8.4 Macchine mentali: l’ellisse come sezione...

Macchine matematiche: dalla storia alla scuola

8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali

8.4 Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica

Introduzione

Lo spunto per questo esperimento didattico (Bartolini Bussi & Mariotti, 1999) è dato da un disegno in cui Albrecht Dürer (Peiffer, 1995) introduce il metodo della doppia proiezione per la rappresentazione grafica delle sezioni coniche.

Figura 1: disegno di Dürer

“ Se ora voglio tracciare la linea ad uovo o ellisse, devo disegnare il cono e indicare la sezione. Nello stesso modo devo disegnare il piano e porlo sot-to. Procedo come segue. Sia a il vertice del cono, bcde la sua base. Abbas-so da a una linea verticale. Sia f l’estremità superiore della sezione obliqua del cono, g la sua estremità inferiore. Divido questa sezione con 11 punti in 12 parti e comincio da f a numerare questi punti. Sotto questo cono, dise-gno un piano. Così a sarà il centro e bcde la circonferenza, come indica il cono verticale. Quando si abbassano, da tutti i punti di quest’ultimo, delle linee verticali sul piano, quelle uscenti da f, g e dai numeri 1,2,3, ecc., si-

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tuati tra loro, tagliano il cerchio. Io designerò con le loro lettere e numeri questi punti di intersezione. Fatto ciò, prendo un compasso e pongo nel co-no una delle punte sulla linea verticale [condotta da] a, alla stessa altezza del punto 1 della sezione obliqua fg. Pongo l’altra punta del compasso sul-la linea ad alla medesima altezza. Riporto questa apertura del compasso sul piano di base, dove pongo una punta sul centro a, l’altra sulla retta 1 e da questa descrivo un arco verso d che ritorna alla retta 1. Dopo pongo di nuovo una delle due punte del compasso sulla linea verticale a nel cono, all’altezza del punto 2 della sezione fg, pongo l’altra punta sulla linea ad e riporto questa distanza sul piano ponendo une delle due punte del compas-so sul centro a, l’altra sulla retta 2, e, a partire da tale punto, descrivo ver-so d un arco che ha gli estremi sulla retta 2. E così fino a 4. Poi, inverto il compasso al punto 5 ponendo l’altra punta sulla linea ab. Riporto questa distanza sul piano descrivendo un arco di centro a, verso d con i due e-stremi sulla retta 5. Procedo così per tutti i numeri e riporto tutti gli ele-menti del cono sul piano. In seguito, partendo dal piano, traccio l’ellisse, senza linee ausiliarie, nel modo seguente. Riporto su una retta verticale la lunghezza fg della sezione, divisa con 11 punti in 12 segmenti uguali, e traccio undici linee orizzontali parallele, una per ciascun punto. Prendo poi le larghezze sul piano, sulla retta 1 quella parte individuata dall’arco di cerchio, che riporto sulla retta 1 della sezione fg. Indico la larghezza mediante due punti posti uno da una parte e uno dall’altra dell’asse [fg]. Eseguo lo stesso [procedimento] per tutti i numeri. Quando i punti saranno tutti disposti attorno [a fg], passando da un punto all’altro traccio la linea ad uovo o ellisse [...]. „

Nel metodo di Dürer il triangolo assiale è interpretato come la proiezione ortogonale del cono su un piano verticale passante per l’asse. A questa proiezione è poi associata una seconda proiezione sul piano di base, che consente di determinare l’ampiezza del cono a diverse quote.

È interessante osservare come Dürer introduce il nome tedesco della se-zione:

L’ellisse mi propongo di chiamarla linea ad uovo, poiché essa è identica a un uovo.

Di fatto nel disegno (Fig.1), dopo avere tracciato correttamente tutti i 13 punti ed eseguito il trasporto dei segmenti, il tratto che congiunge i punti trovati è lievemente forzato per assumere la forma di un uovo.

Può sorprendere che Dürer rappresenti con una forma ad uovo (dotata di un solo asse di simmetria) una curva, l’ellisse, che ha due assi di simmetria ortogonali. Questo errore percettivo è del resto documentato fin dall’antichità, per la difficoltà a “vedere” nello spazio la sezione di un cono. In alcuni casi, come vedremo, sono date argomentazioni dettagliate in dife-sa della forma ad uovo. In altri ci si oppone a questo misconcetto diffuso. A partire da questo caso storico è parso interessante indagare se anche gli stu-

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Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica

denti di oggi hanno dubbi in proposito. A tale scopo è stato compiuto un esperimento didattico in due diverse sedi universitarie (Modena e Pisa).

La consegna

“ É stato costruito un dialogo immaginario con brani estratti da trattati di epoche diverse. Esso riguarda la forma di una particolare sezione di un cono. Leggilo con attenzione.

SERENO: Poiché so che molti geometri esperti ritengono che la se-zione trasversale del cilindro sia diversa da quella del cono che viene chiamata ellisse, ho pensato che non si può permettere ad essi, né a co-loro che - udendoli - potrebbero essere da loro persuasi, di rimanere in questo errore. Eppure, a chiunque dovrebbe apparire assurdo che stu-diosi di geometria si pronuncino su un problema geometrico senza for-nire dimostrazioni e si lascino attrarre da apparenze di verità, cosa del tutto opposta allo spirito della geometria. Comunque, dal momento che essi sono di ciò convinti e io invece del contrario, dimostrerò 'more ge-ometrico' che entrambe le figure solide hanno necessariamente una se-zione del medesimo genere, anzi identica, purché cono e cilindro (di lo-ro appunto sto parlando), siano tagliati opportunamente, non in modo qualsiasi (Le sezioni del cilindro e le sezioni del cono, IV secolo d. C.).

WITELO: Tutte le ellissi ottenute come sezioni di un cono acutango-lo si allargano dalla parte vicina alla base del cono: ciò non accade per quelle ottenute come sezioni di un cilindro. Ciò accade a causa dell'a-cuità dei coni e della regolarità dei cilindri. Se infatti, a partire dal pun-to (dell'asse del cono) ottenuto intersecando l'asse del cono con la linea perpendicolare a un lato del triangolo per l'asse, si traccia un cerchio appartenente al cono e si immagina un cilindro avente tale cerchio co-me base: è evidente che la parte inferiore del cono è esterna a tale ci-lindro, mentre la parte superiore del cono è ad essa interna. Pertanto la parte inferiore della sezione conica contiene la parte inferiore della se-zione cilindrica, mentre la parte superiore della sezione cilindrica con-tiene la parte superiore della sezione conica. D'altronde le due parti della sezione cilindrica sono uguali per la regolarità del solido e le u-guaglianze degli angoli formati con l'asse. Ne segue allora l'assunto (Sulla Prospettiva, circa 1270).

ALBRECHT DÜRER: Non conosco i nomi tedeschi delle sezioni (del cono), ma propongo di chiamare l'ellisse curva ad uovo, poiché è di fat-to identica a un uovo (Trattato sulle Misurazioni con Riga e Compasso sulla Retta, nel Piano e su Tutti i Corpi, 1525).

GULDIN: Bisogna anche evitare l'errore di coloro che ritengono l'ellisse (ottenuta come sezione di un cono) più stretta nella parte rivolta verso il vertice del cono, più larga in quella prossima alla base - come

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l'uovo di gallina: mentre invece in nulla differiscono (quanto a ciò) le ellissi originate da un cono e quelle tagliate da un cilindro (Centrobar-yca 1640).

Come ti inseriresti in questo dialogo? Quale è la tua opinione? Come po-tresti convincere i tuoi interlocutori immaginari che hanno espresso un’opinione diversa dalla tua? Come potresti convincere uno studente di scuola secondaria? „

Metodologia

Quattordici studenti dei corsi di Matematiche elementari da un punto di vi-sta superiore di due diverse sedi universitarie (A e B) hanno accettato di partecipare ad una sessione pomeridiana straordinaria in cui affrontare la consegna illustrata. Tutti gli studenti avevano già frequentato almeno due corsi annuali di geometria (algebra, lineare, geometria proiettiva, affine ed euclidea, ecc.). In questi corsi essi avevano avuto informazioni sui casi di sezioni piane di un cono. Queste informazioni erano state date in modo ve-loce, giusto per ricordare proprietà già studiate nella scuola superiore e in-trodurre l’argomento delle coniche e delle quadriche. Da un certo punto di vista, quindi, si trattava di un gruppo di “esperti”, poiché tutti sapevano che non si ottengono curve ad uovo.

Gli studenti sono stati divisi a gruppetti (due gruppi di tre – che saranno indicati con A2 e B5 – e quattro coppie – che saranno indicate con A1, B1-B2, B3, B4). È stato loro dato un foglio con il dialogo e chiesto di risponde-re alle domande finali producendo una sola risposta per gruppo. In un caso (B1-B2) non è stato possibile raggiungere l’accordo tra i due studenti che hanno quindi prodotto due elaborati distinti.

Gli argomenti di Witelo

Gli studenti, sapendo che la posizione di Witelo e Dürer non è corretta, cer-cano inizialmente di ripercorrere le argomentazioni fornite da Witelo per scoprire le cause dell’errore e costruire una contro-argomentazione. Ripor-tiamo i risultati di questo processo di analisi del testo.

Ragionare per simmetria

Si può attaccare il problema tentando di trasferire le proprietà di simmetria del cono a quelle della sezione. La prima idea è quella di identificare il cen-tro della sezione con l’intersezione dell’asse del cono e del piano secante. Questa idea sembra guidare il lavoro della coppia A1, che opera inizialmen-te su un modello tridimensionale costituito da due triangoli isosceli ritaglia-ti dal foglio e uniti lungo gli assi di simmetria (vedi Fig. 2).

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Figura 2: estratto di protocollo Figura 3: estratto di protocollo

È proprio il modello di carta a mettere in crisi la loro idea. Quindi disegna-no un cono e un cilindro circolari retti con la stessa base e lo stesso piano secante (Fig. 3), pensando di ottenere due ellissi concentriche e cercando di valutare la distanza dei punti delle ellissi dall’asse del cono. Tuttavia, im-maginando di cambiare l’inclinazione del piano secante, si accorgono che le “distanze” si modificano senza conservare la simmetria.

Questo risultato è molto sconcertante perché sottolinea la differenza del-le proprietà della sezione conica rispetto a quelle della sezione cilindrica. Sembrano quindi, contro la loro intenzione, dare ragione a Witelo, contro l’intenzione degli studenti.

Ragionare per contenente-contenuto

Una coppia di studenti (B3) disegna la configurazione descritta da Witelo e successivamente disegnano ciò che appare sul piano secante (Fig. 4).

Figura 4: estratto di protocollo

Essi ottengono due curve chiuse che si intersecano in due punti. Questa configurazione può spiegare, secondo loro, perché non c’è contraddizione tra avere una “vera” ellisse nella sezione conica che nella parte superiore “è contenuta” e nella parte inferiore “contiene” la sezione cilindrica.

Ragionare per casi limite

Uno studente (B2) spiega l’errore grafico e concettuale di Dürer ricorrendo a un ragionamento sul limite.

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“ Questi due disegni mostrano le sezioni che si ottengono tagliando una pi-ramide e un prisma con base un poligono regolare (nell’esempio un esago-no). Come si può ben osservare le due sezioni non sono simili infatti mentre la sezione del prisma è simmetrica rispetto alla retta indicata con r sul di-segno, ciò non avviene nella piramide.

Ora noi possiamo immaginare che tale sproporzione si mantenga quando all’aumentare dei lati piramide e prisma si avvicinano a cono e cilindro.

[…]

Mentre nel caso del prisma e del cilindro la simmetria invita a pensare che si otterrà qualcosa di simmetrico (un’ellisse), nell’altro caso la percezione visiva ci guiderebbe a pensare ad una curva non simmetrica (l’ “uovo” di Dürer). L’inganno è poi rafforzato anche dalla costruzione che solitamente viene utilizzata per disegnare tali curve che è quella per punti. Infatti la se-lezione dei punti di partenza sulla circonferenza di base equivale a sceglie-re solitamente un poligono regolare, da cui otteniamo come nel primo di-segno una distribuzione asimmetrica dei punti finali nel caso del cono. „

Lo studente, dopo avere giustificato l’errore di Witelo e Dürer, non cerca di costruire un argomento a favore della simmetria. Cambia quadro e costrui-sce una dimostrazione di tipo analitico (vedi più oltre).

Il ricorso a disegni e modelli

Come abbiamo visto, gli studenti utilizzano disegni anche sofisticati. In al-cuni casi, il disegno può ostacolare il processo, come nell’esempio qui di seguito. Dopo avere disegnato in modo approssimativo un cono e un cilin-dro con la stessa base, gli studenti (A2) tagliano la figura con un piano per l’asse comune ortogonale alla base e osservano:

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“ “raddoppiando” un cono si può ottenere un cilindro. „

Concludono velocemente che la regolarità del cilindro induce la regolarità delle sezioni. La loro attenzione è attirata dai triangoli tratteggiati in Fig. 6, di cui congetturano l’uguaglianza. Nel particolare disegno realizzato, sem-bra che la traccia del piano secante intersechi le tracce del cilindro e del co-no in 4 punti che individuano quattro segmenti congruenti. Gli studenti ten-tano per molto tempo di dimostrare l’uguaglianza dei triangoli, senza suc-cesso.


Gli studenti usano anche modelli tridimensionali, costruiti in modo veloce con carta tagliata e piegata (come nella Fig. 2) o semplicemente evocati. In due casi (la coppia B3 e il trio B5) suggeriscono che il ricorso a modelli di legno potrebbe essere utile a risolvere il conflitto anche con studenti della scuola media.

Le dimostrazioni

Tutti gli studenti, tranne uno, si limitano ad esplorare i testi di Witelo e Dü-rer alla ricerca di un’argomentazione convincente che li contraddica. Lo studente B2, invece, dopo la presentazione del ragionamento per caso limite che sembra confermare gli argomenti di Witelo presenta una dimostrazione, che combina un procedimento sintetico ed uno analitico. Il ragionamento sintetico gli consente di trasferire nel piano il trattamento analitico, evitan-do il ricorso a sistemi di riferimento tridimensionali.

“ Vediamo che da un cono tagliato da un piano opportuno si ottiene un’ellisse e non un “uovo”.

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Scegliamo un riferimento cartesiano sul piano che seca il cono con l’asse x che passa per i due punti più distanti della sezione e l’asse y partente dal primo dei due punti.

Cercheremo di scrivere l’equazione canonica che ci mostra che è un’ellisse.

Nel disegno accanto si rappresenta la sezione ottenuta con il piano che contiene l’asse x e l’asse del cilindro [sic!].

OP’ = x PP’ = y OA = j

Poiché P si trova sul cono allora si troverà su una circonferenza posta in un piano perpendicolare all’asse del cilindro PBC [sic!].

Il triangolo BPC è rettangolo in P allora per il 2 Teo. di Euclide

BP’ P’C = PP’2.

Se scegliamo un altro punto Q sulla sezione otterremo ugualmente:

DQ’ Q’E = QQ’ = y2

I triangoli ODQ’ e CBP’ sono simili allora

DQ’ = α OQ’ = α x

BP’ = α CP’ = α x’ con α opportuno.

Anche AP’C e AQ’E sono simili quindi

P’C = β AP’ = β (J – x)

Q’E = β AQ’ = β(J – x’) con β opportuno.

Quindi qualunque punto della sezione:

y2 = α x β (J – x)

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y2 = αβ J x + αβ x2

1

4

2

4

2

2

2

2

=

−

+αβ J

Jx

Jy

che è un’ellisse di centro ( J/2, 0). „

Lo studente ritiene però che la dimostrazione non risolve del tutto il pro-blema posto nella consegna, cioè quello di inserirsi in questo dibattito stori-co con interlocutori dell’antichità, del medioevo o del Cinquecento:

Questa dimostrazione “more analitico” ha però l’inconveniente di non dire niente a chi non conosce le ellissi come equazioni.

Lo stesso studente ricorda di avere visto un modello tridimensionale che potrebbe risolvere il problema da un punto di vista sintetico:

Se vogliamo utilizzare la definizione dell’ellisse come luogo di punti, il pro-blema arriva nel dover determinare i fuochi. Una costruzione che porti a tale dimostrazione è molto complicata con due sfere tangenti internamente al cono. I punti in cui tangono le sfere con il piano sono i fuochi e ciò si dimostra con un po’ di lavoro.


Il senso dell’esperimento

Anche se l’esperimento riguarda solo 14 studenti, esso fornisce informazio-ni significative. Gli studenti conoscevano alcune proprietà delle coniche e non avevano dubbi che l’argomento di Witelo fosse sbagliato. Piuttosto cercavano di confutarlo in modo diretto, senza troppo successo. In effetti non è possibile costruire una confutazione diretta dell’argomento di Witelo, senza entrare nel merito di proprietà dell’ellisse (ad esempio le proprietà focali) che non sono facilmente e velocemente riconducibili alla sua genesi come sezione conica. Si possono naturalmente costruire varie dimostrazioni del fatto che questa sezione del cono è un’ellisse e non un “uovo”, ad e-sempio:

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- Nello stile di Apollonio, mostrando che la sezione ha due diametri coniugati ortogonali (cioè due assi di simmetria).

- Nello stile di Sereno, costruendo (e poi dimostrando la validità della costruzione) un cilindro che ha la stessa sezione del cono.

- Nello stile dei geometri postcartesiani, ricorrendo alla geometria ana-litica, come ha fatto brillantemente uno studente (vedi anche Herz-Fischler, 1990).

Quest’ultima dimostrazione sembra alla portata degli studenti, che ave-vano affrontato nei corsi universitari la geometria analitica del piano e dello spazio. Il mancato ricorso alle equazioni può dipendere da due cause: una competenza non più sicura nelle tecniche analitiche o un rifiuto ad uscire dal quadro sintetico in cui operavano gli antichi geometri (vedi Capitolo 5 paragrafo 5).

Possiamo proporre due dimostrazioni, di natura sintetica, che risolvono il problema:

- La dimostrazione sul modello di Dandelin, già accennata dallo stu-dente B2.

- La dimostrazione con il metodo di Dürer, rivisitato in modo da evita-re inganni percettivi e da dare conto anche del paradosso intrinseco nel ragionamento con il passaggio al limite.

Le sfere di Dandelin

Si può dimostrare direttamente che la sezione E di un cono è (con un’opportune inclinazione del piano secante) un’ellisse facendo ricorso alla costruzione di Dandelin (1822). Ecco una traccia della dimostrazione (Cou-rant & Robbins, 1971):

“ La dimostrazione si basa sull’inserimento di due sfere S1 ed S2 tangenti a π nei punti F1 ed F2 rispettivamente, e che toccano il cono secondo i due cerchi paralleli K1 e K2 rispettivamente. Si congiunge un punto arbitrario P di E con F1 ed F2 e si traccia la retta che congiunge P al vertice O del co-no. Questa retta giace interamente sulla superficie del cono e interseca i cerchi K1 e K2 nei punti Q1 e Q2 rispettivamente. Ora PF1 e PQ1 sono due tangenti condotte da P a S1,e quindi :

PF1 = PQ1.

Analogamente,

PF2 = PQ2.

addizionando membro a membro queste due equazioni, si ottiene:

PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2.

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Ma PQ1 + PQ2 = Q1Q2 è proprio la distanza tra i cerchi paralleli K1 e K2,misurata sulla superficie del cono, ed è perciò indipendente dalla parti-colare scelta del punto P su E. L’equazione risultante

PF1 + PF2 = costante

vale per tutti i punti P di E, ed è precisamente la definizione focale dell’ellisse. E è perciò un’ellisse e F1 e F2 sono i suoi fuochi.

„ Figura 9: costruzione di Dandelin

Il metodo di Dürer rivisitato

Il metodo di Dürer trae la sua origine dalla tradizione dei trattati classici. La novità di Dürer sta nella trasposizione alla geometria di una tecnica usata dai tagliatori di pietre (Pfeiffer, 1995). Un oggetto tridimensionale è rappre-sentato attraverso due proiezioni ortogonali, la prima su un piano orizzonta-le e la seconda su un piano verticale, che è ruotato intorno alla retta comune fino a sovrapporsi al piano orizzontale. In questo modo, un punto dello spa-zio è identificato da due punti del piano in cui si traccia la rappresentazione. La retta che congiunge i due punti è perpendicolare alla retta intersezione.

Dürer usa questo metodo, come abbiamo visto, senza fornire ulteriori giustificazioni, come metodo per disegnare le sezioni coniche. Il metodo della doppia proiezione è un metodo corretto. Solo un incidente come un piccolo scivolamento della riga o del compasso può indurre il tracciamento di punti appartenenti al contorno di un “uovo” piuttosto che ad un’ellisse, soprattutto se questa è l’aspettativa del disegnatore.

Si può usare questo metodo: - Per costruire correttamente la sezione. - Per sciogliere il paradosso del passaggio al limite. - Per dimostrare che la curva non ha la forma ad “uovo”, provando che

ha due assi di simmetria ortogonali.

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È utile realizzare i disegni in un ambiente di geometria dinamica (es. Ca-briPlus) che consente di costruire l’intera curva (dopo avere definito il me-todo di Dürer su un solo punto generico), attraverso i comandi traccia o luogo.

La costruzione della sezione

Consideriamo un cono circolare retto ottenuto ruotando un triangolo rettan-golo (non isoscele) intorno al cateto maggiore VV° (Fig. 10). Consideriamo un piano s non parallelo al piano di base b e secante il cono. Supponiamo che tra i punti d’intersezione ci siano due punti giacenti su generatrici op-poste (per ottenere un’ellisse). Se r è la retta intersezione dei piani s e b, sia A°B° il diametro del cerchio di base ortogonale alla retta r. Il triangolo A°VB° sia chiama triangolo per l’asse. Sia DC il segmento ottenuto inter-secando il triangolo per l’asse con il piano secante. Consideriamo un punto generico R sul segmento DC. Proiettiamo ortogonalmente la sezione oriz-zontale del cono (cerchio) alla quota di R (il cui diametro è EF). Il segmen-to R°R°' nel piano di base rappresenta l’ampiezza della sezione lungo una retta perpendicolare a DC per R nel piano secante.

V°

V

D

C

C

D

RE

E°

R°'

R°' '

F

R

R"

R'

R°

Figura 10: costruzione della sezione

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Disegnamo a lato il segmento CD e riportiamo su di esso il punto R. Trac-ciamo poi una retta per R ortogonale a CD. Su tale retta, riportiamo il seg-mento R°R°’ da parti opposte rispetto a R, ottenendo i punti R’ ed R”. Tali punti appartengono alla sezione.

In ambiente Cabri, l’unione dei luoghi descritti da R’ e da R”, al variare di R costituisce una ellisse che è percettivamente non a forma di “uovo”.

Coni e piramidi

Con lo stesso procedimento si può costruire la sezione piana di una pirami-de a base esagonale, trovando che in generale l’esagono sezione non è rego-lare, pur avendo un asse di simmetria. I sei vertici (anzi cinque di essi, poi-ché il passaggio per il sesto è obbligato) individuano una ellisse, che è la curva sezione del cono a cui tendono i poligoni sezione ottenuti da piramidi con base data da poligoni regolari inscritti nel cerchio che costituisce la ba-se del cono.

C

D

C D

E

E

Figura 11: sezione di piramide

La curva ottenuta ha due assi di simmetria ortogonali

La retta CD è ovviamente un asse di simmetria della curva, poiché i punti R' ed R'' sono simmetrici. Si può dimostrare anche l’esistenza di un secondo asse di simmetria. Questo asse interseca DC nel suo punto medio O che tut-

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tavia non appartiene all’asse del cono. Per dimostrarlo basta ripetere la co-struzione eseguita su R per il punto S di DC simmetrico di R rispetto al punto O. Il disegno suggerisce la congettura che R°R°' = S°S°' (In Fig. 12 è stato disegnato solo uno dei due semicerchi).

Dimostrazione

I due triangoli V°R°R°' e V°S°S°' del piano di base sono rettangoli. Dunque per il teorema di Pitagora:

222 RV'RV'RR °°−°°=°° )RVE(V)RVE(VRVEV 22 °°+°°⋅°°−°°=°°−°°=

°°⋅°°= RFRE . 222 SV'SV'SS °°−°°=°°

)SVH(V)SVH(VSVHV 22 °°+°°⋅°°−°°=°°−°°= °°⋅°°= SGSH

Per provare che R°R°' = S°S°'

è sufficiente provare che: E°R° · F°R° = H°S° · G°S°

cioè che ER · FR = HS · GS

cioè che vale la proporzione: ER : GS = HS : FR.

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V

A° B °V°

D

C

O

R

S

EF

HG

E° R° G° O° F°H°

R°' S°'

S°

Figura 12

Ma questa proporzione segue osservando che:

ER : GS = CR : CS = DS : DR = HS : FR.

(sulla base dell’ipotesi CR = SD e RO = OS

e sulla similitudine delle coppie di triangoli: ECR / GCS e HDS / FDR).

Discussione

L’esperimento è stato proposto in varie occasioni, a gruppi di insegnanti esperti o in corsi di aggiornamento per insegnanti e perfino in laboratori in occasione di congressi con la partecipazione di esperti di didattica della ma-tematica. Il dialogo storico immaginario, e in particolare l’argomento di Witelo, sono destabilizzanti. Essi non sono sufficienti a mettere in crisi le proprietà delle sezioni coniche (anche se questo potrebbe accadere con al-lievi più giovani o meno esperti), ma provocano interminabili discussioni e sistematici, ma inefficaci, tentativi di affrontare il conflitto in modo diretto.

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Non abbiamo trovato nessuna discussione di questo problema nei libri di testo, neppure in quelli che introducono le coniche come sezioni prima di passare alla definizione basata sulle proprietà focali. Sono magari proposti disegni accurati che giustificano “senza dimostrazione” il fatto che:

secando un cono circolare retto con un piano non passante per il vertice si ottiene una curva che può essere una:

ellisse parabola iperbole.

In questo modo si nasconde un problema che riemerge rapidamente quando gli studenti sono messi in crisi, come accade dall’argomentazione di Wite-lo.

Le dimostrazioni di tipo analitico non soddisfano completamente gli stu-denti, poiché non attaccano in modo diretto l’argomentazione di Witelo. In-fatti, in ogni sequenza di manipolazioni algebriche di una formula, non è sempre possibile tradurre i singoli passi in manipolazioni geometriche dell’oggetto: l’efficacia del linguaggio algebrico sta proprio nella possibili-tà di sospendere di quando in quando l’interpretazione geometrica dei pas-saggi e quindi di ricorrere, a volte, a passaggi non interpretabili geometri-camente.

Le due dimostrazioni sintetiche offerte affrontano il problema in modo indiretto, provando,

- Nel caso delle sfere di Dandelin, che la curva sezione ha le stesse proprietà metriche focali dell’ellisse, ed è quindi un’ellisse.

- Nel caso del metodo di Dürer rivisitato, che la curva sezione ha due assi di simmetria ortogonali, e non può quindi avere una forma ad “uovo”.

Si tratta di dimostrazioni che introducono un controllo intellettuale che va “contro” la percezione. Esse non sono “naturali”. Sono strumenti di me-diazione semiotica che possono essere trascinati nel compito in modo in-tenzionale dall’insegnante o da uno studente più competente, come lo stu-dente B2, che ricorda di avere visto da qualche parte una copia del modello di Dandelin.

I risultati dell’esperimento mostrano chiaramente che sotto enunciati “scon-tati” utilizzati per introdurre le coniche come sezioni di un cono, si nascono in realtà misconcezioni notevoli, che emergono quando gli studenti sono posti in una situazione conflittuale.

Le misconcezioni si possono evitare quando l’insegnante affronta in modo diretto il problema delle sezioni coniche, come mostra l’esperienza svolta nell’A.S. 1999/2000 da Renato Verdiani presso il Liceo Scientifico “Il Pontormo” di Empoli. L’idea fondamentale è stata quella di riproporre per una presentazione pubblica di fronte a tutta la scuola un percorso prepa-rato in laboratorio con gli studenti, nel quale le classiche definizioni metri-

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che realizzate graficamente con Cabri si affiancano a modelli di cartoncino di curvigrafi e di coni che illustrano i teoremi di Dandelin. I modelli sono particolarmente ben riusciti, pur avendo dimensioni piccole. L’accuratezza della presentazione e la sua efficacia sono testimoniate dal successo della presentazione proposta al preside e a varie classi della scuola. Un estratto del materiale prodotto è presentato in questo cd.

8.4 Macchine mentali: l’ellisse come sezione...

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