9788847027442-t1 (1)

6
Indice 1 Quel che non si può non sapere ....................... 1 1.1 Gli ambienti MATLAB e Octave ..................... 1 1.2 I numeri reali ...................................... 3 1.2.1 Come si rappresentano ........................ 3 1.2.2 Come si opera con i numeri floating-point ....... 6 1.3 I numeri complessi .................................. 9 1.4 Le matrici ......................................... 11 1.4.1 I vettori ..................................... 15 1.5 Le funzioni ........................................ 17 1.5.1 Gli zeri ..................................... 20 1.5.2 I polinomi ................................... 22 1.5.3 L’integrale e la derivata ....................... 24 1.6 Errare non è solo umano ............................ 26 1.6.1 Parliamo di costi ............................. 31 1.7 Qualche parola in più su MATLAB ................... 33 1.7.1 Statement MATLAB .......................... 35 1.7.2 Programmare in MATLAB .................... 37 1.7.3 Esempi di differenze tra linguaggi MATLAB e Octave ...................................... 40 1.8 Cosa non vi abbiamo detto .......................... 41 1.9 Esercizi ........................................... 41 2 Equazioni non lineari .................................. 43 2.1 Alcuni problemi .................................... 43 2.2 Il metodo di bisezione ............................... 46 2.3 Il metodo di Newton ................................ 50 2.3.1 Come arrestare il metodo di Newton ............ 52 2.4 Il metodo delle secanti .............................. 54 2.5 I sistemi di equazioni non lineari ..................... 55

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  • Indice

    1 Quel che non si pu non sapere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Gli ambienti MATLAB e Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2.1 Come si rappresentano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Come si opera con i numeri oating-point . . . . . . . 6

    1.3 I numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Le matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.4.1 I vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Le funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5.1 Gli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 I polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 Lintegrale e la derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.6 Errare non solo umano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.1 Parliamo di costi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.7 Qualche parola in pi su MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7.1 Statement MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.2 Programmare in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7.3 Esempi di dierenze tra linguaggi MATLAB e

    Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2 Equazioni non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Il metodo di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3 Il metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.3.1 Come arrestare il metodo di Newton . . . . . . . . . . . . 522.4 Il metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5 I sistemi di equazioni non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

  • XII Indice

    2.6 Iterazioni di punto sso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1 Come arrestare uniterazione di punto sso . . . . . . 65

    2.7 Accelerazione con il metodo di Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.8 Polinomi algebrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    2.8.1 Il metodo di Hrner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.8.2 Il metodo di Newton-Hrner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    2.9 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3 Approssimazione di funzioni e di dati . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2 Approssimazione con i polinomi di Taylor . . . . . . . . . . . . . 833.3 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    3.3.1 Interpolazione polinomiale di Lagrange . . . . . . . . . . 853.3.2 Stabilit dellinterpolazione polinomiale . . . . . . . . . 903.3.3 Interpolazione rispetto ai nodi di Chebyshev . . . . . 923.3.4 Interpolazione trigonometrica e FFT . . . . . . . . . . . . 94

    3.4 Interpolazione lineare composita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5 Approssimazione con funzioni spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6 Il metodo dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.7 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    4 Dierenziazione ed integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . 1154.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2 Approssimazione delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    4.3.1 La formula del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3.2 La formula del trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.3.3 La formula di Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    4.4 Formule di quadratura interpolatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.5 La formula di Simpson adattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.6 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    5 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2 Sistemi e complessit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3 Il metodo di fattorizzazione LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.4 La tecnica del pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    5.4.1 Il ll-in di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.5 Quanto accurata la risoluzione di un sistema lineare? . . 1595.6 Come risolvere un sistema tridiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.7 Sistemi sovradeterminati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.8 Cosa si nasconde dietro al comando \ . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

  • Indice XIII

    5.9 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.9.1 Come costruire un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . 170

    5.10 Il metodo di Richardson e del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 1755.11 Il metodo del gradiente coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.12 Quando conviene arrestare un metodo iterativo . . . . . . . . . 1815.13 Ed ora: metodi diretti o iterativi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.14 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.15 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

    6 Autovalori ed autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.2 Il metodo delle potenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    6.2.1 Analisi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.3 Generalizzazione del metodo delle potenze . . . . . . . . . . . . . 2016.4 Come calcolare lo shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.5 Calcolo di tutti gli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.6 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

    7 Ottimizzazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.2 Ottimizzazione non vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.3 Metodi derivative free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    7.3.1 I metodi della sezione aurea e dellinterpolazionequadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    7.3.2 Il metodo di Nelder e Mead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247.4 Il metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.5 Metodi di discesa o line-search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

    7.5.1 Direzioni di discesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.5.2 Strategie per il calcolo del passo k . . . . . . . . . . . . . 2317.5.3 Il metodo di discesa con direzioni di Newton . . . . . 2387.5.4 Metodi di discesa con direzioni quasi-Newton . . . . 2387.5.5 Metodi di discesa del gradiente e del gradiente

    coniugato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.6 Metodi di tipo trust region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2437.7 Il metodo dei minimi quadrati non lineari . . . . . . . . . . . . . 250

    7.7.1 Il metodo di Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.7.2 Il metodo di Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . 254

    7.8 Ottimizzazione vincolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.8.1 Il metodo di penalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.8.2 Il metodo della Lagrangiana aumentata . . . . . . . . . 266

    7.9 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

  • XIV Indice

    8 Equazioni dierenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.2 Il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.3 I metodi di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

    8.3.1 Analisi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808.4 Il metodo di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2848.5 Zero-stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2868.6 Stabilit su intervalli illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

    8.6.1 La regione di assoluta stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928.6.2 Lassoluta stabilit controlla le perturbazioni . . . . 2938.6.3 Adattivit del passo per il metodo di Eulero in

    avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.7 Metodi di ordine elevato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3028.8 I metodi predictor-corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.9 Sistemi di equazioni dierenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.10 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

    8.10.1 Il pendolo sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.10.2 Il problema dei tre corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3208.10.3 Alcuni problemi sti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

    8.11 Cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3308.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

    9 Metodi numerici per problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . 3339.1 Alcuni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349.2 Approssimazione di problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

    9.2.1 Approssimazione alle dierenze nite delproblema di Poisson monodimensionale . . . . . . . . . . 337

    9.2.2 Approssimazione alle dierenze nite di unproblema di diusione-trasporto a trasportodominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

    9.2.3 Approssimazione agli elementi niti del problemadi Poisson monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

    9.2.4 Approssimazione alle dierenze nite delproblema di Poisson in 2 dimensioni . . . . . . . . . . . . 345

    9.2.5 Consistenza e convergenza della discretizzazionecon dierenze nite del problema di Poisson . . . . . 351

    9.2.6 Approssimazione alle dierenze nitedellequazione del calore monodimensionale . . . . . . 352

    9.2.7 Approssimazione ad elementi niti dellequazionedel calore monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

    9.3 Equazioni iperboliche: un problema di trasporto scalare . 3609.3.1 Metodi alle dierenze nite per la discretizzazione

    dellequazione scalare iperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . 3629.3.2 Analisi dei metodi alle dierenze nite per

    lequazione scalare iperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

  • Indice XV

    9.3.3 Discretizzazione in spazio dellequazione scalareiperbolica con elementi niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

    9.4 Lequazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3729.4.1 Discretizzazione dellequazione delle onde . . . . . . . . 374

    9.5 Che cosa non vi abbiamo detto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3799.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

    10 Soluzione degli esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38310.1 Capitolo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38310.2 Capitolo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38610.3 Capitolo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39210.4 Capitolo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39510.5 Capitolo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40010.6 Capitolo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40710.7 Capitolo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41010.8 Capitolo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41710.9 Capitolo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

    Riferimenti bibliograci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

    Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

  • http://www.springer.com/978-88-470-2744-2


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Ampliamento dellinfrastruttura del CNAF/T1 Referee meeting 28/8/2008.

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