Lezione m.

24( martedi

,26 gennsio 2015 )

Legametra value atteso e rauanza oh '

uua geuezicavariable casual : la disuguagliauza di Gbiar

Combination linear olive .moxemali

V . c. doppie discrete : distribution dipobabilitacongiuuta, marginal eonolizienate . Valone attest

e variauza della distribution marginal e delledistribution condition ate

Jnolipehdeuza tea le components' di aware . doppia .

Interpretation probabilistic a dell ' india Ks

V . C . 06ppie umgiuute : Anniablefuuzioni di den si tai

Gngiuutd , marginal e condition ate.Valere altes

evazianza delle distribution marginal e delledistribution conditional .

Graziano e omelazi one

Media e variant della combinationlinear di due raridbili casual's

Media e vouauza della combination linearoh '

m genocide varisbili casual

TEOREMA Dl CEBKEV ~ > legame the value altes/o oksuguaglianza ) e vaziauza oh '

una v .c .X

t

gData una generics v. a X

,di

C Cui si ouosce Mx e I laGnosceiobflse )

potrei area il blow di sufuagliauzafozuisce un value

Gatto appussimato perla pub .

oh'

osserrarerabui in [ µ - A ,µtD ]

#µ . s µ µ+s*=D

µ .

sexeM + D iinutfeawb -

DeX -

nets:tat. rispetto

all ' interval ( X - µ, + A

z{xvz . s

linksG Twentez . in value dssoluto

÷µ . s µ is

x.-2 D

( X <µ . s ) u ( × > µ + S ) - yiwtuv. esteem

L

(( X -

M < -D) v ( X -

µ > + D)

YETIS ] Hui > s

D= K or ] - > l ' intervals view Gstrnito

f Gusideeamb un S proportionatetattoo oh

'

proportionatealla voiabilito ' oh . X

( K > o )

FORMULAZIONEINTERVALLOINTERNO ] P ( I XVII Kr ) >

,1

- 1µg

FORMVLAZIONEINTERVALLOESTERVO ] P ( IX -

µ/ > Kr ) < les

La olisuguagliouza e- definite peek >o ma fozuisce

into Zmazioni utili solo a paztiu da K > 1

¥34#t€o7#idstfenvju 1 0.25 0,11 0,06

FORM ULAZIONE

INTERVAKOINTERNO ] P( I X -

µ ItEr ) z 1- 1µg

⇐' violent per or

P(

1×81a k ) >

.'

- te.

Z

FORMULA ZONE

INTERVALLOESTERVO ] P ( IX -

µ/ > Kr ) < les

⇐×t#> k ) < theZ

Esempio Sia X una ✓ . a . per cui :

µ×= 33 e D= 16

@ P ( 23 < X = 43 ) D/u

P( 33 - so = X = 33+10 )w w w

µ Usµx S

D= K - = 10 =) K = 1£ = 7=2,5

P(iI¥ui ) >.

'- ÷#= an

DIMOSTRAZIONE

#µ- Kr µ µ

+ Kr @Senza perolita oh ' general ' tai on sideman il Caso di

X discrete ; ihkchizm on f Cn ) lzomispohleute fun-

zone oh ' probability fcn ) = PCX = n ) .

Part iziomizmo il support R mei due sottoiusiemi :

A = { n : 1 n - ml > Ka } e I = { n : I ntul ± Ka ]

I = E[ ( X -my ] = Eten-µP ffn ) =

= §j ( n tux )2f Cn ) t Egg 1 n -µ×)2f Cn )

⇒ £ >. Izacnndifcn ) fmnhdobbtenhf,6IYntFnE; -

zizmente 2 oh '

esb

a z £.

( ntupfcn )

⇐Texts

Dalla definition dell ' iusieme A so he .

.

A = { n : 1 × - Al >*v

sostituaob Koa 1 Xtux )

la disuguzglizuza sqoza rah

yarcs P#A)=P( lxtul > Kr )

T 2 £a ( Kapfer ) = K 's tffcn )⇒ ,¥b>

. y¥¥P(lxtubkd ] and.

V. C.

DOPPIE

Y

i⇐• cngyil!=i × R

'

v .c . discrete : se XEY some discrete

V.c. continue i se Xe Y some continue

✓ .c . Miste : le due component sob oh'

nature different

v1

÷yjycHe tsz 1212 - - - 1~1j - - - Msc Tls .

Hz 1222 Tlzz - - - T22j - - - -

122<122.

×{ :mftenliiitio. .fiefdom,!!nnnlniitinsd.k÷-

12.1 12.2 - - - p•j -- - p•c / 1

pij=P[ ( ×=ni ) n ( Y=y ;) ] = f ( niiyj ) MobiLink• pij 2 °

• ?fp = s ] dtfionsshaipssjqaoh ' ohistribuzioueoh ' pubabililz

÷yjyHe psr per - - - Has

'

- - - Msc As . X|Y=@Hz 1222 Tlzz - - - Tlrj - - - - Tlzc 122 .

afterlife!

.

.sk/dn.sei#tLEesY@: : pup . ;|

'

siottieue nrkm ¥r

.

hifn;'T

.

Hutn

.

dividend=

assume alla per poos 12.2 - - - p•j -- - p•c / 1

trioDistribuz

.

marginality ti•=P(X=n ;) =

= P([X=ninY=y<]U[X=n ; nY=y .] U

. . - - U [

to j =P ( Y = yj ) =

=P [ ( X=n , n Y= yj ) U ( X=n< n Y= yj ) v.- . . .

U ( X= nr n Y=yj) ]=

= ⇐,

this

Posso calcokre media , varianza,

asimmetie , ecc .

per le distribute. marginal e per le diski bus

.owkzionate

usawb le Steve formula in Twobtte pa le re . mi vans te

X 1 Y = Tj ( j = 1,

. . - , c)P ( X = ni 1 Y = yj ) = P(X=ninY=y=

PCY = y ; )=tiji= s

, - - r 12 • j

Y I X = ni ( i = I, -

- -

,r )

P ( Y = yj I X= ni ) = P(Y=yjnX=ni)_=trijj

= I, - , c

P ( X a ni ) pi •

Per cake lace mealie e vazieuze delle oh 's kits . aohiziouate

obbbiam usare quester pobabilits ( e non quelle in tabella )1✓

anabgia on tebelle

profiling a e putili obnne

Jnolipudeuzz Ka le component XEY oh ' 1 × , y )

P ( X= ni 1 Y = y ; ) = PC X=n ; ) =p ... Fi, j

P ( Y = yj/ X= n , ) = PC Y= yj ) =p . ;

Fi, j

^"v

P[ ( ×= ni ) n ( Y=y ; ) ] = PCX = n ; ) PCY = yj ) Fi, j

ij = tri . 12 . j

interpretation probabilisticiulia X 2

V.c. deppia continue

fcoe, y ) fuuz

.

deuwtdgdoppiaan, y )v awlasmpeawkgopubabilihi | TY

• fcse , y ) 20

•

.

.§ :{ Fernand ,.is/#>✓

es : lave .

Moemdlevolume =L doppid

Date other .c . XEY :

Grlx ,Y)=E[ CX- µ ) ( Yu , ) ]to

*Y sow discreteX : wtinue

.⇐÷3,Hiter )( yjtu ; )p( ni ,y ;) t

- alleammepij sostituiduogli

11 integral calls

ftp.E.niyjpij - µ×µu ,tlniiyj )

sostituiamleflni ,y ;)

MEMO INTERPRETAZLONE

%,

> 0 oucoulauza

% ,< 0 - > oliscoulauzt

ATEN 2- IENE %y=0 ¥ ihlipeudeuza⇐

× euza legame lineare

fxu,

=6rC#- I ± lx ,

± +1a a

, m perfettiPerfetti legame began linen

linear inverse dinette

V. c. MULTIVARIATE

Une m - pea di ✓ .c .

( Xe , Xs , . - . . .

Xm )

ustituisa una ✓ . a.

m - rarizta ( le Xi posse he essere discrete)\ O continue

INDIPENDENZA

↳ f ( ns , nz , . . . , nn ) = ffndfxfns) . . .fxfnn )

-fanzine di pubabilita proietto delle m fuuzioni dio di den site ungiuuts probability o di den site associate

Ile single component ( lemargincowlizione oh ' iwlipenoleuzc

COM BINAZIONE L ) NEARE Dl DUE VARIABKI CASU All

Siano X e Y due generic,he v. c .

X - Mx y - My

Lax he I.

Si olefin is a cowbinaz . linen oh ' ( X ,Y ) und fanzine Wi

w = a X tbY

⇒si della combination

Due particular combination

• a =b= I ns W = XTY Somme delle due v. a.

• a = b= 12 - > W= XI media delle due ✓.

c.

2

ECW ) =µw = a µ× t by ,la media della combinationline are e Pari alla combinationlineore delle due media

C Aso SOMMA

µw=µ×+µy CASO MEDIA ~> µ w = µ×+µ=2

Vaz ( w ) = E = IE +52,

+2 a boy ,

¥se X e Y some ink pendent

Gnsideiizmo sic X he Y come v. c. discrete ( per semplicita )• µw=ECw ) = tzwpcw ) =

= IF ( anitbyj ) w(X=ni , Y=yj ) =

÷ij- -=•.IM#dnipi;t[ZZ€yjpi ;

=

run= atznitfpi ; t b § yjtzpij =

wetC MY

= a µ× + bµY cv .ol .

• oew = Vazcw ) = Iw ( w - few)-

p ( w ) =

= I ,E[( anit by;) - latex + BMY )]&p(X=ni ,Y = y ; )

= IF Xani- aµDtHy; - bµ , ) ] '

pi,=1#=IEG [a ( ni -µ ) + b ( yj

fix ) ]-

pij =

=#fEY#pp t.IE?lsIpniit~- [ Eg 2 ab ( nitux ) / yj -

µ a ) pij

an a= as § ( ni -y×P§pij t 5§(yjTuP§ pij +

"i • too j

+2 ab ¥ Egtnitux ) ( yj -

My ) pij =

÷,

= at &,this

,+ 2 ab % ,

Esenpio a =b= 1 Iv = &,

+ &,

t 2%,

tsceglieiob component Xe Y invusa . principio alla base dellemeuteorreldte si ottieue and [ diversification del his chindiminution melee varies

.oh ' W

COMBINAZIONI LINE ARI Dl m VARIABKI CASUAL I

Siano

Xr , Xz , . . . . ,Xn EC Xi )=µi

naeiaer.ctaea@ogxxHIImiIiinnsidefinisq6mbinaziomelinesudellemv.c.lafuuziomeW-a.XstzXzt.a.t

an Xn = t€,

ai Xi- - -

*si

ECW )=µw= ⇐, aim ;

la media della combination linearI la combination linear delle me die

vaacw ) = I = I,

a :& t.IE . aia ; To