A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini 1 Quantisticamente? Barriera di potenziale...

A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. Piccinini

1

0V

Quantisticamente?

Barriera di potenziale

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

con “effetto tunnel” ci si riferisce al fenomeno tipicamente quantistico secondo il quale una particella e’ in grado di filtrare attraverso una barriera di potenziale

E = T + V = energia meccanica della particella, V0 = altezza della barriera di potenziale

“turning point” = posizione in cui si ha E = V0 ossia posizione nella quale l’energia cinetica del carrello si annulla

Effetto tunnel

che classicamente non potrebbe sormontare perche’ la sua energia totale

se E > V0 il carrello sara’ in grado di superare la collina ossia la particella classica sara’ in grado di sormontare la barriera di potenziale e proseguire oltre

se E < V0 il carrello non sara’ in grado di superare la collina e ritornera’ indietro, ossia la particella classica verra’ “ riflessa ” dalla barriera di potenziale

E

Classicamente:(potenziale piu’ cinetica) e’ inferiore all’energia potenziale della barriera.


0 L

2

V(x) = V0 per 0 < x < LV(x) = 0 per x < 0 e x>L

2 2

2

1

22

3

V Em x

1 2 3

e x continue

nei punti di discontinuità di V

per risolvere il problema occorre calcolare e raccordare fra di loro le soluzioni stazionarie per

… 3 regioni spaziali …

0

0

0 E V

E V

… x 2 regioni energetiche = 6 soluzioni



Secondo la meccanica quantistica, la particella può passare nella regione con x > L, cioè esiste una probabilità finita che l’onda di materia ad essa associata penetri attraverso la barriera, giungendo nella regione x > L

Stati di riflessione: E < V0

10 eV

5 eV

5 A1 A

tale situazione viene denominata effetto tunnel

3

Onda stazionaria

Onda piana

http://www.westga.edu/~jhasbun/osp/Potential_Barrier.htm

quindi, la particella non solo puo’ venire riflessa (unico risultato possibile classicamente) ma puo’ anche essere trasmessa oltre la barriera.


Effetto tunnel


Caso analogo (uguale!!) alla buca di potenziale finita, ma diverso dal caso classico:

0

0 0 ( )

( ) 0 ( )

0 ( )

x I

V x V x L II

x L III

L x0

V(x)

I II III

V0

supponiamo di avere a sinistra una sorgente di elettroni con E < V0

( )( , ) , 2 /i kx tx t e E k mE è l'onda iniziale (x < 0), con

classicamente la particella rimarrebbe nella zona I perche’ rimbalza in x = 0

quantisticamente il sistema è descritto dalle stesse equazioni della buca di potenziale:

unica differenza: -V0 +V0

0 0( ) con 2 ( ) / ( se )ik x ik xII x Ce De k m E V E V

per le soluzioni (x) dell’ equazione di Schroedingr indipendente dal tempo si ha



soluzione generale per E < V0:

0

0 ( )2 /

( ) 0 ( ) con2 ( ) / ( )

( )

ikx ikx

x x

ikx

Ae Be x Ik mE

x Ce De x L IIm V E

Fe x L III

definisco: probabilità di riflessione dell’onda probabilità di trasmissione dell’onda

2 2

1 0

2 2

2 0

/ ( , , )

/ ( , , )

R B A f E L V

T F A f E L V

svolgendo i conti:

posto 02

0 0

2 ( )4 1

m E V E Esin L

V V

e

e ( 1)R T T R

si ottiene: L x0

|ψ(x)|

I II III

V0

condizioni al contorno in 0 e in L 4 relazioni: fisso B,C,D,Fnon ho alcuna relazione di quantizzazione!



Effetto tunnel


x < 0 x > L0 < x < L

Zonaclassicamente proibita

( ) ikx ikxx Ae Be

ikx ikxik Ae Bex

( ) ikxx Fe

ikxikFex

( ) x xx Ce De

x xCe Dex

6

2



7

Effetto tunnel

E V0

10 eV12 eV

10 A

19 3, eV

Vai al Physlets 2003/physletprob/ch5_overview/5.5.fig_33.html



l’effetto tunnel ha molte applicazioni tecnologiche, tra cui:

• il diodo ad effetto tunnel in cui il flusso di elettroni (che passa attraverso il dispositivo per tunneling) può essere interrotto o permesso con grande rapidità (<5ps) variando l’altezza della barriera di potenziale (molto importante in applicazioni che richiedono risposte rapidissime).• il Microscopio a Scansione per effetto Tunnel (STM)

8

Effetto tunnel

l’effetto tunnel ha un ruolo in un numero notevole di situazioni tra cui:• decadimenti radioattivi dei nuclei (decadimento -)• Fusione nucleare• Semiconduttori

www.iap.tuwien.ac.at/www/surface/STM_Gallery/stm_schematic.html

www.quantum-physics.polytechnique.fr/ Sez. 1.6

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Effetto tunnel: microscopia ad effetto tunnel

l’effetto tunnel (R) dipende molto dall’ampiezza della zona proibita classicamente

questa sensibilità e’ sfruttata nei microscopi ad effetto tunnel.

caratteristiche: sensore fatto con una punta conduttrice ( un atomo!) posta a breve distanza dal campione (conduttore)

gli elettroni di conduzione passano dalla punta al campione per effetto tunnel.

l’intensità della corrente dipende dalla distanza atomo della punta-atomo del campione!

il moto della punta sulla faccia del campione permette la ricostruzione bidimensionale delle posizioni degli atomi.



Microscopia ad effetto tunnel

Costruzione di immagini con singoli atomi (IBM Labs)

Onde stazionarie di probabilità

posizionamento di 48 atomi di Fe su un substrato di Cu a 4K

recinto quantico



vai all’esercizio decadimento alfa



12

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13

Effetto tunnel


Si può calcolare il Coefficiente di trasmissione:

2 24

2 2

4 aF kT e

A k

1R T … e quello di riflessione:


14

Il LASER

http://ww2.unime.it/weblab/ita/laser/laser_ita.htm

http://www.colorado.edu/physics/PhysicsInitiative/Physics2000/lasers/lasers4.html

http://perg.phys.ksu.edu/vqm/laserweb/Ch-3/F3s5p1.htm

http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html


4

2 2 2 20

1 13.6 eV con 1,2,3, ....,

8n

me RE n

h n n n

Per le energie degli stati permessi si ottiene

m= massa elettronen=numero quantico

Il livello fondamentale (energia minima)dell’elettrone si ha per n=1 e vale -13.6 eV.

Il livello fondamentale e quelli relativi ai valori di n fino a 6 sono riportati a lato

Per si ottiene cioè uno stato non quantizzato.

n 0nE

L’elettrone tende a restare nel suo stato fondamentale. Può passare ad uno stato eccitato solo assorbendo energia (ad esempio un fotone di energia esattamente pari alla differenza dei valori di energia dei due livelli

E h

I valori di energia permessi sono detti autovalori e le corrispondenti funzionid’onda autofunzionin


-13.6

-3.4

E

n=1

n=2n=3

n=4

Serie di Lyman

Serie di Balmer

Perdita di energia per passaggio tra due stati (transizione)

2 2

1 1i f

f i

E E E Rn n

L’energia è emessa sotto forma di energia luminosa:

1 fotone di energia ΔE La serie di Balmer da luce visibile

Un elettrone che si trovi in uno stato eccitato tende a portarsi a valori di energia inferiori (ovviamente solo quelli permessi). Facendo ciò emette fotoni con energie (e quindi frequenze e lunghezze d’onda) ben definite. Le lunghezze d’onda delle onde emesse durante tali diseccitazioni (o transizioni tra i livelli) sono dette righe. L’atomo di idrogeno è pertanto caratterizzato da ben definite righe di assorbimento e di emissione. Le varie righe sono poi raggruppate in serie (di Lyman, di Balmer, di Paschen, ecc.)

Transizione tra livelli


Come si è visto, l’energia dell’elettrone nei vari stati possibili all’interno dell’atomo di idrogeno dipende da un solo numero quantico n, detto numero quantico principale

Invece le funzioni d’onda che descrivono tali stati richiedono tre numeri quantici (l’elettrone può muoversi in uno spazio tridimensionale, per

cui…vedi la trappola “scatola retta” )

2

13.6 eVnE

n

n = numero quantico principale (indica l’energia dello stato)

= numero quantico azimutale (indica il valore assoluto del momento angolare)

= numero quantico magnetico (orientamento spaziale del momento angolare)

m

può avere solo valori, interi, tra 0 ed n-1

m può avere solo valori, interi, tra - ed

n può avere solo valori interi 1, 2, 3, …. , ∞

Autovalori

A.A. 2009-2010 G. Cambi – S. Zucchelli – M. PiccininiSi è già detto che le funzioni d’onda per l’atomo di idrogeno si ottengono risolvendo, in modo rigoroso, l’equazione di Schroedinger tridimensionale

2 2 2 2

2 2 2( , , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , , )

2x y z t U x y z x y z t i x y z t

m x y z t

o, in forma compatta:2

2 ( , )( , ) ( ) ( , )

2

r tr t U r r t i

m t

si ottiene, per lo stato fondamentale:

Sfruttando anche il concetto di normalizzazione2

( ) 1V

r dV

32

1( )

rar e

a

a è una costante detta raggio di Bohr :può essere assunto come il raggio efficacedell’atomo di idrogeno. Esso vale:

202

52.9 pmh

ame


Poiché (per lo stato fondamentale) dipende solo da r, assumiamo degli elementi di volume di tipo strato sferico, cioè:

( )r24dV r dr

2 ( )r dVIl termine , proporzionale alla probabilità che l’elettrone si trovi in dV, diventa: 22 2

3

4( )

rar dV r e dr

a

Si definisce la densità radiale di probabilità P(r) in modo che:2( ) ( )P r dr r dV 22

3

4( )

raP r r e

a

Si ha quindi:

densità radiale di probabilità P(r) per lo stato fondamentale dell’idrogeno

Si osserva che la probabilità più elevata si ha per un valore di r pari al raggio di Bohr.


Stato fondamentale dell’atomo di idrogeno (n=1)

Per un elettrone in questo stato i valori permessi per i numeri quanticiprincipale, azimutale e magnetico sono:

1, 0, 0n m

Stati dell’atomo di idrogeno con n=2

Esistono quattro stati dell’atomo di idrogeno possibili in questo caso:

2, 0, 0n m

2, 1, 1n m

2, 1, 0n m

2, 1, 1n m

Per questi quattro stati l’energiadell’elettrone è la stessa, poichéquesta dipende solo dal numeroquantico principale, come vistocon la:

(sono stati chiamati degeneri)

2

13.6 eVnE

n


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The near field and far field, along with the transition zone are regions in the field of electromagnetic radiation that emanates from an antenna. Certain behavior characteristics of electromagnetic fields dominate at one distance from the radiating antenna, while a

completely different behavior can dominate at another location. Defined boundary regions categorize these behavior characteristics. of electromagnetic fields as a function of The regional boundaries are always measured as a function of a ratio of the distance from the

radiating source to the wavelength of the radiation.

Basically, the far-field, which extends from about two wavelengths distance from the antenna to infinity, is the region in which the field acts as "normal" electromagnetic radiation. The power of this radiation decreases as the square of distance from the antenna, and

absorption of the radiation has no effect on the transmitter. By contrast, the near-field, which is inside about one wavelength distance from the antenna, is a region in which there are strong inductive and capacitative effects from the currents and charges in the antenna,

which do not behave like far-field radiation. These effects decrease in power far more quickly with distance, than does the far-field radiation power. Also, absorption of radiated power in this region does have effects which feed-back to the transmitter, increasing the load on the transmitter that feeds the antenna by decreasing the antenna impedance that the transmitter sees. Thus, the transmitter

can sense that power has been absorbed from the near-field zone, and if this power is not absorbed, the transmitter does not draw as much power. The transition zone between these regions is the distance from one to two wavelengths from the antenna, in which both

near and far field effects are important, and in which near field behavior dies out and ceases to become important, leaving far-field effects as the dominant interaction. The image to the right shows these regions and boundaries.

It must be emphasized that such regions categorize field behaviors which vary, even within the region of interest. Thus, the boundaries for these regions are approximate "rules of thumb", as there are no precise cutoffs between them (all behavioral changes with distance

are smooth changes). Even when precise boundaries can be defined in some cases, based primarily on antenna type and antenna size, but even in such cases, experts may differ in nomenclature used to describe the regions.


Evanescent wave applicationsIn optics and acoustics, evanescent waves are formed when waves travelling in a medium undergo total internal reflection at its boundary because they strike it at an angle greater than the so-called critical angleThe physical explanation for the existence of the evanescent wave is that the electric and magnetic fields (or pressure gradients in the case of acoustical waves) cannot be discontinuous at a boundary, as would be the case if there were no evanescent wave-field. In quantum mechanics the physical explanation is exactly analogous—the Schrödinger wave-function representing particle motion normal to the boundary cannot be discontinuous at the boundary.More generally, practical applications of evanescent waves can be classified in the following way.(1) Those in which the energy associated with the wave is used to excite some other phenomenon within the region of space where the original travelling wave becomes evanescent (for example, as in the total internal reflection fluorescence microscope.

(2) Those in which the evanescent wave "couples" two media in which travelling waves are allowed, and hence permits the transfer of energy or a particle between the media (depending on the wave-equation in use), even though no travelling-wave solutions are allowed in the region of space between the two media. An example of this is so-called wave-mechanical tunnelling

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