Acquedotti equazionireti

Riccardo Rigon

Reti di distribuzione idrica

M R

anzat

o -

Ret

i Id

rich

e R

on

co a

ll’A

dig

e

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

2

Sommario

Scrivere le equazioni non significa risolverle!

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

2

Sommario

• Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto di vista matematico le reti di distribuzione idrica


Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

2

Sommario

• Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto di vista matematico le reti di distribuzione idrica

• Si vedranno le equazione di conservazione della massa e di dissipazione dell’energia nelle reti in pressione


Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Una rete di acquedottoDal sistema informativo della Provincia di Trento

Serv

izio

Acq

ue

Pu

bb

lich

e -

P.A

.T.

3

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Riccardo Rigon


Serv

izio

Acq

ue

Pu

bb

lich

e -

P.A

.T.

Sorgenti

4

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon


Serv

izio

Acq

ue

Pu

bb

lich

e -

P.A

.T.

Adduzioni

5

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon


Serv

izio

Acq

ue

Pu

bb

lich

e -

P.A

.T.

Serbatoio di testata

6

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Riccardo Rigon


Serv

izio

Acq

ue

Pu

bb

lich

e -

P.A

.T.

R e t e d i distribuzione

7

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Riccardo Rigon

Una rete di acquedottoTopologia

Torrino piezometrico

Serbatoio di compenso Opera di presa

Adduzione

Distribuzione

8

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Una rete di acquedotto

Descrizione matematica della rete

Gli elementi che compongono una rete sono:

• tratti

• nodi

• maglie

9

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon




tratti

nodi

interni

esterni

maglie

10

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Riccardo Rigon




• tratti

• nodi

• maglie

11

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Riccardo Rigon

12

La rete precedente è una rete mista

Questa è una rete aperta (ad albero)

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

13

Questa una rete a maglie chiuse

Si dice maglia ciascun percorso chiuso che fa capo ad un nodo. La maglia è

indipendente se non può essere ottenuta come combinazione di altre

maglie. Nella figura sopra ci sono tre maglie indipendenti.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon



• Un tratto (o tronco) unisce due nodi (o vertici)

14

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon



La relazione esistente tra il numero di tratti, t, il numero di

maglie m ed il numero di nodi (vertici), n è:

n + m� t ⇥ 1

15

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon



Nella rete precedente ci sono

• 28 tratti

• 4 maglie (indipendenti)

• 25 nodi (11 esterni, 14 interni)

16

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

La matrice di incidenza

Per descrivere matematicamente una rete si può procedere come segue,

numerando i nodi (in rosso) e i tratti (in blu)

17(o di adiacenza)

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon


Nella teoria dei grafi la matrice di incidenza, A, di

un grafo orientato, è la matrice aij di dimensioni

t * n dove:

n è il numero di nodi (vertici) e t è il numero di

tratti.

Se aij =1 il tronco i esce dal nodo (vertice) j;

se aij =-1 il tronco i entra dal nodo (vertice) j;

se aij = 0 il tronco i ed il vertice (nodo) j non

sono collegati

18

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon


a11 = 1

a23 = -1

11

32

21

a21 = 0

Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco

uscente dal nodo di indice inferiore ed entrante nel nodo di indice superiore

19

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon


Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco

uscente dal nodo di indice inferiore end entrante nel nodo di indice superiore

(La somma dei numeri sulle righe deve essere uguale ad 0)20

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

21

12

3

1

2

3

Una rete semplice

nodo serbatoio

nodo serbatoio

nodo serbatoio

Nei nodi serbatoio la piezometrica è fissata dalla quota del serbatoio

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

22

12

3

1

2

3

Una rete semplice

nodo interno

Nel nodo interno la piezometrica NON è fissata, ma deve essere calcolata

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

La matrice di incidenza della rete precedente

La rete precedente si può numerare nel modo illustrato. A è la matrice di

incidenza che la descrive

1 2

3

1

2

3

4

A =

�

⇤1 0 �1 00 1 �1 00 0 1 �1

⇥

⌅

23

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

La matrice di incidenza - IISi osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova

matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi

esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola

colonna)

1 2

3

1

2

3

4A� =

�

⇤�1 | 1 0 0�1 | 0 1 0

1 | 0 0 �1

⇥

⌅

24

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

La matrice di incidenza - IISi osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova

matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi

esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola

colonna)

1 2

3

1

2

3

4A� =

�AI | AS

⇥

25

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

Per ogni nodo interno si può scrivere una equazione di conservazione della

massa. In questo caso

12

3

3

3�

i=1

Qi ai3 = 0

dove Qi è un componente del

vettore colonna delle portate fluenti nei tratti:

Conservazione della massa

26

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

27

EquazioniConservazione della massa

In notazione vettoriale, la precedente equazione si potrebbe scrivere:

dove è la trasposta della matrice di incidenza (adiacenza)

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

Ovvero:

12

3

3�Q1 �Q2 + Q3 = 0


28

Se è il vettore colonna

che corrisponde alle portate eventualmente

fornite od emunte ai vari nodi.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

29

EquazioniConservazione della massa

Se si assume che vi sia un emungimento, immissione di portata

anche nel nodo 3, allora il vettore P diviene:

Le prime tre equazioni risultano delle assegnazioni e renderebbero

il sistema sovradeterminato. In genere non tutte queste portate

sono assegnate e, in questo caso, le equazioni corrispondenti,

vengono tolte dal sistema (con una riduzione del numero di colonne

di A)

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

Si ossserci che si è assunto che gli emungimenti avvengano ai nodi in questo

caso nessuna equazione di conservazione è associata ai tratti, dove la portata si

limita a fluire.

1

Q1

Il flusso di massa determina però una perdita di carico lungo la condotta


30

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

La rete in pressione è soggetta a consumi variabili durante il giorno e durante i

mesi. Tuttavia per la progettazione delle reti, si assume che il moto delle

condotte in pressione sia permanente con portata pari alla portata di progetto

(generalmente la portata massima nel giorni di massimo consumo). Il moto

inoltre si assume in regime turbolento, anche se è evidente che in alcuni tratti

terminali il moto potrebbe essere di tipo laminare.

1

Q1


31

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

La perdita di carico è proporzionale al quadrato della velocità dell’acqua fluente

e si può allora calcolare con la formula di Darcy-Weisbach o Gaukler e Strickler

(Manning nella letteratura anglosassone)

Darcy-Weisbach

Gaukler e Strickler Ji =v2

i

K2s i R4/3

h i

=44/3 v2

i

K2s i D4/3

i

Ji =�i v2

i

2gDi

Dissipazione dell’energia

32

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

Ovvero, in funzione delle portate:

Darcy-Weisbach

Gaukler e Strickler

Ji =2�i Q2

i

g ⇥2 D3i


33

Ji = 10.2936Q2

i

K2s i D16/3

i

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

34

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

In generale, esprimendo la formule con coefficienti generici e in funzione della

portata fluente

Ji = bi D�µi Qi|Qi|��1 � = 2


35

i

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

Equazioni

Dunque la differenza di altezza piezometrica, Hi, tra due nodi successivi è

espressa come

hk =

�

⇤h1

...hn

⇥

⌅

dove hk è una componente del vettore (colonna) dei carichi ai nodi


36

Li è la lunghezza del tubo (del tratto) in esame

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

EquazioniDissipazione dell’energia

1 2

3

3

1

2

4

Nel caso della rete ad albero in esame, abbiamo tre equazioni per i tratti:

37

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

38

EquazioniDissipazione dell’energia

Si osservi che le equazioni di dissipazione dell’energia si possono scrivere:

se:

sono vettori riga e se:

sono vettori colonna con

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

EquazioniDissipazione dell’energia + Continuità

Che sommate all’equazione di continuità per il nodo interno (3) danno 4 equazioni,

usando le ultime tre per calcolare le quote piezometriche assolute.

39

�Q1 �Q2 + Q3 = 0

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

40


Assumendo che Q3 sia assegnata dal fabbisogno idrico dell’utenza,

la variabili da determinare rimangono

con 4 equazioni utili. In dipendenza di altre condizioni del problema

in esame potremo determinare due delle variabile scritte sopra e

determinare le altre quattro risolvendo le equazioni a disposizione.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

41


Ad esempio: se è assegnata Q2, anche Q1 risulta assegnata (dall’

equazione di continuità). Rimangono in gioco 4 variabili e tre

equazioni. Se, per esempio, si assegna la quota del nodo

intermedio, si possono determinare univocamente i diametri dei

tudi da usare. Viceversa si potrebbe assegnare il diametro di un

tubo e determinare le altre tre variabili.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

42

Equazioni continuità

In generale, si possono assegnare n equazioni di continuità,

tante quante i nodi interni che possono essere scritte:

o, in forma vettoriale

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

43

All together

Le equazioni insieme risultato allora n+t

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

44

All together in forma matriciale

dove D è la matrice diagonale contenente i diametri dei tubi, I la

matrice diagonale e QT il vettore trasposto delle portate. Il

numero di equazioni è n+t, il numero di variabili dipende dal

problema in esame. Il sistema di equazioni è un sistema non

lineare essendo le portate incognite.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

45

Se i diametri delle tubazioni sono assegnati

Allora il problema diventa un problema di verifica e le incognite

che rimangono sono:

le t portate lungo i tratti

gli n carichi idraulici dei nodi interni

Pertanto il sistema di equazioni è ben determinato

Sunday, May 13, 12

Riccardo Rigon

Verifica delle Reti di Distribuzione Idrica

Acq

ued

ott

o P

ugli

ese.

La

fon

tan

ina

pu

bb

lica

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

47

Il calcolo di una rete consiste nel determinare, per un assegnato insieme di

erogazioni, le portate defluenti lungo i lati e le quote piezometriche nei

nodi.

Nel caso in cui la rete sia alimentata da un unico serbatoio di testata, è

immediato riconoscere che è nota la quota piezometrica nel punto in cui la

condotta di avvicinamento si immette nella rete.

Calcolo delle reti di distribuzione

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

48

Il proporzionamentodi una rete di distribuzione a maglie chiuse rappresenta un

problema complesso e con un elevato grado di indeterminazione algebrica.

In fase iniziale, infatti, sono da ritenersi note soltanto le scabrezze delle

tubazioni (realizzate in ghisa, acciaio o materiali plastici), le lunghezze dei lati

della rete e l’entità delle erogazioni di portata, concentrate nei nodi, con

riferimento alla condizione di funzionamento considerata (di solito si

considerano le portate di punta).

Sono altresì incogniti i diametri delle tubazioni, nonché le quote

piezometriche nei nodi e le portate defluenti lungo i lati.

Proporzionamento

delle reti di distribuzione interna

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

49

Proporzionamento


afte

r R

ob

erto

Gre

co

Per ridurre il sovrabbondante numero di incognite del problema, normalmente si

assegnano i diametri dei tubi a priori, assegnando tubi di dimensioni maggiori per la

rete principale (es. 20-30 cm) e tubi di dimensioni minori per la rete secondaria,

ricordando che l’allaccio delle utenze private è, di solito, 7.5 cm.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

50

Proporzionamento


afte

r R

ob

erto

Gre

co

Tali diametri dovrebbero considerarsi di primo tentativo. Di fatto la loro assegnazione

trasforma il problema di calcolo in un problema di verifica.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

51

Una volta proporzionati i diametri delle tubazioni della rete, è necessario svolgere

le verifiche imposte dalla normativa vigente.

Tali verifiche prevedono la schematizzazione di tre condizioni di funzionamento

convenzionali della rete:

•verifica in condizioni di punta;

•verifica antincendio;

•verifica a rottura di uno più tratti della rete.

Le verifiche consistono nella determinazione delle portate defluenti lungo i lati e

delle quote piezometriche nei nodi. Queste ultime dovranno soddisfare i requisiti

che garantiscano la regolare erogazione delle portate richieste.

Verifica delle reti di distribuzione interna

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

52

La verifica del funzionamento della rete in condizioni di punta consiste nel

considerare tutte le erogazioni medie giornaliere moltiplicate per il

coefficiente di punta orario.

Una volta svolto il calcolo della rete in tali condizioni, si deve verificare che

in tutti i nodi della rete il carico deve superare di almeno 5m il livello del

terzo piano degli edifici (o altra prescrizione locale).

Qualora la verifica non risultasse soddisfatta, bisogna modificare

opportunamente i diametri delle condotte (o innalzare opportunamente il

torrino) e ripetere il calcolo finché non risulti verificato.

Verifica delle reti nelle condizioni di punta

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

53

La verifica antincendio consiste nel garantire, durante lo spegnimento di un

incendio, la regolare erogazione di una portata pari all’80% della media giornaliera.

La portata antincendio si determina considerando che essa sarà erogata con le

manichette delle autopompe dei vigili del fuoco, ciascuna delle quali eroga 15 l/s. Il

numero di idranti nidr da considerare attivi in contemporanea è di norma superiore

o uguale a 2. La portata si calcola di conseguenza.

È buona norma che gli idranti stradali siano posti nella rete ad una

distanza non superiore a 50÷100 m l’uno dall’altro.

Verifica antiincendio

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

54

Ai fini dello svolgimento della verifica antincendio, la portata andrà posizionata nel

punto della rete nel quale l’erogazione di una ingente portata concentrata comporti

i maggiori problemi per il funzionamento complessivo della rete (se

l’individuazione del punto più critico non è univoca, la verifica deve essere ripetuta

più di una volta), ovvero nei punti di minimo piezometrico della rete, in condizioni

di funzionamento normale.

Una volta svolto il calcolo della rete, bisogna verificare che la quota piezometrica

sia ovunque superiore di 5 m all’altezza del terzo piano degli edifici e che, dove è

erogata la portata antincendio, sia superiore di 15 m al piano stradale (condizione

questa per il corretto funzionamento degli apparecchi erogatori delle qutopompe

dei vigili del fuoco).

Verifica antiincendio

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

55

La verifica del funzionamento della rete in occasione della rottura di un lato viene

svolta ipotizzando che la rottura abbia luogo nel punto più critico (di solito uno

dei tratti adiacenti al nodo in cui la condotta di avvicinamento si immette nella

rete).

La verifica consiste nel controllare che l’interruzione del tratto consenta la

regolare erogazione della portata media giornaliera, con la quota piezometrica

di progetto.

Verifica a rottura

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

56

Problemi di Verifica

Symbol Name nickname UnitLi lunghezza del tronco i-esimo li [L]Di diametro della condotta del tronco i-esimo di [L]Qi portata circolante nel tronco i-esimo qi [L3 T�1]Hi perdita di carico idraulico nel tronco i-esimo hi [L]hk carico idraulico nel nodo k-esimo hk [L]Pk portata scambiata con l’esterno nel nodo k-esimo pk [L3 T�1]Cj scabrezza del tronco j-esimo (Darcy-Weisbach) cj []ks j scabrezza del tronco j-esimo (Gaukler-Strickler) ks [L1/3 T�1]

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

57

Definendo la matrice diagonale (t x t):


La verifica avviene usando le equazioni di conservazione della massa (ai nodi) e di

dissipazione dell’energia nei tratti:

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

58


Le equazioni si possono scrivere:

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

59


Il sistema, scritto ora, sinteticamente:

Contiene n + t equazioni (dove n è il numero dei nodi interni e t il numero dei tratti) può

essere semplificato riducendo il numero di equazioni e di incognite

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

60


In particolare, il sistema può essere semplificato considerando la dissipazione

dell’energia solo sulle maglie (e non sui tratti).

Per fare questo è necessario introdurre una matrice di maglia, B, contenente m *

t elementi (pari al numero di maglie per il numero di tratti) il cui valore è

se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ed è in direzione

concorde alla direzione della maglia

�kl = 0

�kl = 1

�kl = �1 se il il tronco l-esimo appartiene alla maglia k-esima ma è in direzione

opposta alla direzione della maglia

seil tronco l-esimo non appartiene alla maglia k-esima

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

61


Nell’esempio due maglie con matrice di maglia:

1 2

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

62


Le equazioni relative ai tronchi possono allora essere sostituite dalle

equazioni di maglia:

t�

l=1

n�

j=1

�kl alj hj =t�

l=1

n�

j=1

�kl �lj Qj

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

63


Allora il sistema diviene:

dove dalla matrice A si è eliminato un nodo, il cui carico risulta dipendente

dagli altri

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

64


Poichè � = �( ⇥Q��1)

la seconda delle equazioni precedenti è una equazione non lineare e il

sistema è non lineare, generalmente di grado, polinomiale, di grado superiore

al quinto e, pertanto, l’equazione risolvente non ha soluzione esatta.

La soluzione deve pertanto essere cercato con metodi iterativi

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

65


Tra questi:

•Il metodo di Cross

•Il metodo di Charles & Wood (1972)

•Il metodo di newton-Raphson (Martin and Peters, 1972)

•Il metodo del gradiente (Todini e Pilati, 1987, Salgado, 1988)

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

66

Problemi di VerificaIl metodo di Charles and Wood

�⇤

⇥

⌅ti=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n� 1

⌅tl=1

⌅nj=1 �kl alj hj =

⌅tl=1

⌅nj=1 �kl �lj Qj k = 1 · · · m

Il sistema:

Viene linearizzato imponendo alla prima iterazione Qj =1, ovvero:

�;1 :=

�

⇧⇧⇤

b1 Dµ1 L1 · · 00 b2 Dµ

2 L2 · 00 · · 00 0 · bt Dµ

t Lt

⇥

⌃⌃⌅

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

67


Posizione che rende il sistema:

risolvibile. La soluzione, nella formulazione appena presentata, è un vettore di

portate di primo tentativo:

�⇤

⇥

⌅ti=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n� 1

⌅tl=1


⌅tl=1

⌅nj=1 �kl �;1

lj Qj k = 1 · · · m

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

68


Queste portate vanno a determinare il successivo valore di “secondo

tentativo, che va a definire il sistema “di secondo tentativo”

che ha, come soluzioni le portate di “secondo tentativo”:

�;2

�⇤

⇥

⌅ti=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n� 1

⌅tl=1


⌅tl=1

⌅nj=1 �kl �;2

lj Qj k = 1 · · · m

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

69


In generale all’interazione s-esima, si otterra la soluzione di “s-esimo tentativo”:

derivante dal sistema:

�⇤

⇥

⌅ti=1 aijQi = Pj j = 1 · · · n� 1

⌅tl=1


⌅tl=1

⌅nj=1 �kl �;s

lj Qj k = 1 · · · m

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

70

�;s :=

�

⇧⇧⇤

b1 D�µ1 |Q1|��1 ;s�1L1 · · 0

0 b2 D�µ2 |Q2|��1 ;s�1L2 · 0

· · · ·0 0 · bt D�µ

t |Qt|��1 ;s�1Lt

⇥

⌃⌃⌅


Dove:

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

71


Il processo iterativo si ferma quando la differenza relativa tra le portate

all’iterazione s-esima e l’iterazione (s-1)-esima sono più piccole di un valore

prefissato: � > 0

Ovvero:

t�

i=1

|Q;si �Q;s�1

i ||Q;s

i | < �

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

72

Un esempio con due maglie

nodi: 6

maglie: 2

serbatoi: 0

tratti: 7

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

73

nodi: 6

maglie: 2

serbatoi: 0

tratti: 7

Un esempio con due maglie

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

74

nodi: 6

maglie: 2

serbatoi: 0

tratti: 7

Equazione di Continuità

Le equazioni non sono però linearmente indipendenti: solo 5 lo sono

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

75

Equazione di dissipazione dell’energia

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

76

Il sistema complessivo

Il sistema complessivo contiene,

assegnati i diametri dei tubi per la

verifica, 7 portate e 6 altezze

idrometriche incognite e 12 equazioni.

Il sistema è non quindi completamente

determinato.

Si richiede quindi che uno dei carichi

sia fissato. Gli altri, assieme alle

por ta te , der ivano a l lora da l l a

soluzione del sistema.

Sunday, May 13, 12


Riccardo Rigon

77

Se sono da determinare solo le portate

Allora le equazioni si possono semplificare. Per determinare le 7 variabili in

gioco possiamo limitarci ad usare le 5 equazioni di continuità e le due

equazioni di maglia:

Sunday, May 13, 12

Riccardo Rigon

Sunday, May 13, 12

Acquedotti equazionireti

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