Settima lezione

2011-12

http://people.na.infn.it/palladin/Lezioni2014-15/141016Lezione07.pdf

A. A. 2014-15 Prof. V. Palladino

Dr. O. IorioDr. M. Merola

Introduzione al

laboratorio e alle

prime misure di spessori

Benvenuti nei laboratori di Fisica I

Foglio 3a Orario I semestre A.A. 2014-15 Foglio 3a

Quadro dettagliato per settimana

GIORNO ORE Settimana 1 Settimana 2 Settimana 3 Settimana 4 Settimana 5 Settimana 6 Settimana 7 Settimana 8 Settimana 9 Settimana 10 Settimana 11 Settimana 12 Settimana 13 Settimana 13 Settimana 14 Settimana 15 ORE GIORNOAULA 29 sett. - 3 ott. 6 - 10 ottobre 13 - 17 ottobre 20 - 24 ottobre 27 - 31ottobre 3 - 7 novembre 10 - 14 novembre 17 - 21 novembre 24 - 28 novembre 1 - 5 dicembre 8 - 12 dicembre 15 -19 dicembre 22- 26 dicembre 5-9 gennaio 12 - 16 gennaio 19 - 23 gennaio AULA

F4 9 10 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 9 10 F410 11 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 10 1111 12 Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) 11 1212 13 Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) 12 13

Lunedì 13 14 13 14 LunedìF4 14 15 Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A(gr.1ab) L Lab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) L 14 15 F4

15 16 Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A(gr.1ab) L Lab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) L 15 1616 17 Lab.Fis.1 A(gr.1ab) L Lab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) LLab.Fis.1 A(gr.1ab) L 16 1717 18 17 18

F4 9 10 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 9 10 F410 11 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 10 1111 12 Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) 11 1212 13 Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) 12 13

Martedì 13 14 13 14 Martedì14 15 Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A(gr.1ab) L 14 1515 16 Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A(gr.1ab) L 15 1616 17 Lab.Fis.1 A(gr.1ab) L 16 1717 18 17 18

F4 9 10 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 9 10 F410 11 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 10 1111 12 Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) 11 1212 13 Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) 12 13

Mercoledì 13 14 13 14 MercoledìF4 14 15 Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A (gr.1) 14 15 F4

15 16 Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A (gr.1) 15 1616 17 16 1717 18 17 18

C8 9 10 Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) 9 10 H410 11 Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) Mecc.Term. (gr.1) 10 1111 12 11 12

LAB 12 13 Lab.Fis.1 A (gr.1) 12 13Giovedì 13 14 13 14 Giovedì

F2 14 15 Lab.Fis.1 A(gr.1a) L Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Lab.Fis.1 A(gr.1b) L 14 15 F215 16 Lab.Fis.1 A(gr.1a) L Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Lab.Fis.1 A(gr.1b) L 15 1616 17 Lab.Fis.1 A(gr.1a) L Lab.Fis.1 A(gr.1b) L 16 1717 18 17 18

F4 9 10 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 9 10 F410 11 Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) Analisi Mat. 1 (gr.1) 10 11

F3 11 12 Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) 11 12 F312 13 Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) Geometria (gr.1) 12 13

Venerdì 13 14 13 14 VenerdìF4 14 15 Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A (gr.1) Lab.Fis.1 A (gr.1) 14 15 F4

15 16 Lab.Fis.1 A (gr.1) 15 1616 17 16 1717 18 17 18

Corsi Impegno settimanale (ore) Totali Ore (CFU)Analisi Mat. 1 (gr.1) 0 8 8 10 10 10 10 8 8 8 6 8 2 0 0 0 96 96 (12)Mecc.Term.(gr1) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 48 48 (6)Geometria (gr.1) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 6 2 0 0 0 72 72 (9)Lab.Fis.1 A(gr.1) 6 4 3 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 16 16 (2)Lab.Fis.1 A(gr.1a) L 0 0 3 3 0 3 3 3 3 6 0 0 0 0 0 0 24 24 (2)Lab.Fis.1 A(gr.1b) L 0 0 0 3 0 3 3 3 3 9 0 0 0 0 0 0 24 24 (2)

Docenti: Analisi Mat. 1 Bianca Stroffolini; Geometria Ferruccio Orecchia; Mecc. Term. Enrico Santamato, Alberto Clarizia; Lab. Fis. 1 Vittorio PalladinoNOTA

LEGENDA L'aula usata per le lezioni di ciascun giorno della settimana è riportata in rosso nella prima e nell'ultima colonna insieme all'indicazione del giorno. In casi particolari è segnalata un'aula per le prime settimane (prima colonna) e una per le ultime (ultima colonna), con indicazione della transizione nella tabella.Le indicazioni in blu seguite dal simbolo L specificano ore di sperimentazione pratica che saranno tenute nei laboratori del Dipartimento (sono riportati i gruppi interessati, se c'è ripartizione in gruppi).Lo sfondo verde specifica che l'aula è occupata perché vi si tengono lezioni del Corso di Laurea in Fisica riportate in altri fogli dell'orario.Lo sfondo arancio specifica che l'aula è occupata perché vi si tengono lezioni di altro Corso di Laurea.

ATTENZIONE Esistono corsi alternativi fra loro, tenuti nello stesso orario in aule distinte, fra i quali gli studenti possono/devono scegliere quello che preferiscono seguire. Apposite note evidenziano questi corsi tenuti in parallelo.

C.d.L. in Fisica - Laurea Triennale - Corsi del I annoUltimo aggiornamento: 15/10/2014Matricole pari Aula F4

lezioni in aulatutti insieme

Grandezze, misure,unita'

Stima di geandezze e

incertezze

Propagazione delle

incertezze

Misure div e aMisure di σd

spessori I

Strumentiincertezze

lezione

perduta

Intro prova intercorso

Pendolo: misure di g

prova intercorso

misure

Misure di spessori II

analisi

analisi analisi analisianalisimisure misure misuremisure misure misure

analisi analisi

analisi

misure

laboratorio gruppo A Iorio-Palladino

laboratorio gruppo B Merola-Palladino

offerta formativa aggiuntiva

4 sedute di raccolta dati (misure)

4 sedute di analisi dati

1-02

CP Misure di spessori con calibri a scorrimentroe micrometri (Palmer)

….. al centesimo di millimetroerrore di sensibilita’

SF Misure di spessori con sferometri….. al millesimo di millimetro

errore statistico

Menu d’ autunno

MS Moti semplici su piani con attrito d ~ 0misure diretta di s(t)

indirette …. v(t) …. a = g ± d d = decelerazione da attrito

I e II principio della dinamica

PS Misura di g con un pendolo semplicemoto periodico, di tipo armonico

pilastro della meccanica ondulatoriamisure dirette di periodi T

Gruppo 4: Prof. Palladino & Balzano II semestre: 7 esperienze (14:00-17:00), 2 sedute ciascuna.

MU Misure sugli urti sul piano “senza attrito” Dinamica del punto materialeCE Misure di costanti elastiche Dinamica del punto materialePR Misura di g col pendolo reversibile Dinamica dei sistemi (di punti materiali)

VI Misure di viscosita’ Dinamica del punto materiale

PT Misura della prontezza di un termometro TermologiaCS Misure di calore specifico Termologia

EC Misura dell’ equivalente meccanico della Caloria Termodinamica

date da fissare tra fine marzo e fine maggio ….. Esami da giugno, poi a luglio, poi a settembre etc ……

Si lavora in gruppi, tipicamente 3 studenti su uno stesso tavolo di lavoro.

Ciascuna esperienza (lunedi, in genere) e’ seguita da una sessione (lunedi, in

genere) dedicata alla preparazione della relazione. Da completare e consegnare il

lunedi successivo !!!!!

Le relazioni riviste saranno discusse individualmente con ogni gruppo e

restituite ancora un lunedi piu’ tardi.

Le esperienze perdute vanno recuperate !!!!

Il piu’ rapidamente possibile utilizzando le sedute degli altri gruppi di matricole,

idealmente il giovedi dal prof Chiefari e in ogni caso prima della fine del corso.

Come prepararsi al laboratorio

andare alla lezione di introduzionepresenze?

1-02

prima delle misure

studiare le schermate,

consultando magari anche il Severi

fare un piano di azione

adatto a tre operatori proposta di esperimento

Che fare, in laboratorio?

• Mettere in atto il piano di azione (misure)tutti … non “strafare” …. ne’ stare “al traino” …

• Annotare “tutto” nel quadernoniente fogli volanti

se ne avete uno, incollatelo

giorno, ora

misure

riflessioni successive

Il lettore siete voi stessi, tra sei mesi

• Elaborare i dati …… relazione (*)NB copia individuale, fotocopia

(*) Articolo scientifico

Misura di lunghezze

unità di misura nel S.I. è il metro ( m)

1791 : il metro è la decimillesima parte dell'arco

di meridiano compreso fra il Polo e l'Equatore

1799 : metro campione in Pt conservato a Sèvres

1875 : metro campione in lega Pt ( 90%) e Ir

(10%) nella forma

>-------< 1960 : il metro campione ha una lunghezza pari a

1.650.763,73 lunghezze d'onda nel vuoto

corrispondente alla transizione tra i livelli ²p₁₀ e

⁵d₅ di Kripton 86 ( 86 Kr )

e finalmente

1983 : il metro campione ha una lunghezza pari

alla distanza percorso dalla luce nell'intervallo di

tempo di 1/299.792.458 s

strumenti noti : il normale metro, il doppiodecimetro

errore di sensibilità ≅ 1 mm

migliore sensibilità nonché precisione con calibro a cursore,

con calibro Palmer, con lo sferometro.

CALIBRO a scorrimento o a

“coulisse”o a cursore

È un regolo di acciaio inossidabile su cui

può scorrere un cursore su una scala

millimetrata.

Tre possibilità di effettuare misure a,b e c

È caratterizzato dalla presenza di un

nonio, un regolo graduato inciso sul

cursore che può scorrere lungo la scala

fissa.

1-02

Il principio del nonio

decimale

(N-1) D = N dD-d=D/n

1/10 D

0/10 D

2/10 D

9/10 D

N divisioni intere del nonio

corrispondono a

N-1 divisioni intere della scala fissa

La figura illustra un calibro ventesimale

con 20 divisioni incise sul nonio.

Il nonio è suddiviso in maniera tale che n

divisioni intere del nonio corrispondano a

n-1 divisioni della scala fissa. Dette

rispettivamente D e d le lunghezze della

divisione della scala fissa e del nonio, si ha

che (n-1)D = nd, ossia D-d =D/n.

Normalmente lo zero del nonio, che

costituisce l’indice dello strumento,

coincide con lo zero della scala fissa,

mentre, durante la fase di misura, si

troverà fra due divisioni della scala fissa.

La lunghezza da leggere si ottiene

sommando alla lettura, data dalla

divisione della scala fissa che precede lo

zero del nonio, la quantità x, pari alla

distanza fra questa divisione e l’indice

stesso. La presenza del nonio consente di

misurare appunto x. Infatti, individuata

quale divisione del nonio ( ad esempio la

k-ma) meglio coincide con una divisione

della scala fissa, si ricava che

x= k D –k d = k D/n.

Nella figura seguente, k vale 7, n vale 20 e

D vale 1,00 mm, per cui x è uguale a 0,35

mm.

Se le divisioni sono equispaziate ( come

dovrebbe…) la sensibilità S del nonio è di

n divisioni su D : per un calibro

ventesimale N =20 e D=1 mm, per cui S

vale 20 divisioni/mm.

L’errore di sensibilità quindi, se si è in

grado di apprezzare la mezza divisione, è

di 0,025 mm.

In pratica l’errore di lettura è di 0,05 mm.

Aumentare n per ridurre l’errore

di sensibilità è illusorio.

Situazione ideale : i tratti del nonio e della

scala fissa sono regolari e distinti.

Situazione reale ( vista con una lente

d’ingrandimento

In blu l’aria tra scala e nonio.

In pratica è impossibile stabilire quali

tratti della scala fissa e del nonio sono

coincidenti.

Possibili errori sistematici :

1) parallasse

2) piccoli corpi presenti fra le ganasce

e il corpo in misura

3) pressione eccessiva, che deformi il

corpo in misura

Nonio doppio

La differenza fra nonio doppio e nonio normale è

che (2n-1) D = n d per cui 2D –d = D/n e quindi

x= k 2 D – k d = k ( 2D-d) = k D/n

La sensibilità quindi è la stessa di un nonio

normale : aumenta solo la facilità di lettura della

scala.

In figura le 20 divisioni sul nonio corrispondono a

39 divisioni sulla scala fissa.

Calibro Palmer

È un pezzo massiccio ( molto rigido) di acciaio a

forma di ferro di cavallo, la cui portata è di circa 3

cm. È un dispositivo che usa la vite micrometrica :

sul tamburo T ci sono tipicamente 50 divisioni

equispaziate, mentre sulla madrevite M la scala

graduata porta divisioni spaziate di 0,50 mm (

passo della vite ). La sensibilità è allora di 100

divisioni/mm e l’errore di sensibilità è 0,005mm,

anche se in pratica l’errore di lettura è di 0,01

mm.

Come si effettua una misura con il calibro

Palmer

a) Per far ruotare la vite, bisogna agire sul

nottolino N collegato ad un meccanismo a

frizione : appena la testa B della vite tocca

l’oggetto un misura, il tamburo non avanza

più. Questo implica che le misure sono

fatte a pressione costante.

b) Bisogna controllare che lo strumento segni

“zero” quando fra le ganasce non è posto

alcun oggetto. In caso contrario, bisogna

sottrarre alla misura effettuata il valore del

nuovo “zero”.

c) Supponiamo che la testa del tamburo si

trovi fra le divisioni 23,00 e 23,50 mm ed

inoltre che, rispetto alla linea di fede, si

legga sul tamburo 49. Bisogna aggiungere

allora a 23,00 mm i (49/50/ di 0,50 mm,

ossia 0,49 mm, e la misura infine dà il

risultato di 43,49 mm.

d) RICORDARSI INFINE DEL FERMO DI

SICUREZZA !

Sferometro “Galileo”

a) usa la vite micrometrica, come il calibro

Palmer

b) i piedi sono agli estremi di un triangolo

equilatero

c) N è un piano “ben levigato” di riferimento

d) parallela alla vite e solidale allo sferometro,

c’è una scala S verticale millimetrata.

e) il disco è suddiviso in 500 parti. Un giro

completo corrisponde ad uno spostamento

verticale di 1,000 mm per cui la sensibilità è

di 500 divisioni/mm. L’errore di sensibilità è

di 0,001 mm anche se nella pratica l’errore di

lettura è di 0,002 mm.

f) L’asticella L segnala lo “zero” dello strumento

: appena la punta P tocca un oggetto ( ad

esempio la superficie superiore della lastrina

O), l’asticella comincia a sollevarsi.

Fig.8

1.7 Prima Esercitazione di Laboratorio uso del ca­libro a scorrimento e del calibro Palmer

Sono consigliate la determinazione del volume di un cilindretto metallico e la rnisura del diametro di sferette .

1.7.1 Determinazione del volume di un cilindretto metallico

Dalla geometria elementare, il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l'area di base per l'altezza ( vedi figura 9 ). Sembrerebbe aHora che, per determinare D, basti posizionare

R

I h

1 ~D~

Fig.9

il calibro, per esempio, a meta altezza, poi fare misure ripetute per ottenere valore medio e stima dell'errore della media ( amm sso che 1 fluttuazioni statistiche non siano somrn rse dall'errore di sensibilita ). Chi ci garantisce che iJ cilindro sia veramente un eilindro e non sia ad esempio un troneo di cono 0 abbia la forma di un barilotto? E necessario aHara eiTettuar almeno una misura di diametro a quote differenti e costrwre una tabella del ti po

8

2

1 Di (mm) 1 44.95 2 44.90

'" ....

... .... n 44.85

in cui la prima misura eeffettuata a quota zero e l'ultima a quota h, per esempio.

Se la successione delle misure mostra un carattere crescente ( 0 decrescente ) vuol dire che il cilindro e piuttosto un trone di cono. Pili in generale, bisogna controllare che il diametro del cilindro sia una grandezza gaussiana .Infatti, se il cilindro everamente tale, ci aspettiamo che il diametro sia costante al variare dell'aItezza, a menD degii errori di misura, e ehe quindi sia la stessa cosa, concettualmente, misurare ripetutamente il diametro alIa stessa quota 0 misurarlo a quote diverse. In entrambi i casi, ci aspettiamo che Ie distribuzioni 'limite" coincidano con una gaussiana, centrata sui valore "vero" del diametro.

Analogo discorso vale per l'altezza del cilindro.

Quante misure bisogna effettuare ? Se la distribuzione e gaussiana con media D e deviazione standard a, il 68% delle misure e compreso nell'intervallo, avente come estremi D - a e D + a. Un 16% e compreso fra -00 e D - a e l'altro 16% e compreso Ira D + u e +00. Se il numero delle misure e la, il 16% di 10 e 1.6, che e molto prossimo a zero. C'e allora il concreto pericolo di errore, per effetto delle fiuttuazioni statistiche.

In conclusione, il numero delle misure dovrebbe essere 2:: 20, per poter avere una ragionevole stima di a e ;::: 30, per stabilire se Ia distribuzione e gaussiana.

Supponiamo che il cilindro sia "regolare", perche abbiamo ottenuto Ie seguenti misure, mostrate nella tabella 1 della pagina seguente:

I relativi istogrammi sono illustrati in figura 10. Dai dati raccolti, si ricava che :

,If

8

f,

it

I

N

'8

6

I..,

2

!

I ..~ -/ £.£.,2S~s,oo L.~,-iSt..4.~

44,85 l.~ .~S l)(rnvm) 4£...10 £.l...W h('1n1'fYl ')

Fig.10

9

1 Di (rum) 1 44.95 2 44.95 3 44.90 ... 44.95

'" 44.90 ... 44.95 ... 44.90 ... 45.00 ... 44.90 ... 44.90 ... 44.95 ... 44.90 ... 44.90 ... 44.90 ... 44.85 ... 44.95 ... 44.95 18 44.85

1 hi (mm) 1 44.15 2 44.20 3 44.10 ... 44.20 ... 44.15 ... 44.20 ... 44.20 ... 44.15

'" 44.25 ... 44.15 ... 44.20

'" 44.15 '" 44.10 ... 44.20 ... 44.15 ... 44.15 ... 44.20 ... 44.20 ... 44.15 20 44.20

Tabella 1

CTD = 0.04 mm CTD = 0.009 mm D = 44.919 mm

CTh = 0.04 mm CTI; = 0.008 mm h = 44.172 mm

La migliore stima V per il volume del cilindretto e data allora da

V = ~(D)2h 4

con un errore relativo

3 3Nel nostro caso V = 69999.84905 mm e CTV = 31 mm . In questo modo peri> il risultato ha un numero eccessivo di cifre significative!! Infatti CTV va scritta con una sola cifra

significativa e quindi CTV = 0.03 cm3 , per cui V = 70.00 cm3 .

Ghe cosa succede, s , per stimare il valore del volume, uso la seguente espressione

anziche

V = ~(D)2h 4

10

Uso un procedimento che e in linea di principio sbagliato, anche se pub capitare di ottenere risultati praticamente identici. La grandezza gaussiana misurata e D e non D 2 : si puo dimostrare che anche D2 e una grandezza gaussiana,purche Un « D. Per un discorso pili esauriente, vedi Oliva-Terrasi,pagine 48,57-58 e §5.7 .

Come si determina l'errore suI volume del cilindro se ad esernpio l'errore suI diametro e di tipo statistico e quello sull'alt zza di tipo massimo? Severi consiglia di rendere di tipo massimo l'errore suI diametro, moltipEcando per tre quello statistico, ossia ~D = 3uv e quindi

~~v = ~h + 2~D = ~h +6 (TD

V h D h D

Questa procedura non e sempre accettata, perche si perdono informazioru. Anche per il futuro, quando si incontreranno casi simiE, conviene stimare separatamellte l'errore statistico e quello massimo

~ ~ ~ (T­

V ± ~V ± (Tv dove ~V= V~h e (Tv = 2V D h D

e tenere conto, nelle applicazioni successive, di ambedue gli errori, a meno che uno dei due non sia trascurabile rispetto all 'altro.

1.7.2 Misura del diametro di sferette

Sj possono effettuare almeno due tipi di misura :

• Si possono effettuare misure ripetute del diametro di una singola sferetta e controUare se la distribuzione e gaussiana.

• Si puo prendere un insieme dj sferette e misurare il diametro di ognuna di esse, COD.­troUando se il campione eomogeneo oppure contiene sferette, il cui diametro differisce dalle altre per costruzione delle stesse e noD. per effetto statistico.

1.8 Esercitazione di laboratorio : determinazione del raggio di curvatura di una superficie sferica ( per esempio una lente ) con uno sferometro

Le operazioni da fare sono Ie segu nti :

1. Determinare la precisione della strumento effettuando misure ripetute su un punto arbitrario del piano di riferimento e stimando la (T della distribuzione limite ( che dovrebbe essere ~ 211m) .

2. Controllare quanto "ben levigato' sia il piano di riferimento e determinare 10 "zero" dello strumento.

11

3. misurare l'altezza della cal tta, individuata dai tre piedi dello strumento, In punti diversi della calotta stessa.

Ai fini della prova di laboratorio, si possono ritenere privi di errore i valori di p ( per il tipo "Galilei", p epari a 50 mm, mentre per il tipo "Leybold" e d e non p a valere sempre 50 mm).

otare inoltre che il piano di riferimento ecostituito da una lastrina di vetro, avente solo una faccia lavorata otticamente dalla parte con gli angoli smussati.

Per determinare 10 "zero" ho, si poggia 10 sferometro suI piano di riferimento, si traccia suI piano un reticolo immaginario ( in pratiea eonviene porre un Foglio di carta millimetrata sotto al piano) e, per ogni cella del reticolo, si effettua una misura. Eopportuno riportare, sempre sotto forma di retieolo, questi dati dapprima suI "quaderno di bordo" dellaboratorio e poi suI foglio di relazione, in modo tale ehe sia possibile individuare Ia presenza eventuale di deformazioni suI piano stesso : 10 stesso diseorso del retieolo vale per Ie misure dell'altezza della ealotta.

Supponiamo di avere effettuato 81 misure di ho e di aver ottenuto I'istogramma illustrato in figura 11 .

2L. 29 ..n ~ l ~ '10

'LO

10

II I

Fig.ll

Se Ie misure COS! ottenute 8i distribuiseono in maniera gau siana intorno alIa media con una stima di a praticamente uguale a quella ottenuta in 1) 1 alIora possiamo concludere che il piano di riferimen 0 e ;'veramente" un piano, lavorato al meglio dei 2 p,m. Se cia non avviene, vuol dire che il piano e rovinato e andrebbe s stituito. Per capire se la distribuzione e gaussiana, usiamo it test del X2

( vedi il cap.12 di Taylor). n valore medio delle 0 servazioni e fio = 34 p,m mentre la stima della deviazione standard e aha = 2 pm.

12

Dall'istogramma si ricava che gli eventi osservati Ok sana ( seguendo la nota in calee alla pag. 86 del Taylor)

• 15.0 nell'intervallo tra -00 e ho - O"ho' ossia tra -00 e 32 J-Lm,

• 26.5 nell'intervallo tra ho - O"ho e ho, ossia tra 32 J-Lrn e 34 J-Lrn,

• 23.0 nell'intervallo tra ho e ho + O"ho, ossia tra 34 J-Lrn e 36 J-Lm,

• 16.5 nell'intervallo tra ho + O"ho e +00 , ossia tra 36 J-Lm e +00 .

Se la distribuzione sperimentale e una gaussiana, ci aspettiamo che nei suddetti quattro intervalli vada a finire rispettivamente il 16%, il 34%, il 34% e il 16% degli eventi osservati, ossia che gli Ek valgano rispettivamente 13.0, 27.5, 27.5 e 13.0 . 11 x2 aHara si scrive

2

x2 = t (Ok; Ed = i=1 k

(15.0 - 13.0)2 (26.5 - 27.5)2 (23.0 - 27.5)2 (16.5 - 13.0)2--'--------+ + +--'------- ­

13.0 27.5 27.5 13.0 = 2.02

n X2 ridotto, X2, ossia il X2 diviso per il numero di gradi di liberta d, vale aneora 2.02

perche in questa caso il numero dei gradi di Iiberta vale 1.

Infatti, usando la terminologia del Taylor, d = n - c, dove neil numero di intervalli ( nel nostro caso 4) e ceil numero dei vincoli ( nel nostro caso 3, perche ho e O"ho sono ottenuti dai dati sperirnentali e L Ok = N = 81, ossia il totale degli eventi osserva i) . La probabilita PI (X2 ~ 2.02) vale allora c::::' 16%. Da notare che il valore medio atteso di X2 e nel nostro caso pari ad 1 e che valori di X2 » 1 sarebbero indice di ipotesi scadente 0 cia rigettare. Bisogna tenere in canto tuttavia che i valori di ho e O"ho sono stati ottenuti dalla totalita. dei dati sperirnentali e non dalla minimizzazione del X2 , scritto prima: questa comporta ( vedi Kendall e Stuart, "The Advanced Theory of Statistics, vol. 2, §§30.15-30.19) una certa riduzion del numero dei vincoli, che puo portare ad accettare valori di X2 dell'ordine di 3, anziche di 1.

Se non avessimo voluto dividere in due i "bin" dell'istogramma cbe appartengono a differenti Ok e far sl che, in ogni caso, cadano in ogni Ok non meno di 5 eventi, avremmo potuto scegliere per il test i seguenti intervalli, compresi tra :

• -00 e 33 J-Lm, ossia tra -00 e ho - 0.50"ho con Ot =27,

• 33 J-Lffi e 35 J-Lm, ossia tra ho - 0.50"ho e ho + 0.50"ho con O2 =29,

• 35}-lm e 37 p.m, ossia tra ho + 0.50"ho e ho + 1.50"ho con 0 3 =17,

• 37 p.rn e +00, ossia tra ho + ] .50"ho e +00 con 0 4=8.

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Per ricavare i corrispondenti E,., usiamo l'Appendice B del Taylor. Se indichiamo con N il totale delle misUIe effettuate,

E 1 = N x P(ho < 33) = N[l - P(ho 2: 33)] = = N[l - P(ho 2: ho - 0.50")] = N[l - 0.5 + Q( -0.5)] = N[l - 0.5 - Q(0.5)] =

= N[0.5 - Q(0.5)] = 81(0.50 - 0.1915) = 25.0

E2 = N x P(33 -::; ho < 35) = N x P(ho - 0.50" -::; ho < ho + 0.50") =

= 2NQ(0.5) = 31.0

E3 = N x P(35 -::; ho < 37) = N x P( ho + 0.50" -::; ho -::; ho + 1.50") =

= N[Q(1.5) - Q(0.5] = 19.6

E4 = N x P(ho > 37) = N x P(ho > ho + 1.50") =

= N[0.5 - Q(1.5)] = 5.4

Si ottiene COS! alia file un X2 di 1.85, molto vicino al valore trovato precedentemente.

II ragionamento seguito per il piano di riferimento puo essere seguito anche per la misura dell'altezza H della calotta sferica ( non aneora sottratta della "zero"), compreso il test del X2

• Infatti, se la calotta e "sferica", ci aspettiamo che, spostando 10 sferometro, otteniamo sempre 10 stesso valore di H, a meno degli errori di misura e che, quindi, la distribuzione di H sia una gaussiana, con una 0" maggiore di 2 pm poiche la superficie non e lavorata otticamente COS! come il piano di riferimento.

Ottenuti ho , fJh: e H, O"/f, si ricava che

Da notare che la superficie in esame esferica solo nella parte centrale ( e piuttosto di forma "ovoidale") e che e lavorata con una precisione molto peggiore di quella dello strumento.

Bisogna evitare inoltre di mescolare assieme misure prese da osservatori diversi, prima di essersi accertati dell'equivalenza degli operatori stessi.

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