21

CIRCUITI RISONANTI E RETI ADATTATRICI

Circuito risonante

Un circuito risonante contiene al suo interno elementi reattivi che immagazzinano energia sottoforma di energia elettrica ed

energia magnetica. Un semplice circuito risonante è schematizzabile attraverso la connessione ( in serie o in parallelo) di una

capacità e di una induttanza. Come noto, il circuito è in grado di mantenere, nell’ipotesi di capacità ed induttanza ideali,

l’energia all’interno dando origine ad un trasferimento di energia tra i due componenti; tale trasferimento avviene in modo

sinusoidale, con una pulsazione detta di risonanza che vale

Come detto sopra, in assenza di perdite, l’energia nel tempo si conserva, tuttavia il caso precedentemente descritto è un caso

ideale che non si verifica mai, se non altro in quanto ogni componente presenta perdite che riducono nel tempo l’energia

presente all’interno del circuito.

Le perdite spesso vengono volutamente introdotte per prelevare un segnale sinusoidale proveniente dal comportamento

risonante della coppia L-C (Induttanza – Capacità). Un esempio di ciò può essere l’amplificatore in classe C, descritto in

figura. In questo circuito l’energia del circuito risonante viene dissipata nella resistenza di carico . Tuttavia il transistor

“ricarica” il circuito attraverso impulsi di corrente; tale comportamento consente di ottenere alti

livelli di rendimento*, non ottenibili con altri tipi di amplificatori (Classi A e B).

Un’osservazione fondamentale a proposito di un circuito risonante con generatore e perdite

riguarda il bilanciamento energetico per un comportamento stazionario a regime: infatti affinché il

valore dell’energia media immagazzinata negli elementi reattivi non cambi è necessario che il

generatore fornisca a questi tanta energia quanta ne viene dissipata nella resistenza.

Un modo per caratterizzare un circuito risonante è il tempo impiegato da questo per scaricarsi,

ovvero per caricarsi.

Per riuscire a valutare una situazione del genere consideriamo un circuito risonante parallelo RLC alimentato da un

generatore di corrente. Supponiamo che per il circuito sia scarico per cui si avrà

e sia inoltre per . All’istante il generatore viene acceso ed offre al circuito un gradino di corrente di

ampiezza I. nelle ipotesi, attuali, poiché la trasformata di Laplace del segnale del generatore, essendo un gradino vale:

e poiché all’istante induttanza e capacità sono scarichi, si può calcolare la funzione di rete del circuito

dove . Il denominatore di II grado mostra la presenza di due poli

* MARIETTI, SISTEMI ELETTRONICI A BANDA FRAZIONALE STRETTA , Cap. 6 par. 4

Componenti integrati Circuiti risonanti e reti adattatrici

22

In particolare, mentre la parte immaginaria (sotto radice) descrive le oscillazioni del circuito, la parte reale descrive la carica

del circuito. Si noti che, in generale, in un circuito con componenti reattivi in cui non variano condizioni tra la fase di carica

e di scarica, la velocità di ambedue le fasi è la stessa. In questo caso poiché stiamo trattando la carica del circuito, il

contributo alla carica degli elementi reattivi sarà descritto da un’espressione del tipo:

dove indica la sola componente di carica e è il valore (costante) della tensione di uscita a regime (rimane solo la

parte reale, resistiva), e vale:

raggiunge il valore quando . Introducendo il termine

Detto fattore di merito del circuito risonante parallelo†, allora risulta essere:

ovvero, per caricarsi (o scaricarsi) fino al 63% circa (ovvero ) il circuito ha bisogno di periodi. Ciò

significa che un circuito con elevato Q impiega molto tempo a caricarsi, ma impiega anche molto tempo a scaricarsi

sensibilmente. Dunque se, come nel caso dell’amplificatore in classe C, ad ogni periodo avviene un rifornimento di energia al

circuito da parte di un generatore di impulsi di corrente, la rete risonante “non si accorge” della presenza della resistenza che

dissipa e del generatore che fornisce energia. Se ha un elevato Q, nella durata di un singolo periodo si scarica poco.

Reti adattatrici

Consideriamo una rete due porte alimentata da un generatore di corrente con una sua ammettenza . Se indichiamo con

l’ammettenza di ingresso della rete, è noto che se e non sono uguali si ottengono effetti indesiderati di

riflessione sul segnale dalla rete al carico e di non trasferimento massimo di potenza.

Per ovviare a questo inconveniente è utile interporre tra il generatore e il carico una rete adattatrice.

Per affrontare l’argomento relativo alle principali reti adattatrici utilizzate in pratica è bene ricordare le regole‡ di

trasformazione delle connessioni serie-parallelo RC e RL: una connessione ( ) serie può essere equivalentemente

rappresentata da una connessione ( ) parallelo utilizzando la seguente tabella, in cui vengono riportate le

espressioni dei fattori di merito delle connessioni:

† MARIETTI, SISTEMI ELETTRONICI A BANDA FRAZIONALE STRETTA , Cap. 1 par. 2

‡ MARIETTI, SISTEMI ELETTRONICI A BANDA FRAZIONALE STRETTA , Cap. 3 par. 1

Componenti integrati Circuiti risonanti e reti adattatrici

23

se

Prima di cominciare una breve panoramica sulle reti utilizzate in pratica facciamo qualche precisazione su circuiti risonanti e

reti:

In un circuito, alla risonanza, gli elementi reattivi si “palleggiano” tra loro l’energia immagazzinata. Ciò significa che

non portano alcun contributo energetico alla resistenza. In pratica è come se non ci fossero; d’altra parte la

definizione di risonanza di un circuito è caratterizzata dal comportamento puramente resistivo di tale circuito;

Le reti adattatrici sono caratterizzate fondamentalmente da tre parametri:

o Banda passante

o Frequenza di risonanza

o Rapporto di trasformazione tra le resistenze alle sue porte.

Tra banda passante, frequenza di risonanza e fattore di merito Q vale la seguente relazione

Circuiti risonanti parallelo

Questi circuiti hanno il vantaggio di essere molto semplici da realizzare. Tuttavia, avendo due gradi di libertà (L,C) e

dovendo garantire un determinato rapporto di trasformazione, non permette di poter fissare a piacere i valori di e

contemporaneamente.

Circuiti antirisonanti con presa centrale

Componenti integrati Circuiti risonanti e reti adattatrici

24

Questi due esempi (rispettivamente a presa centrale sul ramo induttivo e capacitivo) offrono la possibilità di fissare a piacere

il rapporto di trasformazione, la banda e la frequenza di risonanza. Infatti, considerando per brevità solo il primo circuito, si

possono effettuare le seguenti trasformazioni (cfr. tabella precedente):

Poiché il precedente circuito ha un fattore di merito

Ed inoltre poiché il precedente circuito risuona ad una frequenza

Ed ancora, poiché e dipendono fortemente dai valori di e , noto (ovvero il valore della resistenza del generatore

alla risonanza) e si può utilizzare C per fissare il fattore di merito e di conseguenza la banda . In questo modo

abbiamo soddisfatto la richiesta di poter agire indipendentemente sulle principali specifiche della rete adattatrice.

Ovviamente si può fare una trattazione analoga per quanto riguarda il circuito antirisonante con presa centrale sul ramo

capacitivo.

Rete di Colpitts

La rete di Colpitts è una rete a costituita da due capacità e e un’induttanza , che per scopi analitici rappresentiamo

come connessione in serie di due induttanze e tali che risulti .

Cominciamo l’analisi dalla rete ideale (ovvero senza perdite e dunque priva di elementi resistivi) col calcolo della pulsazione

di risonanza . Poiché e si trovano in serie tra loro e in parallelo con si ha:

A questo punto scegliamo come valore un valore tale che l’induttanza risuoni, alla frequenza , con il condensatore

, ovvero che risulti:

Componenti integrati Circuiti risonanti e reti adattatrici

25

Si ottiene di conseguenza:

e dunque anche risuona con alla pulsazione di risonanza del circuito. Questa caratteristica sarà utile tra breve.

Consideriamo adesso una rete di Colpitts caricata con delle resistenze e in parallelo a e rispettivamente, che

inglobino anche le perdite dei due condensatori.

Detti e i fattori di merito dei condensatori, calcolati attraverso e , si può dimostrare che la frequenza di

risonanza del circuito viene modificata leggermente dalla presenza delle resistenze. Si ha per la rete caricata:

Nell’ipotesi in cui si ritorna ai risultati precedenti.

Valutiamo il rapporto di trasformazione della rete adattatrice attraverso le solite trasformazioni alla risonanza:

Alla risonanza e risuoneranno e dunque si scambieranno energia senza interferire nel circuito. Il risultato è che

ai fini dell’analisi può essere considerata, del blocco , , , sola la resistenza .

Ancora una volta, alla risonanza, e risuonano. Il risultato è che per si avrà:

Nell’ipotesi in cui sia la resistenza a cui bisogna adattare il carico , e se è effettivamente adattato a , ovvero

si ha

e dalla precedente

Componenti integrati Circuiti risonanti e reti adattatrici

26

da cui

Dunque è possibile regolare il rapporto di trasformazione della rete attraverso la progettazione delle sole capacità e ,

nell’ipotesi di e relativamente elevati.

Calcoliamo ora il fattore di merito complessivo della rete: si ha:

Il fattore di merito totale varrà:

Si noti infine che dalla conoscenza di e di è possibile risalire alla banda della rete.