22_Esempi Ed Esercizi Riassuntivi

7/25/2019 22_Esempi Ed Esercizi Riassuntivi

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 22Titolo: Esempi ed esercizi riassuntivi

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 22 Esempi ed esercizi r iassunt ivi .

Nucleotematico

Lez. Contenuto

6 22

Esempi ed esercizi sullapplicazione delle EquazioniCardinali della Statica, del principio dei Lavori Virtuali, sultracciamento dei diagrammi delle caratteristiche disollecitazione, sul tracciamento della linea delle pressioni.

In questa lezione vengono svolti alcuni esempi riassuntivi relativi agliargomenti fin qui trattati.

Soluzione dell esempio 21.6

Linea delle pressioni

Come gi discusso nella lezione 11 (esempio 11.6) la retta diazione r della reazione AR del carrello A verticale e passa per A;per lequilibrio dellintera struttura la retta di azione s della reazione ER della cerniera E deve passare per A e per il punto K, intersezione trala retta di azione della forza F e la retta r (figura 22.1).

Figura 22.1

(b)A

B D

E

r

s

t u

F

B D

C

tu

F

RB2 RD3

F

//t //u

F

RA RE

//r//s

F

GH

(c)A

B D

E

r

t u

F

B D

C

t

u

RARE

RB2 RD3

RB1

s

RD1

w

RA RB1

//w

GH

(d)A

B D

E

r

t u

FC

t

us

w

GH

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

(a)

F

A

B D

C

E

r

s

K

GH

1

2 3

1

2 3

1

2 3

1

2 3
mailto:[email protected]:[email protected]


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Le rette di azione delle reazioni delle cerniere interne B e D sono

invece le rette t ed u contenenti le aste BC e CD.Immaginando di percorrere lasse della struttura da A verso B

lunica forza che precede ogni sezione del tratto AB la reazione AR ,la cui retta di azione r la linea delle pressioni relativa a tale tratto.Immaginando poi di percorrere lasse della struttura da E verso Dlunica forza che precede ogni sezione del tratto ED la reazione ER ,la cui retta di azione s la linea delle pressioni relativa a tale tratto(figura 22.1a).

Per identificare le rette che costituiscono la linea delle pressionirelativa ai tratti BC, DC e BD conviene immaginare di separare

lelemento AGHE dagli elementi BC e CD, come mostrato in figura22.1b. Questa operazione si rende necessaria per il fatto che i trattiBC, DC e BD costituiscono una maglia chiusa e quindi, scelta unasezione non possibile identificare le forze che la precedono.Immaginando quindi di percorrere lasse dellasta BC da B verso C,lunica forza che precede ogni sezione del tratto BC la reazioneinterna 2BR esercitata calla cerniera B sullelemento 2, la cui retta diazione u la linea delle pressioni relativa a tale tratto. Unragionamento analogo fa concludere che la retta t la linea dellepressioni relativa al tratto CD (figura 22.1b). La linea delle pressionirelativa al tratto BD pu infine determinarsi immaginando di percorrerelasse della struttura da A verso D. In questo caso le forze cheprecedono una qualunque sezione del tratto BD sono la reazione AR e la reazione 1BR esercitata dalla cerniera B sullelemento 1; la retta diazione w della risultante tra queste forze la linea delle pressionirelativa al tratto BD (figura 22.1c). Questa retta passa quindi per ilpunto intersezione A tra u e r e la sua inclinazione pu determinarsiper via grafica avendo precedentemente determinato (sempre per viagrafica) le reazioni AR ed 1BR . La costruzione mostra che la retta w orizzontale. Ci si pu rendere conto del fatto che la forza 1BA RR + orizzontale anche pensando che, per lequilibrio dellelemento AGHE

questa forza deve costituire, assieme a E1D RR + un sistemaequilibrato. 1BA RR + ed E1D RR + devono quindi costituire una coppia dimomento nullo e cio avere la stessa retta di azione. Siccome

1BA RR + passa per A ed E1D RR + passa per E la retta di azione di1BA RR + ed E1D RR + non pu che passare per A ed E. Le rette che

costituiscono la linea delle pressioni della struttura di figura 21.28sono riassunte infigura 22.1d ed intabella 22.1.

Tratto Linea delle pressioni

AB retta r

BD retta w

DE retta sBC retta u

CD retta t

Tabella 22.1


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Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione

Per tracciare i diagrammi delle caratteristiche dellasollecitazione si sfruttano le reazioni vincolari gi determinate nellalezione 11 (esempio 11.6), riassunte infigura 22.2.

Figura 22.2

I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si tracciano con icriteri descritti relativamente agli esempi precedenti e sono riassunti infigura 22.3.

Figura 22.3

Scala per lo sforzonormale ed il taglio

F

A

B D

E

r

s

w

GH

FF/2 F/2

F

F F

F

t u

F

B D

C

F

F/2

F/2

F

s

A

B

D

E

C

G H

F

F

F/25 F/25

F

FF/2

N

-

+

+

-

-

A

B D

E

C

G H

F

F FF

T

- -

+

A

B D

E

C

G H

F

FLFL/2

M

-

-

Scala per ilmomento flettente FL

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

1

F

A

B D

C

E

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

F F

F

B

DF F/2 F/2

F

1

A E

F F

F

FC

F

F/2

F/2

FB D

G H G H

(a) (b)


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Pagina 4/25



Per la determinazione delle caratteristiche di sollecitazione dellediverse aste conviene, in questo caso, considerare lo schema difigura22.2b, in cui la struttura divisa in due parti in corrispondenza dellecerniere B e D. Ci in quanto la determinazione delle caratteristiche disollecitazione in una sezione richiede lidentificazione delle forze chela precedono, una volta stabilito un verso di percorrenza. Essendo lamaglia costituita dalle aste BD, DC e CB chiusa, scelta una qualunquesezione di queste aste non sono altrimenti identificabili le forze che laprecedono.

Lo sforzo normale dellasta BC pu semplicementedeterminarsi ricordando che questa asta soggetta solo a sforzonormale (la linea delle pressioni giace sullasse) e quindi calcolando larisultante delle reazioni orizzontale e verticale della cerniera B, comemostrato infigura 22.4b:

52

F

2

FFN

2

2

BC =

+= (e.6.1)

In alternativa questo sforzo normale pu determinarsi seguendo la viagenerale e cio sommando le componenti nella direzione dellassedelle reazioni della cerniera B, come mostrato infigura 22.4c:

52FsinFcos

2FNBC =+= (e.6.2)

essendo langolo indicato in figura 22.4a del quale devonopreliminarmente determinarsi le funzioni trigonometriche

5

2sin =

5

1cos = (e.6.3)

Un discorso analogo vale evidentemente per lasta CD.

Figura 22.4

Relativamente allelemento AGHE, scelta lascissa s di figura22.3, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono descrittidalle funzioni

F

t u

F

D

C

F

F/2

F/2

F

F/25

M

N

T

M

T

N

N

T

M

t u

F

D

C

F

F/2

F/2

F

M

N

T

M

T

N

N

T

M

Fsin

F/2cos

t u

F

BD

C

FF/2 F/2

F

(a) (b) (c)


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( )

=

F

F2

F

0

F

sN

Ls0se


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Figura 22.5

Figura 22.6

La generica configurazione spostata dellintera struttura rappresentata in figura 22.7. In questa si vede come i centri dirotazione C3 e C4 degli elementi 3 e 4 siano sulle rette r ed s adistanza infinita.Il centro di rotazione C3deve infatti giacere sulla retta r contenente C1e C13, mentre il centro di rotazione C4 deve giacere sulla retta scontenente C2e C24. Siccome queste due rette sono parallele, C34 ilpunto C e C3, C4e C34devono essere allineati, C3e C4devono esserea distanza infinita nella direzione identificata da r ed s.Relativamente agli spostamenti virtuali di questa configurazionespostata la condizione di annullamento del lavoro virtuale

0MMLFL2Q1Q1

== (e.6.7)

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

E C2A

B DG HQ C12

1

C1

2

xC1 xC2xC12

1 2

1 2

yC1

yC2

yC12

21

MQ MQ

M

N

T

M

T

N

vB vD

1

2

MQ MQ

EA

B D

G H

Q

1 2

B D

F

D

C

34

C

BB D

(b)

uB= uD

(a) (b)

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

(a)

F

A

B D

C

G HQ

E

(b)

F

A

B D

C

G HQ

E

MQ MQ

MN

T

M

T

N

1 2

43


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Figura 22.7

Essendo poi

12 = (e.6.8)

il momento flettente nella sezione Q

2

FLM

Q = (e.6.9)

che lo stesso valore che si legge sul diagramma difigura 22.3 e chepu ottenersi dalla(e.6.6) per s = 2L.

Taglio col Principio dei Lavori Virtuali

Detta Q la sezione di mezzeria del tratto BD (figura 22.8), siintroduce un doppio pendolo interno in modo da consentire solo glispostamenti relativi in direzione verticale degli estremi delle aste e sievidenziano le forze di taglio incognite applicate agli estremi delle asteconcorrenti. Si numerano gli elementi come infigura 22.8b. Si ottienecos una struttura una volta labile. La generica configurazionespostata per gli elementi 1 e 2 rappresentata infigura 22.9 insiemeai corrispondenti diagrammi degli spostamenti.

Figura 22.8

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

(a)

F

A

B D

C

G HQ

E

(b)

B D

CM

N

T

M

T

N

E

F

A

G

HQ

TQ

TQ

1

3 4

2

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

E C2

F

A

B C13

D C24

C C34

G

H

Q C12

1

C1

3 4

C4C3

2

xC1 xC2xC13 xC12 xC24

1 2

431 2

MQMQ

MQ MQ

E

F

A

B D

C

G H

Q

1

34

2

C

M

N

T

M

T

N

yC1= yC34

yC2

yC12= yC13= yC24

2

1

3,4

uC

1

2

r

s


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I diagrammi di figura 22.9 mostrano che nel passaggio dallaconfigurazione iniziale a quella spostata i punti B e D si spostano nelledirezioni ortogonali alle aste BC e CD, rispettivamente e che i moduliB e D degli spostamenti B e D sono uguali. Considerando che il

centro di rotazione relativa C34 la cerniera C, si pu concludere cheentrambe le aste BC e DC ruotano intorno al punto C (figura 22.9b).

Figura 22.9

La generica configurazione spostata dellintera struttura rappresentata infigura 22.10.

Figura 22.10

xC34= xC3= xC4

yC3= yC4= yC34

yC1= yC2

yC13= yC24

1,2

3,4

uC=0

3= 4

2L

L

E C2

F

A C1

B C13 D C24

C C34C3C4

GH

Q TQ

TQ

1

3 4

2

C12

L/2 L/2 L/2 L/2

xC1 xC2xC13

xC24

1

4

3

1

2= 1

vQ1

vQ2

E

F

A

B

D

C

G H

Q

1

3 4

2

TQ

TQ

Q1

Q2

1

yC1= yC2

1,2 2

E C2A C1

B DG

HQ TQ

TQ

1 2

C12

L/2 L/2 L/2 L/2

xC1 xC2

1

1

2= 1vQ1

vQ2

L

vD

vD2

uB= uD

EA

B

D

GH

Q

1 2TQ

TQ

Q1

Q2

F

B

C

3 4

B D = B

B

D = B

(a)

(b)


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I centri di rotazione C3 e C4 degli elementi 3 e 4 devono giacere

rispettivamente sulle rette r ed s (C3deve essere sulla retta passanteper C1e C13e C4deve essere sulla retta passante per C2e C24). C3eC4devono inoltre essere allineati con C34. Di conseguenza C3, C4 eC34coincidono nella cerniera C.Relativamente agli spostamenti virtuali di questa configurazionespostata la condizione di annullamento del lavoro virtuale

0LTLTL 2Q1Q == (e.6.10)

Il taglio nella sezione Q dunque nullo, come si legge sul diagrammadifigura 22.3 e come pu ottenersi dalla(e.6.5) per s = 2L.

Sforzo normale col Principio dei Lavori Virtuali

Detta Q la sezione di mezzeria del tratto BD (figura 22.11) siintroduce un doppio pendolo interno in modo da consentire solo gispostamenti relativi in direzione orizzontale degli estremi delle e sievidenziano gli forzi normali incogniti applicati agli estremi delle asteconcorrenti. Si numerano gli elementi come infigura 22.11b.

Figura 22.11

Si ottiene cos una struttura una volta labile la cui genericaconfigurazione spostata rappresentata in figura 22.12 insieme aicorrispondenti diagrammi degli spostamenti.Si osserva che gli spostamenti sono nulli per tutti i punti dellelemento2; in particolare anche il punto D ha spostamento nullo, sicch D, oltread essere il centro di rotazione relativo C24 tra gli elementi 2 e 4 anche il centro di rotazione assoluto C4 dellelemento 4. Il centro dirotazione C3 dellelemento 3 deve quindi giacere sulla retta rcontenente C4e C34. Con immediate considerazioni sullallineamentodei centri di rotazione C1, C2 e C12 si deduce che C1 a distanzainfinita sulla retta s verticale per A. Per lallineamento tra C1, C13e C3

e ricordando che C3deve giacere sulla retta r si conclude che C3 ilpunto intersezione tra r e la retta t verticale per B.

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

(a)

F

A

B D

C

G HQ

E

(b)

B D

CM

N

T

M

T

N

E

F

A

G

H

1

3 4

2

QNQ

NQ


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Figura 22.12

Relativamente agli spostamenti virtuali di questa configurazionespostata la condizione di annullamento del lavoro virtuale

0L2NLFL 3Q3 == (e.6.11)

Lo sforzo normale nella sezione Q quindi

2

FNQ = (e.6.12)

che lo stesso valore che si legge sul diagramma difigura 22.3 e chepu ottenersi dalla(e.6.4) per s = 2L.

E C2

F

A

B C13

D C24C4

C C34

G

H

QNQ

NQ

1

3 4

2

C1

C3

L/2 L/2 L/2 L/2

xC1 xC2

xC13= xC3

1 4

32

23

xC24= xC4

yC34

yC2

yC13= yC24= yC24

1

3

uC

3

yC3

3

2

4

E

F

A

B D

C

G HQ

1

3 4

2

NQQ1NQ

L

L

r

s

t


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LEZIONE 22 Sessione di studio 1

Esempi ed esercizi riassuntivi.

proposto nel seguito un ulteriore esempio. Si consiglia al lettore dirisolverlo autonomamente e di confrontare i risultati con la soluzionedescritta nella prossima sessione di studio.

Esempio 22.1

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi dellecaratteristiche di sollecitazione della struttura di figura 22.13. Sicalcolino con il Principio dei Lavori Virtuali le caratteristiche di

sollecitazione nella sezione G delle aste convergenti al nodo G. Sicontrolli infine la correttezza delle caratteristiche di sollecitazioneverificando la condizione di equilibrio del nodo C.

Figura 22.13.

1

2

F

A

B

C

D

3

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

E

/4G

M


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commentata nel seguito la soluzione dellesempio proposto nellaprecedente sessione di studio.

Soluzione dell esempio 22.1

Linea delle pressioni

Immaginando di percorrere lasse della struttura da E verso Mlunica forza che precede ogni sezione del tratto EM la reazione delvincolo E, pertanto la sua retta di azione r la linea delle pressioni

relativa al tratto EM (figura 22.14).

Figura 22.14.

Come discusso nella lezione 12 (soluzione dellesempio 11.7),la reazione esercitata sullelemento 3 dalla cerniera interna C deveessere la retta s passante per C e per il punto K intersezione tra lerette di azione della razione del vincolo E e della forza F (le reazionidei vincoli C ed E e la forza F devono costituire un sistema di forzeequilibrato, si riveda la figura 12.8). Lequilibrio dellelemento 1 impone

alla retta di azione delle reazioni dei vincoli A e B di essere la retta tpassante per A e per B (figura 22.14). Immaginando di percorrerelasse della struttura da A verso C lunica forza che precede ogni

F

3

E

K

r

s

RA

RD

s

t

H

1

2

A

B C

D

u

M

GRE

F

3

E

C

K

r

s

RE

RC

RA

RD

RC

s

t

H

1

2

A

B C

D

u

M

G


13/25


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sezione del tratto AC la reazione del vincolo A la cui retta di azione t

quindi la linea delle pressioni del tratto AC. Lelemento 2 quindisoggetto alla reazione del vincolo C avente la retta di azione s, allareazione del vincolo B avente retta di azione t ed alla reazione delvincolo D. Questultima deve quindi passare per il punto intersezioneH tra s e t; deve inoltre essere verticale per le note propriet delcarrello scorrevole. La retta di azione della reazione del vincolo D quindi la retta u verticale passante per H. Immaginando di percorrerelasse della struttura procedendo da D verso C lunica forza cheprecede ogni sezione del tratto DC la reazione del vincolo D la cuiretta di azione u quindi la linea delle pressioni del il tratto DC (figura22.14). Immaginando infine di percorrere lasse della strutturaprocedendo da C verso M le forze che precedono una qualunquesezione del tratto CM sono la reazione del vincolo A avente retta diazione t e la reazione del vincolo D avente retta di azione u; larisultante di queste due reazioni ha retta di azione s che quindi lalinea delle pressioni del tratto CM (figura 22.14).Le rette che costituiscono la linea delle pressioni della struttura sonotracciate infigura 22.14 e riassunte in tabella 20.1.

Tratto Linea delle pressioni

AC tCD uCM sEM r

Tabella 22.2.

Ricordando losservazione 1 della lezione 19 pu affermarsiche lo sforzo normale nullo nellasta orizzontale del tratto CD mentrelasta verticale del tratto CD soggetta a taglio nullo ed a momentoflettente costante. Il momento flettente inoltre nullo nella sezione incui la retta s interseca il tratto orizzontale dellasta CM.

Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione

Per il tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche disollecitazione si sfruttano le reazioni vincolari gi determinate nellalezione 12 (soluzione dellesempio 11.6), riassunte infigura 22.15.


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Figura 22.15.

Diagrammi del taglio e dello sforzo normale

Il taglio e lo sforzo normale sono costanti in ogni tratto rettilineo

della struttura. Per tracciare i diagrammi di queste sollecitazioni quindi sufficiente determinarne i valori in una qualunque sezione diogni sta.

Tratto AG: si hanno le caratteristiche di sollecitazione (figura 22.16b)

3

FTAG

= FNAG = (e.1.1)

Tratto GC: si hanno le caratteristiche di sollecitazione (figura 22.16c)

FTGC

= 3

FN

GC = (e.1.2)

Tratto DN: si hanno le caratteristiche di sollecitazione (figura 22.16d)

0TDN=

3

FNDN

= (e.1.3)

Tratto CN: si hanno le caratteristiche di sollecitazione (figura 22.16e)

3

FTCN

= 0NCN= (e.1.4)

Tratto EM: si hanno le caratteristiche di sollecitazione (figura 22.17b)

3

F

TEM = 3

F

NEN = (e.1.5)

Tratto PM: si hanno le caratteristiche di sollecitazione (figura 22.17c)

1

2

F

A

B C

D

3

E

B

C

F/3

F/3F/3

2F/3

2F/3F/3

F/3

F/3

F

F

F/3

4FL/9

F/3

F

M

GN

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

1

2

F

A

B C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

GN


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F3

2

3

F

FTPM == 3

F

NPM = (e.1.6)

Tratto CP: si hanno le caratteristiche di sollecitazione (figura 22.17d)

3

FTCP

= F3

2N

CP = (e.1.7)

Figura 22.16.

2

F

B

C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F

M

N

M

N

T

M

T

N

N

TM

MN

T

M

T

N

L/3 L/3 L/3 L/3

1

2

F

B

C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

G

N

N

T

M

1

2

F

A

B C

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

GN

N

TM M

N

TM

T

N

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

1

2

F

A

B C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

G

N

L/3

2L/3

L/3

F/3

P P

L/3

2L/3

L/3

L/3 L/3 L/3 L/3

1

2

F

A

B C

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

GN

T

M

M

N

T

M

T

N

PL/3 L/3 L/3 L/3

(a) (b)

(c) (d)

(e)


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Figura 22.17.

Diagrammi del momento flettente

Il momento flettente ha andamento lineare in ogni trattorettilineo della struttura. Per tracciarne il diagramma quindisufficiente determinarne i valori agli estremi di ogni asta.

Tratto AG: nelle sezioni A e G il momento flettente (figura 22.18b)

0MA=

3

LFL

3

FM

G == (e.1.8)

essendo il momento nella sezione A nullo per effetto della cerniera A.

Tratto GC: il momento flettente nella sezione G gi statodeterminato; nella sezione B il momento nullo per la presenza dellacerniera; il diagramma si costruisce tracciando un segmento tralordinata

GM ed il punto B (ordinata nulla) e prolungandolo fino ad

incontrare la retta verticale per C; il momento nella sezione Cdellelemento 2 quindi

3

LFM2C = (e.1.9)

Tratto DN: nelle sezioni D ed N il momento flettente (figura 22.18c)

FL9

4M

D= FL

9

4M

N= (e.1.10)

essendo, a mento del segno, il momento flettente nella sezione D parial momento della reazione vincolare dellincastro scorrevole. Ilmomento flettente dunque costante nel tratto DN, come previsto

sulla base della linea delle pressioni.

F/3

F

C

3

F/3F/3

2F/3

N

T

M

P

F

C

3

F/3

F/3

M

F/3

2F/3

N

T

M

P

L/3

F

3 EF/3

F/3F/3

2F/3

M

N

T

M

P

F

3

E

C

F/3

F/3F/3

2F/3

M

P

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3 L/3

(a) (b) (c)

(d)


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Pagina 17/25



Tratto CN: il momento flettente agli estremi di questa asta gi stato

determinato; per tracciare il diagramma quindi sufficiente tracciareun segmento tra le ordinate corrispondenti agli estremi.

Figura 22.18.

Tratto CP: nella sezione C dellasta 3 e nella sezione P il momentoflettente (figura 22.18d)

0M 3C = 9

LF

3

L

3

F

MP == (e.1.11)

essendo il momento nella sezione C dellasta 3 nullo per effetto dellacerniera C.

Tratto PM: il momento flettente nella sezione P gi statodeterminato; nella sezione M il momento flettente vale (figura 22.18e)

9

LF

3

L

3

FM

M == (e.1.12)

Tratto EM: il momento flettente agli estremi di questa asta gi statodeterminato; per tracciare il diagramma quindi sufficiente tracciareun segmento tra le ordinate corrispondenti agli estremi.

M

N

T

M

T

N

2

F

B

C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

G

N

L/3

2L/3

L/3

1

2

F

A

B C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

GN

P P

(a) (b)

N

TM

L/3

2L/3

L/3

1

2

F

A

B C

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

G N

L/3 L/3 L/3 L/3

(c)

N

T

M

L/3

F

3 EF/3

F/3F/3

2F/3

MP

N

TM

F/3

F

C

3

F/3

F/3

2F/3

N

T

M

P

L/3 L/3

L/3

(d)

(e)


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Pagina 18/25



Si hanno cos i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione

riassunti infigura 22.19.

Figura 22.19.

Sollecitazioni con il Principio dei Lavori Virtuali

Per determinare lo sforzo normale nellasta AG ed il taglionellasta GC si sostituisce lideale incastro interno presente nel nodo Gcon un doppio pendolo interno che consente lo spostamento relativoin direzione orizzontale e si rinumerano le aste come infigura 22.20.Il doppio pendolo cos disposto non in grado di esercitare agliestremi collegati una componente di reazione vincolare verticale. Siripristina quindi la situazione di partenza applicando agli estremi delleaste la componente verticale R della reazione dellincastro interno cheil doppio pendolo non in grado di esercitare (figura 22.20). In questomodo il sistema ha un grado di libert ed R pu determinarsi

imponendo il rispetto dellequilibrio con il Principio dei Lavori Virtualicon il procedimento ormai consueto.

L/3

2L/3

L/3

1

2

F

A

B C

D

3

EF/3

F/3

F/3

4FL/9

F/3

F

M

GN

P

L/3 L/3 L/3 L/3

-+

-

- -

F

A

B C

EM

G

N

P

N

F

F/3

2F/3

F/3

F/3

D

T

F

A

B C

EM

G N

P

D

-

+

+

-

+

-

F/3

FF/3F/3

F/3

2F/3

M

FL/3

FL/3

4FL/9

FL/9

FL/9

-

-

-

+

+

+

F

A

B

C

EM

G

N

P

D

Scala per lo sforzonormale ed il taglio F

Scala per ilmomento flettente FL

r

s

t

u


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Pagina 19/25



Figura 22.20.

Si osserva che la componente R rappresenta, a mento del segno, iltaglio per lasta GC e lo sforzo normale per lasta GA. Cio, conriferimento allafigura 22.21

RNGA

= RTGC

= (e.1.13)

Questa relazione tra il taglio e lo sforzo normale di due aste ortogonaliconvergenti in un nodo non caricato era stata gi ottenuta nellalezione 18 (si rivedano la (18.3) e la figura 18.9).

Figura 22.21.

La generica configurazione spostata del sistema rappresentata in

figura 22.22 insieme ai corrispondenti diagrammi degli spostamenti,con il consueto significato dei simboli.Relativamente agli spostamenti virtuali di questa configurazionespostata la condizione di annullamento del lavoro virtuale

03

LF

3

LRL

42 == (e.1.14)

da cui, essendo 3= 4

FR= (e.1.15)

quindi, tenendo conto delle(e.1.13)

FNGA

= FTGC = (e.1.16)

risultato che coincide con quanto precedentemente determinato.

R

R

R

R

TGC

NGA

G

Asta GA

Asta GC

Asta GA Asta GA

Asta GC Asta GC

F

A

B C

D

E

M

G

N

P

R

R

1

2

3

4


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Pagina 20/25



Figura 22.22.

Per determinare il taglio nellasta AG e lo sforzo normale

nellasta GC si sostituisce lideale incastro interno presente nel nodo Gcon un doppio pendolo interno che consente lo spostamento relativoin direzione verticale e si rinumerano le aste come infigura 22.23.

Figura 22.23.

Il doppio pendolo cos disposto non in grado di esercitare agliestremi collegati una componente di reazione vincolare orizzontale. Siripristina quindi la situazione di partenza applicando agli estremi delle

aste la componente orizzontale R della reazione dellincastro internoche il doppio pendolo non in grado di esercitare (figura 22.23).

F

A

B C

D

E

MG

N

P

R

R

1

2

3

4

F

A

C1

B C23 C C34

D

E

M

G

N

P

R

R

F

A

B C

D

E

MG

N

P MG1

G2

R

R

1

2

3

4

1

2

3

4

C2C12

C3

C4

xC1 xC2 xC4= xC34

2= 13= 0

4vG1

vM

yC1= yC2

yC23= yC34

yC4

1= 2

4

3

=0

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3


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Pagina 21/25



In questo modo il sistema ha un grado di libert ed R pu determinarsi

imponendo il rispetto dellequilibrio con il Principio dei Lavori Virtualicon il procedimento ormai consueto. Si osserva che la componente Rrappresenta lo sforzo normale per lasta GC ed il taglio per lasta GA.Cio, con riferimento allafigura 22.24

RTGA

= RNGC

= (e.1.17)

Anche questa relazione tra il taglio e lo sforzo normale di due asteortogonali convergenti in un nodo non caricato era stata gi ottenutanella lezione 18 (si rivedano la (18.3) e la figura 18.9).

Figura 22.24.

La generica configurazione spostata del sistema rappresentata infigura 22.25 insieme ai corrispondenti diagrammi degli spostamenti,

con il consueto significato dei simboli.

Figura 22.25.


F

A

C1

B C23 C C34

D

E

M

G

N

P

R

R

1

2

3

4

C2,

C3,C12

C4

xC1xC2= xC3= xC12

xC4= xC34

2= 1= 3= 04 vM

yC1

yC23= yC34

yC4

4

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

2

=3

=0

1

=0

uG2

F

A

B C

D

E

MG

N

PM

G1R

R

1

2

3

4

R

R

R

R

G

Asta GA

Asta GC

Asta GA

Asta GCNG

TGA

Asta GA

Asta GC


22/25


Pagina 22/25



03

L

FuRL 42G == (e.1.18)

da cui, essendo

Lu42G

= (e.1.19)

si ottiene

3

FR = (e.1.20)

quindi, tenendo conto delle(e.1.17)

3

FTGA

= 3

FNGC

= (e.1.21)


Per determinare il momento flettente agli estremi delle asteconvergenti nel nodo G si sostituisce lideale incastro interno presentenella sezione G con una cerniera interna che consente la rotazionerelativa delle aste AG e GB e si rinumerano le aste come in figura22.26.

Figura 22.26.

Questa cerniera non in grado di esercitare coppie agli estremi delleaste collegate. Si ripristina quindi la situazione di partenza applicandoagli estremi delle aste il momento flettente MGche il momento dellareazione dellincastro interno che la cerniera interna non in grado diesercitare (figura 22.26).La generica configurazione spostata del sistema rappresentata infigura 22.27 insieme ai corrispondenti diagrammi degli spostamenti,con il consueto significato dei simboli.

F

A

B C

D

E

M

N

P

1

2

3

4

MG

MGG


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Pagina 23/25



Figura 22.27.


03LFML 41G == (e.1.22)

da cui, essendo

41 = (e.1.23)

si ottiene

3

LFM

G = (e.1.24)


Equilibrio del nodo C

Si considera il sistema di figura 22.28,costituito dal nodo C eda piccolissimi tratti delle aste ad esso afferenti. Si evidenziano agliestremi di questi tratti le caratteristiche di sollecitazione determinate.Lesame della figura mostra immediatamente che il nodo C inequilibrio, essendo per il sistema considerato soddisfatte sia leequazioni di equilibrio alla traslazione che lequazione di equilibrio allarotazione.

F

A

C1

B C23 C C34

D

E

M

N

P

1

2

3

4

C2,

C3,

C4

xC1= xC12xC2= xC3

xC4= xC34

2= 3= 04 vM

yC1

yC12

=yC23

=yC34

yC4

4

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

2

=3

=0

F

A

B C

D

EM

G N

PM

1

2

3

4

MG

MG

G

C12

1

MG

MG


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Pagina 24/25



Figura 22.28.

Si pu inoltre verificare che sostituendo al nodo C le caratteristiche di

sollecitazione da questo esercitate sulle aste ad esso convergenti i tresistemi CA, CD e CE sono in equilibrio, come si vede negli schemi difigura 22.29.

Figura 22.29.

C

F/3

2F/3

F/3

FF/3

FL/3FL/3

F

3

EF/3

F/3

M

P

F/3

2F/3

C

2

D

F/3

4FL/9

NFL/3

F/3

G

1

A

B C

F/3

F

F/3

F

FL/3 C

C

F/3

2F/3

F/3

FF/3

FL/3FL/3


25/25





proposto nel seguito un ulteriore esempio. Si consiglia al lettore dirisolverlo autonomamente e di confrontare i risultati con la soluzionedescritta nella prossima lezione.

Esempio 22.2

Si traccino la linea delle pressioni e i diagrammi dellecaratteristiche di sollecitazione della struttura difigura 22.30.

Figura 22.30.

1

2

A

BD

C

L L L

L/2

L/2

L/2

q

q

E

F

G

22_Esempi Ed Esercizi Riassuntivi

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