A, N. 1meddif/LabMecMaterialeDidattico_AA... · 2012. 6. 6. · 1 Fila A, esercizio N. 1: Assumere...

2° Compito di Esonero del corso di Laboratorio di Meccanica A.A. 2011‐2012 Canale A‐C (Prof. F. Meddi) 5/6/2012

Fila A, esercizio N. 1: Assumere di avere misurato varie volte in maniera diretta le tre grandezze

ezze, sia la media fisiche: B, C e D, determinando così per ciascuna di dette grandaritmetica che la relativa deviazione standard. I risultati sono stati: B = (22.35 ± 0.15) m , C = (1876 ± 10) cm , D = (1.17 ± 0.12) s. i consideri una grandezza fisica A, derivata dalle grandezze B, C e D, così

3(B‐C)/DSdefinita: A = 2. Si richiede:

1) Effettuare l’analisi dimensionale della grandezza derivata A ed indicare qualegrandezza fisica nota sia omogenea ad essa. 2) Indicare le unita’ di misura per la grandezza fisica derivata A, sia nel sistema di unita’ di misura SI che nel sistema CGS. ) Determinare il valore atteso e la relativa deviazione standard. Giustificare la 3validita’ delle approssimazioni adottate nell’effettuare i conti. Si ricorda che in generale per una grandezza fisica derivata, solo se essa ha una dipendenza lineare o linearizzabile negli intervalli di entità dell’ordine delle rispettive deviazioni standard delle grandezze misurate direttamente, allora il valore medio della grandezza derivata non differirà dal valore ottenuto dalla dipendenza funzionale calcolata in corrispondenza dei valori medi delle grandezze misurate direttamente da cui essa dipende. Fila A, esercizio N. 2:

te della Tramite un calibro ventesimale si sono effettuate 10 misure ripetuunghezza di una sbarretta. I valori misurati in mm sono i seguenti:

33 ; 11.34 ; 11.35 ; 11.36 ; 11.34 ; 11.34 ; 11.36 ; 11.37 ; 11.36 l11,35 ; 11. Si c dhie e:

1) Riportare le misure su di un istogramma.

2) Calcolare la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media.

3) Verificare l’ipotesi che le misure effettuate seguano una distribuzione limite di tipo gaussiano tramite il test del χ2.Valutare la probabilita’ che l’ipotesi sia valida.

Fila A, esercizio N. 3: Determinare quante cifre decimali è necessario utilizzare per π affinchè la stima

re percentuale inferiore al 5% della superfice di una sfera sia affetta da un erroll’ 1%. ne assumendo:

se il suo raggio e’ stato misurato aSi richiede di eseguire la valutazioa) errori relativi di tipo massimo; b) errori relativi di tipo statistico.

2° Compito di Esonero del corso di Laboratorio di Meccanica A.A. 2011‐2012 Canale A‐C (Prof. F. Meddi) 5/6/2012

Fila B, esercizio N. 1: Assumere di avere misurato varie volte in maniera diretta le tre grandezze

ezze, sia la media fisiche: B, C e D, determinando così per ciascuna di dette grandaritmetica che la relativa deviazione standard. I risultati sono stati: B = (380.0± 2.0) g , C = (1.72 ± 0.12) m , D = (0.032 ± 0.010) s.

grandezze B, C e D, così Si consideri una grandezza fisica A, derivata dalle (B*Cdefinita: A = 2)/2D2.

D = (0.320 ± 0.010) s. Si richiede: 1) Effettuare l’analisi dimensionale della grandezza derivata A ed indicare quale

.

grandezza fisica nota sia omogenea ad essa2) Indicare le unita’ di misura per la grandezza fisica derivata A, sia nel sistema

Giustificare la di unita’ di misura SI che nel sistema CGS. ) Determinare il valore atteso e la relativa deviazione standard. 3 validita’ delle approssimazioni adottate nell’effettuare i conti. Si ricorda che in generale per una grandezza fisica derivata, solo se essa ha una dipendenza lineare o linearizzabile negli intervalli di entità dell’ordine delle rispettive deviazioni standard delle grandezze misurate direttamente, allora il valore medio della grandezza derivata non differirà dal valore ottenuto dalla ipendenza funzionale calcolata in corrispondenza dei valori medi delle randezze misurate direttamente da cui essa dipende. dg Fila B, esercizio N. 2:

ripetute della i:

Tramite un calibro ventesimale si sono effettuate 11 misureunghezza di una sbarretta. I valori misurati in mm sono i seguent

; 7.12 ; 7.13 ; 7.12 ; 7.13 ; 7.13 ; 7.14 ; 7.14 ; 7.15; 7.14; l7.15 ; 7.11 Si c dhie e:

1) Riportare le misure su di un istogramma.

2) Calcolare la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media.

3) Verificare l’ipotesi che le misure effettuate seguano una distribuzione limite di tipo gaussiano tramite il test del χ2. Valutare la probabilita’ che l’ipotesi sia valida.

Fila B, esercizio N. 3: Determinare quante cifre decimali è necessario utilizzare per π affinchè la stima

ercentuale inferiore al 5% se il del volume di una sfera sia affetta da un errore p. ne assumendo:

suo raggio e’ stato misurato all’ 1%utaziosimo; istico.

Si richiede di eseguire la vala) errori relativi di tipo masb) errori relativi di tipo stat

1

Fila A, Fila A, esercizioesercizio N. 1:N. 1:

Assumere di avere misurato varie volte in maniera diretta le tre grandezze fisiche: B, C e D, determinando così per ciascuna di dette grandezze, sia la media aritmetica che la relativa deviazione standard. I risultati sono stati: B = (22.35 ± 0.15) m , C = (1876 ± 10) cm , D = (1.17 ± 0.12) s.Si consideri una grandezza fisica A, derivata dalle grandezze B, C e D, così definita: A = 3(B‐C)/D2.Si richiede:1) Effettuare l’analisi dimensionale della grandezza derivata A ed indicare quale grandezza fisica nota sia omogenea ad essa.2) Indicare le unita’ di misura per la grandezza fisica derivata A, sia nel sistema di unita’ di misura SI che nel sistema CGS.3) Determinare il valore atteso e la relativa deviazione standard. Giustificare la validita’ delle approssimazioni adottate nell’effettuare i conti.

2


Si ricorda che in generale per una grandezza fisica derivata, solo se essa ha una dipendenza lineare o linearizzabile negli intervalli di entità dell’ordine delle rispettive deviazioni standard delle grandezze misurate direttamente, allora il valore medio della grandezza derivata non differirà dal valore ottenuto dalla dipendenza funzionale calcolata in corrispondenza dei valori medi delle grandezze misurate direttamente da cui essa dipende.

3


2

22

212

10)(

)()(;)(

][][

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][][;][][;][][

=

×=×=⇒

=

×=−×

=⇒

===

−−

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AUAU

scmAUsmAU

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TLD

CBA

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CGS

SI

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4

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

GalscmAU

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oneAcceleraziATempoLunghezzaDCBA

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DCBfAD

CBA

CGS

SI

=×=

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=⇒×=×−=

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2

2

22

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.....)()()()(

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2222

22

22

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22

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2

2

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

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+⎟⎠⎞

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=

DDAC

CAB

BAA

DDAC

CAB

BA

D

CBA

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CBA

σσσσ

σσσ

44

2

2

2

2

2

2

33

22

)(18)3)((6;0;0

)(6)2)((3;3;3

DCBDCB

DA

CA

BA

DCBDCB

DA

DCA

DBA

−=−−−=

∂∂

=∂∂

=∂∂

⇒

−−=−−=

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=∂∂

=∂∂

⇒

−

−

5


A = 3(B−C)D2

⇔ A = f (B,C, D)

⇒ σ 2 (A) = ∂A∂B

σ (B)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ ∂A∂C

σ (C)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ ∂A∂D

σ (D)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+.....

= 3D2

σ (B)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ −3D2

σ (C)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ −6(B− C)D3

σ (D)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=

= 9D4

σ 2 (B)+σ 2 (C)( ) + 36(B−C)2

D6σ 2 (D)

⇒ σ (A) = 9D4

σ 2 (B)+σ 2 (C)( ) + 36(B−C)2

D6σ 2 (D) =

= 91.734

0.152 + 0.102( ) + 36(22.35−18.76)2

1.1760.122 =

=1.7 ms2

B = 22.35m σ (B) = 0.15mC =1876cm σ (C) =10cmD =1.17s σ (D) = 0.12s

6


( )

%21...)7.11.8(

1.8

)24829.08676.7()(1821)(3

)()()(21)(3

),,()(3

2

2

22

42

22

22

2

22

2

2

2

2

±⇐±=⇒

=

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+−

=⇒

=⇔−

=

−msAsm

smD

D

CB

D

CB

DDAC

CAB

BA

D

CBA

DCBfAD

CBA

σ

σσσ

… la correzione valeil 3%3% del valore

7


Tramite un calibro ventesimale si sono effettuate 10 misure ripetutedella lunghezza di una sbarretta. I valori misurati in mm sono i seguenti:

11,35 ; 11.33 ; 11.34 ; 11.35 ; 11.36 ; 11.34 ; 11.34 ; 11.36 ; 11.37 ; 11.36

Si chiede:1) Riportare le misure su di un istogramma.2) Calcolare la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media.

3) Verificare l’ipotesi che le misure effettuate seguano una distribuzione limite di tipo gaussiano tramite il test del χ2.Valutare la probabilita’ che l’ipotesi sia valida.

8

11.35011.33011.34011.35011.36011.34011.34011.36011.37011.360


0

1

2

3

4

5

6

11.31 11.325 11.34 11.355 11.37 11.385 11.4

Rangel [mm]l [mm]

Bin = 0.015 mmBin = 0.015 mm

1/101/10

5/105/10

1/101/10

3/103/10

9


( ) ....?.....!9.3....?.....!0039.03500.11

0039.0)()(

0029.0)1(2

012.00125.01

)()(

3500.11

10

2

1

1

mmm

mmnll

mmn

mmmmn

lll

mmn

ll

n

nk

kk

nk

kk

μ

σσ

σσ

σ

σ

±±⇒

==

=−×

=

≈=−

−=

==

=

∑

∑

=

=

=

=

l (mm)11.35011.33011.34011.35011.36011.34011.34011.36011.37011.360

10


... P(χ2 > 1.25 ; ν = 1) = 26%

Ek1.6

3.4

3.4

1.6

Ok1

5

3

1

11.33011.34011.34011.34011.35011.35011.36011.36011.36011.370

χχ22=== (1.6 - 1)2/1.6 +

+ (3.4 - 5)2/3.4 +

+ (3.4 - 3)2/3.4 +

+ (1.6 - 1)2/1.6 =

= 0.225 + 0.753 + 0.047 + 0.225 = 1.250

11.325

11.340

11.355

11.370

11.385

11


Determinare quante cifre decimali è necessario utilizzare per ππaffinchè la stima della superfice di una sfera sia affetta da un errore percentuale inferiore al 5% se il suo raggio e’ stato misurato all’ 1%.Si richiede di eseguire la valutazione assumendo:a) errori relativi di tipo massimo;b) errori relativi di tipo statistico.

12


094.0141.3

094.003.0141592654.3

%303.001.0205.02

24

%5??&%1

...141592654.3

2

±=⇒

=×=Δ

×=Δ

==×−=Δ

×−Δ

=Δ

Δ×+

Δ=

Δ⇒=

<Δ

⇒=Δ

=Δ

≈

π

ππππ

ππ

πππ

ππ

π

RR

SS

RR

SSRS

SS

RR

& assumo incertezze di tipo massimo& assumo incertezze di tipo massimo

13


14.014.3

14.0046.0141592654.3)()(

%6.4046.00021.0/)(

0021.0)01.0(4)05.0(

)(2)()(

)(2)()(

%5)(??)(&%1)(...141592654.3

22

222

222

±=⇒

=×=×=

===⇒

=×−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

14

Fila B, Fila B, esercizioesercizio N. 1:N. 1:

Assumere di avere misurato varie volte in maniera diretta le tre grandezze fisiche: B, C e D, determinando così per ciascuna di dette grandezze, sia la media aritmetica che la relativa deviazione standard. I risultati sono stati:

B = (380.0 ± 2.0) g , C = (1.72 ± 0.12) m , D = (0.320 ± 0.010) s.Si consideri una grandezza fisica A, derivata dalle grandezze B, C e

D, così definita: A = (BC2) / (2D2).Si richiede:1) Effettuare l’analisi dimensionale della grandezza derivata A ed

indicare quale grandezza fisica nota sia omogenea ad essa.2) Indicare le unita’ di misura per la grandezza fisica derivata A, sia

nel sistema di unita’ di misura SI che nel sistema CGS.3) Determinare il valore atteso e la relativa deviazione standard.

Giustificare la validita’ delle approssimazioni adottate nell’effettuare i conti.

15


Si ricorda che in generale per una grandezza fisica derivata, solo se essa ha una dipendenza lineare o linearizzabile negli intervalli di entità dell’ordine delle rispettive deviazioni standard delle grandezze misurate direttamente, allora il valore medio della grandezza derivata non differirà dal valore ottenuto dalla dipendenza funzionale calcolata in corrispondenza dei valori medi delle grandezze misurate direttamente da cui essa dipende.

16

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

7

22

22

22222

2

2

2

10)(

)()(

)(

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)([

][

),,(2

)(

=

=××=

==××=

=⇒

==××

=

===

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−

−

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AUAU

ergscmgAU

JjoulesmkgAU

cineticaEnergiaA

TLMDCBDCBA

TDLCMB

DCBfADCBA

CGS

SI

CGS

SI


17

.....)()()()(

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2

),,(2

2222

22

22

2

22

2

2

2

2

2

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+×

×=⇒

=⇔××

=

DDAC

CAB

BAA

DDAC

CAB

BA

D

CBA

DCBfADCBA

σσσσ

σσσ

4

242

2

2

22

2

2

2

3

23

2

22

2

3)3)((;;0

)2(2

;;2

DBCDBC

DA

DB

CA

BA

DBCDBC

DA

DBC

CA

DC

BA

=−−=∂∂

=∂∂

=∂∂

⇒

−=−=∂∂

=∂∂

=∂∂

⇒

−

−


18


J

DD

BCCBBCDCA

DDBCC

DBCB

DC

DDAC

CAB

BAA

DCBfAD

BCA

84.0

01.0320.0

)72.1*38.0(12.038.0002.0472.1

320.072.1

)()()()(4

)(

)()()(2

.....)()()()(

),,(2

26

22222

2

4

2

26

22222

2

4

2

2

3

22

2

2

2

2

2222

2

2

=

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⇒

=⇔=

σσσσ

σσσ

σσσσ

sDsDmCmCgBgB

010.0)(320.012.0)(72.10.2)(0.380

======

σσσ

19


( )

%15...)84.053.5(

53.5

0427.04892.5)](*3)([21

2

)*(

)()()(21

2

)*(

),,(2

)*(

24

22

22

2

22

22

2

22

2

2

2

2

2

2

±⇐±=⇒

=

=+=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+=⇒

=⇔=

JA

J

DD

CBCD

B

D

CB

DDAC

CAB

BA

D

CBA

DCBfADCBA

σσ

σσσ

… la correzione vale0.8% del valore

20


Nel caso che i dati non siano:

B = (380.0 ± 2.0) g , C = (1.72 ± 0.12) m , D = (0.320 ± 0.010) s

bensi’ siano i seguenti

B = (380.0 ± 2.0) g , C = (1.72 ± 0.12) m , D = (0.032 ± 0.010) s

risulterebbero:1) σ(A) = 350 J e non σ(A) = 0.84 Je2) A = 710 J e non A = 5.53 J

In aggiunta, il termine correttivo per A rappresenterebbe il 23%del valore A, anziche’ solo lo 0.8%.

21


Tramite un calibro ventesimale si sono effettuate 11 misure ripetutedella lunghezza di una sbarretta. I valori misurati in mm sono i seguenti:

7,15 ; 7.11 ; 7.12 ; 7.13 ; 7.12 ; 7.13 ; 7.13 ; 7.14; 7.14; 7.15; 7.14

Si chiede:1) Riportare le misure su di un istogramma.2) Calcolare la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media.

3) Verificare l’ipotesi che le misure effettuate seguano una distribuzione limite di tipo gaussiano tramite il test del χ2. Valutare la probabilita’ che l’ipotesi sia valida.

22


23


l (mm)7.157.117.127.137.127.137.137.147.147.157.140

1

2

3

4

5

6

7,096 7,108 7,119 7,13 7,142 7,153 7,164

l [mm]

Bin = 0.0113 mmBin = 0.0113 mm

1 / 111 / 11

5 / 115 / 11

3 / 113 / 11

2 / 112 / 11

l [mm]

24( ) ....?.....!8.3....?.....!0038.01330.7

0038.0)()(

0028.0)1(2

)(

013.00127.01

)()(

1330.7

11

2

1

1

mmm

mmnll

mmnl

mmn

lll

mmn

ll

n

nk

kk

nk

kk

μ

σσ

σσ

σ

σ

±±⇒

==

=−

=

≅=−

−=

==

=

∑

∑

=

=

=

=


l (mm)7.117.127.137.137.137.137.137.147.147.147.15

25


... P(χ2 > 0.93 ; ν = 1) = 34%

Ek1.76

3.74

3.74

1.76

Ok1

5

3

2

χχ22=== (1.76 - 1)2/1.76 +

+ (3.74 - 5)2/3.74 +

+ (3.74 - 3)2/3.74 +

+ (1.76 - 2)2/1.76 =

=0.328+0.424+0.146+0.033 = 0.931

l (mm)7.117.137.137.137.137.137.147.147.147.157.15

7.108

7,119

7.130

7.142

7.153

26


Determinare quante cifre decimali è necessario utilizzare per ππ affinchè la stima del volume di una sfera sia affetta da un errore percentuale inferiore al 5% se il suo raggio e’ stato misurato all’ 1%.Si richiede di eseguire la valutazione assumendo:a) errori relativi di tipo massimo;b) errori relativi di tipo statistico.

27

063.0141.3

063.002.0141592654.3

%202.003.005.03

33

4

%5??&%1

...141592654.3

3

±=⇒

=×=Δ

×=Δ

==−=Δ

−Δ

=Δ

=>

Δ+

Δ=

Δ⇒=

<Δ

⇒=Δ

=Δ

≈

πππππ

ππ

πππ

ππ

π

RR

VV

RR

VVRV

VV

RR

& assumo incertezze di tipo massimo& assumo incertezze di tipo massimo


28


13.014.3

13.00016.0141592654.3)()(

04.00016.0)(

0016.0)01.0(9)05.0()(3)()(

)(3)()(3

4

%5)(??)(&%1)(...141592654.3

22222

2223

±=⇒

=×=×=

==⇒

=×−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

A, N. 1meddif/LabMecMaterialeDidattico_AA... · 2012. 6. 6. · 1 Fila A, esercizio N. 1: Assumere...

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