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CINEMATICACINEMATICA

Indice argomenti trattati nel corso di Meccanicadei Fluidi

Corso di Laurea in Ingegneria Energetica e Meccanica

- Facolt di Milano Bovisa

Prof. Monica Riva Prof. Alberto Guadagnini

Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR)

Politecnico di Milano, Piazza Leonardo da Vinci, 32, 20133 Milano- Italy

N.B.: Questo indice NON esaustivo e NON sostituisce il libro di testo

SI RICORDA CHE IL MATERIALE DIDATTICO FORNITO E' PER USO PERSONALE DEGLI STUDENTI.

NON E' CONSENTITO L'IMPIEGO DI DETTO MATERIALE A FINI DI LUCRO

E' ASSOLUTAMENTE VIETATO UTILIZZARE DATI, INFORMAZIONI ED IMMAGINI

SENZA AGGIUNGERE LA FONTE

DescrizioneLagrangiana(matematico italiano Joseph Louis Lagrange 1736-1813).

il movimento del fluido descritto seguendo la

storia di ogni singola particella di fluido e

descrivendone le caratteristiche in funzione dei

suoi spostamenti e del tempo.

sistema

materiale

derivata temporale sostanziale(derivata totale)

formulazione classica delle leggi fisiche

DescrizioneEuleriana

il movimento del fluido studiato descrivendone

le caratteristiche come funzione dello spazio e del

tempo. Le grandezze vengono osservate in punti

fissi nello spazio, al variare del tempo.

volume

di controllo

derivata temporale locale(derivata parziale)

??? formulazione delle leggi fisiche ???

dt

d

t

? difficile da usare per analisi pratiche delcampo di moto. I fluidi sono composti dabillioni di molecole. Linterazione tra lemolecole difficile da descrivere/modellare

La Cinematica dei Fluidi studia il moto dei fluidi senza considerare le forze e i momenti che dannoorigine al moto.

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Velocit : grandezza vettoriale

- modulo V=s/t [m/s]- direzione- verso

fissata una terna di riferimento la velocit di un

generico puntox,y,z nello spazio e allistante

istantet si pu esprimere:

( ) ( ) ( ), , , ; , , , ; , , ,dx dy dz

u x y z t v x y z t w x y z t dt dt dt

= = =come somma di componenti

di velocit

come vettore velocit ( ), , ,V V x y z t =

z

x

yrA(t)

rA(t+t)

particella Aal tempo t

particella A altempo t + td r

Vdt

=s

V = u i v j w k + +

Si consideri una particella fluida e la seconda legge di Newton,

Laccelerazione della particella la derivata temporale dellavelocit della particella stessa.

Comunque, la velocit della particella in un punto uguale allavelocit del fluido in quello stesso punto,

Campo di Accelerazione

particle particleparticleF m a=

particleparticle

dVadt

=

( ) ( ) ( )( ), ,particle particle particle particleV V x t y t z t =

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Accelerazione : grandezza vettoriale - modulo [m/s2]- direzione

- verso

( ) ( ) ( )( ), , ,dV x t y t z t t a

dt=

dV V V dx V dy V dz V V V V a u v w

dt t x dt y dt z dt t x y z

= = + + + = + + +

derivata totale o sostanziale

derivata locale variazione di velocit nel singolopunto al variare del tempo

accelerazione convettiva(deriva dallo spostamento della particella)

accelerazione = derivata sostanziale della velocit

riferimento Lagrangiano riferimento Euleriano

b4

Laccelerazione si pu scrivere come

Il primo termine detto accelerazione locale ed diverso dazero solo per moti non stazionari.

Il secondo termine detto accelerazione convettiva e tieneconto degli effetti del moto della particella fluida verso unanuova posizione nel campo di moto, dove la velocit sardifferente. Laccelerazione convettiva nonlineare, sorgente dimolti fenomeni di turbolenza.

( ), , ,V V V V

a x y z t u v wt x y z

= + + +

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Elementi caratteristici del moto

Traiettorie:Luogo dei punti successivamente occupatidalle singole particelle fluide in moto; descrivono la storia

di ogni particella in moto.

Linee di corrente: noto, in un certo istante t=t0 e inogni punto del campo, il vettore velocit, la linea di corrente

la curva che in ogni sul punto tangente al vettore velocit.

t1 t2 t3 t4

fotografia t=t0

b5

N.B. : Nei moti stazionari, linee di corrente e traiettorie coincidono.

Una Traiettoria il percorso effettivoeffettuato da una singola particellafluida in un certo lasso di tempo.

la stessa cosa del vettore posizionemateriale della particella fluida

Posizione della particella al tempo t:

La Particle Image Velocimetry (PIV) una moderna tecnica sperimentale permisurare il campo di velocit di unpiano nel campo di moto.

Traiettorie

( ) ( ) ( )( ), ,pa rti cle pa rti cle pa rti clex t y t z t

start

t

start

t

x x Vdt= +

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Una Linea di corrente una curva che ovunque tangente al vettore velocitinstantaneo e locale.

Si consideri un arco di curva di lunghezza

deve essere parallelo al vettore velocitlocale

Attraverso unanalisi geometrica si ottienelequazione per una linea di corrente

Linee di corrente (o linee di flusso)

d r dx i dy j dz k = + +dr

V u i v j wk = + +

dr dx dy dz

V u v w= = =

Es 2D:( )

( )

,

,

v x ydy

dx u x y=

t= costante

Linea dicorrente

da

Meccanica dei fluidi

Yunus A. engel, John M. Cimbala

Esempi

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Esempi Isolinee della pressione superficiale e linee di corrente

Tubo di flussoda

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Yunus A. engel, John M. Cimbala

Tipi di movimento

dato il campo di velocit : ( ), , ,V V x y z t =considerando i parametri da cui dipende questa grandezza

si possono definire diversi tipo di moto.

Moto Uniforme: il moto di un fluido nelquale la velocit indipendente dal tempo e

dallo spazio

Moto Permanente: il moto di un fluidonel quale la velocit indipendente dal tempo ma

varia nello spazio

Moto Vario: il moto di un fluido nel qualela velocit varia sia nello spazio che nel tempo

livelli costanti

livelli costanti( ), ,V V x y z=

cost.V=

( ), , ,V V x y z t =(es: immaginiamo di far variare i livelli nel tempo)

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