n − d, e l’insieme di soluzioni ha dimensioned. Abbiamo dimostrato la prima parte della proposizione.

Ora, supponiamo di avere un sottospazio affine S di dimensione d, e quindi l’insieme di soluzioni di Ax +b = 0. Proseguendo come sopra, ma al contrario, possiamo osservare che la matrice M = (bi , ai, j) ha rangon − d e che individua il sottospazio vettoriale V di dimensione d + 1 tale che P(V) = L cercato. ⨳

(20.15) Nota. Come segue da (20.14), lo spazio proiettivo Pn(K) può essere pensato come l’unione di unospazio affine An

0(K) con coordinate [1 : x1 : x2 : · · · : xn] più un iperpiano di punti all’infinito (i puntiimpropri) di coordinate [0 : x1 : x2 : · · · : xn] (cfr. la nota (20.11) a pagina 183). I sottospazi proiettivi diPn(K) sono quindi i sottospazi affini in An

0(K) cui sono stati aggiunti i loro punti all’infinito.




(20.16) Definizione. Se S ⊂ An(K) è un sottospazio affine e An(K) ∼= Ani (K) ⊂ Pn(K) è una carta affine,

il sottospazio proiettivo L ⊂ Pn(K) tale che Ani (K) ∩ L = S della proposizione appena dimostrata si dice il

completamento proiettivo (o anche chiusura proiettiva) di S.

(20.17) Esempio. Determiniamo la chiusura proiettiva e i punti all’infinito della retta S diA2(R) di equazionex1 + x2 = 1. Per prima cosa, aggiungendo una coordinata, scriviamo A2(R) come carta affine di P2(R), concoordinate [1 : x1 : x2]. Per trovare la chiusura proiettiva di S in P2(R) dobbiamo trovare una (sola) equazionelineare omogenea nelle coordinate [z0 : z1 : z2], che definisca un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 2(che corrisponde alla retta proiettiva L cercata). Cioè

b1z0 + a1z1 + a2z2 = 0

in modo tale cheb1 · 1 + a1x1 + a2x2 = 0

sia l’equazione di S nella carta affine. Basta riscrivere l’equazione come

−1 + x1 + x2 = 0,

e quindi definire b1 = −1, a1 = 1, a2 = 1. La retta proiettiva L ha quindi equazione

−z0 + z1 + z2 = 0

nelle coordinate omogenee [z0 : z1 : z2] di P2(R). I punti all’infinito sono le intersezioni di L con la rettaimpropria di equazione z0 = 0, e quindi sono le soluzioni (omogenee) del sistema−z0 + z1 + z2 = 0

z0 = 0

che ha come soluzione tutti l’unico punto di coordinate omogenee [0 : 1 : −1] (che possiamo scrivere come[0 : t : −t] per ogni con t = 0).

(20.18) Definizione. Così come nella definizione (15.6), presi d + 1 punti [p0], [p1], …, [pd ] di Pn(K) si puòdefinire il sottospazio proiettivo generato dai punti stessi come l’insieme di tutte le combinazioni lineari

[λ0 p0 + λ1p1 + · · · + λd pd ]

con i coefficienti λi ∈ K non tutti nulli. I punti [pi ] ∈ Pn(K) si dicono linearmente dipendenti se i corrispon-denti vettori pi ∈ Kn+1 sono linearmente dipendenti, e linearmente indipendenti se lo sono i vettori.

(20.19) Proposizione. Per due punti distinti di Pn(K) passa una e una sola retta. Per tre punti non allineatidi Pn(K) passa uno e un solo piano.

§ 20.1. ISOMORFISMI PROIETTIVI E PROIETTIVITÀ

(20.20) Definizione. Siano P(V) e P(W) due spazi proiettivi. Una funzione f : P(V) → P(W) si diceproiettiva se esiste un omomorfismo iniettivo di spazi vettoriali F : V → W tale che per ogni v ∈ V si haf ([v]) = [F(v)].

V ∖ 0 F //

W ∖ 0

P(V)f

// P(W)




Si dice che F induce la funzione f . Se f ammette una inversa proiettiva g (cioè una funzione g : P(W) →P(V) indotta da un omomorfismo iniettivo G : W → V tale che gf = 1P(V) e f g = 1P(W)), allora è dettoun isomorfismo proiettivo. In questo caso si dice che P(V) e P(W) sono isomorfi. Se V = W (e quindiP(V) = P(W), allora un isomorfismo proiettivo si dice proiettività.

Osserviamo che diverse F possono indurre la stessa funzione proiettiva f : P(V) → P(W): infatti seF : V → W induce f , allora anche λF, per λ = 0, λ ∈ K , induce la stessa f .

(20.21) Due omomorfismi F, G : V → W iniettivi inducono la medesima f : P(V) → P(W) se e soltanto seesiste λ ∈ K∗ tale che G = λF. La funzione f è un isomorfismo se e soltanto se F : V → W è un isomorfismodi spazi vettoriali, per una qualsiasi F che induce f .

Dim. Abbiamo già visto che seG = λF, allora inducono la stessa f . Viceversa, se F eG inducono la medesimaf , allora per ogni v ∈ V deve esistere λv ∈ K∗ tale che

G(v) = λvF(v).

Se v e w sono due vettori di V , allora

G(v +w) = λ(v+w)F(v +w),

e dunqueG(v) +G(w) = λ(v+w)(F(v) + F(w)).

Ma G(v) = λvF(v), G(w) = λwF(w), e quindi deve essere

λvF(v) + λwF(w) = λ(v+w)F(v) + λ(v+w)F(w).

Se v e w sono linearmente indipendenti, allora anche F(v) e F(w) lo sono, e quindi

λv = λ(v+w) = λw.

Se v e w sono linearmente dipendenti, allora è facile vedere che λv = λw. Quindi esiste λ (che non dipende dav) tale che G(v) = λF(v) per ogni v ∈ V .

Ora, se f è un isomorfismo proiettivo (indotta da F), allora esiste la sua inversa g (indotta da G). Lacomposizione GF induce l’identità di P(V), la composizione FG induce l’identità di P(W), e quindi devonoesistere λ e λ′ tali che

GF = λ1V , FG = λ′1W ,

e F deve essere un isomorfismo di spazi vettoriali. ⨳

(20.22) Nota. Due spazi vettoriali della stessa dimensione (su campo K) sono isomorfi, per cui due spaziproiettivi sullo stesso campo e con la stessa dimensione sono isomorfi. Quindi senza perdere in generalità sipuò sempre pensare che uno spazio proiettivo su campo K sia Pn(K). Se indichiamo con GL(V) il gruppo ditutti gli isomorfismi dello spazio vettoriale V in sé e PGL(V) il gruppo di tutte le proiettività di P(V) in sé,si ha un omomorfismo (di gruppi) GL(V) → PGL(V) suriettivo (per definizione) ma non necessariamenteiniettivo. Come abbiamo visto prima, il suo nucleo è proprio dato dall’insieme di tutti i multipli di 1V (identitàdi V ) del tipo λ1V , con λ ∈ K∗. Possiamo ripetere passo per passo l’argomento usato: se A : V → V induce




l’identità P(V)→ P(V), allora per ogni v ∈ V si ha Av = λvv per un certo λv ∈ K (che potrebbe dipendere dav), λv = 0: cioè tutti i vettori di V sono autovettori per A. Ora, se v′ = v+ w, si ha

Av′ = Av+ Aw=⇒ λv′v′ = λvv+ λww

=⇒ λv′(v+ w) = λvv+ λww=⇒ (λv′ − λv)v+ (λv − λw)w = 0,

e quindi quando v e w sono linearmente indipendenti deve essere λv = λv′ = λw. Dato che autovettori linear-mente dipendenti hanno sempre lo stesso autovalore, deduciamo che λv non dipende da v, e quindi che Av = λv,cioè A = λ1V .

Le matrici del tipo λ1V costituiscono il centro di GL(V). Il centro di GL(n, K) ∼= GL(V) è il sottogruppodi tutte le matrici A tali che AB = BA per ogni B ∈ GL(V). Sia ora Ei j una matrice con coefficienti ovunque0 tranne 1 al posto i j, con i = j. La matrice I + Ei j ha determinante 1, e quindi è invertibile. In particolare, seA è nel centro di GL(V), deve essere A(I + Ei j) = (I + Ei j)A per ogni scelta di i j, e quindi AEi j = Ei j A. MaAEi j è una matrice che ha zeri ovunque tranne nella colonna j-esima (dove compare la i-esima colonna di A).Invece, Ei j A ha zeri ovunque tranne nella riga i-esima (dove compare la j-esima riga di A). Quindi la matriceAEi j = Ei j A ha tutti zeri tranne nel posto i j; nella j-esima colonna c’è la i-esima colonna di A, che quindideve avere tutti zero tranne il coefficiente aii , che compare in AEi j al posto i j; nella i-esima riga di AEi j c’èla j-esima riga di A, che quindi deve avere tutti zero tranne il coefficienti a j j , che compare in AEi j al posto i j.Quindi A è una matrice diagonale con a11 = a22 = . . . = ann, cioè A = λI .

(20.23) Definizione. Si dice che sottoinsiemi S, S′ ⊂ Pn(K) sono proiettivamente equivalenti se esiste unaproiettività f : Pn(K) → Pn(K) tale che f (S) = S′.

(20.24) Esempio. Quali insiemi di due punti sono proiettivamente equivalenti in P1(R)? Quali in P1(C)?

(20.25) Esempio. Siano (xA, yA) e (xB, yB) le coordinate di due punti A, B ∈ A2(K). Se A = B, l’equazionecartesiana della retta per A e B si può trovare ragionando come segue: un punto X = (x, y) sta sulla retta per Ae B se e soltanto se è allineato con A e B, cioè se e soltanto se il sottospazio affine generato dai tre punti A, Be X ha dimensione 1. La sua chiusura proiettiva deve anche avere dimensione 1, e questo succede se e soltantose i tre punti di P2(K)

[xA : yA : 1], [xB : yB : 1], [x : y : 1]

sono allineati in P2(K). Ma questo capita se e soltanto se

det

xA yA xyA yB y1 1 1

= 0.

§ 20.2. INCIDENZA DI SOTTOSPAZI

(20.26) Se S, T ⊂ Pn(K) sono due sottospazi proiettivi e dim(S) + dim(T) ≥ n, allora S ∩ T = ∅, cioè S e Tsono incidenti.




Dim. Siano V e W i due sottospazi vettoriali di Kn tali che P(V) = S ⊂ P(Kn+1) e P(W) = T ⊂ P(Kn+1).Per definizione si ha dim(S) = dim(V) − 1, dim(T) = dim(W) − 1. Per la formula di Grassmann si hadim(V +W) + dim(V ∩W) = dim(V) + dim(W), e quindi

dim(V) + dim(W) − dim(V ∩W) ≤ n + 1 = dim(Kn+1).

Dato che dim(S ∩ T)+ 1 = dim(V ∩W), i due sottospazi hanno punti in comune se e solo se dim(V ∩W) ≥ 1(per la definizione di spazio proiettivo); inoltre, se dim(S) + dim(T) ≥ n si ha

dim(S ∩ T) = dim(V ∩W) − 1≥ (dim V + dim W − n − 1) − 1= (dim S + 1 + dim T + 1 − n − 1) − 1≥ 0,

e quindi la tesi. ⨳

(20.27) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo P2(K) si incontrano sempre in un unico punto. Unaretta e un piano che non la contiene, nello spazio proiettivo P3(K), si incontrano sempre in un unico punto.

Dim. Per (20.26) in entrambi i caso l’intersezione non è vuota. A questo punto osserviamo che esiste una unicaretta (proiettiva) passante per due punti distinti di uno spazio proiettivo, per cui due rette non possono avere duepunti in comune senza essere coincidenti. Per quanto riguarda la retta e il piano, si procede in modo analogo(vedere anche esercizi (11.12) e (11.15)). ⨳

(20.28) Nello spazio proiettivo Pn(K) comunque scelti n iperpiani, essi hanno almeno un punto in comune.

Dim. Di fatto si tratta di n sottospazi diKn+1 di dimensione n (codimensione 1), cioè di n equazioni (omogenee)nelle n + 1 coordinate di Kn+1. La dimensione dello spazio di soluzioni è sempre almeno 1. ⨳

(20.29) Se H ⊂ Pn(K) è un iperpiano e P un punto non in H , allora ogni retta passante per P incontra Hesattamente in un punto.

Dim. Sia H = P(V) per il sottospazio vettoriale V ⊂ Kn+1. Dire che P = [p] ∈ Pn(K) non appartiene aH significa dire che il vettore (non nullo) p non appartiene a V . Sia l una retta per P, cioè l = P(W), conW ⊂ Kn+1 sottospazio vettoriale di dimensione 2, e P = [p] ∈ l, cioè p ∈ W . Dato che la somma delledimensioni dim(l) + dim(H) è esattamente n, per (20.26) la retta e l’iperpiano devono avere necessariamentealmeno un punto in comune. Se ne avessero due distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezioneV ∩Wsarebbe ≥ 2, e quindi W ⊂ V =⇒ l ⊂ H . Ma questo non può essere dato che P ∈ H (si veda anche l’esercizio(11.15)). ⨳

(20.30) Nota. Mediante (20.29) si può dimostrare che è possibile definire la proiezione proiettando non soloparallelamente (come abbiamo visto fare per spazi affini e euclidei), ma anche proiettando da un punto diPn(K). Vediamo come: se Q ∈ Pn(K) è un punto fissato e H e H′ due iperpiani di Pn(K) che non contengonoQ, per ogni [x] ∈ H esiste una (unica) retta passante per [x] e per Q; questa retta interseca H′ in un unicopunto, che chiamiamo f ([x]). Abbiamo definito quindi una funzione f : H → H′ (chiamata anche proiezioneprospettica, o prospettiva, diH suH′). È un isomorfismo proiettivo traH eH′. Per mostrare questo, osserviamoche H = P(V) e H′ = P(V ′) con V e V ′ sottospazi di Kn+1 di dimensione n. La funzione f è un isomorfismoproiettivo se esiste F : V → V ′ lineare (isomorfismo di spazi vettoriali) che induce f . Ora, sia q ∈ Kn+1 un




vettore per cui [q] = Q. Dal momento che q ∈ V ′, si può scrivere Kn+1 come somma (diretta) di sottospazivettoriali

Kn+1 = ⟨q⟩ ⊕V ′

e di conseguenza si può definire la proiezione π : Kn+1 → V ′ lungo la direzione del vettore q (meglio, delsottospazio vettoriale generato da q, di dimensione 1). La restrizione di π a V è anch’essa un omomorfismodi spazi vettoriali, e quindi lo è la composizione F : V → Kn+1 → V ′, che è un isomorfismo dato che q ∈ V .Non rimane che mostrare che per ogni x ∈ V si ha [F(x)] = f ([x]). La retta per [x] e Q è il sottospazio (didimensione 2) generato da x e da q. È chiaro che la sua intersezione con V ′ coincide con la sua proiezionemediante π definita sopra (che proietta su V ′), dato che la proiezione è parallela a q e [q] = Q è un punto dellaretta (e quindi del piano che stiamo considerando), cioè che l’intersezione è generata da F(x).

(20.31) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire una proiezione prospettica anchetra iperpiani affini (e quindi non sarà definita in alcuni punti degli iperpiani affini).

(20.32) Esempio. ProiettivitàP1(R)→ P1(R) (circonferenza): in coordinate affini sono…ProiettivitàP1(C)→P1(C) (sfera di Riemann): corrispondono in coordinate affini alle trasformazioni di Möbius

z 7→ az + bcz + d

per ad − bc = 0. Sottogruppo modulare: con coefficienti interi.

(20.33) Esempio. Siano A una matrice n × n a coefficienti in K , b e c due vettori di Kn, e K il campo degliscalari. La proiettività (ricordare il prodotto di matrici a blocchi)[

xu

]7→

[A bct d

] [xu

]=

[Ax + ubct x + ud

]in coordinate affini si scrive [

x1

]7→

1ct x + d

(Ax + b)1

,

cioèx 7→ Ax + b

ct x + d.

Quando c = 0 (deve essere d = 0 dato che la matrice completa è invertibile), non è altro che una trasformazioneaffine. Altrimenti, manda l’iperpiano (affine) di equazione ct x + d = 0 all’infinito.

In generale, una proiettività f di P(V) in sé induce una corrispondenza biunivoca tra gli iperpiani di V(o, equivalentemente, gli iperpiani di P(V)) in sé. Se f manda l’iperpiano all’infinito in sé, allora deve esserec = 0. Se invece c = 0, non può mandare l’iperpiano all’infinito in sé. Cioè, manda l’iperpiano all’infinitoin sé se e solo se c = 0. In altre parole, le trasformazioni affini di An

0(K) ⊂ Pn(K) sono le restrizioni allaparte affine An

0(K) di tutte quelle proiettività di Pn(K) che mandano l’iperpiano all’infinito in sé (si vedal’esercizio (11.26)).

(20.34) Esempio. Proiettiamo con una prospettiva E3 sul piano z = 0, con fuoco in (0, 0, 1): la linea001 + t

xy

z − 1




passa per (x, y, z) e (0, 0, 1), e incontra il piano z = 0 per t =1

1 − z, quindi la proiezione è

xyz 7→

x

1 − zy1 − z

In coordinate omogenee diventa la funzione lineare

[x : y : z : u] 7→ [x : y : 0 : u − z].

(20.35) Esempio. Proviamo a invertire la funzione S2 → P1(C) definita nell’esempio (20.5),

(x, y, z) ∈ S2 7→ [1 − z : x + iy] = [x − iy : 1 + z] ∈ P1(C).

Se [w1 : w2] ∈ P1(C), con wi ∈ C, se poniamo w =w2

w1(per w2 = 0) si ha [1 : w] = [1 : w2

w1] e quindi basta

invertire la proiezione stereografica ed ottenere

x =2ℜ(w)|w|2 + 1

y =2ℑ(w)|w|2 + 1

z =|w|2 − 1|w|2 + 1

⇐⇒

x =2ℜ(w2/w1)

|w2/w1|2 + 1

y =2ℑ(w2/w1)

|w2/w1|2 + 1

z =|w2/w1|2 − 1|w2/w1|2 + 1

x =2ℜ(w2/w1)|w1|2|w2|2 + |w1|2

=2ℜ(w2w1)

|w2|2 + |w1|2

y =2ℑ(w2/w1)|w1|2|w2|2 + |w1|2

=2ℑ(w2w1)

|w2|2 + |w1|2

z =|w2|2 − |w1|2|w2|2 + |w1|2

Se quindi scriviamo w1 = a + ib, w2 = c + id, la mappa si scrive

h(a, b, c, d) =1

a2 + b2 + c2 + d2

2ℜ((c + id)(a − ib))2ℑ((c + id)(a − ib))

c2 + d2 − a2 − b2

=

1a2 + b2 + c2 + d2

2(ac + bd)2(ad − cb)

c2 + d2 − a2 − b2

Osserviamo che di fatto è una mappa definita su C2 ∖ 0 che passa al quoziente con l’azione di C∗, e quindisi può restringere ad una mappa sulla sfera S3 ⊂ R4 definita da a2 + b2 + c2 + d2 = 1 come

h : S3 → S2.

Questa è una mappa molto importante in geometria e topologia, chiamata lamappa di Hopf , o anche fibrazionedi Hopf . Provare a dimostrare che le controimmagini dei punti di S2 sono circonferenze disgiunte in S3.




Figura 11.3: Immersione (non regolare e con auto-intersezioni) del piano proiettivo in E3. r := 1;plot3d([r*(1+cos(v))*cos(u), r*(1+cos(v))*sin(u), -tanh(2/3*(u-Pi))*r*sin(v)], u =0 .. 2*Pi, v = 0 .. 2*Pi);




Figura 11.4: Immersione (regolare senza auto-intersezioni: superficie di Boy) del piano proiettivo in E3. X :=(sqrt(2)*cos(2*u)*cos(v)^2 + cos(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Y :=(sqrt(2)*sin(2*u)*cos(v)^2 - sin(u)*sin(2*v)) / (2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); Z :=3*cos(v)^2/(2-sqrt(2)*sin(3*u)*sin(2*v)); plot3d([X, Y, Z], u = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi,v = 0 .. Pi);



Esercizi 193

ESERCIZI

(11.1) Dimostrare che la definizione (20.1) di spazio proiettivo come spazio delle orbite mediante l’azionedel gruppo moltiplicativo del campo è equivalente (nel senso che gli insiemi ottenuti sono in corrispondenzabiunivoca) alla definizione della nota (20.4), cioè P(V) è l’insieme di tutti i sottospazi di dimensione 1 di V .

(11.2) Dimostrare che P1(R) è omeomorfo alla circonferenza S1.

*(11.3) Dimostrare che P1(C) è omeomorfo alla sfera S2.

*(11.4) Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi Pn(R) e Pn(C), per n ≥ 1, sono compatti. (Suggerimento:invece che considerare lo spazio proiettivo come quoziente di Rn+1 ∖ 0 con l’azione del gruppo moltiplicativoR∗, si può considerare il quoziente solo della sfera Sn ⊂ Rn+1 di equazione x2

0 + x21 + · · ·+ x2

n, che è compatta…e quindi l’immagine di un compatto mediante la mappa (continua) quoziente è … )

(11.5) Dimostrare che A2(R) è omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi P2(R) si può scrivere comeunione disgiunta di un disco aperto (la carta affine) e la retta di punti all’infinito (che, siccome è omeomorfaa P1(R), è omeomorfa a una circonferenza S1).

(11.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo L ⊂ Pn(K) di dimensione d è omeomorfo allo spazioproiettivo Pd(K).

(11.7) Si considerino i punti [1 : 2 : 3], [2 : 3 : 1] e [3 : 1 : 2] di P2(R). Dimostrare che non sonoallineati (cioè che non c’è una retta proiettiva che passa per i tre punti). Sono punti impropri per la carta affine[1 : x : y] : x, y ∈ R ⊂ P2(R)?

(11.8) Si consideri il piano proiettivo P2(R) con carta affine A2(R) = [1 : x : y] come nell’esercizioprecedente. Esiste una retta in A2(R) che ha come punti impropri [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1]?

(11.9) Dimostrare che ogni retta del piano affine ha uno e uno solo punto all’infinito, in qualsiasi chiusuraproiettiva.

(11.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo P2(K) hanno sempre uno e un solo punto incomune (e quindi non ci sono rette parallele).

(11.11) Dimostrare che due rette parallele di A2(K) hanno lo stesso punto all’infinito in qualsiasi chiusuraproiettiva di A2(K) (cioè dimostrare che due rette con punti all’infinito distinti si devono incontrare).

(11.12) Dimostrare che per due punti distinti di Pn(K) passa e una sola retta (sottospazio proiettivo di dimen-sione 1).

(11.13) Sia S ⊂ Pn(K) il sottoinsieme diPn(K) definito come segue: presi inPn(K) d +1 punti [p0], [p1], . . . , [pd ],i punti di S sono quelli che si possono scrivere (in coordinate omogenee) come combinazioni lineari

[λ0 p0 + λ1p1 + · · · + λd pd ]

per certi coefficienti λi ∈ K non tutti nulli. Dimostrare che S è un sottospazio proiettivo e che ogni sottospazioproiettivo di Pn(K) si può scrivere in questo modo. (Vedi la definizione (20.18))

(11.14) Dimostrare che il sottospazio (proiettivo) di Pn(K) generato da d + 1 punti è il più piccolo sottospazioproiettivo che contiene tutti i d + 1 punti.




(11.15) Dimostrare che esiste uno ed un unico sottospazio proiettivo di dimensione d che passa per d + 1 puntidi Pn(K) linearmente indipendenti.

(11.16) Dimostrare che una retta proiettiva è generata da due suoi punti distinti.

(11.17) Dimostrare che se un sottospazio proiettivo S di Pn(K) passa per d + 1 punti, allora S contiene ilsottospazio proiettivo generato dai d + 1 punti (cioè l’unico spazio proiettivo di dimensione d dell’esercizio(11.15)).

(11.18) Scrivere la proiezione prospettica con centro nel punto[11

]∈A2(R), dalla retta di equazione (x, y) ∈

A2(R) : y = 0 alla retta di equazione (x, y) ∈A2(R) : x = 0.

(11.19) Si scriva in coordinate affini (rispetto ad una carta) la proiezione prospettica di P2(R) dove Q = [0 :1 : 1], H = [x0 : x1 : x2] ∈ P2(R) : x1 = 0 e H′ = [x0 : x1 : x2] ∈ P2(R) : x2 = 0. È una trasformazioneaffine di H in H′?

(11.20) Determinare le equazioni omogenee (in P2(R)) della retta di A2(R) di equazione x + y = y− 1. Qualè il suo punto all’infinito?

(11.21) Si considerino le rette di A2(R) di equazione y = x + b, con b ∈ R. Calcolare, al variare di b, lecoordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

(11.22) Si considerino le rette di A2(R) di equazione y = mx, con m ∈ R, m = 0. Calcolare, al variare di m,le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.

*(11.23) Determinare le proiettività : P2(R) → P2(R) che fissano la retta (impropria) x0 = 0 (cioè ognipunto della retta impropria viene mandato in sé).

(11.24) È possibile scrivere una traslazione di A2(R) come restrizione ad una carta affine di una proiettivitàdi P2(R)?

(11.25) Esiste una proiettività che manda i punti[00

],[10

],[01

]di una carta affine in

[00

],[10

]e[20

]?

*(11.26) SiaAn(K) ⊂ Pn(K) una carta affine e T : An(K) →An(K) una affinità. Determinare (in un sistemadi riferimento fissato, se si crede) una proiettività P che manda An(K) in sé (e quindi l’iperpiano dei puntiimpropri in sé) e che ristretta aAn(K) sia proprio uguale a T . (Suggerimento: Si scriva T come x 7→ Ax + b peruna matrice A e un vettore b. Nel cercare la matrice F corrispondente della proiettività (che sarà una matrice(n + 1) × (n + 1)), si osserva che se l’iperpiano dei punti impropri va in sé, allora la prima riga di F ha unsolo termine non zero… e a meno di moltiplicare F per una costante si può supporre questo termine uguale a1 … poi si utilizzano b e A per riempire la matrice. Provare con matrici 3 × 3 all’inizio, per avere un’idea piùconcreta. )

*(11.27) Mostrare che SO(3) ≈ P3(R). (utilizzare l’esercizio (7.30) a pagina 113)



Appendice A

ALCUNI ESERCIZI SVOLTI

[[url:http://xkcd.com/356/]]

§ 1. ESERCIZI SVOLTI

(1) Determinare gli elementi dei seguenti insiemi:

(i) x ∈ Z : ∀z ∈ Z,∃y ∈ Z : xz = y;

(ii) x ∈ Z : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz = y;

(iii) x ∈ R : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Q, xz = y.

Sol:

195

196 #A. ALCUNI ESERCIZI SVOLTI

(i) Osserviamo che si può scrivere

x ∈ Z : ∀z ∈ Z,∃y ∈ Z : xz = y = x ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz ∈ Z,

e dato che il prodotto di interi è sempre un numero intero si ha

x ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz ∈ Z = Z.

(ii) Fissto un x ∈ Z, definiamo l’insiemeSx = xz : z ∈ Z.

Allora si può scrivere

X = x ∈ Z : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Z, xz = y = x ∈ Z : ∃y ∈ Z : Sx = y.

Ora, si può facilmente vedere che

Sx =

0 se x = 0l’insieme dei multipli di x se x = 0.

Quindi se x = 0 sicuramente x ∈ X, mentre se x = 0 si ha x ∈ X. Segue che X = 0.

(iii) Ora calcoliamo l’insieme Y = x ∈ R : ∃y ∈ Z : ∀z ∈ Q, xz = y. Si può procedere come sopra, oppurenel modo seguente: se x0 ∈ Y , allora per definizione esiste y ∈ Z tale che x0z = y per ogni z ∈ Q. Sex0 = 0, allora questo significa che esiste un certo intero y (fissato) per cui ogni z ∈ QQ è uguale a y

x0,

ma questo è falso. Quindi necessariamente deve essere x0 = 0, cioè Y ⊂ 0. Mostriamo che 0 ⊂ Y ,cioè che 0 ∈ Y , ovvero

∃y ∈ Z : ∀z ∈ Q, 0z = y.

Come sopra, basta prendere y = 0. Questo significa che Y = 0.

///

(2) Determinare se i seguenti insiemi sono aperti della topologia indicata. Quali sono chiusi?

(i) x ∈ Q : x ≤ 2 (nella topologia di Q).

(ii) x ∈ Q : x ≤ 2 (nella topologia di R).

(iii) x ∈ Q : x2 ≤ 2 (nella topologia di Q).

(iv) x ∈ Q : x2 ≤ 2 (nella topologia di R).

(v) x ∈ R : x2 ≤ 2 (nella topologia di R).

Sol: Sappiamo che nelle topologie di R e Q gli intervalli del tipo (−∞, b), (a,∞) sono aperti. Questoimplica che gli intervalli del tipo [b,∞), (−∞, a] sono chiusi (complementari di aperti).

(i) x ∈ Q : x ≤ 2 (nella topologia di Q): è chiuso (perché si può scrivere come intervallo (−∞, 2]) e nonè aperto (perché il punto 2 non è interno).



§ 1. ESERCIZI SVOLTI 197

(ii) x ∈ Q : x ≤ 2 (nella topologia di R): non è chiuso (se fosse chiuso dovrebbe contenere tutti i suoipunti di accumulazione; ma basta prendere opportunamente una successione di razionali che convergea√

2 < 2 per notare che questo non è vero) e non è aperto (non solo 2 non è interno: nessun punto èinterno in R!).

(iii) x ∈ Q : x2 ≤ 2 (nella topologia di Q): Dal momento che√

2 ∈ Q, si può scrivere

x ∈ Q : x2 ≤ 2 = [−√

2,√

2] ∩Q

= (−√

2,√

2) ∩Q

e quindi l’insieme preso in considerazione è sia chiuso che aperto.

(iv) x ∈ Q : x2 ≤ 2 (nella topologia di R): come sopra, non è né chiuso né aperto.

(v) x ∈ R : x2 ≤ 2 (nella topologia di R): qui l’insieme è uguale a [−√

2,√

2], che è chiuso e non è aperto(gli estremi non sono interni ma appartengono all’intervallo).

///

(3) È vero che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera? E il viceversa(cioè è vero che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito dipunti)?

Sol: Mostriamo che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera, cioèogni ricoprimento mediante aperti di X ammette un sottoricoprimento finito. Infatti, se Ui è un ricoprimentodi X, dal momento che X, essendo finito, ha un numero finito di sottoinsiemi, solo un numero finito degliaperti che costituiscono il ricoprimento Ui sono distinti. Basta quindi eventualmente eliminare le ripetizioninel sottoricoprimento (cioè cancellare gli aperti Ui che compaiono più volte) per ottenere il sottoricoprimentofinito cercato.

Viceversa: mostriamo che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un nu-mero finito di punti. In particolare, deve essere compatto rispetto alla topologia discreta (dato che è compattorispetto ad ogni possibile topologia), che ha per aperti tutti i sottoinsiemi di X. Ma allora deve esistere un sotto-ricoprimento finito di ogni ricoprimento: prendiamo come ricoprimento di X la famiglia di insiemi contenentiun solo elemento di x:

X =∪x∈Xx.

Ma questo ricoprimento non ha sottoricoprimenti (se togliamo uno qualsiasi degli aperti x il punto x non ècoperto da un aperto del ricoprimento), e quindi deve essere necessariamente finito. Ma se tale ricoprimentoè finito, allora X ha un numero finito di punti. ///

(4) Determinare se i seguenti sottospazi di R2 (con la topologia metrica di R2) sono connessi oppure no.

(i) X = (x, y) ∈ R2 : xy = 1;

(ii) Y = (x, y) ∈ R2 : (xy − 1)(x − y) = 0;

(iii) Z = (x, y) ∈ R2 : x2y − xy2 − x + y = 0.

Sol:




(i) X = (x, y) ∈ R2 : xy = 1: consideriamo in R2 i due aperti U = (x, y) ∈ R2 : x > 0 e V = (x, y) ∈R2 : x < 0. Le intersezioni A = X ∩U e B = X ∩V sono non vuote (infatti (1, 1) ∈ A e (−1,−1) ∈ B),disgiunte (dato che U ∩ V = ∅), tali che X = A∪ B (dato che (x, y) ∈ X ⇐⇒ xy = 1 =⇒ x = 0)e sono aperti nella topologia indotta di X (visto che U e V sono aperti nella topologia di R2). Questosignifica che X non è connesso.

(ii) Y = (x, y) ∈ R2 : (xy − 1)(x − y) = 0: per la legge di annullamento del prodotto, (xy − 1)(x − y) = 0se e solo se uno dei due fattori (xy − 1) e (x − y) si annulla. Cioè, se indichiamo con R la retta (x, y) ∈R2 : x − y = 0, si ha

Y = X ∪ R,

(Y è l’unione dell’iperbole X con la retta R). Ma osserviamo che X è unione dei suoi due rami A e B (vedisopra), che sono connessi (non è difficile trovare due funzioni continue e suriettive f : (−∞, 0) → B eg : (0,∞) → A). Quindi Y è unione dei tre spazi connessi A, B e R, e A∩ R = ∅, B ∩ R = ∅. Possiamodedurre (per esempio, dalla proposizione 12.9) cheY è connesso (in questo caso basta una giustificazioneintuitiva).

(iii) Z = (x, y) ∈ R2 : x2y − xy2 − x + y = 0: risulta Z = Y .

///

(5) Si consideri la famiglia τ di tutti i sottoinsiemi di N = 0, 1, 2, . . . costitutita dall’insieme vuoto, daN e da tutti i sottoinsiemi del tipo

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5 . . .

È vero che τ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia, N è connesso? È compatto?Sol: Per mostrare che è una topologia dobbiamo mostrare che ∅ ∈ τ, N ∈ τ, che l’unione di una famiglia

qualsiasi di elementi di τ è ancora un elemento di τ e che l’intersezione di una famiglia finita di elementi diτ è ancora un elemento di τ. Osserviamo quindi che ogni elemento di τ diverso da ∅ e da N si può scriverecome Un = k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n per un certo n ≥ 1. Consideriamo quindi una famiglia (finita o infinita) diaperti Uni . Sia X l’unione

X =∪

iUni .

Vogliamo mostrare che X ∈ τ. Osserviamo che se x ∈ X e 1 ≤ y ≤ x, allora y ∈ X. Infatti, se x ∈ X, alloraesiste Uni per cui x ∈ Uni (oppure X = N, ma questo caso lo escludiamo perché banale). Ma dato che Uni

contiene tutti gli interi k ≥ 1 e k ≤ ni , deve essere x ≤ ni, e quindi Uni (e di conseguenza X) contiene tutti inumeri y ≤ x, y ≥ 1. Ma questo significa che se X è limitato, allora esiste UM tale che X = UM , e quindi èaperto. Ma se X non è limitato? Allora, per lo stesso argomento, risulta

X = k ∈N : 1 ≤ k = 1, 2, . . .

C’è quindi un problema: l’unico insieme di τ non limitato è N = 0, 1, 2, . . . , che contiene in più l’elemento0…Quindi τ non è una topologia.

Per chi vuole proseguire togliendo lo 0 da N…///

(6) Se X è uno spazio topologico con due sottospazi A e B non vuoti e disgiunti tali che A∩ B = ∅, alloraè vero che X di certo non è connesso?




Sol: No, basta prendere per esempio X = R, A = 0 e B = 1. I due sottoinsiemi A e B sono non vuoti edisgiunti, e A = A, per cui A∩ B = ∅. Ma X = R è connesso. ///

(7) Determinare se l’intervallo I = x, ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 meno un punto x0 ∈ I è compatto e connesso, alvariare di x0. (I ∖ x0 = x ∈ I : x = x0 ).

Sol: Per prima cosa dimostriamo che I ∖ x0 non è mai compatto. Per il teorema di Heine-Borel, bastadimostrare che per ogni x0 ∈ I lo spazio I ∖ x0 non è chiuso nella topologia di R. Infatti, fissato x0 esiste unasuccessione xn in I ∖ x0 che converge a x0, cioè x0 è di accumulazione per I ∖ x0. Ma x0 ∈ I ∖ x0, equindi abbiamo trovato un punto di accumulazione di I ∖ x0 non contenuto in I ∖ x0 (cioè esso non contienetutti i suoi punti di accumulazione, ovvero non è chiuso).

Per quanto riguarda la connessione, sappiamo che i sottoinsiemi connessi diR sono tutti e soli gli intervalli.Ma I ∖ x0 è un intervallo se x0 = 0 oppure x0 = 1 (infatti, rispettivamente si ha (0, 1] e [0, 1) ), mentre nonlo è se 0 < x0 < 1. Se ne deduce immediatamente che:

I ∖ x0 è:connesso se x0 = 0 oppure x0 = 1;non connesso se 0 < x01.

///

(8) Si consideri il sottoinsieme di R definito da

X =

x ∈ R : x =pq

, p, q ∈ Z, |pq| ≤ 10100

.

Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia euclidea di R):

(i) X è chiuso;

(ii) X è aperto;

(iii) X è compatto.

Sol: L’insieme X consiste di tutti i numeri reali che si possono scrivere come quoziente di due interi il cuimodulo del prodotto non supera 10100 (e quindi ha al più 100 cifre). Siano p e q due interi positivi (e quindip ≥ 1, q ≥ 1). Se pq ≤ 10100, allora q ≤ 10100

p ≤ 10100, dato che p ≥ 1. Lo stesso vale per q. Ne segue checi sono un numero finito di coppie (p, q), con p ≥ 1, q ≥ 1 e tali che pq ≤ 10100 e quindi solo un insiemefinito di numeri (che chiamiamo X>0 che si possono scrivere come x = f racpq, con p ≥ 1 e q ≥ 1. Ora, sep = 0 ci sono infiniti q tali che |pq| ≤ 10100, ma tutti danno luogo allo stesso elemento 0 ∈ X. Invece, non puòessere q = 0. Da ciò si deduce che X può essere quindi scritto come l’unione di tre insiemi finiti: l’insieme X>0definito sopra, l’insieme 0 e X<0 = −X>0, cioè l’insieme degli opposti di tutti gli elementi di X<0. Quindi Xè finito.

Ogni punto di R è chiuso; ogni unione finita di chiusi è chiusa; dunque ogni insieme finito di R è chiuso.Pertanto X è chiuso.

Dato che R è connesso, non può contenere sottoinsiemi sia chiusi che aperti diversi da ∅ e R, quindi X nonè aperto.

X è anche compatto: da ogni ricoprimento mediante aperti di X si può estrarre un sottoricoprimento finitocome segue. Se Uii∈J è la famiglia di aperti del ricoprimento, allora

X ⊂∪i∈J

Ui .




Per ogni x ∈ X, esiste quindi almeno un i(x) ∈ J tale che x ∈ Ui(x) (non è necessariamente unico). Fatta lascelta per i(x), si ottiene facilmente che

X ⊂∪x∈X

Ui(x),

e quindi esiste un sottoricoprimento finito di X, dato che X è finito. ///

(9) Si consideri nel piano euclideo E2 (con la topologia metrica) il sottoinsieme

X = (x, y) ∈ E2 : x2 − y2 ≤ 1.

Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera:

(i) X è chiuso;

(ii) X è aperto;

(iii) X è compatto;

(iv) X è connesso.

Sol: Osserviamo che la funzione f : E2 → R definita da f (x, y) = x2 − y2 è una funzione continua. Maallora la controimmagine di un chiuso di R è un chiuso di E2, e la controimmagine di un aperto di R è unaperto di E2. La controimmagine dell’intervallo (−∞, 1] (che è un chiuso di R) è uguale a

f −1 ((−∞, 1]) = (x, y) ∈ E2 : f (x) ∈ (−∞, 1] = X,

e quindi X è chiuso.X non è aperto: consideriamo per esempio il punto di coordinate (1, 0). Ogni suo intorno circolare contiene

punti del tipo (1 + ϵ , 0) e (1 − ϵ , 0), con ϵ > 0 piccolo a piacere. Ma (1 + ϵ)2 ≤ 1 accade solo per ϵ = 0, equindi (1, 0) non è interno a X.

Per il teorema di Heine-Borel, X è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Dato che è chiuso, è compattose e solo se è limitato. Non è limitato: per ogni R ∈ R il punto di coordinate (0, R) appartiene a X, dato cheper ogni R accade che −R2 ≤ 1. Quindi non è compatto.

Per mostrare che è connesso, basta osservare che è connesso per archi: osserviamo che dal puntoO = (0, 0)si può raggiungere un qualsiasi punto (x0, y0) di X mediante un cammino rettilineo. Infatti, se x2

0 − y20 ≤ 1, allora

per ogni t ∈ [0, 1] si ha(tx0)

2 − (ty0)2 = t2(x2

0 − y20) ≤ t2 ≤ 1

, e quindi il punto γ(t) = (tx0, ty0) sta in X. Quindi γ(t) definisce un cammino continuo che parte da (0, 0)(per t = 0) e arriva a (x0, y0) (per t = 1), e X è connesso per archi.///

(10) Determinare i punti di accumulazione in R del sottoinsieme di Q definito da

p10q : p, q ∈ Z.

È vera o no la seguente uguaglianza?

p10q : p, q ∈ Z = p

100q : p, q ∈ Z




Sol: Sia X = p10q : p, q ∈ Z il sottoinsieme di Q in questione. Si tratta di tutti i numeri razionali che

hanno rappresentazione decimale con un numero finito di cifre (anche dopo la virgola).Prima di procedere, osserviamo che non tutti i numeri razionali si possono scrivere in forma decimale con

un numero finito di cifre: 13 e tutte le frazioni con gruppi di cifre periodiche non possono. Ma per ogni numero

reale x (razionale o no) esiste una successione di numeri decimali canonica (con numero di cifre crescente)che converge a x: quella che si ottiene troncando alla q-esima cifra la parte decimale. Ciascuno dei terminidella successione è un elemento di X, per cui ogni numero reale è limite di una successione di elementi di X;segue che la chiusura di X è uguale a R. Ora, i punti di R∖ X sono sicuramente di accumulazione. Rimane davedere quali punti di X sono di accumulazione o, equivalentemente, quali punti di X sono isolati. Se esistesseun punto x0 ∈ X isolato (cioè tale che esiste ϵ > 0 per cui nell’intervallo (x0 − ϵ , x0 + ϵ) non ci sono altrielementi di X all’infuori di X), allora per un certo ϵ > 0 dovrebbe essere che nessun numero dell’intervallo( p

10q ,p

10q + ϵ)

è di X. Ma la somma di due frazioni in X è ancora in X (perché?), e quindi basta prendere un l intero abbastanzagrande per cui

110l < ϵ ed ottenere l’elemento

p10q +

110l di X che verifica le disuguaglianze

p10q <

p10q +

110l <

p10q + ϵ .

Dunque tutti i numeri reali sono di accumulazione per X.Ora, consideriamo i due insiemi

X = p10q : p, q ∈ Z

eY = p

100q : p, q ∈ Z.

Dato che 102 = 100, ogni elemento di Y si può scrivere come

p100q =

p102q ,

e quindi Y ⊂ X. Ma, viceversa, ogni elemento di X si può scrivere come

p10q =

p · 10q

10q · 10q =10q p100q ,

e quindi X ⊂ Y . Segue che X = Y . ///

(11) Quali tra i seguenti insiemi sono aperti (nelle topologie corrispondenti)? Quali chiusi? Quali compatti?(i) (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2xy + 1;(ii) (z, w) ∈ C2 : z2 −w3 = 1 = |z|2 −w3;(iii) xeix : x > 0 ⊂ C ∼= R2;

(iv) (x, y) ∈ R2 : max(|x + y|, |x − y|) ≤ 1.




Sol: L’insieme X = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2xy + 1 è anche l’insieme di soluzioni dell’equazione

x2 + y2 − 2xy = (x − y)2 ≤ 1,

cioè le controimmagini dell’intervallo chiuso [−1, 1] mediante la funzione continua

f (x, y) = x − y.

Dunque X è chiuso. Si tratta della striscia compresa tra le rette di equazioni y = x − 1 e y = x + 1. Non èvuoto ((0, 0) ∈ X) e non è tutto R2 ( (0, 2) ∈ X ), e quindi non è aperto (dato che gli unici aperti-chiusi di R2

sono l’insieme vuoto e R2 stesso). Il punto (n, n), per ogni n ∈ Z, è in X e quindi X non è limitato: X non ècompatto.

L’insieme X(z, w) ∈ C2 : z2 −w3 = 1 = |z|2 −w3 è chiuso, perché la funzione f : C2 → C2 definita da

f (z, w) = (z2 −w3, |z|2 −w3)

ha componenti continue e quindi è continua. Pertanto la controimmagine di (1, 1) ∈ C2, che è un chiuso di C2,è un chiuso. Osserviamo che se (z, w) ∈ X, allora

z2 = |z|2 ⇐⇒ z2 = zz ⇐⇒ z(z − z) = 0

e quindi z è reale. Dunque X = C2. Il sistema ha soluzioni? Per esempio (z, w) = (1, 0) è una soluzione, equindi X = ∅. Ne segue che X non può essere sia aperto che chiuso, e quindi non è aperto (dato che è chiuso).Ora, è compatto se e solo se è limitato. Ora, per ogni t ∈ R esistono sicuramente dei w ∈ C tali che

w3 = t2 − 1 ⇐⇒ t2 −w3 = 1,

e quindi X non è limitato.Passiamo a X = xeix : x > 0 ⊂ C ∼= R2, come è rappresentato in figura:

–30

–20

–10

10

20

–20 –10 10 20




Il punto 0 ∈ C è di accumulazione per X: infatti, nell l’intorno circolare Bϵ (0) ci sono sempre infiniti puntidi X

Bϵ (0) ∩ X = xeix : 0 < x < ϵ .

Dato che 0 ∈ X, X non è chiuso. Non è nemmeno aperto: in coordinate polari, X si scrive come (r, θ) : r =θ,che non è un aperto di (0,∞) × S1. Non è limitato, dato che |xeix | = |x|, e quindi non è compatto.

Finiamo con l’insieme X = (x, y) ∈ R2 : max(|x + y|, |x − y|) ≤ 1. Come sopra, risulta chiuso (dato checontroimmagine dell’intervallo chiuso (−∞, 1] mediante la funzione

f (x, y) = max(|x + y|, |x − y|).

È il quadrato (chiuso) di R2 con vertici nei punti (±1, 0), (0,±1), e quindi non è né vuoto né R2: non è aperto.È limitato: se max(|x + y|, |x − y|) ≤ 1, allora |x + y| ≤ 1, |x − y| ≤ 1 e quindi −1 ≤ x + y ≤ 1, −1 ≤ x − y ≤ 1,−1 ≤ y − x ≤ 1. Sommando le prime due si ha −2 ≤ 2x ≤ 2 =⇒ −1 ≤ x ≤ 1. Sommando la prima e la terzasi ha −2 ≤ 2y ≤ 2 e quindi |y| ≤ 1. ///

Nota 1. Per favore usare l’italiano e la punteggiatura correttamente:

«Considero quindi i punti tali che f (x, y) → x − y allora questi punti devono essere ≤ 1 =⇒sono tutti punti di accumulazione e sono contenuti nel nostro insieme quindi il nostro insieme èchiuso ma non è aperto perché se considero i punti (x, y) che sono uguali al 1 allora questiavranno un’intorno che non è completamente contenuto nel nostro insieme inoltre non è compattoperché non è limitato»

Nota 2. È vero che la controimmagine di un aperto (risp. chiuso) mediante una funzione continua è un aperto(risp. chiuso). Ma non è vero che la controimmagine di un non-aperto è per forza un non-aperto!

(12) Quali sono i punti di accumulazione dei seguenti insiemi di punti:

(i) (1 + 1t)eit ∈ C : t ∈ R, t > 0 ⊂ C;

(ii) pq

: p, q ∈ Z, 1 ≤ q2 ≤ 1000 ⊂ R;

(iii) pq

: p, q ∈ Z, q ≥ 1, p2 ≤ 1000 ⊂ R;

(iv) pq

: p, q ∈ Z, q ≥ 1000, p ≥ 1000 ⊂ R.

Sol: Se X = (1 + 1t)eit ∈ C : t ∈ R, t > 0 ⊂ C, allora X è l’immagine della funzione

f : (0,∞)→ C

definita da

f (t) = (1 +1t)eit .




–1

–0.5

0.5

1

–1 –0.5 0.5 1

Tutti i punti di A = (0,∞) sono di accumulazione per il dominio A = (0,∞), e quindi le immagini f (t) sonodi accumulazione per X = f (A). Mostriamo che anche tutti i punti della circonferenza unitaria S1 = z ∈ C :|z| = 1 sono di accumulazione per X. Infatti, se z0 = eiθ0 è un punto della circonferenza, per ogni ϵ > 0 si ha

Bϵ (z0) ∩ X = (1 + 1t)eit :

∣∣∣∣∣(1 + 1t)eit − eiθ0

∣∣∣∣∣ < ϵ , t > 0,

che contiene tutti i punti (con k ∈ Z, k > 0)

(1 +1

θ0 + 2kπ)ei(θ0+2kπ)

tali che1

θ0 + 2kπ< ϵ .

Questi sono infiniti, se k → ∞. Vogliamo mostrare che se y ∈ X, allora |y| = 1. Infatti, sia |y| = 1 e y ∈ Xun punto di accumulazione: se |y| < 1, y non può essere di accumulazione (perché?), quindi |y| > 1. Ora, siay = r0eit0 , con r0 > 1 e t0 > 0. L’intorno Bϵ (y) contiene l’aperto

Uϵ ′,ϵ ′′ = zeit : |z − z0| < ϵ ′, |t − t0| < ϵ ′′,

se ϵ ′ e ϵ ′′ sono abbastanza piccoli. Ma dato che y ∈ X, r0 = 1 + 1/(t0 + 2kπ) per tutti i k, e quindi per ϵ ′ e ϵ ′′abbastanza piccoli Uϵ ′,ϵ ′′ non interseca X: y non può essere di accumulazione.

Veniamo a X = pq

: p, q ∈ Z, 1 ≤ q2 ≤ 1000 ⊂ R; in ogni intervallo [a, b] di R cadono un numero finitodi elementi di X, e quindi X non ha punti di accumulazione.

Se invece X = pq

: p, q ∈ Z, q ≥ 1, p2 ≤ 1000 ⊂ R, se x è di accumulazione, allora ci devonoessere infiniti pn/qn ∈ X distinti che formano una successione convergente a X. Ma i pn possono assumeresolo valori tra −

√1000 e

√1000, mentre la successione qn necessariamente deve tendere a∞: l’unico punto di

accumulazione è 0.L’ultimo, X = p

q: p, q ∈ Z, q ≥ 1000, p ≥ 1000 ⊂ R, chiaramente ha tutta la semiretta R≥0 = [0,∞) di

accumulazione. Infatti, se pn/qn è una successione di razionali positivi, 1000pn/(1000qn) ∈ X per ogni n. ///

(13) Sia C ⊂ Q un sottospazio compatto di Q, con la topologia della metrica euclidea.




(i) C è chiuso (in Q)?

(ii) C è limitato?

(iii) Può essere connesso?

(iv) Si dia, se esiste, un esempio di un tale C che abbia un numero infinito (numerabile) di punti.

(v) Esiste un tale C con un insieme non numerabile di punti?

Sol: Ogni compatto in un Hausdorff (e quindi in un metrico) è chiuso, e quindiC è chiuso. Ogni compattoin un metrico è limitato, e quindiC è limitato. Può essere connesso: basta che abbia un punto solo! Un compattodi Q è l’insieme X = 0 ∪n≥1 1/n. I razionali sono numerabili, e quindi non possono avere sottoinsiemi nonnumerabili. ///

(14) Sia Q la retta razionale con la topologia della metrica euclidea.

(i) Dimostrare che Q non è connesso, e determinarne le componenti connesse.

(ii) Si consideri l’insieme di tutti gli intervalli di Q del tipo

Uh,k = x ∈ Q : h < x < k, con h e k in Z.

Dimostrare che è una base per una topologia di Q.

(iii) Q è connesso rispetto alla topologia generata dalla base degli Uh,k?

Sol: Le componenti connesse di Q sono i singoli punti: è un esercizio già svolto (quale?). Per mostrareche l’insieme degli intervalli Uh,k è una base, basta osservare che ogni razionale è contenuto in qualche Uh,k ,e che l’intersezione di Uh,k con Uh′,k′ , quando non vuota, è uguale a Umax(h,h′),min(k,k′). Rispetto alla topologiagenerata da questa base, Q è connesso: infatti, supponiamo che A ⊂ Q sia un insieme aperto e chiuso checontiene n ∈ Z ⊂ Q. Allora, se n + 1 ∈ A, deve esistere un intorno Uh,k di n + 1 che non interseca A (datoche A è anche chiuso). Ma ogni intorno della base di n ha intersezione non vuota con ogni intorno della basedi n + 1, e quindi deve essere necessariamente n + 1 ∈ A. Nello stesso modo si dimostra che se n ∈ A, alloran− 1 ∈ A. Ma allora A, se A contiene 0 (e deve esistere un aperto chiuso che contiene 0!), contiene tutti i puntiinteri Z, e quindi A = Q. ///

(15) Determinare quali dei seguenti sottoinsiemi sono aperti, chiusi, e compatti (nelle rispettive topologie).

(i) (x, y) ∈ R2 : x3 + 3x2y + 3xy2 + y ≥ 1;(ii) z ∈ C : z3 = −z;(iii) (z, w) ∈ C2 : z2 = w(w − 1) ;(iv) (x, y) ∈ R2 : (x2 + y2 − 1)−1 ∈ Z;(v) t +

√−1t cos 1

t : t ∈ R ∖ 0.

Sol: L’insieme X = (x, y) ∈ R2 : x3 + 3x2y + 3xy2 + y ≥ 1 è la controimmagine dell’intervallo chiuso[1,∞) mediante la funzione continua

f (x, y) = (x + y)3 − y3 + y.




Quindi è chiuso. Rato che R2 è connesso, per mostrare che non è aperto basta vedere che non è né ∅ né R2.Infatti, f (0, 0) = 0 < 1 =⇒ X = R2. Analogamente, f (0, 2) = 2 > 1 =⇒ X = ∅. Il sottoinsieme chiuso X ècompatto se e solo se è limitato (per il teorema di Heine–Borel): non è limitato, dato che contiene tutti i punti(0, n), con n ≥ 1.

Passiamo ora a X = z ∈ C : z3 = −z. In coordinate polari, z = reiθ , dunque X è il sottoinsieme di tutti ipunti di C che soddisfano l’equazione

r3e3iθ = re(π−θ)i,

da cui segue r3 = r (r ≥ 0)3θ = π − θ + 2kπ con k ∈ Z,

r ∈ 0, 1

θ =π

4+ k

π

2con k ∈ Z.

Si tratta quindi di cinque punti 0, eπ/4+kπ/2, con k = 0, 1, 2, 3. È un insieme finito di punti: è chiuso, compattoe non aperto.

L’insieme X = (z, w) ∈ C2 : z2 = w(w − 1) è la controimmagine in C2 di 0 (chiuso di C) mediante lafunzione C2 → C definita da

f (z, w) = z2 −w(w − 1).

Si tratta quindi di un chiuso. Per mostrare che non è aperto, come sopra, mostriamo che X = ∅ e che X = C2.Infatti (0, 0) ∈ X =⇒ X = ∅; (1, 0) ∈ X =⇒ X = C2. Per la compattezza, occorre vedere se è limitato.Basta prendere, per n grande, la coppia (z, w) = (

√n(n − 1), n) e osservare che è un elemento di X per ogni n:

quindi non è limitato.L’insieme X = (x, y) ∈ R2 : (x2 + y2 − 1)−1 ∈ Z è la controimmagine di Z mediante la funzione

f (x, y) = (x2 + y2 − 1)−1,

che però non è definita su R2 ma sui punti di R2 per cui x2 + y2 = 1 (cioè tutti i punti tranne quelli dellacirconferenza unitaria). Si ha che (x, y) ∈ X se e solo se esiste k ∈ Z tale che

1x2 + y2 − 1

= k

dove k ∈ Z. L’intero k non può essere zero, e quindi si tratta dell’unione di tutte le circonferenze di raggio√1 +

1k, con k = 0 (per k = −1 si ha la circonferenza degenere di raggio nullo). L’insieme X è chiuso nel sot-

tospazio U = R2 ∖ x2 + y2 = 1, ma non è chiuso in R2: la successione di punti di X definita da (√

1 + 1/n, 0)converge a (1, 0) che non è in X. Non è nemmeno limitato, e quindi non è compatto. Se X è un aperto di U,allora esiste V ⊂ R2 aperto di R2 tale che V ∩U = X, e quindi X sarebbe aperto di R2 perché intersezione didue aperti U e V . Viceversa, se X è aperto di R2, allora è aperto di U dato che X = U ∩ X.

L’insieme non è un aperto di R2 (e quindi non è aperto di U): basta mostrare che l’intersezione con l’assedelle x non è un aperto di R (per lo stesso motivo). Si tratta di

Y = x ∈ R : x = ±√

1 + 1/k.




Non è aperto perché, per esempio, il punto√

2 non è interno: ogni intorno circolare di√

2 di raggio piú piccolodi√

2 −√

3/2 non contiene altri punti di Y .Sia X = t +

√−1t cos 1

t : t ∈ R ∖ 0. Per n ≥ 1 intero, il punto zn =1n +√−1 cos n

n è di X; la successioneconverge a 0, e quindi 0 è di accumulazione per X ma non è di X: dunque X non è chiuso di C. Se X fosseaperto, sarebbe aperta l’intersezione con l’asse reale, cioè l’insieme

t ∈ R : t = 0, cos1t= 0 = t ∈ R : t = 0,

1t=π

2+ kπ, con k ∈ Z,

cioè 1π/2 + kπ

: k ∈ Z.

Come sopra, questo non è un insieme aperto di R (basta osservare che per esempio 2/π non è interno). ///

(16) Dimostrare le seguenti proposizioni, quando sono vere. Altrimenti mostrare che sono false. Per ognix ∈ R, denotiamo con [x] la classe di equivalenza di x rispetto alla relazione x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z. Sullospazio quoziente X = R/∼ (omeomorfo alla circonferenza S1) definitamo la funzione

d([x], [y]) = inf|s − t| : s ∈ [x], t ∈ [y].

(i) La funzione d : X × X → R è ben definita.

(ii) La funzione d : X × X → R è una metrica, tale che per ogni x, y, z ∈ R si ha

d([x], [y]) = d([x + z], [y + z]).

(iii) La distanza tra due punti di X non può essere maggiore di 1/2.

(iv) Presi n punti a caso su X, ce ne sono sempre almeno due con distanza d([x1], [x2]) ≤1n.

(v) Per n ≥ 1 intero, e α ∈ R qualsiasi, esiste un intero q ∈ [1, n] tale che d([qα], [0]) ≤ 1n + 1

.

(vi) Dedurre il Teorema di approssimazione di Dirichlet: per ogni n ≥ 1 intero e α ∈ R, esiste una coppia diinteri p, q ∈ Z tali che |qα − p| ≤ 1

n + 1e q ≤ n.

Sol: (a), (b) sono facili, tenuto conto che

d([x], [y]) = inf|x − y + k| : k ∈ Z = min|x − y + k| : k ∈ Z.

Osserviamo che dalla proprietà d([x + z], [y + z]) = d([x], [y]) segue che d([x], [y]) = d([x − y], [0]). Ogniclasse [x] ha un unico rappresentante t ∈ [x] con 0 ≤ t < 1, e X è uguale all’intervallo [0, 1] con gli estremiidentificati (una circonferenza). L’omeomorfismo con la circonferenza è dato dalla funzione θ 7→ e2πiθ .

Punto (c): Se t ∈ [0, 1/2], allora d([t], [0]) = t. Se t ∈ [1/2, 1], allora d([t], [0]) = 1 − t. Cioè d([t], [0]) =min(t, 1 − t). Dato che t + (1 − t) = 1, il minimo tra t è 1 − t è certamente minore di 1/2. Il massimo si ha pert = 1/2, cioè d([1/2], [0]) = 1/2. In generale, dati due punti qualsiasi [x] e [y], si ha

d([x], [y]) = d([x − y], [0]) ≤ 1/2,

e dunque la distanza tra due punti di X non può essere maggiore di 1/2.




Punto (d): Siano [x1],[x2], …[xn] gli n punti arbitrari di X. Le distanze reciproche sono le stesse dei punti[x1 − x1], [x2 − x1], …, [xn − x1] traslati di −x1, cioè possiamo sempre supporre che x1 = 0. Possiamo natu-ralmente supporre che xi ∈ [0, 1) per ogni i. Supponiamo per assurdo che non esistano due punti con distanzaminore o uguale a 1/n, cioè tutte le coppie di punti distano almeno 1/n. Riordinando gli indici, si ha

0 = x1 ≤ x2 ≤ . . . xn < 1.

Dato che per ipotesi d([xi+1], [xi ]) >1n , per ogni i = 1 . . . , (n − 1), si ha

1n< d([xi+1 − xi ], [0]) = min(xi+1 − xi, 1 − xi+1 + xi) =⇒ xi+1 − xi >

1n

(dato che il minimo di due numeri in [0, 1) è piú grande di 1/n, entrambi lo devono essere, e quindi in particolareuno dei due). Ma allora

xn = xn − x0 = (x1 − x0) + (x2 − x1) + . . . + (xn − xn−1) >1n+

1n+ . . . +

1n= 1,

assurdo.Il punto (e) segue dal (d), prendendo in considerazione gli n + 1 punti di X

[x0] = [0], [x1] = [α], . . . , [xn] = [nα].

Esistono i e j in 0, 1, . . . , n tali che

d([iα], [ jα]) ≤ 1n + 1

,

e dunque (supponendo i < j)

d([( j − i)α], [0]) ≤ 1n + 1

,

cioè l’asserto con q = j − i. Se i, j ∈ [0, n] e i < j, allora j − i = q ∈ [1, n].

Passo emph(f): se α ∈ R e n ≥ 1, sappiamo che esiste q ∈ Z, 1 ≤ q ≤ n tale che d([qα], [0]) ≤ 1n + 1

. Madato che esiste p ∈ Z tale che

d([qα], [0]) = |qα − p|,

si ha che esistono p, q ∈ Z tali che 1 ≤ q ≤ n e |qα − p| ≤ 1n + 1

. ///

(17) Utilizzando eventualmente il risultato dell’esercizio precedente, calcolare i punti di accumulazionedei seguenti sottoinsiemi di R.

(i) a + b√

3 : a, b ∈ Q;(ii) a + b

√3 : a, b ∈ Z;

(iii) a + b log2 3 : a, b ∈ Z (perché log2 3 è irrazionale?);

(iv) 2h

3k : h, k ∈ Z.




Sol: Passo (a): X = a+ b√

3 : a, b ∈ Q; dato che X ⊃ Q, i punti di accumulazione di Q sono anche puntidi accumulazione di X. Ma tutti i punti di R sono di accumulazione per Q, e quindi tutti i punti di R sono diaccumulazione per X.

Passo (b): una dimostrazione completa (senza presupporre altro) è la seguente. Sia X = a + b√

3 : a, b ∈Z; il numero

√3 è irrazionale (perché?). Mostriamo che tutti i punti di R sono di accumulazione per X, cioè

che per ogni ϵ > 0 e per ogni x ∈ R esistono punti di X in Bϵ (x), cioè che per ogni ϵ , per ogni x ∈ R esistonoa, b ∈ Z tali che |a + b

√3 − x| < ϵ . Sia n un intero fissato. Per l’esercizio precedente, esistono una coppia di

interi p, q tali che |q√

3 − p| < 1n , con 1 ≤ q ≤ n, e cioè (dividendo per q)

|√

3 − pq| < 1

nq.

Supponiamo, senza perdere in generalità, che p e q siano privi di fattori comuni (altrimenti …) e positivi. Perogni a, b si ha quindi

|a + b√

3 − x| = |a + b(pq+√

3 − pq) − x|

≤ |a + bpq− x| + |b(

√3 − p

q)|

≤ |a + bpq− x| + |b|

nq.

Osserviamo ora che (nella notazione dell’esercizio precedente) i q punti

[0], [pq], . . . , [ j

pq] . . .

con j = 0, . . . , (q − 1) sono tutti distinti: infatti se esistono 0 ≤ i < j < q tali che [i pq ] = [ j p

q ] allora esistek ∈ Z tale che

j p = ip + kq ⇐⇒ ( j − i)p = kq,

e questo non è possibile se p e q non hanno divisori in comune. Ma allora i punti [0], [ pq ], . . . , [ j

pq ] . . . non sono

altro che i q punti[0], [

1q], . . . [

jq], . . . [

q − 1q

].

Ogni x ∈ R, a meno di somma con un intero, dista certamente meno di1qda uno di questi punti, cioè esistono

a,b, con 0 ≤ b ≤ q, tali che |a + b pq − x| < 1

q. Ma allora esistono esistono a, b tali che

|a + bpq− x| + |b|

nq≤ 1

q+

1n≤ 2

q.

La tesi segue se al crescere di n, il corrispondente q = qn tende all’infinito. Supponiamo di no: allora lasuccessione

pn

qn(definita dalla coppia p, q del teorema di Dirichlet al variare di n) è una successione di numeri

razionali con denominatore qn limitato.Ma per ogni n si ha |√

3 − pnqn| < 1

nqn→ 0, e dunque la successione

converge a√

3 (che non è razionale). Dato che la successione dei denominatori qn è limitata (ipotesi di assurdo),esiste una sottosuccessione qni costante. Ma la sottosuccessione pni

qniè sottosuccessione di una successione

convergente (a√

3), e quindi è convergente. Dato che il denominatore qni è costante, anche il numeratore pni è




definitivamente costante: cioè la sottosuccessione pniqni

da un certo i in poi è costante (e quindi è uguale al suo

limite, che è il limite di pn/qn). Questo è assurdo, perché vorrebbe dire che√

3 è razionale.Passo (c): Come sopra, dato che log2 3 è irrazionale, tutti numeri reali sono di accumulazione. Perché è

irrazionale? Perché p/q = log2 3 ⇐⇒ 2p = 3q, e 2 e 3 sono coprimi.

Passo (d): consideriamo il logaritmo di X = 2h

3k : h, k ∈ Z, cioè

Y = log22h

3k : h, k ∈ Z.

Si può scrivere ancheY = h + k log2 3h, k ∈ Z ⊂ R.

I punti di accumulazione di Y in R sono tutti i punti di R, e dunque i punti di accumulazione di X sono tutti ipunti di R il cui logaritmo è un punto di accumulazione di Y , cioè la semiretta [0,∞). ///

(18) Sia X uno spazio topologico. Dimostrare (o falsificare) le seguenti affermazioni.

(i) Le componenti connesse di X sono sottoinsiemi sia aperti che chiusi di X.

(ii) Se X ha un numero finito di componenti connesse, allora queste sono sia aperte che chiuse.

(iii) Se A è un sottoinsieme denso di X (cioè la cui chiusura è X), e B ⊂ X è un altro sottoinsieme tale cheB ⊃ A, allora B è denso in X.

(iv) Se X è connesso, allora ogni sottoinsieme denso di X è connesso.

(v) Se X è omeomorfo a [0, 1), allora X è omeomorfo anche a [0, 1].

Sol: Sono tutti esercizi assegnati in precedenza: le componenti connesse non sono sia aperti che chiusi(esempio: Q). Se ce ne sono un numero finito, allora sí (dato che sono comunque dei chiusi). Se A è denso inX e B contiene A, allora A ⊂ B =⇒ A ⊂ B, e dunque B = X (da cui segue che B è denso). Non è vero chese X è connesso, allora i sottoinsiemi densi sono connessi (si pensi a Q ⊂ R oppure a R ∖ 0 ⊂ R. I dueintervalli [0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi, dato che uno è compatto e l’altro no, e quindi non è vero che seX è omeomorfo all’uno deve essere omeomorfo all’altro. ///

(19) Si determinino i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R o di C (nella topologia dellametrica euclidea di R o di C rispettivamente), e determinarne la chiusura (in R o in C). Quali sono compatti?Quali sono chiusi?

(i) X1 = pq

: p, q ∈ Z, q = 0, p = q mod 100;

(ii) X2 = p2

q: p, q ∈ Z, q = 0;

(iii) X3 = p

q2 + 1: p, q ∈ Z;

(iv) Z1 = z ∈ C : 1 + z2 ∈ Q;(v) Z2 = z ∈ C : z(1 − z) ∈ Z.




Sol: (a): Si ha che

X1 = q + 100k

q: q = 0, (q, k) ∈ Z2

= 1 + 100kq

: q = 0, (q, k) ∈ Z2

= 1 + 100x : x ∈ Q= 1 + 100Q = Q,

e dunque tutti i punti di R sono di accumulazione per X1; la chiusura è X1 = Q = R. Non è né chiuso nélimitato, e dunque non è compatto.

(b) Osserviamo che seab∈ Q, con a, b ∈ Z e b = 0, allora se anche a = 0 si ha

ab=

a2

ab.

Altrimenti, se a = 0, 0 =ab=

a2

b. Quindi Q ⊂ X2 ⊂ Q, cioè X2 = Q. Ne segue che X2 non è chiuso, non è

compatto, e ha tutti i numeri reali come punti di accumulazione. Osserviamo che la distanza tra i due quadrati(p − 1)2 e p2 successivi è 2p − 1:

p2 − (p − 1)2 = 2p − 1.

Allora per ogni q la distanza trap2

qe(p − 1)2

qè uguale a 2p−1

q . Allora se si ha una successione p2n

qn→ α ∈ R

con qn → ∞, deve essere 2pn−1qn= 2 pn

qn− 1

qn→ 0, e quindi pn

qn→ 0, cioè l’unico punto di accumulazione di

X2 è 0. Dato che sopra abbiamo mostrato che i punti di accumulazione di X2 sono tutti i punti di R, possiamoconcludere che R = 0, e dunque che R non è una estensione di Q, come si è soliti credere. (Dove è l’errorenel ragionamento appena visto?)

(c) Veniamo ora a X3 = p

q2 + 1: p, q ∈ Z. Per ogni α ∈ R, per ogni q ∈ Z, per ogni p ∈ Z, la distanza

tra pq2+1 e p+1

q2+1 è 1q2+1 , quindi per ogni α ∈ R e per ogni q ∈ Z esiste p ∈ Z tale che la distanza tra α e

pq2 + 1

non superi1

q2 + 1, cioè per r =

1q2 + 1

si ha

Br(α) ∋p

q2 + 1.

Ma allora ogni α ∈ R è di accumulazione per X3, dato che per ogni ϵ > 0 esiste r ∈ Z tale che 1q2+1 < ϵ .

Dunque X3 non è chiuso, non è compatto, e ha per chiusura R.(d) Osserviamo che se w ∈ C si ha che

w ∈ Q ⇐⇒ w + 1 ∈ Q,

e dunqueZ1 = x ∈ C : z2 ∈ Q.

Se z = a + ib, con a, b ∈ R, allora(a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab.




Quindi (a + ib)2 ∈ Q se e solo se ab = 0 e a2 − b2 ∈ Q. Dunque z ∈ Z1 è del tipo a oppure ib, con a, b ∈ R.L’insieme dei reali a tali che a2 ∈ Q contiene in particolare i razionali, e quindi Z1 contiene Q. L’insieme deicomplessi ib, con b ∈ R, tali che (ib)2 ∈ Q come sopra contiene una copia di Q, e quindi Z1 contiene iQ.Dunque i punti di accumulazione per Z1 sono i numeri reali (di accumulazione per la copia Q) oppure l’assedei numeri puramente immaginari iR (di accumulazione per la copia iQ). Non è chiuso, non è compatto. Lasua chiusura è

Z1 = a + ib ∈ C : a, b ∈ R, ab = 0.

(e) Si haZ2 = z ∈ C : z2 − z ∈ Z= z ∈ C : z2 − z = k, per qualche k ∈ Z

= 1 ±√

1 + 4k2

: k ∈ Z

Per ogni R > 0, l’insieme dei punti di Z2 nell’intorno B0(R) è finito, e quindi Z2 non ha punti di accumulazionein C. È un sottospazio chiuso di C, perché controimmagine di Z ⊂ C (che è chiuso) mediante la funzionecontinua z 7→ z(1 − z). Non è limitato, per quanto visto sopra, e quindi non è compatto. Non avendo punti diaccumulazione (anche, essendo chiuso), si ha Z2 = Z2. ///

(20) Determinare quali dei seguenti sottospazi (se ben definiti e rispetto alle topologie dello spazio am-biente) sono chiusi, connessi, compatti o limitati.

(i) (x, y) ∈ R2 : x3 + 3x2y + 2xy2 + y3 = 1;(ii) (x, y) ∈ C2 : x2 − 2y ≥ 0;(iii) (x, y) ∈ C2 : x2 − 2y2 − 4xy = 0;(iv) (x, y) ∈ R2 : x2 + 2y2 − 4xy = 0;(v) (x, y) ∈ R2 : x2 − 2y2 − 4xy = 0.

Sol: (a) L’insieme è chiuso (perché?). Sia s =xy. Se y = 0, si ha x3 = 1 =⇒ x = 1. Altrimenti, per y = 0,

si ha che c’è un omeomorfismo

X =(x, y) ∈ R2 : x3 + 3x2y + 2xy2 + y3 = 1, y = 0∼= (s, y) ∈ R2 : s3 + 3s2 + 2s + 1 =

1y3 , y = 0.

Nelle (s, y) con y = 0, si scrive anche

y =1

3√s3 + 3s2 + 2s + 1,

e dunque certamente non è limitato. L’insieme originale non può quindi essere compatto né limitato (perché?).La funzione s3 + s2 + 2s + 1 ha un solo zero, che chiamiamo s0 (basta calcolarne i valori –positivi– nei puntiin cui la derivata prima si annulla: −1 ±

√33); la curva di equazione y =

13√s3 + 3s2 + 2s + 1

ha un asintoto



§ 2. SECONDA PARTE 213

verticale in s0; è di grado dispari, quindi è negativa prima di s0 e positiva dopo s0; Si ha

(x, y) ∈ R2 : x3 + 3x2y + 2xy2 + y3 = 1= (x, y) ∈ R2 : x = ys, y = 0, y = (s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3, per s ∈ R, s = s0 ∪ (1, 0)=

(s(s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3, (s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3

): s ∈ R, s = s0 ∪ (1, 0)

Per s→ ±∞ si ha (s(s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3, (s3 + 3s2 + 2s + 1)−1/3

)→ (1, 0),

e dunque il sottoinsieme è connesso.(b) L’insieme non è ben definito, dato che il campo C non è ordinato (la disequazione x2 − 2y ≥ 0 non ha

senso).(c) La forma quadratica ha matrice associata [

1 −2−2 −2

],

il cui determinante è negativo: dunque esiste una trasformazione lineare (su C) che trasforma l’equazione inuna equazione del tipo x2 − y2 = 0: l’unione di due rette incidenti in C2. È chiuso, non limitato, non compatto,connesso (perché unione unione di due connessi con intersezione uguale a un punto).

(d) La forma quadratica ha matrice associata [1 −2−2 2

],

il cui determinante è negativo. Come sopra, esiste una trasformazione lineare (questa volta su R) che trasformal’equazione in una equazione del tipo x2 − y2 = 0. È chiuso, non limitato, non compatto, connesso (perchéunione unione di due connessi con intersezione uguale a un punto).

(e) Come per il punto (c). ///

§ 2. SECONDA PARTE





(21) Sia X = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili 2 × 2[a bc d

]e G il sottogruppo delle matrici

diagonali[α 00 β

]di GL(2, R) (e quindi con αβ = 0). Consideriamo l’azione di G su X data da

(g, x) 7→ g · x = gx

per ogni g ∈ G e x ∈ X (dove gx indica il prodotto righe per colonne delle matrici g e x). Determinare qualidelle seguenti matrici appartengono alla medesima G-orbita.[

0 11 0

],[−1 00 −1

],[0 −11 0

].

Sol: Due matrici[a bc d

]e[a′ b′c′ d′

]appartengono alla medesima G-orbita se esistono α, β in R ∖ 0 tali

che [α 00 β

] [a bc d

]=

[a′ b′c′ d′

].

Osserviamo quindi che [α 00 β

] [0 11 0

]=

[0 α

β 0

],[

α 00 β

] [−1 00 −1

]=

[−α 00 −β

].

Dal momento che non è possibile trovare α e β tali che[0 α

β 0

]=

[−1 00 −1

],

la prima e la seconda non stanno nella stessa orbita. Invece la prima e la terza stanno nella stessa orbita, datoche per α = −1 e β = 1 si ha [

0 α

β 0

]=

[0 −11 0

].

La seconda e la terza quindi non stanno nella stessa orbita: se così fosse se ne dedurrebbe che anche la primae la seconda stanno nella stessa orbita, ma abbiamo visto che questo è falso. ///

(22) Si consideri l’insieme X di tutte le rette del piano affine A2(R). Per ogni punto p ∈ A2(R) siaBp ⊂ X l’insieme di tutte le rette che passano per p. La famiglia di sottoinsiemi composta da tutti gli elementidi X e dai Bp è una base per una topologia? Se sì, qual è la topologia generata?

Sol: Ricordiamo che una famiglia di sottoinsiemi B ⊂ 2X di un insieme X si dice base se le seguentiproprietà sono soddisfatte:

(i) per ogni x ∈ X esiste almeno un elemento della base B ∈ B che contiene x (equivalentemente, X =∪B∈B B).

(ii) Se B1, B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2, allora esiste Bx ∈ B tale che x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 (equivalentemente, B1 ∩ B2è unione di elementi della base).




Per definizione tutti i punti (visti come insiemi di un elemento solo – sono rette affini, conunque) di X sonoelementi della base, per cui sicuramente la prima delle due condizioni è soddisfatta.

Per quanto riguarda la seconda, siano B1, B2 ∈ B e x ∈ B1 ∩ B2. Se B1 e B2 sono entrambi punti di X (cioèrette di A2), allora esiste x nell’intersezione se e solo se i punti coincidono, e quindi è verificata. Se B1 è unpunto di X (cioè una retta) e B2 è un fascio di rette (per un certo punto p di A2(R)), allora l’intersezione èvuota, e non c’è niente da verificare, se la retta non è del fascio; altrimenti l’intersezione è B1 stesso ed anchein questo caso la condizione è soddisfatta.

In ultimo, se B1 e B2 sono fasci di rette per i punti p1 e p2, allora se p1 = p2 la condizione è verificata,dato che B1 = B2. Altrimenti B1 ∩ B2 è l’insieme di tutte le rette che passano sia per p che per q. Questo è uninsieme con un solo elemento, e per definizione è della base.

L’insieme B è quindi una base di intorni per X. Dato che tutti i punti di X sono elementi della base, inparticolare sono aperti: uno spazio topologico i cui punti sono aperti ha necessariamente la topologia discreta.///

(23) Nello spazio proiettivo di dimensione 3 reale P3(R) si consideri l’insieme X di tutte le rette passantiper un punto fissato A. Si dimostri che l’insieme X è (in corrispondenza biunivoca con) uno spazio proiettivo(reale) di dimensione 2: determinare una biiezione tra X e un iperpiano di P3(R) che non contiene A.

Sol: Dal momento che un iperpiano di P3(R) è uno spazio proiettivo di dimensione 2, basta determinarela biiezione tra X e un iperpiano π non contenente A. Sia r ∈ X una retta per X. Questa ha uno e un solo puntodi intersezione con π. Infatti, se ne avesse due l’intera retta dovrebbe essere contenuta in π, ma questo è assurdodato che A ∈ π. Questo definisce una funzione f : X → π.

La funzione f è iniettiva: se due rette r1 e r2 passanti per A intersecano π nel medesimo punto, allora (datoche la retta per due punti è unica) le due rette coincidono. Se invece x ∈ π è un qualsiasi punto di π, alloraesiste (unica) la retta per x e A, e quindi esiste un elemento di X che viene mandato da f in x: f è suriettiva.///

(24) Nel piano euclideo E2 = R2 (con la topologia euclidea) si consideri la circonferenza C di equazione

(x − 2)2 + (y − 2)2 = 1

e la retta r di equazionex + y = 1.

Si determini la distanza d(C, r) di C da r, dimostrando (o assumendo) che

d(C, r) = inf|p − q| : p ∈ C, q ∈ r.

Sol: Siano pm ∈ C e qm ∈ r i punti che realizzano il minimo. Fissato pm, quindi qm è il punto di minimadistanza da pm e quindi il vettore qm − pm è ortogonale alla retta r. Ogni altro punto della retta ha distanzamaggiore strettamente. Ancora, fissato qm sulla retta, il punto pm sulla circonferenza deve appartenere alla rettapassante per il centro della circonferenza e qm ed ogni altro punto ha distanza strettamente maggiore. Quindi,bisogna trovare la retta per il centro della circonferenza ortogonale a r: essa è la bisettrice del primo quadrante.

I due punti sono quindi qm = (1/2, 1/2) e pm = (2−√

2/2, 2−√

2/2) e la loro distanza√

11/2 − 3√

2 = 32√

2− 1.///




(25) Si consideri la funzioneϕ : Z ×R→ R

definita ponendoϕ(k, x) = 2kx,

per ogni k ∈ Z e x ∈ R.

(i) La funzione ϕ definisce una azione di Z su R?

(ii) L’azione è fedele?

(iii) L’azione è transitiva?

(iv) Qual è lo stabilizzatore di 0 ∈ R? E di x = 0?

(v) Lo spazio quoziente (con la topologia quoziente) è compatto? Connesso?

(vi) Quali sono gli intorni aperti (nella topologia quoziente) della classe [0] dello spazio quoziente?

Sol: La funzione ϕ definisce una azione: basta osservare che ϕ(0, x) = 20x = x per ogni x e che ϕ(h +k, x) = ϕ(h, ϕ(k, x)), visto che

2h+kx = 2h2kx.L’azione è fedele: la mappa x 7→ 2kx è la mappa identica solo se k = 0. L’azione non è transitiva. Per esempio,k · 0 = 2k0 = 0 per ogni k ∈ Z. Lo stabilizzatore di 0 è Z, mentre lo stabilizzatore di un punto x = 0 è

k ∈ Z : 2kx = x ⇐⇒ 2k = 1 ⇐⇒ k = 0.

Lo spazio quoziente è compatto, perché immagine continua dell’intervallo [−1, 1] mediante la proiezione sulquoziente q : X → X/G, dove X = R e G = Z. Infatti, basta mostrare che q([−1, 1]) = X/G, cioè che ogniorbita di un punto di R ha intersezione non vuota con [−1, 1]. Ma per ogni x, esiste certamente k tale che|2kx| ≤ 1: basta prendere k → −∞. Analogamente, X/G è connesso perché immagine continua mediantela mappa quoziente q del connesso X = R. Gli intorni aperti della classe [0] ∈ X/G sono tutti gli insiemiU ⊂ X/G tali che q−1(U) è aperto di X. Ora, q−1([0] = 0, dato che 0 costituisce una G-orbita a sé. Ma seq−1(U) contiene 0 ed è aperto, allora contiene un intervallo (−ϵ , ϵ), con ϵ > 0. Ma, come per l’intervallo[−1, 1], ogni G orbita in X interseca l’intervallo (−ϵ , ϵ), e quindi U per essere aperto in X/G deve contenereogni orbita di X: l’unico intorno aperto di [0] in X/G è X/G. ///

(26) Si consideri lo spazio G di tutte le matrici della forma

Mt =

[1 t0 1

],

al variare di t ∈ R, con la topologia (metrica) di GL(2, R).

(i) Si dimostri che G è omeomorfo a R, e che è un gruppo topologico rispetto al prodotto di matrici.

(ii) Si determini GO = G ∩O(2) (cioè l’insieme di tutte le matrici Mt con Mt ortogonale).

(iii) Si faccia agire G su R2 con la moltiplicazione(Mt ,

[xy

])7→

[1 t0 1

]·[xy

].

Cosa sono le orbite di questa azione?




Sol: L’omeomorfismo cercato è f (t) =[1 t0 1

]. È una isometria e quindi un omeomorfismo. È anche un

omomorfismo di gruppi (uno additivo, l’altro moltiplicativo):G è un gruppo topologico isomorfo a R, rispettoal prodotto di matrici. Le matrici ortogonali sono solo l’identità. Le orbite dell’azione sono gli insiemi del tipo[

1 t0 1

]·[x0y0

]=

[x0y0

]+ t

[y00

],

quindi sono rette di R2, se y0 = 0. Altrimenti, sono i singoli punti dell’asse delle x (autospazio della matrice).///

(27) Una omotetia con centro Q e ragione q ∈ R è una mappa f : A2(R)→A2(R) definita da

P 7→ Q + q(P −Q).

Siano A, B,C tre punti nel piano affine A2(R) e l una retta di A2(R). Quali delle seguenti affermazioni sonovere? (Dimostrare quelle vere, fornire controesempi per quelle false.)

1 Se la retta l non passa per A, B, C, allora incontra due dei lati del triangolo ABC, oppure nessuno.

2 Supponiamo che la retta l passi per un punto A′ del lato AC e per un punto B′ del lato BC. La retta lè parallela al lato AB se e soltanto se il triangolo ABC è immagine del triangolo A′B′C mediante unaomotetia.

3 Date due costanti qA e qB, la composizione delle omotetie di centro A e ragione qA e di centro B e ragioneqB è una traslazione.

Sol: Supponiamo che l non passi per A, B eC e che incontri almeno uno dei lati in un puntoQ. Supponiamoche Q ∈ AB. Deve essere A = B (altrimenti Q = A = B), e quindi esiste un sistema di riferimento affine checontiene i due punto A e B. Nel sistema di riferimento si ha A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (a, b) per certia, b ∈ R. Allora Q = (q, 0), con q ∈ (0, 1). I tre punti sono allineati se e solo se b = 0, e la proposizione èfacilmente verificabile in questo caso. Altrimenti, possiamo considerare il riferimento affine formato dai puntiA, B e C, in cui a = 0, b = 1.

Se l è parallela a uno dei lati, per il teorema di Talete la proposizione è vera. Altrimenti, dato che inparticolare non è parallela a BC, supponiamo che l incontri la retta per BC, che ha equazione parametrica[

xy

]=

[10

]+ h

[−11

]in un certo punto di coordinate

(1 − h, h),

per un certo h ∈ R. Allora il punto sulla retta AC della retta l è quello (di coordinate (0, k) per un certo k ∈ R)tale che

(q, 0), (0, k), (1 − h, h)

sono allineati, cioè

det

q 0 1 − h0 k h1 1 1

= 0.




Con qualche conto si deduce che quindi

qk − qh − k + kh = 0 =⇒ k =qh

q − 1 + h.

Per ogni q ∈ (0, 1), la funzione fq(x) =qx

q − 1 + xè monotona decrescente (calcolare la derivata!), ha un

asintoto verticale in x = 1 − q > 0 e tende a q se x → ±∞. Inoltre fq(1) = 1. Quindi fq(x) ∈ (0, 1) se e solose x ∈ (0, 1), cioè l incontra BC (cioè h ∈ (0, 1) ) se e solo se l non incontra AC (cioè k ∈ (0, 1)).

Punto (b): la retta l è parallela a AB se e solo se B′ − A′ = q(B − A) per un certo q. L’omotetia (chenecessariamente ha centro in C) esiste se e solo se esiste q tale che

A′ = C + q(A−C), B′ = C + q(B −C).

Esistono certamente qA e qB compresi tra 0 e 1 tali che A′ = C + qA(A−C), B′ = C + qB(B −C). Quindi

B′ − A′ = qB(B −C) − qA(A−C),

e l è parallela a AB se e solo se

qB(B −C) − qA(A−C) = q(B − A) = q(B −C) − q(A−C)

per un q ∈ R. Ma B −C e A−C sono linearmente indipendenti, e quindi questo accade solo se

qB = q = qA,

cioè se e soltanto se è possibile definire l’omotetia.Per il (c): in generale la composizione di due omotetie non è una traslazione: basta prendere due omotetie

con lo stesso centro. Una traslazione non banale non ha punti fissati, mentre ogni omotetia fissa il centro. Se icentri A e B sono diversi, può essere che la composizione sia una traslazione:

P 7→ A+ qA(P − A) = P′ 7→ B + qB(P′ − B) = B + qB(A+ qA(P − A) − B)= B + qB(A− B) + qBqA(P − A)= P + (B − P + qBA− qBB + qBqAP − qBqAA)

e basta che sia qAqB = 1 per avere la traslazione

P 7→ P + (1 − qA)(B − A).

///

(28) In E3, si consideri il piano p passante per i tre punti A = (1, 2, 0), B = (2, 0, 1) e C = (0, 1, 2).

1 Scrivere l’equazione cartesiana e parametrica del piano.

2 Calcolarne la distanza dall’origine e dal punto (1, 2, 3).

3 Determinare le proiezioni su piano p dei punti (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).




Sol: L’equazione parametrica è 1 + s − t

2 − 2 s − t

s + 2 t

,

l’equazione cartesiana èx + y + z = 3.

La distanza dall’origine e dal punto (1, 2, 3) è√

3. Le proiezioni su p dei punti (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1)sono 1/3(5, 2, 2) e le sue permutazioni cicliche (perché?).///

(29) Sia r la retta di E2 passante per (1, 0) e (0, 2). Si scrivano le equazioni delle seguenti isometrie:

1 Riflessione attorno a r.

2 Le traslazioni che mandano r in sé.

3 Le rotazioni che mandano r in sé.

4 Descrivere, se possibile, il gruppo di tutte le isometrie che mandano r in sé, e il suo sottogruppo di tuttele isometrie che mandano ogni punto di r in sé.

Sol: a) L’equazione parametrica della retta r è[xy

]=

[10

]+ t

[−12

].

Quindi la proiezione di un punto P = (x, y) su r è

projr(P) =[10

]+

[[xy

]−

[10

]]·[−12

]12 + 22

[−12

]=

15

[[42

]+

[1 −2−2 4

] [xy

]]Allora il punto riflesso è

P′ = projr(P) + (projr(P) − P)

=25

[[42

]+

[1 −2−2 4

] [xy

]]−

[xy

]=

25

[42

]+

[25

[1 −2−2 4

]−

[1 00 1

]] [xy

]=

[8/54/5

]+

[−3/5 −4/5−4/5 3/5

] [xy

].

b) Sia A = (1, 0) e B = (0, 2). Una traslazione che manda r in sé deve mandare A in un punto A′ dellaretta, e quindi le traslazioni sono tutte e sole quelle che si scrivono come

P 7→ P + c(B − A)




per un certo c ∈ R, e quindi si scrivono come[xy

]7→

[xy

]+ c

[−12

].

c) Se una rotazione R (non banale) manda la retta r in sé, allora il centro della rotazione deve essere sullaretta. Infatti, per assurdo, supponiamo che una rotazione non banale con centro in C ∈ r mandi r in sé. Sia Q ilpunto di r con distanza minima da C (cioè la proiezione ortogonale di C su r), e Q′ la sua immagine mediantela rotazione. Dato che una rotazione conserva le distanze, la distanza di Q′ da C è uguale alla distanza diQ da C, e quindi deve essere Q′ = Q, visto che il punto con distanza minima è unico. Quindi la rotazioneR fissa i due punti distinti C e Q, e questo è assurdo perché rotazioni non banali fissano solo il centro dirotazione. Ora, supponiamo che C sia sulla retta r. Un punto P ∈ r deve andare in un altro punto P′ di r taleche P′ −C = k(P −C) (dato che C, P e P′ sono allineati) e |P′ −C|2 = |P −C|2 (dato che una rotazione è unaisometria). Quindi k = −1 (altrimenti la rotazione è banale) e la rotazione è di angolo π. Scriviamo la rotazionedi angolo π attorno a un punto C: è la riflessione rispetto a C, quindi si scrive come

P 7→ C + (C − P).

Dato che C = (1 − t, 2t) per un certo t ∈ R, la rotazione si scrive come[xy

]7→ 2

[1 − t2t

]−

[xy

]d) Le isometrie che mandano r in sé contengono la riflessione a), le traslazioni b) e le rotazioni c), piú tutte

le loro composizioni. Ce ne sono altre? Supponiamo che f : E2 → E2 sia una isometria che manda r in sé. SiaA′ = f (A) ∈ r. Allora la composizione

P 7→ f (P) 7→ f (P) − (A′ − A)

è una isometria f ′ che manda A in f (A) − A′ + A = A. La matrice associata M è ortogonale (dato che èuna isometria). Se det(M) = 1 (cioè se M ∈ SO(2)), allora f ′ è una rotazione attorno ad A di angolo π. Sedet(M) = −1, allora f ′ è una riflessione lungo una retta: può essere la riflessione lungo r o lungo la rettar′ ortogonale a r passante per A. Se G è quindi il gruppo generato dalle riflessioni lungo le due rette r e r′(gruppo con 4 elementi), necessariamente f ′ è un elemento del gruppo G. Ne segue che il gruppo cercato haper elementi le isometrie

P 7→ gA(P) + c(B − A),

dove gA ∈ G e c ∈ R. L’unico elemento che manda ogni punto di r in sé è la riflessione lungo r, ed è unsottogruppo del gruppo di tutte le isometrie. Esercizio: dimostrare che è un gruppo. ///

(30) In P3(R) con coordinate omogenee [x0 : x1 : x2 : x3], sia Q il punto [0 : 1 : 1 : 1], H e H′ i pianiH = x1 = 0 e H′ = x2 = 0.

1 Si scriva, in coordinate affini (rispetto a opportune carte) la proiezione prospettica f da H a H′ concentro in Q.

2 Si consideri in H (con coordinate proiettive [x0 : x2 : x3]) la retta di equazione x2 = x3. Qual è la suaimmagine in H′?




3 Si consideri in H la conica di equazione x0x2 = x23. Qual è la sua immagine in H′?

Sol: Si consideri il piano all’infinito x0 = 0, e le coorispondenti coordinate affini (x, y, z) di A3(R) ⊂P3(R).

a) Siano (y, z) le coordinate affini della parte affine di H (che è il piano yz) e (x, z) la coordinate affinidella parte affine di H′ (che è il piano xz). Se P = (0, y, z) è un punto di H, la retta per P e Q ha punti0yz

+ t

111 ,

e passa per H′ se y + t = 0. La proiezione prospettica è quindi0yz 7→

x′

0z′

= −y

0z − y

.

Ora, da x′ = −y e z′ = z − y deduciamo che y = −x′ e z = z′ − x′, e quindi:b) l’equazione dell’immagine della retta y = z in H′ è

−x′ = z′ − x′ ⇐⇒ z′ = 0.

c) Analogamente, l’equazione dell’immagine della conica di equazione y = z2 (è una parabola) è

−x′ = (z′ − x′)2 ⇐⇒ z′2 + x′2 − 2z′x′ + x′ = 0.

///

(31) Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici 2× 2 invertibili a coefficienti reali, e X lo spazio di tutte lematrici 2 × 2 a coefficienti reali. Sia φ : G × X → X la funzione

φ(A, M) = AMA−1,

definita per ogni A ∈ G e ogni M ∈ X.

(i) Mostrare che è una azione di G su X.

(ii) L’azione è transitiva?

(iii) Si calcoli lo stabilizzatore della matrice identica[1 00 1

], e si dica se è un sottogruppo compatto.

(iv) Lo stabilizzatore di J =[0 −11 0

]è un sottogruppo compatto?

Sol: (a): Occorre verificare le due proprietà (esercizio).(b): L’azione non è transitiva, dato che, per esempio det(AMA−1) = det(M) (e quindi matrici in una stessa

orbita hanno lo stesso determinante). Non tutte le matrici hanno lo stesso determinante (di conseguenza nonsono tutte simili tra loro), e quindi non c’è una sola orbita. Due matrici sono nella stessa orbita se e solo se sonosimili. (c) Lo stabilizzatore della matrice identica è tutto G. (d) Lo stabilizzatore di J non è un sottogruppo

compatto, dato che contiene tutti i multipli della matrice identica[c 00 c

], con c ∈ R. ///




(32) Si consideri lo spazio G di tutte le matrici 3× 3 della forma Mt =

1 0 t0 1 00 0 1

, al variare di t ∈ R, con

la topologia (metrica) di GL(3, R).

(i) Si dimostri che G è omeomorfo a R, e che è un gruppo topologico rispetto al prodotto di matrici.

(ii) Si determini GO = G ∩O(3) (cioè l’insieme di tutte le matrici Mt con Mt ortogonale).

(iii) Si faccia agire G su R3 con la moltiplicazione matrice/vettore. Cosa sono le orbite di questa azione?

Sol: L’om(e)omorfismo è t 7→

1 0 t0 1 00 0 1

. Le matrici ortogonali sono quelle (quella) con t = 0. Le orbite

sono rette di R3, oppure punti (del piano z = 0). ///

(33) Sia Y l’insieme di tutte le rette affini di A2(R). Si consideri la mappa g : Y → P2(R) che associaalla retta di equazione ax + by + c = 0 la terna di coordinate omogenee [a : b : c].

(i) Mostrare che la funzione g è ben definita e iniettiva.

(ii) Determinare l’immagine di g in P2(R).

(iii) Sia A un punto qualsiasi di A2(R), e X ⊂ Y l’insieme delle rette per A (fascio di rette per un punto).Mostrare che l’immagine di X in P2(R) è una retta proiettiva.

(iv) Mostrare che tre punti P = (x, y), A = (xA, yA) e B = (xB, yB) di A2(R) sono allineati se e soltanto seil determinante della matrice x xA xB

y yA yB1 1 1

è uguale a zero.

Sol: (a) La funzione g è ben definita: i coefficienti di una equazione non possono essere tutti nulli, e seax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 sono due equazioni della medesima retta r, allora se A e B sono due puntidistinti di r, di coordinate (xA, yA) e (xB, yB), si ha

axA + byA + c = 0axB + byB + c = 0

a′xA + b′yA + c′ = 0a′xB + b′yB + c′ = 0.

Ora, A = B se e soltanto se (xA, yA, 1) e (xB, yB, 1) sono linearmente indipendenti. Quindi il rango della matrice

M =[xA yA 1xB yB 1

]è uguale a due, e il nucleo dell’applicazione lineare indotta da M : R3 → R2 ha dimensione uguale a 1. Ma[

xA yA 1xB yB 1

] abc = 0




se e soltanto se axA + byA + c = 0axB + byB + c = 0,

e quindi se (a, b, c) e (a′, b′, c′) sono entrambe nel nucleo di M sono linearmente dipendenti, cioè esiste λ taleche a′ = λa, b′ = λb e c′ = λc, cioè [a : b : c] = [a′ : b′ : c′]. La funzione è anche iniettiva: infatti se r er′ sono due rette di equazioni ax + by + c e a′x + b′y + c′ rispettivamente, allora g(r) = g(r′) se e soltanto se[a : b : c] = [a′ : b′ : c′]. Ma la retta r′ di equazione λax + λby + λc = 0 coincide con la retta r, dunque r = r′.

(b) Se ax + by+ c = 0 è l’equazione di una retta, allora (a, b) = (0, 0). L’immagine di g in P2(R) è quindil’insieme dei punti [a : b : c] tali che (a, b) = (0, 0), cioè il complementare del punto [0 : 0 : 1] ∈ P2(R).

(c) Il fascio di rette X per un punto A di coordinate (xA, yA) ha per immagine l’insieme dei punti [a : b : c]di Y tali che axA + byA + c = 0, cioè è l’intersezione di Y con una retta proiettiva di P2(R) (l’equazione ina, b, c è omogenea di primo grado).

(d) Supponiamo che i tre punti P, A, B siano distinti. Essi sono allineati se e soltanto se esiste t ∈ R taleche P = A+ t(B − A), se e soltanto se P − A e B − A sono linearmente dipendenti. Ma dato che

det

x xA xBy yA yB1 1 1

= det

x − xA xA xB − xAy − yA yA yB − xA1 − 1 1 1 − 1

= − det[x − xA xB − xAy − yA yB − yA

]

questo accade se e soltanto se il determinante in questione è zero. Se invece i tre punti non sono distinti, allorasono certamente allineati e il determinante è certamente zero. Allo stesso risultato si perviene se si considerache nella chiusura proiettiva i punti A = [xA : yA : 1], B = [xB : yB : 1] e P = [x : y : 1] sono allineati se esoltanto se i tre vettori delle coordinate omogenee sono linearmente dipendenti. ///

(34) Sia S1 ⊂ E2 una circonferenza di raggio 1 nel piano euclideo, e Y l’insieme di tutte le rette diE2, come nell’esercizio precedente. Si dia a Y la topologia indotta da quella di P2(R), mediante l’inclusioneg(Y) ⊂ P2(R). Sia X = (A, B) ∈ S1 × S1 : A = B e f : X → Y la mappa che associa alla coppia di punti(A, B) la retta che passa per A e B. Allora:

(i) La funzione f è ben definita e continua.

(ii) Esiste una funzione continua f : S1 × S1 → Y di cui f è la restrizione.

(iii) Per ogni punto A della circonferenza la retta f (A, A) è tangente alla circonferenza in A (cioè intersecaS1 in un solo punto).

(iv) L’immagine di f in Y (e quindi in P2(R) mediante g) è un sottospazio chiuso?

Sol: (a) La funzione f è ben definita perché per due punti distinti di E2 esiste unica la retta r ∈ Y per questipunti. Per mostrare che è continua, consideriamo la composizione con g, gf : X → P2(R). Se A = (xA, yA) eB = (xB, yB), allora la retta f (A, B) ha equazione

det

x xA xBy yA yB1 1 1

= (yA − yB)x − (xA − xB)y + (xAyB − yAxB) = 0,

e quindigf (A, B) = [yA − yB : xB − xA : xAyB − yAxB].




Le componenti sono tutte polinomi (di primo e secondo grado) e quindi f (e quindi gf ) è continua.(b) La funzione continua f è definita semplicemente da

f (A, B) = g−1[yA − yB : xB − xA : xAyB − yAxB].

Poniamo xA = cosα, yA = sin α, xB = cos β, yB = sin β. Quindi

f (A, B) = g−1[sin α − sin β : cos β − cosα : cosα sin β − cos β sin α]= [sin α − sin β : cos β − cosα : sin(β − α)]

Ricordiamo le formule di prostaferesi? Le usiamo per il prossimo passaggio.

= [2 cosα + β

2sin

α − β2

: 2 sinα + β

2sin

α − β2

: sin(β − α)]

= [2 cosα + β

2: 2 sin

α + β

2:

sin(β − α)

sin(α − β

2)]

Ora, se poniamo β − α = δ, si ha che A→ B se e soltanto se δ → 0, e quindi occorre considerare il limite perδ → 0 del punto in P2(R)

[2 cos2α + δ

2: 2 sin

2α + δ2

:sin δ

sin(−δ2)],

che tende a[2 cosα : 2 sin α : −2] = [cosα : sin α : −1].

Quindi f è ben definita e continua.(c) Se A = (cosα, sin α), per quando visto sopra l’equazione della retta f (A, A) è

x cosα + y sin α = 1,

che è ortogonale alla direzione (cosα, sin α) e incontra la circonferenza nel solo punto A, dato che x cosα + y sin α = 1x2 + y2 = 1

⇐⇒ sin2 αx2 + 1 + x2 cos2 α − 2x cosα = sin2 α

cioèx2 − 2x cosα + cos2 α = 0.

La soluzione è unica dato che∆ = 4 cos2 α − 4 cos2 α = 0,

ed è A dato che cos2 α + sin2 α = 1.(d) L’immagine di f in Y è l’immagine di S1 × S1 mediante una funzione continua. Dato che S1 è compatto,

anche S1 × S1 è compatto, e quindi l’immagine di f è compatto. Un compatto in uno spazio di Hausdorff èchiuso, e perciò l’immagine è un chiuso dato che P2(R) è Hausdorff.///

(35) Si considerino in A2(C) i tre punti A = (1, i), B = (1,−i), C = (i,−1).




(i) Determinare se i punti A, B e C sono allineati.

(ii) Siano rAB, rAC e rBC le tre rette per A, B, per A, C e per B, C rispettivamente. Si scrivano le equazionicartesiane delle tre rette.

(iii) Si consideri la funzione biunivoca f : E4 →A2(C), definita ponendo

(x, y, u, v) 7→ (x + iy, u + iv).

Mostrare che f −1(r) è un sottospazio affine (un piano) di E4, se r è una retta di A2(C).

(iv) Determinare l’area del triangolo con vertici f −1A, f −1B, f −1C.

(v) È vero che tre punti di A2(C) sono allineati (in A2(C)) se e soltanto se le rispettive controimmagini inE4 mediante f sono allineate?

Sol: (a) I punti sono allineati se e solo se

0 = det

1 i 11 −i 1i −1 1

= det

0 i 10 −i 1

i − 1 −1 1

= 2i(i − 1) = 0,

e quindi non sono allineati.(b) Utilizziamo il punto (d) del primo esercizio (nel caso complesso la dimostrazione è identica). Le

equazioni cercate sonorAB : x − 1 = 0rAC : (1 + i)x − (1 − i)yrBC : (1 − i)x − (1 − i)y.

(c) Sia r la retta diA2(C) di equazione az+bw+ c = 0, se (z, w) sono le coordinate diA2(C). I coefficientia, b, c sono complessi, e (a, b) = (0, 0). La controimmagine f −1(r) è uguale all’insieme

(x, y, u, v) : a(x + iy) + b(u + iv) + c = 0.

Se a = a1 + ia2, b = b1 + ib2 e c = c1 + ic2, con a j , b j e c j coefficienti reali, si ha che

a(x + iy) + b(u + iv) + c = (a1 + ia2)(x + iy) + (b1 + ib2)(u + iv) + c1 + ic2)

= a1x − a2y + b1u − b2v + c1 + i (a1y + a2x + b1v + b2u + c2) .

Quindi f −1r è l’insieme dei punti (x, y, u, v) che soddisfano le equazioni a1x − a2y + b1u − b2v + c1 = 0a1y + a2x + b1v + b2u + c2 = 0,

e quindi è un sottospazio affine. Certamente ci sono soluzioni, dunque si tratta di un piano se il rango dellamatrice dei coefficienti [

a1 −a2 b1 −b2a2 a1 b2 b1

]è uguale a due. Se fosse uno, il determinante di tutti i minori 2 × 2 sarebbe zero, e dunque si avrebbe

0 = det[a1 −a2a2 a1

]= a2

1 + a22 = |a|2, 0 = det

[b1 −b2b2 b1

]= b2

1 + b22 = |b|2




da cui segue che a = b = 0, il che contraddice l’ipotesi (a, b) = (0, 0).(d) I tre punti hanno coordinate

f −1A =

1001

, f −1B =

100−1

, f −1C =

01−10

.

Il triangolo è quindi definito dai due vettori

a =

1001

−

100−1

=0002

, b =

01−10

−

100−1

=−11−11

.

Il quadrato dell’altezza èb2 − b2,

dove b è la proiezione di b su a, cioè

b =b · aa · a a =

24

a = (0, 0, 0, 1).

Quindib2 − b2 = 4 − 1 = 3.

L’area è quindi12√

32 =√

3. In realtà è facile vedere che si tratta di un triangolo equilatero con lato 2, anche

solo calcolando le distanze tra punti, che quindi ha area√

3.(e) I due vettori B − A, C − A sono dipendenti su C se esiste un λ ∈ C tale che B − A = λ(C − A). D’altro

canto f −1B − f −1A, f −1C − f −1A sono allineati se esiste un λ ∈ R tale che f −1B − f −1A = λ( f −1C − f −1A).Quindi se sono allineati in A4(R), allora lo sono anche in A2(C). Viceversa, potrebbero essere allineati conun λ ∈ C ∖ R, come per esempio i tre punti A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (i, 0), e non esserlo i corrispondentipunti in A4(R), che in questo ultimo esempio sarebbero

0000

,

1000

,

0100

.

///

(36) Siano A, B, C e D punti indipendenti (dal punto di vista affine) di A3(K), dove K è R oppure C.

(i) Mostrare che ogni sottoinsieme di 3 punti scelti tra i quattro punti A, B, C, D è indipendente (dal puntodi vista affine).

(ii) Siano πBCD, πACD, πABD e πABC i piani per B, C, D, per A, C, D, per A, B, D e per A, B, C rispettivamente,e X la loro unione X = πBCD ∪ πACD ∪ πABD ∪ πABC . Determinare l’ordine del gruppoG formato da tuttele affinità di A3(K) che mandano X in sé.




(iii) Quanti elementi di G fissano almeno uno dei 4 punti? Quanti esattamente uno?

(iv) Si determini l’insieme dei punti di A3(K) fissati da tutti gli elementi di G, cioè

x ∈A3(K) : ∀g ∈ G, gx = x.

Sol: (a) Quattro punti sono indipendenti dal punto di vista affine se il piú piccolo sottospazio affine che licontiene ha dimensione 3. Se per assurdo esistesse un sottoinsieme di tre punti non indipendenti, per esempioA, B e C, allora A, B e C sarebbero allineati, cioè esisterebbe una retta l che li contiene. Ma data la retta l eil punto D al di fuori da essa, esiste unico il piano che le contiene, e questo sarebbe un sottospazio affine checontiene tutti i punti (A, B, C perché contiene tutti i punti di l, e D per costruzione).

(b) Le affinità mandano piani in piani. Sia g : A3(K) → A3(K) una affinità. Dato che A, B, C sonoindipendenti, anche le immagini gA, gB, gC sono indipendenti, e generano il piano affine π che è immaginedel piano πABC . Se g manda X in sé, deve mandare il piano πABC in un piano π che è tutto contenuto inX. Ora, se il piano π è contenuto in X, allora π è uguale a uno dei quattro piani πBCD, πACD, πABD e πABC .Infatti, se per assurdo cosí non fosse, si dovrebbe avere che l’intersezione di π con ognuno dei quattro pianiha dimensione al massimo 1, e quindi il piano π sarebbe l’unione di quattro sottospazi affini di dimensione alpiú uno, e questo è assurdo. Quindi g induce una corrisondenza biunivoca tra i quattro piani. Segue che mandal’intersezione di due piani nell’intersezione di due piani, e l’intersezione di tre piani nell’intersezione di trepiani. Dato che i punti A, B, C, D sono intersezioni di tre piani distinti (per esempio A = πACD ∩ πABD ∩ πACD),g induce una permutazione tra i punti A, B, C, D. Ora, per ogni permutazione dei punti A, B, C, D esiste unaunica affinità f che induce tale permutazione, e tale f manda X in sé. Abbiamo appena mostrato che le affinitàche mandano X in sé sono in corrispondenza biunivoca con le permutazioni dei quattro punti A, B, C, D (è unisomorfismo di gruppi, dato che la composizione di permutazioni corrisponde alla composizione di affintà),che sono 4! = 4 · 3 · 2 = 24.

(c) Le permutazioni di quattro elementi A, B, C, D che fissano esattamente uno dei punti sono tante quanteil numero dei punti moltiplicato per le permutazioni di tre elementi che non fissano alcun punto, cioè le ottoseguenti: ACDB, ADBC,CBDA, DBAC, BDCA, DACB, BCAD,CABD. Quelle che fissano almeno un puntosono tutte meno quelle che non fissano nessun punto, cioè tali che gA = A, gB = B, gC = C e gD = D.Queste sono le nove seguenti: BADC, BCDA, BDAC,CADB,CDAB,CDBA, DABC, DCAB, DCBA. Quindici sono in tutti 24− 9 = 15 permutazioni che fissano almeno un punto. Oppure sono tutte quelle che fissano unpunto (le 8 di prima), piú quelle che ne fissano esattamente due (quelle che ne fissano tre ne fissano per forzaquattro). Quelle che ne fissano esattamente due sono tante quante i sottoinsiemi di due elementi dell’insieme

A, B, C, D, cioè (42) =

4!2!2!

=244= 6. Quindi in totale sono 8 + 6 + 1 = 15. Problema: quante sono in

generale le permutazioni di n punti che non ne fissano nessuno? Quante quelle che ne fissano almeno uno?Che ne fissano esattamente uno?

(d) L’insieme Y dei punti di A3(K) fissato da tutti gli elementi di G si trova come segue. Si prendano ipunti A, B, C, D come riferimento affine. Se A è l’origine, essere invariante rispetto alle permutazioni dei trepunti B, C, D significa che le tre coordinate dei punti fissati da G in questo sistema di riferimento sono uguali,cioè che i punti di Y stanno sulla retta che congiunge A con il baricentro di BCD. Lo stesso deve valere per ognialtro punto, e quindi Y è contenuto nelle intersezioni delle rette che congiungono i vertici con i baricentri dellefacce opposte: ma queste si incontrano nel baricentro di ABCD, cioè nel punto di coordinate

A+ B +C + D4

(coordinate baricentriche).(Come nell’esercizio precedente, è possibile cercare qualcosa di computazionale per aiutarsi – un esempio

è il codice che segue)




lettere=['A','B','C','D']

def permutazioni(seq) :if len(seq) == 0 :

yield ()else :

for i in range(0, len(seq)) :for rest in permutazioni(seq[:i] + seq[i+1:]) :

yield (seq[i],) + rest

def fissa_almeno_uno(p):for i in range(len(p)):if p[i] == lettere[i]: return Truereturn False

def fissa_esattamente_uno(p):numero_fissi=0for i in range(len(p)):if p[i] == lettere[i]: numero_fissi += 1return numero_fissi == 1

def fissa_nessuno(p):for i in range(len(p)):if p[i] == lettere[i]: return Falsereturn True

def stampa(p):return ''.join(p)

for p in permutazioni( lettere ):s= ''.join(p) + ": "if fissa_almeno_uno(p): s += " *"if fissa_esattamente_uno(p): s += "!"if fissa_nessuno(p): s += "-"print s

///A proposito di componenti connesse: in posizione generale (cioè supponendo che le rette si intersechino

sempre due per volta), sia f (n) il numero di componenti connesse del complementare dell’unione di n rettenel piano. Si ha f (1) = 2, f (2) = 4 e f (3) = 7. Si veda la figura A.1 a pagina 229. Può essere che il numero

di componenti f (n) è uguale an2 + n + 2

2(a patto che le rette si incontrino sempre due a due)? Perché?

(37) Descrivere le orbite e lo spazio quoziente delle seguenti azioni di G su X (quando e se sono azioni).

(i) G = C∗ = z ∈ C : z = 0, X = C, per g ∈ G e z ∈ X si ponga poi g · z = gz (moltiplicazione di numericomplessi);

(ii) G = R, X = C, con prodotto t · z = et+itz per ogni t ∈ G e per ogni z ∈ X.

(iii) G = Z, X = C, con prodotto k · z = ekz per ogni k ∈ Z e per ogni z ∈ X.

(iv) G = Z, X = R, con prodotto k · x = k + x per ogni x ∈ X e k ∈ G.

(v) G = Z, X = R, con prodotto k · x = kx per ogni x ∈ X e k ∈ G.




Figura A.1: Il complementare dell’unione di n rette ha . . . componenti connesse.




Sol: (a) Se z1 e z2 sono due numeri complessi e z2 = gz1 per un g = 0, g ∈ C, allora o sono entrambiuguali a zero, oppure entrambi diversi da zero. L’orbita di 0 è chiaramente 0. L’orbita di 1 è C ∖ 0. Quindici sono esattamente due orbite. Lo spazio quoziente X/G ha perciò due punti: [0] e [1]. La topologia di X/G:U ⊂ X/G è aperto se e soltanto se la sua controimmagine in X = C è aperta. Sappiamo che ∅ e X/G sonoaperti, per definizione. La controimmagine di [0] è l’orbita di 0, che è 0, che non è aperto: [0] non è aperto.La controimmagine di [1] è l’orbita di 1, che è C ∖ 0 = C∗, che è aperto in C, e quindi [1] è aperto in X/G.Quindi gli aperti sono:

∅ = , [1], [0], [1] = X/G.

(b) Se z = 0, l’orbita et+it0 è 0. Altrimenti, se z = 0, la mappa

t 7→ et+itz

è iniettiva, e descrive una spirale in C (perché?). Osserviamo che se Y ⊂ X è una orbita, allora esiste sempreuno e un solo numero complesso di norma 1 in Y . Infatti, si ha (per z = 0)

|et+itz| = et |z|,

e dunque et |z| = 1 se e soltanto se et = |z|−1 ⇐⇒ t = − ln |z|. Quindi le orbite sono in corrispondenzabiunivoca con i punti di

(S1 ∪ 0

)⊂ C, dove S1 = z ∈ C : |z| = 1. Lo spazio quoziente contiene una

copia (omeomorfa?) di S1, e un punto extra (l’orbita [0]). Consideriamo un intorno U ⊂ X/G di [0]. La suacontroimmagine U mediante la proiezione del quoziente è un aperto di C che contiene 0, e dunque contieneun disco di raggio ϵ > 0. Ora, per ogni z ∈ C ∖ 0 esiste un t ∈ R tale che

|et+itz| < ϵ ,

e quindi l’intersezione di U con ogni orbita è non vuota. Ma se U contiene un punto di una orbita, alloracontiene anche tutta l’orbita di questo punto: segue che U = C. Cioè l’unico intorno (aperto) di X/G checontiene l’orbita [0] è tutto X/G. Segue che X/G non è Hausdorff.

(c) Le orbite di punti z = 0 sono insiemi discreti di punti, che si accumulano in 0 ∈ C, allineati lungosemirette per l’origine e per z. Invece 0 ha per orbita sé stesso. Due punti z1 e z2, scritti in coordinate polari

z1 = r1eiθ1 z2 = r2eiθ2

stanno nella stessa orbita se e soltanto se

r2eiθ2 = ekr1eiθ1 ⇐⇒ r2 = ekr1

θ2 = θ1 mod 2π.⇐⇒

ln r2 = k + ln r1

θ2 = θ1 mod 2π.

Quindi X/G contiene una copia (perché? è copia omeomorfa?) di un toro, e la orbita [0]. Analogamente alpunto precedente, [0] ∈ X/G non ha altri intorni aperti a parte X/G.

(d) Le orbite sono traslati a coordinatre intere, il quoziente è S1 (già visto a lezione).(e) Non è una azione. ///

(38) Siano A = (1, 1, 1), B = (−1,−1, 1), C = (1,−1,−1) e D = (−1, 1,−1) quattro punti dello spazioeuclideo E3.

(i) Sono indipendenti (dal punto di vista affine)?




(ii) Sia G il gruppo di tutte le isometrie che mandano l’insieme dei 4 punti A, B, C, D in sé. Dimostrareche G è finito.

(iii) Determinare le (42) distanze reciproche.

(iv) Calcolare il volume del tetraedro ABCD e la sua area laterale.

Sol: (a) Si haA− D = (2, 0, 2)B − D = (0,−2, 2)C − D = (2,−2, 0),

con determinante della matrice

det

2 0 20 −2 −22 2 0

= 16 = 0,

dunque sono indipendenti dal punto di vista affine.(b) Ogni isometria è in particolare una affinità. Le affinità che mandano l’insieme dei 4 punti in sé costi-

tuiscono un gruppo finito di ordine 24 = 4! (isomorfo al gruppo di permutazioni di quattro elementi – si vedail compito del mese di giugno 2008). Quindi G è un sottogruppo di un gruppo finito, ed è a sua volta finito.

(c) Le (42) =

4!2!2! = 6 distanze reciproche sono

|A− D| = |(2, 0, 2)| = 2√

2

|B − D| = |(0,−2, 2)| = 2√

2

|C − D| = |(2,−2, 0)| = 2√

2

|A− B| = 2√

2

|B −C| = 2√

2

|C − A| = 2√

2.

Si tratta quindi di un tetraedro regolare, e quindi ogni affinità che manda l’insieme dei vertici A, B, C, D insé è anche una isometria (perché?).

(d) Il volume è

16

det

2 0 20 −2 −22 2 0

= 166=

83

.

L’area di una delle sue facce (triangoli equilateri) è uguale a 2√

3. La superficie laterale è quindi 6√

3, lasuperficie totale 8

√3. Il baricentro della faccia ABC è

13

111

+−1−11

+ 1−1−1

= 1

3

1−11

,

quindi l’altezza del tetraedro è la norma del vettore

13

1−11

−−1

1−1

= 4/3−4/34/3

,




che è uguale a4√

33

. Il volume è quindi uguale a

13· 2√

3 · 4√

33=

83

,

come sopra. ///

(39) Si consideri inE2 la conica γ di equazione x2 − y2 = 1. SiaG il gruppo di tutte le affinità chemandanoγ in sé.

(i) Determinare quali elementi di G sono anche isometrie.

(ii) G è un sottogruppo chiuso di GL(2, R)?

(iii) G è compatto?

(iv) L’azione di G su A2(R) è transitiva? G contiene traslazioni?

(v) G è connesso?

(vi) Determinare se G agisce transitivamente su γ.

Sol: Osserviamo che i due asintoti di γ (le rette di equazioni x ± y = 0) sono le uniche rette di E2 che nonintersecano γ e che passano per i punti all’infinito di γ: infatti il sistema si riduce all’equazione x2 − y2 = 1

y = ax + b.=⇒ x2 − (ax + b)2 = 1

(1 − a2)x2 − 2abx + b2 − 1 = 0.

Questa, se a2 = 1, ha certamente soluzioni se b = 0. Altrimenti, se b = 0, non ha soluzioni. Ora, se una affinitàmanda γ in sé, allora deve mandare anche i suoi due asintoti in sé. In particolare, l’intersezione dei due asintotideve rimanere fissa, e quindi l’affinità si scrive come

x 7→ Ax

con A =[a bc d

]matrice invertibile. Nel sistema di riferimento dato dai due asintoti, l’equazione di γ risulta

st =12, dove le coordinate sono

s =

1√

2(x + y)

t =1√

2(x − y)

⇐⇒[st

]=

1√

2

[1 11 −1

] [xy

].

Lavoriamo nelle coordinate (s, t), invece che nelle (x, y).(a) Le rotazioni che mandano i due assi s e t in sé sono le quattro rotazioni di angolo 0, π/2, π e −π/2. Solo

le rotazioni di angolo 0 (l’identità) e di angolo π mandano γ in sé. Le riflessioni che mandano gli assi in sé




sono le due riflessioni lungo gli assi (che però non mandano l’iperbole in sé), e le riflessioni lungo le bisettrici(che mandano γ in sé). In totale quindi le isometrie di G sono rappresentate dalle quattro matrici

1 =[1 00 1

], −1 =

[−1 00 −1

], R1 =

[0 11 0

], R2

[0 −1−1 0

].

Le prime due sono rotazioni (e quindi in SO(2)), le seconde riflessioni (con determinante −1).(b) Il gruppo G è formato da tutte le matrici A tali che

At[0 11 0

]A =

[0 11 0

].

Si tratta quindi della controimmagine di[0 11 0

]mediante la funzione (continua)

A 7→ At[0 11 0

]A.

La controimmagine di un punto (che è chiuso) è un chiuso, e dunque G è chiuso.Sia K ⊂ G il sottogruppo di G formato dalle isometrie di G. Ora, se A è una matrice tale che Aγ = γ, A

induce una permutazione tra i quattro quadranti del piano (s, t) (dato che manda gli assi in sé, manda ancheil complementare degli assi in sé). Sia H ⊂ G il sottogruppo formato da tutte le affinità con determinante1 che mandano il primo quadrante in sé. Sia K che H sono sottogruppi di G. Si ha che H ∩ K = 1. Se g èun elemento di G, allora esiste certamente a ∈ K tale che ga ha determinante 1. Ora, ga oppure −ga hannoentrambi determinante 1, e uno dei due manda il primo quadrante in sé. Dunque, dato che sia a che −a sono inK , esiste un elemento k ∈ K tale che gk ∈ H. In altre parole, HK = G, cioè G è l’unione disgiunta dei lateralidi H

G = 1H ∪ −1H ∪ R1H ∪ R2H.

Per mostrare che G è chiuso, basta mostrare che H è chiuso.(c) Osserviamo che G contiene tutte le matrici del tipo[

t 00 1/t

],

con t = 0 arbitrario. Il sottogruppo H di sopra (quelle che mandano il primo quadrante in sé) è formato daquelle con t > 0. Quindi,

G =[

t 00 1/t

]: t > 0

∪

[−t 00 −1/t

]: t > 0

∪

[0 t

1/t 0

]: t > 0

∪

[0 −t−1/t 0

]: t > 0

.

Dato che G non è limitato, non è compatto. Deduciamo anche che il determinante di ogni elemento di G èuguale a ±1.

(d) L’azione di G su A2(R) non può essere transitiva, dato che manda γ in sé. Dato che manda l’originein sé, non può contenere traslazioni, come abbiamo visto prima.

(e) G non è connesso, dato che la funzione determinate det : G → ±1 è continua e suriettiva. È possibile(ma non facciamo ora) vedere che ha quattro componenti connesse, omeomorfe a R.




(f) L’azione è transitiva: se α = 0, allora il punto (α, 12α ) viene mandato da

[t 00 1/t

]in

[t 00 1/t

] α12α

= tα

12tα

.

Chiaro quindi che con t = 0 è possibile mandare (α, 12α ) in un qualsiasi altro punto di γ. ///

(40) In A3(R) siano dati i tre punti A =

110, B =

101, C =

011.

(i) A B e C sono allineati? Dipendenti?

(ii) Dimostrare che esiste un unico piano π che contiene A, B e C, e scriverne una equazione.

(iii) Si trovi un riferimento affine che contiene i tre punti A, B, e C e si riscriva l’equazione del piano π inquesto riferimento.

Sol: Ricordiamo che tre punti sono allineati se e solo appartengono ad una stessa retta o, equivalentemente,se sono dipendenti. Quindi sono allineati se e solo se i due vettori u = B − A e v = C − A generano unosottospazio di R3 di dimensione al più 1. Basta quindi calcolare il rango della matrice [u, v]:

(2.1) Rank

0 −1−1 01 1

= 2

che è uguale a due per concludere che non sono allineati e che generano uno spazio di dimensione massima(2).

In un altro modo è possibile procedere come segue: se fossero allineati, allora il rango della matrice [A−O, B −O, C −O] dovrebbe essere al più 2 (dal momento che i tre vettori sono contenuti nel piano contenentela retta e l’origine O), e quindi il suo determinante dovrebbe essere nullo. Ma dato che

det

1 1 01 0 10 1 1

= −2 = 0,

i tre punti non possono essere allineati. Notiamo che invece è possibile avere tre punti A′,B′,C′ non allineatitali che il determinante della matrice [A′ −O, B′ −O, C′ −O] è nullo (basta che il piano che li contiene passiper l’origine O).

Esiste un unico piano π passante per tre punti indipendenti: basta osservare che il sottospazio affine gene-rato da un insieme finito di punti è unico, e che tre punti indipendenti generano un piano (in generale, d + 1punti sono indipendenti se e solo se generano uno spazio di dimensione d).

È richiesto di scrivere una equazione di π: la più semplice è il sistema di equazioni parametriche

x = A+ s(B − A) + t(C − A),




con s, t ∈ R, cioè xyz =

110 + s

0−11

+ t

−101

.

o equivalentemente x = 1 − ty = 1 − sz = s + t.

Eliminando i parametri s e t si ottiene l’equazione cartesiana

x + y + z = 2.

Ora ricordiamo cosa è un riferimento affine per uno spazio affine X di dimensione d: equivalentemente,d + 1 punti in X indipendenti oppure un punto x0 ∈ X e d vettori di −→X indipendenti. Nel nostro caso X =A3(R), quindi un riferimento affine consiste di 4 punti oppure un punto e tre vettori di R3. Dal momento cheil riferimento affine deve contenere i tre punti A, B, C, non può che essere quindi pensato come un insieme diquattro punti che contenga i punti A, B e C. Osserviamo che A, B e C sono indipendenti, per cui per ottenereun riferimento affine basta aggiungere un quarto punto O non contenuto nel piano generato da A, B e C. Datoche l’origine non appartiene a π, si può considerare il riferimento affine O, A, B, C. I punti A, B eC in questoriferimento hanno coordinate affini 100

,

010 ,

001 ,

ed è chiaro quindi che il piano π ha equazione

x′ + y′ + z′ = 1,

dove x′, y′, z′ sono le coordinate affini nel nuovo sistema di riferimento. ///

(41) Si dimostri che se r e s sono due rette distinte passanti per l’origine di R2 (cioè r e s sono duesottospazi vettoriali di dimensione 1 dello spazio vettoriale R2) allora R2 = r + s.

Sol: Dato che r ⊂ R2 e s ⊂ R2, si ha r + s ⊂ R2. Bisogna quindi mostrare che ogni vettore di R2 si puòscrivere come somma di due vettori vr e vs tali che vr ∈ r e vs ∈ s. Supponiamo invece per assurdo che r + ssia un sottospazio vettoriale proprio di R2 (dal momento che la somma di sottospazi vettoriali è un sottospaziovettoriale). Non può avere dimensione 0 (dato che contiene r e s), e non può avere dimensione 2 (dato che esisteun solo sottospazio vettoriale di R2 di dimensione 2), per cui deve avere dimensione 1. Ma questo implica cher = r + s (dato che r è sottospazio di r + s ed hanno la medesima dimensione) e analogamente s = r + s, cioèche r = s. Ma questo contraddice l’ipotesi. ///

(42) Siano r e s la due rette dello spazio affine A3(R) di equazionixyz =

101 + t

010 e

xyz =

111 + s

101




(i) Sono parallele? Sghembe? Incidenti?

(ii) Qual è il più piccolo sottospazio affine che contiene sia r che s (scriverne l’equazione, se esiste).

Sol: Le due rette sono parallele se e soltanto se le loro giaciture coincidono, cioè se e soltanto se i vettori010 e

101 sono linearmente dipendenti. Il rango della matrice è 2, per cui le rette non sono parallele.

Le due rette sono sghembe quindi se e soltanto se non sono incidenti: determiniamo quindi se esistonosoluzioni in s e t del sistema di equazioni 101

+ t

010 =

111 + s

101 ,

che si può riscrivere come 1 = 1 + st = 11 = 1 + s.

È chiaro che (s, t) = (0, 1) è una soluzione, e dunque le due rette sono incidenti (si incontrano nel punto

A =

111). Se B e C denotano due punti distinti da A appartenenti rispettivamente alla prima e alla seconda

delle rette (per esempio, per t = 0 si ha B =

101 e per s = −1 si ha C =

010), allora il piano generato da A, B e

C contiene le due rette, ed è il più piccolo sottospazio affine con questa proprietà (perché …).L’equazione parametrica di un piano per tre punti si ottiene come nel primo esercizio. ///

(43) Si considerino i punti

110,

101,

011 e

111 diA3(R). Sono indipendenti (come punti dello spazio affine)?

I corrispondenti vettori di R3 sono indipendenti? Possono essere scelti come riferimento affine?Sol: Osserviamo che le differenze110

−111

= −001

,

101 −

111 = −

010 ,

011 −

111 = −

100

sono di certo linearmente indipendenti (sono gli opposti dei vettori della base canonica di R3), e quindi iquattro punti sono indipendenti e possono essere scelti come riferimento affine di A3(R). I corrispondenti

vettori

110−

000, …non possono esserlo, dato che in R3 il numero massimo di vettori linearmente indipendenti

è 3. ///




(44) Sia Γ la conica affine piana di equazione x2 + y2 = 1 e T : A2(R) →A2(R) la trasformazione affinedefinita da

T[xy

]=

[1 1−1 1

] [xy

]+

[1−1

].

Determinare l’equazione della conica T(Γ) ⊂A2(R).Sol: Siano (x, y) le coordinate affini di A2(R), e siano (X, Y) le coordinate affini della seconda copia di

A2(R) indotte dalla trasformazione T . La trasformazione T può essere scritta in coordinate come[XY

]= T

[xy

]=

[1 1−1 1

] [xy

]+

[1−1

],

o anche X = x + y + 1Y = −x + y − 1.

Calcolando T−1 si ottiene x =

X + Y2

y =X − Y − 2

2.

Sostituendo nell’equazione x2 + y2 = 1 si ottiene

(X + Y)2

4+(X − Y − 2)2

4= 1,

e semplificandoX2 + Y2 − 2X + 2Y = 0.

Un altro modo è il seguente: la conica, se si suppone A2(R) dotato della metrica euclidea standard, è lacirconferenza di raggio unitario e centro nell’origine. La trasformazione T è uguale alla composizione di una

rotazione di angolo π/4, una dilatazione di fattore√

2 e una traslazione di vettore[

1−1

]. La rotazione lascia la

circonferenza invariata, la dilatazione ne cambia il raggio (da 1 a√

2) e la traslazione sposta il centro da[00

]a[

1−1

]. Quindi T(Γ) è la circonferenza di A2(R) di centro

[1−1

]e raggio

√2, che ha equazione

(X − 1)2 + (Y + 1)2 = 2.

Semplificando si ottieneX2 − 2X + 1 + Y2 + 2Y + 1 = 2,

cioè l’equazione sopra riportata. ///

(45) Sia in A2(R) data la retta r di equazione x + y = 1. Scrivere (nelle coordinate (x, y) del piano affine)

la proiezione su r parallela al vettore[01

]e la corrispondente riflessione.




Sol: Sia (x0, y0) un punto di A2(R). La retta parallela a[01

]e passante per (x0, y0) ha equazione x = x0.

La sua intersezione con la retta r si ottiene risolvendo il sistemax = x0

x + y = 1,

ed è quindi il punto di coordinate (x0, 1− x0). Ne segue che se pr indica la proiezione cercata essa sarà definitada

pr

([xy

])=

[x

1 − x

].

La riflessione corrispondente R : A2(R)→A2(R) si ottiene ricordando che deve essere

R([

xy

])− pr

([xy

])= pr

([xy

])−

[xy

],

e dunque

R([

xy

])= 2

[x

1 − x

]−

[x, y

]=

[x

2 − 2x − y

].

///

(46) Si calcoli la distanza dall’origine (in E3 con il prodotto scalare standard) delle rette r e s di equazionixyz =

001 + t

110 e

xyz =

010 + s

101

Qual è la distanza tra le due rette?Sol: La distanza di un punto da un sottospazio è laminima delle distanze tra il punto e i punti del sottospazio.

È chiaro che il minimo delle distanze si ottiene considerando il minimo delle distanze al quadrato (perché?).Per la prima retta si ha

x2 + y2 + z2 = t2 + t2 + 1 = 2t2 + 1,

che ha minimo per t = 0. Dato che la seconda retta si ottiene ruotando la prima attorno all’asse di rotazione111 di un angolo di 2π/3 (perché?), la distanza è uguale 1 anche per essa.

La distanza al quadrato tra il punto A(t) con parametro t della retta r e il punto B(s) con parametro s dellaseconda retta (con abuso di notazione è stata chiamata s) è uguale a

(t − s)2 + (t − 1)2 + (1 − s)2.

Deve essere che il vettore A(t) − B(s) sia ortogonale sia a r che a s, cioè

⟨

t − st − 11 − s

,

110⟩ = 0




⟨

t − st − 11 − s

,

101⟩ = 0.

Il sistema di equazioni in (s, t) da risolvere può essere scritto come

t − s + t − 1 = 0 =⇒ s = 2t − 1t − s + 1 − s = 0 =⇒ t = 2s − 1,

ed ha soluzione s = t = 1: il che implica che la distanza non è√

2, ma 0 (le rette sono incidenti). ///

(47) Nel piano proiettivo si considerino i tre punti A = [1 : 0 : 1], B = [1 : 1 : 0] e C = [0 : 1 : 1]; sianorAB, rAC e rBC le tre rette passanti per due dei tre punti. Dimostrare che il complementare

P2(R)∖ (rAB ∪ rAC ∪ rBC)

(cioè il piano proiettivo meno le tre rette) ha quattro componenti connesse. Quante componenti ha il pianoproiettivo meno tre rette distinte passanti per un punto?

Sol: Ameno di un cambio di coordinate possiamo supporre che rBC sia la retta dei punti impropri. Quindiil complementare P2(R)∖ (rAB ∪ rAC ∪ rBC) risulta omeomorfo a

A2(R)∖ (rAB ∪ rAC) ,

dove rAB e rAC denotano le tracce affini delle due rette proiettive rAB e rAC . Le due rette affini si intersecano nelpunto affine A (per definizione) e non sono parallele (dalmomento che le loro intersezioni con la retta impropriasono due punti distinti: B eC, entrambi punti di rBC). A meno di trasformazioni affini si può supporre che rAB erAC siano i due assi di un sistema di riferimento cartesiano (x, y). Le componenti connesse sono quindi 4. Infatti,consideriamo lo spazio topologico S = +,− con topologia discreta, e la mappa s : R2 ∖ xy = 0 → S × Sdefinita ponendo s(x, y) = (Segno(x), Segno(y)). Dal momento che s risulta una funzione continua (perché?),lo spazio in questione ha almeno quattro componenti connesse. Per concludere che sono esattamente quattrobasta mostrare che i quadranti sono connessi, ma questo segue facilmente dal fatto che sono connessi per archi(anche, sono connessi per archi rettilinei!).

Per quanto riguarda il piano proiettivo meno tre rette per un punto, si prosegue come sopra, ma ottenendodue rette affini distinte con il medesimo punto all’infinito (e quindi parallele). Le componenti connesse sonoquindi 3. ///

§ 3. ALCUNI ŒRRORI





(48) Consideriamo il seguente sottoinsieme di R2 (con la topologia euclidea):

X = (x, y) ∈ R2 : xy ∈ Z.


(ii) Consideriamo l’iperbole C di equazione x2 − y2 = 1. L’intersezione X ∩C è aperta nella topologia diC? È chiusa nella topologia di C? E nella topologia di R2?

(iii) X e X ∩C sono compatti? sono connessi?

(iv) Si consideri la funzione φ : Z × X → R2 definita ponendo

φ(k, (x, y)) = (2kx, 2ky).

È vero che l’immagine di φ è contenuta in X?

Soluzioni:a) [...] L’insieme X è infatti composto da

X = R2 ∖ (Z ×Z) ∪ (x, y) ∈ R2 : x, y ∈ Q, e xy ∈ Z,

quindi X = R2∖ una infinità numerabile di punti. Dato che tra un numero razionale ed uno irrazionale ∃infiniti n° reali, segue che ∃ infinite coppie di numeri (x3, y3) con x3, y3 ∈ R. Questo vale per ogni coppia(x, y) ∈ R2 e quindi a maggior ragione in ogni coppia (x, y) ∈ R2∖ una infinità numerabile di punti.

[...] X non è aperto, per x ∈ R ∃y ∈ R tale che xy ∈ Z (un numero per il reciproco).[...] X è aperto perché è l’unione di tutte le palle aperte di raggio 1 e centro in (x, y) ∈ R2 tali che x ∈ Z,

y ∈ Z.[...] Un insieme è aperto ⇐⇒ il suo complementare è chiuso o equivalentemente se non contiene tutti i

suoi punti di accumulazione.[...] X è un sottoinsieme chiuso di R2. Infatti Xc = (x, y) ∈ R2 : xy ∈ Z = Z2. Z2 è composto da punti

isolati, ed è quindi un insieme aperto.[...] X non contiene (0, 0), allora X = R2 ma anche il suo complementare non contiene (0, 0). quindi y

(X?) non è chiuso.[...] X = f −1(R −Z) =⇒ la controimmagine tramite la f continua di un chiuso è un chiuso.



§ 3. ALCUNI ŒRRORI 241

b) [...]C non è connesso perché la sua immagine attraverso una funzione continua è 1 che non è connesso.[...] C ∩ X è aperto; poiché è aperto non può essere anche chiuso poiché C ∩ X non è connesso.[...] la controimmagine di uno SCONNESSO è SCONNESSA (se f è continua)[...] X ∩C è l’intersezione di 2 insiemi non limitati X ∩C è non limitato X ∩C è non compatto

(49) Dimostrare che:

(i) S1 non è omeomorfo ad un intervallo.

(ii) Gli intervalli (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.

(iii) Se uno spazio topologico X è connesso e X = A∪ B con A = ∅ e B = ∅, allora o A∩ B = ∅ oppureB ∩ A = ∅.

(iv) Se X ⊂ R non è un intervallo, allora non è connesso.

Soluzioni:a) [...] S1 è compatto =⇒ è omeomorfo a un intervallo chiuso e non a un intervallo aperto.[...] S1 non è omeomorfo a un intervallo; S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1. Sappiamo che I ∼ C =

circonferenza con C = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1. C ⊂ S1 e C ∼ S1 =⇒ I ∼ S1.[...] Supponiamo per assurdo S1 ≈ I Allora esisterebbe f : S1 → I biunivoca, continua t.c. f −1 continua.

Ma applicando f a S1 si perde l’iniettività della funzione, il che è assurdo. Allora S1 ≈ I .[...] Sia f : [0, 1] → S1 f (ϑ) = e2πiϑ ∈ S1 f (0, 1) = (1, 0) ∈ S1 f è continua 0, 1 non connesso,

(1, 0) ∈ S1 connesso =⇒ S1 e [0, 1] non possono essere omeomorfi.[...] S1 ≈ [0, 1] infatti f : [0, 1] → S1 t.c. f (t) 7→ ei2πt = (cos 2πt, sin 2πt) f è continua, f (1) = (1, 0) è

iniettiva [...] è suriettiva e f −1 è continua infatti ∃ f −1 : S1 → [0, 1] t.c. f (y) = loge(y) ·1

2iπ.

b) [...] non ∃ una funzione biunivoca continua [0, 1] → (0, 1) prendiamo f : (0, 1) → [0, 1] tale chex 7→ y = x vediamo subito che non è iniettiva in quanto y = 1, y = 0 non hanno controimmagine tramite f

[...] se per assurdo ∃ f : (0, 1) → [0, 1] t.c. f omeomorfismo, significherebbe che f è biunivoca, continua,con inversa continua. In particolare, si avrebbe che f −1(0) = 0, f −1(1) = 1. Ma 0 ∈ (0, 1) e 1 ∈ (0, 1),quindi siamo giunti ad un assurdo. Questo dimostra che (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.

[...] l’immagine di un aperto attraverso una funz. continua è aperto, invece [0, 1] è chiuso.[...] X = (0, 1) ≈ [0, 1] = Y =⇒ esisterebbe una funzione continua e biunivoca da (0, 1) a [0, 1] =⇒

f (X) = Y e dato che è continua la controimmagine di [0, 1] essendo chiuso dovrebbe essere un chiuso essendof continua ma f −1(Y) = X è aperto =⇒ assurdo (0, 1) ≈ [0, 1]

c) [...] X = A∪ B è connesso A = ∅, B = ∅ poiché X è connesso, esso non può essere unione di due apertinon vuoti disgiunti (o rispettivamente chiusi) quindi se A, B sono aperti→ A∩ B = ∅ per definizione =⇒allora anche A∩ B e B∩ A sono = ∅ se A è aperto e B è chiuso (o viceversa) per forza B = X ∖ A e X = A⊕ Bpoiché X = A∪ B =⇒ quindi A∩ B = ∅ (o B ∩ A = ∅ se B aperto e A chiuso)

d) [...] Se X ⊂ R non è un intervallo allora non è connesso se X non è un intervallo =⇒ presi a, b ∈ X∃s ∈ X t.c. a < s < b possiamo quindi supporre X = (a, b)∖ s =⇒ X risulta essere l’unione disgiunta didue aperti: (a, s), (s, b) ossia X = (a, s) ∪ (s, b) =⇒ X non è connesso per definizione.

[...] Se X ⊂ R non è un intervallo, o è l’insieme vuoto, o è un insieme di punti isolati, o è un’unionedisgiunta di intervalli. In tutti e tre i casi siamo di fronte a esempi di insiemi non connessi.



Appendice B

TEMI D’ESAME

Questi alcuni temi d’esame per il corso di Geometria 1, per il Corso di Laurea in Matematica dell’Univer-sità di Milano-Bicocca.

§ 4. A.A. 2012-13

SCRITTO #1 - 2012-06-19 (14:30-16:30, U9-05)

(1) [6u] Sia K un campo finito, e sia X =An(K), n > 0. Dati due punti

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)

di X, si denoti cond(x, y) = ♯i | xi = yi

il numero di indici i, 1 ≤ i ≤ n tali che xi = yi.

(i) Dimostrare che d è una distanza.

(ii) Determinare se (X, d) è uno spazio metrico completo, e se è compatto.

(iii) SiaG il gruppo delle permutazioni di n elementi, con la topologia discreta. Dimostrare che l’applicazione

G × X → X, (σ, x) → (xσ−1(1), . . . , xσ−1(n))

è un’azione, e che G agisce come un gruppo di isometrie.

(iv) Determinare se la topologia del quoziente X/G è metrizzabile.

(v) Mostrare che le traslazioni sono isometrie, e per n = 1, 2, determinare se esistono affinità di X =An(K)in sé che non siano isometrie.

243

244 #B. TEMI D’ESAME

(vi) Mostrare che se f : X → X è una affinità tale che f (O) = O che sia anche una isometria, allora esisteuna permutazione σ ∈ G tale che per ogni i ∈ 1, . . . , n si ha f (ei) = aieσ(i) per certi ai ∈ K∗, dove gliei sono i vettori della base canonica di Kn.

(2) [4u] Sia I3 il cubo I3 ⊂ E3 definito da I3 = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

(i) Si mostri che il volume del tetraedro T0 ⊂ I3 con vertici

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

e quello del tetraedro T1 ⊂ I3 con vertici

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)

coincidono.

(ii) Si mostri che il gruppo simmetrico Σ3 (di ordine 6) delle permutazioni di tre elementi agisce su I3

permutando le coordinate, e cheI3 =

∪g∈Σ3

gT1.

Si deduca che il volume di T0 e T1 è uguale a 16 .

(iii) Sia ρ l’isometria (x, y, z) 7→ (−y,−z,−x) di E3. È una rotazione? Si mostri che genera un gruppo ciclicoG di ordine 6.

(iv) Si determini per quale valore φ ∈ R, φ > 0, le G-orbite dei due punti (1,φ, 0), (1,−φ, 0) di E3 sonovertici di un icosaedro regolare. (suggerimento: per quale valore di φ i tre punti (1,φ, 0), (1,−φ, 0) e(φ, 0, 1) sono equidistanti? Si guardi la figura, in cui l’icosaedro è inscritto nel cubo [−1, 1]3).

(3) [4u] Si consideri in P2(C) (con coordinate [x : y : u]) il gruppo G di tutte le proiettività che mandanola retta u = 0 (retta impropria) in sé.

(i) Mostrare che per ogni coppia di punti distinti A, B nella retta u = 0, esiste almeno una proiettività in Gche manda [1 : 0 : 0] e [0 : 1 : 0] in A e B.

(ii) La proiettività del punto precedente è unica?



§ 4. A.A. 2012-13 245

(iii) Descrivere il sottogruppo di G formato dalle proiettività che fissano ogni punto della retta impropriau = 0. Agisce in modo transitivo sulla carta affine u = 0 ⊂ P2(C)?

(iv) Scrivere le equazioni omogenee di tutte le possibili coppie di rette r1 e r2 i cui punti all’infinito sianorispettivamente [1 : 0 : 0] e [0 : 1 : 0], e tali che r1 ∩ r2 ∈ x = y ⊂ P2(C).

SCRITTO #2 - 2012-07-03 (14:30-16:30, U1-10)

(4) [6u] Per ogni n ∈N, n > 0, sia Xn = z ∈ C : zn = 1 ⊂ S1 l’insieme delle radici n-esime dell’unità, e

X =∞∪

n=1Xn

la loro unione, con la topologia metrica di C. Dimostrare i seguenti fatti.

(i) La chiusura di X in C è uguale a S1: X = S1.

(ii) X non è connesso.

(iii) X non è compatto.

(iv) Esiste una successione z j di punti di X che non ammette sottosuccessioni convergenti ad alcun elementodi X.

(v) Non esiste una successione z j di punti di X che non ammette sottosuccessioni convergenti ad alcunelemento di S1 ⊂ C.

(vi) Se f1, f2 : S1 → R sono due funzioni continue tali che ∀x ∈ X, f1(x) = f2(x), allora ∀x ∈ S1, f1(x) =f2(x).

(5) [4u] Posto X = R3 \ 0, G = R∗, si consideri l’applicazione

ρ : G × X → X, ρ(λ, (x0, x1, x2)) = (λx0, λ2x1, λ3x2).

(i) Dimostrare che ρ è un’azione.

(ii) Determinare se il quoziente X/G è compatto, e se è connesso.

(iii) Si considerino le applicazioni ϕ0, ϕ1, ϕ2 : R2 → X/G

ϕ0(z, w) = [(1, z, w)], ϕ1(z, w) = [(z, 1, w)],ϕ2(z, w) = [(z, w, 1)].

Si dimostri che ϕ0, ϕ1, ϕ2 sono continue e aperte. Sono omeomorfismi con l’immagine?

(iv) Determinare se X/G è di Hausdorff.




(6) [5u] Siano A, B e C tre punti non allineati di un piano affine A2(K) su campo finito K, e PAB, PBC ePCA tre punti allineati rispettivamente con AB, BC e CA. Si supponga anche che PAB ∈ A, B, PBC ∈ B, C,PCA ∈ C, A.

(i) Dimostrare che esiste un riferimento affine in A2(K) per cui A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (0, 1), e cheesistono ρA, ρB, ρC ∈ K∗, tali che

(PAB − A) = ρC(B − PAB)

(PBC − B) = ρA(C − PBC)

(PCA −C) = ρB(A− PCA) .

(ii) Dimostrare che A = PBC , B = PCA, C = PAB, e quindi esistono uniche tre rette a per A e PBC , b per B ePCA, c per C e PAB.

(iii) Mostrare che

a =

P ∈A2(K) : det

A1 B1 P1A2 B2 P21 1 1

+ ρA det

A1 C1 P1A2 C2 P21 1 1

= 0

.

Scrivere le analoghe equazioni per b e c.

(iv) Mostrare che se a∩ b∩ c = ∅, allora ρAρBρC = 1.

(v) Viceversa, mostrare che se ρAρBρC = 1, allora a∩ b∩ c = ∅.



§ 4. A.A. 2012-13 247

SCRITTO #3 - 2012-07-17 (14:30-16:30, U9-04)

(7) [8u] Si dice che uno spazio topologico X è irriducibile se per ogni coppia di chiusi F, G con X = F ∪Gvale X = F o X = G. Si dice che un sottospazio A ⊂ X è irriducibile se lo è nella topologia indotta.

(i) Dimostrare che se X è irriducibile e A ⊂ X è aperto, allora A è irriducibile.

(ii) Dato uno spazio topologico X, si consideri la famiglia

FX = F ⊂ X chiuso | ∃F1, . . . , Fk chiusi irriducibili di X, F = F1 ∪ · · · ∪ Fk

dei sottoinsiemi chiusi di X che non si possono scrivere come unione finita di chiusi irriducibili. Di-mostrare che FX non contiene alcun elemento minimale Y , cioè tale che A ∈ FX ∧ A ⊂ Y =⇒ A =Y .

(iii) Sia X uno spazio topologico con la proprietà che per ogni catena discendente di chiusi F1 ⊃ F2 ⊃. . . Fn ⊃ . . . esiste N tale che Fn = FN per n ≥ N . Dimostrare che FX è vuoto.

(iv) Sia X uno spazio topologico con la proprietà che ogni suo sottospazio è compatto. Dimostrare che X èunione di un numero finito di chiusi irriducibili.

(8) [4u] Sia G ⊂ SO(2) un sottogruppo finito. Sia p : R→ SO(2) la funzione definita da

p(t) =[cos t − sin tsin t cos t

](i) Mostrare che G = p−1(G) ⊂ R è un sottogruppo additivo discreto di R.

(ii) Si mostri che p induce un omeomorfismo tra i due spazi quozienti R/G ≈ SO(2)/G.

(iii) Si dimostri che G non può agire in modo transitivo su SO(2).

(iv) Mostrare che per ogni G di ordine l > 1 si ha G ∼= Zl = z ∈ C∗ : zl = 1 ⊂ C∗.

(9) [6u] Sia X = P2(C) il piano proiettivo complesso, con coordinate omogenee [x : y : u], e rettaimpropria u = 0. Dimostrare i seguenti fatti.

(i) Ogni retta di X diversa dalla retta impropria ha uno e un solo punto all’infinito.

(ii) Il punto [1 : 1 : 1] non è allineato a nessuna coppia di punti scelti tra [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1].

(iii) Una proiettività f : X → X manda terne di punti allineati in terne di punti allineati, e terne di punti nonallineati in terne di punti non allineati.

(iv) Per ogni scelta di tre punti A, B, C ∈ X non allineati, esiste almeno una proiettività f : X → X tale chef ([1 : 0 : 0]) = A, f ([0 : 1 : 0]) = B, f ([0 : 0 : 1]) = C.

(v) Fissati A, B, C non allineati, sia F l’insieme formato da di tutte e sole le proiettività f : X → X chemandano [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [0 : 0 : 1] in A, B, C rispettivamente. L’insieme

T =f ([1 : 1 : 1]) : f ∈ F ⊂ X

è uguale all’insieme dei punti P ∈ X che non sono allineati a due dei tre punti A, B, C, comunque presi.




(vi) Nella topologia indotta dalla topologia quoziente di X, T è omeomorfo a (C ∖ 0) × (C ∖ 0), ed èconnesso.

SCRITTO #4 - 2012-09-18 (14:30-16:30, U1-10)

(10) [6u] Si consideri la topologia euclidea standard su Q. Per ogni x ∈ Q si indichi con Zx l’insiemedefinito da

Zx = kx : k ∈ Z ∖ 0 ⊂ Q .

(i) Determinare per quali x ∈ Q risulta che Zx è chiuso in Q.

(ii) Per quali x ∈ Q risulta che Zx è compatto? Per quali risulta connesso?

(iii) Dimostrare che per ogni x ∈ Q l’insieme Zx ∩N è chiuso in Q, e che il suo estremo inferiore è unelemento di Zx. Chiamiamo tale estremo inferiore b(x).

(iv) Si consideri la funzione f : Q→ Q definita da

f (x) =

1

b(1x), se x = 0;

0, se x = 0 .

Mostrare che la funzione f è ben definita.

(v) Mostrare che f è continua in 0.

(vi) Esiste x0 ∈ Q, x0 = 0, tale che la funzione f è continua in x0?

(11) [6u] Sia X = P2(C) e si consideri la mappa

ρ : R × X → X, ρ(t, [x : y : u]) = [eitx : y : u].

(i) Dimostrare che ρ definisce un’azione di R su X.

(ii) Deteminare lo stabilizzatore di ogni punto di X.

(iii) Determinare se lo spazio quoziente X/R è compatto e se è connesso.

(iv) Determinare se lo spazio quoziente X/R è di Hausdorff.

(12) [6u] Sia γ ⊂ E2 una circonferenza nel piano euclideo E2, con centro A e raggio r. Per ogni P ∈ E2 sidefinisca la quantità

w(P; γ) = ∥P − A∥2 − r2.

(i) Mostrare che se P è un punto esterno alla circonferenza γ, allora w(P; γ) è il quadrato della distanza traP ed i due punti in cui le due tangenti a γ passanti per P toccano γ.



§ 4. A.A. 2012-13 249

(ii) Date due circonferenze distinte γ e Γ in E2, dimostrare che il luogo dei punti

R(γ, Γ) = P ∈ E2 : w(P; γ) = w(P; Γ)

è una retta se γ e Γ hanno centri distinti, ed è vuoto se esse sono concentriche.

(iii) Mostrare che se A e B sono i centri di γ e Γ, e se A = B, allora R(γ, Γ) è ortogonale alla retta passanteper A e B.

(iv) Mostrare cheγ ∩ Γ ⊂ R(γ, Γ).

(v) Mostrare che se A, B e C sono tre punti non allineati in E2, e γA, γB e γC tre circonferenze con centririspettivamente in A, B e C, allora esiste un unico punto Q ∈ E2 tale che

Q ∈ R(γA, γB) ∩R(γB, γC) ∩R(γC , γA) .

(vi) Dedurre dai punti precedenti che se tre circonferenze sonomutuamente tangenti e con centri non allineati,allora le tre tangenti comuni si incontrano in un punto.

SCRITTO #5 - 2013-02-19 (14:30-16:30, U9-09)

(13) [6u] Sia X ⊂ E2 la scala infinita

X = (x, y) ∈ E2 : (x ∈ [0, 1] ∧ y ∈ Z) ∨ (x ∈ 0, 1),

e g : E2 → E2 l’isometria definita da

g : (x, y) 7→ (1 − x, y + 3).

(i) Mostrare che g(X) = X.

(ii) Sia G il gruppo generato da g, cioè G = gk : k ∈ Z. Mostrare che G agisce su X mediante isometrie.

(iii) Mostrare che l’azione di G su X è libera.

(iv) Si consideri lo spazio topologico quoziente X/G: dimostrare che è compatto e connesso.

(v) Si dia una descrizione (anche grafica) del quoziente X/G. È possibile disegnarlo su un piano?

(14) [6u] Sia G l’insieme di tutte le trasformazioni affini g : R → R che si scrivono come g(x) = ax + b,con a > 0.

(i) Mostrare che G è un gruppo, rispetto alla composizione di funzioni.

(ii) Mostrare che la funzione Φ : (0,+∞) ×R → G definita da (a, b) 7→ Φ((a, b)) = (x 7→ ax + b) ∈ G èuna bijezione.




(iii) Per ogni z ∈ R e ogni intervallo aperto U ⊂ R si indichi con W(z, U) ⊂ G l’insieme

W(z, U) = g ∈ G : g(z) ∈ U.

Cos’è Φ−1(W(z, U))? Mostrare che la famiglia di tutti i W(z, U), al variare di z e U, non è una base peruna topologia di G (sotto quali condizioni W(z, U) ⊂ W(w, V)? )

(iv) Mostrare che la famigliaW formata da tutte le intersezioni finiteW(z1, U1)∩W(z2, U2)∩ . . .∩W(zn, Un),al variare di zi ∈ R e Ui ⊂ R aperti, con i = 1, . . . , n, è una base per una topologia τ di G.

(v) Dimostrare che G, con la topologia τ, è uno spazio topologico di Hausdorff.

(15) [6u] Sia K un campo, e E un piano affine su campo K. Se OXY è un riferimento affine di E, per ogni

terna ordinata A, B, C di punti di E si indichi con (ABC)OXY il determinante della matrice

ax bx cxay by cy1 1 1

i cuicoefficienti ax, ay, bx, by, cx, cy sono le coordinate (rispettivamente) di A, B, C nel riferimento OXY .

Ricordiamo che per tre punti allineati (con A = B) si indica anche conACAB

il rapporto −−→AC :−−→AB, cioè

l’unico ρ ∈ K tale che −−→AC = ρ−−→AB; si ponga per semplicità

ACBA=

CAAB= −CA

BA= −AC

AB.

(i) Si mostri che tre punti A, B, C ∈ E sono allineati se e soltanto se (ABC)OXY = 0 in un qualsiasi sistemadi riferimento OXY .

(ii) Si mostri che, date due terne ordinate A, B, C e A′, B′, C′ di punti di E, il rapporto(ABC)OXY

(A′B′C′)OXYnon

dipende dal sistema di riferimento OXY . In questo caso quindi si può omettere di scrivere OXY nell’e-spressione del rapporto.

(iii) (Teorema del lato comune) Si mostri che se A, B, P, Q ∈ E sono quattro punti, con A = B e P = Q taliche la retta AB e la retta PQ si intersecano in un unico punto M, allora

(ABP)(ABQ)

=MPMQ

.

Quando succede che M = Q oppure M = P la formula è valida?

(iv) Siano A, B, C tre punti non allineati nel piano affine E, e P, Q e R tre punti rispettivamente sulle retteAB, BC e CA. Mostrare che se P, Q, R sono allineati, per ogni coppia X, Y di punti distinti allineati conP, Q, R si ha

(XY A)(XY B)

=PAPB

,(XY B)(XYC)

=QBQC

,(XYC)

(XY A)=

RCRA

.

Dedurre che vale il Teorema di Menelao: se P, Q, R sono allineati, alloraAPPB

BQQC

CRRA= −1.

(v) Vale anche il viceversa, cioè seAPPB

BQQC

CRRA= −1 allora P, Q, R sono allineati?

§ 5. A.A. 2011-12



§ 5. A.A. 2011-12 251

SCRITTO #1 - 2011-06-14 (15:00-17:00, U9-07)

(16) [4u] Si consideri la funzione F : R2 ∖ 0 → R2, definita ponendo

F(x, y) =(

2xyx2 + y2 ,

x2 − y2

x2 + y2 .)

Dimostrare i seguenti fatti.

(i) La funzione F induce una funzione continua f : P1(R)→ R2.

(ii) L’immagine di f in R2 è la circonferenza unitaria S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1.(iii) La funzione f : P1(R)→ R2 è iniettiva.

(iv) Dedurre che lo spazio proiettivo P1(R) è omeomorfo alla circonferenza S1.

(17) [6u] Sia F la matrice 2 × 2 definita da

F =[1 11 0

]e φ : Z ×R2 → R2 la funzione definita da

φ (k, x) = Fk x

per ogni x ∈ R2, dove Fk indica il prodotto di k copie di F (se k > 0), oppure il prodotto di−k copie dell’inversaF−1 (se k < 0), oppure l’identità quando k = 0. Dimostrare i seguenti fatti.

(i) La funzione φ è ben definita ed è una azione di Z su R2.

(ii) I due punti (1, 0) e (0, 1) appartengono alla medesima orbita in R2.

(iii) L’azione φ induce una azione ϕ di G = Z su P1(R), definita ponendo

ϕ(k, [x : u]) = [x′ : u′], con[x′u′

]= Fk

[xu

].

(iv) Esistono esattamente due punti p0 e p1 in P1(R) fissati dall’azione di G = Z su P1(R) (cioè fissati daogni g ∈ G). Come si scrive l’azione di G su R2 (e quindi su P1(R)) in una base di R2 che contiene idue vettori p0 e p1, se [ pi ] = pi per i = 0, 1?

(v) Se il punto p ∈ P1(R) non è fissato, p ∈ p0, p1, allora il suo stabilizzatore Gp è banale e la sua orbitaGp in P1(R) ha p0 e p1 per punti di accumulazione. (usare il punto precedente)

(vi) Lo spazio quoziente P1(R)/G non è di Hausdorff.

(18) [5u] Siano a, b, c > 0 tre parametri positivi fissati. Sia T il tetraedro in E3 di vertici O = (0, 0, 0),A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0),C = (0, 0, c), e S la sua sfera inscritta, di raggio r e centro X. Dimostrare i seguentifatti.




(i) Per ogni spigolo s di T , il piano bisettore dell’angolo diedro tra le due facce che insistono su s, passa perX.

(ii) Il centro X appartiene alla retta per O di giacitura (1, 1, 1), e la distanza del punto di coordinate (t, t, t)dal piano che contiene A, B e C è uguale a

|t(ab + ac + bc) − abc|√

a2b2 + a2c2 + b2c2.

(iii) L’area d del triangolo ABC è uguale a

d =12

√a2b2 + a2c2 + b2c2.

(Si consideri che il volume di un tetraedro di lati a, b e c è per definizione uguale a 1/6V , dove V è ilvolume del parallelogramma di lati a, b, e c, con a, b, c ∈ R3, e che il volume di un tetraedro è ugualea 1/3Ah, dove A è l’area di una sua faccia e h l’altezza corrispondente)

(iv) Il centro della sfera S ha coordinate baricentriche (rispetto ai vertici O, A, B e C del tetraedro) propor-zionali a 2d : bc : ac : ab, dove d indica l’area del triangolo ABC. In altre parole,

X =2dO + bcA+ acB + abC

2d + bc + ac + ab=

abc2d + bc + ac + ab

111 .

(v) Determinare per quali valori di a, b, c il centro X coincide con il baricentro di T .

SCRITTO #2 - 2011-06-28 (14:30-16:30, U9-07)

(19) [4u] Su X = R2 con la topologia standard, sia ∼ la relazione definita da

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ ∃(a, b) ∈ Z ×Z : (x′, y′) = (a + (−1)bx, b + y).

(i) Dimostrare che ∼ è una relazione di equivalenza.(ii) Dire se il quoziente X/∼ è compatto; dire se è connesso.

(iii) Dire se la proiezione π : X → X/∼ è aperta; dire se è chiusa.

(iv) Dire se il quoziente X/∼ è di Hausdorff.

(20) [5u] Sia ρ : P1(C)→ P1(C) l’applicazione

ρ([Z0 : Z1]) = [Z1 : Z0].

(i) Dimostrare che ρ è ben definita.

(ii) Dire se ρ è continua, aperta, chiusa.



§ 5. A.A. 2011-12 253

(iii) Dire se ρ è una mappa proiettiva.

(iv) Dimostrare che l’applicazione

f : P2(R)→ P1(C), f ([X : Y : Z ]) = [X : Y + iZ ]

è ben definita, suriettiva e continua.

(v) Determinare quali sono le rette proiettive l ⊂ P2(R) per cui esiste una retta proiettiva l′ ⊂ P2(R) taleche

ρ( f (l)) = f (l′).

(21) [6u] Si consideri la funzione d : P1(R) ×P1(R)→ R, definita ponendo

d([x : u], [x : u]) =(xu − ux)2

(x2 + u2) (x2 + u2).

Sia π : R2 ∖ 0 → P1(R) la proiezione sul quoziente.

(i) Dimostrare che d è ben definita e continua.

(ii) Mostrare che d(p, q) = 0 se e soltanto se p = q, per ogni p, q ∈ P1(R).

(iii) Fissati a, b ∈ P1(R), a = b, si consideri la funzione

f : P1(R)→ R

definita daf (z) = d(a, z) + d(z, b).

Dimostrare che f ha massimo M e minimo m strettamente positivi M ≥ m > 0. Si dimostri poi chenel caso in cui a = [1 : 0] e b = [1 : 1] il minimo m è strettamente minore di

12, calcolando il valore

f ([2 : 1]).

(iv) Determinare se d è una metrica su P1(R). Qual è il valore di d([1 : 0], [1 : 1])?

(v) Se A, B ∈ S1 ⊂ E2 ∼= R2 sono due punti tali che π(A) = a e π(B) = b, con a, b ∈ P1(R) qualsiasi, sidetermini (se esiste) una formula che lega il valore di d(a, b) e l’area del triangolo OAB.

(vi) Fissati a, b ∈ P1(R), a = b, si determini il luogo di tutti i punti P ∈ E2, P = 0, tali che d(a, π(P)) =d(b, π(P)).

SCRITTO #3 - 2011-07-12 (14:30-16:30, U1-08)

(22) [6u] Al variare di λ ∈ R, sia

Xλ = (x, y) ∈ R2 | max|x|, |y| = λ;




si considerino i seguenti sottospazi di R2 con la topologia indotta dalla topologia euclidea:

X =∪λ∈[1,2]

Xλ = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ max|x|, |y| ≤ 2 ,

D = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1 ,S1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1 .

(i) Dimostrare che X è compatto.

(ii) Costruire una mappa continua e suriettiva f : X → D, tale che f sia iniettiva sul complementare di X1,f (X1) = 0 e f (X2) = S1.

(iii) Dimostrare che f è una mappa quoziente.

(iv) Determinare se X/(X1 ∪ X2) è omeomorfo a S2 oppure no (non si richiede una dimostrazione completa,ma solo una argomentazione intuitiva, anche grafica).

(23) [5u] Si consideri R2 con la topologia euclidea, e sia

ρ : Z ×R2 → R2, ρ(k, (x, y)) = (x + k, eky).

(i) Dimostrare che ρ definisce un’azione.

(ii) Determinare quali orbite sono sottospazi chiusi di R2.

(iii) Sia φ : R2 → R la mappa definita da φ(x, y) = ye−x. Dimostrare che φ induce una mappa continua esuriettiva definita sullo spazio quoziente X = R2/Z a valori in R, φ : X → R. Determinare poi se lospazio quoziente X è connesso e/o compatto.

(iv) Sia Y lo spazio quoziente di R2 rispetto alla relazione di equivalenza

(x, y) ∼ (x′, y′) ⇐⇒ x − x′ ∈ Z.

Mostrare che la mappa F : R2 → R2 definita da

F(x, y) = (x,φ(x, y))

è un omeomorfismo, che induce un omeomorfismo f : X → Y tra gli spazi quozienti X e Y . (Suggeri-mento: scrivere esplicitamente una inversa per F, e quindi per f )

(v) Determinare se X e Y sono di Hausdorff.

(24) [4u] Si considerino quattro punti A, B,C, D in E3. Siano a = A−O, b = B−O, c = C −O, d = D−Oi vettori delle loro coordinate in R3. Per ogni vettore x = x1e1 + x2e2 + x3e3 ∈ R3 (dove ei sono i vettori dellabase standard di R3), si indichi con x il vettore e0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 dello spazio vettoriale R⊕R3 con basee0, e1, e2, e3.

(i) Dimostrare che la misura del volume V del tetraedro ABCD è uguale a

V =16|det(a, b, c, d)| = 1

6|det

1 1 1 1a1 b1 c1 d1a2 b2 c2 d2a3 b3 c3 d3

|[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2014] : 2014-05-30


§ 5. A.A. 2011-12 255

(Si ricordi che la misura del volume del tetraedro è per definizione uguale a16

det(B− A, C − A, D− A))

(ii) Dimostrare che per ogni k ∈ R si ha

k3 det

1 1 1 1a1 b1 c1 d1a2 b2 c2 d2a3 b3 c3 d3

= det

1 |a|2 |b|2 |c|2 |d|20 1 1 1 10 ka1 kb1 kc1 kd10 ka2 kb2 kc2 kd20 ka3 kb3 kc3 kd3

= − det

0 1 1 1 11 |a|2 |b|2 |c|2 |d|20 ka1 kb1 kc1 kd10 ka2 kb2 kc2 kd20 ka3 kb3 kc3 kd3

e dedurre che

288V2 = det

1 |a|2 |b|2 |c|2 |d|20 1 1 1 10 a1 b1 c1 d10 a2 b2 c2 d20 a3 b3 c3 d3

· det

0 1 1 1 11 |a|2 |b|2 |c|2 |d|20 −2a1 −2b1 −2c1 −2d10 −2a2 −2b2 −2c2 −2d20 −2a3 −2b3 −2c3 −2d3

(iii) Dedurre che*

288V2 = det

0 1 1 1 11 0 |a − b|2 |a − c|2 |a − d|21 |b − a|2 0 |b − c|2 |b − d|21 |c − a|2 |c − b|2 0 |c − d|21 |d − a|2 |d − b|2 |d − c|2 0

.

(Si ricordi che se H e K sono due matrici, det((H t)K) = det(H) det(K))

(iv) Sia Ts un tetraedro (non degenere) inE3 con cinque spigoli lunghi 1 e uno spigolo lungo s ∈ R. Calcolareil volume di Ts; dimostrare che il tetraedro Ts non esiste se s2 ≥ 3. Esiste certamente se 0 < s2 < 3?

SCRITTO #4 - 2011-09-28 (14:30-16:30, U1-09)

(25) [4u] Sia f : R→ C la funzione definita da

f (t) =1

1 + t2 (1 + eit),

e j : R→ P1(R) l’inclusione definita da j(t) = [1 : t].

(i) Dimostrare che esiste una unica funzione continua F : P1(R)→ C tale che F j = f .

(ii) Dimostrare che f (R) = F(P1(R)) ⊂ C.

(iii) Dimostrare che f (R) ⊂ C è compatto.

(iv) Dimostrare che f (R) ⊂ C è connesso.*Formula di Tartaglia, con il determinante di Cayley-Menger




(26) [5u] Sia X ⊂ E3 il cubo X = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1], e G il gruppo di tutte le rotazioni di SO(3)che mandano X in sé.

(i) Dimostrare che gli elementi di G sono tutti rotazioni di angolo 2kπ/n, con k ∈ Z e n = 1, 2, 3, 4 attornoad assi di rotazione passanti per l’origine (0, 0, 0).

(ii) Determinare il numero di elementi delle orbite di (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 0).

(iii) Determinare il numero di elementi dello stabilizzatore dei punti (1, 1, 1) (1, 1, 0 e (1, 0, 0).

(iv) Quanti elementi ha G?

(v) Dimostrare che lo spazio quoziente X/G è connesso e compatto.

(27) [4u] Si considerino nel piano proiettivo P2(C) tre rette distinte h, r1 e r2 che non passino tutte peruno stesso punto e due punti Q1, Q2 tali che Qi ∈ h∪ r1 ∪ r2 per i = 1, 2.

(i) Per i = 1, 2, si dimostri che per ogni x ∈ ri esiste un unico punto fi(x) ∈ h tale che i tre punti x, Qi efi(x) sono allineati.

(ii) Mostrare che fi : ri → h è una corrispondenza biunivoca, per i = 1, 2.

(iii) Al variare di x ∈ r1, sia g(x) ∈ r2 il punto definito da

g(x) = f −12 ( f1(x)) ∈ r2.

Mostrare che se r1 ∩ r2 non è allineato con Q1 e Q2, allora per ogni x si ha g(x) = x.

(iv) Se h è la retta all’infinito, r1 = (x, 0) : x ∈ C e r2 = (0, y) : y ∈ C gli assi cartesiani nella cartaaffine A2

0(C), determinare l’espressione di g(x) nelle coordinate x e y, con le coordinate di Qi comeparametri. È una proiettività?

(28) [8u] Sia xn la successione in R definita per n ≥ 1 da

xn =

n∑k=1

1k

,

e sia p : R→ X = R/Z la proiezione sul quoziente, dove X è il quoziente rispetto alla relazione di equivalenzax ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z.

(i) Dimostrare che l’insiemeY = p(xn) : n ≥ 1 ⊂ X

ha infiniti elementi.

(ii) Dimostrare che la successione p(xn) ha almeno un punto di accumulazione in X.

(iii) Dimostrare che la chiusura di Y in X è uguale a X. (Attenzione: molto difficile)



§ 5. A.A. 2011-12 257

SCRITTO #5 - 2012-02-02 (14:30-16:30, U9-07)

(29) [4u] Si consideri la funzione σ : P1(R) ×P1(R)→ P3(R) definita ponendo

σ([x0 : x1], [y0 : y1]) = [x0y0 : x0y1 : x1y0 : x1y1] ∈ P3(R)

per ogni ([x0 : x1], [y0 : y1]) ∈ P1(R) ×P1(R).

(i) Dimostrare che σ è ben definita e continua.

(ii) Sia X ⊂ P3(R) l’immagine di σ, cioè X = σ(P1(R) × P1(R)). Dimostrare che X è compatto econnesso.

(iii) Dimostrare che X è chiuso in P3(R) e che la funzione σ è iniettiva.

(iv) Dimostrare che per ogni A = [x0 : x1] ∈ P1(R) fissato, la funzione P1(R)→ P3(R) definita da

[y0 : y1] 7→ σ((A, [y0 : y1])) ∈ P3(R)

è la parametrizzazione di una retta proiettiva in P3(R). Dedurre che per ogni punto P ∈ X esistono duerette l, r di P3(R) passanti per P e interamente contenute in X.

Per il prossimo esercizio, si ricordi che se A è una matrice 2 × 2 a coefficienti complessi, allora la traspo-sta coniugata (aggiunta Hermitiana) di A si indica con A∗ ed è la matrice con coefficienti a ji , se ai j sono icoefficienti di A.

(30) [5u] Sia SU(2) il gruppo delle matrici unitarie con determinante 1

SU(2) =A ∈ GL(2, C) : AA∗ = A∗A = I , det(A) = 1

.

Consideriamo in SU(2) le quattro matrici: u =[1 00 1

], i =

[i 00 −i

], j =

[0 1−1 0

], k =

[0 ii 0

].

(i) Dimostrare che SU(2) è compatto.

(ii) Dimostrare che SU(2) è omeomorfo alla sfera S3 = x ∈ R4 : ∥x∥2 = 1.(iii) Dimostrare che G = ±u,±i,± j,±k ⊂ SU(2) è un sottogruppo compatto di SU(2).

(iv) Si consideri l’azione di G su SU(2) data da

g · x = gx

per ogni g ∈ G e ogni x ∈ SU(2), dove il prodotto è il prodotto di matrici. Determinare la cardinalitàdell’orbita di x in SU(2), al variare di x in SU(2).

(v) Determinare al variare di x in SU(2) il gruppo di isotropia di x in G, con l’azione definita sopra. Ilquoziente SU(2)/G è compatto nella topologia quoziente?

(31) [6u] Sia [0, 1] ⊂ R l’intervallo unitario, N = 0, 1, 2 . . . , n, . . . e X = [0, 1]N l’insieme di tutte lefunzioni x : N→ [0, 1]. Per ogni famiglia finita di aperti di [0, 1]

U0, U1, U2, . . . , UN ⊂ [0, 1]




(con Ui ⊂ [0, 1] aperto per i = 0, 1, . . . , N) si consideri in X l’insieme

Φ(U0, U1, . . . , UN ) :=x ∈ X : ∀i ∈ 0, 1, . . . , N, x(i) ∈ Ui

⊂ X.

SiaA la famiglia di tutti i possibili insiemi Φ(U0, U1, . . . , UN ) al variare di N ∈N e degli Ui .

(i) Dimostrare che ∅ ∈ A e X ∈ A.(ii) Dimostrare che A1, A2 ∈ A =⇒ A1 ∩ A2 ∈ A.(iii) Siano A1 = x ∈ X : x(0) < 1/2, x(1) > 1/2 e A2 = x ∈ X : x(0) > 1/2, x(1) < 1/2. Dimostrare che

A1, A2 ∈ A, e che A1 ∪ A2 ∈ A. Determinare seA è una topologia per X.

(iv) Per ogni N ∈N, sia AN l’insieme definito da

AN =x ∈ X : x(N) ∈ [0, 1/2)

.

Dimostrare che AN ∈ A. Descrivere l’insieme

A =∪N∈N

AN .

(v) Dimostrare cheA è una base per una topologia su X.

(vi) Si consideri la funzione d : X × X → R definita da d(x, y) =∑

n∈N|x(n) − y(n)|

2n . Dimostrare che d èben definita, che è una metrica su X, e che gli intorni sferici in X

Br(z) =x ∈ X : d(x, z) < r

sono aperti di X rispetto alla topologia generata daA.

(32) [4u] Sia E2 il piano euclideo.

(i) Dimostrare che ogni isometria di E2 è composizione di un numero finito di riflessioni (lungo rette).

(ii) Sia R : E2 → E2 la rotazione con centro C = (−1, 1) di angolo θ =π

3: si scriva la sua equazione e la si

decomponga come composizione di due riflessioni.

(iii) Al variare di g nel gruppo di tutte le isometrie del piano, determinare se la decomposizione di g nelnumero minimo di riflessioni è unica o meno

(iv) Sia f : E2 → E2 la funzione definita da[xy

]7→

[0 1−1 0

] [xy

]+

[20

]Dimostrare che è una isometria; determinarne il centro, se è una rotazione; scriverla come composizionedi riflessioni.



§ 6. A.A. 2010-11 259

§ 6. A.A. 2010-11

8 GIU 2010 (14:30, U1-01)

(33) [4u] Si consideri la seguente funzione f : C→ C, definita da

f (z) =

zz

z2 − z2 se z2 = z2

0 se z2 = z2.

(i) Per quali w ∈ C la controimmagine f −1(w) = z ∈ C : f (z) = w è compatta?(ii) Per quali w ∈ C la controimmagine f −1(w) è connessa?

(iii) È vero che per ogni w ∈ C la controimmagine f −1(w) è un chiuso di C?

(iv) Esiste un chiuso K ⊂ C la cui controimmagine f −1(K) non è un chiuso di C?

(34) [6u] Sia X lo spazio di tutte le matrici 2× 2 a coefficienti in R non tutti nulli, con la metrica euclidea(i.e. identificando X con R4 ∖ 0), e G = SO(2) il gruppo di tutte le matrici ortogonali con determinante 1.Si consideri l’azione di G su X definita dal prodotto di matrici, cioè se g ∈ G e x ∈ X, allora g · x è il prodottorighe-per-colonne di g con x.

(i) Si determini lo stabilizzatore di x, al variare di x in X.

(ii) Si determini se la mappa X → R definita da[a cb d

]∈ X 7→

√a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R

induce una mappa continua r : X/G → (0,+∞) ⊂ R.

(iii) Si determini se la mappa X → P1(C) definita da[a cb d

]∈ X 7→ [a + ib : c + id] ∈ P1(C)

induce una mappa continua h : X/G → P1(C).

(iv) La funzione f : X/G → (0,+∞) ×P1(C) definita da f ([x]) = (r(x), h(x)) è continua?

(v) La funzione g : (0,+∞) ×C2 ∖ 0 → X definita da

(r, (a + ib, c + id)) → r√

a2 + b2 + c2 + d2

[a cb d

]induce una mappa continua g : (0,+∞) ×P1(C) → X/G?




(35) [4u] Al variare dei parametri s, t ∈ Q, siano A, B, C i tre punti di A3(Q) di coordinate

A = (1, 2, 3t), B = (1, 2s, 3t), C = (s, 2s, 3).

(i) Determinare i valori di s, t ∈ Q per cui i tre punti sono allineati e distinti.

(ii) Si scriva l’equazione cartesiana del luogo dei baricentri dei tre punti A, B, C, al variare di s, t ∈ Q.

(iii) Trovare, se esiste, l’equazione di un piano di A3(Q) che contenga A, B, C per ogni s, t ∈ Q.

(iv) Per i valori di s, t ∈ Q per cui i tre punti sono allineati, trovare una mappa affine A3(Q) →A3(Q) taleche

(1, 0, 0) 7→ A(0, 1, 0) 7→ B(0, 0, 1) 7→ C.


(i) Dimostrare che ogni rotazione di E2 è composizione di due riflessioni (lungo rette).

(ii) Sia R : E2 → E2 la rotazione con centro C = (1, 1) di angolo θ =π

3: si scriva come composizione di

due riflessioni.

(iii) Dimostrare che ogni isometria del piano euclideo E2 può essere scritta come la composizione di al piùtre riflessioni (lungo rette).

(iv) Sia f : E2 → E2 la funzione definita da [xy

]7→

[0 11 0

] [xy

]+

[20

]Scriverla come composizione di riflessioni.

(#2) - 20 LUGLIO 2010, 14:30-16:30, AULA U9-07

(37) [4u] Sia f : R2 → R2 la mappa definita da f (x, y) = (x+ y, xy), doveR2 ha la topologia della metricaeuclidea.

(i) Dimostrare che f è continua.

(ii) Per quali valori di w ∈ R2 la controimmagine f −1(w) è un sottospazio compatto non vuoto di R2?

(iii) Per quali valori di w ∈ R2 si ha che f −1(w) è connesso?

(iv) La mappa f è una mappa aperta?

(38) [6u] Sia X ⊂ SO(3) l’insieme di tutte le rotazioni di SO(3) di angolo π, cioè

X = g ∈ SO(3) : g2 = I , g = I,



§ 6. A.A. 2010-11 261

dove I è la matrice identità 3 × 3.

(i) Mostrare che la funzioneA 7→ Traccia (At A)

è il quadrato di una norma definita sullo spazio vettoriale delle matrici quadrate 3 × 3.

(ii) Dimostrare che la funzione d : SO(3) × SO(3) → R definita da

d(A, B) =√

Traccia [(At − Bt)(A− B)]

è una metrica (distanza) su SO(3).

(iii) L’insieme X ∪ I è un sottogruppo di SO(3)? È chiuso?

(iv) Dimostrare che se g ∈ X, allora la distanza di g dall’identità I è uguale a 2√

2.

(v) Dimostrare che X è compatto.

(39) [4u] Siano A, B, C, D quattro punti indipendenti dal punto di vista affine in A3(Q), e T il tetraedrocon vertici ABCD.

(i) Sia Q il baricentro di T . Dimostrare che se una affinità f : A3(Q) →A3(Q) manda T in sé f (T) = T ,allora f (Q) = Q.

(ii) Determinare quando i punti medi M e N degli spigoli AB e CD sono allineati con il baricentro Q.

(iii) Quando il tetraedro T che ha per vertici i baricentri delle facce di T è immagine di T con una affinità?

(iv) Scrivere in un sistema di riferimento affine (opportuno) le coordinate di A, B, C, D, M, N , Q.

(40) [4u] Siano in P2(C) fissati i quattro punti A = [1 : 0 : 0], B = [0 : 1 : 0], C = [0 : 0 : 1],D = [1 : 1 : 1].

(i) Esistono tre punti (distinti) allineati in A, B, C, D?(ii) Quante sono le proiettività f : P2(C)→ P2(C) tali che f (A) = A, f (B) = B e f (C) = C?

(iii) Quante sono le proiettività f : P2(C)→ P2(C) tali che f (A) = B, f (B) = C, f (C) = D, f (D) = A?

(#3) - 7 SETTEMBRE 2010, 14:30-16:30, AULA U1-08

(41) [4u] Sia f : C2 → C la mappa definita da f (x, y) = xy, dove C2 e C hanno la topologia della metricaeuclidea e y indica il complesso coniugato di y ∈ C.

(i) Dimostrare che f è continua.

(ii) Per quali valori di w ∈ C la controimmagine f −1(w) è un sottospazio compatto non vuoto di C2?

(iii) Per quali valori di w ∈ C si ha che f −1(w) è connesso e non vuoto?




(iv) Determinare cosa è l’immagine f (X) ⊂ C, dove

X = (x, y) ∈ C2 : |x|2 + |y|2 = 1 ⊂ C2,

e |x|2 = xx e |y|2 = yy.

(42) [6u] Sia X ⊂ GL(2, R) l’insieme di tutte le matrici 2× 2 invertibili (a coefficienti reali) a traccia nullae determinante 1, cioè

X =[

a cb d

]| a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1, a + d = 0

,

con la topologia metrica dello spazio di matrici ( ∼= R4).

(i) Lo spazio X è compatto?

(ii) Quali sono gli elementi del sottoinsieme Y ⊂ X formato dalle matrici ortogonali di X (cioè elementi diY = X ∩O(2))? E quali sono gli elementi che sono matrici simmetriche?

(iii) Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili 2 × 2. Dimostrare che la funzione G × X → Xdefinita da

(S, A) 7→ S · A = SAS−1,

per ogni S ∈ G e ogni A ∈ X, dove il prodotto SAS−1 è il prodotto di matrici, è una azione di G su X.

(iv) Determinare se gli elementi di Y sono contenuti in una sola orbita di G oppure no.

(v) Sia A ∈ X. Sia fA : R2 → R la funzione definita per ogni v ∈ R2 ,v = 0, da

fA(v) =|Av− v||v| .

Dimostrare che fA ammette massimo e minimo.

(vi) Determinare se lo spazio X e lo spazio quoziente X/G sono connessi o no. (suggerimento: si ricordi ilpunto sulle matrici simmetriche)

(43) [4u] SiaG l’insieme di tutte le affinità di A2(Q) in sé che fissano tutti i punti della retta di equazionex + y = 1.

(i) Determinare se G è un gruppo o no.

(ii) Determinare se G è finito o no.

(iii) Sia f : G →A2(Q) la funzione definita ponendo

f (g) = g ·O,

dove O = (0, 0) ∈A2(Q) è l’origine. Determinare se f è iniettiva e/o suriettiva.

(iv) Determinare quali elementi di G sono traslazioni e/o omotetie.

(44) [4u] Sia P2(C) il piano proiettivo complesso, con la topologia quoziente.



§ 6. A.A. 2010-11 263

(i) Si dimostri che due rette distinte in P2(C) si incontrano in uno e un solo punto.

(ii) Si mostri che lo spazio costituito da tutte le rette di P2(C) è a sua volta un piano proiettivo, cheindichiamo con P2(C)∗.

(iii) Sia∆ =

(r, r) : r ∈ P2(C)∗

⊂ P2(C)∗ ×P2(C)∗.

Si consideri la funzionef : P2(C)∗ ×P2(C)∗ ∖ ∆→ P2(C)

definita da f (r, r′) = r ∩ r′, se r e r′ sono due rette distinte. Mostrare che è ben definita e continua.

(#4) - 28 SETTEMBRE 2010, 14:30-16:30, AULA U9-07

(45) [4u] Sia f la mappa definita da

f (z) =z2 + z2

z + z,

dove z ∈ C, C ha la topologia metrica e z indica il complesso coniugato di z ∈ C.

(i) Determinare il dominio di f e dimostrare che f è ivi continua. (Si ponga z = a + ib con a, b ∈ R, …)

(ii) Determinare l’immagine di f ,

f (z) : z ∈ C = w ∈ C : ∃z ∈ C : f (z) = w.

(iii) Determinare per quali w ∈ C la controimmagine f −1(w) è un sottospazio compatto e non vuoto di C.

(iv) Determinare per quali valori di w ∈ C la controimmagine f −1(w) è un sottospazio connesso e non vuotodi C.

(46) [6u] Sia G ⊂ GL(2, R) l’insieme di tutte le matrici 2 × 2 con determinante 1, cioè

G =[

a cb d

]| a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1

,

con la topologia metrica dello spazio di matrici ( ∼= R4).

(i) Lo spazio G è un gruppo topologico compatto?

(ii) La funzione traccia Tr : G → R definita da

Tr[a cb d

]= a + d

è continua? È un omomorfismo di gruppi?




(iii) Si consideri la funzione φ : G ×P1(R)→ P1(R) definita da

φ :([

a bc d

], [x : u]

)7→ [ax + bu : cx + du] ∈ P1(R)

Dimostrare che è ben definita e che è una azione continua di G su X = P1(R).

(iv) Dimostrare che gli elementi A di G che fissano uno e un solo punto di X sono quelli la cui tracciaTr(A) = ±2. Dedurre che il sottospazio Y ⊂ G formato da tutti questi elementi è chiuso in G.

(v) Se P ∈ X è un punto generico, dire se lo stabilizzatore GP ⊂ G è un sottogruppo chiuso.

(vi) Determinare se Y è compatto.

(47) [4u] SiaG l’insieme di tutte le affinità di A2(Q) in sé che fissano tutti i punti della retta di equazionex + y = 2.



(iii) Sia f : G →A2(Q) la funzione definita ponendo

f (g) = g ·O,

dove O = (0, 0) ∈A2(Q) è l’origine. Determinare se f è iniettiva e/o suriettiva.



(i) Dimostrare che ogni isometria di E2 è composizione di un numero finito di riflessioni (lungo rette).

(ii) Sia R : E2 → E2 la rotazione con centro C = (1, 1) di angolo θ =π

5: si scriva come composizione di

due riflessioni.

(iii) Determinare se la decomposizione di una isometria g nel numero minimo di riflessioni è unica o meno,al variare di g nel gruppo di tutte le isometrie del piano.

(iv) Sia f : E2 → E2 la funzione definita da[xy

]7→

[0 −11 0

] [xy

]+

[10

]Dimostrare che è una isometria; determinarne il centro, se è una rotazione; scriverla come composizionedi riflessioni.

(#5) - 1 FEB 2011, 14:30-16:30, AULA U9-07



§ 6. A.A. 2010-11 265

(49) [4u] Sia f la mappa f : P1(R)→ P1(R) definita da

f ([x : u]) = [x + u : x − u]

dove [x : u] ∈ P1(R), e P1(R) ha la topologia quoziente.

(i) Dimostrare che f è una mappa ben definita e continua.

(ii) Determinare se f è biunivoca.

(iii) Determinare per quali [x : u] ∈ P1(R) si ha f ([x : u]) = [x : u].

(iv) Dimostrare che P1(R) è uno spazio di Hausdorff e che ogni sottoinsieme chiuso di P1(R) è compatto.

(50) [6u] Sia G ⊂ GL(2, R) l’insieme di tutte le matrici 2 × 2 definito da

G =[

a cb d

]| a, b, c, d ∈ R, ac + bd = 0, a2 + b2 = c2 + d2 = 0

,

con la topologia metrica dello spazio di matrici ( ∼= R4). Per ogni g ∈ C ∼= R2, si consideri la matrice Lgassociata alla funzione R-lineare R2 ∼= C→ C ∼= R2 definita da

z ∈ C 7→ gz ∈ C

nella base canonica 1, i di C su R.

(i) Mostrare che per ogni g ∈ C∗ = C ∖ 0, si ha Lg ∈ G.

(ii) La funzione C∗ ∋ g 7→ Lg ∈ G è iniettiva? È suriettiva? È continua?

(iii) Dato g ∈ C∗, si consideri l’insiemeXg = (Lg)

n : n ∈ Z .

Mostrare che Xg ⊂ G, e che è un gruppo rispetto al prodotto di matrici.

(iv) Determinare per quali g ∈ C∗ si ha che Xg è limitato.

(v) Determinare per quali g ∈ C∗ si ha che Xg è compatto.

(51) [4u] SiaG l’insieme di tutte le affinità di A2(C) in sé che fissano tutti i punti della retta di equazionex + 2y = 3.



(iii) Sia f : G →A2(C) la funzione definita ponendo

f (g) = g ·O,

dove O = (0, 0) ∈A2(C) è l’origine. Determinare se f è iniettiva e/o suriettiva.





(52) [4u] Sia T ⊂ E3 il tetraedro di vertici A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 0), C = (1, 0, 1), D = (0, 1, 1).

(i) Mostrare che T è un tetraedro regolare.

(ii) Determinare raggio e centro delle sfere inscritta e circoscritta di T .

(iii) Determinare le coordinate delle proiezioni dei vertici di T , proiettate sul piano z = 0 con proiezioneparallela alla direzione (1, 2, 3).

(iv) Calcolare il volume di T .

§ 7. A.A. 2009-10

SCRITTO #1 - 23 GIU 2009 (14:30, U1-03)

(53) Consideriamo il seguente sottoinsieme di R2 (con la topologia euclidea):

X = (x, y) ∈ R2 : xy ∈ Z.


(ii) Consideriamo l’iperbole C di equazione x2 − y2 = 1. L’intersezione X ∩C è aperta nella topologia diC? È chiusa nella topologia di C? E nella topologia di R2?

(iii) X e X ∩C sono compatti? sono connessi?

(iv) Si consideri la funzione φ : Z × X → R2 definita ponendo

φ(k, (x, y)) = (2kx, 2ky).

È vero che l’immagine di φ è contenuta in X?

(54) Dimostrare che:

(i) S1 non è omeomorfo ad un intervallo.

(ii) Gli intervalli (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.

(iii) Se uno spazio topologico X è connesso e X = A∪ B con A = ∅ e B = ∅, allora o A∩ B = ∅ oppureB ∩ A = ∅.

(iv) Se X ⊂ R non è un intervallo, allora non è connesso.

(55) Sia G ⊂ SO(2) un sottogruppo di SO(2) e X = S1 ⊂ R2, con l’azione standard di G su X. Mostrareche:

(i) Per ogni g ∈ G, la mappa x ∈ S1 7→ gx ∈ S1 è un omeomorfismo.



§ 7. A.A. 2009-10 267

(ii) Se G è un gruppo ciclico finito, allora X/G ≈ S1.

(iii) Se l’orbita di x ∈ X non è un insieme finito, allora G non è un gruppo finito.

(iv) Per n ≥ 2 fissato, quali sono gli elementi di SO(2) di ordine n?

(56) Siano A e B due punti distinti di E2, e f , g le rotazioni attorno ad A e B (rispettivamente) di angoloπ.

(i) Determinare i punti fissati dalle composte f g e gf .

(ii) Descrivere tutti gli elementi del gruppo di isometrie di E2 generato da f e g. È un gruppo abeliano(commutativo)?

(iii) Determinare l’orbita di A, di B e del punto medio del segmento AB.

(57) Si considerino in P2(R) le rette H = [x0 : x1 : x2] ∈ P2(R) : x1 = 0 e H′ = [x0 : x1 : x2] ∈P2(R) : x2 = 0.

(i) Al variare di P ∈ H, si scriva l’equazione della retta lP passante per P e per il punto Q, dove Q = [0 :1 : 1] è fissato.

(ii) Si determini l’intersezione di lP con H′ in funzione di P.

(iii) La funzione indotta H 7→ H′ manda punti all’infinito in punti all’infinito, se la retta all’infinito haequazione x0 = 0)?

(iv) Si scriva in coordinate affine (la retta all’infinito ha equazione x0 = 0) la trasformazione indotta da Had H′.

SCRITTO #2 - 14 LUG 2009 (14:30, U1-03)

(58) Sia GA(n, R) il gruppo affine su X =An(R), e A ∈An(R) un punto.

(i) Qual è lo stabilizzatore di A in GA(n, R)? Qual è l’orbita di A in X? L’azione è transitiva?

(ii) Si consideri l’azione di GA(n, R) su X × X definita ponendo f (A, B) = ( f (A), f (B)) per ogni f ∈GA(n, R) e per ogni (A, B) ∈ X2. Al variare di (A, B) ∈ X2, quali sono lo stabilizzatore e l’orbita di(A, B)? L’azione è transitiva?

(iii) Si consideri l’azione di GA(n, R) su X × X × X definita ponendo f (A, B, C) = ( f A, f B, f C) per ognif ∈ GA(n, R) e per ogni A, B, C ∈ X. Al variare di (A, B, C) ∈ X3, quali sono lo stabilizzatore e l’orbitadi (A, B, C)?

(59) Sia X un insieme e τ ⊂ 2X la famiglia formata da tutti i sottoinsiemi A di X che hanno complementofinito, cioè tali che X ∖ A ha un numero finito di elementi, più l’insieme ∅.




(i) Dimostrare che τ è una topologia su X.

(ii) Mostrare che se X è finito, allora con la topologia τ è di Hausdorff.

(iii) Mostrare che se X non è finito e A, B ⊂ X sono due aperti non vuoti di τ, allora A∩ B = ∅: dedurre chese τ è di Hausdorff, allora X è finito.

(iv) Determinare per quali cardinalità di X lo spazio topologico (X, τ) è connesso.

(60) Si consideri il sottoinsieme di R definito da

X = pq

: p ∈ Z, q ∈N, q > 0, |p2 − q2| ≤ 10100,

con la topologia indotta da quella metrica di R.

(i) X è chiuso?

(ii) X è compatto?

(iii) X è connesso?

(61) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R2 sono compatti e quali sono connessi.

(i) (x, y) ∈ R2 : x10 + y10 < 10.(ii) (x, y) ∈ R2 : ∃n ∈N : xn + yn = n.(iii) (x, y) ∈ R2 : ∃n ∈N, n ≥ 1 : 1 + x + x2 + . . . + xn = y.

(62) Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio affine An(R).

(i) Dimostrare che la retta r che passa per i punti medi di AB e BC è parallela alla retta per AC.

(ii) Si consideri la chiusura proiettiva X del piano affine che contiene ABC. Scrivere, in un sistema diriferimento proiettivo opportuno, l’equazione della retta r.

(iii) Determinare il punto all’infinito di r.

(iv) Scrivere, in un opportuno sistema di riferimento proiettivo su X, una proiettività che permuti ciclicamentei tre punti ABC.

SCRITTO #3 - 29 SET 2009 (14:30, U1-11)

(63) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti insiemi:

(i) x ∈ Z : x2 ∈ Q.(ii) z ∈ C : z2 ∈ Z.



§ 7. A.A. 2009-10 269

(iii) z ∈ C : z2 ∈ Q.(iv) x ∈ R : x2 ∈ Z.

(64) Dei seguenti sottoinsiemi (rispetto alla topologiametrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi,compatti.

(i) (x, y) ∈ R2 : ex+y ∈ Z.(ii) z ∈ C : ez ∈ Z.(iii) t ∈ R : eit = e2it, dove i =

√−1.

(iv) (z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 = 1, dove |z|2 = zz.

(65) Siano A, B, C, D quattro punti indipendenti dal punto di vista affine di A3(R), e G il gruppo di tuttele affinità che mandano l’insieme A, B, C, D in sé.

(i) Determinare il numero di elementi di G.

(ii) Determinare il numero di elementi degli stabilizzatori rispetto all’azione del gruppo G di A, di B, di C,e di D.

(iii) L’azione di G è transitiva su A, B, C, D?(iv) Determinare l’insieme dei punti dello spazio affine fissati da tutti gli elementi di G.

(66) Siano A = B due punti di E4, v e w due vettori indipendenti e r, l le rette per A, B e con giacitura v, wrispettivamente.

(i) Determinare il numero di rette ortogonali (e incidenti) a r e l.

(ii) Discutere la dimensione del più piccolo sottospazio affine che contiene le due rette r e l.

(iii) Se r e l non si intersecano, determinare il numero di piani che contengono sia r che l.

(67) Siano A = [1 : 0], B = [0 : i] e C = [1 : i] tre punti di P1(C).

(i) Trovare, se esiste, una proiettività f : P1(C)→ P1(C) tale che f (A) = A, f (B) = B e f (C) = C.

(ii) Dimostrare che se f : P1(C) → P1(C) è una proiettività che fissa almeno tre punti distinti, allora f èl’identità.

(iii) Determinare se esistono matrici F ⊂ GL(2; C) che inducono una proiettività f = [F] : P1(C) → P1(C)con un unico punto fisso.

SCRITTO #4 - 20 NOV 2009 (14:30, U2-02)




(68) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:

(i) k3h : h, k ∈ Z.

(ii) (2m)1/n : m, n ∈ Z, n dispari.

(iii) hk

: h, k ∈ Z, hk ≤ 1, k = 0.

(iv) cosnπ

2009: n ∈ Z.

(69) Dei seguenti sottoinsiemi di R2 ≈ C (rispetto alla topologia metrica), si determini se sono aperti,chiusi, connessi, compatti.

(i) (x, y) ∈ R2 : x + 2y + xy ≤ 1.(ii) (x, y) ∈ R2 : x3 − y3 ≥ 3.

(iii) z ∈ C :zz

z + z∈N∨ z = 0.

(iv) z ∈ C : z + z2 + . . . + z10 = 0.

(70) In A2(R) sian P0, P1 e P2 i tre punti

P0 = (1, 0), P1 = (3, 1), P2 = (2, 2).

(i) Si determinino le coordinate x, y del baricentro Q del triangolo P0, P1, P2.

(ii) Siano u, v le coordinate affini rispetto al riferimento affine P0, P1, P2. Si scrivano u, v in funzione dix, y.

(iii) Si determinino le coordinate u, v di Q.

(iv) Si scriva l’equazione della proiezione sulla retta P0P1 parallela alla direzione−−−−→P0P2, nelle coordinate più

convenienti.

(71) Siano date in A2(C) le due rette r e s di equazione rispettivamente ix + y = 1 e x + iy = i.

(i) Determinare le coordinate dei punti di intersezione di r e s.

(ii) Trovare, se esiste, un sistema di riferimento affine in cui le due rette r e s siano gli assi cartesiani.

(iii) Sia P2(C) la chiusura proiettiva di A2(C). Scrivere le equazioni dei completamenti proiettivi di r e sin un sistema di riferimento opportuno.

(iv) Esiste una proiettività che manda r in s? Se sì trovarne una, altrimenti dimostrare che non è possibile.

(72) Sia P1(R) la retta proiettiva reale, e f : S1 → P1(R) la funzione definita da f ((cos t, sin t)) =[cos t : sin t]. Dimostrare che:

(i) f è ben definita e continua.



§ 7. A.A. 2009-10 271

(ii) f è suriettiva.

(iii) f è una funzione chiusa.

(iv) Determinare se f è un omeomorfismo.

SCRITTO #5 - 19 GEN 2010 (14:30, U1-14)

(73) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi degli spazi topologici (metrici)indicati:

(i) eh+ik : h, k ∈ Z ⊂ C.

(ii) enπ/4i : n ∈ Z ⊂ C.

(iii)

1

1h+

1k

: h, k ∈ Z, hk = 0

⊂ R.

(iv) sin(kπ/5) cos(hπ/5) : h, k ∈ Z ⊂ R.

(74) Dei seguenti sottoinsiemi di R2 ≈ C (rispetto alla topologia metrica), si determini se sono aperti,chiusi, connessi, compatti.

(i) (x, y) ∈ R2 : y2 ≥ x3.(ii) (x, y) ∈ R2 : (x12 + y12)3 ≤ (x3 + y3)12.(iii) z ∈ C : |z|4 = z + z.

(75) Sia F5 il campo con 5 elementi, e A = (1, 2), B = (0, 0) i due punti di A2(F5).

(i) Scrivere l’equazione della retta per A e B in A2(F5).

(ii) Quanti elementi ha l’insieme X = (x, y) ∈A2(F5) : x2 + y2 = 1?(iii) Determinare il numero e le equazioni delle rette per (1, 0).

(iv) Calcolare il numero totale di rette in A2(F5).

(76) Sia G il gruppo di tutte le proiettività P1(C)→ P1(C) che fissano il punto [1 : 0] ∈ P1(C).

(i) Per ogni proiettività g, descrivere g in forma di matrice 2 × 2, e determinare la condizione g([1 : 0]) =[1 : 0].

(ii) Sia A1(C) ⊂ P1(C) la retta affine con la carta [x : 1]. Mostrare che per ogni g ∈ G, g manda A1(C)in sé.




(iii) Scrivere la restrizione di g ∈ G sulla parte affine A1(C) in coordinate affini.

SCRITTO #6 - 16 FEB 2010 (14:30, U1-06)

(77) Sia X un insieme e τ ⊂ 2X la famiglia formata da tutti i sottoinsiemi A di X che hanno complementofinito, cioè tali che X ∖ A ha un numero finito di elementi, più l’insieme ∅.

(i) Dimostrare che τ è una topologia su X.

(ii) Mostrare che se X è finito, allora con la topologia τ è di Hausdorff.

(iii) Mostrare che se X non è finito e A, B ⊂ X sono due aperti non vuoti di τ, allora A∩ B = ∅: dedurre chese τ è di Hausdorff, allora X è finito.

(iv) Determinare per quali cardinalità di X lo spazio topologico (X, τ) è connesso.

(78) Determinare tutti i punti di accumulazione dei seguenti insiemi:

(i) x ∈ Z : x3 ∈ Q.(ii) z ∈ C : z3 ∈ Z.(iii) z ∈ C : z3 ∈ Q.(iv) x ∈ R : x3 ∈ Z.

(79) Dei seguenti sottoinsiemi (rispetto alla topologiametrica), si determini se sono aperti, chiusi, connessi,compatti.

(i) (x, y) ∈ R2 : ex−y ∈ Z.(ii) z ∈ C : ez ∈ Z.(iii) t ∈ R : eit = e3it, dove i =

√−1.

(iv) (z, w) ∈ C2 : |z|2 − |w|2 = 1, dove |z|2 = zz.

(80) Siano A e B due punti distinti di E2, e f , g le rotazioni attorno ad A e B (rispettivamente) di angoloπ.

(i) Determinare i punti fissati dalle composte f g e gf .

(ii) Descrivere tutti gli elementi del gruppo di isometrie di E2 generato da f e g. È un gruppo abeliano(commutativo)?

(iii) Determinare l’orbita di A, di B e del punto medio del segmento AB.



§ 7. A.A. 2009-10 273

(81) In A2(R) siano P0, P1 e P2 i tre punti

P0 = (1, 0), P1 = (2, 1), P2 = (2, 2).

(i) Si determinino le coordinate x, y del baricentro Q del triangolo P0, P1, P2.

(ii) Siano u, v le coordinate affini rispetto al riferimento affine P0, P1, P2. Si scrivano u, v in funzione dix, y.

(iii) Si determinino le coordinate u, v di Q.

(iv) Si scriva l’equazione della proiezione sulla retta P0P1 parallela alla direzione−−−−→P0P2, nelle coordinate più

convenienti.

(82) Siano A = [1 : 0], B = [0 : i] e C = [1 : i] tre punti di P1(C).

(i) Trovare, se esiste, una proiettività f : P1(C)→ P1(C) tale che f (A) = A, f (B) = B e f (C) = C.

(ii) Dimostrare che se f : P1(C) → P1(C) è una proiettività che fissa almeno tre punti distinti, allora f èl’identità.

(iii) Determinare se esistono matrici F ⊂ GL(2; C) che inducono una proiettività f = [F] : P1(C) → P1(C)con un unico punto fisso.



O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó—óóóóóó óóó—óóóóóóó óóóóóóóó

(O vento lá fora.)

—

Il binomio di Newton è bello come la venere di Milo.Peccato che pochi se ne accorgano.

óóóó—óóóóóó óóó—óóóóóóó óóóóóóóó

(Il vento là fuori.)

Poesias de Álvaro de Campos (1935)Fernando Pessoa (1888–1935)

(a + b)n=

n∑k=0

(nk

)akbn−k

276 Bibliografia

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

Testi consigliati

[1] E.Sernesi, Geometria, vol.I-II. Bollati–Boringhieri, 1991,1994,2000.[2] M.Nacinovich: Elementi di geometria analitica. Serie di matematica e fisica, 1996.[3] H.S.M.Coxeter: Introduction to geometry. John Wiley and Sons, 1961, 1969, 1989.

In inglese

[4] Chinn, W. G.; Steenrod, N. E.: First concepts of topology. The geometry of mappings of segments,curves, circles, and disks. New Mathematical Library, Vol. 18. Random House, New York; The L.W. Singer Co., Syracuse, N.Y. 1966 viii+160 pp.

[5] W.A. Sutherland: Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press, 1975.[6] B. Mendelson: Introduction to topology, Dover, 1990.[7] A. I. Kostrikin, Y.I. Manin, Linear algebra and geometry, Gordon and Breach Science Publishers,

1997.[8] Elmer G. Rees: Notes on geometry, Springer-Verlag Universitext, 1983.[9] Burn, R. P.: Groups: a path to geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

[10] Michael C. Gemignani: Elementary topology, Dover (2nd ed), 1990.

Complementi

[11] M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal calcolo all’analisi,Apogeo, 2006.

[12] V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol II, conelementi di geometria e calcolo vettoriale, Apogeo, 2008.

Approfondimenti

[13] Michèle Audin: Geometry, Springer Universitext, 2003.[14] Carlos R. Borges: Elementary Topology and Applications, World Scientific, 2000.[15] Bredon, G.E.: Topology and Geometry, Springer, 1993.[16] Gerard Buskes, Arnoud van Rooij, Arnoud C. M. Rooij: Topological spaces: from distance to

neighborhood, Springer UTM, 1997.[17] V.Checcucci, A.Tognoli, E.Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli, 1977.[18] Conforto, F. and Benedicty, M.: Introduzione alla topologia, Roma (1960), pag. 82.[19] Dieudonné, J: Algebra lineare e geometria elementare. Feltrinelli, 1970.[20] D.Hilbert and S.Cohn-Vossen: Geometry and the Imagination, Chelsea, 1952.[21] Hilbert, D. e Cohn–Vossen, S.: Geometria intuitiva: complemento: I primi fondamenti della topo-

logia, di Pavel Sergevic Aleksandrov/ Davide Hilbert e Stefan Cohn–Vossen. Bollati Boringhieri,2001.

[22] Janich, K.: Topologia, Zanichelli, 1994.[23] Kosniowski, C.: Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, 1988.[24] Singer, I.M. and Thorpe, J.A.: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer, 1967.

Traduzione in italiano: Lezioni di topologia elementare e di geometria, Boringhieri, 1980.[25] Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).



INDICE ANALITICO

Aaccumulazionepunto di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

affinespazio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

affinità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140allineati

punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125alternante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167angoli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162aperta

funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30aperti

di una topologia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18disgiunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

apertodi uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

arco: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81area: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138assioma

delle parallele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145assiomatica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43assiomi

del campo dei numeri reali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41di gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93di Kuratowski: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22di una topologia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

associativaoperazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

automorfismoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

azione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101antipodale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111di gruppi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101di un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102, 117fedele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102transitiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Bbaricentro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125basedi una topologia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Bolzano-Weierstrass: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57bottiglia

di Klein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Ccammino: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

campo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41degli scalari: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117dei coefficienti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118ordinato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Cantor, G.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4carta affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Cauchy

successione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Cauchy-Schwartz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Chasles, M.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119chiusa

funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30chiusi

insieme dei: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

di uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19e limitato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

chiusura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 19dei razionali in R: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38di un sottogruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111proiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

classi di equivalenza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32clopen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73cofattori

di una matrice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95compattezza

degli intervalli chiusi di R: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62degli spazi proiettivi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

compattoinsieme di R: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41per successioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

complementare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4di un aperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13di un chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4complemento ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164completezza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

(non) dei numeri razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65dei numeri reali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65di Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

componenticonnesse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 88

componenti connesse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80composizione

di funzioni continue: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

277

278 INDICE ANALITICO

congiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1connessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

degli intervalli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87dei numeri razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87di Rn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

connessione per archidegli aperti connessi di Rn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81di uno spazio connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73per archi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

connettivi logici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1continuità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 46

di funzioni su spazi metrici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8di una funzione tra spazi topologici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

continuum: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43contrimmagine

di aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8controimmagine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

di un chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14di un intorno circolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6di un sottospazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

convergenza puntuale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48, 50coordinate baricentriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126coordinate omogenee: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182coppie ordinate: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4cubo di Hilbert: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48DDedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 85denso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19determinante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95dimensione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125dimostrazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43dipendenti

punti di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125disgiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

esclusiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1distanza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

di un punto da un sottoinsieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163minima da un piano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

disuguaglianzatriangolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

disuguaglianza triangolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Eelemento neutro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93enunciato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

proprietà di un: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1equazione

omogenea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185omogeneizzata: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

equazionicartesiane: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141parametriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

equivalentimetriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

equivalenzaproiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187relazione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Erlangenprogramma di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

espressioniequivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2logiche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

estremoinferiore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 74inferiore delle distanza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163superiore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 74

Euclidequinto postulato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Ffibrazione di Hopf: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190forma bilineare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155formula

di Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188formula del parallelogramma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

aperta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30caratteristica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24chiusa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 19Ggiacitura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119di un sottospazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188formula di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Grundlagen der Geometrie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

delle rotazioni del piano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104delle rotazioni dello spazio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104delle simmetrie di un quadrato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112lineare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94, 111ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95speciale ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 117

gruppo delle traslazioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118HHausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Iidentificazionedi punti in uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32identità di Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110immagine

di un compatto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 46di un connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76di un intervallo chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41di una rette con una mappa affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

implicazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1doppia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144indipendenti

punti di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125indotta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

aperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13dei laterali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112delle parti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4vuoto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 7

insieme quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32insiemi

complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4



INDICE ANALITICO 279

disgiunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4inclusionedi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4intersezione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4prodotto cartesiano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4unione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6intersezione

di aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7di insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4di intorni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6di rette proiettive: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188finita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

intervalliconnessione degli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74nella retta reale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

intervallodi razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60in un insieme ordinato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74semiaperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

intornicircolari, base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

intorno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6circolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5in uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

inversionein un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

involuzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165iperpiani affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123iperpiano

dei punti impropri: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

isometria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157come trasformazione affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

isomorfismoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186KKönigsberg (i sette ponti di): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Klein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118bottiglia di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Kuratowski: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Llateralidi un sottogruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111, 112lineare

funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139linearmente dipendenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185logica

bivalente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1dei predicati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3MMöbiusnastro di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 69

maggiorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52mappa

affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139diagonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38tra spazi topologici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

mappa di Hopf: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190massimo

di una funzione continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 62

matriciinvertibili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p-adica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9esempi di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8euclidea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

metricheequivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

metrizzabile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 52spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

minimodi una funzione continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 62

minorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Nnastrodi Möbius: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 69negazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1norma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155numeri reali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68numero di Lebesgue: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Oomeomorfismo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26operazione

binaria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93orbita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101orecchini

delle Hawaii: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 71ortogonali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155ortonormale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Ppalla: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5parallela: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121, 128paralleli

sottospazi affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144parallelogramma

formula del: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156parte

affine di un sottospazio proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183parti

insieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4partizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32piano

affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183proiettivo reale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

piano proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35, 69postulati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43preordine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20prodotto

cartesiano di insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4di matrici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94di spazi connessi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80di spazi metrici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65in un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

prodotto scalare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155proiettività: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186proiettivizzato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179proiezione

di uno spazio affine su un sottospazio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146



280 INDICE ANALITICO

ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165prospettica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 194stereografica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26sullo spazio delle orbite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112sullo spazio quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

proiezione sul quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32proiezioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30proposizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

all’infinito di uno spazio proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118di uno spazio proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183impropri di uno spazio proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

puntodi accumulazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 19di uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 18limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 19medio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Qquadrato magico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

quantificatoreesistenziale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3univerale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

quantificatori: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3quaternioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113quinto postulato di Euclide: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Rrapporto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122, 152ratio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122relazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

di equivalenza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 90restrizione

di funzioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26reticolo

degli interi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103retrazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39retta

affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119rette

parallele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121proiettive: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

riferimentoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126ortonormale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

riflessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165parallela ad un sottospazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

riflessionilungo rette: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

riflessiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20rotazioni

gruppo delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Russell, B.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Sscalari: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117segmento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 150sezioni

di Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85sfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

di dimensione 0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73sghembi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

simboliprimitivi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

similitudine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171simmetrie di oggetti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101sottogruppo

di un gruppo topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94sottoinsieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

chiuso di un compatto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45compatto di uno spazio di Hausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

sottoinsiemidi uno spazio topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

sottospazieuclidei ortogonali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

sottospazi affinisghembi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

sottospazioaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123affine generato da punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124affine, paralello e passante per un punto: . . . . . . . . . . . . . . . . . 145proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183proiettivo generato da punti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185, 193

sottosuccessioneconvergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41di una successione convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

spaziomeomorfi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

spazi di funzioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48spazio

affine euclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156delle orbite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102di Hausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43di identificazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5metrizzabile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43omogeneo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102, 112proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18vettoriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117vettoriale euclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118spazio metrico

completo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64spazio vettoriale

euclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155stabilizzatore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101successione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44convergente in uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64di Cauchy: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 64

supporto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Ttautologie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2teoremadel valore intermedio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77di Bolzano-Weierstrass: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62di Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 62di Tychonoff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

topologiabanale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18definizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18



INDICE ANALITICO 281

dei complementi finiti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23di uno spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147di uno spazio metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18generata dalla base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20indotta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

toro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 69, 104totale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42totalmente disconnesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90transitiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20trasformazione

affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139traslazioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

insieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Tychonoff

teorema di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Uunicitàdel limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44della parallela per un punto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

unionedi insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4di una famiglia di intorni circolari: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Vvalore di verità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

valutazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101variabili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1verità

tabelle di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1valori di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

vettori affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118vettori ortogonali

indipendenza lineare dei: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171



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