381_esercizianalisi208

1 Esercizi sulle serie numeriche.

Esercizi svolti in aula.

Calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

1.n=0

2n

e2n

2.n=1

(23

)n

3.n=1

(sin

1

n sin 1

n+ 1

)

4.n=2

logn+ 1

n

5.n=1

1

n (n+ 2)

Studiare il carattere delle seguenti serie a termini positivi:

6.n=1

2n

n!

7.n=1

n4

4n

8.n=1

(n

n+ 1

)n2

9.n=1

log (n+ 2)

log (n+ 1)

10.n=1

n

en2

11.n=1

n2 + 1

2n3 + 3

1

12.n=1

sin1

n2

13.n=1

log

(2n

2n 1)

14.n=1

log

(1 +

1

np

)al variare di p R

15.n=2

1

(logn)n

16.n=2

(logn)2

nn

17.n=2

1

n (logn)pal variare di p R

Esercizi proposti.

Studiare il carattere delle seguenti serie :

1.n=1

3n2

2.n=1

n+ en

n!

3.n=1

n5

n!

4.n=1

1n (n+ 1)

5.n=1

1

nlogn

6.n=1

(1

n 1

n2

)

2

7.n=1

3n+ 2

n 4

n

5n + 1

8.n=2

1

logn!

9.n=2

(logn) logn

10.n=1

nn

n!

11.n=2

(logn)n

n!

12.n=1

3n3 + 1 n

nal variare di R

13.n=2

1

np lognal variare di p R,

14.n=1

n!

nn

15.n=1

n216n

34n

16.n=1

(n2 2n) 3n+1

5n

17.n=2

(logn)

3n+ 1al variare di R

18. Posto, per ogni n N

an =1

3n 1 , bn =1

3n+ 5,

verificare se le serie

n=1

an,

n=1

bn,

n=1

(an bn)

3

sono convergenti. In caso di convergenza, calcolare la somma.

19. Verificare se la seguente serie numerica convergente:

n=1

1

25n2 + 40n 9 .

In caso di convergenza, calcolare la somma.


n=2

1

n2 1 .



n=2

n+ 1nn2 + n

.


22. Dimostrare che, se una serie a termini positivin=1

an convergente,

allora anche la serien=1

a2n convergente. E vero il viceversa?

23. Usando la serie geometrica verificare che

0.53 =53

99; 3.72 =

67

18; 0.3 =

1

3.

24. Uno sviluppo decimale a0.a1a2 . . . an . . . un modo abbreviato per de-

notare la serien=0

an

10n. Dimostrare che tale serie convergente.

25. Trovare la somma della serien=1

(an + an+1) nellipotesi chen=1

an =

s R.

26. Dimostrare chen=1

anbn < +, nellipotesi chen=1

a2n < + en=1

b2n 0 e bn > 0 per ogni n N.

4


n=1

1

n (n+ 1) (n+ 2).

In caso di convergenza, calcolare la somma. (suggerimento per calcolare lasomma: noto che esistono e sono univocamente determinate tre costani A,B,Ctali che

1

x (x+ 1) (x+ 2)=

A

x+

B

x+ 1+

C

x+ 2)

Studiare il carattere delle seguenti serie :

28.n=0

n!

(2n)!

29.n=1

nn (n!)

(2n)!

30.n=1

arctan

(n+

2

n2 + 4

)

31.n=1

log

(n+ 1

n n+ 2

n2

)

32.n=1

(1 cos

4n sinnn+ sinn

)

33.n=1

(n+ 2

n+ 3

)(n+2)(n+3)

34.n=1

(n2 + n+ 1

n2 + 2n+ 2

)n3

35.n=1

(n3 + n+ 1

n3 + 2n+ 2

)n2

36.n=2

1

n (logn) (log logn)

37.n=1

(arctan

1

n

)n

5

38.n=1

(1n 1

1 +n

)

39.n=1

logn!

n3

40.n=1

3n (n!)

nn

41.n=1

1

n nn

42.n=1

1

nsin

1

n

43.n=1

(2n

3n+ 1

)n2

44.n=1

(n2 + 1 n)3

45.n=1

logn

2n

46.n=1

nn

2n (n!)

47.n=1

esinn

n3 + 2

48.n=1

(log (n+ 3) log (n+ 1))

49.n=1

(1

n sin 1

n

)

50.n=1

(1

n+ 1 1

2n

)

6

51.n=1

(38n3 + 3n 2n) al variare di > 0

52.n=1

(log(e 1

n

)

)nal variare di R

53.n=1

n3en2n|sinn|

54.n=1

e 1n 2n

al variare di R

55.n=1

n+ 13n + n+ 1

al variare di R

56.n=1

n4 + n+ 1 n2

(logn)al variare di R

Trovare i valori di x per i quali la serie converge. Trovare la somma dellaserie per tutti i valori di x per i quali c convergenza.

57.n=1

xn

3n

58.n=1

2n (x+ 1)n

59.n=0

1

xn

60.n=3

(sinx)n

7


Studiare il carattere delle seguenti serie:

1.n=1

cosn

n2 + 1

2.n=1

(1)n n+ 1n2 + 2n+ 5

3.n=1

(1)n log (n+ 1)n3

4.n=1

(1)n 3n 12n+ 1

5.n=0

xn

n!al variare di x R

6.n=1

(1)n 12n+ cosn

7.n=1

(1)n 1nn

8.n=2

(1)n lognn

9.n=2

(1)nn

logn

10.n=1

(1)n (sinn)2

n5

2

11.n=1

(1)n (n+ 1n)

12.n=2

(1)n lognnp

al variare di p R

8

13.n=1

xn

nal variare di p R

Esercizi proposti.

Studiare il carattere delle seguenti serie:

1.n=1

(2x 3) n2

n3 + 3al variare di x R

2.n=1

(1)n (1 + en)

3.n=1

(1)n 1nn

4.n=2

(1)nn

nn

5.n=1

(1)n 1n2 n (sinn)2

6.n=1

n cos (npi)

1 + n2

7.n=1

(1)n n43n

n!

8.n=2

(1)n log nn

9.n=1

(1)n 131

n

10.n=1

n22n(

x

x+ 1

)nal variare di x R\ {1}

11.n=1

xnnal variare di x R

9

12.n=1

xn

1 + x2nal variare di x R

13.n=1

(1)n n+ sinnn2 logn+ n

14.n=1

1

ncos(npi

2

)

15.n=1

xn

1 + nx2al variare di x R

16.n=1

(1)nn+ (1)n

n

17.n=1

n sinxn

n+ x2nal variare di x R

18.n=1

(1)n n 2n

en2

19.n=1

(1)n(1 +

1

n

)

20.n=1

(1)n(21

n 1)

21.n=1

(sinx)n

22.n=2

sinn

n (logn)2

23.n=1

(1)n cos (npi)n

24.n=1

(1)n(1 n sin 1

n

)

10

25.n=1

(1)n log(1 +

(1)nn

)

26.n=1

(1)n 12n n

27.n=1

(x 2)n3nn

al variare di x R

28.n=1

(sinx)n

log (n+ 1)

29.

n=10

sin((n+ 12

)pi)

log logn

30. Siano

an =(1)n

n, bn =

(1)nn+ (1)n .

Verificare che an bn. Studiare il carattere delle serien=2

an,

n=2

bn.

2 Esercizi sul calcolo di integrali.


Calcolare i seguenti integrali:

1.

(3x4 + 6x3 + 2x+ 7

)dx

2.

1

2x+ 5dx

3.

5x+ 4

3x+ pidx

4.

1

(3x+ 2)2dx

5.

7x+

3

(5x+ 2)2dx

11

6.

43

e2x dx

7.

21

f (x) dx con f : x [1, 2]{ x se x 0

sinx se x > 0

8.

3x dx

9.

21

x5

3x2 1dx

10.

10

x 6|3x2 1|dx

11.

1

x2 + 3dx

12.

1

5x2 + 6dx

13.

1

x2 + x+ 1dx

14.

2x+ 7

x2 + x+ 3dx

15.

x2 + 2x+ 2

x2 1 dx

16.

x4 + x

(x 1)2 (x+ 2) dx

17.

1

x2 (3x2 + 7x+ 5)2 dx

18.

(logx)n dx formula di ricorrenza

19.

1

(1 + x2)ndx formula di ricorrenza

12

20.

1

(x2 + x+ 1)4dx

21. Siano f C0 (R) e a ]0,+[ . Dimostrare che, se f dispari, alloraa

a

f (x) dx = 0. Dimostrare che, se f pari, allora

aa

f (x) dx = 2

a0

f (x) dx.

22. Sia f C0 (R) periodica di periodo T > 0. Dimostrare chea+Ta

f (x) dx =

T0

f (x) dx

per ogni a R.

23. Dimostrare che, se n,m N allora2pi0

(sinmx) (cosnx) dx = 0.

24. Dimostrare che, se n,m N allora2pi0

(sinmx) (sinnx) dx =

{pi se n = m0 se n = m

25.

sinx

(1 sinx) (1 + cosx) dx

26.

(cosx)2

1 2 (sinx)2 dx

27.

1 + 2ex

e2x 1 dx

28.

1 +

x2 + 3x

2x2 + 3x dx

29.

2x x2 + x

22x x2 dx

30.

2 + 3

x+ 1

1 +x+ 1

dx

31.

2x 31 + xx+

1 + x

dx

32.

2x 3

3 + 2x x2 dx

13

Esercizi proposti.

Calcolare i seguenti integrali:

1.

3x+

5

(6x+ 7)2dx

2.

5x+ 42x+ 1

dx

3.

1

2x2 + 13x+ 6dx

4.

7x+ 10

2x2 + 13x+ 6dx

5.

1

7x2 + 3dx

6.

2x+ 3

3x2 + x+ 2dx

7.

x4 + 1

x3 + x2 + xdx

8.

x2 6x+ 7

(x 1) (x2 5x+ 6)dx

9.

1

x (x2 + x+ 1)2dx

10.

1

(x 1)2 (x2 + 2)2 dx

11.

arctanx dx

12.

arcsinx dx

13.

pi2

0

(sinx)n dx (formula di ricorrenza)

14.

x3 + x2 + 1

x (x 1) (x2 + x+ 1) (x2 + 1)3 dx

14

15.

1 + cosx

sinx cosxdx

16.

1 sinx cosx1 2 sin2 x dx

17.

1 +

x

1 + x+xdx

18.

x2 + 2

2x 1 dx

19.

(sin 3x) (cos 7x) dx

20.

(sin 6x)

(sin3x)dx

21.

10

1

ex + exdx

22.

x3ex

2

dx

23.

21

exdx

24.

10

(1 x)pi x2dx

25.

22

x2 + x dx

26.

10

x2ex1dx

27.

10

x2 arcsinxdx

15

28.

10

x2 arctanxdx

29.

x 1 + 1

xdx

30.

21

x log(1 + x2

)dx

31.

11

x2

(2 + x) (2 |x|)dx

32.

1

x+ 1 (4x+ 12x+ 1 + 14)dx33.

53

log(x2 4)x3

dx

34. Sia f : [0, 1] R tale che f (x) = log (1 +3x)

3x

per ogni x ]0, 1] .

Verificare che f integrabile secondo Riemann e calcolare

10

f (x) dx.

35.

pi4

pi6

(sinx)2 cosx+ 5cosx

(sinx)4 (sinx)2 dx

36.

xn sinxdx formula di ricorrenza

37.

1

x4 + 1dx

38.

(sinx)2 (cosx)3 dx

39.

(sinx)4 (cosx)2 dx

40.

eax cos bxdx al variare di a e b in R

16


Verificare se i seguenti integrali impropri sono convergenti. In caso di con-vergenza, calcolare gli integrali.

1.

11

11 x2 dx

2.

11

1

(x 4)|x|dx3.

+0

x2 xex

dx

4.

+2

logx

(x+ 1)2dx

5.

30

logx

xxdx

6.

10

x31 x2 dx

7.

+0

(cosx)2 dx

Esercizi proposti.

1. Calcolare il seguente integrale improprio al variare di , R: +0

ex sinx dx.

2. Dimostrare che +0

(sinx)2

xdx = +,

+0

(sinx)3

xdx R.

17

3. Verificare se il seguente integrale improprio convergente. In caso affer-mativo calcolare lintegrale +

1

log(x2 (1 + x)

)(1 + |x|) dx.

4. Verificare se il seguente integrale improprio convergente. In caso affer-mativo calcolare lintegrale 2

0

x24 x2 dx.

5. Verificare se il seguente integrale improprio convergente. In caso affer-mativo calcolare lintegrale +

1

1

x (x+ 5x+ 8)

dx.

6. Verificare se esistono finiti i seguenti integrali e, in caso affermativo,calcolarli: 3

2

1x2 + 5x 6dx, 1

1x2 5x+ 6dx.

7. Verificare se il seguente integrale improprio convergente e, in caso affer-mativo, calcolarlo: +

2

1

xx2 x 2dx.

8. Verificare se sono convergenti i seguenti integrali impropri 10

ex2 3x

2 + 5

x21 x2 dx,

10.5

ex2 3x

2 + 5

x21 x2 dx.

9. Verificare se esiste il seguente integrale improprio e, in caso affermativo,calcolarlo: +

0

arctanx

(x+ 1)2 dx.

10. Verificare se il seguente integrale improprio convergente e, in casoaffermativo, calcolarlo: +

0

arctanx

xx

dx.

18

11. Verificare se i seguenti integrali impropri sono convergenti e, in casoaffermativo, calcolarli: 2

0

1

|x3 x2 + 4x 4|dx, +2

1

|x3 x2 + 4x 4|dx.

12. Discutere, al variare di R, la convergenza del seguente integrale: 10

arctan1 x

|logx| dx.

13. Utilizzando i criteri di convergenza, verificare se i seguenti integraliimpropri sono convergenti: +

0

ex + 2

ex + 3dx,

+0

ex + 2

ex + 3dx.

14. Verificare se il seguente integrale improprio convergente e, in casoaffermativo, calcolarlo: +

1

1

x2arctan

1

x 1dx.

15. Utilizzando i criteri di convergenza per integrali impropri, studiare laconvergenza dei seguenti integrali: +

0

arctan (x+ 1) dx,

+0

(arctan (x+ 1) arctanx) dx.

In caso di convergenza, calcolarli.

16. Utilizzando i criteri di convergenza per integrali impropri, verificare seil seguente integrale convergente: +

0

1x (x+ 1)

(1 +

x+

x+ 1

)dx.In caso affermativo, calcolarlo.

17. Dire per quali valori di R il seguente integrale convergente: +1

x2 + 1

(x+ 1)x2 + 3

dx.

18. Verificare se i seguenti integrali impropri sono convergenti e, in casoaffermativo, calcolarli 0

1

1

x4|x3 + 1| dx,

1

1

x4|x3 + 1| dx.

19

19. Verificare se i seguenti integrali impropri sono convergenti e, in casoaffermativo, calcolarli: +

3

1|x2 + 2x+ 3|dx 31

1|x2 + 2x+ 3|dx.20. Verificare se il seguente integrale improprio convergente; in caso affer-

mativo, calcolarlo: +0

1

(x+ 1)x2 + 2x

dx.

21. Verificare se il seguente integrale improprio convergente: 30

19 x2 1dx.

22. Dire se il seguente integrale improprio convergente +0

1

(3x2 + x+ 4)2dx

e, in caso affermativo, calcolarlo.Sia

G (y) =

ey0

1

(3x2 + x+ 4)8dx.

Determinare linsieme di definizione, X, di G. Verificare se G una funzionemonotona in X; verificare se G derivabile in X e, in caso affermativo, scrivereG (y) .

23. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri: +1

1

x(

x 1 + logx)dx, 10

1

x(

1 x+ log x)dx.3 Esercizi sulle serie di potenze.


1. Determinare lo sviluppo in serie di Mac Laurin delle seguenti funzioni:

x 1x 3 ,

1

(x 1) (x 3) .

2. Determinare lo sviluppo in serie di Mac Laurin della seguente funzione:

f (x) =1 + x.

20

3. Trovare il raggio di convergenza, lintervallo di convergenza e la sommadella seguente serie di potenze:

n=1

nxn.


n=1

n2xn.


n=0

xn

n+ 3.

6. Determinare lo sviluppo in serie di Mac Laurin della seguente funzione:

F (x) =

x0

et2

dt.

7. Dimostrare che se esiste r > 0 tale che

x ]x0 r, x0 + r[ :n=0

an (x x0)n =n=0

bn (x x0)n

alloran N{0} : an = bn.

8. Sia r > 0 e sia

x ]r, r[ : f (x) =n=0

anxn.

Dimostrare che se f dispari allora an = 0 per ogni n pari. Dimostrare che sef pari allora an = 0 per ogni n dispari.

Esercizi proposti.

1. Sia r > 0 e sia

x ]r, r[ : f (x) =n=0

anxn.

21

Posto

fp (x) =f (x) + f (x)

2, fd (x) =

f (x) f (x)2

,

verificare che f = fp + fd, che fp pari, che fd dispari e che

x ]r, r[ : fp (x) =n=0

a2nx2n, fd (x) =

n=0

a2n+1x2n+1.

2. Sia f (x) = ex. Verificare che fp (x) = coshx, fd (x) = sinhx. Trovare losviluppo in serie di Mac Larin di coshx e di sinhx.


n=1

x2n+1

2n+ 1.

4. Trovare il raggio di convergenza e lintervallo di convergenza della seguenteserie di potenze:

n=0

(1)n x2n+1

(2n+ 1)2.

Utilizzando lo sviluppo in serie di Mac Laurin di arctanx trovare la sommadella suddetta serie di potenze (ricordate che arctanx

xnon elementarmente

integrabile).


n=0

(1)n+1 xn+1

n (n+ 1).

Utilizzando lo sviluppo in serie di Mac Laurin di log (1 + x) trovare la sommadella suddetta serie di potenze.


n=0

(n+ 1)2xn.

Utilizzando lo sviluppo in serie di Mac Laurin di 11x trovare la somma dellasuddetta serie di potenze.


n=1

x4n

4n.

22


n=1

n3xn.

9. Determinare il raggio di convergenza, lintervallo di convergenza e lasomma della seguente serie di potenze:

n=1

n2 + 1

5nxn.

10. Dopo aver trovato lo sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione

f (x) =3x 4(x 1)2 ,

calcolare f (19) (0) .

11. Trovare linsieme di convergenza e la somma della seguente serie difunzioni:

n=2

(xn

n (n+ 1)+

1

n2 1).

12. Determinare linsieme S dei numeri reali x tali che la serie

n=1

n21

(x 2)n

sia convergente. Per x S, trovare la somma della suddetta serie.

13. Trovare il raggio di convergenza, lintervallo di convergenza e la sommadella seguente serie di potenze

n=1

(n2 2n)xn.

Calcolare la somma della seguente serie numerica:

n=3

(n2 2n) 3n+1

5n.

14. Trovare, al variare di R, il raggio di convergenza, r, e lintervallo diconvergenza, X, della seguente serie di potenze:

n=2

xn

n (logn).

23

Detta f la somma della suddetta serie di potenze, trovare i valori di in cor-rispondenza dei quali risulti f C1 (X) .

15. Sian=0 anx

n una serie di potenze avente raggio di convergenza ugualea 3 e somma uguale a f . Si stabilisca se le seguenti affermazioni sono vere ofalse giustificando la risposta:

a)n=0 an una serie numerica convergente;

b)n=0 4

n |an| una serie numerica divergente;c)n=0 3

nan convergente limx3 f (x) R;d) limx3 f (x) R

n=0 3

nan convergente.

e) limx 12

n=1 nanx

n = 12f (12

).


n=0

x2n

2n+ 1.


n=0

xn

(n+ 1) (n+ 2).

18. Sia

f (x) =1

(2 x)2 .

Utilizzando lo sviluppo in serie di Mac Laurin di f, calcolare f (20) (0) .

19. Determinare linsieme dei numeri reali x per cui la seguente serie convergente

n=1

(1)n(n+ 2) (x 2)n .

Specificare se in tali x la convergenza assoluta o semplice.Calcolare la somma della serie nei suddetti x.

20. Determinare lintervallo di convergenza,X, della seguente serie di potenze:

n=2

1

n logn(x 2)n .

Detta f la somma della suddetta serie, verificare se f C1 (X) e se f C2 (X) .

24

21. Dare la definizione di raggio di convergenza di una serie di potenze.Trovare il raggio di convergenza, lintervallo di convergenza e la somma dellaseguente serie di potenze:

n=0

(2)n+1(n+ 1)!

(x 3

2

)n.

22. Si scriva la serie di Taylor di punto iniziale 2 della seguente funzione:

f (x) = x3 logx

precisando lintervallo in cui f somma di tale serie.

23. Determinare il raggio e lintervallo di convergenza della seguente serie dipotenze:

n=1

(1)n (x 3)2n

n! (n+ 2).

Calcolare la somma della suddetta serie di potenze.

24. Sia n=1

an (x 2)2n+1 (1)

una serie di potenze. Dire, giustificando le risposte, quali delle seguenti affer-mazioni sono false e quali potrebbero essere vere:a) i coefficienti di (1) sono i numeri reali an;b) lintervallo di convergenza di (1) [1, 5] ;c) lintervallo di convergenza di (1) R;d) la somma di (1) un infinitesimo in 2 di ordine 3;e) la somma di (1) continua in R e non derivabile in 0.

25. Sia

f (x) =1 cosx

x.

Verificare che f pu essere prolungata per continuit a R e che tale prolunga-mento (denotato ancora con f) una funzione di classe C (R) . Sviluppare inserie di MacLaurin la funzione

g (x) = (1 + x) f (x) .

Dire se lintegrale 10

g (x) dx

pu essere calcolato per serie. In caso affermativo, calcolarlo con un erroreminore di 103.

25

26. Trovare il raggio di convergenza e lintervallo di convergenza X dellaseguente serie di potenze:

n=2

logn

2 + sinn(x+ 1)3n . (2)

Detta f la somma di (2) , verificare se f C2 (X) . (6 punti)

27. Trovare il raggio di convergenza e linsieme di convergenza della seguenteserie di potenze:

n=2

xn

n logn. (3)

Trovare il dominio A della seguente funzione:

g (x, y) = f (x+ 2y)

dove f la somma della serie (3) .

28. Trovare linsieme X di convergenza della seguente serie di potenze:

n=0

nn7 + 1

xn.

Si pu affermare che la sua somma di classe C1 (X)? (giustificare la risposta)

29. Utilizzando lo sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione sin, scriverelo sviluppo in serie di Mac Laurin della seguente funzione:

f (x) =

sinx2

2xse x = 0

0 se x = 0

Calcolare 10

f (x) dx

sotto forma di una serie numerican=0 an. Verificare se la serie

n=0 an

assolutamente convergente.

30. Trovare il raggio di convergenza e linsieme di convergenza della seguenteserie di potenze:

n=0

3n (x+ 1)n

n3 + n2 + 1. (4)

Verificare se la funzione somma di (4) di classe C1 nel suo insieme diconvergenza.

26

31. Dare la definizione di serie assolutamente convergente. Verificare se laseguente serie numerica assolutamente convergente:

n=1

(1)n n2

2n. (5)

Sviluppare in serie di Mac Laurin la seguente funzione:

f (x) =x+ x2

(1 x)3 .

Trovare la somma della serie numerica (2) .

32. Dare la definizione di raggio di convergenza di una serie di potenze.Trovare il raggio di convergenza e la somma della seguente serie di potenze:

n=1

n (n+ 1)x2n.

33. Utizzando gli sviluppi in serie di Mac-Laurin delle funzioni elementari,determinare lo sviluppo in serie di Mac-Laurin della seguente funzione:

f (x) =

x0

t sin(t3)dt

precisando lintervallo in cui f somma della sua serie di Mac-Laurin.

4 Esercizi sul calcolo differenziale per funzioni

di di variabili.


1. Siaf (x, y) = x2ye(x

2+y2).

Trovare eventuali punti stazionari per f.Studiare la natura dei punti stazionari per f.Verificare se f dotata di punti di estremo globale.

2. Studiare la differenziabilit della seguente funzione:

f (x, y) = |y| sin (x2 + y2) .3. Sia

f (x, y) = arctan(x4 + y4 2 (x y)2 + 2

).

27

Trovare eventuali punti di estremo locale per f precisando se sono anchepunti di estremo globale per f.

4. Siaf (x, y, z) = x3 + xy + y2 + yz + z3.

Trovare eventuali punti stazionari per f.Studiare la natura dei punti stazionari per f.

5. Siaf (x, y, z) = x2 + y2 + 2z2 + xyz.

Trovare eventuali punti stazionari per f.Studiare la natura dei punti stazionari per f.

6. Siaf (x, y) =

x2 + y2 4 (x+ y) .Studiare la differenziabilit di f.Trovare eventuali punti di estremo locale per f precisando se sono anche

punti di estremo globale per f.

7. Siano

f (x) =

x0

et2

dt, g (x, y) = f(x2 + sin y

).

Verificare che g C1 (R2) . Scrvere lequazione del piano tangente al graficodi f nel punto

(1,pi2 , 0

).

8. Siaf (x, y) =

x2 + 2x+ y2 2y2.Trovare eventuali punti di estremo locale per f precisando se sono anche

punti di estremo globale per f.

9. Sia

f (x, y) =x2y

x2 + y2.

Verificare che f pu essere prolungata per continuit in R2.Studiare la differenziabilit di tale prolungamento.Trovare eventuali punti stazionari per f e classificarli.

10. Siaf (x, y) =

xy

x2 + y2

Trovare eventuali punti stazionari per f e classificarli.

28

11. Siaf (x, y) = |x| log (1 + y) .

Studiare la differenziabilit di f.Trovare eventuali punti stazionari per f e classificarli.

12. Sianof (x, y) = 3

x2 (y 1) + 1,

u =(h, k) un versore di R2.Verificare se esiste f

u(0, 1) .

Dedurre se f differenziabile in (0, 1) .

Esercizi proposti.

1. Siaf (x, y) = y

x2 9 e(x2+y2).Studiare la differenziabilit di f.

Verificare se esiste il seguente limite

lim(x,y)

f (x, y)

e, in caso affermativo, calcolarlo.Trovare eventuali punti di estremo locale e di estremo globale di f.

2. Sia

f (x, y) =x2 (y + 1)

x4 + (y + 1)2.

Trovare il dominioX di f. Verificare seX un insieme aperto, seX un insiemeaperto connesso, se X un insieme aperto semplicemente connesso. Trovare X(giustificare le risposte). Verificare se esiste il seguente limite

lim(x,y)(0,1)

f (x, y) .

3. Trovare eventuali punti di estremo locale e di estremo globale dellaseguente funzione:

f (x, y, z) =x2

2+ xyz z + y.

4. Siaf (x, y) =

xy

x2 + y2.

Verificare se esiste il seguente limite:

lim(x,y)(0,0)

f (x, y) .

29

Trovare i punti critici e i punti di estremo locale (precisando se sono di estremoglobale) di f.

5. Enunciare il teorema del differenziale totale. Verificare se per la seguentefunzione sono soddisfatte le ipotesi del suddetto teorema

f (x, y) = |x y| (x y) .

6. Trovare eventuali punti di estremo locale e di estremo globale per

f (x, y) =pi

2+2x sin y + y 2 sinx.

7. Siaf (x, y) = |x+ 1| y.

Studiare la differenziabilit di f.Trovare eventuali punti di estremo locale per f precisando se sono di estremo

globale.

8. Dare la definizione di punto critico e di punto di estremo locale. Trovareeventuali punti di estremo locale per la seguente funzione:

f (x, y) =xy3

x2 + y4.

9. Sia

f (x, y) =

3x2y

x2 + y2se (x, y) = (0, 0) ,

0 se (x, y) = (0, 0) .

Studiare la continuit di f.Utilizzando la definizione, verificare se f differenziabile in (0, 0) .Dare la definizione di derivata direzionale. Sia u R2 un versore. Verificare

se esiste fu

(0, 0) e se vale la formula del gradiente:

f

u(0, 0) = f (0, 0) u.

10. Siaf (x, y) = |xy| (4y xy y2) .

Trovare eventuali punti di estremo locale per f. Trovare eventuali punti diestremo globale per f.

11. Sia f C2 (R2) tale chef (1, 0) = (0, 1) , Hf (1, 0) =

(4 22 3

).

30

Postog (t) = f

(3t+ 1, t2 2t) , t R,

calcolare g (0) .

12. Trovare eventuali punti critici, eventuali punti di estremo locale edeventuali punti di estremo globale per la seguente funzione

f (x, y) =x2 2x+ y2 2y2.

13. Siaf (x, y) = (x+ y)

x2 y2 .Studiare la differenziabilit di f. Trovare eventuali punti di estremo locale e

di estremo globale per f.

14. Studiare la continuit e la differenziabilit in (0, 0) della seguente fun-zione

f (x, y) =

xy(x2 y2)

x2 + y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

15. Trovare eventuali punti di estremo locale e di estremo globale per laseguente funzione:

f (x, y) = x2 + y2 +1

x2+

1

y2.


f (x, y) = xy x2 y2 .17. Trovare eventuali punti di estremo locale e di estremo globale per la

seguente funzione:

f (x, y) =(x2 + y2

) (1 x2)2 .


f (x, y) = y |1 x y|+ xy.

19. Determinare eventuali punti di estremo locale e globale della seguentefunzione:

f (x, y) =xy2 1

x2 + y2 + 1.

20. Siaf (x, y) =

x2 + y2 4y+ x.Trovare linsieme

{(x, y) R2 : f (x, y)} . Scrivere il differenziale di f in (1, 1) .

Scrivere lequazione del piano tangente al grafico di f in (1, 1, f (1, 1)) .Studiare la differenziabilit di f.

31

Trovare eventuali punti di estremo locale e di estremo globale per f.

21. Siaf (x, y) = |x| log (x y) + 2x.

Studiare la differenziabilit di f. Calcolare f (2, 1) e df (2, 1) .


f (x, y) =y x2 log (y + x+ 1) .

23. Siano P0 = (0, 1, 0) e

f (x, y, z) =1

x+ y + z+ sin (xz) + x+ y + z + x2.

Calcolare f (P0) . Scrivere la forma quadratica associata alla matrice hessianadi f in P0. Verificare se P0 un punto di estremo locale per f.

24. Siaf (x, y) = |y 1| (x2 + y2 2x 2y + 1) .

Determinare eventuali punti di estremo locale per f.

25. Siaf (x, y) = |y 1| (x2 2x y2 2y) .

Determinare eventuali punti critici di f.Determinare eventuali punti di estremo locale per f precisando se sono anche

di estremo globale.Determinare eventuali punti di sella di f.

26. Utilizzando la definizione, studiare la differenziabilit in (0, 0, 0) dellaseguente funzione:

f (x, y, z) =x6 + y4 + z4.

27. Dopo aver verificato che la seguente funzione

f (x, y) = arctanx+ y

1 xy arctanx arctan y

ha gradiente nullo nel suo insieme di definizione, X, dire se f costante in X.Calcolare f (x, y) nel caso in cui xy > 1.

32

5 Esercizi sugli integrali curvilinei.


1. Sia

(x, y) =

(log (x+ y) +

x

x+ y

)dx+

x

x+ ydy.

Verificare se esatta.Sia il cammino di equazione implicita x2 + y2 = 2 contenuto nel primo

quadrante e orientato nel verso delle y decrescenti. Calcolare

.

2. Sia

(x, y) =

(ex

1 + y2+ 1

)dx+

2y (1 ex)(1 + y2)2

dy.

Verificare se esatta.Calcolare

con

{x = cos ty = 2sin t

t [0,

pi

2

].

3. Sia

(x, y) =

(x2 cos

(x3 2)

3y + 1+ y

)dx sin

(x3 2)

(3y + 1)2dy.

Verificare se esatta.Calcolare

con

{x = e

t3

y = tt [0, 1] .

4. Sia (x, y) = y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy,

sia A1 = R2 \ {(x, 0) : x 0} .

Dire se esatta in A1 e, in caso affermativo, determinare una primitiva di in A1.

33

5. Sia R e sia

(x, y) =

1+ (x+ y)2

ydx+

1+ (x+ y)2

+(2 2)x

dy.Trovare il dominio A di .Dire per quali chiusa.Per tali valori di calcolare, se possibile,

dove il segmento avente (1, 1) come primo estremo e (12 , 0) come secondoestremo.

6. Sia

(x, y) =

(2x sin y +

y

(x 1)2 + y2

)dx+

(x2 cos y (x 1)

(x 1)2 + y2

)dy.

Dire per quali e chiusa.Dire per quali e esatta.

7. Determinare f C1 (R) tale che la seguente forma differenziale sia esattain R2 :

(x, y) = xf (x) y2dx y log |f (x)| dy.In corrispondenza di tali funzioni determinare la primitiva di che si annulla

in (0, 1) .

8. Sia

(x, y) =

(1

x 2 +x

3

x2 + y2

)dx+

(y2 +

x3

x2 + y2

)dy.

Verificare se chiusa.Calcolare

con

{x = cos ty = 2sin t

t [1, 2pi] .

9. Sia k la circonferenza di equazione (x 1)2 + y2 = k2 con k ]0,+[ \{1} percorsa in verso antiorario. Sia

(x, y) =x yx2 + y2

dx+x+ y

x2 + y2dy.

34

Calcolare k

al variare di k.

10. Sia

(x, y, z) = Ax sin (piy) dx+(x2 cos (piy) +Byez

)dy + y2ezdz.

Dire per quali A e B esatta.Con tali valori di A e B calcolare

con

x = cos ty = sin 2t

z = (sin t)2t [0, 2pi] .

11. Sia = adx+ bdy una forma differenziale chiusa in A = R2 \ {(0, 0)} ,sia un circuito omotopo in A al circuito

{x = cos ty = sin t

t [0, 2pi] .

Supponiamo che

= k.

Dimostrare che esiste ununica costante c tale che

1 = c( yx2 + y2

dx+x

x2 + y2dy

)sia esatta in A.

Sia

(x, y) =y

(2x+ y)2 + (x y)2 dxx

(2x+ y)2 + (x y)2 dy.

Verificare che chiusa.Trovare in questo caso k.

35

Esercizi proposti.

1. Sia

(x, y) =

(2xy y

x2 + y2

)dx+

(x2 + 2y +

x

x2 + y2

)dy.

Dire se chiusa nel suo dominio. Dire se esatta nel suo dominio.Posto

A1 = R2 \ {(x, 0) : x 0} ,

verificare se esatta in A1 e, in caso affermativo, trovare una sua primitivain A1.

Calcolare

dove la frontiera dellinsieme ]a, a[ ]a, a[ orientata in verso antiorario,al variare di a ]0,+[.

2. Dire se esatta nel suo insieme di definizione la seguente forma differen-ziale e, in caso affermativo, trovare una sua primitiva

(x, y) =

(1

2x y 1

)dx+

(cos y 1

2x y

)dy.

Sia

g (x, y) =

p(x,y)

, (x, y) ]0,+[ ]0,+[ ,

dove p (x, y) la poligonale di vertici (x, 0) , (x,y) , (x+ y, 0) .Trovare eventualipunti critici di g.

3. Sia

(x, y) =x+ y2

x2 + y4dx 2xy

x2 + y4dy.

Determinare due forme differenziali 1 e 2 tali che = 1+2 e 1 esatta inA =

{(x, y) R2 : x > 0 y > 0}. Calcolare lintegrale curvilineo di lungo la

frontiera del quadrato [1, 2] [1, 2] orientata in verso antiorario.

4. Dire se esatta nel suo insieme di definizione la seguente forma differen-ziale e, in caso affermativo, calcolare una sua primitiva:

(x, y) =2x3x4 + y2

dx+y

x4 + y2dy.

5. Calcolare il seguente integrale curvilineo

36

dove (x, y) =

yx2 + 4x+ 8

dx+x

y2 + 4y + 8dy

e la frontiera del quadrato [0, 1] [0, 1] orientata in verso antiorario.6. Dare la definizione di curva regolare. Verificare se la seguente funzione

: t [1, 1] (t4, t3) R2 una curva regolare. Si pu affermare che una curva regolare a tratti?

7. Trovare il dominio A della seguente forma differenziale:

(x, y) =2x+ y

3

(x2 + xy)2

dx+x

3

(x2 + xy)2

dy + 2ydy.

Verificare se esatta in A. Siano

(t) = (cos t, sin t) , t [pi, pi] , (t) = (cos t, sin t) , t

[0,

pi

4

].

Verificare se esistono i seguenti integrali e, in caso affermativo, calcolarli:

,

.

8. Sia

(x, y) =2x3y + 2xy3 2y

x2 + y2dx+

x4 + x2y2 + 2x

x2 + y2dy.

Verificare se chiusa nel suo dominio, se esatta nel suo dominio, se esatta in A1 = R2 \ {(0, y) : y 0} .

Posto (t) = (2 cos t, 2 (1 + sin t)) , t [0, 2pi] , verificare se una curvaregolare e se esiste lintegrale curvilineo di lungo .

Sia la frontiera del seguente insieme:{(x, y) R2 : x2 + y2 4y 0 2 y}

orientata in verso antiorario. Calcolare lintegrale curvilineo di lungo .

9. Verificare se (t) = (2 cos t, t sin t) , t [pi, pi] , una curva regolare atratti. Posto

(x, y) = 2xydx+ x2dy,

utilizzando il teorema fondamentale del calcolo degli integrali curvilinei, calco-lare

.

37

10. Sia

(x, y) =x3 + xy2 y

x2 + y2dx+

x2 + x+ y2

x2 + y2dy.

Dire se esatta in R2 \ {(0, 0)} ; dire se esatta in R2 \ {(x, 0) : x 0} .Calcolare

,

dove il quadrato di vertici (1,1) , (1,1) , (1, 1) , (1, 1) e larco dellaparabola di equazione y = 2x2 4x+1 avente (0, 1) come punto iniziale e (2, 1)come punto finale.

11. Sia

(x, y) =x+ 1

(x+ 1)2 + 3y2dx+

3y(x+ 1)2 + 3y2

dy.

Verificare se esatta nel suo dominio e, in caso affermativo, determinare unasua primitiva. Verificare se esistono i seguenti integrali curvilinei e, in casoaffermativo, calcolarli:

,

dove (risp. ) la circonferenza di centro lorigine e raggio 2 (risp. raggio1).

12. Dare la definizione di curva regolare. Verificare se la seguente curva regolare:

:t [1, 2] (t 1, t2) R2.Trovare il dominio A della seguente forma differenziale:

(x, y) =1

yy + x+ 2

dx+ exdy.

Verificare se il sostegno di contenuto in A e, in caso affermativo, calcolare

.

13. Trovare il dominio A della seguente forma differenziale:

(x, y) = exy dx+

(1 x

y

)exy dy.

Verificare se A un insieme aperto connesso di R2.Verificare se esatta in A e, in caso affermativo, trovare una sua primitiva.Posto

A1 ={(a, b) R2 : a > 0, b > 0} ,

38

g (a, b) =

,

dove la poligonale di vertici (0, a) , (1, a) , (1, b) , verificare se g C1 (A1) .14. Dopo aver trovato il dominio della seguente forma differenziale, deter-

minare il pi grande insieme aperto in cui esatta:

(x, y) =|x|+ ydx+

|x|+ ydy.

Posto

(t) =

{(t, 1 + t) se 1 t 0,(t, 2 et) se 0 t log 2,

calcolare

.

15. Sia

(t) =

(t22,t(t2 3)3

,t22

)t [2, 2] .

Verificare se regolare. Calcolare la lunghezza di .

16. Sia

(x, y) = x(x2 + y2 +

) 32 dx+ y

(2 + + 1

) (x2 + y2 +

) 32 dy.

Trovare il dominio A di , al variare di R. Verificare se A un insiemeaperto, se A un insieme aperto connesso e se A un aperto semplicementeconnesso.Trovare i valori reali di tali che sia chiusa. Trovare i valori reali di taliche sia esatta.Sia = 0 e sia = 0. Posto

k (t) =(k + (cos t)3 , k + (sin t)3

)t [0, 2pi] ,

calcolare il seguente integrale k

per tutti i valori di k ]0,+[ per i quali il suddetto integrale esiste.17. Sia A il dominio della seguente forma differenziale:

(x, y) =x

x2 + y2 2dx+y

x2 + y2 2dy.

Verificare se A un insieme aperto, se A un insieme connesso, se A uninsieme aperto semplicemente connesso. Calcolare

dove lellisse di equazione x2

5 +y2

9 = 1 orientata in verso orario

39

381_esercizianalisi208

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