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Corso di Analisi Matematica

Successioni e loro limiti

Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale

A.A. 2013/2014

Universita di Bari

ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30

1 Definizione di successione e di limite di una successione

2 Successioni monotone

3 Il calcolo dei limiti

4 Confronti e stime asintotiche


Successioni

Funzioni di particolare importanza:

Definizione

Una successione e una legge che associa ad ogni elemento di N un numero

reale cioe una funzione reale definita su N:

f : N→ R f(n) = an n 7→ an.

Si denota con

{an}n∈N {an} an n 7→ an.

Spesso le successioni sono definite da un certo intero n0 in poi, cioe il

loro dominio e del tipo {n ∈ N | n ≥ n0}. In tal caso si scrive

{an}n≥n0 .


Grafici di successioni:

an = 1/n

an = (−1)n


Successioni limitate

Definizione

Una successione {an} si dice

limitata inferiormente se esiste m ∈ R tale che, per ogni n, an ≥ m;

limitata superiormente se esiste M ∈ R tale che, per ogni n, an ≤M ;

limitata se esistono m,M ∈ R tale che, per ogni n, m ≤ an ≤M .

L’operazione di limite consente di studiare il comportamento dei numeri anquando n diventa sempre piu grande.


Limiti di successioni

Definizione

Una successione {an} possiede definitivamente un proprieta se esiste

N ∈ N tale che an soddisfa quella proprieta per ogni n ≥ N .

Esempi


Successioni convergenti

Definizione

Una successione {an} si dice convergente se esiste un numero l ∈ R con

questa proprieta: qualunque sia ε > 0 risulta definitivamente

|an − l| < ε.

In altre parole: per ogni ε > 0 esiste N ∈ N tale che

|an − l| < ε ∀n ≥ N.


Limite di una successione

Quindi, se una successione e convergente ad essa e associato un numero l.

Si prova che

l e unico.

Definizione

Sia {an} una successione convergente. Il numero reale l che compare nella

definizione precedente si chiama limite della successione {an}. Si scrive

limn→+∞

an = l

oppure

an → l per n→ +∞.


Si noti che, dalle proprieta del valore assoluto, la disuguaglianza

|an − l| < ε equivale a

l − ε < an < l + ε.

Dunque la condizione di convergenza significa che, fissata una striscia

orizzontale [l − ε, l + ε] “comunque stretta”, da un certo indice in poi i

punti della successione non escono piu da questa striscia.

Da questa osservazione risulta che:

Ogni successione convergente e limitata.

Esempi


Successioni divergenti

Definizione

Sia {an} una successione.

Si dice che {an} diverge a +∞ se per ogni M > 0 si ha an > M

definitivamente e si scrive

limn→+∞

an = +∞;

si dice che {an} diverge a −∞ se per ogni M > 0 si ha an < −Mdefinitivamente e si scrive

limn→+∞

an = −∞.

Esempi


I simboli +∞ e −∞ non sono numeri.

L’insieme dei numeri reali R con l’aggiunta dei due elementi +∞ e

−∞ si indica con R∗:

R∗ = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}.

L’operazione di limite ha completamente significato se ambientata in

R∗: il limite di una successione, se esiste, e un elemento di R∗.Esistono successioni che non sono ne convergenti ne divergenti (per

esempio {(−1)n}). Tali successioni si dicono irregolari o

indeterminate. Per esse l’operazione di limite non e definita.


Insiemi non limitati

E comodo adottare la convenzione usata per i limiti anche per il sup e

l’inf di insiemi.

Definizione

Sia E ⊆ R.

Se E non e limitato superiormente si dice che

supE = +∞;

se E non e limitato inferiormente si dice che

inf E = −∞.


Infinitesimi e infiniti

Definizione

Una successione {an} si dice infinitesima se

limn→+∞

an = 0.

Una successione {an} si dice infinita se

limn→+∞

an = ±∞.

Gli infinitesimi (infiniti) non sono numeri ma quantita variabili che tendono

a diventare indefinitamente piccole (grandi).


Successioni monotone

Definizione

Una successione {an} si dice

monotona crescente se per ogni n an ≤ an+1;

strettamente crescente se per ogni n an < an+1;

monotona decrescente se per ogni n an ≥ an+1;

strettamente decrescente se per ogni n an > an+1.

Esempi

Le successioni monotone non sono mai irregolari.


Limiti di successioni monotone

Teorema

Sia {an} una successione monotona.

Se {an} e monotona crescente e superiormente limitata allora {an} e

convergente e

limn→+∞

an = sup{an | n ∈ N}.

Se {an} e monotona decrescente e inferiormente limitata, allora {an}e convergente e

limn→+∞

an = inf{an | n ∈ N}.


Limiti di successioni monotone

Corollario

Sia {an} una successione monotona.

Se {an} e monotona crescente allora

limn→+∞

an = sup{an | n ∈ N}.

Se {an} e monotona decrescente, allora

limn→+∞

an = inf{an | n ∈ N}.


Il numero di Nepero

Teorema

La successione definita da

an =

(1 +

1

n

)nn ≥ 1

e convergente.

Si prova che {an} e strettamente crescente e limitata (2 ≤ an ≤ 4).

Si scrive

limn→+∞

(1 +

1

n

)n= e.

Il numero di Nepero e e irrazionale e la sua rappresentazione decimale

inizia cosı:

2.7182818284 . . .


Successione geometrica (di ragione q)

E la successione {qn}, per un fissato q ∈ R.

Si ha

limn→+∞

qn =

+∞ se q > 1;

1 se q = 1;

0 se |q| < 1;

non esiste se q ≤ −1.

Se q > 1, {qn} e monotona crescente, illimitata superiormente.

Se q = 1, {qn} e costante.

Se 0 < q < 1, {qn} e monotona decrescente.

Se q < 0, {qn} non e monotona.


Limiti e operazioni

Teorema (Algebra dei limiti)

Se an → a, bn → b, con a, b ∈ R allora

an ± bn → a± bKan → Ka per ogni K ∈ Ran · bn → a · banbn→ a

b(bn, b 6= 0).


Limiti e ordinamento

Teorema (Permanenza del segno, prima forma)

Se an → a e a > 0 allora

an > 0 definitivamente.

Se an → a e a < 0 allora

an < 0 definitivamente.



Teorema (Permanenza del segno, seconda forma)

Se an → a e an ≥ 0 definitivamente allora risulta a ≥ 0.

Se an → a, bn → b e an ≥ bn definitivamente allora risulta a ≥ b.



Teorema (del confronto)

Se an ≤ bn ≤ cn definitivamente ed esiste l ∈ R tale che

an → l, cn → l

allora anche

bn → l.

Corollario

Se |bn| ≤ cn definitivamente e cn → 0 allora anche bn → 0.

Se cn → 0 e bn e limitata bn · cn → 0.


Esempi

Si dimostra che:

limn→+∞

nα =

+∞ se α > 0;

1 se α = 0;

0 se α < 0.

Applicazione: limiti di successioni che sono scritte come rapporto tra due

successioni, ciascuna costituita da somme di potenze di n.


Estensione delle operazioni con i limiti

Casi in cui i limiti sono +∞ o −∞.

a+∞ = +∞ a−∞ = −∞+∞+∞ = +∞ −∞−∞ = −∞

Se a 6= 0,

a · ∞ =∞ a

0=∞

(ove il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni)a

∞= 0

Si noti che mancano le regole relative alle espressioni

+∞−∞ 0 · ∞ ∞∞

0

0

che, per tale motivo, prendono il nome di forme di indecisione.


Confronti e stime asintotiche

E utile saper confrontare due successioni entrambe infinite o entrambe

infinitesime per capire quale delle due tenda “piu rapidamente” all’infinito

o a 0.

Siano {an} e {bn} due successioni. Consideriamo il limite del loro

rapporto. Si hanno le seguenti possibilita:

limn→+∞

anbn

=

0

l ∈ R \ {0}±∞non esiste


Confronto tra infiniti

Se {an} e {bn} sono due infiniti, si dice che

{an} e un infinito di ordine inferiore a {bn} se

limn→+∞

anbn

= 0;

{an} e {bn} sono infiniti dello stesso ordine se

limn→+∞

anbn

= l ∈ R \ {0};

{an} e un infinito di ordine superiore a {bn} se

limn→+∞

anbn

= ±∞;

{an} e {bn} non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non

esiste.


Confronto tra infinitesimi

Se {an} e {bn} sono due infinitesimi, si dice che

{an} e un infinitesimo di ordine superiore a {bn} se

limn→+∞

anbn

= 0;

{an} e {bn} sono infinitesimi dello stesso ordine se

limn→+∞

anbn

= l ∈ R \ {0};

{an} e un infinitesimo di ordine inferiore a {bn} se

limn→+∞

anbn

= ±∞;

{an} e {bn} non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non

esiste.


Successioni asintotiche

Definizione

Siano {an} e {bn} due successioni. Se

limn→+∞

anbn

= 1

si dice che {an} e {bn} sono asintotiche e si scrive

an ∼ bn.


Proprieta delle successioni asintotiche

Proposizione

Se an ∼ bn allora {an} e {bn} hanno lo stesso comportamento: o

convergono allo stesso limite o divergono o entrambe non hanno

limite.

Se an ∼ bn ∼ . . . ∼ cn allora an ∼ cn.

Se an ∼ a′n, bn ∼ b′n, cn ∼ c′n allora

anbncn∼ a′nb

′n

c′n.

Osserviamo inoltre che

an ∼ bn ⇔ an = bn · cn con cn → 1


Esempio di successioni che non sono asintotiche a {nα} per nessun α > 0:

Proposizione

Per ogni a > 1, α > 0 si ha

limn→+∞

loga n

nα= 0 lim

n→+∞

nα

an= 0.

Questi limiti descrivono la “velocita” con cui i logaritmi (con base > 1), le

potenze, gli esponenziali (con base > 1) vanno all’∞:

i logaritmi piu lentamente di qualsiasi potenza;

le potenze piu lentamente di qualsiasi esponenziale.


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