4. GEOMETRIA ELEMENTARE

1. Calcolare l’area di un rettangolo il cui perimetro e altezza misurano, rispettivamente,37.6cm e 7.8cm.

2. Calcolare la misura del perimetro di un rettangolo sapendo che l’area vale A = 1344m2

e che la misura dell’altezza e’ il sessanta per cento di quella della base.

3. In un triangolo isoscele, il perimetro misura P = 252m e la base e’ la meta’ dei cateti.Calcolare l’area del triangolo.

4. L’area di un quadrato e quella di un triangolo rettangolo isoscele sono uguali e valgonoA = 625m2. I perimetri delle due figure sono uguali?

5. L’area della parte di piano racchiusa in una circonferenza di raggio r vale A = 12.56.Trovare il perimetro del quadrato iscritto nella circonferenza.

6. Trovare l’area della parte di piano racchiusa in una circonferenza massima ottenutacome sezione di una sfera di volume V = 36π.

7. Due scatole che contengono un ugual volume V hanno rispettivamente la forma di uncubo di lato l e di un parallelepipedo a base quadrata b = l/2 e altezza h. Se si voglionoincartare le due scatole, per quale delle due occorre piu’ carta?

8. Calcolare la superficie laterale e il volume di un cubo di lato L = 3cm. Aumentando del10 per cento la lunghezza del lato, di quanto aumentano la superficie laterale ed il volume?

9. Se r e’ un raggio, allora A = πr2 e V = 4πr3/3 sono, rispettivamente l’area della partedi piano racchiusa in una circonferenza di raggio r e il volume di una sfera di raggio r.Scrivere le relazioni generali che descrivono la variazione dell’area e del volume nel caso incui r venga incrementato dell’x per cento.Utilizzando tali relazioni valutare gli incrementi dell’area e del volume corrispondenti ax = 2 e x = 5.

Risposte

1. L’area di un rettangolo e’ il prodotto della base per l’altezza (A = b · h), mentre ilperimetro vale P = 2(b+h). Sapendo che P = 37.6 e che h = 7.8, si ricava immediatamenteche b = (P − h)/2 = 14.9 e quindi l’area vale A = 116.22.

2. Se l’altezza misura il 60 per cento della base si ha h = 60b/100 = 3b/5. Quindi si haA = b · h = 3b2/5 = 1344 da cui si ha, con un’approssimazione per difetto, b ≈ 47.32 eh ≈ 28.39 e quindi l’area vale A = b · h = 1343.41.

3. Se l e’ la lunghezza di un cateto del triangolo e b quella della base, si ha P = 2l+b = 252.D’altra parte e’ b = l/2, quindi P = 5l/2 = 252, e quindi l = 100.8 e b = 50.4. L’area diun triangolo si calcola come il prodotto A = (b ·h)/2, dove h e’ l’altezza. Per calcolare h siusa il teorema di Pitagora: h =

√l2 + (b/2)2. Tenendo conto del fatto che b = l/2, si ha,

approssimando alla seconda cifra decimale, h =√

l2 + (l/4)2 = l√

17/16 ≈ 1.03l = 103.82.Quindi l’area del triangolo vale A ≈ 2616.26.

4. Se l e’ la lunghezza del lato del quadrato, l’area vale A = l2; se c e’ la misura dei catetidel triangolo si ha A = c2/2. Quindi si deve avere 2l2 = c2 = 625 e c = 25 mentre l = 50;il perimetro del quadrato vale quindi P = 200m. Per calcolare il perimetro del triangolobisogna trovare, tramite il teorema di Pitagora, l’ipotenusa i. Si ha i =

√2c2 ≈ 35.35,

quindi il perimetro del triangolo e’ P = 50 + 35.35 = 85.35 6= 200.

5. L’area della parte di piano delimitata da un circonferenza vale A = π · r2. Assumendoπ = 3.14 si ha r = 2. Il quadrato iscritto nella circonferenza ha la diagonale uguale aldiametro, cioe’ uguale a 4; visto che i lati l del quadrato sono uguali e applicando il teoremadi Pitagora si ha 4 =

√2l2 da cui si ha l = 2

√2. Il perimetro del quadrato vale in definitiva

P = 8√

2.

6. Ricordando che il volume di una sfera vale V = 4π · r3/3, in questo caso si ha r3 = 27e quindi r = 3. L’area richiesta vale quindi A = πr2 = 9π ≈ 28.26.

7. Il volume di un cubo di lato l vale V = l3, mentre quello di un parallelepipedo di baseb e altezza h vale V = b2h. Se b = l/2 e i due volumi sono uguali si ha l3 = hl2/4 equindi h = 4l. La superficie laterale del cubo vale S = 6l2, quella del parallelepipedo valeS′ = 2l2/4 + 4(4l · l/2) = 17l2/2 > 6l2, quindi occorre meno carta per incartare la scatoladi forma cubica.

8. Se il lato del cubo misura 3 cm., la superficie laterale e il volume misurano, rispettiva-mente, S = 6 · L2 = 54cm2 e V = L3 = 27cm3.Il 10 per cento di 3cm e’ 0.3cm, quindi la lunghezza del lato diventa di L′ = 3.3cme, di conseguenza, la superficie laterale e il volume valgono S′ = 6 · L′2 = 65.34cm2 e

V ′ = 35.937cm3.Se si osserva che S′ = S + xS/100 = 54 + 54x/100 = 65.34 si ricava facilmente che,in conseguenza ad un aumento del 10 per cento del lato, la superficie laterale del cubo e’aumentata del 21 per cento. Ragionando analogamente si verifica che V ′ = 27+27x/100 =35.937 implica un aumento del 33.1 per cento del volume del cubo.

9. Se r′ = r + (x/100)r e’ il raggio, l’area di una circonferenza e’

A′ = πr′2 = π(r + (x/100)r)2 = π(r2 + r2(x/100)2 + 2r2(x/100)

)=

= πr2 + [πr2((x/100)2 + 2(x/100)] = A + ∆A

Analogamente il volume diventa

V ′ = V + ∆V = V + 4πr3/3[(x/100)3 + 3(x/100)2 + 3(x/100)]

Le due formule precedenti permettono di valutare che per x = 2 si ha ∆A = (10.25/100)Ae ∆V = (6.128/100)V , mentre se x = 5 si ha ∆A = (4.04/100)A e ∆V = (15.2625/100)V .