23

Meccanica2018-2019

Cenni di Relatività Speciale

Moto traslatorio rispetto a O Velocità lungo asse x 0

costantev =Sistema O’

Relatività speciale

x

y

z

O

)(tr�

v�

P

0'x x v t= −

yy ='zz ='

Trasformazioni galileiane

2. Esperimento di Michelson & Morley (1887): Non esiste un sistema privilegiato («etere») nel quale cè costante

8299 792 458 m/s 3 10 m/s c = ≅ ×

1. Leggi di Maxwell: Elettromagnetismo (1862): Non invarianti per trasformazioni galileianeVelocità della luce nel vuoto c compare come una costante

James Clerk Maxwell (1831-1879)

Seconda metà del 1800 Due problemi:

0'

x xv v v= −

yy vv ='

zz vv =''x

'O

'y

'z)(' tr

�

0v�

Ciò vale purché cvO <<'

Leggi della dinamica ( ): invarianti rispetto a queste trasformazioniSistemi inerziali

F ma=� �

Principio di relatività

0

2 2

0

'1 /

x v tx

v c

−=−

yy ='

zz ='

Einstein (1905): Tutte le leggi della fisica devono essere invarianti in sistemi di riferimento inerziali

0

2

2 2

0

'1 /

vt x

ctv c

−=

−

Albert Einstein (1879-1955)

Anche la misura del tempo dipende dalla velocità relativa tra i sistemi di riferimento!

1→0

v c<<Per velocità piccole

rispetto a c si ritrova la trasformazione galileiana

02 2

0

1

1 /v cγ ≡

−

Trasf. galileiane: assumono implicitamente 't t=

Nessun esperimento di fisica può essere in grado di mostrare il moto di un sistema inerziale

Trasformazioni più generali per le quali le leggi di Maxwell sono invarianti ( )

Trasformazioni di Lorentz

0costantev =

0γ

0/v c

Fattore di Lorentz(Valore costante

una volta fissato vO)

Trasformazione della velocità

0 0' ( )x x v tγ= −

Velocità del punto P:

0

0 2'

vt t x

cγ = −

, ,dx dy dz

O vdt dt dt

→ =

� ' ' '' ' , ,

' ' '

dx dy dzO v

dt dt dt

→ =

�

0 0' ( )dx dx v dtγ= −

0 0' ( )

xdx dt v vγ= −

0

0 2'

vdt dt dx

cγ = −

00 2

' 1 x

vdt dt v

cγ = −

0

0

21

x

x

v v

v v

c

−=−

'dy dy='y y=

'z z= 'dz dz=

00 2

''

'1

y

y

x

vdyv

v vdt

cγ

= = −

00 2

''

'1

zz

x

vdzv

v vdt

cγ

= = −

Trasformazioni relativistiche per le componenti della velocità

Differenziamo le trasformazioni di Lorentz:

''

'x

dxv

dt=

Relatività

Trasformazione della velocità

x

y

O

0.9e

v c+ =0.9e

v c− = −

Elettrone e positrone in un acceleratore

Qual è la velocità relativa?

Relatività:0

0

2

'

1

xx

x

v vv

v v

c

−=−

2

1.8

(0.9 )( 0.9 )1

c

c c

c

= −−

1.8

1 0.81

c=+

0.994c=

Meccanica classica:

0'x x

v v v= −

ev −e

v +

0.9 0.9 1.8c c c= + =

LHC – Large Hadron ColliderCERN, Ginevra

Collisioni protone-antiprotone

3 m/s in meno dellavelocità della luce

0.999999991 p pv v c+ −= =� �

07500γ ≈Fattore di Lorentz:

0v =

xv =

Sistema O’ solidale con l’elettrone

Relatività

Trasformazione della velocità

x

yUn fotone si propaga lungo asse y del sistema O.

O

0

0

2

'

1

xx

x

v vv

v v

c

−=−

0v= −

00 2

'

1

y

y

x

vv

v v

cγ

= −

0x

v = yv c=

0

c

γ=

Per l’osservatore O’ il modulo della velocità del fotone è

2 2' ' 'x yc v v= +

22

0 2

0

cv

γ= +

2

2 2 0

0 21

vv c

c

= + −

c=

c

Direzione di propagazione vista da O’

'tan

'

y

x

v

vϕ =

0 0

c

v γ= −

Le trasformazioni di Lorentz mantengono ccostante in qualunque sistema inerziale

La direzione di propagazione osservata dipende dalla velocità del sistema di riferimento

O’

0v

'x

'y

O’ si muove lungo asse x con velocità v0

rispetto a O.

Come è visto il fotone da O’ ?

Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempiMeccanica Newtoniana: Le misure di lunghezza e di tempo sono indipendenti dal sistema di riferimento

x

y

O O’

0v

'x

'y

1'x

2'x

2 1' ' 'x x x∆ = −

Lunghezza della sbarra solidale con O’ (in moto con velocità v0) misurata dall’osservatore O’:

1 0 1 0' ( )x x v tγ= − 2 0 2 0

' ( )x x v tγ= −

0 2 0 1 0' ( )x x v t x v tγ∆ = − − +

0 2 1( )x xγ= −

0xγ= ∆

2

0

2

0

'' 1

x vx x

cγ∆∆ = = ∆ −

Per l’osservatore O nello stesso istante t: 2 1x x x∆ = −

La lunghezza (nella direzione del moto) misurata da O è inferiore a quella misurata da O’

Contrazione delle lunghezze

“Lunghezza propria”

L’osservatore O’ misura in x’ un fenomeno di durata 2 1' ' 't t t∆ = −

0

2 0 2 2' '

vt t x

cγ = +

2 1t t t∆ = − ( )0 2 1

' 't tγ= −0

'tγ= ∆

Dilatazione dei tempi

Il tempo misurato da un sistema di riferimento in moto rispetto al fenomeno scorre più lentamente

«Simultaneità»: dipende dalla velocità relativa

“Tempo proprio”

Gli stessi tempi misurati da un osservatore solidale con O:

0

1 0 1 2' '

vt t x

cγ = +

(NB: trasformazione inversa: la posizione è fissa su x’)

Dilatazione relativistica dei tempi

Dilatazione relativistica dei tempiIl fenomeno è reciproco!

Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi

Decadimento mesoni mu (muoni)Particelle instabili generate nell’alta atmosfera da raggi cosmici.

8 6(0.9999)(3 10 m/s)(2.2 10 s)

−≈ × × 600m≈

'd v µτ=

Secondo la relatività:

Sistema di riferimento a terra

70 600m = 42 kmd ≈ ×

Non raggiungono la terra

Arrivano a terra?

Spessore atmosfera: 10 kmH ≈

10 km

70≈ 143 m=

Raggiungono la terraRaggiungono la terra

Risultato esperimento: I muoni sono osservati a terra!

Misure del flusso di muoni in accordo quantitativo con le previsioni della relatività

70γ ≈0.9999v c≈Velocità tipica:

Secondo la fisica classica:

d v µτ=

HHµ γ

=

Contrazione della lunghezza

Sistema di riferimento del muone

600md v µτ= =Dilatazione del tempo

v µγτ=

Tempo di decadimento:6

2.2μs 2.2 10 sµτ −≈ = × (misurato in laboratorio)

Invarianza dell’intervallo spazio-temporale

Gli intervalli di spazio Δx e di tempo Δt non si conservano (sono «relativi»)

0 0' ( )x x v tγ∆ = ∆ − ∆'y y∆ = ∆'z z∆ = ∆

00 2

' ( )v

t t xc

γ∆ = ∆ − ∆

Trasformazioni di Lorentz2 2 2 2 2 2' ' ( ' ' ' )s c t x y z∆ = ∆ − ∆ + ∆ + ∆

22 2 2 20 0

0 2 4( 2 )

v vc t x t x

c cγ= ∆ − ∆ ∆ + ∆

Ma l’intervallo spazio-temporale è invariante per trasformazioni di Lorentz:

2 2 2 2 2 2( )s c t x y z∆ = ∆ − ∆ + ∆ + ∆

2 2's s∆ = ∆

2 2 2 2

0 0 0( 2 )x v x t v tγ− ∆ − ∆ ∆ + ∆ 2 2

y z−∆ − ∆2

2 2 2 2 2 200 0 0 0 2

2v

c t v x t xc

γ γ γ= ∆ − ∆ ∆ + ∆2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 02x v x t v tγ γ γ− ∆ + ∆ ∆ − ∆ 2 2

y z−∆ − ∆2 2

2 2 2 2 2 2 20 00 02 2

1 1v v

c t x y zc c

γ γ = ∆ − − ∆ − − ∆ − ∆

2 2 2 2 2

c t x y z= ∆ − ∆ − ∆ − ∆ 2s= ∆

<<Quanto al nome “teoria della relatività”, confesso che è infelice e ha dato spunto a parecchi malintesi filosofici.>>

A. Einstein, 1921 – Lettera a Eberhard Zschimmer

<<Teoria dell’invarianza >>

Relatività

Quantità di moto, energia

2

21

vm

v

c

=−

�Quantità di moto

Tendono alle relazioni classiche per piccole velocità

Generalizzazione relativistica:

dpF

dt=�

�

p m vγ= dp m dv mvdγ γ= +dp dv d

p v

γγ

= + /1

/

dv d

v dv v

γ γ = +

II Legge di Newton

Differenziamo il fattore di Lorentz:

1/22

21

vd d

cγ

−

= −

3/22

2 2

11 2

2

v vdv

c c

− = − − −

3

2

vd dv

cγ γ=

23

2

v dv

c vγ=

22

2

d v dv

c v

γ γγ

=

2 22

2 21

dv v v

v c cγ

= − +

2

1dv dp

v pγ=

p m vγ=� �

La forza aumenta la quantità di moto, ma per l’aumento è dominato dal fattore di Lorentz, non dall’aumento della velocità al numeratore

v c→

22

21

dp dv v

p v cγ

= + =

2 dv

vγ=

L’incremento della velocità è l’incremento di quantità di moto

21 / γ

Relatività

Quantità di moto, energia

Energia cinetica dalla definizione di lavoro:

dpds

dt= ⋅�

�

dp v= ⋅� �

2

1dv dp

v pγ=� �

2 dvdp p

vγ=

�

�

dW dp v= ⋅� � 2 dvp v

vγ= ⋅

�

� 3 dvm v v

vγ= ⋅

�

� 3m dv vγ= ⋅� �

3

2

vd dv

cγ γ= 2

3

dvdv c

γγ

=

3 2

3

ddW m c

γγγ

=

2mc dγ=

Energia cinetica: Lavoro per portare la particella da v = 0 alla velocità v:

2

1W mc d

γγ=

2( 1)mc γ= − ?

KE=

Espressione che appare molto diversa dalla forma classica E = ½ mv2 …

dW F ds= ⋅� �

3m vdvγ=

Velocità iniziale nulla

Energia cinetica relativistica:2( 1)

KE mc γ= −

Che cosa succede per v << c ?

2 2

1

1 /v cγ =

−2 1/2

(1 )xγ −= −vx

c≡

22

2

11 1

2K

vE mc

c

+ −

≃

21

2mv=

Nel limite di velocità piccole rispetto a c ritroviamo l’espressione classica dell’energia cinetica

2 2mc mcγ= −

Energia totale

Energia di riposo

tot 0 KE E E= +Energia cinetica

2

totE mc γ=

2

0E mc=

tot

0

E

Eγ=

Enormi quantità di energia sono contenute nella massa delle particelle

2( 1)

KE mc γ= −

L’energia cinetica relativistica si presenta come differenza di due termini:

2 2

Kmc mc Eγ = +

Per si ha 0v = 1γ = 0KE = Come nel caso classico

1x <<21

12

xγ +≃

Relatività

Quantità di moto, energia

Hiroshima, 6 Agosto 1945Nagasaki, 9 Agosto 1945

Dimensioni: 30 x 24 mTemperatura di plasma: 1.5 × 108 KPotenza in uscita: 500-700 MWVolume di plasma: 840 m3

Campo magnetico: 5.3 TeslaRendimento: > 10%

ITERInternational Thermonuclear

Experimental Reactor

Fusione nucleare nel Sole

2E mc=

«La preoccupazionedell'uomo e del suodestino devono semprecostituire l'interesseprincipale di tutti glisforzi tecnici. Non dimenticatelo mai in mezzo a tutti i vostridiagrammi e alle vostreequazioni.»

Albert Einstein

«La preoccupazionedell'uomo e del suodestino devono semprecostituire l'interesseprincipale di tutti glisforzi tecnici. Non dimenticatelo mai in mezzo a tutti i vostridiagrammi e alle vostreequazioni.»

Albert Einstein