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VARIABILI CASUALI DI USO COMUNE VARIABILE CASUALE UNIFORME UNIFORME DISCRETA

xi pi 1 1/N 2 1/N ... ..... N 1/N 1

X~ U(N); X~ R(N)

Me = =μ 21+N

Lezione 3

2

∑=

=μN

i 12 x2

i pi = ∑=

N

i 1i2

N1 = =

6

︶12︶︵1︵ ++ NN

=μ−μ=σ 22

2 12

1N2 −

=γ1 0

2γ = - )1N(5)1N(6

2

2

−

+

è sempre platicurtica; per N grande è 2γ ≈ -6/5. Da X è possibile sempre derivare:

Y = a + bX

yi pi a+b1 1/N a+b2 1/N ..... ... a+bN 1/N 1

Variabili casuali di uso comune

3

Per

a = - σμ = -

1N)1N(3

−+ ; b =

σ1 =

1N122 −

è la v.c. uniforme standardizzata. Esempio La v.c.

xi 1 2 3 4 5 6

pi 16 1

6 16 1

6 16 1

6 connessa al lancio di una dado regolare. Si ottiene:

Me = 3.5; 691

2 =μ ; 3μ = 73.5 ; 4μ = 350

da cui si ottiene

12352 =σ ; CV =

215 ; 1γ = 0;

175222

2 −=γ .

Lezione 3

4

LA UNIFORME CONTINUA La v.c. uniforme continua è definita nell'intervallo (a,b)

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧ ==

−altrove0

bxaperab

1

Momento r-esimo

∫=μ

b

ar xr

ab1−

dx = )1r)(ab(

ab 1r1r

+−− ++

; r=1,2,...

in particolare


5

)ab(2

ab 221 −

−=μ = b+a

2 ; )ab(3

ab 332 −

−=μ ;

)ab(4ab 44

3 −−

=μ ; )ab(5

ab 554 −

−=μ

da cui

2σ = 12

)ab( 2− ; 1γ = 0; 2γ = - 56

è simmetrica e platicurtica. L funzione di ripartizione F(x):

Lezione 3

6

Esempio X con funzione di densità

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧ π∈

πaltrove0

]2,0[xper21

rμ = (2π)r+12π(r+1)

Me =μ = π; 2σ = π2

3

LA VARIABILE CASUALE BINOMIALE La v.c. di Bernoulli:

xi pi 0 1-p=q 1 p 1


7

Può essere generata estraendo una unità di rilevazione da una popolazione le cui unità assumono solo due caratteri: bianche (in proporzione pari a p) e rosse (in proporzione pari a q=1-p) Esempio La prova consiste nel lancio di una moneta ben equilibrata:

xi pi 0 1/2 1 1/2 1

è una particolare Bernoulli con p=1/ 2. Momento di ordine r

∑=

=μk

1ir xr

i pi = 0r (1-p)+ 1r p = p

μ= p; 2σ = pq; )p1(p

p211 −

−=γ ;

)p1(p1

2 −=γ - 6

La Binomiale come una generalizzazione della v.c. di Bernoulli ottenuta estrendo, con reimmissione, N palline.

X ~B(N;p) = ∑=

N

1i

Bi(1;p)

Lezione 3

8

Binomiale come somma di N v.c. di Bernoulli indipendenti.

Bi = esce pallina bianca alla i-esima estrazione Ri = esce pallina rossa alla i-esima estrazione si ha P(Bi) = p, P(Ri) = q per i=1,2,...,N: Ax = in N estrazioni (effettuate con rimessa) la pallina bianca si presenta x volte:

B1∩B2∩ ... ∩Bx∩Rx+1∩Rx+2∩ ... ∩RN

P(B1∩B2∩ ... ∩Bx∩Rx+1∩Rx+2∩ ... ∩RN) = px qN-x

Ma perché Ax sia verificata, le x palline bianche possono presentarsi non necessariamente ai primi x posti: i modi incompatibili, in cui le x palline bianche possono presentarsi, sono tanti quante sono le combinazioni di N oggetti ad

x ad x cioè ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

x

N:

P(Ax) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

x

Npx qN-x


9

x px

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

Np0 qN-0

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

Np1 qN-1

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

Np2 qN-2

... ......

N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

N

NpN qN-N

1

Lezione 3

10

Le probabilità px di B(N; p) possono essere calcolate ricursivamente: po = (1-p)

N

px = px-1 p1p

n1xN

−+− per x=1,2, ..., N

La binomiale è simmetrica se p=q=1/2, è asimmetrica positiva per p < 1/2, è asimmetrica negativa per p>1/2.


11

μ = E[B(N;p)] = ∑=

N

1i

p = Np

μ2 = Np + N(N-1)p2 μ3 = N(N-1)(N-2)p3 + 3N(N-1)p2 + Np μ4 = N(N-1)(N-2)(N-3)p4 + 6N(N-1)(N-2)p3 + 7N(N-1)p2 + Np σ

2 = Npq

Se Xi~B(Ni;p), i=1,2,...,k, sono k v.c. Binomiali indipendenti allora

X = ∑=

k

1i

Xi

è ancora una Binomiale X~B(N1+N2+...+Nk; p).

Lezione 3

12

Esempio

Il 10% delle piante immesse in un nuovo impianto muore. Al livello di almeno il 99% determinare il numero delle piante da immettere nel vivaio in modo che almeno 6 di queste sopravvivano. Posto: p = 0.9 (successo di sopravvivenza di una pianta)

1-p = 0.1 (insuccesso di sopravvivenza di una pianta)

X = N° piante che sopravvive

P{X ≥ 6} = ︶9.0︵

6⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

xNN

x

x(0.1)

N-x ≥ 0.99

(a) per N = 9 si ha:

P(X ≥ 6) = x)9.0(x

99

6x∑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (0.1)

9-x = 0.99167

(b) per N = 8 si ha:

P(X ≥ 6) = x)9.0(x

88

6x∑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛(0.1)

8-x = 0.96191

Deve essere almeno N = 9 perché, con probabilità maggiore o eguale a 0.99, almeno 6 piante sopravvivano.


13

Se X è una v.c. Binomiale B(N;p), la v. c. Binomiale frequenza è F = NX = ∑

=

N

1iN1 Bi(1;p)

x px

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

Np0 qN-0

1/N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

Np1 qN-1

2/N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

Np2 qN-2

... ......

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

N

NpN qN-N

1

μ = E(F) = E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛NX =

N1 Np = p

var(F) = var ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛NX = 1

N2 Npq = Npq

la media di F è proprio pari a p, mentre la variabilità di F decresce al crescere di N.

Lezione 3

14

La variabile casuale di Poisson La v.c. di Poisson è una variabile casuale discreta e viene, di solito, utilizzata per analizzare fenomeni connessi a conteggi, viene anche detta degli eventi rari.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=→

∞→ x

Nlim

λNp0p

Npx qN-x =

!x1

λx e-λ

, x = 0,1, 2, ...


15

x px

0 e-λ 1 λ e-λ

2 λ2 e-λ/2 3 λ3 e-λ/6 ... ... x λx e-λ/x! ... ... 1

Le probablità di una P(λ) soddisfanno le seguenti relazioni po = e-λ

px = px-1 xλ per x=1,2,.....

Lv.c. di Poisson può essere espressa come somma di infinite Bernoulli indipendenti:

P(λ) =

λ=→

∞→

Np0p

Nlim B(N;p) = ∑

=λ=

→∞→

N

1iNp

0pNlim Bi(1;p)

X = ∑=

k

1i

Xi = P(λ1+λ2+...+λk),

Lezione 3

16

μ = E[P(λ)] = λ

μ2 = E[P2(λ)]= λ + λ2

In particolare

σ

2 = μ2 - μ2 = λ + λ2 - λ2 = λ;

γ1 = λ1

γ2 = λ1

Esempio

La probabilità di avere un parto trigemino è p = 1/8000. Calcolare la probabilità che osservando 10.000 parti a caso: (a) se ne abbiamo non più di 4 trigemini; (b) almeno 4 trigemini.

(a) P{X ≤ 4} = ∑=

4

0j

P(x=j) = 0.99088

(b) P{X ≥ 4} = 1 - P{X < 4} = 1 -∑=

3

0j

P(x=j) = 0.03826

N = 10.000 è "grande" e p = 1/8.000 è "piccolo" si può usare l'approssimazione di Poisson con λ = 10.000 8.000 = 1.25


17

(a) P{X ≤ 4} = ∑=

4

0j

P(X=j) = 0.99006

(b) P{X ≥ 4} = 1 - P{X < 4} = 1 -∑=

3

0j

P(x=j) = 0.03891

Esempio Il numero di vendite per settimana si comporta come una di Poisson. Inoltre, è noto che in media vende 2 manufatti al giorno. Determinare lo stock di magazzino in modo che quel venditore abbia probabilità di almeno il 99% di avere merce per soddisfare la domanda di una settimana. λ = 2 × 7 = 14

beni venduti in media al giorno

giorni della settimana

Bisogna trovare n per cui

P{X ≤ N} ≥ 0.99 cioè

!je jN

0j

λλ−

=∑ = e-λ

!j

jN

0j

λ

=∑ ≥ 0.99

Per N= 23 si ha:

Lezione 3

18

P{X ≤ 23} = 0.99067

Il venditore deve tenere in magazzino almeno 23 manufatti per essere sicuro al 99% di soddisfare le richieste di una settimana. La variabile casuale Normale La v.c. Normale è nota anche come v.c. degli errori accidentali. E’ funzione di soli due parametri: la media μ e la varianza σ

2; si scrive

X~N(μ, σ

2)

La f.d. di una v.c. Normale con media μ e varianza σ

2 è

f(x) = 22

1

πσexp

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

μ−σ

− 22 )x(

21

risulta

f(μ - x) = f(μ + x). e quindi

μ = Me


19

max f(x) = f(μ) = c = 22

1

πσ

Supponiamo di avere due fenomeni aleatori X ed Y che si distribuiscono entrambi come normali con uguale varianza e medie diverse:

X~N(μ1; σ2); Y~N(μ2; σ

2)

con μ1 ≤ μ2

Lezione 3

20

Le v.c. Normali abbiano uguale media ma varianza diversa:


21

Le Normali posseggono una proprietà riproduttiva: se è X~N(μ, σ2), allora

Z = a + b X ~N(a + bμ, b

2σ

2)

In particolare, come già visto in altra occasione, se è

a = - σμ

, b = σ1

si ottiene

Z = - σμ

+ σ1

X = σ

μ−X~N(0, 1)

la v.c. Normale standardizzata:

Calcolare la probabilità che X cada nell'intervallo [a, b]:

Lezione 3

22

P{a ≤ X ≤b} = 2

b

a 2

1

πσ∫ exp⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ μ−

σ− 2

2 )x(2

1dx

il problema si ricorre alla seguente procedura: (a) si sono tabulate le probabilità relative alla Normale standardizzata; (b) si standardizza la v.c. X ed i relativi estremi dell'intervallo [a, b]; (c) si usa la tavola delle probabilità della standardizzata per calcolare le probabilità cercate.

P{a ≤ X ≤b}= P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

=σ

μ−=

σμ− bXa

= P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−

==σ

μ− bZa

la probabilità che X cada nell'intervallo [a, b] risulta uguale alla probabilità che Z cada nell'intervallo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

σμ−

σμ− b,a

.

Da un punto di vista grafico si ha una situazione come quella qui appresso riportata


23

Esempio Supponiamo che sia X~N(3, 4), calcolare

P{2 ≤ X ≤ 5}

Lezione 3

24

P{2 ≤ X ≤ 5} = P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

==−

235Z

232 = P{ - 0.5 ≤ Z ≤ 1} =

= P{-∞ < Z ≤ 1} - P{-∞ < Z ≤ -0.5}

ma

P{-∞ < Z ≤ -0.5} = 1- P{-∞ < Z ≤ 0.5}

e quindi

P{2 ≤ X ≤ 5} = P{ - 0.5 ≤ Z ≤ 1} = P{-∞ < Z ≤ 1} - P{-∞ < Z ≤ -0.5}=

= P{-∞ < Z ≤ 1}- [1- P{-∞ < Z ≤ 0.5}]

Ricorrendo alle tavole


25

P{2 ≤ X ≤ 5}= P{-∞ < Z ≤ 1}- [1- P{-∞ < Z ≤ 0.5}] =

= 0.8413 - (1 - 0.6915) = 0.5328.

I momenti della generica v.c. X~N(μ, σ2)

E(Xr) = ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑= j

rr

0j

μr- j

σj E(Z

j)

da cui:

E(X2) = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑= 0

22

0j

μ2-j

σjE(Z

j) = μ2

+ σ2

E(X3) = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑= j

33

0j

μ3-j

σjE(Z

j) = μ

3 + 3μσ2

E(X4) = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑= j

44

0j

μ4-j

σjE(Z

j) = μ

4 + μ2σ

2 + 3σ4

Esempio

Lezione 3

26

Un fenomeno si distribuisce normalmente con μ=3 e σ2 = 4, calcolare: (a) P{1.5 ≤ X ≤ 4.3} (b) P{4.21 ≤ X ≤ 6.35} (a)

si ottiene

P{1.5 ≤ X ≤ 4.3}= P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

==−

233.4Z

235.1 = P{-0.75 ≤ Z ≤ 0.65} =

= P{-∞ < Z ≤ 0.65} - P{-∞ < Z ≤ -0.75} =

= P{-∞ < Z ≤ 0.65} - [1 - P{-∞ < Z ≤ 0.75}] =

= 0.7422 - (1- 0.7734) = 0.5156 (b)


27

si ottiene

P{4.21 ≤ X ≤ 6.35} = P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

==−

2335.6Z

2321.4 = P{0.605 ≤ Z ≤ 1.675}≈

≈ P{0.60 ≤ Z ≤ 1.67} = P{-∞ < Z ≤ 1.67} - P{-∞ < Z ≤ 0.60} =

= 0.95254 - 0.7257 = 0.2268

Lezione 3

28

Richiamiamo le identità |X - b | ≤ c = -c ≤ X-b ≤ c = b-c ≤ X ≤ b+c

|X - b | ≥ c = (X-b ≥ c)∪(X-b ≤ -c) = (X ≥ b+c)∪ (X ≤ b-c)

Esempio Supposto che il fenomeno X si distribuisca come una v.c. Normale con media � e varianza �2 qualsiasi, calcolare (a) P{|X - μ | ≤ σ } (b) P{|X - μ | ≤ 2σ } (c) P{|X - μ | ≤ 3σ } (a)

P{|X - μ| ≤ σ}= P{μ−σ ≤ X ≤ μ+σ} =

= P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−σ+μ

==σ

μ−σ−μ Z = P{-1 ≤ Z ≤ 1} =

= 2P{-∞ < Z ≤ 1} - 1 = 2×0.8413 - 1 = 0.6826


29

(b)

P{|X - μ| ≤ 2σ}= P{μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ} =

= P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−σ+μ

==σ

μ−σ−μ 2Z2= P{-2 ≤ Z ≤ 2} =

= 2P{-∞ < Z ≤ 2} - 1 = 2�0.97725 - 1 = 0.9545

Lezione 3

30

(c) P{|X - μ| ≤ 3σ}= P{μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ} =

= P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−σ+μ

==σ

μ−σ−μ 3Z3 = P{-3 ≤ Z ≤ 3} =

= 2P{-∞ < Z ≤ 3} - 1 = 2×0.99865 - 1 = 0.9973


31

Vogliamo individuare la costante a di modo che, fissato, α sia

P{|X - μ| ≤ a} = α

P{|X - μ| ≤ a}= P{μ-a ≤ X ≤ μ+a} = ∫+μ

−μ

a

a

f(x)dx = α

α = P{|X - μ| ≤ a}= P{μ-a ≤ X ≤ μ+a} =

= P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σμ−+μ

==σ

μ−−μ aZa= P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ==

σ− aZa

= 2P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ==

aZ0

da cui

Lezione 3

32

P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ≤≤

aZ0 = 2α

che è equivalente a

P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

σ≤≤∞−

aZ = 2α

+ 0.5

Dalla tavola della standardizzata, in corrispondenza di α* = 2α

+ 0.5, si ricava il valore zα ≈ σa

e quindi a ≈ zασ.

Esempio Supponiamo che sia X~N(μ, 4) e si voglia individuare la costante a per cui risulti

P{|X - μ| ≤ a}= 0.65

In questo caso si ha α* = 0.652 + 0.5 = 0.825. Il valore più vicino ad α* riportato nella tavola della Normale

standardizzata è 0.8238 in corrispondenza del quale si ha zα= 0.93 e quindi risulta

a ≈ 2 (0.93) = 1.86.


33

una qualsiasi combinazione lineare di Normali indipendenti si distribuisce ancora come una v.c. Normale Xi~N(μi, σ2

i ), i=1,2,...,k, indipendenti, la nuova v.c.

Y = co + c1X1 + c2X2 + ... + ckXk

è Normale con μy = co + c1μ1 + c2μ2 + ... + ckμk σ2

y = c21 σ2

1 + c22 σ2

2+ ... + c2k σ2

k cioè

Y ~N(co + c1μ1 + c2μ2 + ... + ckμk; c21 σ2

1 + c22 σ2

2+ ... + c2k σ2

k )

Lezione 3

34

LA V.C. CHI-QUADRATO

Siano date k v.c. normali standardizzate indipendenti:

Z1~N(0, 1), Z2~N(0, 1), ..., Zk~N(0, 1) Allora la nuova v.c.

Y = ∑=

k

1i

Z2i

è la v.c. Chi-quadrato con k gradi di libertà.

gradi di libertà = numero delle variabili - numero dei vincoli

La v.c. χ2k è continua in (0; +∞), la f.d. è

f(y) = )2/k(2

ye2/k

1)2/k(2/y

Γ

−−per y > 0

ove Γ(p) è detta funzione gamma


35

Γ(p) = ∫∞

0

xp-1e-x dx , per p > 0; Γ(p+1) = p Γ(p),

se p è un numero intero si ha

Γ(p) = (p-1)!; Γ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

21p = p

.....

2)1p2(531 −

π ;

Γ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛21

= π .

Lezione 3

36

Per quel che riguarda la media e la varianza della v.c. Chi-quadrato, ricordando che E(Z) =0, E(Z2) = 1, E(Z3) = 0, E(Z4) = 3, risulta

E(χ2r ) = E

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∑

=

2i

k

1i

Z = ∑=

k

1i

E[Z2i ] = k

var(χ2r ) = var

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∑=

2i

k

1i

Z = ∑=

k

1i

var[Z2i ] = 2k

possiamo così calcolare il momento secondo della v.c. χ2k ottenendo

μ2 = σ2 + μ2 = 2k + k2

γ1 = k8

> 0; γ2 = k

12> 0

X~χ2

k ; Y~χ2h allora V = X + Y ~χ2

hk+


37

T DI STUDENT Date le due v.c. Z~N(0, 1) ed Y ~χ2

k indipendenti

v.c. T di Student con k gradi di libertà è

T(k) = k/Y

Z=

k/

)1,0(N2kχ

La v.c. T di Student è funzione del solo parametro k e la sua f.d., si dimostra, è data da

f(t) = )k/t1()k

21(

)]1k(21[

k1 2+

Γ

+Γ

π-(k+1)/2 , - ∞ < t < ∞

Lezione 3

38

Quando è k=1 questa variabile casuale prende il nome di v.c. di Cauchy.

μr = E(T r) =

)21()k

21(

2/r )]rk(21[)]1r(

21[k

ΓΓ

−Γ+Γ se r è pari ed r<k.

σ2 =

2kk−

se k > 2; γ1 = 0 se k >3; γ2 = 4k

6−

>0 se k >4.

Questo vuole dire che la v.c. T di Student, oltre ad essere simmetrica, è sempre leptocurtica. Tenendo conto che

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ χ2

kk1

= 1k k =1; var ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ χ2

kk1

= 2k1

2k = k2

1k χ2k , al divergere di k all'infinito, assume il suo valore medio 1 con certezza. Ma allora per

T(k) = k/

)1,0(N2kχ

si ha

T(k) → N(0, 1), per ∞→k .


39

F DI FISHER

Date le due v.c. indipendenti X~2

)h(χe Y~

2)k(χ,

la nuova v.c.

k/Yh/XF =

è la. F di Fisher con h e k gradi di libertà e si scrive F~F(h,k).

F1 ~F(k,h)

e

Lezione 3

40

P{0 ≤ F(h,k) ≤ 1/Fo} = P{Fo ≤ F(k,h) ≤ +∞} per Fo > 0 Inoltre, la v.c. F di Fisher può essere considerata una generalizzazione della v.c. T di Student dato che si verifica facilmente, dalle definizioni delle due v.c., che se è X~T(k) risulta immediatamente

2

2k

2)k(

k/

)1,0(NT⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

χ= =

k/1/

2k

21

χ

χ~F(1,k)

f(F) = 2/)kh(

12/h2/h

)k/Fh1(

Fkh

k21h

21

)kh(21

+

−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Γ

per 0<F<∞


41

μr = E(Fr) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +Γ

k21h

21h

rk21rh

21k

r

r

per - 12 h < r < 12 k

da cui si ottiene:

μ = 2k

k−

per k > 2

var(F) =)4k()2k(h

)2kh(k22

2

−−

−+ per k>4

γ1 = 6k

)2kh2()2kh(h

)4k(8−

−+−+

−> 0 per k > 6

γ2 = 12[(k-2)2(k-4)+h(h+k-2)(5k-22)]h(k-6)(k-8)(h+k-2) > 0 per k > 8

F(h,k) → 2)h(h

1χ .

Lezione 3

42

V.C. LOGNORMALE La v.c. Y si distribuisce come una Lognormale con parametri (λ, δ) Più precisamente, data la v.c. X~LN(λ, δ) la nuova v.c.

Y = eX prende il nome di v.c. Lognormale con parametri (λ, δ)

f(x) = πδ 2x

1exp

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δλ−

−2)xlog(

21

, -∞<λ<∞, δ>0


43

μ = eλ e

δ2/2 ; σ2 = e2λ eδ2

(eδ2 - 1); γ1 = (e

δ2 + 2) 1e −2δ > 0; γ2 = e

4δ2+ 2e

3δ2 + 3e

2δ2 - 6 > 0.

La v.c. Lognormale è una v.c. sempre asimmetrica positiva e leptocurtica, si osservi che la distribuzione Lognormale è tanto più vicina alla simmetria ed alla mesocurtosi quanto più δ è piccolo.

Lezione 3

44

NORMALE DOPPIA La v.c. Normale doppia (X, Y) è definita sull'intero piano (x, y) ed è funzione dei cinque parametri:

μx, μy, σ2x , σ2

y , σxy

Di solito, per indicare che la v.c. (X, Y) si distribuisce come una Normale doppia si usa la notazione seguente:

(X, Y) ~N2(μx, μy, σ2x , σ2

y , σxy)

(X, Y) ~N2(μ; Σ ); ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μ

μ=μ

y

x, ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ

σσ=Σ

yxy

xyx

f(x,y) = 2

yx 12

1

ρ−πσ σexp

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

σ

μ−+

σ

μ−

σμ−

−σ

μ−

ρ−− 2

y

2y

y

y

x

x2x

2x

2

)y(yxr2

)x(

)1(21

• Ogni combinazione lineare di una Normale doppia è ancora una normale; • Ciascuna marginale di una normale doppia è una normale semplice: X~N(μx, σ

2x ) Y~N(μy, σ

2y ).


45

μx = μy =0, σ2x =1, σ2

y =2, ρ =0.5 μx = μy =0, σ2x =1, σ2

y =2, ρ = 0

μx = μy =0, σ2x = σ2

y =2, ρ =0.5

Lezione 3

46

Data la v.c. (X, Y) Normale doppia, condizione necessaria e sufficiente perché X ed Y siano indipendenti è che sia ρ = 0.

l'indipendenza è equivalente all'incorrelazione

(X|Y=y)~N⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

σ

σ−σμ−

σ+

σμ 2

y

2xy2

xy2y

xyx ),y(

(Y|X=x)~N⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

σ

σ−σμ−

σ+

σμ 2

x

2xy2

yx2x

xyy ),x(

La media della v.c. condizionata (Y|X=x) è una retta:

μy|x = μy + )x( x2x

xy μ−σ

σ= ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

σ

σ−μ x2

x

xyy + 2

x

xy

σ

σx = βo + β1x

μx|y = μx + )y( y2y

xy μ−σ

σ= αo + α1y

La densità della normale doppia ha un unico massimo per (x, y) = (μx, μy) ed è costante sull'ellisse con centro in


47

(μx, μy)

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

σ

μ−+

σ

μ−

σμ−

ρ−σ

μ−2y

2y

y

y

x

x2x

2x )y(yx

2)x(

= c

ove si è supposto che fosse σxy > 0.

• X-Y ~ N(μx - μy; σ2x + σ2

y +2σxy)

• X+Y ~ N(μx + μy; σ2x + σ2

y +2σxy)

• se è μx=μy=0 si ha 2xy

2y

2x

1σ−σσ

[X2σ2

y - 2 XYσxy + Y2σ2

x ] ~ χ22

Lezione 3

48

ALCUNE LEGGI DI CONVERGENZA Data la successione di variabili casuali indipendenti

X1, X2, …, Xn,…≡ {Xn} con

μ1, μ2, ..., μn, ....

σ21 , σ2

2 , ...., σ2n , ....

e consideriamo la v.c. media

n_X = ∑

=

n

1jn1

Xj

Visto che le Xi sono indipendenti, segue

E(_Xn) = ∑

=

μ

n

1jjn

1≡ μ

(n)

Var(_Xn) = ∑

=

σn

1j

2j2n

1

Nel caso particolare in cui è


49

μ1 = μ2 = … = μn = … = μ

σ21 = σ2

2 = … = σ2n = … = σ2

si ha

E(_Xn) = μ; Var(

_Xn) =

n

2σ

Definizione La successione di v.c. {Xn} converge in probabilità o debolmente a X

∞→nlim P{|Xn - X| < ε} = 1; per ogni ε > 0

si scrive

∞→nlim Xn = X; Xn

P→X

Lezione 3

50

Definizione La successione di v.c. {Xn} converge in media quadratica a X

∞→nlim E[(Xn - X)2] = 0

Xn .m.q

→ X La convergenza in media quadratica implica quella in probabilità. Se

∑=

∞→

n

1j2n n1lim σ

2j = 0

allora _Xn - μ(n)

P→0

Data la successione di v.c. {Xn}, nel caso particolare in cui risulti E(Xi) = μ, allora

_Xn - μ

P→0

Se g(. ) è una funzione continua e se Xn P→X allora

g(Xn) P→g(X)


51

Definizione Convergenza in distribuzione o in legge ad X se

∞→nlim Fn(x) = F(x)

Xn L→X

in ogni punto di continuità di F(x). (a) F(x) viene detta la distribuzione asintotica della successione. (b) La convergenza in probabilità implica quella in distribuzione. In generale, non è vero il viceversa. (c) I due tipi di convergenza si equivalgono se X è una v.c. degenere:

Xn P→c ⇔ Xn

L→c

(d) Se g(. ) è una funzione continua e se Xn L→X allora

E[g(Xn)] ⎯→ E[g(X)]

Definizione La successione di v.c. {Xn} converge uniformemente in distribuzione alla v.c. X se

xnsuplim

∞→|Fn(x) - F(x)| = 0

Se {Xn} converge in distribuzione a X e se la funzione di ripartizione di X è continua allora la convergenza è uniforme.

Lezione 3

52

Altri risultati: (a) date le due successione di v.c. {Xn} ed {Yn}, se

|Xn-Yn| P→0; Yn

L→Y

allora

Xn L→Y

(b) Date le due successioni di v.c. {Xn} ed {Yn}, se

Xn L→X; Yn

P→0

allora

Xn Yn P→0

(c) Date le due successioni di v.c. {Xn} ed {Yn}, se

Xn L→X; Yn

P→c

allora

Xn + Yn L→X + c; Xn Yn

L→Xc

IL TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE


53

Data la successione di v.c. indipendenti:

X1, X2, ..., Xn, ...

con medie finite e varianze finite e strettamente positive. Consideriamo la standardizzata

Zn = )X...XXvar(

)X...XX(E)X...XX(

n21

n21n21+++

+++−+++=

= 2n

22

21

n21n21

...

)...()X...XX(

σ++σ+σ

μ++μ+μ−+++

si dimostra che Zn converge in distribuzione alla v.c. Normale standardizzata per n→∞:

Zn L→N(0, 1).

Per n finito ma grande si avrà

Zn ≈ Z ~N(0, 1)

Lezione 3

54

che equivale a

2n

22

21

n21n21

...

)...()X...XX(

σ++σ+σ

μ++μ+μ−+++≈ Z

da cui si ricava

(X1 + X2 + ...+ Xn) ≈ (μ1+ μ2+ ...+ μn) + 2n

22

21 ... σ++σ+σ Z

Ma al secondo membro dell'ultima espressione vi è una trasformazione lineare di una Normale standardizzata che, come sappiamo, è ancora una v.c. Normale e precisamente:

(X1 + X2 + ...+ Xn) ≈ N[(μ1+ μ2+ ...+ μn); (σ21 + σ2

2 + ...+ σ2n )]


55

Esempio

χ2k ≈ N(k, 2k)

Lezione 3

56

Per Np > 20 ( oppure p ≈ 0.5) possiamo utilizzare il teorema limite centrale ed ottenere l'approssimazione

B(N, p) ≈ N(Np, Np(1-p))

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