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Liceo scientifico A. Volta di Torino

Una proposta per la matematica del Una proposta per la matematica del biennio tra contenuti e attivitàbiennio tra contenuti e attività

Pierangela Accomazzo

Silvia Beltramino

Torin

o, 2

8 se

ttem

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2012

Pierangela AccomazzoMarilina AjelloGianpaolo BaruzzoSilvia BeltraminoSebastiano CappuccioMaria Angela ChimettoRossella Garuti

La Commissione CIIM sulle indicazioni curricolari

Rossella GarutiRaffaella ManaraPaola RanzaniRiccardo RugantiLuigi TomasiSergio Zoccante

Coordinatore: Ercole Castagnola

Le linee guida indicate dalla CIIM:

Coerenza con le Indicazioni Nazionali e la normativa in vigore sull’obbligo scolastico.

Continuità con le Indicazioni Nazionali per la Scuola del Primo Ciclo.

Flessibilità delle proposte didattiche per un facile adattamento a ogni corso di Studi Superiori.

Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili in rete di sicura affidabilità e già sperimentati.

Particolare attenzione alle “novità” delle IndicazioniParticolare attenzione alle novità delle Indicazionirelative agli ambiti “Geometria” e “Dati e previsioni”.

Esempi e indicazioni per un uso consapevole dello strumento informatico.

Modalità per la realizzazione di momenti di Didattica laboratoriale.

Indicazioni su pratiche didattiche da evitare.

Indicazioni sulle prove di verifica.

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Due proposte di percorso Due proposte di percorso ……

… a seconda degli ordini di scuola e degli orari curricolari

Percorso ‘analitico’

Percorso ‘sintetico’

Percorso ‘analitico’

I quadri orari della scuola della riforma: i corsi con I quadri orari della scuola della riforma: i corsi con Matematica ‘deboleMatematica ‘debole’’

COSA? Quali argomenti sono irrinunciabili? Che cosa considerare già svolto negli anni precedenti?

COME? Con quale profondità, con quali metodologie?

COME valutare?

Le scelte della Commissione:Le scelte della Commissione:Non penalizzare nessun ambitoEvidenziare i collegamenti tra i vari ambiti

in orizzontale (Nuclei diversi) in verticale (primo/secondo grado)

Articolare gli argomenti in ‘blocchi’ tematici, con indicazioni metodologicheindicazioni metodologichenumero di ore indicativo

Per ogni ‘blocco’ si suggeriscono una o più attività

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La suddivisione oraria del primo annoLa suddivisione oraria del primo anno

Aritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni

10 h* (C1): Equazioni edisequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)

10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di f n ioni

Geometria20 h (G1): Recupero,consolidamento eapprofondimento delleconoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraversoprocedimenti costr tti i e

Aritmetica e algebra

Relazioni e funzioni5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione

dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni)

5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)

procedimenti costruttivi e argomentativi

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)

Per

cors

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Nelle Indicazioni nazionali si legge:

“il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico”

[…] “lo studente acquisirà la capacità di i l li l i i l tt li i

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LGE eseguire calcoli con le espressioni letterali sia

per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica”

http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20delle%20scienze%20umane.pdf

Pensa un numero intero• somma ad esso 12• moltiplica il risultato per 5• sottrai 4 volte il numero pensato• somma al risultato 40

Che numero hai ottenuto?

m@

t.abe

l L’uso delle lettere non si riduca al solito

calcolo algebrico, ma anzi lo preceda e

serva ad esprimere le proprietà dei numeri

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

gebr

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l’alg

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ge

bra

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lgeb

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n …+12 … 5 … - 4 … …+40 Cosa ottieni?

7 7+12 (7+12) 5 (7+12) 5 –4 7

[(7+12) 5 - 4 7]+40

Prova ora a “generalizzare” l’espressione scritta, in modo indipendente dal numero pensato

L’ar

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ge

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La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici”

Considera il prodotto 15·25puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5)quindi per la solita proprietà, hai 20·20 + 20·5 – 5·20 -5·5dopo le semplificazioni ottieni 20·20 + 20·5 – 5·20 -5·5 Cioè 202 − 52.

Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti:28·32 =……………………………………………………………97·103 =……………………………………………………………

Eseguire operazioni tra numeri • a mente • con gli usuali algoritmi

scritti• con strumenti valutando quale strumento può essere più opportuno

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

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l’arit

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• Interpretare geometricamente l’equivalenza di due formule

• esprimere con parole e con formule le regolarità osservate

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

gebr

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l’alg

ebra

ge

bra

e l’a

lgeb

ra

Dalla congettura, all’argomentazione, alla dimostrazione:i simboli per esprimere, comunicare, generalizzare e risolvere problemi

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni.

L’ar

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ica

Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito?

Consigli e sconsigliConsigli e sconsigli

È importante mantenere forte, soprattutto nelle prime manipolazioni algebriche, il significato delle formule e far capire all’allievo che il calcolo algebrico non è fine a se stesso.

Nell’affrontare le tecniche di calcolo algebrico sarà opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il ‘senso’ di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento.

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Consigli e sconsigliConsigli e sconsigli

Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo

Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a esprimere con parole e con formule le regolarità osservate (eventualmente anche mediante rappresentazioni grafiche), a fare previsioni … un utile strumento di lavoro è il foglio elettronico o la costruzione di alcuni semplici algoritmi implementabili sul calcolatore

Non trasferiscono all’ambito numerico il raccoglimento a fattor comune. Il calcolo simbolico è un campo di esperienza recintato e01

1PR

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LSI

PRO

VE IN

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I

esperienza recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. L’algebra non è strumento di pensiero

Non risp A B C D 2,4 35,0 1,9 22,0 38,7

Cla

sse

II su

p. –

2020

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Se il contesto è quello delle ‘lettere’ gli allievi individuano più facilmente la proprietà delle operazioni a cui fare ricorso

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LSI

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II su

p. – fare ricorso.

I registri numerico ed algebrico sembrerebbero costituire, per molti, campi di esperienza separati.

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La suddivisione oraria del primo annoLa suddivisione oraria del primo anno

Aritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni

10 h* (C1): Equazioni edisequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)

10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di f n ioni

Geometria20 h (G1): Recupero,consolidamento eapprofondimento delleconoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraversoprocedimenti costr tti i eRelazioni e funzioni

5 h (R1): Introduzione al concetto di funzione

dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni)

5 h* (C3): Analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)

procedimenti costruttivi e argomentativi

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)

Per

cors

o “s

inte

tico”

Relazioni e funzioni

Nelle Indicazioni nazionali si legge:Obiettivo di studio sarà il linguaggio degli insiemi e delle funzioni, anche per costruire semplici rappresentazioni di fenomeni e come primo passo all’introduzione del concetto di modello matematico.

Lo studente sarà in grado di passare agevolmente da un registro di rappresentazione a un altro (numerico,

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11°°A

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grafico, funzionale), anche utilizzando strumenti informatici per la rappresentazione dei dati.

…lo studente apprenderà a descrivere un problema con un’equazione, una disequazione o un sistema di equazioni o disequazioni; a ottenere informazioni e ricavare le soluzioni di un modello matematico di fenomeni

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http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20delle%20scienze%20umane.pdf

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Analizzare e rappresentare fenomeni che variano nel tempo

Inspirate ed espirate con regolarità più volte per circa 1 minuto. Che tipo di grafico può rappresentare a vostro avviso la variazione della quantità d'aria presente nei polmoni nel minuto

Le funzioni sono strumenti matematici particolarmente adatti alla descrizione di fenomeni (non solo del mondo fisico) e alla costruzione di semplici modelli matematici per effettuare scelte e avanzare previsioni

Indicazioni del “Percorso Sintetico”Intro

duzi

one

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Intro

duzi

one

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onc nei polmoni nel minuto

appena trascorso?

Giustificate la risposta

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Si dovranno far cogliere agli studenti gli

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L'insegnante traccia alla lavagna alcuni grafici.Ciascun gruppo deve dare l'incarico a un suo componente di riprodurre una modalità di respirazione che dia luogo a una variazione della quantità d'aria presente nei polmoni, ben rappresentata dal grafico preso in considerazione.

aspetti qualitativi dei grafici (è opportuno utilizzare anche il linguaggio naturale) ponendo, sin dai primi esempi, quesiti del tipo: “Prova a descrivere l’andamento del grafico, è costante? Cresce? Dove cresce? Come cresce? Decresce? Come decresce? Ci sono valori massimi? Ci sono valori minimi?, ecc.”.

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

Intro

duzi

one

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once

Intro

duzi

one

al c

once

Studiare il perimetro dei quadrati di lato variabile x;

Attenzione al passaggio da un registro rappresentativo all’altro ed al controllo dei risultati. E’ consigliato l’uso di software opportuni

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

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Formula: y = 4x

La funzione "cresce costantemente” (linearmente).Intro

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Corsi di pallavolo

• quota di iscrizione di 20 euro

• quota mensile di 5 euro

Marco ha speso 75 euro: per quanti mesi ha frequentato il corso?

Ha a disposizione 123 euro: per quanti mesi al più può f t il ?

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Allin

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frequentare il corso?

L’argomento equazioni e disequazioni (che si consiglia di non separare) deve essere affrontato abbastanza presto. Gli studenti devono acquisire padronanza consapevole e non solo meccanica di metodi risolutivi scegliendo registri e ambiti operativi e mantenendo il controllo dei risultati.

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

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oria

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oria

mo

le fu

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ni 20+5x=75

Allin

eam

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enti

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ri 20+5x<123

L’introduzione al concetto di funzione deveavvenire attraverso esempi di situazioni molto diverse tra loro (utilizzate per le indagini statistiche, costruite a partire da relazioni geometriche, che si riferiscono a situazioni di vita reale, basate su proprietàtratte dall’aritmetica, ecc..) e l’uso delle rappresentazioni (numerica, simbolica, grafica) deve essere sempre accompagnato dall’analisi dei vantaggi

Consigli Consigli ……

essere sempre accompagnato dall analisi dei vantaggi e dei limiti che ognuna di esse comporta.

L’uso di un software opportuno è consigliato per compilare tabelle e realizzare grafici.

Da evitare l’introduzione al concetto di funzione con la rappresentazione sagittale della corrispondenza tra due insiemi, è utile solo dopo avere messo insieme una vasta gamma di situazioni (empiriche e algebriche) dove si sono cercate e capite le relazioni che intercorrono tra le grandezze in gioco.

…… e Sconsiglie Sconsigli

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p. –

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Non risp A B C D 5,6 47,3 20,8 9,2 17,1

Non risp A B C D 5,6 47,3 20,8 9,2 17,1

Risultati in Italia

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Non risp A B C D 11,8 8,1 33,2 38,1 8,9

Risultati in Italia

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Conoscenze Abilità Competenze AttivitàEquazioni e disequazioniEquazioni e disequazioni di primo grado: metodi numerici (tabelle), grafici (piano cartesiano), simbolici “Relazioni e funzioni”, funzioni lineari

Sviluppare il significato di variabile e di equazione, comprendendone il ruolo nei diversi contesti.Tradurre agilmente dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa.Impostare e risolvere problemi modellizzabiliattraverso equazioni, disequazioni e

Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di

1F - Allineamenti – esploriamo le funzioni lineari (m@t.abel)Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado, individuare relazioni significative fra grandezze di varia natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni2F - Equazioni e disequazioni di primo grado (m@t.abel) 3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono (m@t.abel)Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabiliattraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica, problemi che si descrivono mediante equazioni, disequazioni funzionidisequazioni e

sistemi di primo e secondo grado.Risolvere per via grafica, numerica o algebrica equazioni, disequazioni, sistemi di primo grado; saper verificare la correttezza dei risultati.

gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico

disequazioni, funzioni4 – Fare matematica con i documenti storici – equazioni (IPRASE)Documento ricco di spunti e attività. La parte specifica sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi e problemi – proposti nella storia – che in alcuni casi possono essere risolti senza impostare un’equazione, altri invece che richiedono una rilettura attenta per la comprensione del testo.5F – Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet scaricabile dal sito:http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html)Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi.6F – Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa)7F – Problemi sui sitemi lineari (Ma.Co.Sa)P

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Un cenno al problema della Un cenno al problema della verifica e della valutazioneverifica e della valutazione

L’attenzione ai comportamenti degli studentiUna griglia per l’osservazione inUna griglia per l osservazione in laboratorioProve che tendano a verificare la spendibilità delle nozioni apprese in contesti diversi

15 h• Indagine statistica (es. attività m@t.abel “I giovani e la musica”)

10 h• Numeri naturali, interi e razionali: proprietà e operazioni

5 h• Introduzione al concetto di funzione (es. attività m@t.abel “Introduzione al concetto di funzione”)

10 h

• Recupero, consolid. e approf. delle conoscenze pregresse sulle figure dello spazio e del piano: proprietà essenziali dei triangoli e dei quadrilateri, parallelismo e perpendicolarità. Si consiglia di privilegiare l’aspetto costruttivo e argomentativo, utilizzando anche software di Geometria dinamica (es. attività m@t.abel “Esplorazione di figure piane: dalle congetture alla dimostrazione”)

10 h• Equazioni e disequazioni di primo grado (es. attività m@t.abel “Equazioni e disequazioni di primo grado”)

80 ore

5 h• Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni

10 h• Isometrie del piano (es. attività m@t.abel “Tangram e tassellazioni”)

5 h• Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni

5 h• Analisi di diverse funzioni (si consiglia di far riferimento al sito MaCoSa, andando alle voci “Funzione” 1 e 2)

5 h• Calcolo simbolico fino ai prodotti notevoli (es. attività m@t.abel “L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta

l’aritmetica”)

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http://www.umi-ciim.it/costruzione_di_percorsi_didattici_di_matematica_coerenti_con_le_indicazioni_della_riforma--85.html

http://www.risorsedocentipon.it

http://www.invalsi.it

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pi.accom@tin.itsilvia.beltramino@gmail.com