3 Velocità Moto Turbolento Uniforme Condotto Circolare (1)

7/25/2019 3 Velocit Moto Turbolento Uniforme Condotto Circolare (1)

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Dispensa 3

DISTRIBUZIONE DI VELOCIT PER IL MOTO TURBOLENTO UNIFORME IN

CONDOTTO CIRCOLARE

Consideriamo una tubazione del commercio: se esaminiamo la sua superficie interna vediamo unasituazione come quella in figura.

La superficie interna presenta delle asperit che sono pi o meno pronunciate, inclinate in modocasuale, un po nel verso della corrente, un po nel verso contrario alla direzione della corrente.!er ogni condotta noi possiamo definire un parametro che viene detto scabrezza della condoa ein genere viene indicato con . Cos" # ha le dimensioni di una lunghezza, " un parametroche deve essere valutato per via idraulica.$ non " n% laltezza media delle punte, n% il valoremassimo, n% il valore minimo di tale altezza. tiene conto dellaltezza delle punte, ma anche delloro orientamento secondo la corrente o contro corrente.

Le scabrezze delle due tubazioni riportare in figura sono diverse.

&i'uradse ha sperimentato su tubazioni rese scabre in modo artificiale incollando sulla pareteinterna della tubazione dei granelli di sabbia a diametro costante.

(

(

(

(

)


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Dispensa 3

La resistenza della parete al moto in queste tubazioni non cambia, anche se si inverte il flusso.&i'uradse ha definito scabrezza della condotta il diametro dei granelli di sabbia. *edremo piavanti che la scabrezza di una condotta del commercio " una scabrezza equivalente a quella dellasabbia di &i'uradse. Le tubazioni possono essere idraulicamente liscie o scabre. (uando unacondotta " idraulicamente liscia# !rima abbiamo ipotizzato che vicino alla parete esista uno strato di

moto laminare: la condotta " idraulicamente liscia quando tutte le punte si trovano allinterno dellostrato laminare$ la corrente in questo caso non risente delleffetto delle asperit. (uando le puntefuoriescono dallo strato di moto laminare la condotta " scabra e la corrente sente leffetto delleasperit che influiscono sulla resistenza al moto. +n questo senso sono generalmente lisce condottein vetro o in pleiglas. -nche i tubi di &i'uradse possono essere idraulicamente lisci, quando tutti igranelli di sabbia sono contenuti nello strato di moto laminare.

-bbiamo visto che ir

= e alla parete i

D

/0 = .

Definiamo

01=u velocit di attrito. Landamento della velocit media locale U , che per

semplicit indicheremo solo pi con U , lungo un generico raggio dipende in generale dallecaratteristiche fisiche del fluido, cio" dalla densit , dalla viscosit dinamica , dal diametro Ddel condotto, dalla distanza dalla parete y , dalla velocit di attrito 1u e dalla scabrezza . !erquanto riguarda la scabrezza ci riferiamo al caso in cui le dimensioni della scabrezza sono molto

minori di quelle del diametro, ovvero deve essereD

22 ).

!er la velocit media puntuale scriveremo

( ) ,,,,, 1uyDUU=

cegliamo come dimensionalmente indipendenti le tre grandezze 1,, uy $ con il teorema siottiene:

=

yuyy

D

u

U

,,

11

ovvero, ponendo

= ,

=

yuyy

D

u

U ,,

11

+ tre rapporti in parentesi esprimono: il primo, attraverso il diametro, la scala spaziale globale dellacorrente, il secondo linfluenza della viscosit e il terzo linfluenza della scabrezza$ in particolare seil tubo fosse idraulicamente liscio, questultimo rapporto sarebbe nullo.

Consideriamo il rapportoy

D$ tale rapporto vale sullasse e tende allinfinito alla parete$ il

rapporto1uy

tende allinfinito alla parete e a valori molto piccoli verso il centro, analogamente

accade pery

.


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Dispensa 3

upponiamo che esista una zona lungo il raggio, gi esterna allo strato di moto di transizione, in cui

y

Dsia ancora molto grande in modo da non provocare alcuna variazione di

1u

Ue invece

1uy

e

y

siano gi talmente piccoli da non influire sul valore di1u

U: abbiamo supposto quindi che ci sia

autosimilitudine completa nei tre parametri. criviamo quindi, secondo la simbologiadellautosimilitudine:

( ) cu

U == 0,0,1

La precedente dice che se fosse vera lautosimilitudine completa, nella zona considerata1u

U

sarebbe costante$ questo in totale disaccordo con i valori sperimentali che denotano una crescitadella velocit dalla parete al centro. &e risulta che lavorando sulle U non " possibile considerarelautosimilitudine completa nei tre rapporti adimensionali. +n particolare non si pu4 considerare

lautosimilitudine completa nei rapporti adimensionali 1uy

e y

. +nfatti noi sappiamo che il fluido" viscoso e per questo aderisce alla parete dove le particelle hanno quindi velocit nulla$ la velocit" massima in centro. 5siste quindi un gradiente di velocit che " massimo alla parete e nullo incentro dove leffetto della viscosit " sempre molto debole. Dire che c" autosimilitudine nel

parametro1uy

vuol dire trascurare leffetto della viscosit e in particolare leffetto della parete

dovuto alla viscosit sulla distribuzione della velocit. !er un tubo di scabrezza assoluta ,

considerare autosimilitudine nel rapportoy

vuol dire non considerare leffetto dovuto alla

scabrezza della parete nel valore puntuale di U . +n particolare per un tubo liscio trascurare1uy

vuol dire non considerare leffetto della parete nel valore puntuale della U $ per un tubo scabro

trascurare1uy

e

y

vuol dire ancora trascurare leffetto della parete. 5ffetto che per entrambi i

casi si pu4 non considerare nella zona di centro, lontano dalla parete stessa, dove le tensioni

tangenziali sono solo quelle di 6e7nolds, ma dove non vale pi lautosimilitudine nei parametriy

D

,1uy

,y

perch%y

D" prossimo a .

Consideriamo ora anzich% la U lady

dU: essa esprime solo la forma della legge di distribuzione di

velocit$ se riusciamo a definire ladydU , definiamo unequazione differenziale che con le

condizioni al contorno ci permette di definire la U . ar:

6

D87

D87

7

3


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Dispensa 3

( ) ,,,,, 1 Duyfdy

dU=

assumendo come grandezze dimensionalmente indipendenti ,, 1uy si ottiene

=

yyuy

D

dy

dU

u

y ,,

11

ponendo:

dy

dU

u

y

1

= ,y

D=) ,1

.yu

= ,

y

=3

supponiamo che esista una zona esterna a quella di transizione in cui esista similitudine completanei tre rapporti adimensionali per cui con la simbologia dellautosimilitudine

( ) 90,0,9 k==

avremody

dU

u

y

1

k

k )

9=

La precedente vale anche se il tubo " liscio ; 0= < perch%y

" nullo per ipotesi nella zona in cui si

suppone lautosimilitudine completa nei tre parametri.

+ntegrando la relazione ottenuta si ha:

cyku

U+= ln

)

1

La legge logaritmica trovata vale solo vicino alla parete a ridosso dello strato di moto di transizione.Lesperienza dice che questa legge va bene lungo tutto il raggio. +n centro si ha

cRku

UM += ln)

1

Rku

Uc M ln

)

1

=

quindi

R

y

ku

U

u

U M ln)

11

+=

La distribuzione di velocit " logaritmica, nel centro si ha una cuspide, perch"Ry

dy

dU

=

non "

nulla, come dovrebbe essere, perch% landamento della U deve essere continuo. (uestacircostanza " di poco conto e si potrebbe ovviare con qualche correzione della formula che per4 larenderebbe inevitabilmente pi complicata.

/


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Dispensa 3

*alutiamo la velocit media:

= dUUm)

*ale a dire

drrR

y

k

uU

RU

R

Mm ln)

01

+=

7

r6

=


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Dispensa 3

>enendo presente che yRr = , lintegrazione precedente si effettua agevolmente per parti efornisce la soluzione

ku

UU mM

3

1

=

dove k rappresenta la costante di ?@rm@n il cui valore si aggira intorno a 0,/.-vremo quindi

R

y

ku

U

u

U M ln)

11

+= 11

3

u

U

ku

U mM +=

INDICE DI RESISTENZA

g

mU

iD

.

.=

PER IL MOTO TURBOENTO

-bbiamo visto che alla parete "/

0

iD =

e analizziamo il fenomeno del moto turbolento dobbiamo scrivere( ) ,,,,0 DUf m=

Dallanalisi dimensionale sappiano che

, mU

, D sono tre grandezze dimesionalmenteindipendenti$ il prodotto rm DU non pu4 essere un numero puro a meno che non sia

0=== rq

A quindi possibile scrivere

=

...)))

$0

DUDUF

DUmmm

+n modo che

...)))

0 $$

DUDUDU mmmono tre numeri puri

[ ] .)..0

== smKgmsmKg

[ ] 03) smKg =

[ ] )) = smUm

[ ] [ ]mD =

[ ] )) = smKg

B


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Dispensa 3

!er il primo membro della precedente dovremo scrivere

[ ] [ ] msmmKgsmKg ))3)) =

)=

++= 3)

=.

)= .= 0=

!er gli altri due rapporti deve essere:))= ))= ))=

0= 0.= ).=

!er cui

=

DU m

6e,

.

0

!er un tubo idraulicamente liscio " D8 0.

ostituendo a 0 la sua espressione si ha

=

DUiD

m

6e,/

=

DU

iDg

m

6e,

/ .

=

D

g

U

iD

m

6e,

C

Da cui == Dg

U

iD

m

6e,

Cerchiamo ora il legame tra , 6e eD

.

&oi abbiamo gi ricavatoku

UU mM

3

1

=

, dalla iD

/0 = , si ricava

iDg/

0 =


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Dispensa 3

iD

gu/

1 =

gD

ui

.

1/=

poi sarg

U

Di m

.

.

=

uguagliando

gD

u

g

U

D

m

1

/

=

1

CmU

u

=

per cui C

1

=uUm

C

1

=u

Um

!er quello che riguarda lo strato limite laminare a contatto della parete, " con buonaapprossimazione:

pU

=0 ovvero

pUu == 1

0

B,))1

1 === Nu

Uu p

Costante di &i'uradse

N " il numero di 6e7nolds critico locale. !oich% per valori di y maggiori o minori di si passada un regime turbolento ad uno laminare, il primo membro della precedente pu4 essere visto comeun numero di 6e7nolds che assume il valore critico per =y . (uesto numero di 6e7nolds " dettoanche costante di &i'uradse.

yu1&umero di 6e7nolds locale: per =y abbiamo il numero di 6e7nolds critico.

up

u;7EFG L+C+G

R

y

ku

U

u

U M ln)

11

+=

scriviamo la precedente per =y per cui " pUU=

R

ku

U

u

UMp ln

)

11

=

ricordando che Nu

Up =1

e cheku

UU mM

3

1

=

possiamo scrivere

N

ln)3

1

Dkku

Um +

6icordando che

C

1

=u

Um e che

1u

N

= si ha

N

+

N

uD

kk

1

.ln

)

.

3C

N

+m

m

U

U

N

uD

kk

1

ln)

3C

N

+

C

)ln

)

3C

N

DU

kk

m

DUm=6e

ostituendo i valori numerici alle varie costanti si ha:

+=

CB,)).

)6eln

/,0

)

/,0.

3CB,))

( )

+=

C))B,.

)ln=,.6eln=,.D=,3

CB,))

( ) /=HBC,)06eln=,.D=,3CB,)) ++=

( )

6eln=,.C

B0HBC,. =

( ) B0HBC,.6eln=,.C =

H


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Dispensa 3

( ) HBB,06elnCC3CC,0) =

6aggruppando il in A e B le varie costanti e passando ai logaritmi decimali si ottiene:

( ) BA +=

6elog)

con A ,03= e B I0,HBB

+n realt i valori sperimentali del coefficiente di resistenza in funzione di 6e, eseguiti su tubi lisci,oltre che da &i'uradse ;)H3


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Dispensa 3

!er =)06e< la curva di ( )6e= per tubo liscio si pu4 esprimere con la formula di Flasius;)H)3


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Dispensa 3

poich% " funzione decrescente di 6e, ne risulta landamento diMU

U in funzione di 6e.

Landamento abbastanza piatto diM

U

U giustifica il perch% il coefficiente di Canalis si pu4

assumere uguale da ).

)

)

6e3

6e

6e)

6e3P 6e

P 6e

)

R

y

MU

U

)

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