Il moto dei fluidi reali nelle condotte – IV parte

1. Perdite di carico concentrate. Il moto dei fluidi reali nelle condotte è nella quasi totalità uniforme: il carico idraulico della corrente, fatta eccezione per le sezioni in cui sono inserite macchine atte a scambiare energia con la corrente, decresce nella direzione del moto, con proporzionalità diretta allo sviluppo longitudinale della corrente, a causa dello sforzo tangenziale opposto alla corrente dalla parete della condotta. Tuttavia vi sono dei tratti di condotta, di estensione limitata, in cui il moto non può, nemmeno in prima approssimazione, considerarsi uniforme, ma solo permanente: si tratta di tronchi di raccordo tra condotte aventi sezioni differenti, di curve più o meno brusche, di diramazioni, di imbocchi da e di sbocchi in serbatoi. Nei tronchi in moto permanente la corrente cessa di essere lineare e la definizione di un unico valore della piezometrica e del carico della corrente perde di significato. Ciò che caratterizza i brevi tronchi di condotta in moto permanente è l’intenso abbassamento del carico della corrente, tra la sezione di ingresso e la sezione di uscita del tronco. La causa di tale intenso e brusco abbassamento del carico della corrente è da vedersi nel distacco della vena fluida dalla parete, con conseguente formazione di zone di fluido in moto vorticoso e pertanto sottratto al moto generale di trasporto. Il distacco della vena fluida dalla parete è dovuto ad un processo di espansione della corrente, con conseguente rallentamento di quest’ultima. L’energia necessaria ad alimentare le zone in moto vorticoso viene sottratta alla corrente. Si ha quindi una perdita di carico, detta localizzata o concentrata, poiché si verifica in un tronco, il cui sviluppo in lunghezza è irrisorio rispetto a quello che sarebbe necessario per ottenere la stessa perdita in condizioni di moto uniforme. In alcuni casi le perdite concentrate possono assumere nel loro complesso una entità non trascurabile rispetto alle perdite di carico causate dallo sforzo di parete, d’ora in avanti denominate continue o distribuite per distinguerle da quelle concentrate, ed è pertanto opportuno prenderle in considerazione in un calcolo idraulico corretto. E’ consuetudine calcolare le perdite localizzate con la formula:

gUnH2

2

=Δ (1)

in cui n è un coefficiente numerico costante, detto di perdita concentrata, determinato sperimentalmente. Per bassi valori del numero di Reynolds della corrente, il coefficiente di perdita concentrata n mostra, nella maggior parte delle configurazioni prese in considerazione, un andamento decrescente al crescere del numero di Reynolds. Successivamente diviene indipendente dal numero di Reynolds. Nei calcoli tecnici ci si pone sempre in quest’ultima situazione. Come si è detto, la determinazione del coefficiente di perdita concentrata avviene prevalentemente per via sperimentale. Nel caso del brusco allargamento tuttavia, è possibile ottenere una espressione analitica del coefficiente di perdita concentrata, tramite l’applicazione dell’equazione del bilancio della quantità di moto in forma globale. Tale espressione, nonostante le numerose ipotesi semplificatrici poste alla base del calcolo, risulta in buon accordo con i dati sperimentali. Si consideri dunque il brusco allargamento illustrato in figura. Si tratta di una condotta, ad asse orizzontale, a sezione circolare, diametro D1, la cui sezione si allarga bruscamente fino a raggiungere il diametro D2. La zona di moto permanente in cui la corrente si espande fino ad occupare tutto lo spazio a disposizione si estende dalla sezione 1 alla sezione 2. In figura sono riprodotte schematicamente le masse fluide in moto vorticoso, sottratte al moto generale di trasporto. L’analisi di dettaglio del moto sarebbe molto complessa e poco idonea ad una trattazione di interesse tecnico. Per questo motivo è opportuno applicare l’equazione del bilancio della quantità di moto in forma globale al volume di controllo definito dalla zona a tratteggio in figura. La superficie del volume di controllo è costituita dalle sezioni circolari piane 1 e 2, entrambe a

diametro D2 e dalla superficie laterale della condotta. L’equazione del bilancio della quantità di moto in forma globale, proiettata nella direzione del moto assume la forma:

( ) 02211 =Π−−Π+=⋅++ MMiGΠM (2)

La forza peso ha componente nulla rispetto alla direzione del moto (orizzontale). Per gli altri termini si ha, assumendo unitari i coefficienti di ragguaglio:

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=Π==

=Π==

222

22222

211

112

11

ApQUAUM

ApQUAUM

ρρ

ρρ

(3)

I termini che tengono conto degli sforzi di pressione sono calcolati moltiplicando il valore della pressione nel centro di figura per l’area, ossia come se la distribuzione di pressione sulla sezione fosse idrostatica: la qual cosa si giustifica assumendo lineare la corrente sulle sezioni in questione. Tale ipotesi è senz’altro verificata nella sezione di uscita, mentre non lo è del tutto su quella di entrata, dove solo la sezione a diametro D1 è attraversata da una corrente lineare. Il resto della sezione si trova a contatto con il liquido in moto vorticoso. Nonostante ciò, per ipotesi, la distribuzione idrostatica viene ritenuta valida anche per la parte di liquido in moto vorticoso: ecco perchè il termine 1Π viene calcolato sulla intera sezione a diametro D2. Riunendo i termini e (3) e risolvendo rispetto alla differenza di pressione tra la sezione 2 e la 1, si ha:

( )212

12 UUAQpp −=−

ρ (4)

Tale differenza è positiva: dunque la pressione aumenta nella direzione del moto. Tale fatto si spiega in parte con il Teorema di Bernoulli, la cui validità, pur essendo limitata dal processo dissipativo, continua comunque parzialmente a sussistere: pertanto parte dell’eccesso di energia cinetica che si verifica in seguito al rallentamento viene recuperata sotto forma di energia di pressione. La (4) può essere generalizzata ad una condotta comunque orientata rispetto

all’orizzontale, dividendo per il peso specifico e facendo comparire la differenza di quota piezometrica:

( )212

1212 UU

gAQ

gpp

−=−=− ζζ

ρ (5)

Dalla (5) è ora possibile ricavare la differenza di carico idraulico tra la sezione 1 e 2, semplicemente aggiungendo e sottraendo le rispettive altezze cinetiche, membro a membro:

( )g

UUUgAQ

gUHH

gU

gU

2222

22

122

21

21

22

2

21

1 −−+=−=−−+ ζζ (6)

Tenendo conto della conservazione della portata: 22

UAQ

= . Pertanto:

( )

gUU

gU

gUU

gUHH

2222

2

221

2221

21

21−

=+−=− (7)

La differenza tra il carico idraulico nella sezione 1 e nella sezione 2 è positiva: il carico nella sezione 1 è maggiore di quello che si ha nella sezione 2. Si verifica pertanto una diminuzione di carico localizzata tra le sezioni 1,2 e data, in modulo, dalla quantità (7). L’espressione del coefficiente di perdita può essere facilmente trovata in funzione delle caratteristiche geometriche del restringimento mettendo in evidenza una delle due velocità, ad esempio la prima:

( ) 2

2

1

2

2

12

1

2

1

22

12

2121 11

21

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=−

AAn

AA

gU

UU

gU

gUUHH (8)

Il coefficiente di perdita concentrata cresce al decrescere del rapporto tra le sezioni prima e dopo il brusco allargamento. Tanto più violento è l’allargamento, tanto maggiore, come si intuisce, è la perdita di carico concentrata. E’ opportuno ora soffermarsi su un fatto a prima vista paradossale. Infatti alla base della applicazione della equazione del bilancio della quantità di moto in forma globale si è posta l’ipotesi di liquido perfetto (assenza di sforzi tangenziali di parete); cionondimeno si è calcolata l’effettiva perdita di carico (8). L’apparente paradosso di un liquido perfetto che genera una perdita di energia diversa da zero si risolve considerando l’espansione delle traiettorie: tale processo richiede una certa quantità di energia 21 HH − che viene sottratta alla corrente. Nell’ambito delle ipotesi poste non si può dire, a rigore, che la quantità venga dissipata ma solamente ceduta dalla corrente nel processo di espansione. La formula (8), pur nella sua semplicità permette di calcolare le perdite concentrate che si hanno in due casi limite molto diversi tra loro: lo sbocco della corrente in un serbatoio e l’imbocco della corrente da un serbatoio. Nel primo caso la corrente che sbocca in un serbatoio si rimescola con il liquido in quiete che vi si trova, portandosi gradualmente nelle stesse condizioni. Di conseguenza, interpretando il processo come una espansione della corrente, si parte dalla sezione A1 e si perviene alla sezione A2 molto maggiore della prima. Di conseguenza, applicando la formula (8) con 121 <<AA , si ricava il valore del coefficiente di perdita concentrata di sbocco sn :

112

2

1 ≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

AAns (9)

In altre parole tutta l’energia cinetica della corrente viene ceduta nel processo di sbocco, poiché la corrente si porta gradualmente in condizioni di quiete. In pratica viene dissipata dai moti vorticosi e turbolenti che si verificano nel processo di sbocco.

Nel caso in cui, tra la sezione A1 e lo sbocco venga interposto un divergente, allo scopo di rendere più graduale il processo, la perdità di energia si riduce perché si riduce l’entità della altezza cinetica allo sbocco, grazie alla presenza del divergente. Nel caso di imbocco da serbatoio, l’analisi del fenomeno è più articolata, ma la diminuzione del carico viene sempre imputata al processo di espansione.

Quando la corrente entra nella condotta si ha inizialmente una contrazione della vena, fino alla sezione contratta Ac, successivamente la corrente si espande e occupa tutta la sezione della condotta. Applicando la formula (8) si ha:

( ) 222

1122 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=Δ

c

c

CgU

gUUH (10)

in cui Uc è il valore della velocità nella sezione contratta e Cc è il coefficiente di contrazione della vena. Per tener conto completamente delle perdite di carico che si hanno durante il processo di imbocco, si può inoltre considerare il fatto che la velocità raggiunta dalla corrente in sezione contratta è di poco inferiore al valore teorico (torricelliano) e che pertanto si ha la perdita:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=Δ 111

22 22

222

vc

ct

CCgU

gUU*H (11)

espressa attraverso l’introduzione del coefficiente di velocità Cv. La perdita di carico totale è dunque pari a:

2

22

2

22

2

11111111112

* ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ+Δ

cvcI

cvc CCCn

CCCgUHH (12)

Attribuendo i tipici valori Cv=0.98÷0.99, Cc=0.61, si ottiene il valore nI=0.5. La situazione considerata prende il nome di imbocco a spigolo vivo. Nel caso di imbocco raccordato, che si realizza smussando gli spigoli all’imbocco, il coefficiente nI, in funzione della qualità del raccordo, si abbassa e la perdita localizzata corrispondente può diventare trascurabile. Si deve poi osservare che il processo di brusco restringimento è assimilabile a quello di imbocco, con un valore del coefficiente di perdita n inferiore a 0.5. La formula esprimente il coefficiente di perdita del brusco allargamento può essere applicata per ottenere il coefficiente di perdita di carico causato da un dispositivo di parzializzazione della sezione della condotta.

Tali dispositivi (valvole di regolazione o dissipatrici) possono essere costituite (come nel caso sopra illustrato) da una saracinesca che viene abbassata fino alla posizione voluta. La sezione di passaggio della corrente viene perciò ridotta dalla A alla A1. La maggior parte della perdita di carico che si verifica nell’passaggio attraverso la sezione parzializzata può essere espressa attraverso la (10), applicata al caso sopra illustrato:

( ) 2222

1

22

11112

122 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=Δ

mCn

mCgU

ACA

gU

gUUH

ccc

c (13)

In cui m è il rapporto tra l’area parzializzata A1 all’area totale A. Il coefficiente di contrazione Cc dipende dal rapporto di parzializzazione m: diminuisce al diminuire di m. Per m=1 la valvola è tutta aperta, il coefficiente di contrazione è quasi unitario, e il coefficiente di perdita è praticamente nullo, per m=0 la valvola è tutta chiusa e il coefficiente di perdita tende all’infinito. Le cause che provocano perdite di carico concentrate sono numerose e i relativi coefficienti di perdita vengono in genere reperiti da manuali.

2. Lunghe condotte. Se lo sviluppo in lunghezza di una condotta è pari a migliaia di volte il diametro della condotta stessa, la condotta è definita lunga: è il caso delle condotte adduttrici degli acquedotti per il trasporto dell’acqua potabile dalla fonte di approvvigionamento al centro di utilizzazione o degli oleodotti per il convogliamento dei prodotti petroliferi dal luogo di produzione al luogo di consumo. Nelle lunghe condotte le perdite concentrate, da qualunque causa siano provocate, risultano in

generale di entità trascurabile rispetto a quelle distribuite (dovute allo sforzo esercitato dalla parete della condotta sulla corrente) e pertanto nei calcoli vengono trascurate. Inoltre l’altezza cinetica delle correnti defluenti nelle lunghe condotte è trascurabile rispetto ai dislivelli piezometrici, poiché la velocità della corrente non supera il valore di qualche metro al secondo. Di conseguenza è del tutto lecito considerare coincidenti tra loro la linea del carico idraulico e la linea piezometrica. Un calcolo molto semplice permette di rendersi conto della effettiva lunghezza che deve avere una condotta per potersi considerare lunga. Infatti l’altezza cinetica della corrente, considerata rappresentativa delle perdite concentrate nel tronco di condotta avente diametro D e lunghezza L, è trascurabile rispetto alla perdita di carico distribuita se:

LgD

Ug

U2

05.02

22

λ×≤ (14)

ossia se è minore o al massimo uguale al 5% della perdita di carico distribuita. λ è il coefficiente di resistenza della corrente, funzione del numero di Reynolds e della scabrezza relativa della condotta, il cui valore caratteristico può essere senz’altro posto pari a 2×10-2. Esprimendo inoltre la lunghezza della condotta in numero N di diametri, la (14) può essere trasformata in una condizione su N:

1000≥N (15)

In altre parole, se la condotta è lunga più di mille volte il diametro, può essere considerata lunga. Il calcolo sopra esposto si basa essenzialmente sull’assunzione di un valore caratteristico del coefficiente λ. Nella esecuzione dei calcoli idraulici tale assunzione non ha nessun valore e la determinazione del coefficiente λ deve essere fatta caso per caso, valutando il numero di Reynolds della corrente e la scabrezza relativa della condotta. Tuttavia, se il moto può essere considerato in regime di turbolenza completamente sviluppata, il coefficiente di resistenza risulta indipendente dal Reynolds. Questo fatto semplifica notevolmente i calcoli idraulici, come si vedrà nella risoluzione degli esercizi, poiché permette l’uso di formule esplicite per la determinazione del coefficiente λ o della perdita di carico per unità di lunghezza J. E’ diffuso l’uso della seguente formula per il calcolo della J:

bDkQJ −= 2 (16)

In cui k e l’esponente b del diametro dipendono esclusivamente dalla scabrezza relativa della condotta: entrambi aumentano con l’aumentare di questa.

3. Esercizi.

Esercizio 3.1 Determinare il dislivello Y che si deve avere tra i due serbatoi a superficie libera illustrati in figura, perché la condotta a sezione circolare convogli la portata Q. Determinare inoltre la portata convogliata dalla condotta in corrispondenza del dislivello Y1=2Y. Dati: D=0.3 m, L=200m, ε=0.0001 m, ρ=1000 kgm-3, μ=0.001 Pas, Q=0.5 m3s-1. Assumere unitari i coefficienti di ragguaglio. In figura vengono riportati gli andamenti della linea piezometrica (tratto e punto) e del carico idraulico (linea continua). Le parti a tratteggio si riferiscono alle zone di moto permanente, rappresentate, nel caso in esame, dai processi di imbocco e di sbocco. La corrente infatti entra nella condotta e accelera fino alla sezione contratta. Successivamente si espande e dopo aver occupato l’intera sezione della condotta si muove di moto uniforme fino allo sbocco nel serbatoio di arrivo. Di conseguenza si hanno due perdite concentrate: di imbocco e sbocco. Tali perdite devono essere considerate. Il rapporto L/D vale infatti:

667≈= NDL

E dunque la condotta non può essere considerata lunga, in base alla condizione (15). Per determinare il dislivello Y necessario a convogliare la portata assegnata si deve impostare il bilancio energetico della corrente a partire dal fatto che l’energia in entrata (carico idraulico iniziale, eventuali apporti da macchine) deve eguagliare l’energia in uscita (carico idraulico finale, perdite di carico, eventuali cessioni a macchine):

{ {4444 34444 21

carico di Perdite

222

finaleidraulico Carico

iniziale idraulico Carico

2225.0

gUL

gDU

gUYY BA +++= λ

Risolvendo in funzione di YYY BA =− si ottiene:

2

2

215.0

gAQ

DLY ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

λ

Y

L D

gU 25.0 2

gUL 22λ

gU 22

A

B YB

YA

Valutiamo innanzitutto il coefficiente λ. A tal proposito si deve calcolare il numero di Reynolds:

21220703.0001.0

5.0100044Re =××

××===

πμπρ

μρ

DQUD

e la scabrezza relativa:

00033.03.0

0001.0==

Dε

Con tali parametri adimensionali si può, tramite il diagramma di Moody, determinare il coefficiente λ. Si trova il valore λ=0.015

Di conseguenza:

mY

mA

1.29071.081.92

5.013.0

200015.05.0

071.043.0

2

2

22

=××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×+=

=×= π

Calcoliamo ora la portata che si può far defluire raddoppiando il dislivello Y esistente tra i livelli liquidi dei due serbatoi. Si tratta di risolvere rispetto alla portata la formula utilizzata per il calcolo del dislivello, ponendovi il nuovo dislivello 2Y:

Y

DL

gAQ 25.1

2 2

λ+

=

L’uso di tale formula è tuttavia impedito dal fatto che il coefficiente λ non può essere determinato in quanto non si conosce la portata e dunque non può essere determinato il numero di Reynolds. Per risolvere il problema si può utilizzare in modo iterativo la formula di Colebrook e White:

71.3Re

51.22110 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=DeLog

λλ

In altre parole, nota la scabrezza relativa ( 00033.0=Dε ), si procede alla determinazione di un

valore di primo tentativo del λ, facendo tendere Re all’infinito:

0152.041.164

1

71.34

12

10

1 =×

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=DLog ε

λ

Con tale valore vengono calcolati una portata e un Reynolds di primo tentativo:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=××

××==

=+

= −

29708903.0001.0

7.0100044Re

7.025.1

2

11

13

1

2

1

πμπρ

λ

DQ

smY

DL

gAQ

Si è ora in grado di calcolare i valori di secondo tentativo del λ e della portata:

13

2

2

2

2

1110

2

697.025.1

2

0155.014.164

1

71.3Re51.24

1

−=+

=

=×

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

smY

DL

gAQ

DLog

λ

ελ

λ

Procedendo con i tentativi, ci si arresta non appena le differenze tra le portate calcolate in due successive iterazioni diventano trascurabili. Nel caso in esame il terzo tentativo conduce a variazioni del tutto inapprezzabili sulla portata fatta defluire dal dislivello 2Y, che pertanto, accontentandosi di un incertezza di qualche litro al secondo, può essere posta pari a 0.7 m3s-1.

Esercizio 3.2 Determinare la portata d’acqua e la potenza ottenibile dall’impianto. Dati: HA=43.4 m, HB=0.90 m, zM=2 m, D1=1.2 m, D2=1.0 m, D3=0.8 m, L1=150 m, L2=112.6 m, L3=87.6 m,n=3.7 bar, DB=2.

m, ε=0.003 m, ηT=0.85, ρg=9810 Nm-3, nR=0.2, μ=0.001 Pas. Assumere unitari i coefficienti di ragguaglio. In figura vengono riportati gli andamenti della linea piezometrica (tratto e punto) e del carico idraulico (linea continua). Le parti a tratteggio si riferiscono alle zone di moto permanente, rappresentate, nel caso in esame, dai processi di imbocco e di sbocco. L’imbocco è ben raccordato e dunque la perdita di carico d’imbocco è trascurabile. Le perdite di brusco restringimento vengono rappresentate come discontinuità nella linea del carico idraulico. Le perdite dovute alle brusche

HB z=0

HA

D1 D2

D3 T

DB

zM

zM n

gU 221

gU 222

gU 223

L1

L2

L3

ΔHT

M

variazioni di direzione e al divergente posto a valle della turbina vengono trascurate. In ogni caso le perdite concentrate devono essere considerate, poiché nei tre tronchi il rapporto L/D vale:

110,113,125 33

32

2

21

1

1 ≈=≈=≈= NDLN

DLN

DL

E dunque nessuno dei tre tronchi può essere considerato lungo, in base alla condizione (15). Impostiamo il bilancio energetico della corrente tra la sezione posta in corrispondenza al serbatoio di partenza e la sezione M in cui è inserito il manometro metallico:

{ {4444444444 34444444444 21

carico di Perdite

33

23

3

23

22

22

2

22

11

21

1

finaleidraulico Carico

iniziale idraulico Carico

22222L

gDU

gUnL

gDU

gUnL

gDUHH RRMA λλλ +++++=

Le perdite di brusco restringimento sono state calcolate facendo riferimento all’altezza cinetica a valle del restringimento. Il carico idraulico nella sezione di inserzione del manometro è pari:

gpz

gUH M

MM ρ++= 2

2

23

Ovvero, sfruttando la lettura al manometro metallico:

gnz

gUH

gznp

MM

MM

ρ

ρ

++=

−=

2

23

La portata Q può essere calcolata dal bilancio energetico sopra riportato, esprimendo le velocità nei singoli tronchi tramite l’equazione di continuità:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

===

233

33232

22

22221

21

1123

33

22

11

1

2

,,

ADL

An

DAL

An

DAL

A

gnzHg

Q

AQU

AQU

AQU

RR

MA

λλλ

ρ

Il calcolo numerico della portata richiede la conoscenza dei λ dei singoli tronchi; poiché però non si conoscono i corrispondenti numeri di Reynolds, si dovrà innanzitutto assumere che il moto sia assolutamente turbolento e calcolare i suddetti λ con la formula di Colebrook e White con un Reynolds infinito:

028.0

71.38.0003.04

1

71.34

1

026.0

71.3.1003.04

1

71.34

1

025.0

71.32.1003.04

1

71.34

1

2

10

23

10

3

2

10

22

10

2

2

10

21

10

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

LogDLog

LogDLog

LogDLog

ελ

ελ

ελ

Di conseguenza si ha per la portata:

136.1 −= smQ

Valutiamo ora, tronco per tronco, la validità dell’ipotesi di moto assolutamente turbolento:

004.08.0

003.0,105.22.1001.06.1100044Re

003.0.1

003.0,100.2.1001.06.1100044Re

003.02.1

003.0,107.12.1001.06.1100044Re

3

6

33

2

6

22

1

6

11

≈=×=××××

==

≈=×=××

××==

≈=×=××××

==

DDQ

DDQ

DDQ

επμπ

ρ

επμπ

ρ

επμπ

ρ

Considerando il diagramma di Moody:

nelle condizioni considerate (contenute nell’ovale riportato sul diagramma) si è senz’altro nella zona del moto assolutamente turbolento. Dunque si può lasciare la valutazione dei λ dei singoli tronchi così com’è. Dal bilancio energetico della corrente tra la sezione posta in corrispondenza al serbatoio di partenza e la sezione di sbocco a valle della turbina, si può ricavare il salto sfruttato in turbina:

{ { {

m

ULDUUnL

DUUnL

DU

gHHH

msDQUms

DQU

msDQUms

DQU

gUL

gDU

gUnL

gDU

gUnL

gDUHHH

BRRBAT

BB

BRRTBA

8.3981.92

51.06.878.02.3028.02.32.06.112

.12026.022.0150

2.14.1025.0

9.04.43

21

51.026.144,2.3

8.06.144

,2.16.144,4.1

2.16.144

222222

22

22

22

23

3

23

3232

2

22

2221

1

21

1

122

122

33

122

22

122

11

carico di Perdite

2

33

23

3

23

22

22

2

22

11

21

1

a turbinalla ceduto Carico

finaleidraulico Carico

iniziale idraulico Carico

=×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+××+×+××+×+××

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++−−=Δ

=××

===××

==

=××

===××

==

++++++Δ+=

−−

−−

λλλ

ππππ

ππππ

λλλ44444444444 344444444444 21

La potenza ottenibile dall’impianto risulta pertanto pari a:

kWWHgQP TT 5315309968.396.1981085.0 ≈=×××=Δ= ρη

Esercizio 3.3 Determinare portata e potenza dell’impianto di raffreddamento rappresentato in figura, sapendo che lo scambiatore S è formato da N tubi di diametro d. Dati: D1=0.1 m, D2=0.12 m, D3=0.16 m, D4=0.08 m, L1=80 m, L2=20 m, L3=60 m, L4=25 m,Δ=0.05m, ε=0.0001 m, ηP=0.75, ρg=9810 Nm-

3, ρmg=133362 Nm-3 nI=0.5, nS=1, d=0.004 m, l=5m, N=5000, μ=0.001 Pas. Assumere unitari i coefficienti di ragguaglio.

P

Δ

S

D1

D2

D3

D4

L1 L2 l

L3

L4

ρg

ρmg

C

A B

H

La pompa illustrata in figura è aspirante. Tale disposizione prevede, per il corretto funzionamento dell’impianto, che quest’ultimo sia pieno di liquido all’avvio della pompa. Inoltre la quota di aspirazione H non può eccedere un ben determinato valore che è funzione del tipo di pompa e delle condizioni di esercizio. Infatti, applicando il teorema di Bernoulli tra il punto A e l’ingresso della pompa e trascurando le perdite di carico, la pressione all’aspirazione vale:

20

2

21

21 UgHpg

UHg

pI

I ρρρ

−−=⇒=++

La sezione di ingresso della pompa è in depressione. Il valore di H non può eccedere il valore tale per cui la pressione di ingresso raggiunga (in modulo) il valore della pressione atmosferica:

gU

gpHpUgH atm

atm 22

21

21 −≤⇒−≥−−

ρρρ

All’aumentare della quota di aspirazione H la pressione di ingresso diminuisce, finchè le condizioni di funzionamento della pompa diventano gravemente irregolari, con sviluppo di vapore (cavitazione). Per questo motivo gli impianti aspiranti devono essere progettati con estrema attenzione. L’impianto illustrato in figura è un sistema di condotte non lunghe. La portata può essere determinata immediatamente, osservando che il tubo convergente C funziona come un tubo di Venturi. Ricordando la formula che fornisce la portata in funzione della differenza di piezometrica tra le due sezioni estreme del convergente, si ha:

113

2223

24

43

222

44

222

33

18018.005.09810

981013336281.92005.002.0

005.002.02

005.0408.0

4

02.0416.0

4

−− ==×−

××−

×=Δ

−

−=

=×==

=×==

slitrismgAA

AAQ

mDA

mDA

m

ρρρ

ππ

ππ

E’ possibile riportare l’andamento della linea del carico idraulico e della piezometrica sul percorso rettificato della corrente.

A B

ΔHP

gU 221

gU 222

gU 223

gU 224

H

ζ

1

2

3 4

S

C

A partire dal punto A, si ha il processo d’imbocco caratterizzato dalla perdita di carico concentrata, illustrata qualitativamente dal segmento di linea del carico a tratteggio. Successivamente si ha il tratto di moto uniforme del primo tronco e l’ingresso nella pompa. A valle di questa il carico è incrementato di ΔHP. Si prosegue con il tratto di moto uniforme nel secondo tronco, al termine del quale vi è la perdita concentrata dovuta all’ingresso nello scambiatore di calore S. Nello scambiatore S la linea del carico e la piezometrica si confondono in un’unica linea: nello scambiatore di calore la velocità del liquido è piuttosto bassa. All’uscita dello scambiatore, dopo la perdita di sbocco, inizia il terzo tronco. Il tratto nel convergente C è rappresentato qualitativamente da un segmento orizzontale per il carico e decrescente per la piezometrica. Infine si ha l’ultimo tronco di moto uniforme e lo sbocco nel punto B, con relativa perdita di carico. Impostiamo ora il bilancio energetico dell’intero impianto, uguagliando l’energia in entrata (carico idraulico iniziale, carico ceduto dalla pompa) all’energia in uscita (carico idraulico finale, perdite di carico distribuite e concentrate):

{ { {4444444444 34444444444 21

carico di Perdite

24

23

22

21

2

4,1

2

finaleidraulico Carico

a)(prevalenzpompa dalla

ceduto Caricoiniziale

idraulico Carico222222 gU

gUn

gUn

gUnl

gdUL

gDUHHH ssI

ss

ii

i

iiBPA ++++++=Δ+ ∑

=

λλ

Le velocità nei quattro tronchi principali si calcolano a partire dalla costanza della portata:

12

44

12

33

12

22

12

11

58.308.0

018.04

90.016.0

018.04

59.112.0

018.04

29.210.0

018.04

−

−

−

−

=×

×==

=×

×==

=×

×==

=×

×==

msAQU

msAQU

msAQU

msAQU

π

π

π

π

La portata entrante nello scambiatore si ripartisce tra gli N tubi uguali che lo costituiscono:

∑=

=Ni

iqQ,1

D’altra parte, la differenza di carico idraulico, tra ingresso e uscita dello scambiatore, è la stessa per ciascun tubo dello scambiatore:

NilgduH i ,,1

2

2

K==Δ λ

Dalle due condizioni precedenti, visto che ogni tubo ha le stesse caratteristiche geometriche e di resistenza al moto, si deduce che la velocità è la stessa per ogni tubo: dunque la portata si ripartisce egualmente tra gli N tubi:

12

6

2

136

29.0004.0106.344

106.350000089.0

−−

−−

=×

××==

×===

msdqu

smNQq

ii

i

ππ

A questo punto si possono valutare i Reynolds e la scabrezza relativa per ogni tronco:

025.008.0

0001.0,1160001.0

004.029.01000Re

00125.008.0

0001.0,286400001.0

08.058.31000Re

00063.016.0

0001.0,144000001.0

16.090.01000Re

00083.012.0

0001.0,190800001.0

12.059.11000Re

001.01.0

0001.0,229000001.0

1.029.21000Re

4

4

444

3

333

2

222

1

111

===××

==

===××

==

===××

==

===××

==

===××

==

Dud

DDU

DDU

DDU

DDU

Sε

μρ

εμ

ρ

εμ

ρ

εμ

ρ

εμ

ρ

Il moto è turbolento in ogni tronco, salvo che nello scambiatore, in cui si ha moto laminare. Pertanto, dal diagramma di Moody riportato nell’esercizio precedente si possono determinare i valori:

022.0,021.0,021.0,021.0 4321 ==== λλλλ Mentre per i tubi dello scambiatore si può adottare la formula del moto laminare:

055.01160

64Re64

===s

sλ

Dal bilancio energetico si ottiene l’espressione della prevalenza della pompa, tenendo conto del

fatto che il carico di arrivo e di partenza sono uguali:

mg

Ug

Ung

Ung

Unlgd

ULgDUH ssI

ss

ii

i

iiP 11

222222

24

23

22

21

2

4,1

2

=+++++=Δ ∑=

λλ

In questo caso la prevalenza della pompa serve esclusivamente per vincere le perdite di carico. Le perdite di carico concentrate ammontano a:

mg

Ug

Ung

Ung

UnP ssIc 96.02222

24

23

22

21 =+++=

Ossia costituiscono il 9% del totale. Le perdite di carico distribuite ammontano a:

mlgd

ULgDUP s

si

ii

iid 04.10

22

2

4,1

2

=+= ∑=

λλ

Perciò costituiscono il 91% del totale. La potenza del motore elettrico destinato ad essere accoppiato alla pompa risulta pertanto pari a:

kWWHgQPp

P 6.2259075.0

11018.09810≈=

××=

Δ=

ηρ

Trascurando le perdite di carico concentrate si sarebbe invece determinata la potenza:

kWWHgQPp

P 4.2236475.0

04.10018.09810* ≈=××

=Δ

=η

ρ

Si vede quindi come nel calcolo idraulico il trascurare le perdite di carico concentrate possa portare alla determinazione di valori della potenza eccessivamente sottostimati rispetto a quelli realmente necessari.

Esercizio 3.4 Nel sistema di condotte illustrato in figura:

a) determinare a tubi nuovi e usati la quota zB del livello del serbatoio in B, quando si annulla la portata nel ramo 2;

b) se le quote zA e zB sono uguali, determinare le portate nei singoli tronchi a tubi nuovi e usati.

Dati: HA=150 m, D1=0.3m, L1=600 m, D2=0.25m, L2=400 m, HC=130 m, D3=0.25m, L1=300 m. Usare la seguente formula per il calcolo della J: 26.520012.0 −= DQJ (tubi nuovi),

44.520020.0 −= DQJ (tubi usati). Una rete di condotte è costituita da un certo numero di tronchi, o rami, connessi tra loro nei nodi. Il caso considerato è un problema di verifica della rete di condotte: ossia sono noti i diametri dei vari tronchi e si devono determinare le portate circolanti, verificando che il sistema funzioni secondo le specifiche progettuali. Il problema di progetto viceversa consiste nella determinazione dei diametri dei vari tronchi, assegnate le specifiche progettuali: le portate che la rete deve recapitare nei nodi. In linea generale il problema di progetto non è idraulicamente determinato: ossia le equazioni idrauliche (conservazione della portata nei singoli nodi e bilancio energetico dei singoli tronchi della rete) non costituiscono un sistema di equazioni in numero pari alle incognite del problema. Il problema di verifica è invece idraulicamente determinato: le equazioni idrauliche costituiscono un sistema di equazioni in numero pari alle incognite del problema.

HA

A

HB

HC

B

C

N

1 2

3

z=0

Linea del carico HN

HB=HA

La condizione di tubo usato e nuovo corrisponde al fatto che, appena posto in opera, il tubo possiede una scabrezza superficiale che è inferiore a quella che avrà a meta della sua vita. Infatti i liquidi circolanti nell’impianto inevitabilmente depositano impurità di vario genere, incrostando progressivamente le superfici interne dei tubi, facendone aumentare nel tempo la scabrezza. E’ prassi consolidata che la rete venga progettata assumendo una condizione di scabrezza pari a quella che avrà a metà della sua vita, ossia, come si suol dire, in condizione di tubi usati. D’altra parte, appena in esercizio, la rete si troverà a funzionare in condizioni di scabrezza diverse da quelle di progetto (condizione di tubi nuovi). E’ pertanto necessario verificare il funzionamento della rete nelle due condizioni descritte: a tubi nuovi e a tubi usati, sia per vedere se la rete funzioni, a regime, nelle volute condizioni, sia per vedere se, durante l’esercizio iniziale, la rete funzioni in condizioni differenti da quelle di progetto, e, nel caso, adottare i necessari provvedimenti. Nel caso in esame, la rete è costituita da tre tronchi e un nodo. Inoltre, dai dati delle lunghezze e dei diametri si deduce che tutti i tronchi della rete sono lunghi. Di conseguenza è possibile trascurare le perdite di carico concentrate e considerare solo le perdite distribuite, che verranno calcolate mediante la formula assegnata, ipotizzando che il moto nei tubi avvenga in regime assolutamente turbolento. La linea del carico idraulico e della piezometrica si confondono in un’unica linea. Per quanto riguarda il quesito a), si osservi che, indipendentemente dalla condizione di tubi nuovi e tubi usati, l’equazione di bilancio della portata al nodo N esprime il fatto che le portate entranti nel nodo devono eguagliare le portate uscenti. Attribuito alle portate, in modo arbitrario ma dettato dal buon senso, il verso di percorrenza illustrato in figura, si ha:

321 QQQ +=

Le equazioni di bilancio energetico, indipendentemente dalla condizione di tubi nuovi e tubi usati, possono essere scritte a partire dalla considerazione fondamentale che l’energia in entrata nel tronco deve eguagliare l’energia in uscita dal tronco. In pratica tali equazioni esprimono il fatto che, seguendo il verso di percorrenza delle portate, la differenza tra il carico iniziale e il carico finale deve eguagliare le perdite di carico che si hanno nel tronco:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

=−

−

−

−

3323

2222

112

1

LDkQHH

LDkQHH

LDkQHH

bCN

bBN

bNA

Il sistema costituito dalla equazione di conservazione della portata al nodo N e dalle equazioni di bilancio energetico nei nodi possiede un numero di equazioni pari al numero di incognite: le portate nei rami 1,3 e il carico nel nodo N e nel serbatoio B. Infatti, attribuendo alla portata nel ramo 2 il valore nullo, dalla equazione di conservazione della portata al nodo N si ottiene:

QQQ == 31

mentre dalla equazione di bilancio energetico nel secondo ramo si ottiene:

BNBN HHHH =⇒=− 0

Si vede quindi che, affinchè la portata sia nulla nel ramo 2, la quota del serbatoio B deve eguagliare la quota del carico del nodo N. Sommando le equazioni di bilancio energetico nei rami 1 e 3 si ottiene l’equazione risolutiva per la portata Q:

( )33112

332

112

LDLDkQHHLDkQHH

LDkQHH bbCAb

CN

bNA −−

−

−

+=−⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

che può essere applicata nelle condizioni di tubi nuovi ed usati:

( ) ( )

( ) ( ) usati) (Tubi 100.030025.06003.00020.0

130150

nuovi) (Tubi 150.030025.06003.00012.0

130150

1344.544.5

3311

1326.526.5

3311

−−−−−

−−−−−

=×+×

−=

+−

=

=×+×

−=

+−

=

smLDLDk

HHQ

smLDLDk

HHQ

bbCA

bbCA

Determinata la portata che scorre nei tronchi 1 e 3, si può calcolare il carico del nodo N, e dunque il carico nel serbatoio B, tramite l’equazione di bilancio energetico nel primo ramo, nelle due condizioni:

usati) (Tubi 1426003.0100.00020.0150

nuovi) (Tubi 1416003.0150.00012.015044.52

112

1

26.5211

21

mLDkQHH

mLDkQHHb

AN

bAN

=×××−=−=

=×××−=−=−−

−−

Per quanto riguarda il quesito b), se HB=HA si deve osservare che il verso precedentemente attribuito alla portata nel secondo ramo non è ragionevole. In questa condizione si avrà infatti che i serbatoi A e B alimentano il serbatoio C. Pertanto l’equazione di bilancio della portata al nodo N e le equazioni di bilancio energetico nei rami assumono la forma:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

=−

=−

=+

−

−

−

3323

2222

112

1

321

LDkQHH

LDkQHH

LDkQHH

QQQ

bCN

bNB

bNA

La differenza dei carichi di estremità nella seconda equazione è stata invertita, essendosi invertito il verso di percorrenza della portata. Il sistema di equazioni permette di determinare le incognite: le tre portate nei tronchi e il carico del nodo N. A tal proposito si osservi che, posto HB=HA, sottraendo alla equazione di bilancio energetico del primo ramo l’equazione di bilancio energetico del secondo ramo, si ottiene:

11

222122

2211

21 LD

LDQQLDkQLDkQ b

bbb

−

−−− =⇒=

E dalla equazione di bilancio delle portate nel nodo N:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= −

−

111

222213 LD

LDQQQQ b

b

Sommando alla equazione di bilancio energetico del primo ramo l’equazione di bilancio energetico del terzo ramo si ottiene un’equazione risolutiva per la portata nel secondo ramo. La soluzione di tale equazione è data dall’espressione:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=

−−

−−

33

2

11

2222

2

1 LDLDLDLDk

HHQb

b

bb

CA

Che in corrispondenza alle due condizioni di tubi nuovi ed usati fornisce i valori:

( )( )usati Tubi 051.0

nuovi Tubi 075.013

2

132

−

−

=

=

smQ

smQ

Le altre portate vengono ottenute dalle:

( )

( )usati Tubi

119.0

068.060030.040025.0075.0

nuovi Tubi

174.0

099.060030.040025.0075.0

13213

1344.5

44.5

11

2221

13213

1326.5

26.5

11

2221

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

=××

×==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

=××

×==

−

−−

−

−

−

−

−−

−

−

−

smQQQ

smLDLDQQ

smQQQ

smLDLDQQ

b

b

b

b

In corrispondenza il carico in N assume i valori:

( )( )usati Tubi 1466003.0068.00020.0150

nuovi Tubi 1466003.0099.00012.015044.52

112

1

26.5211

21

mLDkQHH

mLDkQHHb

AN

bAN

=×××−=−=

=×××−=−=−−

−−

L’andamento della linea del carico per HB=HA, è rappresentato dalla linea a tratto e punto in grassetto. Si osservi che, in generale, a parità di differenza di carico, la portata che scorre in un ramo è maggiore nel caso di tubi nuovi che in quello di tubi usati. Perciò appena posto in esercizio l’impianto potrebbe fornire portate maggiori di quelle richieste dalle specifiche di progetto. Per ovviare a questo inconveniente si è soliti posizionare, in punti opportuni della rete, organi regolatrici della portata (valvole, rubinetti, etc.), aventi il compito di ridurre l’eccesso di portata tramite la riduzione delle differenze di carico tra i rami. Nel corso del tempo, l’impianto si porta a funzionare nelle condizioni di progetto e tali organi di regolazione devono perciò essere gradualmente posti fuori servizio. E’ inoltre interessante osservare che le equazioni di bilancio della portata nei nodi e dell’energia nei rami sono analoghe rispettivamente alle equazioni di conservazione della carica elettrica nei nodi e alle equazioni che legano la differenza di potenziale alla intensità di corrente (legge di Ohm) nei rami di una rete elettrica. L’analogia tra reti elettriche e reti idrauliche si basa sulla corrispondenza tra intensità di corrente e quadrato della portata, differenza di carico e differenza di potenziale elettrico e tra resistenza elettrica e resistenza idraulica, così definita:

LkDR bidr

−= Il fatto che la portata compaia al quadrato nella equazione del bilancio energetico nel ramo della rete idraulica costituisce però una notevole differenza rispetto alla legge di Ohm. Infatti in quest’ultima la differenza di potenziale è direttamente proporzionale alla intensità di corrente e pertanto l’equazione è indifferente all’inversione del verso di percorrenza della corrente nel ramo della rete elettrica. Viceversa, nel caso della equazione del bilancio energetico nel ramo della rete

idraulica, se si cambia il verso di percorrenza della portata, deve essere invertita la differenza tra i carichi agli estremi del ramo, in quanto l’elevazione al quadrato non conserva il segno della portata, relativo al verso di percorrenza di quest’ultima. La differenza dei carichi deve seguire il verso di percorrenza della portata, nel senso che la corrente si muove dal nodo a carico maggiore verso il nodo a carico minore.

Esercizio 3.5 Determinare il diametro della rete triangolare, composta da tubi di uguale diametro, in modo che il carico sia ovunque superiore o al minimo pari ad H*. Dati: H*=100 m, HA=180 m, qA=0.15 m3s-1, qB=0.05 m3s-1, qC=0.10 m3s-1, L1=5000 m, L2=800 m, L3=10000 m. Usare la seguente formula per il calcolo della J: 44.520020.0 −= DQJ (tubi usati). Si tratta del progetto di una rete di distribuzione costituita da condotte che possono essere senz’altro considerate lunghe, verificando eventualmente a posteriori la validità di tale assunzione. Infatti si richiede di determinare il diametro dei tubi in modo tale che la rete recapiti nei punti B, C le portate assegnate qB, qC, nota la portata qA immessa in A. Le incognite del problema sono pertanto le tre portate circolanti nei rami, i carichi dei nodi B, C e il diametro D dei tubi. Le equazioni che si possono scrivere sono le equazioni di conservazione della portata nei nodi A, B, C, e le equazioni di bilancio energetico nei rami. Sembrerebbe dunque che il problema di progetto in esame possa essere risolto con le sole equazioni idrauliche. Tuttavia, attribuiti alle portate i versi di percorrenza mostrati in figura, consideriamo le equazioni di conservazione della portata nei tre nodi A, B, C:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+=

C

B

A

qQQqQQQQq

32

21

31

Si vede immediatamente che sommando le tre equazioni si ottiene una condizione di compatibilità, peraltro verificata, sui dati di ingresso:

CBA qqq +=

Questo fatto, che si verifica in generale per le reti costituite da maglie chiuse del tipo riportato nell’esempio considerato, dimostra che le tre equazioni di conservazione della portata ai nodi non sono linearmente indipendenti. Nel caso considerato le tre equazioni non possono essere usate per la determinazione delle tre portate e di conseguenza una di esse deve essere scartata. Il numero delle equazioni è dunque insufficiente per la determinazione delle incognite del problema di progetto. Si considerino ora le equazioni di bilancio energetico ai rami, tenuto conto del verso delle portate illustrato in figura:

A

1

B

C

2

3

qA

qB

qC

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

=−

−

−

−

222

323

12

1

LDkQHH

LDkQHH

LDkQHH

bCB

bCA

bBA

Sommando la prima e la terza si ottiene la differenza dei carichi tra i nodi A,C:

2221

21 LDkQLDkQHHHHHH bb

CACBBA−− +=−=−+−

Pertanto, considerando la seconda equazione:

2221

213

23 LDkQLDkQLDkQ bbb −−− +=

Poiché il diametro è lo stesso per tutti i tronchi, si ottiene l’equazione:

2221

213

23 LQLQLQ +=

Che può essere unita a due delle tre equazioni di conservazione della portata ai nodi:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=+=

2221

213

23

21

31

LQLQLQ

qQQQQq

B

A

Questo sistema, algebrico, non lineare, può essere risolto analiticamente nell’incognita Q1, ricavando le espressioni di Q2, Q3 in funzione di Q1 dalle prime due equazioni:

( ) ( )( ) ( ) 02 2

22

31232

1213

22

112

132

1

12

13

=−+−−−−⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=−

−=−=

BABA

BA

B

A

qLqLQqLqLQLLL

LqQLQLQq

qQQQqQ

Applicando la formula risolutiva si ha:

( ) ( ) ( )( )( )213

22

23213

22323

1 LLLqLqLLLLqLqLqLqL

Q BABABA

−−−−−−−±−

=

Con i dati a disposizione si perviene ai valori:

131

131 608.0,087.0 −

+−

− == smQsmQ

Scartata la seconda radice, priva di senso fisico, si possono determinare le portate nei rami 2 e 3, tramite le equazioni di conservazione della portata:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−=

=−=−=−

−

1312

1313

037.0050.0087.0

063.0087.0150.0

smqQQ

smQqQ

B

A

Si osservi come, per la peculiarità del problema considerato, le portate circolanti nella rete dipendano esclusivamente dalla lunghezza dei rami e non dalla legge di resistenza considerata,

valida per il moto assolutamente turbolento all’interno di tubi usati. Si noti inoltre come il verso assunto per le portate è quello giusto, avendo ottenuto valori di portata reali e positivi. Valori di portata complessi o negativi sono indice di assunzioni erronee sui versi di percorrenza. Consideriamo ora il nodo avente il carico più basso della rete. Si tratta senz’altro del punto C, poiché ivi convergono le portate provenienti dai nodi A e B.

323 LDkQHH b

AC−−=

Poiché non conosciamo il carico in C, non è possibile usare tale espressione per la determinazione del diametro della rete. Tuttavia ci viene in aiuto la condizione aggiuntiva consistente nel fatto che il carico in tutti i punti della rete deve essere ovunque maggiore o al limite uguale a H*. Imponiamo tale condizione sul punto C, avente il carico minore di tutta la rete:

mHHLkQ

D

DLkQHH

HLDkQHHH

b

A

bAbAC

28.0100180

10000063.0002.0*

***

44.5121

323

323

323

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≥

≥−

⇒≥−⇒≥ −−

Dunque adottando un diametro maggiore o al limite uguale a 0.28m, ci si assicura che la rete abbia ovunque un carico maggiore o al limite pari a H*. Dal caso considerato si trae la conclusione che nei problemi di progetto delle reti idrauliche, essendo in generale insufficienti le equazioni idrauliche, devono essere aggiunti vincoli esterni, per rendere il problema determinato. Si accenna solo al fatto che tali vincoli possono essere di natura fisica, ossia espressi sulle grandezze fisiche caratterizzanti la rete, come nel caso esaminato, e di natura economica, volti a rendere minimi gli oneri economici derivanti dalla realizzazione e dalla gestione della rete.

Esercizio 3.6 Determinare la potenza della pompa e le portate Q3, Q4, nell’impianto illustrato in figura. Dati: L1=2000 m, L2=7000 m, L3=5000 m, L4=14000 m, D1=0.40 m, D2=0.30 m, D3=0.25 m, D4=0.20 m, HA=100 m, HB=300 m, HC=150 m, μ=0.01 Pas, ρ =940 kgm-3, ε=0.0001 m, Q=0.2 m3s-1, η=0.75. Si tratta di verificare che l’impianto di sollevamento considerato, costituito da condotte lunghe, sia in grado di recapitare le portate di liquido (olio combustibile) richieste dagli utilizzatori B,C, a partire dal serbatoio iniziale posto in A, da cui viene prelevata la portata Q. HA A

HB

HC

B

C

N1 2

3

z=0

HN

P

4

ΔHp

I versi di percorrenza delle portate sono quelli mostrati in figura: di conseguenza l’equazione di conservazione della portata al nodo N assume la forma:

43 QQQ += Le equazioni di bilancio energetico sui rami della rete sono le seguenti:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

++=Δ+

44

24

4

33

23

3

22

22

211

21

1

2

2

22

LgDUHH

LgDUHH

LgDUL

gDUHHH

CN

BN

NPA

λ

λ

λλ

Dalle quali, eliminando il carico al nodo N, si ottengono le:

{

{⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++−=Δ

+++−=Δ

4444444 34444444 2143421

4444444 34444444 2143421

carico di Perdite

22

22

211

21

144

24

4

nto)(sollevame utile EffettoPrevalenza

carico di Perdite

22

22

211

21

133

23

3

nto)(sollevame utile EffettoPrevalenza

222

222

LgDUL

gDUL

gDUHHH

LgDUL

gDUL

gDUHHH

ACP

ABP

λλλ

λλλ

Come si vede, la prevalenza o energia ceduta dalla pompa alla corrente, in parte viene utilizzata per avere l’effetto utile del sollevamento, dato dalla differenza del carico idraulico tra le sezioni di arrivo e partenza, e in parte viene trasformata irreversibilmente in calore attraverso le perdite di carico. Si può definire un rendimento d’impianto come il rapporto tra l’effetto utile e l’energia originariamente a disposizione. Le perdite di carico vengono nel caso presente calcolate tramite la determinazione del λ. Infatti, poiché il liquido è olio combustibile, avente viscosità abbastanza elevata, è possibile che il moto avvenga in regime turbolento di transizione, ossia che il λ dipenda dal numero di Reynolds oltre che dalla scabrezza relativa. Per questo motivo in questo caso non è consigliabile utilizzare la formula di resistenza utilizzata nei due precedenti esercizi. Dalle equazioni di bilancio energetico in cui è stato eliminato il carico del nodo N, si può ottenere una equazione per la determinazione della portata Q3 (o Q4). Infatti, eliminando tra le due equazioni la prevalenza della pompa, esprimendo le velocità nei singoli rami in funzione delle portate e tenendo conto della equazione di conservazione della portata al nodo N, si ottiene la seguente equazione algebrica di secondo grado nella Q3:

08

2 2254

4435

4

44235

3

3354

44 =−

−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− CB HHgQ

DLQQ

DLQ

DL

DL πλλλλ

Le cui radici sono:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±

=

53

3354

44

2254

4453

3354

44

2

54

4454

44

3

8

DL

DL

HHgQD

LD

LD

LQD

LQD

L

Q

CB

λλ

πλλλλλ

Si noti come la portata Q3 non dipenda dalle caratteristiche geometriche e di resistenza al moto dei rami 1,2. In ogni caso, per poter calcolare la prevalenza della pompa è necessario determinare anche i λ dei rami 1,2, per i quali si possono determinare sia i numeri di Reynolds che le scabrezze relative:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===××××

==

===××××

==

00033.03.0

0001.0,797604.001.02.094044Re

00025.04.0

0001.0,598204.001.02.094044Re

122

111

DDQ

DDQ

επμπ

ρ

επμπ

ρ

Pertanto dal diagramma di Moody, si possono determinare i λ, relativi ai primi due rami.

Si trova:

02.021 == λλ Si osservi come i valori trovati appartengano alla zona del moto turbolento di transizione. Nei rami 3,4, non conoscendo a priori la ripartizione delle portate, ci si trova nell’impossibilità di determinare i λ: si dovrà effettuare un calcolo iterativo, a partire dall’ipotesi di moto assolutamente

turbolento (Re→∞), utilizzando la formula di Colebrook e White. I λ di primo tentativo, contrassegnati dall’apice I, valgono:

017.0

71.320.00001.04

1

71.34

1

016.0

71.325.00001.04

1

71.34

1

2

10

24

10

4

2

10

23

10

3

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

LogDLog

LogDLog

I

I

ελ

ελ

Inserendo tali valori nella formula della portata Q3 e scartando la radice con il segno +, priva di senso fisico, si ottiene il corrispondente valore di primo tentativo:

133 134.0 −= smQ I

Dalla equazione di conservazione della portata al nodo N, si ottiene il valore di primo tentativo per la portata Q4:

1334 066.0134.02.0 −=−=−= smQQQ II

Con i valori di primo tentativo è possibile calcolare i numeri di Reynolds di primo tentativo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===××

××==

===××

××==

0005.02.0

0001.0,394812.001.0

066.094044Re

0004.025.0

0001.0,6412725.001.0

134.094044Re

44

44

33

33

DDQ

DDQ

II

II

επμπ

ρ

επμπ

ρ

E successivamente applicare la formula di Colebrook e White per il calcolo dei λ di secondo tentativo:

024.0

71.30005.0

017.03948151.24

1

71.3Re51.24

1

022.0

71.30004.0

016.06412751.24

1

71.3Re51.24

1

2

10

2

4

44

10

4

2

10

2

3

33

10

3

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

=

LogDeLog

LogDeLog

II

II

II

II

λ

λ

λ

λ

Inserendo tali valori nella formula della portata Q3 e scartando la radice con il segno +, priva di senso fisico, si ottiene il corrispondente valore di secondo tentativo:

133 138.0 −= smQII

Dalla equazione di conservazione della portata al nodo N, si ottiene il valore di secondo tentativo per la portata Q4:

13

34 062.0138.02.0 −=−=−= smQQQ IIII

Una ulteriore iterazione non apporta correzioni significative. I valori di secondo tentativo delle portate Q3, Q4 si possono pertanto ritenere validi. Si può ora calcolare la prevalenza della pompa utilizzando una delle due equazioni di bilancio energetico:

%66581381100100

581138.025.0

5000022.02.03.0700002.0

4.0200002.0

81.98100300

8

381

25

2552

P carico di Perdite

235

3

33252

2251

112

c

=×=Δ

×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+×

×+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=Δ

≡

P

C

m

ABP

HP

m

QD

LQD

LD

Lg

HHH

4444444444444 34444444444444 21

444444 3444444 21

π

λλλπ

Utilizzando l’altra equazione di bilancio energetico si trova un valore leggermente diverso, a causa del troncamento operato sulle cifre significative:

%91587537100100

587062.02.014000024.02.0

3.0700002.0

4.0200002.0

81.98100150

8

537

25

2552

P carico di Perdite

245

4

44252

2251

112

c

=×=Δ

×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×+×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+×

×+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=Δ

≡

P

c

m

AcP

HP

m

QD

LQD

LD

Lg

HHH

4444444444444 34444444444444 21

444444 3444444 21

π

λλλπ

Si noti come, in entrambi i casi, le perdite di carico assorbano una percentuale molto rilevante della prevalenza della pompa. Questo fatto è dovuto sia alla estensione delle condotte, che alla elevata viscosità del liquido. La differenza relativa tra i valori di prevalenza, calcolati utilizzando le due equazioni di bilancio energetico, è pari allo 1%, pienamente accettabile nei calcoli idraulici. Adottando il valore maggiore per essere in sicurezza, la potenza elettrica da installare per porre in esercizio l’impianto di sollevamento è pari a:

kWWHgQPP

Pe 14441044346.1

75.05872.094081.9 6 ≈×=

×××=

Δ=

ηρ