7/16/2019 5. Successioni

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Successioni

Defniamo una successione come un elenco ordinato costituito da una infnità di oggetti, dettitermini, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un

n -esimo termine per ogni numero naturale n .

es: an=n2={1,4,9,16,25,… ,n

2}

Successioni convergenti e divergenti

Sia an : N ¿

→ R . Possiamo calcolare approssimativamente il valore di an :lim

n →+∞

an=l∈ ´ R

(oppure an →l ¿ .

Sa la successione tende ad assumere un valore fnito, ossi è convergente, stabilito un erroreε>0 , esisterà ad un certo punto un n  tale per cui il valore del suo limite si avvicinerà al

valore reale a meno diε

. ormalmente:∀ ε>0,∃n

0:n ≥ n0

,|a❑n−l|<ε

Possiamo quindi usarla come defnizione di successione convergente.

Sa invece la successione tende ad assumere un valore infnito, ossi è divergente, comunque si

prenda un valore a>0 , esisterà sempre un valore an  c!e supera a . ormalmente:

∀ a>0,∃n0 :n ≥ n0 , an>a

Possiamo quindi usarla come defnizione di successione divergente.

Successioni oscillanti e il “defnitivamente”

Prendiamo in considerazione la successione an=−1n

. "ssa oscilla sempre tra 1  e −1 ,

non rispettando n# la defnizione di successione convergente n# quella di successionedivergente. "ssa è defnita successione oscillante. $ltre successioni oscillanti sono quellegoniometric!e.%e successioni sono dette regolari se sono convergenti o divergenti, indeterminate se sonooscillante.

&olte successioni vanno studiate 'defnitivamente, c!e è ben diverso da quella c!e è

l)accezione comune.*na proprietà  p(n)  è detta defnitivamente verifcata se ∃n0∈ N :n>n0 , p (n )  è verifcata.

+natti, nelle successioni spesso e volentieri i primi termini di successioni non sono presi inconsiderazione.

Monotonia

elle successioni, la monotonia pu essere espressa in maniera molto pi/ semplice esintetica:

- &onotona crescente:∀

n∈

 N 

¿

, an+1≥ an .- &onotona decrescente:

∀ n∈ N ¿, an+1

≤an .

- Strettamente crescente:∀n∈ N 

¿

, an+1>an .

- Strettamente decrescente:∀ n∈ N 

¿, an+1

<an .

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-

- Da questa considerazione deriva il teorema di regolarità, c!e a0erma c!e se an   è

una successione monotona, allora an  è regolare. Da esso si possono ricavare due

corollari:

1. Se an   è una successione monotona crescente e l)insieme dei valori {an }   è

superiormente limitato, allora an  è convergente, e limn→+∞

an=( {an

} ) ¿ .

- Dim:-- Per la defnizione di monotonia crescente, si !a c!e:

-   ∀ n∈ N ¿

, an+1≥ an

- +noltre, essendo superiormente limitato, {an}  ammette maggioranti:

-   ∀ n∈ N ¿,∃k ∈ R : k≥an

-- Supposto {an}  non vuoto, per l)assioma di completezza di  R  esso ammette

un estremo superiore:

-   ∃ λ   =( {an} ) :∀n∈ N ¿, λ ≥ an ¿

- Per la defnizione di estremo superiore, possiamo scrivere:

-  ∀ ε>0,∃n0: λ−ε<an0

≤ λ

-- Possiamo infne modifcare l)ultima espressione in questo modo:

-  ∀ ε>0,∃n0:n ≥ n0 , λ−ε<a

n0

≤ an

≤ λ< λ+ε⇒   limn →+∞

an

= λ

-q.e.d.

2. Se an   è una successione monotona crescente e l)insieme dei valori {an }   non è

superiormente limitato, allora an  è divergente elimn →∞

an=+∞.

- Dim:-- Per la defnizione di monotonia crescente, si !a c!e:

-   ∀ n∈ N ¿

, an+1≥an

- +noltre, non essendo superiormente limitato, {an}  non ammette maggioranti:

-   ∃ λ  =( {an} )=+∞

¿

-- Per la defnizione di estremo superiore, possiamo scrivere:

-  ∀ ε>0,∃n0: λ−ε<an0

≤ λ

- Possiamo infne modifcare l)ultima espressione in questo modo:

-

  ∀ ε>0,∃n0:n≥n0 , λ−ε<an0≤a

n≤λ< λ+ε⇒   lim

n→+∞

an= λ=+∞

-q.e.d.

- Il numero di Nepero

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-

- +l numero di epero (   e=2,718… 3 è stato scoperto come reale cui converge la

seguente successione: an=(1+ 1

n )n

.

- +l nome e  deriva dal atto c!e essendo state atte molte dimostrazioni con lettere

quali a , b , c , d , la prima lettera relativamente poco usata sembrava essere e .Dimostriamo ora c!e la unzione converge, senza calcolare il valore spaccato della suaconvergenza. 4 solitamente pi/ importante trovare S" converge piuttosto c!e $ 56S$converge.

- Dim:

- Per dimostrare c!e converge, dimostriamo c!e an  è monotona crescente e c!e

{an}   è superiormente limitato, in modo da poter poi ricorrere al corollario 1 del

teorema di regolarità.-

- Perc!# an  sia monotona crescente, dimostriamo c!eanan−1

≥1 :

-

(1+ 1

n )n

(1+   1

n−1 )n−1

=(   1+1

n

1+  1

n−1)

n

(  1

(1+   1

n−1 )−1 )=(

 n+1n

n

n−1)

n

(  1

(   n

n−1 )−1 )=(n

2−1

n2 )

n

(  1

n−1

n )=(1−  1

n2 )

n

(  1

1−1

n )

-- 7icorriamo ora alla disuguaglianza di 8ernulli:

-(1+a )n

≥1+na,a≥−1⇒ scelto a=−1

n2

  ,(1−  1

n2 )

n

(  1

1−1

n )≥(  1

1−1

n )(1−1

n )=1

-

- Proseguiamo introducendo una nuova successione bn=an(1+ 1

n )=(1+ 1

n )n+1

.

Dimostriamo c!e è decrescente, dimostrando c!ebn−1

bn≥1 :

-

(1+   1

n−1 )n

(1+ 1

n )n+1

 =( 1+  1

n−1

1+1

n)n+1

(1+   1

n−1 )−1

=(  n

n−1

n+1

n)n+1

(  1

1+  1

n−1 )=(n

2−1+1

n2−1 )

n+1

(  1

1+  1

n−1 )=(1+   1

n2−1 )

n+1

(  1

1+  1

n−

-

- 7icorriamo ora alla disuguaglianza di 8ernulli:

-

(1+a )n≥1+na,a≥−1⇒ scelto a=

  1

n2−1

,(1+   1

n2−1 )

n+1

(  1

1+

  1

n−1

)≥

(  1

1+

  1

n−1

 )(1+   1

n−1 )=1

-

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- Dato c!e an<bn ,  ed essendo c!e bn   è decrescente con b1=4 , dato c!e

an   è crescente allora an   è superiormente limitata per un valore sicuramente

ineriore a 4 .

-q.e.d.

- Successioni equivalenti-

- Due successioni an , bn   si dicono equivalenti se limn →+∞

an

bn

=1 , e si indica an   bn .

ormalmente, si dice c!e le due successioni !anno stesso ordine di infnito. *n esempioimportante è l)approssimazione di Stirling, secondo la quale:

n ! nn

e−n√ 2πn=( n

e )n

√ 2πn