Turbine assiali

Triangoli di velocit1Ax1cx1= 2Ax2cx2 = 3Ax3cx3

Parametri di progetto Coefficiente di flusso:

Coefficiente di carico:

Grado di reazione:

)( assialipuramentemacchineinUc

Uc xm

h0U 2

UcU 2

cU

R h2 h3h1 h3

Fissata geometria e velocit di rotazione, il flusso in massa attraverso la turbina cresce con

h0: variaz dellentalpia totale attraverso lo stadio. In macchina adiabatica pari al lavoro specifico per turbina puramente assiale e con raggio costante, lequazione di Eulero fornisce il lavoro specifico come U*cUn elevato carico di stadio (elevato ) comporta unelevata rotazione del fluido e quindi triangoli di velocit molto schiacciati. Maggiore , minore il numero di stadi a parit di carico totale (esistono comunque effetti sullefficienza del carico per stadio che limitano )

Supponendo il flusso in turbina isoentropico Tds=dh-dp/ R=(p2-p3)/(p1-p3)(variaz press. nel rotore rispetto a quella totale)

Lavoro in uno stadio assiale

Il lavoro per unit di massa fatto sul rotore di uno stadio assiale :

Nello statore lentalpia totale resta costante perch non ci sono scambi di lavoro e calore

W W m h01 h03 U c 2 c 3

h01 h02

Eq. Eulero con r cost.

Lavoro in uno stadio assiale Dato che la componente della velocit radiale

piccola

E dai triangoli di velocit: e Si ottiene:

0

21

21

0212

21

21

21

232

2323232

232

2323232

232

23

22

232320302

xx

xx

xx

ccUcUccchh

ccUcccchh

cccchhccUhh

c 2 U w 2 c 3 U w 3 c 2 c 3 w 2 w 3

h2 h3 12w2 2 w2 3 12 c2x2 cx32 0

Lavoro in uno stadio assiale

Se la velocit assiale costante:

h2 12w22 h3

12w32

h02rel h03rel

Entalpia tot rel costante attraverso il rotore di una turbina puramente assiale

Turbina multistadio Nelle turbomacchine multistadio si assume che la

velocit assiale sia costante e per un progetto preliminare si considerano i triangoli di velocit al raggio medio.

Si considera inoltre che il raggio medio sia costante e 1= 3

Turbina multistadio Dalla definizione di grado di reazione:

h1-h3=h01-h03 dato che le velocit alle sezioni 1 e 3 sono uguali (ingresso e uscita stadio condizioni per stadi ripetuti)

Possiamo scrivere:

R h2 h3h1 h3

1 h1 h2h01 h03

12222122222

20301

12

2222

122020121

tantan2

1tantan2

1

tantan21

21

UcR

Uhh

ccchhhh

x

x

Ucx

Turbina multistadio Il coefficiente di carico pu essere scritto:

Che pu essere inserito nella espressione del grado di reazione:

Ricavando tan2 e sostituendo si ottiene:

1212 tantantantan Uc

Uc x

12 tantan21

R

1112

12

tan1212tan2tantan

12tantan

RR

R

1222122

12

22

2

tantantantan2

1tantan2

1

R

Turbina multistadio

Fissando , e R si definiscono i triangoli di velocit:

Dalla condizione di stadi ripetuti (1=3) e dai triangoli di velocit:

12

1

tan12tan

12

tan

R

R

1tantantantan

1tantantantan

33333

22222

3

2

UccUcw

UccUcw

xx

xx

1tan12 R

Rendimento e perdite di stadio Consideriamo il rendimento

totale/totale:

Possiamo supporre che le condizioni di velocit allingresso siano identiche a quelle in uscita e che c3ss=c3:

Possiamo scrivere:

sstt hhhh 03010301

ssss

sstt

hhhhhhhhhhhh

33333131

3131

ss

ssssss

ssThhssThh

22222

33333

Rendimento e perdite di stadio

Dato che:

Definendo i coefficienti di perdita in funzione delle velocit in uscita:

Possiamo scrivere:tt 1

Rw32 Nc22T3 T22 h1 h3

1

h3 h3s 12w32R

h2 h2s 12c22N

s3s s3ss s2 s2s h3s h3ss T3 T2 h2 h2s

Effetto irreversibilit attraverso lo statore, espresso nei termini dellen. cinetica in uscita dalla schiera

Effetto irreversibilit attraverso il rotore, espresso nei termini dellen. cinetica in uscita dalla schiera

Rendimento e perdite di stadio Il rendimento totale/statico (hp c1=c3=c3ss) :

Negli stadi con una piccola variazione di temperatura (T3/T2 1):

1

31

2123

22

23

3010301 21

hhcTTcwhhhh NRssts

tt 1Rw32 Nc222 h1 h3

1

ts 1Rw32 Nc22 c12

2 h1 h3

1

Progetto preliminare Con i tre parametri , e R si possono fissare i

triangoli di velocit. Prima ancora pu essere usato per definire il

numero di stadi:

Si pu osservare che il numero di stadi dipende non solo da , ma anche da U.

Una alta velocit periferica sempre desiderabile in quanto implica un pi ridotto nstage

nstage W

mU 2

Progetto preliminare

U limitata dai seguenti fattori: Tensioni sulla pala Vibrazioni Rumore Condizioni di flusso (subsonico/transonico) Drag troppo elevato

Carichi centrifughi e vibrazioni aumentano rapidamente al crescere della velocit del rotore

Progetto preliminare E poi necessario fissare il raggio medio e laltezza

della pala. Considerando la velocit assiale costante dalleq.

Di continuit di ha:

Assumendo che il raggio medio sia la media dei raggi al mozzo e alla corona:

HrUmA

UcAAA

mx

x

xxx

2

332211

rm12rt rh

Progetto preliminare Sarebbe pi corretto scrivere che il raggio

medio quello che divide il flusso (o meglio lannulus) in due parti uguali:

Le due definizioni di raggio medio si equivalgono se il rapporto tra i raggi alla corona e al mozzo alto.

Larea dellannulus comunque data da:

rm2 12rt2 rh2

2

22 1

t

htx r

rrA

Progetto preliminare

Il raggio medio pu essere vincolato dalla scelta della U e della velocit di rotazione

Laltezza della pala quindi calcolabile da: ricordando

rmU

rt rh H m

U2rm

HrU

mA mx 2

Progetto preliminare Nel caso di flusso comprimibile la sezione pu essere

trovata dalla seguente espressione (funzione del flusso in massa):

Per gli stadi successivi si possono utilizzare le seguenti espressioni:

m cpT01Axcos1

Q(M1)

1

01

03

01

03

01

2

01

030301

20 1)(

p

TT

pp

TcU

TTTTcUh

pp

E utilizzato p in quanto pi idonea a studiare la variazione di propriet attraverso il singolo stadio

Stadio con R=0 I vantaggi di uno stadio con R=0 sono molteplici:

Alto coefficiente di carico Bassi carichi assiali sul rotore Minori perdite per trafilamento (per la ridotta perdita

di pressione attraverso il rotore) Pochi stadi

Gli svantaggi sono: Minore efficienza (per laumento del carico di stadio) Possibile separazione dello strato limite (elevato

camber)

Stadio con R=0 Dalla definizione di R=0 risulta che h2=h3 e quindi il salto

entalpico tutto nello statore. Dalla conservaz dellentalpia tot rel nel rotore si ha quindi che w2=w3

Poi combinando: e Si ottiene:

Per R=0

R1 2

tan2 tan1 tan2 tan2 1 tan3 tan3 1

R 2

tan3 tan2

3 2

Stadio con R=0.5 Dalla definizione di R=0.5 risulta che il salto entalpico

diviso in parti uguali Quindi:

31212

1212

1212

1212

0tantan

tan1tantantan1

tan1tan11

tantan1tantan2

1

xx

xx

cUcU

cUwU

ccU

R

Effetto del grado di reazione

Dalla seguente espressione:

Si possono calcolare vari triangoli di velocit e quindi i rendimenti totale/totale e totale/statico

2 1R tan1

Diffusione nelle turbine

Si parla di diffusione quando la velocit assoluta diminuisce nello statore e quella relativa diminuisce nel rotore

In particolare si pu avere diffusione nel rotore se R1

Per R=1 abbiamo la situazione in figura

La correlazione di Smith (1965)

Da dati relativi a oltre 70 turbine Rolls-Royce, stato creato questo diagramma

La correlazione di Smith (1965)

Dal punto di vista analitico, Smith suppose che le perdite fossero proporzionali alla energia cinetica media. Per R=0.5 fu definito un fattore:

Per R=0.5 si trovano:

fs h0c12 c22

h0c12 U 2 c22 U 2

c2Uw3U

2 12

2

; c1Uw2U

2 12

2

StefanoNota

La correlazione di Smith (1965)

Che sostituite diventano:

Per ogni si pu trovare lo ottimale differenziando rispetto a :

fs

2 12

2

2 12

2

24 2 2 1

fs

2 4 2 2 1 4 2 2 1 0

opt 4 2 1

StefanoNotaerrore

Rendimento per R=0.5

Il rendimento totale/totale rappresentativo del rendimento di uno stadio in una macchina multistadio.

Abbiamo gi visto che:

Per R=0.5 si ha: w3=c2 e R=N= quindi:

tt 1Rw32 Nc222 h1 h3

1

w32 cx2 sec2 3 cx2 1 tan2 3 3 1 2 ; 2 1 2

Rendimento per R=0.5 Si ottiene quindi:

Da cui si nota che ivalori ottimali di e sono entrambi bassi In generale: 0.5

Rendimento per R=0

Se R=0 2=3 e quindi:

tan2 1 tan2; tan3 tan3

1

WU 2

tan2 tan3 tan2 tan3 2 tan2 tan2 2 tan2

21 ; tan3

21

Rendimento per R=0

Osservando i triangoli di velocit:

c2 cxsec2 c22 cx2 1 tan22 cx2 1 21

2

w3 cxsec3 w32 cx2 1 tan2 3 cx2 1 2

2

1tt

1 Rw32 Nc222U 2

1 12

R 2 2

2

N

2 12

2

Rendimento per R=0

Rendimento con c3 assiale

Si considera il rendimento totale/statico che rappresentativo dellultimo stadio.1ts

1 Rw32 Nc22 c122U 2

1 2

2R sec2 3 N sec22 1

c1 c3 cx tan3 U cx; tan2 tan2 tan3sec2 3 1 tan2 3 1 1 ; sec

22 1 tan22 1

2

1tt

1 12 R 1

2 N 2 2 2

StefanoNota

Rendimento con c3 assiale

Forze centrifughe

La forza centrifuga che agisce su un elemento infinitesimo di pala :

Le tensioni sono:

Per pale a sezione costante

dFc 2rdm 2rmAdr

d cm

dFcmA

2rdr

cm

2 rdrrh

rt Ut22 1 rhrt

2

Forze centrifughe

Dato che le pale sono rastremate si pu definire:

Da cui:K= tensione al mozzo pala rastremata

tensione al mozzo pala diritta

cm

KUt2

21 rh

rt

2

Curva caratteristica

Le curve caratteristiche hanno questa forma:m T01p01

k 1 p0ep01

2

1 2

StefanoNota

StefanoNota

Diapositiva 1Diapositiva 2Diapositiva 3Diapositiva 4Diapositiva 5Diapositiva 6Diapositiva 7Diapositiva 8Diapositiva 9Diapositiva 10Diapositiva 11Diapositiva 12Diapositiva 13Diapositiva 14Diapositiva 15Diapositiva 16Diapositiva 17Diapositiva 18Diapositiva 19Diapositiva 20Diapositiva 21Diapositiva 22Diapositiva 23Diapositiva 24Diapositiva 25Diapositiva 26Diapositiva 27Diapositiva 28Diapositiva 29Diapositiva 30Diapositiva 31Diapositiva 32Diapositiva 33Diapositiva 34Diapositiva 35Diapositiva 36Diapositiva 37