23_esempi Ed Esercizi Riassuntivi

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n Lezione: 23 Titolo: Esempi ed esercizi riassuntivi

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 23 Esempi ed esercizi riassuntivi.

Nucleo tematico Lez. Contenuto

6 23 Esempi ed esercizi sullapplicazione delle Equazioni Cardinali della Statica, del principio dei Lavori Virtuali, sul tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, sul tracciamento della linea delle pressioni.

In questa lezione vengono svolti alcuni esempi riassuntivi relativi agli argomenti fin qui trattati. Soluzione dellesempio 22.2 Linea delle pressioni

Si considera inizialmente la struttura soggetta alle risultanti dei carichi distribuiti applicati alle aste AG e GB (figura 23.1). Le reazioni dei vincoli esterni sono evidentemente le stesse che si hanno per la struttura data.

La linea delle pressioni relativa al tratto DE la retta r orizzontale per D in quanto questa la retta di azione della reazione del carrello D. La linea delle pressioni relativa al tratto CE la retta s verticale per C in quanto questa la retta di azione della reazione del carrello C. Il doppio pendolo B esercita sul tratto BF una reazione avente retta di azione orizzontale; per equilibrare le reazioni dei carrelli D e C questa reazione deve passare per il punto intersezione tra r ed s e quindi deve passare per il punto E. La retta r orizzontale per E quindi anche la linea delle pressioni relativa al tratto BF. Immaginando poi di percorrere il tratto BG da B verso G non si incontrano forze fino al punto M; la retta r quindi la linea delle pressioni anche del tratto BM (figura 23.1).

Figura 23.1.

La linea delle pressioni relativa al tratto AN la retta di azione

della cerniera A; questa pu determinarsi con il procedimento grafico

1

2

A

B D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F

G

3qL/2

qL

r M

N

s

Q Q RA

RB

3qL/2 qL t

H

u


Pagina 2/22



descritto nella lezione 12 (esempio 12.1) e riassunto in figura 23.1. Si identifica cos la retta u come linea delle pressioni relativa al tratto AN. Immaginando ora di percorrere lasse della struttura procedendo da A verso F, le forze che precedono una qualunque sezione del tratto NM sono la reazione della cerniera A e la forza 3qL/2; la retta di azione della risultante tra queste due forze la linea delle pressioni relativa al tratto NM. Questa retta passa per il punto intersezione J tra la retta u (retta di azione della reazione del vincolo A) e la retta di azione della forza 3qL/2 (figura 23.2).

Figura 23.2.

Daltra parte, immaginando di percorrere lasse della struttura procedendo da F verso A, le forze che precedono una qualunque sezione del tratto NM sono la reazione del doppio pendolo B e la forza qL; la retta di azione della risultante tra queste due forze la linea delle pressioni relativa al tratto MN. Questa retta passa per il punto intersezione Q tra la retta r (retta di azione della reazione del vincolo B) e la retta di azione della forza qL (figura 23.2). Siccome la linea delle pressioni relativa al tratto NM una retta (la struttura stata considerata soggetta solo a forze concentrate) si conclude che detta linea delle pressioni, dovendo passare per J e per Q la retta w contenente il segmento JQ. Le rette che costituiscono la linea delle pressioni nel caso di applicazione delle risultati dei carichi distribuiti sono quindi riassunte in figura 23.3.

Figura 23.3.

1

2

A

B D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F

G

3qL/2

qL

r M

N

s

H

u J

Q

w

1

2

A

B

D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F

G

3qL/2

qL

r M

N

s

H

u J

Q


Pagina 3/22



Passando ora al caso della struttura alla quale sono applicati i carichi uniformemente distribuiti si riconosce che le linee delle pressioni relative ai tratti in cui non sono applicati carichi distribuiti sono le rette gi determinate. Le linee delle pressioni dei tratti AG e GB cui sono applicati i carichi uniformemente distribuiti hanno invece forma parabolica per la costanza dei carichi applicati, come mostrato nella lezione 19. Relativamente al tratto AG, assunta unascissa z sul tratto AG con origine in A ed un asse delle ordinate y come in figura 23.4, la linea delle pressioni deve passare per A, essere tangente alla retta u nel punto A (in quanto la retta di azione delle forze che precedono detta sezione la retta di azione u della reazione del vincolo A) e deve essere tangente alla retta w per z = 3L/2 in quanto w la retta di azione della risultante delle forze che precedono la sezione G.

Figura 23.4.

Queste considerazioni consentono di tracciare qualitativamente la parabola p1 che costituisce la linea delle pressioni del tratto AG (figura 23.5).

Figura 23.5.

Relativamente al tratto GB, assunta unascissa s sul tratto GB con origine in G ed un asse delle ordinate y come in figura 23.6, la linea delle pressioni deve essere tangente alla retta r in corrispondenza dellordinata di B (in quanto la retta di azione delle forze che precedono detta sezione la retta di azione r della reazione del

1

2

A

B

D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F G

3qL/2

qL

M

N

u

w

z

y

p1

1

2

A

B

D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F G

3qL/2

qL

M

N

u

w

z

y


Pagina 4/22



vincolo B) e deve essere tangente alla retta w per s = 0 in quanto w la retta di azione della risultante delle forze che precedono la sezione G.

Figura 23.6.

Queste considerazioni consentono di tracciare qualitativamente la parabola p2 che costituisce la linea delle pressioni del tratto AG (figura 23.7).

Figura 23.7.

Le rette e le curve che costituiscono la linea delle pressioni per la struttura in esame sono riassunte in figura 23.8 ed in tabella 23.1.

Figura 23.8.

1

2

A

B

D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F

G

3qL/2

qL

r M

N

s

u

w

p1

p2

1

2

A

B

D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F G

3qL/2

qL M

N

w

y

2

r

p2

1

2

A

B

D

C

L L L

L/2

L/2

L/2 E

F G

3qL/2

qL M

N

w

y

s

r


Pagina 5/22



Tratto Linea delle pressioni

AG parabola p1 GB parabola p2 BE retta r ED retta r CE retta s

Tabella 23.1.

Queste linee consentono di prevedere che:

- lasta CE soggetta solo a sforzo normale; - lasta ED soggetta solo a sforzo normale; - lasta BF soggetta solo a sforzo normale ed a momento flettente,

essendo questultimo costante; - le aste AG e GB sono soggette a sforzo normale, momento

flettente e taglio.

Volendo determinare e equazioni che nei riferimenti assunti descrivono le parabole p1 e p2 possono imporsi le condizioni di passaggio e di tangenza sopra descritte. Assunta per la parabola p1 la forma generale

( ) czbzazy 2 ++= (e.2.1) i coefficienti a, b e c si determinano imponendo le condizioni (figura 23.4)

( ) 00y = ( ) == tandzdy0'y

0

==

tan

dzdyL

23'y

L23

(e.2.2)

di queste condizioni la prima impone alla parabola il passaggio per A, la seconda impone alla parabola la tangenza alla retta r in A e lultima impone alla parabola la tangenza alla retta w per z = 3L/2, essendo e gli angoli indicati in figura 23.4 ed in figura 23.5. Questi angoli possono determinarsi con le considerazioni geometriche di figura 23.9. La lunghezza del segmento HW

4LHW = (e.2.3)

per la similitudine tra il triangolo HWZ ed il triangolo rettangolo relativo alla composizione delle forze 3qL/2 e qL si ha

L83HW

23WZ == (e.2.4)

quindi

8LL

83

2LWZNZNW === (e.2.5)

e quindi si ha


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81

L1

8Ltan == (e.2.6)

Il segmento NW1 ha lunghezza

L323tanL

43NW1 == (e.2.7)

quindi il segmento H1Z1 ha lunghezza

L3213

32L3

2LZH 11 == (e.2.8)

Infine considerando il triangolo W1H1Z1 si trova

( ) 813

L4L

3213

WHZHtan

11

11 === (e.2.9)

avendo considerato che la lunghezza di H1W1 la stessa di HW.

Figura 23.9.

I coefficienti a, b e c si trovano quindi risolvendo il sistema

( )( )

=+=

==

==

813bL

23a2L

23'y

81b0'y

0c0y

(e.2.10)

dal quale si ottiene

L L L

L/2

L/2

L/2

qL

H1 3qL/2 Z

W1

3qL/2

qL N

Z1

H

3qL/2 Z W

3qL/2

qL

qL N

L L L

L/2

L/2

L/2


Pagina 7/22



L21a =

81b = 0c = (e.2.11)

e lequazione della parabola

z81z

L21y 2 = (e.2.12)

Assunta per la parabola p2 la forma generale

( ) csbsasy 2 ++= (e.2.13) i coefficienti a, b e c si determinano imponendo le condizioni (figura 23.6)

( )2LLy = ( ) 0

dzdyL'y

L

== ( )

===tan

1tandzdy0'y

0

(e.2.14)

di queste condizioni le prime due impongono alla parabola la tangenza alla retta r in corrispondenza dellordinata relativa al punto B e lultima impone alla parabola la tangenza alla retta w per s = 0, essendo langolo indicato in figura 23.6 ed in figura 23.7. I coefficienti a, b e c si trovano quindi risolvendo il sistema

( )( )( )

==

=+=

=++=

138b0'y

0bLa2L'y2LcLbLaLy 2

(e.2.15)

del quale si ottiene

L134a =

138b = L

2621c = (e.2.16)

e lequazione della parabola

L2621s

138s

L134y 2 += (e.2.17)

Si osserva che le equazioni delle parabole (e.2.12) ed (e.2.17) avrebbero potuto ottenersi con lequazione differenziale (e.5.7) della lezione 19, cio

( )z''yHq

= (e.2.18)

Essendo H la componente della sollecitazione ortogonale alla direzione del carico (si ricordi la dimostrazione della (e.2.18) vista nella lezione 19). La valutazione di H per le diverse aste richiede la determinazione delle reazioni vincolari. Sfruttando i risultati ottenuti


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nella lezione 12 e riassunti in figura 23.10 evidente che relativamente alle aste AG e GB deve assumersi rispettivamente

qLHAG = qL813HGB = (e.2.19)

Si pu verificare che le equazioni (e.2.12) ed (e.2.17) soddisfano la (e.2.18) con i valori di H dati dalla (e.2.19). Infatti, relativamente alla (e.2.12) e cio allasta AG si ha

( )L1

dzydz''y 2

2

== L1

Lqq

HqAG

== (e.2.20)

Mentre, relativamente alla (e.2.17) e cio allasta GB si ha

L13

8ds

yd)s(''y 22

== L138

Lq8

13q

HqGB

== (e.2.21)

Figura 23.10.

Diagrammi delle sollecitazioni

Considerando i diagrammi di corpo libero e la linea tratteggiata di figura 23.10, relativamente ai vari tratti costituenti la struttura pu affermarsi quanto segue.

Tratto AG.

- Lo sforzo costante e vale qL.

1

2

A

B

D

C

qL/8

qL

13qL/8

B 13qL/8 13qL/8

13qL2/16 13qL2/16

L/2

L/2

L/2

G F

E

L L L

1

A qL/8

qL

13qL/8

B 2

C

E

q q

q q

G F

M N

T

M

T

N M

N

T

M T

N

M

N

T M

T

N


Pagina 9/22



- Il taglio varia linearmente tra il valore qL/8 nella sezione A ed il valore -13qL/8 nella sezione G; evidentemente quindi il taglio non si annulla lungo lasta AG.

- Il momento flettente ha forma parabolica; nullo nella sezione A e vale

22

G Lq1621L

23

2qL

23

8LqM =

= (e.2.22)

nella sezione G; essendo il taglio sempre negativo lungo lasta AG il momento flettente deve essere una funzione decrescente lungo questa asta (si ricordi il legame tra la funzione taglio e la derivata della funzione momento);

Tratto GB.

- Lo sforzo normale costante e vale -13qL/8. - Il taglio varia linearmente tra qL nella sezione G e zero nella

sezione B. - Il momento flettente ha forma parabolica; nella sezione G ha il

valore gi determinato; nella sezione B pari a -13qL2/16; essendo il taglio positivo lungo lasta GB il momento flettente deve essere un funzione crescente lungo questa asta; inoltre siccome il taglio si annulla nella sezione B la parabola che descrive il diagramma del momento ha il vertice in corrispondenza della sezione B in quanto in detta sezione la derivata della funzione momento deve essere nulla.

Tratto BF.

- Lo sforzo normale costante e vale -13qL/8. - Il taglio nullo. - Il momento flettente costante e vale -13qL2/16.

Tratto EF

- Lo sforzo normale nullo. - il taglio costante e vale 13qL/8. - Il momento flettente varia linearmente tra -13qL2/16 nella sezione

F e zero nella sezione E.

Tratto ED

- Lo sforzo normale costante e vale -13qL/8. - Il taglio nullo. - Lo sforzo normale nullo.

Tratto CE

- Tutte le caratteristiche di sollecitazione sono nulle.


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Si hanno quindi i diagrammi di figura 23.11.

Figura 23.11.

1

2

A

B

D

C

qL/8 qL

B 13qL/8 13qL/8

13qL2/16 13qL2/16

G F

E

q q

r

s

w

p1

u

13qL/8

qL

13qL/8

13qL/8

-

-

- N

q q

L

L/2

L/2

L/2

L L

qL/8

13qL/8

qL

13qL/8 -

+

-

T

q

q

13qL2/16 21qL2/16

-

-

-

M

q

q

Scala per lo sforzo normale ed il taglio qL

Scala per il momento flettente qL

2


Pagina 11/22



LEZIONE 23 Sessione di studio 1 Esempi ed esercizi riassuntivi. Sono proposti nel seguito tre ulteriori esempi. Si consiglia al lettore di risolverli autonomamente e di confrontare i risultati ottenuti con le soluzioni descritte nella prossima sessione di studio. Esempio 23.1

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione della struttura di figura 23.12.

Figura 23.12.

Esempio 23.2

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione della struttura di figura 23.13. Si determini inoltre il momento flettente nella sezione C dellasta BD ed il momento flettente massimo nei tratti BC e CD.

Figura 23.13.

1 2

3

4

L L/2 L/2 L

L

q

A

B C D

E

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3 D

L

M


Pagina 12/22



Esempio 23.3

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione della struttura di figura 23.14.

Figura 23.14.

1

2

A

B

C

3

D

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

E

G

4

F


Pagina 13/22



LEZIONE 23 Sessione di studio 2 Esempi ed esercizi riassuntivi. Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nella precedente sessione di studio.

Soluzione dellesempio 23.1 Le reazioni vincolari della struttura di figura 23.12 sono state

determinate nella lezione 12 e sono riassunte nel diagramma di corpo libero di figura 23.15.

Figura 23.15.

Applicando i procedimenti visti si trovano la linea delle pressioni e i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione di figura 23.16 e di tabella 23.2.

Figura 23.16.

Scala per lo sforzo normale ed il taglio M/L

Scala per il momento flettente M

M

M/L

+ T

M/2L +

-

M/L

M/2L +

L/2

L/2 r

s

t

1

2

A

B

C

3 D

M

L

M

M

M M/2

M/2

+

+ -

+ +

M

N -

M/2L

M/2L

+

M/L

+

M/L

-

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3 D

M

M/L M/L

M/L

M/L M/L

M/L M/2L

M/2L

M/2L M/2L

M/2L M/L

M/L M/L

M/2L M/2L

M/L M/2L

1

2

A

B

C

3 D A A

B

C


Pagina 14/22




BC retta r CD retta r AD retta s AB retta t

Tabella 23.2. Soluzione dellesempio 23.2

Le reazioni vincolari della struttura di figura 23.13 sono state determinate nella lezione 12 e sono riassunte nel diagramma di corpo libero di figura 23.17.

Figura 23.17.

Applicando i procedimenti visti si trovano la linea delle pressioni e i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione di figura 23.18 ed di tabella 23.2.

1 2

3

4

L L/2 L/2 L

L

q

A

B C D

E

2qL/3

5qL/6 5qL/6

4qL/3

1

A

B

qL/3 qL/3

2 B

D C 4

D

E

4qL/3

5qL/6 qL/3

5qL/6

5qL/6 qL/3

qL/3

qL/3

qL/2 qL/3

qL/3 qL/3

2qL/3

3

C qL/2 qL/3

qL/2 qL/3

A

qL/3 qL/2

5qL/6

qL/3

qL/3

q q


Pagina 15/22



Figura 23.18.


AB retta r BC parabola p1 CG parabola p2 GE retta s AC retta t

Tabella 23.3. Assunta unascissa z coincidete con lasse del tratto BG ed avente origine in B (figura 23.19), il taglio nella generica sezione z

q

N

-

qL/3

qL/3 -

-

qL613

5qL/6

-

4qL/

3

T -

qL/3

qL/3 + qL/6

qL/6

4qL/3

5qL/

6

-

-

M

- qL2/3

-

-

-

5qL2/6 +

1 2

3

4

A

B

C

D

E

r s

p1

p2

t

Scala per lo sforzo normale ed il taglio q/L

Scala per il momento flettente qL

2

q

q

q

L L/2 L/2 L

L

G


Pagina 16/22



Figura 23.19.

( )

+

=

3Lqzq

3Lq

zq3Lq

zT

se 2Lz0


Pagina 17/22



( )

=

6Lq

2zqz

3Lq2

2zqz

3Lq

zM 22

2

se 2Lz0

(e.4.5)

se L2z2L

<

Ricordando che nelle sezioni nelle quali la funzione T(z) nulla si ha la stazionariet di M(z) si deduce che relativamente ai tratti BC e CD il momento flettente massimo nelle sezioni z1 e z2 date dalla (e.4.3). In queste sezioni il momento vale

( )

( )18Lq

6Lq

18Lq4

9Lq4

6Lq

2zqz

3Lq2zM

18Lq

18Lq

9Lq

2zqz

3LqzM

2222222

22

22221

11

===

=== (e.4.6)

Il momento flettente nella sezione C si trova infine semplicemente calcolando la (e.4.5) per z = L/2, cio

( ) 222

C Lq241

8Lq

6LqLMM === (e.4.7)


Pagina 18/22



Soluzione dellesempio 23.3

Le reazioni vincolari della struttura di figura 23.14 sono state determinate nella lezione 12 e sono riassunte nel diagramma di corpo libero di figura 23.20.

Figura 23.20.

Applicando i procedimenti visti si trovano la linea delle pressioni e i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione di figura 23.21 ed di tabella 23.4.

1

2

A

B

C

3

D

E

G

4

F

B

C

D

E

6F

4F

4F

4F

10F

10F

10F

10F

4F 4F

4F 4F

4F 4F 5F

5F

5F

4F

1

2

A

B

C

3

D

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

E

G

4

F

6F

4F

5F

4F


Pagina 19/22



Figura 23.21.


AB retta r BC retta s CD retta s DE retta w EG retta u BE retta t

Tabella 23.4.

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3

D

E

G

4

F

r

s

t

u

F T

Scala per lo sforzo normale ed il taglio 10F

F N

-

+

-

4F 4F

4F

4F +

-

10F

- 6F

4F

+

+ 4F

-

-

5F +

4F

5F

F M

6FL

2FL

2FL

5FL/2 -

-

-

-

-

+

+

Scala per il momento flettente 10FL

w


Pagina 20/22



LEZIONE 23 Sessione di studio 3 Esempi ed esercizi riassuntivi. Sono proposti nel seguito alcuni esercizi la cui soluzione lasciata al lettore. Esercizio 23.1

Relativamente alla struttura di figura 23.22 (si osservi che la cerniera C posta tra lelemento DCB che un unico elemento rigido e lasta AC): - si determinino le reazioni dei vincoli esterni ed interni; - si traccino i diagrammi delle sollecitazioni; - si controllino per via grafica le reazioni vincolari calcolate; - si tracci la linea delle pressioni; - si calcoli lo sforzo normale nella sezione di mezzeria dellasta AB

con il Principio dei Lavori Virtuali.

Figura 23.22.

L

L

L

q A

B C

D


Pagina 21/22



Esercizio 23.2

Relativamente alla struttura di figura 23.23: - si determinino le reazioni dei vincoli esterni ed interni; - si traccino i diagrammi delle sollecitazioni; - si controllino per via grafica le reazioni vincolari calcolate; - si tracci la linea delle pressioni; - si calcoli il momento esercitato dallincastro con il Principio dei

Lavori Virtuali.

Figura 23.23.

Esercizio 23.3

Relativamente alla struttura di figura 23.24: - si determinino le reazioni dei vincoli esterni ed interni; - si traccino i diagrammi delle sollecitazioni; - si controllino per via grafica le reazioni vincolari calcolate; - si tracci la linea delle pressioni; - si calcoli il massimo momento flettente nellasta AB.

Figura 23.24.

L

L L L/2 L/2

q

A B

L/2 L/2 L/2

L/2

L/2

F


Pagina 22/22



Esercizio 23.4

Relativamente alla struttura di figura 23.24: - si determinino le reazioni dei vincoli esterni ed interni; - si traccino i diagrammi delle sollecitazioni; - si controllino per via grafica le reazioni vincolari calcolate; - si tracci la linea delle pressioni; - si calcoli la reazione del carrello con il Principio dei Lavori Virtuali.

Figura 23.25.

L

L L L/2 L/2

F

INCA10_0844A_2301Nucleo tematicoContenutoLez.




23_esempi Ed Esercizi Riassuntivi

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