8 - Moto Di Fluidi Non Newtoniani

8/18/2019 8 - Moto Di Fluidi Non Newtoniani

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VIII-1

8. Moto di fluidi non-newtoniani

Il bilancio di energia meccanica per un fluido incomprimibile che scorre in una tubazione è

espresso mediante l’equazione seguente:

( )2 2

2 1 2 1

2 1

10

u u p pg z z F W

α ρ ρ

− −+ − + + − =∑

dove F ∑ è la somma di tutte le perdite per attrito:

2

22 1

2 f

fu LF k u

D= +∑ ∑

W è il lavoro fornito al fluido per unità di massa, e la richiesta di potenza per il sistema è data

dal prodotto di W per la portata massica:

( )1 1 1 potenza richiestaW u S ρ

η =

essendo η l’efficienza della pompa.


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VIII-2

Moto di fluidi non newtoniani in un tubo circolare ed in una stretta fenditura

In questa sezione verrà approfondito il moto dei fluidi non-newtoniani all’interno di un tubo

circolare e in una stretta fenditura rettangolare, in condizioni stazionarie di regime laminare.

Per ogni modello verranno calcolate le portate volumetriche delle varie tipologie di fluidi ed i

profili di velocità.

Eseguendo un bilancio microscopico di quantità di moto in un tubo circolare si ottiene la

seguente relazione:

2rz

Pr

Lτ

∆= (1)

dove r è la coordinata radiale del tubo di raggio R, mentre z è la coordinata assiale del tubo

lungo L; il fluido scorre nella direzione e nel verso dell’asse z.

Per una stretta fenditura composta da due pareti parallele di larghezza W e di lunghezza L

poste ad una distanza 2T (il termine “stretta” indica che 2T


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VIII-3

w

PT

Lτ

∆= (5)

e di conseguenza:

xz w

x

T τ τ = (6)

La portata volumetrica può essere calcolata nel modo seguente (il pedice t si riferisce al tubo

circolare, mentre il pedice f si riferisce alla stretta fenditura):

2

0 0 0

2 R R

t z zQ v rdrd v rdr

π

θ π = =∫ ∫ ∫ (7)

0 0

2W T T T

f z z z

T T

Q v dxdy W v dx W v dx− −

= = =∫ ∫ ∫ ∫ (8)

Si dovrebbe calcolare il profilo di velocità nel fluido per ottenere la portata volumetrica, ma

per semplificare i calcoli molto spesso si effettua un’integrazione per parti delle equazioni (7)

e (8):

2 2

0 0

1 12

2 2

R R

z

t z

dvQ r v r dr

dr π

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (9)

0

0

2T

T z

f z

dvQ W xv xdx

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ (10)

Poiché il termine v z si annulla agli estremi di integrazione, le equazioni (9) e (10) diventano:

2

0

R z

t

dvQ r dr

dr π ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (11)

0

2T

z

f

dvQ W xdx

dx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(12)

Sempre a partire dalle relazioni (11) e (12) è possibile ottenere altre espressioni per calcolare

la portata volumetrica. Infatti, a partire dall’equazione (4) si può ricavare che nel caso nel

tubo cilindrico:

2 2

2

2

rz

w

Rr

τ

τ = (13)

rz

w

Rdr d τ

τ = (14)

mentre nel caso della stretta fenditura a partire dalla (6) si ha:

xz

w

T x

τ

τ = (15)

xz

w

T dx d τ

τ = (16)

Sostituendo le espressioni (13), (14), (15) e (16) negli integrali (11) e (12) si ottiene:


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VIII-4

3

2

3

0

w

z

t rz rz

w

dv RQ d

dr

τ π

τ τ τ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(17)

2

2

0

2 w z

f xz xz

w

dvWT Q d

dr

τ

τ τ τ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(18)

Per completezza si ricorda che nel caso di fluidi newtoniani valgono le seguenti relazioni:

4

8t

PRQ

L

π

µ

∆= (19)

32

3 f

P W Q

Lµ

∆ Τ= (20)

Modello di Bingham

Il modello di Bingham scritto con coordinate relative al tubo circolare diventa:

0

z

rz B

dv

dr τ τ µ = − se | τ rz | > τ 0 (21)

0 zdv

dr = se | τ rz | < τ 0 (22)

mentre riferito alla stretta fenditura si ha:

0

z

xz B

dv

dxτ τ µ = − se | τ xz | > τ 0 (23)

0 zdv

dx= se | τ xz | < τ 0 (24)

La presenza nel modello di uno yield stress τ0 al di sotto del quale non si ha un gradiente divelocità significa che ci si deve attendere una zona di flusso a pistone, nel caso nel tubo

cilindrico per r < r 0, dove r 0 rappresenta il raggio della zona di flusso a pistone, definito in

modo tale che:

0 02

Pr

Lτ

∆= (25)

Di conseguenza:0

o w

r

Rτ τ = (26)

0

0

w

Rr

τ

τ = (27)

Analogamente per la stretta fenditura si ha una zona di flusso a pistone per x < x0, dove x0

rappresenta il limite della zona di flusso a pistone, quindi:

0 0

P x

Lτ

∆= (28)


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VIII-5

0

o w

x

T τ τ = (29)

0

0

w

T x

τ

τ = (30)

Le precedenti relazioni riguardanti le zone di flusso a pistone sono valide anche per gli altri

modelli che presentano un parametro di yield stress che verranno trattati in seguito (Herschel-

Bulkley, Vocadlo e Casson).

Prendendo in considerazione le equazioni (11) e (12) i limiti inferiori degli integrali possono

essere sostituiti rispettivamente con r 0 e con x0 essendo il gradiente di velocità nullo

all’interno delle zone di flusso a pistone. Le espressioni per il calcolo della portata diventano

quindi:

0

2

R

z

t

r

dvQ r dr

dr π

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(31)

0

2T

z

f

x

dvQ W xdx

dx

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(32)

Per quanto concerne il tubo circolare, ricavando l’espressione del profilo di velocità a partire

dall’equazione (21), utilizzando la relazione (4) e sostituendo all’interno dell’integrale (31) si

ottiene:

0

2

0

R

t w

r B

r Q r dr

R

π τ τ

µ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(33)

Integrando si ha:

( )0

3 44 3

3 30 0 0

04 3 4 4 3

R

t w w

B Br

r r r RQ R r

R R

τ τ π π τ τ

µ µ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (34)

sostituendo l’equazione (27) nella precedente si ricava:

44 33 3 3

0 0 0

0 3

4 11

4 3 12 4 3 3t w w

B w B w w

R R R RQ

τ τ τ π π τ τ τ

µ τ µ τ τ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (35)

Infine, sostituendo τw con l’espressione (3) nel termine che precede la parentesi quadra si

ottiene:4

4

0 04 1

18 3 3

t

B w w

PRQ

L

τ τ π

µ τ τ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (36)

Dividendo la portata per la sezione del tubo (π R2) è possibile calcolare la velocità media 4

2

0 04 1

18 3 3

z t

B w w

PRv

L

τ τ

µ τ τ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (37)

Per quanto riguarda la stretta fenditura si procede in maniera del tutto analoga, partendo dalle

equazioni (23) e (6) e sostituendo nell’espressione (32) si ricava:


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VIII-6

0

0

2T

f w

x B

W xQ xdx

T τ τ

µ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(38)

Integrando si ottiene:

( )0

2 33 2

2 20 0 0

02

3 2 3 3 2

T

f w w

B B x

x xW x T Q T x R T

τ τ π τ τ µ µ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(39)

Sostituendo la (30) nella (39) si ha:

33 22 2 2

0 0 0

0 2

2 3 11

3 2 6 3 2 2 f w w

B w B w w

T T T W T Q

τ τ τ π τ τ τ

µ τ µ τ τ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (40)

Infine, sostituendo τw con l’equazione (29) nel termine che precede la parentesi quadra siottiene:

3

30 02 3 11

3 2 2 f

B w w

PWT Q

L

τ τ

µ τ τ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(41)

Dividendo la portata per la sezione del fenditura (2WT ) è possibile calcolare la velocità media

:

32

0 03 1

13 2 2

z f

B w w

PT v

L

τ τ

µ τ τ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (42)

A partire dall’equazione (21), sostituendo in essa l’espressione del flusso di quantità di moto

in funzione della caduta di pressione (1), è possibile ricavare il profilo di velocità lungo ilraggio del tubo circolare e calcolare di conseguenza la velocità massima:

0

1

2

z

B

dv Pr

dr Lτ

µ

∆⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(43)

Integrando si ottiene:

20

4 z

B B

Pv r r C

L

τ

µ µ

∆= − + (44)

Si può determinare la costante di integrazione C utilizzando come condizione al contorno il

fatto che a r = R si ha v z = 0 e la soluzione risulta essere:22

0

,11 1

4 z

B B

RPR r r v

L R R

τ

µ µ

⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (45)

Questa espressione è valida solamente per r > r 0, poiché per r < r 0 si ha il flusso a pistone

dove v z assume un valore costante che corrisponde a quello calcolato dalla (45) a r = r 0.

Sostituendo τ0 con l’espressione data dalla (27) si ottiene la velocità nella zona di flusso a pistone:

22

0

,21

4

z

B

r PRv

L Rµ

∆ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(46)


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VIII-7

c = r 0/ R

Per quanto riguarda la stretta fenditura i calcoli sono simili, cambiano solamente le coordinate

e l’uso dell’espressione (2) invece della (1). Quindi le equazioni (45) e (46) diventano:

22

0

,11 1

2 z

B B

T PT x xv

L T T

τ

µ µ

⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (47)

22

0

,21

2 z

B

xPT v

L T µ

∆ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(48)

Modello di Ostwald-De Waele

Il modello di Ostwald-De Waele per il sistema di riferimento del tubo circolare è scritto nel

modo seguente:n

z

rz

dvk

dr τ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(49)

mentre per il sistema di riferimento della stretta fenditura risulta essere:

n

z

xz

dvk

dxτ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(50)

Procedendo in modo analogo a quanto visto in precedenza, sia ha per il moto in un tubo:

12 1

0

R nnw n

t Q r dr

kRτ π

+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫

(51)

13 1

3 1 2

nnn

t

n PQ R

n kL

π +∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (52)

11

3 1 2

nnn

z t

n Pv R

n kL

+∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (53)

1 11

11 2

nnn n

n

z

n P r

v Rn kL R

++ ⎡ ⎤∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (54)


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VIII-8

11

,max1 2

nnn

z

n Pv R

n kL

+∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (55)

Nel caso del moto in una fenditura si ha:

11

0

2T nn

w n

f Q W x dx

kT

τ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫

(56)

12 12

2 1

nnn

f

nW PQ T

n kL

+∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (57)

11

2 1

nnn

z f

n Pv T

n kL

+∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (58)

1 11

11

nnn n

n

z

n P xv T

n kL T

++ ⎡ ⎤∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(59)

11

,max1

nnn

z

n Pv T

n kL

+∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ (60)

Modello di Herschel-Bulkley

Il modello di Herschel-Bulkley per il sistema di riferimento del tubo circolare si presenta nella

forma:

0

n

z

rz

dvk

dr τ τ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

se | τ rz | > τ 0 (61)

0 zdv

dr = se | τ rz | < τ 0 (62)

Lo stesso modello per il sistema di riferimento della stretta fenditura si presenta nella forma:


9/18

VIII-9

0

n

z

xz

dvk

dxτ τ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

se | τ xz | > τ 0 (63)

0 zdv

dx= se | τ xz | < τ 0 (64)

Lo sviluppo dei calcoli è analogo a quanto visto in precedenza, per cui nel caso di moto in

tubi si ottiene:

( )0

13

2

1 0

3

w n

t rz rz rz

n

w

RQ d

k

τ

τ

π τ τ τ τ

τ

= −∫ (65)

( )( )( ) ( )( ) ( )

3 2 312 2

1 0 0 03

2 2

3 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1

n

nt w w w

n

w

R n n nQ

n n n n n nk

π τ τ τ τ τ τ

τ

+ ⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

+ + + + + +⎣ ⎦ (66)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 31

2 21 0 0 0

32 2

3 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1

n

n z w w wt

n

w

R n n nvn n n n n nk

τ τ τ τ τ τ τ

+

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥+ + + + + +⎣ ⎦ (67)

( )

1

1

0

1

0

1( )

1 11

n

n

n

wn

w

zn

ww

r

nR Rv

n k

τ τ τ

τ τ τ

+

+

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪−⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥= − −⎨ ⎬−⎢ ⎥+ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(68)

( )( )

1

1

0

,max 12

1

nn

n

zn

Pn R r

Lvn k

+∆⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ (69)

Analogamente, nel caso del moto nella stretta fenditura si ha:

( )0

12

1 02

2 wn

f xz xz xzn

w

WT Q d

k

τ

τ

τ τ τ τ τ

= −∫ (70)

( )( ) ( )

2 21

1 0 02

2

2 1 1 2 1

n

n f w w

n

w

WT n nQ

n n nk τ τ τ τ

τ

+ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

+ + +⎣ ⎦ (71)

( )( ) ( )

21

1 0 02 2 1 1 2 1

n

n z w w f

n

w

T n nv

n n nk τ τ τ τ

τ

+ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

+ + +⎣ ⎦ (72)

( )

1

1

0

1

0

1( )

1 11

n

n

n

wn

w

zn

ww

x

nT T v

n k

τ τ τ

τ τ τ

+

+

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪−⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥= − −⎨ ⎬−⎢ ⎥+ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(73)


10/18

VIII-10

( )

( )

1

1

0

,max 1

1

nn

n

zn

Pn T x

Lv

n k

+∆⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ (74)

Modello di Vocadlo

Il modello di Vocadlo per il sistema di riferimento di un tubo circolare si presenta nella

forma:

1

0

n

zn

rz

dvk

dr τ τ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

se | τ rz | > τ 0 (75)

0 zdv

dr = se | τ rz | < τ 0 (76)

mentre per il sistema di riferimento della fenditura si hanno le seguenti equazioni:

1

0

n

zn

xz

dvk

dxτ τ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

se | τ xz | > τ 0 (77)

0 zdv

dx= se | τ xz | < τ 0 (78)

Nel caso di moto in un tubo si ha:

13

31

0 01 1

1

3 1 3 3 1

n

n

t w

w w

R nQ

k n n

τ τ π τ

τ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(79)

13

10 0

1 11

3 1 3 3 1

n

n

z wt

w w

R nv

k n n

τ τ τ

τ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(80)

( )

1 1 11

01 11 2

nn nn n

n

z

n P r r v R R

k n L R k R

τ +

+ ⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

(81)

1 111

0 0

,max1 1

2 1 1

nn

n nn n

zr r P nv R

k L n n R R

++ ⎡ ⎤

∆ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(82)

Nel caso di moto in una fenditura si ha:

12

21

0 02 1 1

12 1 2 2 1

n

n

f w

w w

WT nQ

k n n

τ τ τ

τ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(83)

12

10 0

1 11

2 1 2 2 1

n

n

z w f

w w

T nv

k n n

τ τ τ

τ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + −⎢ ⎥

⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(84)


11/18

VIII-11

( )

1 1 11

01 11

nn nn n

n

z

n P x xv T T

k n L T k T

τ +

+ ⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

(85)

1 111

0 0

,max

1 1

1 1

nn n nn

n z

x xP nv T k L n n T T

++ ⎡ ⎤∆ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎢ ⎥= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (86)

Modello di Ellis

L’equazione costituiva del modello di Ellis scritta per il sistema di riferimento del tubo

cilindrico è:

1

0 1 2

11 z rz

rz

dv

dr

α

τ τ

η τ

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(87)

mentre per il sistema di riferimento della stretta fenditura diventa:

1

0 1 2

11 xz z

xz

dv

dx

α

τ τ

η τ

−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(88)

Per il moto in un tubo circolare si ottiene:

14

0 1 2

41

8 3 2t

PR PRQ

L L

α

π

η α τ

−⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ∆⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (89)

12

0 1 2

41

8 3 2 z t

PR PRv

L L

α

η α τ

−⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ∆⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (90)

( )

2 112

1

0 1 2

21 1

4 1

w

z

PR r r v

L R R

α α

α

τ

η α τ

+−

−

⎧ ⎫⎡ ⎤∆ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ (91)

( )

12

,max

0 1 2

21

4 1

w

z

PRv

L

α

α

τ

η α τ

−⎛ ⎞∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(92)

Per il moto all’interno di una stretta fenditura si ha:

13

0 1 2

2 31

3 2 f

PWT PT Q

L L

α

η α τ

−⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ∆⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (93)

12

0 1 2

31

3 2 z f

PT PT v

L L

α

η α τ

−⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ∆⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (94)

( )

2 112

1

0 1 2

2

1 12 1

w

z

PR x x

v L T T

α α

α

τ

η α τ

+−

−

⎧ ⎫⎡ ⎤∆ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ (95)


12/18

VIII-12

( )

12

,max

0 1 2

21

2 1

w

z

PRv

L

α

α

τ

η α τ

−⎛ ⎞∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

(96)

Modello di EyringL’equazione costitutiva del modello di Eyring riferita al sistema di riferimento del tubo

circolare è:

1 z

rz

dv A arcsenh

B dr τ

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(97)

mentre per quanto riguarda la stretta fenditura diventa:

1 z

xz

dv A arcsenh

B dxτ

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(98)

Per il moto in tubi si ottiene:2

22cosh 1 2 2 senhw w

t

w w w

ABR L A A AQ

P A A

τ τ π

τ τ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(99)

2

2cosh 1 2 2 senhw w

z t

w w w

ABL A A Av

P A A

τ τ

τ τ τ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ (100)

2cosh coshw w

z

BALv r

P A AR

τ τ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(101)

,max

2cosh 1w

z

BALv

P A

τ ⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (102)

Nel caso di moto in una fenditura si ha:

2cosh senhw w

f

w

ABWTL AQ

P A A

τ τ

τ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(103)

2cosh senhw w

z f

w

ABL Av

P A A

τ τ

τ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(104)

cosh coshw w z

BALv x

P A AT

τ τ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (105)

,maxcosh 1w

z

BALv

P A

τ ⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (106)


13/18

VIII-13

Fattore d’attrito

Il fattore d’attrito f è definito come il rapporto tra la tensione alla parete e l’energia cinetica

per unità di volume:

2

2w f

u

τ

ρ =

Per moto laminare si può trovare il valore di f mediante le equazioni che descrivono il legame

tra la perdita di carico e la portata.

Per un fluido newtoniano si ha:

16

Re f =

Nel caso in cui il fluido segua la legge di potenza si ha:

16

Re pl f = ,

2

1

4

Re 8 3 1

nn n

pl n

D u n

k n

ρ −

−

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Nel caso in cui il fluido segua la legge di Bingham si ha:

4

2 3 8

1 He He

Re 16 6 Re 3 Re B B B

f

f = − + , Re

B

B

Du ρ

µ = ,

2

0He numero di Hedstron B

D τ ρ

µ = =

La transizione da regime laminare a regime turbolento avviene per Re = 2100 nel caso di

fluidi newtoniani, anche se tale transizione è stata osservata in un intervallo di valori più

ampio (1200-3000). Nel caso in cui un fluido segua la legge di potenza, si ha regime laminare

quando:

( )

2

12

6464Re Re

11 3

2

pl PL n

n

n

nn

++

< =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠


14/18

VIII-14

Nel caso di un fluido di Bingham si ha flusso laminare quando:

44HeRe 1

8 3 3

c c

B

c

c c

c

⎛ ⎞< − +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

( )3

He

16.81c

c

c=

−, 0 0

2

2

w

c f u

τ τ

τ ρ =

Nel caso in cui il fluido sia turbolento si può usare la formula di Dodge and Metzner:

o usare le formule di Darby, Mun e Boger che valgono per tutti i valori di numeri di

Reynolds:


15/18

VIII-15

Nei precedenti diagrammi in ascissa si ha il numero di Reynolds generalizzato, ed in ordinata


16/18

VIII-16

si ha il fattore di attrito. Non si hanno più curve al variare della scabrezza relativa, ma del

fattore n: essendo questo grafico tipicamente usato nell’industria alimentare i tubi non

possono essere scabri al fine di prevenire i depositi di sporco.

Il diagramma di Dodge and Metzner a livello pratico è raramente usato poiché i fluidi di

natura alimentare hanno viscosità apparenti molto basse e quindi raramente raggiungeranno

un regime di moto turbolento.

Termine relativo all’energia cinetica

Il termine relativo all’energia cinetica che compare nel bilancio di energia meccanica può

essere determinato sulla base del fattore α.

Perdite di carico in valvole, fittings, ed elementi similiI coefficienti k f vengono determinati per via sperimentale. Sono generalmente disponibili

valori di letteratura per flusso turbolento, mentre i dati per flusso laminare sono meno

numerosi. Si possono fare le seguenti osservazioni di carattere generale:

- i valori di k f diminuiscono con l’aumentare del diametro della tubazione;

-

i valori di k f aumentano rapidamente con l’aumentare di Re in regime laminare, mentre

sono quasi costanti nel regime turbolento;

- le perdite di imbocco per fluidi che seguono la legge di potenza diminuiscono, in

regime laminare, con il diminuire dell’indice n;

-

le perdite di imbocco per fluidi di Bingham diminuiscono, in regime laminare, conl’aumentare della tensione di soglia, a parità di tensione alla parete;

-

in regime laminare, la resistenza al flusso di un fluido non-newtoniano in una valvola

può essere anche del 30% superiore a quella di un fluido newtoniano.

Per fluidi newtoniani in regime laminare sono disponibili i seguenti valori:


17/18

VIII-17

Per fluidi newtoniani in regime turbolento sono disponibili i seguenti valori:


18/18

VIII 18

In assenza di dati sperimentali si possono utilizzare le seguenti indicazioni nel caso in cui il

fluido sia non-newtoniano:

- nel caso Re pl o Re B > 500, si impieghino i valori per fluidi newtoniani in moto

turbolento;

-

nel caso Re pl o Re B siano compresi tra 20 e 500, si usi la seguente equazione:

f

Ak

N =

dove N = Re pl o Re B ed A è ottenuto moltiplicando il valore di k f per regime turbolento

per 500.

Scambio termico

Per il calcolo dello scambio termico dei fluidi non-newtoniani vengono nuovamente distinti i

casi di moto laminare e moto turbolento.

Nel caso di moto laminare il numero di Nusselt viene calcolato come:

( ) ( )2

8 5 1 3 1

31 1

n n Nu

n

⋅ + ⋅ +=

+

se alla parete si ha un apporto di calore costante.

Se invece si ha una temperatura costante alla parete i valori sono tabulati:

n Nu

1 3.6570.5 3.949

0.333 4.175

Si può osservare come quanto meno il fluido sia newtoniano (cioè n distante da 1) tanto meno

scambi calore.

Per valori di n maggiori di 1 non esistono valori tabulati: vernici e resine non vengono

pastorizzate, quindi sarebbero dati privi di utilità industriale.

Nel caso di moto turbolento si ha che:

20,155 30,0152 Re Pr

Re Pr app app

NuSt

−−= = ⋅ ⋅⋅

Da cui si ricava:

3

1

865,0 Pr Re0152,0appapp Nu ⋅⋅=

I valori di Re e Pr sono calcolati sulla base della viscosità apparente ( µapp).

8 - Moto Di Fluidi Non Newtoniani

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