3354. IL PRINCIPIO DI CAVALIERI E LA SUA APPLICAZIONE

AL CALCOLO DEI VOLUMI DI PRISMI, CILINDRI, PIRAMIDI E CONI ASSIOMA: il “PRINCIPIO DI CAVALIERI” (Bonaventura Cavalieri, 1598-1647)

“ Se due solidi possono essere disposti in modo tale che, sezionandoli con un fascio di piani paralleli, ciascun piano individua sui due solidi due sezioni equivalenti ( = con la stessa area),

allora i due solidi sono equivalenti ( = hanno ugual volume) ”

(immagine opera di Anton, da Wikimedia Commons, qui utilizzata con licenza

GFDL, GNU Free Documentation License) Teorema 1: due prismi, o un prisma e un cilindro, o due cilindri, aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti. Dimostrazione: per il Principio di Cavalieri.

Nella dimostrazione dell’enunciato di cui sopra occorre anche tener conto del fatto (intuitivo, ma comunque dimostrabile) che le sezioni di un prisma, o di un cilindro, con piani paralleli alle basi, sono tutte uguali (fra loro e con le basi)

CONSEGUENZE: FORMULA PER IL VOL ME DI UN PRISMA O DI UN CILINDRO U Un prisma è dunque, in particolare, equivalente ad un parallelepipedo rettangolo,

avente base equivalente e altezza uguale a quella del prisma. E anche un cilindro è equivalente ad un parallelepipedo rettangolo,

avente base equivalente e altez a uguale a quella del cilindro. z Quindi per calcolare il volume di un prisma qualsiasi o di un cilindro qualsiasi

la formula da utilizzare è la stessa che abbiamo visto (paragrafo 3) valere per il parallelepipedo rettangolo, ossia

baseV S altezza= ⋅

che nel caso di un cilindro, retto o non retto, a base circolare di raggio r, diventa 2V r=π ⋅h

336Teorema 2: due piramidi, o una piramide e un cono, o due coni, aventi basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti. Dimostrazione: per il Principio di Cavalieri.

Nella dimostrazione dell’enunciato di cui sopra occorre anche tener conto del fatto che date due piramidi, o due coni, o una piramide e un cono, se i due solidi hanno ugual altezza e basi equivalenti, sezionando i due solidi con due piani aventi ugual distanza dal vertice, si ottengono sezioni fra loro equivalenti ( questo è conseguenza dell’ultimo teorema del paragrafo 2).

Teorema U na piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente la stessa base e la stessa altezza. D imostrazione Possiamo pensare di sostituire qualunque piramide assegnata, con una qualsiasi piramide a base triangolare, purché tale seconda piramide abbia altezza uguale e base equivalente a quella della piramide originaria. Infatti la “vecchia” piramide e quest’altra “nuova” saranno equivalenti per il precedente Teorema 2; m entre il Teorema 1 ci assicura che prismi con basi equivalenti e altezze uguali sono equivalenti. N oi supporremo che la “nuova” piramide, equivalente alla “vecchia”, abbia ● come base un triangolo rettangolo ● e il vertice tale che la sua proiezione sul piano della base cada proprio nel vertice di uno degli angoli acuti del triangolo di base (in realtà, nessuna di queste due condizioni è indispensabile per la dimostrazione, tuttavia in questo modo la comprensione dei disegni dovrebbe probabilmente risultare meno difficoltosa). Partiamo dunque dalla piramide ABCV della figura qui a destra, e innanzitutto costruiamo il prisma ABCC'B'Vavente base ABC e altezza AV. Ci proponiamo di dimostrare che la piramide ABCV è la terza parte d el prisma . ABCC'B'V

In pratica, alla piramide è stato aggiunto il solido B , che ha forma di piramide a base rettangolare. CC'B'V

Adesso tracciamo la diagonale del rettangolo , BC' BCC'B'che è la base del solido piramidale BCC'B'Vche abbiamo aggiunto alla piramide iniziale; il piano passante per i 3 punti B, C' e V divide la piramide a base rettangolare B CC'B'Vin due piramidi a base triangolare, che sono e . BC'B'V BCC'VLa prima è facile da visualizzare, la seconda un po’ meno: penso saranno utili le due figure seguenti, che mostrano tali due piramidi singolarmente:

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Nella seconda figura abbiamo lasciato anche il segmento , per evidenziare che esso fa da altezza per VB'entrambe le piramidi se ne prendiamo come basi e rispettivamente; ma allora, dato che i due BC'B' BCC'triangoli BC e sono uguali fra loro in quanto ottenuti dividendo un rettangolo con una sua diagonale, 'B' BCC'l e due piramidi, per avere ugual base e uguale altezza, sono equivalenti. R iconsiderando ora la piramide ABCV di partenza, scopriamo che essa è equivalente alla perché BC'B'V

se si prendono per basi ABV e rispettivamente, le altezze corrispondenti sono CB e , ed essendo BB'V C'B'● (triangoli in cui un rettangolo viene spezzato da una diagonale) ABV = BB'V ● e (lati opposti di un rettangolo), CB = C'B'

A BCV e B hanno ugual base e ugual altezza. C'B'VMa allora il prisma A , avente la stessa base e la stessa altezza della piramide iniziale ABCV, BCC'B'Vè composto dalle tre parti tutte equivalenti fra loro! ABCV BC'B'V BCC'V+ +

Ciascuna delle tre parti è perciò 1/3 del prisma; in particolare, 1ABCV ABCC'B'V

3= e la tesi è dimostrata.

CONSEGUENZE: FORMULA PER IL VOLUME DI UNA PIRAMIDE O DI UN CONO

Poiché dunque una piramide, o un cono, hanno volume uguale a 1/3 del volume di un prisma che ha base equivalente e altezza uguale,

per calcolare il volume di una piramide o di un cono la formula da utilizzare sarà base

baseS altezza1V S altezza

3 3⋅

= ⋅ =